projeto de kezia
TRANSCRIPT
UFS-UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPEUAB-UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
MODALIDADE A DISTÂNCIA
PROJETO DIDÁTICO
ARAUÁ-SE23 DE JUNHO DE 2010
KÉZIA DE SOUZA SANTOS
ENSINANDO PROGRESSÕES ARITIMETRICAS COM O AUXILIO DE RECURSOS TECNOLOGICOS DE ENSINO DA MATEMATICA
Trabalho apresentado à disciplina de Laboratório de Ensino da Matemática, sob a orientação da professora Ana Karina Santos ,como pré-requisito para obtenção de nota parcial da Unidade, no curso de Matemática a Distancia da UFS/UAB de SERGIPE, em 23 de junho de 2010.
ARAUÁ-SE23 DE JUNHO DE 2010
ENSINANDO PROGRESSÕES ARITIMETRICAS COM O AUXILIO DE RECURSOS TECNOLOGICOS DE ENSINO DA MATEMATICA
PROGRESSÕES ARITIMÉTRICAS
ARAUÁ-SE2010
JUSTIFICATIVA
Ao longo dos últimos anos a Matemática vem sendo um “bicho-papão” no
percurso dos alunos pelas nossas escolas. Mudar esta imagem tem sido um grande desafio
para os professores. A Matemática é uma disciplina que exige muito o raciocínio lógico e
preciso do aluno. Por isso, torna-se difícil a sua compreensão.
O Ensino de Matemática desde as séries iniciais do Ensino Fundamental ate o
Ensino Médio é composto por várias situações que requer uma atenção especial do professor,
pois é neste período que a criança vai adquirindo conhecimentos e desenvolvendo seu
raciocínio lógico, fazendo relações e descobrindo novos conceitos.
Para isso, o professor deve está atento para intermediar este processo, com
práticas que despertem no aluno a busca pelo conhecimento e a descoberta do novo. Diante
deste contexto, a pedagogia de projetos é de grande relevância para o processo de ensino
aprendizagem, pois facilita a compreensão e possibilita momentos prazerosos em aulas
diversificadas e práticas, com a participação direta do aluno.
Diversas situações do dia-a-dia envolvem informações numéricas, como reajustes
de preços e salários, empréstimos, compras a prazo, rendimentos de investimentos, etc. A
comparação entre o que é anunciado e o que, de fato, é cobrado nestas situações é um
exercício valoroso na formação do cidadão consciente.
Ao escolher o tema Progressões Aritméticas relacionei diretamente a minha
vivencia em sala de aula, pois ministro a Disciplina Matemática há 03 anos, mas o que mais
me chamou a atenção foi quando no ano passado pela primeira vez lecionei esta disciplina no
1° ano do Ensino Médio da Escola Estadual Manoel Bomfim no Município de Arauá -
Sergipe.
Pude perceber, que meus alunos tinham dificuldades no processo de assimilação
do conteúdo, que embora possa afirmar que é um dos mais simples do Ensino Médio, mas
faltava a eles um recurso para que os alunos pudessem ver o que ate aquele momento era
fictício ou mesmo podendo chamar de abstrato.
Quando deparamos com alunos que apresentam dificuldades de aprendizagem em
Matemática, faz-se necessária uma minuciosa avaliação para descobrir o ponto em que o
aluno se encontra em relação ao conteúdo que deveria ter assimilado.A partir dos resultados
encontrados podemos desenvolver um projeto didático para reestruturar esse conhecimento,
não do momento atual, mas do ponto em que o aluno iniciou a defasagem.
Muitas das dificuldades encontradas são conseqüência de uma estruturação
inadequada do raciocínio matemático, em função de uma didática inadequada e excesso de
conteúdos.Para elaborar atividades adequadas a cada situação, que auxiliem nossos alunos a
expressarem seu raciocínio, corrigirem possíveis erros e ampliarem seus conceitos; é
necessário um conhecimento matemático sólido, porque daí teremos mais facilidade para
interpretar o que os alunos sabem e fazer a relação entre o que eles sabem e a matemática
formal. Então podemos dizer que:
- interessar-se por matemática;
- entender como os alunos aprendem e compreender os porquês das noções que pretendemos
ensinar;
- identificar os conhecimentos que os alunos já dominam, são alguns pontos que levei em
consideração na elaboração deste projeto.
