OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO1

QUESTÃO 16

A sequência x, x, x, … tem cinco termos. A soma do primeiro com o último termo

é igual a 164. O quarto termo dessa sequência é igual a:

a) 2 b) 3 c) 4 d)5 e) 6

RESOLUÇÃOCompletando essa sequência que tem cinco termos, teremos:

x, x, x, x, x

1/3 1/3 1/3 1/3

Se a soma do 1o. termo com o último termo é igual a 164, podemos escrever:

x + x = 164

= € 164x = 164 . 243 € x = 243

Assim o quarto termo dessa sequência é igual a:

x = = = 6

Resposta: E

2–––27

2–––9

2–––3

2–––243

2–––81

2–––27

2–––9

2–––3

164 . 243–––––––––

243

162x + 2x–––––––––––

243

2–––3

2––––243

2–––81

243 . 2–––––––

81

486–––––81

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Disciplina:

matemáticanota:

PARA QUEM CURSA O 9.O ANO EM 2013Prova:

desafio

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO2

QUESTÃO 17(CFS) – O mdc de dois números A e B é 2x . 33 . 54 . 7. Sendo A = 2x . 34 . 5z . 7 eB = 26 . 3y . 55 . 7, então o valor do produto x . y . z pode ser:

a) 20 b) 80 c) 60 d) 40 e) 11

RESOLUÇÃOLembrando que o mdc de dois números escritos em sua forma fatorada é dada peloproduto entre os fatores comuns, elevados aos menores expoentes, teremos:A = 2x . 34 . 5z . 7 e B = 26 . 3y . 55 . 7 e mdc (A, B) é 2x . 33 . 54 . 7, podemos concluir que:Se entre 2x e 26 temos 2x com o menor expoente, então x = 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.Se entre 34 e 3y temos 33 com o menor expoente, então y = 3.Se entre 5z e 55 temos 54 com o menor expoente, então z = 4.Desta forma, x . y . z = x . 3 . 4 = 12x que é múltiplo de 12. Dos valores apresentados60 é o único múltiplo de 12.Resposta: C

QUESTÃO 18(UFMG – ADAPTADO) – Num grupo de jovens, 25% tem estatura superior a 1,70m; 45%tem estatura entre 1,65m e 1,70m e 12 desses jovens têm estatura inferior a 1,65m. Quantosdesses jovens têm uma altura que varia entre 1,65m e 1,70m? a) menos que 8.b) entre 8 e 17.c) exatamente 18.d) exatamente 20.e) entre 20 e 25.

RESOLUÇÃOSomando-se as porcentagens que representam os jovens com estatura entre 1,65m e1,70m e com estatura superior a 1,70m, temos:25% + 45% = 70%Assim os 12 jovens com altura inferior a 1,65m correspondem a 100% – 70% = 30% dosjovens. Desta forma:Jovem Porcentagem

12 30%x 45%

= € 30x = 12 . 45 € x = € x = 18

Resposta: C

12–––x

30–––45

12 . 45–––––––

30

QUESTÃO 19Sabe-se que 5a = 2x, 5b = x2 e 5c = (2x)2. Assim, qual a expressão que representa 5a + b + c

em função de x?

a) 55x2+2x b) 6x + x2 c) 6x5 d) 8x5 e) 5x2+6x

RESOLUÇÃOResolvendo a expressão em função de x, temos que:5a+b+c = 5a . 5b . 5c = 2x . x2 . (2x)2 = 2x . x2 . 4x2 = 8x5

Resposta: D

QUESTÃO 20Numa turma de 42 alunos, um professor perguntou: “Quem torce para o Flamengo?”• 36 alunos levantaram a mão. A seguir, o professor perguntou: “Quem torce para o

Corinthians?”• 28 alunos levantaram a mão. Sabendo-se que todos os alunos dessa sala torcem para pelo

menos um desses dois times, quantos alunos dessa turma torcem tanto para o Corinthianscomo para o Flamengo?

