proposições simples e compostas

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Proposições simples e compostas Proposições simples Observe as seguintes sentenças: Os gatos não voam. Como é o seu nome? Saia já daqui! Não se esqueça de estudar. Que dia lindo! Embora todas as sentenças anteriores façam parte da nossa linguagem usual, aqui estamos interessados apenas naquelas que possam ser classifica- das em verdadeiras ou falsas. As sentenças que admitem tal classificação são chamadas de sentenças declarativas. Entre as sentenças citadas, somente a primeira delas (“Os gatos não voam”) pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Para as demais, não faz muito sentido classificá-las dessa forma. Quando uma sentença é verdadeira, dizemos que seu valor lógico é ver- dadeiro (V), e quando é falsa, que seu valor lógico é falso (F). A definição de proposição considera apenas um desses dois possíveis valores:

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Page 1: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Proposições simplesObserve as seguintes sentenças:

Os gatos não voam.

Como é o seu nome?

Saia já daqui!

Não se esqueça de estudar.

Que dia lindo!

Embora todas as sentenças anteriores façam parte da nossa linguagemusual, aqui estamos interessados apenas naquelas que possam ser classifica-das em verdadeiras ou falsas. As sentenças que admitem tal classificação sãochamadas de sentenças declarativas.

Entre as sentenças citadas, somente a primeira delas (“Os gatos nãovoam”) pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Para as demais, não fazmuito sentido classificá-las dessa forma.

Quando uma sentença é verdadeira, dizemos que seu valor lógico é ver-dadeiro (V), e quando é falsa, que seu valor lógico é falso (F). A definição deproposição considera apenas um desses dois possíveis valores:

Uma proposição é uma sentença declarativa que admite um e somenteum dos dois valores lógicos – V ou F.

Observe alguns exemplos de proposições:

Curitiba é a capital do Paraná.

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Proposições simples e compostas

É uma proposição cujo valor lógico é V.

Todos os animais são mamíferos.

É uma proposição cujo valor lógico é F.

Quero mais café!

Traduz um desejo. Logo, não é uma proposição e, portanto, não pode-mos atribuir um valor lógico.

3+4=7

É uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro.

1>2

É uma proposição cujo valor lógico é falso.

7–2

Não é uma proposição. Não se pode atribuir valor lógico à sentença.

x>3

Não é uma proposição, pois não é possível verificar a veracidade, umavez que não se conhece o valor da variável x. Trata-se de uma sentençaaberta.

Ele é médico.

Não é uma proposição, pois a palavra “ele” não esclarece de quem sefala e, portanto, não se pode atribuir valor lógico à declaração.

Ana é fisioterapeuta.

É uma proposição, pois declara especificamente a profissão de Ana e,portanto, pode ser classificada ou em verdadeira ou em falsa.

Você gosta de quiabo?

Trata-se de uma sentença interrogativa. Logo, não é uma proposição,pois não pode ser classificada em verdadeira ou falsa.

Page 3: Proposições Simples e Compostas

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Page 4: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Paradoxos

Existem proposições, entretanto, chamadas de paradoxos, que não admi-

tem um único valor lógico, apesar de serem declarativas. Segundo o dicio-nário Aurélio, paradoxo é um conceito que é ou que parece contraditório aocomum; contra-senso, absurdo ou disparate. Ele reflete a impossibilidade daexistência simultânea de duas situações.

Exemplo 1:

Observe a sentença:

Essa sentença é falsa.

A frase anterior é verdadeira ou é falsa?

Vamos tentar classificá-la em apenas um dos valores possíveis. Se a fraseanterior for verdadeira, a conclusão é de que ela é falsa, pois isso é o queafirma a própria sentença. Se a frase for falsa, a conclusão é de que ela é ver-dadeira, pois isso contraria a própria sentença. As conclusões são:

A frase é falsa se, e somente se, ela é verdadeira.

A frase é verdadeira se, e somente se, ela é falsa.

Estamos diante de um paradoxo, pois a sentença não pode ser verdadei-ra e falsa simultaneamente. Tais paradoxos não se limitam apenas à Lógica,estando presentes na Química, Física, Matemática, Filosofia e outras áreas doconhecimento.

Exemplo 2:

Se João afirma:

– Sou mentiroso!

Essa declaração seria verdadeira ou falsa? Em outras palavras, João é ounão mentiroso?

Analisando a frase, consideramos duas hipóteses: ou a frase é verdadeiraou é falsa.

Page 5: Proposições Simples e Compostas

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Page 6: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Se a frase for verdadeira, então é verdadeiro de que João é mentiroso,

pois

isso foi o que ele disse. Entretanto, se João fosse realmente mentiroso, jamaisdiria que é mentiroso, pois, nesse caso, a declaração seria verdadeira e seriacontraditória com a frase que foi proferida.

Se a frase for falsa, então é falso de que João é mentiroso, ou seja, é verda-

deiro que João não é mentiroso. Por outro lado, se João não fosse mentiroso,então não deveria mentir. Deveria dizer a verdade. E a verdade seria a deque ele não é mentiroso. Assim, ao dizer a frase “Sou mentiroso”, João estarianovamente se contrariando.

Em qualquer uma das hipóteses levantadas, chega-se a uma contradição.

Essa é outra situação que nos remete a um paradoxo.

Negação

Estudamos anteriormente que uma proposição pode ser classificada

em

apenas um dos dois valores lógicos – V ou F. A negação de uma proposição éutilizada para alterar seu valor lógico, dando ideia contrária.

