Jose Gerardo Vieira da Rocha

Prototipo de um PirometroAutocalibrado Independente da

Emissividade

Dissertacao submetida na Universidadedo Minho para obtencao do grau deMestre em Electronica Industrial.

Universidade do Minho1998

Dissertacao realizada sob a orientacao cientıfica doProfessor Doutor Carlos Alberto Caridade Mon-teiro e Couto, Professor Catedratico do Departa-mento de Electronica Industrial da Universidadedo Minho.

Deve-se dar mais credito a ob-servacao do que as teorias, e a es-tas so ate ao ponto em que saoconfirmadas pelos factos observa-dos.

Aristoteles

A natureza nao esconde os seussegredos por malıcia, mas devidoa sua propria imensidao.

Albert Einstein

i

Conteudo

Prefacio xi

1 Introducao 11.1 Medida da temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Escalas de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Pontos fixos de temperatura e termometros de referencia . . . . . 41.4 Calibracao de termometros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Antevisao do resto da dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I Abordagem teorica 9

2 Radiacao termica e o postulado de Planck 112.1 A radiacao termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 A teoria classica da radiacao do corpo negro . . . . . . . . . . . . 152.3 A distribuicao de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Teoria de Planck da radiacao do corpo negro . . . . . . . . . . . . 242.5 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Propriedades da radiacao em corpos reais 273.1 Lei de Kirchhoff e emissividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Transferencia de calor entre corpos negros . . . . . . . . . . . . . 283.3 Transferencia de calor entre superfıcies nao negras . . . . . . . . . 303.4 O sensor de radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.1 Sensor de platina enegrecida . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.2 A termopilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4.3 Detector de fotoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.4 Comparacao entre os tres tipos de sensores . . . . . . . . . 35

3.5 O que mede o sensor de radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Tecnicas de medicao de temperatura usando radiacao termica 374.1 Pirometro optico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

iii

Conteudo

4.2 Pirometro de infravermelhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Pirometro de duas cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Pirometro com compensacao de emissividade por laser . . . . . . 424.5 Imagens termicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.6 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 O pirometro de duas temperaturas 455.1 Princıpio de funcionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Uma possıvel implementacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3 Diagrama equivalente do pirometro de duas temperaturas . . . . . 475.4 Comparacao com os outros pirometros . . . . . . . . . . . . . . . 485.5 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 Tecnicas de circuitos usadas em instrumentacao 496.1 Ponte de Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1.1 Nao linearidades introduzidas pela ponte de Wheatstone . 506.1.2 Linearizacao da ponte de Wheatstone . . . . . . . . . . . . 516.1.3 A tensao de referencia da ponte . . . . . . . . . . . . . . . 526.1.4 Tolerancias das resistencias da ponte . . . . . . . . . . . . 526.1.5 O sensor esta afastado da ponte . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Amplificador de instrumentacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3 O CMRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4 O offset do amplificador de instrumentacao . . . . . . . . . . . . . 576.5 Tecnicas para eliminar o offset do amplificador de instrumentacao 59

6.5.1 Alimentacao da ponte de Wheatstone com AC . . . . . . . 596.5.2 Estabilizacao chopper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.5.3 Estabilizacao por chopper mecanico . . . . . . . . . . . . . 61

6.6 Amplificador de instrumentacao com ganho elevado . . . . . . . . 626.7 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 Tecnicas avancadas de circuitos 657.1 Tecnica dos tres sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2 Emparelhamento dinamico dos elementos . . . . . . . . . . . . . . 667.3 Medida com dois portos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.4 Tecnica avancada de chopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.5 Conversor analogico-digital com modulacao de perıodo . . . . . . 687.6 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

II Construcao do prototipo 71

8 Projecto dos circuitos electronicos do prototipo 738.1 Diagrama de blocos do circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

iv

Conteudo

8.2 O microcontrolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.3 Conversor analogico digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.4 Electronica de instrumentacao para os sensores de radiacao . . . . 75

8.4.1 Filtro passa-baixo de saıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.4.2 Rectificador de onda completa . . . . . . . . . . . . . . . . 768.4.3 Filtro passa-banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.4.4 Amplificador de instrumentacao . . . . . . . . . . . . . . . 788.4.5 Sensor de radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.5 Electronica de instrumentacao para os sensores de temperatura . . 798.6 Electronica de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.7 Circuito do display . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.8 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9 Construcao optica e mecanica 879.1 O percurso optico da radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.2 Materiais a usar nas lentes, espelhos e janelas . . . . . . . . . . . 879.3 O chopper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.4 Analise termica do sensor quente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.5 Analise termica do sensor frio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.6 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

10 Software do prototipo 9310.1 Linearizacao da resposta dos sensores de temperatura . . . . . . . 9310.2 Calculo da temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10.2.1 Calculo numerico de ab sendo a e b numeros reais . . . . . 9510.2.2 Calculo numerico da funcao exponencial . . . . . . . . . . 9610.2.3 Calculo numerico da funcao logaritmo . . . . . . . . . . . 98

10.3 Actualizacao do display . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.4 Controlo da temperatura do sensor quente . . . . . . . . . . . . . 9910.5 Controlo da temperatura do sensor frio . . . . . . . . . . . . . . . 10010.6 Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

11 Resultados experimentais 10311.1 Plano de testes a efectuar ao prototipo . . . . . . . . . . . . . . . 10311.2 Teste ao circuito de potencia do frigıstor . . . . . . . . . . . . . . 10411.3 Teste aos sensores de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10511.4 Constantes do modelo matematico do aquecimento . . . . . . . . 10511.5 Constantes do modelo matematico do arrefecimento . . . . . . . . 10711.6 Determinacao de p: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10811.7 Calculo do erro absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10911.8 Teste final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11011.9 Teste de verificacao do novo modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

11.9.1 Teste com um sensor sem tubo . . . . . . . . . . . . . . . 114

v

Conteudo

11.9.2 Teste com um sensor com um tubo para conduzir a radiacao11611.10Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12 Conclusao 11712.1 Principais dificuldades sentidas durante a realizacao do trabalho . 11712.2 Alguns pontos de partida para futuros trabalhos . . . . . . . . . . 118

Bibliografia 119

vi

Lista de Figuras

1.1 Termoscopo florentino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Curva tıpica de temperatura-tempo para um metal durante a so-lidificacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Radiancia espectral do corpo negro a diferentes temperaturas . . . 14

2.2 Uma cavidade ligada ao exterior por um pequeno orifıcio. A ra-diacao incidente sobre o orifıcio e completamente absorvida apossucessivas reflexoes. O orifıcio tem propriedades de corpo negro. . 14

2.3 Uma cavidade cubica cheia de radiacao electromagnetica . . . . . 16

2.4 Planos nodais de uma onda estacionaria que se propaga numa certadireccao na cavidade cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Comparacao entre os resultados de um calculo simples e a distri-buicao de Boltzmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Previsao de Rayleigh-Jeans em comparacao com os resultados ex-perimentais para a densidade de energia de uma cavidade de corponegro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 Analogia entre a radiacao emitida por uma superfıcie e um circuitoelectrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Analogia entre a radiacao trocada por duas superfıcies e um cir-cuito electrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Circuito electrico equivalente para calcular a troca de radiacaoentre duas superfıcies nao negras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Sensor de platina em zig-zag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Desenho esquematico de uma termopilha. . . . . . . . . . . . . . . 33

3.6 Detector de fotoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1 Ilustracao esquematica de um pirometro optico. . . . . . . . . . . 38

4.2 Imagem do filamento da lampada vista pelo observador. . . . . . . 38

4.3 Ilustracao esquematica de um pirometro de infravermelhos. . . . . 39

4.4 Exemplo que mostra o efeito de varios objectos no campo de visaode um pirometro de infravermelhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5 Ilustracao esquematica do pirometro de duas cores. . . . . . . . . 41

vii

Lista de Figuras

4.6 Sensores que medem a radiacao emitida por um corpo a frequenciasdiferentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.7 Pirometro com compensacao de emissividade por laser. . . . . . . 42

5.1 Ilustracao esquematica do pirometro de duas temperaturas. . . . . 47

5.2 Diagrama equivalente do pirometro de duas temperaturas. . . . . 47

6.1 Ponte de Wheatstone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2 Ponte para transdutor com resposta linear. . . . . . . . . . . . . . 52

6.3 Ligacao ao sensor com tres condutores para compensar os efeitosda sua resistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.4 Amplificador de instrumentacao com tres amplificadores operaci-onais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.5 Tensoes diferencial e de modo comum aplicadas ao primeiro andardo amplificador de instrumentacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.6 Segundo andar do amplificador de instrumentacao alimentado comtensao diferencial e tensao de modo comum. . . . . . . . . . . . . 56

6.7 Amplificador de instrumentacao com CMRR melhorado. . . . . . 58

6.8 Ponte excitada com tensao alternada. . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.9 Formas de onda do circuito da ponte excitada com AC. . . . . . . 60

6.10 Estabilizacao chopper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.11 Diagrama de blocos do circuito de compensacao de offset com chop-

per mecanico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.12 Amplificador de instrumentacao com ajuste de ganho por PWM. . 63

7.1 Simples divisor por 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.2 Simples divisor por 4 com emparelhamento dinamico. . . . . . . . 66

7.3 Medida de dois portos para elementos sensores em que os elementosparasitas formam uma rede π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.4 Medida de dois portos para elementos sensores em que os elementosparasitas formam uma rede T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.5 Tecnica de chopping para ponte de Wheatstone. . . . . . . . . . . 68

7.6 Tensao de erro do amplificador de instrumentacao. . . . . . . . . . 68

7.7 Conversor analogico digital com modulacao de perıodo. . . . . . . 69

8.1 Diagrama de blocos do circuito do pirometro de duas temperaturas. 74

8.2 Filtro passa-baixo de terceira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.3 Rectificador de onda completa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.4 Filtro passa-banda com realimentacao multipla. . . . . . . . . . . 77

8.5 Circuito de interface de um sensor de radiacao. . . . . . . . . . . . 80

8.6 Circuito de interface do sensor de temperatura. . . . . . . . . . . 81

8.7 Circuito equivalente de Thevenin do interface do sensor de tempe-ratura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

viii

Lista de Figuras

8.8 Circuito de interface com o sensor de temperatura com estabi-lizacao chopper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8.9 Comutador controlado por modulacao de largura de pulso. . . . . 838.10 Comutador controlado por modulacao de largura de pulso para

accionamento do frigıstor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.11 Formas de onda da tensao e da corrente na bobine. . . . . . . . . 848.12 Forma de onda da da corrente na bobine. . . . . . . . . . . . . . . 84

10.1 Diagrama de blocos do controlador do sistema de aquecimento dosensor quente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.2 Diagrama de blocos do controlador do sistema de arrefecimento dosensor frio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

11.1 Forma de onda do ripple da tensao aos terminais do frigıstor, comduty-cycle de cerca de 8%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

11.2 Resposta do sistema de aquecimento do sensor quente a um degraude potencia de 5W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

11.3 Resposta do sistema de arrefecimento do sensor frio a um degraude potencia de 1.68W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.4 Resposta dos sensores de radiacao em funcao da variacao da tem-peratura de um corpo negro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11.5 Erro absoluto em funcao da temperatura do corpo sobre o qual sepretende obter a medida, com o sensor quente a 330K, o sensorfrio a 293K, emissividade de 0.5 e conversor analogico digital de10 bits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

11.6 Erro absoluto em funcao da temperatura do sensor quente, com ocorpo a 400K, o sensor frio a 293K, emissividade de 0.5 e conversoranalogico digital de 10 bits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

11.7 Erro absoluto em funcao do numero de bits do conversor analogicodigital, com o corpo a 400K, o sensor quente a 330K, sensor frioa 293K e emissividade de 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

11.8 Erro absoluto em funcao da emissividade da superfıcie, com o corpoa 400K, o sensor quente a 330K, o sensor frio a 293K e conversoranalogico digital de 10 bits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

11.9 Novo modelo do pirometro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

ix

Lista de Figuras

x

Lista de Tabelas

1.1 Pontos fixos da Escala Internacional de Temperaturas (1990) [ITS-90] 5

2.1 Calculo simples que leva a uma aproximacao da distribuicao deBoltzmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1 Emissividade de alguns materiais, λ = 0.65µm [ASME 74] . . . . 29

11.1 Testes para a linearizacao das pontes de Wheatstone . . . . . . . . 10511.2 Coeficientes de linearizacao das pontes de Wheatstone. . . . . . . 10511.3 Valores calculados para os coeficientes de linearizacao das pontes

de Wheatstone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10511.4 Valores medidos pelos sensores quando focados no disco de alumınio.11211.5 Valores real e calculado para a temperatura do corpo e erro come-

tido pelo aparelho. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11311.6 Teste efectuado com um sensor sem tubo. . . . . . . . . . . . . . . 11511.7 Teste efectuado com um sensor sem tubo e com um ferro quente

nas proximidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11511.8 Teste efectuado com um sensor com um tubo a conduzir a radiacao.116

xi

Lista de Tabelas

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Lista de Algoritmos

10.1 Calculo da temperatura do corpo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9510.2 Ajuste das unidades de temperatura para outras escalas. . . . . . 9510.3 Calculo de exi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810.4 Actualizacao do display. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.5 Controlador da temperatura do sensor quente. . . . . . . . . . . . 10010.6 Controlador do sistema de arrefecimento do sensor frio . . . . . . 102

xiii

Lista de Algoritmos

xiv

Prefacio

Em 1996, pouco depois de entrar para o Departamento de Electronica Indus-trial, foi-me proposto realizar um trabalho do qual faziam parte o projecto e aconcepcao de um prototipo de um instrumento capaz de medir temperaturas adistancia sem necessidade de qualquer tipo de calibracao. Aceitei de imediato ede bom grado o projecto, uma vez que se enquadrava entre duas areas discipli-nares da minha preferencia: Fısica e Electronica de Instrumentacao. O desafioera sem duvida ambicioso, ja que se pretendia que o instrumento fosse capaz demedir a temperatura das superfıcies a distancia, sem a influencia da emissividade(que varia muito com a cor e com a textura). Seria possıvel? Teoricamente, tudoindicava que sim, ate porque em finais de 1994, foi registada uma patente emnome da Universidade do Minho (tendo como inventores o Professor Lubos Hes eo Professor Carlos Couto) que descrevia o princıpio de funcionamento deste apa-relho. Tambem no ano de 1994 dois estagiarios da Licenciatura em ElectronicaIndustrial, os meus colegas e amigos Leonel e Manuel testaram a ideia e aparen-temente estava tudo correcto. Foram-me cedidas copias dos relatorios de estagiodos dois alunos, onde se podiam ver descricoes de um prototipo hipotetico para opirometro, se bem que o seu trabalho tivesse sido orientado no sentido de provara teoria. Nos seus relatorios estao descritos tambem alguns testes onde se provavaque o princıpio de funcionamento estava correcto, pelo menos em superfıcies comemissividades superiores a 0.65.

Desde Outubro de 1996 ate Julho de 1997, o projecto esteve na “gaveta”,ja que estive ocupado com a parte lectiva do Mestrado em Electronica Indus-trial. Em Setembro de 1997 o projecto arrancou definitivamente em todas assuas vertentes: primeiro foram realizadas as partes mecanicas, depois os circuitoselectronicos e por fim o software. Como ponto de partida usei a descricao doprototipo dos estagiarios, embora voltasse a projectar todos os circuitos com oobjectivo de os tornar auto-calibrados (sem necessidade de ajustes mecanicos).No software, em vez do microcontrolador proposto pelos estagiarios, usei um damesma famılia mas bastante mais rapido (cerca de 2.5 a 3 vezes mais rapido se-gundo o fabricante), com o dobro da memoria e em vez da linguagem Assembly,usei C para refazer todo o software com o objectivo de tornar os calculos em vir-gula flutuante mais precisos e tambem tornar todo o software mais legıvel. EmJaneiro de 1998 o prototipo estava pronto a ser testado. Ao serem efectuados

xv

Prefacio

os primeiros testes, verificamos que os resultados nao eram satisfatorios, o quelevou a que todos os componentes do prototipo fossem revistos, ate que chegamosa conclusao de que o problema deveria ter origem no modelo teorico do proprioaparelho. Mas qual seria? Depois de alguns meses de estudos e discussoes chega-mos a conclusao de que existia mais uma variavel em jogo que ate a data nuncatinha sido analisada. Essa variavel e a temperatura do meio ambiente que apenasinfluencia as medidas em pirometros autocalibrados cujo princıpio de funciona-mento se baseia em sensores a temperaturas diferentes. Isto acontece porquese o pirometro for de calibracao manual, o efeito do ambiente caso surja, podeser calibrado. Por outro lado, se os sensores estiverem a temperatura ambiente,nao vai haver intercambio de energia com este, logo nao se nota seu o efeito.Para concluir, e de referir que apesar de os resultados nao serem os melhores, onosso conhecimento cientıfico sobre a area ficou bastante reforcado, sendo bas-tante provavel que dentro de algum tempo se torne possıvel contornar o problemaque surgiu desta vez, conseguindo-se entao construir o pirometro autocalibrado.

Vou aproveitar esta oportunidade para agradecer ao Professor Carlos Coutoo facto de ter depositado confianca em mim para fazer parte da sua equipa deinvestigacao, bem como para realizar este projecto. Agradeco tambem ao Pro-fessor Lubos Hes a sua disponibilidade para trocar impressoes e opinioes duranteas fases de construcao e testes do aparelho o que enriqueceu muito o meu conhe-cimento cientıfico sobre a area da transferencia de calor por radiacao. Agradecotambem aos colegas (por ordem alfabetica) Cristina, Graca, Jorge e Jose todo oapoio que tive da sua parte, sem o qual, perante as dificuldades, se teria apo-derado de mim o desanimo e a vontade de abandonar o trabalho antes da suaconclusao.

O Autor

xvi

Capıtulo 1

Introducao

Desde muito cedo que o Homem se preocupou com o problema de avaliar seos corpos que o rodeiam estao quentes ou frios, ou seja, avaliar a sua tempera-tura. Por consequencia, tambem desde muito cedo que apareceram tecnicas deavaliacao da temperatura dos corpos, sendo as mais problematicas e que apresen-tam um maior desafio a ciencia, as que nao necessitam de contacto com o corpoem questao. Os objectivos principais desta dissertacao consistem em estudar asteorias e tecnicas associadas a medicao de temperaturas a distancia e desenvolverum prototipo baseado numa tecnica nova, capaz de compensar a influencia dasuperfıcie do corpo na medida da sua temperatura sem contacto.

1.1 Medida da temperatura

Se for colocada a questao: O que e a temperatura? A primeira resposta quesurge e uma definicao em termos qualitativos que diz que a temperatura de umobjecto pode ser descrita como sendo a propriedade que determina a sensacao dequente ou frio quando alguem lhe toca. E que a temperatura, ao contrario deoutras grandezas como o comprimento, tempo ou massa e uma grandeza abstractaque so pode ser definida em termos de variacoes de outras propriedades dosmateriais quando esta varia. Alguns exemplos de alteracoes de propriedades demateriais que podem ser usadas na medida da temperatura incluem alteracoesno volume de um lıquido, alteracao nas dimensoes de uma barra, alteracao naresistencia electrica de um condutor, alteracao da pressao de um gas contido numvolume constante, alteracao da cor do filamento de uma lampada, etc.

1.2 Escalas de temperatura

Uma das primeiras tentativas conhecidas para definir uma escala de tempera-tura ocorreu em cerca de 170A.C., quando Galen, nos seus escritos de medicina,

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1. Introducao

propos que se devia chamar de neutra a uma temperatura construıda com quan-tidades iguais de agua a ferver e gelo. De cada lado desta temperatura neutraexistiam quatro graus de calor e quatro graus de frio respectivamente [Lynd 95].

Os dispositivos mais antigos usados para medir a temperatura eram chamadosde termoscopos. Consistiam em um balao de vidro com um longo tubo estendidopara baixo e mergulhado num recipiente com agua colorida, como mostra a figura1.1. Conta-se que por volta de 1610, Galileo supostamente usou vinho em vezde agua colorida. Algum do ar do balao e retirado antes de o colocar no lıquido,

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Ar

Vinho

Figura 1.1: Termoscopo florentino

fazendo com que o lıquido depois suba no tubo. Quando o ar que ficou no balao foraquecido ou arrefecido, o nıvel do lıquido no tubo varia, reflectindo as alteracoesna temperatura do ar. Para que as variacoes da temperatura sejam classificadasde uma forma quantitativa, basta gravar uma escala no tubo. O ar do balao echamado de meio termometrico, ou seja, o meio cujas propriedades variam coma temperatura.

Em 1641, Ferdinand II, Grand Duke of Tuscany, desenvolveu o primeirotermometro que usava um lıquido em vez de ar como meio termometrico. Estetermometro usava alcool num tubo fino de vidro. No tubo era marcada umaescala com cinquenta graus, no entanto nao era referido nenhum ponto fixo comosendo o zero da escala.

Em 1644, Robert Hook usou uma tinta de cor vermelha no alcool. A suaescala, em que os graus representavam um incremento no volume equivalente acerca de 1/500 do volume total do lıquido do termometro, necessitava de apenasum ponto fixo. Ele escolheu o ponto de solidificacao da agua. Fazendo a escaladeste modo, Hook reparou que a mesma escala poderia ser estabelecida paratermometros de varios tamanhos. O termometro original de Hook ficou conhecidocomo a norma do Gresham College e foi usado pela Royal Society ate 1709. Osprimeiros registos meteorologicos inteligıveis que chegaram ate nos foram medidosusando esta escala.

Em 1702, o astronomo Ole Roemer de Copenhagen baseou a sua escala emdois pontos fixos: o ponto de solidificacao da agua e o ponto em que esta entraem ebulicao. Com o seu termometro baseado nestes dois pontos fixos, registou atemperatura diaria de Copenhagen entre 1708 e 1709.

Em 1724 Gabriel Fahrenheit usou mercurio como lıquido termometrico. Aexpansao termica do mercurio e grande e praticamente uniforme, este nao adere

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1.2. Escalas de temperatura

ao vidro e permanece lıquido entre uma vasta gama de temperaturas. A suaaparencia prateada torna facil a leitura. Fahrenheit tambem descreveu o processode calibracao do seu termometro de mercurio:

–Colocando o termometro numa mistura de sal do mar, gelo e agua e encon-trado um ponto da escala que marca o zero. Um segundo ponto e obtido se amesma mistura for usada sem sal. Marca-se esta segunda posicao como 30. Umterceiro ponto, marcado como 96 e atingido colocando o termometro na bocapara que este fique com a temperatura do corpo humano.

Com esta escala, Fahrenheit mediu o ponto de ebulicao da agua como sendo212. Mais tarde ajustou o ponto de solidificacao da agua para 32 para que assimo intervalo entre o ponto de solidificacao e o de ebulicao pudesse ser representadopor um numero mais racional (180). As temperaturas medidas nesta escala saodesignadas como “Graus Fahrenheit (oF )”.

Em 1745, Carolus Linnaeus de Upsula descreveu uma escala em que o pontode solidificacao da agua e zero e o ponto de ebulicao e de 100, ficando assim umaescala “centıgrada” (com cem divisoes). Anders Celsius usou a escala inversaem que 100 representava o ponto de solidificacao da agua e zero o seu ponto deebulicao.

Em 1780, J. A. C. Charles, verificou que para o mesmo incremento de tempe-ratura, todos os gases tem o mesmo incremento em volume. Como o coeficientede expansao dos gases e praticamente o mesmo, e possıvel estabelecer uma escalade temperatura baseada num ponto fixo unico, em vez de dois. Isto traz de voltaos termometros que usam um gas como meio termometrico.

T. J. Seebeck, em 1826, descobriu que quando dois condutores de metaisdiferentes sao fundidos num ponto e aquecidos, circula uma corrente de um parao outro. A forca electromotriz gerada pode ser relacionada quantitativamentecom a temperatura e o sistema pode ser usado como termometro, conhecidocomo termopar.

Sir William Siemens, em 1871, propos um termometro cujo meio termometricoe um condutor metalico cuja resistencia varia com a temperatura. A platina naooxida a altas temperaturas e tem uma relacao entre a resistencia e a tempera-tura bastante uniforme numa vasta gama. A resistencia de platina hoje e usadavulgarmente como termometro na gama de cerca de −260oC a 1235oC.

Em 1887 P. Chappuis conduziu estudos intensivos dos termometros de gascom pressao constante ou com volume constante, usando hidrogenio, azoto edioxido de carbono como meio termometrico. Baseado nos seus resultados, oComite Internacional dos Pesos e Medidas adoptou o termometro de hidrogeniode volume constante e uma escala baseada nos pontos de solidificacao da agua (a0oC) e de ebulicao (a 100oC) como a escala pratica para a meteorologia.

As experiencias com termometros de gas mostraram que a diferenca nas esca-las para diferentes gases e muito pequena. As experiencias tambem mostram quee possıvel definir uma escala que e independente do meio termometrico, se o gasestiver a baixa pressao. Neste caso, todos os gases se comportam como um gas

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1. Introducao

ideal e tem uma relacao muito simples entre a sua pressao, volume e temperatura:

p× V = (constante)× T (1.1)

Esta e chamada de “temperatura termodinamica” e e considerada como amedida fundamental de temperatura. E de notar que ha um zero definido natu-ralmente nesta escala: e o ponto no qual a pressao de um gas ideal e zero, fazendoa temperatura tambem zero. Com um ponto fixo na escala, apenas se necessitade outro para que toda a escala esteja definida. Em 1933 o Comite Internacionalde Pesos e Medidas adoptou o ponto triplo da agua como ponto fixo desta escala.O ponto triplo da agua e o valor de temperatura para o qual os estados solido,lıquido e gasoso da agua coexistem em equilıbrio e o seu valor esta definido como273.16. A unidade de temperatura desta escala e o kelvin (nao o grau kelvin),em homenagem a Lord Kelvin.

Em 1948 a unidade “grau centıgrado” deixou de existir para dar lugar a “graucelsius”. Esta escala ficou definida por dois items:

1. O ponto triplo da agua ocorre a 0.01oC.

2. Um grau Celsius equivale a variacao de temperatura de um grau na escalado gas ideal (kelvin).

Na escala de graus celsius, o ponto de ebulicao da agua a pressao atmosfericade 1 atmosfera (1atm) e de 99.975oC e nao de 100oC como estava definido naescala centıgrada.

1.3 Pontos fixos de temperatura e termometros

de referencia

A temperatura esta relacionada com a energia cinetica das moleculas de umadeterminada regiao de um corpo, so que essa energia cinetica nao pode ser medidadirectamente para assim se poder deduzir a sua temperatura. No entanto podemser usadas propriedades de alguns materiais com as quais e possıvel medir atemperatura. Para tornar esta tarefa mais facil surgiu uma norma chamada“Escala de Temperaturas Internacional” que define alguns pontos termodinamicosfixos bem como qual o termometro mais aconselhado para medir determinadagama de temperaturas [Dall 93].

A Escala de Temperaturas Internacional e entao baseada em dezassete pontosque cobrem a gama de temperaturas desde −270.15oC ate 1084oC. A maiorparte dos dezassete pontos corresponde a um estado de equilıbrio durante a fasede transformacao de um material em particular (tabela 1.1). Os pontos fixosassociados a fusao ou a solidificacao de um material sao determinados a pressao de1atm (∼ 101kPa). Entre os pontos fixos seleccionados, a temperatura e definida

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1.3. Pontos fixos de temperatura e termometros de referencia

Tabela 1.1: Pontos fixos da Escala Internacional de Temperaturas (1990) [ITS-90]

Estado e Material Temp. K Temp. oCVaporizacao do Helio 3 a 5 -270.15 a -268.15

Ponto Triplo do Hidrogenio 13.8033 -259.3467Vapor de Hidrogenio. Pressao ∼ 33kPa ∼ 17 -256.15Vapor de Hidrogenio. Pressao ∼ 101kPa ∼ 20.3 -252.85

Ponto triplo do Neon 24.5561 -248.5939Ponto triplo do Oxigenio 54.3584 -218.7916

Ponto triplo do Argon 83.8058 -189.3442Ponto triplo do Mercurio 234.3156 -38.8344

Ponto triplo da Agua 273.16 0.01Ponto de fusao do Galio 302.9146 29.7646

Ponto de solidificacao do Indio 429.7485 156.5985Ponto de solidificacao do Estanho 505.078 231.928Ponto de solidificacao do Zinco 629.677 419.527

Ponto de solidificacao do Alumınio 933.473 660.323Ponto de solidificacao da Prata 1234.93 961.78Ponto de solidificacao do Ouro 1337.33 1064.18Ponto de solidificacao do Cobre 1357.77 1084.62

pela resposta de termometros especificados tambem pela norma, que depois comalgumas equacoes empıricas se chega, atraves de interpolacoes a temperaturade referencia. As definicoes destes termometros na “Escala de TemperaturasInternacional” de 1990 sao varias, desde as temperaturas muito baixas ate asmuito altas. A temperaturas proximas do zero absoluto (entre 0.65K e 5.0K,a escala de temperatura esta definida em termos da relacao entre a pressao e atemperatura de vapor de Helio (3He e 4He). Entre 3.0K e o ponto triplo do Neona escala esta definida a partir de um termometro de gas de helio, ao qual e medidaa pressao em um volume constante, calibrado a tres temperaturas realizaveisexperimentalmente (pontos fixos). A temperatura e determinada a partir darelacao pressao-temperatura do gas e usando os procedimentos de interpolacaotambem definidos pela norma. Entre o ponto triplo do hidrogenio e o ponto desolidificacao da prata, a temperatura de referencia e a resistencia de platina. Acalibracao e feita recorrendo a varios pontos fixos e a temperatura e calculadaa partir da relacao temperatura - resistencia da platina. A partir do ponto desolidificacao da prata, a temperatura de referencia esta definida em termos de umponto fixo definido e da lei da radiacao de Planck, assunto que sera desenvolvidocom mais detalhe nos proximos capıtulos.

