PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM 2002

1a Questão: Um barco se desloca no sentido indicado pela seta (esquerda para a direita), conforme figura abaixo. Ao chegar no ponto C, a que distância o barco estará do farol localizado em D, sabendo-se que a distância de A até B é de 1000m. Considerar 732,13

(a) 560m (b) 760m (c) 866m (d) 900m (e) 968m RESOLUÇÃO: Sen 60º = => √ = => 푥 = 500.√3 =>푥 = 500. 1,732 => => 푥 = 866푚 . Alternativa (c).

A B C

D

300 600

2a Questão: Determine a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética cujos dois primeiros termos são 5 e 9, nesta ordem. (a) 157 (b) 205 (c) 207 (d) 230 (e) 270

RESOLUÇÃO: Sendo a razão (푟) = 9− 5 = 4 e 푎 = 푎 + (10 − 1). 푟 => =>푎 = 5 + 9. 4 = 41 .

A soma dos termos é dada por: ( _ _ ). =>

( ). = 46 . 5 =

=230 . Alternativa (d).

3a Questão:

Calcule os valores de x na expressão: 1 - 3

4 - 9 x - 1

21

-x

(a) 2 1, S

(b) 1 0, S

(c) 1- 0, S

(d) 2 0, S

(e) 1 - 1, S RESOLUÇÃO:

9 − = −1 → 3 − 4 ∙ 3 = −1 → − ∙ = −1 →

∙ = −1 → 3 − 4 ∙ 3 = −3 → 3 − 4 ∙ 3 + 3 = 0 3 = 푦 ↔ 푦 − 4푦 + 3 = 0 ∆= 푏² − 4푎푐 → ∆= (−4) − 4 ∙ 1 ∙ 3 → ∆= 16− 12 → ∆= 4 푥 = √∆ → 푥 = ( ) √

∙→ 푥 = → 푥 = → 푥 = 3

푥 =−푏 − √∆

2푎→ 푥 =

−(−4) − √42 ∙ 1

→ 푥 =4 − 2

2→ 푥 =

22→ 푥 = 1

푦 = 3 → 3 = 3 → 푥 = 1표푢푦 = 1 → 3 = 1 → 푥 = 0 => 풔 = {ퟎ, ퟏ}

4a Questão:

Dada a função real 3) - 3 -x ( logy , determine seu domínio.

(a) D ( ƒ ) = ] 12, + [ (b) D ( ƒ ) = ] 9, 12 [ (c) D ( ƒ ) = ] 9, + [ (d) D ( ƒ ) = [ 30, + [

(e) D ( ƒ ) = ] 30, + [

RESOLUÇÃO: 푓 ∈ 푅 => 푥 − 3 ≥ 0 => 푥 ≥ 3; √푥 − 3 − 3 > 0 => √푥 − 3 > 3 => 풙 − ퟑ > 9 => 푥 > 12 Alternativa: (a) 5a Questão:

As raízes da equação 0 nx mx x 23 formam uma progressão aritmética de razão 2 e são todas positivas. O valor de m + n é: (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 6

RESOLUÇÃO: Aplicando as relações de Girard, temos: 푥 + 푥 + 푥 = −푚(퐼)푥 푥 .푥 푥 .푥 푥 = 푛(퐼퐼)푥 .푥 .푥 = 0(퐼퐼퐼)

푥 , 푥 푒푥 é uma p.a. de 푟 = 2. De (I) vem: 3푥 = −푚. De (III) vem: 푥 (푥 − 푟 ) = 0. Então: 푥 = 0 ou |푥 | = |푟| , como 푟e 푥 são positivos푥 = 푟; (퐼퐼) + (퐼) = 푚 + 푛 => 푥 .푥 + 푥 . 푥 + 푥 .푥 − 3푥 = 푚 + 푛 => 푥 (푥 − 푟) + 푥 (푥 + 푟) + (푥 − 푟)(푥 + 푟) − 3푥 = 푚 + 푛 =>

2푥 + 푥 − 푟 − 3푥 = 푚 + 푛; se 푥 = 0 , então: 0 + 0− 4−−3. 0 = 푚 + 푛 => 푚 + 푛 = −4; se 푥 = 푟 = 2 => =>2.4 + 4− 4− 3.2 = 푚 + 푛 => 푚 + 푛 = 2 Alternativa (b)

6a Questão:

O quociente de i

i - i13

11031

é : (a) – 1 – i (b) 1 – i (c) – 1 + i (d) 1 + i (e) i RESOLUÇÃO: 풊ퟑퟏ 풊ퟏퟏퟎ

풊ퟏퟑ 풊ퟑ 풊ퟐ풊

= √ ퟏ ( ퟏ)√ ퟏ

= √ ퟏ ퟏ√ ퟏ

; racionalizando : √

√ . √√

= ( ) √ = −1 + 푖 . Alternativa (a).

7a Questão: Considerando as especificações constantes no ciclo trigonométrico do

desenho abaixo, a expressão geral para as medidas dos arcos côngruos

a AM e os valores de seus seno e cosseno são, respectivamente,

para K N :

(a) α + ( 1 + 2k ) π, b, a (b) α + 2kπ, a , b (c) α + ( 1 + k ) π, b, a (d) α + ( 1 + k ) π, – b, – a (e) α + ( 1 + 2k ) π, – b, – a RESOLUÇÃO: A formula geral de um arco côngruo é 훼 + (2푘휋); AM =(휋 + 훼)=>

=> 휋 + 훼 + 2푘휋 = 훼 + (1 + 2푘)휋 Já que AB está no 3º quadrante, seu seno e cosseno são negativos, então SenAB= −푏 e CosAB= −푎 . Alternativa (d)

M

A

b

a

8a Questão:

Na figura abaixo, sendo a, b e c retas paralelas cortadas pela transversal r, calcule x e y.

