PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO PUC/SP

Lieth Maria Maziero

Quadrilteros: Construes Geomtricas com o uso de Rgua e Compasso

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA

So Paulo 2011

PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO PUC/SP

Lieth Maria Maziero

Quadrilteros: Construes Geomtricas com o uso de Rgua e Compasso

Dissertao apresentada Banca Examinadora da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo, como exigncia parcial para obteno do ttulo de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA, sob a orientao do Professor Doutor Saddo Ag Almouloud.

So Paulo 2011

Banca Examinadora

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Esse trabalho dedicado a minha me Cacilda e aos Esse trabalho dedicado a minha me Cacilda e aos Esse trabalho dedicado a minha me Cacilda e aos Esse trabalho dedicado a minha me Cacilda e aos

meus filhos Mait e Marcos Paulo por serem to meus filhos Mait e Marcos Paulo por serem to meus filhos Mait e Marcos Paulo por serem to meus filhos Mait e Marcos Paulo por serem to

especiais e por estarem do meu lado em todos os especiais e por estarem do meu lado em todos os especiais e por estarem do meu lado em todos os especiais e por estarem do meu lado em todos os

momentos, me amomentos, me amomentos, me amomentos, me apoiando com muito carinho.poiando com muito carinho.poiando com muito carinho.poiando com muito carinho.

AGRADECIMENTOS

A DEUS, por me oportunizar realizar este sonho.

Ao Professor Doutor Saddo Ag. Almouloud, pela sua orientao, por

confiar em mim, por respeitar meu tempo e me acolher em todos os

momentos

A Professora Doutora Sonia Barbosa Camargo Igliori, que tanto se

dedicou e me auxiliou, em toda trajetria,

Aos membros da banca, Professoras Doutoras Sonia Barbosa Camargo

Igliori e Ana Chiummo, pelas valiosas contribuies e sugestes para

essa pesquisa.

A colega Luciane, pelo companheirismo, presente como observadora em

todos os encontros.

A todos funcionrios do Centro de Cincias Exatas da PUC-SP, pelo

convvio durante esse tempo, especialmente ao Francisco, pela valiosa

companhia.

A todos os colegas de turma 2008 a 2010.

Ao corpo docente do programa de ps-graduao Mestrado

Profissional em Ensino de Matemtica,

Aos Professores Celina A. A. Pereira Abar, Cileda Queiroz e Silva

Coutinho, Armando Traldi, Ana Lcia Manrique, Maria Jos

Ferreira, Saddo Almouloud, Snia Pitta e Benedito Antonio da Silva.

A Professora Doutora Paulina Dambrozio que com tanta dedicao

colaborou com esse trabalho.

Aos meu pais Laerth Maziero (in memoriam) e Cacilda Capelozza

Maziero pelo incentivo para meu estudo.

Ao meu padrasto Durval Fuzzinato.

Ao meu querido esposo Dr. Douglas Ferraz de Campos Filho e meus

enteados: Paola, Nicole e Manuel.

Aos meu queridos avs Jos Capelozza (in memorian), Aurora N.

Capelozza (in memorian), Gilio Mazziero (in memorian) e Ambile

Gamba Maziero (in memorian) que tanto carinho me deram.

Ao meu irmo Laerth Maziero Junior, meu sobrinho, Luan Maziero e

sua me Vilma Keuchgueriam, minha querida Tia Zenaide Maziero,

meus tios: Neovaldo Capelozza, Dagmar, Maria Aparecida Maziero,

meus primos: Pedro, Lia, Neila, Kleber, Kelma, Tereza, Miriam e

Claudia. Em especial a minha prima Silvana Capelozza Marques e

Vicente Marques, por estarem sempre do meu lado.

A Secretaria de Educao de Piracicaba-SP, pelo investimento em

minha educao.

As minhas amigas: Denise Rafael, Marcia Coelho e Neuza Bezaggio,

que tanto apoio emocional me deram.

A todas pessoas que, de alguma forma, contriburam para realizao

deste trabalho.

Em especial para Abelzinho Pereira, por cuidar da minha filha quando

eu estava ausente.

A Autora

RESUMO

Esta pesquisa se insere no mbito das pesquisas de formao de professores, e teve como proposta a elaborao de uma sequncia didtica envolvendo construes geomtricas com rgua e compasso de quadrilteros. O trabalho objetivou responder seguinte questo de pesquisa: A utilizao de construes geomtricas com rgua e compasso favorece o desenvolvimento dos conhecimentos dos professores em Geometria? Os sujeitos de pesquisa so professores de Matemtica do Ensino Bsico. A metodologia utilizada de cunho qualitativo, mais especialmente, a pesquisa ao. Para o desenvolvimento da pesquisa apoiamo-nos nos estudos e Imbernn (2010) e Shulman (1996). A anlise dos resultados da pesquisa revelou dificuldades por parte dos professores, participantes, em relao ao uso da rgua e do compasso, assim como a articulao das diversas propriedades das figuras a serem construdas e as justificativas das construes. O produto final, resultante deste trabalho, uma sequncia de atividades para uso de professores do Ensino Bsico.

Palavras-Chave: Construes geomtricas, formao de professores, quadrilteros.

ABSTRACT

The objective of this research is to consider the professor continued formation, which background is a didactical sequence related to geometric constructions with a ruler and quadrilateral compass. The work developed intended to respond to the following research point: Is the use of geometric constructions with a ruler and a compass an instrument which favors the development of the geometry knowledge of the professors? The target public was made of primary mathematics professors. The research has a qualitative imprint, but we have especially considered the principles of the action research. For this research development we have relied on Ibermon (2010) and Shulman (1996) studies. The research results evaluation has disclosed difficulties on the part of these professors, related to the ruler and compass use, as well as the various figures properties articulation to be constructed as a way to justify such constructions. These findings are a sequence of activities to be used by primary school professors.

Word-Key: Geometric constructions, professors formation, quadrilaterals.

SUMRIO

INTRODUO .......................................................................................................... 12

CAPTULO 1 ............................................................................................................. 14 UM BREVE ESTUDO DA HISTRIA DA GEOMETRIA ...................................... 14 1.1 Aspectos da histria da geometria ................................................................. 14 1.2 Construes geomtricas .............................................................................. 17 1.3 Razo urea .................................................................................................. 19 1.4 Retngulo ureo ............................................................................................ 21

CAPTULO 2 ............................................................................................................. 26 DADOS PREPARATRIOS DA PESQUISA ....................................................... 26 2.1 A escolha do tema ......................................................................................... 26 2.2 Questo de Pesquisa ..................................................................................... 27 2.3 Estudos Preliminares ..................................................................................... 29 2.4 Os PCN .......................................................................................................... 32 2.5 Formao de Professores .............................................................................. 34 2.6 Os livros Didticos .......................................................................................... 36

CAPTULO 3 ............................................................................................................. 48 PROPOSTA DE UMA SEQUENCIA DE ATIVIDADES SOBRE CONSTRUES GEOMETRICAS .......................................................................

48 3.1 Metodologia de Pesquisa ............................................................................... 48 3.2 Procedimentos Metodolgicos ....................................................................... 50 3.3 Os Professores ............................................................................................... 51 3.4 Atividade 1 ..................................................................................................... 52 3.5 Atividade 2 ..................................................................................................... 57

CONSIDERAES FINAIS .................................................................................... 70

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ..................................................................... 74

PRODUTO FINAL .................................................................................................... 78

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Segmentos AB e CD perpendiculares ........................................................ 16 Figura 2. Uso de transferidor ...................................................................................... 18 Figura 3. Razo urea ................................................................................................ 20 Figura 4. Girassol ....................................................................................................... 21 Figura 5. Retngulo ureo .......................................................................................... 22 Figura 6. Paternon ...................................................................................................... 23 Figura 7. Espiral do Caramujo .................................................................................... 24 Figura 8. Construo da Espiral ................................................................................. 24 Figura 9. O uso dos polgonos ................................................................................... 40 Figura 10. Quadrilteros ............................................................................................. 41 Figura 11. Paralelogramos ......................................................................................... 42 Figura 12. Desafio ...................................................................................................... 42 Figura 13. Construo de paralelogramos ................................................................. 43 Figura 14. Aplicao dos Quadrilteros ..................................................................... 45 Figura 15. Resoluo de problemas .......................................................................... 45 Figura 16. Construo da Coleo 3 .......................................................................... 46 Figura 17. Construo do retngulo ........................................................................... 53 Figura 18. Construes do Retngulo com rgua e compasso ................................. 53 Figura 19. Construo do retngulo ........................................................................... 54 Figura 20. construo do retngulo com rgua e compasso ..................................... 54 Figura 21. Anlise das diagonais do retngulo .......................................................... 55 Figura 22. Retngulo .................................................................................................. 55 Figura 23. Anlise do retngulo ................................................................................. 56 Figura 24. Quadriltero irregular ................................................................................ 57 Figura 25. Soluo possvel para atividade 2 ............................................................ 58

LISTA DE QUADROS

Quadro 1. Diferenas entre o Assessor Acadmico e o Assessor Colaborativo ....... 35 Quadro 2. Anlise dos livros didticos ....................................................................... 38 Quadro 3. Anlise dos livros didticos ....................................................................... 39 Quadro 4. Tempo de Magistrio ................................................................................. 51 Quadro 5. Perfil dos professores participantes .......................................................... 59

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INTRODUO

Nossa inteno neste trabalho contribuir com a melhoria do ensino de Geometria. O interesse pelo ensino dessa rea da Matemtica antigo, e ele que nos levou a participar de um curso de formao continuada para professores. Nesse curso pudemos perceber dificuldades que alguns dos professores participantes demonstravam quando as atividades envolviam construes geomtricas. O interessante que durante nossa trajetria profissional, j havamos percebido que as construes geomtricas causavam tambm dificuldades aos nossos alunos.

No Mestrado nos reportamos a essa experincia de formao continuada de professores e elegemos como tema de pesquisa as construes geomtricas, em particular os quadrilteros. E definimos como pblico alvo os professores do Ensino Fundamental que atuam na Rede Pblica Estadual de Ensino. Estabelecemos ento como objetivo da pesquisa a contribuio com a formao de professores assim como com a prtica profissional dos mesmos.

O passo inicial desta pesquisa foi a realizao de levantamento bibliogrfico das pesquisas realizadas sobre o tema Geometria, no Programa de Educao Matemtica da PUC/SP. Desse levantamento trs trabalhos foram escolhidos como norteadores desta pesquisa: Maioli (2002), Arajo (2007) e Jesus (2008) por se aproximarem mais do enfoque escolhido por ns.

