EPGE / FGV

Econometria I - Graduao

Perodo 2008.1

Exerccios de Econometria da ANPEC 1993-2008

Ilton G. Soares

24 de fevereiro de 2008

Sumrio

1 Econometria 51.1 ANPEC 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 QUESTO 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 QUESTO 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 ANPEC 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 QUESTO 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 QUESTO 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 QUESTO 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.4 QUESTO 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 ANPEC 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 QUESTO 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 QUESTO 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 QUESTO 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 ANPEC 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 QUESTO 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 QUESTO 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3 QUESTO 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.4 QUESTO 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 ANPEC 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.1 QUESTO 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.2 QUESTO 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 ANPEC 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.1 QUESTO 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.2 QUESTO 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 ANPEC 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.1 QUESTO 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.2 QUESTO 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 ANPEC 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.8.1 QUESTO 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1

1.8.2 QUESTO 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.3 QUESTO 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9 ANPEC 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.9.1 QUESTO 06 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.9.2 QUESTO 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.3 QUESTO 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.10 ANPEC 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.10.1 QUESTO 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.10.2 QUESTO 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.10.3 QUESTO 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.11 ANPEC 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.11.1 QUESTO 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.12 ANPEC 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.12.1 QUESTO 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.12.2 QUESTO 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.13 ANPEC 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.13.1 QUESTO 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.14 ANPEC 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.14.1 QUESTO 05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.14.2 QUESTO 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.15 ANPEC 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.15.1 QUESTO 04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.15.2 QUESTO 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.16 ANPEC 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.16.1 QUESTO 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.16.2 QUESTO 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.16.3 QUESTO 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Modelos de Equaes Simultneas 442.1 ANPEC 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.1 QUESTO 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2 ANPEC 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.1 QUESTO 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 ANPEC 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.1 QUESTO 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 ANPEC 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.1 QUESTO 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5 ANPEC 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5.1 QUESTO 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2

2.6 ANPEC 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.6.1 QUESTO 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7 ANPEC 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.7.1 QUESTO 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.8 ANPEC 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.8.1 QUESTO 08 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.9 ANPEC 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.9.1 QUESTO 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Sries Temporais 543.1 ANPEC 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.1 QUESTO 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.1.2 QUESTO 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.3 QUESTO 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 ANPEC 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.1 QUESTO 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.2 QUESTO 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.3 QUESTO 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3 ANPEC 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.1 QUESTO 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.2 QUESTO 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4 ANPEC 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4.1 QUESTO 07 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4.2 QUESTO 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.5 ANPEC 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.1 QUESTO 09 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.2 QUESTO 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6 ANPEC 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.6.1 QUESTO 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.6.2 QUESTO 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.7 ANPEC 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.7.1 QUESTO 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.8 ANPEC 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.8.1 QUESTO 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.9 ANPEC 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.9.1 QUESTO 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.10 ANPEC 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.10.1 QUESTO 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.11 ANPEC 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3

3.11.1 QUESTO 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A Gabaritos 73

B Programa da prova de Estatstica - ANPEC 77

C Tabela Distribuio Normal Padro 78

4

Captulo 1

Econometria

1.1 ANPEC 2008

1.1.1 QUESTO 06

Um econometrista estimou o seguinte modelo de regresso para explicar a renda de 526 indivduos:

log (renda) = 0; 510(0;099)

0; 310(0;036)

genero+ 0; 080(0;03)

educ+ 0; 030(0;005)

exper 0; 001(0;00010)

exper2 + u

R2 = 0; 441; n = 526;

em que genero uma varivel dicotmica (=1 se mulher, =0, caso contrrio), educ o nmero de anos

gastos com educao, exper a experincia prossional do indivduo, medida em anos. Os desvios

padres dos coecientes esto entre parnteses. Com base nesses resultados, julgue as armativas:

(0) O efeito de um ano a mais de experincia prossional na renda mdia de um indivduo do sexo

masculino 0,030 unidades monetrias.

(1) As mulheres recebem salrios 31% mais baixos que os dos homens, em mdia.

(2) De acordo com o modelo estimado, a hiptese de que o efeito mdio de um ano a mais de educao

na renda dos indivduos seja diferente de 10% rejeitada ao nvel de signicncia de 5%.

(3) Se V (ujgenero; educ; exper) = a2 + b2educ, ento os estimadores de mnimo quadrados so ten-denciosos. Nota: V (ujX) a varincia de u condicionada a X, a e b so parmetros.(4) Em uma regresso do resduo u em funo de educao e gnero, o R2 ser alto.

Soluo

5

1.1.2 QUESTO 07

Considere a regresso mltipla:

y = 0 + 1x1 + 2x2 + 3x3 + u

cujos parmetros tenham sido estimados pelo mtodo dos mnimos quadrados ordinrios. Julgue as

armativas:

(0) Se E (ujx1; x2; x3) = 0 e o modelo no perfeitamente colinear, ento os estimadores no soviesados.

(1) Se o R2 = 1, ento o y uma combinao linear de x1, x2 e x3.

(2) O R2 ajustado aumenta ao se incluir uma varivel adicional, caso tal varivel seja signicativa ao

nvel de 5%.

(3) Se o modelo satisfaz as hipteses do teorema de Gauss-Markov, ento b1 o estimador linear noviesado de 1 com menor varincia possvel.

(4) Se omitirmos x3 da regresso, os estimadores de 0, 1 e 2 podem ser viesados.

Soluo

6

1.2 ANPEC 2007

1.2.1 QUESTO 04

Considere o modelo de regresso mltipla: Mt = + 1Yt + 2R

t + ut, em que Mt a demanda real

por moeda, Y t a renda real esperada, Rt a taxa de juros esperada e ut o erro aleatrio commdia zero e varincia constante. Nem Y t , nem Rt so observveis, ms podem ser construdas daseguinte forma:

Y t = 1Y t1 + (1 1)Yt1; 0 < 1 < 1

Rt = 1Rt1 + (1 2)Rt1; 0 < 2 < 1

Seja L o operador defasagem tal que LXt = Xt1. Yt e Rt so a renda real e a taxa de jurosobservadas no instante t. correto armar que:

(0) O modelo, em sua verso observvel, : Mt = +1(11)11L Yt1 +

2(12)12L Rt1 + ut.

(1) necessria uma tcnica de estimao no linear para o modelo observvel.

(2) O modelo linear nos parmetros. Portanto, a tcnica de mnimos quadrados ordinrios deve ser

utilizada para a estimao.

(3) O modelo observvel apresenta erros autocorrelacionados.

(4) O modelo observvel apresenta heteroscedasticidade.

Soluo

7

1.2.2 QUESTO 05

Considere os seguintes modelos para taxa de juros de determinado pas

Modelo I: it = 0 + 1it1 + 2t + 3t1 + 4ht + 5ht1 + utut = ut1 + et

Modelo II: it = 0 + 1t + 2ht + utut = ut1 + et

em que it a taxa de juros, t a taxa de inao, ht o hiato do produtoe et um rudo branco

com mdia zero e varincia constante. Todas as variveis so estacionrias de segunda ordem. Julgue

as armaes:

(0) Mesmo que 6= 0, os estimadores de mnimos quadrados ordinrios dos parmetros i, i = 1; :::; 5;no modelo I, continuaro consistentes.

(1) Mesmo que 6= 0, os estimadores de mnimos quadrados ordinrios dos parmetros i, i = 1; 2;no modelo II, continuaro consistentes.

(2) Suponha que 6= 0 nos dois modelos. A estatstica t usual no ser vlida no Modelo I, maspoder ser utilizada no Modelo II sem problema algum.

(3) Suponha que 6= 0 nos dois modelos. As estatsticas t e F usuais s sero vlidas se os estimadoresde mnimos quadrados ordinrios dos parmetros foram consistentes.

(4) No Modelo II, os estimadores de mnimos quadrados ordinrios dos parmetros i, i = 1; 2; no

sero ecientes caso 6= 0.

Soluo

8

1.2.3 QUESTO 08

Julgue as armativas:

(0) Heteroscedasticidade ocorre quando o erro aleatrio em um modelo de regresso correlacionado

com uma das variveis explicativas.

(1) Quando o erro aleatrio em um modelo de regresso correlacionado com alguma varivel explica-

tiva, os estimadores de mnimos quadrados no so consistentes.

(2) Na presena de heteroscedasticidade, estimadores de mnimos quadrados ordinrios so inecientes.

(3) Os testes t e F usuais no so vlidos na presena de heteroscedasticidade.

(4) Na presena de heteroscedasticidade, estimadores de mnimos quadrados ordinrios so no viesa-

dos, mas so inconsistentes.

Soluo

9

1.2.4 QUESTO 15

A regresso abaixo foi estimada com o objetivo de explicar a diferena de salrios entre homens e

mulheres. As seguintes variveis foram utilizadas:

sal = salrio mdio por hora, em Reais;

homecas = 1 se homem e casado; =0 caso contrrio

mulhcas = 1 se mulher e casada; =0 caso contrrio

mulhsol = 1 se mulher e solteira; =0 caso contrrio

edu = nmero de anos de educao formal;

exper = nmero de anos de experincia prossional;

empre = nmero de anos com o atual empregador.

Entre parnteses encontram-se os erros-padro calculados por Mnimos Quadrados Ordinrios

(MQO).