(a) x = 252o e y = 108o (b) x = 150o e y = 190o (c) x = 250o e y = 170o (d) x = 300o e y = 160o (e) x = 240o e y = 120o RESOLUÇÃO: 2푥 − 36 = 푥 + 2푦 => 푥 − 2푦 = 36 푥 − 2푦 + 푥 − 5푦 = 180 => 2푥 − 3푦 = 180 Armando um sistema:

푥 − 2푦 = 36. (−2)2푥 − 3푦 = 180 => −2푥 + 4푦 = −72

2푥 − 3푦 = 180 (+)

푦 = 108°

푥 − 216 = 36 => 푥 = 252° Alternativa (a)

a

b

c

2x-36

x-5y

x+2y

z

r

9a Questão:

O Instituto de Pesquisa da Marinha, em estudo realizado sobre a variação de temperatura nas águas do Oceano Atlântico em função da profundidade, apresentou a tabela abaixo: Profundidade Superfície 100m 500m 1000m 3000m

Temperatura 27o C 21o C 7o C 4o C 2,8o C Considerando que a temperatura é linear entre duas quaisquer das medições consecutivas apresentadas, qual é a temperatura na profundidade de 400m? (a) 9,5o C (b) 10,5o C (c) 12,5o C (d) 14o C (e) 15o C RESOLUÇÃO: Sendo a temperatura (t) linear entre duas medições consecutivas e usando as superfícies (s) 100m e 500m, temos: 푡 = 푎. 푠 + 푏 => 21 = 100푎 + 푏. (−5)

7 = 500푎 = 푏= −105 = −500푎 − 5푏

7 = 500푎 + 푏 =>

4푏 = 98 => 푏 = 24,5. 21 = 100푎 + 24,5 => 푎 = − , Na profundidade de 400m: 푡 = − , . 400 + 24,5 => 푡 = −3,5.4 + 24,5 => 푡 = 10,5°퐶 Alternativa (b)

10a Questão: Calcule o valor de x na expressão:

3x 4 3x 5 3x 1 3x 5 3x 3 . 142 - 3 - 3 2 - 2 (a)

21

(b) 31

(c) 0

(d) 31

(e) 21

RESOLUÇÃO: 2 − 2 = 3 − 3 − 142. 3 => 2 (2 − 2) =

= 3 (3 − 3 − 142) =>23 =

3 − 3 − 1422 =>

23 =

=243− 81− 142

32 − 2=>

23

=2030

=>23

=23

=> 3푥 = 1 =>

푥 = Alternativa (d)

11a Questão: A soma dos inversos das raízes do polinômio

0 4 6x - 8x x 23 é:

(a) 41

(b) 32

(c) 65

(d) 34

(e) 23

RESOLUÇÃO: 푥 + 8푥 − 6푥 + 4 = 0 푥 + 푥 + 푥 = 8 푥 .푥 + 푥 . 푥 + 푥 . 푥 = −6 푥 .푥 . 푥 = −4

+ + = . . .. .

= − =

Alternativa (e)

12a Questão:

Sendo P ( x ) = Q (x) + 2x2 + 3x - 5 para qualquer x real, e sendo 1 raiz de P ( x ) e ZERO raiz de Q ( x ), calcule P ( 0 ) + Q ( 1 ) . (a) – 5 (b) – 3 (c) 0 (d) 3 (e) 5 RESOLUÇÃO: Se 1 é raiz de 푃(푥), então:

0 = 푄(1) + 2 + 3− 5 => 푄(1) = 0 Se 0 é raiz de 푄(푥),então:

푃(0) = −5 Assim, 푃(0) +푄(1) = −5 + 0 = −5. Alternativa (a)

13a Questão:

A soma e o produto das raízes da equação 0 1 - x

2 -x

x - 1x

são iguais a: (a) – 2 (b) – 1 (c) 0 (d) 2 (e) 3 RESOLUÇÃO:

푥1 − 푥

+푥 − 2푥

= 1 =>푥² + 푥 − 푥² − 2 + 2푥

(푥). (1− 푥)= 1 => 3푥 − 2 =

= 푥 − 푥² => 푥² + 2푥 − 2 = 0 ; aplicando a fórmula de Baskara:

∆= 12; 푥 = √ => 푥 = −1 + √3

푥 = √ => 푥 = −1 −√3 푥 + 푥 = −2

Alternativa (a). 14a Questão: A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2m e um dos ângulos mede 60º . Girando o triângulo em torno do cateto menor, obtemos um cone cujo volume é:

(a) 3m 3

3

(b) 3m 6

3

(c) 3m 2

(d) 3m

(e) 3m 2

2

RESOLUÇÃO: 30° 2m h 60° x

= 푠푒푛60° => = √ => ℎ = √3푚;

푠푒푛30° = => = => 푥 = 1푚 => 푟푎푖표 = 1푚 S(base)=휋푟² => 푆푏 = 휋푚² 푉푐표푛푒 = . = √ Alternativa (a) 15a Questão:

Seja ƒ x log )x ( a . Se ƒ ( a ) = b e ƒ ( a + 2 ) = b + 1, então: (a) a = 1 e b = 2 (b) a = 2 e b = 1 (c) a = 2 e b = 3 (d) a = 3 e b = 2 (e) a = 3 e b = 4

RESOLUÇÃO: 푓(푎) = log 푎 => 푏 = log 푎 => 푏 = 1; 푓(푎 + 2) = 1 + 1 => log (푎 + 2) = 2 => 푎 − 푎 − 2 = 0 =>

=> 푎 = 2푎 = −1 => 푎 = 2,já que não pode ser negativo.