Os procedimentos metodolgicos que conduziram esta investigao so aqueles adequados metodologia da pesquisa-ao.

A proposta de construir atividades com construes geomtricas de quadrilteros que levem em conta as dificuldades referidas.

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A elaborao das atividades se fundamenta nas teorias de Duval (2003), sobre os registros de representao semitica, de Brousseau (1986), sobre a Teoria das Situaes Didticas. O estudo de Imbernn (2010) nos referencia sobre a formao de professores, um dos aspectos pretendidos.

O conjunto dessas atividades, devidamente analisado, vai se constituir o pretendido produto resultante de uma pesquisa do Mestrado Profissional. O mesmo se encontra em separado dessa dissertao.

O relatrio desta pesquisa est estruturamos em trs captulos, e o produto.

No primeiro captulo apresentamos alguns aspectos da histria da Geometria e algumas reflexes sobre as construes geomtricas, e tambm um breve estudo sobre o retngulo ureo e suas implicaes na arte e natureza.

No segundo captulo expomos os estudos preliminares para a realizao deste trabalho, o problema de pesquisa, a fundamentao terica, e uma anlise de livros didticos com foco no tema das construes geomtricas.

No captulo trs so abordados os procedimentos metodolgicos da pesquisa, a elaborao, descries, comentrios e solues possveis das atividades com as anlises a priori e a posteriori. Nesse captulo esto os resultados da aplicao das atividades, e as atividades reorganizadas em funo da anlise a posteriori.

O produto composto pelas atividades reorganizadas com explicaes que podem auxiliar os professores em sua prtica docente e contribuir com sua formao relativa a esse contedo.

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CAPTULO 1

UM BREVE ESTUDO DA HISTRIA DA GEOMETRIA

Neste captulo, apresentamos alguns aspectos da Histria da Matemtica, focada, especificamente, no contexto da Geometria, tendo em vista que temos por pressuposto que os conhecimentos histricos devem fazer parte dos conhecimentos dos professores. Tambm neste captulo tratamos de temas relacionados s construes geomtricas e exploramos algumas aplicaes do retngulo ureo.

1.1 Aspectos da Histria da Geometria

Desde o momento em que o homem adquiriu um grau razovel de civilizao, eis que comeou a interessar-se por problemas de medidas de comprimentos, de reas, etc. e, dessa forma, se viu obrigado a comparar distncias e a determinar as dimenses dos corpos que o rodeavam. Conjectura-se que tenha sido isto a origem da geometria. Por exemplo, egpcios, assrios e babilnios j conheciam as principais figuras geomtricas, bem como as noes de ngulo que usavam na medio de reas e na Astronomia. Primeiro, com uma geometria intuitiva, passando em seguida a uma geometria cientfica e desta, para o que temos na atualidade, que entre tantas outras, uma geometria demonstrativa (ARAUJO, 2007, p. 1).

O enfoque neste item o das etapas de evoluo da Geometria, sendo a primeira delas a da Geometria Subconsciente. Boyer (1974, p. 2 e 4) apresenta dados sobre essa fase dizendo que:

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Boyer (1974, p. 4) afirma que:

Herdoto e Aristteles no quiseram se arriscar a propor origens mais antigas que a civilizao egpcia.... Herdoto mantinha que Geometria se originava no Egito, pois acreditava que tinha surgido da necessidade prtica de fazer novas medidas de terras aps cada inundao anual no vale do rio. Aristteles achava que a existncia no Egito de uma classe sacerdotal com lazeres que tinha conduzido ao estudo da Geometria. Podemos considerar as ideias de Herdoto e Aristteles como representando duas teorias opostas quanto s origens da Matemtica, um acreditando que a origem fosse a necessidade prtica, outro que a origem estivesse no lazer sacerdotal e ritual. O fato de os gemetras egpcios serem s vezes chamados estiradores de corda (ou agrimensores) pode ser tomado como apoio de qualquer das duas teorias, pois cordas eram indubitavelmente usadas tanto para traar as bases de templos como para realinhar demarcaes apagadas de terras. No podemos contradizer com segurana nem Herdoto nem Aristteles quanto motivao que produziu a Matemtica, mas claro que ambos subestimaram a idade do assunto.

E que:

O homem neoltico pode ter tido pouco lazer e pouca necessidade de medir terras, porm seus desenhos e figuras sugerem uma preocupao com relaes espaciais que abriu caminho para a Geometria. Seus potes, tecidos e cestas mostram exemplos de congruncia e simetria, que em essncia so partes da geometria elementar.

Em Eves (1994, p. 1) podemos encontrar outras referncias sobre essa etapa da Geometria. Para ele foi a capacidade humana de comparar formas e tamanhos que fez surgirem as primeiras consideraes sobre a Geometria. Esse autor afirma que:

Inmeras circunstncias da vida, at mesmo do homem mais primitivo, levavam a certo montante de descobertas geomtricas subconscientes. A noo de distncia foi, sem dvida, um dos primeiros conceitos geomtricos a ser desenvolvido. A necessidade de delimitar a terra levou a noo de figuras geomtricas simples, tais como retngulos, quadrados e tringulos. Outros conceitos geomtricos simples, como as noes de vertical, paralela e perpendicular, teriam sido sugeridos pela construo de muros e moradias.

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E que:

Muitas observaes do seu cotidiano devem ter levado o homem primitivo concepo de curvas, superfcies e slidos. Os exemplos de circunferncia eram numerosos entre outros o contorno do Sol e da Lua, o arco-ris, as sementes de muitas flores, o corte transversal de um tronco de rvore. [...], os crculos concntricos provocados na superfcie de um lago por uma pedra nele arremessada [...]. Corpos de homens e animais, a maioria das folhas e flores e certas conchas e cristais ilustram a ideia de simetria, [...]. Esta geometria subconsciente era empregada pelo homem primitivo para fazer ornamentos decorativos e desenhos, e provavelmente correto dizer-se que a arte primitiva preparou em grande escala o caminho para o desenvolvimento geomtrico posterior.

Em Dante, (2009, p. 197) podemos encontrar dados sobre a Geometria Demonstrativa, a Experimental, a Fsica, os quais contemplam at o incio do sculo VI a. C. Nessa etapa as figuras geomtricas eram vistas da mesma maneira que os objetos fsicos. E, alm disso, eram tomadas decises sobre propriedades e relaes entre figuras geomtricas por aparncia e por medidas aproximadas. Mas hoje sabemos que as aparncias podem nos enganar. O exemplo da Figura 1 ilustra esse fato. Questionando-se: qual segmento de reta maior: AB ou CD? Se nos guiarmos pelas aparncias nossa resposta ser CD, e, se efetuarmos uma medida, perceberemos que essa estimativa no est correta.

Figura 1. Segmentos AB e CD perpendiculares

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Para Eves,

Um novo modo de ver a Geometria surgiu na primeira metade do sculo VI a.C. Tales de Mileto 64 a.C - 550 a.C , foi um dos primeiros gregos a insistir que fatos geomtricos devem ser estabelecidos por raciocnio lgico e no por observao, experimentao, tentativa e erro. Ele foi fundador da geometria demonstrativa. Seus esforos serviram de base para o incomparvel trabalho de Euclides (300 a.C.), Os Elementos. Tales, Euclides e outros gregos elevaram a Geometria de um nvel puramente fsico para um nvel mais lgico e abstrato. Os Elementos, obra memorvel de Euclides, uma cadeia dedutiva nica de 465 proposies de lgebra geomtrica grega (EVES, 1994, p. 7).

1.2 Construes geomtricas

As construes geomtricas so at hoje de grande importncia na compreenso da Matemtica Elementar. Os problemas que se utilizam de construes geomtricas desafiam o raciocnio e exigem slido conhecimento de teoremas e propriedades da Geometria.

Por uma construo geomtrica devemos entender um problema do seguinte tipo: a partir de elementos dados ou prontamente construdos (pontos, retas, crculos, ngulos) outros elementos podem ser derivados de acordo com as regras seguintes, com base em Breidenbach & Suss (1983, p. 198-237, apud ARAUJO, p. 18).

As construes geomtricas possibilitaram questionamentos entre os matemticos, tais como: Que construes so possveis quando se utilizam apenas a rgua e compasso? E que construes so possveis se acrescentamos rgua e compasso o transferidor?

No ensino, o uso dos instrumentos indicado para resoluo de problemas de construes geomtricas. Em livro didtico encontramos indicaes para o uso do transferidor na construo do paralelogramo para medir ngulo, conforme Figura 2 (BARROSO, 2006, p. 10).

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Figura 2. Uso de transferidor

O uso do conjunto rgua, compasso e transferidor amplia a quantidade de construes que se podem realizar. Segundo Leite,

[...] a restrio de um desses instrumentos constitui um ponto de interesse central nos problemas de construes geomtricas, como o caso do que se pode construir apenas com a rgua. Nesse caso, a ausncia do compasso uma restrio real e muito significativa, sendo que o estudo sistemtico do que possvel fazer usando somente a rgua nos leva a Geometria Projetiva (LEITE, 1983, p. 3, apud ARAUJO, 2007, p. 22).

Segundo Eves, Em 1797 Mascheroni publicou Geometria Del compasso, onde mostrou que os problemas de construo podem ser resolvidos apenas por meio de compasso (1994, p. 30).

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Segundo esse autor (Eves, 1994, p. 32), um teorema provado em 1833 por Steiner diz que nas construes euclidianas no se pode abandonar totalmente o compasso, usando o compasso para traar a circunferncia e seu centro, e depois, sim, pode dispens-lo para utilizao apenas da rgua.

Toda a temtica histrica que estudamos est vinculada a importncia do conhecimento das construes geomtricas.

Em 1904, o italiano F. Severi foi muito mais alm, mostrando que suficiente dispor de um arco de circunferncia (por menor que seja) o seu centro, a fim de cumprir todas as construes euclidianas com a rgua apenas. (apud ARAUJO, 2007, p. 24).

O estudo histrico-epistemolgico da Geometria nos indica sua grande importncia para o desenvolvimento dos povos. Esse fato nos auxilia a despertar o interesse em introduzir a Histria da Geometria no seu ensino e nos motiva a aprofundarmos os conhecimentos sobre os tpicos tratados neste trabalho, como o caso dos quadrilteros e as suas construes geomtricas.

Esta pesquisa visa salientar a importncia do conhecimento das construes geomtricas. Constam tambm neste estudo textos que desenvolvem o material bsico de aplicaes das construes geomtricas no Ensino de Geometria, assim como sua Histria.