\log (sal) = 0; 300 + 0; 200homecas 0; 200mulhcas 0; 100mulhsol + 0; 0800edu(0; 100) (0; 055) (0; 050) (0; 050) (0; 006)

+0; 0200exper + 0; 0300empre

(0; 005) (0; 006)

Suponha que um indivduo do sexo masculino, com 15 anos de experincia prossional, se case.

Ceteris Paribus, qual a variao percentual esperada no seu salrio dois anos aps seu casamento em

relao ao seu salrio de solteiro? Suponha que o nmero de anos de educao formal do indivduo

no se tenha alterado e que ele no tenha trocado de emprego.

Soluo

10

1.3 ANPEC 2006

1.3.1 QUESTO 06

Julgue as armativas. A respeito dos estimadores de Mnimos Quadrados Ordinrios (MQO), em um

modelo de regresso linear mltipla:

(0) Se a varincia do erro no for constante, as estimativas dos parmetros sero no-viesadas.

(1) Se E(") 6= 0, os estimadores de todos os parmetros, com exceo do intercepto, sero viesados.(2) Se o erro no seguir a distribuio Normal as estimativas por MQO so consistentes.

(3) Sob as hipteses do modelo de regresso clssica, com erros na forma de rudo branco com dis-

tribuio Normal, os estimadores de MQO sero os mais ecientes possveis.

(4) A presena de colinearidade imperfeita entre as variveis explicativas gera estimadores viesados..

Soluo

11

1.3.2 QUESTO 08

Em um modelo de regresso mltipla, com erros que seguem uma distribuio Normal, identique se

os itens so corretos:

(0) Os testes de heterocedasticidade de Breush-Pagan e de White podem ser calculados mediante

regresses auxiliares com os quadrados dos resduos.

(1) Caso a forma funcional da heterocedasticidade seja conhecida, mnimos quadrados ponderados,

estimados de modo interativo, sero menos ecientes que o estimador de Mxima Verossimilhana.

(2) Empiricamente no h como distinguir um modelo de expectativas adaptativas de primeira ordem

de um modelo de ajustamento parcial de primeira ordem.

(3) Se houver uma varivel dependente defasada entre as variveis explicativas, o teste apropriado para

a autocorrelao de primeira ordem dos resduos o h de Durbin, e no o teste de Breush-Godfrey.

(4) Os mtodos de estimao do coeciente de autocorrelao Cochrane-Orcutt e Durbin so diferentes

em pequenas amostras.

Soluo

12

1.3.3 QUESTO 09

O mtodo dos mnimos quadrados ordinrios foi empregado para estimar o modelo de regresso abaixo,

cujo objetivo explicar as variaes de renda entre 526 indivduos de uma amostra aleatria:

ln(renda) = 0; 362 + 0; 094educ + 0; 014exper 0; 178sexo 0; 010exper sexo + u(0; 128) (0; 008) (0; 002) (0; 058) (0; 002)

R2 = 0; 368 n = 526

em que sexo uma varivel dicotmica (valor 1, se for mulher e 0, caso contrrio), educ o nmero

de anos de escolaridade (0 < educ < 17), exper so anos de experincia prossional (0 < exper < 40)

e u a estimativa do erro. Os nmeros entre parnteses so os erros-padro das estimativas, robustos

heterocedasticidade. Com base nos resultados acima, correto armar:

(0) Ao nvel de signicncia de 5%, o efeito de um ano a mais de experincia prossional para indivduos

do sexo masculino estatisticamente maior do que o efeito para mulheres.

(1) Para um indivduo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta um aumento

da renda de aproximadamente 9%.

(2) O efeito na renda de um aumento de 1 ano na experincia prossional para as mulheres 1%

menor do que para os homens.

(3) Pela inspeo dos resultados da estimao ca claro que os erros do modelo so heterocedsticos.

(4) Se a um nvel de signicncia de 5%, o valor crtico do teste F para a regresso for 2; 37, os

coecientes angulares sero conjuntamente diferentes de zero.

Soluo

13

1.4 ANPEC 2005

1.4.1 QUESTO 10

A respeito do modelo de regresso mltipla:

Yi = 0 + 1X1i + 2X2i + ei

em que ei tem mdia zero e varincia 2, so corretas as armativas:

(0) No caso de uma forte colinearidade entre X1i e X2i, tende-se a aceitar a hiptese nula de que

2 = 0, pois a estatstica t subestimada.

(1) Se os erros so autocorrelacionados, ainda assim os estimadores de Mnimos Quadrados Ordinrios

de 1 e 2 so lineares e no tendenciosos.

(2) Se os erros so heterocedsticos, ainda assim os testes usuais t e F podem, sem prejuzo algum,

ser empregados para se testar a signicncia dos parmetros do modelo, caso estes sejam estimados

por Mnimos Quadrados Ordinrios.

(3) Erros de medida da varivel dependente reduzem as varincias dos estimadores de Mnimos Quadra-

dos Ordinrios de b1 e b2.(4) A omisso da varivel explicativa relevante, X2, para explicar a varivel dependente, Yi, torna a

estimativa dos coecientes 0 e 1 tendenciosa e inconsistente, se somente se, a varivel omitida X2,

for correlacionada com a varivel includa, X1.

Soluo

14

1.4.2 QUESTO 11

dada a seguinte funo de produo para determinada indstria:

ln (Yi) = 0 + 1 ln (Li) + 2 ln (Ki) + ui ,

em que Y o valor adicionado por rma (em reais), L o trabalho empregado, K o valor do

capital (em reais) e u o termo aleatrio. Uma amostra aleatria de 27 observaes leva s seguintes

estimativas:

ln (Yi) = 0 + 1 ln (Li) + 2 ln (Ki) + ui

SQR =27Xi=1

bu2i = 0; 84R2 = 0; 76

So corretas as armativas:

(0) Se Y passasse a ser medido em mil reais, somente o valor estimado do intercepto da regresso seria

alterado.

(1) Ao nvel de 5%, os coecientes associados ao trabalho e ao capital so conjuntamente iguais a zero.

(2) Se o desvio padro do estimador de 2 for 0,0854, o intervalo de conana a 95% para o efeito

sobre Y de um aumento de 1% no estoque de capital ser 0;950;38560;0854 .(3) Os valores estimados permitem concluir que, para aquela indstria, a produtividade marginal do

trabalho menor que a produtividade mdia do mesmo fator.

(4) Qualquer outra forma funcional que leve a um R2 maior que 0,76 ser prefervel utilizada.

Soluo

15

1.4.3 QUESTO 12

Um pesquisador estima o seguinte modelo de regresso simples: Yi = 0+1Xi+ei. Outro pesquisador

estima o mesmo modelo, mas com escalas diferentes para Yi e Xi. O segundo modelo : Y i =0 +

1X

i + ei, em que: Y

i = w1Yi, X

i = w2Xi e w1 e w2 so constantes maiores que zero.

(0) Os estimadores de Mnimos Quadrados Ordinrios de 0 e 1 so iguais aos de 0 e

1.

(1) Se b2 a varincia estimada de ei e b2 a varincia estimada de ei, ento b2 = w21b2.(2) As varincias dos estimadores dos parmetros do primeiro modelo so maiores do que as varincias

dos estimadores do segundo modelo.

(3) Os coecientes de determinao so iguais nos dois modelos.

(4) A transformao de escala de (Yi; Xi) para (Y i ; Xi ) no afeta as propriedades dos estimadores de

Mnimos Quadrados Ordinrios dos parmetros.

Soluo

16

1.4.4 QUESTO 14

Considere o seguinte modelo para a populao: Y = 2+ 4X 5Z + u, em que u o termo aleatrio eE (ujX;Z) = E (u) = 0. A partir de uma amostra de n indivduos, estimaram-se os parmetros destemodelo, tendo, todavia, sido omitida a varivel Z. Ou seja, o modelo estimado foi: bYi = b0 + b1Xi.Suponha ainda que, para amostra em questo, tenham sido obtidos os seguintes resultados:

nPi=1(ZiZ)(XiX)nPi=1(XiX)2

= 0; 7, em que X = 1nnPi=1Xi e Z = 1n

nPi=1Zi.

Calcule Eb1jX. Multiplique o resultado por 10.

Soluo

17

1.5 ANPEC 2004

1.5.1 QUESTO 11

Considere o modelo de regresso linear mltipla para dados seccionais:

yi = 0 + 1x1i + 2x2i + :::+ kxki + ui , i = 1; :::; n.

correto armar que:

(0) Para que os estimadores de mnimos quadrados sejam lineares no-tendeciosos de menor varincia

(BLUE) necessrio que os erros sejam homocedsticos.

(1) A hiptese que V ar (uijx1i ; x2i ; :::; xki) = 2, necessria para que os estimadores de mnimosquadrados sejam no-tendenciosos.

(2) As estatsticas t e F continuam vlidas assintoticamente mesmo que os erros da regresso sejam

heterocedsticos.

(3) Se Cov (x1i ; x3i) 6= 0, os estimadores de mnimos quadrados ordinrios da regresso yi = 0 +1x1i + 2x2i + :::+ kxki + ui , i = 1; :::; n, sero consistentes.

(4) Se Cov (x1i ; x3i) = 0 os estimadores de mnimos quadrados ordinrios da regresso yi = 0 +

1x1i + 2x2i + :::+ kxki + ui , i = 1; :::; n, sero consistentes.

