prova resolvida do ciaba 2002 a 2004

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PROVA DE MATEMTICA EFOMM 2002 1a Questo: Um barco se desloca no sentido indicado pela seta (esquerda para a direita), conforme figura abaixo. Ao chegar no ponto C, a que distncia o barco estar do farol localizado em D, sabendo-se que a distncia de A at B de 1000m. Considerar 732 , 1 3 = (a) 560m (b) 760m (c) 866m (d) 900m (e) 968m RESOLUO: Sen 60 = x1000 => 32 = x1000 => x = 500 . 3 =>x = 500 . 1,732 => => x = 866 m . Alternativa (c). A B CD3006002a Questo: Determine a soma dos 10 primeiros termos de uma progresso aritmtica cujos dois primeiros termos so 5 e 9, nesta ordem. (a) 157 (b) 205 (c) 207 (d) 230 (e) 270 RESOLUO: Sendo a razo ( r) = 9 5 = 4 e o10 = o1 + ( 10 1) . r => => o10 = 5 + 9 . 4 = 41 . A soma dos termos dada por: ( u_1+u_10) .102 => ( 5+41) .102 = 46 . 5 = =230 . Alternativa (d). 3a Questo: Calcule os valores de x na expresso: 1 - 34 - 9x - 121 - x = (a) { }2 1, S = (b) { }1 0, S = (c) { }1 - 0, S = (d) { }2 0, S = (e) { }1 - 1, S = RESOLUO: 9x-12 431-x = 1 32x-1 4 3x-1 = 1 32x3 43x3 = 1 32x-43x3 = 1 32x 4 3x = 3 32x 4 3x + 3 = 0 3x = y y2 4y + 3 = 0 = b 4oc = ( 4)2 4 1 3 = 16 12 = 4 xI = -b+2u xI = -( -4) +421 xI = 4+22 xI = 62 xI = 3 xII = b 2o xII = ( 4) 42 1 xII = 4 22 xII = 22 xII = 1 y = 3 3x = 3 x = 1 ou y = 1 3x = 1 x = 0 = > x = { , 1} 4a Questo: Dada a funo real 3) - 3 - x ( log = y, determine seu domnio. (a) D ( ) = ] 12, + [ (b) D ( ) = ] 9, 12 [ (c) D ( ) = ] 9, + [ (d) D ( ) = [ 30, + [ (e) D ( ) = ] 30, + [ RESOLUO: R => x 3 0 => x 3; x 3 3 > 0 = > x 3 > 3 = > x 3 > 9 = > x > 12 Alternativa: (a) 5a Questo: As razes da equao 0 nx mx x2 3= + + formam uma progresso aritmtica de razo 2 e so todas positivas. O valor de m + n : (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 (e) 6 RESOLUO: Aplicando as relaes de Girard, temos: _x1 + x2 + x3 = m( I)x1x2. x2x3.x1x3 = n( II)x1. x2. x3 = 0( III) x1, x2 c x3 uma p.a. de r = 2 . De (I) vem: 3x2 = m. De (III) vem: x2( x22 r2) = 0. Ento: x2 = 0 ou | x2| = | r| , como r e x2 so positivos x2 = r; ( II) + ( I) = m+ n = > x1. x2 + x2. x3 + x1. x3 3x2 = m+ n = > x2( x2 r) + x2( x2 + r) + ( x2 r) ( x2 + r) 3x2 = m+ n = > 2x22 + x22 r2 3x2 = m + n; se x2 = 0 , ento: 0 + 0 4 3 . 0 = m + n = > m + n = 4; se x2 = r = 2 = > =>2 .4 + 4 4 3.2 = m + n = > m + n = 2 Alternativa (b) 6a Questo: O quociente de i i - i13110 31 : (a) 1 i (b) 1 i (c) 1 + i (d) 1 + i (e) i RESOLUO: |31-|11|13 |3- |2 | = --1-( -1)-1 = --1 +1-1; racionalizando : --1+1-1 .-1-1 = -( -1) +-1-1 = 1 + i . Alternativa (a). 