putnoki - desenho geometrico [v.03 ed.4°]

5/12/2018 Putnoki - Desenho Geometrico [v.03 ed.4]

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editora scipione


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JOSE CARWS PUTNOKI "JOTA"

ELEMENmSDEGEOIvlETRIA &

VOWME ESPECIAL PARA 0 VESTIBULANDO

edttora .ciplone


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R E S PO N SA S IU D A D E E D IT O R IA lLu tz Es teves So "umS UP fiM S AO E O OO IM lValdemor ValloRfVISAoplapClroo de OflglnoJs' CAlia M DeJmonI d9 AndrodeuNIsOo deprovos..Io$6 Roberto SeganflnlRuth K lUS ka R o soVera FedscheI1ko

D lR E < ; A O D E A R T EM BeaIrIz deCampos EliasAntonio Tadeu DamianiPROGRAMAGAO VISUAl E CAPASyfv '1o U IhOa C ln .tro

IWSTRAc;OES[)jartaC O M P 'O S K ;A O E A R T EDIartB Compolik;:Oo e ArIa Gr01loocoordenoQOo gerakNebon S. UrCdocoordenoQOo de or1e~:flnol:Silvio ViviancxxnposlCOo: Jooo Vuk l Fukul ldlogromoQoo: & Je ll M Ln orl b so kaIlustrocOes: JoOo Possosorte-flnol: Eliona Mlncov

tod". ". dtwitotI ,,,_,,MIioIi Id I1 :ora, i lC lpkme Itda.Ptav Carlos Gomel. '-6 - CEP 01501Caixa Poltlill S6. 131Tel. 37-41611989

dIv~1oFlua Fagundel, 121 . CfP 01508C.lxl Poltel ,65." 31Tel. 37-4151

ISBN 85-262-146& I


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SumarioApresenta~ao 51. Lugsres geom6trfcos .... ........... 7Retembrando as LGs j6 estudados . . . 7Lugsr geom6trico des pontos m6dios: LG 8... 10Lugar gaomstrico da rezfio constante: LG 9 .... 162. 0 m6todo da semelhanca 23Recordando os crltarics de semelhanoa . . . . . . . . 243. Quadrilateros Inscritlvels 294. Revisitando os trllngulas 365. TangAncla: cemplementos 626. Cicl6ides 70Construcao de cicl6ides . .. 71Traeado de tangentas e normais lis cicl6idas .. 757. Epicicl61des e hlpocicl6ides 79a conceito de eplcicloida . 79Epicic[6ides notavels . . . . . . . . . . . . . .. .. 80Construc;:ao de urns epicicl61de nota vel .. 81o conceito de hipoeicl6id 83Hipoeict6ides notavals 84Consuuc;!o de urns hipoe;cl6ide notavel . . . . . 84Construclio de epicicl6ides e hipociclOidesqualsquer . .. .. .. . .. . - .. 868. Espirais.. 88Espirais policSntricas 88Espiral de Arquimedes 909. Helices .. .. 92Cilindro circular rete .. " ... ,.................... 92a ccncaito de Mlice 93Projec;.ao da Mllee .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. 96Respostas dos exercfcios .. 96Bibliogrsfia 96


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Este trsbalho tam como objetlvo oferecer aos professores eestudantesbrasileiros urn curso que desenvolveos maie importantas t6picol dascanstru90es geom6tricas planas, elaborado de modo a trater o Bssuntode urnamanerre diferen\a da.quela habitualmente empregada. Apresentamos 0 DasenhoGeom6trico ptenamente integrado ~ Geometria. falendocom que 0 estudo dosproblemas de construcees evelua naturalmente a partir de teorias geom6tries .

.A Unguagsm utilizeds ne obra visa facilitarscompreendo. por parte do&Students. dos oonceitos apresentados. Para tanto .duas medidasfundamentais foram tomadas. Primeiro: eviteu-se 0 abuso de simbologiamatem6tica, objetivando dar maier fluidez i\ leitura do texto, Segundo: nasr880lu90es dos prob.lemBs de construclo,com multa fr8QOAncia, a8xposjcioverbal' 8compani1eda. de figures qUB mesnarn as etapss de. eveiucao dostraf;sdos.at6 cheger , forma finaL Desaa forma, alem da linguagem corrente, 0estudante disp6e de urna linguagem gr6fic8. que constitul um eficiente recursodldd.tico.

A obrs " composts de tr.sljwos~te)(to, cada qual acompanhado de urncaderno de atividade8. Nos livros4exto, cada capitulo que aborda ascanstruQaes 6precedido de um ssluda dos coneeitos epropriedadssgeomt1dcas necesstlrios para. apresent6-lo. Assim, v80 sa sucedendoc8pltuloste6ricos de Geometria a de construr;6es geometriess. sempre ecornpenhadoade exercfcios. As ativldades dos Ilvrcs-texto e doscademos.em conjunto, sacompleiBm e PBrmit;em explorer 8S mais varlades sltuar;Oes em que ccnvemcotecar 0 estudante para Iha &sseguraf urn born aprendizado, A divido dosassuntos entre as tr~s volumes seguiu ossaguintes critllrios: 0 volume 1 contem as t6picos Que constItuem aauilo que sa podeconsidersr a estrutura bAsica des cOl'lSttu90eS geometriess. 0 seu ccnteudetern a finalldade de dar ossubsldlos asseneiaie aosestudantes e ,professoresque, par ,azOes de carga horaria .. 516possam desenvolver este volume.

Com csessuntes abordadQs no volume 2 complete-sa urn cureo Quedesanvolve as temes rnals importantes des construr;:lSes georn6tricas.Emboraos exernes vestibulares nAo sejam a preocup.acAo central nosvolumes 1 a 2. grande parte dOB programas (jesses exames6 coneluldanesses dais volumes. 0 volumeespecltdpara 0 ve8tlbulando tfjm 0 objetivo deccrneternentar eaprofundar os t6picos desenvolvidos nos dois primeiros volumes. Ele edirigldo 80s candidatos eo ingresso nas escctas de engen,haria e arquiteturaqua incluem D,esenho Geometrico em sues proves de seler;io.Particularmente, 0 seu contaude , ,indispens6vel Ilqueles que pretendemlngressar no Instltuto Tecnol6gico da Aeron6utica (ITA).

Espero que este trabelho traga alguma contTibuir;:Ao 80 enstnc deGeome1ria. o autor


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1Lugares geometricosRelembrandoos LGsj6 estudadosPara Iniclareste capitulo, cenvern mencronar as sete lugares geom6tricosapresentados nos volumes 10 2 desta colecAo. onde assues construcoesencontram-se detalhadamente expostas. Para facilitar suacensulte. lndtcemcsjunto BaS enunciados seguintes 0 volume e a p~gina am quo eles sa ancontramnos dtados volumes.

ClrcunferinciaLG 1o luga" geom6t1'icodos pontos que estl!io a uma igual distancia de urn ponto (Ia clrcunfer6ncia Que tern centro nesse ponto e rate igus.l iI distlncia dada.

P E 17 - PO ... rPO""r- PE17

MediatrizLO 2o lugar geomiltrico dos pontos. eqGidistantes de dole pontes A e B it . ! I Imediatriz de A B .

P EfT - PA =< PBPA = PB -- P E f7

A B

l.embl".,e de que urnf igurlt !iTA denomfnadaIlBOmAtneo dos pontOSposlWam um8 propriedlQlIjando, SDment. qu, a d o . o. pontO'll "-poA"*" .proprledadlIOITIente01 ponto.popuema proprirlda

Vej. 0 lG 1 no pri,,".ivolume. paglna 87.

Veja 0 LG2 no prlmevoluml. P!gllUl 11

A medilluiz6 I JltlDerpendlCular iii ABeonduzlda pelo pontodo malmo


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Retas paral.'asLG 3o luger geom6trico dos pontes cujas distAncias a uma rata r slo iguais a J Aurn par de renes paraletas a r.

p

~( - -- -- --+-- -- -' P E E F - dIP. r) .. 1d~P, 'r ) = 1 - P E E F

:BissetrizLG 4o lugargeomAtri,co dos pontos eqUidlstantes de duas reras cancorrentes 8 e b6 urn par de retas perpendi1culares que contOm as bi1lSetrizes dos Ingulo.formados par 8 e b.

!TII

P E E F - diP. 8) - dIP, b)dIP, 8) - d(P. b) - P E [Tb

Area capazLG 5o lugar geom&trico dos pontos que enxergam um segmenta AS segundo umMgulo de medida tI' constante 60 par dearc05 capai do Angulo aconstruldos sabre AB.

PE ::T - APe = aAPe ... a .. P E .2 T

'8

I/~. 0 lO 3 t"KI pi'lme'lfOvo:lumli, pigln. 80.

1/01110lO 4 no prir"Jwirovelum pig nil 84.

Vela 0 l.G 15 '1"'0 pnmelrovolume, p6gifllll 101.Conv"" .. mbrar que umIf'CO CIp.!izcIe 90- umalern clrcunierlincll, Oell1.modo, POflI 0: .. 90-. 0 lG 5IIIcin:unferlncia d.diametro A B .


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Reta de Apol6nlolG eDados dais pontos A 6 B 6 um segmento I e . 0 tugsr geomC)trico dos pontos P,tail Que (PAl2 - IPSl" ... k2, iIuma rata ,perpendicular II reta AB .

!T

p P E tT- PA2 - PB2 "" 'l e 2PA2 - PB2 = - k2 - P E.';;-\\\\\,B.

Elxo radical!LG 7o luger geom6trico dos pontos eqUipotentes em relavio a dUSiS c!rcunferAnciasA8 1', de centres 0 e 0'. iIume reta perpendicular it reta 00'.

PEg- - Petr"" potr.Poti' "" potr. - P E T

Dos sete lugares 1.estudados, sem duvida as einco primeiros sao os que maisfrequentemente se empregam nas consttucees. 0 LG6 tern poucas apllcacOesB 0 LG 7 s6 6 impertantB para. os problemas de tsngencia.Porltm, devemos Bcrescents'r mars dois lugares geomMrico5 aos que jllestudamoa. Passa~emos. anNlo. ao primeiro deles.

VeIl! 0 LG e n o n gu nd ovolume, ptglna106.

V.js aLG 7 110 segunlIoiume, pagil18 1 1 1


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Lugar geometrico dos pontos medios: LG 8LO 8Considerernos urna circunferAncia J . de centro 0 8 urn ponto A qualquer 0lugar geom6trlco dos pontas mjdlos das cordas de .l~s re.as suportespassam por A ~ 0arco da circunferAncia de di.metro OA contido nointerior de A .

Para [ustificar esse lugar,consideremos urna corda PO qualquer de A que estsiacontide numa reta que passa par A. Sendo M 0 ponte media de PO, varnosprovsr que M pertence Jj circunfer~ncis de diamatro OA De '1a10,como OM 9perpendlculsr a PQ, conclui-se que M enxerga. OA segundo urn angulo reto.Logo, M partance a circunfer6ncia de diametro CA.

Tam~m se darnonatra de imediato que a circunferlncie de diametro OAintercepta toda corda de .,\;,contlda numa reta Que passa por A, emseu pontomtldio.10

Lembre.se de q I em 1 01 '1 0tnlilF1:!lulo isosceles IImedian. e IIlIltura ""stiva'IIball eo nc;idsm. Como OMIIIImod n. o ,,'al]"e , i ! l be.PO d o IT~ngulo isOscelelOpo, conclui II QueOM 6tambt !Jm tlUIlI, IaIO 6, OM 6pe,perxhcula, II 'PO


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Observ8Qlo: A propriedade continua vjlida quando A estli na circunferAncia ).au no seu interior. NessB! casas, 0 LG 8 e toda a circunfer6ncia dediAmetro OA.

Exercicios1 Sobre urna circunferencia do dados dols pontos A e C. lnscreva urnQuadrilatero ABeD nessa circunfertlncia sebendo qua as pontes

madios de AB e A t5 distam I de C. (A.B. CaD no sentido hcrarlo]

A A

Re.oJu9lo: Sejam Me N as pontas mlldios de A:Be .(C. Entao.conhecemos dais lugares geometricos dessespontos:

'PI: MeN distam I de C {LG 11.CPr: MeN sao pontes medics de dues cordas que partemde um masrnc ponto A(LG BI.

Ume vez determinados Me N. pcdamoa traver ABe AC, isto ii,podemas determlnar as vl!rtices BeD.

A


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2 Construa um triangulo ABC dados 8. mb BR (ralo de circunterenclacircunscrital.

5 POltO ra ofv do

R

Resolw;:lo: Tracarnos a circunferencia circunscrita e posicionamos BCarbitrariamente. Entao. podarnos detarminar Mb (ponto medio de ~l.pais desss ponto temos dues propriedades:

4'1: Mb dista mb de B (LG 1).4'2: Mb e 0 ponto media de uma corda contida nurnarats que passe par C (LG B).Determinando Mh, tracarnos por C e Mb 0 lade AC, isto e ,determinarnos A.

Os trii\ngulos ABC e A' Be sao as selucoes do problema.3 Construa um triiingulo ABC dados A = 90". a = 70mm e m b "" 53mm.Qual e . aproximadamente. 0 perfmetro desse triangulo?

1,4 Construe um trl!ngulo ABC dados a "" 50mm. A 600 e me "" 38mm,Qual e, eprcxirnadarnente, 0 perimetro desse triangulo?