Soluo

18

1.5.2 QUESTO 14

Um pesquisador estimou uma regresso mltipla com 5 variveis independentes e n = 56, mas na

pressa, no imprimiu os resultados e anotou apenas o valor do R2 = 0; 90, o coeciente de determi-

nao. Este pesquisador precisa vericar se a regresso signicante. Ajude-o, calculando o valor da

estatstica do teste a ser empregado.

Soluo

19

1.6 ANPEC 2003

1.6.1 QUESTO 06

Considere o modelo de regresso linear mltipla para dados seccionais

yi = 0 + 1x1i + 2x2i + :::+ kxki + ui , i = 1; :::; n.

correto armar que:

(0) para que os estimadores de mnimos quadrados sejam os melhores estimadores lineares no-

tendeciosos necessrio que os erros sejam normalmente distribudos;

(1) a hiptese que V ar (uijx1i ; x2i ; :::; xki) = 2, i = 1; :::; n, no necessria para que os estimadoresde mnimos quadrados sejam consistentes;

(2) a incluso de uma nova varivel explicativa no modelo reduzir o coeciente de determinao R2;

(3) para que as estatsticas t e F sejam vlidas assintoticamente necessrio que os erros sejam

normalmente distribudos;

(4) se Cov (x1i ; x3i) 6= 0, i = 1; :::; n os estimadores de mnimos quadrados ordinrios da regressoyi = 0 + 1x1i + 2x2i + :::+ kxki + ui, i = 1; :::; n sero tendenciosos.

Soluo

20

1.6.2 QUESTO 07

O mtodo dos mnimos quadrados ordinrios foi empregado para estimar o modelo de regresso abaixo,

cujo objetivo explicar as variaes de renda entre 526 indivduos:

log (renda) = 0; 417 0; 297sexo+ 0; 080educ+ 0; 029exper 0; 00058exper2 + u(0,099) (0,036) (0,007) (0,005) (0,00010)

R2 = 0; 441 n = 526

em que sexo uma varivel dicotmica (valor 1, se for homem e 0, caso contrrio), educ o nmero

de anos de escolaridade, exper experincia prossional, tambm medida em anos. Os nmeros entre

parnteses so os erros-padro das estimativas (Sbi i = 0; 1; :::; 4). Com base nos resultados acima,

correto armar:

(0) a regresso no estatisticamente signicante pois o coeciente de determinao menor do que

0; 5;

(1) a diferena de renda entre homens e mulheres no estatisticamente signicante;

(2) um ano a mais de escolaridade, mantidos constantes todos os demais fatores, aumenta em 0; 08%

a renda de um indivduo do sexo feminino;

(3) a signicncia conjunta das variveis educ e exper no pode ser medida por meio da estatstica t.

Para isto, o teste F deve ser utilizado;

(4) o modelo incapaz de captar diferenas nos retornos da educao entre homens e mulheres.

Soluo

21

1.7 ANPEC 2002

1.7.1 QUESTO 09

Pode-se armar sobre o modelo de regresso linear clssico yt = 1 + 2xt + ut(0) A reta de regresso passa pelas mdias amostrais de y e x, mesmo que o modelo no tenha

intercepto.

(1) Na presena de heterocedasticidade, o estimador de MQO viesado e no se pode conar nos

procedimentos de testes usuais (F e t), j que o estimador alm de viesado, ineciente.

(2) Na presena de autocorrelao dos resduos, os estimadores de MQO so no viesados e consistentes.

(3) Quanto maior for a variao da varivel explicativa, maior ser a preciso com que o coeciente

angular pode ser estimado.

(4) Se R2 (coeciente de determinao) for zero, ento a melhor previso para um valor de y sua

mdia amostral.

Soluo

22

1.7.2 QUESTO 10

correto armar a respeito do modelo de regresso linear clssico multivariado: Y = X + ", com n

observaes e k > 2 variveis explicativas, incluindo-se o intercepto.

(0) Os coecientes de inclinao no se alteram quando se modicam as unidades de medida de Y

e X multiplicando-os por uma constante, por exemplo, transformando-se seus valores de reais para

dlares.

(1) Se o modelo for estimado com apenas k 1 variveis explicativas (mas mantendo o intercepto), oscoecientes estimados podero ser viesados e inconsistentes.

(2) Quando os coecientes 0s estimados forem altamente signicativos, individualmente, mas a es-tatstica F e o R2 indicarem que o modelo como um todo tem um baixo poder explicativo, pode-se

desconar da presena de multicolinearidade.

(3) Para testar a hiptese conjunta de que 2 = 3 = ::: = k = 0, pode-se utilizar o teste

F;(k1);(nk) =R2(k1)

[(1R2)(nk)] , em que R2 o coeciente de determinao do modelo.

(4) Sempre que o modelo tiver pelo menos duas variveis explicativas alm do intercepto, o R2 ser

maior ou igual ao R2 ajustado.

Soluo

23

1.8 ANPEC 2001

1.8.1 QUESTO 09

A partir de uma amostra de n elementos, foi estimada uma regresso linear simples, pelo mtodo de

mnimos quadrados, obtendo-se os resultados:bYt = b+ b1Xt b 6= 0R21= K1

A seguir, a mesma regresso foi estimada sabendo-se que a reta de regresso da populao passa

pela origem das coordenadas (termo constante = 0), obtendo-se os resultados:bYt = b2XtR22= K2

Pode-se armar que:

(0) b1 = b2(1) Sb2

desvio padro de b2 < Sb1 desvio padro de b1

(2) A reta b2X passa pelo ponto mdio da amostra (X;Y )(3) (K2=K1) > 1

(4) A soma dos resduos de mnimos quadrados de ambas equaes estimadas zero.

Soluo

24

1.8.2 QUESTO 11

Um econometrista estimou uma funo consumo usando 25 observaes anuais da renda pessoal

disponvel e consumo, a partir do modelo:

Ct = 1 + 2Yt + ut, em que:

Ct = consumo em t; Yt= renda pessoal disponvel em t; ut= erro aleatrio.

Os resultados indicaram parmetros signicativos a 5%, coeciente de determinao de 0; 94 e d

de Durbin-Watson 0; 5421. Com base nesses nmeros, o econometrista fez o teste de Dickey-Fuller

aumentado (ADF) para as sries de renda e de consumo, obtendo estimativas de menores que os

valores crticos de tabelados, a 1%, 5% e 10%.

Conseqentemente, o econometrista:

(0) Aceitou a hiptese nula do teste ADF, concluindo que as sries de renda e consumo so no-

estacionrias;

(1) Concluiu que os testes t e F no so vlidos.

(2) Concluiu que o teste t no vlido.

(3) Concluiu que a regresso estimada espria.

(4) Necessita fazer mais outros testes para vericar se a regresso estimada espria.

Soluo

25

1.8.3 QUESTO 12

No modelo clssico de regresso linear: Yi = 1 + 2Xi + ui(0) A hiptese de que o erro normalmente distribudo necessria para que os estimadores de

mnimos quadrados ordinrios tambm sejam normalmente distribudos.

(1) Se a hiptese cov (ui; uj j Xi; Xj) = 0, i 6= j for violada, os estimadores de mnimos quadradosordinrios sero viesados e no ecientes.

(2) As hipteses de que o erro normalmente distribudo e de que cov (ui; uj j Xi; Xj) = 0, i 6= jasseguram que ui e uj se distribuem independentemente.

(3) A hiptese V ar (ui j Xi) = 2 necessria para que os estimadores de mnimos quadrados or-dinrios sejam no tendenciosos.

(4) Os estimadores de mnimos quadrados de 1 e 2 podem ser escritos como combinaes lineares

das observaes Yi.

Soluo

26

1.9 ANPEC 2000

1.9.1 QUESTO 06

Seja o modelo de regresso linear clssico com duas variveis explicativas X2 e X3: Y i = 1+2X2i+

3X3i + ui. correto armar que:

(0) Se a correlao entre X2 e X3 zero, ento o estimador de mnimos quadrados ordinrios (MQO)

de 2

Pi(X2iX2)(YiY )Pi(X2iX2)2

.

(1) Mesmo que a correlao entre X2 e X3 seja igual unidade, pode-se estimar 2 + c3 , em que c

uma constante conhecida.

(2) A ecincia relativa dos estimadores de MQO, dentro da classe dos estimadores lineares no

viesados, garantida pelo Teorema de Gauss Markov, necessita da hiptese de normalidade do erro

(ui).

(3) Se o erro (ui) heterocedstico, os estimadores de MQO sero viesados.

(4) Se as variveis explicativas so estocsticas, porm no correlacionadas com o erro (ui), ento, os

estimadores dos parmetros do modelo so no-viesados.

Soluo

27

1.9.2 QUESTO 10

O seguinte modelo de regresso foi estimado utilizando-se dados trimestrais entre 1979 e 1998, inclusive:

bYi = 2:20 + 0:104X2iA soma total explicada foi 100; 5. Quando esta equao foi re-estimada, adicionando-se trs dummies

sazonais, a soma total explicada aumentou para 114; 5 e a soma do quadrado dos resduos foi igual a

20; 00. Suponha que deseja-se testar se a sazonalidade signicativa. Calcule a estatstica de teste

adequada.

