provas resolvidas

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda

PROVAS RESOLVIDAS DE CÁLCULO VETORIAL

Professora Salete Souza de Oliveira

Aluna Thais Silva de Araujo

P1 –Turma V1 – Data 29/05/2009

1) Represente a curva C por uma função com valores vetoriais

a) C é a curva é definida pela função

b) C é a curva definida pela função

2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por .

Encontre uma expressão que relacione a e b de tal forma que o fluido representado pelo

campo vetorial seja incompressível no ponto (1,0,1)

3) Calcule

, onde γ é a inserção do plano y=x com a superfície

, sendo o sentido do percurso do ponto (-1,-1,2) para o ponto (1,1,2).

4) Seja um campo vetorial continuo definido no ℝ². Seja C uma

curva simples diferenciável por partes contidas no ℝ² definida por . Mostre

que:

5) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças Ao mover uma partícula

ao longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas e

no sentido anti horário.

6) Enuncie e prove o teorema das equivalências.

7) Considere o campo vetorial continuo num subconjunto aberto D ⊂ ℝ² definido por:

a) Sabendo que define uma força conservativa, encontre uma função potencial para .

b) Calcule o trabalho de ao longo da circunferência

2

RESPOSTAS: P1 –TURMA V1 – 29/05/2009

1)

a)

c)

2)

3

3) Para o ponto (1,1,2)

4)

5)

.1 . = 0

=

+ a ) . ( )dt =

= at = a²

d =

+ t ) ( ) dt = -

4

d =

). dt = 0

W=

+

d = 2a²

6) Solução Caderno

7) a)

= y (1)

= x (2)

Integrando (1): f = (3)

Derivando (3) em relação a y:

= x +

(y) (4)

(4) = (2) temos:

C = a f = xy+a

c) x = cos t

y = sen t

0≤ t ≤

t 0 → cos 0 sen 0 1 0

t π → cos π sen π -1,0)

.d =

W=0

5


Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda P1 –Período Especial – Data 25/03/2002

1) (2,0 Pontos) Supondo que , com r = e que a seja um vetor constante.

Mostre que:

a) (0,5)

b) (0,5)

c) (0,5)

d) (0,5)

2) (2,5 Pontos) Considere o campo vetorial F continuo num subconjunto aberto D ⊂

definido por: . z, 2x.y.z, x

a) (1,0) Sabendo que F define uma força conservativa, encontre uma função potencial f

para F.

b) (1,0) Calcule o trabalho F ao longo da espiral parametrizada pelo caminho

c) Seja C uma curva simples fechada em . O que se pode dizer sobre o trabalho de F

ao longo de C? Justifique sua resposta.

3) (3,0 Pontos) Seja Um campo vetorial de classe C1, fechada e definido em

onde Ai são pontos do plano e que

Em D. Sejam C1, C2, C3

circunferências unitárias centradas em cada um destes pontos, percorrido no sentido

horário e tais que Ci contem apenas o ponto Ai. suponha que: Onde

a) (1,0) Calcule o valor de

, onde C é um curva fechada em D, percorrida no sentido

anti-horário e que envolve os pontos Ai.

b) (1,0) Quais os possíveis valores de

, onde C é qualquer curva fechada contida

em D.

c) (1,0) Caso

Em D. Qual seria o valor de

, onde C é uma

circunferência de equação que envolve os pontos Ai no sentido anti horário.

4) (2,5 Pontos) Seja

Um campo vetorial em |R2. Calcule a integral

de linha do campo F ao longo das curvas C1 e C2, orientadas no sentido anti – horarario,

onde:

a) (1,0) C1 é a circunferência de equação

6

b) (1,5) C2 é a fronteira do retângulo

RESOLUÇÃO PROVA V1 – 25/03/2002

QUESTÃO 1:

a)

temos que:

e r =

então:

=

;

e

desta forma:

b) Seja o vetor constante

a x r =

Portanto:

c)

7

Portanto:

d)

Portanto:

QUESTÃO 2

a) Como o campo é conservativo ou seja:

Integrando (1), teremos

8

Derivando (4) em relação à ’y’ e depois derivando (4) em relação à ‘z’, e igualando (2) e

(3), respectivamente, teremos que:

Como podemos tomar g(y,z) como sendo zero. Então:

b) Para um campo conservativo:

Aplicando (5)

c) Como o campo é conservativo, o trabalho realizado só dependerá do ponto inicial e final.