Enfim, elaborei este projeto, no intuito de mostrar como os novos recursos
tecnológicos do ensino da matemática podem facilitar a assimilação do conteúdo Progressões
s Aritméticas no 1° Ano do Ensino Médio. Assim como também, trabalhar com atividades
voltadas para a aplicação das progressões Aritmética utilizando exemplos do cotidiano e
associando aos Novos Recursos da Tecnologia do Ensino da Matemática.
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Para alicerçar este projeto didático, procurei alguns textos que me fizesse uma
relação entre o processo de ensino e aprendizagem na educação Matemática: tendências,
metodologias e ação docente assim como o computador na escola e os softwares aplicáveis a
educação matemática e as progressões aritméticas.
2.1 O PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: TENDÊNCIAS, METODOLOGIAS E AÇÃO DOCENTE
As tendências atuais direcionam os debates sobre o ensino da matemática
contextualizado. Na base dessa tendência, revela-se com freqüência a teoria histórico-cultural
cuja origem está associada a Lev Semionovitch Vygotsky (1896-1934) e fundamenta a
Proposta Curricular adotada nas escolas públicas estaduais de Santa Catarina.
Alguns autores, como Carraher, Schliemann e Carraher (2003) justificam a
importância na contextualização do ensino de matemática ao lembrar que há diversos casos
em que o aluno faz cálculos mentais com muita facilidade fora da escola, e dentro dela, não
consegue entender um algoritmo simples.
São diversas as linhas atuais de pesquisa e propostas de trabalho que tentam trazer alternativas
metodológicas para o ensino da Matemática. As principais abordagens colocam o aluno como
um ser ativo e no centro do processo de construção do conhecimento, e o professor tendo a
função de orientador e monitor das atividades propostas.
Estas propostas partem do princípio de que o aluno está constantemente
interpretando seu mundo e suas experiências e essas interpretações ocorrem inclusive quando
se trata de um fenômeno matemático. As abordagens didático-metodológicas matemáticas
mais freqüentes na atualidade são: Resolução de Problemas; Modelagem Matemática;
Etnomatemática; História da Matemática; o uso do Computador e; os Jogos Matemáticos. As
abordagens utilizadas na pesquisa destaca-se o uso do computador na resolução de problemas.
Ensinar Matemática pela metodologia de Resolução de Problemas não significa
somente apresentar um problema qualquer para que os alunos resolvam. Para Onuchi e
Alevato (2004), o professor é responsável pela criação e manutenção de um ambiente
matemático motivador e estimulante. Murari (2004, p.199) afirma que, “as aulas devem ser
constituídas de situações que envolvam atividades de resolução de problemas para obtenção
de um saber sistematizado”. Para D’Ambrosio (1989) nesta metodologia o aluno envolve-se
com o "fazer" matemática no sentido de criar hipóteses e conjecturas e, investigá-los a partir
da situação problema proposta. Assim, justificam-se as novas propostas que acentuam o valor
das atividades do aprendiz na apropriação do saber.
As abordagens didático-metodológicas com o uso do computador na Educação
Matemática foram influenciadas fortemente na sua origem pela tendência tecnicista. Murari
(2004, p. 201) afirma que, as pesquisas indicam que “o uso do computador pode auxiliar no
desenvolvimento cognitivo dos alunos, viabilizando a realização de novos tipos de atividades
e de novas formas de pensar e agir”.
A formação do professor deverá constituir novos domínios de ação e investigação, de grande importância para o futuro das sociedades, numa época de acelerada transformação do ser humano [...]. Exige-se, hoje, da profissão docente,competências e compromissos não só de ordem cultural, cientifica e pedagógica mas, também de ordem pessoal e social, influindo nas concepções sobre Matemática, educação e ensino, escola e currículo. (PEREZ, 2004, p. 252).
As práticas pedagógicas são as realizações cotidianas das ações planejadas pelo
professor. O contato entre professor e aluno é norteado pelas concepções que o professor tem
sobre o aluno e sobre como se constitui o conhecimento, e vai promover a recriação no dia-
adia das ações previstas no planejamento escolar. Devem contemplar as diversas áreas de
conhecimento sempre em sintonia com o contexto em que vive o aluno com os quais o
professor vai lidar. (FREITAS, 2003). A partir do momento que o professor se conscientiza
de que o seu principal papel é formar um cidadão consciente e crítico, isso faz com que ele se
preocupe mais com o modo como ensina, para que seu objetivo seja alcançado.
