quadricas um breve estudo matricial

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As formas quadráticas têm diversas aplicações, sendo abordadas em estatística, mecânica e em vários outros problemas em física; no estudo de máximos e mínimos defunções de varias variáveis, dentre outras.Cônicas e quádricas têm seu modelo geométrico definidos por formas quadráticas eserão objeto deste estudo.Além da importância em aplicações, didaticamente o estudo das formas quadráticas nosfavorece por ser frequentemente discutido em geometria analítica e cálculo.No apêndice, encontra-se um estudo sobre diagonalização de matrizes simétricas, quedeve nos servir como conhecimento prévio para o estudo das formas quadráticas.

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Page 1: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

FORMAS QUADRÁTICAS

Joiner Santiago Ornellas;1 José Ricardo de Rezende Zeni;2

UNESP, campus de Presidente Prudente; Outubro de 2005.

§0. Introdução. As formas quadráticas têm diversas aplicações, sendo abordadas em estatística, mecânica e em vários outros problemas em física; no estudo de máximos e mínimos de funções de varias variáveis, dentre outras. Cônicas e quádricas têm seu modelo geométrico definidos por formas quadráticas e serão objeto deste estudo. Além da importância em aplicações, didaticamente o estudo das formas quadráticas nos favorece por ser frequentemente discutido em geometria analítica e cálculo. No apêndice, encontra-se um estudo sobre diagonalização de matrizes simétricas, que deve nos servir como conhecimento prévio para o estudo das formas quadráticas. §1. Formas Quadráticas. A expressão

∑=

n

k 1

ak xk (01)

é uma função de n variáveis, chamada forma linear. Nestas funções; todas as variáveis aparecem na primeira posição e não há produtos de variáveis na expressão. Uma expressão na forma quadrática é escrita como

∑≤ jk

akj xk xj (02)

e os termos que envolvem produto de variáveis diferentes são chamados de termo com produto misto ou termo cruzado. Podemos escrever expressões na forma quadrática como produto de matriz da seguinte forma:

xr T.A. x

r (03)

onde x

r: vetor coluna nx1 e A: matriz simétrica nxn.

Em A; as entradas da diagonal principal são os coeficientes dos termos com quadrado e as entradas fora da diagonal são iguais à metade dos coeficientes com produto misto.

1 Orientando. Bolsista PAE. Licenciatura em Matemática.

E-mail: [email protected]

2 Orientador. Departamento de Matemática, Estatística e Computação.

E-mail: [email protected]

Page 2: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

2

§2. Diagonalização de Formas Quadráticas. Através de uma mudança de variáveis podemos remover o produto misto de uma forma quadrática, e assim representa-la com maior facilidade. Podemos reduzir a forma quadrática a uma soma de quadrados, através de uma matriz P; considerando o teorema abaixo. Teorema 1: seja x

r T.A. xr

uma forma quadrática nas variáveis xr T = (x1, x2, ..., xn); onde A

é simétrica. Se P diagonaliza A ortogonalmente e se as novas variáveis yr T = (y1, y2, ..., yn) são

definidas pela equação xr

= P yr

então, substituindo esta equação em xr T.A. x

r, obtemos:

xr T.A. x

r = (P. y

r)T.A.P. y

r = y

r T.PT.A.P. yr

= yr T.D. y

r (04)

onde D = PT.A.P é uma matriz diagonal que contem em sua diagonal os autovalores de A. ■ §3. Cônicas. Uma cônica pode ser representada pela equação

ax2 + 2bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (05)

onde a, b, >, f são números reais e pelo menos um dentre a, b e c é não-nulo, a qual é chamada de equação quadrática em x e y; e onde

ax2 + 2bxy + cy2 (06)

representa sua forma quadrática associada. A equação (05) pode também ser escrita em sua forma matricial, que é dada por:

xr T.A. x

r + w

rxr

+ j = 0; (07) onde:

xr

=

y

x; A =

cb

ba; w

r = ( )ed . (08)

