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Propagação e Antenas – Exame 20 de Janeiro de 2018

IST | DEEC – Área Científica de Telecomunicações 1

Docente Responsável: Prof. Carlos R. Paiva

Duração: 3 horas 20 de Janeiro de 2018

Ano Lectivo: 2017 / 2018 PRIMEIRO EXAME

1. (Neste problema considere unidades geométricas em que 1c = , com o tempo medido em anos e o

espaço em anos-luz.) ( ),x t′ ′Alice e ( ),x tBob são gémeos. Quando ambos fazem 20 anos

de idade, Alice inicia ( )0t t′= = uma viagem de ida-e-volta ao planeta X que se encontra a uma distância 8L = (do ponto de vista da Terra). A velocidade relativa de Alice (tanto na ida como na volta) é 4 5β = . Cada gémeo combina enviar ao outro sinais electromagnéticos sempre que cada um deles completa mais um ano de idade. a) Quais são as idades de Alice e de Bob aquando do reencontro na Terra? b) Quando Bob faz 22 anos envia um dos sinais electromagnéticos para Alice (tal como

combinado). Qual é a idade de Alice quando recebe este sinal? c) Assim que Alice recebe o sinal referido na alínea anterior, emite um sinal electromagnético

para Bob . Qual é a idade de Bob quando recebe este sinal de Alice ? d) Do ponto de vista de Bob : (i) quantos foram os sinais enviados? (ii) quantos foram os sinais

recebidos (emitidos por Alice ) na viagem de ida e (iii) na viagem de volta? (iv) que conclusão tira ele sobre o envelhecimento de Alice ?

e) Do ponto de vista de Alice : (i) quantos foram os sinais enviados? (ii) quantos foram os sinais recebidos (emitidos por Bob ) na viagem de ida e (iii) na viagem de volta? (iv) que conclusão tira ela sobre o envelhecimento de Bob ?

Solução

a) Existe, aqui, uma relação provocada pela dilatação do tempo. Não obstante, não existe – neste caso – uma simetria entre Bob e Alice ; pelo contrário, enquanto Bob permanece num único referencial inercial, Alice passa por dois referenciais. Sejam 0I e 0I ′ as idades dos gémeos (de Bob e Alice , respectivamente) no início: 0 0 20I I ′= = . No fim da viagem de ida-e-volta, a idade de Bob é 0I I T= + enquanto que a idade de Alice é 0I I T′ ′ ′= + . Devido à dilatação do

tempo, tem-se ( ) ( )T T I I′ ′≠ ⇒ ≠ . Como se tem ( )2L Tβ= , com 8L = e 4 5β = , será

02 20 40 anosLT I I Tβ

= = ⇒ = + = .

Por outro lado, vem

20 de Janeiro de 2018 Propagação e Antenas – Exame

2 DEEC – Área Científica de Telecomunicações | IST

02

1 5 12 32 anos31

TT I I Tγγβ

′ ′ ′ ′= = ⇒ = = ⇒ = + =−

.

Ou seja: no fim da viagem de ida-e-volta Bob está 8 anos mais velho do que a sua irmã gémea Alice .

b) Tanto Bob como Alice enviam sinais periodicamente com uma frequência 11 anof −= . Na viagem de ida, quando eles se separam, é 4 5β = e o gémeo que capta as mensagens recebe-as com uma frequência

11 1 1 13 ano1 1 3

f f fβ βκβ κ β

−+ −′ ′= = ⇒ = = =′− +

.

Na viagem de volta, quando eles se aproximam, é 4 5β = − e o gémeo que capta as mensagens recebe-as com uma frequência

11 1 1 1 3 ano1 3 1

f f fβ βκβ κ β

−− +′′ ′′= = ⇒ = = =′′+ −

.

Porém, usando o factor de Bondi, quando decorreu para Bob um intervalo de tempo 2 anosxT = (após o início da viagem) e ele envia, então, um sinal electromagnético para a sua

irmã, Alice recebe esse sinal quando (do ponto de vista dela) decorreu um intervalo de tempo

xT ′ , tal que 3 2 6 anosx xT Tκ′ ′= = × = .

Ou seja: o sinal enviado por Bob quando este completa 22 anos é recebido por Alice ao fim de 6 anos, i.e., quando ela completa 26 anos.

c) Porém, quando Alice tem 26 anos é quando ela faz precisamente inversão de marcha e inicia a sua viagem de volta (a viagem, para ela, durou um total de 12T ′ = anos). Ou seja: o sinal que ela vai emitir para 6xT ′ = será recebido por Bob quando, para ele, tiver decorrido o intervalo de tempo yT , tal que

( )2 9 2 18 anosy x xT T Tκ κ′ ′ ′= = = × = .

Ou seja: o sinal enviado por Alice , quando esta faz 26 anos (e imediatamente antes da inversão de marcha), é recebido por Bob quando este completa 38 anos. Portanto, é quando Bob faz 38 anos que ele consegue detectar a inversão de marcha de Alice .

d) Tudo o que se vai dizer, nesta alínea, diz respeito ao ponto de vista de Bob . O número total de sinais enviados foi

20N f T= = . Na viagem de ida, Bob recebe de Alice um total de M ′ mensagens, tal que

11 91 8 18 anos

2 4T Lt L L L

β β

= + = + = + = × =

11 18 63

M f t′ ′∴ = = × = .

Na viagem de volta, Bob recebe de Alice um total de M ′′ mensagens, tal que

2 11 11 8 2 anos

2 2 4T Tt T t T L L L

β = − = − + = − = − = × =



2 3 2 6M f t′′ ′′∴ = = × = . Ou seja: como Bob recebe um total de

6 6 12M M M′ ′′= + = + = mensagens, que ele sabe terem sido (por mútuo acordo) enviadas por Alice numa frequência

11 anof −= , a única conclusão que ele pode tirar é que a sua irmã gémea envelheceu (no total da viagem de ida-e-volta) 12 anos – ela, infere ele, deverá ter 32 anos aquando do reencontro.

e) Tudo o que se vai dizer, nesta alínea, diz respeito ao ponto de vista de Alice . O número total de sinais enviados foi

12M f T ′= = . Na viagem de ida, Alice recebe de Bob um total de N ′ mensagens, tal que

1 62Tt′

′ = =

11 6 23

N f t′ ′ ′∴ = = × = .

Na viagem de volta, Alice recebe de Bob um total de N ′′ mensagens, tal que

2 1 6 anos2 2T Tt T t T′ ′

′ ′ ′ ′= − = − = =

2 3 6 18N f t′′ ′′ ′∴ = = × = . Ou seja: como Alice recebe um total de

2 18 20N N N′ ′′= + = + = mensagens, que ela sabe terem sido (por mútuo acordo) enviadas por Bob numa frequência

11 anof −= , a única conclusão que ela pode tirar é que o seu irmão gémeo envelheceu (no total da viagem de ida-e-volta) 20 anos – ele, infere ela, deverá ter 40 anos aquando do reencontro.

2. Uma onda electromagnética plana e monocromática tem um campo eléctrico caracterizado por

( ) ( ){ }0, expt i tω=ℜ ⋅ − E r E k r , em que 0 1 2i= +E E E com 31 2, ∈E E . Define-se, então,

[ ]0,1γ ∈ ⊂ tal que 2 2γ ξ= , onde 20ξ = E e 0= E . Diga, justificando as suas respostas,

que tipo de curvas de polarização são descritas quando: a) 0γ = ; b) 1γ = ; c) 0 1γ< < .

Solução

De ( ) ( ) ( )22 2 2 20 1 2 1 2 1 22i iξ = = + = − + ⋅E E E E E E E , vem

( ) ( )2 22 2 21 2 1 24ξ = − + ⋅E E E E .

Sendo ( )1 2,θ = E E , podemos escrever



( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2 2 2 2

2 21 2 1 2 2 21 2 1 2 1 22 2 2 2

1 2 1 2

cos

sin

θ

θ

⋅ = ⇒ ⋅ + × = × =

E E E EE E E E E E

E E E E.

Assim, obtém-se

( ) ( )2 22 2 21 2 1 24ξ = + − ×E E E E .

Mas, por outro lado, tem-se 2 2

0 0 0 1 2∗= = ⋅ = +E E E E E .

Nestas condições, infere-se que (no caso geral)

( )( )

22 2 2 21 21 2

22 2 2 2 21 2 1 2

sin1 4 1 4

ξ θγ

×= = − = − + +

E EE EE E E E

.

Daqui resultam as seguintes conclusões:

( ) ( )

( ) ( )

2 21 2 1 2

1 2

21 2 0

Polarização circular: & 0

Polarização linear: 0 1

Polarização elíptica: 0 & 0 0 1

γ

γ

γ

⊥ = ⇒ = × = ⇒ = × ≠ ≠ ⇒ < <

E E E E

E E

E E E

3. Num sistema de comunicação óptica com fibras monomodais operadas no regime linear, cada

impulso correspondente a um bit “1” pode ser modelado por um impulso gaussiano com trinado (ou «chirp») C cuja largura temporal RMS, à entrada, é 0σ . Para um troço de comprimento L a

correspondente largura RMS, à saída, é σ . Sendo 0 2 Lτ β= (em que 2β é o coeficiente da

dispersão da velocidade de grupo na portadora), definem-se 2 20X σ τ= e 2 2

0 0x σ τ= . Nestas condições, tem-se

( ) ( )22

1 1 sgn4

pp C X C xx

β= + → = + + .

a) Para 2 0β < e 2C = + , represente graficamente (de forma qualitativa) X em função de x . b) Para um valor óptimo 0x da largura (normalizada) do impulso à entrada, obtém-se um

correspondente valor óptimo ( )0 0X X x= . Para 2 0β < represente graficamente 0X em função

de C no intervalo 6 6C− ≤ ≤ . Qual é, neste caso, ( )0limC

X→+∞

?

c) Para 22 1 ps kmβ = − e 50 kmL = , determine o valor de 0C que conduz ao valor máximo

possível de débito binário. Determine, ainda, esse valor máximo do débito binário. Solução

a) Notando que 2

0211 0 12

d X p x x p Cd x x

= − = ⇒ = = = + ,



infere-se que a curva ( )X x é decrescente para 0x x< , tem um mínimo em 0x x= , e é crescente

para 0x x> . O mínimo é dado por

( ) ( ) ( ) 20 0 2 2sgn 2 sgn 1X X x C p C Cβ β= = + = + + .

20 0

0 51.1180, 5 2 0.2361

2 2x X

Cβ <

⇒ = = = − = = +.

b) Nesta alínea representa-se 0X em função de C no intervalo 6 6C− ≤ ≤ .



c) O débito binário (ou bit rate) B é dado por 1

b

BT

=

onde bT é o bit slot alocado pelo sistema digital de comunicação óptica. Acontece que, devido ao trinado C , é possível ter-se 0σ σ≤ . Assim, seja

{ }0 0max ,x Xξ = . A figura anexa mostra a variação de ξ com o trinado C no intervalo 2 2C− ≤ ≤ no caso em que 2 0β < .

Defina-se, então,

0xσ τ ξ= .

Uma regra prática para o cálculo do débito binário consiste em impor 4x bTσ ≤ . Nestas condições, sendo B o valor máximo possível do débito binário (i.e., determinado apenas pela dispersão da velocidade de grupo), vem 4 1xBσ ≤ , donde

0 2

1 14 4

BLτ ξ ξ β

≤ = .

Acontece, porém, que a curva de ( )Cξ tem um mínimo para

( ) { } 220 0 0

sgn 1 1min 123 3

C Cβ

ξ ξ= − = = + = .

A este valor mínimo 0ξ corresponde um valor máximo possível do débito binário dado por 1 4

max2 2

3 1 0.3294

BL Lβ β

= ≈ .



Para os valores considerados no enunciado, obtém-se: 2

2max

1 ps km10.4045 Gb s

50 kmB

Lβ = −

⇒ = =.

4. Uma placa dieléctrica de diamante, com um índice de refracção 1 2.4n = e uma espessura

0.5 mmd = , encontra-se assente sobre um plano condutor eléctrico perfeito em 0x = . O meio superior, para x d> , é o ar (com um índice de refracção 2 1n = ). Considere que esta estrutura

funciona como guia de ondas com propagação longitudinal da forma ( )exp i z tβ ω − .

a) Determine a banda de frequências em que este guia de ondas opera em regime monomodal.

Justifique a sua resposta com um diagrama de dispersão versusb v− − no intervalo 0 5v≤ ≤ . b) Para 60 GHzf = , calcule o índice de refracção modal n correspondente ao modo fundamental.

Qual é, neste caso, a velocidade de fase? Acompanhe a sua solução com uma representação gráfica apropriada.

c) Represente, de forma qualitativa, o perfil de zE em função da altura. Adopte x como eixo vertical e a amplitude do campo como eixo horizontal. Referencie, no seu gráfico, a localização da interface x d= . Considere os resultados da alínea anterior.

d) A solução numérica para os modos TE deste guia resulta do sistema ( )

2 2 2

cotw u uu w v

= −

+ =

que é, do ponto de vista computacional, equivalente a pesquisar os zeros da função ( )2 2 2( ) sinf u u v u= − .

Este processo é, graficamente, equivalente a encontrar as intersecções de duas curvas: as curvas correspondentes a ( ) 2u uφ = e a ( ) ( )2 2sinu v uψ = . Considere, então, três casos possíveis: (i)

1.25v = ; (ii) 3v = ; (iii) 6v = . Determine, para cada um destes três casos, as soluções numéricas. Explique, para cada caso, quais dessas soluções são realmente soluções fisicamente aceitáveis e explique porquê.

5. Pretende-se sintetizar um agregado linear de 4N = antenas com um desfasamento progressivo α

das correntes de alimentação e um espaçamento uniforme d entre elementos. Tem-se (coordenadas esféricas) ( )0 cosu k d ψ α= − . No plano equatorial, em que 2θ π= , é [ [0, 2ψ φ π= ∈ . a) Para uma excitação simétrica da forma 1: : :1A A , mostre que é possível escrever o diagrama

de potência ( )P ξ em termos de uma única constante 0c . Como ( ) ( ) ( )P F u F uξ ∗= , com

( )2 cosu ξ= , explicite a relação entre 0≥A e 0c . Determine a zona permitida para os valores

de 0c quando se pretende que todos os zeros de ( )P ξ ocorram no intervalo 2 2ξ− ≤ ≤ . Note

que o factor do agregado pode ser escrito na forma ( ) ( ) ( )201 1i u iu iuF u e c e e− − −= + + + .



b) Determine 0c e ( )P ξ no caso concreto de um agregado uniforme em que 1=A . Para 0α = e

2d λ= represente graficamente, no plano equatorial e em coordenadas polares, o diagrama

de radiação. Qual é, neste caso, o valor do ( )1020 log R= −SLL ?

c) Repita a alínea anterior, também com 0α = e 2d λ= , mas agora para um agregado em que se pretende obter dB= − ∞SLL (i.e., inexistência de lobos secundários).

d) Determine 0c , A e ( )P ξ de forma a que ocorra pelo menos um valor ( )1020 log R= −SLL ,

com 3R = . Considere 3 5d λ= e admita que um dos máximos do diagrama de radiação deve

ocorrer para max 3φ π= . Especifique, nestas condições, α e qual é o domínio visível

1 2u u u≤ ≤ . Represente graficamente a função ( )P ξ no intervalo 2 2ξ− ≤ ≤ bem como ( )F u

no intervalo 3 uπ π− ≤ ≤ . Assinale, sempre, os valores numéricos relevantes nestes gráficos

(nulos, máximos, máximos locais). Determine, em termos do azimute φ , a localização não só

dos nulos mas também dos máximos locais mF dos lobos secundários. Determine os três níveis

de lobos secundários: ( )10 max20 logm mF F=SLL com 1, 2, 3m = . Qual é a relação frente-trás

( )10 front rear20 log F F=FTR deste agregado? A partir do gráfico de ( )F u , desenhe o diagrama

de radiação ( ) ( )F Pφ φ= no plano equatorial (coordenadas polares).

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