E.E.E.P. ADRIANO NOBRE Avaliação de Matemática – 3° ano Conteúdo: Números Complexos

Prof. Clairto Rocha

Alun@:____________________________________________________n°:______turma:______

1.Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a:

a) 1 b) –i c) 2i d) -i/2 e) i/2

(1 - i )-2 = 𝟏

𝟏−𝐢 𝟐=

𝟏

−𝟐𝐢.𝟐𝐢

𝟐𝐢=

𝟐𝐢

−𝟒𝐢²=

𝟐𝐢

𝟒 =

𝐢

𝟐

2.(VUNESP) Sendo i a unidade imaginária, o valor de

1+𝑖

1−𝑖

4

é:

a) -1 b) –i c) 2i d) i e) 1

𝟏 + 𝐢

𝟏 − 𝐢 𝟒

= 𝟏 + 𝐢

𝟏 − 𝐢 𝟐

𝟐

= 𝟐𝐢

−𝟐𝐢 𝟐

= −𝟏 𝟒 = 𝟏

3.Encontre os números reais x e y de modo que (3x + 4yi) + (5 + 6i) = 11 + 18i.

a) x = 2 e y = 3 b) x = 3 e y = 2 c) x = 2 e y = 4 d) x = 4 e y = 4 e) nda

3x + 5 + 4yi + 6i = 11 + 18i 3x + 5 = 11 3x = 11 – 5 3x = 6 x = 2 4y + 6 = 18 4y = 18 – 6 4y = 12 y = 3

4.(MACK-SP) O conjugado de 2+𝑖

𝑖 vale

a) 1 – 2i b) 1 + 2i c) 1 + 3i d) –1 + 2i e) 2 - i

𝟐 + 𝐢

𝐢=

𝟐 + 𝐢

𝐢.−𝐢

−𝐢=

−𝟐𝐢 − 𝐢²

−𝐢²=

−𝟐𝐢 + 𝟏

𝟏= 𝟏 − 𝟐𝐢

Conjugado 1 + 2i

5.( PUC - RS ) Seja z um número complexo, cujo afixo P está representado abaixo no plano de Argand- Gauss

A forma trigonométrica do número z é:

a. ( cos 150º + i sen 150º )

b. ( cos 30º + i sen 30º )

c. ( - cos 150º + i sen 150º )

d. ( cos 120º + i sen 120º )

e. ( - cos 60º + i sen 60º )

𝒛 = −𝟑

𝟐+

𝟑

𝟐

𝒛 = −𝟑

𝟐 𝟐

+ 𝟑

𝟐

𝟐

= 𝟗

𝟒+

𝟑

𝟒 =

𝟏𝟐

𝟒= 𝟑

𝐬𝐞𝐧𝜶 =

𝟑𝟐

𝟑=

𝟑

𝟐.𝟏

𝟑=

𝟏

𝟐

𝐜𝐨𝐬 𝜶 =

−𝟑𝟐

𝟑=

−𝟑

𝟐.𝟏

𝟑=

−𝟑

𝟐 𝟑. 𝟑

𝟑=

−𝟑 𝟑

𝟔=

− 𝟑

𝟐

𝐬𝐞𝐧𝜶 = 𝟏

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶 =

− 𝟑

𝟐 𝜶 = 𝟏𝟓𝟎°

6.( USP ) O argumento do número complexo 𝑧 = −2 3 + 2i é:

a) 120º b) 150º c) 210º d)300º e)330º

𝒛 = −𝟐 𝟑 𝟐

+ 𝟐 𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟒 = 𝟏𝟔 = 𝟒

𝐬𝐞𝐧𝜶 =𝟐

𝟒=

𝟏

𝟐

𝐜𝐨𝐬 𝜶 =−𝟐 𝟑

𝟒=

− 𝟑

𝟐

[CR1] Comentário: (1-i)² = 1² - 2i + i² = 1 – 2i -1 = 2i

[CR2] Comentário: Comparação das partes reais e das partes imaginárias

[CR3] Comentário: No conjugado mudamos o sinal da parte imaginária

[CR4] Comentário: Para o seno usamos a parte imaginária; para o cosseno a parte real (ambas sobre o módulo).

𝐬𝐞𝐧𝜶 = 𝟏

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶 =

− 𝟑

𝟐 𝜶 = 𝟏𝟓𝟎°

7.( PUC - RS ) O número complexo

escrito na forma a + bi é:

a) 2 + i b) - + i c) - -i d) - i e) 2 - i

𝟐. 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟑𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟑𝟎° = 𝟐( 𝟑

𝟐+ 𝒊

−𝟏

𝟐) = 𝟑 - i

8.( UFGO ) As raízes quadradas do número complexo

, são:

a. e

b. e

c. e

d. e

e. e

𝒛 = 𝟏

𝟐 𝟐

+ − 𝟑

𝟐

𝟐

= 𝟏

𝟒+

𝟑

𝟒 =

𝟒

𝟒= 𝟏

𝐬𝐞𝐧𝜶 =

− 𝟑𝟐𝟏

=− 𝟑

𝟐

𝐜𝐨𝐬 𝜶 =

𝟏𝟐𝟏

=𝟏

𝟐

𝐬𝐞𝐧𝜶 = − 𝟑

𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜶 =

𝟏

𝟐 𝜶 = 𝟑𝟎𝟎°

1° termo 𝟑𝟎𝟎

𝟐= 𝟏𝟓𝟎°

2° termo 150° + 𝟑𝟔𝟎

𝟐 = 330°

𝒛𝟎 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟏𝟓𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟓𝟎°

𝒛𝟎 = 𝟏 − 𝟑

𝟐+ 𝒊.

𝟏

𝟐

𝒛𝟏 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟑𝟎° + 𝒊 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟑𝟎°

𝒛𝟎 = 𝟏 𝟑

𝟐+ 𝒊.

−𝟏

𝟐

9.( CESGRANRIO - RJ ) complexo é igual a:

a. -1/64 b. -1/32 c. ( 1 + i )12 d. 1/12 e. 1/12 i

𝟏

𝟏− 𝐢 𝟏𝟐=

𝟏

𝟏 − 𝐢 𝟐 𝟔=

𝟏

−𝟐𝐢 𝟔=

𝟏

−𝟐 𝟔. 𝐢𝟔

=𝟏

𝟔𝟒. 𝐢²=

𝟏

−𝟔𝟒

10.(UEFS) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i, é:

a) -3i b) 1 – i c) 5/2 + (5/2)i d) 5/2 - (3/2)i e) 1/2 - (3/2)i

𝐄 =𝟏

(𝟏 − 𝐢)𝟏+ 𝟏 − 𝐢 𝟐 =

𝟏

(𝟏− 𝐢).(𝟏 + 𝐢)

(𝟏 + 𝐢)− 𝟐𝐢

𝐄 =(𝟏 + 𝐢)

(𝟏² − 𝐢²)− 𝟐𝐢 =

𝟏 + 𝐢

𝟐− 𝟐𝐢

𝐄 = 𝟏 + 𝐢 − 𝟒𝐢

𝟐=

𝟏 − 𝟑𝐢

𝟐=

𝟏

𝟐−

𝟑𝐢

𝟐

[CR5] Comentário: 2ª Lei de Moivre. Os arcos que resultam nas raízes formam uma PA, onde o 1° termo é o argumento dividido pelo índice da raiz e a razão é 360 divido pelo índice da raiz.