Da Série: Jogos Para O Pensamento Geométrico

Quebra Cabeças do Tipo Dissecar e Montar Por Aury de Sá Leite, Prof. Dr.

Estes são quebra-cabeças de um tipo muitíssimo

diferentes dos tangrans apresentados no JGEOM#14 e

JGEOM#15. Os tangrans têm por objetivo a

composição de figuras mais ou menos semelhantes a

objetos, pessoas etc. Neste novo tipo de quebra-cabeça,

uma figura ao ser dissecada deverá permitir a

montagem exata de outra figura, como no caso de uma

cruz que dissecada, deve poder ser remontada como um

retângulo ou um quadrado, por exemplo.

20.1.- Introdução

Estes são um tipo de quebra-cabeças que na língua inglesa se chama ‘Dissecion Puzzle1’,

expressão que não possui uma tradução correspondente para o português. Nós vamos denominá-los

quebra-cabeças do tipo ‘Dissecar e monta’. Recorrendo à definição em inglês que está no rodapé

desta página, podemos reescrevê-la, agora em portugues:

“O quebra-cabeça do tipo dissecar e montar: é um quebra-cabeça em que,

se fazendo um número finito de cortes num dado objeto ele deve ser convertido em

outro ou em outros. Os cortes estão muitas vezes, mas nem sempre, restrito a

linhas retas. Por vezes, um quebra-cabeças é dado já com as peças pré-cortadas

para ser remontado formando duas ou mais formas previamente estabelecidas”.

Nestes quebra-cabeças está envolvido um conceito geométrico muito importante, a

dissecção. O que estamos denominando dissecar e montar é um método bastante utilizado quando

se deseja provar a validade das fórmulas para o cálculo de áreas de diversas figuras geométricas.

Normalmente, é a partir do estabelecimento axiomático da fórmula da área do retângulo que pode

1 Dissection Puzzle is a puzzle in which one object is to be converted to another by making a finite number of cuts and reassembling it. The cuts are often, but not always, restricted to straight lines. Sometimes, a given puzzle is precut and is to be re-assembled into two or more given shapes.

calcular as áreas de maioria das figuras geométricas notáveis (este assunto será abordado na Parte B

deste Volume que é denominado: ‘60 Jogos Para o Pensamento Geométrico’).

20.2. – Disseque uma Cruz e Monte um Retângulo

Este é um quebra-cabeça do tipo ‘dissecar e montar’ dos mais simples e será o nosso

primeiro exemplo.

A cruz apresentada a seguir é denominada cruz grega.

20.2.1.- Um Primeiro Jogo Para o Pensamento Geométrico

Queremos recortar esta cruz de tal forma que as peças assim conseguidas permitam a

construção de um retângulo de área equivalente à área da cruz.

• Vamos primeiramente propor que o quadrado central da cruz seja dividido em 4 quadrados

menores, como na figura a seguir.

‘

• Para destacar melhor as peças que queremos ver recortadas vamos colori-las duas-a-duas:

duas verdes e duas na cor laranja.

•

• Note que agora podemos recortar na cruz, 4 figuras geométricas planas com áreas

exatamente iguais entre si.

• No entanto como precisaremos usar duas destas peças diretamente e o verso das outras

duas para formarmos o retângulo, o melhor será manter o quebra-cabeça na cor branca,

tanto na frente como no verso, para que possamos utilizar a frente ou o verso das peças

indiferentemente.

• Retomada a cor: branca, vamos considerar que cada uma das peças tenha 5 unidades de

área cada uma, o que nos daria uma área total de 20 unidades de área.

\\\\\

• Veja duas das peças alocadas no quadriculado, depois livres, e em seguida o retângulo já

montado. E aproveite para verificar que as peças são posicionadas duas-a-duas da mesma

forma, de duas delas são utilizadas as faces e de duas outras iremos utilizar o verso.

utilizadas

20.2.2. – Um segundo Jogo Para o Pensamento Geométrico

Com as peças já recortadas da cruz grega, permitam a construção de um quadrado cuja área

seja maior do que a área da cruz, deixando no centro do quadrado um espaço livre com a área

equivalente a 5 quadrículas.

• A solução para este problema nos leva a um cálculo de área. A cruz tem 20 unidades de

área (20 quadrículas) e mais 5 unidades correspondentes ao espaço vazio, a ser localizada

obviamente no centro do quadrado. Temos assim, um quadrado com 25 unidades de área.

• Veja a seguir como o problema pode ser resolvido.

U

=

Por outro lado a construção de um quadrado de área equivalente à área da cruz nos parece

impossível enquanto tentado de maneira direta usando este tipo de dissecção da cruz.