5

1. Introducao

1.4 Calibracao de termometros

A “Escala de Temperaturas Internacional” fornece uma vasta gama de valoresde referencia de temperatura, no entanto, para que com eles seja possıvel calibrarum termometro foram desenvolvidos varios metodos, de entre os quais sao desalientar os seguintes: o metodo do ponto de solidificacao de uma substancia, ouo do seu ponto de ebulicao, o metodo da fusao de um condutor e o metodo dacomparacao.

O metodo do ponto de solidificacao de uma substancia e o mais facil de usare tambem o mais frequentemente usado na calibracao de termometros. Nestemetodo, o termometro em questao e mergulhado num banho de uma substanciapura que foi previamente aquecida acima do seu ponto de fusao. Depois disto,a temperatura do banho e reduzida lentamente, enquanto se registam pontos detemperatura-tempo num grafico similar ao da figura 1.2. Como pode ser obser-vado na dita figura, quando a substancia em questao muda do estado lıquido parao solido, a temperaturas permanece constante por alguns instantes e oferece umareferencia precisa para a calibracao. Na figura 1.2, Tf representa portanto, oponto de solidificacao da substancia usada, correspondendo aos valores da tabela1.1 para algumas substancias. O principal problema deste metodo de calibracaoe que exige substancias puras, ja que pequenas quantidades de impureza podemafectar de forma significativa o ponto de solidificacao e por consequencia, a cali-bracao.

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Tempo

Tem

per

atu

ra

Tf

Figura 1.2: Curva tıpica de temperatura-tempo para um metal durante a solidi-ficacao

Os termometros destinados a serem usados na gama mais baixa da escalade temperaturas podem ser calibrados usando o fenomeno da ebulicao. O sen-sor e mergulhado num lıquido, que depois e aquecido lentamente ate que entreem ebulicao. Nesta altura, o fluido proporciona uma referencia estavel para acalibracao. A desvantagem deste metodo e que deve ter-se em linha de contaa pressao atmosferica. Por exemplo, reduzindo a pressao atmosferica de 1atmpara 0.9atm, resulta na transicao do ponto de ebulicao da agua dos 100oC para96, 5oC.

6

1.5. Antevisao do resto da dissertacao

O metodo da fusao de um condutor e usado para calibrar termopares. Oprocedimento e o seguinte: a juncao quente do termopar e feita ligando os doismetais diferentes por um terceiro. Este terceiro metal podera ser por exemploprata ou estanho, nao devendo conter impurezas. Quando a juncao e aquecida,a tensao aos terminais do termopar vai aumentando, ate que a uma dada altura,o terceiro metal funde, ficando o circuito aberto, caindo a tensao para zero. Atensao medida imediatamente antes da queda para zero esta associada ao pontode fusao do metal usado como terceiro elemento, ficando assim o termometrocalibrado. O metodo da comparacao consiste em usar dois termometros: umde qualidade desconhecida e um outro de referencia. Para referencia, convemusar um dos definidos na “Escala Internacional de Temperaturas”. Ambos ostermometros sao mergulhados num lıquido cuja temperatura varia na gama deinteresse. O termometro de referencia mede a temperatura do lıquido, permitindoa calibracao do outro.

1.5 Antevisao do resto da dissertacao

Depois deste capıtulo de introducao em que foi descrito o fenomeno da tem-peratura, sera abordado um dos principais objectivos propostos que e medir tem-peraturas a distancia. Para isso, esta dissertacao vai estar dividida fundamen-talmente em duas partes: na primeira, ate ao capıtulo 8 e feita uma abordagemdos fundamentos teoricos necessarios para medir temperaturas sem contacto. Nasegunda parte, dos capıtulos 8 ao 11 sera feita uma descricao pormenorizada doprototipo, nas suas constituintes de hardware electronico, mecanico e software.Concretizando: No capıtulo 2 sao descritas algumas leis sobre as quais se regem osfenomenos da radiacao, nomeadamente a lei de Planck. O capıtulo 3 e dedicadoa descricao das leis de transferencia de energia entre corpos atraves de radiacaoe como e que se pode aproveitar isso para construir um sensor de radiacao. Nocapıtulo 4 serao descritas algumas tecnicas usadas para medir temperaturas semcontacto, tais com a do pirometro optico ou o de duas cores. Em todas estastecnicas existe um grave problema: o facto de superfıcies diferentes a mesmatemperatura emitirem quantidades de radiacao diferentes. A este fenomeno da-se o nome de emissividade da superfıcie. No capıtulo 5 e descrito um modo decorrigir o efeito da emissividade dos diferentes materiais, chegando-se a conclusaode que e possıvel ler com precisao a temperatura de um corpo sem estar em con-tacto com ele. No capıtulo 6 serao abordadas algumas tecnicas de electronicade instrumentacao, bem como os problemas a si associados. No capıtulo 7 seraodescritas algumas tecnicas avancadas de electronica de instrumentacao, tecnicasessas que embora nao sejam usadas na construcao do prototipo, ficam aqui des-critas como pontos de partida para futuros trabalhos. Nos capıtulos 8, 9 e 10sera descrito o prototipo e no capıtulo 11 serao apresentados alguns resultadospraticos de testes feitos ao aparelho bem como a determinacao pratica de algu-

7

1. Introducao

mas constantes de interesse para o seu funcionamento, restando o capıtulo 12para tecer algumas conclusoes sobre o trabalho desenvolvido.

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Parte I

Abordagem teorica

9

Capıtulo 2

Radiacao termica e o postuladode Planck

Para a medida de temperaturas abaixo dos 1000oC, existe um variado leque desensores, nomeadamente os termistores, termopares ou detectores de temperaturaresistivos (RTDs). Os problemas surgem quando se pretendem usar os metodosconvencionais e a temperatura comeca a ser realmente alta, aı comecam a existirperdas de estabilidade, falhas no isolamento termico, etc. Outro problema surgequando e pretendida a informacao acerca da temperatura de algum corpo emmovimento, como por exemplo nas industrias do papel ou tinturaria textil, emque nao e possıvel adaptar um sensor convencional ao papel ou tecido durantea producao, embora fosse interessante, muitas vezes conhece-la com rigor. Naexploracao espacial muitas vezes sao pretendidas informacoes sobre a temperaturade corpos celestes, a maior parte das vezes inalcancaveis, ou porque estao agrande distancia ou porque estao a muito altas temperaturas. Estas sao algumasdas razoes que motivam a investigacao na pirometria, em que a temperaturado corpo em questao se calcula a partir da medida da radiacao termica por siemitida. Empregando os princıpios da radiacao, foram desenvolvidos metodosde medicao da temperatura sem contacto com o corpo sobre o qual se pretendeobter a medida, metodos esses que resolvem os problemas da estabilidade, doisolamento termico e tambem dos corpos em movimento ou inalcancaveis. Deseguida vao ser descritas algumas das leis fısicas que permitem o funcionamentodos pirometros.

2.1 A radiacao termica

A radiacao emitida por um corpo devido a sua temperatura e chamada ra-diacao termica. Todos os corpos emitem este tipo de radiacao para o meio a suavolta. Tambem, todos os corpos recebem dessa mesma radiacao proveniente domeio. Se um corpo esta inicialmente mais quente do que o meio, ira arrefecer, ja

11

2. Radiacao termica e o postulado de Planck

que a sua taxa de emissao de radiacao e maior do que a sua taxa de absorcao.Quando o corpo e o meio ficam a mesma temperatura, e atingido o equilıbriotermico e as taxas de emissao e absorcao sao iguais.

A materia nos estados solido ou lıquido emite um espectro contınuo de ra-diacao. A forma do espectro de radiacao que e emitido, nao depende do materialde que o corpo e composto, no entanto depende bastante da temperatura. A tem-peraturas baixas a maioria dos corpos sao visıveis, nao pela radiacao que emitemmas sim pela luz que reflectem. Se nao houver luz a incidir sobre eles, nao sepodem ver. A temperaturas muito altas, no entanto, os corpos tem luminosi-dade propria. Podem ser vistos a brilhar num quarto escuro, ja que a radiacaotermica que eles emitem na regiao do espectro visıvel comeca a ser significativa.No entanto, mesmo a temperaturas de alguns milhares de kelvin, mais de 90% daradiacao termica emitida por um corpo continua na regiao dos infravermelhos.Portanto, a partida, a afirmacao de que os corpos com luminosidade propria estaomuito quentes normalmente e verdadeira. Ha excepcoes a esta regra mas que naointeressam para o presente estudo. Para que isto seja melhor compreendido, podeser imaginada uma experiencia em que um ferro e colocado no fogo e periodica-mente e retirado de la para que as suas propriedades sejam observadas. Quandoo ferro esta ainda a uma temperatura relativamente baixa, ele irradia calor, quese pode sentir, radiacao essa que nao e visıvel. Quando a temperatura aumenta,a quantidade de radiacao emitida aumenta muito rapidamente e a partir de umcerto instante, comecam-se a ver os seus efeitos. O ferro adquire uma cor verme-lha apagada, depois passa a vermelho brilhante e, a temperaturas muito altas,adquire uma cor branco-azulada intensa. Uma das conclusoes que se podem tirarcom a experiencia e que a medida que a temperatura aumenta, a quantidade deradiacao emitida e a frequencia na qual a radiacao e mais intensa tambem au-mentam. A relacao entre a temperatura de um corpo e a intensidade de radiacaoque e emitida no espectro visıvel e utilizada num aparelho chamado pirometrooptico, que sera descrito mais adiante.

De um modo mais geral, a forma detalhada do espectro da radiacao termicaemitida por um corpo quente, depende de algum modo da composicao desse corpo(pelo menos da composicao da sua superfıcie). No entanto ha um tipo de corposquentes que emitem espectros termicos de caracter universal (independentes domaterial de que sao constituıdos). Sao os chamados corpos negros, isto e, corposcujas superfıcies absorvem toda a radiacao termica incidente sobre eles. Na na-tureza nao existe (ou pelo menos nao e conhecido) nenhum corpo 100% negro,existindo todavia boas aproximacoes com as quais e possıvel estudar as suas pro-priedades. O nome de corpo negro advem do facto de que tal corpo nao reflectea luz, como tal e negro. Se o nome e adequado ou nao, e um assunto discutıvelque esta fora do ambito do presente estudo. Um exemplo de uma aproximacaoao corpo negro seria um objecto qualquer coberto com uma camada de fuligem.Para a radiacao visıvel e tambem para parte do espectro infravermelho, um corpoassim composto, absorve toda a radiacao incidente, portanto e aproximadamente

12

2.1. A radiacao termica

negro. Independentemente dos detalhes da sua composicao, verifica-se que todosos corpos negros a mesma temperatura emitem radiacao termica com o mesmoespectro. As propriedades universais da radiacao emitida por corpos negros fa-zem com que eles sejam de interesse teorico particular, e que os fısicos procuremexplicar as caracterısticas especıficas do seu espectro.

A distribuicao espectral da radiacao do corpo negro e especificada por umafuncao da frequencia, chamada radiancia espectral (RT (ν)). A radiancia espectrale definida de forma que RT (ν)dν seja igual a energia emitida por unidade detempo com frequencia compreendida entre ν e ν + dν por unidades de area deuma superfıcie a temperatura T . As primeiras medidas precisas desta grandezaforam feitas por Lummer e Pringsheim em 1899. Os resultados das medicoes estaotraduzidos no grafico da figura 2.1 e mostram claramente que ha uma dependenciaentre (RT (ν)), a frequencia e a temperatura da radiacao emitida [Eisb 85].

O integral da radiancia espectral (RT (ν)) em relacao a frequencia da a energiatotal emitida por unidade de tempo, por unidade de area de um corpo negro atemperatura T . A esta radiacao total emitida por unidade de tempo, por unidadearea, pode chamar-se radiancia ou energia radiada (ER) e e dada por:

ER =

∞∫

0

RT (ν)dν (2.1)

Como pode ser visto na figura 2.1, ER cresce rapidamente com o aumentoda temperatura. De facto, o resultado do integral e chamado lei de Stefan-Boltzmann, e foi enunciado pela primeira vez em 1879 sob a forma de uma equacaoempırica:

ER = σT 4 (2.2)

onde σ = 5.67 × 10−8W/(m2K4) e a chamada constante de Stefan. A figura2.1 tambem mostra que o espectro se desloca para maiores frequencias a medidaque a temperatura aumenta. Este resultado e chamado lei do deslocamento deWien e diz que a frequencia na qual RT tem o valor maximo e proporcional atemperatura:

νmax ∝ T (2.3)

Mas comoλ.ν = c (2.4)

em que λ e o comprimento de onda da radiacao, ν a sua frequencia e c a velocidadede propagacao das ondas electromagneticas (c = 3× 108m/s no vacuo), a lei deWien pode ser reescrita da seguinte forma:

λmax.T = constante (2.5)

onde λmax e o comprimento de onda no qual a radiancia espectral atinge o seuvalor maximo para uma dada temperatura T . O valor determinado experimen-talmente para a constante de Wien e de 2.898× 10−3m.K.

13

2. Radiacao termica e o postulado de Planck

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4

4

3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.50ν − 1014Hz

RT−

10−

9W

/m

2.H

z

1000K

1500K

2000K

Figura 2.1: Radiancia espectral do corpo negro a diferentes temperaturas

Quando a temperatura aumenta, a frequencia na qual a radiacao tem in-tensidade maxima tambem aumenta. Estes resultados estao de acordo com aexperiencia do ferro no fogo discutida anteriormente, nomeadamente que a quan-tidade de radiacao termica emitida aumenta muito rapidamente (o ferro irradiamuito mais energia termica a altas temperaturas), e a frequencia principal daradiacao torna-se maior (o ferro muda de cor, do vermelho ao branco azulado).

Um outro exemplo de corpo negro, que se revelou de grande importancia emtodo o estudo sobre a teoria da radiacao pode ser obtido a partir de um ob-jecto que contem uma cavidade ligada ao exterior por um pequeno orifıcio, comomostra a figura 2.2. A radiacao termica que incide sobre o orifıcio, vinda doexterior, entra na cavidade e e reflectida varias vezes pelas suas paredes ate queseja completamente absorvida por elas. Se a area do orifıcio for muito pequenacomparada com a area da superfıcie interna da cavidade, apenas uma quantidadedesprezıvel de radiacao incidente sera reflectida para fora da cavidade. Essenci-almente toda a radiacao incidente sobre o orifıcio e absorvida, portanto o orifıciodeve ter propriedades da superfıcie de um corpo negro.

Figura 2.2: Uma cavidade ligada ao exterior por um pequeno orifıcio. A radiacaoincidente sobre o orifıcio e completamente absorvida apos sucessivas reflexoes. Oorifıcio tem propriedades de corpo negro.

Se as paredes da cavidade forem uniformemente aquecidas ate atingirem atemperatura T , emitirao radiacao termica que vai encher a cavidade. Uma pe-

14

2.2. A teoria classica da radiacao do corpo negro

quena fraccao dessa radiacao, vinda do interior da cavidade incide sobre o orifıcioe vai atravessa-lo. Portanto o orifıcio funciona como emissor de radiacao termicae como ele tem as propriedades do corpo negro, a radiacao emitida por ele deve terum espectro de corpo negro. Mas como o orifıcio esta apenas a deixar passar parafora uma pequena amostra da radiacao do interior da cavidade, e natural que aradiacao dentro dela tambem tenha o espectro de corpo negro. De facto, ela teraum espectro de corpo negro caracterıstico da temperatura T das suas paredes.O espectro de radiacao emitido pelo orifıcio na cavidade pode ser especificadoem termos de um fluxo de energia (RT (ν)). No entanto, e mais util especificaro espectro da radiacao dentro da cavidade, chamada radiacao de cavidade, emtermos de uma densidade de energia, ρT (ν), que e definida como a energia contidapor unidade de volume da cavidade, a temperatura T , no intervalo de frequenciade ν a ν + dν. E evidente que as duas quantidades sao proporcionais entre si,isto e:

ρT (ν) ∝ RT (ν) (2.6)

Portanto, a radiacao dentro da cavidade cujas paredes estao a uma tempera-tura T tem as mesmas propriedades que a radiacao emitida pela superfıcie de umcorpo negro a temperatura T .

2.2 A teoria classica da radiacao do corpo negro

No inıcio deste seculo, Rayleigh e Jeans fizeram o calculo da densidade deenergia da radiacao de uma cavidade, o qual mostrou uma seria divergencia entrea fısica classica e os resultados experimentais. Os calculos de Rayleigh e Jeansbasearam-se no seguinte: Consideraram uma cavidade com paredes metalicasaquecidas uniformemente a uma temperatura T , para que as suas paredes emi-tam radiacao termica. Quando o equilıbrio termico e atingido a radiacao con-tida na cavidade tem o espectro caracterıstico do corpo negro a temperatura T .Como se podera constatar mais adiante, no regime permanente, a radiacao elec-tromagnetica dentro da cavidade devera existir na forma de ondas estacionariascom nos (pontos em que a amplitude da onda e nula) nas superfıcies metalicas.Rayleigh e Jeans calcularam o numero de ondas estacionarias com nos nas su-perfıcies da cavidade e com comprimento de onda contido no intervalo de λ aλ+dλ. Depois calcularam a energia media dessas ondas. A energia de uma ondadepende da temperatura e e avaliada a partir da teoria da mecanica estatıstica.O numero de ondas estacionarias no intervalo de comprimentos de onda consi-derado vezes a energia media dessas ondas, dividido pelo volume da cavidade eigual a energia media por unidade de volume, no intervalo de comprimentos deonda de λ a λ + dλ.

Se se assumir que a cavidade metalica cheia de radiacao electromagnetica tema forma de um cubo perfeito com comprimento de lado igual a a conforme mostraa figura 2.3, a radiacao reflectida de um lado para o outro entre as paredes pode

15

2. Radiacao termica e o postulado de Planck

ser dividida em tres componentes ao longo das tres direccoes perpendicularesdefinidas pelas arestas da cavidade. Como as paredes opostas sao exactamentesimetricas, as tres componentes da radiacao nao se misturam e podem ser trata-das separadamente. Se se considerar a componente segundo x e a parede metalicaem x = 0, toda a radiacao segundo esta componente que incide na parede e re-flectida por esta e as ondas incidente e reflectida combinam-se para formar umaonda estacionaria. Mas como a radiacao electromagnetica e uma vibracao trans-versal com o vector campo electrico E perpendicular a direccao de propagacao, ecomo a direccao de propagacao e perpendicular a parede em questao, o seu vectorcampo electrico e paralelo a parede. Mas uma parede metalica nao pode suportarum campo electrico paralelo a sua superfıcie, ja que isso produziria uma correnteelectrica no sentido de anular tal campo. Portanto o vector campo electrico deveser nulo nas paredes, ou seja, a onda estacionaria associada a componente se-gundo x deve ter um no em x = 0 e outro em x = a. As outras componentessegundo y e z , pelas mesmas razoes tambem tem nos em y = 0, y = a; z = 0 ez = a. Estas condicoes colocam limitacoes nos comprimentos de onda possıveisda radiacao contida na cavidade. Para determinar esta limitacao, se a radiacao

PSfrag replacements

z

z = a

x

x = a

y

Figura 2.3: Uma cavidade cubica cheia de radiacao electromagnetica

de comprimento de onda λ e frequencia ν = c/λ, se propagar na direccao definidapelos angulos α, β e γ, tal como mostra a figura 2.4, e for uma onda estacionaria,entao as suas componentes segundo x, y e z tambem sao ondas estacionarias.Na figura 2.4 estao indicadas algumas localizacoes dos nos fixos desta onda esta-cionaria onde se fez passar em cada um deles um plano perpendicular a direccaode propagacao. A distancia entre eles e de λ/2, onde λ e o comprimento da onda.Como se pode ver, os nos das componentes segundo x, y e z podem ser dadospor:

λx/2 = λ/2 cos(α)λy/2 = λ/2 cos(β)λz/2 = λ/2 cos(γ)

(2.7)

16

2.2. A teoria classica da radiacao do corpo negro

As expressoes do campo electrico segundo os tres eixos sao as seguintes:

E(x, t) = A. sin(2πx/λx) sin(2πνt)E(y, t) = B. sin(2πy/λy) sin(2πνt)E(z, t) = C. sin(2πz/λz) sin(2πνt)

(2.8)

A expressao para a componente x representa uma onda com uma amplitudemaxima de A, com variacoes espaciais de sin(2πx/λx) e que oscila a frequenciaν. Como sin(2πx/λx) se anula para 2x/λx = 0, 1, 2, 3, . . ., trata-se de uma ondaestacionaria cujo comprimento de onda e λx, uma vez que tem nos separadospor uma distancia de ∆x = λx/2. As expressoes para y e z representam ondasestacionarias de amplitudes maximas B e C e comprimentos de onda λy e λz

respectivamente, mas todas as componentes oscilam com a frequencia ν. E denotar que as expressoes anteriores automaticamente satisfazem a condicao de quea componente x tenha um no em x = 0, a componente y em y = 0 e a componentez em z = 0. Para fazer com que satisfacam a condicao de que a componente xtenha um no em x = a, a componente y em y = a e a componente z em z = a, enecessario que:

2x/λx = nx para x = a2y/λy = ny para y = a2z/λz = nz para z = a

ou seja:

2a/λx = nx

2a/λy = ny

2a/λz = nz

(2.9)

onde nx = 0, 1, 2, 3, . . .; ny = 0, 1, 2, 3, . . .; nz = 0, 1, 2, 3, . . .

PSfrag replacements

x

y

z

λz/2

λz/2

λ/2

λ/2

λy/2

λy/2

λx/2λx/2

Dire

ccao

da

onda

estacion

aria

Figura 2.4: Planos nodais de uma onda estacionaria que se propaga numa certadireccao na cavidade cubica

17

2. Radiacao termica e o postulado de Planck

Se se resolver a equacao 2.7 em ordem a λx, λy e λz para de seguida os seusvalores serem substituıdos na equacao 2.9, esta fica:

2a/λ cos(α) = nx

2a/λ cos(β) = ny

2a/λ cos(γ) = nz

(2.10)

o que, elevadas ao quadrado e somadas, resultam na equacao 2.11:

(

2a

λ

)2(

cos2 α + cos2 β + cos2 γ)

= n2x + n2

y + n2z : (2.11)

Mas os angulos α, β e γ tem a propriedade de:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,

logo:2a

λ=√

n2x + n2

y + n2z

onde nx, ny e nz podem tomar qualquer valor inteiro. Esta equacao descreve alimitacao nos comprimentos de onda possıveis para a radiacao electromagneticacontida na cavidade.

A partir daqui e conveniente continuar a discussao em termos de frequenciaspossıveis em vez de comprimentos de onda.

ν =c

λ=

c

2a

√

n2x + n2

y + n2z (2.12)

A partir deste ponto ainda e necessario contar o numero de frequencias conti-das num intervalo de ν a ν+dν. Para isso e necessario definir uma grelha de formacubica desenhada no primeiro octante de um sistema de coordenadas rectangular,de tal modo que as tres coordenadas de cada ponto da grelha correspondam aum possıvel valor para os tres inteiros nx, ny e nz. Por construcao, cada ponto dagrelha corresponde a uma frequencia, portanto o numero de frequencias possıveisentre ν e ν + dν (N(ν)dν) e igual a N(r)dr, o numero de pontos contidos entrevolumes de forma esferica de raio r e r + dr respectivamente, onde

r =√

n2x + n2

y + n2z,

ou seja, a partir da equacao 2.12:

r =2a

cν (2.13)

Entao N(r)dr e igual ao volume entre as esferas vezes a densidade de pontosda grelha, que por construcao e de um ponto por unidade de volume, ou seja, umponto por frequencia de onda estacionaria.

18

2.2. A teoria classica da radiacao do corpo negro

O elemento de volume em coordenadas cartesianas e dada por:

dV = dx.dy.dz

em que dx, dy e dz sao os deslocamentos elementares segundo x, y e z. Se seusar um referencial em coordenadas esfericas 1 (r, θ e φ), o elemento de volumee dado por:

dV = r2 sin(φ).dr.dφ.dθ

Para calcular o volume elementar entre as duas esferas e necessario integrara expressao anterior no primeiro octante:

N(r)dr =

π2∫

0

π2∫

0

r2 sin(φ).dφ.dθ.dr

e como resultado obtem-se que:

N(r)dr =π

2r2dr (2.14)

A partir da equacao 2.13 pode ser calculado o valor de dr que e igual a 2acdν,

logo a expressao final de N(ν)dν e a seguinte:

N(ν)dν = π(

2a

c

)3

ν2dν (2.15)

Com isto fica concluıdo o calculo do numero de ondas estacionarias contidasnuma cavidade cubica de comprimento de aresta igual a a, no entanto o resultadoda equacao 2.15 vem multiplicado por dois ja que, considerando uma radiacaosegundo o eixo dos xx, por exemplo, o seu vector campo electrico, tendo umadireccao perpendicular, pode tomar qualquer direccao entre os eixos yy e zz. Aamplitude da radiacao pode ser escrita da seguinte forma:

A =√

A2yy + A2

zz

Se for considerado que o numero de radiacoes e suficientemente elevado,pode-se dizer que em media Ayy = Azz, o que faz que a amplitude media dasradiacoes possa ser dada por:

A =√

2Ayy

Sabendo que a energia de uma radiacao e dada pelo quadrado da sua am-plitude, essa energia sera entao de 2A2

yy, o que significa que se pode multiplicaro numero de ondas por um factor dois e calcular de seguida o valor da energiamedia de cada componente da radiacao.

1A descricao detalhada de como se pode calcular o elemento de volume em coordenadasesfericas pode ser visto em [Simm 85].

19

2. Radiacao termica e o postulado de Planck

Sendo conhecido o numero de ondas estacionarias contidas na cavidade, agoraso e necessario saber qual e a energia media de cada onda para que seja possıvelcalcular a densidade de energia, por unidade de volume, num certo intervalo defrequencias.

Mas segundo a teoria cinetica classica, mais concretamente segundo a lei daequiparticao da energia, a energia cinetica media de uma entidade em equilıbriotermico a temperatura T e de kT/2 por grau de liberdade, onde k = 1.38 ×10−23J/K e a constante de Boltzmann. Como cada uma das ondas estacionariastem apenas um grau de liberdade, a amplitude do seu campo electrico, a suaenergia cinetica media e de kT/2. Facilmente se chega a conclusao que para umsistema oscilante com apenas um grau de liberdade, a energia total e o dobro daenergia cinetica media (imagine-se por exemplo uma massa suspensa numa molaa oscilar: a sua energia cinetica varia de zero ate um valor maximo e ao mesmotempo, de forma inversa, a energia potencial elastica varia do valor maximo atezero. A energia total e dada pela soma da energia potencial media com a energiacinetica media e como a energia cinetica media e igual a energia potencial media,a energia total e o dobro da energia cinetica media). A energia total de cadaonda estacionaria e dada por

ε = kT (2.16)

Voltando a equacao 2.15 que relaciona o numero de frequencias possıveis como volume da cavidade e sabendo que em media a energia de uma radiacao e dadapela lei da equiparticao da energia traduzida pela equacao 2.16, a primeira ideiaque surge e que a densidade de energia por unidade de volume de uma cavidadea temperatura T sera dada pela multiplicacao das duas expressoes, a dividir pelovolume da cavidade (a3), ou seja,

ρt(ν)dν =8πν2kT

c3dν (2.17)

Esta ideia surgiu pela primeira vez a Rayleigh e Jeans, e embora aparentementebaseada em teorias solidas, nao coincide com os resultados experimentais. Afigura 2.6 faz a comparacao entre as previsoes da equacao 2.17 e as experiencias.Como se pode observar, a discrepancia e evidente. A baixas frequencias as duascurvas sao aproximadamente iguais, no entanto, a medida que a frequencia cresce,a previsao teorica aponta que a energia tende para infinito, enquanto que napratica todas as experiencias conduzem ao resultado de que essa energia tendepara zero.

2.3 A distribuicao de Boltzmann

Sera que o erro esta na lei da equiparticao da energia? A lei da equiparticao daenergia surge tambem no resultado de um calculo bastante credıvel da mecanicaestatıstica chamado de distribuicao de Boltzmann que e descrito de seguida.

20

2.3. A distribuicao de Boltzmann

Considere-se um sistema que contem um numero elevado de entidades fısicasdo mesmo tipo em equilıbrio termico a temperatura T . Para estarem em equilıbrionecessitam de trocar energia entre si. Nas trocas efectuadas, a energia de cadaentidade flutua e em cada instante algumas tem mais energia do que a media eoutras menos. A teoria classica da mecanica estatıstica diz que essas energias (ε)estao distribuıdas de acordo com uma distribuicao de probabilidade, cuja formadepende da temperatura. Uma das razoes disto e que o valor medio da energia(ε) de cada entidade e determinado pela distribuicao de probabilidade e deverater um valor definido para uma temperatura particular [Eisb 61].

Para ilustrar estas ideias, pode ser considerado um sistema de entidades domesmo tipo que podem armazenar energia. Se o sistema for isolado do ambienteque o rodeia, a sua energia total permanece constante, apenas podem existirtrocas entre entidades que formam o dito sistema. Com o objectivo de simplificaros calculos, e admitido que a energia de cada entidade apenas pode tomar umdos seguintes valores: ε = 0, ∆ε, 2∆ε, 3∆ε, 4∆ε, . . . Mais tarde faz-se com queo intervalo ∆ε tenda para zero, permitindo qualquer valor para a energia de umaentidade. Tambem para simplificar, admite-se que o sistema tenha um numeropequeno de entidades (4 por exemplo), e que a sua energia total seja de 3∆ε.Depois faz-se a generalizacao para sistemas com grande numero de entidades equalquer valor de energia total.

Uma vez que as quatro entidades podem trocar energia entre si, todas asdivisoes possıveis de energia (3∆ε) entre as quatro entidades podem ocorrer.

Tabela 2.1: Calculo simples que leva a uma aproximacao da distribuicao de Boltz-mann.