Soluo

28

1.9.3 QUESTO 11

Considere o seguinte modelo de regresso linear clssico, relacionando as variveis quantidade deman-

dada (Q) e preo do produto (P ). Admita que as duas variveis sejam medidas em Reais, e que a

estimao ser efetuada por MQO (ln logaritmo natural)

lnQi = 1 + 2 lnPi + ui i = 1; 2; :::; 100:

correto armar que:

(0) Variando-se o preo em 1%, a quantidade demandada variar 102%, ceteris paribus.

(1) Ignorando-se o termo aleatrio, se o preo ultrapassar determinado limite, ser possvel obter

quantidades demandadas negativas.

(2) Se mudarmos as unidades de Q e P para dlares americanos, ento a estimativa de 2 na nova

equao ser igual a sua estimativa obtida na equao em Reais.

(3) Se a varivel lnY (Y =renda) for acrescentada ao modelo o coeciente R2 desta nova regresso

ser maior ou igual ao coeciente R2 da regresso original.

(4) Se o coeciente R2 ajustado da regresso com a varivel lnY for maior do que o coeciente

R2 ajustado da regresso original, ento necessariamente, o coeciente de lnY estatisticamente

signicante, ao nvel de signicncia de 5%, em um teste bilateral.

Soluo

29

1.10 ANPEC 1999

1.10.1 QUESTO 02

Uma srie temporal mensal de trs anos, de janeiro de 1995 a dezembro de 1997, para o preo do

produto agrcola Y , apresentou a seguinte tendncia linear Y = 3 + 0; 25X. Estime o preo do

produto Y para o ms de janeiro de 1998, sabendo que as variaes sazonais calculadas com base num

modelo aditivo para os trs anos considerados foram:

Ms Jan Fev Mar Abr Maio Jun

Variao sazonal -1,25 -0,52 0,84 1,50 3,00 3,85

Soluo

30

1.10.2 QUESTO 04

Seja o seguinte modelo de regresso linear mltipla na forma matricial:

Y = X + "

onde as dimenses das matrizes e dos vetores envolvidos so: Y => (n1); X => (nk); => (k1);" => (n 1).

Ento, podemos fazer as seguintes armaes:

(0) Um dos pressupostos bsicos do modelo : Os elementos da matriz X so estocsticos com valores

xados em amostras repetidas.

(1) Outro pressuposto bsico : nenhuma das variveis independentes deve estar perfeitamente cor-

relacionada com qualquer outra varivel independente ou com qualquer combinao linear de outras

variveis independentes.

(2) As equaes normais de mnimos quadrados para o modelo dado podem ser apresentadas em

notao matricial como (X 0Y ) = (X 0X) b e a soluo para b ser b = (X 0X)1 (X 0Y ).(3) Quando testamos a existncia do modelo de regresso, fazemos as seguintes hipteses sobre os

coecientes da regresso (admitindo que 1 6= 0, ou seja, a regresso no passa pela origem):

Hiptese nula => H0: 2 = 3 = ::: = k = 0

Hiptese alternativa => H1: Todos os i 6= 0, para i = 2; 3; :::; k.

(4) Os intervalos de conana dos coecientes da regresso podem ser calculados da seguinte maneira:

bi tnk:sbi ; bi + tnk:sbionde bi = estimativa do coeciente i; tnk = abcissa de uma distribuio \t" com (n k) graus deliberdade, xado o grau de conana de intervalo; e sbi = erro padro estimado de bi.Soluo

31

1.10.3 QUESTO 05

Foram encontrados os seguintes resultados para estimar uma regresso linear com duas variveis

explicativas para uma amostra de tamanho 10.

Variveis preditoras Coeciente Desvio padro Estatstica \t" p-valor

Constante 223,3 254,8 0,88 0,410

X1 -1,26 0,8263 -1,52 0,172

X2 -1,03 3,213 -0,32 0,752

R2 = 81; 2%; R2 ajustado = 76; 1%; Valor calculado da estatstica F = 15; 1.

Podemos armar que:

(0) A equao de regresso estimada bY = 223; 3 1; 26X1 1; 03X2.(1) A um nvel de signicncia de 5% podemos armar que a regresso existe. Porm, aps elaborarmos

os testes de hipteses para os coecientes individuais, aceitamos a hiptese (a um nvel de signicncia

de 1%) de que o coeciente para a varivel X2 zero.

(2) O coeciente de determinao indica que 81; 2% da variao amostral de Y podem ser atribudos

as variaes de X1 e X2.

(3) O valor estimado para Y quando X1 = 15 e X2 = 80 220.

(4) Os valores tericos das estatsticas \t" utilizadas para testar os coecientes das variveis explicativas

devem ser calculados para 7 graus de liberdade.

Soluo

32

1.11 ANPEC 1998

1.11.1 QUESTO 13

Considere o seguinte modelo de Regresso Linear Multiplo:

Yt = + 1X1t + 2X2t + t; t = 1; 2; 3; :::; n

onde E(t) = 0, V ar(t) = 2 e X1t, X2t so sries de valores xos.

(0) Se, X1t = X2t, ainda assim possvel obter os estimadores de Mnimos Quadrados de , 1 e 2.

(1) Se s e t so independentes para todo t 6= s, ento dentro da classe dos estimadores lineares notendenciosos, os estimadores de Mnimos Quadrados de , 1 e 2 so os melhores.

(2) Caso X2t = Yt1 na equao acima, e os erros t sejam autocorrelacionados, o estimador deMnimos Quadrados de , 1 e 2 mantm a propriedade de no-tendenciosidade.

(3) Quando a varincia dos resduos, V ar(t), varia para cada t, ento os estimadores de Mnimos

Quadrados de , 1 e 2 ainda so no tendenciosos mas inecientes.

(4) No caso da existncia de autocorrelao e heterocedasticidade dos resduos, as varincias amostrais

dos estimadores de Mnimos Quadrados de , 1 e 2 so tendenciosas, fazendo com que os testes de

hipteses destes parmetros quem comprometidos.

Soluo

33

1.12 ANPEC 1997

1.12.1 QUESTO 14

Considere o seguinte modelo de regresso, em forma matricial, com T observaes amostrais e k

regressores (X):

y(T1)

= X(Tk)

(k1)

+ "(T1)

(0) com regressores no-estocsticos, o estimador de mnimos quadrados ordinrios de uma funo

linear das observaes amostrais.

(1) o estimador de mxima verossimilhana de requer o pressuposto de mdia zero e de varincia

nita na estrutura de erros, dispensando a especicao de uma distribuio paramtrica da mesma.

(2) o estimador de mxima verossimilhana de enviesado mas consistente.

(3) os estimadores de mnimos quadrados ordinrios de e de mxima verossimilhana de coincidem

quando os erros so independentes e identicamente distribudos com distribuio Normal.

(4) caso tenha distribuio multivariada Normal, com mdia zero, e matriz de covarincia dada por

2 IT , o estimador de mxima verossimilhana de 2 viesado para amostras nitas.

Soluo

34

1.12.2 QUESTO 15

Uma implementao emprica do modelo de capital humano feita com a seguinte especicao:

lnYi = 0 + 1 XPRi + 2 (XPRi)2 + 3 Si + "i;onde Yi representa a renda do trabalho do i-simo indivduo, o nmero total de anos de sua escolaridade,

Ai sua idade medida em anos, e, XPRi = AiSi, sua experincia de trabalho, medida pela diferenaentre sua idade e o total de anos de escolaridade. Finalmente, "i um distrbio aleatrio do modelo

de regresso associado ao i-simo indivduo de uma amostra de N indivduos. Pode-se armar que:

(0) se os erros so independentes e identicamente distribudos, a razo entre os estimadores de mnimos

quadrados ordinrios dos s e seus respectivos desvios-padro tm distribuio assinttica Normal.

(1) o sinal do coeciente 2 indica a presena de retornos decrescentes ou crescentes experincia de

trabalho.

(2) mesmo em presena de heterocedasticidade na estrutura de erros, o estimador de mnimos quadra-

dos ordinrios consistente.

(3) mesmo em presena de heterocedasticidade na estrutura de erros, o estimador de mnimos quadra-

dos ordinrios relativamente eciente.

Soluo

35

1.13 ANPEC 1996

1.13.1 QUESTO 15

Suponha que, num modelo de regresso linear simples, o regressor (varivel independente) seja cor-

relacionado com o termo erro. Sobre o estimador de MQO, podemos armar:

(0) , em geral, viesado.

(1) No possvel de ser obtido.

(2) no viesado, porm no eciente.

(3) consistente.

Soluo

36

1.14 ANPEC 1995

1.14.1 QUESTO 05

Seja yi = + xi + "i uma equao de regresso e sejam a e b estimadores de mnimos quadrados

ordinrios (MQO) de e , respectivamente. Pode-se armar que:

(0) A hiptese de mdia zero do termo aleatrio imprescindvel para que b seja um estimador

no-viesado de .

(1) A hiptese de no-autocorrelao dos resduos dignica que x e " so independentes.

(2) A hiptese de que x no-estocstica necessria para que a e b sejam estimadores no-viesados.

(3) Se a hiptese de homoelasticidade for vlida, ento a e b sero estimadores ecientes dentro da

classe dos estimadores lineares no-viesados.

(4) A hiptese de normalidade do termo aleatrio necessria para garantir a ecincia dos estimadores

de MQO dentro da classe dos estimadores lineares no viesados.

Soluo

37

1.14.2 QUESTO 15

Em um modelo clssico de regresso linear mltipla:

(0) Uma das hipteses estabelece que as variveis explicativas so linearmente independentes.

