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MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA P/ ISS-TERESINA Prof. Arthur Lima

Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1

RESOLUÇÃO DE QUESTÕES DE

MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA Caro aluno, Disponibilizo abaixo a resolução das questões de Matemática Financeira e Estatística da prova para o cargo de Auditor Fiscal da Receita Estadual do Piauí (Auditor da SEFAZ/PI). Esta prova ocorreu em 2015, foi aplicada pela banca FCC, e o seu edital foi praticamente idêntico ao do ISS/Teresina 2016. Portanto, trata-se de um ótimo treino! Caso você tenha alguma dúvida, basta me procurar no Facebook:

www.facebook.com/ProfArthurLima Faça uma excelente preparação! Prof. Arthur Lima FCC – SEFAZ/PI – 2015) Três meses antes de seus vencimentos, dois títulos foram descontados em um banco, com taxa de desconto de 48% ao ano. Sabe-se que o valor nominal do primeiro título era o dobro do valor nominal do segundo. Para o primeiro, utilizou-se a operação de desconto comercial simples e, para o segundo, a de desconto racional simples. Se a soma dos descontos foi igual a R$ 1.215,00, então, o módulo da diferença entre os dois valores líquidos recebidos foi (A) R$ 3.965,00 (B) R$ 9.285,00 (C) R$ 3.035,00 (D) R$ 3.500,00 (E) R$ 3.830,00 RESOLUÇÃO:

Sendo M o valor nominal do segundo título, podemos dizer que o do primeiro é 2M, ou seja, o dobro. Assim, temos os valores atuais:

A1 = N x (1 – j x t) = 2M x (1 – 4% x 3) = 2M x 0,88 = 1,76M A2 = N / (1 + j x t) = M / (1 + 4% x 3) = M / 1,12 = 0,89M (aproximadamente)



Os descontos são tais que: D1 + D2 = 1215

(N1 – A1) + (N2 – A2) = 1215 (2M – 1,76M) + (M – 0,89M) = 1215

0,35M = 1215 M = 3471,43 reais

Logo, a diferença entre os valores líquidos é:

A1 – A2 = 1,76M – 0,89M =

0,87M = 0,87 x 3471,43 =

3020,14 reais (aproximadamente o valor da alternativa C)

RESPOSTA: C FCC – SEFAZ/PI – 2015) Um capital de R$ 14.700,00 foi aplicado a juro simples da seguinte forma:

13 à taxa de 6% ao mês por um trimestre;

25 à taxa de 13% ao bimestre por 5 meses e

o restante à taxa de x% ao bimestre por 1 semestre. O juro total arrecadado foi de R$ 3.616,20. Se um capital de R$ 18.000,00 for aplicado a juros compostos, à taxa de x% ao bimestre, por um período de 4 meses, o montante dessa aplicação será (A) R$ 20.608,20 (B) R$ 23.594,33 (C) R$ 19.260,00 (D) R$ 19.945,95 (E) R$ 20.520,00 RESOLUÇÃO:



Lembrando que devemos sempre utilizar a mesma unidade temporal para a taxa e prazo, nessa questão vamos substituir um trimestre por 3 meses, 5 meses por 2,5 bimestre e um semestre por 3 bimestres, de modo a deixar os prazos de cada aplicação na mesma unidade temporal das respectivas taxas. Note que o valor investido na última aplicação é igual a:

14.700 - (1/3)x14.700 - (2/5)x14.700 = 14.700 - 4.900 - 5.880 =

3.920 Como estamos no regime de juros simples podemos utilizar a fórmula J = C.j.t calcular o valor dos juros de cada aplicação, lembrando que a soma deles é igual a 3616,20 reais:

J = 4.900 x 6% x 3 + 5.880 x 13% x 2,5 + 3.920 x j x 3 3.616,20 = 882 + 1.911 + 11.760j 3.616,20 - 882 - 1.911 = 11.760j

(3.616,20 - 882 - 1.911) / 11.760 = j 0,07 = j

7% ao bimestre = j

Aplicando o valor de 18 mil reais à taxa de 7% ao bimestre pelo período de 4 meses, ou seja, 2 bimestres, o montante obtido será igual a:

M = C x (1 + j)t M = 18.000 x (1 + 7%)2

M = 18.000 x 1,1449 M = 20.608,20 reais

RESPOSTA: A FCC – SEFAZ/PI – 2015) Um capital C foi aplicado a juros compostos, à taxa de 5% ao mês. Ao completar 1 bimestre, seu montante foi resgatado e imediatamente aplicado a juro simples, à taxa de 6% ao mês. Ao fim de 1 semestre da segunda aplicação, o montante M era de R$ 14.994,00. Suponha que, desde o início, o capital C tivesse sido aplicado a juro simples, à taxa mensal i, de modo que o montante final fosse igual a M. Dos números abaixo, o mais próximo de i é (A) 6,4%



(B) 6,5% (C) 6,1% (D) 6,2% (E) 6,3% RESOLUÇÃO:

Efetuando as aplicações descritas no enunciado, temos: M1 = C x (1 + 5%)2 = C x 1,1025 = 1,1025C

M2 = (1,1025C) x (1 + 6% x 6) = 1,1025C x 1,06 = 1,4994C Este último montante é igual a 14.994 reais, ou seja,

14.994 = 1,4994C C = 14.994 / 1,4994

C = 10.000 reais Veja que aplicamos 10.000 no início, e obtivemos 14.994 reais ao fim das duas aplicações, de modo que o total de juros é J = 4.994 reais. Para obter estes juros em uma única aplicação de juros simples pelo período total (8 meses), a taxa seria:

J = C x j x t 4.994 = 10.000 x j x 8 4.994 / 10.000 = j x 8

0,4994 = j x 8 0,4994 / 8 = j

0,0624 = j 6,24% ao mês = j

RESPOSTA: D FCC – SEFAZ/PI – 2015) Um investidor aplicou um capital de R$ 10.000,00 e resgatou o total de R$ 13.600,00 ao fim de 1 semestre. Se, nesse período, a taxa real de juros foi de 32%, então, dos valores seguintes, o que mais se aproxima da taxa de inflação do período é (A) 3% (B) 2,5% (C) 4,5% (D) 4%



(E) 3,5% RESOLUÇÃO:

Veja que tivemos um ganho de 13.600 - 10.000 = 3.600 reais no período. Este é o ganho aparente ou nominal. Percentualmente ele é igual a:

jn = 3.600 / 10.000 = 0,36 = 36%

Como a taxa de juros real foi igual a 32% no período, podemos obter a inflação assim:

(1 + jreal) = (1 + jn) / (1 + i) (1 + 32%) = (1 + 36%) / (1 + i)

1,32 = 1,36 / (1 + i) 1 + i = 1,36 / 1,32

1 + i = 1,0303 i = 1,0303 - 1

i = 0,0303 i = 3,03%

RESPOSTA: A FCC – SEFAZ/PI – 2015) Considere a tabela abaixo, com taxa de 4% ao período. Use somente duas casas decimais em seus cálculos.

Nessa tabela, tem-se que o fator de acumulação de capital para pagamento único é dado por (1+ i )n , o fator de valor atual de uma série de pagamentos é dado por (1 ) 1.(1 )

nn

ii i e o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos é dado por

(1 ) 1nii

. Um empresário tomou em um banco um empréstimo no valor de R$ 94.550,00, a ser pago em 36 meses. Será utilizado o Sistema Francês de Amortização, à taxa de 4% ao mês, com parcelas mensais e consecutivas, a primeira vencendo um mês após a data do contrato. Sobre a terceira prestação desse empréstimo, é verdade que



(A) ela difere de R$ 100,00 da segunda prestação. (B) ao ser paga, ela deixa um saldo devedor de R$ 93.500,00. (C) seu valor é de R$ 5.200,00. (D) sua cota de amortização é R$ 1.266,22. (E) sua parcela de juros é R$ 3.682,61. RESOLUÇÃO:

No sistema francês de amortização temos uma série de pagamentos iguais. Observe na tabela fornecida que para 36 períodos o fator de valor atual de uma série de pagamentos é igual a 18,91. Assim, podemos escrever que:

VP = P x a(n,j) 94.550 = P x 18,91 P = 94.550 / 18,91

P = 5.000 reais Portanto teremos 36 prestações iguais a 5 mil reais. Isso nos permite excluir a alternativa que diz que a terceira prestação é igual a 5.200 reais. Para chegar até a terceira prestação devemos calcular juros incorridos em cada mês, a amortização efetuada em cada mês, e o saldo devedor após o pagamento de cada prestação. Veja:

J1 = 4% x 94.550 = 3.782 A1 = 5.000 - 3.782 = 1.218

Novo saldo devedor = 94.550 - 1.218 = 93.332

J2 = 4% x 93.332 = 3.733,28 A2 = 5.000 - 3.733,28 = 1.266,72

Novo saldo devedor = 93.332 - 1.266,72 = 92.065,28

J3 = 4% x 92.065,28 = 3.682,61 A3 = 5.000 - 3.682,61 = 1.317,38 reais

Com base nos valores calculados você pode observar que a única alternativa correta é aquela que diz que a parcela de juros da 3ª prestação é igual a 3.682,61 reais. RESPOSTA: E



FCC – SEFAZ/PI – 2015) Uma pessoa deve a um credor três parcelas mensais consecutivas de mesmo valor nominal R$ 1.000,00 cada, a primeira a vencer daqui a 30 dias. Deseja hoje substituí-las por dois pagamentos iguais entre si, um com vencimento para daqui a 2 meses e outro para daqui a 4 meses. Utilizando o critério do desconto racional composto, com taxa de 5% ao mês, o valor X de cada uma dessas duas prestações, em reais, é tal que (A) 1 585 < X < 1 590 (B) 1 570 < X < 1 575 (C) 1 590 < X < 1 595 (D) 1 575 < X < 1 580 (E) 1 580 < X < 1 585 RESOLUÇÃO:

Vamos chamar de P o valor de cada uma das duas prestações que serão utilizadas em substituição ao esquema de pagamentos original. Veja que para comparar os dois esquemas de pagamentos precisamos levar todas as prestações para a mesma data. Uma possibilidade todos os pagamentos para a data t = 4 meses. Para fazer isso devemos multiplicar cada valor por 1 + 5%, ou seja, 1,05, quantas vezes for necessário para levar até a data focal que decidimos. Fazendo isso podemos igualar os valores das duas séries de pagamentos:

P + Px1,052 = 1.000x1,053 + 1.000x1,052 + 1.000x1,051

P + Px1,1025 = 1.157,625 + 1.102,5 + 1.050 2,1025P = 1.157,625 + 1.102,5 + 1.050

P = (1.157,625 + 1.102,5 + 1.050) / 2,1025 P = 1.574,37 reais

RESPOSTA: B FCC – SEFAZ/PI – 2015) Uma pessoa contraiu uma dívida a ser paga pelo Sistema de Amortização Constante − SAC em 40 prestações mensais e consecutivas. Se a primeira prestação, que vence ao completar um mês da data do empréstimo, é de R$ 3.000,00 e a décima é igual a R$ 2.550,00, então a última prestação é de (A) R$ 1.150,00 (B) R$ 1.200,00 (C) R$ 1.000,00



(D) R$ 1.050,00 (E) R$ 1.100,00 RESOLUÇÃO:

Vamos chamar de A o valor de cada uma das parcelas de amortização a serem pagas. Portanto como temos 40 prestações o valor total da dívida assumida inicialmente é igual a 40A. Chamando de j a taxa de juros mensal deste financiamento podemos dizer que no primeiro período os juros incidentes são iguais 40Axj, de modo que a primeira prestação é:

P = A + J 3.000 = A + 40Axj

Imediatamente antes da 10ª prestação sabemos que já foram amortizadas 9 cotas iguais a A, sobrando o saldo devedor de 40A - 9A = 31A. Durante o décimo período esse saldo devedor rende juros que totalizam 31Axj. Desse modo a 10ª prestação é igual a:

P = A + J 2.550 = A + 31Axj

Subtraindo esta segunda equação daquela primeira equação obtida ficamos com:

3.000 - 2.550 = (A + 40Aj) - (A + 31Aj) 450 = 9Aj

450 / 9 = Aj 50 = Aj

Substituindo em uma das equações podemos obter o valor da amortização mensal:

3.000 = A + 40Aj 3.000 = A + 40x50 3.000 = A + 2.000 3.000 - 2.000 = A

1.000 = A



No início do último período o saldo devedor é igual somente a última cota de amortização (A), rendendo juros iguais a Axj neste último período, de modo que a parcela final a ser paga é igual a:

P = A + J P = A + Aj

P = 1.000 + 50 P = 1.050 reais

RESPOSTA: D FCC – SEFAZ/PI – 2015) No fluxo de caixa abaixo, a taxa interna positiva de retorno é de 20% ao ano.