Alternativa(b)

16a Questão: Calcule o volume de ar contido no galpão cujas forma e dimensões

constam na figura abaixo. (a) 288 (b) 360 (c) 384 (d) 420 (e) 480 RESOLUÇÃO: O volume do galpão (t) é formado pelo volume do paralelepípedo (p) mais o da pirâmide (r) :

35

8

12

푉푝 = 3.8.12 => 푉푝 = 288; 푉푟 = 2.4.12 => 푉푟 = 96; 푉푡 = 푉푝 + 푉푟 => 푉푡 = 288 + 96 = 384 . Alternativa (c)

17a Questão:

O sistema

0 z 3x 0 z3 y2 x

0 z y 2x

(a) apresenta uma única solução não-nula (b) possui três soluções distintas (c) possui infinitas soluções (d) não apresenta solução (e) possui uma única solução nula RESOLUÇÃO:

2푥 − 푦 + 푧 = 0(퐼)푥 − 2푦 + 3푧 = 0(퐼퐼)

3푥 − 푧 = 0(퐼퐼퐼)

(퐼) = (퐼퐼퐼) ∶ 2푥 − 푦 + 푧 = 3푥 − 푧 => 푥 = 2푧 − 푦 (퐼) + (퐼퐼퐼): 5푥 − 푦 = 0 => 5푥 = 푦 => 푥 = 푥 = 2푧 − 푦 => 푥 = 2푧 − 5푥 => 3푥 = 푧 => 푥 = Assim, esse sistema é possível (já que é homogêneo) e indeterminado, pois suas incógnitas podem assumir infinitos valores, possuindo o sistema, infinitas soluções. Alternativa (c) 18a Questão:

O resultado da simplificação da expressão 1 -x cossecx cotg .x tg -x sec 2

2

é: (a) sen x

(b) cos x (c) –1 (d) 1 (e) 0 RESOLUÇÃO:

푠푒푐²푥 −푡푔푥.푐표푡푔푥푐표푠푠푒푐²푥 − 1

=1

푐표푠²푥−푠푒푛푥cos 푥 . cos 푥

푠푒푛푥1

푠푒푛²푥 − 1=

1푐표푠²푥

−푠푒푛²푥푐표푠²푥

=

²

²= ²

²= 1 Alternativa (d)

19a Questão: Sejam os pontos A ( 3, 1), B ( n, n) e C ( 1, n + 1) vértices de um triângulo, então: (a) n – 2 e n – 1

(b) n – 1 e n – 21

(c) n 21 e n – 1

(d) n – 21 e n

21

(e) n 2 e n – 1 RESOLUÇÃO: 3 푛 11 푛 푛 + 1

31 ≠ 0 => 3푛 + 푛(푛 + 1) + 1 − 3(푛 + 1) − 푛 − 푛 ≠ 0=>

=> 3푛 + 푛² + 푛 + 1− 3푛 − 3− 2푛 ≠ 0 => 푛² − 푛 − 2 ≠ 0 => => 푛 = 2푒푛 = −1 => 푛 ≠ 2푒푛 ≠ −1 Alternativa (e) 20a Questão: Determine o coeficiente angular da reta cujas equações são dadas por

x = 2t – 1 e y = t + 2, sendo t .

(a) – 1

(b) – 21

(c) 52

(d) 21

(e) 1

R

RESOLUÇÃO: Fazendo: 푡 = 1:푥 = 1푒푦 = 3 푡 = 2:푥 = 3푒푦 = 4 푚 = => 푚 = => 푚 = Alternativa (d) 21a Questão: Na caixa cúbica da figura abaixo, a diagonal d da face, indicada na figura, mede 8 dm. Qual o volume da caixa?

(a) 3dm 2 64

(b) 3dm 2 122

(c) 3dm 2 128

(d) 3dm 2 132

(e) 3dm 2 142 RESOLUÇÃO:

푑 = 푎√2 =>√

= 푎;V(cubo)=푎³ => 푉푐 = .√

=> 푉푐 =√√2√2

=

= 128√2 . Alternativa (c)

a d

a

22a Questão: Um recipiente tem a forma de um cone circular reto com 30 cm de raio e 100 mm de altura. Através de um pequeno orifício na parte superior do cone foram injetados 5 litros de água. Considerando o volume de água injetado no cone, concluímos que a água: (a) transbordou. (b) encheu-o completamente até a borda. (c) ocupou mais da metade do volume do recipiente, mas não o

encheu. (d) ocupou menos da metade do volume do recipiente. (e) Ocupou exatamente a metade do volume do recipiente.

23a Questão:

Calcule x1 - e lim

5x

0x . (a) e5 (b) 0 (c) e (d) 1 (e) 5 RESOLUÇÃO: lim → = 푙푖푚푎 :

lim →( ) = 푙푛푒 = 5. 푙푛푒 = 5.1 = 5

Alternativa (e) 24a Questão: Na Bienal do Livro realizada no Riocentro, Rio de Janeiro, os livros A, B e C de um determinado autor apresentaram os seguintes percentuais de venda aos leitores: 48% compraram o livro A 45% compraram o livro B 50% compraram o livro C 18% compraram o livro A e B 25% compraram o livro B e C 15% compraram o livro A e C 5% não compraram nenhum dos livros