1.3 Razo urea

O estudo de razo urea iniciou-se com a Geometria. Essa razo apresenta propriedades geomtricas, aritmticas e algbricas muito interessantes.

A presena da razo urea comum em algumas figuras planas, como no retngulo ureo. nossa inteno destacar as propriedades da razo urea e resgatar algumas das propriedades dessa razo como uma proposta de orientao didtica da seguinte forma: utilizar as diversas propriedades geomtricas, aritmticas, algbricas da razo urea para estudar certas construes geomtricas.

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A seguir, apresentamos alguns dados sobre a razo urea.

Em um segmento de reta AB com medida de 1 unidade de comprimento, podemos localizar um ponto C, de tal modo que C divida AB na seguinte proporo: o segmento todo est para a parte maior, assim como a parte maior est para a parte menor. Veja Figura 3.

Figura 3. Razo urea (DANTE, 2009, p. 122).

Diante do acima exposto, a proporo ser a seguinte:

AB ACAC CB= ou ainda

1 xx 1 x=

A igualdade acima implica:

2x 1 x= , portanto, 2x x 1 0+ = (equao 1)

A soluo positiva da equao 1 5 12

. E ento

( )2 5 11 2 5 1x 5 1 25 1

+ += = =

O nmero irracional 5 12+

, que com aproximao de seis casas decimais

1,618034, conhecido como nmero de ouro ou razo de ouro ou razo urea (DANTE, 2009, p. 122).

Esta razo recebeu o nome Nmero de Ouro dos Gregos, mais especificamente do escultor grego Phidias.

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Eves (1994) indica que a seco urea foi estudada pelos gregos antes do tempo de Euclides. Alguns quadros de Leonardo da Vinci e o Prtenon grego respeitam as propores da razo urea.

Para esse autor, a natureza apresenta modelos envolvendo a razo urea. Em todos eles a razo a/b aproximadamente de 1,6. Os flsculos da margarida esto dispostos em dois conjuntos de espirais, tais como a do girassol em que a = nmero de espirais no sentido anti-horrio (aproximadamente 34), b = nmero de espirais no sentido horrio (aproximadamente 21) encontrados em vrias plantas e modelos espirais.

Figura 4. Girassol (DANTE, 2009, p. 122)

No que segue, apresentamos o retngulo ureo, e, segundo alguns autores como Corbo (2005, p. 24), o trabalho com o retngulo ureo pode auxiliar o professor na reviso, ampliao e aprofundamento em conceitos e procedimentos ligados s construes geomtricas, tais como: razo, proporo, semelhana de figuras planas e demonstraes.

1.4 Retngulo ureo

O retngulo ureo pode possibilitar a elaborao de atividades para o ensino que incentive o aprendizado das construes geomtricas. Na sequncia, apresentamos a construo do retngulo ureo, assim como aplicaes e propriedades. Esse retngulo tem, ao longo dos tempos, influenciado a arte, pois considerado perfeito, na medida em que o retngulo mais agradvel viso.

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O retngulo ureo aquele em que a razo entre o lado maior e o lado menor o nmero de ouro.

O retngulo ABDE (Figura 5) um retngulo ureo.

Figura 5. Retngulo ureo (construo prpria)

Indicando-se BD a=

BA A C xxBM 2

MC MD c

= =

=

= =

No retngulo de ouro, temos:

a 5 1a : x 1,6x 2

+= =

fato que: Leonardo da Vinci ao pintar So Jernimo, em 1843, utilizou um retngulo ureo. O mesmo aconteceu com Seurat e outros artistas. Tambm o desenho do Prtenon de Atenas (440 a.C.) se encaixa num retngulo ureo. Os antigos diziam que todo trabalho colocado dentro de um retngulo ureo, isto , dentro de um retngulo cuja razo entre o comprimento e a largura a constante phi, se sobressaa mais esteticamente (Projeto MEC - PREMEN/UNESP. 2002, p. 20).

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Figura 6. Paternon (Fonte: Dante, 2009, p. 123)

Construdo h muitas centenas de anos depois, por volta de 447 e 433 a.C., o Partenon Grego, templo representativo do sculo de Pricles contm a razo de ouro no retngulo que contm a fachada, o que revela a preocupao de realizar uma obra bela e harmoniosa. O escultor e o arquiteto encarregado da construo desse templo foi Fdias. A designao adaptada para o nmero de ouro a inicial do nome desse arquiteto a letra grega . (Disponvel em: . Acesso em: 3 mar. 2011).

Segundo Dante,

Os antigos diziam que todo trabalho colocado dentro de um retngulo ureo, isto , dentro de um retngulo cuja razo entre o comprimento e a largura a constante phi, se sobressaa mais esteticamente. Vejamos alguns casos pitorescos na natureza onde ocorre o nmero phi. Conchas, Caracis, Caranguejos e Peixes. As formas harmoniosas dos caracis foram objeto de muitos estudos que mostram como elas se abrem em espirais logartmicos caracterizadas pelas propores da seo urea. Uma tpica espiral logartmica do crescimento de uma concha mostra que cada estgio consecutivo de expanso contido por um retngulo ureo que um quadrado maior que o anterior: um padro que Jay Hambidge chamou de quadrados rodopiantes (Projeto - MEC - PREMEN/UNESP, 2002., p. 20).

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Figura 7. Espiral do Caramujo (Disponvel em: . Acesso em: 12 set. 2010).

possvel desenhar vrios retngulos de ouro um dentro do outro. E, com eles, traar uma espiral.

Para encontrar o plo da espiral traamos os segmentos AD e GB.

Figura 8. Construo da Espiral. Construo prpria

tambm chamada de equiangular, pois corta todos os raios vetores sob o mesmo ngulo; uma curva gerada por um ponto que caminha em torno de um plo. O ponto se desloca no raio vetor em progresso geomtrica, enquanto o raio polar gira em torno do plo em progresso aritmtica numa sucesso de ngulos iguais. (Disponvel em: . Acesso em: 3 mar. 2011).

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Para os gregos, o nmero de ouro representava harmonia, equilbrio e beleza. Por esse motivo, muitas construes gregas tinham como base esse nmero. Mas foi no sculo XII que o matemtico Fibonacci constatou que o nmero de ouro est presente tambm na natureza. No Renascimento, a revalorizao dos conceitos estticos gregos levou grandes artistas, como Leonardo da Vinci, a utilizar o nmero de ouro em suas pinturas (DANTE, 2009, p. 122).

Nossa proposta de acordo com os PCN (Brasil, 1998), a importncia das habilidades de visualizao, desenho, argumentao lgica para que o aluno utilize as formas e propriedades geomtricas para visualizao do mundo. Usamos da construo e verificao das obras de artes que se enquadram no retngulo ureo, bem como da anlise da natureza como o espiral de um caracol.

Alm disso, pudemos destacar a conexo entre a Matemtica e outras reas de conhecimento. Segundo os PCN, no estudo do espao e forma devem se utilizar de obras de arte, pinturas e desenhos, destacando a interdisciplinaridade entre a Matemtica e outras reas de conhecimento.

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CAPTULO 2

DADOS PREPARATRIOS DA PESQUISA

Neste captulo apresentamos a motivao para a escolha do tema de pesquisa, trabalhos que orientaram a pesquisa, estudos preliminares, referncias tericas e anlise de alguns livros.

2.1 A escolha do tema

Em nossa prtica docente ministramos aulas de Matemtica no Ensino Fundamental e Mdio, h 15 anos, e lecionamos Desenho Geomtrico em turmas de 5. a 8. sries do Ensino Fundamental. Essa experincia nos forneceu material para esta pesquisa. Alm disso, cursamos a graduao em Desenho Industrial (1984) Unesp Bauru, e nesse curso foram desenvolvidas habilidades de utilizao do compasso.

Em um curso de formao continuada para professores de Matemtica da Rede Pblica, com o tema Ensinando Matemtica por meio das Artes, tivemos a oportunidade de perceber dificuldades encontradas pelos participantes do curso ao realizarem resoluo de problemas da Geometria Plana por meio do uso de rgua e compasso.

No Programa de Mestrado do Programa de Estudos Ps-Graduados em Educao Matemtica da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo, a

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escolha do tema foi feita com clareza, pois o estudo das construes geomtricas no ensino e aprendizagem da Geometria nos instigava.

No desenvolvimento da pesquisa nos deparamos com artigos sobre o tema, alm de percebermos as vantagens de utilizao do software Cabri-Gomtre na resoluo dos problemas de construes geomtricas. Esses novos ganhos ampliaram nosso interesse em pesquisar sobre o tema Geometria, mais especificamente em construes geomtricas. Como reforo destacamos as palavras de Costa:

[...] a falta da geometria repercute seriamente em todo o estudo das cincias exatas, da arte e da tecnologia. Mas o desenho geomtrico foi afetado na sua prpria razo de ser, j que em si uma forma grfica de estudo de geometria e de suas aplicaes. Muito antes de desaparecer, como matria obrigatria no ensino do 1. grau, o desenho geomtrico j havia sido transformado numa coleo de receitas memorizadas, onde muito mal se aproveitava o mrito da prtica no manejo dos instrumentos do desenho, pois geralmente estes se reduziam regua e compasso (COSTA, 1981 p. 89-90).

2.2 Questo de Pesquisa

Os trabalhos sobre a dificuldade da resoluo de problemas da Geometria Plana por meio do uso de rgua e compasso que selecionamos no levantamento bibliogrfico so: Maioli (2002), Arajo (2007) e Jesus (2008). Nesses trabalhos os questionamentos foram:

Como trabalhar com formao de professores de forma a contribuir com saberes referentes Geometria e, ao mesmo tempo, proporcionar aprimoramento em conhecimentos didticos inerentes a este contedo? (MAIOLI, 2002, p. 12).

Em sua pesquisa, a autora apresenta exerccios de construes geomtricas elaboradas para 12 professores do Ensino Fundamental e Mdio, por meio de uma oficina composta por atividades envolvendo os quadrilteros. Aps a oficina, ela fez a institucionalizao e o estudo dos diferentes registros de representao utilizados em Geometria, levando em considerao aspectos

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importantes, como o uso de definies na construo de quadrilteros e demonstraes matemticas. Em seguida, analisou se com a oficina houve evoluo no conhecimento de conceitos de Geometria.