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3 PIIIO

6",gll-,lo: ConflfUlndo 0 _arlCO CilpaZ cle 90- sabre BevoeA recalrA no problema8n1 rol.RlIsoIt I. os I l lm:1t: io& dB, a 4 dDclld.~no rill." ...dades,


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Dlv.lslo harmonicaNa sequAncla, vamos estudar 0 problema de divisao harmOnica e e teorema desblssetrizes.Esses sstudos do rrecessartes para podermos aprassntar 0 pr6ximolugar geom6trico.Problema _Dados dais pontos A e B de ume reta r, determinar urn ponto M de r tal que~~ = ~ ,ande man silo ambossegmentas au ambos rurmercs dsdos.

B

m n-Re.olue.o:, .,0 ) POI'A eB tracarn-se as rataa IIe b paralalas quaisquar2.) Sobre a tomarn-sa OS pontos Ce C' teis que AC = - AC' -- rn3:) Sabre b toms-se urn ponto 0 tsl que SO = n (nlio irnpcrta de quallado emrelac;:!oa r determine-se 01

As retss Co e C'O intarcepta,rn r nos pontes M e M'. que respondem ii ,questlo, au soja:

A Jus ficatlva 6 feitaBtrav6s de ssmelhanca de trifmgulos. De f8to,AM m16ACM "" 6BDM) ... MB - n

16AC'M' '" .6.BDM') _ AM' "".!!!.M'B nOizemo8 que as pontos M eM' divldem 0 .egm8nto AB harmonlcament8 n8razlo d. m 'para,n. 0 ponte M divide AB intemamentee 0 pcnto M' divide ASax ternamente.Tamb6m dizemos que M e M' sAo conjugados harm6nicos de A e Be,reciprocamente, A 8 B s!oconjugados harmOnicos de M a M'.

.6AC M '" .6 .BDMa

.6AC'M .... .6JBOM


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COnY8n~o: Considers os dais seg;uintes preblernas.1.) Dividir AB harmonicamente na razAo mn2.GIDividir .AB harmonicamente na razAo nmParaditereneiar essas dues divis6as, vamos eonvarrcionar qua quando seescreve "dividir AB" r A e B nesta ordern. procure-sa M. de modo que :,~.saja igual 8 ruAo de, divisio. Assim, os dois problemas tAm as segulntessoluCaes:1~I

AB esta dividido na raz.ode m para n.. AM AM' mPOlS M8 = M'8 ""n AB Batt! dlvidido na razao den para m,. AM _ .AM' = _ _ D _pors MB M'B mExercrcios

5 5Divida 0 segmento AB harmonicamente na ralDg 3"

R8Solu~ao: Oueremos determinar M, de modo que 58 tenha~~ = ~ . Para tanto basta proceder conforme a resotucao dlscutidaanteriormente e fazer m "" 5u en"" 3u" cnde u li uma unidadearbitraria.

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Ob_rvl qlJ8, quarldodl. l8mOtl qua M' di\ lid41 ASexterrUlment tam.ampliaooo ocone.ito d.divislo, um. 'Ifill que M' nlontI .ntnl A B.

Not. que dividlr AS 1\11 'lido..!!!., omumo QlHI dlvidifnSA lUI rulo..E..m


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E1 '6 Seja, AB urn segmenta de 63mm.e) Divide AB harmanicamente na radob) Divida AB harmonicamante na razaoSando M a ponto de divido interne, qual as medida de AM em cadaurn des dciscaaes?

7 Urn segmento AB de 40mm ! ! I i dlvidido hsrmonicamente pelospantos3 .. -X e Y os raz.o "5 ' Qua! ~.a medida de XY?

8 Sejam M e M' conjugados harmOnicos de A e B. Conhecidos A .. MeB. determine M'.

A B

ReBolw;io:lnicialmente conduzimos por .A e B dUBS retas ae bpar.alelas QuaisQuer. Entao determinamos em a 0 ponto C, de modoQue AG = AM. e em b a ponto D. tal' q.ue BD "" BM. Areta conduzidapor Co 0 intercepta 8 rem AB no porrto M' procurado.

Teorema das bissetriz8sTeoremaEm todo triGngufo. as bissetrtzes interna, e externa felativas a urn mesmov6rtiea dividem 0 lade oposto harmonicamente ena r8:Z~O das outros daislados.

a poola M' fd,enornina4~ harmOnica.

08 $emelharn;;11 do.trllngulos ACM' IIBOMconli l: lenmdo CI~BACII BD .. SM. J>QdSmQliustiflcar facilm.ents 8conlJtru!j:!lo, pols;

AM' .ACM'B .. 80. . d M . : . . AM.. M'B MB

Reso/YII 0$ flXflrt/cios dt5 9 do clll/mo dfItluvidllde!l ..


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C Oemanstrat;:lo

c

Tracamos por B a ratar para lela a ADdeterminandoB' em~. Entao .

cTracemos par B a reta r paral.ela a AEdeterminando B' em At..Entao,

B l . . . A ; 2 laltemcs internos)a ', " . A3 (correspondentes)Como A 3" A 2, conclul- sa que e , -e;. Logo. 0triAngulo ABS' e is6scelese AS - AB' = c..Assim,pelo tecrarna de Tates tarnes:CDDB b""-c

A partir desse taerema, vamos estebelecer urn novo, lugar geom6trico. e.q.d,

Lugar geom6trico da raziio constante: LG 9Primeiramente, analise atentamenta 0 problema seguints:Dados deis pontos A e B, determiner urn ponto M tal que ~~. = .~.Note, de inlclo, que ao menos duas solucaes sao conhecidas: es pontes MeM'. que dividem AB harmanicamente na razAo ~.

MA ... ~ M'A,.. .1MB 2e M'B 2

Porilm. podem-se determinar outras sclucoes. nao-pertencentes 1Irete .AB. Paratanto, precede-sa de, seguinte forma:1.") com centre em A e I'alo r convenlenre. desereve-se um 9,fCO A ;2.D) com centro em B e raio 2r, descreve-se urn area c p o

- 2r-

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M' B

Ds pontns. M, 8 M', , de lnterseccao de ,l " e c p , sao solucses do problema, j6que: M,A _M,B 2

M'Ae M:S "" .L1 200 rnesrno modo que M 1 e M; foram determinedos. podam-se determinartantas solucoes quantasse quiser, bastando para isso variarr.

B

'EntAo, conctui-se que o problema admite infinitas sctucees.Observe Que cada solu(:ao e um ponto cuja propriedade caracter;stica e ter arazao de suas dist!ncias aos pontes A e B consrante e igual. a ~,AgotEl, vamos responder tI seguinte indag8cao: Qual e .8 flgura determinada peloconjunto de todos as pontes cujas distancias aos pOntOS A e 8 tern razaoconstante? A resposta vern com a apresentacso de um novo lugar geometrico.

lG 9Consrderemos dors pontes fixes A e 8, e seiarn M e M' as pontes Que dlvidemAB harmonicamente na razaa m, Entao. 0 lugar geomtltrico des ponies cujasndIS(i~mciasaos pontos A e B lem ralitlo constante e Igua! a _m_ II ancireunterancia de diarnetr e MM'.


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M'

PA m .Sa PB =n' entDo P E rpPA mSa P E c p o entAo PB =n

A

Vamos demonstrar que se PA _!!1, ent~o P partance ~ referidaPB ncircunferen cia.De taro, seja P urn ponto que satisfaz a condlcao PA :IZ . . . ! ! ! . . . e tracemos as. . PB nbissetrizes lnrerna e externe relatives 80 vlmice P do triflngulo PAB. Sa.bemosque as p~s dessas bissetrizes sao as pontos Me M', que dividem'(h . t Ao PA . t 6 Ii m IteoremaUmontCarnene na raz PB rsto ,ne raz a ndas bissetrlzesl.

A

Como essas bi,ssetrizessAo psrpendiculares, conclufmos que P enxarga MM'segundo urn Mgulo reto. Assim, P pertence II circunferAncia de di!metro MM'tarcos eapazes de 90").

Tembern S8 demonstra que todo ponto dassa circunferAncia tern a razao desuas distancias acs pontes A 8 B constanta e igual a m.n18

Parll connrulr 0 lG 9p! 'IITWIIfO dlvldimos ABI'IarmonocamenlG nl raliiD.:!!!.,Dbfendo M 8M'.n

Entaa, balt8 ccnstru IIcl,cunlarlncia " de djjrnetJo~' ..

A circunfar!nCliI II' 0 LG 9,

Vll ja como lUI Ju.ti fice Quaas. bluet, ins PM e PM' &60pe'Pe ndrcuta res.20 ... 2 1 1 - 180" .12)" + fl .. 90"

Nota histOric.o lei 9 6 D5 118~tI$ c/lilmadocRcun'at'lm:ia 1MApcllOnio,me. t .al denomol'lllc;la impfOpna. ume lie!que enelug a r jill I I IH I conhe:c:KI(Iparmat.mlotlcos q1Hlanll1Cad8rem aua gaOmerra,


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Obaervec;lo:No lugar geomlltrlco da razAo constanta,a razao . ! ! ! . . tern que serndiferente de 1. De tate, para m -, teremos m - n e, pera essa case, c pontonexterno da divido harmOnica nila exlste au, como sa costuma dizer, esseponto II rejeitado 80 Inllnito.Ja 0 ponto de divisao intema 1I0 ponto m6dio de All. Lembre-s.e de que 0 porejsitad.o 80 Infinil0 chamado ponl.o Ilmpr6p

E interessante notar qua, quando a , razao .!!l tends a 1, a ralo dancircunferlmcia do LG9 tends 80 infinite, pais M'ss sfasta indefinidamentesobrea reta AB. Enquanto isso ..M sa aproxima do ponto m6dfo de AS.

No case limite de ,azao . .1 ! ! .. .. - 1, a circunferAncia do tG 9 se degenera numanreta, que nao 6 outra senao a mediatriz de AB.p

B

De fato. a medl.triz pode ser Interpretada como a lugar geometrlco dill razlcconstant. e 19ual. 1, pols todo ponto P de mediatriz de AS 6equidistante de Ae 8. EntAo.PA'" PB _ PA = = 1PB


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Exercicios9 Dados os pontos A e B. construa 0 lugar dos pontos P tais que

PA = 2PB "3 '

Resoluc;io: Drvidirnos ,!;'B harmonicamente na rado ~. obtendo M eM', a lugar procurado 6 a ctrcunferenera de ditJImetro MM',

E 10 Construe urn tritmgulo ABC, dadcs a, h O I e ~ = ~,A

3k b 3_ .... -5c

Resoluc;lo: Posicionando 0 lado Be, 0 problema se resolve com adeterminar;Ao do vertice A. Mas desse ponte conhecemos duaspropriedades:

Embo18 0 lG J constiW.,""de du s (etas para elas IIret. Be . I) COI'I$trul;Ao 8


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e1 11 Numa, "mesa circular" de bilhar estliio celecadas dues bolas situadasnas posiQoes. A e B de urn di!metro. Pretende-se lanc;,:ara bola situadaem A para que, ap6s ala ter se refletido num ponto X de tabela, venhaatingir a bola situada no ponte B. Determine X.or O J

Resolu-!;Io: Observe a figura onde sa supee a problema jtl resolvido eseja n a normal it circunfera.ncia no porrto X. Urns lei da Flsica garanteque, em relsc;;Aoa normal. a lingula segundo a qual a bola incide em X6 igual ao angulo. segundo 0 . qual ala se reflete. Assim,. X C 6 bissetrizinterne de tritlnguloAXBe, palo teorema das bissetrizas,XA _ QA . d XA _ _& T . t" d . -d dXB 08 ' OU 81n a. XB q ' amos, an ..a. uas propria .a espara a ponto X.

VJI: X partanes a circunfen!mcia dada.VJ1 :.As disttlncias de X 80S pontes A e 885180 na

razao _ e _ lLG 9).C !

12Os pontes XI e X2 sac essolucoes de problema.Construe um triangulo ABC, dados a = 50mm. m. -35mm e~ "" ;. Qual t,aproximadamente, 0 pertrnetro desse triangulo]Construa urn triAng.ulo ABC. dados a = 40mm, 5.-45mm e ~ =3c S'Qual eproxirnadamente. 0 perlmetro desse triangulo? Is. e abrssetnz interna relative a A )

E 13

NOf'mal IiIcircunlerAflCUIpOoto X e a ullaqus ppar X e peto centro DBc,.cunlerllncie.

Pa~e COflstrul. 'P2 (LGo,imelro ~ neces.sJmod,nerm,n,(lr 0' ..Ene pe 4hermOnlco, cUJ ~diHermhll1!l;:ftc fO J estudnoE1.S

RflSQI~1I as l!1t8JT;icio10 II '8 do CBdem()erividsdas.

