projeto de pilares segundo a nbr 6118-2003

5/24/2018 Projeto de Pilares Segundo a NBR 6118-2003

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UNIVERSIDADE DE SO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SO CARLOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

SET 410 Estruturas de concreto armado II

Turma 1 - 2008

Concreto armado: projeto de pilares de acordo com a NBR 6118:2003

Gerson Moacyr Sisniegas Alva

Ana Lcia Homce de Cresce El Debs

Jos Samuel Giongo

So Carlos, 13 de Fevereiro de 2008.


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Gerson Moacyr S. Alva, Ana Lcia H. de Cresce El Debs e Jos Samuel Giongo USP EESC SET - Fevereiro de 2008Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003

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1. Introduo (13 de Fevereiro de 2008)

Em estruturas de edifcios, os pilares so elementos verticais que tm a funoprimria de transmitir as aes verticais gravitacionais e de servio e as horizontais(vento) s fundaes, alm de conferirem estabilidade global ao edifcio. Os pilaresusuais dos edifcios apresentam um comportamento de flexo-compresso, sendo as

foras normais de compresso preponderantes.Em edifcios correntes de concreto armado, as sees dos pilares so geralmenteretangulares Pilares de sees quadradas ou circulares tambm podem serconsiderados em projetos estruturais de edifcios para atender o indicado no projetoarquitetnico.

Em virtude do tipo de material (concreto) e da solicitao preponderantemente defora de compresso, os pilares apresentam rupturas frgeis. A runa de uma seotransversal de um nico pilar pode ocasionar o colapso progressivo dos demaispavimentos subseqentes provocando, assim, a runa de toda a estrutura. Asdisposies dos pilares na planta de forma de um edifcio so importantes, pois oposicionamento destes, juntamente com as vigas, formam prticos que proporcionam

rigidez e conferem estabilidade global ao edifcio.Por conseqncia, os pilares so peas estruturais do edifcio que precisam ser

projetados cuidadosamente, englobando os dimensionamentos e os detalhamentoscorretos.

Projetos adequados de elementos de concreto estrutural, em termos deresistncia, estabilidade e durabilidade, precisam ser feitos de acordo com asdiretrizes e recomendaes de normas tcnicas.

Este texto foi escrito considerando os critrios da NBR 6118:2003 Projeto deestruturas de concreto, edio de 2004.

2. Classificao dos pilares em edifcios

2.1 Quanto posio

Os pilares podem ser classificados de acordo com a sua posio na planta deforma de um pavimento tipo de edifcio em: pilares intermedirios, pilares deextremidade e pilares de canto, conforme a figura 2.1. Essa classificao permiteconsiderar as diferentes situaes de projeto e de clculo, em relao aos esforossolicitantes, em que cada um desses pilares se enquadra.

2.1.1 Pilares Intermedirios:

Considera-se que os pilares intermedirios estejam submetidos

preponderantemente s foras axiais de compresso, pois os mdulos dos momentosfletores so de pequena intensidade, em relao s aes verticais apenas (aspermanentes e as variveis normais). A menos que os vos das vigas contnuas que seapiam nesses pilares sejam consideravelmente diferentes, desprezam-se osmomentos fletores finais transmitidos aos pilares. Portanto, na situao de projeto,admite-se o pilar intermedirio submetido a uma compresso centrada, isto aexcentricidade inicial considerada igual a zero para o dimensionamento das reasdas armaduras longitudinal e transversal.

2.1.2 Pilares de extremidade

Os pilares de extremidade, alm de estarem submetidos s foras normais decompresso, tambm esto sujeitos ao de momentos transmitidos pelas vigas quetm suas extremidades externas nesses pilares. No considerados os momentostransmitidos por vigas transversais ao eixo da viga interrompida. Portanto, na situaode projeto, admite-se o pilar de extremidade submetido flexo normal composta,


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USP - EESC - SET - Disciplina SET 410 - Estruturas de Concreto Armado II - Turma 1 - 2008Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003

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considerando-se, portanto, excentricidade inicial segundo uma das ordenadas locais daseo transversal do pilar.

2.1.3 Pilares de canto

Alm da fora normal de compresso atuante consideram-se os momentos

transmitidos pelas vigas, cujos planos mdios so perpendiculares s faces dos pilares,e so interrompidas nas bordas do pilar. Na situao de projeto, portanto, considera-seo pilar de canto submetido flexo oblqua composta, com excentricidades iniciassegundo os eixos coordenados locais.

PILAR INTERMEDIRIO

PILAR DE CANTO PILAR DEEXTREMIDADE

Figura 2.1 - Posio dos pilares em edifcios [Fusco, 1981]

2.2 Quanto ao tipo de solicitao

Embora a classificao quanto posio na estrutura ainda seja bastante usual,a tendncia substitu-la por outra que considere simplesmente o tipo de solicitao aque o pilar est submetido. Ou seja, pilares sob compresso centrada, pilares sobflexo compostanormal e pilares sob flexo composta oblqua.

Assim, poderiam ser enquadrados casos especiais em que a classificaoquanto posio no conduz real forma de solicitao do pilar. o que ocorre, porexemplo, quando uma viga interrompida em um pilar interno, deixando este de estarsob compresso centrada na situao de projeto.

Na anlise estrutural, que tem por finalidade determinarem-se os esforossolicitantes nas barras da estrutura, feita por processo aproximado, sem assistncia deprograma computacional, pode ser til a classificao indicada.

Quando se determinam os esforos solicitantes considerando o efeito de prticoespacial, como atualmente feito nos projetos de estruturas de edifcios, os pilares sotodos submetidos a aes de flexo composta oblqua, ou seja, fora normal emomentos fletores com planos de aes em duas direes.

2.3 Quanto esbeltez

2.3.1 Definio de ndice de esbeltez

O ndice de esbeltez dos pilares de concreto armado que fazem parte deestruturas de edifcios a razo entre o comprimento equivalente ( el ) do pilar e o raiode girao (i) da seo, conforme expresso 2.6:


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iel= com

c

c

A

Ii= (2.6)

sendo que,

Ic o momento de inrcia da seo de concreto na direo analisada;

Ac a rea da seo transversal de concreto.

O comprimento equivalente el do pilar, suposto vinculado em ambas asextremidades, assume o menor dos seguintes valores:

ll

ll

=

+=

e

oe h (2.7)

sendo que:

ol a distncia entre as faces internas dos elementos estruturais, supostoshorizontais, que vinculam o pilar;

h a altura da seo transversal do pilar, medida no plano da estrutura;

l a distncia entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar estvinculado.

Essas definies so ilustradas na figura 2.3:

Viga

Viga

Pilar

h

Figura 2.3 - Determinao do comprimento equivalente el ( ol e l )

Conhecendo-se o comprimento equivalente em cada direo, o ndice deesbeltez em sees retangulares pode ser calculado por:

h

e 12= l

(2.8)

sendo que h a medida da seo transversal paralela ao plano de ao domomento atuante no pilar, oriundo do ligao com a viga.


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2.3.2 Critrios da NBR 6118:2003 para clculo do valor de referncia 1

Com os critrios de projeto de pilares indicados na NBR 6118:2003, os limites deesbeltez que definem a classificao dos pilares, dependem de fatores adicionais, taiscomo a excentricidade relativa, as condies de vinculao das extremidades e daforma do diagrama de momentos fletores. Esses fatores so considerados por meio do

coeficiente 1, o qual calculado por:

b

he

,

+=

1

1

51225 (2.1)

com a restrio para o coeficiente 1dado por:

9035 1

sendo:

h/e1 a excentricidade relativa de primeira (1.a) ordem, no incluindo a

excentricidade acidental;bum coeficiente que depende da distribuio de momentos no pilar.

O valor de bpode ser obtido de acordo com as seguintes situaes:

a.- Para pilares biapoiados sem cargas transversais (figura 2.2):

40,0M

M40,060,0

A

Bb += (2.2)

sendo MAe MBos momentos solicitantes de 1ordem nas extremidades do pilar.

Adota-se para MA o maior valor absoluto entre os dois momentos de extremidade.Adota-se o sinal positivo para MB, se este tracionar a mesma face que MA (curvaturasimples), e negativo em caso contrrio (curvatura dupla).

MA

MB

MBMA

= positivoM

M

M

A

negativo

A

=B

BM

Figura 2.2 - Curvaturas simples e dupla dos pilares clculo de b

b.- Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura:

0,1b = (2.3)

c.- Para pilares em balano:

85,0MM

20,080,0A

Cb += (2.4)


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sendo:

MAo momento de 1ordem no engaste e MC o momento de 1ordem no meiodo pilar em balano;

0,185,0 b

d.- Para pilares biapoiados ou em balano com momentos menores que o momentomnimo, estabelecido pela expresso (3.8):

0,1b = (2.5)

2.3.3 Critrios da NBR 6118:2003 para considerao dos efeitos de segunda ordem

Quanto esbeltez, os pilares podem ser classificados como:

Pilares curtos ( 1) em que os ndices de esbeltez so menores que os dereferncia e, portanto, os efeitos de segunda ordem no precisam ser considerados.

Pilares medianamente esbeltos (1 < 90) que so aqueles para os quaispodem ser considerados os efeitos de segunda ordem por processo aproximado comoo mtodo do pilar-padro com curvatura aproximada.

Pilares esbeltos (90 < 140) so aqueles para os quais possvel considerar-senos projetos o mtodo do pilar-padro acoplado a diagramas de M N 1/r.

Pilares muito esbeltos (140 < 200) que exigem a considerao de processosexatos para a verificao do estado limite de instabilidade.

A NBR 6118:2003 no permite que se projete e construa pilar com ndice deesbeltez () maior do que 200. Esse pode ser ultrapassado nos casos de postes comfora normal menor do que ccd Af, 100 .