Qual a percentagem dos leitores que compraram um e apenas um dos três livros? (a) 12% (b) 18% (c) 29% (d) 38% (e) 57% RESOLUÇÃO: Primeiro, tem-se que achar 퐴 ∩ 퐵 ∩ 퐶(푥): 퐴 + 퐵 − 퐴 ∩ 퐵 − 퐴 ∩ 퐵 ∩ 퐶 + 퐶 − 퐴 ∩ 퐶 − 퐴 ∩ 퐵 ∩ 퐶 − 퐵 ∩ 퐶 + 5 =

= 100 => 48 + 45− 18 + 푥 − 푥 + 50− 15 + 푥 − 푥 − 25 + 푥 + 5 = 100 =>

=> 48 + 45 − 18 + 50− 15− 25 + 푥 + 5 = 100 => 80 + 10 ++푥 = 100 => 퐴 ∩ 퐵 ∩ 퐶 = 10% A porcentagem dos leitores que comprar um e apenas um livro é dada por : 퐴 − 퐴 ∩ 퐵 − 퐴 ∩ 퐵 ∩ 퐶 − 퐴 ∩ 퐶 + 퐵 − 퐵 ∩ 퐴 − 퐴 ∩ 퐵 ∩ 퐶 − 퐵 ∩ 퐶 +

+퐶 − 퐶 ∩ 퐴 − 퐴 ∩ 퐵 ∩ 퐶 − 퐶 ∩ 퐵 = 48− 8− 10− 5 + 45−8— 10− 15 + 50− 5 − 10− 15 = 25 + 12 + 20 = 57% Alternativa (e)

25a Questão: Determine o domínio da função y = arc cos ( 2x – 5 )

(a)

1 x

21 - x

(b)

1 x

21 x

(c) 3 x 2 x

(d) 2 x 0 x

(e) 4 x 1 x

RESOLUÇÃO: Valor mínino: 2푥 − 5 = −1 => 2푥 = 4 => 푥 = 2 Valor mínino: 2푥 − 5 = 1 => 2푥 = 6 => 푥 = 3 Assim, 2≤ 푥 ≤ 3 . Alternativa (c)

R

R

R

R

R

PROVA DE MATEMÁTICA – EFOMM 2003 1ª Questão: Determine o domínio da função:

푓(푥) =√푥 − 1 (√푥 − 2)√푥 − 3 (√5 − 푥)

(a) D ( f ) = [ 3, + ) (b) D ( f ) = ] 3, + ) (c) D ( f ) = ] 3, 5 [

(d) D ( f ) = ( – , 5 [

(e) D ( f ) = ] 5 , + ) RESOLUÇÃO: Admitindo (√푥 − 1) = 퐼, √푥 − 2 = 퐼퐼, √푥 − 3 = 퐼퐼퐼푒 √5 − 푥 = 퐼푉, temos : 퐷(푓퐼):푥 − 1 ≥ 푂 => 푥 ≥ 1 퐷(푓퐼퐼):푥 − 2 ≥ 0 => 푥 ≥ 2 퐷(푓퐼퐼퐼): 푥 − 3 > 0 => 푥 > 3 퐷(푓퐼푉): 5 − 푥 > 푂 => −푥 > −5 => 푥 < 5

Intersecção: O 1 2 3 5 (I) (II) (III) (IV) f(x) Então, 퐷(푓푥) =]3, 5[ . Alternativa (c) 2ª Questão:

Para todo x real, o valor da expressão ퟏ

ퟏ 풕품²풙+ ퟏ

ퟏ 풄풐풕품²풙 é igual a:

(a) 1 (b) 2 (c) 2 tg 2 x cotg 2 x (d) sec 2 x cossec 2 x (e) sec x cossec x RESOLUÇÃO:

11 + 푡푔 푥

+1

1 + 푐표푡푔 푥=

1

1 + 푠푒푛푐표푠²

+1

1 + 푐표푠²푠푒푛

=

=1

푐표푠² + 푠푒푛²푐표푠²

+1

푠푒푛² + 푐표푠²푠푒푛²

=11

푐표푠²

+11

푠푒푛²

= 푠푒푛² + 푐표푠² = 1

Alternativa (a)

3ª Questão: Determine o valor de x na equação: log ( x - 9 ) 2 . log √ퟐ풙 − ퟏ2

(a) 푆 =

(b) 푆 = − ퟕퟐ

(c) 푆 =

(d) 푆 = {13}

(e) 푆 ={2} RESOLUÇÃO:

4ª Questão:

Uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão, além da mesma altura, está representada na figura acima, vista de perfil. Se 퐴퐵 2m e BA = 30º, a medida da extensão de cada degrau é:

(a) ퟐ√ퟑퟑ

풎

(b) √ퟐퟑ

풎

(c) √ퟑퟔ

풎

(d) √ퟑퟐ

풎

(e)√ퟑퟑ

풎

RESOLUÇÃO: 푠푒푛푐̂ = 푠푒푛30°

= => 푥 = 4푚 cos 푐̂ = cos 30°

= √ => 푦 = 2√3푚

Como 푦 = 6. 푧(푐표푚푝.푑표푑푒푔푟푎푢) => 2√3 = 6푧 => 푧 = √ Alternativa (e) 5ª Questão: Dados os pontos A ( 2, 3), B (– 1, 2) e C (0, 3) determine suas posições em relação à circunferência (풙 − ퟐ) + (풚 − ퟑ) = ퟒ

(a) A (2, 3), interior B (– 1, 2) à circunferência C (0, 3) , exterior (b) A (2, 3) , interior B (– 1, 2) , exterior C (0, 3) à circunferência (c) A (2, 3) à circunferência B (– 1, 2) , interior C (0, 3) , exterior (d) A (2, 3) , exterior B (–1, 2), interior C (0, 3) à circunferência (e) A (2, 3) à circunferência B (–1, 2) , exterior C (0, 3), interior

Nós não conseguimos fazer essa questão.