2.2.2.1.- Repensando Este Segundo Quebra-Cabeça

Uma ideia bastante interessante, e complementar à ideia anterior, seria a de se acrescentar

mais uma peça ao conjunto das quatro peças anteriores, ao solicitar que o jogador a montasse um

quadrado. Esta forma de apresentar o quebra-cabeça eliminaria o raciocínio envolvido para se

entender o que seria o espaço vazio existente na forma anterior de se aprestar o problema.

Vejamos a seguir outra proposta de dissecção para a cruz grega.

20.3.- Disseque uma Cruz e Monte um Quadrado

Vamos estudar o problema: O quadrado a ser gerado deve ter a uma área equivalente à área

dos cinco quadrados que formam a cruz grega.

• Vamos admitir sem perda de generalidades que a nossa cruz grega a partir de agora,

não mais vai ter sua área baseada na área de 20 quadriculados.

• Vamos supor simplesmente que área total da nossa cruz grega vale 5 unidades,

considerando-se assim, que cada um dos 5 quadrados que formam a cruz tenham

apenas uma unidade de medida linear para os lados. Assim sendo, tanto a cruz como

o quadrado devem ter exatamente 5 unidades de área cada um deles.

1 unidade

1 unidade

Área da Cruz: 5 unidades de superfície

• Sabendo-se que a área de um quadrado é dada por Aquadrado = 2

l , teremos ao igualar

a área da cruz à área do quadrado, onde l é a medida linear do lado do quadrado:

5 = 2

l de onde podemos tirar que: 5=l .

• Podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo amarelo mostrado na figura:

2

1 512 12=+

• A área deste triângulo é igual à área do quadrado de lado 5=l . Calcule.

• Vamos recortar o triângulo amarelo de forma a obter um trapézio e num pequeno

triângulo, que ao ser remontado produzirá o nosso quadrado de lado 5=l :

• Vamos repetir este processo de dissecção para todos os quadrados que compõem a

cruz, e perguntar: Com estas 10 peças o problema poderá ser resolvido?

• Primeiramente, vamos conferir as nossas peças obtidas pela dissecção da cruz:

5 quadrados decompostos:

• E aqui está um dos resultados:

• Você conseguirá outras formas de montar o quadrado?

20.3.1.- A Cruz, o Quadrado e Outras Figuras

Além da Cruz e do quadrado, nós podemos tentar montar outras figuras com estes 10

recortes. A seguir sugerimos algumas destas possíveis montagens, e suas respectivas soluções.

20.3.1.1.- Soluções

• Você é capaz de encontrar outras soluções além destas? E montar outras figuras

diferentes destas?

20.4.- Um Quebra-Cabeça Derivado do Anterior

Utilizando ainda os conceitos de dissecção e montagem vamos propor um conhecido

quebra-cabeça que apesar de não apresentar a versatilidade do anterior, nele é baseado.

• Ao analisarmos a figura do problema anterior (item 20.3.) o que vemos é que

poderemos propor outra forma de dissecção, como mostrada abaixo, onde ao invés de

obtermos 10 peças, iremos trabalhar agora com apenas 6 peças:

• Na verdade, o que estaremos propondo, independente do que foi afirmado acima, é o

seguinte: vamos trabalhar inicialmente com 5 triângulos retângulos congruentes entre

si, em que a medida da altura deverá ser o dobro da medida da base.

• Apenas um destes triângulos deverá ser seccionado, tomando-se como base o ponto

médio do cateto maior para se obter deste modo, um trapézio e um pequeno

triângulo:

[1] [1]

[2]

[3]

• Visto deste modo, e não baseado na figura do quebra-cabeça anterior, o problema a

ser proposto com estas 6 peças é bastante difícil de ser levado a uma solução:

Formar um quadrado com estas 6 peças.

• Veja as soluções possíveis:

• No caso do jogador não conseguir montar o quebra-cabeça proponha o seguinte

método de resolução: Calcular a área total das 6 figuras e traçar um quadrado para

conter as peças.

• Verifique se há outras figuras possíveis de serem formadas com estas 6 peças ou com

parte delas. Veja alguns exemplos de novas montagens:

o Com duas peças:

o Com três peças:

o Com quatro peças:

o Com seis peças:

o Você consegue obter outras formas geométricas identificáveis como estas

aqui mostradas?

20.4.- Todas as Peças Distintas Para Montar: Cruz x Quadrado

Nós queremos decompor a cruz grega, utilizando cortes em linha reta ou de segmentos de

reta, de tal forma que possamos remontar as suas partes formando um quadrado cuja área seja

exatamente congruente à área da cruz. No entanto, ao contrário dos problemas anteriores: queremos

que as peças da dissecção sejam totalmente distintas uma das outras.