ε = 0 ε = ∆ε ε = 2∆ε ε = 3∆ε ε = 4∆ε node Pi

possibilidadesi = 1 3 1 4 4/20i = 2 2 1 1 12 12/20i = 3 1 3 4 4/20n′(ε) 40/20 24/20 12/20 4/20 0/20

Na tabela 2.1 estao descritas todas as possibilidades de divisao de energiapelas entidades, divididas em tres tipos (representados pela letra i). Para i = 1,tres entidades tem energia nula, tendo a restante energia igual a 3∆ε, fazendocom que o sistema tenha ε = 3∆ε. Nesta situacao podem existir quatro possi-bilidades diferentes, uma vez que qualquer uma das quatro entidades pode ser aque tem energia de 3∆ε. Isto vem na tabela 2.1 na coluna denominada “nodepossibilidades”. o segundo tipo de divisoes (chamado i = 2) e aquele em queduas entidades tem energia nula, a terceira tem ε = ∆ε e a quarta tem ε = 2∆ε.Nesta situacao podem existir doze divisoes de energia distintas (qualquer umadas quatro entidades pode ter ε = 2∆ε e qualquer uma das restantes tres podeter ε = ∆ε, ou seja, 4 × 3 = 12 divisoes distintas). No terceiro tipo de divisoes

21

2. Radiacao termica e o postulado de Planck

(i = 3) existem quatro modos distintos de fazer uma entidade com ε = 0 e asrestantes tres com ε = ∆ε.

A ultima hipotese a considerar e de que todas as divisoes possıveis de ener-gia ocorrem com igual probabilidade. Entao a probabilidade de ocorrerem asdivisoes de determinado tipo (i = 1, 2 ou 3) e proporcional ao numero de di-visoes distintas desse mesmo tipo. A probabilidade relativa (Pi) e entao igual aonumero de divisoes de determinado tipo a dividir pelo numero total de divisoes.As probabilidades relativas estao calculadas na coluna da direita da tabela 2.1.

O parametro que falta calcular e o numero provavel de entidades num dadoestado de energia ε (n′(ε) da tabela 2.1). Para o nıvel de energia ε = 0 existemtres entidades em divisoes do tipo i = 1, com uma probabilidade de ocorrencia de4/20, duas entidades do tipo i = 2 com probabilidade de 12/20 e uma entidadedo tipo i = 3 com probabilidade de 4/20, o que faz com que n′(ε) seja igual a3 × 4/20 + 2 × 12/20 + 1 × 4/20 = 40/20. Os restantes valores de n′(ε) estaocalculados na ultima linha da tabela 2.1. E de notar que a soma dos n′(ε) equatro, ja que existem quatro entidades no sistema. Na figura 2.5 estao marcados

*

*

*

*

*

PSfrag replacements

0 0.5

0.5

1

1

1.5

1.5

2

2

2.5

2.5

3 3.5 4

n(ε)

ε

Figura 2.5: Comparacao entre os resultados de um calculo simples e a distribuicaode Boltzmann.

os valores de n′(ε). A curva a cheio da mesma figura e a representacao da funcaoexponencial negativa

n(ε) = A.e−ε/εo (2.18)

em que A e εo sao constantes que foram calculadas de modo que a curva se ajusteo melhor possıvel aos pontos calculados correspondentes a n′(ε).

Se se fizer o intervalo ∆ε cada vez menor, aumentando o numero de estadospossıveis, faz com que a funcao n′(ε) fique definida para valores de ε cada vezmais proximos e no limite quando ∆ε→ 0, a energia ε de uma entidade fica umavariavel contınua, como e requerido na fısica classica e a distribuicao n′(ε) ficauma funcao contınua. Se, finalmente, se fizer o numero de entidades do sistemamuito grande, chega-se a conclusao de que a funcao que se encontraria para n′(ε)e identica a exponencial negativa da equacao 2.18.

22

2.3. A distribuicao de Boltzmann

No exemplo apresentado anteriormente, outro metodo para se calcular a ener-gia total do sistema seria multiplicar cada nıvel de energia pelo numero provavelde entidades com essa energia. No final, a energia total e dada pela soma de todas

as multiplicacoes, ou seja, pode ser calculada assim: εs =N∆ε∑

0ε.n′(ε) = 0×40/20

+∆ε× 24/20 +2∆ε× 12/20 +3∆ε× 4/20 = 60/20∆ε = 3∆ε, tal como supostono inıcio. A energia media de cada entidade tambem pode ser obtida se se dividir

o resultado anterior pelo numero total de entidades

(

N∆ε∑

0n′(ε)

)

, que no exemplo

apresentado sao quatro. Portanto a energia media de cada entidade sera dadapor:

N∆ε∑

0ε.n′(ε)

N∆ε∑

0n′(ε)

que neste caso da 3/4∆ε. Com a generalizacao para ∆ε → 0 e um numero deentidades muito elevado, o valor da energia media de cada entidade vira:

ε =

∞∫

0ε.n(ε)dε

∞∫

0n(ε)dε

Substituindo n(ε) pelo valor da equacao 2.18,

ε =

∞∫

0Aε.e−ε/εodε

∞∫

0A.e−ε/εodε

Se se resolverem os integrais, chega-se a conclusao de que ε = εo, ou seja, aconstante εo da exponencial negativa da equacao 2.18 e igual a energia media decada entidade e nao e necessario saber do valor de A.

Mas segundo a lei da equiparticao da energia (equacao 2.16), o valor mediode energia contido numa entidade e proporcional a sua temperatura, Entao comoo parametro εo tem o mesmo valor que ε, a equacao 2.18 pode ser escrita daseguinte forma:

n(ε) = A.e−ε/kT (2.19)

Esta e a famosa distribuicao de Boltzmann. Como o valor de A nao e especificado,na realidade apenas sabemos que o numero de entidades com um determinadonıvel de energia (n(ε)), a temperatura T , e proporcional a e−ε/kT .

Se se pensar um pouco em termos de calculo probabilıstico, facilmente sechega a conclusao de que o numero provavel de entidades com um determinadonıvel de energia e proporcional a probabilidade de ser encontrada uma deter-minada entidade com esse mesmo nıvel de energia, ou seja: P (ε) ∝ n(ε) e se

23

2. Radiacao termica e o postulado de Planck

n(ε) = A.e−ε/kT , entao P (ε) = B.e−ε/kT , desde que a constante B seja escolhidaapropriadamente. Para que B seja calculado basta resolver a equacao em que asoma de todas as probabilidades de algo acontecer e igual a 1, ou seja:

∞∫

o

P (ε)dε = 1⇔ B

∞∫

0

e−ε/kT = 1⇔ B =1

kT

e daqui se pode concluir que

P (ε) =e−ε/kT

kT(2.20)

Este e um arranjo especial da distribuicao de Boltzmann que usado na teoria dePlanck.

2.4 Teoria de Planck da radiacao do corpo negro

PSfrag replacements

10−

17J

/m

3.H

z

1014Hz

Teoriaclassica

Resultadosexperimentais

1500K

0

0.5

0.5

1

1

1.5

1.5

2

2

2.5

2.5 3 3.5 4

Figura 2.6: Previsao de Rayleigh-Jeans em comparacao com os resultados expe-rimentais para a densidade de energia de uma cavidade de corpo negro.

Ao tentar solucionar a discrepancia entre a teoria e a experiencia, Planck foilevado a considerar a hipotese de que a lei da equiparticao da energia nao estavatotalmente correcta, no entanto, a distribuicao de Boltzmann (que usa a dita lei)parece baseada em pressupostos bastante credıveis, o que levou Planck a partirda equacao 2.20 para estudar a discrepancia entre a teoria e a pratica.

A energia media de uma radiacao pode ser dada por:

ε =

∞∫

0ε.P (ε)dε

∞∫

0P (ε)dε

(2.21)

24

2.4. Teoria de Planck da radiacao do corpo negro

Como o integral do denominador representa a probabilidade da energia ter qual-quer valor de zero a infinito, o seu resultado vai ser igual a um. Se se resolvero integral do numerador, vem que ε = ε, ou seja, pela lei da equiparticao daenergia, ε = kT .

Observando o grafico da figura 2.6, chega-se a conclusao de que a lei classicada resultados satisfatorios para baixas frequencias: lim

ν→0ε = kT , isto e, a energia

media de uma radiacao tende para kT quando a frequencia tende para zero.Tambem se pode observar a partir dos resultados experimentais que lim

ν→∞

ε = 0.

Ao tentar arranjar uma solucao para o problema, Planck supos que a energia(ε) poderia ter apenas certos valores discretos, em vez de qualquer valor, e queesses valores discretos eram multiplos de um valor mınimo: ε = 0, ∆ε, 2∆ε, 3∆ε,4∆ε, . . . ou seja

ε = n∆ε, ∈ N (2.22)

Planck chegou a conclusao de que para a energia media dum sistema tenderpara zero quando a frequencia tende para infinito bastava fazer ∆ε proporcionala frequencia, ou seja:

∆ε = h.ν (2.23)

eε = n.h.ν, n ∈ N (2.24)

em que h = 6.626 × 10−34J.s e hoje conhecida como a constante de Planck. Aequacao 2.21 dara lugar a uma forma discreta em que os integrais darao lugar asomatorios:

ε =

∞∑

n=0ε.P (ε)

∞∑

n=0P (ε)

=

∞∑

n=0n.h.ν e−nhν/kT

kT

∞∑

n=0

e−nhν/kT

kT

Depois de resolvidos os somatorios, e obtida uma expressao para a energiamedia que e a seguinte:

ε(ν) =h.ν

ehν/kT − 1dν (2.25)

e a formula que imediatamente se obtem para a densidade de energia da cavidadecom o espectro de corpo negro e:

ρT (ν)dν =8π.h

c3

ν3

ehν/kT − 1dν (2.26)

Esta formula, conhecida como lei de Planck esta em total acordo com as ex-periencias feitas ate ao momento.

Em grande parte da literatura a lei de Planck aparece como funcao do com-primento de onda e nao como funcao da frequencia. Para se obter tal expressaobasta saber que:

ν =c

λe dν =

−c

λ2dλ

25

2. Radiacao termica e o postulado de Planck

entao:

ρT (λ)dλ =8π.h.c

λ5

dλ

ehc/λkT − 1(2.27)

A lei de Stefan-Boltzmann traduzida pela equacao 2.2 e a lei de Wien daequacao 2.6 podem ser obtidas a partir da lei de Planck. A lei de Stefan-Boltzmann traduz a radiacao total emitida por um corpo a temperatura T ee obtida a partir da lei de Planck integrando a densidade de radiacao para todasas frequencias. Obtem-se que a densidade de radiacao e proporcional a quartapotencia da temperatura. Do mesmo modo, a lei do deslocamento de Wien eobtida igualando a primeira derivada de ρT (ν) a zero. Obtem-se assim que omaximo da curva e proporcional a temperatura.

2.5 Sumario

O presente capıtulo comecou com a constatacao do facto de que todos oscorpos que estao a temperaturas acima do zero absoluto emitem radiacao. Noentanto, uns corpos especiais chamados de corpos negros emitem mais radiacao doque os outros a mesma temperatura e, independentemente das suas propriedadesfısicas ou quımicas, a radiacao total por eles emitida e sempre proporcional aquarta potencia da temperatura. No entanto, quando os fısicos pretenderamchegar as leis que regem os fenomenos de emissao de radiacao, repararam queas teorias da fısica classica falhavam redondamente. O problema foi resolvidopor Planck ao introduzir um conceito novo em fısica: a quantizacao da energia.Este conceito, alem de abrir as portas as tecnicas de medicao da temperatura adistancia (que tem um interesse especial neste trabalho), deu origem ao conjuntode leis fısicas que revolucionaram este seculo: a mecanica quantica.

26

Capıtulo 3

Propriedades da radiacao emcorpos reais

No capıtulo anterior foi analisada a relacao entre a energia emitida por umcorpo negro e a sua temperatura, mas os corpos existentes na natureza nao saonegros, logo nao absorvem toda a radiacao que incide sobre eles. Da radiacaoincidente, uma parte e absorvida, outra e reflectida e a terceira e transmitida, ouseja, atravessa o corpo [Holm 97]. Se se chamar de absorvicidade (α) a percenta-gem de radiacao incidente que e absorvida, reflectividade (ρ) a percentagem quee reflectida e transmissividade (τ) a percentagem que e transmitida, entao:

ρ + α + τ = 1 (3.1)

A maior parte dos corpos solidos sao opacos, logo nao transmitem radiacaotermica, por isso, para a maioria dos problemas, a transmissividade pode serconsiderada zero e a equacao 3.1 fica reduzida a:

ρ + α = 1 (3.2)

So por curiosidade pode acrescentar-se que nos corpos negros, a reflectividade enula, logo a absorvicidade e igual a um. Este resultado esta de acordo com adefinicao de que o corpo negro absorve toda a energia incidente

3.1 Lei de Kirchhoff e emissividade

Suponham-se dois corpos opacos (com transmissividade igual a zero) separa-dos por uma grande distancia, sustentados por fios, num grande recipiente ondese fez vacuo e cujas paredes sao opacas e mantidas a uma temperatura constante.Neste caso, considerando a energia que atravessa o fio desprezavel, os corpos sopodem trocar energia entre si e com as paredes atraves de radiacao. Se ambos oscorpos mantem a temperatura constante, entao a sua taxa de emissao de radiacao

27

3. Propriedades da radiacao em corpos reais

(e) devera ser igual a taxa de absorcao (a).

e1

a1

=e2

a2

= 1 (3.3)

e1 e e2 sao as taxas de emissao dos corpos e a1 e a2 sao as suas taxas de absorcao.Esta relacao e conhecida como a lei de Kirchhoff para a radiacao. Deste resultadopode concluir-se que, por exemplo, se o corpo 2 for um corpo negro absorve maiorquantidade de energia do que o corpo 1. Isto quer dizer que se a2 > a1 entaoe2 > e1, o corpo negro tambem emite maior quantidade de energia do que umoutro a mesma temperatura. Se se definir uma grandeza como sendo a relacaoentre a energia emitida por um corpo qualquer (ec) e a energia emitida pelo corponegro (ebb), entao:

ε =ec

ebb(3.4)

A grandeza ε e chamada de emissividade do corpo e, como mostra a ex-periencia, e funcao nao so da constituicao da sua superfıcie mas tambem docomprimento de onda da radiacao que estiver a ser considerada e do angulo comque essa mesma radiacao e medida.

Do mesmo modo, pode definir-se uma grandeza que relacione a energia ab-sorvida por um corpo qualquer (ac) com a energia absorvida pelo corpo negro(abb),

α =ac

abb

(3.5)

A α chama-se absorvicidade do corpo, tal como tinha sido visto anteriormente.Ao se relacionarem as equacoes 3.3, 3.4 e 3.5 chega-se facilmente a conclusao deque a absorvicidade de um corpo e igual a sua emissividade ou seja:

α = ε (3.6)

Esta igualdade vai interessar bastante para as deducoes feitas no decorrer destecapıtulo.

Como foi visto anteriormente, o corpo negro e o que mais energia emite, logoa grandeza ε (que tem um valor constante e igual a um para o corpo negro, temum valor entre zero e um para os outros corpos. Na tabela 3.1 sao apresentadosos valores da emissividade para varios materiais, no estado solido e lıquido parauma frequencia de 461.5× 1012Hz (comprimento de onda de 0.65µm).

3.2 Transferencia de calor entre corpos negros

Considerem-se duas superfıcies negras A1 e A2 para as quais se pretende obteruma expressao geral para a troca de energia entre elas quando estao a tempera-turas diferentes. O problema reduz-se simplesmente a determinar a quantidadede energia que deixa uma superfıcie e chega a outra. Para se encontrar a solucaopara esse problema, os seguintes factores devem ser considerados [Holm 97]:

28

3.2. Transferencia de calor entre corpos negros

Tabela 3.1: Emissividade de alguns materiais, λ = 0.65µm [ASME 74]

Material Solido Lıquido Material Solido LıquidoBerılio 0.61 0.61 Tantalo 0.49 -

Carbono 0.80-0.93 - Torio 0.36 0.40Cromio 0.34 0.39 Titanio 0.63 0.65Cobalto 0.36 0.37 Tungstenio 0.43 -Niobio 0.37 0.40 Uranio 0.54 0.34Cobre 0.10 0.15 Vanadio 0.35 0.32Ferro 0.35 0.37 Zirconio 0.32 0.30

Manganes 0.59 0.59 Aco 0.35 0.37Molibdenio 0.37 0.40 Ferro fundido 0.37 0.40

Nıquel 0.36 0.37 Constantan 0.35 -Platina 0.30 0.38 Monel 0.37 -Rodio 0.24 0.30 90 Ni-10 Cr 0.35 -Prata 0.07 0.07 80 Ni-20Cr 0.35 -

60 Ni-24 Fe-16 Cr 0.36 -

F1−2 fraccao de energia que deixa a superfıcie 1 e chega a superfıcie 2.

F2−1 fraccao de energia que deixa a superfıcie 2 e chega a superfıcie 1.

Estes factores dependem sobretudo do angulo que as superfıcies fazem entresi e das condicoes do meio que separa os dois corpos (vidros ou plasticos, fumos,poeiras, vapores, etc.) que podem afectar a radiacao.

A energia que chega a superfıcie 2 vinda da superfıcie 1 e:

Eb1A1F1−2,

sendo Eb a energia emitida por unidade de tempo e por unidade de area pelocorpo negro a temperatura considerada e A a area da superfıcie.

Do mesmo modo a energia que chega a superfıcie 1 vinda da 2 e:

Eb2A2F2−1.

Como as superfıcies sao negras, toda a radiacao incidente e absorvida, portantoa quantidade de energia trocada e de:

Q1−2 = Eb1A1F1−2 − Eb2A2F2−1 (3.7)

Se as duas superfıcies estiverem a mesma temperatura entao a transferencia deenergia entre elas e zero e ao mesmo tempo Eb1 = Eb2, logo

A1F1−2 = A2F2−1 (3.8)

Se os corpos estiverem a temperaturas diferentes, a equacao 3.7 pode ser simpli-ficada usando para isso as conclusoes transcritas na equacao 3.8:

Q1−2 = A1F1−2(Eb1 − Eb2) = A2F2−1(Eb1 − Eb2) (3.9)

29

3. Propriedades da radiacao em corpos reais

3.3 Transferencia de calor entre superfıcies nao

negras

O calculo da energia trocada entre duas superfıcies negras e bastante simples,no entanto o problema torna-se muito mais complexo quando estao envolvidassuperfıcies nao negras. De toda a energia que chega a uma superfıcie, uma partee absorvida e a outra e reflectida. Da que e reflectida, parte sai por completo dosistema e outra parte volta a superfıcie de origem. O problema pode tornar-secomplicado porque a radiacao pode ser reflectida para tras e para a frente en-tre as duas superfıcies varias vezes. A analise do problema deve levar isto emconsideracao quando se pretendem conclusoes validas.

Para a discussao seguinte assume-se que as superfıcies consideradas na analisesao difusas, isto e, a radiacao incidente se for reflectida e-o de um modo uniformeem todas as direccoes. Alem de difusas, para a analise ser correcta, as superfıciesdeverao ter propriedades emissiva e reflectiva e temperatura constantes. Doisnovos termos sao assim definidos:

Irradiacao (G) radiacao total incidente numa superfıcie por unidade de tempoe por unidade de area.

Radiosidade (J) radiacao total que deixa uma superfıcie por unidade de tempoe por unidade de area.

Como as propriedades emissiva e reflectiva e a temperatura da superfıcie saoconstantes ao longo de toda a superfıcie, a irradiacao e a radiosidade tambem saoconstantes.

A radiosidade e a soma da energia emitida por unidade de area com a energiareflectida, quando nao ha energia transmitida, ou seja:

J = εEb + ρG (3.10)

onde ε e a emissividade da superfıcie, Eb a energia emitida pelo corpo negro amesma temperatura e ρ e a reflectividade da superfıcie. Como a transmissividadee assumida como sendo zero, a reflectividade, a partir da equacao 3.2 pode serexpressa como:

ρ = 1− α = 1− ε (3.11)

entao:

J = εEb + (1− ε)G (3.12)

A quantidade de energia (q) que realmente deixa a superfıcie por unidade de areae a diferenca entre a radiosidade e a irradiacao:

q

A= J −G = εEb + (1− ε)G−G (3.13)

30

3.3. Transferencia de calor entre superfıcies nao negras

Resolvendo G em termos de J na equacao 3.12 e substituindo na equacao 3.13fica:

q =εA

1− ε(Eb − J)⇔ q =

Eb − J1−εεA

(3.14)

Neste ponto pode-se introduzir uma interpretacao muito util para a equacao3.14: se o denominador for considerado a resistencia da superfıcie a passagemda radiacao, o numerador, a diferenca de potencial, o fluxo de calor pode servisto como uma corrente e pode-se fazer uma analogia com um circuito electrico,conforme se mostra na figura 3.1.PSfrag replacements

1−εε.A

Eb Jq

Figura 3.1: Analogia entre a radiacao emitida por uma superfıcie e um circuitoelectrico.

Agora considerando a troca de energia radiante entre as superfıcies A1 e A2,da radiacao total que deixa a superfıcie 1, a quantidade que atinge a superfıcie 2e:

J1A1F1−2

e da energia total que deixa a superfıcie 2, a quantidade que chega a superfıcie 1e:

J2A2F2−1

A transferencia entre as duas superfıcies e:

q1−2 = J1A1F1−2 − J2A2F2−1

mas

A1F1−2 = A2F2−1

entao

q1−2 = (J1 − J2)A1F1−2 = (J1 − J2)A2F2−1

ou

q1−2 =J1 − J2

1A1F1−2

(3.15)

Do mesmo modo que na equacao 3.14, com a equacao 3.15 pode ser feita aanalogia com o circuito electrico da figura 3.2.

Para se conhecer a quantidade de energia que e transferida entre dois corposbasta ligar duas resistencias de 1−ε

εAem serie com outra de 1

A1F1−2, ficando o

circuito como mostra a fig 3.3.

31

3. Propriedades da radiacao em corpos reaisPSfrag replacements

1A1F1−2

J1 J2

q1−2

Figura 3.2: Analogia entre a radiacao trocada por duas superfıcies e um circuitoelectrico.

PSfrag replacements

Eb1 Eb2J1 J2

1−ε1

ε1.A1

1A1F1−2

1−ε2

ε2.A2

Figura 3.3: Circuito electrico equivalente para calcular a troca de radiacao entreduas superfıcies nao negras.

A partir da figura 3.3 e facil deduzir a equacao que traduz a troca de energiaentre os corpos:

Q1−2 =Eb1 − Eb2

1−ε1

ε1A1+ 1

A1F1−2+ 1−ε2

ε2A2

(3.16)

fazendo1

R=

1− ε1

ε1A1

+1

A1F1−2

+1− ε2

ε2A2

,

entao a equacao 3.16 pode ser escrita da seguinte forma:

Q1−2 = R(Eb1 − Eb2) (3.17)

Mas a energia emitida por um corpo negro, segundo a lei de Stefan-Boltzmann,e proporcional a quarta potencia da temperatura (equacao 2.2), ou seja,

Eb1 = σT 41

Eb2 = σT 42

entao a energia transferida entre dois corpos a temperaturas diferentes e de:

Q1−2 = Rσ(T 41 − T 4

2 ) (3.18)

Chega-se assim a conclusao de que a energia recebida por um corpo por ra-diacao termica vinda de outro e proporcional a diferenca das quartas potenciasda temperatura de cada um deles. Se um dos corpos for um sensor de radiacao,pode-se calcular a temperatura do corpo que emite a radiacao, usando para issoa medida do sensor. Como e que se pode construir entao um sensor de radiacao?

3.4 O sensor de radiacao

Fundamentalmente existem tres modos de se construırem sensores de radiacaotermica: o sensor de platina, a termopilha e o detector de fotoes baseado no efeitofotoelectrico.

32

3.4. O sensor de radiacao

3.4.1 Sensor de platina enegrecida

Para se construir um sensor de radiacao termica pode usar-se uma tira finade platina enegrecida em forma de zig-zag sobre a qual incide a radiacao (figura3.4).

PSfrag replacements

Segmentos

para calibracao

a laser

Figura 3.4: Sensor de platina em zig-zag.

Um sensor assim fabricado pode ser ligado numa ponte de Wheatstone paraque as variacoes na sua resistencia electrica sejam medidas. Quando a radiacaoincide na tira de platina, a sua temperatura vai aumentar, logo a sua resistenciaelectrica aumenta tambem. A tira deve estar enegrecida para, como foi vistoanteriormente, ser um bom absorvedor de radiacao. Os principais problemasdeste tipo de sensor sao: tambem e sensıvel a variacoes da temperatura ambientee tem um tempo de resposta bastante longo (mais de 1 segundo) [Dall 93].

3.4.2 A termopilha

Outro tipo de sensor de radiacao termica bastante usado e a chamada termo-pilha. O seu funcionamento baseia-se no facto de que se existirem duas juncoesde dois metais a temperaturas diferentes, e produzida uma tensao entre elas. Astermopilhas actuais consistem em muitas juncoes entre condutores muito finoscomo mostra o diagrama da figura 3.5. Os condutores podem ser de prata e

PSfrag replacements

Orifıcio

Bismuto

Prata

Vo

Figura 3.5: Desenho esquematico de uma termopilha.

bismuto, por exemplo, de 0.1mm ou menos de diametro. As juncoes sao feitaspor intermedio de discos muito finos de um outro metal, com cerca de 0.2mm de

33

3. Propriedades da radiacao em corpos reais

espessura e 1mm2 de area. Um conjunto de discos, e enegrecido e montado emfrente da janela do sensor por onde entra a radiacao. As juncoes ligadas em frentedestes discos vao passar a ser as juncoes quentes. As outras juncoes vao estarligadas a discos polidos e protegidos da radiacao. Estes discos apenas servempara aumentar a area de superfıcie das juncoes, mantendo-as frias. Quando aradiacao incide nos discos enegrecidos da termopilha, estes aquecem as juncoes asi ligadas, produzindo uma forca electromotriz.

Este tipo de sensor nao e sensıvel as variacoes da temperatura ambiente,uma vez que quando esta varia, afecta as juncoes quentes e frias de igual modo.Apresenta um tempo de resposta que se pode considerar de suficiente para amaior parte das aplicacoes. A sua frequencia de corte pode chegar a 20Hz.

3.4.3 Detector de fotoes

Por ultimo, tambem se pode construir um sensor de radiacao baseado noefeito fotoelectrico [Eisb 85]. O efeito fotoelectrico, primeiramente explicado porEinstein, consta do seguinte: como foi visto no capıtulo anterior, Planck restringiuos valores de energia da radiacao do corpo negro para um multiplo inteiro de umvalor mınimo. Einstein propos que a energia radiante poderia viajar atraves doespaco dentro de pacotes, que mais tarde foram chamados de fotoes. Einsteinassumiu tambem que a energia E contida num pacote, ou fotao, esta relacionadacom a sua frequencia ν pela equacao:

E = hν (3.19)

O efeito fotoelectrico explica-se assim: quando o fotao choca com uma placade metal, e completamente absorvido por um electrao. Se a energia do fotao forsuficiente, o electrao e emitido pela superfıcie da placa com uma energia cineticaK que sera:

K = E − ω (3.20)

em que ω e o trabalho necessario para retirar um electrao do metal. Este trabalhoe necessario para que as forcas atractivas do atomo sejam vencidas. Se existirnas proximidades uma outra placa de metal electricamente positiva, pode atrairo electrao produzindo uma corrente electrica (figura 3.6). De qualquer modo,

A

PSfrag replacements

radia

cao

electroes

Figura 3.6: Detector de fotoes.

34

3.4. O sensor de radiacao

pelas duas equacoes anteriores pode ver-se que e necessaria uma energia mınima(ω) para que um electrao seja retirado da placa de metal e essa energia mınima eproporcional a frequencia da radiacao incidente. Isto significa que se cada fotaoda radiacao incidente nao tiver essa energia mınima, por muito intensa que sejaa radiacao (muitos fotoes), nenhum electrao e removido da placa. Se, no entanto,a energia de um fotao for suficiente, o numero de electroes arrancados a placasera proporcional a intensidade da radiacao (numero de fotoes que incidem naplaca). Exemplo: Para remover um electrao de uma placa de cobre e necessariauma energia de 6.69 × 10−19J . Segundo a equacao 3.19, um fotao para ter essaenergia tera uma frequencia de 1.01× 1015Hz (comprimento de onda de 297nm),ou seja, para arrancar um electrao de uma placa de cobre e necessaria radiacaoultravioleta.

Como placa colectora de radiacao tambem pode ser usado um semicondutor.Este ultimo apresenta uma energia mınima de excitacao muito menor do que osmetais, no entanto o seu comportamento nao e linear a medida que a intensidadeda radiacao aumenta.

3.4.4 Comparacao entre os tres tipos de sensores

Quanto aos circuitos de interface, o sensor de platina necessita de ser colocadonum circuito excitado por uma fonte de tensao externa, sendo conveniente usa-loinserido numa ponte de Wheatstone. O detector de fotoes tambem necessitade uma fonte de tensao externa, no entanto a ponte de Wheatstone ja nao enecessaria. A termopilha coloca aos seus terminais uma tensao que pode sertratada directamente, nao necessitando de fonte de tensao externa.

Quanto a resposta em frequencia, o sensor de platina e muito lento com umaconstante de tempo de mais de um segundo, ja a termopilha tem uma frequenciade corte de cerca de 20Hz. O detector de fotoes responde directamente aos fotoesque lhe chegam, podendo a sua frequencia de corte ser de alguns megahertz.

O sensor de platina tem o inconveniente de ser sensıvel as variacoes da tem-peratura ambiente, enquanto que a termopilha tem a capacidade de corrigir esseefeito, ja que a sua saıda vai aparecer uma tensao que e proporcional a dife-renca de temperaturas entre as juncoes brancas e negras. O detector de fotoes,dado o seu princıpio de funcionamento nao e sensıvel as variacoes de temperaturaambiente.