6ª Questão: Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo uma distância AB = 1200 m. Antes de iniciar a caminhada, estando no ponto A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NÂB é de 60°, e quando chega em B, verifica que o ângulo NBA é de 45º . Calcule a distância em que se encontra o navio da praia Dados: 풕품ퟔퟎ° = √ퟑ.

풕품ퟒퟓ° = ퟏ Considerar √ퟑ 1,732 . (a) 945,22 m (b) 846,45 m (c) 830,33 m (d) 760,77 m (e) 700,45 m RESOLUÇÃO: N 45° d 60° 1200- d d 45° B

1200

푡푔60° =푑

1200 − 푑= 푑 = 1200√3 − √3푑 => 푑 =

1200√31 + √3

.(1 − 3)(1 − 3)

=

= √ => 푑 = 1800 − 600√3 => 푑 ≈ 760,77푚 Alternativa (d)

7ª Questão: Em um navio transportador de petróleo, um oficial de náutica colheu 3 amostras de soluções resultantes da lavagem dos tanques e constatou 3 produtos diferentes x, y , z que podem ser relacionados pelo . 풙 − ퟐ풚 + 풛 = ퟎ풎풙+ ퟐ풚 + 풛 = ퟎퟐ풙 + ퟒ풚 − ퟐ풛 = ퟎ

Para que valores de m o sistema é possível e determinado? (a) m = 1 e m = 6 (b) m 5 e m – 3 (c) m = 4 e m = 5 (d) m = 3 e m – 2 (e) m 3 e m – 1 RESOLUÇÃO:

푥 − 2푦 + 푚푧 = 0푚푥 + 2푦 + 푧 = 02푥 + 4푦 − 2푧 = 0

1 −2 푚푚 2 12 4 −2

푥푦푧

=000

퐷 = [−4 + (−4) + 4푚 ]− [4푚 + 4 + 4푚]

퐷 = −8 + 4푚² − 8푚− 4 퐷 = 4푚 − 8푚− 12 4푚²− 8푚− 12 ≠ 0

푚² − 2푚− 3 ≠ 0 => 푚 ≠ 3푚 ≠ −1

Alternativa (e) 8ª Questão: A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: 푰 = ퟐ

ퟑ풍풐품 푬

푬풐, onde E é a energia

liberada no terremoto em quilowatt-hora e E o = 7 x 10 ퟑ Kwh . Qual

a energia liberada num terremoto de intensidade 6 na escala Richter? Considerar ퟏퟎퟎ,ퟖퟒퟓ 7 (a) E = 10 ,

(b) E = 10

(c) E = 10ퟖ,ퟕퟒퟕ

(d) E = 10 ,

(e) E = 10 , RESOLUÇÃO:

9ª Questão: A soma das dimensões x, y e z de um paralelepípedo retângulo é n e a diagonal é d. Qual a expressão da área total S ? (a) S xy xz xy (b) S 푥 + 푦² + 푧²

(c) S n² - d²

(d) S n²d²

(e) S 푛² + 푑² RESOLUÇÃO: 푆푡 = 2. (푥푦 + 푦푧 + 푥푧)(퐼)

ℎ = 푥 + 푧 푑 = 푎 + 푦 푑² = 푥² + 푦² + 푧 (퐼퐼) 푛 = 푥 + 푦 + 푧 푛 = (푥 + 푦 + 푧) 푛² = 2(푥푦 + 푥푧 + 푧푦) + 푥² + 푦² + 푧²(퐼퐼퐼) (퐼) = (퐼퐼퐼) − (퐼): 푆푡 = 푛² − 푑² Alternativa (c) 10a Questão: A geratriz de um cone de revolução mede 5 cm e altura mede 4 cm. Calcule o volume da esfera inscrita no cone.

RESOLUÇÃO: (4− 푅) = 2 + 푅 => 푅 =

푉푒푠푓 = .휋푅² => 푉푒푠푓 = 푐푚³

Alternativa (a)

RESOLUÇÃO: 2푥³− 4푥²+= 3푥 + 1 = 0

⎩⎪⎨

⎪⎧ 푥 + 푥 + 푥 =

푥 .푥 + 푥 .푥 + 푥 .푥 =

푥 .푥 .푥 = −

1푟 +

1푟 +

1푟 =

(푟 . 푟 ) + (푟 .푟 ) + (푟 . 푟 )²(푟 . 푟 . 푟 )² => 푆 = −

−42 = 2

Alternativa (b)

12ª Questão: A interseção da reta y + x – 1 = 0 com a circunferência x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0 determina uma corda cujo comprimento é: (a) 7 (b) √2 (c) √3 (d) √5 (e) 6 RESOLUÇÃO:

13ª Questão:

Calcule: 퐥퐢퐦퐱→ퟎ√ퟏ ퟐ퐱–√ퟏ ퟐ퐱

퐱

(a) – (b) 0 (c) 1 (d) 2 (e) + RESOLUÇÃO: √1 + 2푥 − √1 − 2푥

푥.(√1 + 2푥 + √1− 2푥)(√1 + 2푥 + √1− 2푥)

=√1 + 2푥 − (√1− 2푥)²푥(√1 + 2푥 + √1− 2푥)

=

=1 − 1 + 2푥 + 2푥

푥(√1 + 2푥 + √1− 2푥)=

4푥푥(√1 + 2푥 + √1 − 2푥)

Quando 푥 → 0, 2푥 → 0 =>(√ √ )

=√ √

= =2,

Entãolim →√ √ = 2. Alternativa (d)