Maioli norteou sua pesquisa basicamente nos trabalhos de: Lorenzato (1995), Perez (1995) e Carrascosa (1996)

Lorenzato (1995 apud MAIOLI, 2002, p. 11) afirma que, presentemente, est estabelecido um crculo vicioso que envolve os docentes: a gerao que no estudou Geometria no sabe como ensin-la. E assevera, tambm, que preciso um amplo e contnuo esforo de diferentes reas educacionais para que mudanas se efetivem no atual quadro do ensino da Geometria escolar (p. 4).

Segundo Perez (1995 apud MAIOLI, 2002, p. 11), os professores participantes de sua pesquisa sustentaram que lhes faltavam contedos e metodologia adequados sobre como desenvolver o ensino de Geometria em sala de aula.

Carrascosa (1996, p. 8, apud MAIOLI, 2002, p. 11) diz que a falta de conhecimentos especficos sobre o contedo que se deseja ensinar constitui, com certeza, o primeiro e grave impedimento para que os professores possam desenvolver um ensino de qualidade.

Nesta pesquisa buscamos aprofundar alguns dados apresentados nesses estudos e buscamos responder questes deixadas em Jesus (2008).

Esse foi o contexto da delimitao do problema desta pesquisa definindo a questo: A utilizao de construes geomtricas com rgua e compasso em resolues de problemas de Geometria um instrumental que favorece o desenvolvimento dos conhecimentos dos professores em Geometria?

As observaes feitas na pesquisa de Maioli (2002), conforme explicitado anteriormente, nos levaram a focar esta pesquisa no estudo dos quadrilteros. Os estudos de Maioli (2002) colaboraram com a reflexo de nossa prpria alm de contribuir com a estruturao desta pesquisa.

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2.3 Estudos Preliminares

Para subsidiar a realizao desta pesquisa procedemos a alguns estudos preliminares sobre o ensino de desenho geomtrico. Para tanto, efetuamos um levantamento bibliogrfico junto ao Banco de Teses da Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (Capes) e em bibliotecas de universidades e no stio da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo (PUC/SP). Nessa busca, utilizamos como palavras-chave as expresses: desenho geomtrico, geometria e construes geomtricas. Dos trabalhos pesquisados selecionamos as dissertaes de mestrado de Ivanildo Baslio de Arajo, Gilson Bispo de Jesus e Marcia Maioli. Apresentamos a seguir alguns dos elementos das pesquisas desses autores que nos interessaram:

Arajo (2007) afirma que a principal inspirao para sua pesquisa surgiu a partir do contato que teve com a Geometria do compasso. Salienta, ainda, que as construes geomtricas tm sido importantes objetos de estudo nas Matemticas desde a Antiguidade.

Na primeira fase do trabalho de Arajo (2007), foram criados e aplicados trs conjuntos de atividades, sendo um deles fora do ambiente do Cabri. No segundo, por sua vez, as atividades tiveram como inspirao a Geometria do compasso.

A fase do design, sendo uma delas denominada fase emprica, compreende o desenvolvimento em que se especifica o sujeito e elabora as atividades. Segundo Balacheff (1987 apud ARAJO, 2007, p. 56), essa fase apropriada no que diz respeito passagem das provas pragmticas s conceituais, isto , seja no estgio pragmtico ou no conceitual. Interessa ao autor que o conhecimento adquirido pelos estudantes fosse objeto constante de reflexo. Balacheff (1987 apud ARAJO, 2007, p. 56) comenta, tambm, sobre as caractersticas hierrquicas que dependem da qualidade das generalizaes das provas, assim como da contextualizao do conhecimento envolvido, e identifica quatro diferentes formas de validao solidrias ao processo de ascenso.

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Para Arajo (2007, p. 57), as provas podem t os aspectos:

empirismo ingnuo tem um carter mais indutivo; assim verificam-se vrios casos e, ento, conclui-se a validade de todos eles, aceitando o fato como verdadeiro; experimento crucial no qual se escolhe um exemplo com determinadas caractersticas, com a inteno de verificar sua validade para esse caso especfico; se ela for confirmada, conclui-se seu carter geral; exemplo genrico consiste na explicao das razes que validam uma propriedade, com base na escolha de um objeto representativo de uma classe; experincia mental a etapa das construes cognitivas mais complexas, com estruturao do discurso e encadeamento do raciocnio;

Na outra fase da metodologia do design, a qual o autor chama de experimentao, ocorreram duas sesses: a primeira refere-se familiarizao das trs duplas de estudantes com o software Cabri-Gomtre, e a segunda, fase das atividades dos participantes, na qual foram analisadas as produes matemticas dos aprendizes levando-se em conta trs aspectos importantes:

a) usaram linguagem matemtica na descrio/justificativa de cada construo;

b) fizeram referncia s propriedades matemticas vistas anteriormente;

c) exploraram os recursos dinmicos do Cabri para validar as construes.

Jesus (2008) realizou um estudo com professores do Ensino Fundamental e Mdio da Rede Pblica, com a finalidade de construir o conhecimento acerca da demonstrao em Geometria, nas construes geomtricas da mediatriz de um segmento. A metodologia utilizada para a formao continuada dos professores nesse projeto a pesquisa-ao, que significa a resoluo de um problema coletivo, como forma de cooperao e participao.

A pesquisa desse autor contempla uma abordagem de experimentos com construes geomtricas. As discusses que fazem parte desse estudo so resultantes das interaes do professor-pesquisador com os estudantes.

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Jesus (2008) props a seguinte questo em seu trabalho: Uma sequncia de ensino com enfoque em construes geomtricas pode contribuir para o desenvolvimento de conhecimentos acerca da demonstrao em geometria em uma formao continuada de professores?.

Aps estudos acerca desse questionamento, o pesquisador afirma que:

Podemos enfatizar que a sequncia de atividades elaboradas, aplicadas e analisadas por ns parece ter contribudo de fato para a formao dos professores envolvidos, no que diz respeito aos conhecimentos de demonstrao em Geometria, no caso especfico da mediatriz do segmento (JESUS, 2008, p. 200).

Em seu trabalho, o autor assevera que as produes matemticas dos sujeitos investigados foram analisadas levando-se em considerao trs aspectos importantes:

Se a demonstrao pode permear, de maneira natural, o processo de construo dos conceitos matemticos;

Se os professores justificaram as construes geomtricas realizadas; Se eles puderam perceber que um registro de representao pode ter

vantagens em relao a outro.

A pesquisa indicou que a formao continuada dos professores parece ter contribudo para um melhor entendimento a respeito do que seja uma definio e uma propriedade em matemtica (JESUS, 2008, p. 200).

Ao fazer uma anlise sobre seu trabalho, Maioli (2002, p. 144) verifica que a oficina contribuiu para a formao dos professores, facilitando-lhes a aquisio de contedos e o aprimoramento de conhecimentos que os auxiliassem na elaborao de estratgias adequadas ao seu trabalho com geometria em sala de aula.

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2.4 Os PCN

Os Parmetros Curriculares Nacionais (PCN) (1999) do Ensino Mdio destacam a importncia das habilidades de visualizao, desenho, argumentao lgica e de aplicao na busca de solues para problemas, as quais podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geomtricas na representao e visualizao de partes do mundo que o cerca. Desde a anlise da natureza, como o espiral de um caracol, como podemos construir, ou a anlise das obras de artes, que utilizam o retngulo ureo, como o quadro da Monalisa.

Alm disso, fundamental que os estudos do espao e forma sejam explorados a partir de objetos do mundo fsico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, de modo que permita ao aluno estabelecer conexes entre a Matemtica e outras reas do conhecimento (PCN, 1998, p. 51).

Segundo Zuin (2002, p. 5), em todas as interfaces que a Matemtica faz com a linguagem grfica, o conhecimento de Desenho entra como ferramenta enriquecedora. Por exemplo, o estudo da Geometria Analtica fica bastante facilitado para alunos que tiveram aulas de Desenho. De acordo com os PCN,

Essas competncias so importantes na compreenso e ampliao da percepo de espao e construo de modelos para interpretar questes da Matemtica e de outras reas do conhecimento. De fato, perceber as relaes entre as representaes planas nos desenhos, mapas e na tela do computador com os objetos que lhes deram origem, conceber novas formas planas ou espaciais e suas propriedades a partir dessas representaes so essenciais para leitura do mundo atravs dos olhos das outras cincias (PCN, 1999, p. 257).

Apoiados nos resultados e indicaes de pesquisas e dos documentos oficiais que orientam o ensino brasileiro, elaboramos atividades que tm por objetivo colaborar com a formao dos professores no que se refere s situaes que envolvem construes geomtricas com compasso e rgua. Segundo os PCN,

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Os conceitos geomtricos constituem parte importante do currculo de Matemtica no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. O estudo da Geometria um campo frtil para trabalhar com situaes-problema e um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com noes geomtricas contribui para a aprendizagem de nmeros e medidas, pois estimula o aluno a observar, perceber semelhanas e diferenas, identificar regularidades etc. O trabalho com espao e forma pressupe que o professor de Matemtica explore situaes em que sejam necessrias algumas construes geomtricas com rgua e compasso, como visualizao e aplicao de propriedades das figuras, alm da construo de outras relaes. Este bloco de contedos contempla no apenas o estudo das formas, mas tambm as noes relativas a posio, localizao de figuras e deslocamentos no plano e sistemas de coordenadas (PCN, 1998, p. 51).

Ainda de acordo com os PCN:

Da mesma forma, os autores do PCN (1998) sugerem que o professor proponha atividades que, a partir da resoluo de problemas, podem levar os alunos descoberta de regularidades e propriedades numricas, geomtricas e mtricas, desenvolvendo a capacidade de perceber a existncia de elementos comuns a vrias situaes. Segundo os autores, esse trabalho pode propiciar a elaborao de conjecturas, generalizaes e dedues e, alm disso, possibilita o aperfeioamento das representaes (PCN, 1998, p. 63 apud CORBO, 2005, p. 39).

Os estudos de Maioli (2002), Jesus (2008) e Arajo (2007) revelam que os professores tm dificuldades no tocante s construes geomtricas e, em razo disso, os alunos, por no receberem os ensinamentos necessrios, apresentam a mesma dificuldade em trabalhar com essas construes. Assim, pretendemos com esta pesquisa contribuir para um trabalho cujo foco a formao de professores em geometria, utilizando atividades voltadas a construes geomtricas de quadrilteros.

Embasados nos PCN nos quais so indicados que o trabalho de espao e forma deve apresentar algumas construes geomtricas, apresentamos nesta

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dissertao uma sequncia didtica para a resoluo de problemas de construes geomtricas, confrontados com situaes do mundo real.

