UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSETCE - Escola de EngenhariaTEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II'

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Título do Projeto:

SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE POISSON PARA OGRADIENTE DE PRESSÃO EM ESCOAMENTOSINCOMPRESSÍVEIS: MÉTODO DE VOLUMES

FINITOS E MULTIGRID

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Autor(es):

RENAN MEDEIRO CAMPBELL

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Orientador(es):

LEANDRO ALCOFORADO SPHAIER, Ph.D.

LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.

Data: 30 de Janeiro de 2019

RENAN MEDEIRO CAMPBELL

SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE POISSON PARA OGRADIENTE DE PRESSÃO EM ESCOAMENTOS

INCOMPRESSÍVEIS: MÉTODO DE VOLUMES FINITOS EMULTIGRID

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado aoCurso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau deEngenheiro Mecânico.

Orientador(es):

LEANDRO ALCOFORADO SPHAIER, Ph.D.

LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.

Niterói

30 de Janeiro de 2019

Ficha catalográfica automática - SDC/BEEGerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecária responsável: Fabiana Menezes Santos da Silva - CRB7/5274

C189p Campbell, Renan Medeiro Problema de Poisson para o Gradiente de Pressão emEscoamentos Incompressíveis: Método de Volumes Finitos eMultigrid / Renan Medeiro Campbell ; Leandro Sphaier,orientador ; Leonardo Alves, coorientador. Niterói, 2019. 46 f.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em EngenhariaMecânica)-Universidade Federal Fluminense, Escola deEngenharia, Niterói, 2019.

1. Multigrid. 2. Método dos volumes finitos. 3. Equaçãode Poisson. 4. Navier-Stokes. 5. Produção intelectual. I.Sphaier, Leandro, orientador. II. Alves, Leonardo,coorientador. III. Universidade Federal Fluminense. Escola deEngenharia. IV. Título.

CDD -

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSETCE - Escola de EngenhariaTEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO

Título do Trabalho:SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE POISSON PARA O GRADIENTE DEPRESSÃO EM ESCOAMENTOS INCOMPRESSÍVEIS: MÉTODO DE

VOLUMES FINITOS E MULTIGRID

Parecer do Professor Orientador da Disciplina:

− Grau Final recebido pelos Relatórios de Acompanhamento:

− Grau atribuído ao grupo nos Seminários de Progresso:

Parecer do Professor(es) Orientador(es):

Nome e Assinatura do Professor(es) Orientador(es):

Prof.: Leandro Alcoforado Sphaier. Assinatura:

Prof.: Leonardo Santos de Brito Alves. Assinatura:

Parecer Conclusivo da Banca Examinadora do Trabalho:

Projeto Aprovado Sem Restrições

Projeto Aprovado Com Restrições

Prazo concedido para cumprimento das exigências:

Discriminação das exigências e/ou observações adicionais:

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSETCE - Escola de EngenhariaTEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO(continuação)

Aluno: Renan Medeiro Campbell. Grau:

Composição da Banca Examinadora:

Prof.: Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. Assinatura:

Prof.: Leonardo Santos de Brito Alves, Ph.D. Assinatura:

Prof.: Daniel Rodriguez Alvarez, Ph.D. Assinatura:

Prof.: Isabela Florindo Pinheiro, MSc. Assinatura:

Local e Data de Defesa do Trabalho:

Departamento de Engenharia Mecânica, 30/01/2019

AGRADECIMENTOS

Este trabalho é dedicado a Deus e à minha família por terem me dado forças em todos os

momentos, inclusive os mais difíceis. E por isso a eles sou imensamente grato.

Agradeço aos professores orientadores Leandro Sphaier e Leonardo Alves, que contri-

buíram imensamente para conclusão deste trabalho.

Ao apoio de Daniel Chalhub, cujo trabalho serviu de base e motivação para a conclusão

deste.

Aos professores da Universidade Federal Fluminense, que sempre se disponibilizaram

para apoio e nos incentivam a buscar o nosso melhor.

