PROPRIEDADES DE UM GRUPÓIDE

P1 – Em um grupóide (G, ) se existir elemento neutro, este é único.

Como o resultado de uma operação é único, n1 n2 = n1 = n2.

Demonstração:Suponhamos que n1 e n2 são dois elementos de G tais que,x G, (1) n1 x = x n1 = x e, (2) n2 x = x n2 = x

Seja então n1 n2.

Se n1 é o elemento neutro,devemos ter n1 n2 = n2, de acordo com (1).

Se n2 é o elemento neutro,

devemos ter n1 n2 = n1, de acordo com (2).

Portanto o elemento neutro é único.

P2 -  Seja (G, ) um grupóide com elemento neutro n e uma operação associativa.

então

x é inversível e x1 = x2.

Se x1 G é o inverso de x à direita e x2 G é o inverso de x à esquerda

Pela definição de elemento neutro x1 = x1 n.

Demonstração:

De acordo com o enunciado, x2 é o inverso à direita n = x x2

Pode-se então escrever: x1 = x1 n = x1 (x x2).

Como é associativa, x1 = x1 n = x1 (x x2) = (x1 x ) x2.

Mas x1 x = n, pois x1 é o inverso de x à esquerda.

Portanto: x1 = x1 n

(pela definição de elemento neutro. )

= x1 (x x2) = (x1 x ) x2

= n x2 = x2

X é inversível pois o inverso à esquerda é igual ao inverso à direita.

ATENÇÃO:Um grupóide associativo

é um semi-grupo.

Aplicando o elemento inverso à direita prova-se também que y a = b tem, também, solução única.

P3 -  Sejam (G, ) um grupóide, uma operação associativa e a, b G.

Se a é inversível, com inverso a’, entãoa x = b e y a = b, têm solução única.as equações lineares

Demonstração

Mostremos inicialmente que a’ b é solução de a x = b.a x = a (a’ b) (Sendo x = a’ b, os resultados devem ser iguais.)

a (a’ b) = (a a’) b = ( é associativa, conforme enunciado.)= n b = (definição de inverso)

= b (definição de elemento neutro).

Do mesmo modo b a’ é solução de y a pois:

y a = (b a’) a = b (a’ a) = b n = b.

Com relação à unicidade da solução teremos:se x1 e x2 são soluções de a x = b, teríamos a x1 = a x2 a’ (a x1) = a’ (a x2) (a’ a) x1 = (a’ a) x2 n x1 = n x2 x1 = x2.

Nota: a demonstração não implica em que a solução de a x = b seja a mesma de y a = b sejam iguais.

EXEMPLO:

Sendo A e B as matrizes abaixo, resolver as equações: (1) A.X = B e (2) X.A = B.

A inversa da matriz A é:

(1) AX = B X = A-1.B =

(2) XA = B X = B.A-1 =

A = 3 15 2

6 49 7

B =

2 -1-5 3

A-1 =

2.6 + (-1).9 2.4 + (-1).7(-5).6 + 3.9 (-5).4 + 3.7

=3 1 3 1

6.4 + 4.(-5) 6.(-1) + 4.39.2 + 7.(-5) 9.(-1) + 7.3

= 1 6-17 12

Os resultados são diferentes.

(5) o grupóide G admite a lei do cancelamento se o cancelamento for válido para todos os elementos de G.

P4 – LEI DO CANCELAMENTO OU DO CORTE

Seja (G, ) um grupóide. Se x, y, z G, (1) x z = y z x = y, então z é cancelável à direita para Å, e(2) z x = z y x = y, então z é cancelável à esquerda para Å,(3) z é cancelável para a operação Å, se z é cancelável à direita e à esquerda.(4) os termos simplificável e regular também podem substituir a denominação cancelável.

Exemplo 1 – Em (N, +) é válida a lei do cancelamento.    3 + 5 = a + 5 a = 3

Exemplo 2 – Em (R, :) a lei do cancelamento não tem validade. 0 : 6 = 0 : 10 e 6 10.

1 - Considere a terna (Q, , *) onde as operações são definidas, respectivamente por: x y = x + y - 2 e x * y = x + y- xy/2 . Verifique se (Q, , *) é um anel comutativo com elemento unidade.

EXERCÍCIOS

Solução: devemos verificar as propriedades (1) associativa, neutro, inverso e comutativa para a operação ;(2) associativa, neutro e comutativa para*;(3) Distributividade de * em relação a .