14ª Questão: Sabendo-se que ퟑ푿 −ퟑퟐ 푿 2³ , calcule: 15 – x². (a) 11 (b) 9 (c) 8 (d) 7 (e) 3 RESOLUÇÃO: 3 − 3 = 2 ; admitindo 3 = 푚, temos:

푚 −9²푚

= 8 . (푚) => 푚² − 8푚 − 9 = 0푚 + 푚 = 8푚 .푚 = −9

=> 푚 = 9푚 = −1

=>3 = 9 => 푥 = 2 => 15− 푥² = 15− 4 = 11 Alternativa (a)

15ª Questão: Dado o número complexo Z = 1 – i e considerando ser ele uma das raízes da equação x¹° – p = 0 o valor de p é: (a) 8i (b) – 4i (c) – 8i (d) – 16i (e) – 32i RESOLUÇÃO: (1− 푖) − 푝 = 0 => (1− 푖) = 푝; usando a forma trigonométrica: √2 푐표푠 − 푖. 푠푒푛 = 푝 => 2 (0− 푖) = 푝 => => 푝 = −32푖 Alternativa (e)

16ª Questão:

Determine as equações gerais das retas r e s cuja representação gráfica é a acima apresentada. (a) 2x – 3y + 6 = 0 e x + y – 2 = 0 (b) 2x + 3y + 6 = 0 e x + 2y – 3 = 0 (c) 3x – 2y + 6 = 0 e x + y – 2 = 0 (d) 3x + 2y + 6 = 0 e x + y + 2 = 0 (e) x – 3y + 6 = 0 e x + 3y – 3 = 0

RESOLUÇÃO: 17ª Questão:

O triângulo ABC, representado na figura acima, é isósceles. Se EC CF e x = 40° , a medida y, do ângulo assinalado, é: (a) 160°

(b) 150°

(c) 140°

(d) 130°

(e) 120° RESOLUÇÃO: Chamemos 푏푒푐̂ de 훽. No ∆퐶퐹퐸: 180 − 훽 + 2푥 = 180 => 180 − 훽 + 80 = 180 => 훽 = 80° No ∆퐸퐷퐵: 180− 푦 + 훽 + 푥 = 180 => 180− 푦 + 120 = 180 =>푦 = 120° Alternativa (e)

18ª Questão: Dada uma progressão aritmética onde o 1o termo é 12 e a sua razão é 4, qual o valor de n, se a média aritmética dos n primeiros termos dessa progressão é 50? (a) 30 (b) 20 (c) 18 (d) 15 (e) 14 RESOLUÇÃO:

푎 + 푎 + ⋯+ 푎푛 = 50 =>

(푎 + 푎 )푛2푛 = 50 =>

(푎 + 푎 )2 = 50

=> (12 + 푎 ) = 100 => 푎 = 88 푎 = 푎 + (푛 − 1)푟 => 88 = 12 + 4푛 − 4 => 4푛 = 80 => 푛 = 20

Alternativa (c)

19ª Questão: O domínio da função de em , definida por 푦 = , é:

(a) D f x R / x 5

(b) D f x R / x 5 (c) D f x R / x - 5 (d) D f x R / x - 5 (e) D f x R / x - 3 Como o denominador deve ser maior que 0 então:

− 243 > 0 → > 243 → ≠ 3 → > →푥 > −5 Alternativa: (d)

RESOLUÇÃO:

20ª Questão:

Resolva a equação: 푥 + 3 푥 + 1 푥 + 4

4 5 39 10 7

= – 7

(a) x = – 2 (b) x = – 1 (c) x = 0 (d) x = 1 (e) x = 2 RESOLUÇÃO:

푥 + 3 푥 + 1 푥 + 44 5 39 10 7

= – 7 => 35(푥 + 3) + 40(푥 + 4) +

+27(푥 + 1) − 45(푥 + 4)− 30(푥 + 3) − 28(푥 + 1) = −7=> => 5(푥 + 3)− 5(푥 + 4) − (푥 + 1) = −7 => 5푥 + 15 − 5푥 − 20 − −푥 − 1 = −7 => −푥 − 6 = −7 => 푥 = 1 Alternativa (d) 21ª Questão: Calcule a e b , de modo que − =

²

(a) a = 2 e b = 4 (b) a = 2 e b = – 4 (c) a = – 2 e b = 4 (d) a = – 2 e b = – 4 (e) a = 2 e b = – 2

RESOLUÇÃO: 22ª Questão:

Sabendo-se que 푡푔 = ±

calcule °√

(a) 1 + √ (b) √ (c) √2 + 1 (d) √2− 1 (e) 2 + √2 RESOLUÇÃO:

푡푔 =±

푡푔22°30 = 푡푔 = 45° =√

√ = 1

Tg °√

=√

. √√

= √ =√

√= √

√= ( √ )²

√= √

√= √2-1

Alternativa (d) 23ª Questão: Que termo se deve acrescentar ao binômio ² + ³ de modo que se obtenha um trinômio que seja quadrado perfeito. (a) (b) (c) (d) ³ (e) RESOLUÇÃO: (푎 + 푏) = 푎 = 2푎푏 + 푏 :

= 푎² => 푎 =

Como não está elevado ao quadrado, ele é o 2ab:

= 2푎푏 => 2. .푏 = => 푏 = O elemento que se deve acrescentar é b² :

푏² = = Alternativa (e)

24ª Questão: Em uma P.A. o sétimo termo é o quádruplo do segundo termo. Calcule o décimo segundo termo, sabendo que a soma do quinto com o nono termo é 40. (a) 35 (b) 37 (c) 40 (d) 45 (e) 47 RESOLUÇÃO: 푎 = 푎 (푛 − 10). 푟 푎 + 푎 = 40 푎 = 푎 − 2푟 푎 = 푎 + 2푟 푎 − 2푟 + 푎 + 2푟 = 40 => 푎 = 20 20 = 푎 . 6푟 => 푎 =