Assim, se p é uma proposição verdadeira, a negação de p, indicada por

~p, é uma proposição falsa. Da mesma forma, se p é uma proposição falsa,~p é uma proposição verdadeira.

A próxima tabela é conhecida como tabela-verdade. Ela relaciona umaproposição com a respectiva negação:

Page 7: Proposições Simples e Compostas

p ~p

V F

F V

Exemplos:

A Alemanha é um país europeu.

Proposição p cujo valor lógico é V.

A Alemanha não é um país europeu.

Proposição ~p cujo valor lógico é F.

É falso que a Alemanha é um país europeu.

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Page 8: Proposições Simples e Compostas

p ~p ~(~p)V F V

F V F

Proposições simples e compostas

Proposição ~p cujo valor lógico é F.

Não é verdade que a Alemanha é um país europeu.

Proposição ~p cujo valor lógico é F.

Observação 1:

A negação de uma proposição indica sempre uma ideia contrária, demodo que se uma é verdadeira, a outra é falsa, e vice-versa. Entretanto, éimportante entender que a negação não vai simplesmente indicar algodiferente.

Por exemplo, na proposição:

p: Artur viaja nos finais de semana.

Não é correto dizer que a negação dessa proposição seja ~p: Artur viajaem dias de semana, pois nada se pode concluir sobre se Artur viaja ou não emdias de semana.

A negação correta de p é:

~p : Artur não viaja nos finais de semana.

Observação 2:

Considere a proposição p: Está chovendo. A negação de p é ~p: Não estáchovendo. Qual seria a proposição correspondente à negação da negação dep, ou seja, ~(~p)?

A negação da negação de p afirma o mesmo que p, observe:

p: Está chovendo.

~p: Não está chovendo.

~(~p): Não é verdade que não está chovendo, o que equivale a estáchovendo.

Em outras palavras, a proposição ~(~p) é logicamente equivalente a p.Simbolicamente, escreve-se ~(~p) p.

Equivalentes15

Page 9: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Na Língua Portuguesa é comum usarmos uma dupla negação no

sentido

de reforçar ou enfatizar uma ideia. Por exemplo, quando uma pessoa diz “nãovou fazer nada”, normalmente ela está querendo dizer que nada será feito.Por outro lado, quando estudamos essa sentença por meio da Lógica, cons-tatamos que, na verdade, essa pessoa está dizendo “vou fazer algo”.

O quadro seguinte justifica o raciocínio:

Proposição p: “Vou fazer algo.”

Proposição ~p: “Vou fazer nada.”

Proposição ~(~p) : “Não vou fazer nada.”

A conclusão é a de que como p é equivalente a ~(~p), “vou fazer algo” é

equivalente a “não vou fazer nada”.

Para evitar problemas no uso das proposições de dupla negação, pode-

mos substituí-las por outras que talvez não darão a ênfase que se pretende,mas que serão logicamente corretas. Assim, em vez de dizermos “não voufazer nada”, podemos dizer “não vou fazer coisa alguma”.

Da mesma forma, em vez de dizer “não tenho nada a declarar”, o que na

Lógica corresponde a “tenho algo a declarar”, diga “nada tenho a declarar”que você estará transmitindo a ideia de que nada será declarado.

Em Lógica, quando uma pessoa diz “não quero nada”, significa que ela

quer alguma coisa. Para expressar melhor a ideia que ela desejava transmitir– a de que nada quer – seria melhor dizer “não quero coisa alguma”.

Observação 3:

Page 10: Proposições Simples e Compostas

O símbolo que indica a negação de uma determinada proposição podetambém ser representado por “ ”. Assim, a negação de uma proposição ppode ser representada por “~p” ou “¬ p”.

Negação e conjunto complementar

A negação de uma proposição está relacionada ao complementar de

um

dado conjunto. Dado um conjunto U (universo) e sendo A um subconjuntode U, o complementar de A em relação a U é representado e definido por:

Ac = U – A = {x/ x U e x A}16

Page 11: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

U

A AC

Exemplo 1:

Considere a propriedade:

p: gostar de gatos

Conjunto U formado por todas as pessoas:

U = {x/ x é uma pessoa}

Conjunto A das pessoas que têm a propriedade p:

A = {x/ x é uma pessoa que gosta de gatos}

Conjunto Ac das pessoas que têm a propriedade ~p:

Ac = {x/ x é uma pessoa que não gosta de gatos}

ou

Ac = {x/ x U e x A}

Exemplo 2:

Considerando a propriedade p: ser alegre

Conjunto A das pessoas que possuem a propriedade p:

A = {x/ x é uma pessoa alegre}

Conjunto Ac das pessoas que possuem a propriedade ~p:

Ac = {x/ x não é uma pessoa alegre}

Proposições compostasEm nossa comunicação diária, frequentemente utilizamos mais de uma

declaração objetivando criar uma ideia mais complexa. Da mesma forma, emLógica, duas ou mais proposições podem ser associadas (ou interligadas) for-mando uma proposição composta.

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Page 12: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

As proposições que compõem uma proposição composta são

chamadas

de proposições simples. Essas proposições simples são interligadas por meiode conectivos (e/ou) para formar as proposições compostas. Observe algunsexemplos de proposições compostas:

Amanhã é sábado e Anselmo é professor.

Proposição simples: Amanhã é sábado.

Conectivo: e

Proposição simples: Anselmo é professor.

Artur é bondoso ou irresponsável.

Proposição simples: Artur é bondoso.

Conectivo: ou

Proposição simples: Artur é irresponsável.