O grande inconveniente do detector de fotoes construıdo a partir de uma placametalica e que necessita de que a radiacao incidente seja de energia elevada (noscomprimentos de onda do visıvel ou ultravioleta conforme o metal). Nos compri-mentos de onda infravermelhos podem ser usados detectores de fotoes construıdosa partir de semi-condutores, perdendo no entanto uma caracterıstica importantena maioria das aplicacoes: a linearidade.

35

3. Propriedades da radiacao em corpos reais

3.5 O que mede o sensor de radiacao

Independentemente do material ou do princıpio de funcionamento, de ummodo directo ou indirecto, o sensor vai colocar uma tensao aos seus terminais,tensao essa que e proporcional a radiacao incidente na sua janela. A partir daequacao 3.18 pode ser escrita a 3.21.

U = K.R.σ(T 4c − T 4

s ) (3.21)

em que K representa a sensibilidade do sensor (ou do conjunto sensor-ponte deWheatstone), medida em V/W , Ts a sua temperatura e Tc a temperatura do corpoque emite a radiacao.

A equacao 3.21 apenas reflecte o caso particular de o sensor receber todo oespectro de radiacao emitido pelo corpo. Ora acontece que os sensores de radiacaogeralmente estao dentro de um involucro com uma janela, que de algum modofunciona como filtro deixando passar apenas parte do espectro de radiacao. Nessecaso a tensao aos seus terminais nao vai ser proporcional a quarta potencia datemperatura, sendo dada por:

U = K.R.σ∗(T pc − T p

s ) (3.22)

Os valores de σ∗ e p podem ser obtidos a partir da lei de Planck (equacao 2.26),integrando esta entre os limites de frequencia a que o sensor opera, ou obtidosexperimentalmente, como sera visto mais tarde.

3.6 Sumario

Este capıtulo foi dedicado ao estudo da transferencia de energia entre corposreais (nao negros). Conforme foi visto, a energia transferida entre dois corposdepende nao so das suas temperaturas mas tambem das propriedades fısicas equımicas das suas superfıcies. No final do capıtulo foram descritas tres formas deconstruir sensores de radiacao baseados no facto de que dois corpos a temperatu-ras diferentes poderem trocar energia entre si e essa energia poder ser convertidana forma de uma grandeza electrica.

36

Capıtulo 4

Tecnicas de medicao detemperatura usando radiacaotermica

Os capıtulos anteriores serviram para demonstrar que ha alguma relacao entrea temperatura de um corpo e a radiacao por ele emitida. A partir dessa relacaoforam desenvolvidas tecnicas de medicao de temperaturas sem contacto. A grandedificuldade de todas elas prende-se no facto de a radiacao emitida por um corpodepender nao so da temperatura mas tambem das propriedades fısicas e quımicasda sua superfıcie (emissividade). Ao longo deste capıtulo sera visto que todas astecnicas de medicao de temperaturas a distancia se deparam com este problema.

4.1 Pirometro optico

O pirometro optico, ilustrado esquematicamente na figura 4.1 e usado paramedir temperaturas de 700oC a 4000oC. A energia radiante emitida pelo corpoincide numa lente objectiva e e focada no filamento de uma lampada de incan-descencia. Se a temperatura do corpo exceder os 1300oC, e usado um filtro deabsorcao entre a lente objectiva e a lampada. A energia radiante que provemdo corpo e do filamento da lampada passa por um filtro vermelho com umafrequencia de corte de cerca de 470× 1012Hz. A radiacao transmitida atraves dofiltro e captada por outra lente objectiva e focada para ser vista pelo observadoratraves de uma lente ocular [Dall 93].

Se a corrente da lampada estiver desligada, o observador vai ver um filamentonegro num plano de fundo de cor clara. Ao aumentar a corrente da lampada,chega-se a um ponto em que ha a sensacao de que o filamento desaparece, jaque a radiacao por ele emitida na frequencia do filtro vermelho tem a mesmaintensidade da radiacao emitida pelo corpo. Ao aumentar ainda mais a correnteda lampada o filamento comeca a ter uma cor mais clara sobre um plano de fundo

37

4. Tecnicas de medicao de temperatura usando radiacao termica

PSfrag replacements

Quente

Corpo

Lente

Lente

LenteObjectiva

ObjectivaFiltro deAbsorcao

Lampada

FiltroVermelho

Ocular

Fonte de tensaoVariavel comAmperımetro

Observador

Figura 4.1: Ilustracao esquematica de um pirometro optico.

de cor mais escura, tal como mostra a figura 4.2.

Figura 4.2: Imagem do filamento da lampada vista pelo observador.

Na condicao em que o filamento deixa de ser visıvel, a corrente requerida paraproduzir o seu brilho e medida e usada para estabelecer a temperatura do corpoquente.

Os principais problemas deste pirometro sao:- So funciona para temperaturas em que o corpo emite radiacao consideravel

no espectro visıvel.- So mede correctamente a temperatura de corpos negros, isto e, corpos cuja

superfıcie tenha emissividade igual a 1. Para todos os outros o aparelho necessitade calibracao. Como e sabido, a radiacao emitida por um corpo e menor do quea que emite um corpo negro a mesma temperatura.

Se for conhecida a energia radiada por um corpo e o valor da emissividade dasua superfıcie, pode-se calcular a energia radiada por um corpo negro a mesmatemperatura e no mesmo comprimento de onda. Depois basta usar a lei dePlanck (equacao 2.26) que relaciona a energia emitida por um corpo negro com ocomprimento de onda e com a temperatura. A emissividade de alguns materiaisvem em tabelas semelhantes a 3.1.

Caso nao seja conhecida a emissividade da superfıcie do corpo, podem serusados alguns truques para se chegar ao valor da temperatura: Uma porcaodo corpo pode ser pintada de negro ou coberta por uma ceramica negra paraque a sua emissividade seja proxima de 1. Para temperaturas muito altas, emque nao e possıvel pintar a superfıcie, pode ser feito um furo com uma relacaoprofundidade/diametro de seis ou mais. Como foi visto no capıtulo 2, este furoliga o interior de uma cavidade com o exterior, portanto actua como corpo negroe se o pirometro optico for focado no seu interior, a temperatura do corpo pode

38

4.2. Pirometro de infravermelhos

ser medida com grande precisao.O pirometro optico e um instrumento com uma precisao bastante boa para a

maioria das aplicacoes. Se a emissividade da superfıcie do corpo for conhecida, oerro numa medicao de temperatura geralmente e menor do que 1%.

4.2 Pirometro de infravermelhos

O pirometro optico descrito anteriormente funciona bem para temperaturasacima de 700oC, onde uma parte significativa de energia e radiada na partevisıvel do espectro. A temperaturas mais baixas, as radiacoes estao concentradasna regiao dos infravermelhos e nao sao visıveis para o olho humano [Dall 93].

PSfrag replacements

Sensor detemperatura

Distanciafocal

Espelho

de

Focagem

Superfıcie

do Corpo

Figura 4.3: Ilustracao esquematica de um pirometro de infravermelhos.

Os pirometros de infravermelhos, em vez do olho humano, usam um sensorque mede a intensidade da radiacao proveniente do corpo. Uma ilustracao es-quematica de um pirometro de infravermelhos, por vezes chamado de radiometropode ser visto na figura 4.3. Uma lente capta a radiacao infravermelha emitidapela superfıcie incluıda na sua area de focagem. A radiacao e depois reflectidapelo espelho parabolico e focada no sensor. Como sensor pode ser usado umatermopilha, uma resistencia de platina ou um sensor de efeito fotoelectrico, comofoi visto no capıtulo 3. A tensao de saıda do sensor e uma medida directa daradiacao absorvida por ele. Se se conhecer a quantidade de radiacao absorvidapelo sensor, usando a lei de Planck, pode-se calcular a temperatura da superfıciedo corpo.

Para este pirometro, as dimensoes do corpo e a distancia deste a lente saocrıticos. O campo de visao do pirometro de infravermelhos depende da distanciafocal e do diametro da lente. O sistema optico do aparelho capta toda a radiacaoproveniente dos objectos que estao no seu campo de visao, e a medida dadapor ele representa a media das temperaturas desses mesmos objectos. Para quese tenha uma ideia melhor da importancia do efeito da media na precisao doaparelho, considerem-se dois objectos dispostos como mostra a figura 4.4. Nestailustracao, o objecto A cobre totalmente o campo de visao do pirometro. Neste

39

4. Tecnicas de medicao de temperatura usando radiacao termica

caso a leitura representa a temperatura media do objecto A. No entanto, se oobjecto A e retirado, o objecto B e a parede ficam ambos no campo de visao dopirometro. A temperatura indicada estara entre a temperatura do corpo B e atemperatura da parede e depende da area relativa de cada um dentro do campode visao do pirometro.

A maioria dos pirometros tem uma lente de distancia focal fixa que define oseu campo de visao. Este campo de visao e expresso normalmente em termosde uma relacao d/D em que d representa a distancia da lente ao objecto e D odiametro do campo de visao na posicao d.

Os pirometros de infravermelhos de uso geral usam lentes com distancias focaisentre 0.5m e 1.5m. Tambem existem os instrumentos de foco curto que usamlentes com distancias focais entre 10mm e 100mm e os de foco longo que usamlentes com distancias focais de 10m ou mais. Tambem e possıvel conceber umarranjo em que a radiacao e transmitida ate ao sensor atraves de fibras opticas.

PSfrag replacements

Objecto

ObjectoA

B

Parede

Figura 4.4: Exemplo que mostra o efeito de varios objectos no campo de visaode um pirometro de infravermelhos.

Outro problema do pirometro de infravermelhos e que, tal como o pirometrooptico, a sua medida depende da emissividade da superfıcie do corpo sobre o quala temperatura e medida. Como as superfıcies tem emissividade menor do queum, a radiacao emitida por elas e menor do que a prevista na lei de Planck e o ins-trumento vai dar uma leitura menor do que a temperatura real da superfıcie. Osfabricantes deste tipo de instrumentos corrigem o erro da emissividade instalando-lhes um compensador de emissividade. O compensador de emissividade nao emais do que um ajuste de ganho do amplificador que amplifica o sinal do sensor.Este ajuste de ganho tambem pode ser usado para compensar perdas na trans-missao quando a radiacao tem que atravessar vidros, plasticos, fumos, poeiras,vapores, etc.

Normalmente estes aparelhos cobrem a gama de temperaturas de −20oC a1000oC, a sua emissividade pode ser ajustada de 0.1 a 1 e conseguem ler ate deztemperaturas por segundo, no caso de o sensor ser do tipo termopilha (o maiscomum).

40

4.3. Pirometro de duas cores

Este aparelho tambem pode ser construıdo com um detector de fotoes, baseadono efeito fotoelectrico, como sensor. Um instrumento assim equipado difere doque tem um sensor de temperatura de dois modos:

- O tempo de resposta de um detector de fotoes e varias ordens de gran-deza mais rapido do que o do sensor termico. Isto pode ser usado para fazervarrimentos num campo para produzir imagens termicas.

- O detector de fotoes deve ser mantido a uma temperatura muito baixa, paraque a intensidade de radiacao absorvida seja maior. Normalmente e necessarioarrefecer o detector com azoto lıquido.

4.3 Pirometro de duas cores

A primeira tecnica de medicao de temperatura sem contacto aqui descrita apreocupar-se com o problema da emissividade e a do pirometro de duas cores.Neste aparelho existem dois sensores que recebem radiacao de diferentes compri-mentos de onda (de cor diferente, portanto). A radiacao proveniente do corpoe focada por uma lente objectiva, sendo depois dividida para os dois sensorespor um espelho quente (ou frio). Um espelho quente e um espelho que reflecte aradiacao de comprimento de onda maior e transmite a radiacao de comprimentode onda menor; o espelho frio funciona ao contrario. A ilustracao esquematicadeste pirometro pode ser vista na figura 4.5.

PSfrag replacements

Corpo

Lente objectiva

Sensor 1

Sensor 2

Espelho quente

Figura 4.5: Ilustracao esquematica do pirometro de duas cores.

Supondo que o valor da emissividade do corpo e o mesmo para os dois com-primentos de onda, o grafico da radiancia espectral do corpo negro (figura 4.6),mostra que os valores lidos pelos dois sensores vao ser os do grafico multiplicadospor uma constante menor do que um(emissividade). A partir deste princıpio,pelo valor relativo medido pelos dois sensores e possıvel calcular a temperaturado corpo. Assim, em termos qualitativos, olhando para a figura 4.6, caso o valormedido pelo sensor 1 seja maior do que o valor medido pelo sensor 2, entao atemperatura e baixa. Se a medida dos dois sensores for igual, entao a tempera-tura e media. Se a medida de S2 for maior do que S1 entao a temperatura e alta.

41

4. Tecnicas de medicao de temperatura usando radiacao termica

PSfrag replacements

00

0.5

0.5

1

1

1.5

2

2

2.5

2.5

3

3

3.5

3.5

4

4

Sensor 1

Sensor 2

2000K

1500K

1000K

µ − 1014Hz

RT−

10−

9W

/m

2.H

z

Figura 4.6: Sensores que medem a radiacao emitida por um corpo a frequenciasdiferentes.

De certo modo, o efeito da emissividade e compensado, nao totalmente jaque, como foi visto antes, a emissividade nao e constante mas sim dependente docomprimento de onda!

A principal diferenca em relacao ao pirometro descrito na seccao anterior eque este usa, em vez do valor absoluto da energia absorvida pelo sensor, a razaoentre as energias recebidas pelos dois sensores a comprimentos de onda diferentes.

4.4 Pirometro com compensacao de emissividade

por laser

PSfrag replacements

Lente

Laser

Sensor

Corp

o

Figura 4.7: Pirometro com compensacao de emissividade por laser.

O pirometro com compensacao de emissividade por laser nao e mais do que umpirometro de infravermelhos ao qual foi adicionado um laser a operar na mesma

42

4.5. Imagens termicas

gama de frequencias do sensor. O seu princıpio de funcionamento e o seguinte:numa primeira fase e medida a radiacao emitida pelo corpo, que como e sabido,depende da sua emissividade. Na segunda fase, o laser e ligado e a radiacaoque se mede e a emitida pelo corpo adicionada a que e emitida pelo laser ereflectida pelo corpo. A energia proveniente do laser que e medida pelo sensordepende da reflectividade do corpo, que por sua vez esta relacionada com a suaemissividade (equacoes 3.2 e 3.6). Assim sendo, e possıvel calcular a emissividadeda superfıcie do corpo, sendo portanto possıvel compensa-la. As desvantagensdeste aparelho sao as seguintes: A distancia do laser ao corpo, bem como o angulode incidencia da radiacao por si produzida devem ser fixos, de modo que o sensorpossa ver a radiacao reflectida. As atenuacoes da radiacao emitida pelo lasersofridas ao atravessar a atmosfera que pode conter fumos, poeiras ou vapores,sao interpretado como sendo radiacoes absorvidas pelo corpo, logo o calculo daemissividade vai ser perturbado pelas condicoes atmosfericas.

4.5 Imagens termicas

A imagem termica e um processo de criar uma imagem a partir da radiacaotermica emitida por um corpo. O que se faz normalmente e transformar a in-tensidade da radiacao recebida em nıveis de cinzento, de modo que quanto maisintensa for a radiacao emitida pelo corpo, mais clara e a sua visualizacao na ima-gem. Tambem e comum o uso de cores, de modo que a medida que a intensidadeda radiacao vai diminuindo, na imagem sao vistos pontos vermelhos, amarelos,castanhos etc. Esta tecnica e usada ja ha algum tempo em sistemas de visaonocturna pelos militares. Actualmente tem sido encontradas muitas aplicacoescomerciais nas areas de controlo de processos e de teste de produtos. Exemplode aplicacao: Projecta-se uma placa de circuito impresso e ao liga-la e verificadoque tem um consumo acima do previsto. Pretende-se pois detectar o local exactodo problema para que assim se possa corrigi-lo. O primeiro passo sera medir atemperatura de todos os componentes com um “dedo calibrado”. Se nao funcio-nar, entao comecam-se a testar os componentes um a um desde o mais provavelate ao menos provavel. Com sorte o problema sera solucionado. Um metodomuito util e eficaz seria obter uma imagem termica da dita placa, com a qual seidentificariam rapidamente as zonas mais quentes, logo as que consomem maiscorrente [Walc 97].

A imagem termica nao e mais do que a medida da radiacao emitida pelocorpo de modo a proporcionar uma apresentacao grafica. A partir de uma dastecnicas de scanning, e produzido um mapa espacial de temperaturas, o qualpode ser mostrado num display ou guardado como ficheiro num computador. Asimagens termicas estao disponıveis numa vasta gema de potencialidades e precos.A velocidade de scanning pode variar desde o tempo real ate a alguns segundospor imagem. Os sistemas podem operar nas bandas de comprimento de onda de

43

4. Tecnicas de medicao de temperatura usando radiacao termica

3µm a 5µm e/ou de 8µm a 12µm. A sensibilidade geralmente e de menos de 1oC,as estrutura da imagem pode variar de 30k ate mais de 250k pixel por imagem ea resolucao espacial pode ser menor do que 25µm.

As aplicacoes das imagens termicas estendem-se desde a microelectronica atea visualizacao da Terra a partir do espaco. Podem ser usadas para ver atravesdo fumo em fogos florestais. Sistemas deste tipo tambem podem ser usados paratestar se o isolamento termico de refrigeradores tem fugas, etc.

Apesar de ser uma tecnica em franca expansao, esta tambem sofre do mesmoproblema das outras tecnicas de medicao de temperaturas a distancia: a emissi-vidade. Os fabricantes destes equipamentos disponibilizam ao utilizador algummeio de fazer correccoes para compensar a emissividade do corpo. Aqui o pro-blema ainda e maior, ja que ao contrario dos pirometros que apenas usam umapequena regiao do corpo para medirem a sua temperatura, a imagem termica etirada do corpo todo, ou pelo menos de parte significativa dele, que por sua veztem emissividades diferentes de regiao para regiao.

4.6 Sumario

Neste capıtulo foram abordadas algumas tecnicas de medicao directa ou in-directa de temperaturas a distancia. Chegou-se a conclusao de que todas elassofrem do mesmo problema: sao muito sensıveis a emissividade dos corpos sobreos quais se pretende obter a medida. De todas elas, a que aparenta uma maioreficacia e a do pirometro de duas temperaturas, que apesar de tudo esta longede ser ideal. Nesta altura a pergunta que se coloca e se sera possıvel desenvolveruma tecnica capaz de resolver este problema tao serio, chamado emissividade.

44

Capıtulo 5

O pirometro de duastemperaturas

Neste capıtulo sera introduzida uma tecnica nova que, sob o ponto de vistateorico, parece ser bastante eficiente na medicao de temperaturas a distancia.Com esta tecnica, o efeito da emissividade das superfıcies e compensado, podendoa temperatura delas ser medida como se de corpos negros se tratassem. A tecnicaconsiste em colocar dois sensores de radiacao a temperaturas diferentes. Ambosos sensores vao medir a radiacao emitida pelo corpo, no mesmo comprimento deonda, dependendo do mesmo valor da emissividade e das atenuacoes do percursooptico mas como estao a temperaturas diferentes, vao dar resultados diferentes,como sera visto de seguida.

5.1 Princıpio de funcionamento

Um corpo negro e aquecido ate atingir uma temperatura T . A radiacaotermica emitida por ele, segundo a lei de Stefan-Boltzmann (equacao 2.2) e de

σT 4.

Se outro corpo for aquecido ate ao dobro da temperatura mas cuja emissividadeseja constante e igual a 1/16, a energia emitida por ele seria de:

1

16σ(2T )4 = σT 4,

ou seja, emitiria a mesma energia que o corpo negro a metade da temperatura. Apergunta que se coloca e a seguinte: Havera algum modo de se chegar a conclusaode que um dos corpos esta ao dobro da temperatura do outro?

Os dois corpos emitem a mesma radiacao, no entanto se for colocado umsensor cuja temperatura e Ts1 a medir a radiacao emitida por um deles, seria

45

5. O pirometro de duas temperaturas

obtida a tensao prevista na equacao 3.22, ou seja

U1 = K.R.σ∗(T pc − T p

s1) (5.1)

Se for colocado outro sensor a temperatura Ts2, de modo que a radiacao quechega a este seja a mesma que a que chega ao sensor anterior, este ira colocar aosseus terminais a tensao de

U2 = K.R.σ∗(T pc − T p

s2) (5.2)

A razao entre as duas tensoes e de:

U1

U2

=T p

c − T ps1

T pc − T p

s2

(5.3)

A partir daqui e muito facil de obter a temperatura do corpo; basta resolver aequacao 5.3 em ordem a Tc, que da o seguinte:

Tc = p

√

U1Tps2 − U2T

ps1

U1 − U2(5.4)

A temperatura do corpo vem em funcao da radiacao recebida por cada um dossensores, bem como das temperaturas a que estes se encontram, sendo indepen-dente da emissividade do corpo, da area ou do angulo sobre os quais estamos aefectuar a medida, dos arranjos opticos do aparelho, da emissividade do sensor,da area do sensor e das atenuacoes sofridas pela radiacao ao atravessar o meio detransmissao entre o corpo e os sensores provocadas por vapores, poeiras, fumos,vidros ou plasticos, etc., representados por R nas equacoes 5.1 e 5.2.

5.2 Uma possıvel implementacao

Para implementar um pirometro deste tipo, uma das dificuldades consiste emdividir a radiacao para os dois sensores. Isto pode ser feito com um semi-espelhoque reflecte cerca de metade da radiacao e transmite a restante (uma quantidadepequena de radiacao e absorvida pelo espelho, no entanto e insignificante). Sendoassim, a radiacao incide na lente objectiva, e dividida pelo semi-espelho para serfocada ao mesmo tempo nos dois sensores, como pode ser visto na figura 5.1.Cada um dos sensores de radiacao deve ter acopulado um sensor de temperatura(RTD) para ser possıvel medir a sua propria temperatura. O sensor de radiacao1 e colocado sobre a face fria do frigıstor, de modo que a sua temperatura desca.O sensor de radiacao 2 e colocado ao lado de uma resistencia de aquecimentopara que a sua temperatura suba.

Os dois sensores de radiacao vao gerar sinais que depois de amplificados resul-tarao nas tensoes U1 e U2. A partir dos dois sensores de temperatura e possıvelobter Ts1 e Ts2. A temperatura pode ser calculada por um microcontroladorusando a equacao 5.4.

46

5.3. Diagrama equivalente do pirometro de duas temperaturas

PSfrag replacements

Cor

po

Objectiva

SemiEspelho

Dissipador

Sensor de

Sensor de

RTD 2

RTD 1

Lente

Radiacao 2

Radiacao 1

Frigıstor

Resistencia de

Aquecimento

Figura 5.1: Ilustracao esquematica do pirometro de duas temperaturas.

5.3 Diagrama equivalente do pirometro de duas

temperaturas

Com o objectivo de prever a partida possıveis fontes de erro, um bom metodosera o de procurar desenhar o diagrama equivalente para que possa ser feitauma analise mais detalhada do seu funcionamento. No diagrama equivalente

PSfrag replacements

Sensor 1

Sensor 2

Corpo

Interior doaparelho

1−εc

εc.Ac

1AcFc−s

1−εi

εi.Ai

1AiFi−s

1−εs1

εs1.As1

1−εs2

εs2.As2

σT 4s1

σT 4s2

σT 4c

σT 4i

Figura 5.2: Diagrama equivalente do pirometro de duas temperaturas.

(figura 5.2), os dıodos representam o facto de cada um dos sensores nao transferirradiacao para o outro.

Um dos problemas que se pode ver a partida e o facto de o interior do aparelhoser visto pelos dois sensores do mesmo modo que o corpo sobre o qual se pretendeobter a medida. A radiacao emitida pelo interior do aparelho vai causar um errode offset que varia com a temperatura do proprio aparelho. Uma das solucoespara o problema sera usar uma tecnica chopper de compensacao de offset, comosera visto nos proximos capıtulos.

47

5. O pirometro de duas temperaturas

5.4 Comparacao com os outros pirometros

Os maiores inconvenientes das outras tecnicas de medicao de temperaturas adistancia descritas no capıtulo anterior sao aqui compensados:

• Nao necessita de estar focado a uma distancia fixa do objecto ja que o efeitode a area ser maior ou menor e compensado, ao contrario do pirometro deinfravermelhos.

• Ao serem realizados os calculos nao se entrou com o pressuposto errado deque a emissividade era constante a diferentes comprimentos de onda, aocontrario do pirometro de duas cores.

• Nao necessita de compensacao das perdas introduzidas pelo percurso opticoda radiacao, ao contrario do pirometro optico ou de infravermelhos.

• E, acima de tudo, nao necessita de ajuste nem compensacao de emissivi-dade, ao contrario de quase todas as outras tecnicas.

No entanto, este pirometro ainda tem algumas limitacoes:

• Faz a media das temperaturas de todos os objectos que estao no seu campode visao, tal como o pirometro de infravermelhos.

• Como a sua medida e baseada na diferenca entre a temperatura dos doissensores, nao serve para medir temperaturas altas visto que nestas os senso-res vao ler praticamente o mesmo valor de radiacao e o resultado da equacao5.4 vai tender para infinito.

5.5 Sumario

Neste capıtulo foi visto que teoricamente e possıvel medir com rigor a tem-peratura de um corpo a partir da radiacao por ele emitida. Para isso devemcolocar-se dois sensores a ler a radiacao devendo um deles ser aquecido e o outroarrefecido, de forma que a diferenca de temperatura entre os dois seja de pelomenos uma ordem de grandeza abaixo da temperatura a medir. Foi tambemdeduzida a equacao com a qual, a partir dos valores da radiacao medidos pelossensores e com o conhecimento da sua temperatura, e possıvel calcular com rigora temperatura do corpo. Por fim e feita uma comparacao entre o novo pirometroe os ja existentes.

48

Capıtulo 6

Tecnicas de circuitos usadas eminstrumentacao

No capıtulo anterior foi visto que para ser possıvel a medicao de temperaturasa distancia sao necessarios dois sensores de radiacao a trabalharem a temperaturasdiferentes. Tambem sao necessarios dois sensores de temperatura para medirema temperatura a que se encontram os sensores de radiacao. Todos estes sensoresnecessitam de alguma electronica de instrumentacao para que as variacoes dassuas caracterısticas fısicas, como consequencia da variacao da grandeza a medir,sejam traduzidas numa variacao de tensao de valor aceitavel para se aplicar a umconversor analogico-digital para futuro processamento. Como tal, o trabalho quedeu origem a esta dissertacao foi desenvolver um prototipo do aparelho esquema-tizado na figura 5.1. Neste prototipo o calculo da temperatura a partir dos dadosrecebidos pelos sensores e usando a equacao 5.4 vai ser feito com processamentodigital. So que antes dos dados estarem prontos para o processamento digital enecessario tratar os sinais provenientes dos sensores. Este capıtulo vai ser dedi-cado ao estudo de algumas tecnicas de circuitos usadas com essa finalidade, dasquais algumas serao usadas na construcao do prototipo, ficando as outras aquidescritas para possıvel consulta em futuros trabalhos. No inıcio do capıtulo vaoser analisados circuitos de interface para sensores cuja grandeza electrica que va-ria e a resistencia, como e o caso dos sensores de temperatura de platina, sendoreservado o restante ao estudo dos amplificadores de instrumentacao. Durantetodo o capıtulo ha uma preocupacao de apresentar os problemas mais graves destetipo de electronica e para todos eles sao apresentadas algumas solucoes que naonecessitam do ajuste de potenciometros, ou seja, auto-calibradas.

6.1 Ponte de Wheatstone

Um tipo de sensores de temperatura muito usados e que podem servir paraa construcao do prototipo sao do tipo “resistencia dependente da temperatura”

49

6. Tecnicas de circuitos usadas em instrumentacao

(RTD), com coeficiente positivo (PTC), ou seja, a sua resistencia aumenta como aumento da temperatura, ou com coeficiente negativo (NTC) cuja resistenciadiminui com a temperatura. Um dos RTD mais usados e o sensor de platina queapresenta uma resistencia de 100Ω a 0oC, e e vulgarmente conhecidos por PT100.Um dos possıveis metodos para medir a resistencia do sensor seria aplicar-lheuma corrente conhecida e medir a tensao aos seus terminais, so que seria usadauma parte significativa da gama de medida do conversor analogico digital paraconverter a tensao produzida pelo facto de Ro ter uma resistencia de 100Ω quenao tem qualquer informacao sobre a temperatura. Isso nao interessa. Entao amelhor forma de converter as variacoes de resistencia em variacoes de tensao eao mesmo tempo anular o valor de 100Ω a 0oC e ligar o sensor numa ponte deWheatstone conforme mostra a figura 6.1 [Fran 88].

PSfrag replacements

V2

V1

R1R1

R

R(1

+δ)

Figura 6.1: Ponte de Wheatstone.

