Quantas cores para colorir o mapa do Brasil, sem que estados

adjacentes possuam a mesma cor?

Coloração de Grafos● Colorir vértices de forma que vértices

adjacentes possuam cores diferentes

● Relacionar a coloração de vértices com a coloração de mapa

Coloração de vértices● Se G é um grafo simples, então uma coloração

para G é uma atribuição de cores para cada vértice de forma que vértices adjacentes tenham diferentes cores

● Dizemos que G é k-colorível se podemos atribuir uma das k cores para colorir G

● O número cromático de um grafo G é o menor número de cores que é necessário para colorir G. Seja c o número cromático de G, escrevemos crom(G)=c

Coloração de vértices● Qual o número cromático dos grafos abaixo?

Coloração de vértices● Qual o número cromático dos grafos abaixo?

crom(G) = 4 crom(G) = 5

● Qual o número cromático do grafo abaixo?

w

x

y q

sv

z

u

p

tr o

w

x

y q

sv

z

u

p

tr o

w

x

y q

p

sv

zr

u

o

t

Do ponto de vista matemático, o subconjunto de vértices com uma mesma cor é considerado uma partição de vértices.

Desenhar o grafo com cores nos vértices é apenas um forma intuitiva de representar esta partição

Va = {v,z,x,r,u} Vb = {w,y,q,p,o} Vc={s,t}

w

x

y q

p

sv

zr

u

o

t

Desenhar o grafo com cores nos vértices é apenas um forma intuitiva de representar esta partição.

Va = {v,z,x,r,u} Vb = {w,y,q,p,o} Vc={s,t}

w

x

y q

p

sv

zr

u

o

t

Coloração de vértices● Está claro que crom(Kn) = n , então existem grafos

com número cromático arbitrariamente grande

crom(G) = 4crom(G) = 5

● Qual a cromaticidade de k3,3

?

● Qual a cromaticidade de k3,3

?

● Qual a cromaticidade de Cn ?

● Qual a cromaticidade do Grafo de Petersen?

● Qual a cromaticidade dos grafos de roda abaixo?

W6 W5

● Qual a cromaticidade dos grafos de roda abaixo?

● Pouco se pode dizer sobre o número cromático de um grafo arbitrário

● Se o grafo tem n vértices, então seu número cromático é <= n

● Se o grafo contém Kr (grafo completo) como

subgrafo, então o número cromático >= r

Coloração de mapasProblema das 4 cores

Surgiu historicamente em conexão com a coloração de mapas.

Dado um mapa contendo diversos países, quantas cores são necessária para colorir todos os países de forma que os países que fazem fronteira entre si possuam cores diferentes?

Cada região do mapa é representada por um vértice. As arestas ligam os vértices que representam regiões que fazem fronteira entre si.

Aplicações da Coloração

Quando uma aplicação é modelada como um problema de coloração de vértices, os vértices em cada classe de cores representam indivíduos ou itens que não competem ou conflitam entre si: Atribuição de frequências de rádio Separação de produtos explosivos Agendamento de cursos na universidade Alocação de registros para programação

Atribuição de frequências de rádio: Os vértices representam os transmissores das

estações de rádio Duas estações são adjacentes quando suas

áreas de transmissão se sobrepõem, o que resultaria em interferência se elas usassem a mesma frequência

Cada cor contém estações que podem receber a mesma frequência

crom(G) é o número mínimo de frequência

Separação de produtos explosivos: Os vértices representam produtos químicos

necessários em algum processo de produção Existe uma aresta ligando cada par de

produtos que podem explodir, se combinados O número cromático representa o número

mínimo de compartimentos para guardar estes produtos químicos em segurança

Agendamento de cursos na universidade: Os vértices representam os cursos de uma

universidade Dois cursos são adjacentes se um aluno se

matricula para ambos os cursos O número cromático representa o número

mínimo de horários necessários para acomodar os cursos

Trabalho● Desenvolva um algoritmo para a solução do

problema de coloração em vértices.