questÃo 16 - objetivo.br · resoluÇÃo n t. a = m ⇔ at= ⇔ t = log a ⇔ t = log a m – log a...

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OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 2. a SÉRIE 1 QUESTÃO 16 Dia 20 de julho de 2008 caiu num domingo. Três mil dias após essa data, cairá a) numa quinta-feira. b) numa sexta-feira. c) num sábado. d) num domingo. e) numa segunda-feira. RESOLUÇÃO Observando que 3 000 = 428 . 7 + 4 concluímos que daqui a 3 000 dias terão se passado 428 semanas, mais quatro dias. Assim sendo, se o dia 20/7/2008 foi um domingo, então 3 000 dias depois será uma quinta-feira. Resposta: A QUESTÃO 17 Uma empresa de suco fabrica sucos de uva e de maracujá. Para o preparo do suco de uva, utiliza-se 1 parte de suco concentrado para 5 partes de água. Já para o preparo do suco de maracujá, utiliza-se 2 partes de suco concentrado para 7 partes de água. Queremos preparar 1 litro de suco de uva e 1 litro de suco de maracujá, para tanto, precisamos de A m de suco concentrado de uva e B m de suco concentrado de maracujá. Quanto vale a razão ? a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO I) A quantidade de suco concentrado de uva é de 1 = . 1 000 m Assim: A = . 1000 II) A quantidade de suco concentrado de maracujá é de 1 = . 1 000 m Assim: B = . 1000 3 000 7 4 428 A ––– B 1 –– 2 3 –– 4 2 –– 3 5 –– 7 1 –– 4 1 –– 6 1 –– 6 2 –– 9 2 –– 9 1 –– 6 2 –– 6 Colégio Nome: ____________________________________________________________________ N.º: __________ endereço: ______________________________________________________________ data: __________ Telefone:_________________ E-mail: _________________________________________________________ Disciplina: MaTeMÁTiCa nota: PARA QUEM CURSA A 2. a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2015 Prova: desafio

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Page 1: QUESTÃO 16 - objetivo.br · RESOLUÇÃO n t. a = m ⇔ at= ⇔ t = log a ⇔ t = log a m – log a n Resposta: A QUESTÃO 20 Numa certa turma, há mais que 148 pessoas, mas menos

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE1

QUESTÃO 16Dia 20 de julho de 2008 caiu num domingo. Três mil dias após essa data, cairáa) numa quinta-feira. b) numa sexta-feira.c) num sábado. d) num domingo.e) numa segunda-feira.

RESOLUÇÃO

Observando que ⇔ 3 000 = 428 . 7 + 4 concluímos que daqui a 3 000 dias

terão se passado 428 semanas, mais quatro dias. Assim sendo, se o dia 20/7/2008 foi umdomingo, então 3 000 dias depois será uma quinta-feira.Resposta: A

QUESTÃO 17Uma empresa de suco fabrica sucos de uva e de maracujá. Para o preparo do suco de uva,utiliza-se 1 parte de suco concentrado para 5 partes de água. Já para o preparo do suco demaracujá, utiliza-se 2 partes de suco concentrado para 7 partes de água. Queremos preparar1 litro de suco de uva e 1 litro de suco de maracujá, para tanto, precisamos de A m� de suco

concentrado de uva e B m� de suco concentrado de maracujá. Quanto vale a razão ?

a) b) c) d) e)

RESOLUÇÃO

I) A quantidade de suco concentrado de uva é de 1� = . 1 000 m�

Assim: A = . 1000

II) A quantidade de suco concentrado de maracujá é de 1� = . 1 000 m�

Assim: B = . 1000

3 000 74 428

A–––B

1––2

3––4

2––3

5––7

1––4

1––6

1––6

2––9

2––9

1––6

2––6

Colégio

Nome: _____________________________________________________________________ N.º: __________

endereço: ______________________________________________________________ data: __________

Telefone:_________________ E-mail: _________________________________________________________

Disciplina:

MaTeMÁTiCanota:

PARA QUEM CURSA A 2 .a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2015Prova:

desafio

Page 2: QUESTÃO 16 - objetivo.br · RESOLUÇÃO n t. a = m ⇔ at= ⇔ t = log a ⇔ t = log a m – log a n Resposta: A QUESTÃO 20 Numa certa turma, há mais que 148 pessoas, mas menos