6.1.1 Nao linearidades introduzidas pela ponte de Whe-

atstone

No caso da medicao da temperatura, em que apenas um dos bracos da pontecontem um sensor, sendo os outros constituıdos por resistencias fixas, esta apre-senta uma resposta nao linear que pode ser descrita do seguinte modo:

Se for desprezada a nao linearidade do sensor e a sua resistencia for igual aR(1 + δ), em que R = 100Ω e δ = aT , a partir da figura 6.1 tem-se:

V1 = Vref

(

R(1 + δ)

R1 + R(1 + δ)

)

que com as manipulacoes matematicas apropriadas, pode colocar-se na seguinteforma:

V1 =R

R1 + RVref +

R

R1 + RVref

δ

1 +(

RR1

)

(1 + δ)(6.1)

A equacao 6.1 indica que V1 consiste em dois termos, um fixo, correspondendoao valor de referencia do sensor (R) e outro variavel que e controlado por δ . Eeste termo variavel que interessa. Para pequenos valores de δ, o termo variavel e

50

6.1. Ponte de Wheatstone

muito menor do que o fixo. Pode ser amplificado, mas caso isso seja feito, tambeme amplificado o termo fixo, causando possivelmente a saturacao do amplificador.Considerando tambem que o termo fixo nao contem informacao util, pode seranulado fazendo

V2 = Vref

(

R

R1 + R

)

e amplificando apenas a diferenca V1 − V2. Se o amplificador tiver ganho A, vaicolocar a sua saıda a tensao Vo dada por:

Vo = AR

R1 + RVref +

δ

1 +(

RR1

)

(1 + δ)(6.2)

Acontece que δ tanto aparece no numerador como no denominador da expressaodo lado direito da igualdade da equacao 6.2, logo a conclusao que se tira deimediato e que Vo e uma funcao nao linear de δ. No entanto, para temperaturasbaixas, δ e muito menor do que 1, o que significa que (1+δ) ' 1 o que transformaa equacao 6.2 na seguinte:

Vo = AR

R1 + RVref +

1

1 + RR1

δ (6.3)

Na equacao 6.3, Vo ja e uma funcao linear de δ, ou seja, da temperatura.No caso de ser usado processamento digital para tratamento do sinal, as nao

linearidades tanto do sensor como da ponte podem ser corrigidas por software.No caso do tratamento do sinal ser apenas analogico, as nao linearidades podemser desprezadas sem que se afecte muito a precisao global do sistema caso a gamade temperaturas a medir seja baixa.

6.1.2 Linearizacao da ponte de Wheatstone

Um metodo para que a ponte de Wheatstone produza uma saıda linear consisteem alimentar o sensor com uma corrente constante conforme mostra a figura 6.2.A tensao de saıda do primeiro amplificador operacional e dada por:

Vo1 = −Vref

(

R(1 + δ)

R1

)

,

sendo a tensao de saıda do circuito igual a:

Vo = −Vref

(

R2

R1

)

+ Vref

(

R(1 + δ)

R1

)

(

R2

R

)

,

ou seja:

Vo = VrefR2

R1

δ (6.4)

o que significa que Vo e uma funcao linear de δ.

51

6. Tecnicas de circuitos usadas em instrumentacao

−

+

−

+

PSfrag replacements

R1 R2

R(1 + δ)R R

VRefVo

Figura 6.2: Ponte para transdutor com resposta linear.

6.1.3 A tensao de referencia da ponte

O segundo problema da ponte de Wheatstone aqui abordado e o facto de seralimentada com uma tensao Vref . Como se pode constatar a partir das equacoes6.2 ou 6.3, a tensao de saıda do amplificador de instrumentacao (Vo) e sensıvelde igual modo a variacoes de Vref e de δ. Uma das solucoes para o problema eusar para Vref uma fonte de tensao muito estavel de preferencia associada a umamontagem do tipo raciometrico, ou seja, esta tensao de referencia ser a mesmapara a ponte de Wheatstone e para o conversor analogico-digital. Assim, porexemplo, se a tensao Vref diminuir um pouco, a tensao a saıda do amplificador deinstrumentacao tambem vai diminuir, no entanto esta diminuicao e compensadano conversor analogico-digital, uma vez que a sua tensao de referencia tambemvai diminuir. Como a variacao percentual e a mesma nos tres pontos do circuito,ha uma compensacao.

6.1.4 Tolerancias das resistencias da ponte

O terceiro dos problemas da ponte de Wheatstone com apenas um dos bracosactivos e o das tolerancias das resistencias fixas. Se uma das resistencias fixasestiver alterada, e impossıvel de saber se a alteracao provem da resistencia fixa ouse e o sensor que esta a ler algo diferente de zero. Para demonstrar a gravidadedeste problema, considere-se o seguinte exemplo: e construıda uma ponte de Whe-

atstone com um sensor de temperatura de platina e resistencias fixas com 1% detolerancia. Se o sensor estiver mergulhado num banho a zero graus Celsius e umadas resistencias fixas da ponte estiver alterada de 1%, a medida da temperaturapode vir de −2.6oC a 2.6oC! Se todas as resistencias fixas estiverem alteradasde 1%, a medida pode variar entre −7.8oC e 7.8oC!!! Mesmo que se usem re-sistencias de 0.1%, o erro pode chegar a 0.78oC, que dependendo da aplicacao,ja pode ser um valor aceitavel. Uma possıvel solucao para o problema seria usarna construcao da ponte resistencias de alta estabilidade e fazer a calibracao dooffset por software.

52

6.2. Amplificador de instrumentacao

6.1.5 O sensor esta afastado da ponte

O quarto e ultimo problema da ponte de Wheatstone descrito neste capıtulosurge quando o sensor tem que ficar a alguns metros da ponte. Para isso teraque existir uma ligacao atraves de condutores electricos que, como e sabido,apresentam alguma resistencia. O valor da resistencia do condutor vai ser somadoa do sensor afectando a medida final. A solucao para o problema esta em usarum cabo condutor com tres fios ate ao sensor, como ilustra a figura 6.3. Aresistencia do sensor vai ser somado o valor de duas vezes o valor da resistenciade um condutor. Do mesmo modo, a resistencia do braco inferior direito da pontetambem vai ser somado o valor de duas vezes a resistencia de um condutor, o quesignifica que, mesmo que a resistencia do condutor seja de alguns ohms ha umacompensacao do seu efeito em termos de offset. No final, a sensibilidade da pontevai ser um pouco afectada, mas este problema e facilmente corrigido alterando oganho do amplificador de instrumentacao ou por software.

PSfrag replacements

R1R 1

R

V1

V2R(1

+δ)

Figura 6.3: Ligacao ao sensor com tres condutores para compensar os efeitos dasua resistencia.

No proximo capıtulo sera descrita uma outra tecnica similar a esta, mas commelhor desempenho. E a chamada tecnica dos dois portos e usa quatro condutoresem vez de tres.

6.2 Amplificador de instrumentacao

A tensao de saıda de uma ponte de Wheatstone ou a tensao aos terminais deum sensor activo, como o caso da termopilha descrita no capıtulo 3, tem umaamplitude que normalmente e baixa de mais para ser aplicada directamente aum conversor analogico-digital, portanto necessita de ser amplificada. Para isso enecessario um circuito com as caracterısticas do amplificador de instrumentacao.

Um amplificador de instrumentacao e um circuito que amplifica a diferencade tensao das suas entradas com um ganho preciso e estavel. Tensoes comunsas entradas sao rejeitadas. O ganho diferencial e ajustado por uma ou duas re-sistencias e usualmente situa-se na gama de 1 a 1000. Estes amplificadores saoprojectados para terem uma impedancia de entrada (Rs) muito elevada para queo seu ganho nao seja afectado pela impedancia da fonte de sinal. A corrente debase de entrada (Is) deve ser mınima de modo a minimizar as tensoes de offset

53

6. Tecnicas de circuitos usadas em instrumentacao

de entrada devidas a (Rs × Is). Na saıda e necessaria uma impedancia baixa demodo que a tensao de saıda nao seja afectada pela impedancia da carga. Os am-plificadores de instrumentacao usam feedback negativo “pesado” que proporcionalinearidades excelentes, mesmo com ganhos altos [PMon 90].

As caracterısticas essenciais de um amplificador de instrumentacao sao: altaimpedancia de entrada, baixa impedancia de saıda, baixo offset, alta linearidade,ganho estavel e capacidade de rejeitar as tensoes comuns as entradas. Estas carac-terısticas fazem dele um instrumento muito util para amplificar os sinais de saıdade transdutores, que geralmente sao de baixo nıvel. Uma possıvel configuracao deamplificador de instrumentacao, que usa tres amplificadores operacionais e a dafigura 6.4. Nesta figura, normalmente o andar de entrada serve para amplificaro sinal e produzir uma alta impedancia de entrada e o andar de saıda, emboratambem possa amplificar o sinal, faz a rejeicao das tensoes de modo comum.

Considerando R2 = R3, R4 = R5 e R6 = R7, a tensao de saıda do amplificadorde instrumentacao com tres amplificadores operacionais e dada por:

Vo =(

1 +2R2

R1

)(

R6

R4

)

(Vi1 − Vi2) (6.5)

A resistencia R1 pode ser variavel para que seja possıvel ajustar o ganho doamplificador.

−

+

−

+

−

+

PSfrag replacements

U1

U2

U3

R4 R6

R5 R7

R1

R3

R2

Vi2

Vi1

Vo

Figura 6.4: Amplificador de instrumentacao com tres amplificadores operacionais.

6.3 O CMRR

A relacao entre as resistencias que condicionam as propriedades do amplifica-dor diferencial deve ter o mesmo valor, ou seja:

R4

R5=

R6

R7(6.6)

54

6.3. O CMRR

Em geral, no caso de serem diferentes, o amplificador vai responder, nao soa tensao diferencial de entrada, mas tambem a tensao de modo comum. Paraanalisar este efeito de uma forma sistematica, divide-se o amplificador de ins-trumentacao nos seus andares constituintes. Aplica-se de seguida, ao andar deentrada, uma tensao diferencial (V dm) e uma tensao de modo comum (V cm),conforme mostra a figura 6.5. Na situacao da figura 6.5, as tensoes de entradado amplificador de instrumentacao sao dadas por:

Vi1 = Vcm + Vdm

2

Vi2 = Vcm − Vdm

2

e as tensoes de saıda do primeiro andar sao respectivamente:

Vo1 = Vi1 − R3

R1(Vi1 − Vi2)

Vo2 = Vi2 + R2

R1(Vi1 − Vi2)

+−

+−

+−

−

+

−

+

PSfrag replacements

Vdm

2

Vdm

2

Vcm

U1

U2

Vi1

Vi2

Vo2

Vo1

R3

R1

R2

Figura 6.5: Tensoes diferencial e de modo comum aplicadas ao primeiro andardo amplificador de instrumentacao.

Simplificando obtem-se que:

Vo1 = Vcm + Vdm

(

12

+ R3

R1

)

Vo2 = Vcm − Vdm

(

12

+ R2

R1

)

(6.7)

Estas vao ser as tensoes de entrada do segundo andar do amplificador de ins-trumentacao. A partir da equacao 6.7 pode desde ja tirar-se uma conclusaoimportante: o primeiro andar do amplificador de instrumentacao nao amplifica atensao de modo comum. Esta apenas passa para a saıda com um ganho unitario.

55

6. Tecnicas de circuitos usadas em instrumentacao

Se se calcular a diferenca entre Vo1 e Vo2 da equacao 6.7, colocando-a na forma:

Vo1 − Vo2 = Adm1Vdm + Acm1

Vcm

para que se possam visualizar melhor as conclusoes escritas anteriormente, oganho diferencial vem:

Adm1= 1 +

R2 + R3

R1(6.8)

e o ganho em modo comum e:

Acm1= 1 (6.9)

Realizando um estudo semelhante ao anterior para o segundo andar do ampli-ficador de instrumentacao, as tensoes Vdm2

e Vcm2da figura 6.6 podem ser tiradas

das equacoes 6.8 e 6.9 do seguinte modo:

Vcm2= Acm1

× Vcm = Vcm

Vdm2= Adm1

× Vdm = Vdm

(

1 +R2 + R3

R1

)

−

+

+−

+−+

−

PSfrag replacements

U3

R4 R6

R5 R7

Vo

Vo2

Vo1

Vdm2

2

Vdm2

2

Vcm2

Figura 6.6: Segundo andar do amplificador de instrumentacao alimentado comtensao diferencial e tensao de modo comum.

Um modo de se calcular o efeito do desbalanceamento entre R4/R5 e R6/R7,e supor que R4 = R5 e que R7 = R6(1− ε), portanto

R4

R5=

R6(1− ε)

R7,

em que ε representa a diferenca entre as duas fraccoes. Assumindo o amplificadoroperacional ideal, pelo princıpio da sobreposicao, a tensao de saıda e dada por:

Vo = −R6(1− ε)

R4

(

Vcm2− Vdm2

2

)

+R4 + R6(1− ε)

R4

R6

R4 + R6

(

Vcm2+

Vdm2

2

)

,

56

6.4. O offset do amplificador de instrumentacao

ou seja,Vo = Adm2

× Vdm2+ Acm2

× Vcm2

em que

Adm2=

R6

R4

(

1− R4 + 2R6

R4 + R6

ε

2

)

(6.10)

e

Acm2=

R6

R4 + R6ε (6.11)

Sintetizando, o amplificador de instrumentacao tem um ganho diferencial dadopor:

Adm = Adm1× Adm2

=(

1 +R2 + R3

R1

)

× R6

R4

(

1− R4 + 2R6

R4 + R6

ε

2

)

(6.12)

e um ganho em modo comum e de:

Acm = Acm1× Acm2

=R6

R4 + R6ε (6.13)

A conclusao principal que se pode tirar das equacoes 6.12 e 6.13 e a seguinte:–Para diminuir o ganho em modo comum, basta diminuir R6 ou aumentar

R4. Com isto o ganho diferencial tambem diminui, no entanto este pode ser au-mentado se R2 e R3 aumentarem ou R1 diminuir. O CMRR (razao de rejeicao demodo comum) e a relacao entre o ganho diferencial e o ganho em modo comum.Para que este factor seja maximizado, o ganho do andar de entrada do amplifi-cador de instrumentacao deve ser o mais elevado possıvel e o ganho do segundoandar o mais baixo possıvel.

Existem, no entanto, tecnicas para que o CMRR seja maximizado, das quaisa seguinte e bastante interessante e eficaz [Nati 95]: O circuito e alimentadopor duas fontes de alimentacao diferentes, uma para o andar de entrada e outrapara o andar de saıda, conforme mostra a figura 6.7. No ponto medio, entre asresistencias R3 esta a tensao de modo comum. O que se faz entao e colocar amassa da fonte de alimentacao da saıda ao potencial do modo comum para quesob o ponto de vista da saıda, a tensao de modo comum seja zero. A partir daqui,o segundo andar do amplificador de instrumentacao serve apenas para colocar nasaıda a tensao diferencial.

6.4 O offset do amplificador de instrumentacao

No entanto o CMRR nao e o unico problema do amplificador de instru-mentacao. Um dos mais graves problemas do amplificador de instrumentacaoe a tensao de offset que este pode apresentar a saıda. Se ambas as entradas esti-verem ligadas a zero Volt, a saıda deveria ser nula, no entanto nao se passa assim.

57

6. Tecnicas de circuitos usadas em instrumentacao

−

+

−

+

−

+

−

+

PSfrag replacements

Vo

Vs

Vs

Vs

Vs

−Vs

−Vs

−Vs

−Vs

R2

R2

R1

R3

R3

10k

100n

R5

R5R4

R4

V ′

s

V ′

s

Vi1

Vi2

−V ′

s

−V ′

s

sao terras diferentesisoladas entre si.

e

Figura 6.7: Amplificador de instrumentacao com CMRR melhorado.

As entradas dos amplificadores operacionais nao sao perfeitamente simetricas e oseu ganho nao e infinito, portanto vao existir tensoes entre as entradas destes quese traduzem numa tensao de offset a saıda do amplificador de instrumentacao.Estas tensoes de offset de entrada sao difıceis de compensar, uma vez que variamcom a temperatura ou com a idade do amplificador operacional. O seu efeitona saıda do amplificador de instrumentacao pode ser dado pela equacao 6.14[TeIn 95]:

Vooffset= Vio2

[(

1 + R3

R1

) (

R7

R5+R7

) (

1 + R6

R4

)

+ R2

R1

(

R6

R4

)]

−Vio1

[

R3

R1

(

R7

R5+R7

) (

1 + R6

R4

)

+ R6

R4

(

1 + R2

R1

)]

+Vio3

(

1 + R6

R4

)

(6.14)

Na equacao 6.14, Vio1, Vio2

e Vio3representam as tensoes de offset de entrada dos

amplificadores operacionais U1, U2 e U3 da figura 6.4 respectivamente.A partir da equacao 6.14 podem tirar-se algumas conclusoes:

• Para aumentar o ganho do amplificador de instrumentacao e necessarioaumentar a relacao R6/R4 ou diminuir R1. Em qualquer dos casos, a tensaode offset de saıda tende a aumentar.

• A medida que o ganho aumenta, o amplificador de instrumentacao torna-semais sensıvel a variacoes das tensoes de offset de entrada dos amplificado-res operacionais. Como estas variam com a temperatura, o amplificador deinstrumentacao com ganhos elevados e mais sensıvel a variacoes de tempe-ratura.

58

6.5. Tecnicas para eliminar o offset do amplificador de instrumentacao

6.5 Tecnicas para eliminar o offset do amplifi-

cador de instrumentacao

As tensoes de offset de entrada, bem como as correntes de polarizacao debase das entradas dos amplificadores operacionais provocam erros na saıda doamplificador de instrumentacao. Estes erros aparecem na forma de uma tensaoDC. No entanto esta nao e a unica fonte de erros DC que afecta os circuitos deinstrumentacao.

Os circuitos em ponte de Wheatstone que usam excitacao DC estao sujeitos aerros causados pelo efeito de termopar nas resistencias (juncoes entre os terminaise o material resistente) e nas soldaduras (juncoes terminais-solda), ruıdos de baixafrequencia causados pela rede electrica, drifts DC nos componentes activos, alemde outros ruıdos de baixa frequencia bastante comuns no meio industrial.

6.5.1 Alimentacao da ponte de Wheatstone com AC

Um modo pratico de contornar estes problemas e excitar a ponte com umatensao AC sinusoidal, amplificar a sua saıda com um amplificador AC e de ummodo sıncrono desmodular o sinal resultante. A informacao da fase e da ampli-tude do sinal vindo da ponte e convertido para um sinal DC a saıda do desmodu-lador sıncrono. O ruıdo de baixa frequencia, os drifts DC e o ruıdo introduzidopelo desmodulador, misturados com a frequencia portadora, podem ser retiradosse for achado o valor medio do sinal de saıda do desmodulador por intermediode um filtro passa-baixo. Ao serem calculadas as constantes deste filtro passa-baixo, deve haver um especial cuidado para nao prejudicar de forma significativaa resposta dinamica do sensor incorporado na ponte [AnDe 92].

A figura 6.8 mostra um possıvel circuito para o tratamento do sinal da pontee na figura 6.9 estao representadas as formas de onda obtidas em algumas partesdo circuito.

No entanto ha que ter cuidados especiais com esta montagem porque a ca-pacidade de o amplificador de instrumentacao rejeitar tensoes de modo comum(CMRR) pode diminuir muito com a frequencia. Para isso basta que existam ca-pacidades parasitas associadas as resistencias do segundo andar do amplificadorde instrumentacao (R4, R5, R6 e R7) da figura 6.4. Se essas capacidades parasitastiverem valores significativos e forem diferentes, ha uma degradacao do CMRRpara tensoes alternadas.

6.5.2 Estabilizacao chopper

Para os sensores de temperatura do tipo RTD e facil eliminar o offset doamplificador de instrumentacao: Basta alimentar a ponte de Wheatstone com ACconforme foi visto anteriormente. No entanto, para os sensores de radiacao do tipo

59

6. Tecnicas de circuitos usadas em instrumentacao

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+PSfrag replacements

I.A.

10kΩ

10kΩ

2.5kΩ

2.5kΩ

5kΩ

R

R 1R1

R(1

+δ)

Vo

Comparador

Figura 6.8: Ponte excitada com tensao alternada.

PSfrag replacements 0V

0V

0V

0V

0 2 4 6 108 ms

Excitacaoda ponte

Saıda do

Saıda doAmplificador deInstrumentacao

desmodulador

Saıda do filtropassa-baixo

Figura 6.9: Formas de onda do circuito da ponte excitada com AC.

60

6.5. Tecnicas para eliminar o offset do amplificador de instrumentacao

termopilha, ou para os sensores que, em geral, que colocam aos seus terminaisuma tensao proporcional a grandeza a medir, a tecnica descrita anteriormentenao serve. Existe mesmo assim a possibilidade de os erros de offset e drift seremcompensados de uma forma dinamica: usando estabilizacao chopper. Um possıvelcircuito e o da figura 6.10. Numa primeira fase os switches estao ligados em A e

−

+

PSfrag replacements

A.I.Transdutor

Vo

A

A

B

B

Figura 6.10: Estabilizacao chopper.

na segunda fase em B. Supondo que os erros sao de muito baixa frequencia (ouDC), afectam de igual modo a primeira e segunda fases. Se no final se calcularVo como sendo a media da diferenca entre a primeira e segunda fases, os errosDC sao anulados.

6.5.3 Estabilizacao por chopper mecanico

Para anular o offset DC nos sensores de radiacao pode ser usar uma daspropriedades da radiacao electromagnetica dos comprimentos de onda aos quaiso sensor e sensıvel: e que a dita radiacao nao e transmitida pela maioria doscorpos (chamados de opacos). Como tal podemos usar um chopper mecanico. Aradiacao que incide no sensor, periodicamente e interrompida pelo chopper quetem uma frequencia de abertura e fecho relativamente baixa. A frequencia deoperacao do chopper mecanico devera ser inferior a frequencia de corte do sensorem questao (que no caso da termopilha e de cerca de 20Hz). A tensao de saıda dosensor, depois de amplificada, vai passar por um filtro passa banda sintonizadocom a frequencia do chopper, de modo que so a frequencia fundamental do sinalamplificado e que passa. Todas as outras frequencias, incluindo os offsets DC vaoser cortadas pelo filtro, ou seja, a saıda do filtro passa-banda ter-se-a uma formade onda sinusoidal de frequencia igual a de actuacao do chopper e de amplitudeproporcional a intensidade da radiacao recebida. Esta tensao sinusoidal e aplicadaa um rectificador de onda completa, seguido de um passa-baixo, como ilustra odiagrama de blocos da figura 6.11.

61

6. Tecnicas de circuitos usadas em instrumentacao

PSfrag replacements

Amplificador

de

FiltroFiltro

PassaPassa

BandaInstrumentacao

Sensor ADC

Baixo

Rectificador

de onda

completa

Figura 6.11: Diagrama de blocos do circuito de compensacao de offset com chop-

per mecanico.

6.6 Amplificador de instrumentacao com ganho

elevado

Um amplificador de instrumentacao com ganhos elevados (cerca de 1000 oumais) e difıcil de construir ja que pequenas variacoes nos valores dos componentes(devidas a variacoes de temperatura ambiente ou a idade) podem traduzir-se emvariacoes significativas do seu ganho. No caso de no sistema a implementar estarincluıdo um microcontrolador, pode-se usar um circuito de ajuste automatico deganho fazendo uma realimentacao negativa da saıda atraves de um comutador,variando a largura do impulso, conforme pode ser visto na figura 6.12. A reali-mentacao atraves do comutador tambem pode ser positiva, so que neste caso hao perigo de ocorrer instabilidade, sobretudo com duty-cycles proximos de 1. Nafigura 6.12, com a realimentacao desligada, a tensao de saıda do amplificador deinstrumentacao e de:

Vo = A(Vi1 − Vi2)

Se for ligado o PWM com um duty-cycle D e R8 = R9, a tensao de saıda sera de:

Vo = A(Vi1 − Vi2)−DVo

com algumas manipulacoes matematicas chega-se a:

Vo =A

1 + D(Vi1 − Vi2) (6.15)

ou seja, o ganho pode variar com o simples ajuste do duty-cycle do PWM.Para que o circuito tenha ajuste automatico, basta que em perıodos regulares

se coloque a entrada uma tensao fixa, ligando os comutadores de entrada naposicao A, se meca a saıda e caso seja necessario, ajusta-se o duty-cycle do PWMpara corrigir o ganho.

6.7 Sumario

O presente capıtulo foi dedicado a electronica de instrumentacao. No inıciofoi descrita a ponte de Wheatstone com sensor de temperatura do tipo RTDbem como os problemas a ela associados: nao linearidades, erros causados pelatensao de referencia e offsets causados pelos desvios de valor permitidos pelas to-lerancias das resistencias fixas que formam a ponte. A segunda parte do capıtulo

62

6.7. Sumario

−

+

−

+

−

+

−

+

PSfrag replacements

Vo

PWM

U4

U3

U2

U1

+5V

−5V

Vi2

Vi1

R2

R1

R3

R5

R4 R6

R7

R8

R9

Vo2

Vo1

Figura 6.12: Amplificador de instrumentacao com ajuste de ganho por PWM.

foi dedicada ao estudo do amplificador de instrumentacao. Foram abordadosos problemas do CMRR, da tensao de offset de saıda do amplificador de ins-trumentacao e da estabilidade do ganho. Algumas das tecnicas descritas nestecapıtulo serao usadas no projecto dos circuitos electronicos do prototipo, comotal, serao referidas novamente aquando da descricao do projecto do hardware

electronico.

63

6. Tecnicas de circuitos usadas em instrumentacao

64

Capıtulo 7

Tecnicas avancadas de circuitos

As tecnicas descritas no capıtulo anterior servem perfeitamente quando saopretendidos de oito a doze bits de resolucao. Os problemas surgem quando saopretendidos catorze ou mais bits de resolucao onde componentes com valoresapertados de tolerancia sao requeridos. Neste capıtulo serao introduzidas cincotecnicas que, com componentes de baixo custo e sem rigor de tolerancias, pro-porcionam excelentes resultados.

7.1 Tecnica dos tres sinais

Esta tecnica consegue eliminar o efeito do offset e das variacoes do ganho deum sistema de aquisicao de dados [Goes 96]. Para que seja possıvel a aplicacaodesta tecnica, adicionado a medida do sinal proveniente do sensor (Ex), sao ne-cessarias as medidas de duas referencias (Eref1 e Eref2) usando o mesmo sistema.Se forem considerados os tres sinais de saıda do sistema como sendo Zx, Zref1 eZref2, se a funcao de transferencia for definida apenas por um offset e um ganho,o valor da medida pode ser obtido pelo seguinte calculo:

M =Zx − Zref2

Zref1 − Zref2(7.1)

Suponha-se entao que a relacao entre a saıda do sistema (Z) e o sinal prove-niente do sensor (E) e dada por:

Z = a1E + ao (7.2)

em que a1 representa o ganho do sistema e ao o seu offset.

Substituindo 7.2 em 7.1, obtem-se que o valor da medida final e dado por:

Mprop =Ex − Eref2

Eref1 − Eref2(7.3)

65

7. Tecnicas avancadas de circuitos

Este resultado nao depende de a1 nem de ao, portanto o efeito de drifts causadospor efeitos termicos, por exemplo, pode ser eliminado medindo periodicamente ostres sinais e efectuando os calculos da equacao 7.3. O unico requisito do sistemade aquisicao de dados e que seja linear, o que nao e grande problema, ja queconstruir um sistema electronico com alta linearidade e relativamente simples.

7.2 Emparelhamento dinamico dos elementos

A tecnica do emparelhamento dos elementos aumenta a precisao global deum sistema. Pode ser usada quando num sistema sao usados varios elementosteoricamente iguais. Se os elementos do sistema forem comutados entre si deuma forma cıclica, a precisao global e melhor do que a precisao de cada um doselementos em particular. Considere-se um circuito simples de divisor de tensaoem que a saıda e quatro vezes menor do que a entrada. Uma forma simples deser atingido o objectivo e usar o circuito da figura 7.1. No entanto a tolerancia de

PSfrag replacements

Vi

VoRRR

R

Figura 7.1: Simples divisor por 4.

cada uma das resistencias em particular vai diminuir a precisao global do sistema.Uma alternativa consiste em usar o circuito da figura 7.2, em que as resistenciassao ligadas, uma de cada vez, a vi, estando as outras tres ligadas a massa. Com

PSfrag replacements

Vi

Vo

RRRR

Figura 7.2: Simples divisor por 4 com emparelhamento dinamico.

este circuito, o emparelhamento e muito mais preciso, sem que no entanto se usemcomponentes de alta precisao. A mesma tecnica pode ser usada para conseguiramplificadores com ganhos muito precisos ou CMRR muito elevado.

66

7.3. Medida com dois portos

7.3 Medida com dois portos

Normalmente, os fios condutores que ligam ao elemento sensor actuam comoparasitas, o que pode afectar a precisao. Se for usada uma ligacao adequada, osefeitos parasitas podem ser reduzidos ou eliminados. Na figura 7.3 pode ser vistoo modelo do elemento sensor (Zx) formando com os elementos parasitas uma redeπ e na figura 7.4 uma rede do tipo T . Quando o elemento sensor forma uma rede

+−

PSfrag replacementsImVm

Zx

Figura 7.3: Medida de dois portos para elementos sensores em que os elementosparasitas formam uma rede π.

PSfrag replacements

Im

VmZx

Figura 7.4: Medida de dois portos para elementos sensores em que os elementosparasitas formam uma rede T .

π com os elementos parasitas, devera alimentar-se com uma fonte de tensao (queelimina o parasita do lado esquerdo) e medir-se a corrente de curto-circuito desaıda (que elimina o parasita do lado direito). Quando o elemento sensor formauma rede T com os elementos parasitas, devera alimentar-se com uma fonte decorrente (que elimina os parasitas do lado esquerdo) e medir-se a tensao de saıda(que elimina os parasitas do lado direito).

Quando o modelo do sensor com os elementos parasitas nao for nenhum dosanteriores, esta tecnica nao se pode aplicar e a medida final n ao vai ser totalmenteindependente dos parasitas.

7.4 Tecnica avancada de chopping

Considere-se um exemplo de um sistema de aquisicao de dados em que eusada a tecnica de chopping (figura 7.5). Neste sistema, numa primeira fase osswitches estao na posicao A e na segunda fase estao na posicao B. A saıda podeser calculada como sendo a media dos sinais das duas fases (invertendo o dasegunda), ou seja:

Vo =Vfase1 − Vfase2

2

67

7. Tecnicas avancadas de circuitos

−

+

PSfrag replacements

A.I.A

A

B

B

Vref

Vo

Figura 7.5: Tecnica de chopping para ponte de Wheatstone.

Com esta tecnica, os erros DC sao eliminados e os de muito baixa frequencia saofortemente atenuados.