(1) Os testes t e F no so equivalentes.

(2) A comparao do poder explicativo de modelos envolvendo nmero diferente de variveis explica-

tivas deve ser feita com base no R2 ajustado.

(3) Cada uma das variveis explicativas tem distribuio normal.

(4) A varincia da varivel dependente igual varincia do termo aleatrio.

Soluo

38

1.15 ANPEC 1994

1.15.1 QUESTO 04

Quanto ao modelo de regresso linear simples da forma

Yi = a+ bXi + ui

em que Y representa a produo de parafusos; X a quantidade de trabalho, medida em homens/hora

de trabalho; e u a perturbao aleatria; podemos armar que:

(0) O valor da varivel Y nunca pode ser previsto exatamente devido presena da perturbao

ocasionada pela varivel independente X.

(1) Para cada valor de Xi, temos como pressuposto bsicos que o correspondente ui tem distribuio

normal com mdia zero.

(2) O pressuposto de homocesticidade signica que cada perturbao tem a mesma varincia cujo

valor desconhecido.

(3) Pelos seus pressupostos bsicos, as perturbaes ui so no correlacionadas e estatisticamente

dependentes.

Soluo

39

1.15.2 QUESTO 15

Em relao ao modelo de regresso mltipla

Yi = 0 + 1X1i + 2X2i + : : :++kXki + ei , i = 1; 2;

Pode-se armar que:

(0) O mtodo, dos mnimos quadrados ordinrios (MQO), usado para estimar os coecientes j ,

j = 0; 1; : : : ; k exige que o erro tenha distribuio normal.

(1) Se adicionarmos um novo regressor Xk+1 equao acima ento o coeciente de determinao, R2

pode ou no aumentar.

(2) Os estimadores de MQO dos coecientes j , j = 0; 1; : : : ; k so no viciados (ou no viesados).

(3) Os coecientes j , j = 0; 1; : : : ; k podem ser interpretados como as elasticidades entre os regressores

Xj e a varivel Y .

Soluo

40

1.16 ANPEC 1993

1.16.1 QUESTO 03

Suponha que se tenha usado dados de 12 plantaes para estimar a funo de produo:

Y = 2; 10(0;3)

+ 0; 32(0;08)

X

em que Y medido em toneladas de caf por hectare de X em centenas de quilo de fertilizante por

hectare. O erro-padro das estimativas e so dados entre parnteses. Pode-se armar que:

(0) Ao nvel de 5% ambas estimativas so signicantes.

(1) Se o desvio-padro da varivelX (sX) 1 e o desvio-padro da varivel Y (sY ) 1 ento o coeciente

de correlao entre X e Y , r, 0; 32.

(2) Para fazer a anlise de varincia dessa regresso precisa-se conhecer apenas a variao explicada

pela regresso um vez que os graus de liberdade j so conhecidos.

(3) Se o caf custar $15 por tonelada e o fertilizante $3 por 100 quilos, no vale a pena ao fazendeiro

usar mais fertilizante para aumentar a produo, pois o custo marginal excede a receita marginal.

(4) Um aumento de 100 quilos de fertilizante provoca um aumento de 2; 42 toneladas na produo de

caf.

Soluo

41

1.16.2 QUESTO 07

Considerando o modelo de regresso mltipla

Yj = 0 + 1X1j + 2X2j + : : :+ kX1k + "j

pode-se armar que:

(0) A anlise de varincia da regresso testa se todos os coecientes estimados da regresso^j

so

signicantes simultaneamente.

(1) O vetor de solues para os parmetros j expresso por ^ = (X0X)1X 0Y .

(2) Para estimar os parmetros j da regresso necessrio que as variveis explicativas sejam inde-

pendentes entre si.

(3) O coeciente de determinao mltipla corrigido para graus de liberdadeR2pode ser negativo.

Soluo

42

1.16.3 QUESTO 15

A varivel aleatria Z guarda com a varivel aleatria X a relao Z = 5 + 5X + U onde U uma

varivel aleatria, independente de X. Pode-se armar que:

(0) Z tem correlao 1 com X.

(1) Qualquer que seja o valor do termo constante na relao acima, a correlao de Z com X no se

altera.

(2) A covarincia de Z com X de 25 vezes a varincia de X.

(3) Se os desvios padro de X e de U forem idnticos e iguais a 2, a varincia de Z valer 104.

(4) A correlao de U com Z independente dos coecientes da relao acima.

Soluo

43

Captulo 2

Modelos de Equaes Simultneas

2.1 ANPEC 2008

2.1.1 QUESTO 09

Considere o modelo macroeconmico:

it = i + a (t ) + "1t

t = byt + t1 + "2t

yt = c (it1 t1) + "3t

em que: t a inao no perod t, yt o hiato do produto, it a taxa de juros nominal, i a taxa dejuros de equilbrio e a meta de inao. Suponha que 0 < b < 1, 1 < c < 0 e a 0. Finalmente,considere que et = ("1t; "2t; "3t)

0 seja um vetor de variveis aleatrias independentes e normalmentedistribudas tal que0B@ "1t"2t

"3t

1CA NID2640B@ 000

1CA ;0B@

21 0 0

0 23 0

0 0 23

1CA375 , para t = 1; 2; 3; :::; T:

Julgue as armativas:

(0) Se a = 1 a funo de autocorrelao da inao decai exponencialmente. Se a = 2, V (t) ! 1quando t!1.

(1) Se a = 2, ento bb = TPt=1tytTPt=1

y2t

um estimador consistente de b.

(2) O coeciente c s pode ser estimado de modo consistente pelo mtodo de variveis instrumentais.

(3) Seja brt = yt bt1, em que b =TPt=1

ytt1

TPt=1

2t1

. Se a = 2, ento bb = TPt=1tbrtTPt=1

br2t um estimador consistentede b.

44

(4) Se a = 1, E (ytjt1) = c.

Soluo

45

2.2 ANPEC 2007

2.2.1 QUESTO 12

Considere o modelo:

QDt = 1 + 1Pt + uDt (equao de demanda)

QOt = 2 + 2Pt + uOt (equao de oferta)

QDt QOt Qt

em que: QDt e QOt so as quantidades demandada e ofertada, respectivamente, de laranja na Flrida

no ano t, Pt o preo da laranja no ano t e uDt e uOt so termos aleatrios de mdia nula em que

CovuDt ; u

Ot

= 0. correto armar que:

(0) O estimador de mnimos quadrados de 1 ser tendencioso caso 2 6= 0.(1) Seja b1 o estimador de mnimos quadrados de 1. Logo, E b1 = 1+22(2) Se V ar

uDt= 2D e V ar

uOt= 2O, ento a matriz de varincia-covarincia do vetor aleatrio

Xt = (Qt; Pt) dada por:

=1

(2 1)2 22

2D +

212O 2

2D + 1

2O

22D + 1

2O

2D +

2O

!:

(3) Seja Zt uma nova varivel representando o nmero de dias na Flrida com temperaturas abaixo de

zero. Se EuDt jZt

= 0 e E

uOt jZt

6= 0, ento a equao de demanda pode ser estimada por mnimosquadrados em dois estgios, sendo Zt uma varivel instrumental.

(4) Seja Zt denida como no item anterior, ento se EuDt jZt

6= 0 e E uOt jZt = 0, as equaes deoferta e demanda podem ser estimadas por mnimos quadrados em dois estgios com Zt sendo uma

varivel instrumental.

Soluo

46

2.3 ANPEC 2006

2.3.1 QUESTO 07

Considere o modelo:

Yt = Zt + Yt1 + e1t (equao I)

Zt = Zt1 + e2t (equao II)

em que , e so parmetros e

et =

e1t

e2t

!~ Normal

" 0

0

!;

211

212

212 222

!#

E (etet) =

e1t

e2t

!, para todo k 6= t.

Suponha tambm que jj < 1 e jj < 1. So corretas as armativas:(0) A condio jj < 1 garante a estacionariedade de segunda ordem de Zt.(1) O estimador de mnimos quadrados ordinrios de , na equao II, no consistente.

(2) Os estimadores de mnimos quadrados ordinrios de e na equao I, s sero consistentes se

12 = 1.

(3) Sem nenhuma restrio adicional sobre os parmetros do modelo, a equao I no satisfaz a

condio de ordem para identicao.

(4) Para testar se h endogeneidade na equao I, pode-se usar o teste de Hausman.

Soluo

47

2.4 ANPEC 2005

2.4.1 QUESTO 08

Considere o modelo de equaes simultneas:

Qdt = 0 + 1Pt + 2Xt + e1t (demanda)

Qst = 0 + 1Pt + e2t (oferta)

Qdt = Qst (condio de equilbrio)

Qdt e Qst so, respectivamente, as quantidades demandadas e ofertadas do bem, Xt uma varivel

exgena e e1t e e2t so os termos aleatrios, com mdias zero e varincias constantes. So corretas as

armativas:

(0) As equaes de demanda e oferta so exatamente identicadas.

(1) Os parmetros estruturais do modelo so consistentemente estimados por Mnimos Quadrados

Ordinrios.

(2) As equaes na forma reduzida so: Pt = 0 +1Xt + vt e Qt = 2 +3Xt + wt, em que

0 =0011 ; 1 =

211 ; vt =

e1te2t11 ; 2 =

100111 ; 3 =

2111 e

2 =1e2t1e1t11 .