Neste texto s so estudados pilares com ndice de esbeltez menor do que 90, ouseja, (90). Na EESC USP os projetos de pilares com ndices de esbeltez entre 90e 200 so estudados na disciplina optativa Estruturas de Concreto C, ministrada nosegundo semestre do ano letivo.

3. Dimensionamento de pilares de concreto armado

3.1 Consideraes iniciais

Os princpios do equilbrio de foras e momentos, da compatibilidade dedeformaes e os domnios de deformaes utilizados na anlise de vigas soigualmente aplicados aos pilares. No caso de pilares, a fora normal introduzida sequaes, tornando o problema como um caso de flexo composta normal ou de flexocomposta oblqua.

No caso de flexo composta oblqua, a obteno de uma soluo geral por meiodas equaes de equilbrio e compatibilidade praticamente impossvel, uma vez que desconhecida a distncia e a inclinao da linha neutra. Do ponto de vista prtico,tanto no caso de flexo composta reta e principalmente no caso de flexo compostaoblqua, podem ser utilizados bacos, que so de fcil utilizao e boa preciso, ouprograma computacionais de dimensionamento da rea de armadura.

Com relao utilizao dos bacos, nestes normalmente so preestabelecidasa forma da seo e a disposio das barras da armadura, necessitando conhecer, almdas propriedades mecnicas dos materiais ao e concreto, as excentricidadescalculadas nos procedimentos de dimensionamento.


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As excentricidades nos pilares ocorrem no s por conta das solicitaes iniciaisatuantes nos pilares, mas tambm por causa de fatores adicionais como os efeitos de2.aordem, as imperfeies geomtricas e a fluncia do concreto.

3.2 Excentricidades consideradas no dimensionamento

Para o dimensionamento dos pilares, necessrio obter as excentricidadespertinentes ao tipo de pilar analisado. Apresentam-se neste item os critrios para aobteno dessas excentricidades em pilares isolados, de acordo com asrecomendaes da norma NBR 6118:2003.

3.2.1 Excentricidade inicial de 1.aordem

Como sabido as vigas e os pilares formam os prticos tridimensionais, de talmodo que os pilares ficam submetidos a flexo oblqua composta e, portanto,apresentam excentricidades iniciais em duas direes principais medidas a partir docentro geomtrico do pilar, e numericamente iguais aos valores dos momentos com

plano de ao contendo cada eixo principal divididos pelo mdulo da fora normal decompresso, conforme expresses 3.1.

Nos casos de projetos em que se consideram processos simplificados para adeterminao dos esforos solicitantes (fora normal, momento fletor e fora cortante),por exemplo, o processo de viga contnua indicado na NBR 61228:2003, admite-se queas excentricidades iniciais surgem nos pilares de extremidade e nos pilares de canto.Lembra-se que para os pilares intermedirios as excentricidades no soconsideradas.

As excentricidades iniciais so calculadas com a expresso 3.1:

dA,diA,i N

Me =

d

B,diB,i N

Me = (3.1)

sendo:

Nda fora normal solicitante de clculo;

Md,Ae Md,Bos momentos solicitantes de clculo nas extremidades do pilar.

Neste texto adota-se, de acordo com a NBR 6118:2003, para ei,A a maiorexcentricidade em valor absoluto.

Alm das excentricidades iniciais nas extremidades do pilar, precisa serrealizada uma anlise dos efeitos locais de 2.aordem ao longo do eixo. Normalmente,em pilares de edifcios, os mximos momentos iniciais ocorrem em suas extremidadese os mximos momentos de 2.a ordem ocorrem em suas sees intermedirias. Poresse motivo, a NBR 6118:1978 especificava que se considerasse uma excentricidadeinicial na seo intermediria (meio do vo) do pilar dada por:

A,iB,iA,iiC e4,0e4,0e6,0e += (3.2)

sendo que o sinal de ei,B obtido com o mesmo raciocnio aplicado determinao do

coeficiente b: positivo se MB tracionar a mesma face que MA e negativo em casocontrrio, conforme figura 3.1.


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MBMA

= positivoMM

M

A

negativo

A

=B

BM

i,Ae

i,Be

i,Ce

dN

di,BM

di,AM

N d

di,A

dN

M

di,BM

N d

i,C

i,B

ei,A

e

e

AM

BM

Figura 3.1 - Excentricidades iniciais nas sees de extremidade e na seo

intermediria

A NBR 6118:2003, embora no mencione explicitamente a excentricidade inicial aser adotada para a seo intermediria, adota o mesmo procedimento anterior.

A NBR 6118:2003 indica processo simplificado para a obteno dos esforossolicitantes iniciais, conceito que j foi estudado por ocasio da anlise dos esforossolicitantes em vigas contnuas e aqui recordado.

Quando no for realizado o clculo exato dos esforos solicitantes na estrutura,permite-se, como simplificao, adotar o modelo esttico indicado na figura 3.2 para aobteno dos momentos fletores nos apoios extremos.

Pilar

1/2 inf

1/2 sup

ef,viga

Viga

Figura 3.2 - Modelo considerado nos casos de apoios extremos de vigas contnuas[NBR 6118:2003]

Os momentos solicitantes nos tramos superior e inferior do pilar so obtidos por:

++= vigainfsup

sup

engsup rrr

r

MM (3.3)


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++=

vigainfsup

infenginf rrr

rMM (3.4)

sendo que Meng o momento de engastamento perfeito no tramo considerado(tramo de extremidade) da viga.

Os coeficientes de rigidez dos tramos superior e inferior do pilar e no tramo daviga, so definidos pelas relaes entre momentos de inrcia e vos, conformeexpresses 3.5:

sup,e

supsup

21

I3r

l

= ;

infe

infinf

,21

I3r

l

= ;

viga,ef

vigaviga

I4r

l

= (3.5)

Considerando o equilbrio do n, o momento fletor na viga determinado por:

infsupvigaMMM

+= (3.6)

O comprimento equivalente el do pilar pode ser determinado pela expresso2.7.

Os vos efetivos das vigas podem ser calculados pela expresso:

210viga,ef aa ++= ll (3.6a)

Os valores de a1e a2, em cada extremidade do vo, podem ser determinadospelos valores apropriados de ai, indicado na figura 3.2A, sendo:

a1igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3 . h), e,

a2igual ao menor valor entre (t2/2 e 0,3 . h).

lll

a) Apoio de vo extremo b) Apoio de vo intermedirio

Figura 3.2A - Vo efetivo de vigas [NBR 6118:2003]


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3.2.2 Excentricidade de forma

Muitas vezes, para adequar a posio dos elementos estruturais em funo doprojeto arquitetnico, os projetistas estruturais precisam fazer coincidir as facesinternas ou externas das vigas com as faces dos pilares que as apiam. Quando tal

procedimento adotado, os eixos das vigas no passam pelo centro de gravidade daseo do pilar (figura 3.3), surgindo assim excentricidades denominadasexcentricidades de forma.

VIGA

VIGA

y

PILAR

x

e

efx

VIGA

fy

VIGA

PILAR

x

y

e

VIGA

fy

Figura 3.3 - Excentricidades de forma em pilares [Aguiar (2000)].

As excentricidades de forma, de maneira geral quando se fazem os projetos e

estruturas de edifcios sem assistncia de programas computacionais elaborados paraeste fim, no so consideradas no dimensionamento dos pilares. O momento fletorproduzido pelas excentricidades no nvel de cada andar equilibrado por um binrio,produzindo, em cada piso, pares de foras de sentidos contrrios e de mesma ordemde grandeza, que tendem a se anular. No nvel da fundao, a no considerao daexcentricidade de forma se justifica pelas elevadas foras normais atuantes, cujosacrscimos de excentricidades so pequenos, no alterando os resultados dodimensionamento. No nvel da cobertura, os pilares so poucos solicitados e dispemde uma armadura mnima capaz de absorver o acrscimo de esforos causados pelasexcentricidades de forma, no sendo necessrio, portanto, consider-la.

Programas computacionais elaborados para anlise estrutural e dimensionamento

com os critrios dos estados limites ltimos e verificaes de aberturas de fissuras edeslocamentos com os critrios dos estados limites de servio, consideram asexcentricidades de forma.

3.2.3 Excentricidade acidental

A NBR 6118:2003 prev a considerao de uma excentricidade acidental (ea)para levar em conta as imperfeies locais por ocasio da construo dos pilares. Asimperfeies podem ser a falta de retilinidade do eixo do pilar ou o desaprumo (figura3.4). Admite-se que, nos casos usuais, a considerao apenas da falta de retilinidadedo pilar suficiente com relao a verificao da segurana estrutural.


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Falta de retilinidade do pilar

1

/2

b) Desaprumo do pilar

1

Figura 3.4 - Considerao das imperfeies locais do pilar

[NBR 6118:2003]

sendo

min,

e

11100

1

=

l com el em metros;

de tal modo que 1 no seja menor do que o ngulo min,1 , cujo valor ;

300

11 = min, no caso de imperfeies locais como as dos tramos de pilares.

A NBR 6118:2003 estabelece ainda que para o dimensionamento o momentototal de primeira ordem, isto , a soma dos momentos iniciais com os momentosproduzidos pelas imperfeies geomtricas locais, precisa respeitar o valor mnimo,dado por:

( ) min,iddmin,d eNh,,NM =+= 03001501 (3.8)

sendo:

Nd fora normal de clculo;

h a altura da seo transversal na direo considerada, em metros;

ei,mina excentricidade mnima igual a h,, + 0300150 , em metros.