Operação :

- Associativa:

(i) (a b) c = (a + b – 2) c = (a + b – 2) + c – 2 = a + b + c - 4

(ii) a (b c) = a ( b + c – 2) = a + (b + c – 2) – 2 = a + b + c - 4

As igualdade em (i) e (ii) comprovam a associatividade.

- Comutativa:

Provemos a comutatividade antecipadamente para evitar a verificaçãodo neutro e do inverso à esquerda e à direita.a b = a + b – 2 = b + a – 2 (comutatividade da adição) = = b a (definição de ).

Portanto, a b = b a.

- neutro (n)

(i) Por definição da operação : a n = a + n – 2.

(ii) Por definição de elemento neutro: a n = a.Comparando os resultados de (i) e (ii): a + n – 2 = a n = 2.Portanto, a operação admite elemento neutro que é: n = 2.

- Inverso (inverso de a = a’)

(i) Por definição da operação : a a’ = a + a’ – 2.

(ii) Por definição de inverso: a a’ = n.Como o neutro é igual a 2, devemos ter: a a’ = 2.Deste modo: a + a’ – 2 = 2 a’ = 4 – a. Portanto, o inverso de a, para a operação é 4 – a.

Operação *:

- Associativa(a + b - ) + c -

ab 2

(a + b - ).cab 2

2=ab

2(a * b) * c = (a + b – ) * c = (i)

= (4a + 4b + 4c – 2ab – 2ac – 2bc + abc)/4

bc 2

bc 2

(ii) a * (b * c) = a * (b + c - ) = a + (b + c - ) - a.(b + c - )

bc 2

2 =

= (4a + 4b + 4c – 2ab – 2ac – 2bc + abc)/4

A igualdade de (i) e (ii) mostra a validade da propriedade associativa.

- Neutro ou identidade (n’)

(i) a * n = a + n – an/2 (pela definição da operação)

(ii) a * n = a (pela definição de neutro)

Assim, a + n – an/2 = a n – an/2 = 0 n(1 – a/2) = 0 n = 0.

- Distributividade de * em relação a Devemos verificar se a * (b c) = (a * b) (a * c).

(i) a * (b c) = a * (b + c – 2) = a + (b + c – 2) – = a.(b + c – 2) 2

= (2a + 2b + 2c – 4 - ab + ac – 2a)/2 = (4a + 2b + 2c – 4 – ab – ac)/2 =

= (4a + 2b + 2c – ab – ac - 4)/2.

(ii) (a * b) (a * c) = ( a + b - ) (a + c - ) = ac 2

bc 2

= (a + b - ) + (a + c - ) – 2 = bc 2

ac 2

= (2a + 2b – bc)/2 + (2a + 2c – ac)/2 – 2 =

= (4a + 2b + 2c – ab – ac - 4)/2.

A igualdade de (i) e (ii) comprova a distributividade.

2 - Mostre que o grupóide (RxR, *), a operação * sendo definida por (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d) é um grupo abeliano.

Devemos provar que * é associativa, tem neutro, inverso e é comutativa.

Solução

- Associativa x * (y * z) = (x * y) * z

(a, b) * [(c, d) * (e, f)] = (a, b) * (c + e, d + f) =

= (a + c + e, b + d + f) =

= ((a + c) + e, (b + d) + f) =

(definição de *)

(definição da operação)

(associatividade da adição em R)

= [(a + c), (b + d)]* (e, f) = (definição da operação)

= [(a, b) * (c, d)] * (e, f). O que comprova a associatividade.

- Comutativa x * y = y * x

(a, b) * (c, d) = (a + c, b + d) =

= (c + a, d + b) =

= (c, d) * (a, b)

(definição da operação)

(comutatividade da adição em R)

O que comprova a comutatividade.- Neutro x * n = x

(a, b) * (n, n’) = (a + n, b + n’)

(a + n, b + n’) = (a, b) (1) a + n = a n = 0. (2) b + n’ = a n’ = 0

Portanto, (0, 0) éo elemento neutro.

(definição da operação)

- Inverso (a-1 é o inverso de a)

Por definição: a * a-1 = n , ou

(a, b) * (a-1, b-1) = (0, 0) (a + a-1, b + b-1) = (0, 0) (definição da operação)

a + a-1 = 0 a-1 = -a, e b + b-1 = 0 b-1 = -b. Portanto, (a, b) tem inverso (- a, - b).

Como foi visto, * é associativa, tem neutro, tem inverso e é comutativa.

Isto prova que: (RXR, *) é um grupo abeliano.