Suponha-se que com a tecnica de chopping e adquirido um sinal em que aforma de onda da tensao de erro do amplificador de instrumentacao esta repre-sentada na figura 7.6. Conforme pode ser visto na mesma figura, se a aquisicao

PSfrag replacements

S1 S2 S3 S4

e 2e 1

Figura 7.6: Tensao de erro do amplificador de instrumentacao.

de sinal for feita nos instantes S1, S2, S3 e S4, em que S1 e S3 corresponde asaquisicoes positivas e S2 e S4 corresponde as aquisicoes negativas, o erro cometidosera em media de e1/2, ou e2/2.

Se em vez da tecnica de chopping for usada uma tecnica avancada, em que emvez de alternancias de chopper (+,-) serao usadas quatro fases com alternanciasde (+,-,-,+), a tensao de saıda sera dada por:

Vo =VS1 − VS2 − VS3 + VS4

4

e o erro cometido sera agora de, em media (e1 − e2)/2, ou seja, muito menor doque no caso anterior.

7.5 Conversor analogico-digital com modulacao

de perıodo

O conversor analogico digital com modulacao de perıodo basicamente e umoscilador de relaxacao, cujo perıodo se altera de acordo com a tensao de entrada.

68

7.6. Sumario

O seu diagrama esta na figura 7.7 e o seu princıpio de funcionamento e o seguinte:

−

+

PSfrag replacementsViVref

Comparador µC

C1

C2

Figura 7.7: Conversor analogico digital com modulacao de perıodo.

O microcontrolador selecciona uma das fontes de corrente que vai carregar ocondensador C2 ate este atingir o nıvel alto de tensao do comparador. Quandoisto acontecer, o microcontrolador troca a fonte de corrente, de modo que ocondensador descarregue ate atingir o nıvel baixo de tensao do comparador. Ocomparador pode ser implementado com dois amplificadores operacionais na con-figuracao “comparador de janela”. Com isto fica a funcionar o circuito osciladorde relaxacao. No inıcio de cada perıodo e feita uma transferencia de carga de C1

para C2, de modo que o perıodo de oscilacao fica alterado, perıodo este que seramedido directamente no microcontrolador.

Com ligeiras alteracoes apenas ao nıvel do software de controlo, e possıvelimplementar neste circuito as tecnicas dos tres sinais e de chopping avancado.Para a tecnica dos tres sinais basta fazer a conversao de Vi, Vref e zero Volt.Para usar a tecnica avancada de chopping basta trocar a polaridade de um dosswitches que ligam a C1 no caso de se pretender uma aquisicao negativa.

7.6 Sumario

As tecnicas de circuitos descritas neste capıtulo, nomeadamente a tecnica dostres sinais, a do emparelhamento dinamico e a de chopping avancado, juntamentecom a conversao para digital por um conversor com modulacao de perıodo podemfornecer um interface de baixo custo e elevada precisao para a aquisicao de dadosproveniente de sensores. O unico inconveniente consiste no elevado numero deswitches que normalmente sao necessarios, bem como a electronica de controlopara cada um deles, tornando a sua implementacao em componentes discretospouco animadora. No entanto, e como o futuro esta na integracao, sao tecnicasmuito boas para a construcao de circuitos integrados onde a electronica de tra-tamento do sinal bem como a de controlo dos switches e ate os proprios sensoresficarao num mesmo chip.

Na realizacao do prototipo do pirometro auto-calibrado nao foi introduzidanenhuma destas tecnicas, no entanto fica aqui uma referencia a elas ja que semduvida, serao um bom ponto de partida para futuros trabalhos.

69

7. Tecnicas avancadas de circuitos

70

Parte II

Construcao do prototipo

71

Capıtulo 8

Projecto dos circuitoselectronicos do prototipo

Depois das descricoes da teoria da radiacao e de algumas solucoes de hardware

que poderiam ser usados na construcao do prototipo, chegou a vez de seremdetalhadamente descritas cada uma das suas partes constituintes. Assim, estecapıtulo e dedicado por inteiro aos circuitos electronicos do prototipo sendo osproximos dedicados ao software, as componentes mecanicas e aos testes realizadose resultados obtidos.

8.1 Diagrama de blocos do circuito

Como foi visto no capıtulo 5, para a implementacao da tecnica das duastemperaturas sao necessarios dois sensores de radiacao termica que trabalhama temperaturas diferentes e dois sensores de temperatura para medirem a tem-peratura de trabalho de cada um dos sensores de radiacao. Para cada um dossensores e necessario um circuito de amplificacao e tratamento do sinal, de modoa poder ser adquirido pelo microcontrolador. O diagrama de blocos do circuitopode ser visto na figura 8.1. Cada um dos blocos constituintes do diagrama vaimerecer especial atencao ao longo deste capıtulo.

8.2 O microcontrolador

O microcontrolador usado no prototipo foi o Intel 80C196KC. A escolha recaiusobre este por varias razoes, de entre as quais salientam-se as seguintes:

• E um microcontrolador de 16 bits, o que facilita as operacoes em virgulaflutuante e torna os calculos das expressoes como a equacao 5.4 possıveisem tempo real (varias vezes por segundo).

73

8. Projecto dos circuitos electronicos do prototipo

PSfrag replacements

1

1

1

2

2

2

Amplificador

Amplificador

Amplificador

Amplificador

Analogico

Conversor

Digital

Filtro

Filtro

FiltroFiltro

FiltroFiltro

Instrumentacao

Instrumentacao

MicrocontroladorPonte

PonteSensor de

Sensor de

Sensor de

Sensor de

Wheatstone

Wheatstone baixo

baixo

baixo

baixo

banda

banda

completa

completa

completa

completa

de onda

de onda

de onda

de onda

de

de

de

de

de

de de

diferencial

diferencial

passa

passa

passapassa

passapassa

radiacao

radiacao

rectificador

rectificador

rectificador

rectificador

temperatura

temperatura

Resistencia

aquecimento

circuito

circuito

potencia

potencia

Frigıstor PWM

PWM

Display

Porta serie

Figura 8.1: Diagrama de blocos do circuito do pirometro de duas temperaturas.

• Alem das habituais entradas e saıdas digitais, tem oito entradas analogicasmultiplexadas num conversor analogico-digital de dez bits.

• Tem tambem tres saıdas analogicas sob a forma de moduladores de largurade pulso, o que sera util para controlar a temperatura dos sensores.

8.3 Conversor analogico digital

O conversor analogico digital usado foi o que faz parte do microcontrolador.Tem uma tensao de referencia de 5V e resolucao de 10 bits. Para efectuar aconversao usa o algoritmo das aproximacoes sucessivas (totalmente implemen-tado em hardware), fazendo com que cada conversao demore apenas 10 ciclos derelogio. Como cada ciclo maquina demora 12 ciclos de relogio, e possıvel fazeruma conversao analogica digital em apenas um ciclo maquina. O comutador queliga a entrada do conversor analogico digital e que faz a seleccao de uma das oitoentradas analogicas tambem e interno ao microcontrolador. No projecto apenasforam usadas 4 destas entradas.

O facto de o conversor analogico digital ser de 10 bits condiciona a electronicade instrumentacao de interface com os sensores do seguinte modo:

74

8.4. Electronica de instrumentacao para os sensores de radiacao

- O valor em tensao do bit menos significativo e de 5/210 = 4.88mV , o quesignifica que convem projectar os circuitos de instrumentacao com uma precisaode 11 bits pelo menos, ou seja, que introduzam erros de menos de 2.44mV .

Tendo em mente estas consideracoes, de seguida serao descritos os procedi-mentos do projecto da electronica de instrumentacao de interface com os sensores.

8.4 Electronica de instrumentacao para os sen-

sores de radiacao

Um dos metodos de tratamento de sinal descrito no capıtulo 6 pode ser usadopara processar os sinais provenientes dos sensores de radiacao. O metodo esco-lhido foi o da estabilizacao por chopper mecanico, por razoes obvias: com estemetodo e compensada a tensao de offset de entrada do amplificador de instru-mentacao e tambem a tensao de offset gerada pelos sensores devido a estes medi-rem tambem a radiacao emitida pelas partes mecanicas do proprio aparelho. Se ochopper aparecer mesmo a entrada do tubo que conduz a radiacao ate aos senso-res, a radiacao emitida pelo mesmo tubo vai aparecer a saıda destes sob a formade uma tensao DC, sendo facilmente eliminada, portanto. Outra das vantagensdeste metodo consiste no facto de a radiacao incidente nos sensores estar sem-pre a variar, evitando que estes “pasmem”, nao detectando futuras variacoes naradiacao incidente. No metodo da estabilizacao por chopper mecanico, o sensorvai ligar ao amplificador de instrumentacao, a fim de serem eliminadas as tensoesde modo comum, a saıda deste e filtrada por um passa-banda sintonizado com afrequencia de abertura do chopper, de modo que so a componente fundamentaldo sinal e que passa para a saıda. Esta componente fundamental vai ser aplicadaa um rectificador de onda completa de precisao e o seu valor medio e calculadopor um filtro passa-baixo. Este valor medio ja pode ser aplicado ao conversoranalogico-digital para processamento posterior. Feitas estas consideracoes, a des-cricao de cada um dos componentes do circuito sera feita da saıda para a entrada.Assim sendo, o primeiro a ser descrito e o filtro passa-baixo de saıda.

8.4.1 Filtro passa-baixo de saıda

Na etapa de saıda deve ser usado um filtro passivo, uma vez que a introducaode amplificadores neste ponto do circuito, iria degradar a saıda em termos deoffset. A escolha recaiu sobre um filtro de terceira ordem, ja que a sua saıda oripple deve ter um valor de pico a pico inferior a meio bit menos significativo.Este filtro e construıdo com uma rede RC conforme mostra a figura 8.2.

A frequencia de corte do filtro e de cerca de 0.15Hz e este introduz umaatenuacao de cerca de 4dB sobre o pico do sinal de entrada. Esta atenuacaotera que ser levada em consideracao aquando do projecto do amplificador deinstrumentacao. O ripple maximo a saıda do filtro e da ordem de grandeza do

75

8. Projecto dos circuitos electronicos do prototipo

PSfrag replacementsVi Vo

RRR

CCC

Figura 8.2: Filtro passa-baixo de terceira ordem.

valor de metade do bit menos significativo do conversor analogico-digital. Paraque a frequencia de corte do filtro seja de cerca de 0.15Hz, o valor de R serade 33kΩ e o de C de 4.7µF . Todos os valores descritos neste paragrafo foramobtidos com a ajuda do simulador SPICECAD1.

8.4.2 Rectificador de onda completa

O rectificador de onda completa deve ser feito com um amplificador operaci-onal com baixa tensao de offset de entrada e baixo drift termico, de modo quea tensao de erro total nao exceda o valor de meio bit menos significativo doconversor analogico-digital. Um amplificador operacional com as caracterısticasdo TL084B2 e suficiente, no entanto em futuros desenvolvimentos, se se usarum conversor analogico-digital com maior numero de bits, a melhor solucao eusar um amplificador operacional com estabilizacao chopper como por exemplo oTLC26521.

O TL084B tem uma tensao de offset de entrada tıpica de 2mV e um drift

termico de cerca de 18µV/oC. Se o circuito onde este amplificador for usado tiverganho unitario, o offset de saıda sera de menos de 2.44mV . O circuito usado comorectificador de onda completa foi o da figura 8.3 [TeIn 95]. Neste circuito, no semi-ciclo negativo, o dıodo conduz, ficando a montagem inversora com ganho unitario.No semi-ciclo positivo, o dıodo nao conduz, logo a saıda vai estar presente umatensao igual a de entrada. Neste circuito, tanto a entrada como a saıda nao saoisoladas, ou seja, nem a entrada tem alta impedancia nem a saıda tem baixaimpedancia, portanto este circuito vai funcionar como carga para o passa-bandae o passa-baixo vai funcionar como carga deste circuito, notando-se mais o efeitono semi-ciclo positivo. Este efeito de carga nao e grave, ja que se traduz num erroglobal de ganho, que pode ser facilmente compensado aumentando um pouco oganho do amplificador de instrumentacao. As duas resistencias sao iguais e umvalor aceitavel para elas sera de 10kΩ. O desemparelhamento das resistenciastambem provoca um pequeno erro de ganho, que se nota mais no semi-ciclonegativo, e que pelas mesmas razoes do anterior, tambem nao e crıtico. Emcircuitos que exijam maior precisao, em vez do rectificador de onda completa,devera ser usado um detector sıncrono (como o usado no circuito da figura 6.8),

1Spicecad Development team www.spicecad.com.2Texas Instruments.

76

8.4. Electronica de instrumentacao para os sensores de radiacao

com a finalidade de evitar que os tempos de entrada em conducao e de corte dodıodo se traduzam em erros.

−

+PSfrag replacements

Vi

Vo

RR

Figura 8.3: Rectificador de onda completa.

8.4.3 Filtro passa-banda

Este filtro e o responsavel pela eliminacao dos offsets e drifts termicos queaparecem na saıda do amplificador de instrumentacao. Como esses offsets edrifts aparecem como tensoes contınuas ou de muito baixa frequencia, sao faceisde eliminar com um filtro com caracterısticas de passa-banda ou passa-alto. opassa-banda e preferido uma vez que alem de eliminar os erros em DC tambematenua os ruıdos de alta frequencia. A sua frequencia de corte deve ser a mesmada de abertura e fecho do chopper mecanico, ou seja, de 5Hz. A largura debanda do filtro nao e crıtica, nao devendo este, no entanto ser de banda muitoestreita, para que nao haja variacoes no ganho se a velocidade do motor que moveo chopper mecanico variar um pouco. A largura de banda pode ser igual a 5Hz eum dos circuitos possıveis e o da figura 8.4 [Fran 88]. A figura 8.4 mostra entao

−

+

PSfrag replacements Vi

VoR1

R2C

C

Figura 8.4: Filtro passa-banda com realimentacao multipla.

um filtro passa banda com realimentacao multipla cuja funcao de transferencia edada por:

H(jf) = −Ho(j/Q)(f/fo)

1− (f/fo)2 + (j/Q)(f/fo)

em que

fo =1

2π√

R1R2C(8.1)

Q =1

2

√

R1

R2

(8.2)

77

8. Projecto dos circuitos electronicos do prototipo

e

Ho = 2Q2 (8.3)

Para uma largura de banda de 5Hz,

Q =fo

Bw= 1

ou seja:

1

2

√

R1

R2

= 1⇔ R1 = 4R2

Se R2 = 71.5kΩ, R1 = 286kΩ. O valor comercial mais proximo de R1, com 1%de tolerancia e de 287kΩ. Para uma frequencia de corte de 5Hz, o valor doscondensadores e de:

C =1

2π√

R1R2fo

⇔ C = 222.2nF

O valor comercial mais proximo para os condensadores e de 220nF e o valor doganho na banda passante (Ho) e de 6dB.

Devido ao facto de este filtro ser implementado com um amplificador ope-racional, na sua saıda vai existir uma tensao de offset DC, tensao essa que naoinfluencia o comportamento global do circuito uma vez que vai ser compensadapelo rectificador de onda completa e pelo filtro passa-baixo de uma forma analogaa da compensacao de offset da ponte de Wheatstone alimentada com AC (figuras6.8 e 6.9).

8.4.4 Amplificador de instrumentacao

O amplificador de instrumentacao usado no prototipo e do tipo com tresamplificadores operacionais como o da figura 6.4.

Conforme foi visto no capıtulo 6, o ganho do segundo andar deve ser baixo,portanto a escolha recaiu sobre a utilizacao de um ganho unitario, tambem como objectivo de simplificar os calculos. Sendo assim, as resistencias do segundoandar (R4, R5, R6 e R7 da figura 6.4 podem ser todas iguais com um valor de,por exemplo, 20kΩ).

Quanto ao ganho do primeiro andar, tera que ser levado em consideracao quea montante deste existe um sensor com uma sensibilidade de 30V/W , uma lenteobjectiva e um semi-espelho que divide a radiacao pelos dois sensores, ou seja,introduz uma atenuacao de cerca de 6dB. A jusante existe um filtro passa-bandacom um ganho de 6dB e um filtro passa-baixo com uma atenuacao de 4dB. Epretendido tambem que o aparelho meca temperaturas ate cerca de 500K e atensao de referencia do conversor analogico digital e de 5V . Quando um corponegro esta a 500K, o sensor frio (supondo que esta a 273K) coloca a sua saıda

78

8.5. Electronica de instrumentacao para os sensores de temperatura

uma tensao de cerca de 20mV , portanto o ganho global do circuito de tratamentode sinal devera ser de

20 log5V

20mV= 48dB

ou seja, o ganho do primeiro andar do amplificador de instrumentacao deveraser de cerca de 200. Para que o ganho do primeiro andar seja de 200, fazendoR2 = R3 = 20KΩ, vem para R1 (figura 6.4) o valor de 200Ω.

8.4.5 Sensor de radiacao

O sensor de radiacao usado foi o TS-1003 que e uma termopilha feita a partirda tecnologia dos filmes finos. Consiste em 100 pares de juncoes dispostas numarranjo radial, formadas a partir de filmes finos produzidos por vapor de an-timonio e bismuto. As juncoes activas (quentes) compreendem a area de 1mm2

e sao escurecidas por fumo metalico. O elemento sensor esta hermeticamentefechado num involucro TO-5 (um pouco modificado) que esta cheio de um gasinerte. O sensor responde de igual modo a toda a gama do espectro de radiacao,desde os infravermelhos ate aos ultravioletas, estando apenas limitado pelas ca-racterısticas de transmissao do material usado na janela (silıcio). A f.e.m. a saıdado sensor e proporcional a diferenca de temperatura entre as juncoes activas ede referencia. Nao necessita de arrefecimento nem de de fontes de tensao oucorrente externas para funcionar. Nao produz ruıdo 1/f mas somente ruıdo asso-ciado a resistencia termica dos condutores e pode ser usado em medicoes DC ouAC de baixa frequencia (no prototipo efectua medicoes a 5Hz). Caracterısticasadicionais: Constante de tempo de 23ms e sensibilidade de 32V/W .

O diagrama esquematico completo do circuito de interface com os sensores deradiacao esta na figura 8.5.

8.5 Electronica de instrumentacao para os sen-

sores de temperatura

Para medir a temperatura de cada um dos sensores de radiacao, foram usadosdois sensores de platina do tipo RTD com coeficiente de temperatura positivo(PTC). A sua resistencia e uma funcao da temperatura que, segundo a normaDIN-IEC 751 [Goes 96] e traduzida por duas equacoes:

Rpt(T ) = Rpt(0)(1 + a1T − a2T2 + a3T

3 − a4T4) se T ∈ [−200oC, 0oC]

Rpt(T ) = Rpt(0)(1 + a1T − a2T2) se T ∈ [0oC, 850oC]

(8.4)Para uma resistencia de platina de 100Ω a 0oC,

3Fabricado por: Institute Fur Physikalische Hochtechnologie e. V. Alemanha.

79

8. Projecto dos circuitos electronicos do prototipo

−

+

−

+

−

+−

+

−

+

PSfrag replacements

Sensor

U1

U2

U3

U4

U5

R2

R2

R1

R1

R3

R3

Rg

R4

R4

R5

R6

R7R7

R8R8R8

C1

C1

C2C2C2

Vo

Figura 8.5: Circuito de interface de um sensor de radiacao.

• Rpt(0) = 100Ω

• a1 = 3.90802× 10−3(oC−1)

• a2 = 0.5802× 10−6(oC−2)

• a3 = 0.42735× 10−9(oC−3)

• a4 = 4.2735× 10−12(oC−4)

Este sensor, para temperaturas positivas, tem uma nao linearidade traduzidanas equacoes 8.4 pelo termo em T 2. No entanto, esta nao linearidade e muitopouco significativa uma vez que este termo vem multiplicado por uma constantemuito inferior a 1. Para a concepcao de circuitos electronicos esta nao linearidadepode ser desprezada, no entanto, com um pequeno ajuste no software, e facilmentecompensada de modo que o valor de temperatura tenha uma maior precisao.

Para interface com os sensores de temperatura foi usado um circuito muitosimples, mas com resultados satisfatorios. O sensor foi inserido numa ponte deWheatstone usando a tecnica dos tres fios, sendo a saıda desta amplificada porum amplificador diferencial conforme esta representado na figura 8.6.

O circuito foi projectado para colocar uma tensao a saıda que pode variar de0V a 5V , quando a temperatura variar de 0oC a 100oC.

A resistencia de R devera ser de igual valor a do sensor quando este estiver a0oC, ou seja, se o sensor for de platina descrito pela equacao 8.4, R = 100Ω.

80

8.5. Electronica de instrumentacao para os sensores de temperatura

−

+

PSfrag replacements R1R1

R

Sensor

V1

V2

Vref

Vo

R2

R2

Figura 8.6: Circuito de interface do sensor de temperatura.

A potencia dissipada no sensor deve ser baixa, ja que pode provocar o seuproprio aquecimento e por consequencia uma medida errada. Considerando entaoque o sensor pode dissipar ate cerca de 2mW sem que provoque erros significati-vos, a corrente maxima que la pode passar e de 4.5mA. Se a tensao de referenciada ponte for de 5V , Vref = (R1 + R)I ⇔ R1 = 1kΩ.

Para o dimensionamento de R2, um bom metodo e achar o circuito equivalentede Thevenin de cada um dos bracos da ponte, ficando este conforme mostra afigura 8.7

−

+

PSfrag replacementsRTH1

RTH2

R2

R2

Vo

V1

V2

Figura 8.7: Circuito equivalente de Thevenin do interface do sensor de tempera-tura.

Considere-se o sensor a 100oC para que assim possam ser calculados os valoresde V1, V2, RTH1 e RTH2. No caso de o sensor estar a 100oC, usando a equacao8.4, chega-se a conclusao de que a sua resistencia e de 138.5Ω.

V1 = 5100

1000 + 100= 454.55mV

V2 = 5138.5

1000 + 138.5= 608.26mV

RTH1 = 100||1000 = 90.91Ω

RTH2 = 138.5||1000 = 121.65Ω

A tensao a saıda do circuito equivalente de Thevenin da figura 8.7 e a seguinte:

Vo = V2

(

R2

RTH2 + R2

)(

1 +R2

RTH1

)

− V1

(

R2

RTH1

)

(8.5)

81

8. Projecto dos circuitos electronicos do prototipo

Como a temperatura de 100oC e pretendida uma tensao de saıda de 8V ,resolvendo a equacao 8.5 em ordem a R2, vem que o seu valor deve ser de 4850Ω.O valor de 8V para a tensao de saıda do amplificador diferencial deve-se ao factode a sua saıda existir um filtro passa-baixo de 3aordem, que tem uma atenuacaode 4dB na banda passante. Os 8V atenuados de 4dB resultam numa tensao de 5Vque correspondem ao valor maximo de tensao admitida pelo conversor analogicodigital.

Conforme foi visto no capıtulo 6, o maior problema deste tipo de montagemcontinua a ser a tensao de offset de saıda. Para solucionar o problema foi usadoum circuito de estabilizacao chopper, com uma ligeira modificacao ao descrito nocapıtulo 6. O circuito usado foi o que esta representado na figura 8.8. A tensao

−

+−

+

PSfrag replacements

R1 R1

RR(1 + δ)

Vref

Vref

R2

R2

Vo

CCC

R4R4R4

R3

R3

U1

U2

Figura 8.8: Circuito de interface com o sensor de temperatura com estabilizacaochopper.

de referencia da ponte, na primeira fase e aplicada na parte de cima da pontee na segunda fase e aplicada na parte de baixo. Com isso, a tensao a saıda doamplificador operacional tem alternancias positivas e negativas. Como o offset

afecta de igual modo ambas as fases, vai aumentar em valor absoluto uma delas,diminuindo a outra de igual valor. O erro e compensado se se calcular a mediado valor absoluto dos sinais das duas fases.

A saıda do amplificador operacional U1 liga um rectificador de onda completa(que pode ser igual ao usado no circuito dos sensores de radiacao e um filtropassa-baixo que, se a frequencia de comutacao for de cerca de 1kHz, pode teruma frequencia de corte de 10Hz, por exemplo. Os valores de R4 e C serao entaode 10kΩ e 100nF respectivamente.

8.6 Electronica de potencia

Como foi visto no capıtulo 5, o pirometro de duas temperaturas baseia-seno facto de dois sensores de radiacao estarem a temperaturas diferentes. Para

82

8.6. Electronica de potencia

que um dos sensores fique quente e o outro frio, e necessario associar-lhes umaresistencia de aquecimento e um frigıstor respectivamente.

Para que haja algum controlo sobre a temperatura de funcionamento dossensores, e necessario que exista algum modo de se controlar a corrente quepassa na resistencia ou no frigıstor. O modo mais simples consiste em usar umcomutador controlado por uma forma de onda modulada em largura de pulsocomo o da figura 8.9. Neste conversor, a tensao de saıda depende sobretudo da

PSfrag replacements

0V

5V

Resistencia

V d

Figura 8.9: Comutador controlado por modulacao de largura de pulso.

largura do pulso aplicado ao controlo do comutador.Como switch foi usado o MosFet de potencia BUK4534.O unico problema desta tecnica esta no frigıstor. Ao contrario da resistencia

de aquecimento que aquece de acordo com a corrente media que nela passa, ofrigıstor funciona como “bomba” de calor, ou seja, transfere a energia termicade uma superfıcie para a outra. O problema reside no facto de que quando acorrente e nula, este funciona como um curto-circuito termico, colocando ambasas faces a mesma temperatura. Um modo de fazer com que isto nao aconteca ecolocar um filtro passa-baixo antes do frigıstor, passando o circuito a ser comomostra a figura 8.10.

PSfrag replacements

0V

5VVd

Vo

L

C

Frigıstor

Figura 8.10: Comutador controlado por modulacao de largura de pulso paraaccionamento do frigıstor.

Para controlar os switches foram usadas duas das tres saıdas de modulacaode largura de pulso existentes no microcontrolador 80C196KC.

Para o calculo da bobine, numa primeira aproximacao, considera-se que ocondensador e suficientemente grande para que a tensao no frigıstor (Vo) sejaconstante [Moha 89]. Na figura 8.11 podem ser vistas as formas de onda datensao e da corrente aos terminais da bobine.

4Philips

83

8. Projecto dos circuitos electronicos do prototipo

PSfrag replacements

(Vd − Vo)

(−Vo)

Vl

Ts

Il

Ton Toff

t

t

Io

Figura 8.11: Formas de onda da tensao e da corrente na bobine.

Em regime permanente, a tensao media aos terminais de uma bobine e zero,logo:

(Vd − Vo)Ton = Vo(Ts − Ton)

ouVo

Vd

=Ton

Ts

= D duty cycle (8.6)

A variacao da corrente na bobine e proporcional ao integral da tensao aosseus terminais, ou seja:

∆Il =1

L

∫ Ton

0Vldt

ou seja:

∆Il =VdTs

L(1−D)D (8.7)

O valor maximo da variacao da corrente ocorre quando D = 0.5, e e de:

∆Ilmax =VdTs

4L

PSfrag replacements

Io

Il

Ts

2

∆Il

2∆Q

t

Figura 8.12: Forma de onda da da corrente na bobine.

84

8.7. Circuito do display

Mantendo a aproximacao inicial de que a tensao na carga e constante, sea carga for resistiva, a sua corrente tambem e constante. Como a corrente nabobine varia, esta variacao vai carregar e descarregar o condensador. A figura8.12 realca esse pormenor.

∆Q =1

2

Ts

2

∆Il

2

O ripple da tensao de saıda e dado por:

∆Vo =∆Q

C=

∆IlTs

8C(8.8)

No projecto, o perıodo de comutacao e imposto pelo microcontrolador, ja quese vai usar um dos geradores de PWM internos, e e de Ts = 32µs. O ripple

pretendido para a tensao de saıda, teoricamente devera ser inferior a 10mV ,embora na pratica possa ser um pouco superior. O valor da bobine foi fixadoem 500µH, ja que era um valor disponıvel no stock do laboratorio. O circuito ealimentado a 12V . Como tal:

∆Ilmax =12× 32µ

4L= 192mA.

C =192m× 32µ

8× 10m= 76.8µF.

Conclusao: Usou-se uma bobine de 500µH e um condensador de 100µF . Acorrente media na bobine e igual a corrente no frigıstor, e esta por sua vez, naodeve ultrapassar 1A. E boa regra para projecto considerar que, por motivos deaquecimento, uma bobine de cobre deve ser feita com fio tal que nao se exceda acorrente de 3A por milımetro quadrado. Portanto a seccao do fio devera ser de,no mınimo, 0.33mm2.

8.7 Circuito do display

Para que seja permitido ao utilizador a visualizacao do valor da temperaturaque o pirometro estiver a medir, nada melhor do que usar um conjunto de displays

se sete segmentos.O projecto do circuito do display nao passou de um simples exercıcio de

electronica digital. A funcao deste circuito e a de fazer o interface entre o micro-controlador e os displays de sete segmentos, ocupando o menor numero possıvelde pinos dos seus portos. A solucao usada foi entao a seguinte:

- O microcontrolador envia os dados em formato serie por um dos pinos,enviando um sinal de relogio por outro. Um terceiro pino e usado para indicarquando e que os dados estao prontos, para que o display possa ser actualizado.

85

8. Projecto dos circuitos electronicos do prototipo

Um shift-register de 16 bits (formado por dois integrados 74LS164), com entradaserie e saıda em paralelo, le o valor do pino do microcontrolador que disponibilizaos dados a cada pulso de relogio. Cada uma das saıdas paralelas do shift-register

liga a um flip-flop do tipo D. Quando os 16 bits estiverem correctamente dispostosnas saıdas do shift-register, e aplicado um pulso na linha “clock” dos flip-flops,de modo que estes coloquem na saıda o valor logico que esta na sua entrada.As saıdas dos shift-registers ligam a entrada dos quatro descodificadores de BCDpara sete segmentos que fornecem a corrente para os displays. Como flip-flops dotipo D foram usados integrados 74LS374 e os descodificadores de BCD para setesegmentos eram 74LS47.