푎 = .11푟 => 푎 = . = 37 Alternativa (b)

25ª Questão: Um tronco de cone reto tem raios das bases medindo 2 cm e 3 cm. As geratrizes medem 5 cm. Calcule o volume do tronco. (a) 19휋√6푐푚³

(b) √6푐푚³

(c) √6푐푚³

(d) √6푐푚³

(e) √6푐푚³

PROVA DE MATEMÁTICA - EFOMM 2004 1ª Questão: Dadas as seguintes retas:

r : y = 3x2 + 5 ; s : 3x + 2y -1 = 0 ; t : x - 5 = 0 ; u : y - 2 = 0

e v : y = 4x +1. Podemos afirmar que ( a ) t e u são paralelas.

( b ) r e v são paralelas.

( c ) t e v são perpendiculares. ( d ) r e s são perpendiculares. ( e ) s e v são perpendiculares. 2ª Questão: Na figura, os ângulos têm as medidas indicadas. Se a reta r contém a bissetriz do triângulo ABC, relativa ao vértice A, qual será a equação de r ? ( a ) y = x + 2 ( b ) y = x – 2 ( c ) y = – 2x + 1 ( d ) y = – x + 1 ( e ) y = – x + 2 B D RESOLUÇÃO: No ∆퐴퐷퐶 o ângulo ^d é igual à 135°, então o coeficiente angular 푎 é igual à 푡푔135 =– 푡푔45° = −1 . Quando 푥 = 0,푦 = 2 => 푏 = 2. Então, a equação é – 푥 + 2 = 푦 Alternativa (e) 3ª Questão:

y

2

x 145º

0 125º

B C

A 20º

10º 10º

r

Calcule lim [ log ( x + 1 ) – log x ] x

( a ) +

( b ) 0

( c ) 1

( d ) –1

( e ) –

RESOLUÇÃO: lim [ log ( x + 1 ) – log x ]

x 푙표푔(푥 − 1) − 푙표푔푥 = 푙표푔푥 − 푙표푔1− 푙표푔푥 = 푙표푔1 = 0 então, lim → 0 = 0 Alternativa (b) 4ª Questão: Calcule a distância da origem à reta r: 4x + 3y –5 = 0

( a ) 1

( b ) 1,5

( c ) 2

( d ) 2,5

( e ) 3 RESOLUÇÃO: 5ª Questão: Calcule o volume de uma esfera cuja superfície tem uma área de 144 cm2. ( a ) 250 cm3

( b) 275 cm3

( c ) 288 cm3

( d ) 300 cm3

( e ) 380 cm3

RESOLUÇÃO: S(esfera) = 4.휋푟 => 푆(esfera)=휋.144푐푚 => 4휋푟 = 144휋 => => 푟 = 6푐푚² V(esfera) = 휋푟 =>V(esfera) =288휋푐푚³ Alternativa (c) 6ª Questão: Calcule a área total de uma pirâmide regular de base quadrada, cujas arestas da base e lateral medem, respectivamente, 6m e 34 m. ( a ) 48m2 ( b ) 54m2

( c ) 66m2 ( d ) 86m2 ( e ) 96m2 RESOLUÇÃO: 푆푏푎푠푒 = 6² = 36푚 √34 = 3² + ℎ² => ℎ² = 34− 9 => ℎ = 5 푆푙푎푡 = 4 ∙ . = 4 ∙ = 2 ∙ 30 = 60푚² 푆푡표푡푎푙 = 푆푏푎푠푒 + 푆푙푎푡 => 푆푡표푡푎푙 = 36 + 60 = 96푚² Alternativa (e) 7ª Questão:

Seja A a matriz inversa da matriz B =

1 71

0 31

. Determine a soma

dos elementos da diagonal principal da matriz A. ( a )

49

( b ) 4 ( c )

94

( d )

95

( e ) 91

RESOLUÇÃO: Se A é a matriz inversa de B, então B.A=I² :

ퟏퟑ

ퟎퟏퟕ

ퟏ . 풂 풃풄 풅 = ퟏ ퟎ

ퟎ ퟏ =>풂ퟑ

+ 풄.ퟎ = ퟏ 풃ퟑ

+ 풅 ∙ ퟎ = ퟎ풂ퟕ

+ 풄 = ퟎ 풃ퟕ

+ 풅 = ퟏ

풂ퟑ

= ퟏ → 풂 = ퟑ ퟑퟕ

= −풄 → 풄 = − ퟑퟕ

풃ퟑ

= ퟎ → 풃 = ퟎ ퟎퟕ

+ 풅 = ퟏ → 풅 = ퟏ 퐴푠표푚푎푑표푠푒푙푒푚푒푛푡표푠푑푎푑푖푎푔표푛푎푙푝푟푖푛푐푖푝푎푙é푖푔푢푎푙푎3 + 1 = 4 Alternativa: (b) 8ª Questão: Dada uma Progressão Aritmética, em que o 5o termo é 17 e o 3o é 11, calcule a soma dos sete primeiros termos dessa Progressão Aritmética. ( a ) 90 ( b ) 92 ( c ) 94 ( d ) 96 ( e ) 98 9ª Questão: Calcule a razão de uma Progressão Geométrica decrescente de cinco

termos, sendo o 1o termo igual a 32 e o último igual a

2432 .