Sug.sllo: IAmbreseque eo dl>l,dir AShermOnicamenlU' nil fI1 , 0 pon10 do dlVlsAomterna e 0 pe 1 ; 1 . , b,,.se,merna


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, 14 Construe urn trU!ingulo ABC,. dados II '!!!I 36mm,A - 1050 e . Q . . = 74.c .Quale. eproxtmadernente. ocornprimento da blssetriz internarelativaao v6rtice A"

, 15 Construa urn trlAngulo ABC sabando que BC "'65mm.BS. - 26mm eque a altura relative ao v6rtice A {hi} eo segmento Aurea de B " e " . Saessa trianguloa acutangulo. qual 6.aproximadamente. a medidade A 7Observel;:Oes para 0 15:S,~ 0 p e da blssetrla interna relativa ao vlrtice A.A deflni~~o e a coostrucso do segmento6ureo sao .apresentadas novolume 1, pc'tgines 140 a 142.o enunciado do problema especltlca que 0uiAngulo e acut.a.ngulo.Pois bern, quando vocA tiver efetuedo a construci1o vsi netar ,Que0problemaadmit8 duassoJucOes: um tri!nguJo a.cutAngulo e eurreobtusang:ulo. Desse forma. 0 onunciado restringe 0 nurnero de50lU0088 a urns 86, J6 que 0 triAnguloobtusangulo deveserdesprezedo. Esse artiffcio lIlHi vezes usedo nas proves devestibulares do ITA.

22

SugHflo: Amlo dBsdisl I IIll:llS de A (105 1/ I I ! ! r t i C 1 ! l &B C , conhecldg, pois. pelotuorema du biUetl'll".slIbemos que:

..!_ _ CS.c 88.

A

c


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o metoda da semelhanc;aPara dar urna ida-Ia mais ecncrsta claque vema ser 0metoda de semelhanca,cenvern anaHsarmos um exemplo de situac;Ao em que ale pode ser empregado.Para tantcceonsidere os segUintes problemas:Construir urn tJiingulo equU6tero.COl1struir urn trlingulo equi!atero de altura h dade.o pnrnairo problema a- indetar:minado. pais. emboraa forma do trillngulo estejadefinida, 0sau tamanho nAo esta. Assim, qualquer triollngulo eq(jjI{Jtero queconstruirmos S E r r a uma soluc;Ao do problema ..

Agora vamos analisar atentamente 0 segundo problema. Observe que, pelo fatade 0mangulo procurado ser equil!tero. a sua forma it conhecida. Mas. comoesse triangulo deve ter urna altura hdada, oseu tBmanho tamb6m estlttdeflnido. Vejamos como sa pode eonstruiresse tIlangulo.1.1 Constrer-se urn rriangulo eqiJllt ltero de ternanbearbltrarf.2.) Nesse trfangulo auxlllar. introduz-se a alemento lineer h dado.3.) Por homotetia, eonstrel-se 0 trlangulo procurado com 0 tamanho exigido.

1 passo 2. P sso 3 passe

E muito importante voe4 observar 'Que a resolucaa do problema tevs,essencialrnante, dUBS atapas: Na primeira estebsleceu-se a torma . Ne segunda, 0 tamanho.Tamb6m 6 fundamental vocA notar que 0 tamanho foi definido pelo elementoUnear h.Pais bern. a tscnlea uWizada na resolw;:ao desse problema tl chamadam6tododesem.lh8~a. 0 nomasajustifies pelo fato de partlrmcs de uma figuresemethantea procurada, mas de tamanho arbitrario, para em seguida dar a elaa tamanho desejado.Em slnrase, 0 m6todo pode ser aplicado sempre que sa pede a construr;:30 deurna fjgura da quail B dado 80menos urn elemento linear e cujos outroselementos dados deflnam a forma de figura. Partlcularrnente. para que voc&posse decidir quendoempregiHo nas construr;:oes de triangulos, convem reverbrevemente as crit6rios de serneihanca de triAngul;os.

Hque atenrc a aasecBraclerls.tlc.as dasQueSiD 8 fonna IIl.manho. Em TornoqUIllgirl 0 rrnhodolamelhanva.

Na realldade, 1 . 1 1 liv8oportunidade de aplecnica de resoiu,1oconltrUvOeI d. palrBgu 181'811II nOe!! probckI equ IVIIIenci., "02 dalla cole,lo. MagOl'!J. BliumOI dandcarateI' mall gllr.1 ,.metodo.


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Recorda,ndo os criterios de semelhanc;:aCriteria AADois tri4ngulos sao semelhantes quando dais tlngulos de urn s,,a,respectivamente, congruentes a dais Angu[os do eutro,

A'

4A=4A:e =0- .6.ABC tv M'B'C'4A;3413:B cEsse criMrio, a90r.a, deve ser interpretado de segujnte maneira.

A fORMA DE UM TR1ANGULO FICA DEFINICA ~UANDO DELE CONHECEIIIIOS DOIS AAGULOSCrit6rio ttlDais trilmgulos saosemelhantes quando as ladca de um sao proporcionais 80Slados dooutro.

/I.'

A6 0:;;. AABC "" 6A'B'C'c . J.,,~c'B II cA interpretacso que nos ccnvsm desse critario ~ a seguints:

A FORMA DE UM rA/Jr,NGULO FICA DFPIN1DA QUANDO CONHECJ:MOS SeOM!;NTDS au NUMEROSAOS OUAIS OS SEUS TRM LADOSSAo PROPOACIONAIS.

Crit6rio tALDoistriSngu!os do semalhantes Quando dois lados de um sao prooorctonats adais lados do outro 80S angulos compreendidos entre esses lados saOco ngruentes.

A,'

A6C e4Ae4- 'A . 'A interpretsy80 conveniente .~a seguinte:r-; FORMA DE UM TRIANGULD FICA DfFIN1DA QUANDO DELE CONIiECfMOS A R.Jl.ZAO DE 0015L.~DOS E 0 .t.NGULO COMPREENOIOO ENTRE fLES.24

Cl"iti!rlo AA: Itlla-!f1 crir*rio1nguIo. tngulo.

C rh 6 : ri0 UJ,._: leie-p I:i t6riol Ild o. l 1I :d o. !ado.

Crtulrio LA!.: 1."8e crlteno!ado. Angulo. IGo.


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Exercfciost::.:: 1 Construe um {riAngulo ABC, dados S , C emil'

Re.solu.;:io: Os angulos ~"e C definem a forma do triangu~lo prceurado.mas nao 0 tamanho. Entao. construlmos urn triangul,o AB'C' detamanho arbltrarlo com S ' :::: B e C ;: " . C, e. em seguida, introduzimosnesse triAngulo 0 elamento linear mil' Entae, par bornotetle,construlmos 0 triangulo no tamanho exlgido.

A

2 Construe urn triangulo ABC. dedos e : = 60. C = 45 e s. = 60mm.Qual 6, aproximadamente, a medida de Be?E23 Construa um trillngul10 ABC. dados hbe as segmentos I. men

proporcionais a a, bee, respectivamente.

RSloluc;lo:A forma do triAngulo esth definida. urns vez Que as SBUSlados sao proporcionais aos: s:egmentos c.onhecidos 1. men, rsto 6,~=_Q_= . f_1 m n

EntAo, construfmca 0 tJriangulo A'Be' de lades I, rn, n.B em sequidaIntroduzimos oelemento linear hb Par hemotetia. construlmos 0,niAngulo ABC co m 0 t amanho desejado,

A

A

Evolu\>iio do Irac;adQ

2 p.S&O

c


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2.4 Construa um triAngulo ABC sabendo que a. bee sao proporcionais a5, 6 e 7 e que m. - 58mm Qual 6, aprnxunadamente, 8 medida domanor lado desse tri ilngulo?1 5 Construa um triangulo ABC. dados ~, b e ~ = ~ .

LRaAolu9lo: A forma do triAngulo procurado estA definida, pois daleconhecemos a rado de dais lados e a angulo corrrpreendtdo entreales. Assim, primeiramente, construtmos um triAngulo A'Be'. detarnanho arbitrarlo, que tenha os lades adjacentes ao angulo apropo{cionais a 2 e 3. Entao, introduzimos 0 elemento linesr b portranslacao, obtendo 0 triangulo procurado.

2u

E 6 Censtrua urn trli!mgulo ABC, dados A =60, Sb = 65mm e ~ = j .Qual e . aproxlmadamente, a medida de AC7

E 7 0 segmento dado tI a lado de urn decllgono regular rnscrlto numaeircunferAncia. Obtenha 0 lado do pentllgono regular inserito narnesma circunfertmcia.

Resolut;:lo: Conforms estudamos no volume 2, 0 15 procurado 6 8hipotenusa de urn triangulo rettlngulo euios catetos sao 0Ie e 0 ' ,0'para pentltgono, 0 hexagono e decilgono regulares inscritos numamesma circunferAncia lou circunferc!ncias de raios iguaisl. Par outrolado, considerando as lados I s . 1& e 1;0 relatives a urna rnesrnaclrcunferencia, teremos:1 1 1_5 = _.!!. _ _ _ _ _ 2 !justificativa 80 ladolIs I;' lio

26

A'

B 2u C'

28 $SO

B 2u

Por S8rn9tkiltJ


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Entia, tomamos uma ciJcunfertlncia de ra,io r' arbitrario e construfmcsurn triAngul.o de lados 15 , 'e e t;o.lntroduzindo nesse trlAngulo 0 '10dado, obtemos fecilmente a Is procurado, p 0 2. p so

o segmento ABe 0 15 procurado.8 Urn pentagono e um decagono regulares astao inscritos nurna masma

circunferAncia. Sa 0 lado do pentil.gono mede 52mm, qual e a medidado lado do decilgono71Resolv8 grafieamente,l9 Construe um triAngulo ABC acutAngulo, dados A, hi e sabendo que

BH. m---_ A

L-----4--------~cH.Resolu~lo: Suponhamos 0 problema iii resolvidoe tracemosB'C'paralelo aBC. Ora, a tnlngulo AB'C' B semelhenteao trillnguloO'H' ..procurado. logo nele tamb6m se dt! a proporr;lIo C ' A ! = r ; : .Como 0 seu tamanho 6 arbitr{nio, par cenvenlsncta, vamos tomarB'H~ .. m e C'H~ = = n. Entaa. 0 trianguloAB'C' pode ser construldo.pais dele canhecemos A. B'C' e H~. ApOs sua ccnstrucao,introQuzlmos h. na figura e obtemos 0 triAngulo ABC.

A

to . r I"3 & _ . ,It r' ,~. . _ ! t. '! '! !"t; t:n

2

. .


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E210 Cons:trua um :trf,Angulo .ABC. sabendo que AS . BS. e CS. doercporcienels a 4, 2 e 3,respec:tivamente, e Q.uaAB '" 65mm. Qual 6,eprcxirnsdemente 0 comprimento de bissetriz intema AS.?Sug.stlo: Sendo u ums unidade arbitri!uia e fazendo .AS~- 4u,B'S~ .= 2u e C'S~ '" 3u iI posslvel coosrruk um triangulo AB'C' quetern a forme do triAngulo procuradc. Talconstruclio 6 oexerclcio 16do csdeme de etlvldades,

28

A

Resolv. os lI}UllCcios dfI19 III .26 do Qd"rno dll.iJlividllldes

c


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Quadrilateros ,inscritfve isNo volume 1 desta coIEu;:ao, hill um capftulo dedicado As construc;:~es dequadrllateres. A tltulo de ccmclementacao do assunto, varnos agor,a realizer urnestudo das construcoes de quadril"teros inscrttrvels em circunferAncias.Tear.mas1 .0 I Todo quadrnaterc lnscrlto numa circunferAncia possui os pares de angulosopostos IfIIJplemontares.2:") Recipro.camente, rode quadrtlatero que passui urn par de Inguloll opo.tos8uplementares 6 inscritfvel numa elrcunterencla.C Oemonstraljli5es:Para 0primeiro teererna considerernos urn qued'riI8.tero ABeD inscrito numacircunfer6ncla e s eja m A - a e t= y .

Entia, ~mos' B C D " " 2a e B A D - 2,Como BeO + . B A ' 6 . . . 3600 podsmos ascrsver:2a + 2, - 3600a + y - 1600

Este ultima igualdada mostra que as Angulos opostos A e C sao suelementares.Passemos agora 80 segundo teorema. Seja ABeD urn quadrilAtero em que A . eC sao suplementares. Queremos prover queesss quadrilMero e inscritlvel numaCI rcu nfer6n cia ..Para tanto, consideremos a circunter6nc'18 que p asse p alos pontos A, B e D.Vamos prover que C tamb6m pertence a esse circunfer6nc:ia.

A A

c

B B

lembre-sll de Queele umti ngulO :Inilccircunfer ilncia igmeted. da medid.Que elo enxerga. lupermite COfl(liuir o

A-()-~-.2"C-y-BAD-2yA

Note que ... 4A e&upjementllres~ e. nl40 tumbGm dosuplementarea, !XIA + C 'I- . a + 0-1aOD: . a + 0 -

Observe qUI, Ie ~areo capa! do ,ll::conatruldo sabre 8que complete Icircunlerlnc: a de .~arco 'Clpa;E do luplado Ingulo A .

A

p


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Notemos, inicialmente, que B A D 6 urn areo capaz do !ngul0 A construfdo sobreBD e que a ponto C enxerga B D segundo 0 angulo t.. Como cc ~ osuplemantode < C A . a ponto C pertence a urn area capaz do suplemento de


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Antes de passarrnos aosexerctcics, convern Que voce sa detenha nasseguintes ebservaeees, Que podem ser uteis nas ccnstrucbes de quadrllaterosinscritlvBI e.Quando trfis vArtices quaisquer do quadriJtitero lnscrinvel jii estiverempesieianados, note que a circunfer~ncl'8 que passe pelos masrnos i! I acircunferAnciacircunscrlta eo quadrihUero. lstoe, posicionando trls verticesvoct pode ,eenstruir a circun.ferincia circun.crits.