Seja ‘p’ um ponto da cur a C parametr ada por σ t com ‘t’ e tal que σ a σ b

= p

Então pelo teorema fundamental do calculo:

Logo, o trabalho da força conservativa f ao longo de uma curva fechada é zero.

QUESTÃO 3

a) Para um campo conservativo

o teorema de Green é dado por:

ou seja:

9

Como os sentidos de C1, C2 e C3 são horários e C é anti-horário, devemos colocá-las no mesmo

sentido. Então,

b) Para C no sentido anti- horário:

Para A2:

Para A3:

Para A1 e A2:

Para A1 e A3:

Para A2 e A3:

Para D:

10

Para A1 , A2 e A3:

Para C no sentido horário os valores acima são validos com sinal trocado.

OBS: se C for da forma

Temos mais valores.

c) Como

Pelo teorema de Green:

A integral dupla do segundo membro deve ser expressa por:

o tem ‘a’ temos:

QUESTÃO 4

a) Pelo teorema de Green:

A1 A2

11

Cons derando γ como ² + ² 1

Temos:

Temos que:

E:

Portanto:

12

b) Pelo teorema de Green

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Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda P1- Turma V1 – Data 02/10/2009

1) Calcule o comprimento e o centroide do arco de círculo dado por:

C={(x,y) R²/ x² + y² = a², x y

A posição do centroide é dada por [ , ]: =

;

.

2) Seja o campo vetorial de classe C¹ dado por = 2xex²

seny + ex²

cosy . Encontre

onde C é o arco da parábola y =

x² que vai do ponto (0,0) ao ponto (1,

).

3) Seja F(x,y,z) = P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z) um campo vetorial continuo definido no R³.

Seja C uma curva simples, diferencial por partes, contida no R³ definida por

. Mostre que

.

4) Mostre que qualquer campo vetorial da forma é

incompressível.

5) Seja e . Verifique as identidades:

a)

b) =

14

RESOLUÇÃO P1 TURMA V1 – 02/10/2009

1)

x =

y =

- Cálculo do Comprimento:

- Cálculo da Posição do Centróide:

Cálculo de

Cálculo de

Cálculo de C = :

=

=

;

C =

2)

Integrando (2) :

15

Cálculo de

:

(4) = (1)

(5) em (3)

3)

4)

5)

a)

16

b)

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Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Terceira Avaliação

1) Calcule

onde e , com

, sendo a normal apontando para cima.

2) Calcule o fluxo do campo através da superfície fechada da

figura abaixo, sabendo-se que ,com e constantes e vetor

normal exterior.

3) Encontre o fluxo de para cima através da porção do plano

no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.

4) Calcule

se e C é a borda da porção do plano

no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.

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Resolução Terceira Avaliação

1)

2)

Teorema de Gauss:

19

3)

Plano

σ

4)

Plano

σ=

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Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Primeira Avaliação – Turma V1

1) Se f e g são funções de classe C² de ℜ⟶ℜ³, e são campos vetoriais de classe C¹ num

aberto de ℜ³, então mostre que:

a)

b)

2) Se é um caminho em ℜ³, tal que σ’’(t)= para todo t, prove que a trajetória é uma reta , ou

um ponto.

3) Calcule

onde γ é a interseção do paraboloide com o plano

. O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t) no plano

caminhe no sentido anti-horário.

4) Dado um campo vetorial tridimensional onde as

derivadas parciais

são contínuas num conjunto aberto . Se é o gradiente de

alguma função potencial ϕ prove que:

Em cada ponto de

5) Resolva as seguintes questões:

a) Se um objeto move-se em um campo de forças de tal modo que, em cada ponto

, seu vetor velocidade seja ortogonal à , mostre que o trabalho realizado por

sobre o objeto é 0.

b) Ache o trabalho realizado por uma força elástica dirigida para origem, de módulo proporcional à

distância do ponto de aplicação da força à (0,0). Se o ponto de aplicação da força traça um quarto

da elipse

pertencente ao primeiro quadrante.

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Resolução Primeira Avaliação – Turma V1

1)

a) Seja:

Assim:

b)

2)

Assim:

23

A trajetória pode ser uma reta ou um ponto.