Cada proposição composta tem também um valor lógico que podeser verdadeiro ou falso. Esse valor lógico será determinado pelo valor lógicode cada uma das proposições simples componentes e pelo conectivo utiliza-do para interligar essas proposições simples.

Conectivo “e”

O conectivo “e” será utilizado sempre para dar uma ideia de

simultanei-

dade.

Considere as seguintes proposições simples:

p: José completou 20 anos.

q: José não sabe dirigir.

Interligando as proposições através do conectivo “e” podemos obter aproposição composta p q:

Page 13: Proposições Simples e Compostas

p q: José completou 20 anos e não sabe dirigir.

A proposição composta p q pode ser lida “p e q”.

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Page 14: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

A última declaração significa que tanto José completou 20 anos quanto

José não sabe dirigir. O conectivo “e” indica que ambas as situações estãoocorrendo simultaneamente.

Quando duas proposições simples são interligadas por meio do conecti-vo “e”, a proposição composta será denominada conjunção. A conjunção dasproposições simples p e q será representada por p q.

Uma conjunção p q é verdadeira apenas quando p e q são verdadeiras.Caso uma das proposições simples seja falsa ou as duas sejam falsas, a propo-sição composta p q será falsa.

Observe alguns exemplos de conjunções:

O Brasil é banhado pelo Oceano Atlântico e não faz divisa com a Argen-tina.

Essa conjunção tem o valor lógico F, pois a primeira proposição é ver-dadeira e a segunda é falsa.

A leitura estimula o pensamento e 10 é múltiplo de 5.

Essa conjunção tem valor lógico V, pois ambas as proposições compo-nentes são verdadeiras.

São Paulo fica no nordeste brasileiro e o fumo pode causar câncer.

A proposição composta é falsa, pois a primeira proposição simples éfalsa.

5 – 2 3 e todo número inteiro é positivo.

A proposição composta é falsa, pois ambas as proposições componen-tes são falsas.

A tabela a seguir, conhecida como tabela-verdade da proposição com-posta, apresenta todos os possíveis valores lógicos e permite determinar ovalor lógico da proposição composta a partir dos valores lógicos das propo-sições simples componentes.

Page 15: Proposições Simples e Compostas

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Page 16: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Observe que a proposição composta p q é verdadeira apenas no casode p e q serem verdadeiras. Nos demais casos, p q é falsa.

Conjunção e intersecção de conjuntos

Tendo em vista que o conectivo “e” é usado na ocorrência de

acontecimen-

tos simultâneos, o símbolo (conjunção) pode ser usado para definir a inter-secção de dois conjuntos. Isso ocorre porque a intersecção dos conjuntos A e Bé o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A eB. Como cada um dos conjuntos pode ser definido a partir de uma proprieda-de característica (ou proposição) que seus elementos possuem, ter ambas aspropriedades significa pertencer aos dois conjuntos simultaneamente.

A B

Page 17: Proposições Simples e Compostas

p q pq

V V V

V F F

F V F

F F F

A B

A B={x / xЄA ^ xЄB}

Exemplo 1:

Observe a relação existente entre uma conjunção e a intersecção de dois

conjuntos.

Considere as propriedades p e q:

p: ler revistas

q: morar em Brasília

20

Page 18: Proposições Simples e Compostas

1 2 7

Proposições simples e compostas

Conjunto A das pessoas que têm a propriedade p:

A = {x/ x é uma pessoa leitora de revistas}

Conjunto B das pessoas que têm a propriedade q:

B = {x/ x é uma pessoa moradora de Brasília}

Conjunto A B das pessoas que têm a propriedade p ^ q:

A B = {x/ x é uma pessoa leitora de revistas e moradora de Brasília}

ou

A B = {x / x A x B}

Exemplo 2:

Sendo A= {1;2;5} e B= {2; 5; 7; 8}, obtenha A B:

A B= {1;2;5} {2; 5; 7; 8}

A B= {2; 5}

Elementos de A e de B

A B

5 8

25 A B

Conectivo “ou”

A palavra “ou”, em Lógica, pode ser utilizada em dois sentidos distintos: no

sentido inclusivo ou no sentido exclusivo.

Sentido inclusivo do “ou”

Na linguagem usual, quando utilizamos a palavra “ou” normalmente que-

remos nos referir a acontecimentos exclusivos, ou seja, acontecimentos emque quando um ocorre, o outro não ocorre. A exclusividade reside no fato deapenas um deles ocorrer.

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Page 19: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Em Lógica, entretanto, o conectivo “ou”, ocorrendo uma única vez na

pro-posição composta, será utilizado no sentido de inclusão. A inclusão abrangeas possibilidades em que pelo menos uma das proposições simples ocorre– podendo ocorrer as duas.

Para exemplificar, observe as seguintes proposições simples:

p: Pedro é alto.

q: Pedro joga basquete.

Interligando-as por meio do conectivo “ou” podemos obter a

proposiçãocomposta p q:

p q: Pedro é alto ou joga basquete.

A proposição composta p q é lida p ou q.

O que se pretende dizer é que Pedro é alto, ou Pedro joga basquete,

ouPedro é alto e joga basquete. Nada impede que Pedro, ao mesmo tempo,seja alto e jogue basquete.

Portanto, o conectivo “ou” está sendo utilizado no sentido inclusivo

(pelomenos um ocorre), e não no exclusivo (só um deles ocorre).

Quando duas proposições simples são interligadas por meio do

conecti-vo “ou”, a proposição composta será denominada disjunção. A disjunção dep e q será representada por p q.