O gráfico de uma equação quadrática em x e y é chamada cônica ou seção cônica. As cônicas mais importantes são: elipses, hipérboles e parábolas. Estas são chamadas de cônicas não-degeneradas. Uma cônica está em sua posição padrão em relação aos eixos coordenados quando está centrada na origem e sua equação não possui termos cruzados ou ambos os termos (termo quadrado e seu respectivo termo linear) em sua equação. Se na equação de uma cônica encontrarmos:

a) produto cruzado, então esta estará rodada em relação a sua posição padrão; b) ambos os termos (x2 e x ou/e y2 e y), então estará transladada em relação

a sua posição padrão; c) os dois itens anteriores simultaneamente, então estará rodada e transladada em

relação a sua posição padrão.

Page 3: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

3

Equações de cônicas em suas posições padrão:

kx2

2

+ c

y2

2

= 1, k,c ≠ 0; (09)

Figura 1.a: elipse (k>c).

kx2

2

− c

y2

2

= 1, k,c ≠ 0; (10)

Figura 1.b: hipérbole.

y2

= kx , k ≠ 0. (11)

Figura 1.c: parábola (k>0).

Alem dos casos citados acima, podemos também encontrar em cada cônica sua forma degenerada, que pode ser:

• um ponto ou o vazio (no caso da elipse); • duas retas concorrentes (no caso da hipérbole); • duas retas paralelas ou duas retas coincidentes (no caso da parábola).

Podemos colocar uma equação quadrática qualquer em sua posição padrão utilizando o método de completar quadrados. A classificação de uma cônica pode ser dada bastando conhecer os autovalores (ditos também valores próprios) da matriz A obtida da equação da cônica em sua forma matricial ( xr T.A. x

r + k x

r + j = 0).

Tal classificação pode ser dada da seguinte maneira:

Autovalores Cônica λ1. λ2 > 0 Elipse ou um caso degenerado λ1. λ2 < 0 Hipérbole ou um caso degenerado λ1. λ2 = 0 Parábola ou um caso degenerado

Tabela 1: classificação de cônicas através de seus autovalores.

Page 4: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

4

Teorema dos eixos principais em R2: seja

ax2 + 2bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (12)

a equação de uma cônica C e seja

xr T.A. x

r = ax2 + 2bxy + cy2 (13)

a forma quadrática associada. Então os eixos coordenados podem ser girados (rotacionados) de tal modo que a equação de C no novo sistema x’y’ tem a forma

λ1x’2 + λ2y’2 + d’x’ + e’y’ + f = 0 (14)

onde λ1 e λ2 são os autovalores de A. A rotação pode ser efetuada pela substituição

xr

= P. xr

’ (15)

onde P diagonaliza A ortogonalmente e det P = 1. ■ §4. Quádricas. Uma equação da forma

ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = 0 (16)

onde a, b, ..., f não são todos nulos, é chamada uma equação quadrática em x, y e z e a expressão

ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz (17)

é chamada forma quadrática associada. A equação no formato matricial é dada por:

( )zyx

cfe

fbd

eda

z

y

x

+ ( )ihg

z

y

x

+ j = xr T.A. x

r + K

rxr

+ j = 0 (18)

onde

xr

=

z

y

x

; A =

cfe

fbd

eda

; Kr

= ( )ihg . (19)

Os gráficos da equação quadrática em x, y e z são chamados quádricas ou superfícies quádricas. Assim como no caso das cônicas, é a equação na forma padrão que nos da a forma mais simples de sua representação gráfica. A classificação de uma quádrica pode ser dada conhecendo-se quantos autovalores da matriz A (obtida da equação da quádrica em sua forma matricial) são positivos, negativos ou nulos. Na tabela abaixo, os números entre parênteses seguem a seguinte configuração:

Page 5: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

5

(pos; neg; zer); (20) onde pos, neg e zer são os números de autovalores positivos, negativos e nulos respectivamente. Faça λ1 > 0.

(pos; neg; zer) Quádrica (3; 0; 0) Elipsóide (2; 1; 0) Hiperbolóide de uma folha (1; 2; 0) Hiperbolóide de duas folhas (2; 0; 1) Parabolóide elíptico (1; 1; 1) Parabolóide hiperbólico (1; 0; 2) Cilindro parabólico

Tabela 2: classificação de quádricas através de seus autovalores. Quádricas básicas e suas equações padrão:

kx2

2

+ c

y2

2

+ nz2

2

= 1, k,c,n ≠ 0; (21)

Figura 2.a: elipsóide.

kx2

2

+ c

y2

2

− nz2

2

= 1, k,c,n ≠ 0; (22)

Figura 2.b: hiperbolóide de uma folha.

nz2

2

− kx2

2

− c

y2

2

= 1, k,c,n ≠ 0; (23)

Figura 2.c: hiperbolóide duas folhas.

Page 6: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

6

z = kx2

2

+ c

y2

2

, k,c ≠ 0; (24)

Figura 2.d: parabolóide elíptico.

z = c

y2

2

− kx2

2

, k,c ≠ 0. (25)

Figura 2.e: parabolóide hiperbólico.

byaxz +=2 com a ou b não nulo. (26)

Figura 2.f: cilindro parabólico de equação x2 = ay; a > 0.

z2= kx2

2

+ c

y2

2

, k,c ≠ 0; (27)

Figura 2.g: cone elíptico: um caso degenerado.

Page 7: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

7

A figura 2.g, que representa um cone elíptico, é um caso degenerado de um hiperbolóide de uma folha. Outras observações podem ser feitas; como a que segue abaixo.

Em relação ao parabolóide hiperbólico, façamos cortes x = b1, y = b2, z = b3, (b1, b2, b3 ∈ R), e teremos:

• seções paralelas ao plano YZ: parábolas (considerando x constante); • seções paralelas ao plano XZ: parábolas (considerando y constante); • seções paralelas ao plano XY: se z = 0 teremos duas linhas concorrentes na

origem e para todo valor de z ≠ 0 teremos hipérboles (que acima de XY abrem na direção de y e abaixo de XY abrem na direção de x);

• se x = y = z = 0 teremos ponto de sela ou de minimax da superfície; Uma análise semelhante pode ser feita em relação a todas as quádricas acima. Caso exista a presença em alguma equação de quádrica de um ou mais termos com produto misto (xy, xz e yz) esta equação estará rodada em relação a sua posição padrão. A presença de um termo quadrado juntamente com seu termo linear na mesma equação nos diz que a quádrica foi transladada para fora de sua posição padrão. O cálculo de autovalores, autovetores e o método de completar quadrados leva-nos de uma quádrica transladada ou rodada (ou ambas) à sua forma padrão. Teorema dos eixos principais em R3: seja

ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = 0 (28)

a equação de uma quádrica Q e seja

xr T.A. x

r = ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz (29)

a forma quadrática associada. Os eixos coordenados podem ser rodados de tal modo que a equação Q no sistema x’y’z’ tem a forma

λ1x’2 + λ2y’2 + λ3z’2 + g’x’ + h’y’ + i’z’ + j = 0 (30)

onde λ1, λ2 e λ3 são os autovalores de A. A rotação pode ser efetuada pela substituição

xr

= P. xr

’ (31)

onde P diagonaliza A ortogonalmente e det P = 1. ■

Page 8: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

8

§5. Exercícios.

Exercício 1: na equação da cônica abaixo, determine sua classificação geométrica, a orientação dos eixos principais, a matriz de rotação, a equação nas variáveis x’y’, o centro de suas coordenadas, sua equação padrão e faça também seu esboço.

2.x2 – 4.x.y – y2 – 4.x – 8.y + 14 = 0 Pode-se escrevê-la em sua forma matricial:

( )yx

−−

12

22

y

x + ( )84 −−

y

x + 14 = X

rT.A. X

r + K. X

r + 14 = 0;

onde Xr

T = ( )yx ; Xr

=

−−

12

22; X

r =

y

x; K

r = ( )84 −−

e

Xr

T.A. Xr

representa a forma quadrática associada. Sabemos que o termo com produto misto rotaciona uma cônica. Eliminaremos este termo da equação acima encontrando uma matriz P que diagonalize ortogonalmente a matriz A e que seja uma matriz de rotação. Temos que:

D = P–1.A.P ⇔ A = P.D. P–1 A matriz D é formada pelos autovalores de A e a matriz P por seus autovetores associados. Encontraremos os autovalores através do polinômio característico dado por:

(A – λI) Xr

= 0 ⇔ det(A – λI) = 0;

pois Xr

≠ 0 por definição.

det(A – λI) = 0 ⇒ 12

22

+

λλ

= (λ – 2).(λ + 1) – 4 = λ2 – λ – 6 = 0

λ2 – λ – 6 = 0 é o polinômio característico e suas raízes (λ1 = 3 e λ2 = – 2) nos dão os autovalores da matriz A. Pode-se classificar a cônica utilizando o método descrito pela tabela 1. Sendo assim:

λ1.λ2 = 3.( – 2) = – 6 < 0;

e portanto, trata-se de uma hipérbole. Calculo dos autovetores: 1º) associado a λ1 = 3 :

(λI – A) vr

1 = 0r

⇒ (3I – A)vr

1 = 0r

;

Page 9: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

9

0

0

42

21 → −← 122 2LLL

0

0

20

21;

grau de liberdade = nº de variáveis – posto = 2 – 1 = 1. Portanto, temos uma variável livre: t. Da ultima matriz (dita matriz escalonada), obtemos que: s + 2.t = 0 ⇒ s = –2.t. Logo:

vr

1 = (–2.t, t) = t.(–2, 1) 2º) associado a λ2 = – 2:

(λI – A) vr

2 = 0 ⇒ (–2I – A) vr

2 = 0;

0

0

12

24 → +← 122 5.0 LLL

0

0

00

24; variável livre: t.

Da ultima matriz obtemos que: – 4s + 2.t = 0 ⇒ s = 2

1.t.

Logo:

vr

2 = (2

1t, t) = t.(

2

1, 1) = k.(1, 2).

Basta agora dispormos os vetores v

r1 e v

r2 encontrados como colunas dentro da matriz

P:

P =

21

12; para uma matriz diagonal D =

− 20

03.

Atentemos ao fato de que v

r1 e v

r2 representam a orientação dos eixos principais da

cônica. Se P é ortogonal, então P.PT = I ou PT.P = I. Verificando veremos que P.PT ≠ I. Neste

caso, basta tornarmos os vetores de P unitários, pois vr

1 e vr

2 já são ortogonais ( vr

1. vr

2 = 0). Normalizando v

r1 e v

r2 teremos:

vr

a = vr

1 / |vr

1| ⇒ vr

a =

5

1

5

2;

vr

b = vr

2 / |vr

2| ⇒ vr

b =

5

2

5

1.

Logo: PB =

5

2

5

15

1

5

2

.

Verificando a ortogonalidade de PB, veremos que PB. PBT = PB

T. PB = I. Dizemos então que PB diagonaliza ortogonalmente a matriz A.

Page 10: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

10

Mas, para que P seja uma matriz de rotação, alem de ortogonal temos que det PB = 1.Verificando, veremos que det PB = –1 ≠ 1. Neste caso, permutamos as colunas de PB e assim satizfaremos a igualdade. Sendo assim:

PC =

5

1

5

25

2

5

1

e det PC = 1.

Portanto, Pc é uma matriz de rotação. Observação: ao invertermos as posições das

colunas de PB, nossa nova matriz diagonal será dada por:

DC =

30

02.

Podemos então fazer a seguinte mudança de variável: Xr

= PC. Xr

’. Logo:

Xr

T.A. Xr

+ Kr

. Xr

+ 14 = 0 ⇒ (PC. Xr

’)T.A.PC. Xr

’ + Kr

.PC. Xr

’ + 14 = 0 ⇒

Xr

’T.(PCT.A.PC). X

r’ + K

r.PC. X

r’ + 14 = 0 ⇒ X

r’T.(DC). X

r’ + K

r.PC. X

r’ + 14 = 0;

onde:

DC = PCT.A.PC.

Calculando Xr

’T.(DC). Xr

’ + K.PC. Xr

’ + 14 = 0 teremos:

( )'' yx

30

02

'

'

y

x + ( )84 −−

5

1

5

25

2

5

1

'

'

y

x + 14 = 2.x’2 +

5

20x’ – 3.y’2 – 14 = 0

Nesta última equação não existe a presença de termos cruzados. Para que fique em

sua forma padrão, utilizaremos o método de completar quadrados (o que irá “eliminar” a presença na equação do termo linear x’).

Completando quadrados:

2.x’2 + 5

20x’ = 2.(x’2 +

5

10x’) = 2.( x’2 +

5

10x’ + (

5

5)2 – (

5

5)2 ) = 2.( x’ +

5

5)2 – 10.

Portanto:

2.x’2 + 5

20x’ – 3.y’2 – 14 = 0 ⇒ [( x’ +

5

5)2 ÷ 12] − [( y’ − 0)2 ÷ 8] = 1

Page 11: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

11

A equação acima esta em sua forma padrão e centrada em

− 0;

55 e representa

uma hipérbole. Segue abaixo um esboço da cônica: Figura 6.a: esboço. .

Exercício 2: na equação da quádrica abaixo, determine sua classificação geométrica, a

orientação dos eixos principais, a matriz de rotação, a equação nas variáveis x’y’z’, o centro de suas coordenadas e sua equação padrão.

2.x.y + 2.x.z + 2.y.z – 6.x – 6.y – 4.z = 0

Sua forma matricial é dada por:

( )zyx

011

101

110

z

y

x

+ ( )466 −−−

z

y

x

+ 9 = Xr

T.A. Xr

+ Kr

. Xr

+ 9 = 0;

Como não há o termo quadrado juntamente com os termos lineares sabemos que esta quadrica está centrada na origem. Já a presença do produto misto nos diz que a quádrica foi rotacionada. Precisamos então de uma matriz P que diagonalize a matriz A ortogonalmente, pois assim eliminaremos os termos com produto misto e teremos a equação em sua forma padrão, que nos é familiar. Cálculo dos autovalores:

det(A – λI) = 0 ⇒

λλ

λ

11

11

11

= 0 ⇒ λ3 – 3λ – 2 = 0.

Page 12: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

12

A solução do polinômio característico λ3 – 3λ – 2 = 0 nos da os autovalores: λ1 = –1 (com multiplicidade 2) e λ2 = 2. A classificação da quádrica pode ser dada pela tabela 2. Utilizamos a tabela e verificamos que trata-se da equação de uma hipérbole de duas folhas; pois temos um autovalor negativo e dois positivos, o que equivale a um autovalor positivo e dois negativos. Cálculo dos autovetores: 1º) associado a λ1 = –1:

(A – λI)vr

= 0r

⇒ (A + I) vr

= 0r

;

0

0

0

111

111

111

→−←

−←

133

122

LLL

LLL

0

0

0

000

000

111

; variáveis livres: y e z.

Da última matriz (dita matriz escalonada), retiramos que:

x + y + z = 0 ⇒ x = – y – z. Logo:

vr

A = (– y – z; y; z) = y.(–1, 1, 0) + z.(–1, 0, 1).

Observe que λ1 nos forneceu dois vetores L.I. Chamaremos:

vr

1 = (–1, 1, 0); vr

2 = (–1, 0, 1). 2º) associado a λ2 = 2:

(A – λI) vr

= 0r

⇒ (A – 2I)vr

= 0r

;

0

0

0

211

121

112

→+←

+←

15.033

15.022

LLL

LLL

0

0

0

23

230

23

230

112

→+← 233 LLL

0

0

0

00023

230

112

;

• variável livre: z;

• equação 2: 23− y +

23 z = 0 ⇒ y = z;

• equação 1: – 2.x + y + z = 0 ⇒ – 2.x + z + z = 0 ⇒ x = z.

Logo:

vr

3 = (z; z; z) = z.(1, 1, 1)

Em posse dos vetores vr

1, vr

2 e vr

3; pode-se verificar que eles são linearmente independentes. Em contrapartida, observa-se que estes vetores não são ortogonais entre si e, sendo assim, não podem formar a matriz P. Veja:

vr

1. vr

2 = 1 ≠ 0; vr

1. vr

3 = 0; vr

2. vr

3 = 0.

Page 13: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

13

Utiliza-se então o processo de ortogonalização de Gran-Schimidt (ver apêndice c): 1º passo:

wr

1 = vr

1.

2º passo:

2wr

= 2vr

− 1Wproj 2vr

= 2vr

− 2

.

1

12

w

wv

r

rr

. 1wr

Calculando:

( 2vr

. 1wr) = 1;

21wr

= 1wr. 1wr = 2;

Logo:

2wr

= (−1; 0; 1) − [(1)(−1; 1; 0) ÷ 2] = (−0.5; −0.5; 1); Portanto:

2wr

= (−0.5; −0.5; 1).

Verificando, veremos que: 1wr. 2wr

= 0. 3º passo:

3wr

= 3vr

− 1Wproj 3vr

− 2

Wproj . 3vr

= 3vr

− 2

.

1

13

w

wv

r

rr

. 1wr −

2

.

2

23

w

wv

r

rr

. 2wr

Calculando:

( 3vr

. 1wr) = 0; ( 3v

r. 2wr) = (1; 1; 1). (−0.5; −0.5; 1) = 0.

Logo:

3wr

= 3vr

. Verificando, veremos que: 2w

r. 3wr = 0 e 1w

r. 3wr

= 0. Portanto 1w

r, 2wr e 3w

r são ortogonais entre si e formam a matriz P.

P =

−−

110

15.01

15.01

; D =

200

010

001

.

Mas, para que P seja uma matriz de rotação, precisa-se que: det P = 1.

110

15.01

15.01

−−

= 3 ≠ 1.

Page 14: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

14

Note que det P ≠ ±1. Deve-se observar se os vetores da matriz P estão normalizados. Normalizando 1w

r, 2wr e 3w

r; teremos:

• Awr = (−1÷ 2 ; 1÷ 2 ; 0);

• Bwr = [−1÷(2. 5,1 ); −1÷(2. 5,1 ); 1÷ 5,1 ];

• Cwr

= (1÷ 3 ; 1÷ 3 ; 1÷ 3 )

Logo:

PB =

−−

3

1

5,1

10

3

1

5,12

1

2

1

3

1

5,12

1

2

1

; e det PB = 1.

Portanto PB é uma matriz de rotação e diagonaliza A ortogonalmente.

Verificando,veremos que: (PB)T. PB = PB.(PB)T

= I. Fazendo a mudança de variáveis:

Xr

= PB. Xr

’. teremos:

Xr

T.A. Xr

+ Kr

. Xr

+ 9 = 0 ⇒ (PB. Xr

’)T.A.PB. Xr

’ + Kr

.PB. Xr

’ + 9 = 0 ⇒

Xr

’T.(PBT.A.PB). X

r’ + K

r.PB. X

r’ + 9 = 0 ⇒ X

r’T.D. X

r’ + K

r.PB. X

r’ + 9 = 0

Calculando:

( )''' zyx

200

010

001

'

'

'

z

y

x

+ ( )466 −−−

−−

3

1

5,1

10

3

1

5,12

1

2

1

3

1

5,12

1

2

1

'

'

'

z

y

x

+ 9 = 0 ⇒

⇒ x’2 + y’2 − 2z’2 − 5,1

2 y’ + 3

16 z’ − 9 = 0

Após completar quadrados, teremos:

− x’’2 − y’’2 + (z'’2 ÷ 0,5) = 1

Esta é a equação de uma hipérbole de duas folhas, como foi visto na classificação pelos autovalores.

Page 15: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

15

§6. Apêndices. 6.1. Apêndice A: MATRIZES ORTOGONAIS Definição: seja A uma matriz quadrada nxn. Esta matriz é dita ortogonal se a sua inversa for igual a sua transposta, ou seja:

A-1 = AT (01A)

Decorre desta definição que:

A é ortogonal ⇔ AT.A = I ou A.AT = I (02A)

Lembre-se que, a transposta de uma matriz A (AT) é obtida escrevendo-se as linhas de A, em ordem, como colunas. Um exemplo de matriz ortogonal é uma matriz de rotação

R =

θθθθ

cos

cos

sen

sen (03A)

que, por se tratar de uma matriz ortogonal, obedecerá:

RT.R = R.RT = I (04A)

Definição: um conjunto S = {u1, u2, ..., un} se diz ortonormal se, e somente se:

<uk.uj> =

=

jkse

jkse

;1

;0 (05A)

Teorema 1: seja A uma matriz quadrada. As seguintes afirmações são equivalentes: a) A é ortogonal; b) as linhas (ou colunas) de A formam um conjunto ortonormal de vetores de RN

em relação ao produto interno euclidiano (produto escalar);

c) A xr

.A yr

= < xr

. yr

>, ∀ xr

, yr

∈ RN, ou seja, A preserva o produto interno euclidiano de vetores;

d) ||A x

r|| = || x

r||, ∀ x

r ∈ RN.

Teorema 2: seja A uma matriz nxn ortogonal. Temos que: a) a inversa A-1 existe e também é ortogonal; b) det A = ± 1;

c) considerando B uma matriz nxn ortogonal, o produto A.B também será uma matriz

ortogonal.

Page 16: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

16

6.2. Apêndice B: DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS

Definição 1: uma matriz quadrada A é chamada simétrica se AT = A. Ou seja; uma

matriz A = [akj] é simétrica se, e somente se, akj = ajk, para todos os valores de k e j.

Teorema 1: se A é simétrica então A é diagonalizável. Definição 2: seja uma matriz A de tamanho nxn e D uma matriz nxn diagonal. Se existir

uma matriz ortogonal P que diagonaliza A (D = PT.A.P); então dizemos que A é diagonalizável ortogonalmente.

Teorema 2: se A é uma matriz nxn, então as afirmações seguintes são equivalentes: a) A é simétrica; b) A tem um conjunto ortonormal de n autovetores; c) A é ortogonalmente diagonalizável. Teorema 3: se A é uma matriz simétrica , então: a) os autovalores de A são reais;

b) autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais.

Page 17: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

17

6.3. Apêndice C: PROCESSO DE GRAM-SCHMIDT

Teorema: cada espaço vetorial não-nulo de dimensão finita possui uma base ortonormal. A prova deste teorema pode ser feita de forma a nos fornecer um algoritmo para converter uma base arbitrária numa base ortogonal. Este algoritmo é dito também processo de Gram-Schmidt para obtenção de uma base ortogonal. Prova. Seja V um espaço vetorial não-nulo de dimensão finita com produto interno e suponha que { }nuuu

rrr,...,, 21 é uma base de V. É suficiente mostrar que V tem uma base

ortogonal, pois os vetores da base ortogonal podem ser normalizados para produzir uma base ortonormal de V. A seguinte seqüência de passos irá produzir uma base ortogonal { }nvvv

rrr,...,, 21

de V. Passo 1. Faça 1v

r = 1u

r.