O educador também deve assumir o papel de pesquisador da sua prática
pedagógica, buscando respostas para as tantas dificuldades que se encontram hoje na escola
por meio de pesquisas, atualizações em grupos de pesquisa, cursos, entre outros. Para Perez
2004, p.261) cabe ao professor de Matemática, valorizar sua disciplina “tornando-a prazerosa,
criativa e útil”, garantindo, assim, a participação e o interesse dos alunos, a fim de
proporcionar um aprendizado eficiente e de qualidade.
A Matemática ainda é uma das disciplinas que os alunos mais têm receio quanto
ao aprendizado em geral, relacionado às dificuldades na elaboração dos conceitos, em aplicar
e perceber a utilidade do que lhes é ensinado. “A falta de interesse em estudar Matemática
pode ser resultante do método de ensino empregado pelo professor, que usa linguagem e
simbolismo muito particular, além do alto grau de abstração”. (PEREZ, 2004, p. 251).
Aprender significa estabelecer relações possíveis entre fatos/idéias e suas
representações (signos). Ao professor ainda segundo Pino (2006), é atribuído o papel de
mediador, é alguém mais capaz do que o aluno de processar e estabelecer relações. O
professor tem o papel de planejar atividades ricas em significado para que se produzam em
sala de aula significações historicamente produzidas.
O processo de aprender a ser professor é constante, não finaliza com o término da
graduação. A complexidade de uma sala de aula traz todos os dias ao professor situações não
planejadas, e decisões que devem ser tomadas sem muito tempo hábil para serem refletidas,
mas que podem ter conseqüências benéficas ou não, dependendo da decisão tomada. Assim,
continuamente o professor aprende a ser professor ao lidar com as oportunidades reflexivas da
sua prática, sobre os problemas encontrados na sala de aula e, ao se deparar com as constantes
mudanças na sociedade, na matemática e no modo de ensino e aprendizagem.
2.2 O COMPUTADOR NA ESCOLA E OS SOFTWARES APLICAVEIS A
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Na atual sociedade, independentemente do grau de desenvolvimento de um país, a
informática tem sido um dos campos que mais tem crescido. Os recursos tecnológicos se
apresentam como uma alternativa para o professor: se aproximar do aluno, incorporar os
novos signos e significados que o aluno traz para a escola; atrair a atenção dos alunos
dispersos para o conteúdo; tornar mais atrativo o assunto, uma vez que o aluno estará em
outro ambiente, o do laboratório de informática; promover a interação do aluno com o mundo
virtual e com várias pessoas ao mesmo tempo (professor, colegas, professores e alunos de
outras escolas). E, ainda a inserção de recursos tecnológicos proporciona o primeiro acesso
dos alunos menos favorecidos a esse tipo de tecnologia.
A introdução de novas metodologias de ensino, em particular as que envolvem a
tecnologia, muitas vezes encontram dificuldades por causa do desconhecimento dos
professores sobre o potencial didático que a tecnologia oferece, junto com a insegurança em
enfrentar situações novas.
A presença das tecnologias, principalmente do computador, requer um professor
mediador do processo de interação tecnologia/aprendizagem, que desafie constantemente os
seus alunos com experiências de aprendizagem significativas. (PENTEADO, 2004, p. 284).
2.3 PROGRESSOES ARITIMETICAS
No campo da Matemática há diversos softwares educacionais desenvolvidos com
fins pedagógicos. A análise dos recursos dos softwares matemáticos estará relacionada neste
trabalho ao software EXCEL, por atender aos objetivos do projeto. É um programa
computacional educativo desenvolvido para o ensino e aprendizado para tantos fins, assim
como facilitar o estudo de P.A. Planilha de Excel, que trabalha com progressões aritméticas,
ótima para treinar, ou até mesmo conferir seus exercícios.