Quando uma disjunção será falsa?

Uma disjunção p q será falsa apenas no caso de p e q serem ambas falsas.

Caso uma das proposições simples seja verdadeira ou as duas sejam verdadei-ras, a proposição composta p q será verdadeira.

Page 20: Proposições Simples e Compostas

Observe alguns exemplos de disjunções:

Uma semana tem 8 dias ou o esporte mais praticado na Venezuela é

obeisebol.

Essa disjunção tem o valor lógico V, pois a segunda proposição éverdadeira.

Roma é a capital italiana ou 7 . 6 = 42.

Essa disjunção tem valor lógico V, pois ambas as proposições

componen-tes são verdadeiras.

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Page 21: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

5 > 2 ou o mês de abril tem 31 dias.

A proposição composta é verdadeira, pois a primeira proposição éverdadeira.

O elefante é o maior mamífero ou um hexágono é um polígono com novelados.

A proposição composta é falsa, pois ambas as proposições componentessão falsas.

A seguir temos a tabela-verdade da proposição composta, apresentandotodos os possíveis valores lógicos da proposição composta a partir dos valo-res lógicos das proposições simples componentes.

Observe que a proposição composta p q é falsa apenas no caso de p e qserem falsas. Nos demais casos, p q é verdadeira.

Sentido exclusivo do “ou”

O conectivo “ou” pode ser utilizado também no sentido exclusivo. Nesse

caso, é necessário que seja utilizado mais de uma vez. Para exemplificar, con-

Page 22: Proposições Simples e Compostas

p q pq

V V V

V F V

F V V

F F F

sidere as seguintes proposições compostas:

p: caso

q: compro uma bicicleta

A proposição composta contendo um “ou” exclusivo será representadapor p q e terá a seguinte forma:

p q: ou caso ou compro uma bicicleta

O que se pretende dizer é “ou caso”, “ou compro uma bicicleta”, mas nãoambos. Portanto, é no sentido exclusivo (só um deles ocorre), e não no inclu-sivo (pelo menos um deles ocorre), que o conectivo “ou” foi utilizado nessecaso. Assim, quando o “ou” é utilizado na forma “ou p ou q”, significa queapenas uma das proposições deve ser verdadeira, e não as duas.

23

Page 23: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

A tabela-verdade de uma proposição composta contendo o conectivo

“ou” exclusivo apresenta os seguintes valores lógicos:

Observe que a proposição composta p q é verdadeira apenas quandouma proposição simples é verdadeira e a outra é falsa. Quando as duas pro-posições simples forem verdadeiras ou as duas forem falsas, a proposiçãocomposta será falsa.

Disjunção inclusiva e união de conjuntos

Podemos associar o conceito de disjunção inclusiva de proposições à

definição de união de conjuntos. A associação é possível porque o conjuntoA B é formado pelos elementos que pertencem a A ou B (ou ambos). Comocada um dos conjuntos pode ser também definido através de uma proprie-dade característica de seus elementos (ou proposição), o símbolo (disjun-ção) pode ser usado para definir a união de dois conjuntos.

A B

Page 24: Proposições Simples e Compostas

p q pq

V V F

V F V

F V V

F F F

A B

A B = {x / xЄA xЄB}

Exemplo 1:

Considere as propriedades p e q:

p: beber refrigerante

q: praticar triátlon

Conjunto A das pessoas que têm a propriedade p:

A = {x/ x é uma pessoa que bebe refrigerante}

24

Page 25: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Conjunto B das pessoas que têm a propriedade q:

B = {x/ x é uma pessoa que pratica triátlon}

Conjunto A B das pessoas que têm a propriedade p q:

A B = {x/ x é uma pessoa que bebe refrigerante ou pratica triátlon}

ou

A B = { x / x A x B}

Exemplo 2:

Sendo A = {1; 2; 5} e B = {7; 8; 9}, obtenha A B:

A B = {1; 2; 5} {7; 8; 9}

A B = {1; 2; 5; 7; 8; 9}

Elementos de A ou de B

Observe que todos os elementos de A e todos os elementos de B estãoem A B:

A B1 7 8

5 9

1 25

79 8 A B

Disjunção exclusiva e diferença simétrica

A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é definida e representada

por:

A B = (A B) – (A B)

ou

A B = (A – B) (B – A)

Page 26: Proposições Simples e Compostas

2

25

Page 27: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

A B

A∆B

Observe na ilustração que os elementos que constituem a diferença si-

métrica são formados pelos elementos que são ou exclusivos de A ou exclu-sivos de B.

Como o conjunto resultante da diferença simétrica entre os conjuntos

A e

B é formado apenas pelos elementos exclusivos, sejam pertencentes apenasa A, sejam pertencentes apenas a B, o conectivo “ou” exclusivo está relacio-nado a essa operação.

Exemplo 1:

Considere as propriedades p e q:

p: ler livros

q: ir a teatros

Conjunto A das pessoas que têm a propriedade p:

A = {x/ x é uma pessoa que lê livros}

Conjunto B das pessoas que têm a propriedade q:

B = {x/ x é uma pessoa que vai a teatros}

Conjunto A B das pessoas que têm a propriedade p q (ou p ou q):

A B = {x/ (x lê livros e não vai a teatros) ou (x não lê livros e vai a tea-tros)}

Page 28: Proposições Simples e Compostas

ou

A B = {x / (x A x B) (x A x B)}

Exemplo 2:

Considere as propriedades p e q:

p: estudar

26

Page 29: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

q: passear

Conjunto A das pessoas que têm a propriedade p:

A = {x/ x é uma pessoa que estuda}

Conjunto B das pessoas que têm a propriedade q:

B = {x/ x é uma pessoa que passeia}

Conjunto A B das pessoas que têm a propriedade p q (ou p ou q):

A B = {x/ x estuda ou x passeia, mas não ambos}

ou

A B = {x / (x (A B)) (x (A B))}

Tabelas-verdade

As tabelas-verdade apresentam todos os valores lógicos possíveis das

proposições compostas a partir dos valores lógicos das proposições simplescomponentes e dos conectivos utilizados.