2.5 Formao de Professores

A formao de professores um tema relacionado a esta tese na medida em que os sujeitos de pesquisa so os professores. Assim sendo, preocupamo-nos em realizar estudos sobre os conhecimentos especficos na formao de professores. Alguns autores nos possibilitaram perceber a importncia do conhecimento especfico na formao de professores. Passamos a citar algumas consideraes feitas por eles.

A reelaborao de propostas curriculares para o ensino fundamental encontra professores despreparados para atuarem profissionalmente. Em relao ao ensino das construes geomtricas a situao mais grave. As construes geomtricas, abandonadas no ensino bsico e em cursos de licenciatura de Matemtica, por muitos anos, no se incorporaram formao bsica e /ou acadmica de diversos professores. Deste modo, como o professor quem comanda as atividades nas suas aulas, no garantido que ele trabalhe as construes geomtricas com os seus alunos. Alm disso, a transposio didtica depender da prtica pedaggica de cada professor, de sua formao, e do projeto pedaggico de cada escola, o qual elege ou relega determinados saberes. Todos estes aspectos nos indicam que as construes geomtricas no tratadas por dcadas em geometria continuaro como um saber no acessvel a todos (ZUIN, 2002, p. 7).

Imbernn (2010) sugere que o professor deve criar questes vlidas sobre sua prpria prtica e definir objetivos que tratem de responder a tais questes, baseadas em sua experincia, assim recolhendo seus prprios dados possvel que se gere um conhecimento vlido mediante a formao.

O modelo de treinamento dever mudar mediante planos institucionais, para dar espao a um modelo questionador e de desenvolvimento de projetos, no qual os professores de um contexto determinado assumam o protagonismo merecido e sejam aqueles que planejem executem e avaliem sua prpria formao (IMBERNN, 2010, p. 95).

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Segundo Imbernn, a formao deve deixar de ser um espao de atualizao e passar a ser um espao de reflexo, formao e inovao, permitindo a aprendizagem docente. Isso implica, por parte dos formadores e das polticas de formao, uma viso diferente do que seja a formao, do papel dos professores nesta, e, portanto, uma nova metodologia de trabalho com eles.

Ainda com base em Imbernn, destacamos no Quadro 1 as diferenas de formas de ensino, entre o Assessor Acadmico e o Assessor Colaborativo que nos leva a refletir sobre as prticas de ensino na formao de professores.

Quadro 1. Diferenas entre o Assessor Acadmico e o Assessor Colaborativo

Formador/Assessor Acadmico ou Especialista

Formador/ Assessor Colaborativo ou de Processo

Espera que os professores confiem em seus conhecimentos e sabedoria superiores para identificar, esclarecer e resolver seus problemas

Colabora com os professores na identificao das necessidades formadoras, no esclarecimento e na resoluo de seus problemas.

Realiza uma comunicao unidirecional, Os professores no sabem. O assessor sim. Enquanto este fala, os professores escutam e obedecem, podem perguntar, mas dificilmente questionar.

A empatia, o trabalho em grupo e a comunicao com os professores so bidirecionais e extremamente importantes para se compreender as situaes a partir de seu ponto de vista.

Entende e coordena as situaes em que se encontra, exclusivamente em termos de categorias de conhecimento especializado

A prtica profissional baseia-se em uma compreenso holstica das situaes educacionais

O juzo profissional do assessor baseia-se mais em um esteretipo intuitivo do que na reflexo das situaes reais. Sua perspectiva a nica realmente vlida.

O juzo profissional um produto da autorreflexo de todos. Este o meio de superar os juzos e as respostas estereotipadas.

As mudanas aparecem de vez em quando e podem ser planejadas. Tem sentido em uma sociedade concebida como estvel e invarivel.

A mudana social e educacional sempre possvel, embora, s vezes, seus planejamento seja bastante complicado. Tem sentido em uma sociedade dinmica, imprevisvel e baseada na mudana

Atua como fonte especialista de conhecimento pertinente.

Participa de um processo colaborativo de resoluo de situaes problemticas

A aquisio do conhecimento proposicional (saber que) e o desenvolvimento da competncia profissional so dois processos diferentes. O primeiro pode ser adquirido fora do trabalho, enquanto o segundo apenas pode ser desenvolvido a partir da experincia direta.

A aquisio do conhecimento pertinente e til no pode ser separada do desenvolvimento da competncia profissional, concebida esta como um conjunto de capacidades de atuao prtica em situaes sociais e educativas complexas e imprevisveis.

(Fonte: Imbernn - Formao continuada de professores, 2010. p. 98)

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Para Shulman (1996), uma formao de professores deve contemplar aspectos que destaquem um processo de aprender, pela experincia, os contedos matemticos.

nossa compreenso de que os conhecimentos elencados no Quadro 1, no qual se diferencia o Assessor Acadmico do Assessor Colaborativo, contribuem com a postura do formador.

Dessa forma, o formador dever considerar a diversidade dos professores participantes, buscando conhecer cada um, acreditando na capacidade de aprendizagem deles e procurar contextualizar a aprendizagem quer seja do ponto vista pessoal quanto do profissional (sala de aula) (JESUS, 2008 p. 49).

2.6 OS livros Didticos

Em virtude da importncia do material didtico no contexto do ensino-aprendizado, entendemos ser compatvel com os propsitos deste trabalho analisar nos livros didticos de que forma so abordadas as construes geomtricas em seu contedo.

Por meio da anlise de livros didticos pretendemos verificar se o resgate da Geometria e dos traados geomtricos acontece, com suas conjecturas, demonstraes, registros de representao e motivao por meio de situao-problema.

Putnoki (apud ZUIN, 2002, p. 9) autor de colees de livros didticos de Desenho Geomtrico para o Ensino Fundamental e Mdio, considera importante o ensino das construes geomtricas com as devidas pontes com a teoria que as fundamenta a Geometria. Esse autor pondera:

37

[...] no h Geometria sem Rgua e Compasso. Quando muito, h apenas meia Geometria, sem os instrumentos euclidianos. A prpria designao Desenho Geomtrico me parece inadequada. No lugar, prefiro Construes Geomtricas. Os problemas de construes so parte integrante de um bom curso de Geometria. O aprendizado das construes amplia as fronteiras do aluno e facilita muito a compreenso das propriedades geomtricas, pois permite uma espcie de concretizao. Vejo a rgua e o compasso como instrumentos que permitem experimentar. Isso, por si s, d uma outra dimenso aos conceitos e propriedades geomtricas.

Com esses pressupostos analisaremos a seguir como apresentado o tema dos quadrilteros em livros didticos.

Examinamos o volume da 5. srie (6. ano) de uma coleo de Matemtica de 5. a 8. sries do Ensino Fundamental, classificada pela comisso de avaliao do Programa Nacional do Livro Didtico PNLD (2008). A anlise est centrada na apresentao dos contedos, a fim de fazer um levantamento sobre quais momentos as construes geomtricas so propostas.

De acordo com Zuin:

Os PCN de Matemtica para o 3. e 4. ciclos do ensino fundamental enfatizam que as atividades geomtricas devem centrar-se em procedimentos de observao, representaes e construes de figuras, bem como manuseio de instrumentos de medidas que permitam aos alunos fazer conjecturas sobre algumas propriedades dessas figuras. Desse modo, o estudo do espao e das formas privilegiar a observao e a compreenso de relaes e a utilizao das noes geomtricas para resolver problemas, em detrimento da simples memorizao de fatos e de um vocabulrio especfico. Trabalhar com as construes geomtricas possibilitaria aos alunos visualizar, elaborar conjecturas, entender e fazer demonstraes. Atendendo a estas e outras recomendaes os autores dos livros didticos, cada vez mais, tentam se aproximar das mesmas, realizado modificaes em suas obras. Tudo gira em torno desses parmetros, no h como negar a sua grande influncia no mbito escolar. Nossas anlises indicam que alguns autores de livros didticos de Matemtica j incluram as construes geomtricas em suas colees (ZUIN, 2002, p. 6).

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Os livros-colees de 5. a 8. sries do Ensino Fundamental, que foram escolhidos para anlise, so aqueles utilizados na Escola Estadual em que realizamos esta pesquisa com os professores.

Os livros selecionados so os seguintes:

Quadro 2. Anlise dos livros didticos

Ttulo Autor Editora Ano

Matemtica na medida certa Marlia Centurin Jos Jakubovic (jakubo)

Scipione 2009

Projeto Ararib Juliane Matsubara Barroso Editora Moderna 2006 Tudo Matemtica Luiz Roberto Dante tica 2009

A anlise dos livros didticos foi realizada segundo alguns critrios, sendo um deles as recomendaes dos PCN, por exemplo:

O trabalho com espao e forma pressupe que o professor de Matemtica explore situaes em que sejam necessrias algumas construes geomtricas com rgua e compasso, como visualizao e aplicao de propriedades das figuras, alm da construo de outras relaes. Este bloco de contedos contempla no apenas o estudo das formas, mas tambm as noes relativas a posio, localizao de figuras e deslocamentos no plano e sistemas de coordenadas (PCN 5. A 8. SRIES, 1998, p. 51).

Na anlise dos livros didticos, utilizamos as mesmas questes propostas por Maioli. (2002, p. 36).

Assim, estabelecemos os seguintes critrios:

(CI) O autor apresenta os contedos partindo de situao-problema? (CII) O autor apresenta atividades de construes geomtricas? (CIII) As atividades permitem ao aluno fazer conjeturas? (CIV) As atividades envolvem demonstraes? (C V) O autor trabalha com diversos registros de representao?

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Acrescentaremos uma questo que de fundamental importncia para a nossa pesquisa:

(C V I) O autor faz alguma referncia ao retngulo ureo?

Quadro 3. Anlise dos livros didticos

1 2 3

CI No inicia com a situao

problema, utiliza os quadrilteros como figura

do cotidiano.

No inicio prope a resoluo do problema

com observao de figuras.

No inicio prope a resoluo do problema

com observao de quadrilteros, conforme a quantidade de lados.

CII No apresenta

construes geomtricas. Apresenta diversas

construes geomtricas, bissetriz, transporte de ngulos.

No apresenta construes geomtricas.

CIII O aluno faz diversas

conjecturas por meio das atividades.

O aluno faz diversas conjecturas por meio

das atividades.

O aluno faz diversas conjecturas por meio

das atividades.

CIV As atividades no

apresentam demonstraes.

As atividades no apresentam

demonstraes

As atividades no apresentam

demonstraes

CV O autor trabalha com diversos registros de

representao.

O autor trabalha com diversos registros de

representao.