Este programa tem várias funções, dentre elas, determinar uma PA, com 3
termos,com gráfico,obter o termo genérico de uma PA,calcular 1º termo de uma
PA,determinar os ângulos internos de um triângulo,e vários outros tipos de exercícios,a
grande maioria com gráficos,dicas de desenvolvimento dos exercícios,bom só testando pra
ver,confira esta planilha.
Uma das funções do programa:
SIMULADOR PARA SOMA DOS PRIMEIROS TERMOS DE UMA DETERMINADA PROGRESSÃO
Você insere 2 termos, e o nº de termos e ela de da o resultado da soma dos termos,e toda a descrição e desenvolvimento com detalhes impressionantes.
PROBLEMÁTICA
Baseando-se em minha experiência docente, a qual me proporcionou a visão
diferente da que possuía quando ainda ocupava a cadeira de alunos, pois, só pude perceber a
dificuldade de assimilação do conteúdo Progressões Aritméticas quando , por sua vez explorei
este conteúdo com meus alunos do 1° ano do Ensino Médio da Escola Estadual Monoel
Bomfim , no município de Arauá- Sergipe pergunto:
Será que por meio de uma forma diferente da aula expositiva tradicional poderemos
minimizar os problemas em relação a assimilação do conteúdo do estudo de Progressões
Aritméticas?
Associando o conteúdo com o recurso didático tecnológico que fornece a Planilha do EXCEL,
proporcionará ao meu aluno uma melhor assimilação do conteúdo Progressões Aritméticas?
Os discentes, através da prática e manuseio deste recurso das novas tecnologias da
Matemática, contribuirão para que o aluno supere suas dificuldades mediante o conteúdo
abordado e apresente um maior interesse pelas Progressões Aritméticas.
O saber hoje é, ele próprio, um processo de aprender. O que se deve verificar no aluno não é tanto o que ele sabe, como o modo pelo qual sabe e quanto está habilitado a saber o que ainda não sabe, quer dizer, se aprendeu a aprender, o grau de autonomia que vai adquirindo nessa sua capacidade de aprender (TEIXEIRA apud MISKULIN, 1994, p.6).
O ensino tradicional de Matemática não tem produzido resultados satisfatórios
(VALENTE, 1998; MACHADO, 1999). São inúmeros os problemas que decorrem da
questão: evasão escolar; pavor diante da disciplina; medo e aversão à escola, dentre outros.
Em larga medida, o problema advém da metodologia amplamente adotada nas escolas para o
ensino em geral e especificamente para o da Matemática (VALENTE, 1998). O método
tradicional — que normalmente é denominado de instrucionismo — tem como característica
fundamental basear-se na memorização e ser centrado na figura do professor, ficando para o
aluno um papel passivo.
Por força da modernização geral pela qual passa o País, as escolas vêm recebendo
estruturas de informatização. A informatização das escolas é um processo considerado
irreversível por muitos e já em franca execução (MAGINA,1998). Valente (1998) enfatiza
que a introdução do computador na escola é uma oportunidade para que novas metodologias
sejam introduzidas no ensino a fim de melhorar os resultados do aprendizado da disciplina.
Esta dissertação propõe e aplica uma metodologia para avaliar o impacto da utilização de
novas tecnologias — instanciadas pelos softwares EXCEL, associados ao ensino de
progressão Aritméticas — como extensão do processo de ensino-aprendizagem na sala de
aula tradicional.
Enfim, este projeto esta fundamenta na utilização de recursos tecnológicos se
apresentam como uma alternativa para o professor: se aproximar do aluno, incorporar os
novos signos e significados que o aluno traz para a escola; atrair a atenção dos alunos
dispersos para o conteúdo; tornar mais atrativo o assunto, uma vez que o aluno estará em
outro ambiente, o do laboratório de informática; promover a interação do aluno com o mundo
virtual e com várias pessoas ao mesmo tempo (professor, colegas, professores e alunos de
outras escolas). E, ainda a inserção de recursos tecnológicos proporciona o primeiro acesso
dos alunos menos favorecidos a esse tipo de tecnologia.