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

RESOLUÇÃOVamos chamar de x o número de alunos que torcem para os dois times ao mesmotempo e organizar o diagrama:

A soma das quantidades representadas no gráfico nos fornece o total de alunos dasala. Assim:

x + (36 – x) + (28 – x) = 42 € x + 36 – x + 28 – x = 42 € – x + 64 = 42 € – x = 42 – 64 €€ – x = – 22 € x = 22

Nessa turma 22 alunos torcem tanto para o Corinthians como para o Flamengo.Resposta: C

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO3

QUESTÃO 21

(FUVEST-SP) – A equação + = – 1:

a) tem apenas uma raiz real.b) tem três raízes reais.c) tem duas raízes reais cuja soma é – 1.d) admite 4 como raiz.e) uma das raízes é um número primo.

RESOLUÇÃOLembrando que x2 – 1 = (x + 1) (x – 1), temos:

+ = –1€ + = –1€ = – €

€ 2 + x – 1 = – x2 + 1 € 2 + x – 1 + x2 – 1 = 0 x2 + x = 0 € x (x + 1) = 0 € x = 0 ou x + 1 = 0 € x = 0 ou x = – 1Porém x = – 1 não serve, pois anula o denominador das frações. Assim, somente x = 0é raiz.Resposta: A

QUESTÃO 22A forma fatorada de escrever a expressão algébrica resultante do produto de

���ab . ����ab – + – �, com a e b reais e positivos, é:

a) b + 1 b) (b + 1) (a – 1) c) a – 1d) (b – 1) (a + 1) e) ab (a + 1)

RESOLUÇÃOUtilizando a propriedade distributiva, obtemos:

= – ���b2 + ���a2 – ��1 = ab – b + a – 1

Fatorando, por agrupamento, o polinômio, obtemos:b (a – 1) + (a – 1) = (b + 1) (a – 1)Resposta: B

1––––––x + 1

2––––––x2 – 1

2 + (x – 1)––––––––––––(x + 1) (x – 1)

1––––––(x + 1)

2––––––––––––(x + 1) (x – 1)

1–––––x + 1

2––––––x2 – 1

1–––ab

a––b

b––a

����a2b2

���ab . ����ab – + – � = – + – = b––aa––b

1–––ab ����a2b2 ab2–––––a

a2b–––––bab–––––ab

(x + 1) (x – 1)––––––––––––(x + 1) (x – 1)

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO4

QUESTÃO 23

Qual o valor da expressão 27 – 9 ?

a) – (2 . 32 . 13) b) 32 . 5 . 7 c) 23 . 72

d) – (32 . 5 . 7) e) 2 . 32 . 13

RESOLUÇÃODecompondo 27 e 9 em fatores primos encontra 33 e 32, respectivamente.

Então, 27 – 9 = �33� – �32� = 3 – 3 = 32 – 35 = 9 – 243 = – 234

Decompondo 234 em fatores primos encontramos– 234 = – (2 . 32 . 13)Resposta: A

QUESTÃO 24Observe a figura

Seja, ––––MP //

––––AB podemos afirmar que ���� x . y é igual a:

a) 3 ��3 b) 2 ��5 c) 2 ��6 d) 2 ��3 e) 3 ��2

RESOLUÇÃOComo

––––MP //

––––AB , temos que DABC ~ DMPC (teorema fundamental da semelhança de

triângulos).Separando os triângulos, encontramos:

2––3

5––2

2––3

5––2

2––3

5––2

23 . ––

35

2 . ––2

6

A

x

M

6

CB P4 y

4

MAT-0014270-bpb

A

6 x + 6

4 + yB C

MAT-0014280-bpb

M

y

64

P C

MAT-0014281-apb

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO5

Escrevendo a proporção entre os lados homólogos, temos:

= = € = = €

€ €

Assim ���� x . y = ���� 3 . 8 = ���24 = 2 ��6Resposta: C

QUESTÃO 25Se a área de um quadrado é 48m, qual a medida do lado desse quadrado?

a) 40 ��3 cm b) 20 ���30 dm c) 4 000 ����� 3 000 mm

d) 4 000 ��3 mm e) 2 ��3 m

RESOLUÇÃOSendo � a medida, em metros, do lado do quadrado, sua área será �2 metrosquadrados. Desta forma,

�2 = 48 fi � = ± ���48 fi � = ���48, pois � > 0

Como ���48 = ���16 . ��3 = 4��3 ,

a medida do lado do quadrado é

4��3 m = 4 000 ��3 mm

Resposta: D

AB––––––MP

AC–––––MC

BC–––––PC

6–––4

x + 6–––––

6

4 + y–––––

y

4 (x + 6) = 36 € 4x = 126y = 4 (4 + y) € 2y = 16� � x = 3

y = 8

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO6

QUESTÃO 26Sabe-se que x, y e z são três números inteiros, tais que:

Podemos afirmar que é igual a:

a) duas dezenas e meia. b) duas dúzias. c) uma dezena.d) uma dúzia e meia. e) uma dúzia.