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE2

II) = = . = =

Resposta: B

QUESTÃO 18Um ônibus de 50 lugares foi alugado para um passeio. A empresa cobrou de cada passageiroR$ 200,00 mais R$ 20,00 por lugar não ocupado. Para que a empresa tenha a maiorarrecadação possível, o número de lugares ocupados deve ser igual a:a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50

RESOLUÇÃOSe x for o número de lugares ocupados, então:1) Cada passageiro paga, em reais, 200 + (50 – x) . 20 = 1 200 – 20x2) A arrecadação, em reais, é A (x) = (1 200 – 20x) x ⇔3) O gráfico dessa função, para 0 ≤ x ≤ 50 é do tipo

e a arrecadação será máxima para x = 30.Resposta: A

QUESTÃO 19(UEPA) – No Brasil, o advento da internet com os grandes portais e os blogs não representouuma mega ruptura em termos de espaço criativo das pessoas. A verdadeira ruptura chegoujunto com as redes sociais: Orkut e Youtube no começo, e depois Twitter, e, maisrecentemente, o Facebook. Um pesquisador que investiga o comportamento de brasileirosnessas redes sociais concluiu que, ao longo de um mesmo intervalo de tempo, os acessosmensais (A) ao Youtube e ao Facebook ocorreram de acordo com as leis A(t) = m eA(t) = n.at, respec tivamente, sendo m e n inteiros positivos, com m > n e a > 1. Nessascondições, o instante t em que o número de acessos ao Youtube coincide com o número deacessos ao Facebook é:

a) t = loga m – loga n b) t = loga m + loga n c) t = n loga m – m loga n

d) t = m loga m – n loga n e) t = loga mn – n loga n

(Revista Galileu. Resolva seus problemas usando ciência. Editora Globo, jul. 2012, N.o 252. Adaptado.)

A––B

1–– . 1 0006

–––––––––––2–– . 1 0009

1––6

9––2

9–––12

3–––4

0 30 50 60

y

x

Page 3: QUESTÃO 16 - objetivo.br · RESOLUÇÃO n t. a = m ⇔ at= ⇔ t = log a ⇔ t = log a m – log a n Resposta: A QUESTÃO 20 Numa certa turma, há mais que 148 pessoas, mas menos

RESOLUÇÃO

n . at = m ⇔ at = ⇔ t = loga ⇔ t = loga m – loga n

Resposta: A

QUESTÃO 20Numa certa turma, há mais que 148 pessoas, mas menos que 168. Na tentativa de formarcom essas pessoas grupos de 4, sobram 2 pessoas e, na tentativa de formar grupos de 6 pes -soas, também sobram 2 pessoas.Podemos afirmar que o total de pessoas dessa turma é um número cuja a soma dealgarismos é:a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

RESOLUÇÃOSe n for o número de pessoas, então:

1) ⇔ ⇒ n – 2 é múltiplo de 4

2) ⇔ ⇒ n – 2 é múltiplo de 6

3) n – 2 é múltiplo de 2 . 2 . 3 = 12 ⇒ n – 2 = 12 k com k Œ �

4) 148 < n < 168 ⇔ 146 < n – 2 < 166 ⇒ 146 < 12 k < 166 ⇔ 12, ...< k < 13,... ⇔ k = 13

5) n – 2 = 12 . 13 ⇔ n – 2 = 156 ⇔ n = 158

6) A soma dos algarismos de 158 é 1 + 5 + 8 = 14Resposta: B

QUESTÃO 21Qualquer número que pode ser representado como nas figuras seguintes é chamado númerotriangular.

Seguindo esse padrão, podemos afirmar que o trigésimo número triangular é:a) 450 b) 455 c) 460 d) 465 e) 496

m––n

m�–––�n

n 42 q1

n – 2 40 q1

n – 2 60 q2

n 62 q2

(15)(10)(6)(3)(1)

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE3

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RESOLUÇÃOSe (t1, t2, t3, ..., tn, ...) for a sequência que representa o número de “retângulos” de cadatriângulo, temos:t1 = 1t2 = 1 + 2 = 3t3 = 1 + 2 + 3 = 6t4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10t5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

t30 = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 30 = . 30 = 465

Resposta: D

QUESTÃO 22Para confeccionar fichas de papelão, foi utilizada uma folha de 36 cm de largura por 51 cm decomprimento, que foi cortada em quadradinhos de maior lado possível, não ocorrendonenhuma sobra de papelão. Sabendo-se que cada quadradinho cortado representa uma fichae que foram utilizadas apenas 75% das fichas recortadas, então, o número de fichas nãoutilizadas foi: a) 204 b) 153 c) 97 d) 72 e) 51

RESOLUÇÃOI) m.d.c (36; 51) = 3

II) O maior lado dos quadradinhos é 3.