• Em primeiro lugar, temos que determinar qual seria este quadrado. Sabemos pelos

cálculos anteriores que o quadrado terá a mesma área da cruz grega, desde que: a

medida do lado deste quadrado deve ser 5=l .

5

• Agora, pelo método de tentativa-e-erro vamos tentar bem enquadrar o quadrado e a

cruz:

5

5

• Na figura a seguir o leitor irá notar que oferecemos uma prova por dissecção de que

as áreas são exatamente as mesmas, tanto a da cruz como a do quadrado . Note que os

triângulos hachurados2 que pertenciam à cruz foram transferidos (em verde escuro)

para completarem o quadrado.

• Somente recortar a cruz, separando a porção amarela das porções verdes, não bastaria

para termos um quebra-cabeça com todas as peças distintas entre si.

• Veja que poderíamos recortar a parte amarela utilizando um corte transversal que

criasse duas porções simétricas amarelas (analise as duas primeiras figuras do

conjunto apresentado a seguir), no entanto, o mais interessante seria utilizar cortes

em que as porções amarelas fossem o mais assimétricas possível para satisfazer à

2 Hachuras: Raios que, em desenho ou gravura, produzem o efeito de sombra ou meio-tom.

exigência do problema proposto – aquele de secções distintas (veja a última das

figuras).

• As figuras a seguir constam de 6 peças: 4 triângulos e outras duas peças congruente

ou não.

• Nada impede, que conservados os 4 triângulos, cortemos a parte restante formando 4

ou 5 peças. Desta forma poderíamos ainda formar a cruz e o quadrado, mas sem as

peças não congruentes.

• Veja a seguir uma sugestão de corte que produz quatro peças distintas (coloridas:

verde-claro, amarela; azul e laranja) que permitirão formar o quadrado, mas que não

servem para formar a cruz ..., ou seja, nosso problema não foi resolvido ainda.

• Nas figuras a seguir você pode sugerir os seus cortes, com o objetivo de se obter

figuras:

20.4.1.- Buscando Uma Melhor Solução para o Problema

A figura a seguir mostra uma das formas de se seccionar a cruz grega que possibilita a

construção de um quadrado a partir destas 4 peças totalmente distintas: uma amarela, uma verde,

uma vermelha e uma azul.

5

Abra a pasta deste jogo no CD-R e imprima esta figura da cruz e monte o quadrado.

20.4.2.- As Áreas São Congruentes: Uma Prova

Na figura a seguir as figuras geométricas hachuradas foram recortadas da cruz para

podermos montar o quadrado. Esta é uma maneira de provamos, por dissecção, que a cruz grega e o

quadrado têm exatamente as mesmas áreas.

20.5.- Quebra-Cabeças com Recortes Surpreendentes

Há certos tipos de dissecção que torna a remontagem extremamente difícil, isto por que as

peças não se encaixam da maneira esperada ou aparecem em posições estranhas ou não usuais.

20.5.1.- O Quebra-Cabeça do Misterioso Hexágonocôncaco

Este é um quebra-cabeça tradicional em que as peças pré-cortadas são embaralhadas (três

triângulos retângulos isósceles, um trapézio e um hexágono côncavo – coloridos respectivamente

nas cores: amarelo, laranja e verde) são distribuídas ao jogador com a solicitação de que ele monte

uma cruz. É um Jogo difícil, pois a posição da peça laranja na elaboração da cruz ocupa uma

posição não usual, como se vê na montagem.

.

Como estamos interessados, não nos quebra-cabeças como tal, mas naquilo que eles têm de

geométrico ou matemático, mostramos abaixo a forma de se conseguir desenhar e obter as peças de

forma utilizando um papel quadriculado. Confira as medidas, e veja que o trapézio (a figura em

verde) poderia ser uma ou duas unidades mais curta ou mais longa, permanecendo ainda um

trapézio.

O leitor há de convir que se o trapézio fosse transformado num triângulo congruente aos

demais, possivelmente o problema se tornasse mais simples. É o caso de testar para comprovar ou

rejeitar a hipótese.

20.5.2.- Peças Idênticas Para Montar: Cruz x Quadrado

Este é mais um dos Quebra-Cabeças com Recortes Surpreendentes. O fato curioso fica por

conta dos seguintes fatos:

• As quatro peças do quebra-cabeça são idênticas, isto é, são congruentes;

• A maneira que teremos que dispor estas peças (seja para formar a cruz grega, ou

então, seja para formar o quadrado) é que são completamente inesperadas.

• Veja o traçado das linhas auxiliares e o trçado da peça que deverá ser reptida 4 vezes:

Serão 4 peças idênticas a esta

• Aqui estão as 4 peças do jogo:

• Aqui estão a cruz grega e o quadrado formados com as 4 peças.