RESOLUÇÃOSe x = y e z = x + 5, então:

x + y + z = 65 fi x + x + x + 5 = 65 fi 3x + 5 = 65 fi 3x = 60 fi x = 20, y = 20 e z = 25

Assim: = = 25, equivalentes a duas dezenas e meia.

Resposta: A

QUESTÃO 27Um número real A é expresso por .

Qual é a forma de representar o número A com denominador racional?

a) 6 – ��3 b) c) 3 – ��3

d) 2 – ��3 e)

RESOLUÇÃONessa expressão, o fator racionalizante é (3 – ��3). Assim, teremos:

= = =

= = = = 2 – ��3

Resposta: D

x . z–––––

y20 . 25–––––––

20

3 – ��3––––––––3 + ��3

2 – ��3––––––––

3

6 – ��3––––––––

2

3 – ��3––––––––3 + ��3

(3 – ��3) . (3 – ��3)–––––––––––––––––(3 + ��3) . (3 – ��3)

(3 – ��3)2––––––––––32 – (��3)2

x . z––––––

y

�x = yz = x + 5x + y + z = 65

12 – 6 ��3––––––––––

6

9 – 6 ��3 + 3––––––––––––

6

32 – 2 . 3 . ��3 + (��3)2––––––––––––––––––––

9 – 3

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO7

QUESTÃO 28Para x > 0, qual é a expressão algébrica que representa a medida da hipotenusa no triânguloretângulo que segue?

a) 10x2 + 5x + 5 b) ����������� 10x2 + 5x + 10 c) ���������� 5x2 + 10x + 8

d) (5x2 + 10x + 8) e) ����������� 5x2 + 10x + 10

RESOLUÇÃOAplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

a2 = (2x + 1)2 + (x + 3)2 €

€ a2 = 4x2 + 4x + 1 + x2 + 6x + 9 €

€ a2 = 5x2 + 10x + 10 €

€ a = ± ���������� 5x2 + 10x + 10 €

€ a = ���������� 5x2 + 10x + 10 , pois a > 0

Resposta: E

QUESTÃO 29Observe a figura:

a

x + 3

2x + 1

MAT-0014282-apb

B

A

E

CD

00 11 22 33 44 55-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5-1-1

-2-2

-3-3

-4-4

x

y

11

22

33

44

55

MAT-0014283-bpb

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO8

Qual dos pontos da figura está com as coordenadas cartesianas indicadas de forma incorreta?a) A (4, 1) b) B (2, 5) c) C (3, – 2) d) D (– 1, – 2) e) E (0, 5)

RESOLUÇÃOAnalisando as coordenadas cartesianas (x, y) dos pontos indicados na figura, temos:A (4, 1) B (2, 5) C (3, –2) D (–1, –2) E (5, 0)Resposta: E

QUESTÃO 30Uma pessoa se desloca caminhando como mostra a figura:

Partindo de A, ele avança sempre da mesma maneira, caminhando 120m e girando 36° paraa esquerda. Depois de algum tempo, essa pessoa retorna ao ponto A. Se, em média, ela dá11 passos a cada 8 metros, quantos passos deu em toda trajetória?a) 1650 b) 1485 c) 1320 d) 1155 e) 990

RESOLUÇÃOAo retornar ao ponto A, a trajetória “fecha” um polígono regular cujos ângulos exter -nos medem 36°. Se a soma dos ângulos externos de qualquer polígono, independentedo número de lados, é sempre igual a 360°, esse polígono terá

= 10 lados

Dessa forma, foram percorridos 10 trechos de 120m, totalizando 120m . 10 = 1200m

Se a pessoa dá 11 passos a cada 8m, então ela deu

. 11 = 1650 passos

Resposta: A

MAT-0014287-bpb

A 120 m

120 m

120 m

36°

36°

360°–––––36°

1200m–––––––

8m

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 9.o ANO9