O valor de K é (A) R$ 3.896,00 (B) R$ 5.000,00 (C) R$ 117,84 (D) R$ 260,00 (E) R$ 714,00 RESOLUÇÃO:

Sabemos que o valor presente líquido desse fluxo de caixa é igual a zero quando utilizamos a taxa interna de retorno, ou seja, j = 20% ao ano. Assim:

VPL = 3K / 1,2 + (4K – 128) / 1,22 – (5K + 1300) 0 = 3K / 1,2 + (4K – 128) / 1,22 – (5K + 1300)

Multiplicando todos os valores por 1,22 ficamos com:

0 = 3K x 1,2 + (4K – 128) – (5K + 1300)x1,22

(5K + 1300)x1,22 = 3K x 1,2 + (4K – 128) (5K + 1300)x1,44 = 3K x 1,2 + (4K – 128)



7,2K + 1.872 = 3,6K + 4K – 128 2000 = 0,4K

2000 / 0,4 = K 5.000 = K

RESPOSTA: B FCC – SEFAZ/PI – 2015) Na tabela abaixo, têm-se os fluxos de caixa de dois projetos, A e B.

Sabe-se que a taxa mínima de atratividade é de 20% e os valores presentes líquidos dos dois projetos são iguais. Nessas condições, o valor de E é, em reais, (A) 5.170,00 (B) 5.832,17 (C) 4.485,60 (D) 4.533,00 (E) 4.965,00 RESOLUÇÃO:

Igualando os dois fluxos de caixa, usando a taxa j = 20% ao ano, temos: 4.998/1,2 + 6.192/1,22 – 8.000 = 4.020/1,2 + E/1,22 – 6.000 4.998/1,2 + 6.192/1,44 – 8.000 = 4.020/1,2 + E/1,44 – 6.000

4.165 + 4.300 – 8.000 = 3.350 + E/1,44 – 6.000 3.115 = E / 1,44

E = 4.485,60 reais Note, entretanto, que foi preciso assumir que a taxa fornecida (20%) era AO ANO, pois isso não foi explicitado pelo enunciado. Há, entretanto, uma noção implícita dessa periodicidade, visto que a tabela fornecida apresenta os prazos em anos. Assim, creio que seja difícil anular essa questão. RESPOSTA: C FCC – SEFAZ/PI – 2015) Instruções: Se Z tem distribuição normal padrão, então:



P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2) = 0,977. Uma auditoria feita em uma grande empresa considerou uma amostra aleatória de 64 contas a receber. Se a população de onde essa amostra provém é infinita e tem distribuição normal com desvio padrão igual a R$ 200,00 e média igual a R$ 950,00, a probabilidade da variável aleatória média amostral, usualmente denotada por X, estar situada entre R$ 980,00 e R$ 1.000,00 é dada por (A) 28,5% (B) 47,7% (C) 86,2% (D) 18,4% (E) 9,2% RESOLUÇÃO:

Efetuando a transformação: 1

980 950 1,2200 64Z

21000 950 2200 64

Z

Assim,

P(980<X<1.000) = P(1,2<Z<2) =

P(Z<2) – P(Z<1,2) = 0,977 – 0,885 =

0,092 = 9,2%

RESPOSTA: E FCC – SEFAZ/PI – 2015) Instruções: Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2) = 0,977. Atenção:



O efeito do medicamento A é o de baixar a pressão arterial de indivíduos hipertensos. O tempo, em minutos, decorrido entre a tomada do remédio e a diminuição da pressão é uma variável aleatória X com distribuição normal, tendo média µ e desvio padrão . Uma amostra aleatória de n indivíduos hipertensos foi selecionada com o objetivo de se estimar µ. Supondo que o valor de é 10 min, o valor de n para que o estimador não se afaste de µ por mais do que 2 min, com probabilidade de 89%, é igual a (A) 49 (B) 64 (C) 36 (D) 100 (E) 81 RESOLUÇÃO:

Queremos encontrar um valor Z0 tal que P(-Z0 < Z < Z0) = 89%. Ou seja, devemos retirar 11% da curva normal, ou melhor, 5,5% de cada lado. Assim, precisamos de um Z0 tal que P(Z<Z0) = 100% - 5,5% = 94,5% = 0,945. Foi fornecido o valor P(Z<1,6) = 0,945. Logo, temos Z0 = 1,6. Assim, com o erro aceitável d = 2 minutos, e o desvio padrão de 10 minutos, temos:

2 2. 1,6.10 642Zn d

RESPOSTA: B FCC – SEFAZ/PI – 2015) Instruções: Se Z tem distribuição normal padrão, então: P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2) = 0,977. Atenção: O efeito do medicamento A é o de baixar a pressão arterial de indivíduos hipertensos. O tempo, em minutos, decorrido entre a tomada do remédio e a diminuição da pressão é uma variável aleatória X com distribuição normal, tendo média µ e desvio padrão . Se o valor de µ é de 56 min e o valor de é de 10 min, a probabilidade de X estar compreendido entre 52 min e 74 min é igual a



(A) 30,9% (B) 56,0% (C) 61,9% (D) 52,4% (E) 64,5% RESOLUÇÃO:

Temos: Z1 = (52 – 56) / 10 = -0,4 Z2 = (74 – 56) / 10 = 1,8

Portanto,

P(52min < X < 74min) = P(-0,4 < Z < 1,8) =

P(Z<1,8) – P(Z<-0,4) Veja que P(Z<1,8) = 0,964, como foi fornecido. E também veja que P(Z<0,4) = 0,655, de modo que P(Z>0,4) = 1 – 0,655 = 0,345. Pela simetria da curva normal, P(Z<-0,4) = P(Z>0,4) = 0,345. Logo,

P(Z<1,8) – P(Z<-0,4) = 0,964 – 0,345 =

0,619 = 61,9%

RESPOSTA: C FCC – SEFAZ/PI – 2015) Um relatório, redigido por um auditor de um órgão público, tem 2 capítulos com 40 páginas cada. Esse relatório apresenta uma média de 1 erro ortográfico a cada 10 páginas. Considere que: I. a variável X que representa o número de erros por página tem distribuição de Poisson com média 0,1; II. existe independência entre os eventos número de erros ortográficos do capítulo 1 e número de erros ortográficos do capítulo 2. Nessas condições, a probabilidade de que pelo menos um dos capítulos possua no máximo um erro ortográfico é igual a Dados: e-0,1 = 0,905



e-2 = 0,135 e-4 = 0,018

(A) 0,1800 (B) 0,1815 (C) 0,0180 (D) 0,1719 (E) 0.0164 RESOLUÇÃO:

Como temos uma média de 1 erro a cada 10 páginas, em 40 páginas é esperado obter 4 erros, ou seja, 4 . Na distribuição Poisson,

.( ) !kef k k

Assim, as probabilidades de obter 0 erros ou 1 erro em um capítulo são:

4 0 4.4(0) 0,0180!ef e

4 1 4.4(1) 4 4 0,018 0,0721!ef e

Para que "pelo menos um dos capítulos possua no máximo um erro ortográfico", basta que um dos capítulos possua 0 erro ou 1 erro, ainda que o outro tenha mais erros. Assim podemos somar as probabilidades de encontrar um ou nenhum erro em cada capítulo, mas devemos subtrair aqueles casos onde temos nenhum erro nos dois capítulos ou apenas um erro nos dois capítulos: Probabilidade = P(0 erro no cap. 1) + P(1 erro no cap. 1) + P(0 erro no cap. 2) + P(1

erro no cap. 2) - P(0 erro nos dois cap.) - P(1 erro nos dois cap.) - P(0 erro no primeiro e 1 erro no segundo) - P(1 erro no primeiro e 0 erro no segundo)