De acordo com a NBR 6118:2003, nas estruturas reticuladas usuais, admite-se

que o efeito das imperfeies locais esteja atendido se for respeitado o valor domomento total mnimo. No caso de flexo composta oblqua, o valor do momentomnimo precisa ser respeitado em cada uma das direes principais, separadamente.


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3.2.4 Excentricidade de segunda ordem

A determinao dos efeitos locais de segunda ordem pode ser feita pelo mtodogeral ou por mtodos aproximados. Neste texto, somente abordada a consideraodos efeitos de 2.a ordem para os pilares medianamente esbeltos, empregando-se o

mtodo do pilar padro com curvatura aproximada e o mtodo do pilar padro comrigidez aproximada.Os pilares medianamente esbeltos correspondem a maioria das ocorrncias em

estruturas correntes de edifcios, sendo mais raros os casos de pilares com ndices deesbeltez maiores do que 90.

a.- Mtodo do pilar padro com curvatura aproximada

Pode ser empregado no dimensionamento de pilares com 90, com seoconstante e armadura simtrica e constante ao longo do seu eixo. Este mtodo aplica-se somente ao caso de flexo composta normal.

A no-linearidade geomtrica considerada de modo aproximado, supondo-seque a deformada da barra possa ser representada por uma curva senoidal. A no-linearidade fsica considerada por uma expresso aproximada da curvatura na seotransversal que apresenta maior valor de momento fletor levando em conta osmomentos de primeira e segunda ordens.

O momento total mximo no pilar, ou seja, a soma dos momentos de 1.aordemcom os momentos de 2.aordem, calculado pela expresso:

A,d1

2e

dA,d1btot,d Mr1

10NMM +=

l (3.9)

sendo,

( ) h005,0

5,0h005,0

r1

+

= comcdc

d

fAN

= e min,d1A,d1 MM

sendo,

b o mesmo coeficiente definido no item 2.3;

A,d1M o valor de clculo do momento de 1ordem MA, definido no item 2.3;

h a altura da seo do pilar na direo analisada;

a fora normal adimensional;

fcd a resistncia a compresso de clculo do concreto;

min,d1M tem o mesmo significado da expresso (3.8).

Portanto, partindo da segunda parcela da expresso (3.9), conclui-se que aexcentricidade de 2.aordem e2assume o seguinte valor:


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12

r1

10e

2e

2 = l

(3.10)

b.- Mtodo do pilar padro com rigidez aproximada

O mtodo pode ser empregado no dimensionamento de pilares com 90, comseo constante e armadura simtrica e constante ao longo do seu eixo. Este mtodopode ser aplicado em pilares submetidos flexo composta oblqua, analisando-secada uma das duas direes principais, simultaneamente.

A no-linearidade geomtrica considerada de forma aproximada, supondo-seque a deformada da barra seja senoidal. A no-linearidade fsica considerada poruma expresso aproximada da rigidez.

O valor de clculo do momento total mximo no pilar (soma do momento de 1ordem com o momento de 2ordem) pode ser calculado pela expresso:

= min,d1

A,1d

2

A,1db

tot,d M

M

1201

M

M (3.11)

sendo a rigidez adimensional, calculada aproximadamente por:

+=

d

tot,d

Nh

M5132 (3.12)

As demais variveis possuem o mesmo significado do mtodo anterior.Usualmente, 2 ou 3 iteraes so suficientes quando se optar por um processoiterativo.

possvel considerar uma soluo nica para clculo do Md,tot, portanto sem anecessidade de iteraes, usando a expresso 3.13, resultante da substituio daexpresso 3.12 em 3.11.

0384019200384019200 1122 =+ A,ddbtot,dA,dbddtot,d MNhM]MNhNh[M

(3.13)

Considerando a expresso 2.8, pode-se escrever:

2

22 12

he=

l (3.14)

Substituindo a 3.14 em 3.13 obtem-se a equao de segundo grau 3.15 cujaincgnita o valor do momento fletor total, que considera os momentos fletores deprimeira e segunda ordens.

05320

15 1

21

222 =+ A,dbdtot,dA,dbddtot,d MNhM]MhNNh[Mh l (3.15)

Fazendo:

h5a = ;


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13

A,dbd

d MhN

Nhb 12

2 5320

= l

;

A,dbd MNhc 12 = ;

resulta a equao de segundo grau 3.16

zerocMbMa tot,dtot,d =++2 (3.16)

que permite calcular o valor de Md,totquando se adota o mtodo do pilar padrocom rigidez aproximada.

c.- Mtodo do pilar padro para pilares da seo retangular submetidos flexooblqua composta

Quando a esbeltez de um pilar de seo retangular submetido flexo compostaoblqua for menor que 90 (< 90) nas duas direes principais, precisa ser aplicado oprocesso aproximado do pilar padro com rigidez aproximada em cada uma das duasdirees.

A amplificao dos momentos de 1 ordem em cada direo diferente, poisdepende de valores distintos de rigidez e esbeltez.

Uma vez obtida a distribuio de momentos totais, de primeira e segunda ordem,em cada direo, deve ser verificada, para cada seo ao longo do eixo, se acomposio desses momentos solicitantes fica dentro da envoltria de momentosresistentes para a armadura escolhida. Essa verificao pode ser realizada em apenas

trs sees: nas extremidades A e B e num ponto intermedirio onde se admite atuarconcomitantemente os momentos Md,tot nas duas direes (x e y).

3.2.5 Excentricidade causada pela fluncia

A excentricidade causada pela fluncia do concreto ecdeve ser considerada empilares com > 90, ou seja, nos pilares esbeltos e muitos esbeltos. Os efeitos dafluncia podem ser desprezados em pilares com ndices de esbeltez menores que 90.

Embora a avaliao precisa dos efeitos da fluncia seja uma tarefa complexa, aNBR 6118:2003 apresenta uma expresso simplificada para o clculo daexcentricidade ec, dada a seguir:

+=

1718,2eN

Me Sge

Sg

NN

N

aSg

Sgc (3.13)

sendo

MSg e Nsg os esforos solicitantes no pilar obtidos com combinao quase-permanente;

ea a excentricidade acidental;

o coeficiente de fluncia;


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2e

ccie

IE10N

l

= ;

5,0ckci f600.5E = o mdulo de elasticidade inicial do concreto;

Ic o momento de inrcia da seo do pilar;

el o comprimento equivalente do tramo de pilar.

A excentricidade ec calculada na expresso (3.13) precisa ser somada excentricidade de 1.aordem.

3.3 Situaes de projeto e de clculo

As situaesde projetodos pilares dependem apenas de sua posio em relao estrutura e dos esforos iniciais nos mesmos. Portanto, conforme mencionado no

item 2.1, a situao de projeto dos pilares intermedirios de compresso centrada,dos pilares de extremidade de flexo normal composta e dos pilares de canto deflexo oblqua composta.

Nas situaes de clculo, ou seja, as admitidas para o dimensionamento, almdas excentricidades iniciais da situao de projeto, devem estar consideradas asexcentricidades que levam em conta efeitos adicionais, tais como as imperfeiesgeomtricas, os efeitos de 2.aordem e os efeitos da fluncia do concreto.

3.3.1 Seo de extremidade e sees intermedirias de pilares

No dimensionamento, alm das sees das extremidades, tambm precisam seranalisadas as sees intermedirias do pilar.

Para compreender as diferentes situaes em que se encontram essas duassees, pode-se partir de uma estrutura de ns indeslocveis, onde os ns extremosde um pilar no tm deslocamentos horizontais, pois os mesmos podem serconsiderados fixos nas vigas dos pavimentos. Os pavimentos constitudos por lajes evigas funcionam como um diafragma horizontal impedindo, assim, os deslocamentosno seu plano.

Entretanto, em uma seo intermediria do pilar, existem deslocamentos de 2.aordem, que precisam ser considerados no projeto (figura 3.6). Por outro lado, asexcentricidades iniciais nas sees intermedirias so menores que as das sees

extremas (pois os momentos solicitantes so menores).As situaes de clculo nas sees de extremidade e na seo intermediriaprecisam ser consideradas separadamente, as resistncias destas sees precisamser verificadas separadamente e a reas de armadura das sees transversais so asmaiores entre as verificaes das vrias sees.

Pilares curtos: 1

Quando < 1, os efeitos locais de 2ordem podem ser desprezados na direoem questo. Somando-se a excentricidade inicial e a relativa falta de retilinidade,geram-se as situaes de clculo indicadas na figura 3.6.


