Questo 1

Resolva a equao modular|3x 1| = |2x + 6|.

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Questo 2

Determine quais nmeros compem o conjunto soluo da equao modular a seguir:

|4x + 3| = 3x + 7

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Questo 3

Encontre o conjunto soluo da equao modular|x + 1| + |2x 1| = 3.

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Questo 4

(PUC SP)O conjunto soluoSda equao|2x 1| = x 1:

a) S = {0,2/3}

b) S = {0,1/3}

c) S =

d) S = {0, 1}

e) S = {0,4/3}

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Questo 5

(UEPA)O conjunto soluo da equao|x| 2|x| 3 = 0 igual a:

a) S = { 1, 3}

b) S = { 3, 3}

c) S = { 1, 1}

d) S = { 3, 1}

e) S = {1, 3}

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Questo 6

(Mackenzie SP)A soma dos valores dexque satisfazem a igualdade|x x 2| = 2x + 2:

a) 1

b) 3

c) 2

d) 2

e) 3

Respostas

Resposta Questo 1

Para resolver a equao modular proposta, precisamos nos lembrar da seguinte propriedade:

De acordo com essa propriedade, podemos montar as duas seguintes equaes:

3x 1 = 2x + 63x 2x = 6 + 1x = 7

3x 1 = (2x + 6)3x 1 = 2x 63x + 2x = 6 + 15x = 5x = 1

Temos ento o seguinte conjunto soluo:S = { 1, 7}.

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Resposta Questo 2

A propriedade bsica de mdulo afirma que. Sendo assim, temos duas resolues possveis para essa equao modular:

4x + 3 = 3x + 74x + 3x = 7 37x = 4x =4 7

4x + 3 = ( 3x + 7)4x + 3 = 3x 74x 3x = 7 3x = 10

Portanto, o conjunto soluo da equao dado porS = { 10,4/7}.

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Resposta Questo 3

Para resolver essa equao modular, dividiremos a anlise dos mdulos em etapas:

I) |x + 1|

|x + 1| = x + 1, sex + 1 0x + 1 0x 1

|x + 1| = x + 1, se x 1

|x + 1| = (x + 1), sex + 1 < 0x + 1 < 0x < 1

|x + 1| = x 1, se x < 1

II) |2x 1|

|2x 1| = 2x 1, se2x 1 02x 1 0x

|2x 1| = 2x 1, se x

|2x 1| = (2x 1), se2x 1 < 02x 1 < 0x <

|2x 1| = 2x + 1, se x <

Observe no quadro a seguir como se comportam as solues:

Faremos agora o estudo de cada caso:

3x = 3x =3 3x' = 1

x + 2 = 3x = 3 2x'' = 1

3x = 3x =3 3x'' = 1

Vamos substituir os valores encontrados (x' = 1ex'' = 1)na equao:

|x + 1| + |2x 1| = 3| 1 + 1| + |2.( 1) 1| = 30 + | 2 1| = 3| 3| = 33 = 3A igualdade verdadeira!

|x + 1| + |2x 1| = 3|1 + 1| + |2.1 1| = 3|2| + |2 1| = 3|2| + |1| = 32 + 1 = 33 = 3A igualdade verdadeira!

Portanto,o conjunto soluo dessa equao S = { 1, 1}.

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Resposta Questo 4

Como o mdulo|2x 1|no pode ser negativo, precisamos quex 1seja maior ou igual a zero.

x 1 0x 1

Resolvendo a equao modular|2x 1| = x 1,podemos estabelecer outras duas igualdades:

2x 1 = x 12x x = 1 + 1x = 0

2x 1 = (x 1)2x 1 = x + 12x + x = 1 + 13x = 2x =2/3

Portanto, o conjunto soluo seriaS = {0,2/3}, mas pela condio inicial, vimos quex 1e os dois valores da soluo so menores do que1. Portanto, a soluo correta S = ,e a alternativa que indica a resposta adequada aletra c.

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Resposta Questo 5

Para resolver equaes modulares quadradas, o ideal substituir o mdulo da varivel por uma incgnita qualquer. Sendo assim, faremos|x| = y, comy0, pois o mdulo no pode ser negativo. Chegaremos seguinte equao do 2 grau:

y 2y 3 = 0

Para resolver essa equao, utilizaremos a frmula de Bhaskara:

= ( 2) 4.1.( 3) = 4 + 12 = 16

y =( 2) 16 2.1

y =2 4 2

y' =2 + 4=6= 3 2 2

y'' =2 4= 2= 12 2

Encontramos dois valores paray:y' = 3ey'' = 1. Mas comoy0,a soluo adequada apenasy' = 3. Voltemos agora equao modular|x| = y. Se, ento|x| = 3 x' = 3ex'' = 3.

O conjunto soluo correto o indicado na alternativab.

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Resposta Questo 6

Sabendo que o mdulo|x x 2|no pode ser negativo, temos a condio inicial de que2x + 2deve ser maior ou igual a zero. Logo:

2x + 2 02x 2x 2 2x 1

Resolvendo a equao modular|x x 2| = 2x + 2,podemos criar duas equaes do 2 grau, que resolveremos atravs da frmula de Bhaskara:

x x 2 = 2x + 2x x 2x 2 2 = 0x 3x 4 = 0

= ( 3) 4.1.( 4) = 9 + 16 = 25

x= ( 3) 25 2.1

x =3 5 2

x' =3 + 5=8= 4 2 2

x'' =3 5= 2= 12 2

x x 2 = (2x + 2)x x 2 = 2x 2x x + 2x 2 + 2 = 0x + x = 0

= 1 4.1.0 = 1

x = 1 1 2.1

x = 1 1 2

x' = 1 + 1=0= 0 2 2

x'' = 1 1= 2= 12 2

Portanto, o conjunto soluo S = { 1, 0, 4}. Todos os valores encontrados pertencem soluo, pois a condio inicial estabelece quex 1. No entanto, o enunciado pede o valor da soma dos valores dex, logo, 1 + 0 + 4 = 3. Sendo assim, a alternativa correta a letrab.