Para proposições compostas não extensas e com poucos conectivos,podemos encontrar o valor lógico resultante de forma quase imediata. En-tretanto, à medida que aumenta a complexidade da proposição composta,com mais proposições simples e mais conectivos, cada vez mais as tabelas--verdade tornam-se úteis na determinação de valores lógicos.

As tabelas-verdade constituem-se, portanto, numa forma sistemática eorganizada de obter o valor lógico de uma proposição composta para cadauma das combinações possíveis dos valores lógicos das proposições simplescomponentes.

Construção da tabela-verdade

Para a construção de tabelas-verdade é imprescindível o conhecimen-

to dos valores lógicos de proposições compostas. Nos próximos exemplosconstruiremos algumas tabelas-verdade:

Exemplo 1:

27

Page 30: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Construir a tabela-verdade da proposição composta p ~q:

Nas duas primeiras colunas, foram dispostas todas as possíveis combina-

ções de valores lógicos de p e q.

A terceira coluna apresenta valores lógicos contrários aos da segundacoluna, pois ~q tem valor lógico contrário a q.

Page 31: Proposições Simples e Compostas

Para determinar os valores lógicos da última coluna, foram utilizados os

valores lógicos da primeira e da terceira colunas por meio do conectivo .

Na primeira linha, p ~q tem valor lógico V, pois p tem valor V e ~q tem

valor F. Os resultados das demais linhas podem ser obtidos da mesma manei-ra. Fica claro que, para construir a tabela-verdade, é imprescindível dominaras regras lógicas dos conectivos “e” e “ou”, e da negação de uma proposição.

Exemplo 2:

Construir a tabela-verdade da proposição composta ~p ~q:

Page 32: Proposições Simples e Compostas

p q ~p ~q ~p∧~qV V

V FF VF F

p q ~q p~qV VV FF VF F

p q ~q p~qV V FV F VF V FF F V

p q ~q p~qV V F VV F V VF V F FF F V V

Nas duas primeiras colunas, foram dispostas todas as possíveis combina-

ções de valores lógicos de p e q.

28

Page 33: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

A terceira coluna apresenta valores lógicos contrários aos da primeiracoluna, pois ~p tem valor lógico contrário a p. A quarta coluna foi construídaanalogamente com os valores lógicos contrários aos da segunda coluna:

Para determinar os valores lógicos da quinta coluna, foram utilizados osvalores lógicos da terceira e da quarta colunas por meio do conectivo .

Na primeira linha, ~p ~q tem valor lógico F, pois ~p tem valor F e ~q temvalor F. Na segunda coluna, ~p ~q tem valor lógico F, pois ~p tem valor F e~q tem valor lógico V. Os resultados das duas últimas linhas podem ser obti-dos da mesma maneira.

Número total de linhas de uma tabela-verdade

A tabela-verdade construída anteriormente tem quatro linhas, pois a pro-

posição p ~q é formada por duas proposições (p e q), cada uma apresen-tando dois valores lógicos possíveis (V ou F). Logo, basta fazer 2 . 2 = 4 para

Page 34: Proposições Simples e Compostas

p q ~p ~q ~p∧~qV V F F

V F F V

F V V F

F F V V

p q ~p ~q ~p∧~qV V F F F

V F F V FF V V F FF F V V V

encontrar o número total de linhas dessa tabela-verdade. Caso existissemtrês proposições (p, q e r), a tabela-verdade seria formada por oito linhas, pois2 . 2 . 2 = 8 possibilidades.

Em geral, para uma proposição composta com n proposições simples, atabela-verdade será formada por 2n linhas.

Exemplo:

Quantas linhas tem a tabela-verdade da proposição (p q) ~r?

29

Page 35: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

30

Page 36: Proposições Simples e Compostas

p q r ~r pq (pq)~rV V V F V VV V F V V VV F V F F FV F F V F VF V V F F FF V F V F VF F V F F FF F F V F V

p ~p p∨~pV F V

F V V

A proposição composta possui 3 proposições simples. Logo, a tabela-ver-

dade possuirá 23 = 8 linhas.

Proposições especiais

Existem

proposições

que

merecem

atenção

especial

pelas

característic

as

que apresentam. São elas: a proposição tautológica, a proposição

contradi-tória e a proposição contingencial.

Tautologia

Analise a seguinte proposição:

Paulo é dentista ou não é dentista.

Qual o valor lógico dessa proposição?

As sentenças “Paulo é dentista” e “Paulo não é dentista” são contraditórias.

Isso significa que, se uma for verdadeira, a outra será falsa. Não é possível queambas sejam verdadeiras, nem que ambas sejam falsas. Por isso, independen-temente de quem seja Paulo e de qual seja a real profissão dele, a proposição“Paulo é dentista ou não é dentista” deve ser necessariamente verdadeira.