• Note que a posição das peças que formam o quadrado são alocadas de forma bastante

mais inesperadas do que aquelas que formam a cruz grega.

20.5.3.- O Quebra-Cabeça dos Semicírculos Desencontrados

Tão difícil ou até mais difícil é o quebra-cabeças apresentado a seguir onde os semicírculos

em amarelo aparecem desencontrados na montagem do quadrado.

No desenho sobre o papel quadriculado o raio dos semicírculos são exatamente os mesmos,

no entanto a medida ali adotada não coincidiu necessariamente com as intersecções das quadriculas.

Outras variantes deste quebra-cabeça é aquele em que ao invés de adotarmos semicírculos,

nós os substituímos por retângulos, por triângulos, por hexágonos, etc.

2.5.2.1.- Outras Formar de desenhar este Quebra-Cabeça

Nos modelos de quebra-cabeça acima utilizamos dois semicírculos, dois retângulos que

podem formar um quadrado, dois triângulos e dois trapézios, que podem formar um hexágono

regular, mas nada impede que passemos a usar figuras distintas nos desenhos (projetos) destes

quebra-cabeças, como mostramos abaixo.

20.5.- Para Você Pensar Um Pouco Mais #01

Este é um jogo para dois jogadores.

• A seguir o leitor encontrará dois desenhos diferentes onde um quadrado foi inserido

em uma malha quadriculada: (1) com a orientação dada ao quadriculado; (2) em

diagonal e (3) uma malha quadriculada simples.

• Os jogadores devem escolher um mesmo modelo de quadrado (1), (2), ou então (3);

• Cada jogador deverá recortar o quadrado – sem que o oponente possa ver – de

formas diversas com cortes segundo as linhas da malha ou em retas apoiadas nas

intersecções das linhas da malha;

• A quantidade de peças recortadas não pode passar de sete;

• Em seguida cada um dos jogadores deve ser desafiado a remontar o quadrado cujas

peças foram recortadas pelo seu oponente.

‘

‘

‘

• Veja algumas sugestões de recortes de difícil remontagem:

• Você seria capaz de recortar este quadrado de forma que ele possa ser remontado

como um retângulo, ou mais, que ele possa ser remontado como uma cruz grega ou

não?

• Você seria capaz de recortar este quadrado de forma que ele possa ser remontado

como um retângulo, ou mais, que ele possa ser remontado como uma cruz grega ou

não?

20.8.- Para Você Pensar Um Pouco Mais #02

Dentro daquela ideia de criar quebra-cabeças com de peças recortadas de forma

surpreendente ou não usual, propomos o quebra-cabeça da letra T.

• Este é um jogo para dois jogadores. E,

• Cada jogador deverá recortar a letra T – sem que o oponente possa ver – de formas

diversas com cortes segundo as linhas da malha ou em retas apoiadas nas intersecção

da das linhas da malha.

• A quantidade de peças recortadas não pode passar de cinco;

• Em seguida cada um dos jogadores deve ser desafiado a remontar a letra T cujas

peças foram recortadas pelo seu oponente

• Veja algumas sugestões de recortes.

• Confira a escolha das cores para cada tipo de peça, em que procuramos colorir as

peças congruentes com cores exatamente iguais. Já as peças coloridas com vários

tons de verde são aquelas que parecem ser as mais difíceis de serem alocadas na

formação da letra T..

• Serie bom que o leitor verificasse se a afirmativa quanto à existência de peças mais

difíceis de serem encaixadas é mesmo válida, e isto, como sendo mais um Jogo Para

o Pensamento Geométrico.

• O leitor interessado deveria procurar criar as novas maneiras de recortar a letra T.

20.9.- Para Você Pensar Um Pouco Mais #03

O papel especial apresentado abaixo é denominado axonométrico, ele torna muito fácil a

criação do desenho das peças serem recortadas em um quebra cabeças.

Abaixo apresentamos, meramente como exemplos, três quebra-cabeças recortados sobre o

papel axonométrico.

‘’

[1] [2] [3]

As maneiras de propor a montagem dos quadrados pode ser uma das seguintes, a ser

escolhida pelo educador:

• Montar os quebra-cabeças, um de cada vez;

• Embaralhar as peças de dois dos quebra cabeças: [1] e [2]; [1] e [3]; [2] e [3], tentar

montar os dois quadrados;

• Embaralhar as peças dos três quebra cabeças e tentar montar os três quadrados.

• Utilizar o papel axonométrico para criar novos quebra-cabeças.

20.9.- Concluindo

A dissecção é um método de prova aceito em Geometria. Normalmente ela leva em conta as

áreas ou a congruência das figuras dissecadas e remontadas para se conseguir a obtenção de novas

formas, como será visto no caso do cálculo de áreas na Parte B deste volume.