O autor trabalha com diversos registros de

representao.

CVI O autor no faz

referncia ao retngulo ureo.

O autor no faz referncia ao retngulo

ureo

O autor faz referncia ao retngulo ureo no

9 ano.

Nas colees analisadas h nfase na apresentao dos quadrilteros com figuras do cotidiano. Passemos s colees.

COLEO 1

Na perspectiva de anlise de como o tema quadriltero abordado pudemos verificar que na coleo 1 o assunto quadrilteros tratado com o uso no cotidiano e apresenta figuras de objetos com formato de quadrilteros.

Na perspectiva de anlise confrontada com normas do PCN pode-se dizer que nessa coleo so privilegiadas a observao e a compreenso de relaes dos objetos com figuras do cotidiano. Conferir, como exemplo, a atividade

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indicada na Figura 9. O tringulo aparece na estrutura triangular submarina de extrato de petrleo, assim como os arranjos de polgonos formam mosaicos nos tapetes e a forma hexagonal nos ladrilhos.

Figura 9. O uso dos polgonos Fonte: CENTURIN, 2009, p. 69.

COLEO 2

A coleo 2 mostra que os quadrilteros so formados no entrelaamento das palhas do cesto. E, logo abaixo, j inicia o assunto com classificao dos quadrilteros.

A atividade indicada na Figura 10 demonstra que nessa coleo se privilegiam a observao e a compreenso de relaes dos objetos com figuras do cotidiano.

41

Figura 10. Quadrilteros Fonte: Projeto Ararib (BARROSO, 2006, p. 233).

Na coleo 2 o tema paralelogramo introduzido com uma situao-problema. Desse modo, o estudo do espao e formas privilegiar a observao e a compreenso de relaes e a utilizao das noes geomtricas para resolver problemas, no qual motiva o aprendizado do aluno. A atividade da Figura 12 exemplifica o que argumentamos aqui.

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Figura 11. Paralelogramos Fonte: Projeto Ararib (BARROSO, 2006, p. 235).

Na coleo 2, aps a observao do formato da peneira apresentado o seguinte desafio (Figura 13), o qual motiva o aluno a traar e a descobrir os quadrados existentes em cada figura.

Figura 12. Desafio Fonte: Projeto Ararib (BARROSO, 2006, p. 235).

Nossa proposta nesta dissertao a de salientar a importncia das construes geomtricas realizadas apenas com rgua e compasso. este o enfoque no que segue.

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Segundo os PCN, o trabalho com espao e forma pressupe que o professor de Matemtica se utilize de algumas construes geomtricas com rgua e compasso.

Como j salientamos, o uso da rgua, compasso e transferidor amplia as possibilidades de construes geomtricas. No entanto, a restrio ao uso do transferidor e o traado realizado apenas com rgua e compasso que nos interessam.

Portanto, analisemos a construo do paralelogramo da coleo 2 da Figura 15.

Figura 13. Construo de paralelogramos Fonte: Projeto Ararib (BARROSO, 2006, p. 239).

Nesse caso, efetivada a construo com os seguintes passos: Traar um segmento de reta AB, e pelo ponto A construir um ngulo de 60 com transferidor.

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Com o compasso marcar o ponto C com a ponta seca em A. Centrando a ponta seca em C traar um arco e com o compasso em B cruzar o arco. O cruzamento o ponto D (BARROSO, 2006, p. 239).

Analisemos tambm a seguinte atividade, em que se apresenta a proposta: Observe como construmos um retngulo ABCD em que sua base 4 cm e sua altura 2 cm.

1) Desenhamos um esboo 2) Construmos um ngulo de 90 com o auxlio de um transferidor o de um

esquadro. Marcamos o ponto A.

3) Centramos o compasso em B e em D e encontramos o ponto C (BARROSO, 2006, p. 239).

Nesse caso, proposto o uso do transferidor para traar os ngulos necessrios, no entanto toda a construo poderia ser realizada apenas com rgua e compasso.

COLEO 3

Na coleo 3 observamos que os quadrilteros no so introduzidos por meio de uma situao-problema, e sim mediante fotos de objetos que so encontrados com frequncia nas telas de arames, nas grades de portas, janelas, portes e vitrais.

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Figura 14. Aplicao dos Quadrilteros Fonte: Dante, 2009, p. 251.

Outra atividade faz uso da observao e motiva o aluno a classificar os quadrilteros que tm lados paralelos; os que tm dois pares de lados paralelos e os que tm s um par de lados paralelos.

Figura 15. Resoluo de problemas Fonte: Dante, 2009, p. 251.

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Na coleo 3, no livro do 9. ano abordada a construo de um retngulo ureo com o compasso, e explorada sua geometria como descreve Dante:

Figura 16. Construo da Coleo 3 Fonte: Dante, 2009, p. 123.

A geometria explorada informalmente. Inicia-se esse contedo com os slidos geomtricos, em seguida passa-se s regies planas e chega-se aos contornos (linhas fechadas), com atividades que favorecem a manipulao de embalagens, visualizao e identificao de seus elementos, bem como as diferenas e semelhanas entre essas formas. As regies planas, sua composio e decomposio so trabalhadas relacionando-as com sinais de trnsito, arte e mosaicos. As atividades so feitas por meio de dobraduras, recortes e pintura, estimulando a criatividade do aluno. O trabalho com contornos de figuras planas leva o aluno a conhecer os mais importantes: quadrado, retngulo, tringulo e circunferncia (DANTE, 2009, p. 54).

Tomando por referncia o PCN na anlise dos livros didticos, pudemos observar que apenas a coleo 2 faz uso de algumas construes geomtricas.

Nossa proposta compatvel com os PCN, pois defendemos que o trabalho com espao e forma pressupe que o professor de Matemtica utilize de algumas construes geomtricas com rgua e compasso. Por isso, a nosso ver, dever-se-ia ressaltar nos livros didticos a presena de construes geomtricas, para evidenciar a importncia delas, para que o professor, ao fazer o uso do livro didtico, pesquise, se atualize e saiba utiliz-las. Concordamos com os dizeres:

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Especificamente para o 3. ciclo 5. e 6. sries do ensino fundamental valorizado o desenvolvimento do pensamento geomtrico, sendo este possibilitado com a explorao de situaes de aprendizagem que levem o aluno a: resolver situaes-problema que envolvam figuras geomtricas planas, utilizando procedimentos de decomposio e composio, transformao, ampliao e reduo. A utilizao dos instrumentos de desenho aparece com finalidades determinadas quando se coloca que um dos aspectos que merecem ateno neste ciclo o ensino de procedimentos de construo com rgua e compasso e o uso de outros instrumentos, como esquadro, transferidor, estabelecendo-se a relao entre tais procedimentos e as propriedades geomtricas que neles esto presentes (ZUIN, 2002, p. 10).

E tambm as palavras de Maioli, quando afirma que:

Suspeitamos que, mesmo que o livro didtico atenda as recomendaes dos PCN, se o professor no tiver uma formao que lhe permita conhecer os PCN, o livro pode ser utilizado de maneira inadequada, de forma que os objetivos propostos pelos PCN, e esperados pelos autores, no sejam atingidos. Como no investigamos este fato, trata-se apenas de uma hiptese, que pode ser investigada em outras pesquisas (MAIOLI, 2002, p. 38).

No prximo captulo apresentamos os dados essenciais da pesquisa.

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CAPTULO 3

PROPOSTA DE UMA SEQUENCIA DE ATIVIDADES SOBRE CONSTRUES GEOMETRICAS

Neste captulo, descrevemos os procedimentos metodolgicos utilizados na pesquisa, a sequncia de atividades elaboradas, suas anlises prvias e a posteriori.

3.1 Metodologia de Pesquisa

O trabalho foi desenvolvido com um grupo de professores da Rede Pblica. um estudo emprico de campo, sendo feita a coleta de dados no prprio local, atravs de entrevista, observao, aplicao de questionrio.

A metodologia utilizada a de pesquisa-ao

um tipo especial de pesquisa participante, em que o pesquisador se introduz no ambiente a ser estudado no s para observ-lo e compreend-lo, mas, sobretudo para mud-lo em direes que permitam a melhoria das prticas e maior liberdade de ao e de aprendizagem dos participantes, ou seja, uma modalidade de atuao e observao centrada na reflexo-ao. Apresenta-se como transformadora, libertadora, provocando mudana de significados (FIORENTINI, 2004, p. 112)

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As informaes foram coletadas pela pesquisadora em reunies de estudo com os sujeitos da pesquisa e tambm em entrevistas individuais, quando elas se revelarem necessrias.

Uma das virtudes da pesquisa-ao a de contribuir com a anlise do aprendizado da Geometria plana, mais especificamente com o estudo de quadrilteros mediante construes geomtricas, usando rgua e compasso.

Para o desenvolvimento e anlise das atividades desta pesquisa, nos fundamentamos nos pressupostos da Engenharia Didtica.

Segundo Almouloud (2007, p. 171)

a engenharia didtica, vista como metodologia de pesquisa, caracterizada, em primeiro lugar, por um esquema experimental com base em realizaes didticas em sala de aula, isto , na construo, realizao, observao e anlise de sesses de ensino. Caracteriza-se tambm como pesquisa experimental pelo registro em que se situa e pelos modos de validao que lhe so associados: a comparao entre anlise a priori e anlise a posteriori. Tal tipo de validao uma das singularidades dessa metodologia, por ser feita internamente, sem a necessidade de aplicao de um pr-teste ou de um ps-teste.

Nesse sentido, (ARTIGUE, 1988, apud ALMOULOUD, 2007) salienta as diferentes fases da metodologia da engenharia didtica: anlises prvias, construo das situaes e anlise a priori, experimentao, anlise a posteriori e validao.

Segundo Almouloud (2007, p. 172)

Um dos objetivos das anlises prvias identificar os problemas de ensino e aprendizagem do objeto de estudo e delinear de modo fundamentado a(s) questa(es), as hipteses, os fundamentos tericos e metodolgicos das pesquisa.

Fizemos nos captulos 1 e 2, um breve levantamento histrico sobre a Geometria, e um estudo sucinto do estado da arte sobre o ensino e aprendizagem da Geometria plana por meio de construes geomtricas.

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Na construo e anlise a priori das situaes, escolhemos atividades que deveriam garantir o alcance de nossos objetivos. De acordo com Almouloud (2007, p. 173-174),

O objetivo de uma anlise a priori determinar como as escolhas efetuadas (as variveis que queremos admitir como pertinentes) permitem controlar os comportamentos dos alunos e explicar seu sentido.