3)

Curva γ:

5)

a)

Sendo σ(t)=posição e σ’ t eloc dade

Se então , então W=0

b)

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1) Considere o campo de forças onde ℜ ⟶ ℜ é uma função derivável e

. Prove que é irrotacional.

2) A base de uma cerca é uma C no plano definida por:

A altura em cada ponto ( ) é dada por

(x e y em metros). Se para pintar

cada m² um pintor cobra p reais, quanto o pintor cobrará para pintar a cerca?

3) Calcule

onde e c é a interseção das superfícies

sendo o sentido do percurso de ponto (1,0,0) para

o ponto (-1,0,0)

4) Considere o campo vetorial contínuo num subconjunto aberto ℜ definida por

Se define uma força conservativa, encontre uma função f para e calcule

onde γ é dada por

5) Seja A a área de uma região R limitada por uma curva simples, fechada, diferenciável por

partes. Prove que:

6) Seja c uma curva simétrica em relação ao eixo y, que vai do ponto (2,0) a (-2,0), percorrida

no sentido anti-horário. Sabendo-se que a área da região delimitada por c e pelo eixo x vale

6π, calcule

, onde

7) Seja D uma região fechada e limitada do plano cuja área é 10, sua fronteira ∂D está

orientada positivamente e é parametrizada por uma função C¹ por partes, de modo que ∂D

seja percorrida uma única vez. Se é um campo vetorial de classe

C¹ num subconjunto aberto que contém D e , então calcule

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Resolução Primeira Avalição –Turma V2

1)

=

=

2)

I)

II)

27

Resposta: 900p Reais

3)

(x,y,z)= 2yi + zj + xk c: interseção x2 + xy² = 1 ; x² + y² = 1 : y 0 z 0

4)

Integrando (1)

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5)

pelo teorema de green

Se Q=x e P=0

Se P=-y e Q= 0

Se P = -y/2 e Q = x/2 então

6)

Calculo de

7)

Pelo teorema da divergência no plano

DivF = 20 ∴

29



1) As equações de Maxwell relacionam campo elétrico e o campo magnético quando eles

variam com o tempo numa região que não contenha nem carga e nem corrente, como

segue:

Onde c é a velocidade da luz.

Use essas equações para mostrar que:

2) Calcule

onde γ é a interseção do paraboloide com o plano

O sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de γ(t)

no plano xy caminhe no sentido anti horário.

3) Calcule

onde , c é a interseção das superfícies e

, x≥0, y≥0, z≥0 sendo o sentido do percurso do ponto (1,0,0) para o ponto (0,0,2)

4) Um campo de forças F em duas dimensões é descrito pela equação

Mostre que o trabalho realizado por esta força movendo uma partícula ao longo da

curva Depende somente de f(a), f(b), g(a), g(b). encontre o

trabalho realizado quando f(a) = 1, f(b) = 2, g(a) = 3 e g(b) = 4.

5) Utilize o Teorema de Green para calcular a área da região delimitada pelos gráficos

E

6) Calcule

, onde c é o arco de circunferência no

segundo quadrante, orientado no sentido anti horário.

7) Seja

4) seja c dada por

Seja a área do conjunto limitado pela curva c que é fechada. Calcule

Onde n é

normal a c e aponta para fora do conjunto mencionado

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Resolução Primeira Avalição –Turma V1

1)

2)

3)

31

4)

Calculo da Função Potencial:

Integrando (1):

Derivando (3) em relação a y:

Fazendo (4)=(2):

Assim:

Então:

32

5)

dx

6)

33

7)

-

34


Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Segunda avaliação

1) Parametrize o cilindro e mostre q o elemento de área

correspondente é dado por

2) Calcule a área da superfície

3) Considere uma casca esférica homogênea de massa M e raio a. o potencial gravitacional

gerado em um ponto a uma distancia c da origem é dado pela integral

onde G é a constante gravitacional e

é a densidade.

Mostre que :

4) Considere o campo vetorial Calcule a circulação

ao longo da

elipse C descrita por orientada no sentido anti

horário quando vista de cima.

5) Sejam e . Seja σ uma superfície esférica, com normal exterior n.

calcule

supondo que o ponto (0,0,0) não pertence a figura.

35

1)

2)

36

3)

Equações paramétricas:

Chamando

37

4)

38

5)

ℝ

Seja σ a fronteira da esfera k, com normal exterior . Suponhamos que a origem não pertença a K

provas resolvidas

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