PROPRIEDADE E EXERCICIOS RESOLVIDOS.

Propriedades:

1. Expoente Igual a um(1).

Considerando d como se fosse qualquer numero ou o d uma letra que pode

tomar qualquer valor.

dd 1

ex:

19

19

1000

1000

19

1000

1

1

d

d

2. Expoente Maior que Um(1).

De uma forma geral tem-se:

naaan

.... ex:

8199

64444

4977

27333

25/2555

9

4

7

3

55

2

3

2

3

22

3. Expoente Igual a Zero.

Todo numero diferente de zero elevado a zero é igual a um(1).

Ex: seja a qualquer numero, temos:

1

1

1

1;0

19

2

100

0

0

0

0

aa

4. Expoente Negativo.

Sabe-se que todo numero menor que zero é negativo. Entao, 0a

Ex:

aa n

n 1

27

11

25

11

4

11

33

55

22

3

3

2

2

2

2

5. Multiplicação de potencia com mesma base.

Ex:

aaaa

aaa aaaaaaa

75252

752

Logo pode se dizer que: aaanmnm

6. Divisão de potencia com mesma base.

aaa

aa

aaaaaaaaaaa

aaa

aaaaaaaaaa

4

73

73

11

Logo pode se dizer que: aaanmnm

7. Potencia de uma potencia ou seja uma potencia elevada a um numero,

23

3

, onde 0a

Ex: ;162 44222

logo, pode se afirmar que sempre quando ti deparares com

uma situação dessas, resolverás deste modo: aapnp

n

0a

8. Potencia de um produto.

Sendo: babannn

Ex:

64

6

27

214

132

342342

2

1

2222

9. Potencia de um Quociente.

ba

b

ababa n

nn

nnn

ou

Ex: 6426423333

; 0b , nota-se que o calculo é facil apos a

modificação.

10. Potencia de um expoente fraccionario.

Podemos transformar uma potencia de um expoente fraccionario numa raiz,

tendo em vista que a lei de potenciação nos obriga.

;nm

n

m

aa 0n

Ex: 222423

2

3

22 ;note que não é quase certo escrever a raiz quadrada

de um numero desta maneira, 2 a ,mas o caso deve-se ao facil entendimento do

calculo de acordo com a lei acima.

11. Potencia de uma raiz.

Elevando um radical a uma dada potência, estamos a obter o mesmo resultado

que obteríamos se elevássemos apenas o seu radicando a esta mesma potência.

nm

m

aan ; 0,0 na

Ex: 335

5

1643 44

IDENTIDADES NOTAVEIS.

1. Quadrado da Soma – baba ab222

2

2. Quadrado da Diferença – baba ab222

2

3. Diferença de Quadrados – bababa 22

4. Cubo da Soma – bbaaba ab32233

33

5. Cubo da Diferença – bbaaba ab32233

33

6. Soma de Cubos – baba abba2233

REGRA DE DERIVAÇÃO NOS DIVERSOS TIPOS DE FUNÇÕES:

1. Derivada de uma Potencia.

Exemplo:

1)´()(

)´()(

)´()(

0111

334

23

1

8242

3

xxx

xxx

xx

xfxf

xfxf

xfxf

Se

Xnxnn

xfxf

1

)´()(

2. Derivada de uma Raiz.

Exemplo:

32

3

3

1)´()(

2

1)´()(

xxfxxf

xxfxxf

Derivada de uma Função Trigonometrica.

Se

nn

n

xn

xfxxf1

1)´()(

Função. Derivada. Resultado.

Senxxf )( ́)´( senxxf xcos

Cosxxf )( ́cos)´( xxf senx

Tgxxf )( ́)´( tgxxf

xcos2

1

Cotgxxf )( ́cot)´( gxxf

xsen2

1

Derivada de Funções exponencial e logarítmica.

Derivada de uma Função Trigonometrica Inversa.