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15

Pilares medianamente esbeltos: 1< 90

Nos casos de projetos de pilares em > 1, os efeitos locais de segunda ordemprecisam ser obrigatoriamente considerados. A determinao dos efeitos de 2.aordempode ser feita por mtodos aproximados, como o mtodo dopilar padro. Os efeitos dafluncia do concreto podem ser desprezados nos pilares medianamente esbeltos

(1


18/70


16

y

x

y

x

SITUAO DE PROJETO

Nd dN

eax

y

Ndx

eay

Compresso centrada Flexo normal composta Flexo normal composta

Pilaresintermedirios

Flexo normal composta

Pila

resdeextremidade


Nd x

y

eax

Flexo oblqua composta

y

Nd x aye

y

d

x

N

ixe ixe eix


Pilaresde

canto


ixe

Nd

y

x


y

x

y

xiye e

ixe

iy

Nd

axe

e

ixe

iy

Ndeay

SITUAES DE CLCULO- Sees intermedirias

Figura 3.6:Situao de projeto e de clculo em pilares curtos sees intermedirias


19/70


17

y

x

y

x

SITUAO DE PROJETO

N d dN

eax

y

N d

xeay

Compresso centrada Flexo normal composta Flexo normal composta

Pilaresintermedirios

Pilaresdeextremidade


N d x

y

eax


y

N d x aye

y

d

x

N

ixe ixe eix


Pilaresdecan

to


ixe

N d

y

x


y

x

y

xiye e

ixe

iy

N d

axe

e

ixe

iy

N d

eay

SITUAES DE CLCULO- Sees intermedirias

2xe

e2y

2xe

e2y

2xe

2ye


Figura 3.7:Situao de projeto e de clculo em pilares medianamente esbeltos sees intermedirias


20/70


18

4. Detalhamento de pi lares de concreto armado

4.1 Dimenses mnimas dos pilares

A NBR 6118:2003 estabelece que a menor dimenso da seo transversal dopilar no deve ser inferior a 19cm. Esta recomendao visa evitar um comportamento

inaceitvel para os elementos estruturais e propiciar condies adequadas deconstruo.Em casos especiais, permite-se que a menor dimenso do pilar esteja

compreendida entre 19cm e 12cm. Nestes casos, preciso multiplicar os esforosfinais de clculo empregados no dimensionamento dos pilares por um coeficienteadicional n, de acordo com a tabela 4.1:

Tabela 4.1 - Valores do coeficiente adicional nMenor dimenso da seo do pilar (cm)

Menor dimenso 19 18 17 16 15 14 13 12

Valor de n1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35

4.2 Armaduras longitudinais

4.2.1 Taxa geomtrica mnima e mxima

Inicialmente, define-se taxa geomtrica de armadura longitudinal do pilar pelaseguinte relao:

c

s

A

A= (4.1)

sendo Asa soma das reas das sees transversais das barras longitudinais eAc a rea da seo transversal do pilar.

De acordo com as recomendaes da NBR 6118:2003, a rea mnima dearmadura longitudinal, que depende da resistncia do ao e da intensidade dasolicitao em virtude da fora normal, determinada pela seguinte expresso:

ccyd

dmin,s A%4,0A004,0f

N15,0A == (4.2)

Portanto, a taxa geomtrica mnima de armadura igual a 0,4%.

A maior rea de armadura possvel em pilares, considerando-se inclusive asobreposio de armadura em regies de emenda, deve ser de 8% da rea da seotransversal, ou seja:

cmax,s A%8A =

Nas regies fora das emendas por traspasse a taxa de armadura longitudinal fica

igual a 4%, pois, nas regies de emendas tm-se o dobro do nmero de barras.A taxa geomtrica de armadura mxima em pilares de concreto armado de 4%,nas regies fora das emendas por traspasse.


21/70


19

4.2.2 Dimetro mnimo das barras

O dimetro mnimo das barras longitudinais no pode ser inferior a 10 mm etambm no pode ser superior a 1/8 da menor dimenso da seo do pilar.

4.2.3 Distribuio das armaduras longitudinais na seo do pilar

A NBR 6118:2203 prescreve que as barras longitudinais devem ser posicionadasao redor da periferia da seo, de forma a garantir a adequada resistncia do elementoestrutural.

Em sees poligonais, dentre as quais esto includas as sees retangulares,precisa existir pelo menos uma barra em cada canto ou vrtice do polgono. Em seescirculares, deve existir pelo menos seis barras, distribudas ao longo do permetro.

4.2.4 Espaamento livre entre as barras das armaduras

Para garantir adequada concretagem necessrio que o concreto tenha um

mnimo de espao para passar entre as armaduras longitudinais. Por esse motivoimpem-se limitaes ao espaamento livre entre as barras da armadura longitudinal(aL), o qual precisa ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:

- 20 mm;

- a medida do dimetro da barra, do feixe ou da luva adotada na emenda;

- 1,2 vez o dimetro mximo do agregado.

4.2.5 Espaamento mximo entre eixos das armaduras

O espaamento mximo entre os eixos das barras da armadura tambm limitado, precisando ser menor ou igual a duas vezes a menor dimenso do pilar, semexceder a 400mm.

4.3 Armaduras transversais

4.3.1 Dimetro dos estribos

O dimetro dos estribos (t) em pilares no pode ser inferior a 5 mm ou 1/4 do

dimetro da barra longitudinal.

4.3.2 Espaamento longitudinal entre os estribos

A fim de garantir o posicionamento das barras da armadura longitudinal e,tambm, impedir a flambagem das barras longitudinais e servir de armadura de costuranas regies de emendas, so recomendados espaamentos mximos entre os estribos(medido na direo do eixo do pilar), devendo ser igual ou inferior ao menor dosseguintes valores:

-200 mm;

-menor dimenso da seo;


22/70


20

-24 para ao CA-25 e 12 para ao CA-50, onde o dimetro da barralongitudinal.

Os estribos podem apresentar dimetro t menor do que lon/4 desde que asarmaduras sejam constitudas do mesmo tipo de ao e o espaamento longitudinalrespeite tambm a seguinte limitao:

yk

tmx f

s1

90002

= (4.3)

A figura 4.1 indica, resumidamente, os valores dos espaamentos mximos emnimos das armaduras transversais e longitudinais recomendados pela NBR6118:2003.

Seo transversal do pilarEstribos ao longo do eixo do pilar

t

400 mm2b

12(CA-50)

200 mm

24(CA-25)

1,2 d

40 mm

max

L

a

a 4

s b

h

max agreg.

b < h

5 mm/4

La

t

maxa

b

Figura 4.1 - Resumo das principais recomendaes da reviso da norma brasileira a

respeito do espaamento das armaduras em pilares

4.3.3 Proteo contra a flambagem das barras longitudinais

Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras junto superfcie,

devem precisam ser tomadas precaues para evit-la.Segundo a NBR 6118:2003, os estribos poligonais impedem a flambagem dasbarras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas nomximo distncia de 20tdo canto, desde que nesse trecho de comprimento 20tnoexistam mais de duas barras, no contando a do canto. Quando houver mais de duasbarras no trecho de comprimento 20t ou barras fora dele, deve haver estribossuplementares.


23/70


21

estribossuplementares

20 t 20 t

Figura 4.2 - Proteo contra a flambagem das barras longitudinais

Se o estribo suplementar for constitudo por uma barra reta, terminada emganchos, ele deve atravessar a seo do elemento estrutural e os seus ganchos devemenvolver a barra longitudinal. Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida

junto extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estriboprincipal em ponto junto a uma das barras, o que dever ser indicado no projeto de

modo bem destacado (figura 4.3).

20 t 20 tt20

t

t

tt

Gancho envolvendo abarra longitudinal

Gancho envolvendo umestribo principal

Figura 4.3:Forma de posicionar os ganchos dos estribos suplementares

4.4 Emenda das barras longitudinais do pilar

Em funo do processo construtivo empregado para execuo dos pilares, asbarras longitudinais desses elementos precisam ser emendadas ao longo de seucomprimento. As emendas das barras podem ser: por traspasse; por luvas com

preenchimento metlico ou rosqueadas; por solda.A emenda por traspasse empregada por seu menor custo, alm da facilidade namontagem das barras da armadura na construo.

A NBR 6118:2003 recomenda que a emenda por traspasse seja evitada paradimetros de barras maiores que 32mm.

O comprimento de traspasse nas barras longitudinais comprimidas determinadopela seguinte expresso:

min,cnec,bc 00 lll = (4.4)

sendo que:

nec,bl o comprimento de ancoragem necessrio;


24/70


22

min,c0l o maior valor entre b, l60 , 15e 200mm;

bl o comprimento de ancoragem bsico.

A figura 4.4 contm um exemplo de emenda por traspasse em pilares de seoconstante, onde as barras longitudinais do pilar inferior so interrompidas a uma alturaacima da face superior da viga ou laje igual ao comprimento de traspasse.

oc

traspasse

AA

Seo A-A

Figura 4.4:Emendas por traspasse das barras longitudinais dos pilares


25/70

Jos Samuel Giongo USP EESC SET Fevereiro de 2008Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003

23

5. Exemplos de pro jeto de pilares (14 de fevereiro de 2008)

Neste item apresentam-se exemplos de dimensionamento de pilares de concretoarmado seguindo as recomendaes da NBR 6118:2003. Desenvolveu-se um exemplopara cada tipo de pilar quanto sua posio geomtrica na forma do pavimento-tipo:pilar interno, pilar de extremidade e pilar de canto.

O projeto de edifcio considerado o analisado por Fusco (1981), pormatualizado com os critrios da NBR 6118:2003 [ABNT, 2004].A figura 5.1 ilustra a planta de forma do pavimento tipo e a tabela 1 fornece os

dados necessrios para os clculos e detalhamentos das reas das armaduras.Os pilares a serem projetados so: o P5 que um pilar que pode ser considerado

submetido fora normal, no sendo considerados os momentos fletores atuantes emfuno da ligao do pilar com as vigas V2 e V5; o pilar P4 submetido ao de foranormal calculada considerando-se as reaes de apoio das vigas V2 e V4; e, o pilar P1submetido flexo composta oblqua, por ser um pilar de canto e, portanto, submetido fora centrada e momentos fletores em duas direes principais em virtude daligao deste com as vigas V1 e V4.

