Exame No. 2 CONTROLO EM ESPAÇO DE ESTADOS MEEC, 2008

CONTROLO EM ESPAÇO DE ESTADOS MEEC, IST

Duração: 3horas 22 de Julho de 2008

Q.1 [4 v] Dinâmica de Sistemas Lineares. Considere o sistema dinâmico descrito por

Trace o retrato de fase do sistema. Para isso, calcule os valores e vectores próprios do sistema e faça uma transformação de variáveis de estado de modo a obter uma realização diagonal. Mostre, por simples exame do retrato de fase, que a origem do sistema é instável Q.2 [6 v] Combinação Regulador+Observador. Considere o sistema com entrada u e saída y, com a dinâmica em espaço de estados descrita por

2.a [1 v] Calcule a função de transferência G(s)=Y(s)/U(s). Pretende-se projectar um sistema de regulação de y em malha fechada, que resulte da combinação de um regulador (retroacção de estado) e um observador para o sistema. Regulador 2.b [1 v] – Dado o sistema com a realização acima indicada, mostre que é possível, com uma estratégia de retroacção de estado u=- [K1 K2]x, colocar de modo arbitrário os valores próprios do regulador resultante. 2.c [1 v] – Calcule os ganhos de retroacção K=[K1 K2] tais que os valores próprios do regulador sejam iguais às raízes do polinómio λ2+1.4λ+1 (polos de um sistema de segunda ordem com frequência natural wn=1 rad s-1 e grau de amortecimento ξ=0.7). Observador 2.d [1 v] – Pretende-se agora projectar um observador para o sistema que, com base em medições da saída y

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e da entrada u, produza estimativas do estado [ x1(t), x2 (t)]´. Mostre que é possível colocar de modo arbitrário os valores próprios do observador por escolha adequada dos ganhos de observação L=[L1 L2] ´. 2.e [1 v] – Calcule os ganhos de observação L=[L1 L2] ´ tais que os valores próprios do observador sejam iguais às raízes do polinómio λ2+14λ+100 (polos de um sistema de segunda ordem com frequência natural wn=10 rad s-1 e grau de amortecimento ξ=0.7). 2.f [1 v] – Represente num diagrama a estrutura do sistema de controlo total que consiste no sistema a controlar, regulador, e controlar. Indique quais são os valores próprios do sistema total. Q.3 [5 v] Controlo Não Linear. Considere um motor eléctrico de corrente contínua e denote por u, ω, e θ respectivamente a tensão de entrada, a velocidade de rotação do veio, e a posição angular do veio. A dinâmica do motor admite a descrição Dado um estado inicial arbitrário, pretende-se que a trajectória resultante tenda assimptóticamente para a origem. Suponha que só tem acesso à saída y=θ. Propõe-se a lei de retroacção

onde h(.) é uma função arbitrária que satisfaz

Mostre que a origem do sistema resultante em malha fechada resultante é globalmente assimptóticamente estável. Para isso, faça uma aplicação do 20 Método de Lyapunov e utilize o Teorema de LaSalle. Q.4 [5 v] Controlo Óptimo. Considere um corpo rígido que roda no espaço, sem atrito, em torno de um eixo vertical sob a acção de um binário aplicado u. Sejam ω e θ respectivamente a velocidade de rotação do corpo e a sua posição angular. A dinâmica do corpo rígido é descrita pelo sistema de equações de estado Suponha que tem acesso ao vector de estado. Pretende-se projectar um regulador para fazer o estado convergir para a origem utilizando recorrendo à teoria do regulador óptimo por retroacção de estado. Para isso, considere o critério de custo quadrático

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onde capta a “penalização” dos desvios de ω e θ em relação a zero, e ρ>0 é um factor de penalização da energia dispendida. 4.a [1 v] Mostre que o problema de minimização do critério de custo adoptado admite uma solução única por retroacção de estado que estabiliza o sistema em malha fechada. 4.b [3 v] Discuta o padrão de evolução dos valores próprios do regulador resultante em função de m e ρ. Sugestão: utilize o método de Chang-Letov para traçado dos valores próprios do regulador e analise as situações m=0.1 e m=100. Forneça uma visão intuitiva do resultado, com base num raciocínio de ordem física. 4.c [1 v] Suponha agora que não existe “penalização” no desvio de ω em relação ao zero, isto é, m=0. Responda às questões [4.a] e [4.b] adoptando este novo valor para m.