7a Questo: Considerando as especificaes constantes no ciclo trigonomtrico do desenho abaixo, a expresso geral para as medidas dos arcos cngruos a AM e os valores de seus seno e cosseno so, respectivamente, para K e N : (a) + ( 1 + 2k ) , b, a (b) + 2k, a , b (c) + ( 1 + k ) , b, a (d) + ( 1 + k ) , b, a (e) + ( 1 + 2k ) , b, a RESOLUO: A formula geral de um arco cngruo o + ( 2kn) ; AM =(n + o) => = > n + o + 2kn = o + ( 1 + 2k) n J que AB est no 3 quadrante, seu seno e cosseno so negativos, ento SenAB= b e CosAB= o . Alternativa (d)MAba8a Questo: Na figura abaixo, sendo a, b e c retas paralelas cortadas pela transversal r, calcule x e y. (a) x = 252o e y = 108o (b) x = 150o e y = 190o (c) x = 250o e y = 170o (d) x = 300o e y = 160o (e) x = 240o e y = 120o RESOLUO: 2x 36 = x + 2y = > x 2y = 36 x 2y + x 5y = 180 = > 2x 3y = 180 Armando um sistema: _x 2y = 36 . ( 2)2x 3y = 180=> _2x + 4y = 722x 3y = 180(+) y = 108 x 216 = 36 = > x = 252 Alternativa (a)abc2x-36x-5yx+2yzr9a Questo: O Instituto de Pesquisa da Marinha, em estudo realizado sobre a variao de temperatura nas guas do Oceano Atlntico em funo da profundidade, apresentou a tabela abaixo: Profundidade Superfcie 100m 500m 1000m 3000m Temperatura 27o C 21o C 7o C 4o C 2,8o C Considerando que a temperatura linear entre duas quaisquer das medies consecutivas apresentadas, qual a temperatura na profundidade de 400m? (a) 9,5o C (b) 10,5o C (c) 12,5o C (d) 14o C (e) 15o C RESOLUO: Sendo a temperatura (t) linear entre duas medies consecutivas e usando as superfcies (s) 100m e 500m, temos: t = o. s + b = > ]21 = 100o + b . ( 5)7 = 500 o = b = ]105 = 500o 5b7 = 500o + b = > 4b = 98 = > b = 24,5. 21 = 100o + 24,5 = > o = 3,5100 Na profundidade de 400m: t = 3,5100. 400 + 24,5 = > t = 3,5. 4 + 24,5 = > t = 10,5 C Alternativa (b) 10a Questo: Calcule o valor de x na expresso: 3x 4 3x 5 3x 1 3x 5 3x 3 . 142 - 3 - 3 2 - 2 + + + += (a) 21 (b) 31 (c) 0 (d) 31 (e) 21 RESOLUO: 23x+5 23x+1 = 33x+5 33x+4 142. 32x = > 23x( 25 2) = = 33x( 35 34 142) = > _23]3x= 35 34 14225 = > _23]3x= = 243 81 14232 2 = > _23]3x= 2030 = > _23]3x= 23 = > 3x = 1 = > x = 13 Alternativa (d) 11a Questo: A soma dos inversos das razes do polinmio 0 4 6x - 8x x2 3= + + : (a) 41 (b) 32 (c) 65 (d) 34 (e) 23 RESOLUO: x3 + 8x2 6x + 4 = 0 x1 + x2 + x3 = 8 x1. x2 + x1. x3 + x2. x3 = 6 x1. x2. x3 = 4 1x1 + 1x2 + 1x3 = x2.x3+x1.x3+x1.x2x1.x2.x3 = 6-4 = 32 Alternativa (e) 12a Questo: Sendo P ( x ) = Q (x) + 2x2 + 3x - 5 para qualquer x real, e sendo 1 raiz de P ( x ) e ZERO raiz de Q ( x ), calcule P ( 0 ) + Q ( 1 ) . (a) 5 (b) 3 (c) 0 (d) 3 (e) 5 RESOLUO: Se 1 raiz de P( x) , ento: 0 = ( 1) + 2 + 3 5 = > ( 