L1

L3

L2

L4

P125/60

25/70P4 P5

35/60

25/60P2

V1 (20x62)

V2 (20x62)

V3 (20x62)

V4(12x52)

V5(20x52)

V6

P7

P3

P6

P8

4,0

0m

4,0

0m

5,00 m6,00 m

Figura 5.1:Forma do pavimento tipo [Fusco (1981)]

Tabela 01 - Dados para os projetos dos pilares do exemplo de edifcio

Materiais Cobrimento Fora normal Aes nas vigas

Concreto C30

Ao CA-502,5 cm

P5: 7202.Nk= kNP4: 6701.Nk= kNP1: 2301.Nk= kN

V2: ( ) 19qg k =+ kN/mV1: ( ) 20qg k =+ kN/mV4: ( ) 16qg k =+ kN/m

Nestes exemplos, para a determinao dos efeitos de 2.

a

ordem, emprega-se omtodo do pilar padro com curvatura aproximada no projeto do pilar P4 submetido aaes relativas flexo normal composta. No caso do pilar P1 com aes atuantes quegeram flexo oblqua composta considera-se o mtodo do pilar padro com rigidezaproximada. No projeto do pilar P5, submetido a fora centrada na situao de projeto,


26/70

USP - EESC - SET - Concreto armado: projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003 24

por se tratar de pilar interno, tambm se considera o mtodo do pilar padro comcurvatura aproximada.

5.1 Exemplo 1: pilar interno P5

Para o pilar interno P5, indicado na figura 5.1, considera-se que a distncia

vertical entre os nveis dos pavimentos seja de 5,60 metros, conforme Fusco (1981). Afigura 5.2 indica essa medida.

CORTE: EIXO X

35

SEO TRANSVERSAL

35

V2

y

60 x 560

62

V2

60

CORTE: EIXO Y

P5

V5

P5

V5

560

52

medidas em cm

V5

V2

a - Seo transversal e cortes paralelos aos eixos x e y do pilar P5

60

V2

V2

V5

V5

52

62

20

560

P5

35

20

b - Perspectiva do pilar P5 e respectivas vigas - tipo

Figura 5.2 - Condies geomtricas do pilar P5

As foras normais caracterstica e de clculo atuantes no pilar P5, de acordo como projeto, so iguais a:


27/70


25

kN.Nk 7202=

kN..,Nd 8083720241 ==

5.1.1 Excentricidades iniciais

Nas sees de extremidade - topo e base do pilar - e intermediria, nas duasdirees x e y, as excentricidades so iguais a zero, pois se trata de um pilar interno,assim tm-se:

0eee iCiBiA ===

5.1.2 Clculo dos comprimentos equivalentes do pilar P5

Para os clculos dos comprimentos equivalentes do pilar P5, nas direes x e y,

consideram-se as expresses 2.7, indicadas pela NBR 6118:2003, e o que mostradona figura 2.3 e na planta de forma da figura 5.1 e na figura 5.2.Na direo do eixo x a distncia entre as faces das vigas V2 em dois andares

seqentes igual a:

cmox 49862560 ==l

O comprimento equivalente na direo do eixo x a menor das medidas entre adistncia livre acrescida da medida do lado do pilar na direo x e a distncia entre oscentros das vigas-tipo V2 entre dois andares, resultando:

cm53335498hxoxex =+=+= ll

cm560x =l

ou seja:

cmex 533=l

Analogamente para o comprimento equivalente do pilar P5 na direo do eixo y,tem-se:

cm56860508hyoyey =+=+= ll

cm560y =l

portanto:

cm560ey =l

5.1.3 Clculo dos ndices de esbeltez

O clculo dos ndices de esbeltez nas direes x e y so calculados com asexpresses indicadas em 2.6 e com exe eycalculados em 5.1.2.

Considerando o eixo x obtem-se:


28/70


85235

1253312,

hi xex

x

exx =

=

==

ll

preciso comparar esse valor de xcom o ndice de esbeltez de referncia (1)x.Para clculo do ndice de esbeltez de referncia usa-se a expresso 2.1 com b

avaliado para cada direo.Na direo do eixo x tem-se 0,1bx= , pois os momentos atuantes nas

extremidades - topo e base do tramo do pilar P5 so iguais a zero e menores que omomento mnimo.

Portanto, (1)xresulta:

( ) 2501

350

5122551225

1 =+

=

+=

,

,he

,

bx

x

ix

x

preciso considerar que a NBR 6118:2003 indica que 9035 1 . Portanto( ) 35 x1 = .

Como ( ) 358,52 x1x =>= entende-se que se trata de um pilar medianamenteesbelto na direo x, sendo necessrio considerar-se na direo do eixo x o efeito domomento de segunda ordem causado pelas deformaes das sees transversais.

Na direo do eixo y o ndice de esbeltez, com eyigual a 560cm e hyigual a 60cmresulta:

332

60

1256012,

hi y

ey

y

eyy =

=

==

ll

O valor de by igual a 0,1 , pois os momentos nas extremidades do tramo de

pilar so iguais a zero e menores que o momento mnimo a ser considerado em todosos projetos de pilares segundo a NBR 6118:2003.

( ) 2501

600

5122551225

1 =+

=

+

=,

,h

e,

by

y

iy

y

Portanto, resulta ( ) 35y1 = posto que seja maior do que o valor calculado de 25.

Considerando que ( ) 353,32 y1y =


29/70


27

rad00433,033,5100

1

100

1

exx1 =

=

=

l

que maior do que

rad00333,0300

1 min,1 ==

Portanto a excentricidade acidental na direo do eixo x resulta igual a:

cm,,eax 1512

533004330 ==

Analogamente, na direo do eixo y a excentricidade acidental resulta:

00333,0300

1

rad00423,060,5100

1

100

1

min,1eyy1 ==>=== l

cm18,12

56000423,0eay ==

5.1.5 Clculo das excentricidades mnimas

A NBR 6118:3003 indica, como j estudado no item 3.2.3, a considerao de umvalor de Md1,mincalculado com a expresso 3.8, resultando na direo do eixo x:

( ) cm55,2m0255,035,003,0015,0h03,0015,0e xxmin,1 ==+=+=

Analogamente, na direo do eixo y, resulta:

( ) cm30,3m0330,060,003,0015,0h03,0015,0e yymin,1 ==+=+=

Como devem prevalecer os maiores valores das excentricidades mnimas eacidentais por causa da falta de retilinidade, nas sees de extremidade - topo e base -e na seo intermediria, tm-se as excentricidades de primeira ordem:

cm15,1ecm55,2e axx1 =>=

cm18,1ecm30,3e ayy1 =>=

5.1.6 Clculo das excentricidades de segunda ordem

O clculo da excentricidade de segunda ordem, relativa seo intermediria nadireo do eixo x, feito com as expresses do item 3.2.4a, deduzidas com base noMtodo do pilar padro com curvatura aproximada, como indicado na NBR 6118:2003.

A excentricidade de segunda ordem calculada por:

r

1

10e

2ex

x2 = l


30/70


Seguindo a rotina indicada no item 3.2.4a calculam-se:

a.- resistncia de clculo compresso do concreto

2cd cm/kN14,24,1

0,3f ==

b.- fora normal reduzida

( )850

14260358083

,,

.fA

N

cdc

d =

=

=

c.- curvatura da deformada em virtude das deformaes de segunda ordem

( ) ( )55 10314

0050105810

50850350050

5000501 =


31/70


29

O arranjo final da armadura longitudinal adotado para a situao mais

desfavorvel.Para os clculos das reas das armaduras utilizam-se os bacos de Venturini

(1987) para a flexo normal composta.

5.1.8 Clculo das reas das armaduras

preciso considerar-se as situaes a direo do eixo x e situao b direodo eixo y das sees de extremidades, topo e base, e intermediria indicadas na Figura5.3.

5.1.8.1 Situao a direo x

Analisando as medidas das excentricidades nas sees intermediria e de topo ebase percebe-se que o valor maior o que ocorre na seo intermediria, onde se temas excentricidades mnima e de segunda ordem, sendo que na seo de topo e base

tem-se apenas a excentricidade mnima, que leva em conta a excentricidade acidental.Para o clculo da rea das barras longitudinais preciso determinar:

a.- Relao entre a distncia do centro das barras da armadura e a medida dolado da seo transversal na direo considerada - x

10011035

04,,

,hd

x

x'

==

b.- Excentricidade total na direo x

De acordo com a figura 5.3 tem-se

cm,,,ex 555003552 =+=

c.- Valor da fora normal reduzida

850,d=

d.- Clculo do momento fletor reduzido na direo do eixo x

13035

555850 ,

,,

h

e

x

xddx ===

e.- Clculo da rea das barras da armadura longitudinal para a situao a seointermediria

Para o clculo da rea das barras da armadura para a situao a, neste caso deflexo composta normal escolhe-se um arranjo de barras distribudaspreponderantemente nos lados paralelos a hy da seo transversal, pois est sendoconsiderado momento fletor com plano de ao paralelo ao lado hx.

Assim, escolhe-se, inicialmente, o baco A-2 [Venturini, 1987], para 100,h/d xx' = ,que, como pode ser observado, resultou a taxa geomtrica de armadura igual a:

360,=


32/70


A rea das barras igual a:

( ) 21937543

1426035360cm,

,

,,

f

fAA

yd

cdcs =

=

=

Escolhendo-se barras de dimetro de 20,0mm, cuja rea igual a 3,14cm2,resulta como rea efetiva, para esta primeira avaliao da rea das barras longitudinaisdo pilar P5, o valor:

As,efe= 37,68cm2

que representada por 12 20,0mm distribudas paralelamente ao lado y,segundo o considerado no baco A-2 [Venturini, 1987].

5.1.8.2 Situao b direo y

Analisando, agora, as medidas das excentricidades nas sees intermediria e detopo e base na direo y percebe-se a excentricidade igual a 3,30cm para as trssees topo e base e intermediria, conforme figura 5.3.