OBJETIVOS
OBJETIVO GERAL
Propor uma metodologia para avaliar ate que ponto o inserção do recurso
tecnológico, ou seja, o software EXCEL pode contribuirá para a assimilação melhor do
conteúdo ao aluno. O programa será descritos detalhadamente no item Metodologia. . Enfim,
ensinar ao aluno de uma maneira mais interessante o estudo da P.A. e dessa maneira avaliar o
desempenho do aluno quando submetidos ao método construticionista; assim como também
mostrar que o ensino tradicional(aula expositiva) nem sempre é uma boa opção em
determinados conteúdos, como no caso das progressões Aritimeticas.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
- Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam adquirir
uma formação científica geral e avançar em estudos posteriores;
- Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades cotidianas, na atividade tecnológica
e na interpretação da ciência;
- Desenvolver a capacidade de raciocínio, de resolver problemas, de comunicação, bem como
seu espírito crítico e sua criatividade;
- Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e
outras áreas do currículo;
- Expressar-se em linguagem oral, escrita e gráfica diante de situações matemáticas;
- Usar e reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito;
- Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras
áreas de conhecimento e do cotidiano;
PROCEDIMENTO METODOLOGICO
Para facilitar a assimilação do conteúdo para o discente , as três atividades aqui
propostas neste projeto serão divididas em duas horas aula cada uma delas.As atividades
propostas no projeto serão desenvolvidas em uma perspectiva de experiências práticas,
trabalhando a PA .As atividades serão realizadas diariamente utilizando a planilha do
EXCEL
Aluno: Kézia de Souza Santos Matrícula:07200107 Professor: Rita de Cassia Tutora a distancia : Ana Karina SantosCurso: MatemáticaPólo de Arauá-Se4° período
ATIVIDADE A DISTANCIA II
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA
LABORATORIO DE ENSINO DA MATEMATICA
Plano de Aula
OBS: estes planos contem o resumo das 03 atividades cada uma com 02 horas aula, o
que contempla 06 horas aula.
Progressões
Introdução
A cada 76 anos, o cometa Halley pode ser visto da terra. Ele passou por aqui, pela última vez,
em 1986 e deverá reaparecer no ano de 2062. Depois, em 2138, 2214, 2290,..., nessa
ordem,representam uma seqüência numérica, objeto de estudo desta unidade.
Podemos encontrar a matemática em todo o nosso cotidiano, como as seqüências com que
ocorrem alguns fatos como, por exemplo, as estações do ano, que se repetem obedecendo a
um padrão, os números das placas dos veículos também são exemplos de seqüências ou
progressões.
Esse plano de aula tem a intenção de, com o apoio de diversas técnicas, atividades,problemas
e inclusive, da parte histórica, ajudar as pessoas a compreender as progressões.
Estudando inicialmente, os processos geniais que ao longo da história tantos homens
encontraram para enfrentar os problemas do dia-a-dia, tendo em vista o que ela, a história,
pode oferecer como contribuição ao processo de ensino e aprendizagem da Matemática,
verificando que esses conceitos surgiram das necessidades dos antigos povos babilônicos e
egípcios, se estendendo até os dias de hoje.
Num segundo momento, estão dispostos os conceitos, fórmulas e suas demonstrações, sendo
de grande valia ressaltar que elas partem de pressupostos reais, e que não são inventadas.
Objetivos
Conteúdos Objetivos
1- Sucessão ou seqüência numérica Perceber o que é uma seqüência numérica;
2- Progressão aritmética Identificar regularidades em uma seqüência;
3- Progressão geométrica Conceituar progressão aritmética;
Expressar e Calcular o termo geral de uma PA e a soma dos seus termos;
Conceituar progressão geométrica;
Expressar e calcular o termo geral de uma PG e a soma dos seus termos; U
tilizar os conceitos de PA e PG na resolução de problemas.
Com esta aula o aluno deverá:
- Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam adquirir
uma formação científica geral e avançar em estudos posteriores;
- Aplicar seus conhecimentos matemáticos nas atividades cotidianas, na atividade tecnológica
e na interpretação da ciência;
- Desenvolver a capacidade de raciocínio, de resolver problemas, de comunicação, bem como
seu espírito crítico e sua criatividade;
- Estabelecer conexões e integração entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e
outras áreas do currículo;
- Expressar-se em linguagem oral, escrita e gráfica diante de situações matemáticas;
- Usar e reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito;
- Analisar e interpretar criticamente dados provenientes de problemas matemáticos, de outras
áreas de conhecimento e do cotidiano;
- Desenvolver atitudes positivas em relação à matemática, como autonomia, confiança quanto
às capacidades matemáticas, perseverança na resolução de problemas e prazer no trabalho
cooperativo;
- Desenvolver o gosto pela matemática e o prazer em “fazer matemática”.