B

LG do v6rtlce 0

Semp.re que it conhecido um Angulo segundo a qual um vertiee enxerga urnadiagonal dada, au umlado dade, vecA pede construir a circunfer6nciacircunscrita, pais esta it 8' circunferencia que contsrn um arco capazconstrutlvel

A A

ExerciciosE31 Num quadril;Uero ABCDos ongulc8 Intern as tAm as seguintes

medidas: A = 2x, 1 1 = ~ + 40", C ... x eO"" 2x - 10.VeritiqU8 que esse Quadriliitero III inscritlvel numa circunfer~ncla.Reaolw~lo: Como a soma des medidas dos angulas mternos de urnquadrilatero e i.gual a 360, podemos esc rever:

2x + (~ t 40) ....x .....f2x - 10") = 360"Dassa equ8.;:iJioebtern-se x 60. EntAo. as medidas des Angulos doquadrilatera podem ser calculadas.

A . = 120.A = = 70", e = 60" e O =1,0"Assim, vO-se q.ue os pares de 8ngulos opostos . a . . A e A . - C , . a . . i 3 e 40 saosuplementares ..Lago, a quadrilatero li lnscrltlvel.

A figura 10 lado lIustraS!tu89"0 IT...91.111s a o da diagOO8I AC a ~ I8.aBC. A cj'cunfertnciaclrcurllcrita 80 trl6l"lg\.JA'BC e a circunfertnciacircUflSCifa 10 quadriIABeD.


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E 2 Oentre os quadrilatsros segulntes. identiflque as que sao inscritlveisnuma circunferAncia.a)

3 Calcule x nas fjgu~as seguintes.

e J

bl

dJ

E 4 Sao dados urn tritlngulo ABC e um___Eon!Q_P.onduza urns rata rque passe por P e corte os lados AC e AB nos pontos X B Y,respectivamente, de modo que B, C, X e Y psrtencarn a umamesma circunfarencla.

A

32

A


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R.soluc;lo: Observe e IgUr.onde ja imagine 0 problema resoMdo.Como o,qUlldt'lfaTlm11!e'


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E3.6 Dados: AS"" 30mm, BC - 35mm, AC = 50mm. Sabendo que asdiagonais s a o perpendlculares, qual tI, eproxtrnedemenra. a perlmetrodessa quadril~tero]7 Dedas: AB, AC, B e AtB = a, onde E e 0 ponto de intersecc;ao dasdiagonais.

A

LResoluc;Ao: Como toram dados AC e 8. podemos consrruir acircunferAncia circunscrita ao Quadrilatero, pais esta 6 a circuntersnciaque contem urn erco capaz do angLJlo e : construldo sabre AC, Emseguida determinamos B, js qua sua disUlncia ao vertice Ae dada. Parfim. jil que 0!ngulo des diagona;s e dado, pademas trayars diagonalBD, pais a 5 .. 1a direr;:ao e conhecida. Para tanto, tracarnos uma reta sarbltr6ria formando oangulo .a-com a rota AC 0, em seguide, tracarnospar Burna paralala a s.

8 Dados: AB = 55mm. AC = 50mm, CD'" , Bmme a " " 45". Qual e,aproximadsmente, a medida de diagonalBO?9 Dados: AS = 40mm. AD = 30mm, B -90"13 ASO - 30". Qual e ,apfoximadamente, amad.de do lado CO?10 Dados: a . AC. CD e 1 = AB + BC.LAC

CO

D34

Evol -.10 do tRt;:lIdo, pelto

area- ea1)81 do Ingul (If!

SUV-ltIo; Nole que BanxarRI' AD "i'Jl 'Klo urnAnGulo de 30. EnLllo, voc'pooe construir IIClrcunfuu!l...clu CIlr(;UlaCm'aao quadnl8ll1/c II parrn deumareo CI~ de 30 sabraAD


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RSlolue;:lo: Primeiramente. tracarnos um area capez do Angulo a obreAC. 0Qual. como sabemos, determine a otrcunterancla elrcunscrita 80quadril6tero procurado. Introduzindo 8 soma 1 dada, na forma dosegmento AE . conforme indica a figure cnde 0 probJs!JliI esta sucostoresolvido podemos deduzir facilmente que E enxerga AC segundo urnAngulo ~. ISe necessaria. consulte 0 vofume 1, no cepltulo 16,soma au dlter.nlt8 de elementos llneare . ) Entao. podemos determinarE. POlS desse ponto conhecemos duas propriedades:

'P,: E enxerge AC s8gundoo 4ngulo ~ (LG 5).qJ2: E diata I de A IlG 1).

Uma vez determinado E, obtamos 0 v6rtice B na lnterseccao de AEcom a circunfersncia circunscrita. Finalmente. determinamos D . paissua distAncia 80 v~rtice C l! dada.

Os quadrilateros ABCD e AB'CD sao as soluc;:Oesdo problema.Oba.rv~lo: Convern notar que 0 centro do area capaz do angulo ~eonstrulda sobre AC 6 a ponto media M do arco capaz do angulo econstrufdo sabre esse mesmo segmento. De fate, nas figuresseguintes, observe que 0 Angulo AMC 6 central com relacao acircunferancla Que tam centro em M e passa POl' A e C (A).

E

Entao, I !i imediato QU A~C - ~. pais todo Angulo inscrito numacircunferAncia e 8 metade do Angulo central correspondente.

Ev~1o do (~ado

2-areo eap&:2 eo I~ulo

3 pa

E

AMC um Iogu 0 caAEc urn Ingulo InscAEC _ AMC2

ffuoW. inex.rcicios27 II 34 do CIIdBmD dIItivldlld .


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Revisitando os triangulosNo volume 1 dasta cetecao h$ umeapltulo dedicado BOS triSngulos,. ends sefaz um estudc de vtlrios rnatcdos empregados nas ccnstruceesoessespollgonos; 6 fundamental Que voeG os conneca. No entento, h6 situ.sQoes emQue 1 '1 construcao de urn triang.ulo n~,o recaiem qualquer m6todo gars];. saoCSISOS em que os elementos dados para ccnstrul-lo nos obrigam 8 crier umaresolur;oo muito perticulere, par essa railla. esses eroblernas costumamapresentar um maim gr.au de dlficuldade. Alguns deles tornaram-se problemas.clllssicos, e s30exatamente s,lguns desses que vamos estudar neste capf1ulo.Se voc6 val se submeter a ex ames vestlbulares que t6m proves de DesenhoGeomihrico, principalrnente no caso do ITA, convarn estudae atentamente osproblemas aqui analisados. poi.s elas sempre t6m fortes chances de serampropostoa nesses exarnas,

T.riangulo 6rticoOefinh;:110Chama se 6rtico de urn triAngulo ABC 0 triAngulo cujos vertices slio as pes dasalturas dottiangulo ABC.

Para cede uma das figuras seguintas, HBHbHc Ii 0 tri!ngulo 6rtico do trh1nguloABC .

A

B

E muito lrnportante notar que todo triangulo n!o-rat6ngulo passui um (micatriilngulo6rtico. Por-llm. um mesmo triangulo H,H2H3 il 6rticoda quatrotriang.ulos diferentes., entre os quals umit acutangulo e osoutros trAssAooblusftngulos. 0 triAngulo acutlngulo 6 denomlnado trlingulo fundamental dotrllngulo 6ttJco H1H2H3.36

Deda a Imenu v.riedade dll&itua~lie. IIque PIlIm lelilfliS eonsfru,.6M de triAngulos,II." lounto 6, 118md"vId:a,o mall rico mlo dllCOIl&tru~~ geom6tricas.Po r 15M, .111.It quase queobnga10rio .mIJClm vestibular.l. de OesenhoGeomIJ IICO.

E intare,Hnflt obselVlll queo ITtangulo ,,.ta:ngulo nlo1'085UI trlAngulo OrticQ pols,I 1 C I l e , 01 1 p8:' cia duas 1 1 1 1 1 . 1 " "cO!ncidem. Obo"". "'IIIlg:urll llI1luinlll'. como 01r l .8nguloOrl : Ieo VII",umiodo"quondo A Hapro)dma. dll go- deiu dllIu(t.tir parEI A - 90-.

A

Hb I H~ coincidem cam A n;)trllngulo I1Itlngulo.


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As figuras seguintes. mostram os quatro tria,ngulos que possuem 0 mesmo6rtico. Note que podemos "enxergar"~ no interior do triAngulo fundamentalABC, os trlls triAngules obtusAngulos que pcssuem 0 mesmo ortico H1H2H3.

6HAB6HAC

ABBe

Agor.f;Ivsmes satudar urna proprieda.de que parmitira ccnstruir 0 tr.iAngulofundamental a partir do ttiAngulo erttco.

Teorema _As alturas de um triAngulo acutAnguio sao bissetrizes des !lngules internes dotriAngulo 6rtico ..

o Demonstrae;lo:Primeiramente, neternes que


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Para tanto, ebserverwos que osquadr"f5teros HHaCHb 9HHaBHc do amboslnscritlveis, por po.ssurrem. cada urn deles. urn per de angulos OP08tOB rates B,.p~rtanto, suplementaras. Entiio. do quadriltltem HHBCHb deduzimos QueAH.H" = A.CH~.pois SID I!Ingulos inscritos que enxergam 0 mesmo arco HHt:;.AHIIHb'" a (1)

Analogamente, no quadrilAtero HH.BHc deduz-se que AH.H~ = A~Hb'A~\Hc'" a (2 1

De (1) e (2)conclufmos que

Ess~ ultima igualdade rnostre que a altura AH. do trlAngulo ABC ~ bissetril deurn Angulo interna do triAngulo 6rtico. Do masma modo, demonstr8-se que asoutras dues alturas SiD bissetrizes dos ourresdels angu,los Intern os dotriA.ngulo 6rtleo.A

c.q.d.

ObservBlilo: Desse taererna decorre de imediato queas retas que contarn oslados de um trllngulo acut8ngulo slo bissetrlze. dos Angulosexternos dotriAngulo 6rtico.

A ultima propriedade permrte consrruir facilmente 0 triAngulo fundamental apartir do trHIngulo6rtico e, uma vez construldo esse triAngulo, e f4cilobterqualqusr urn des outros trlls triAngulos obtusangulos que possuem 0mesma6rtico.38

~ra justif,car por Clue .s atlfm >ABHb :. 4ACH


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ExerciciosE 1 Construe um tri3ngulo ABC.dados as pes das alturas, H Hb a He' asabando que o ( B 6 obtuse.

to !+

S posta r &0 vIda

c

R8S0tufj:lo: Primeiramen1e. tracarnos as bissetrizesdos !ngulos8xternos do tri6ng.ulo 6rdco obtendo a triE1ngulo fundamental. isto ~.,0triangulo HAC de figure onde 0 problema estli suposte resolvido.EntAa, asslturss do triangulo HAC lntsrceptarn-se em B.1"pa 0 2. passe 3~ pas 0

Ob rva~lo: e : precise que voca tenha bastante Bteneaa 80, marcar asvertices A, Bee do tri6nguloconstruldo a partir do 6rtico. Lembresesempre de que H HbB Heslo capts ds. alturas que panemdolv6rtlc8S A. Be C, respectivamente. Observe nas figuras seguintescomo as poslr;Oes desses v6rtices vanam Quando S9 passa dotri6ngulo fundamental e Dutro obtusAnguto que tern 0mesmo 6r1100.A c

Ob5erve que 6,en-e01 v6nicas contormeligu abaixo. N.la.I p O ! d" , 1 1 ' 1 . 1 ' 1 1 que pa H". 0 p6 de .altuf.parte de A. isto . AI'I5tlo em pDSi~6Mlov(lrtilllS.

A


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2 Construa urn trillnguro ABC acutllngulo,. dados H.Hb = 20rnm,HbHC 28rnm e H"Hc .. 30mm. Qual iI. aproximadarnenta, 0perlrnetro do trianguro ABC?

3 Construa um triAngulo .ABC. com


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Como a ponto M e eqUidistante de B e C , ele pertence a medlatriz de ~.EntAo. considerando um triangulo ABC qualquer, pode-se enunciar e seguintepropriedade:o prolongamento da bissetriz interne de< A e a m d atriz do lado BInterceptam-se num ponto pertencente 6 clrcunferAncia clrcunscrita eotri.ngulo ABC.

E x e r c i c i o s - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -E44 De um triAngulo ABC sao dados a lado BC em poslcao, a elreunterenciaclrcunserita e a dire


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5 Construa urn triangulo ABC, dados A, S. e a circunferAnciaci rcunscrlta.Su

M

Resolur;lo: Por A e S. trsf;amos B bissetriz de


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pontos rnsdtos MeN dos arcos que completam as circunfer ncias 3desses arcos cepszes, Asairn, determinando MeN. trar;:amos a retaMN, obtendo os v6rtiees BeD nos areos eapazes de 90". Entao. 6fAcil conclulr a construcao do quadrado

Alguns problemas clJssicos de tJ11nguiosConvAm Que voeA estude com ate ncaa as problemas que agora vamosapresentar, pais, como voeA ir a perceber. as suas resolucces sao. Asvezes,bsstante artifieioses. Para Que vocA pessa fid-Ias rnais facilmente. nestepr6prio livro estao propostos exerclcios correspondentes a cada urn dessesproblemas.