De maneira geral, agradeço a todos os que me incentivaram e contribuíram para a reali-

zação deste trabalho.

i

RESUMO

Este trabalho consistiu no estudo da utilização do método de Multigrid na solução do

problema de Poisson para a pressão em escoamentos incompressíveis. O problema foi dis-

cretizado utilizando o método de Volumes Finitos (FVM) e como escolha de condições de

contorno, foi utilizada a de Neumann.

Apresentou-se um breve estudo sobre a utilização da condição de contorno de Neumann

aplicada a equação do problema de Poisson, um vez que existem exigências de compatibili-

dade pra que o sistema apresente uma correta convergência para a solução.

Além do método de Multigrid, o problema foi resolvido também utilizando os métodos

iterativos de Gauss-Seidel, a fim de estabelecer uma base comparativa entre os métodos. Para

isso, foram desenvolvidos códigos em FORTRAN 90, que forneceram os resultados para a

comparação dos tempos desses métodos iterativos.

Utilizou-se os códigos aplicados para a solução do problema de Poisson para casos testes

1D e 2D e também com um solver da equação de Navier-Stokes por meio do método da

projeção, desta forma foi possível a comparação dos resultados obtidos também no caso

teste Backward-Facing Step (degrau com expansão abrupta) apresentado na Literatura.

O resultado encontrado através da comparação entre os tempos nos casos testes demons-

traram uma melhora no desempenho através da redução do tempo computacional necessária

para a convergência do sistema quando utilizado o método de Multigrid. Pôde-se observar

que esta redução no tempo de convergência foi aumentando a medida que a comparação era

feita em malhas com mais pontos.

Palavras-Chave: Multigrid; Equação de Poisson; Navier-Stokes; Método dos Volumes Fini-

tos; Poisson-Neumann.

ii

ABSTRACT

This work consisted in the study of the use of the Multigrid method in the solution of

the Poisson problem for the pressure in incompressible flows. The problem was discretized

using the Finite Volumes method (FVM) and, as a choice of contour conditions, the Neumann

method was utilized.

We present a brief study about the use of the Neumann contour condition applied to

the Poisson problem equation, since there are compatibility requirements for the system to

present a correct convergence for the solution.

In addition to the Multigrid method, the problem was also solved using the iterative

methods of Gauss-Seidel and SOR, in order to establish a comparative basis between the

methods. For this, codes were developed in FORTRAN, which provided the results for the

comparison of the times of these iterative methods.

The codes were applied in the solution of the Poisson problem for 1D and 2D test cases

and also used with a solver of the Navier-Stokes equation by means of the projection method,

in this way it was possible to compare the results obtained also in the Backward-Facing Step

test case presented in literature.

The results obtained by comparing the times in the test cases showed an improvement

in performance by reducing the computational time required for the convergence of the sys-

tem when using the Multigrid method. It was observed that this reduction in the time of

convergence increased as the comparison was made in meshes with more points.

Key-Words: Multigrid; Navier-Stokes; Finite Volume Method,Poisson-Neuman.

iii

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 MOTIVAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 FORMULAÇÃO GERAL MULTIDIMENSIONAL . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. SOLUÇÃO NUMÉRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1 MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3 MÉTODO GAUSS-SEIDEL SOBRE-RELAXADO . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3.1 Cálculo do valor ótimo de sobre-relaxação numericamente . . . . . . 10

3.3.2 Cálculo do valor ótimo de sobre-relaxação analiticamente . . . . . . . 10

4. ALGORITMO MULTIGRID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1 BIGRID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 MULTIGRID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2.1 Suavização do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5. CASOS TESTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.1 CASO TESTE 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2 CASO TESTE 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3 CASOS TESTE 2D MÉTODO DAS PROJEÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.3.1 Degrau com expansão abrupta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6. RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.1 RESULTADO 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

iv

v

6.2 Resultado 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.2.1 Degrau com expansão abrupta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7. CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

LISTA DE FIGURAS

3.1 Malha 2D Adaptada de (Chalhub, 2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Gráfico cálculo do valor ótimo de sobre relaxação . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1 Malha bigrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Multigrid ciclo V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3 Exemplo de Suavização do erro. Fonte: (U. Trottenberg, 2001) adaptado. . . . 16

4.4 Comparativo erros de baixa e alta frequência. Fonte: (U. Trottenberg, 2001)

adaptado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.1 Geometria do escoamento Degrau com expansão abrupta. Fonte: (Kim e