Probabilidade = 0,018 + 0,072 + 0,018 + 0,072 - 0,072x0,072 - 0,018x0,018 -

0,018x0,072 - 0,072x0,018

Probabilidade = 0,1719 RESPOSTA: D



FCC – SEFAZ/PI – 2015) Sabe-se que uma urna contém uma proporção de p bolas pretas e de (1 - p) bolas brancas. O valor de p é desconhecido, mas sabe-se que é 3/5 ou é 1/2. A fim de se chegar a uma conclusão, seleciona-se ao acaso e com reposição 10 bolas da urna e observa-se o número de bolas pretas. Um teste de hipóteses é proposto, esse considera testar a hipótese nula H0: p = 1/2 contra a hipótese alternativa Ha: p = 3/5. Se o teste rejeitar H0 quando pelo menos 8 bolas pretas forem encontradas, o nível de significância do teste é igual a (A) 7/128 (B) 17/256 (C) 25/512 (D) 15/256 (E) 9/128 RESOLUÇÃO: O nível de significância é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula mesmo quando ela é correta. Ou seja, é a probabilidade de obtermos 8, 9 ou 10 bolas pretas ( o que nos faria rejeitar a hipótese nula conforme foi proposto o teste de hipótese) quando o valor p fosse igual 1/2 ( ou seja quando a hipótese nula estava correta). Calculando a probabilidade de obter 8, 9 ou 10 bolas pretas, considerando p = 1/2, e observando a fórmula da distribuição binomial, temos:

Probabilidade = C(10,8)x(1/2)8x(1/2)2 + C(10,9)x(1/2)9x(1/2)1 + C(10,10)x(1/2)10x(1/2)0

Probabilidade = 45x(1/2)10 + 10x(1/2)10 + 1x(1/2)10

Probabilidade = 56x(1/2)10

Probabilidade = 56x1/1024

Probabilidade = 56/1024 = 7/128 RESPOSTA: A



FCC – SEFAZ/PI – 2015) A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências relativas dos valores cobrados, em reais, do Imposto Predial Territorial Urbano (IPTU) em determinado município no ano de 2014.

Sabe-se que o valor da mediana desses dados, calculado pelo método da interpolação linear, é igual a R$ 1.250,00. Nessas condições, o valor médio do IPTU, calculado considerando que todos os valores incluídos num intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio do intervalo, é, em reais, igual a (A) 1.240,00 (B) 1.275,00 (C) 1.260,00 (D) 1.280,00 (E) 1.320,00 RESOLUÇÃO:

Veja que: 100% = x + 0,20 + 0,40 + y + 0,10

1= x + y + 0,70 y = 0,30 – x

Fazendo a interpolação linear na classe mediana: Valores: |---------------------------|-------------------------| 1000 1250 1400 Frequências: |---------------------------|-------------------------| 0,2+x 0,50 0,6+x

(1250 – 1000) / (1400 – 1000) = (0,50 – 0,2 – x) / (0,6 + x – 0,2 – x) 250 / 400 = (0,3 – x) / (0,4)

0,4 x 250 / 400 = 0,3 – x



x = 0,3 – 0,4 x 250 / 400 x = 0,3 – 0,25

x = 0,05 Logo, y = 0,3 – x = 0,3 – 0,05 = 0,25. Assim, a média é:

Média = 0,05x400 + 0,2x800 + 0,4x1200 + 0,25x1600 + 0,1x2000 Média = 1260

RESPOSTA: C FCC – SEFAZ/PI – 2015) Um estudo mostra que 20% de todos os candidatos que estão prestando determinado concurso público possuem doutorado em determinada área do conhecimento. Selecionando-se ao acaso e com reposição 4 desses candidatos, a probabilidade de que exatamente 2 possuam doutorado é igual a (A) 13,24% (B) 10,24% (C) 5,72% (D) 8,46% (E) 15,36% RESOLUÇÃO:

Temos uma distribuição binomial onde a chance de sucesso (ter doutorado) é p = 20%, de fracasso é q = 100% - 20% = 80%, e o número de tentativas é n = 4, das quais queremos 2 sucessos. Ou seja,

Probabilidade = C(4,2) x (20%)2x(80%)2

Probabilidade = 6x0,04x0,64 Probabilidade = 0,1536 = 15,36%

RESPOSTA: E FCC – SEFAZ/PI – 2015) Atenção: Considere as informações dadas na tabela seguir. Se t tem distribuição de Student com g graus de liberdade, a tabela fornece os valores de tc tais que P(t > tc ) = c