Exercicios7 Dados: h., ma e s .

ResoIUl;:Ao: lnlcialmante, construlmos 0 triAngulo AHaM., posicionandoo v6rtice A e a reta r Que contarn as v6rtices Bee Em seguida,determinamos 0 ponto S. sabre r, pais sua distAncia ao v6rtice A tconheplda. Como a mediatrlz de Be 6 a reta perpendicular a rconduzida por M podemos tractl-Ia. Entiio. na Intelseccao des 8mediatriz com a prolongamento de ~ obtemos 0 ponte MpertencentB 1Icircunferftncia circunscrita eo triAngulo ABC Assim,para 0 centro 0 desse circunferlmcia conhecemos dUBSpropriedades:

'P1: 0 pertence a mediatriz de BC.l ! p 2 : 0 partence II mediatriz de ~,

Rtlsolv. as ex,f lrc/ciO$39 /I 42 do cadsmo dIIlillidlJde$.

Como de costume. n oenunCll ldos seglJintes.sUbentendido: Construlritngulo ABC .Evo~1o do trlHfado1 pal 0


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Uma vez determlnado esse ponto, com oentroem 0 e reio OA,trl


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Observaylo: Os lados do trlAnguJo COG sAo ~ m" ~mb e ; me'Para construir aSSBS segmantos.,e prfltica proceder canforma indicamas figuras seguimes, anid'e, no l,u passo. a retar e 0 ponto P saopcslcionados de forme arbitr6ria.

1. D 0 2~ D so 3

PO ... ~ mb' PR "" .~ rn. e PS '=9 Dedas:m. "" 45mm, m~"'50mm e me = eOmm. Quel~,aproxlmademente, 0 perfmetro desse trI!ngulo?

E 10 Dados: b, c em,.

A

oRaaoluvlo: Supondo 0 problema jii reselvldo, prolongamos m. ate 0ponto 0, de modo a ebter M,D -AM . Entao,. 0 quad'riliitero ABDC 6 >urn paralelogramo. pois SUBS diagonals interceptern-ae em seus pontosrMdlos ..Logo, CD - AB. Assim 0 trilingulo AC06 construtlvel, jil quedele ccnhecerncs as tr6s lados:

AC .. b, CO "" c e AO "" 2m,Construi"do 0 triAngulo ACO obtamos, tacllrnente, 0 v6rtlce B.

A

c

E4 11 Dados:a" 42mm,b -50mm e me"" 40mm. Qual.,aproximadamente, a medid& de


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s P 510 fA

Rasoluc;:la: Na figure ende jll sa supee 0 prob.lema resolvido, tracamosa rata par M. e MD' Lembrando que assa reta 8 paralela ao ledo Aa. (!lrnediato que M.MbC = a Com rsso, para obter a tti2mgulo ABC,primeiramente construfmos 0 trlangulo AH.M", posicionando a v~rt1ceA e a rete r, que contemes v6rtices B e C. Entao .. do ponto Mbconhecemos dues propriedades.C P 1 : Mb enxerga AM. segundo 0 t!nguro 1160" - a) ILG 5)

. h.C P 2 : Mbdlst0"'2de r ILG 31 .Determinando Mb obtemos de imediato as vartices C 8 B.

A

8

Ob.erva~D: Nesta rasolucao s6 foi canstruldo urn dosarcos capazesde 180" - a sabre A.M. r : [usto idage r se 0 prob! ema nii 0 admiteoutra solur;:ao. que se perdeu por naiDtermos construfdo 0 LG 5 porcompleto. Perern, analisendo essa duvida com aten~ao, percebemosque ela nao procede. isto ! ! I . 0 problema admits solur;:ao uniea.pois 0arco capaz n~o eonstrujdo determina 0 ponto Me:e nao altere 0trii\1ngulo na forma ou no tamanho.

A

46

E...ol~1o do II Ill;:.doP 11'0A

3 p 10A

" pA .

--H

R(JSl)lvfI 0 IJx(!fI;.iclo 4'" doc"demo tie ISt" II;d :4d6~.


46/95

E4 13, Dados: a, ra A .Su 10 res tvAa

Evol~o do tr.,.,.da, p ~ 0

2 p so

I

Reso~uyao: Vamos imaginer 0E!oblema j~ resolVldo e ~eja I a incentrodo tl'l.angulo ABC. EntAo, Bl e Cl sao segrnsntos das bissatnzes de 8 J (e < t o Fazendo ~ ... (i e .~ :c:: y. temos:

aBle: BIc + ( 1 + Y"" 1BO" (I).6.ABC: A + . 2 f J + 2y ... 180" :;..

~ 2(1 + 2y = 180" - A :~~~ !.:90" - ~ (III

De til e (Ill. vem:90a - A =180"2

BiC - 90" + . . A .2De posse dessa relal;80, podemo6 proceder a construcao pedida. Paratanto, primeirament8 posicionamos . s c : ' e. entao, ternos duaspropnedades para 0 Incentro.

BiC

('PI: lenxergB BC segundo 0 Angulo 901 1 + ~ {LG 5)llJ2: I di,5ta r de BC (LG 31Ap6sobtarl. construjrnos a circunferAncia inscrita. Por 8 a Ctracamos as tangentes a ala Essas tangentes interceptam-se novenice A.

Observa~ao: Usando I' para Incentro obtam-se a mesma soluQ:.io,mudando apenas a POSII;l!O,


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14 Dados: a - 50mm, r - 13mm e A = 60. Qua! 6, eproximadamente, asoma das medidas dos Jados AS e AC ?

, 5 Dados: h i l I h t > e h;:,

A

a

Resoluc;;Ao:Sendo 5 a area do triangulo, temos:a h" b. hI!5--2= 2 c , he. . . ---2

, 1 )As igualdades em 11) mostram que a, bee sao inversamenteproporcionais a he' hb e he'Consideremos, agora, trlls segmentos quaisquer de comprimentos a'.b' e c', tais Que:

a' . hi =b' , hb = C' . he t2)Dtvldlndo, membro a membra, as igualdades em (1l e 121, tames:

a . ha b . hb C , he"' "a' . hI! b' . hb C'. habc7= -V"'" C' (3)

Dessa analise, conclufmos que quaisquer segmentas a'. b' e e'inversamente propercionars lis alturas dadas sao diretamenteprcporcionais aos lades do tri(\ngulo procurado. Assim. a trlAngulo delados a'. b' e c' terti 8 mesma forma do trllngulo proeurado.Entao. urns vez obttdos segmentos a'. b' e c' quaisquer, inversamenteproporcionais aha. htt B he' podemos construtr 0 triangulo procurado.Para tanto, basta apllcar 0metoda da semelhanv8.Ora, como as alturas de urn triAngulo sao inversamente proporcionaisaos respecnvos ladOS, podemos obter a', b'. c' como alturas dotriangulo de lados h., hb e he' Assun, a construc!o seguinte sejustifica.

, 0 pas 0 20 p o

48

At.n~lol E&Baconstru"lo8"' lge mUlta pr8C:Jl iO nosII C;8dollLembr.-se de Que duqu6nClas de nume.os tm.n, pi ell, u, vi saol('lV.Tlismeme p(OpOrClonlillSqu ndo.

PDf e.omplo, 2, 3" 4 AOInverumenle propgrclQnall12.8 e 6, 1'0;1;2,12""3.8-4.6

As iQu Idiltlell em ( 1 Jmosnam que a. !turas deum Iri ngula sloI,war menta propotclonai.os !ados,

Cb elVa lIS segulntessequ nefas:12.3.4114,6,81(12, B. 61

Tar'110 8 J')flmt:Wll Quanto ,I. unc! 0 IIwlI,samentePfopofciona s II tereelTa,ISto .'

1 2,12""3.8-4,64.12-6.8-8.15Mas, 00111 Que 'U duaspnrnerras sao d"ellImenl&proporclonalli:

2 J 44"-6-8"

Note, no 2~ pa o, que'a' . h,- b' h~- c' , h


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3 p s

R"SQlva 0 (Ixefek:io 4eademo de tlt lvidBdes

Observaclo: Para construlr segment.os Inversarnante prepcrcloners a,segmentas dados, M outros ertifteies aillm daquele que 10i utiUzadona resoluc;Ao desse problema. Um deles, bastante intereS$antB.~ 0seguinte:A partir de uma circunfer6ncia de raia arbitn\rio e de um ponto Pescolhldo de forma canveniente no seu interior, procedemos segundoas seguintBs passes:, p 0 2 P s

Os patencia de P em relsc;Ao a : circunfer8ncia. cenclut-se. no 3~passe, que:s' " h,. = b' . hb "" C' he

Isto tI. a', b' e c sDoinversamente proporcionais a h hbB h~"

, 6 Dedos: b. C8S."

o


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Re.solu~lo: Na figure onde jill se 5upOe a problema resolvido. uBQ:smo5CD paralalo a bissetrlz' AS,. Entaa. temos:C , = = cas, ""a talternee internosl.0 = BAS. = I'J (correspondentes)

Logo, (;,-0Assim, 0 triAngulo ACe II isOsceles, com AC


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Observe que todo triAngulo possul trb circunferAncjase1(~inscritas,c8da umarelatlva a urn lado. Os centres dessas circunferanclas sAo chamadosex-Incentrol.

sao de verrfica~lIo imedlatsas seguintes propriedades:As sarni-retas AE., BEge eEl: sao bisaeteizes dosAngulos internesdo trilngulo ABC.As retas E.EI)' E.Ece EI)EcsAo blssetrizes dos A.ngulos externos do trlAnguloABC .Como as bissetrizes interns e externa relativas a urn rnasmo vsrtice saoperpendiculares, A. Be C sAo os p~s dasalturas do triAngulo E a E I ) E c . Isto e ,ABC. 0 trlAngulo 6rtJco do lrUlinguloE.EbEe.18 Dados: a = = 35mm, b "" 44mm e c =S2mm. Qual e, aproximadamente,a medida de r.1

ObleN.eta: VoeApode obter E, na tnterseccac des blssetrizesexternas relativas 80S v6rtices B e C.

Os eenuOl dascircu 11hi rlne: ilu. 8X hulangenle. aOI laclO$sos vo!rtlces A. 88 Cdenouu:lOl 'por ff~fnpecli ....mente. 8 ora lc) ; por r ... 'D e ,~ .Lambresa d que, Qurna ~lrc.unftlr6neie(sngenc:ia (Ill ladol dsIIngulo. 0 centro penablsselriz da.&.H Angul


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Tangencia: complementosNeste capitulo. vamos retOQ'lsr 0 estudo dos probl'emas de tangOneis - pt -entre retas e circunferlmcias iniciado no volume 2 desta coleJ;:ao. ends.apresentamos sels problemas desse tipo. Adiantamos que o,pt 1 eo pt3serao bestente utll lzados nas constrw;6es queepresentaremcs 8 s.eguir. PoriS50, e fundamental que vocA ccnheca bern a's reso'lut;:oes desses doisproblemas. e, S8 neceuArio, consults 0 volume 2 paraestuda-Ios. Vejaababcoes enunoiados desses pfoblemas.pi 1Dadas dois pontos A e Be uma rata t. eonstruir urna circlJnfer:Ancia tangents .t ireta te que passe pales pontos A e S.

pt 3Dados dois pontes A e B e ums circunferAncia cp . construlr urna clrcunfen\ncia1 Que passe pelos pontos A e B e tangencie a circunferancia : 4 . .

Para rainlcler 0 estudo dos problemas de tang6ncia. terernos Que relembrar asseguintes propriedades da homotetia.

Lembre-aeSa duas circunfen'ncias. sao tangentes. 0 ponto H de tanglmcia e urn centrode homotetla das mesmas.Toda rata condul.ida por H intercepts as circunferenc~as em poriteshom6logos. osqusis sao extremidades de raioa paralelos.Reciproca.ment&. 'lioda reta conduzida: pelss extrem\dades de dais raiosparalelos passa pete centro de, homotetia. isto 6. palo ponte H de t8.ngAncia.

p

pP'

52


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Veja comoassas propriedades permitem ume nova reso/w;:ao, diferente da quefoiapresentada no volume 2, para 0 :pt 6.pt 5Construir uma circunfer'6ncie tangents II reta t no ponto T S tanqents tambllm 1Icircunfsl'Ancia cp o

Vamos imaginar 0 problema i'resolvido.

Seja e r s oraio hom61ogo de OT. Entia. palo que acabamos de relarnbrsr, a rataconduzida par PeT Intercepts a clrcunfen~ncl8 c p no ponto em que etatangencia a circunferAncia procurada. Assim, a construl;iJo ssguinte S8justifica.1~I Por C tralY8-Se perpendicular a t. detaernlnendo P e 0 em c p o2.") Areta oor P 8 T intercepts cpem H.3~1 A rets par De T lntercepta c p em H'.4 : ' " CH eci:i' determinam as centros procurados na reta conduzida por Tperpendicularmente 8 t.

ap

E

5


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l'

Observat;io: 0 pt 6 pede urna eireunferencta tangente a outra circunferAncia c . p(dada) 8 a uma rata t (dadaJ. conhecido 0 ponto T de tangitncie. na reta. Ora .aoinv6s de dar 0 ponto de tangitncia, na reta t, podemos dar 0 porno de tangenciana circunferllncia cp , isto i!, 80 inv~s de dar T, podese dar H. Nesse easedaterrninarn-se as pontes T e rem t, tracando-se as retas PH e HD.