O software devera encarregar-se de converter o valor da temperatura, que eum numero em vırgula flutuante para quatro dıgitos em BCD, para de seguidaos enviar bit a bit para o shift-register.

8.8 Sumario

Neste capıtulo foram descritos os modulos mais importantes utilizados no pro-jecto dos circuitos electronicos do prototipo. Tanto o circuito de interface com ossensores de radiacao como o de interface com os sensores de temperatura usamtecnicas de estabilizacao por chopper que tem a propriedade de compensar dina-micamente erros DC ou de baixa frequencia. Tambem foram vistos os circuitosde potencia usados para controlar a temperatura dos sensores. Neste caso foiusada a tecnica de modulacao de largura de pulso, ja que apresenta muito bomrendimento e e bastante facil de controlar a partir de um microcontrolador.

86

Capıtulo 9

Construcao optica e mecanica

Neste capıtulo dedicado a construcao mecanica do prototipo serao abordadosapenas os topicos mais relevantes, tais como a optica, o chopper mecanico e aanalise termica das pecas que envolvem os sensores quente e frio.

9.1 O percurso optico da radiacao

Um sensor de radiacao, quando disposto em campo aberto, le o valor medioda radiacao incidente, proveniente de todas as superfıcies dispostas num cone asua frente. A medida que a distancia entre objecto e sensor aumenta, o diametrodo cone de visao do sensor tambem aumenta. Nao e isto que se pretende. Oideal seria que o sensor visse apenas uma area muito pequena da superfıcie docorpo, com caracterısticas homogeneas. Para que isso seja possıvel, a radiacaoproveniente do corpo deve ser focada por uma lente plano-convexa, por exemploque faz convergir um conjunto de radiacoes paralelas num unico ponto. Com estalente e com os sensores no seu foco, estes apenas veem uma pequena area circulardo objecto emissor, de diametro sensivelmente igual ao da lente, independente-mente da distancia. Se entre a lente e os sensores for colocado um semi-espelho a45o, a radiacao sera focada directamente nos dois sensores estando um a recebera radiacao que e transmitida pelo espelho e outro a receber a radiacao que ereflectida a 90o.

9.2 Materiais a usar nas lentes, espelhos e jane-

las

Depois de uma analise detalhada da equacao de Planck (equacao 2.26) chegou-sea conclusao de que os comprimentos de onda com mais interesse para se fazeremmedidas de radiacao termica ate cerca de 300oC estao situados na gama alta doespectro de infravermelhos (cerca de 7µm a 12µm). Como tal, serao descritas

87

9. Construcao optica e mecanica

algumas propriedades de materiais que funcionam nesta gama do espectro.

Seleneto de Zinco (ZnSe) Transmite radiacao nos comprimentos de onda de0.5µm a 14µm e tem uma absorvicidade e uma dispersao muito baixas,o que o torna util em aplicacoes de potencia (Lasers de alta potencia) oude alta precisao. O facto de funcionar em comprimentos de onda visıveissimplifica muito o ajuste dos sistemas opticos.

Arsenieto de Galio (GaAs) Transmite a radiacao de 1µm ate 14µm e e carac-terizado pela sua dureza, o que pode ser util em ambientes industriais ondeas lentes podem estar sujeitas a bombardeamentos constantes de partıculas.

Germanio (Ge) Funciona de 2µm ate 12µm e tem as particularidades de naoser toxico e e um bom condutor termico. Nos comprimentos de onda espe-cificados transmite apenas cerca de 47% da radiacao incidente, reflectindooutros 47%, portanto e optimo para construir semi-espelhos.

Telureto de Cadmio (CdTe) A particularidade que o destaca e que transmiteradiacao desde 1µm ate 25µm, podendo ser usado na pirometria para medirtemperaturas baixas (abaixo dos 50oC) onde a radiacao de maior intensi-dade tem comprimentos de onda acima de 20µm.

Sulfeto de Zinco (ZnS) Funciona de 4µm a 12µm e caracteriza-se por ter umagrande durabilidade, logo e util em aplicacoes militares ou espaciais.

No prototipo foi usada uma lente de telureto de cadmio que tem uma trans-missividade de cerca de 65% e um semi-espelho de germanio que, como ja foivisto, transmite 47% da radiacao incidente, reflectindo outros 47%. Isto significaque da radiacao que incide na lente, nos comprimentos de onda de 2µm a 12µmapenas chegam a cada sensor cerca de 30%. todos os outros comprimentos deonda sao fortemente atenuados.

9.3 O chopper

Um dos problemas mais graves deste tipo de construcoes mecanicas e o factode os sensores, de certa forma, alem do corpo, tambem verem o interior do proprioaparelho, que normalmente esta a temperatura ambiente. O sensor tende a fazeruma media pesada entre a radiacao emitida pelo corpo e a emitida pelo interiordo aparelho, o que se traduz numa medida totalmente errada. Um dos processosde se evitarem as influencias do interior do aparelho na medida final e colocarum chopper mecanico que abre e fecha a entrada de radiacao no aparelho a umafrequencia constante. Com isto e conseguido que o sinal gerado nos sensoresdevido a radiacao do corpo seja AC, enquanto que o sinal devido a radiacao do

88

9.4. Analise termica do sensor quente

interior do aparelho e DC. Um simples filtro passa-alto ou passa-banda consegueeliminar o sinal devido ao interior do aparelho.

Para a construcao do chopper foi usada uma pequena chapa de ferro, cor-tada apropriadamente, soldada a um eixo, que por sua vez liga a um motor deinducao. O motor de inducao de dimensoes reduzidas e constituıdo por 10 paresde polos, tendo uma velocidade de sincronismo de 300r.p.m. quando alimentadoa 12V , 50Hz. Como o binario da carga e desprezavel, pode considerar-se que odeslizamento e nulo, o que faz com que a frequencia de abertura do chopper sejade 5Hz.

9.4 Analise termica do sensor quente

Para que o pirometro funcione correctamente, e necessario que um dos sen-sores esteja quente, a uma temperatura de cerca de 80oC. Foi escolhida estatemperatura por questoes electricas, tais como a resistencia ao calor do isola-mento electrico dos condutores e das proprias soldaduras. Num prototipo futuro,ou numa versao comercial deve pensar-se em substituir os condutores por outrosisolados a teflon por exemplo, que suporta ate cerca de 250oC e soldaduras aprata que suportam ate 900oC. Desta forma, o sensor quente pode estar a cercade 200oC.

Para que o sensor esteja a 80oC foi construıda uma peca em cobre, na qualforam feitos tres furos: um para o sensor de radiacao, outro para o sensor detemperatura e o terceiro para a resistencia de aquecimento. Como resistencia deaquecimento foi usado um fio de cromo-nıquel com cerca de 20Ω. Para que sejamdiminuıdas as perdas de energia, toda a peca de cobre foi isolada termicamentecom teflon.

O modelo matematico do aquecedor e bastante simples, considerando os se-guintes parametros:

RT Resistencia termica do isolamento.

CT Capacidade termica do interior da peca onde se encontra o sensor.

T Temperatura do interior da peca.

Tamb Temperatura ambiente.

Numa primeira abordagem, considerou-se que da potencia electrica fornecidaa resistencia de aquecimento, uma parte e armazenada e a outra e perdida peloisolamento termico, portanto:

Pelectrica = Parmazenada + Pdissipada (9.1)

89

9. Construcao optica e mecanica

A potencia armazenada e proporcional a variacao da temperatura do interiorda peca, ou seja:

Parmazenada = CTdT

dt(9.2)

e a potencia dissipada e proporcional a diferenca de temperaturas entre a peca eo ambiente:

Pdissipada =T − Tamb

RT(9.3)

Substituindo as equacoes 9.2 e 9.3 em 9.1, vem:

Pelectrica = CTdT

dt+

T − Tamb

RT

rearranjando os termas chega-se a uma equacao diferencial de primeira ordem:

dT

dt= − T

CT RT

+Pelectrica

CT

+Tamb

CT RT

(9.4)

A variavel de saıda e a temperatura T , a de entrada e a potencia electricaPelectrica, sendo Tamb uma perturbacao do sistema. Esquecendo a perturbacao eaplicando a transformada de Laplace, a funcao de transferencia do sistema fica:

G(s) =T

Pelectrica

= RT1

CT RT s + 1(9.5)

ou seja, o aquecedor do sensor quente pode ser traduzido por um modelo ma-tematico linear de primeira ordem, bastante simples de controlar por software.Para isso basta conhecer as constantes CT e RT .

9.5 Analise termica do sensor frio

Para o arrefecimento do sensor frio foi usado um frigıstor que, em termosmatematicos pode ser considerado como uma bomba de calor que transfere apotencia termica da face mais fria para a face mais quente que esta ligada a umdissipador de calor. Por outro lado, devido ao facto de no frigıstor estar a circularuma corrente electrica, existe uma potencia dissipada por efeito de Joule.

Para a construcao do modelo matematico consideraram-se os seguintes parametros:

CTd Capacidade termica do dissipador.

RTd Resistencia termica entre o dissipador e o ar.

CTs Capacidade termica da peca que contem o sensor.

RTs Resistencia termica entre a peca que contem o sensor e o ar.

90

9.5. Analise termica do sensor frio

RT Resistencia termica entre a face quente e fria do frigıstor

Tq Temperatura da face quente.

Tf Temperatura da face fria.

Tamb Temperatura ambiente.

Da potencia electrica fornecida ao frigıstor, uma parte vai ser usada parabombear o calor da face fria para a face quente e a restante vai ser dissipada porefeito de Joule:

Pelectrica = Pbombeada + Pjoule (9.6)

ou

Pjoule = K × Pelectrica

Pbombeada = (1−K)× PelectricaK ∈ [0, 1] (9.7)

Se se considerar que metade da potencia dissipada por efeito de Joule afecta aface fria e a outra metade afecta a face quente, podem ser escritas duas equacoes,uma para cada face. Sendo assim, para a face fria vira:

1

2Pjoule − Pbombeada + Pexterior + Ptransferida = Pacumulada1 (9.8)

em que Pacumulada1 e a potencia termica acumulada na peca que contem o sensor,Ptransferida e a potencia que consegue voltar a face fria a partir da quente e Pexterior

e a potencia recebida proveniente do ambiente.

Para a face quente, a equacao sera:

1

2Pjoule + Pbombeada − Ptransferida = Pacumulada2 + Pdissipada (9.9)

em que Pacumulada2 e a potencia termica acumulada no dissipador e Pdissipada e apotencia dissipada por este.

Se se fizer a substituicao das equacoes 9.8 e 9.9 na 9.7 e sabendo que:

Pacumulada2 = CTddTq

dt

Pdissipada = Tq−Tamb

RTd

Pacumulada1 = CTsdTf

dt

Pexterior =Tamb−Tf

RTs

Ptransferida =Tq−Tf

RT

(9.10)

91

9. Construcao optica e mecanica

no final fica:

dTf

dt= Pelectrica

(

3K−22CTs

)

+ Tf

(

−RT −RTs

RT RTsCTs

)

+ Tq

(

1RT CTs

)

+ Tamb

RTsCTs

dTq

dt= Pelectrica

(

−K+22CTd

)

+ Tf

(

1RT CTd

)

+ Tq

(

−RTd−RT

RT RTdCTd

)

+ Tamb

RTdCTd

(9.11)

Uma outra representacao do sistema a controlar consiste em usar espaco deestados. Neste caso, despresando a perturbacao introduzida pela temperaturaambiente, a descricao completa do sistema pode ser feita por duas equacoes:

dx

dt= Ax + Bu e y = Cx + Du, (9.12)

em que x representa as variaveis de estado (Tq e Tf ), u a entrada (Pelectrica) e ya saıda (Tf ). Das equacoes 9.11 e 9.12 tira-se que:

A =

−RT −RTs

RT RTsCTs

1RT CTs

1RT CTd

−RT −RTd

RT RTdCTd

B =

3K−22CTs

−K+22CTd

C = [1 0] e D = 0 (9.13)

Este modelo tambem pode ser controlado por um algoritmo de controlo pro-porcional por colocacao de polos, so que neste caso no sistema apenas e medida avariavel de estado Tf , sendo necessario estimar o valor de Tq. Isto so e possıvel seno algoritmo de controlo por colocacao de polos for usado um metodo de obser-vador de estado que, sabendo o valor da entrada do sistema e o valor da variavelTf em cada instante, possa estimar correctamente o valor de Tq. Este algoritmosera descrito no capıtulo seguinte.

9.6 Sumario

Este capıtulo foi dedicado ao estudo dos componentes mecanicos mais im-portantes do prototipo, nomeadamente as partes opticas, o chopper e as partestermicas. Foram vistos alguns materiais para a construcao da optica e foram de-duzidos os modelos matematicos das partes termicas. O sistema de aquecimentodo sensor quente pode ser aproximado por um modelo de primeira ordem, en-quanto que para o sistema de arrefecimento do sensor frio foi deduzido um modelode segunda ordem. Nos capıtulos seguintes sera vista uma forma de os contro-lar usando o metodo de controlo proporcional por colocacao de polos. Tambemsera visto um modo de determinacao experimental das constantes usadas nosmodelos.

92

Capıtulo 10

Software do prototipo

Depois de terem sido estudadas as ferramentas de hardware que resolvem asexigencias do prototipo, chegou a hora de tecer algumas consideracoes sobre osoftware necessario para que este funcione correctamente. Desse mesmo software

fazem parte a linearizacao da resposta da ponte de Wheatstone com sensor detemperatura, o calculo da temperatura do corpo sobre o qual o pirometro esta aefectuar a medida usando a equacao 5.4, a actualizacao do display e o controloda temperatura dos sensores.

10.1 Linearizacao da resposta dos sensores de

temperatura

O sensor de temperatura de platina tem uma resposta que, embora se apro-xime muito da linearidade, tem algum desvio desta. Se se associar este desviocom a nao linearidade introduzida pela ponte de Wheatstone, no final existiraum erro de nao linearidade que pode chegar aos 2% perto do fim da escala demedida. No entanto, em sistemas baseados em microcontrolador, onde e possıvelo tratamento digital dos sinais, a correccao de erros de nao linearidade torna-serelativamente facil. O mesmo algoritmo pode corrigir erros de ganho do ampli-ficador, fazer o ajuste de offset fino do conjunto ponte amplificador e no casoparticular da medida da temperatura, pode fazer tambem a conversao para uni-dades de temperatura (Kelvin ou graus Celsius).

Um modo simples de se implementar um algoritmo deste tipo seria construiruma tabela em que a determinados valores digitais correspondentes a tensoesmedidas se fizessem corresponder valores de temperatura. Os valores intermediosseriam achados por interpolacao. A medida que o numero de entradas da tabelaaumenta, a precisao global tambem aumenta, no entanto os recursos de tempode processamento e de memoria do microcontrolador tambem aumentam. Parasistemas de tempo real, este metodo tambem deve ser evitado, ja que o tempopara se procurar uma entrada da tabela pode variar de conversao para conversao,

93

10. Software do prototipo

o que e mau, ja que depois e mais difıcil de se conseguir um perıodo de amostragemconstante.

Outro processo de construcao do algoritmo seria aproximar a curva de respostado sistema por uma funcao polinomial de grau n. Neste caso apenas e necessarioter presente em memoria os n + 1 coeficientes do polinomio e fazer algumasmultiplicacoes e somas para obter o valor final da temperatura. O tempo deprocessamento, neste caso e constante, ja que o tempo que o processador levaa fazer uma multiplicacao ou uma soma nao depende do valor dos factores ouparcelas. Como exemplo pode ser referido o caso da resposta do sensor de platinaem ponte de Wheatstone que pode ser aproximada por um polinomio do segundograu, em que o erro maximo cometido pela aproximacao e de cerca de 0.03%! Parase calcularem os coeficientes do polinomio do segundo grau podem ser usadas asequacoes 8.4 e 6.2 com tres valores de temperatura: um proximo de zero, outro acerca de meio da escala e o ultimo perto do seu final. No caso de ser pretendidauma precisao maior, pode colocar-se o sensor em tres banhos a temperaturasdiferentes1 e registar os tres valores lidos pelo conversor analogico digital. Se U1,U2 e U3 forem os valores lidos pelo conversor analogico digital e T1, T2 e T3 asrespectivas temperaturas, entao o valor dos coeficientes do polinomio (a, b e c)sera dado pela solucao do sistema:

T1 = a.U21 + b.U1 + c

T2 = a.U22 + b.U2 + c

T3 = a.U23 + b.U3 + c

Como existem dois sensores de temperatura inseridos em duas pontes de Whe-

atstone, nas descricoes seguintes serao chamados de a1, b1 e c1 aos coeficientes dopolinomio de linearizacao do sensor mais quente e a2, b2 e c2 aos coeficientes dopolinomio de linearizacao do sensor mais frio.

10.2 Calculo da temperatura

Depois de ser conhecido o valor da radiacao recebida por ambos os sensoresbem como a temperatura a que eles se encontram, e muito facil de calcular atemperatura do corpo. para isso basta desenvolver um algoritmo que efectue oscalculos descritos no capıtulo 5 (equacao 5.4):

Tc = p

√

U1Tps2 − U2T

ps1

U1 − U2.

Um possıvel algoritmo e o 10.1 onde TempQuente e TempFria representam

1Um metodo simples e pratico de calibracao e ligar na ponte, em vez do sensor, tres re-sistencias de valor conhecido e a partir da equacao 8.4 calcular as temperaturas corresponden-tes.

94

10.2. Calculo da temperatura

Algoritmo 10.1 Calculo da temperatura do corpo.

RadQuente← lerADC(1)RadFria← lerADC(2)dig ← lerADC(3)TempQuente← a1 × dig2 + b1 × dig + c1

dig ← lerADC(4)TempFria← a2 × dig2 + b2 × dig + c2

TqP ← pow(TempQuente, p)TfP ← pow(TempFria, p)numerador ← RadQuente× TfP − RadFria× TqPdenominador ← RadQuente−RadFriaif denominador 6= 0 then

radical ← numerador/denominadortemperatura← pow(radical, 1/p)Ajustaunidades(temperatura)

end if

respectivamente as temperaturas a que se encontram os dois sensores (Ts1 e Ts2 daequacao 5.4 respectivamente) e RadQuente e RadFria sao os valores da radiacaoque cada um deles recebe (U1 e U2 da mesma equacao).

O valor da temperatura, por defeito vem em Kelvin, como nao podia deixarde ser. O procedimento AjustaUnidades serve para converter o seu valor numaoutra escala preferida pelo utilizador. Como opcao existem tres outras escalas:Celsius, Fahrenheit e Rankine. Para a conversao foi usado o algoritmo 10.2.

Algoritmo 10.2 Ajuste das unidades de temperatura para outras escalas.

if escala = Kelvin thentemperatura← temperatura

end ifif escala = Celsius then

temperatura← temperatura− 273.15end ifif escala = Fahrenheit then

temperatura← 1.8× temperatura− 459.67end ifif escala = Rankine then

temperatura← 1.8× temperaturaend if

95

10. Software do prototipo

10.2.1 Calculo numerico de ab sendo a e b numeros reais

No algoritmo do calculo da temperatura e usada uma funcao “pow(a, b)”, quecalcula o valor de ab, sendo a e b numeros reais.

A funcao potencia de base e expoente reais pode ser vista como sendo umafuncao real de duas variaveis reais em que

f(a, b) = ab (10.1)

Para que o calculo se torne mais simples, e como e possıvel, esta funcaodecompoem-se noutras duas de apenas uma variavel. Calculando o logaritmo deambos os termos da equacao fica:

log (f(a, b)) = log(

ab)

= b. log(a)

calculando agora a exponencial da igualdade anterior, fica:

f(a, b) = eb. log(a) (10.2)

ou seja, para que se calcule o valor de ab, deve ser calculado o logaritmo de a,multiplicar este por b e achar a exponencial do resultado. O unico problemada simplificacao e que a deve ser um numero pertencente ao domınio da funcaologaritmo, ou seja, positivo. Na funcao f(a, b) = ab, a nao tem que ser neces-sariamente positivo. No caso do software do prototipo esta restricao nao impoenenhuma limitacao uma vez que apenas e necessario calcular potencias de basepositiva.

O problema ficou mais simples, mas ainda e necessario calcular o valor numericodas funcoes f(x) = ex e f(x) = log(x).

10.2.2 Calculo numerico da funcao exponencial

Para efectuar o calculo numerico da funcao ex em que x e um numero real,comeca-se por dividir o expoente (x) em duas partes: a parte inteira e a partefraccionaria. Se se chamar xi a parte inteira de x e xf a sua parte fraccionaria,

ex = exi × exf (10.3)

O calculo da exponencial de um numero inteiro e facil de realizar, basta mul-tiplicar a base por si propria o numero de vezes indicado no expoente, no entantoeste metodo exige muitas multiplicacoes, sobretudo se o expoente e um numeroelevado. Quando se esta a programar um microcontrolador de uso geral, asmultiplicacoes devem ser operacoes a evitar, ja que consomem muito tempo deprocessamento, podendo tornar o algoritmo inviavel para aplicacoes em temporeal. Mas existem alternativas. . .

Se o expoente for uma potencia de 2, o calculo fica muito simplificado poisbasta elevar a base ao quadrado e ir multiplicando o resultado por si proprio atese chegar ao numero de indicado pelo expoente. Exemplo: o calculo de e16 seriarealizado do seguinte modo:

96

10.2. Calculo da temperatura

resultado← e× e ; e2

resultado← resultado× resultado ; e4

resultado← resultado× resultado ; e8

resultado← resultado× resultado ; e16

Assim o resultado final e alcancado com apenas quatro multiplicacoes, em vezde quinze! Este metodo e bom quando o expoente for uma potencia de base 2,so que isto acontece muito poucas vezes. Com pequenas alteracoes, o algoritmoadapta-se a qualquer numero, ja que todos se podem decompor num somatoriode potencias de base 2. Exemplo:

11 = 23 + 21 + 20

Entao, para se calcular e11, seria necessaria a decomposicao do expoente (11)num somatorio de potencias de base 2, ou seja:

e11 = e23+21+20

o algoritmo necessitara apenas de uma variavel auxiliar e ficara do seguinte modo:

resultado← 1auxiliar ← eresultado← resultado× auxiliar ; 20

auxiliar ← auxiliar × auxiliarresultado← resultado× auxiliar ; 21

auxiliar ← auxiliar × auxiliar; nao se actualiza o resultado ; 22

auxiliar ← auxiliar × auxiliarresultado← resultado× auxiliar ; 23

No caso do expoente ser onze, o resultado nao e actualizado na potenciarelativa a 22, ja que esta nao faz parte da decomposicao do numero. Com ummicrocontrolador este calculo torna-se ainda mais simples, ja que os numerosinteiros estao representados na sua memoria em potencias de 2 (notacao binaria).

11decimal = 1011binario

O estudo generalizado para um numero de n bits pode ser visto na tabela quecontem o algoritmo 10.3.

E fica assim concluıdo o calculo de exi em que xi e um numero inteiro.Para o calculo de exf em que xf e um numero real entre zero e um, pode ser

usado um desenvolvimento em serie de Taylor, ja que esta converge rapidamentepara exponenciais cujo expoente esta entre zero e um. O desenvolvimento emserie de Taylor para a funcao exponencial, em torno do ponto zero e o seguinte[Pisk 87]

ex = 1 + x +x2

2+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+ · · ·+ xn

n!

97

10. Software do prototipo

Algoritmo 10.3 Calculo de exi

resultado← 1auxiliar ← efor i = 1 to n do

if biti = 1 thenresultado← resultado× auxiliar

end ifauxiliar ← auxiliar × auxiliar

end for

que com o objectivo de poupar multiplicacoes, pode ser arranjada da seguinteforma:

ex = 1 + x(

1 + x(

1

2+ x

(

1

3!+ x

(

1

4!+ x

(

1

5!+ · · ·+ x

(

1

n!

))))))

(10.4)

A equacao 10.4 mostra claramente que para se desenvolver a serie ate a ordemn, sao necessarias apenas n multiplicacoes.

10.2.3 Calculo numerico da funcao logaritmo

A serie de Taylor nao esta definida para a funcao f(x) = log(x), no entantoesta-o para f(x) = log(1+x) e para esta funcao, o desenvolvimento e o seguinte:

log(1 + x) = x− x2

2+

x3

3− x4

4+

x5

5− · · ·+ (−1)n+1xn

n(10.5)

Para ser possıvel o calculo numerico de um logaritmo, basta fazer a seguintemudanca de variavel:

log(y) = log(1 + x)⇔ y = x + 1

ou seja, o valor de x a aplicar na equacao 10.5 sera dado por:

x = y − 1

em que y e o numero sobre o qual se pretende obter o logaritmo.Esta serie, tal como a da exponencial, converge rapidamente para valores de

y proximos de 1 (x proximo de zero), nao acontecendo o mesmo a medida que yaumenta. Mas para tornar o calculo mais facil, os numeros em vırgula flutuantesao representados na memoria do microcontrolador do seguinte modo:

y = m× 2n

em que m e a mantissa e n o expoente de base 2. Para se efectuar o calculo dologaritmo de um numero assim representado basta fazer:

log(y) = log(m) + n× log(2)

98

10.3. Actualizacao do display

em que n e um numero inteiro e log(2) e uma constante, logo o calculo resume-sea log(m), em que m ja e um numero proximo de 1.

Para que o numero de multiplicacoes seja minimizado, pode escrever-se aequacao 10.5 da seguinte forma:

log(1 + x) = x(

1− x(

1

2+ x

(

1

3− x

(

1

4+ x

(

1

5− · · ·+ (−1)n+1x

(

1

n

))))))

(10.6)

10.3 Actualizacao do display

Para a actualizacao do display e necessario, numa primeira fase, converter ovalor da temperatura (representado em vırgula flutuante) em quatro caracteresBCD, para numa segunda fase os enviar, num formato serie (bit a bit) para odisplay. O algoritmo e o 10.4.

Algoritmo 10.4 Actualizacao do display.

if temperatura < 0 or temperatura ≥ 1000 thenexit

end ifV alInt← int(temperatura× 10 + 0.5)c(4)← V alInt/1000V alInt← V alInt− (c(4)× 1000)c(3)← V alInt/100V alInt← V alInt− (c(3)× 100)c(2)← V alInt/10V alInt← V alInt− (c(3)× 10)c(1)← V alIntfor j = 1 to 4 do

for i = 1 to 4 doenvia(c(j).byte(i))envia(clock)

end forend forenvia(SinalPronto)

10.4 Controlo da temperatura do sensor quente

O controlo de temperatura do sensor quente nao e extremamente necessariopara que o prototipo funcione, no entanto optou-se por manter este sensor atemperatura constante de modo que os limites termicos impostos pelas soldadurase isolamento electrico dos condutores nao fosse acidentalmente atingido.

99

10. Software do prototipo

A tecnica utilizada foi a de controlo proporcional por colocacao de polos, jaque e uma tecnica bastante eficaz e de implementacao relativamente simples.Para a sua implementacao basta passar o modelo do sistema para a forma digitale calcular o ganho do controlador para que os polos do sistema fiquem colocadoso mais proximo possıvel da origem do plano z, sem que a saıda do controladorsature.

Supondo que o controlador tem um ganho L e que a resistencia de aquecimentotem um valor ohmico de R, o diagrama de blocos do controlador e o da figura 10.1e o algoritmo de controlo pode ser visto em 10.5. O ganho do controlador (L)

+

-

PSfrag replacements

TqAquecedor

ControladorProporcional

ADC

Treferencia

L

Figura 10.1: Diagrama de blocos do controlador do sistema de aquecimento dosensor quente.

pode ser calculado pela formula de Ackermann, desde que se conheca o modelodiscreto do sistema (Φ e Γ).

L = Γ−1 × (Φ− p) (10.7)

em que p representa o valor pretendido para o polo em malha fechada.

Algoritmo 10.5 Controlador da temperatura do sensor quente.

ler(Temperatura)erro← Treferencia − TemperaturaP ← erro× LV ←

√

P/RColoca na saıda a tensao V

O modelo do sistema de aquecimento aceita como entrada uma potencia Pque pode ser relacionada com a tensao V , se for conhecido o valor ohmico daresistencia de aquecimento. No algoritmo de controlo despresou-se o facto de ovalor ohmico da resistencia de aquecimento variar com a temperatura, no entantoo resultado nao e afectado uma vez que se pode entender este facto como umaperturbacao ao controlo, sendo corrigida pelo proprio controlador.

10.5 Controlo da temperatura do sensor frio

O diagrama de blocos do controlador por colocacao de polos com observadoresta representado na figura 10.2. Neste diagrama, as matrizes Nu e Nx fazem o

100

10.5. Controlo da temperatura do sensor frio

feed-forward da referencia, L e o ganho do controlador proporcional, as matrizesΦ, Γ, C e Ke, tal como o atraso unitario formam o observador que vai estimar ovalor das variaveis de estado.

As matrizes Φ, Γ e C sao calculadas discretizando o modelo do sistema descritono capıtulo 9 e dependem das constantes definidas no mesmo modelo, bem comodo perıodo de amostragem.

+

-

+

+

+

+ +

+

+

-

PSfrag replacements

Treferencia

TfInstalacaoL

Nu

Nx

Γ

1/z C

Controlador

Φ

Ke

Observador do estado

a4

u

a1

a2a3 a0

ADC

Figura 10.2: Diagrama de blocos do controlador do sistema de arrefecimento dosensor frio.

O ganho do controlador pode ser calculado pela formula de Ackermann, bas-tando para isso conhecer o modelo discreto do sistema (Φ, Γ e C) e o lugar dospolos em malha fechada. [Astr 90] Se os polos forem colocados em p1 e p2, aequacao caracterıstica do sistema e dada por:

P (z) = (z − p1)(z − p2) = z2 − (p1 + p2)z + p1p2

A matriz do ganho do controlador e entao dado pela equacao 10.8.