Metodologias e apresentações de materiais
A História das Progressões
As progressões foram estudadas desde povos muito antigos como os babilônicos.
Inicialmente, procurou-se estabelecer padrões como o da enchente do Rio Nilo, onde os
egípcios de 5.000 anos atrás tiveram que observar os períodos em que ocorria a enchente do
rio, pois para poderem plantar na época certa e assim garantir seus alimentos, os egípcios
precisavam saber quando haveria inundação. Havia, portanto, necessidade de se conhecer o
padrão desse acontecimento.
Eles observaram que o rio subia logo depois que a estrela Sírius se levantava a leste, um
pouco antes do Sol. Notando que isso acontecia a cada 365 dias, os egípcios criaram um
calendário solar composto de doze meses, de 30 dias cada mês e mais cinco dias de festas,
dedicados aos deuses Osíris, Hórus, Seth, Ísis e Nephthys. Os egípcios dividiram ainda os
doze meses em três estações de quatro meses cada uma: período de semear, período de
crescimento e período da colheita.
Tableta Babilônica
Na Mesopotâmia surgiram várias tabletas babilônicas muito interessantes, mas nenhuma delas
foi tão extraordinária quanto à tableta Plimpton 322 (1900 a 1600 a.C.). Numa dessas tabletas,
a progressão geométrica 1+2+2²+...+29 é somada de forma que a série de quadrados
1²+2²+3²+...+10² é achada. A Matemática no Egito antigo nunca alcançou o nível obtido pela
Matemática babilônica, talvez porque os egípcios tenham se mantido em semi isolamento,
enquanto a babilônia era o centro das rotas de navios, e conseqüentemente, era um centro de
troca de saberes.
No entanto, devemos lembrar que os egípcios desenvolveram um papel primordial na
preservação de muitos papiros que contribuíram para o nosso conhecimento atual sobre a
Matemática.
Em um papiro que data de 1950 a. C. podemos encontrar alguns problemas teóricos a
respeito de Progressões Aritméticas e Geométricas. Esse papiro foi encontrado em Kahun e
contém o seguinte problema: “Uma dada superfície de 100 unidades de área deve ser
representada como a soma de dois quadrados cujos lados estão entre si como 1 : ¾”. Nesse
caso temos x² + y² = 100 e x = 3y /4. A eliminação de x fornece uma equação quadrática em
y.
Podemos, porém, resolver o problema por falsa posição.Para isso tomemos y = 4. Então
x = 3 e x² + y² = 25 em vez de 100. Por conseguinte devemos fazer a correção de x e y
dobrando os valores iniciais, o que dá x = 6 e y = 8.
O cálculo rápido de Gauss, foi quando ele aproximadamente aos 9 anos de idade, surpreendeu
seu professor. O professor, querendo mantê-lo em silêncio na sala de aula por longo tempo,
pediu aos alunos que somassem todos os números inteiros de 1 a 100, isto é,1+2+3+...
+98+99+100.
Em poucos minutos Gauss deu a resposta correta com o seguinte raciocínio:
Escreveu:
1+2+3+...+98+99+100
Em seguida, inverteu a série:
100+99+98+...+3+2+1
A seguir, somou termo a termo:
101+-101+101+...+101+101+101
Verificou que ficou com 100 parcelas de 101, ou seja, 100 x 101 = 10100
Como usou 2 vezes a seqüência de 1 a 100, cada parcela de 101 entrou 2 vezes na
soma. Então, dividiu o total, ou seja:
10100/2 = 5050
Assim, em poucos minutos deu a resposta correta surpreendendo o professor e frustrando-o
em pensar que teria silêncio da turma durante um longo tempo.
De forma intuitiva, Gauss resolveu o problema com a fórmula que usamos normalmente, ou
seja:
S100=((1+100)x100)/2 = 5050
Ficha técnica de aula/atividade
Progressão Aritmética
Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada
termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.
(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são
formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a6 = 13 + 2 = 15
a7 = 15 + 2 = 17
Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a
progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.
P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.
P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.