III) 36 ÷ 3 = 12 e 51 ÷ 3 = 17

IV)O número de quadradinhos é 17 . 12 = 204

V) O número de fichas não utilizadas foi 25% . 204 = 51

Resposta: E

1 + 30–––––––

2

1 2 2 2

51 36 15 6 �

15 6 3 0

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE4

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QUESTÃO 23(OBMEP) – Mônica quer dividir o mostrador de um relógio em três partes com 4 númeroscada uma usando duas retas paralelas. Ela quer também que a soma dos quatro números emcada parte seja a mesma.

Quais os números que vão aparecer em uma das partes quando Mônica conseguir o que elaquer?a) 1, 6, 7, 12b) 3, 4, 9, 10c) 12, 2, 5, 7d) 4, 5, 8, 9e) 1, 7, 8, 10

RESOLUÇÃO1) A soma dos 12 números é 1 + 2 + 3 + 6 + ... 12 = 782) A soma dos números de cada uma das três partes é 78 ÷ 3 = 263) Numa das partes, pelo menos, os quatro números são consecutivos4) Quatro números consecutivos com soma 26 só pode ser 5, 6, 7 e 85) Assim sendo, conforme mostra a figura, os números das 3 partes são:

Resposta: B

1211

10

9

8

76

5

4

3

2

112

11

10

9

8

76

5

4

3

2

1

Tentativas malsucedidas de Mônica

1, 2, 11, 12

3, 4, 9, 10

5, 6, 7, 8

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE5

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QUESTÃO 24(SPM) – Na figura estão representados cinco retângulos A, B, C, D, E, onde cada um doslados está identificado por um número natural. Estes retângulos foram colocados na posiçãoindicada por I, II, III, IV, V, sem efetuar qualquer rotação ou inversão, e de modo a que osnúmeros dos lados que se tocam sejam iguais.

Qual dos retângulos deveria ser colocado na posição I?a) A b) B c) C d) D e) E

RESOLUÇÃOOs retângulos deverão ser dispostos da seguinte forma:

Resposta: C

5

8

7 4

a)

8 0

0 2

3 95 7

b) c)

2

6

1 3

d)

1

9

4 6

e)

I II III

IV V

CA

D

B

E

C A

D B

E7 7 4 4

8

8

2

2

3 3

50 1

9

6

5

9

1

6 0

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE6

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QUESTÃO 25(OBMEP) – Colocando sinais de adição entre alguns dos algarismos do número 123456789podemos obter várias somas. Por exemplo, podemos obter 279 com quatro sinais de adição:123 + 4 + 56 + 7 + 89 = 279. Quantos sinais de adição são necessários para que se obtenhaassim o número 72?a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

RESOLUÇÃO1) A partir do 6 devemos colocar um sinal de � entre todos os algarismos, pois

89 > 72; 78 > 72 e 67 + 8 + 9 > 72. Logo: 1 2 3 4 5 6 + 7 + 8 + 9 = 72 ⇒⇒ 1 2 3 4 5 6 = 48

2) Devemos colocar um sinal de � entre o 5 e o 6 e também entre o 4 e o 5, pois56 > 48 e 45 + 6 > 48.Logo: 1 2 3 4 + 5 + 6 = 48 ⇔ 1 2 3 4 = 37

3) A única maneira de a soma ser 37 é 1 + 2 + 34.

4) Assim 1 + 2 + 34 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 72 e, portanto, usamos 7 sinais de “+”.Resposta: E

QUESTÃO 26Em um torneio de futebol, cada equipe joga uma vez com cada uma das outras. No final decada partida, o diretor do torneio dá uma ficha verde para a equipe vencedora e uma fichavermelha para a perdedora. Em caso de empate, cada uma das equipes recebe uma fichabranca. Ao final, o diretor do torneio percebeu que havia distribuído 30 fichas de cada cor.Quantas partidas foram realizadas?a) 30 b) 45 c) 60 d) 70 e) 80

RESOLUÇÃO1) As 30 fichas vermelhas e as 30 verdes correspondem a 30 partidas em que houve

vencedor e perdedor.2) As 30 fichas brancas correspondem a 15 partidas em que houve empate.3) O número total de partidas é 30 + 15 = 45.Resposta: B

?????