(3) As estimativas dos parmetros da forma reduzida descritos no quesito anterior, por Mnimos

Quadrados Ordinrios, so consistentes.

(4) Os parmetros das equaes estruturais, obtidos dos parmetros da forma reduzida, so estimados

por Mnimos Quadrados Ordinrios.

Soluo

48

2.5 ANPEC 2004

2.5.1 QUESTO 07

So corretas as armativas. Em modelos de equaes simultneas:

(0) o problema da identicao precede o da estimao.

(1) se a condio de ordem for satisfeita, a condio de posto tambm ser satisfeita.

(2) os estimadores de mnimos quadrados indiretos e os de mnimos quadrados de dois estgios so

no-tendenciosas e consistentes.

(3) se uma equao exatamente identicada, os mtodos de mnimos quadrados indiretos e de dois

estgios produzem resultados idnticos.

(4) o mtodo de mnimos quadrados indiretos pode ser aplicado tanto a equaes exatamente identi-

cados quanto a equaes superidenticadas.

Soluo

49

2.6 ANPEC 2003

2.6.1 QUESTO 08

Considere o modelo de equaes simultneas:QDi = 1 + 1Pi + u1i (demanda)

QSi = 2 + 2Pi + u2i (oferta)

QDi = QSi

em que: QDi a quantidade demandada, QSi a quantidade ofertada, Pi o preo, e u1i e u2i so

termos aleatrios. correto armar que:

(0) o estimador de mnimos quadrados ordinrios aplicado a cada uma das equaes consistente e

no-tendencioso;

(1) no modelo acima a equao de demanda identicada mas a equao de oferta no ;

(2) se a equao de demanda for denida por QDi = 1 + 1Pi + 1Yi + u1i, em que Yi a renda, a

equao de oferta ser identicada;

(3) a equao de demanda ser identicada se for denida por QDi = 1 + 1Pi + 1Yi + u1i;

(4) a varivel renda, empregada nos dois itens anteriores, uma varivel instrumental.

Soluo

50

2.7 ANPEC 2002

2.7.1 QUESTO 11

Considere as seguintes equaes do modelo estrutural:

Equao de Demanda: Qt = 0 + 1Pt + 2Rt + u1tEquao de oferta: Qt = 0 + 1Pt + 2Pt1 + u2t

em que no perodo t, Qt a quantidade de produto; Pt, o preo (endgeno) do produto; Rt, a renda do

consumidor; u1t, o distrbio aleatrio da equao de demanda e u2t, o distrbio aleatrio da equao

de oferta. A partir destas equaes so obtidas as equaes na forma reduzida:

Pt = 0 + 1Rt + 2Pt1 + v1t e Qt = 3 + 4Rt + 5Pt1 + wt:

(0) Assim sendo, 0 =0011 , 1 =

211 e 2 =

211 .

(1) A condio de posto indica que a primeira e a segunda equaes so identicadas.

(2) Se multiplicarmos a equao de demanda por (0 < < 1) e a equao de oferta por (1 )e som-las, desde que o resultado dessa soma seja diferente da equao de oferta e da equao de

demanda, as duas sero identicadas.

(3) O mtodo de mnimos quadrados ordinrios produz estimadores consistentes e ecientes dos

parmetros da forma estrutural.

(4) Para vericar se qualquer equao do sistema identicvel, basta aplicar a condio de ordem.

Soluo

51

2.8 ANPEC 2001

2.8.1 QUESTO 08

No modelo de equaes simultneas:QD = 1 + 1P + 1Y + u1 (demanda)

QS = 2 + 2P + u2 (oferta)

QD = QS

em que: QD a quantidade demandada; QS , a quantidade ofertada; P , o preo; Y , a renda; u1 e

u2 so os componentes aleatrios. Neste modelo:

(0) A aplicao do mtodo de mnimos quadrados ordinrios (MQO) a cada uma das equaes do

sistema, desconsiderando-se a outra, fornecer estimativas no tendenciosas.

(1) A equao de demanda subidenticada.

(2) A equao de oferta exatamente identicada.

(3) Na equao de oferta, o estimador de MQO consistente.

(4) Caso seja subidenticada, a equao de demanda no pode ser estimada.

Soluo

52

2.9 ANPEC 1998

2.9.1 QUESTO 14

Considere o seguinte conjunto de equaes simultneas:

Q = 1 + 1P + 1Y + 1 : funo de demanda

Q = 2 + 2P + 2 : funo de oferta

onde Q (quantidade) e P (preos) so as variveis endgenas, Y (renda) a varivel exgena e 1,

2,

representam os resduos. Os valores 1, 2, 1, 1 e 2 so os parmetros do modelo.

Ento, pode-se armar que:

(0) As equaes na forma reduzida so denidas como :

Q = 1 + 2Y + v1

Q = 3 + 4Y + v2

onde, 1 =12 211

2

, 2 =

121

2

, 3 =2 11

2

, 4 =

1

1

2

, v1 =12

21

1

2

e

v2 = 1

2

1

2

.

(1) As funes de demanda e oferta so identicadas.

(2) A estimao dos parmetros das equaes na forma reduzida por Mnimos Quadrados Ordinrios,

produz estimadores consistentes.

(3) Os resduos v1 e v2 so independentes.

Soluo

53

Captulo 3

Sries Temporais

3.1 ANPEC 2008

3.1.1 QUESTO 10

Julgue as armativas:

(0) Na presena de heteroscedasticidade dos erros de um modelo de regresso linear, os estimadores

de mnimos quadrados ordinrios so inecientes.

(1) Para testar a presena de autocorrelao de primeira ordem em um modelo yt = + yt1 + "tusa-se o teste de Brausch-Godfrey.

(2) Quando os erros da regresso so autocorrelacionados, os estimadores de mnimos quadrados so

ecientes.

(3) A omisso de uma varivel relevante em um modelo de regresso linear pode gerar autocorrelao

nos erros.

(4) A regresso entre duas variveis integradas de primeira ordem, isto I(1), sempre espria.

Soluo

54

3.1.2 QUESTO 11

Julgue as armativas:

(0) Toda srie temporal estacionria com varincia nita pode ser escrita como um modelo de mdia

mvel com termo de erro serialmente no correlacionado.

(1) Um modelo de sries temporais no estacionrio tem pelo menos uma raiz unitria.

(2) O teste de Dickey-Fuller monocaudal.

(3) Um modelo AR (2) dado por Yt = a + 1Yt1 + 2Yt2 + "t, t = 1; 2; 3; :::, em que "t um rudobranco com mdia zero e varincia 2, ser estacionrio se 1 < 1 e 2 < 2.

(4) Um passeio aleatrio um processo estacionrio.

Soluo

55

3.1.3 QUESTO 15

Suponha que yt = +yt1+ut, em que futg independente e igualmente distribudo, com distribuionormal de mdia zero e varincia 2. Sabe-se que = 35, = 3=5 e 2 = 2. Voc informado que

y2 = 50. Determine a melhor previso para y4.

Soluo

56

3.2 ANPEC 2007

3.2.1 QUESTO 03

Considere o modelo autorregressivo de primeira ordem, AR(1), denido por

Yt = a+ bYt1 + ut

em que a e b so parmetros e futg uma seqncia de variveis aleatrias independentes e igualmentedistribudas, com mdia nula e varincia 2 Suponha que jbj < 1. A previso n passos--frente paraa varivel Y convergir para

(0) a.

(1) a mdia de ut.

(2) a1b .(3) E (Yt).

(4) 1.

Soluo

57

3.2.2 QUESTO 07

Sejam Yt e Xt duas sries temporais. Considere os resultados dos seguintes modelos de regresso

estimados por mnimos quadrados ordinrios (MQO):

bYt = 4; 8788 0; 1512Yt1 e bXt = 0; 1094 0; 1807Xt1(1; 70) (1; 97) (1; 26) (2; 21)

Considere tambm os resultados da regresso de Yt em Xt

Yt = 23; 3924 + 14; 4006Xt + bet(1; 70) (1; 97)

em que bet o resduo. Finalmente, considere a regresso:bet = 0; 0730 0; 4157bet1

(0; 06) (3; 43)

Os nmeros entre parnteses so os valores do teste t de signicncia individual dos parmetros.

Dado que o valor crtico a 5% da estatstica de Dickey-Fuller 2; 938, correto armar que:(0) Yt e Xt so sries temporais integradas de ordem 1.

(1) A regresso de Yt em Xt espria.

(2) A hiptese de cointegrao entre Yt e Xt rejeitada pois os resduos da regresso de Yt em Xt so

no-estacionrios.

(3) Para que duas variveis sejam cointegradas necessrio que ambas tenham a mesma ordem de

integrao.

(4) A rejeio da hiptese nula do teste Dickey-Fuller implica que a varivel em questo no-

estacionria.

Soluo

58

3.2.3 QUESTO 09

Julgue as proposies:

(0) A soma de dois processos estocsticos independentes e estacionrios de segunda ordem ser esta-

cionria de segunda ordem.

(1) A soma de dois processos estocsticos no-estacionrios ser no-estacionria.

(2) Seja L o operador de defasagem tal que LYt = Yt1. Se Yt segue um processo AR(1) estacionriode segunda ordem, ento (1 L)2 Yt um processo ARMA(2,2).(3) O processo ARMA(2,2) denido na forma

1 L 0; 25L2Yt = 1 0; 5L 0; 06L2ut no

estacionrio, em que ut o erro aleatrio com mdia nula e varincia constante.