Para o clculo da rea das barras longitudinais preciso calcular:

a.- Relao entre a distncia do centro das barras da armadura e a medida dolado da seo transversal na direo considerada - y

07,060

0,4

h

d

y

y'

==

b.- Excentricidade total na direo y

cm,ey 303=

c.- Valor da fora normal reduzida

850,d=

d.- Clculo do momento fletor reduzido na direo do eixo y

05060

303850 ,

,,

h

e

y

yddy ===

e.- Clculo da rea das barras da armadura longitudinal para a situao b todasas sees transversais ao longo da altura do pilar

Escolhem os bacos A-17 (d/h = 0,05) e A-18 (d/h = 0,10), elaborados porVenturini (1987), pois eles apresentam o mesmo arranjo das barras da armaduralongitudinal adotado para a direo x. Esses bacos consideram o plano de ao do

momento atuando na direo do eixo y. Assim, resulta para valor da taxa geomtricade armadura:

130,=


33/70


31

Como este valor de taxa mecnica menor do que a calculada na situao a para

a qual resultou = 0,36, entende-se que esta taxa atende as duas situaes de clculoda armadura a e b.

5.1.9 Arranjo final da barras na seo transversal do pilar P5

O arranjo escolhido foi o do baco A-2 que resultou As,efe igual a 37,68cm2cuja

taxa geomtrica igual a:

%,,,

AA

c

s 79101794060356837

==

==

A NBR 6118:2003 indica que a rea das barras da armadura longitudinal empilares precisa resultar menor do que:

%0,42%0,8max ==

lembrando-se que preciso considerar apenas a metade das barras para levarem conta as regies de emendas por traspasse.

A rea de armadura mnima, que tambm precisa ser verificada, resulta igual a:

2c

2

yd

cdmin,s cm40,86035004,0A004,0cm14,1348,43

808.315,0

f

N15,0A =====

5.1.10 Arranjo na seo transversal e clculo dos espaamentos entre os estribosConforme estudados em itens anteriores deste texto e mediante consulta a NBR

6118:2003 preciso calcular os espaamentos entre os estribos inclusive os estribossuplementares necessrios para evitar a flambagem localizada das barraslongitudinais. A figura 5.4 mostra o arranjo das barras na seo transversal do pilar P5e a rotina com os clculos dos espaamentos dos estribos.

5.1.7 Detalhamento do pilar P5

A figura 5.5 apresenta o detalhamento completo de um tramo do pilar P4,

mostrando as barras longitudinais em verdadeira grandeza, inclusive com o segmentode espera, ou seja, o comprimento de traspasse para promover as emendas das barrasdo tramo i com as barras do tramo i + 1. A seo transversal mostrada na figura 5.4 desenhada na figura 5.5, deslocando-se os desenhos em verdadeira grandeza dosestribos principais e suplementares. Essa figura 5.5 enviada para a obra para que ostcnicos possam montar as barras do tramo do pilar P5


34/70


Seo transversal do pilar P5

12 20,0 mm

20 t

20 t

10,5 cm

Estribos

Dimetro:

==

5,0mm20,0/4/4

mm,t

05

Adota-se 5,0mmt Espaamento:

==

=

cm,,

35cmb

cm

s

024021212

20

cm20s =

Proteo contra a flambagem dasbarras:

cm,,t 010502020 == Portanto, so necessrios estribossuplementares nas oito barras

longitudinais centrais.

Figura 5.4 - Arranjo das barras da armadura longitudinal do pilar P5

P5 (35 x 60)

N3 - 2x29 5,0 C/20 C=40

29N2C/20

i

N1-122

0,0

C=645

30

60

35

i + 560

N2 - 29 5,0 C/20 C=180

55

30

Figura 5.5 - Detalhamento de um tramo do pilar P5


35/70


33

baco A - 2 - Venturini (1987) - EESC - USP


36/70




37/70


35

baco A - 18 - Venturini (1987) - EESC USP


38/70


5.2 Exemplo 2: Pilar de extremidade P4

Para este exemplo, considera-se o pilar de extremidade P4 da planta dopavimento tipo da figura 5.1, admitindo que a distncia vertical entre os nveis dospavimentos seja de 4,60 metros, conforme figura 5.6.

V2

CORTE: EIXO X

V2

P4

25

SEO TRANSVERSAL

V4

25

70

y

x

V4

460

P5

35

medidas em cm

V5

o,viga

62

(g+q)=19 kN/m

V5


560

V2

V4

V4

P4

V2

V4

V4

52

12

62

7025

20


Figura 5.6 - Condies geomtricas do pilar P4

As foras normais caracterstica e de clculo atuantes no pilar P4 so iguais a:

kN.Nk 6701=

kN.,Nd 3382167041 ==

Por se tratar de um pilar de extremidade com os esforos solicitantesdeterminados pelo processo de viga contnua, indicado na NBR 6118:2003, o pilar P4


39/70


37

ser considerado submetido a uma fora normal e um momento fletor em virtude dasua ligao com a viga V2 definindo, portanto, situao de projeto de flexo normalcomposta. Com relao s aes da viga V4 s se considera a fora normal por causada reao de apoio, sendo que o momento fletor no considerado.

5.2.1 Determinao do momento fletor atuante no tramo do pilar P4

5.2.1.1 Clculo dos comprimentos equivalentes do tramo do pilar

a.- Direo do eixo x:

Observando a figura 5.6, nota-se que na direo do eixo x a distncia livre entreas vigas V2 posicionadas em dois andares seqentes igual a:

cmox 39862460 ==l

O comprimento equivalente calculado pelas expresses 2.7 com as indicaesda figura 2.3, lembrando que h a medida da seo transversal do pilar na direo doeixo considerado, resultando:


cm460xex == ll

Portanto, o comprimento equivalente do pilar na direo do eixo x :

423ex =l cm

b.- Direo do eixo y:

Analogamente, na direo y tem-se:

distncia livre entre as vigas V4 entre dois andares consecutivos,

cmoy 40852460 ==l

sendo que o comprimento equivalente a menor medida entre,


cm460yey == ll

ou seja, na direo do eixo y resulta:

cmey 460=l

5.2.2.2 Clculo do vo efeito da viga V2

A expresso a considerar a 3.6.a, com as indicaes da figura 3.2a.

21viga,oviga,ef aa ++= ll (expresso 3.6a)


40/70


Analisando a forma estrutural do pavimento tipo, figura 5.1, determina-se a

distncia livre da viga V2 entre os pilares P4 e P5, resultando:

cmviga,o 570235

225

600 ==l

A medida a1relativa ao pilar P4 calculada por:

cm5,122

25

2

ha 4P,x1 ===

cm6,18623,0,h3,0a 2V21 ===

resultando, portanto, a medida de menor valor:

cm5,12a1=

Analogamente a medida a2relativa ao pilar P5 calculada por:

cm5,172

35

2

ha 5P,x2 ===

cm6,18623,0h3,0a 2V,22 ===

resultando:

cm,a2 517=

Substituindo os valores das medidas oV2, a1 e a2 resulta como medida do voefetivo do primeiro tramo da viga V2:

cm6005,175,125702V,ef =++=l

5.2.3 Momento fletor atuante inicial no pilar P4

Os momentos fletores atuantes nos tramos do pilar P4, conforme estudado,podem ser determinados considerando o modelo simplificado da NBR 6118:2003 eneste texto indicado no item 3.2.1.

A figura 5.7 apresenta o desenho do modelo do pilar P4 com a V2 e com asmedidas calculadas nesta memria de clculo.


41/70


39

P4

inf

1/2

=2

11,5cm

=2

11,5cm

sup

1/2

= 600 cmef,viga

V2

= 19 kN/m(g+q)k

Figura 5.7 - Modelo para clculo do momento fletor solicitante no pilar P4Seguindo a rotina mostrada na NBR 6118:2003 preciso calcular as rigidezes dos

tramos superior e inferior do pilar e do primeiro tramo da viga V2 que est vinculado aopilar.

A rigidez do tramo superior do pilar igual a:

33

12935211

112

25703

213

cm,

Ir

sup

pilarsup =

=

=

l

Como as sees transversais dos tramos inferior e superior so iguais tem-se:

3supinf cm293.1rr ==

A rigidez da viga resulta:

33

6482600

112

622044cm.

Ir

viga

vigaviga =

=

=

l

O momento de engastamento perfeito para o primeiro tramo da viga V2 resultaigual a:

( )kNcm.kNm

,qgM vigaeng 70055712

061912

22

==

=+

= l

Portanto, os momentos fletores solicitantes nos tramos resultam:

kNcm....

..

rrr

rMM

infsupviga

supengsup 4081293129316482

29317005 =

++

=

++=

Como no h mudana de seo transversal entre os pavimentos tem-se:

kNcm.MM supinf 4081==


42/70


A figura 5.8 mostra os diagramas de momentos fletores caractersticos iniciais no

pilar P4.

211,5 cm

211,5 cm

211,5 cm

211,5 cm

Mviga

Equilbrio do n

1408 kN.cm

Minf= 1408 kN.cm

Viga

Minf

Msup= 1408 kN.cm

1408 kN.cm

Msup

Figura 5.8 - Diagramas de momentos fletores caractersticos no pilar P4

5.2.3.1 Excentricidades iniciais no pilar P4 direo x

A excentricidade inicial na seo de topo na direo do eixo x igual a:

cm,..

N

Me

d

A,diiAx 8403382

9711===

pois, o momento fletor de clculo o momento fletor caracterstico, indicado nodiagrama da figura 5.8, multiplicado por 41,f= , ou seja:

kNcm..,MM B,diA,di 9711408141 ===

e a fora normal de clculo :

kN.Nd 3382=

Na seo da base a excentricidade inicial dada por:

cm,ee iAxiBx 840==

Como j estudado no item 3.2.1 e expresso 3.2 a excentricidade na seointermediria na direo do eixo x do pilar igual a:

iAxiBxiAxiCx e4,0e4,0e6,0e +=


43/70


41

Como a curvatura da deformada dupla, em virtude dos momentos no topo e nabase do pilar tracionarem faces opostas, o sinal de iBxe negativo na expresso acimae, portanto, tem-se:

( ) cm,,,e,cm,,,,,e iAxiCx 34084040401708404084060 ===+=

Assim a excentricidade na seo intermediria na direo do eixo x resulta:

cm34,0eiCx=

5.2.4 Excentricidades acidentais no pilar P4

Nos pilares as excentricidades acidentais ocorrem por falta de retilinidade ou pordesaprumo do pilar por falha de construo, assim a NBR 6118:2003 indica que nafase de projeto as aes geradas por estas situaes precisam ser consideradas. Anorma indica que s a falta de retilinidade pode ser considerada na seo intermediria

e nas duas direes x e y.O ngulo o indicado pela expresso 3.7, portanto:

2e 1a

l=

Na direo do eixo x tem-se:

rad,,ex

x 004860234100

1

100

11 =

=

=

l

que precisa ser maior do que:

rad00333,0300

1 min,1 ==

A excentricidade acidental na direo do eixo x :

cm03,12

42300486,0eax ==

Analogamente na direo do eixo y tem-se:

rad00466,060,4100

1

100

1

eyy1 =

=

=

l

que maior do que:

rad00333,0300

1 min,1 ==

Portanto a excentricidade acidental na direo do eixo y resulta:


44/70


cm07,12

46000466,0eay ==

5.2.5 Excentricidades mnimas (de primeira ordem) no pilar P4

A NBR 6118:2003 indica que nos pilares preciso considerar um momento

mnimo de mdulo maior que o momento gerado pela excentricidade acidental, nasduas direes, cuja excentricidade mnima calculada pela expresso 3.8, a seguircopiada.

h03,0015,0N

Me

d

min,1dmin,1 +== (expresso 3.8)

Assim, neste caso do pilar P4, na direo do eixo x, a excentricidade mnima vale:

( ) cm25,2m0225,025,003,0015,0h03,0015,0e xxmin,1 ==+=+=

Na direo do eixo y tem-se:

( ) cm60,3m0360,070,003,0015,0h03,0015,0e yymin,1 ==+=+=

Comparando-se os valores das excentricidades mnimas com as acidentaiscalculadas no item 5.2.4 observa-se que, nas sees de topo e base e intermedirias,estas so maiores que aquelas.

Ou sejam:

a.- sees de extremidade topo e base:

84,0ee iAx1 == cm < ) cm25,2e xmin,1 = 25,2e x1 = cm

0e y1 = cm < ( ) cm60,3e ymin,1 = 60,3e y1 = cm

b.- seo intermediria:

37,103,134,0eee axiCx1 =+=+= cm < 2,25cm 25,2e x1 = cm

07,1ee ayy1 == cm < 3,60cm 60,3e y1 = cm

5.2.6 Excentricidades de segunda ordem no pilar P4

5.2.6.1 Clculo dos ndices de esbeltez

Os ndices de esbeltez do pilar P4 nas direes x e y so calculados com aexpresso 2.6. Os comprimentos equivalentes so os calculados para cada direo dopilar.


6,5825

12423

h

12

x

exx =

=

=

l


45/70


43

O valor de bx igual a 1,0, pois os momentos so menores que o momento

mnimo, conforme indicado na NBR 6118:2003 e neste texto no item 2.3.

Na direo do eixo x o ndice de esbeltez a considerar no projeto do pilar P4 :

( ) 4,250,1

2584,0

5,1225

he5,1225

bx

x

ix

x1 =+

=+

=

A NBR 6118:2003 indica a seguinte restrio a esse valor calculado:

9035 1

e, portanto, tem-se que:

( ) 35 x1 =

Como:

( ) 906,5835 xx1


46/70


r

1

10e

2ex

x2 = l

O valor da fora normal reduzida igual a:

( )620

14270253382 ,

,.

fAN

cdc

d =

=

=

e, portanto, o valor do inverso da curvatura :

( ) ( )44 1002

2500500050

107915062025

005050

00501 ==


47/70


45

x

x

N d

eiC = 0,34cm

dN

y

e = 0,84cmiA

x

y

Situaes de projeto Situaes de clculo

x

emin,y

= 0,34cmiCe

= 3,60cm

y

b)

xdN

x

emin,y = 3,60cm

iA = 0,84cme

y

b)

y

ee

2,25cm

min,x

a)

dN

y

2,25cm

a)

min,xe

3,20cm

Seo intermediria

Sees das extremidades

2x

Figura 5.9 - Situaes das excentricidades de projeto e para o clculo da armadura

no pilar P4

A seo intermediria a mais crtica e a que considerada para o clculo darea da armadura longitudinal.

5.2.7.1 Determinao da rea da armadura para a situao de clculo a:

a.- Relao entre a distncia do centro das barras da armadura posicionadas nasquinas e a medida do lado da seo na direo x

15,016,0

25

0,4

h

d'==

b.- excentricidade total na direo do eixo x e situao a seo intermediria

cm45,520,325,2e =+=

c.- fora normal reduzida

620,d=

d.- momento fletor reduzido

14,025

45,562,0

h

e dd ===


48/70


e.- bacos de Venturini (1987) para a flexo normal composta:

Adota-se o baco A-3 com as barras da armadura distribudas paralelamente aomaior lado do pilar, resultando:

25,0=

f.- rea das barras da armadura

( ) 25221543

1427025250cm,

,,,

ffA

Ayd

cdcs =

=

=

g.- rea efetiva de barras da armadura

21224 cm,Asefe=

Essa rea representada por 1216,0mm.

5.2.7.2 Determinao da rea da armadura para a situao de clculo b:

Como j observado para esta situao tem-se caso de flexo composta oblqua.

a.- Relaes entre as distncias dos centros das barras da armaduraposicionadas nas quinas e as medidas dos lados da seo nas direes x e y

05,006,0

70

0,4

h

d

y

y'

==

15,016,025

0,4

h

d

x

x'

==

b.- Excentricidades

cm34,0ex=

cm60,3ey=

c.- fora normal reduzida

620,d=

d.- Momentos reduzidos

03,070

60,362,0

h

e

y

yddy ===

01,025

34,062,0

h

e

x

xddx ===


49/70


47

Consultando os bacos A-16 e A-17 de Pinheiro et al. (1994) para a flexooblqua resulta:

zero=

Que uma taxa mecnica menor que a calculada para a situao de clculo da

armadura (flexo normal composta) da seo intermediria.

5.2.7.3 Taxa geomtrica de armadura

A rea efetiva de armadura longitudinal do pilar P4 :

21224 cm,As= (1216,0mm)

A taxa geomtrica da armadura calculada por:

%0,42%0,8%38,10138,07025 12,24AA cs =


50/70


12 16,0 mm

Se o transversal do ilar P4

t20

20 t

12,5 cm

Estribos

Dimetro:

==

4,0mm/41/4

mm,t 6

05

Adota-se 5,0t

Espaamento:

==

=

cm,,

25cmb

cm

s

219611212

20

cms 19

Proteo contra a flambagem dasbarras:cm,t 10502020 ==

Portanto, so necessrios estribossuplementares nas oito barraslongitudinais centrais.

Figura 5.10 - Arranjo das barras das armaduras longitudinal e transversal do pilar P4

A figura 5.11 apresenta o detalhamento completo de um tramo do pilar P4 que enviado obra.

P4 (25 x 70)

20

25

N3 - 4x25 5,0 C/20 C=30

25N2C/20

i

N1-121

6,0

C=521

70

i + 460

N2 - 25 5,0 C/20 C=185

20

65

Figura 5.11 - Detalhamento do pilar P4


51/70


49



52/70


baco A - 16 - Pinheiro et al. (1994) - EESC - USP


53/70


51

baco A - 16 - Pinheiro et al. (1994) - EESC - USP


54/70


5.3 Exemplo 3: Pilar de canto P1

O pilar de canto P1 indicado no desenho da forma do pavimento tipo da figura5.1, com a distncia de piso a piso igual a 4,60 metros, projetado neste item. A figura5.12 mostra as medidas da seo transversal do pilar P1 e as dimenses das vigas V1e V4 inclusive as distncias entre pisos.

Os mdulos das foras normal caracterstica e de clculo atuante no pilar P1 so:

kN.Nk 2301=

kN..,Nd 7221230141 ==

5.3.1 Comprimentos equivalentes do tramo do pilar nas direes x e y

Os comprimentos equivalentes do pilar nas direes x e y so calculadosconsiderando as expresses 2.7, indicadas na NBR 6118:2003, e observando o

desenho da figura 2.3.5.3.1.1 Eixo x:

Analisando a figura 5.12 determina-se a distncia entre as faces das vigas V1, daface superior do andar i at a face inferior do andar i + 1, resultando:

39862460ox ==l cm

O comprimento equivalente o menor valor entre o comprimento livre do pilaracrescido da dimenso do pilar na direo considerada, neste caso x, e a distncia

entre os centros das vigas do andar i e i +1, indicado a seguir:


cm460ex =l

Portanto, tem-se para valor de ex:

423ex =l cm

5.3.1.2 Eixo y:

Analogamente, observando a figura 5.12, vem:

A distncia livre entre as vigas na direo y do pilar igual a:

40852460oy ==l cm

O comprimento equivalente o menor valor entre as seguintes medidas:


cm460ey=l

Portanto, eyresulta:

460ey =l cm


55/70


53

V1

460

V4

25

62

medidas em cm

P1

CORTE: EIXO X

SEO TRANSVERSAL

60

25

x

y

V1

(g+q)=20 kN/m

o,V1

60

P2

P4

V4

V4 (g+q)=16 kN/m

P1

o,V4

6070

CORTE: EIXO Y

460

V1

52


V4

V4

12

560

52

V1

60

P1

V1

62

20

25


Figura 5.12 - Pilar P1 e vigas V1 e V4 com as dimenses necessrias para o projeto


56/70


5.3.1.3 Vos efetivos das vigas V1 e V4

Para clculo dos vos efetivos dos tramos extremos das vigas V1 e V4 usam-seas expresses 3.6.a com as indicaes da figura 3.2.a

a.- Viga V1:

Conforme j visto os vo efetivos dos tramos de vigas so calculados por:

211V,o1V,ef aa ++= ll

A distncia livre da viga V1, isto , a distncia entre as faces internas dos pilaresde apoio e igual a:

cm5,5572

60

2

256001V,o ==l

Sendo a1igual a menor medida entre:

cm5,122

25

2

ha

1P,x

1 ===

cm6,18623,0h3,0a 1V1 ===

Com a2igual a menor medida entre:

cm302

602

ha 2P,x2 ===

cm6,18623,0h3,0a 1V2 ===

resultando, cm6,18a2=

Portanto o vo efetivo do primeiro tramo da viga V1 :

cm6,5886,185,125,5571V,ef =++=l

b.- Viga V4:

Analogamente para a viga V4 tem-se:

214V,o4V,ef aa ++= ll

sendo o vo livre, conforme o desenho da forma do pavimento tipo, dado por:

cm3152

7060

2

20400

4V,o

=+=l

A medida a1 igual ao menor valor entre:


57/70


55

cm0,302

60

2

ha 1P,y1 ===

cm6,15523,0h3,0a 4V1 ===

resultando cm6,15a1=

A medida a2 igual ao menor valor entre:

cm0,352

70

2

ha 4P,y2 ===

cm6,15523,0h3,0a 4V2 ===

e, portanto, cm6,15a2=

o vo efetivo da viga V4 igual a:

cm2,3466,156,153154V,ef =++=l

5.3.2 Clculo dos momentos fletores atuantes nos pilares

Se os esforos solicitantes so determinados considerando prtico plano ouespacial, com auxlio de programa computacional, os clculos deste item no precisamser feitos, basta analisar os resultados com relao aos momentos fletores e forasnormais, para cada tramo, e com estes valores dimensionar o tramo em questo.

Alguns programas fornecem inclusive os desenhos dos diagramas de esforossolicitantes e existem programas que resolvem e apresentam os resultadosconsiderando toda a estrutura do edifcio constituda por barras horizontais e verticaistratando-a como prtico espacial.

Neste exemplo os momentos fletores atuantes no pilar P1 nas direes dos eixosx e y so calculados pelo processo simplificado da NBR 6118:2003, cujos modelos,para ambas as vigas esto mostrados na figura 5.13.

As expresses para clculo dos momentos fletores, por processo simplificado,so 3.3 e 3.4 com as frmulas para clculo da rigidez indicadas em 3.5.

e f , V 1 = 5 8 8 , 6 c m

inf

1/2

=211,5cm

1/2

=211,5cm

sup

= 2 0 k N / m( g + q ) k

V 1

P 1

inf

1/2

=230cm

1/2

=230cms

up

P 1

e f , V 4 = 3 4 6 , 2 c m

V 4

( g + q ) = 1 6 k N / m

E i x o X E ix o Y

k

Figura 5.13 - Modelos para a determinao dos momentos fletores atuantes no pilarP1 relativos s vigas V1 e V4


58/70


5.3.2.1 Momentos fletores relativos a viga V1 - Eixo x:

O momento fletor atuante nos tramos do pilar na direo x calculado como arotina seguinte.

Calculam-se os ndices de rigidez dos tramos superior e inferior do pilar e dotramo da viga vinculada ao pilar, calcula-se o momento de engastamento perfeito e, por

fim, os momentos atuantes nas barras superior e inferior do pilar.As rigidezes dos tramos superior e inferior do pilar resultam:

33

sup

pilarinfsup cm11085,211

1

12

25603

2

1

I3rr =

=

==

l

A rigidez da viga dada por:

33

6992

6588

1

12

622044cm.

,

Ir

viga

vigaviga =

=

=

l

O momento de engastamento perfeito do primeiro tramo da viga igual a:

( )cm.kN.kNm,


886520

12

22

==

=+

= l

Os momentos fletores atuantes nos tramos superior e inferior em relao a vigaV1 resultam iguais a:

kNcm302.1108.1108.1699.2

108.1774.5rrr

rMMMinfsupviga

supenginfsup =

++=

++==

5.3.2.2 Momentos fletores relativos a viga V4 - Eixo y:

Segue-se o mesmo procedimento com relao ao pilar P1 e viga V4.

As rigidezes dos tramos do pilar P1 resultam:

33

sup

pilar

infsup cm870.5230

1

12

60253

21

I3

rr =

=

== l

A rigidez da viga V4 igual a:

33

62512346

1

12

521244cm.

,

Ir

viga

vigaviga =

=

=

l

O momento de engastamento perfeito do primeiro tramo da viga V4 junto ao pilarP1 :

( )cm.kN.m.kN,


46231612

22

==

=+

= l


59/70


57

Os momentos fletores nos tramos do pilar resultam:

kNcm702870.5870.5625.1

870.5598.1

rrr

rMMM

infsupviga

supenginfsup =

++

=

++==

A figura 5.14 mostra os diagramas de momentos fletores caractersticos nostramos do pilar P1.

Viga V1

Msup= 1302 kN.cm

Eixo X

211,5 cm

211,5 cmMinf= 1302 kN.cm

211,5 cm

211,5 cm

Eixo Y

Minf= 702 kN.cm

230 cm

230 cmViga V4

Msup= 702 kN.cm 230 cm

230 cm

702 kN.cm

702 kN.cm

1302 kN.cm

1302 kN.cm

Figura 5.14 - Diagramas de momentos fletores no pilar P1 relativos as vigas V1 e V4

5.3.3 Clculo das excentricidades relativas aos momentos atuantes nas sees de topoe base do pilar P1

As excentricidades nas direes x e y relativas aos momentos no pilar (deprimeira ordem), nas sees de topo e base, resultam:

kNcm.,MM B,dixA,dix 8231130241 === 06,11722

1823ee B,ixA,ix === cm

kNcm,MM B,diyA,diy 98370241 === 57,01722983ee B,iyA,iy === cm

5.3.4 Clculos dos momentos mnimos

A NBR 6118:2003 indica que preciso dimensionar o pilar considerando, emambas as direes momento fletor mnimo calculado pela expresso 3.8.

Os mdulos dos momentos mnimos nas direes x e y resultam iguais a:

( ) ( ) kNcm.kNm,,,,h,,NM xdmin,xd 875375382500300150172203001501 ==+=+=

( ) kNcm.kNm,,,,h,,NM ydmin,yd 683583566000300150172203001501 ==+=+=

Os mdulos dos momentos mnimos so maiores que os momentos fletoresatuantes nas sees de topo e base oriundos da ligao com as vigas V1 e V4.


60/70


5.3.5 Verificao da necessidade da considerao dos momentos de segunda ordem

A verificao da necessidade da considerao dos momentos de segunda ordem feita calculando-se os ndices de esbeltez, para as duas direes x e y, e com asexpresses indicadas no item 2.3.

5.3.5.1 Clculo dos ndices de esbeltez


O ndice de esbeltez calculado com a expresso 2.8, considerando-se a medidado lado do pilar na direo x, resultando:

65825

1242312,

hxex

x =

=

= l

O clculo do ndice de esbeltez de referncia feito com a expresso 2.1:

( ) 3552501

25061

5122551225

1 >=+

=

+= ,

,

,,h

e,

bx

x

ix

x

com 0,1bx = , pois os momentos so menores que o momento mnimo (expresso2.5).

Portanto tem-se que ( ) 35x1 =

E como, visto no item 2.3 e na NBR 6118:2003,

( ) 906,5835 xx1


61/70


59

sendo 0,1by= , pois os momentos so menores que o momento mnimo.

Portanto, ( ) 35y1 =

e, como

( ) 356,26 y1y =


62/70


2aIterao: kNcm...

M tot,dx 3904282319576

=+

=

126540172225

39045132 ,,

.=

+=

kNcm.

,,

,

.,M tot,dx 4694

540126

120

6581

8231012

=

=

3aIterao: kNcm...

M tot,dx 4304246943904

=+

=

1726540722125

4304

5132 ,,.

.

=

+=

kNcm.

,,

,

.,M tot,dx 4514

5401726

120

6581

8231012

=

=

Portanto, aps 3 iteraes tem-se:

kNcm.M tot,dx 4514= > kNcm.M min,xd 87531 =

E, portanto, o momento solicitante de clculo Mdx,tot = 4.451kN.cm ser oconsiderado com plano de ao paralelo ao eixo x para clculo da armadura do pilar.

A excentricidade total na direo do eixo x, considerando as excentricidades deprimeira e segunda ordem, dada por:

cm,..

N

Me

d

tot,dxtotal,x 5827221

4514===

5.3.6.1.2 Momento total na direo do eixo y

Com os dados a seguir inicia-se o processo iterativo com a finalidade de secalcular o momento total na direo do eixo y do pilar P1.

0,1by = 54014260257221 ,),/(.d ==

kNcmM A,yd 9831 = kNcm.M min,yd 68351 =

6,26y =

1aIterao: kNcmM tot,dy 983=

1018540172260

9835132 ,, =

+=


63/70


61

kNcm.

,,

,

,M tot,dy 1931

5401018

120

6261

983012

=

=

2aIterao: kNcm..M tot,dy 088129831931 =+=

1918540172260

08815132 ,,

.=

projeto de pilares segundo a nbr 6118-2003

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