( a ) 31

( b ) 32

( c ) 31

( d ) 32

( e ) 34

RESOLUÇÃO: 푎 = 푎 .푘 ; e 푎 = e 푎 = = => = . => = =>

=>푘 = Alternativa (c) 10ª Questão:

Calcule o coeficiente angular da reta s representada no gráfico.

( a ) –1 ( b ) 0 ( c ) 1 ( d ) 2 ( e ) 3

Y

X

r

t s

B 2

0 1 D C A 45º

E

.

RESOLUÇÃO: No∆CÊD, o ângulo ^d é igual a 90 − 45 = 45°. Sendo 훼푒d^

suplementares: 훼 + d^ = 180°=> 훼 = 135°. O coeficiente angular da reta s é igual à tangente da inclinação: 푚 = 푡푔훼 =

= −푡푔(180− 훼) = −푡푔45° = −1. Alternativa (a)

11ª Questão: Determine o ângulo agudo entre as retas r: 2x + y – 5 = 0 e s: 3x – y + 5 = 0. ( a ) 0º ( b ) 30º ( c ) 45º ( d ) 60º ( e ) 135º 12ª Questão: Em uma universidade, 80% dos alunos lêem o jornal x e 60% o jornal y. Sabendo-se que todo aluno lê pelo menos um dos jornais, qual é o percentual de alunos que lêem ambos os jornais?

( a ) 10% ( b ) 20%

( c ) 25% ( d ) 30% ( e ) 40% RESOLUÇÃO: 푋 + 푌 − 푋 ∩ 푌 = 100% => 80% + 60%−푋 ∩ 푌 = 100% => => 푋 ∩ 푌 = 40% Alternativa (e)

13ª Questão: Qual das relações abaixo, de A = { a1 , a2 } em B = { b1 , b2 , b3}, constitui uma função? ( a ) { ( a1 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a2 , b3 ) } ( b ) { ( a1 , b1 ) , ( a1 , b2 ) , ( a1 , b3 ) , ( a2 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a2 , b3)} ( c ) { ( a1 , b1 ) , ( a1 , b2 ) , ( a1 , b3 ) } ( d ) { ( a1 , b2 ) , ( a2 , b2 ) } ( e ) { ( a1 , b1 ) , ( a1 , b2 ) , ( a2 , b3 ) } Para a relação ser uma função os elementos de A têm que ter uma e

somente uma imagem em B, por isso, a alternativa coerente é a d. 14ª Questão: Que valores deve apresentar o coeficiente “a” da função f(x) = ax2 – 2x + 1, para que ela tenha concavidade voltada para cima e vértice no 1º quadrante? ( a ) a > 0 ( b ) 0 < a 1 ( c ) 0 < a < 1 ( d ) a > 1 ( e ) a

21

15ª Questão: Considere o gráfico abaixo. A função mais bem representada por ele

é a ( a ) f(x) = log2 ( x + 1) ( b ) f(x) =

21log ( x + 1)

( c ) f(x) = log2 ( x – 1) ( d ) f(x) =

21log ( x – 1)

( e ) f(x) = log2 ( –x + 1)

16ª Questão: A menor determinação positiva do ângulo

314 mede

( a ) 60º ( b ) 120º ( c ) 240º ( d ) 270º ( e ) 300º RESOLUÇÃO: − = − . = −840°

Número de voltas no ciclo trigonométrico: − = 2 voltas + um ângulo de -120° . No ciclo trigonométrico -120° é equivalente ao ângulo 180°+ 60°=240°. Alternativa (c)

– 1

y

x

17ª Questão: A soma da raízes da equação sen2 x – sen x = 0, para 0 x , é igual a ( a )

2

( b )

( c ) 3

2

( d ) 2

3

( e ) 3

5

RESOLUÇÃO: 푠푒푛푥 = 0 quando 푥 ∈ (0 + 푘휋),푘 ∈ 푍. No intervalo dado, satisfazem

a condição 휋푒0. 푠푒푛 푥 − 푠푒푛푥 = 0 ≤> 푠푒푛푥(푠푒푛푥 − 1) = 0, então quando 푠푒푛푥 = 1, a equação também é igual a zero, então é mais uma raiz. A soma das raízes é: 0 + 휋 + = Alternativa (d)

18ª Questão: Que valores de k tornam positivo o determinante da matriz

0 3 1 1k 1 0 2 2 k

?

( a ) k 1

(b ) 0 < k < 31

( c ) 0 1k

( d ) k –1

( e ) k > –1 RESOLUÇÃO:

퐷푒푡푘 = [−2(푘 − 1)]− [2 = 3푘(푘 − 1)] 퐷푒푡푘 = −2푘 + 2 − 2 − 3푘² + 3푘 퐷푒푡푘 = −3푘² + 푘

Para 푑푒푡 > 0,−3푘² + 푘 > 0. Se as raízes da equação são : 푥 = => 푘 > <=> 푘 > 0

푥 = => 푘′′ > => 푘′′ <

Então 0 < 푘 < Alternativa (b)

19ª Questão: Uma equação que representa a reta da figura abaixo é ( a ) y . cos α – x . sen α – k . cos α = 0 ( b ) y . cos α – x . cos α – k . sen α = 0 ( c ) y . cos α + x . sen α – k . cos α = 0 ( d ) y . sen α – x . cos α – k . sen α = 0 ( e ) y . sen α + x . cos α – k . sen α = 0 20ª Questão: As medidas de raio e altura de um cilindro equilátero foram duplicadas. A relação entre o novo volume e o anterior é ( a ) 2 ( b ) 4 ( c ) 8 ( d ) 16 ( e ) 32 RESOLUÇÃO: 푉1 = 2휋푅ℎ 푉2 = 2휋2푅2ℎ

= = 4 Alternativa (b)

X

y

K

α