(4) Todo processo MA estacionrio de segunda ordem.

Soluo

59

3.3 ANPEC 2006

3.3.1 QUESTO 11

Dois economistas usam os modelos abaixo para analisar a relao entre demanda de moeda (m) e

renda nacional (y). As variveis esto todas em logaritmos e a periodicidade mensal.

Economista A: Economista B:

mt = 1:099yt + but (Equao 1) mt = 1:14yt + bet (Equao 2)(0:0086) (0:145)

Os valores entre parnteses so os erros-padro.

Testes Dickey-Fuller Aumentado (ADF), com nmero apropriado de defasagens maior que zero em

todos os casos, para as variveis e para os resduos dos dois modelos geram os seguintes resultados:

Varivel mt yt but mt yt betEstatstica - ADF 2; 191 1; 952 2; 993 5; 578 6; 312 8; 456

O valor crtico da tabela Dickey-Fuller a 5% igual a -2,886. So corretas as armativas:

(0) Tanto a srie de demanda de moeda quanto a de renda nacional so integradas de primeira ordem.

(1) As sries de demanda de moeda e de renda nacional no so cointegradas ao nvel de signicncia

de 5%.

(2) Se a srie de demanda de moeda for estacionria na diferena (dierence stationarity) ela no pode

ser estacionria na tendncia (trend stationary).

(3) Se as sries de demanda de moeda e de renda nacional forem cointegradas, o Economista B deve

incluir o erro defasado u^t1 em seu modelo.(4) A srie de renda nacional um passeio aleatrio puro.

Soluo

60

3.3.2 QUESTO 15

Uma srie temporal Yt, t = 1; :::; T , foi gerada por um processo da classe ARIMA(p; d; q) e apresenta

os seguintes formatos para a Funo de Autocorrelao (FAC) e Funo de Autocorrelao Parcial

(FACP):

Supondo que a mdia da srie seja 100 e que YT3 = 35, YT2 = 28, YT1 = 38 e YT 30, calcule apreviso para YT+1 feita no instante T , isto E(YT+1jYT ; YT1; YT2; YT3; :::).

Soluo

61

3.4 ANPEC 2005

3.4.1 QUESTO 07

Com respeito teoria das sries temporais, so corretas as armativas:

(0) Considere uma srie temporal Yt auto-regressiva de ordem 1 com parmetro . No modelo: Yt Yt1 = Yt1 + ut , em que ut um rudo branco e = 1, se for de fato igual a zero, a srie Ytser no estacionria.

(1) Numa regresso linear simples de duas sries temporais no estacionrias de ordem 1, o teste usual

t de Student ainda vlido.

(2) Numa regresso linear mltipla de sries temporais de ordem 1, mas cointegrveis, no se corre o

risco de os resultados serem esprios.

(3) Numa regresso linear mltipla de sries temporais de ordem 1, mas cointegrveis, os resduos da

regresso so estacionrios.

(4) Se uma srie temporal tiver que ser diferenciada n vezes antes de se tornar estacionria, a srie

original integrada de ordem n -1.

Soluo

62

3.4.2 QUESTO 09

So corretas as armativas:

(0) No processo AR(1): yt = 0 + 1yt1 + et, em que jj < 1 e et um rudo branco de mdia zero evarincia 2, a varincia de yt ser

2

12 .(1) Seja a funo de autocovarincia do processo AR(1) denido no quesito anterior j = E [(ytj ) (ytj )],em que = E [yt] a mdia do processo yt. correto armar que j =

(0+1)j

121.

(2) O processo AR(2), yt = 0 + 1yt1 + t2yt2 + et, em que et um rudo branco de mdia nulae varincia 2, ser estacionrio de segunda ordem se, e somente se, 1 < 1 e 2 < 1.

(3) A mdia do processo MA(1), yt = et + et1, em que et um rudo branco, igual a zero.(4) No modelo ARMA(1,1), yt = 0+1yt1+ et+ et1, em que et um rudo branco de mdia nulae varincia constante, a mdia de yt dada por

011 .

Soluo

63

3.5 ANPEC 2004

3.5.1 QUESTO 09

Considere a seguinte regresso entre yt e zt:

yt = zt + ut

em que ut o erro. So corretas as armativas:

(0) Se yt for I(1) e zt for I(0), ento yt e zt so co-integradas.

(1) Se yt for I(0) e zt for I(1), ento yt e zt so co-integradas.

(2) Se yt for I(1) e zt for I(1), ento yt e zt so co-integradas.

(3) Se yt for I(1), zt for I(1) e ut for I(0), ento yt e zt so co-integradas.

(4) Se ut for I(0) as sries yt e zt so necessariamente co-integradas.

Soluo

64

3.5.2 QUESTO 10

Em relao aos modelos de sries temporais, so corretas as armativas:

(0) No processo AR(1), Zt = Zt1+at+ 0, jj < 1, e at um rudo branco, a mdia de Zt ser 01 .(1) O processo MA(1), Zt = at at1, em que at um rudo branco, no estacionrio.(2) O processo AR(1), Zt = 0; 8Zt1 + at, em que at um rudo branco, estacionrio.(3) No processo AR(1), Zt = Zt1+ at, em que at um rudo branco com V ar(at) = 2a, a varinciade Zt

2a12 .

(4) No modelo ARMA(1,1), Zt = Zt1 + at + at1, em que at um rudo branco, a mdia de Zt diferente de zero.

Soluo

65

3.6 ANPEC 2003

3.6.1 QUESTO 10

Considere o modelo de regresso linear

Ct = 0 + 1Yt + ut , t = 1; :::; T ,

em que: Ct o consumo pessoal em t, Yt a renda pessoal em t e ut o termo aleatrio. correto

armar que:

(0) se Ct e Yt so I(1), ento ut ser obrigatoriamente estacionrio;

(1) se o Ct e Yt so integradas, mas com ordens de integrao diferentes, ento a regresso ser invlida;

(2) se Ct e Yt so I(1), ento o teste ADF aplicado aos resduos da regresso poder identicar a

presena de co-integrao entre as variveis;

(3) se Ct e Yt so I(1), mas os resduos so I(0), ento h co-integrao entre as variveis;

(4) se Ct e Yt so I(1) e os resduos tambm so I(1), ento a regresso de Ct em Yt invlida.

Soluo

66

3.6.2 QUESTO 15

Considere o modelo ARMA(1; 1) denido por:

yt = 0; 5yt1 0; 2"t1 + "t , t = 1; :::; T;em que a varincia de "t igual a 1. Encontre a varincia de yt.

(Multiplique o resultado nal por 10. Marque somente a parte inteira na folha de resposta).

Soluo

67

3.7 ANPEC 2002

3.7.1 QUESTO 12

Em relao aos modelos de Sries de Tempo pode-se armar:

(0) No modelo Autoregressivo de ordem 1, Zt = Zt1+ut+0, jj < 1, em que ut um rudo branco,o parmetro 0 a mdia do processo.

(1) O modelo misto Autoregressivo-Mdias Mveis, ARMA(1,1), pode ser representado pela expresso

Zt = Zt + ut ut1 em que e so parmetros e ut um rudo branco.(2) Se um processo estocstico possui uma tendncia determinstica, yt = 1 + 2t+ ut, ento este

dito no-estacionrio e sua no-estacionariedade pode ser detectada por um teste para raiz unitria.

(3) Em uma regresso com duas sries temporais, se estas so I(1), ou seja, no estacionrias, mas so

cointegradas, pode-se empregar a estatstica t de Student para testar a signicncia dos coecientes

da regresso.

(4) O teste de Engle-Granger para co-integrao entre trs variveis consiste em utilizar a estatstica

e a tabela de valores crticos Dickey-Fuller nos resduos de uma regresso entre estas variveis.

Soluo

68

3.8 ANPEC 2001

3.8.1 QUESTO 10

Seja o processo auto-regressivo: yt = 1yt1 + "t. Pode-se armar que:(0) O processo estacionrio para < 1.

(1) Se = 1, o processo dito um caminho aleatrio (random walk).

(2) O estimador de mnimos quadrados ordinrios do parmetro 1 no tendencioso.

(3) A estatstica t-Student pode ser usada para testar a presena de raiz unitria.

(4) O processo pode ser escrito em uma forma alternativa como yt = yt1 + "t em que = 1 1e yt = yt yt1.

Soluo

69

3.9 ANPEC 2000

3.9.1 QUESTO 15

Considere um processo AR(1)

Yt = Yt1 + "t; "t~NID(0; 2); t = 1; 2; :::T;

em que, por hiptese, jj < 1, a no ser que seja dito o contrrio. Considere Yo xo e que t seja muitodistante da origem.

(0) A condio jj < 1 necessria para que o processo apresente mdia e varincia incondicionaisindependentes do tempo.

(1) A mdia incondicional do processo zero.

(2) A funo de autocorrelao deste processo diferente de zero para o lag1, e igual a zero para

todos os outros lags.

(3) A previso dois-passos frente dada por: E(Yt+2jYt) = (+1)+2Yt , em que Yt = fY1; Y2; :::; Ytg.(4) Se = 1, o processo ser no estacionrio.

Soluo

70

3.10 ANPEC 1999

3.10.1 QUESTO 01

Com relao aos modelos Auto - Regressivo, Mdia - Mvel e Misto, pode-se armar que:

(0) No modelo AR(1), Zt = Zt1 + at , onde E(at) = 0, E(a2t ) = 2a e Cov(at; as) = 0 se t 6= s, avarincia de Zt nita qualquer que seja o valor de .