Na fase de experimentao, observamos as produes dos professores e coletamos dados complementares por meio de um questionrio e entrevistas individuais. Fizemos depois uma anlise a posterior das diferentes sesses. Lembramos que,

Uma anlise a posteriori de uma sesso o conjunto de resultados que se pode tirar da explorao dos dados colhidos e que contribui para a melhoria dos conhecimentos didticos que se tm sobre as condies da transmisso do saber em jogo. (ALMOULOUD, 2007. p. 177).

3.2 Procedimentos Metodolgicos

Neste item descrevemos os procedimentos metodolgicos utilizados na pesquisa, a sequncia de atividades, as anlises prvias e as anlises a posteriori.

Os professores responderam um questionrio cujo objetivo verificar seus perfis, o tempo de trabalho, sua relao com a geometria e as construes geomtricas. Elaboramos as seguintes perguntas para este estudo:

Como foi sua formao em Geometria? Teve aulas de Geometria na faculdade? Durante o seu aprendizado de Geometria, voc aprendeu as construes fundamentais utilizando rgua e compasso? Ao ministrar suas aulas, faz uso das construes fundamentais utilizando rgua e compasso? Se a resposta for negativa, justifique sua resposta.

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Depois de respondida as perguntas, foram realizadas atividades que envolvem construes geomtricas com rgua e compasso.

Foram registrados todos os passos realizados pelos sujeitos quando da construo geomtrica de quadrilteros. Foram realizadas entrevistas estruturadas ou eventuais sobre questes que emergiram na sala dos professores. Os procedimentos basearam-se nos moldes de uma pesquisa qualitativa.

Nossa pesquisa foi desenvolvida em dois encontros com uma hora cada um, e composta por duas atividades.

3.3 Os Professores

Perfil do grupo

O grupo era constitudo por 6 professores, dos quais 2 do sexo masculino e 4 do sexo feminino. Todos com mais de 30 anos, conforme o quadro 4

Quadro 4. Tempo de Magistrio

Professores Idade Tempo de servio

Nvel que leciona Ano de concluso

Marcio 30 anos 4 anos Fundamental 2006

Silvania 50 anos 20 anos Fundamental e Mdio

1984

Lonise 54 anos 20 anos Fundamental e Mdio

1977

Maribel 59 anos 30 anos Fundamental e Mdio

1972

Dauto 42 anos 14 anos Fundamental e Mdio

1996

Lais 31anos 5 anos Fundamental e Mdio

2000

Fonte: prpria autora

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As atividades da oficina

Apresentamos as atividades que foram desenvolvidas na oficina, com os objetivos, comentrios didticos e relato dos principais fatos que ocorreram durante o desenvolvimento da mesma.

3.4 Atividade 1

a) Construa um retngulo ABED qualquer utilizando apenas lpis, compasso e rgua:

b) Construir e medir suas diagonais. Suas diagonais so congruentes? c) Demonstrar este teorema d) As diagonais de um retngulo so congruentes e cortam-se nos seus

pontos mdios? Por qu? e) Construir um paralelogramo cujas diagonais cortam-se nos seus pontos

mdios e so congruentes. ABED um retngulo? Por qu? f) Pode-se concluir que todo quadriltero que possui as diagonais

congruentes um retngulo. Justifique sua resposta.

Anlise da atividade

Os objetivos desta atividade so, de um lado, construir (com rgua e compasso) um retngulo com menor nmero de operaes possveis, e, por outro, demonstrar as propriedades do retngulo.

Queremos investigar o conhecimento dos professores a respeito da construo de um retngulo com rgua e compasso, e como lidam as propriedades desse objeto geomtrico.

Existem diversas formas de realizar a construo do retngulo, portanto, segundo Marmo (1926), devemos escolher o processo que tem o menor nmero de operaes grficas. Apresentamos a seguir as solues com a quantidade de operaes realizadas:

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Construa um retngulo ABED qualquer utilizando apenas lpis, compasso e rgua:

Soluo possvel:

1 processo

Figura 17. Construo do retngulo Construo prpria.

Traa-se por A a reta y perpendicular a reta k. Traa-se por B a reta I perpendicular a reta k. Com centro em A e raio qualquer, obtm-se o ponto D. Com centro em B e raio AD, obtm-se o ponto E.

Figura 18. Construes do Retngulo com rgua e compasso Construo da prpria autora

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2 Processo

Figura 19. Construo do retngulo Construo prpria

Traa-se um segmento AB Traa-se por A a reta b perpendicular reta a Determine na reta b ponto F. Com o centro em F e raio AB, traa-se o arco. Com o centro em B e raio AF, obtm-se o ponto G no cruzamento dos arcos. Evidentemente o 1 processo, que tem s 4 operaes, tem um custo cognitivo menor que o 2, que tem 5 operaes.

Figura 20. construo do retngulo com rgua e compasso (Construo da prpria autora)

Segundo Marmo (1926, p. 25), no fazer operaes suprfluas, mas aproveitar traos j desenhados.

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b) Construir um retngulo e medir suas diagonais. Suas diagonais so congruentes?

Figura 21. Anlise das diagonais do retngulo Construo prpria

Soluo possvel: A diagonal BD congruente diagonal AE, portanto a figura um retngulo.

c) Demonstrar este teorema

Soluo possvel: Analisando os elementos do tringulo ABE e do tringulo DEB, temos:

AB = EB (lados opostos de um retngulo) Os ngulos ABD e DEB so retos. AB = BA (lados comuns) Pelo caso LAL, temos que os tringulos ABD e DEB so congruentes. Portanto, AE = BD.

Figura 22. Retngulo (Construo prpria)

d) As diagonais de um retngulo so congruentes e cortam-se nos seus pontos mdios? Por qu?

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Soluo possvel: Considerando as propriedades demonstradas, podemos afirmar que as diagonais de um retngulo so congruentes e cortam-se nos seus pontos mdios.

e) Construir um paralelogramo cujas diagonais cortam-se ao meio e so congruentes. ABED um retngulo? Por qu?

Figura 23. Anlise do retngulo Construo prpria

Soluo possvel:

Seja O a interseco das diagonais AE e BDdo paralelogramo ABED. Como as diagonais so congruentes, os tringulos ABO e DOE so issceles e

congruentes, portanto, OAB OBA ODE OED

. Os tringulos OAD e OBE

so issceles e congruentes, portanto,

ODAOADOEB OBE . Deduz-se que

=+=+= BED)med(OEB)med(DEO)med(DBE)med(ABD)med(ABE)med( , e sabe-se

que

ADEABE e que

DEBBAD . Portanto, um

med( ABE) med(BED) med(EDA) med(DAB) 4med(DAB) 360

+ + + = = , portanto

med(DAB) 90

= ABED um paralelogramo que tem um ngulo reto, portanto um

retngulo. Podemos ento enunciar a seguinte propriedade: Um paralelogramo que suas diagonais congruentes, um retngulo.

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f) Pode-se concluir que todo quadriltero que possui as diagonais congruentes um retngulo. Justifique sua resposta.

Soluo possvel: Nem todo quadriltero que possui as diagonais congruentes um retngulo. Construmos a figura que apresenta diagonais congruentes e no um retngulo.

Figura 24. Quadriltero irregular Construo prpria

3.5 Atividade 2

Construa um retngulo ABCD qualquer utilizando apenas lpis, compasso e rgua, de modo que o lado AB tenha a medida 7 cm e o lado BC, 4 cm.

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Soluo possvel

Figura 25. Soluo possvel para atividade 2

Relato e comentrios:

O quadro 5 (conferir a numerao) apresenta o perfil do professores que participaram da pesquisa. O quadro mostra que eles no tiveram uma formao adequada em geometria. Esses professores afirmam tambm que lhes falta habilidade para lidar com situaes envolvendo construes geomtricas.

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Quadro 5. Perfil dos professores participantes

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Vemos que os professores utilizam na resoluo das duas situaes preferencialmente, a rgua como recurso de construo geomtrica do retngulo.

As construes Geomtricas do retngulo com rgua e compasso deveriam ser acompanhadas de justificativas apoiando-se nas diferentes propriedades de um retngulo. Mas de modo geral, as construes nem sempre foram acompanhadas de justificativas. A quase ausncia de justificativas demonstra as dificuldades com a argumentao e a demonstrao, assim como com a linguagem natural.

A construo com a ferramenta compasso foi usada muito precariamente. Algumas dificuldades marcantes esto relacionadas ao uso do compasso, talvez por falta de experincia no uso dessa ferramenta.

interessante notar que as professoras Denise e Maribel no apresentaram dificuldade para realizar a construo com rgua e compasso. A professora Maribel, que concluiu o curso de Licenciatura em 1972, e a professora Denise, em 1977, afirmam ter uma formao em Desenho Geomtrico, fato que parece ter tido uma impacto positivo sobre o desempenho das duas professoras.

REFLEXES E PROPOSTA DE OUTROS ENCAMINHAMENTOS

Segundo Almouloud (2007, p. 177), o objetivo de uma anlise a posteriori relacionar as observaes com os objetivos definidos a priori e estimar a reprodutibilidade e a regularidade dos fenmenos didticos identificados. Reconhecemos que as duas situaes propostas e as escolhas feitas no permitiram colher dados confiveis que permitem relacionar as observaes com os objetivos definidos nesta pesquisa. Pretendamos contribuir na formao de seis professores no que diz respeitos s construes geomtricas envolvendo quadrilteros, mas podemos afirmar que este objetivo no parece ter sido alcanado em razo da proposta e do tempo reservado a essa formao. Na anlise dos dados, tambm, no conseguimos fazer um trabalhos que articule os dados recolhidos, os objetivos da pesquisa, o referencial terico e os resultados de pesquisas sobre o mesmo tema.

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O fato elencado acima nos levou a propor outra sequencia de atividades que foca as construes geomtricas com rgua e compasso, e envolvem vrias caracterizaes de quadrilteros, mais especificamente os quadrilteros notveis (paralelogramo, retngulo, quadrado e losango). A sequncia proposta pode ser utilizada em sala de aula, bem como na formao continuada de professores. Segue nossa proposta:

Sequncia didtica para construes geomtricas de quadrilteros

Atividade 1: Construir um paralelogramo, dados trs vrtices.

Dados trs pontos do plano, A, B e C no alinhados. Construa o ponto D tal que ABCD seja um paralelogramo. Justifique sua construo.

Anlise da atividade:

O objetivo construir, usando rgua e compasso, quadrilteros que conservam suas propriedades. Obtm-se essas figuras, em geral, a partir de trs pontos livres, A, B, e C.