L = [0 1][Γ ΦΓ]−1P (Φ) (10.8)

em que P (Φ) = Φ2 − (p1 + p2)Φ + p1p2I.Para que o erro em regime permanente do valor estimado das variaveis de

estado seja nulo, o observador do estado do sistema tem uma realimentacao pro-porcional definida por Ke que pode ser calculada usando mais uma vez a equacaode Ackermann. A equacao caracterıstica do observador e:

Q(z) = (z − q1)(z − q2) = z2 − (q1 + q2)z + q1q2

101

10. Software do prototipo

sendo q1 e q2 os polos do observador. O ganho da realimentacao, usando a formulade Ackermann e:

Ke = [0 1][CT ΦT CT ]−1Q(ΦT ) (10.9)

As matrizes do feed-forward da referencia sao calculadas mais uma vez tendopor base o modelo discreto do sistema:

[

NxNu

]

=

[

Φ− I ΓC 0

]

−1 [

0I

]

(10.10)

Depois de calculados todos os parametros do controlador, um possıvel algo-ritmo sera o 10.6.

Algoritmo 10.6 Controlador do sistema de arrefecimento do sensor frioa0 ← 0while True do

a4 ← Treferencia ×Nx− a0

u← a4 × L + Treferencia ×Numedir(Tf)a1 ← Tf − a0 × Ca2 ← u× Γ + a1 ×Kea3 ← a2 + a0 × ΦColocar na saıda(u)a0 ← a3

end while

O significado das variaveis a0. . . a4 e u sera melhor compreendido olhandonovamente para a figura 10.2

10.6 Sumario

Neste capıtulo foram vistos os algoritmos mais importantes usados no software

do prototipo, de entre os quais se salientam os seguintes: linearizacao da ponte deWheatstone, calculo da temperatura do corpo, actualizacao do display e controloda temperatura dos sensores.

Depois de realizado todo o trabalho descrito neste capıtulo, bem como nos doisanteriores, antes de o prototipo funcionar, e necessario determinar experimental-mente o valor de algumas constantes que sao usadas nos algoritmos, assunto quesera desenvolvido no proximo capıtulo.

102

Capıtulo 11

Resultados experimentais

Depois de concluıdo o prototipo foram realizados alguns testes para a deter-minacao experimental de algumas constantes que sao necessarias para o correctofuncionamento do software, nomeadamente as constantes termicas dos modelosmatematicos de aquecimento e arrefecimento e o valor da potencia p da equacao5.4 a que as temperaturas devem ser elevadas.

Numa segunda fase e antes do teste final do prototipo, e feito um calculoteorico dos erros esperados sob determinadas circunstancias, com o objectivo deque haja uma medida objectiva do desempenho do prototipo.

No final serao descritos os resultados dum teste funcional da solucao globalbem como algumas conclusoes que se podem tirar desses resultados.

11.1 Plano de testes a efectuar ao prototipo

Os testes a efectuar ao prototipo, que serao descritos ao longo deste capıtulo,subentendem que ja foram realizados alguns testes funcionais a cada uma daspartes constituintes. Esses testes que constaram sobretudo em ver se os amplifi-cadores funcionam e se as partes opticas estao bem focadas, nao serao descritos,uma vez que podem considerar-se mais ou menos triviais. Sendo assim, seraoefectuados testes de conjunto que englobem a interligacao entre hardware e soft-

ware.

Os testes a realizar serao os seguintes:

• O primeiro teste a realizar sera o do circuito de potencia do frigıstor, como objectivo de se verificar se realmente a corrente neste dispositivo nao seanula durante o tempo em que o interruptor electronico esta desligado.

• Realizar-se-a um teste que engloba os sensores de temperatura, a sua electronicade interface e o ADC, com o objectivo de determinar as constantes a colocarno algoritmo de linearizacao da resposta das pontes de Wheatstone.

103

11. Resultados experimentais

• Com os circuitos de potencia a funcionarem e com os sensores de tem-peratura ja calibrados e linearizados, realiza-se um teste com o objectivode determinar as constantes do modelo matematico do sistema mecanico(termico) de aquecimento do sensor quente.

• Do mesmo modo que o teste anterior, realiza-se outro com o objectivo dedeterminar as constantes do modelo matematico do arrefecimento do sensorfrio.

• Depois sera a vez do teste aos sensores de radiacao, com o objectivo dedeterminar experimentalmente a constante p da equacao 5.4.

• Por fim sera realizado o teste final, com um corpo a determinada tempera-tura e com o novo pirometro a medi-la.

11.2 Teste ao circuito de potencia do frigıstor

Para o teste do circuito de potencia do frigıstor programou-se o microcontro-lador para gerar uma forma de onda com duty-cycle baixo, de modo a que fossepossıvel medir o ripple da tensao de saıda. Conforme se pode ver na figura 11.1,

PSfrag replacements

−100

−80

−60

−40

−20

0

0

20

40

60

80

40 80 120 160 200 240

mV

µs

Figura 11.1: Forma de onda do ripple da tensao aos terminais do frigıstor, comduty-cycle de cerca de 8%.

o ripple esta um pouco acima do esperado, talvez devido ao facto de o conden-sador usado ser um pouco indutivo, nao sendo o mais adequado para este tipode aplicacoes. No caso do duty-cycle de 8%, com uma tensao de alimentacao de12V , a tensao aos terminais do frigıstor e de cerca de 1V , ou seja, a corrente nofrigıstor nunca se anula, portanto o circuito serve perfeitamente.

104

11.3. Teste aos sensores de temperatura

11.3 Teste aos sensores de temperatura

Conforme foi visto, a resposta de um sensor de temperatura de platina in-serido numa ponte de Wheatstone pode ser aproximada por um polinomio dosegundo grau, sendo apenas necessaria uma experiencia para determinar os seuscoeficientes. Para os calcular substituiu-se o sensor por tres resistencias de valoresconhecidos. Os resultados estao traduzidos na tabela 11.1. A partir dos resul-

Tabela 11.1: Testes para a linearizacao das pontes de Wheatstone

Resistencia (Ω) Temperatura (K) ADC 1 ADC 2100 273.15 0 0120 324.73 538 538

129.65 349.90 787 790

tados da tabela 11.1, os coeficientes dos polinomios sao os mostrados na tabela11.2:

Tabela 11.2: Coeficientes de linearizacao das pontes de Wheatstone.

Polinomio 1 a1 = 6.6455721× 10−6 b1 = 92.288994× 10−3 c1 = 273.15Polinomio 2 a2 = 5.0969123× 10−6 b2 = 93.122173× 10−3 c2 = 273.15

Os valores calculados teoricamente estao na tabela 11.3:

Tabela 11.3: Valores calculados para os coeficientes de linearizacao das pontes deWheatstone.

Resistencia (Ω) ADC calculado Coeficientes100 0 a = 5.9223098× 10−6

120 530 b = 94.172497× 10−3

129.65 777 c = 273.15

O erro cometido ao se usar a linearizacao com os valores calculados teorica-mente, em lugar dos calculados a partir dos resultados praticos pode chegar aos2% do fim de escala, uma vez que no calculo teorico nao sao tidas em consideracaoas tolerancias das resistencias da ponte, bem como os pequenos desvios de ganhodo amplificador de instrumentacao. Usam-se portanto os valores determinadosexperimentalmente.

11.4 Constantes do modelo matematico do aque-

cimento

Com o objectivo de se controlar a temperatura a que o sensor se encontra foirealizado um teste no qual se aplicou um degrau de potencia de 5W na resistencia,

105

11. Resultados experimentais

com o objectivo de calcular as constantes do modelo. O resultado esta represen-tado no grafico da figura 11.2. Com este resultado, usando o valor da temperaturaPSfrag replacements

295300

300

305

310

315

320

325

330

335

340

0 150 450 750 900 1050 1200t(seg)

T(K)

600

Figura 11.2: Resposta do sistema de aquecimento do sensor quente a um degraude potencia de 5W .

a 63%, e possıvel determinar o valor da constante de tempo (RT × CT ). Com ovalor da temperatura em regime permanente obtem-se o valor de RT . Os valorescalculados sao de:

CT = 45.3J.s/KRT = 9K/J

O sistema de aquecimento em espaco de estados fica:

x′ = Ax + Buy = Cx + D

(11.1)

Em que x e a variavel de estado, u a entrada de potencia e y a temperaturade saıda. Olhando novamente para a equacao 9.4, comparando-a com a 11.1 edesprezando a perturbacao produzida pela temperatura ambiente, verifica-se queA = 1/(CTRT ) = 2.45× 10−3 e B = 1/CT = 22.08 × 10−3. Como a variavel desaıda corresponde a variavel de estado, C = 1 e D = 0.

Fazendo uma amostragem do sistema de aquecimento com um perıodo deh = 0.1s, o sistema discreto correspondente fica:

x′ = Φx + Γuy = Cx + D

As constantes Φ e Γ que foram calculadas usando o Scilab1 tem os seguintesvalores:

Φ = 0.9997548Γ = 2.2072× 10−3

1Software Scilab2.3.1 Copyright (C) 1989-97 INRIA

106

11.5. Constantes do modelo matematico do arrefecimento

Para que a temperatura atinja a referencia o mais rapidamente possıvel, opolo do sistema sera colocado proximo da origem do plano z, tendo sempre emconta que a saıda do controlador nao sature. Optou-se por colocar o polo noponto z = 0.999, o que da, usando a equacao 10.7, um ganho para o controladorde L = 0.34.

11.5 Constantes do modelo matematico do ar-

refecimento

Tal como no sistema de aquecimento do sensor quente, fez-se um teste ao sis-tema de arrefecimento do sensor frio, com o objectivo de se obterem as constantesdo seu modelo matematico. Para a realizacao do teste, aplicou-se ao frigıstor umdegrau de potencia igual a 1.68W (2.8V , 600mA) e o resultado foi o da figura11.3.

PSfrag replacements

284

286

288

290

292

294

296

298

0

T (K)

300 600 900 1200 1500t(seg)

Figura 11.3: Resposta do sistema de arrefecimento do sensor frio a um degrau depotencia de 1.68W .

Com este resultado, recorrendo mais uma vez ao “Scilab”, chegou-se a con-clusao de que os valores dos parametros do sistema sao:

K = 0.24RTs = 20K/JRT = 70K/JCTs = 15J.s/KRTd = 3.5K/JCTd = 120J.s/K

Com este resultado, ja e possıvel determinar o valor das matrizes da equacao

107

11. Resultados experimentais

9.13:

A =

[

−4.28× 10−3 952.38× 10−6

119.05× 10−6 −2.5× 10−3

]

B =

[

−42.67× 10−3

7.33× 10−3

]

C = [1 0] e D = 0

Se o sistema for amostrado com um perıodo de 0.1s, o sistema discreto equi-valente, representado em espaco de estados, e o seguinte:

Φ =

[

0.9995715 0.00009520.0000119 0.9997500

]

Γ =

[

−0.00426570.0007332

]

C = [1 0] e D = 0

Depois de obtido o sistema discreto, para se obterem os parametros do con-trolador, basta usar as equacoes 10.8, 10.9 e 10.10:

Se os polos do sistema em malha fechada forem colocados em 0.9995+0.0001ie 0.9995− 0.0001i, o ganho do controlador sera:

L = [0.0718575 0.8566045]

O observador pode ter um polo duplo em 0.8, fazendo com que o seu ganhoseja:

Ke =

[

0.3993216419.09297

]

O feedforward da entrada fica com os seguintes valores:

Nx =

[

1−0.2643312

]

e Nu = −0.1063467

Assim ficam determinados todos os parametros do controlador do sistema dearrefecimento do sensor frio.

11.6 Determinacao de p:

Para determinar a temperatura do corpo, com o pirometro de duas tempera-turas, tal como foi visto, e necessario processar os valores medidos pelos sensores,usando a equacao 5.4. Esta equacao tem uma constante de valor desconhecido(p) que foi determinada usando o seguinte procedimento: Colocaram-se ambos ossensores de radiacao a temperatura ambiente (300K), variou-se a temperatura docorpo de teste desde 373K ate 553K e registaram-se as curvas num grafico (figura11.4). De seguida usou-se um metodo numerico para determinar os parametrosda funcao que melhor se aproxima das curvas. Sabendo que a funcao e do tipoEc = σ∗(T p

c − 300p), obtiveram-se os seguintes parametros:

σ∗ = 1.35161× 10−10W/(m2Kp) e p = 4.39914

Ficou assim determinada a constante p a usar no algoritmo de calculo datemperatura.

108

11.7. Calculo do erro absolutoPSfrag replacements

0

50

100

150

200

250

300

350

400

400

360 380 420 440 460 480 500 520 540 560 T (K)

×1.3 × 10−12W/m2

Figura 11.4: Resposta dos sensores de radiacao em funcao da variacao da tem-peratura de um corpo negro.

11.7 Calculo do erro absoluto

Antes da realizacao do teste final ao instrumento, seria interessante calcularteoricamente o erro absoluto cometido por ele em determinadas circunstancias,para aquando da obtencao dos resultados praticos, se ter uma base solida decomparacao.

O calculo aproximado do erro absoluto do instrumento pode realizar-se deuma forma muito simples:

1. Calculam-se teoricamente os valores das conversoes analogicas digitais paracada um dos sensores de radiacao.

2. Usando os valores calculados no item anterior, calcula-se a temperatura docorpo usando a equacao 5.4.

3. De seguida supoe-se que na conversao analogica digital de um dos sensoresde radiacao existe um erro igual a 1 LSB e volta a calcular-se a temperaturado corpo.

4. O erro sera dado pelo valor absoluto da diferenca entre as duas temperaturasobtidas para o corpo.

Fazendo-se variar a vez cada uma das variaveis que condicionam o valor do erro(temperatura do corpo, temperatura do sensor quente, numero de bits do conver-sor analogico digital e emissividade) obtem-se os resultados descritos nas figuras11.5, 11.6, 11.7 e 11.8

O motivo pelo qual se calculou a precisao do modo descrito anteriormente foio seguinte: supos-se que associado a cada sensor de radiacao existe um erro de

109

11. Resultados experimentais

1/2 LSB, sendo os erros associados aos sensores de temperatura desprezados, umavez que a sua influencia no resultado final e de cerca de 100 vezes menor do queos erros dos sensores de radiacao. O valor de 100 vezes menor obtem-se fazendouma analise numerica a equacao 5.4, variando cada um dos parametros de umadeterminada percentagem e registando a percentagem da variacao do resultado.

PSfrag replacements

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

350 400 450 500 550 600 650 700 750 800

erro (K)

temperatura do corpo (K)

Figura 11.5: Erro absoluto em funcao da temperatura do corpo sobre o qual sepretende obter a medida, com o sensor quente a 330K, o sensor frio a 293K,emissividade de 0.5 e conversor analogico digital de 10 bits.

Conforme se ve no grafico da figura 11.5, o erro aumenta com a temperatura docorpo de uma forma aproximadamente linear. De acordo com as figuras 11.6, 11.7e 11.8, o erro decresce exponencialmente com a temperatura do sensor quente,com o numero de bits do conversor analogico digital e com a emissividade.

11.8 Teste final

Para o teste final do aparelho usou-se um disco de alumınio, em que metadeda sua superfıcie era preta e rugosa (com emissividade de cerca de 0.95) e a outrametade era polida (emissividade de cerca de 0.15). Aqueceu-se o disco com umaresistencia electrica e obtiveram-se os resultados traduzidos na tabela 11.4.

Com os resultados transcritos na tabela 11.4, e muito facil de calcular a tem-peratura do corpo, bastando para isso usar a equacao 5.4. Na tabela 11.5 esta oresultado do calculo, bem como o valor do erro cometido pelo aparelho.

Conforme pode ser visto na tabela 11.5, o valor do erro esta bastante acimado valor esperado, calculado teoricamente e traduzido nos graficos das figuras11.5, 11.6, 11.7 e 11.8. Depois de varias revisoes a todo o hardware e software

do prototipo, nao se encontrou nenhuma deficiencia que pudesse justificar umerro tao elevado. So por curiosidade, os valores medidos para U1 e U2 que fariam

110

11.8. Teste final

PSfrag replacements

0.5

1

1.5

2

2.5

3

320 325 330 335 340 345 350 355 360

erro (K)

Temperatura do sensor quente (K)

Figura 11.6: Erro absoluto em funcao da temperatura do sensor quente, com ocorpo a 400K, o sensor frio a 293K, emissividade de 0.5 e conversor analogicodigital de 10 bits.

PSfrag replacements

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

10 11 12 13 14

erro (K)

numero de bits

Figura 11.7: Erro absoluto em funcao do numero de bits do conversor analogicodigital, com o corpo a 400K, o sensor quente a 330K, sensor frio a 293K eemissividade de 0.5.

111

11. Resultados experimentais

PSfrag replacements

11

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

erro (K)

emissividade

Figura 11.8: Erro absoluto em funcao da emissividade da superfıcie, com o corpoa 400K, o sensor quente a 330K, o sensor frio a 293K e conversor analogicodigital de 10 bits.

com que a ultima experiencia tivesse um erro aceitavel, teriam que ser afectadosde cerca de 15 vezes o valor do bit menos significativo do conversor analogico -digital. Para os circuitos electronicos produzirem tal erro teriam que ter umaprecisao inferior a 6 bits. Partiu-se entao a procura de alguma deficiencia dateoria que pudesse justificar o erro. Chegou-se a conclusao de que o modelotraduzido pela equacao 5.4 e pela figura 5.2 nao tem em conta alguns aspectosque podem ter uma importancia fundamental no desempenho do aparelho:

1. Se se pensar no percurso da radiacao emitida pelo corpo, chega-se a con-clusao de que esta “sai” do corpo, passa por uma lente objectiva, uma parteatravessa o semi-espelho e vai ser recebida pelo sensor quente e a outra parte

Tabela 11.4: Valores medidos pelos sensores quando focados no disco de alumınio.

Lado do Temperatura U1 U2 Ts1 (K) Ts2 (K)disco do disco (K) Valor digital Valor digitalPreto 390 141 162 335 297Preto 420 217 247 335 297Preto 459 357 407 335 297Preto 503 572 651 335 297Preto 524 697 797 335 297Polido 416 31 44 343 300Polido 459 64 85 343 300Polido 503 107 142 343 300Polido 523 131 172 343 300

112

11.8. Teste final

Tabela 11.5: Valores real e calculado para a temperatura do corpo e erro cometidopelo aparelho.

Temperatura Temperatura erroreal (K) calculada (K) cometido (K)

390 453 63420 458 38459 457 2503 459 44524 456 68416 404 12459 417 42503 417 86523 419 104

e reflectida pelo semi-espelho e vai ser recebida pelo sensor frio. E o quee que acontece quando o chopper mecanico estiver fechado? A radiacaonao passa e os sensores vao ler a radiacao proveniente do chopper. Como ochopper nao e um corpo negro, tem propriedades reflectivas, e como ambosos sensores o “veem”, cada sensor vai ler parte da radiacao emitida pelooutro e reflectida pelo chopper. No caso de o chopper ser negro, nao reflectea radiacao proveniente do outro sensor mas emite ele proprio radiacao quetraduz a temperatura a que se encontra. Como esta temperatura e diferenteda dos sensores (sobretudo do quente), a medida destes vai estar errada.Uma experiencia provou que tanto num caso como no outro o erro era prati-camente o mesmo. A experiencia nao foi repetida uma vez que nao e muitofacil nem pratico alterar a emissividade do chopper.

2. Um outro aspecto que se desprezou e nao e tao pouco importante comoisso, e o facto de a medida que o corpo sobre o qual se pretende a medida setorna menos emissivo e mais reflectivo, a radiacao emitida por si e menor,no entanto, a radiacao emitida pelo mundo a sua volta vai ser reflectidaem maior quantidade, e como esta nao traduz a temperatura do corpo, vaiinduzir em erro o pirometro. Este fenomeno nao afecta os pirometros tra-dicionais ja que estes ou nao sao autocalibrados e como tal, ao utilizadorfazer a calibracao corrige tambem este aspecto, ou sao autocalibrados e oou os sensores estao a temperatura ambiente, logo de acordo com as leisde transferencia de energia entre corpos por radiacao, dois corpos a mesmatemperatura nao trocam energia. Com o sensor a temperatura ambientenao ha troca de energia entre este e o ambiente que rodeia o corpo. Pelasrazoes apresentadas aqui, este fenomeno foi sempre desprezado pelos inves-tigadores, de modo que nao foi possıvel encontrar nenhuma publicacao quese referisse a ele.

113

11. Resultados experimentais

A causa de erro descrita no item 1. pode ser compensada, uma vez quea emissividade do chopper e praticamente constante (varia muito pouco com aidade, devido a uma possıvel oxidacao ou sujidade depositada), as temperaturasdos dois sensores tambem sao e a temperatura do chopper pode ser medida, demodo a que radiacao que chega a cada sensor vinda do outro e do chopper podeser calculada, para depois ser subtraıda ao valor da radiacao vinda do corpo. Jaa causa de erro descrita no item 2. nao pode ser compensada, uma vez que naoe possıvel saber-se qual e a temperatura e ou a emissividade dos objectos querodeiam o corpo sobre o qual se pretende a medida. Para que isto seja melhorvisualizado, pode ser criado um modelo corrigido para o pirometro, tendo emconta os dois items descritos anteriormente. Tal modelo poderia ser definidoconforme mostra a figura 11.9.

PSfrag replacements

Corpo

MundoExterior

Sensor 1

Sensor 2

Chopper

Interior doInstrumento

1−εc

εc.Ac

1Am.Fm−c

1−εm

εm.Am

1Ac.Fc−a

1As1.Fa−s1

1−εs1

εs1.As1

1−εch

εch.Ach

1As2.Fa−s2

1−εs2

εs2.As2

1Ai.Fi−s1

1Ai.Fi−s2

1−εi

εi.Ai

Figura 11.9: Novo modelo do pirometro.

11.9 Teste de verificacao do novo modelo

Com o objectivo de se verificar o ajuste do novo modelo a realidade fısica,realizaram-se mais dois testes com apenas um sensor de radiacao. Num dos testesfoi apenas colocado o sensor em frente de um corpo quente, enquanto que no outroteste foi usado um tubo para conduzir a radiacao entre o corpo quente e o sensor.

11.9.1 Teste com um sensor sem tubo

Para a realizacao deste teste usou-se apenas um sensor ligado a um voltımetro.Colocaram-se o corpo de teste (com uma face polida e outra preta) e o sensora mesma temperatura (348K). Segundo a lei de transferencia de energia entrecorpos reais, a quantidade de energia que chega ao sensor, por unidade de area,vinda do corpo e igual a energia que o sensor emite por unidade de area, ja que

114

11.9. Teste de verificacao do novo modelo

Tabela 11.6: Teste efectuado com um sensor sem tubo.

face do Temperatura Temperatura Tensaocorpo do corpo do sensor medidapreta 348K 348K −135µVpolida 348K 348K −2.728mV

o corpo e o sensor estao a mesma temperatura. Como tal, o voltımetro deveriamedir zero volt. Os resultados desta experiencia estao na tabela 11.6.

A tensao medida pelo voltımetro quando o sensor esta em frente da face pretaesta proxima de zero, no entanto a tensao medida quando o sensor esta em frenteda face polida esta longe de ser zero (e cerca de vinte vezes superior a anterior).Esta discrepancia e devida a radiacao proveniente do meio ambiente, que traduzuma temperatura de cerca de 295K, ou seja, mais baixa do que a temperatura aque se encontra o sensor. Esta radiacao e reflectida pelo corpo e absorvida pelosensor. Como a face preta do corpo e pouco reflectiva, a tensao medida nesta facee baixa, enquanto que como a face polida e muito reflectiva, a tensao medida emais alta. As tensoes medidas sao negativas pelo facto de a radiacao provenientedo meio ambiente e reflectida pelo corpo traduzir uma temperatura mais baixado que a que o sensor se encontra.

Para reforcar esta ideia, repetiu-se o teste, so que desta vez foi colocado umferro quente nas proximidades do corpo, de tal modo que o sensor nao o visse.Os resultados desta nova experiencia estao na tabela 11.7.

Tabela 11.7: Teste efectuado com um sensor sem tubo e com um ferro quente nasproximidades.

face do Temperatura Temperatura Tensaocorpo do corpo do sensor medidapreta 348K 348K −80µVpolida 348K 348K −1.826mV

Comparando os resultados traduzidos na tabela 11.6 com os da tabela 11.7verifica-se que a face preta reflecte pouca radiacao proveniente do meio (e doferro quente), logo quer tenha o ferro quente quer nao tenha, a medida vai sersempre proxima de zero. No caso da face polida, tal como os resultados das duasexperiencias sugerem, nao e bem assim. Mais uma vez fica provada a grandeinfluencia da temperatura ambiente na medida da radiacao proveniente de su-perfıcies com emissividade baixa.

115

11. Resultados experimentais

11.9.2 Teste com um sensor com um tubo para conduzir

a radiacao

Com o objectivo de fazer desaparecer a influencia da radiacao provenientedo meio ambiente, usou-se um tubo entre o sensor e o corpo. Os resultadosdesta nova experiencia estao na tabela 11.8. Neste caso, mais uma vez, o valor

Tabela 11.8: Teste efectuado com um sensor com um tubo a conduzir a radiacao.

face do Temperatura Temperatura Tensaocorpo do corpo do sensor medidapreta 348K 348K −2.316mVpolida 348K 348K −3.001mV

da tensao medida pelo voltımetro nao e zero, sendo ate mais alto do que naexperiencia anterior, so que a diferenca entre os valores medidos para as facespreta e polida ja e pequena. A explicacao para o sucedido e a seguinte: Comoo sensor e o corpo estao a mesma temperatura, o sensor nao “ve” a radiacaoproveniente do corpo, medindo apenas a radiacao emitida pelo tubo (que esta atemperatura ambiente). No caso da face polida, a radiacao emitida pelo tubo emdireccao ao corpo e reflectida, chegando tambem ao sensor, traduzindo-se numligeiro aumento do valor da tensao medida para esta face. Nesta experiencia,numa segunda fase tambem se colocou o ferro quente, so que tal como era deesperar, nao houve alteracao dos resultados.

Nestas experiencias provou-se que a influencia do meio exterior se mostra ca-tastrofica quando se pretende medir a radiacao proveniente de superfıcies comemissividade baixa com sensores a trabalharem a temperaturas diferentes da am-biente. A sua compensacao aparentemente tambem nao e possıvel, uma vez queo valor da radiacao proveniente do meio, que chega ao sensor depende da emissi-vidade da propria superfıcie do corpo.

11.10 Sumario

Este capıtulo foi reservado a descricao dos testes feitos ao aparelho e seus re-sultados praticos. Ao ser realizado o teste final reparou-se que os resultados erampouco animadores. Depois de alguns meses de trabalho e muitas experiencias,das quais apenas se relatam duas, chegou-se a conclusao de que o modelo ma-tematico usado para descrever o pirometro nao era correcto, uma vez que ao setentar resolver o problema da emissividade, encontrou-se outro, para o qual ateagora nao foi encontrada solucao.

116

Capıtulo 12

Conclusao

Com esta dissertacao pretendia-se estudar a teoria da radiacao e realizar umprototipo de um aparelho capaz de medir temperaturas a distancia sem necessi-dade de calibracao. Depois de concluıdo o trabalho, verificou-se que ainda naoesta tudo esclarecido nesta area, sobretudo no que diz respeito a medir temperatu-ras de superfıcies com emissividade baixa, superfıcies essas que reflectem uma boaparte da radiacao que chega ate elas vinda do mundo exterior. O fenomeno dainfluencia da radiacao proveniente do meio ambiente na medida nuncatinha sido estudado, uma vez que os pirometros que compensam aemissividade baseados em outros princıpios de funcionamento, usamsensores de radiacao a temperatura ambiente, e a essa temperatura oefeito do meio ambiente e nulo.

12.1 Principais dificuldades sentidas durante a

realizacao do trabalho

As principais dificuldades sentidas durante o trabalho tiveram a ver sobretudocom as componentes de optica que compoe o prototipo e tambem com a teoriada radiacao que permite o seu princıpio de funcionamento.

Quanto a optica, foi muito difıcil colocar ambos os sensores no foco da lente,uma vez que isso exigia que o semi-espelho estivesse mesmo a 45o e que ambosos sensores estivessem perpendiculares. Na pratica verificou-se que bastavamdeslocamentos dos sensores de apenas alguns decimos de milımetro para que osresultados nao fossem tao bons.

Acerca da teoria da radiacao, o problema de a equacao 5.4 nao ser correctafoi muito mais difıcil de ultrapassar, ja que numa primeira fase comecou-se porsuspeitar da precisao das montagens electronicas, depois dos problemas da foca-gem da radiacao nos sensores e quando ja nao haviam mais alternativas e que secolocou a questao de haver mais qualquer coisa que interferisse nas medidas. Otrabalho realizado desde aı ate a obtencao do modelo da figura 11.9 foi moroso

117

12. Conclusao

e pouco animador, regido apenas pela ligeira esperanca de que com um novomodelo se poderia de alguma forma alcancar o objectivo inicialmente propostopara o aparelho, que era o de medir temperaturas a distancia sem a tradicionaldependencia da emissividade.

12.2 Alguns pontos de partida para futuros tra-

balhos

• O principal ponto de partida para um futuro trabalho seria, sem duvida,estudar com mais rigor o modelo da figura 11.9 com o objectivo de verse realmente e possıvel medir temperaturas a distancia independentementeda emissividade das superfıcies, usando uma tecnica similar a das duastemperaturas.

• Caso surja alguma ideia, num novo prototipo poderiam ser usadas as tecnicasavancadas de circuitos descritas no capıtulo 7.

• Outro projecto que poderia ser realizado a partir deste, seria a construcaode um circuito integrado que contivesse os sensores e toda a electronica deinterface, em que a sua saıda fosse um sinal digital proporcional ao valormedido pelos sensores, por exemplo.

Para concluir, nao e de mais salientar de que apesar de esta ser mais umaabordagem, ainda nao tem solucao um dos problemas da fısica que surgiu noinıcio do seculo XX: o da medicao da temperatura a distancia.

118

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