?????

??????

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE7

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QUESTÃO 27Todo dado cúbico padrão possui as seguintes propriedades:• Sobre suas faces estão registrados os números de 1 a 6, na forma de pontos.• A soma dos números registrados, em qualquer duas de suas faces opostas, é sempre igual a 7.

Se quatro dados cúbicos padrões forem colocados verticalmente, um sobre o outro, em cimade uma superfície plana horizontal, de forma que qualquer observador tenha conhecimentoapenas do número registrado na face horizontal superior do quarto dado, podemos afirmarque, se nessa face estiver registrado o número 5, então a soma dos números registradosnas faces horizontais não visíveis ao observador será de:a) 23b) 24c) 25d) 26e) 27

RESOLUÇÃO1) Na face inferior do último dado, está registrado o número 2, pois 2 + 5 = 7.

2) Para cada um dos outros três dados, a soma dos números registrados nas faceshorizontais é 7, pois são faces opostas do mesmo dado: a + b = 7.

3) A soma pedida é 2 + 7 + 7 + 7 = 23.

b

a

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE8

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Resposta: AQUESTÃO 28(FAMECA) – Um fertilizante tem 20% de nitrato. Sabe-se que 20% do nitrato dessefertilizante é composto por nitrogênio, e a massa do fertilizante sem nitrato não contémmatéria com nitrogênio. Considerando uma certa quantidade, em gramas, desse fertilizante,a parte do fertilizante sem nitrato corresponde a 1,52 Kg da massa total considerada. Nascondições dadas, o total de nitrogênio nesse fertilizante, em gramas, é igual a:a) 60,8 b) 95,0 c) 38,0 d) 76,0 e) 84,6

RESOLUÇÃOSe f for a quantidade total do fertilizante, então:1) A quantidade de fertilizante, em kg, sem nitrato é 80% . f = 1,52 ⇔ f = 1,92) A quantidade de nitrogênio, em kg, é 20% . 20% . 1,9 = 0,0763) 0,076 kg = 76 gResposta: D

QUESTÃO 29Raquel, Júlia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa.Sabe-se que• essas pessoas formam quatro casais; e• Carolina não é esposa de Paulo.

Em um dado momento, observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o maridode Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antônio, Paulo e Rita estão sentados, conversando.Então é correto afirmar que a esposa de Antônio éa) Carolina.b) Júlia.c) Raquel.d) Rita.e) Não é possível determinar com as informações fornecidas.

RESOLUÇÃOI) O marido de Raquel está dançando e portanto não é Fernando, nem Antônio, nem

Paulo. Um dos casais é, pois, Raquel e Gustavo.II) A esposa de Fernando não é Raquel, definitivamente, nem Carolina, nem Rita, pois

estas duas estão sentadas. O segundo casal é, pois, Júlia e Fernando.III) Carolina não é esposa do Paulo e, portanto, os dois últimos casais são: Rita e Paulo,

Carolina e Antônio.Resposta: A

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE9

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QUESTÃO 30Um comerciante mede valores inteiros (em kg) da massa de algumas mercadorias. Para isso,ele possui uma balança de dois pratos (A e B) e vários “pesos” de massas 5 kg ou 7 kg. Umproduto a ser medido, cuja massa é 9 kg, é colocado no prato A. Para que se efetue a medidada massa do produto, pesos de 5 kg e/ou 7 kg podem ser colocados em cada um dos pratosA e B. Sabendo-se que, nessa pesagem, foram utilizados m pesos de 5 kg e n pesos de 7 kg, qualo menor valor da soma m + n?a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

RESOLUÇÃOI) 5m + 9 = 7n ou 5m = 7n + 9

II) Se 5m + 9 = 7n então m =

O menor valor de n para que Œ � é 2. Para n = 2, temos m = = = 1

Se m = 1 e n = 2, então m + n = 3

III) Se 5m = 7n + 9, então m =

O menor valor de n para que Œ � é 3. Para n = 3, temos m = = 6

Se m = 6 e n = 3, então m + n = 9

IV)O menor valor da soma m + n é 3

Resposta: C

7 . n – 9––––––––

5

7n – 9––––––

57 . 2 – 9––––––––

55–––5

7n + 9––––––

5

7n + 9––––––

57 . 3 + 9––––––––

5

OBJETIVO MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE10