quadricas um breve estudo matricial
DESCRIPTION
As formas quadráticas têm diversas aplicações, sendo abordadas em estatística, mecânica e em vários outros problemas em física; no estudo de máximos e mínimos defunções de varias variáveis, dentre outras.Cônicas e quádricas têm seu modelo geométrico definidos por formas quadráticas eserão objeto deste estudo.Além da importância em aplicações, didaticamente o estudo das formas quadráticas nosfavorece por ser frequentemente discutido em geometria analítica e cálculo.No apêndice, encontra-se um estudo sobre diagonalização de matrizes simétricas, quedeve nos servir como conhecimento prévio para o estudo das formas quadráticas.TRANSCRIPT
FORMAS QUADRÁTICAS
Joiner Santiago Ornellas;1 José Ricardo de Rezende Zeni;2
UNESP, campus de Presidente Prudente; Outubro de 2005.
§0. Introdução. As formas quadráticas têm diversas aplicações, sendo abordadas em estatística, mecânica e em vários outros problemas em física; no estudo de máximos e mínimos de funções de varias variáveis, dentre outras. Cônicas e quádricas têm seu modelo geométrico definidos por formas quadráticas e serão objeto deste estudo. Além da importância em aplicações, didaticamente o estudo das formas quadráticas nos favorece por ser frequentemente discutido em geometria analítica e cálculo. No apêndice, encontra-se um estudo sobre diagonalização de matrizes simétricas, que deve nos servir como conhecimento prévio para o estudo das formas quadráticas. §1. Formas Quadráticas. A expressão
∑=
n
k 1
ak xk (01)
é uma função de n variáveis, chamada forma linear. Nestas funções; todas as variáveis aparecem na primeira posição e não há produtos de variáveis na expressão. Uma expressão na forma quadrática é escrita como
∑≤ jk
akj xk xj (02)
e os termos que envolvem produto de variáveis diferentes são chamados de termo com produto misto ou termo cruzado. Podemos escrever expressões na forma quadrática como produto de matriz da seguinte forma:
xr T.A. x
r (03)
onde x
r: vetor coluna nx1 e A: matriz simétrica nxn.
Em A; as entradas da diagonal principal são os coeficientes dos termos com quadrado e as entradas fora da diagonal são iguais à metade dos coeficientes com produto misto.
1 Orientando. Bolsista PAE. Licenciatura em Matemática.
E-mail: [email protected]
2 Orientador. Departamento de Matemática, Estatística e Computação.
E-mail: [email protected]
2
§2. Diagonalização de Formas Quadráticas. Através de uma mudança de variáveis podemos remover o produto misto de uma forma quadrática, e assim representa-la com maior facilidade. Podemos reduzir a forma quadrática a uma soma de quadrados, através de uma matriz P; considerando o teorema abaixo. Teorema 1: seja x
r T.A. xr
uma forma quadrática nas variáveis xr T = (x1, x2, ..., xn); onde A
é simétrica. Se P diagonaliza A ortogonalmente e se as novas variáveis yr T = (y1, y2, ..., yn) são
definidas pela equação xr
= P yr
então, substituindo esta equação em xr T.A. x
r, obtemos:
xr T.A. x
r = (P. y
r)T.A.P. y
r = y
r T.PT.A.P. yr
= yr T.D. y
r (04)
onde D = PT.A.P é uma matriz diagonal que contem em sua diagonal os autovalores de A. ■ §3. Cônicas. Uma cônica pode ser representada pela equação
ax2 + 2bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (05)
onde a, b, >, f são números reais e pelo menos um dentre a, b e c é não-nulo, a qual é chamada de equação quadrática em x e y; e onde
ax2 + 2bxy + cy2 (06)
representa sua forma quadrática associada. A equação (05) pode também ser escrita em sua forma matricial, que é dada por:
xr T.A. x
r + w
rxr
+ j = 0; (07) onde:
xr
=
y
x; A =
cb
ba; w
r = ( )ed . (08)
O gráfico de uma equação quadrática em x e y é chamada cônica ou seção cônica. As cônicas mais importantes são: elipses, hipérboles e parábolas. Estas são chamadas de cônicas não-degeneradas. Uma cônica está em sua posição padrão em relação aos eixos coordenados quando está centrada na origem e sua equação não possui termos cruzados ou ambos os termos (termo quadrado e seu respectivo termo linear) em sua equação. Se na equação de uma cônica encontrarmos:
a) produto cruzado, então esta estará rodada em relação a sua posição padrão; b) ambos os termos (x2 e x ou/e y2 e y), então estará transladada em relação
a sua posição padrão; c) os dois itens anteriores simultaneamente, então estará rodada e transladada em
relação a sua posição padrão.
3
Equações de cônicas em suas posições padrão:
kx2
2
+ c
y2
2
= 1, k,c ≠ 0; (09)
Figura 1.a: elipse (k>c).
kx2
2
− c
y2
2
= 1, k,c ≠ 0; (10)
Figura 1.b: hipérbole.
y2
= kx , k ≠ 0. (11)
Figura 1.c: parábola (k>0).
Alem dos casos citados acima, podemos também encontrar em cada cônica sua forma degenerada, que pode ser:
• um ponto ou o vazio (no caso da elipse); • duas retas concorrentes (no caso da hipérbole); • duas retas paralelas ou duas retas coincidentes (no caso da parábola).
Podemos colocar uma equação quadrática qualquer em sua posição padrão utilizando o método de completar quadrados. A classificação de uma cônica pode ser dada bastando conhecer os autovalores (ditos também valores próprios) da matriz A obtida da equação da cônica em sua forma matricial ( xr T.A. x
r + k x
r + j = 0).
Tal classificação pode ser dada da seguinte maneira:
Autovalores Cônica λ1. λ2 > 0 Elipse ou um caso degenerado λ1. λ2 < 0 Hipérbole ou um caso degenerado λ1. λ2 = 0 Parábola ou um caso degenerado
Tabela 1: classificação de cônicas através de seus autovalores.
4
Teorema dos eixos principais em R2: seja
ax2 + 2bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (12)
a equação de uma cônica C e seja
xr T.A. x
r = ax2 + 2bxy + cy2 (13)
a forma quadrática associada. Então os eixos coordenados podem ser girados (rotacionados) de tal modo que a equação de C no novo sistema x’y’ tem a forma
λ1x’2 + λ2y’2 + d’x’ + e’y’ + f = 0 (14)
onde λ1 e λ2 são os autovalores de A. A rotação pode ser efetuada pela substituição
xr
= P. xr
’ (15)
onde P diagonaliza A ortogonalmente e det P = 1. ■ §4. Quádricas. Uma equação da forma
ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = 0 (16)
onde a, b, ..., f não são todos nulos, é chamada uma equação quadrática em x, y e z e a expressão
ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz (17)
é chamada forma quadrática associada. A equação no formato matricial é dada por:
( )zyx
cfe
fbd
eda
z
y
x
+ ( )ihg
z
y
x
+ j = xr T.A. x
r + K
rxr
+ j = 0 (18)
onde
xr
=
z
y
x
; A =
cfe
fbd
eda
; Kr
= ( )ihg . (19)
Os gráficos da equação quadrática em x, y e z são chamados quádricas ou superfícies quádricas. Assim como no caso das cônicas, é a equação na forma padrão que nos da a forma mais simples de sua representação gráfica. A classificação de uma quádrica pode ser dada conhecendo-se quantos autovalores da matriz A (obtida da equação da quádrica em sua forma matricial) são positivos, negativos ou nulos. Na tabela abaixo, os números entre parênteses seguem a seguinte configuração:
5
(pos; neg; zer); (20) onde pos, neg e zer são os números de autovalores positivos, negativos e nulos respectivamente. Faça λ1 > 0.
(pos; neg; zer) Quádrica (3; 0; 0) Elipsóide (2; 1; 0) Hiperbolóide de uma folha (1; 2; 0) Hiperbolóide de duas folhas (2; 0; 1) Parabolóide elíptico (1; 1; 1) Parabolóide hiperbólico (1; 0; 2) Cilindro parabólico
Tabela 2: classificação de quádricas através de seus autovalores. Quádricas básicas e suas equações padrão:
kx2
2
+ c
y2
2
+ nz2
2
= 1, k,c,n ≠ 0; (21)
Figura 2.a: elipsóide.
kx2
2
+ c
y2
2
− nz2
2
= 1, k,c,n ≠ 0; (22)
Figura 2.b: hiperbolóide de uma folha.
nz2
2
− kx2
2
− c
y2
2
= 1, k,c,n ≠ 0; (23)
Figura 2.c: hiperbolóide duas folhas.
6
z = kx2
2
+ c
y2
2
, k,c ≠ 0; (24)
Figura 2.d: parabolóide elíptico.
z = c
y2
2
− kx2
2
, k,c ≠ 0. (25)
Figura 2.e: parabolóide hiperbólico.
byaxz +=2 com a ou b não nulo. (26)
Figura 2.f: cilindro parabólico de equação x2 = ay; a > 0.
z2= kx2
2
+ c
y2
2
, k,c ≠ 0; (27)
Figura 2.g: cone elíptico: um caso degenerado.
7
A figura 2.g, que representa um cone elíptico, é um caso degenerado de um hiperbolóide de uma folha. Outras observações podem ser feitas; como a que segue abaixo.
Em relação ao parabolóide hiperbólico, façamos cortes x = b1, y = b2, z = b3, (b1, b2, b3 ∈ R), e teremos:
• seções paralelas ao plano YZ: parábolas (considerando x constante); • seções paralelas ao plano XZ: parábolas (considerando y constante); • seções paralelas ao plano XY: se z = 0 teremos duas linhas concorrentes na
origem e para todo valor de z ≠ 0 teremos hipérboles (que acima de XY abrem na direção de y e abaixo de XY abrem na direção de x);
• se x = y = z = 0 teremos ponto de sela ou de minimax da superfície; Uma análise semelhante pode ser feita em relação a todas as quádricas acima. Caso exista a presença em alguma equação de quádrica de um ou mais termos com produto misto (xy, xz e yz) esta equação estará rodada em relação a sua posição padrão. A presença de um termo quadrado juntamente com seu termo linear na mesma equação nos diz que a quádrica foi transladada para fora de sua posição padrão. O cálculo de autovalores, autovetores e o método de completar quadrados leva-nos de uma quádrica transladada ou rodada (ou ambas) à sua forma padrão. Teorema dos eixos principais em R3: seja
ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = 0 (28)
a equação de uma quádrica Q e seja
xr T.A. x
r = ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz (29)
a forma quadrática associada. Os eixos coordenados podem ser rodados de tal modo que a equação Q no sistema x’y’z’ tem a forma
λ1x’2 + λ2y’2 + λ3z’2 + g’x’ + h’y’ + i’z’ + j = 0 (30)
onde λ1, λ2 e λ3 são os autovalores de A. A rotação pode ser efetuada pela substituição
xr
= P. xr
’ (31)
onde P diagonaliza A ortogonalmente e det P = 1. ■
8
§5. Exercícios.
Exercício 1: na equação da cônica abaixo, determine sua classificação geométrica, a orientação dos eixos principais, a matriz de rotação, a equação nas variáveis x’y’, o centro de suas coordenadas, sua equação padrão e faça também seu esboço.
2.x2 – 4.x.y – y2 – 4.x – 8.y + 14 = 0 Pode-se escrevê-la em sua forma matricial:
( )yx
−−
−
12
22
y
x + ( )84 −−
y
x + 14 = X
rT.A. X
r + K. X
r + 14 = 0;
onde Xr
T = ( )yx ; Xr
=
−−
−
12
22; X
r =
y
x; K
r = ( )84 −−
e
Xr
T.A. Xr
representa a forma quadrática associada. Sabemos que o termo com produto misto rotaciona uma cônica. Eliminaremos este termo da equação acima encontrando uma matriz P que diagonalize ortogonalmente a matriz A e que seja uma matriz de rotação. Temos que:
D = P–1.A.P ⇔ A = P.D. P–1 A matriz D é formada pelos autovalores de A e a matriz P por seus autovetores associados. Encontraremos os autovalores através do polinômio característico dado por:
(A – λI) Xr
= 0 ⇔ det(A – λI) = 0;
pois Xr
≠ 0 por definição.
det(A – λI) = 0 ⇒ 12
22
+
−
λλ
= (λ – 2).(λ + 1) – 4 = λ2 – λ – 6 = 0
λ2 – λ – 6 = 0 é o polinômio característico e suas raízes (λ1 = 3 e λ2 = – 2) nos dão os autovalores da matriz A. Pode-se classificar a cônica utilizando o método descrito pela tabela 1. Sendo assim:
λ1.λ2 = 3.( – 2) = – 6 < 0;
e portanto, trata-se de uma hipérbole. Calculo dos autovetores: 1º) associado a λ1 = 3 :
(λI – A) vr
1 = 0r
⇒ (3I – A)vr
1 = 0r
;
9
0
0
42
21 → −← 122 2LLL
0
0
20
21;
grau de liberdade = nº de variáveis – posto = 2 – 1 = 1. Portanto, temos uma variável livre: t. Da ultima matriz (dita matriz escalonada), obtemos que: s + 2.t = 0 ⇒ s = –2.t. Logo:
vr
1 = (–2.t, t) = t.(–2, 1) 2º) associado a λ2 = – 2:
(λI – A) vr
2 = 0 ⇒ (–2I – A) vr
2 = 0;
−
−
0
0
12
24 → +← 122 5.0 LLL
−
0
0
00
24; variável livre: t.
Da ultima matriz obtemos que: – 4s + 2.t = 0 ⇒ s = 2
1.t.
Logo:
vr
2 = (2
1t, t) = t.(
2
1, 1) = k.(1, 2).
Basta agora dispormos os vetores v
r1 e v
r2 encontrados como colunas dentro da matriz
P:
P =
−
21
12; para uma matriz diagonal D =
− 20
03.
Atentemos ao fato de que v
r1 e v
r2 representam a orientação dos eixos principais da
cônica. Se P é ortogonal, então P.PT = I ou PT.P = I. Verificando veremos que P.PT ≠ I. Neste
caso, basta tornarmos os vetores de P unitários, pois vr
1 e vr
2 já são ortogonais ( vr
1. vr
2 = 0). Normalizando v
r1 e v
r2 teremos:
vr
a = vr
1 / |vr
1| ⇒ vr
a =
−
5
1
5
2;
vr
b = vr
2 / |vr
2| ⇒ vr
b =
5
2
5
1.
Logo: PB =
−
5
2
5
15
1
5
2
.
Verificando a ortogonalidade de PB, veremos que PB. PBT = PB
T. PB = I. Dizemos então que PB diagonaliza ortogonalmente a matriz A.
10
Mas, para que P seja uma matriz de rotação, alem de ortogonal temos que det PB = 1.Verificando, veremos que det PB = –1 ≠ 1. Neste caso, permutamos as colunas de PB e assim satizfaremos a igualdade. Sendo assim:
PC =
−
5
1
5
25
2
5
1
e det PC = 1.
Portanto, Pc é uma matriz de rotação. Observação: ao invertermos as posições das
colunas de PB, nossa nova matriz diagonal será dada por:
DC =
−
30
02.
Podemos então fazer a seguinte mudança de variável: Xr
= PC. Xr
’. Logo:
Xr
T.A. Xr
+ Kr
. Xr
+ 14 = 0 ⇒ (PC. Xr
’)T.A.PC. Xr
’ + Kr
.PC. Xr
’ + 14 = 0 ⇒
Xr
’T.(PCT.A.PC). X
r’ + K
r.PC. X
r’ + 14 = 0 ⇒ X
r’T.(DC). X
r’ + K
r.PC. X
r’ + 14 = 0;
onde:
DC = PCT.A.PC.
Calculando Xr
’T.(DC). Xr
’ + K.PC. Xr
’ + 14 = 0 teremos:
( )'' yx
−
30
02
'
'
y
x + ( )84 −−
−
5
1
5
25
2
5
1
'
'
y
x + 14 = 2.x’2 +
5
20x’ – 3.y’2 – 14 = 0
Nesta última equação não existe a presença de termos cruzados. Para que fique em
sua forma padrão, utilizaremos o método de completar quadrados (o que irá “eliminar” a presença na equação do termo linear x’).
Completando quadrados:
2.x’2 + 5
20x’ = 2.(x’2 +
5
10x’) = 2.( x’2 +
5
10x’ + (
5
5)2 – (
5
5)2 ) = 2.( x’ +
5
5)2 – 10.
Portanto:
2.x’2 + 5
20x’ – 3.y’2 – 14 = 0 ⇒ [( x’ +
5
5)2 ÷ 12] − [( y’ − 0)2 ÷ 8] = 1
11
A equação acima esta em sua forma padrão e centrada em
− 0;
55 e representa
uma hipérbole. Segue abaixo um esboço da cônica: Figura 6.a: esboço. .
Exercício 2: na equação da quádrica abaixo, determine sua classificação geométrica, a
orientação dos eixos principais, a matriz de rotação, a equação nas variáveis x’y’z’, o centro de suas coordenadas e sua equação padrão.
2.x.y + 2.x.z + 2.y.z – 6.x – 6.y – 4.z = 0
Sua forma matricial é dada por:
( )zyx
011
101
110
z
y
x
+ ( )466 −−−
z
y
x
+ 9 = Xr
T.A. Xr
+ Kr
. Xr
+ 9 = 0;
Como não há o termo quadrado juntamente com os termos lineares sabemos que esta quadrica está centrada na origem. Já a presença do produto misto nos diz que a quádrica foi rotacionada. Precisamos então de uma matriz P que diagonalize a matriz A ortogonalmente, pois assim eliminaremos os termos com produto misto e teremos a equação em sua forma padrão, que nos é familiar. Cálculo dos autovalores:
det(A – λI) = 0 ⇒
λλ
λ
−
−
−
11
11
11
= 0 ⇒ λ3 – 3λ – 2 = 0.
12
A solução do polinômio característico λ3 – 3λ – 2 = 0 nos da os autovalores: λ1 = –1 (com multiplicidade 2) e λ2 = 2. A classificação da quádrica pode ser dada pela tabela 2. Utilizamos a tabela e verificamos que trata-se da equação de uma hipérbole de duas folhas; pois temos um autovalor negativo e dois positivos, o que equivale a um autovalor positivo e dois negativos. Cálculo dos autovetores: 1º) associado a λ1 = –1:
(A – λI)vr
= 0r
⇒ (A + I) vr
= 0r
;
0
0
0
111
111
111
→−←
−←
133
122
LLL
LLL
0
0
0
000
000
111
; variáveis livres: y e z.
Da última matriz (dita matriz escalonada), retiramos que:
x + y + z = 0 ⇒ x = – y – z. Logo:
vr
A = (– y – z; y; z) = y.(–1, 1, 0) + z.(–1, 0, 1).
Observe que λ1 nos forneceu dois vetores L.I. Chamaremos:
vr
1 = (–1, 1, 0); vr
2 = (–1, 0, 1). 2º) associado a λ2 = 2:
(A – λI) vr
= 0r
⇒ (A – 2I)vr
= 0r
;
−
−
−
0
0
0
211
121
112
→+←
+←
15.033
15.022
LLL
LLL
−
−
−
0
0
0
23
230
23
230
112
→+← 233 LLL
−
−
0
0
0
00023
230
112
;
• variável livre: z;
• equação 2: 23− y +
23 z = 0 ⇒ y = z;
• equação 1: – 2.x + y + z = 0 ⇒ – 2.x + z + z = 0 ⇒ x = z.
Logo:
vr
3 = (z; z; z) = z.(1, 1, 1)
Em posse dos vetores vr
1, vr
2 e vr
3; pode-se verificar que eles são linearmente independentes. Em contrapartida, observa-se que estes vetores não são ortogonais entre si e, sendo assim, não podem formar a matriz P. Veja:
vr
1. vr
2 = 1 ≠ 0; vr
1. vr
3 = 0; vr
2. vr
3 = 0.
13
Utiliza-se então o processo de ortogonalização de Gran-Schimidt (ver apêndice c): 1º passo:
wr
1 = vr
1.
2º passo:
2wr
= 2vr
− 1Wproj 2vr
= 2vr
− 2
.
1
12
w
wv
r
rr
. 1wr
Calculando:
( 2vr
. 1wr) = 1;
21wr
= 1wr. 1wr = 2;
Logo:
2wr
= (−1; 0; 1) − [(1)(−1; 1; 0) ÷ 2] = (−0.5; −0.5; 1); Portanto:
2wr
= (−0.5; −0.5; 1).
Verificando, veremos que: 1wr. 2wr
= 0. 3º passo:
3wr
= 3vr
− 1Wproj 3vr
− 2
Wproj . 3vr
= 3vr
− 2
.
1
13
w
wv
r
rr
. 1wr −
2
.
2
23
w
wv
r
rr
. 2wr
Calculando:
( 3vr
. 1wr) = 0; ( 3v
r. 2wr) = (1; 1; 1). (−0.5; −0.5; 1) = 0.
Logo:
3wr
= 3vr
. Verificando, veremos que: 2w
r. 3wr = 0 e 1w
r. 3wr
= 0. Portanto 1w
r, 2wr e 3w
r são ortogonais entre si e formam a matriz P.
P =
−
−−
110
15.01
15.01
; D =
−
−
200
010
001
.
Mas, para que P seja uma matriz de rotação, precisa-se que: det P = 1.
110
15.01
15.01
−
−−
= 3 ≠ 1.
14
Note que det P ≠ ±1. Deve-se observar se os vetores da matriz P estão normalizados. Normalizando 1w
r, 2wr e 3w
r; teremos:
• Awr = (−1÷ 2 ; 1÷ 2 ; 0);
• Bwr = [−1÷(2. 5,1 ); −1÷(2. 5,1 ); 1÷ 5,1 ];
• Cwr
= (1÷ 3 ; 1÷ 3 ; 1÷ 3 )
Logo:
PB =
−
−−
3
1
5,1
10
3
1
5,12
1
2
1
3
1
5,12
1
2
1
; e det PB = 1.
Portanto PB é uma matriz de rotação e diagonaliza A ortogonalmente.
Verificando,veremos que: (PB)T. PB = PB.(PB)T
= I. Fazendo a mudança de variáveis:
Xr
= PB. Xr
’. teremos:
Xr
T.A. Xr
+ Kr
. Xr
+ 9 = 0 ⇒ (PB. Xr
’)T.A.PB. Xr
’ + Kr
.PB. Xr
’ + 9 = 0 ⇒
Xr
’T.(PBT.A.PB). X
r’ + K
r.PB. X
r’ + 9 = 0 ⇒ X
r’T.D. X
r’ + K
r.PB. X
r’ + 9 = 0
Calculando:
( )''' zyx
−
−
200
010
001
'
'
'
z
y
x
+ ( )466 −−−
−
−−
3
1
5,1
10
3
1
5,12
1
2
1
3
1
5,12
1
2
1
'
'
'
z
y
x
+ 9 = 0 ⇒
⇒ x’2 + y’2 − 2z’2 − 5,1
2 y’ + 3
16 z’ − 9 = 0
Após completar quadrados, teremos:
− x’’2 − y’’2 + (z'’2 ÷ 0,5) = 1
Esta é a equação de uma hipérbole de duas folhas, como foi visto na classificação pelos autovalores.
15
§6. Apêndices. 6.1. Apêndice A: MATRIZES ORTOGONAIS Definição: seja A uma matriz quadrada nxn. Esta matriz é dita ortogonal se a sua inversa for igual a sua transposta, ou seja:
A-1 = AT (01A)
Decorre desta definição que:
A é ortogonal ⇔ AT.A = I ou A.AT = I (02A)
Lembre-se que, a transposta de uma matriz A (AT) é obtida escrevendo-se as linhas de A, em ordem, como colunas. Um exemplo de matriz ortogonal é uma matriz de rotação
R =
−
θθθθ
cos
cos
sen
sen (03A)
que, por se tratar de uma matriz ortogonal, obedecerá:
RT.R = R.RT = I (04A)
Definição: um conjunto S = {u1, u2, ..., un} se diz ortonormal se, e somente se:
<uk.uj> =
=
≠
jkse
jkse
;1
;0 (05A)
Teorema 1: seja A uma matriz quadrada. As seguintes afirmações são equivalentes: a) A é ortogonal; b) as linhas (ou colunas) de A formam um conjunto ortonormal de vetores de RN
em relação ao produto interno euclidiano (produto escalar);
c) A xr
.A yr
= < xr
. yr
>, ∀ xr
, yr
∈ RN, ou seja, A preserva o produto interno euclidiano de vetores;
d) ||A x
r|| = || x
r||, ∀ x
r ∈ RN.
Teorema 2: seja A uma matriz nxn ortogonal. Temos que: a) a inversa A-1 existe e também é ortogonal; b) det A = ± 1;
c) considerando B uma matriz nxn ortogonal, o produto A.B também será uma matriz
ortogonal.
16
6.2. Apêndice B: DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS
Definição 1: uma matriz quadrada A é chamada simétrica se AT = A. Ou seja; uma
matriz A = [akj] é simétrica se, e somente se, akj = ajk, para todos os valores de k e j.
Teorema 1: se A é simétrica então A é diagonalizável. Definição 2: seja uma matriz A de tamanho nxn e D uma matriz nxn diagonal. Se existir
uma matriz ortogonal P que diagonaliza A (D = PT.A.P); então dizemos que A é diagonalizável ortogonalmente.
Teorema 2: se A é uma matriz nxn, então as afirmações seguintes são equivalentes: a) A é simétrica; b) A tem um conjunto ortonormal de n autovetores; c) A é ortogonalmente diagonalizável. Teorema 3: se A é uma matriz simétrica , então: a) os autovalores de A são reais;
b) autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais.
17
6.3. Apêndice C: PROCESSO DE GRAM-SCHMIDT
Teorema: cada espaço vetorial não-nulo de dimensão finita possui uma base ortonormal. A prova deste teorema pode ser feita de forma a nos fornecer um algoritmo para converter uma base arbitrária numa base ortogonal. Este algoritmo é dito também processo de Gram-Schmidt para obtenção de uma base ortogonal. Prova. Seja V um espaço vetorial não-nulo de dimensão finita com produto interno e suponha que { }nuuu
rrr,...,, 21 é uma base de V. É suficiente mostrar que V tem uma base
ortogonal, pois os vetores da base ortogonal podem ser normalizados para produzir uma base ortonormal de V. A seguinte seqüência de passos irá produzir uma base ortogonal { }nvvv
rrr,...,, 21
de V. Passo 1. Faça 1v
r = 1u
r.
Passo 2. Nós podemos obter um vetor 2v
r que é ortogonal a 1v
r tomando o componente de 2u
r
que é ortogonal ao espaço W1 gerado por 1vr
. Para isto nós usamos a seguinte formula:
2vr
= 2ur
− 1Wproj 2ur
= 2ur
− 2
.
1
12
v
vu
r
rr
. 1vr
(01C)
Observe que 2v
r≠ 0, pois se 2v
r= 0 então 2v
r não seria um vetor de base e isto significaria que
2ur
é um multiplo de 1ur
, o que contradiz a independência linear da base S = { }nuuurrr
,...,, 21 .
Passo 3. Para construir um vetor 3v
r que é ortogonal a ambos 1v
r e 2v
r, calculamos o
componente de 3ur
que é ortogonal ao espaço W2 gerado por 1vr
e 2vr
. Logo, 3vr
será dado por:
3vr
= 3ur
− 2
Wproj . 3ur
= 3ur
− 2
.
1
13
v
vu
r
rr
. 1vr
− 2
.
2
23
v
vu
r
rr
. 2vr
(02C)
Como no passo 2, a independência linear de { }nuuu
rrr,...,, 21 garante que 3v
r≠ 0.
Passo 4: Para determinar um vetor 4v
r que é ortogonal a 1v
r, 2v
r e 3v
r, calculamos o
componente de 4ur
que é ortogonal ao espaço W3 gerado por 1vr
, 2vr
e 3vr
. Teremos então:
4vr
= 4ur
− 3
Wproj . 4ur
= 4ur
− 2
.
1
14
v
vu
r
rr
. 1vr
− 2
.
2
24
v
vu
r
rr
. 2vr
− 2
.
3
34
v
vu
r
rr
. 3vr
(03C)
Continuando desta maneira, nós iremos obter, depois de n passos, um conjunto
ortogonal de vetores { }nvvvrrr
,...,, 21 . Como V tem dimensão n e conjuntos ortogonais são
linearmente independentes, o conjunto { }nvvvrrr
,...,, 21 é uma base ortogonal de V.
18
§7. Referências Bibliográficas.
• CALLIOLI, CARLOS A. & outros Álgebra Linear e Aplicações. São Paulo, Atual,
7ª.edição, 2000;
• HOFFMAN, KENNETH & KUNZE, RAY Álgebra Linear. São Paulo, LTC, 1979;
• HOWARD, ANTON Álgebra Linear com Aplicações. Editora Bookman, 2001;
• KOLMAN, BERNARD Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, JC Livros
Técnicos e Científicos Editora, 6º edição.
• LAY, DAVID C. Álgebra Linear e suas Aplicações. JC Livros Técnicos e
Científicos Editora, 2º edição;
19
ÍNDICE
§0. Introdução ................................................................................................................01 §1. Formas Quadráticas ................................................................................................01 §2. Diagonalização de Formas Quadráticas...................................................................02 §3. Cônicas.....................................................................................................................02 §4. Quádricas.................................................................................................................04 §5. Exercícios.................................................................................................................08 §6. Apêndices.................................................................................................................15
6.1. Apêndice A: Matrizes Ortogonais..................................................................15 6.2. Apêndice B: Diagonalizaçao de Matrizes Simétricas....................................16 6.3. Apêndice C: Processo de Gram-Schimidt.....................................................17
§7. Referências Bibliográficas .......................................................................................18