P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.
Termo Geral de uma P.A
Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que:
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r
…
a n = a1 + (n – 1) . r
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:
a n = a1 + (n – 1) . r
Exemplo 1:
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.
an = a1 + (n – 1) . r
a16 = -10 + (16 – 1) . 3
a16 = -10 + 15 . 3
a16 = -10 + 45
a16 = 35
O 16º termo de uma P.A é 35.
Soma dos termos de uma P.A finita
Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos
à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.
Sn = (a1 + an) . n
Exemplo 2:
Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que
a 8 = 79.
Retirando os dados:
n = 8
Sn = 324
a 8 = 79
Sn = (a1 + an) . n
2
324 = (a1 + 79) . 8
2
324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8
648 = 8 a1 + 632
16 = 8 a1
a1 = 2
Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.
a n = a1 + (n – 1) . r
79 = 2 + (8 – 1) . r
79 = 2 + 7 . r
79 – 2 = 7r
77 = r
r = 11
Recursos Tecnológicos
Tipo: Freeware
Descrição: Planilha do Excel que calcula o 1º termo, a razão, o nésimo termo, a posição do
termo e realiza interpolação aritmética. Possui também simuladores para cálculos do termo
geral de uma P.A., soma dos termos, soma dos múltiplos de um determinado número etc.
Ainda representa graficamente uma P.A. no plano cartesiano. Tamanho: 315 Kb, basta
acessar o link abaixo e selecionar o
programahttp://www.somatematica.com.br/softwares.php?pag=5
CRONOGRAMA
CONTEUDO ATIVIDADE TEMPO DA AULA
1- Sucessão ou seqüência
numérica Perceber o que é
uma seqüência numérica;
Conceituar progressão
geométrica;
Exercício de fixação e
exposição da planilha do
EXCEL.
2 HS
2- Progressão aritmética
Identificar regularidades em
uma seqüência;
Debate oral, e iciciação a
utilização da planilha do
EXCEL
2 HS
Expressar e Calcular o termo
geral de uma PA e a soma
dos seus termos;
Utilizar os conceitos de PA
na resolução de problemas.
Utilizar a planilha e seus
recursos nela inserido.
2 HS
BIBLIOGRAFIA
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília, DF: MEC/SEF, 1998. CERULLO, Maria Inez de C; SATO, Maria Tomies; CHACUR, Regina Maria. Trocando Idéias: matemática: ensino fundamental. 3ª série. Scipione. São Paulo. 2004. KAMII, Constance. A criança e o número. Campinas: papirus, 1984. NOGUEIRA, Nilbo Ribeiro, Pedagogias de Projetos: etapas, papéis e atores. São Paulo: Érica, 2008.
Referências Bibliográficas
ARTIGUE, Michele et al. Un Esquema para la Investigación y la Innovación en la
Ensenãnza y el Aprendizaje de las Matemáticas. En Educación Matemática. México:
Grupo editorial Iberoamérica, 1996.
CARRETERO, Mario. Construtivismo e Educação. Porto Alegre: ARTMED, 1997.
CHIAROTTINO, A.R. Psicologia e epistemologia genética de Jean Piaget. São Paulo: Ática, 1988.
GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira. Resolvendo problemas na matemática. Acta
Scientiae. Canoas, v.1, n0 1, jan/jun, 45-51.
GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira. A Matemática e o desenvolvimento do raciocínio
lógico. Educação Matemática em Revista–RS. No 1, Jan/Jun de 1999, Ano 1, 23-30.
GROSSI, Esther Pillar. Um novo paradigma sobre aprendizagem. Paixão de Aprender.
Junho, 1992, no 3, 3-7.
GROSSI, Esther. Aspectos pedagógicos do construtivismo pós-piagetiano. In: E. P. Grossi. & J. Bordin. (orgs). Construtivismo Pós-Piagetiano. Petrópolis: Vozes, 1993.
MACHADO, Silvia Dias Alcântara et al. Educação Matemática: uma introdução. 2a ed.
São Paulo: EDUC, 2002.
PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática – Uma análise da influência francesa. 2a ed.
Belo Horizonte: Autêntica, 2001.
PORLAN, Rafael. Construtivismo y escuela. Sevilla: DÍADA, 1998, 5º ed.