Uma proposição composta que apresenta sempre o valor lógico V, inde-pendente dos valores lógicos das suas proposições simples componentes, édenominada tautologia ou proposição tautológica.

Considerando p: Paulo é dentista e ~p: Paulo não é dentista, observe como

podemos construir a tabela-verdade da proposição composta p ~p:

Tautologia

Page 37: Proposições Simples e Compostas

p ~p p~pV F F

F V F

Proposições simples e compostas

Essa tabela-verdade tem apenas duas linhas, pois existe apenas uma

única proposição simples que é p. A primeira coluna da tabela apresenta osdois valores possíveis para p. A segunda coluna mostra os valores lógicoscontrários, pois ~p é a negação de p. E a última coluna é a disjunção entre asproposições p e ~p.

Portanto, a proposição p ~p é um exemplo de tautologia ou proposiçãotautológica. As afirmações “amanhã vai chover ou não vai” e “x A ou x A”são exemplos de tautologias, pois ambas têm sempre o valor lógico V.

Contradição

Sendo p uma proposição lógica, vamos construir a tabela-verdade da pro-

posição composta p ~p:

Contradição

Essa tabela tem apenas duas linhas e as duas primeiras colunas contêm osdois valores possíveis para a proposição lógica p. A última coluna tem comoresultado a conjunção entre os valores lógicos das duas primeiras colunas.Observe que a última coluna é formada apenas pelo valor F.

Uma proposição composta que apresenta sempre o valor lógico F, inde-pendente dos valores lógicos das suas proposições simples componentes, édenominada contradição ou proposição contraditória.

Qual o valor lógico da proposição Paulo é dentista e não é dentista?

Sendo p: Paulo é dentista, a proposição em destaque tem a forma p ~p.Observe que essa proposição composta não pode ter um valor lógico V, poisisso somente ocorreria no caso em que p e ~p tivessem ambas o valor lógicoV, o que é impossível.

A proposição p ~p é um exemplo de contradição ou proposição contradi-tória. As declarações “hoje é domingo e hoje não é domingo” e “A B e A B”são exemplos de contradições, pois ambas têm sempre o valor lógico F.

31

Page 38: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Contingência

Observe o seguinte conceito:

Uma proposição composta que apresenta valores V e F em linhas diferen-

tes para algumas combinações dos valores lógicos das suas proposições sim-ples componentes é denominada contingência ou proposição contingencial.

Como exemplo, vamos analisar o valor lógico da proposição composta p

~q por meio da construção da correspondente tabela-verdade:

Contingência

A tabela tem quatro linhas, pois existem duas proposições simples: p e q.

As duas primeiras colunas apresentam as quatro combinações possíveis devalores entre p e q. A terceira coluna é a negação da segunda coluna, logo,apresenta valores contrários aos da segunda coluna. A quarta coluna é resul-tado da disjunção entre a primeira e a terceira colunas.

Page 39: Proposições Simples e Compostas

A coluna correspondente à proposição composta p ~q (4.ª coluna)apresenta valores V e F, cada um deles situado em uma determinada linha.Isso caracteriza uma contingência. Qual o valor lógico da proposição “Pauloé dentista ou Carlos não é engenheiro”? O valor dependerá da veracidadeparticular de “Paulo ser ou não dentista” e também de “Carlos ser ou nãoengenheiro”.

Organizando os conceitos estudados, podemos escrever:

A proposição p ~p é uma tautologia.

A proposição p ~p é uma contradição.

A proposição p ~q é uma contingência.

Page 40: Proposições Simples e Compostas

p q ~q p~qV V F VV F V VF V F FF F V V

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Page 41: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Equivalências lógicas

Anteriormente, observamos algumas proposições que são logicamente

equivalentes, tais como uma proposição qualquer p e a sua respectiva duplanegação:

Equivalentes

Para representar que a proposição p é equivalente a ~(~p), em símbolos,escrevemos:

p ~(~p)

ou

p ~(~p)

O que significa dizer que duas proposições são equivalentes?

Duas proposições compostas são equivalentes quando ambas apresen-tam sempre os mesmos valores lógicos, independentemente dos valores ló-gicos de cada proposição simples componente.

A tabela-verdade é um instrumento que permite verificar a veracidade deequivalências lógicas. No próximo exemplo, mostraremos que as proposi-ções ~(p q) e ~p ~q são logicamente equivalentes.

Page 42: Proposições Simples e Compostas

p q ~p ~q pq ~(pq) ~p~qV V F F V F FV F F V V F FF V V F V F FF F V V F V V

p ~p ~(~p)V F V

F V F

Equivalentes

A tabela foi construída a partir das duas primeiras colunas que contêmas quatro possibilidades de valores lógicos para as proposições p e q. Pelatabela, observa-se que as colunas correspondentes às proposições ~(p q)e ~p ~q são idênticas. Assim como os valores lógicos de ambas as propo-sições compostas são iguais para cada possível valor lógico de p e q. A con-clusão é a de que ~(p q) e ~p ~q são logicamente equivalentes, ou seja,~(p q) ~p ~q.