Agora podemos passer ao estudo de urn novo problema de tsngQncia .,54

RtlsolVII 0 tl1fflrc1c1O48 d lJCIJr/flmodf l .r lv idlNH


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pt 7sao dados um ponto A, uma reta te urns circunferlmcfa cp o Construir umaelreunterancla Quepssse per As (angencie to c p o

p

ResOluC;Ao:He doi,s casas a sarem analisados.1~ case: Observemos B figurs ande j~ se supae a problema resolvido. Sendo Ta ponto em Que a cireunterencta A procurada tangencia t, pete queacabamosde relembrar.o raia C5 i tem como hom61ogo 0 r810cp ern cp o Logo. me c:PsliD oaralelos. 0, que garame Que a reta conduzlda par Pee 6 perpendicular a t.Assim, os triangulas 'PET e PHD sao semalhantas, pois:

~ ~ angulo comum e4 PET ~ .4 PHD lambos sao ratosl

EntAo', femes;laPET t'\I 6PHO) = - PE ... PT _ PE)( PD -= PT x PHPH PO I,J

Par outre lade, de potllmcia do ponto P em relac;ao .ll circunferencia A. podemosesc-ever:C P A ) ( PB = PT )( PH [2)

Por fim, de (1) e 12) vern:PA )( PB 0= PE )( PO 1

Ou ainda:Nesta ultima igualdade. os segmentos PA, PE e PO sao facHmentedetermintlveis; entsc, por quarta proporcionaJ,o'btemos PB. Ora, mas 58 A 8 BsAo conhecidos, 0 pfoblema S9redul ac seguinte:ConstJ'uiJ uma circunfarencia que pasllapelos pantcs A Be, tangenciea. rata r,ISla 6. deterrninando B. recalmos no pt 1.

,p

PHD 6 tim .lingula retc!estur insetll" num..&emrcllcunler4nCI8.

p


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: Esse problema. pode admitir rnais duas solu96es .nas Quais acircunfor8ncia qJ tangencia lnternamente as cfrcunferAncias procuradae.

A

Vamos imaginar o problema, jll resolvido. Seguindo a mesma linha deraciocfnlojs utllizada, verifica-se que as trlangulos O'HP B OET sio semelhantes ..(.6DHP rv 60ETI =I> OP = DH .= > DP)( DE .. DT )( DH (11. DT DE .. -

08 potGncia do ponte 0 em relaC;;ao a clrcunterencia A. tern-sa:DA )( DB ... DT x D'H 12)

De (1) e (21. vern:DA x DB =OP )( DE

O d DA DPu am a, DE = ~'p!;tNovamente, como f)A, . f J 1 : e DP sAo conhecidos. determinamos D B por qua.rtaproporcional. uma vel obtldo B, 0 problema 58 reduz 80 segulnte:Construlr uma c tcunferAncla que passe pelos pontos A .8 '.tangente ..reta t.Isto e. recalmos nopt 1.56

EAp6, .. det8"rmmu'Ylia dapon1aB. D prol>lltma PI"'" IIHrapt1.

p

E

p

E

A


56/95

R.sumindoPara obter as so'lut;:3es tangentes extemas. rraeamos PA e dererminernes B nosegmento AP Btt8V6s de;

PA PD----~PE C ~ ~ )Para abter as sa'uc~es tangentes;nternss. trSjf'amos DA e determinamos B noprclongarnento deDA etr8vlls de:

Ap6s a determinat;:io do ponto B, nos do Is casos, recafrnos no pt 1.o proximo problema de tang6ncia requer urna prepar80ao teorlca maiselaborada. Mas \Isle a penaestudli-Io, pais trate-se da urn problema, quain1:rigou grandes geOmeuas eolongo de his16ria; tsso poroue 6:a tr8vl!S dele quese resolve 0 meis famoso problema de ApolOnio: "Construlr Umili. clrcun1'er6nciatangente at:ri5 clrcunferlncia:s dad "', AI6:m disso vo06 irt! enriqueeer aindameis 05 seus conhecimentos de Geometria.Aillm dos teoremas sobra .QuadriJilteros. insctitrvels que enunclarnos no capltulo3 deate volume, taremos que estabeleceroutras duas propriedades dessesquad r il steros.TeoremaSeja Po ponto de Interseccao dos prolongamentos dos lados onestoa A B e CDde urn Quedril6tero ABeD.EntAo, se PA )( pe "" PC )( PO,. 0Quadril6tero l! inscritfvel numa c;rcunfer~ncia.

Sa PA)( PB "" PC )( PO EntAo ABeD l! inscritlvelA

p

o

L D e mo na tJ 1!M ;loDe hip6teS8. temos:

PA x pe ~ PC )( PO _ PA =POPC PBEntia, pelo crltArio LAt de semelhanl;:a, os trltlngulos PAD e PCB sliosemelhantes. pels dols lados de um sao proporcionais a dots do outre e asses.lados compreendem a Angulo p , que 6 comum aos tria.ngulos. Dessi!

seme/hance. concfui-ae que:PCB"" pAD =a

Asslm, 0 quadril6tero ABeD possui os Ingulos opostos A e C suplementares! . I t +. Y - 180), a que provaque ele e lnscrtttvel,

c.q.d.

:P

E

p

p

Os triA:ngulosPAD ,PCslo "mllhant'J, m..em poaf(:lIe.l InIol,nidU


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TeoremaSeja Po ponto de intersecc;: i:io des diagonais de um Quadrililtero ABeDEnt~o,se PA )( PC ;;r PBx PO, 0 quadrHilter06 mscritivel numa circunferAncia.

S6 PA x PC - PB x PO EntAo ABeD 6lnserinvel

[ g J "o cA d8monstra~i:io desss teorama 6 anliloga I) que foi apresentsda no teoremaprecedente, por isso vamos cmlti-la,

Exercicio1 Dentre as figuras seguintes h t : I quadritateros inscritlveis? Se houver,responde quais do.

b ) c)

T80remaSeja H um centro de homotetia de duas circunferGnciss. tp'l e '1'2' Entao, todareta S Que, conduzida por H, if'ltercepta 'PI em C e 'Pa em 0, C B D nJo-~hom6Io0os, determine as segmentos HC e HO, cujos produtos sAo constantes.

H

HC )( H D ... HC , x HD I = HC z X HD z ..... = c'-]ObHrv~lo: Os pontes C e D. bern como C1 e 0\ au C2 e 0z' s a odeno min ados antl-hom6Iogos.r, Demonstraylo:

H

58

dl

Lembrete: Observe e fjguraiijb.uxo, Ne!a C II C' .Himoomo 0" 0' do ponto,hOrMlogos, NJ.o-~1 1 1 '0 C it 0, .aim comoC' eD',

E interes .. ntenolBI quePOnt OS hom6!ogOlJ, ligedOll aH, dG'UmfllNim aaljlmenlOlJ


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Oa pataneis de H com relaCEio a r, olsabemo5 que He )( 'HO' I !I constante.Facamos" entAo:He )( HD' "'"k ,, )

Da homotetla (au, se voce preferir, de semelham;a dos triangulos H020 BHOlD')' tern-sa: ~ g ' = ~..... HD' - HD ~ 121Substituindo HD'. obtido em 12). na relat;Ao 11), vern:HD'

rHC)I, HD. Fr""kHe)( HD "" k. ~r

Nessa ultima relaci'llok e _A sao constentes, 0 que prova Que He x HD tambsmr6 eenstante, quaisquer que 5.ejam CeO anti-hom61,ogos. c.q ..d.

Ohservaglo: NSI derncnstraesc apresentade, tornou-se 0 centro H de homotetiadireta. mas 0 teoreme e va lido tambem para 0 centro dehomotetia inversa.

He 'It HD - He' )( HD' - He1 )( HO, - " ' 1Exercrcios

2 Nas figures seguintes H 6 um centro de homotetia das circunferAnclas.Identifiqueos pe,res de pontes homOlogos e as pares de pontos antJ--homOlogos eli indicados.a) b}


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3 Na figure .seguinte, H e o centro de homotetia inversa dascircunfer&nci8S. Demonstre Que 4 HAs E4 HOC.

01 paras de pontos A '8 C, Be 0 silo antl-hom6Iogos. Logo:HA x He "" HB, x HD

Entllo, 0QuadrU6teroABCD 6; ins.critfvel e as a . . ! ! B U 1 0 , S Que as diagonals. A t : ' e t ' 5 E i formam com as lados opestos .$li a DC 8110congruentes,.lata 6 , 4 HAs Iii4 HOC.

E 4 Ne figur8seguinte, H l! 0 centro de homotetiadireta descircunfer&nclas. Demonstre que 0' -+ I J . . , 80G

60

SLtgtIflIo: BuUI prOWl queoqUltdr lItero ABeD ,6IrnlcrltlvlIl.

R.sol'4 05 ex.rcl(;i(Js62, 63 do cer:lemo cJ..rivid.de$.


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TeoremaSa urns cireunferAncia .l tangencla duas outres circ.unfer6nclas 'P I e fl J2 nospontos MeN, entlo 8 reta r conduzida par MaN passe por urn centro de,homoletia de rpl a C P 2 '

Not. que MIN .&0.ntl-h.om4IogoI ~ "

o Demon.tr.~lo:Sej,a.M' 0 out"l'oponto em Quae reta r int.ercepts 'P2' EntAa, como 0& tr.i6ngulosOMN e 02NM' sa,o is6sceles, completam-sp de Imediato 0& Anguloe de rnedidesigueis I I I . Q na figure. ,,"881m, De AngulosOMNe 02~'N do congruen1BB.Consequantement.e,c:r;M#0:zM', Ora, como r passe pelas extremldedes Me M'de dols raloe parelelos de fIJ, e fl J2' entaa ele passa por um centro de hcrnctettadesSa8 dues clrcunferAncis8.

c.q..d.Obl.rv~.o: Casoa circunferAncia .l tangencie uma des dues hp, ou r.p2Jintemement8 e eeutra externamente, entAo 8 rstar. conduzida por M 8 N"passer6 palo centro de homotetla inverse.

Convjrn 1'*-t1t ern qrapilfl q,ua01 p-oI1lOale anli.horn(llogos 2'

Com esse. teorema8. reunim08 tiS tenementas Que permitem resolver urn novoproblema detangAncia,


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pt 8Sao dodos urn ponto A e dues ctrcunferencias (P, eCP2' Construir umacircunfertncia que passe por ~ e tangenc.ie 'P, e 'Pl'

+Resoluc;:Ao; Hi! dais casas aserem analisadas.A cirounfareneia procurada tangencie ambas as eircunferenctas dedas, auextama au internarnente.

Vamos supor 0 problema ja rasolvldo. Consideremos de 'PI e


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Esta ultima igualdade rnostra qua oquadrU6tefo ABeD' inscritfvel. 0 quepermlte determiner 0 ponto B. Urna vez abtido a ponto B. recalmos no seguinteproblema, jil, resalvido.Construlr uma clrcunferAncla que passs por dols pontos A e B dado. etangenel. urna circunferineia dad'. ICPlau C P 2 1 .Isto e. ap6s a eOl1strUl;:ao do ponto B., reeafmos no pt 3.Desta teita, a chave do problema I! J a consuueao de 8, a quail sefaz deseguints forma: .1.) Determina-s8 0 centro H de homotetia diretadecp,e flJ2' INa ebtencaoeaH, JlI fieam determinados as pontos Ce D antihom6Iagos.)2~1 Traca-se a reta por H e A,a unem-se D e A. S ejla () = HAD.3~1 Par C, tr8,.:8-see rete r formendo 0 angulo a com 'H e (segundo e POSiy80de figural, .8 . qual lntercepta H A 'em 8.

A partir de determinsyJo do ponte B 0 problema passe a ser 0 pt 3.

bmb,.t.: ObtvnytiodTral,;lImY doil reiolqUlllquer pBlllelOfi 0!JllIsmo "olido.

A rete eonduzida pelextrllmos dIne. ralintBlcepl1l I rell' quacontern os cenlTosem

Note que (I 3~ pltsso nConltru~O de S lu coque as I'ln~loa o,po.stoC, do qu.ld,iJ61ero ABeIOmsm-lIl llupfementll l1l

lIe$o/vll es e_~#ltr:ic,os5e 55 do c/J,*,no dI Ja fill/dlJdes.


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A circunferAncia procurada tangencia urns das circunferAncias dadasintarnamente B II outra 8)(ternamente.

Tomando, agora, 0 centro I ds homotetia lnversa de 'Pt e 'P2' enalogamente aoeaso anterior, demonstra-se {vele ao lado) que a reta Allntercepta acircunfer6ncla :l procurada num ponto B', tal que a quadrilataro AC'B'D' ,lnserittvel. cnde C' e 0' sao dols pontos anti-hom6logol. quatsquer deep, e C P 2 'A partir dlsso, podemos determlnar B'8, novamente. recair nopt 3.Para construir S' fazemoso seguinte:1~I Oeterminamos a centro I de homoterla inversa de!;,O e C P 2 ' (Conv6minsist!.r que, ao detarminar I, jA ficam detelminados os ponres C's O'snti--hom6togos.J2~) Traearnee a rata IA a unimes C' a A. Seja P =< lAc.3~ r Por 0' tracarnes a reta s formando a angulo p com 1 1 5 ' (segundo a posllfBOda figural, a qual intercepta A T em B'.