Passo 2. Nós podemos obter um vetor 2v

r que é ortogonal a 1v

r tomando o componente de 2u

r

que é ortogonal ao espaço W1 gerado por 1vr

. Para isto nós usamos a seguinte formula:

2vr

= 2ur

− 1Wproj 2ur

= 2ur

− 2

.

1

12

v

vu

r

rr

. 1vr

(01C)

Observe que 2v

r≠ 0, pois se 2v

r= 0 então 2v

r não seria um vetor de base e isto significaria que

2ur

é um multiplo de 1ur

, o que contradiz a independência linear da base S = { }nuuurrr

,...,, 21 .

Passo 3. Para construir um vetor 3v

r que é ortogonal a ambos 1v

r e 2v

r, calculamos o

componente de 3ur

que é ortogonal ao espaço W2 gerado por 1vr

e 2vr

. Logo, 3vr

será dado por:

3vr

= 3ur

− 2

Wproj . 3ur

= 3ur

− 2

.

1

13

v

vu

r

rr

. 1vr

− 2

.

2

23

v

vu

r

rr

. 2vr

(02C)

Como no passo 2, a independência linear de { }nuuu

rrr,...,, 21 garante que 3v

r≠ 0.

Passo 4: Para determinar um vetor 4v

r que é ortogonal a 1v

r, 2v

r e 3v

r, calculamos o

componente de 4ur

que é ortogonal ao espaço W3 gerado por 1vr

, 2vr

e 3vr

. Teremos então:

4vr

= 4ur

− 3

Wproj . 4ur

= 4ur

− 2

.

1

14

v

vu

r

rr

. 1vr

− 2

.

2

24

v

vu

r

rr

. 2vr

− 2

.

3

34

v

vu

r

rr

. 3vr

(03C)

Continuando desta maneira, nós iremos obter, depois de n passos, um conjunto

ortogonal de vetores { }nvvvrrr

,...,, 21 . Como V tem dimensão n e conjuntos ortogonais são

linearmente independentes, o conjunto { }nvvvrrr

,...,, 21 é uma base ortogonal de V.

Page 18: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

18

§7. Referências Bibliográficas.

• CALLIOLI, CARLOS A. & outros Álgebra Linear e Aplicações. São Paulo, Atual,

7ª.edição, 2000;

• HOFFMAN, KENNETH & KUNZE, RAY Álgebra Linear. São Paulo, LTC, 1979;

• HOWARD, ANTON Álgebra Linear com Aplicações. Editora Bookman, 2001;

• KOLMAN, BERNARD Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, JC Livros

Técnicos e Científicos Editora, 6º edição.

• LAY, DAVID C. Álgebra Linear e suas Aplicações. JC Livros Técnicos e

Científicos Editora, 2º edição;

Page 19: Quadricas Um Breve Estudo Matricial

19

ÍNDICE

§0. Introdução ................................................................................................................01 §1. Formas Quadráticas ................................................................................................01 §2. Diagonalização de Formas Quadráticas...................................................................02 §3. Cônicas.....................................................................................................................02 §4. Quádricas.................................................................................................................04 §5. Exercícios.................................................................................................................08 §6. Apêndices.................................................................................................................15

6.1. Apêndice A: Matrizes Ortogonais..................................................................15 6.2. Apêndice B: Diagonalizaçao de Matrizes Simétricas....................................16 6.3. Apêndice C: Processo de Gram-Schimidt.....................................................17

§7. Referências Bibliográficas .......................................................................................18