Função. Derivada. Resultado.

xxf ln)( ́ln)´( xxf x

1

xxfa

log)( ́)´( log xxfa

ax ln

1

ex

xf )( ́)´( ex

xf ex

ax

xf )( ́)´( ax

xf aaxln

Função. F(x) inversa. Derivada.

senxxf )( arcSenxxf )(

xxf

21

1)´(

Cosxxf )( arcCosxxf )(

x2

1

1

Tgxxf )( arctgxxf )(

x2

1

1

Cotgxxf )( arcCotgxxf )(

x2

1

1

Operação com Derivadas.

Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no ponto xO e C (uma constante).

FUNÇÃO DERIVADA RESULTADO

C

(C)´

ZERO

C*f(x)

[C*f(x)]´ C*f(x)

f(x) ± g(x) [f(x) ± g(x)]´ f´(x) ± g´(x)

f(x)*g(x) [f(x)*g(x)]´ f´(x)*g(x)+f(x)*g´(x)

f(x)÷g(x)

)(

)(´

xg

xf )(

2

)´(*)()(*)´(

xg

xgxfxgxf

Exercicios Resolvidos de Potencias:

1. Calcule: 62?

Resol: de acordo com a lei,

aa n

n 1

.

36

1

1

66 2

2

2. Calcule menos seis elevado à quarta potência?

Resol: 12966666 6644

Note, que a potência foi escrita assim, (-6)4 , e não assim, -64. Isto porque se

não tivéssemos este cuidado, apenas o 6 é que seria elevado à quarta potência.

3. Calcule 2435810125

?

Resol: 5,327472435810125

De acordo com as leis acima conclui-se que o resultado deste calculo é 32747,5

4. Ache o valor de 432

e 43

2

?

Resol:

Para o primeiro caso, o quatro esta elevado a 3 e o 3 ao quadrado.

4493

2

Para o segundo caso, o quatro ao cubo esta elevado a 2 ou seja ao quadrado.

40963 64422

5. Quais os resultados de 771113

e 2254

?

Resol:

Caso 1: 7777772111311131113

Caso 2: 222222545454

6. Calcule 4 58

?

Resol: 254 48

8

55

Note que, se recorrermos a lei de potencia de uma raiz podemos

facilmente resolver este problema.

7. Determine: 3

1

3

2

7 ?

Resol: 4933

1

1

3

1

7777 3

2

3

2

3

2

3

1

3

2

8. Determine: 8

3 3

81

1478 3 ?

Resol:

53

3732

3

373

81

14783

3

84

23 33

8

3 3

32

3

7323

9. Extraia a raiz cúbica de 3375 pelo método da fatorização ?

Resol: 153375 33333 5353

Nota: é importante decompor a raiz em factores capazes de facilitar o

calculo.

10. Simplifique a raiz e determine o valor da expressão 33214

1075 ?

Resol: 33

32

314

33214

10751075

A primeira raiz a divisão de 14 por 3 terá como quociente 4 e resto 2, então a

raiz simplificada será: 3324

2562555

A segunda raiz não iremos simplificar, porque o expoente do radicando é menor

que o índice da raiz, além de serem primos entre si. Se houvesse um divisor

comum maior que 1, iríamos dividi-los por este divisor;

Para o ultimo caso, como o expoente é igual ao próprio índice, teremos como

fator apenas o 10.

1025625 3233

33

23

14

71075

Curiosidades da exponenciação:

1. Apanhe porque que: 1

0a .

Sendo: 0a ; por ex: aaanmnm

; então se dizermos que m=n logo:

a

aaaaaa

mm

mmmm

0

0

1

é deste modo que-se chegou a cinclusão de que

10a

2. Apanhe porque que: aa 1

.

Sendo: 0a ; ex: aaanmnm

; então se considerarmos que m=n+1 logo:

aa

aaa

aaann

nnnn

1

11

11

3. Apanhe porque que:

aa n

n 1

.

Sendo:

aa

aaa

aan

n

n

nnm

1

0

0

assim concluimos de que:

aa n

n 1