II

A

64

De potlncia d I Irn ra~Ill:

Como M' I N', C' a 0' 110pares c S e pontOli Inll-ham6logOi am !,pI II 'P2,lemos:IC' x 10' - 1M' x IN' 12l

Olt 01.121:IA x 18'- IC' x 10'

SUI Ultima iQual9de moatrlque, AC'8'O' 6 In.critlvel.

l..mbr.1.: Obta0910 da ITra~.m-M dola r.iOlllparulelos Q do .$a"t1dosconuirio . qualsquer.A r.-te t;onduzida 1 ) 1 : 1 0 1 1alCl:rlJmOIdane. I.loslntarcepllt a rlllJlqulcont6m 01Ca/ltr05 em I.

Obnrv. que 0 3~ pauo nilc'onltru~ao fill. com que 11.1diagonals AB' II D't". do,quaclrllatero AC8'O'formam Ingulos congnJllntillcom DI !adOi opos tOILI ~ af 5 7 W


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A pertlr da determinac;lIo do pontoB' e problema passe a ser 0 pt 3.

obS8rvac;10: 0 problema pode admitir auatrosolucees. sendo duas em cadscase estudade.

ExerclciosEb.5 s a o dadas dun cilrcunferlnciBs de centres 01 e 02' cujos raicssaor,= 35mm e '2 oa 15mm,B tais que a distl!incia desaus centres iI de60mm. Construe:

ala f.lguta descrita no enunciado;bl um ponto A distants 50mm de 0, e distants 60mm de 02;cl uma circun1er8ncia A . quepasse per A e teng.ncle externamente asduas circunferl!incias dadae. Qual 6 a medida do raio de A,sproximadamente?

6 SAo dadas dUBS circunferencias del centres 01 e02, euios ralos do'1 ... 25mm e '2 - = 20mm, e tals que 8 distAnoia de ssus centres ~ de6Smm. Construa:ala figura. deserita no enunciado;b) um ponto A dlstante 38mm de 018 52mm de 02;01urne circunferencia .l que mngencle a circunferencia de centro 0,.xtarnamentee IIde centro 02In1ernamente. Qual 6,aproxlmadamente, a medida do raio de l7

No prOximo problema vamos retomar 0 !rnjtodo da cOntr~lo diI8b1t;AD declrcunf.rlnci ... aseunte apresentado no volume 2 desta cDle~ae.

R f l S o I V .II0 3 e1fflrci(;J(J$56 58 rio urlemo ~IIlividades.

At6fl9lo1: PrOOLJfll fUCas 'construt;:o.u, com 0m6ximo capneho,


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ptgSao dadas uma reta t e duas circunferencies 'PI 9'P2' Construir umacircunferAncia ,( que tangencie !:PI' '1'2 e t.

Svpolta .esal..do

ResoIUl ; :ao : Na figure onde iii sa supOe 0 problema resolvido, vamos imaginarque a manor circunferencla, no case 'Pl' corrtraia-sa aUt reduzir-se a seu centroC2. 0 sistema todo deve acempanhar esse movlmento e, entao:c , o , contrai-se e torna-se c : p ; , de raio igual a r, - ' f . .~ dllara-se ate passar par C2 e tcrna-sa .t't translada-se de uma amplitude f2 e val para a posir;;ao t'.Assim, 0 problema: 58 reduz ao seguinte:

Construif uma circunfer6ncia A.'quap.asse por um ponto C2 dado e tangenCieum a circunfer@incia 'P i e urna reta t'dadas,Isto e , traeando-se a circunfen~ncia 'P i e a reta t'. a problema passa a ser 0pt 7. Com 0 auxllio daquele problema. obtemos 0 centro 0 de . I . , que ~ a que S8precisava para resolver o problema tniclal.Observat;i!io: Vamos apreveitar este problema para aprender como sa podsfaler urna pesquisa do nurnsro maximo de solucoes que se pode cbtar quandoS9aplica 0 miltodo da dilata9io e da contrecao. ainda que neose estejamantevendo essas soiucces. Para tanto, basta lembrar que quando acircunferencia menor se central, at6 sa reduzir a ssu centro, dependsndo dotipo da circunfen!ncia que seimagina ao super o problema resolvrdo.ves demaiscircunferencias podem tin qUB S6 contrair ou se dilatar e as retas podem terdais sentldos de transtacao.A partir desses ~atos,. esoecificarnente para 0 pt 9, podem-se imaginar quatrositua~oes:1.") 'PI ae contral 8 t tr8nalada-S8 para "baixo". Esta ~ exatamente a situacaoem que recafrnos na resoiucao anteriormente expostaAli, supunha-ss 1tangenclando lo P 1 e tp2 externarnente.2."1 1 . P 1 58 contrai e t tranetada-se para" clrna" ..Tal eituacsc cccrrera Quando }.

tangenciar C P , e '1'2 internamente.

66

'4',,, . . , . _ . . . . . _ - . . . . . . , . . . .'PI ,'.. A 'Tr~lJodo-se ! p i II I', 0problems pessa II 18. 0 1' 1 7.


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3") 'PI S8 dllata 8 ttranslada-sB !para "baixo". Ocorrera quando..l tanqenclar 4'1internamente e ' P 2 _ externamente.

__~ __~~~~~~~. -?__ l---L--~--~~~~------ _L__ r

4"J cp,se dilat8 e t tranJllada-se, para "cima". Ocorrera quando" tengenciar fP1externamente e C P 2 internamente. "'ejll um 8xemplo de,IIJeitllf 0.1dlldOll pal."HmiJ1l11rolW;;61U.

! . P I()Ora, como em cads uma das Quetro posstveis ettuacoes estaramos semprerecalndo num dos eases do pt 7. para cada urns delas podem-se tar duessoIUl;Os-s. Assim, 0 problema podera ter no maximo oito soIUl;:oes.Nota: Colocamos aqul essa discussa.o com a intem;;:ao deepreaentar uma fOrmametodlea para analisar 0 nurnero deselucees que um problema pode ter,Evidentemente. fica fora dos lirnites do born sensa pedir para construir todas 85soJUI;:e>esde problemas como 0 pt 8, au 0 pt 9,.ou ainda a pt 10, que seraestudado. Em problemas; dessa tipo, pede-sa apenas urns solut;;ao perticularou, enteo, ajeitam-se as dados para elirninar uma parte delas. Assirn, voce nacdeve sa preocupar demais com isso, POlS,na pratica,aose pedlr uma soluColioparticular. vccs vai imaginar 0 problema jll resolvido com esse sciucso: asdemais situat;;Oes ficam automaticamente eliminadas.

Com os dlld~ a:uimdII!lPOlltU5, n a u exlstemsolu~Oes dopt 9 If...,circunf.cOnel .. lprocutl ilngencle inlemllmentlt1P 1 ou !P2.

Construie urna circunlerf)ncia tangente a tr@S elrcurrferancjas ' P , . '92 e C P 3dadas. Resolt", os eX8FClc ios59 II 6' dOCBdulfio datlwdades.


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Re,olu~lo: Supondo 0 problema jil resolvldo. vamos imaginer a menor dati trAsclrcunferencias dadas, no caso < P 3 ' at6 reduzlr-se 8 seu centro. As damaiscircunferAnolas acompanham 0 movimento de rp3B, entao:c p 1 se contrere torna-se C P l ' de rai 0 19u8 113r 1 - r3fIl2 se contral s tome-sa cp~ , de raio iQual 8 r2 - r3J . sa dilate alit pSElsar par C3 8 tcrna-aa l'

No final dssse processo, problema pasSB.a ser:Construlr uma clrcunfer.ncla A' que tang.ncle dUb elrcunf.rlncla. GO; 'P idada, que paSH por um ponto C3 dado.Isto 6, ap6s a ccnstrucao de cP;s c p i , 0 problema reeai no pt8,que pennttedeterminar 0 centro 0 de circunfer&ncia procurade, que 6 0 que se preclsa pararesolver o problema inicial.ObservlU;lo: Apllcando uma anAlise antiloga, ill que se fez do pt 9, verifiea-seQue esse problema poda ter urn maximo de oito solucees. Nem vale a penadiscutHss indlvidualments, pelas razi5es JtlexposUl:s anteriormente, mas 8anallse pode ser feita lernbrando que am quulquersitua'Yio racai-sa em um 96dos dais casas do pt 8. cada um dos quais tern dues solurtoes.Supondo 'Pl como a manor das circunfer6nci8S1, ala sempre S8 contrairil at6reduzir-se a seu centro ...EntAo, resta estudar 8S possibilidades de 'Pl e 'P'l'

1~I'P, e


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Nota hl.tbdc8Opt 10 6conhecido como problema de Apot6njo, embora, na verdade, et e aaja.spanss ume parte de tal problema (veja 0enuncisda ao ledol, De qualquermodo, atrEw's de citat;;fies feitas por um maternetlcc grego chamado Papua(.aproximademente, 320 d.C.), ApolOnio escreveu urn tratado sabre tangAncias,no qual esse probleme comparecia. :Essa obra S8 perdau, de modo quenso S8conhece a resolw;llioque Apol6nio pode ter dado 80 rnesrne. Por tsso, OSmaterna-tiCQs dos s6culos XV I e XVII acreditavam qLle 0 grande geometra nAo 0tlnha resolvido e, assirn, 0 consideravarn urn verdadelro desafio fazG-lo. Dessaforma, 0 "problema de ApolOnio" ,adquiriu urn eerto status e grandasmatemfitlC09 the darem etel"lc;ao, como Descartes, Newton, Euler, Poncelet,Chasles ete., e IIImedida que 05 estudos da Geomerrla evolulam, variesre90tu~Oes Ihe toram dadas. Em particular, a resoJuCAo que aqui se apres&ntoutI devida 8 urn s)(cepcionaJ matemAtico franclls chamado Fran~o.is Viete {1 540-1603).

o el'llJ.nc;lldo do problApolOl1lo II 0 $lJglJinle"DIdos Iril elementoclJdll tum dO$ que i., Ps., um porno. l.Ima rluma circunt.(enc~a.I;;ons truir urns C I (C\.IiI"Ifq ue s ell, re ng en te 8 lIrl. ell",..nlos."l1'~ilJe urn pontIIgIllfica passer pelo


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Cicl6idesDefinic,loChams-sa ciclolde urna curva plana dasorha por urn pontede urn rate lou dopralongarnento de urn raio) de umaclrcunferencre Que role sern escorregamentosobre urna reta.Observa~ao: Na deffnil;ao acirna. a ctrcuntersncta e denomlnada cir.cunferinciageradora e a reta e danominada diretriz. 0 porrto Quedescreve a ciclOide 6chamado ponto ger.ador.Sa 0 ponto P geradof da ciclolde pertencea elreuntsrencta geradora, entao aciclOide il denominada srrnplee ou normal.

dCicl61de simples

Se 0 ponto gerador estci no interior da circunfer/!ncia geredora. a cicl6fde edenominada encurtada.

Clcl6ide encurtade

Par fim. sa 0 ponto gerador 8 sxtemo ~ circunferancia geradora, a ciclofde ,6denominada alongsda.

Cicl6ide aJongada70

A ligUla aD lado rnosnallm clcle dil clClOlde tlmples.iSle urna por!;.ttl dBc!dlmj'e descma pale ,pontOP qua I'Id 0 a Cireun t e.aile 181111ic ore cempletll umavelte mt fI lIB_


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A cada volta complet.e decircunferlmcia geradora a ponto Pdescreve urn eteleou um perlodo da ciC'lOide. Assim, a cicloide 6 urns curve peri6dic8, rsto 6, elarepete-se periodicameme em id6ntic8s condilj:~es.