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Page 43: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Observação:

Em geral, para negarmos proposições compostas por conectivos (e/ou)

basta negarmos cada uma das proposições simples componentes e substi-tuirmos os conectivos por , e por . Assim, por exemplo, a negação daproposição p q, representada por ~(p q), é dada por:

~(p q) ~p ~q

A negação da proposição p q, representada por ~(p q), é dada por:

~(p q) ~p ~q

A negação da proposição ~p q, representada por ~(~p q), é dada por:

~(~p q) ~(~p) ~q p ~q

Exemplo:

Por meio da tabela-verdade, vamos provar que as proposições ~(p q) e

~p ~q são equivalentes:

Page 44: Proposições Simples e Compostas

As proposições ~(p q) e ~p ~q são logicamente equivalentes:

~(p q) ~p ~q ou ~(p q) ~p ~q

O quadro apresenta algumas equivalências lógicas:

Page 45: Proposições Simples e Compostas

Nome Equivalência

Tautologia p (p p)

Dupla negação ~(~p) p

Comutaçãop q q p

p q q p

Associaçãop (q r) (p q) r

p (q r) (p q) r

p q ~p ~q pq ~(pq) ~p~qV V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V

34

Page 46: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Todas essas equivalências podem ser verificadas por meio da tabela--verdade.

Ampliando seus conhecimentosTexto extraído do livro intitulado Alice no País dos Enigmas.

(SMULLYAN, 2000)

Logo depois do julgamento, Alice encontrou a Duquesa, e as duas tiveram

a seguinte conversa extraordinária.

– O Gato de Cheshire disse que todos aqui são loucos – disse Alice. Isso émesmo verdade?

– É claro que não – retrucou a Duquesa. Se fosse mesmo verdade, o Gatotambém seria louco, donde você não poderia confiar no que ele diz.

Isso pareceu perfeitamente lógico a Alice.

– Mas, vou contar-lhe um grande segredo, minha cara – continuou a Du-quesa. Metade das criaturas daqui são loucas, totalmente loucas!

– Isso não me surpreende – disse Alice –, muitas me parecem bastanteloucas!

– Quando eu digo totalmente loucas – prosseguiu a Duquesa, ignorandopor completo a observação de Alice –, quero dizer o que digo: Elas são com-pletamente delirantes! Todas as suas crenças são erradas – não apenas algu-mas, mas todas. Tudo o que é verdadeiro elas acreditam que é falso, e tudo oque é falso, acreditam que é verdadeiro.

Alice refletiu um pouco sobre essa estranhíssima situação.

– A pessoa ou criatura louca acredita que dois mais dois são cinco?– perguntou.

Page 47: Proposições Simples e Compostas

Nome Equivalência

Distribuiçãop (q r) (p q) (p r)

p (q r) (p q) (p r)

De Morgan~(p q) ~p ~q

~(p q) ~p ~q

35

Page 48: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

– Ora, é claro, menina! Já que dois mais dois não são cinco, naturalmente a

pessoa louca acredita que são.

– E a pessoa louca também acredita que dois mais dois são seis?

– É claro – respondeu a Duquesa –; já que não são, o louco acredita que são.

– Mas, não é possível que sejam iguais a cinco e seis! – exclamou Alice.

– É claro que não – concordou a Duquesa –, você sabe disso e eu sei disso,

mas o louco não sabe. E a moral da história é...

– E as pessoas sãs daqui? – interrompeu Alice (que já tinha ouvido moralmais do que suficiente para um dia). Imagino que a maioria de suas crençasesteja certa, mas que algumas estejam erradas, não é?

– Oh, não, não, não! – disse a Duquesa, em tom enfático. Isso pode ser ver-

dade lá de onde você vem, mas por aqui, as pessoas sadias são cem por centoexatas em suas crenças! Tudo o que é verdade elas sabem que é verdade, etudo o que é falso elas sabem que é falso.

Alice refletiu sobre isso. – Quem são os sadios e quem são os loucos aqui?

– perguntou. Eu gostaria de saber.

A lagarta e o lagarto

– Bem – respondeu a Duquesa –, considere, por exemplo, a Lagarta e Bill, o

Lagarto. A Lagarta acredita que ambos são loucos.

– Qual deles é realmente louco? – perguntou Alice.

– Eu não deveria precisar lhe dizer isso! – retrucou a Duquesa. Dei-lhe infor-

mações suficientes para que você deduza a resposta.

Qual é a solução? A Lagarta é louca ou sã? E o Lagarto?

Solução:

Page 49: Proposições Simples e Compostas

A lagarta acredita que ela e o lagarto são loucos. se a lagarta fosse sã, seria

falso ela e o lagarto serem loucos, donde (sendo sã) a lagarta não poderiaacreditar nesse fato mentiroso. Portanto, a lagarta deve ser louca. Já que elaé louca, sua crença é errada, donde não é verdade que ambos sejam loucos.Assim o outro (o lagarto) deve ser sadio. Portanto, a lagarta é, louca e o lagartoé são.

36

Page 50: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Atividades de aplicação1. Indique quais sentenças são proposições, atribuindo-lhes o valor lógi-

co correspondente. Caso a sentença não seja uma proposição, marqueum X.

a) ( ) Zero é um número par.

b) ( ) 7 + 3

c) ( ) Todos os brasileiros são cariocas.

d) ( ) Amanhã choverá?

e) ( ) Charlie é dentista ou não é dentista.

f) ( ) Felicidades!

g) ( ) x > 2

h) ( ) Todos os meses do ano têm 28 dias.

i) ( ) x = 3 é raiz de x2 – 3x = 0

2. Um avião caiu em uma área não coberta pelo radar. Apenas o piloto se

salvou, conseguindo alcançar a praia de uma ilha. Nessa ilha moravaum aborígene que mentia às terças, quartas e quintas-feiras, e falavaa verdade nos outros dias da semana. Um dia o piloto encontrou oaborígene, que lhe disse: “Ontem foi um dos meus dias de mentir”.