(1) No modelo MA(1) , Zt = + at at1, onde E(at) = 0 para todo t e E(a2t ) = 2a , entoE(Zt) = e V ar(Zt) = (1 + 2)2a.

(2) O processo ARMA(p,q) (Auto-Regressivo Mdia-Mvel) pode ser escrito na forma (L)Zt =

(L) at, onde (L) = 1 1L 2L2 ::: pLp e (L) = 1 1L 2L2 ::: qLq so,respectivamente, os operadores auto-regressivo e de mdia-mvel de ordem p e q onde, LnZt = Ztn.(3) Se o processo gerador de dados pode ser escrito como (1 L)Zt = + at, ento a raiz de suaequao caracterstica ser diferente de um.

Soluo

71

3.11 ANPEC 1998

3.11.1 QUESTO 15

Com relao aos modelos Auto - Regressivo, Mdia - Mvel e Misto, pode - se armar que :

(0) No modelo Zt = Zt1 + at + at1 + 0, onde 0 uma constante e at um rudo branco, a mdiado processo ser igual a zero se 0 = 0.

(1) No modelo Auto-Regressivo de ordem p,

Zt = 1Zt1 + 2Zt2 + :::+ pZtp + at ,

se 1 1

2 :::

p= 0, o modelo no ser estacionrio.

(2) O processo ARMA(p,q) (Auto-Regressivo Mdia-Mvel) ser estacionrio e invertvel, se todas as

razes dos operadores Auto - Regressivo e de Mdia Mvel carem dentro do crculo unitrio.

(3) Se no modelo Auto-Regressivo de ordem 1, Zt = Zt1+at, onde at um rudo branco, o verdadeirovalor de igual a um, ento Zt = at + at1 + at2 + :::+ a1 , desde que Z0 = 0.

Soluo

72

Apndice A

Gabaritos

ANPEC 2008

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 V F F V V F V F F V V 25 48 15 74

1 F V F V F F V V F V F

2 V V V F F F F F F F V

3 F F A V F F V V V V F

4 F V V F V V V V F F F

ANPEC 2007

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 F V F V F F V F V V F V 03 50 30

1 V F F V V V A V F F V F

2 V V V F F F A V F F F V

3 F F V V F V V V V F V A

4 F V F F V F F F A V F F

ANPEC 2006

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 F V F V F V V V V V V 37 33 A 58

1 F V V F V F F V V F F

2 V F V F V F F F V F V

3 V F V F F V F F F V V

4 V F F V F F V V F F F

73

ANPEC 2005

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 V F V V V F V F A V F F 50 05 09

1 F F F F F V F F F V F V

2 F V V V V V V F F F F F

3 F V F F V F V V V F V V

4 V F V F F F F F V V F V

ANPEC 2004

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 F V V V F V V F F V V 98 20 90 14

1 V F V V V V F V F F F

2 F F F F V F F F F V F

3 F V F V F F V F V V F

4 F F F F F V F F F F V

ANPEC 2003

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 F F F F A F F F F F 75 40 4 25 11

1 F V F V V V F F F V

2 F V V F F F F V V V

3 V F F F V F V F F V

4 V F F V F F V V V F

ANPEC 2002

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 F F F V V V F V F V F F 20 6 50

1 F V V V F F V F F V V V

2 V F F F V V F F V F V F

3 V V V F F F V V V F F V

4 F F F F F V V F V V F F

ANPEC 2001

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 V V V V F F V F F F V V 99 2 25

1 V F V V F F F V V V F F

2 F F F F V F V V F V V V

3 V V F F V V V F F F F F

4 V V F F F F V F F V V V

74

ANPEC 200001 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 F 20 F V F V V V 32 17 F F V 13 V

1 V F F V V F F F F F V

2 F V V F F F V V V F F

3 F V F F F V V V F

4 V V V F F F V

ANPEC 199901 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 F 11 V F V V F X F F V F F F F

1 V V V V V V F F V F V V F

2 V V V V F V V V F V V F V

3 F F F F X F V V F V F V V

4 V V V F F V V

ANPEC 199801 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 V X F V V X X F F V V 25 F V V

1 V F V F F X V V V F F V F V

2 F X V V V X F V V F V F F F

3 F V V V F X F V F F V V F V

4 F V V V

ANPEC 199701 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 F V 25 V 58 V V F V V F F 48 V V

1 V V V F F V F F V V F V

2 F V F F V V V V F F F V

3 V V V F F F V F F V V F

4 F V V V F V V

ANPEC 199601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 V 97 V 22 V F 41 V F V F F F 0 V

1 V V V F F F V V V V F

2 F F F V F V F F F V F

3 F V V F F F F V V F F

4 F V V F F

5 F F V V

6 V

7 F

75

ANPEC 1995

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 23 V F V F F F F V 30 F F V V V

1 V F V F F F F V V V F F V

2 F V F F F V F V F V F F V

3 F V F V V V F F V F V V F

4 F V F F F V V V V F V

ANPEC 1994

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 X V 20 F 8 F V F 3 F X 55 X F F

1 X F F V F V V F F

2 V V V V V V F V V

3 F F F F V F F F F

4 F V F V V F

5 V

ANPEC 1993

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15

0 F F V F F 3 F F F F F F V F F

1 V V V F V V F F V F F F V V

2 V F F V F F V F F V F F V F

3 F F F V V V F V F F F F V V

4 V V V F F F F F

76

Apndice B

Programa da prova de Estatstica -ANPEC

1. Nmeros-ndices - ndices de Laspeyres e de Paasche. Propriedades ideais de umnmero ndice. Mudana de base e deacionamento de dados.

2. Probabilidade - Denio e propriedades. Variveis aleatrias discretas e con-tnuas. Funo de probabilidade e densidade de probabilidade. Distribuio con-

junta, distribuio marginais, independncia estatstica. Esperana matemtica e

varincia de uma varivel aleatria. Covarincia e coeciente de correlao.

3. Principais distribuies - Bernoulli, Binomial, Poisson, Geomtrica, Hiperge-omtrica, Uniforme, Normal, Lognormal, Qui-quadrado, t e F.

4. Principais teoremas de probabilidade - Teorema de Tchebyche. Lei dosgrandes nmeros. Teorema Central do Limite.

5. Inferncia estatstica - Estimao por ponto e por intervalo. Propriedades dese-jveis dos estimadores em pequenas e grandes amostras. Intervalo de conana e

teste de hipteses. Tipos de erro. Nvel de signicncia.

6. Anlise de Regresso - O modelo clssico de regresso linear e suas hipteses bsi-cas. Estimadores de mnimos quadrados ordinrios e suas propriedades. Intervalos

de conana e teste de hipteses. Violao das hipteses bsicas do modelo clssico

de regresso linear: testes de diagnstico e procedimentos de correo. Regresso

com variveis dummy. Modelos auto-regressivos e de defasagens distribudas.

Modelos de equaes simultneas.

7. Introduo a sries de tempo - modelos auto-regressivos, de mdia, mveis emistos. Tendncia, passeio aleatrio e razes unitrias.

77

Apndice C

Tabela Distribuio Normal Padro

Figura C.1: valores tabelados da distribuio Normal Padro

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .46410.1 .4602 .4562 .4522 .4483 .4443 .4404 .4364 .4325 .4286 .42470.2 .4207 .4168 .4129 .4090 .4052 .4013 .3974 .3936 .3897 .38590.3 .3821 .3783 .3745 .3707 .3669 .3632 .3594 .3557 .3520 .34830.4 .3446 .3409 .3372 .3336 .3300 .3264 .3228 .3192 .3156 .31210.5 .3085 .3050 .3015 .2981 .2946 .2912 .2877 .2843 .2810 .27760.6 .2743 .2709 .2676 .2643 .2611 .2578 .2546 .2514 .2483 .24510.7 .2420 .2389 .2358 .2327 .2296 .2266 .2236 .2206 .2177 .21480.8 .2119 .2090 .2061 .2033 .2005 .1977 .1949 .1922 .1894 .18670.9 .1841 .1814 .1788 .1762 .1736 .1711 .1685 .1660 .1635 .16111.0 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .13791.1 .1357 .1335 .1314 .1292 .1271 .1251 .1230 .1210 .1190 .11701.2 .1151 .1131 .1112 .1093 .1075 .1056 .1038 .1020 .1003 .09851.3 .0968 .0951 .0934 .0918 .0901 .0885 .0869 .0853 .0838 .08231.4 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0722 .0708 .0694 .06811.5 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582 .0571 .05591.6 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .04551.7 .0446 .0436 .0427 .0418 .0409 .0401 .0392 .0384 .0375 .03671.8 .0359 .0352 .0344 .0336 .0329 .0322 .0314 .0307 .0301 .02941.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .02332.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .01832.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .01432.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .01102.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .00842.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .00642.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .00482.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .00362.7 .0035 .0034 .0033 .0032 .0031 .0030 .0029 .0028 .0027 .00262.8 .0026 .0025 .0024 .0023 .0023 .0022 .0021 .0021 .0020 .00192.9 .0019 .0018 .0017 .0017 .0016 .0016 .0015 .0015 .0014 .00143.0 .001353.5 .0002334.0 .00003174.5 .000003405.0 .000000287

78