Podemos proceder de trs formas para construir o paralelogramo ABCD, o ponto D sendo o vrtice procurado.

a) Usando a translao de vetor BA

, por exemplo:

Como BA CD=

, ento o quadriltero ABCD um paralelogramo.

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b) Usando o paralelismo dos lados opostos Sendo os pontos A, B e C dados, construmos a reta r paralela reta AB

passando por C, e a reta s paralela reta BC

e passando por B. As retas r e t interceptam-se no ponto D procurado.

c) Usando a propriedade das diagonais de um paralelogramo Construmos a diagonal AC e seu ponto mdio O. O ponto D procurado o simtrico de B em relao ao ponto O. Como as diagonais AC e BDdo quadriltero ABCD tm mesmo ponto mdio, ento, ABCD um paralelogramo.

Atividade 2: Construir um paralelogramo ABCD, dadas as medidas de dois lados consecutivos e de uma diagonal.

Anlise da atividade

a) Com compasso e rgua Sejam m1 e m2 as medidas respectivas dos lados AB e AD. Constroem-se as circunferncias de centro D e raio m1, e de centro B e raio m2. C o ponto de interseco dessas duas circunferncias. ABCD o paralelogramo procurado

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b) Construo usando a simetria central Constri-se o ponto mdio O da diagonal BD , o ponto C, simtrico de A em relao ao ponto O. ABCD um paralelogramo, os lados AD e BC so paralelos e congruentes (pois, AD e BC so simtricos em relao ao ponto O.)

Atividade 3: construir um losango, dada a medida do lado

Descreva um procedimento que permita construir um losango, dada a

medida do lado AB . Faa a construo e justifique seu procedimento.

Anlise da situao

a) Desenhamos o segmento AB . Construmos a circunferncia de centro B e raio AB, a circunferncia de centro A e raio AB. Qualquer um dos pontos de interseo dessa circunferncia o ponto D procurado. Para construir o ponto C, basta construir o simtrico de A em relao reta BD

.

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b) Podemos proceder tambm da seguinte forma: Criamos o segmento AB e depois, construmos a circunferncia de centro B e raio AB. Escolhemos um ponto C qualquer nessa circunferncia e traamos o segmento AC . Construmos as circunferncias de centros A e C, passando por B. O ponto D o segundo ponto de interseco dessas circunferncias. Finalmente, desenhar os segmentos CD e AD.

Atividade 4: Construir um losango a partir de uma diagonal AC .

a) Crie dois pontos A e C. b) Construa uma circunferncia c de centro A e de raio a maior que AC/2. c) Construa uma circunferncia c' de mesmo raio que c e de centro C. As

circunferncias c e c' interceptam-se nos pontos B e D. A reta BD

mediatriz do segmento AC .

d) Construa o quadriltero ABCD e demonstre que ABCD um losango.

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Anlise da atividade:

Os pontos B e D so equidistantes de extremos do segmento AC , pois so pertencem mediatriz desse segmento. Portanto, AB=BC=CD=DA e as diagonais so perpendiculares. ABCD ento um losango.

Atividade 5: Construir um losango a partir de um lado e a direo de uma diagonal.

a) Crie um segmento AB e a semi-reta Am , suporte da diagonal AC . b) Construa o losango ABCD. Justifique sua construo.

Anlise da atividade:

O vrtice D o simtrico de B em relao semi-reta Am

. O vrtice C o simtrico de b em relao reta BD. ABCD losango, pois tem seus lados congruentes.

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Atividade 6: Construo de um retngulo.

a) Crie um segmento AB b) Construa a reta r, perpendicular a AB passando por A. Crie um ponto D

na reta r.

c) Construa a reta s passando por C e paralela reta AB. d) Construa a reta t passando por A e paralela reta BC. e) Construa o ponto C, interseco das retas s e t. f) O quadriltero ABCD um retngulo? Justifique sua resposta.

Anlise da atividade

ABCD paralelogramo que tm seus ngulos retos, ento um retngulo.

Atividade 7: Construo de um quadrado a partir de um lado AB .

a) Crie um segmento AB . b) Construa a reta m perpendicular ao segmento AB e passando por B. c) Construa a circunferncia c de centro B e passando por A. Nomeie de D,

uma das interseces de m e c. d) Construa as retas s e t passando por A e C, respectivamente

perpendiculares aos segmentos AB e m. Nomeie de C a interseco de s e t.

e) ABDC um quadrado de lado AB ? Justifique.

Anlise da atividade:

ABDC um retngulo que tem seus lados consecutivos congruentes, , ento, um quadrado.

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Atividade 8: Construo de um quadrado a partir de um lado e da circunferncia circunscrita.

Descreva um procedimento que permita construir um quadrado, dados um

lado AB e a circunscrita a esse quadrado. Justifique sua construo.

Anlise da atividade Mtodo de construo 1:

Criamos um segmento AB e construmos a mediatriz m de AB . A circunferncia de dimetro AB intercepta m no ponto O, que centro da circunferncia circunscrita ao quadrado. Para achar os dois outros vrtices, procede-se como segue: Pelo ponto A, construmos a reta r, perpendicular ao segmento AB . Nomeamos de D, o ponto de interseco da reta r e a circunferncia circunscrita ao quadrado. Pelo ponto B, construmos a reta s, perpendicular ao AB . Nomeamos de C, o ponto de interseco da reta s e a circunferncia circunscrita ao quadrado.

O quadriltero ABCD quadrado procurado, pois, o ponto O est igual distncia dos pontos A, B, C e D, e tem um ngulo reto

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Mtodo de construo 2:

Usando rgua e compasso, construmos a circunferncia de centro A e passando por B, a circunferncia de centro B, passando por A. A reta que passa

pelas interseces das duas circunferncias a mediatriz do segmento AB . O centro do quadrado um dos pontos de interseco da mediatriz e da

circunferncia de dimetro AB . A circunferncia (c) de centro O, passando por A, a circunferncia circunscrita ao quadrado.

O vrtice C o segundo ponto de interseco da reta AO

e da circunferncia circunscrita c. Igualmente, o ponto D a interseco da reta BO e da circunferncia c.

Atividade 9: Construo de um quadrado, dada uma diagonal.

Descreva um procedimento que permita construir um quadrado, dada sua

diagonal AC . Justifique sua construo.

Anlise da atividade

Criamos o segmento AC e construmos seu ponto mdio O. A mediatriz d de AC intercepta a circunferncia c de dimetro AC em B e D. os pontos B e D so a igual distncia de A e C, portanto AB=BC=CD=DA. O tringulo ABC retngulo, pois inscrito em uma semicircunferncia. Portanto, ABCD um quadrado, pois um losango que tem um ngulo reto.

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Atividade 10: Construir um paralelogramo cujos dois vrtices pertencem a duas retas.

Consideram-se dois pontos A e B e duas retas d e d1 concorrentes e diferentes da reta AB. Existe um ponto C sobre d1 e um ponto D sobre d tal que o quadriltero ABCD seja um paralelogramo? Justifique.

Anlise da atividade

Construmos a imagem d da reta d pela translao de vetor AB

. As retas d e dinterceptam-se no ponto C. Depois construmos a imagem d2 da reta d1 pela translao de vetor BA

. As retas d2 e d interceptam-se no ponto D. Como CD BA=

: o paralelogramo ABCD a soluo do problema.

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CONSIDERAES FINAIS

A principal inspirao para este trabalho surgiu a partir do contato com a Geometria do Compasso num curso de aperfeioamento realizado pela rede pblica. Nesse curso, foram desenvolvidas as habilidades trabalhadas com o compasso e deparamos com as dificuldades encontradas pelos professores de matemtica ao realizarem atividades que envolviam a Geometria plana com construes geomtricas com rgua e compasso. Com est preocupao elaboramos a pesquisa cujo foco construes geomtricas com rgua e compasso.

Ao pesquisarmos trabalhos sobre a dificuldade em construes geomtricas percebemos que os autores Gilson (2008), Maioli (2002) e Arajo (2007) verificam este fato nas suas pesquisas.

Buscamos em nosso trabalho analisar a importncia do estudo da Geometria e mostrar aos educadores a relevncia dos estudos pertinentes s construes geomtricas, bem como os benefcios destes a vida acadmica.

Esta pesquisa se props a contribuir com a formao continuada de professores de Matemtica. Com esse foco, elaboramos a aplicao de uma sequncia de atividades com construes geomtricas.

Outro aspecto importante, abordado neste trabalho focou-se nos estudos realizados por alguns autores sobre a formao de professores, o que justificou o nosso interesse de uma formao centrada em Geometria, de acordo com Imbernon (2010) e Shulman (1996) como forma de subsidiar a formao continuada.

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Baseamos-nos nos PCN (1988) que sugerem ao professor a explorao de situaes em que sejam utilizadas construes geomtricas com rgua e compasso, assim como os conceitos geomtricos de forma que o aluno desenvolva o conhecimento permitindo-lhe compreender, descrever e representar o mundo em que vive.

Os PCN propem uma mudana no ensino para a construo do conhecimento do aluno. Os docentes apresentam dificuldade em lidar com a reelaborao de propostas curriculares para o ensino fundamental e se apoiam nos livros didticos.

Assim sendo, avaliamos alguns livros didticos de Matemtica (Jakubovic, jakubo, 2009; Barroso 2006. Dante, 2009). Segundo a nossa anlise, nos livros didticos de matemtica apresentam poucos tpicos com atividades que trabalham as construes geomtricas, com um contedo reduzido.

Os PCN sugerem por meio do estudo de obras de arte, pintura, desenhos, esculturas estabelea uma conexo entre a Matemtica e outras reas de conhecimento.

Salientamos o estudo do retngulo ureo e suas aplicaes na natureza e nas obras de arte, relacionando a Matemtica com as artes.

Gostaramos de investigar com a nossa questo de pesquisa quais os avanos proporcionados pelas construes geomtricas no conhecimento dos professores com relao Geometria. Assim, ns delimitamos o problema desta pesquisa, cuja questo foi:

A utilizao de construes geomtricas com rgua e compasso em resolues de problemas de Geometria um instrumental que favorece o desenvolvimento dos conhecimentos dos professores em Geometria?

Com atividades elaboradas pretendamos contribuir com a formao de seis professores.

De modo geral, as construes geomtricas realizadas com rgua e compasso no justificadas usando as regras dedutivas. Os sujeitos da pesquisa

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tiveram muita dificuldade em justificar suas construes por meio de diferentes propriedades d