A partir da dedução correta da informação do aborígene, que dias dasemana poderiam ser?

3. Considere as seguintes proposições:

p: O Brasil situa-se na América do Norte.

q: Quatro é múltiplo de oito.

r: A adição e a subtração são operações inversas.

Com base nos valores lógicos das proposições p, q e r, atribua um valorlógico às seguintes proposições:

a) ( ) ~p

b) ( ) q r

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Page 51: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

c) ( ) p q

d) ( ) r p

e) ( ) q ~r

4. Três senhoras, Dona Branca, Dona Rosa e Dona Violeta, passeavampelo parque, quando Dona Rosa disse:

– Não é curioso que estejamos usando vestidos de cores branca, rosae violeta, embora nenhuma de nós esteja usando um vestido de cor

igual ao seu próprio nome?

– Uma simples coincidência, respondeu a senhora com vestido violeta.

Qual a cor do vestido de cada senhora?

5. Se alguém diz: “Não nego que jamais deixarei de fumar”, continuará a

fumar ou não?

6. Na sua frente você tem três caixas e apenas uma delas tem um pre-sente dentro. A única pista para descobrir onde está o presente são

as

instruções na frente das caixas. Porém, não se esqueça, apenas

uma

das inscrições é verdadeira. Onde está o presente?

Caixa 1: O presente está aqui.

Caixa 2: O presente não está aqui.

Caixa 3: O presente não está na Caixa 1.

7. Quatro amigos vão ao teatro e um deles resolveu entrar sem comprar

o ingresso. Aparece um guarda que quer saber qual deles entrou sempagar.

– Eu não fui, diz Ana.

– Foi o Bruno, diz Carlos.

Page 52: Proposições Simples e Compostas

– Foi a Deise, diz Bruno.

– O Carlos não tem razão, diz Deise.

Se só um deles mentiu, quem entrou sem pagar?

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Page 53: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

8. No ponto de ônibus escutei uma conversa curiosa entre dois amigos.

Um deles dizia que dificilmente seria enganado, pois era muito esper-

to. O outro resolveu, então, testar a esperteza do “modesto” e fez a ele

as seguintes afirmações:

1) Vou lhe dizer cinco verdades.

2) A frase anterior é mentira.

3) A frase anterior é mentira.

4) A frase anterior é mentira.

5) A frase anterior é mentira.

E no final perguntou: quantas verdades eu disse?

9. Ernesto comprará quatro passagens aéreas para dar uma de presente

para cada um de seus quatro sobrinhos. Para definir a época em que

irão viajar, Ernesto pediu para cada um dizer uma frase. Se a frase fosse

verdadeira, o sobrinho viajaria imediatamente; se fosse falsa, o sobri-

nho só viajaria no próximo mês. O quadro apresenta as frases que cada

sobrinho falou:

Page 54: Proposições Simples e Compostas

Sobrinh

o

Frase

Ana Viajarei para os Estados Unidos.

Bruno Meu voo será diurno.

Carlos Viajarei no próximo mês.

Diego O Atlético-PR é o melhor time do mundo.

A partir das frases ditas, Ernesto não pôde definir a época da viagemde qual sobrinho?

10. Mostre que as proposições ~(p q) e (~p ~q) são logicamente equi-valentes.

11. Numa cidade, um barbeiro corta o cabelo somente de todas as pes-soas que não cortam o próprio cabelo. Esse barbeiro corta o próprio

cabelo?

39

Page 55: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

ReferênciasABELARDO, Pedro. Lógica para Principiantes. Petrópolis: Vozes, 1994.

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DESCARTES, René. Discurso do Método. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes,

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KELLER, Vicente; BASTOS, Cleverson L. Aprendendo Lógica. 12. ed.

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MACHADO, Nilson José. Matemática 1 por Assunto – lógica, conjuntos e

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MARITAIN, Jacques. Elementos de Filosofia II: a ordem dos conceitos,

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40

Page 57: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

NAHRA, Cínara; WEBER, Ivan Hingo. Através da Lógica. 5. ed. Petrópolis: Vozes,

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SOARES, Edvaldo. Fundamentos da Lógica – elementos da Lógica Formal e

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TELLES JR., Goffredo. Curso de Lógica Formal. 3. ed. São Paulo: Edusp, 1973.

367

p.

Page 58: Proposições Simples e Compostas

41

Page 59: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

Gabarito1.

a) V

b) X

c) F

d) X

e) V

f) X

g) X

h) V

i) V

2. Terça-feira ou sexta-feira.

3.

a) V

b) F

c) F

d) F

e) F

4.

Dona Rosa vestido branco

Dona Violeta vestido rosa

Dona Branca vestido violeta

5. Continuará a fumar.

6. O presente está na caixa 2.

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Page 60: Proposições Simples e Compostas

Proposições simples e compostas

7. Deise.

8. Duas verdades.

9. Carlos.

10. Tabela-verdade:

As colunas associadas às proposições ~(p q) e (~p ~q) são idênticas.Isso comprova a validade da equivalência lógica.

11. O barbeiro corta o cabelo de todas as pessoas que não cortam seu

próprio cabelo e somente delas. Assim, se ele corta seu próprio cabelo,então ele é uma pessoa que não corta seu próprio cabelo. Por outrolado, se ele não corta seu próprio cabelo, então ele corta seu própriocabelo. Estamos diante de um paradoxo. Não existe um barbeiro nes-sas condições.

Page 61: Proposições Simples e Compostas

p q ~p ~q pq ~(pq) ~p~qV V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V

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