Um pesquisador deseja estimar o tempo médio µ em horas, para a realização de determinada tarefa pelos funcionários de determinada empresa. Uma amostra aleatória de 9 funcionários que realizam a tarefa revelou os seguintes tempos de realização: x1, x2, ..., x9. Considerando que essa amostra provém de uma população infinita e que

9

154ix horas e 9 2

1396ix (horas)2, um intervalo de confiança para µ com

coeficiente de confiança de 95%, em horas, é dado por (A) (3,74; 8,26) (B) (4,17; 7,83) (C) (3,80; 6,60) (D) (4,14; 7,86) (E) (3,69; 8,31) RESOLUÇÃO:

Temos a média: Média(X) = 54 / 6 = 9

E a variância:

21396 549( ) 99 1Var X

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, ou seja, 3. Podemos ainda observar que essa amostra tem n = 9 elementos, de modo que o número de graus de liberdade é gl = n – 1 = 9 – 1 = 8. Como queremos um intervalo com 95% de confiança, devemos eliminar 5% da curva t de Student, isto é, 2,5% de cada lado da curva. Assim, para 8 graus de liberdade e retirando 2,5% (ou 0,025) de cada lado da curva, temos t0,025 = 2,31 na tabela. Isto é,

P(-2,31 < t < 2,31) = 95% O intervalo de confiança é:

[ . ; . ]X t X tn n



3 3[6 2,31. ;6 2,31. ]9 9 [3,69; 8,31]

RESPOSTA: E FCC – SEFAZ/PI – 2015) Considere as seguintes afirmações: I. O histograma é um gráfico apropriado para representar dados de variáveis quantitativas contínuas. II. Se X é uma variável aleatória com parâmetros n e p, onde n representa o número de ensaios de Bernoulli e p representa a probabilidade de sucesso em cada ensaio, então a variância de X é dada pelo produto np. III. O nível de significância de um teste é a probabilidade de se cometer erro do tipo I. IV. Se r é o coeficiente de correlação linear de Pearson entre duas variáveis, então −1 < r < 1. É verdade o que se afirma APENAS em (A) II e III. (B) I, III e IV. (C) III. (D) II e IV. (E) I e III. RESOLUÇÃO:

A afirmação I (sobre os histogramas) é correta, pois podemos usá-lo para representar variáveis contínuas. A afirmação II é errada, pois a distribuição descrita é do tipo Binomial (formada pro vários ensaios de Bernoulli), onde a variância é dada por Var(X) = n.p.q. A afirmação III é correta, pois esta é a definição de erro do tipo I. A afirmação IV está errada, pois o coeficiente de correlação linear pode assumir os valores -1 e 1, portanto o correto seria dizer que 1 1r . RESPOSTA: E FCC – SEFAZ/PI – 2015) O modelo t tY t , t = 1, 2, 3, ..., foi considerado para prever o lucro de uma companhia no ano (2007 + t).



Sabe-se que: . tY representa o lucro, em milhões de reais no ano t; . α e β são parâmetros desconhecidos; . t é o correspondente erro aleatório, com as respectivas hipóteses da regressão linear; . as estimativas de α e β foram obtidas pelo método de mínimos quadrados, considerando-se as observações tY no período de 6 anos (2008 a 2013). Os dados relativos às observações são:

Nessas condições, a previsão de mínimos quadrados para o lucro da companhia, em milhões de reais, no ano de 2014, é igual a (A) 8,80 (B) 9,50 (C) 7,55 (D) 8,15 (E) 7,90 RESOLUÇÃO:

Podemos calcular o coeficiente na regressão linear entre “t” e “y” assim: 2

2 2( . )

( )t y t y tn t t

291.36 140.21 3,26.91 21

A média de t é 21 / 6 = 3,5 e a média de y é 36 / 6 = 6. Assim, podemos escrever que:

Y t 6 3, 2 .3,5

(6 3, 2) / 3,5 0,8

Assim, temos a regressão:



y = 3,2 + 0,8.t Veja que 2014 = 2007 + 7, logo devemos usar t = 7 para obter o valor correspondente ao ano de 2014:

y = 3,2 + 0,8.7 y = 8,8

RESPOSTA: A *********************************** Continuo à sua disposição! Saudações, Prof. Arthur Lima Facebook: ProfArthurLima Periscope: @ARTHURRRL Youtube: Professor Arthur Lima

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