Construcao de cicl6idesConstruC;iO da cicl6ide simplesNAo6 posslvelconstruir urna cicl6ide atraves de urn tracado contlnuo,utiJizando apanas regua e eompasso. Mas, com asses dois instrumentos,eposslvel determinar tantos pontes de urna ciclelde quantos se quiser. Dessemodo, a construcao dessa curva e felta por pontes, a examplo do Qua oeorrenas ccnstrucbes das c6nicas.Para facilitar a compreensao da construcao da cicl6ide, imagine que 80 longodo perlodo em que a circunfer&ncia ger.sdora completa umavolta inteira, sejamregislrados flashes do seu movimento, identificando algumas poslcoes doponte P geradorNas figuras seguintes, 0 eorrmrimento do segmJWto PO tIigual ao comprimentoca ctrcunferencla geradora ..Alem disSQ, tanto PO quante ecircunfereneia astaedlvididos em oito partes iguals,

4

6

-5' 6' 7' a

2

p 2' 3' 4''

3

l' 8' 6'' 4'

6' 7' a

Pnmell'amel'l1f:1, ObMIconforrne !II ci.eunfe.t!geradorll .010150bre edl,etrll, a POntO' ca2 em 2', 3 em 3 epar diante

Quando 0 ponto 1 papara a pos!~Ao 1', 0vBI par8 8 po5lo;lio emIe IInconllallU 0 pont511u80;IoInlclal

Quando 0ponto 3 ppara II polio;l!io3', 0va , p arB iIpOllo;lo, 11se enccntrava 0 pcrnsrtulo;lo In,c181

Quando 6 ca, em S',P pusa pare a po.fo;que 58 enconuall8, (Inil SllUilo;lo IllIcial


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A partir desses imegens do desenvolvimento de uma clcl6ide, passemos a sueconstrut;:ao. Para 'tanto, varnoe supor que 0 ponto ger&dor- aaja 0 ponto P 'emque a circunterAncia geradara tange,ncia a diretri.z na .posic-! io inicial., .") Determine-se Q sabre a diretriz. de modo que PQ aeja a retirficac-Ao [email protected]~1 Dividem-se PO e a .circunferAnclsgered'ore em urn mesmo numero departes iguais. Por exemplo. 8 partes.3."1 Palos pomos de divido da clreunferAncia. tracarn-se as rates 5" SZ,5S a s"p asa le la s 1 1diretriz. ~

4 I"5/


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ConstruoAo da cicl6ide encurtadaA constJ1J~Ao daicicl6ide encurtada 6 realizade de manelra lnteiramente analogsa ; que voce j6 aprendeu pera acict6idesimples,Vamos supor que, na sua posi~io i.nicl81. 0 ponto P que descreve acicl6ideesteja situado sabre 0 reio que tarn extremidade no ponto T de tangAncia dacircunferOncia geradara com 8 dlretriz, Entia, procedemos A eenstrucao deseguinte rnanelra:1 ! ' I) Determine-se 0 sobra a diretriz de modo que TO.seja a retifica~ao de

clreunterancle gerado~a.2~) Com 0 mesmo centro de clrcunferencia geredora,. dsscreve-se acircunferlmcia que passe por P.3. I DJvidern-se TO e assa segunda clrcunferOncia em um mesmo nurnero departes iguais. Porexemplo, cite partes.4~) Palos pcntoa de divido de segunda eircuafereneia tracam-se 8S retas S, 51'

52' 53 e 54 parelelas II I dire1riz.

/4


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Constru~iio da cicl61de alongadaPara construir a cicl6ide alongada, varnossupor que, na posil;:i!io inicial, 0pontoP Que a descreveesteja situadc no protongamento do raio que tern extrsmidadeno ponto T de tangancia de clrcunterencta garadora com a diretriz, Entao, aconstruyso e feits da seguinte maneira:1.0) Datarmina-sa Q sabre a diretriz de modo que fQ seia a,retifica~ao dacircunferi!tmcia geradora.2.0) Com 0 mesmo centro da circunferAncia gersdora, desersve-se acircunfer'ncia que pSSSB par P.3.) Dividem-se TO e esse ssgunda circunfer~ncia em urn mesmo numere departes iguais. Como example. varnos super, novamente. oito partes.4.0) Pelos pontos de divis.!o de segunda circunferimcia. uacam-ss as retas 8,

51 52' 53 e 54 paralelas a diretriz.

5,) Com raio 17 (ou T1)e centres em , i e T descrevern-sa arcos Quedeterrnlnarn em 51 dais pontes da cicl6ide.6~1 Analogamente, com rates T6 e T5 e centres em 2' e6'. 3' e 5',respectivamente. descrevem-se areos Que determinarn em s1e s3 outrosporites da ciclclde.7!'1 Por fim, as perpendiculares ~ diretriz ccnduzldas per 4' e Q determlnarn em

54 e 5, respectivamente, mais dais pontes da clclerde.

6 11

3' 4' d.,,74

p


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Entao, basta untr os pontos jA obtidos da ciclOide para eonstrul-ls.

Reso/~6 osIJllercfcios7 ,


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2. c eneurtada

alongada

d

As retas te n sao a tangentee a normal no ponto S da cicl6ide,respectiva mente.Observs9Bo: Note que para a tracado de tangents au da normal III ciclOlde,sao necessaries fundamentalmente dois elementos: aclrcunterAncie do pontogerador 80 ponto T dErtangincia de clrcunferencia geradors com IIdiratriz.Casoesses elementos nao tenham sido dadcs, e preclsoconstrul-los.Os examples segu[n1es serao uteis para voc~ se famillarizar com a tang@ncia derata e cicI6ide ..

ExerciciosEG.1 De urna clclolde slo dados: urn ciciods extrernidad'es U e V, urnponto S penencente is ala e a diratriz. Construa 8 tangents l: I cieleide

no ponto $.

- - - - + c = - - t - ~ _d76

d

d

Neue problem. AcidbideIIpreunull:la II along dmas II lelOlul(o\o II anAlogpara os DUtrO! tJpos dedc;:16id.,..


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Re.o'uc;lo: Trayi!omos e medlatriz de UV determlnando: 0 ponto N 118cicl6ide. 0 ponto T na diretrlz e a ponto Mem UV. EntRo. ecircunfer&ncis de dtAmetro MN~ 8 clrcunferAncia do ponro gerador, aqual. urna vez cons1rufda, permits 0 tra


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3 Sao dados um clclo de extremldades U e V de uma cicl6ide simples ea djre;:iio t:. de urna rete t tangente. Determine a ponto S ern que arete t tangencia a cic!6ide.

d

Resoluc;io: Tracamos a medlatriz de UV determinando 0 ponto N Mecicl6ide e M em UV, e com di'!hnetro MN eonstrurmos a circunferAnciageradora. Em seguida, por N tTsr;emos urns reta de direC;ao A, a qualdetermine 0 ponto S' na circunferencia geradora. Por tim. tracernospor S' a rata paralela a diretriz determinando 0 ponto S procurado nac i c16 i de .

d R~soJ",. as .Xflff:1ciO$ d.14 8 ]ada clIdemD de fWltU des.

76


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Ep'icicloides e hipocicl6ideso conceito de epicicl6ideDefl" c;i!ioCbarna-se epiclcl61de a curva dascrtta par urn ponto de urn raio (au doprolongamento de urn raio) de uma clrcunfererrcla que rcleextemamente, samescorregamento. sabre dutra circunfer6ncia fixa.

Como nas cicl6ldas, a elrcuntersncta mllvel 6 denominada circunferAnciag.radora.a ponto que descreve 8 eplcjcl61de 6 charnado ponto gerador e aclfcunferenCll1 fixa .~denornmada ,eircunferincia dlratnra.Conforms 0 ponto gerador ,perteru;o iI circunferencia geradora. este]a no seuhuerlar ou no seu exterior ..8 epicicl6ide t! . chamada. respectivamenta. simples.encurt.ada ou .alonguda.

p

. . . . ;, ",, ', ;, ", ",, ".. . ;, ,. . . . ;'"Epicicl61desimples

Epicicl6ide encurtada

Como \la.c! ptlreebe.Bplcicl61dBs sAo an3loCiCIO'des. Por(jm. 8 redlremz das e'clOid8Saubsntutda polsClrcunfllri


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p

,/p;~ ;. . . . . ;, /. . . . . /. . . . . ;~ ;'" ;'" . ."~ ;'vEplclcl61de alongeda

Quando a drcunf$r.enoia geradora complete uma volta intake, 0 ponto gen~dordascreve urnclclo da eplclclolde.

Epicicl6ides not8veisSejam R e r, respectivarnente, as raios des circunferAncias diretora e geradorade urns epicicl6ide. Sa: r = Ac, n "" 1, 2. 3, ... quando a clrcunferAncia geradoranpercorre a Volta intaira da circunferGncla diretora, a epiclcl6ide tem infclo ettlrmino nurn mesmo ponto. Nesse caso, a numere de ciclos de epicicl6ide eiguel a n, isto I! i, a circunferAncia gerador.a da n voltas sabre 5i mesma paraenttio completer ums volta lntelra sabre a diretora. Observe 0 exernoloseguinte, ende r = ~-.

80

Sa r 1 ! . . , n - 1.2:. 3, nII ap.lclcl6lde passu! n eteleso POfIto onde III imcla 0prirmltco CIcio. 0 pWprlQporno da 16rrn:lno do ultimocicio.

Quando r" ;, allpickl6ida,PO'SUI nfllciclo . 011masma forma, pllU r'" B . . "4a ep!clcIOh:f. ,pot;lIUiqUlL1TOclclO5. eaa&lm por dl8nl .


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Es .picicl6ides particular., m que r = .fL, slo denominadas notavais e,rpara os casos em que n ~ 3, IS figure constitulda pefa reuniao dos n ciclos eehamada podgono 8plciclold I. Asslm. no exemplo anterior, vocA vA urnpollgono epicicloidal de tr&s ciclosE Importante notar que a cada cicio de urns eplclcl61de notavel de n cicloscorresponds urn Angulo central de ~ ns circunfer&nCIB diretors ..Por. nexernplo, no poHgono epicicloidal de trtls ciclos de figura anterior. a cada clclocorresponde um Angulo central de 3630

a, lsto '. 1200 0 conhecimento

desse Angulo e fundamental para sa construir um cicio de urna 8piclcl6idenotavel. ou urn pollgono epicicloidal.

Construc;Ao de uma epicicl6ide notavelComo exemplo, vamos estuder a construcao de urn cicio de urna epicicl6idesimples em que r'" :' lsto e, um cicio de urn poirgono epicicloidal de nuatrocielos.Para 0 inleio do desenvolvimento. vamos considerar 0 ponto P gerador comosendo 0 ponto de tangAneia entre as circunferGncias diretora e geradora. Entao.realiza-s8 a constru9Ao de eguinte maneira:1~IDetermina-se 0 area PC da circunferAncia geradora, que corresponds a um

ctcro de epicielOlde. No case. 0 area PO I ! ! I de 90a, pais P O . = 364 0 .2"1 Oividem-se 0 area PO e a eircunfer6ncia geradora em oito partes iguais.3.11)Com a masmo centro da ClrcunferAncia diretora. tracem-se as arcos a,. 82,8:J e 84, que passam pelos pontos de divido da circunferAncia geradora.Dar em dlante, a construcao da epicicl6ide se faz de forma inteiramenteanAloga it da ciclOide, apenas observando que, para 8. epicicl6ide, acircunferAncia diretora e os areos de clrcunterAncias concAntricos a elasubstituem a diretriz e as retas paralelas ill diretriz utllizades na eoostrucao dacicl6ide.

Dividll-s8 0 arco PO empartes ~gu8\.pO t sueessIIlIl;:ados de bias81rizes,


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Observat;;iio: As construeoes de ciclos de pollgonos epic.icloidais encurtados ealongados sao realizadas de forma enSilage a que se acabou de apresentar paraa epicicl6ide simplles. Porem, deve-se destacar Que, nessea casos, e Bclrcunfer6ncla do poneo gerador Que deve ser dlvldlda em olto partes Iguals eos arcos a, a, ,13:


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o conceito de hipocicloideD;ofinil,1I0Chame-S8 hlpoclcl61de eeueva descrita par urn ponto de um ralo ou doprotongamento de um raio de urna circunferllncia que rola Internamenta semaseorreqamentn sobre outra clrcunfer~ncia fixa,

Os ccnceitos de drcunferMcia geradora, cireunferenoia dlretora e pontogersdor selo Id6nticos eos Is estudados na epicicl6ide. 0 rnesrno ocorrecom aclassificac;:ao em hipocicl6ides simples. encurtadas e alongadas.

Hipocjcf6ide simples

Hlpoclcl61du encurtade

p" - "- ,," . ." "vHipocicl6ide along.de


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Hipocicl6ides notavelsSajam Ret, resnectlvemente. as raios dascircunfar8ncias diretora e geradorede urne hipociel6ide. Aaxemplo do que ocorrs com a apicicJ6ide,. 58r""' It,n ,. 2, 3, 4, ... , a hipocicl6ld. e chamada notAvel. Nesses casasnparticulares, a hipocicl6ide possui n eiclos, sendo que 0 ponto de infclo doprimeiro ciclo e 0 ponto de termino do ultimo clclo caine idem. Alem disso,acede cicto corresponds urn lingula central de 36nO" na cIrcunferAncia dlretora.Como vocs pode notar, estas silo as mesrnas propriedades, jl l 8S1udada.&,dasepicicl6ides notavels,

ConstrUl;;ao de uma hipocicl6ide notavel.A construcao de ums hlpociclOide notavel ~realjzada segundo os mesmospassos usados na oonstrucac da Bpiclct6ide. Acompanhe nas flguras seguint8sa pvoluC!o do tracado de urn ctcio de urna hipocicl6ide simples em que r ",.~.Note que, nssse caso .um cicio da h.ipociel6ide corresponde a urn area iPOde 120" d's circunfersncla di.retora,.pois P O - "" '~

4'

ObservacAo: As consrrucees de hipocicl6ides ancurtadas e alongadas tambernsAo Ieltas como as epicicl6ides destes tipos ..

84

.Note que para n" 1 ram_ -A, lito 6,ecHcun1ertnci:1 diretorlcoincide com I gerldo . ...NeUtl r;:aIQ nAa 118 clarine Ihlpi)ClcIOide: 1 1 1 1 . . , ptt... Queell .. teja dvli"ide 6 ,noc.u1!rio qua .e tanhar c R.

O. pares de .1101 cernr::entrO$ em " II 1', .2' .6'.3' e 5' .10 fllpeeWlmenteIgutlll " P7, P6 " P5.Con:v6m dUtaclilfQue, nocela au nipaclcloidheneurtadlll II along.da .clfcunlerlncja, do pontogerzrdor qUI! devl! asrdividida em leis parte.19ua~.0, areo!., II, It, 13 p

putnoki - desenho geometrico [v.03 ed.4°]

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