1) = 0 Se 0 raiz de ( x) , ento: P( 0) = 5 Assim, P( 0) + ( 1) = 5 + 0 = 5. Alternativa (a)13a Questo: A soma e o produto das razes da equao 0 1 - x2 - x x - 1x= + so iguais a: (a) 2 (b) 1 (c) 0 (d) 2 (e) 3 RESOLUO: x1 x + x 2x = 1 = > x + x x 2 + 2x( x) . ( 1 x) = 1 = > 3x 2 = = x x = > x + 2x 2 = 0 ; aplicando a frmula de Baskara: = 12; _xi = -2+232 = > xi = 1 + 3xii = -2-32 = > xii = 1 3 xi + xii = 2 Alternativa (a). 14a Questo: A hipotenusa de um tringulo retngulo mede 2m e um dos ngulos mede 60 . Girando o tringulo em torno do cateto menor, obtemos um cone cujo volume : (a) 3m3 3 t (b) 3m6 3 t (c) 3m2t (d) 3m t (e) 3m2 2 t RESOLUO: 30 2m h 60 x h2 = scn60 = > h2 = 32 = > = 3m; scn30 = x2 = > 12 = x2 = > x = 1m = > roio = 1m S(base)=nr = > Sb = nm Iconc = sb.h3 = n33 Alternativa (a) 15a Questo: Seja x log ) x (a= . Se ( a ) = b e ( a + 2 ) = b + 1, ento: (a) a = 1 e b = 2 (b) a = 2 e b = 1 (c) a = 2 e b = 3 (d) a = 3 e b = 2 (e) a = 3 e b = 4 RESOLUO: ( o) = l oguo = > b = l oguo = > b = 1; ( o + 2) = 1 + 1 = > l ogu( o + 2) = 2 = > o2 o 2 = 0 = > = > ] oi = 2oii = 1 = > o = 2, j que no pode ser negativo. Alternativa(b) 16a Questo: Calcule o volume de ar contido no galpo cujas forma e dimenses constam na figura abaixo. (a) 288 (b) 360 (c) 384 (d) 420 (e) 480 RESOLUO: O volume do galpo (t) formado pelo volume do paraleleppedo (p) mais o da pirmide (r) : 35812 Ip = 3.8 .12 = > Ip = 288; Ir = 2.4 .12 = > Ir = 96; It = Ip + Ir = > It = 288 + 96 = 384 . Alternativa (c) 17a Questo: O sistema = = + = + 0 z 3x0 z 3 y 2 x0 z y 2x (a) apresenta uma nica soluo no-nula (b) possui trs solues distintas (c) possui infinitas solues (d) no apresenta soluo (e) possui uma nica soluo nula RESOLUO: _ 2x y + z = 0 ( I)x 2y + 3z = 0 ( II)3x z = 0 ( III) ( I) = ( III) 2x y + z = 3x z = > x = 2z y ( I) + ( III) : 5x y = 0 = > 5x = y = > x = 5 x = 2z y = > x = 2z 5x = > 3x = z = > x = z3 Assim, esse sistema possvel (j que homogneo) e indeterminado, pois suas incgnitas podem assumir infinitos valores, possuindo o sistema, infinitas solues. Alternativa (c) 18a Questo: O resultado da simplificao da expresso 1 - x cossecx cotg . x tg - x sec22 : (a) sen x (b) cos x (c) 1 (d) 1 (e) 0 RESOLUO: scc x tg x . cotg xcosscc x 1 = 1cos x scn xcos x . cos xscn x1scn x1= 1cos xscn xcos x = 1-scn xcos x = cos xcos x = 1 Alternativa (d)19a Questo: Sejam os pontos A ( 3, 1), B ( n, n) e C ( 1, n + 1) vrtices de um tringulo, ento: (a) n = 2 e n = 1 (b) n = 1 e n = 21 (c) n = 21 e n = 1 (d) n = 21 e n = 21 (e) n = 2 e n = 1 RESOLUO: 3 n 11 n n + 131 0 => 3n + n( n + 1) + 1 3( n + 1 ) n n 0=> = > 3n + n + n + 1 3n 3