Moin, 1985) adaptado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.1 Gráficos comparação soluções numéricas e analíticas. . . . . . . . . . . . . . 21

6.2 Gráfico Multigrid correção malha 128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.3 Solução malha 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.4 Solução corrigida pelas malhas do Multigrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.5 Comparação dos Tempos de processamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.6 Solução do escoamento Degrau com expansão abrupta Re=10 imax=32 . . . . 26

6.7 Solução do escoamento Degrau com expansão abrupta Re=50 imax=40 . . . . 27

6.8 Comparação dos Tempos Re=010 e imax=32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.9 Comparação dos Tempos Re=050 e imax=40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

vi

LISTA DE TABELAS

3.1 Valores de w ótimo CC de Neumann 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.1 Tempo de Cpu GS-1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.2 Tempo de Cpu MG-1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.3 Tabela de tempos de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

vii

NOMENCLATURA

g Aceleração da gravidade

H Altura

h Distância entre dois pontos da malha

r eh Resíduo na malha em que os pontos distam de h

r e2h Resíduo na malha em que os pontos distam de 2h

eh Erro na malha em que os pontos distam de h

e2h Erro na malha em que os pontos distam de 2h

Q Termo fonte da equação de Poisson

Bcn Condição de contorno a Norte

Bcs Condição de contorno a Sul

Bce Condição de contorno a Leste

Bcw Condição de contorno a Oeste

L Comprimento

p Função da pressão

pk Vetor pressão na k-ésima iteração

P Pressão

t Tempo

V Velocidade

W Trabalho

v Vetor volume

Re Número de Reynolds

FVM Finite Volume Method

FEM Finite Element Method

Símbolos Gregos

∆x variação do espaço na direção x

viii

ix

∆y variação do espaço na direção y

Ωh Malha em que os pontos distam de h

Ω2h Malha em que os pontos distam de 2h

ρ Densidade do fluido

λM Autovalores da Matriz M

ρ J Maior autovalor da Matriz dos coeficientes

1 INTRODUÇÃO

1.1 MOTIVAÇÃO

As Equações de Poisson são equações diferenciais parciais elípticas, as quais as solu-

ções regem problemas com diversas aplicações na engenharia em geral. Quando se trata da

mecânica dos fluidos, a solução numérica deste problema em algumas abordagens como por

exemplo o método das projeções, é sempre associado ao maior tempo computacional neces-

sário para a solução da equação de Navier Stokes, uma vez que esta necessita da solução do

problema de Poisson para cada passo no tempo.

As equações de Navier-Stokes são equações importantes para as industrias automobilísti-

cas, aeronáuticas e alimentícias, descrevendo um grande número de fenômenos de interesse.

No entanto, a solução desta equação numericamente quando utilizando um malha muito “re-

finada” torna-se por vezes demasiadamente lenta e inviável por este motivo. Desta forma,

surgiu a necessidade da redução do tempo de convergência para o problema de Poisson que

é um dos maiores gargalos para a solução da equação de Navier-Stokes.

Posteriormente, este trabalho poderá ser utilizado como base de comparação para traba-

lhos com soluções baseadas em métodos híbridos analíticos/numéricos, os quais envolvem

transformações integrais ou ainda no estudo de métodos iterativos que acelerem a conver-

gência da solução do problema de Poisson.

1.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

As equações de Navier-Stokes, descrevem o movimento de substâncias fluidas, estabele-

cendo as relações que as mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluida são o

produto das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas atuantes no fluido.

Em (Chalhub, 2015) foi apresentado uma solução para a equação de Navier-Stokes utili-

zando o método dos volumes finitos e método das projeções, realizando testes envolvendo o

cálculo dos tempos de solução utilizando o método iterativo de Gauss-Seidel na solução do

problema de Poisson para o gradiente de pressão e realizando comparativo com a utilização

1

2

de métodos de Transformadas Integrais (GITT).

Os métodos iterativos de Gauss Seidel e de Jacob são amplamente utilizados por serem

métodos de fácil aplicação e que tem uma boa taxa de convergência, alguns métodos foram

desenvolvidos baseados nestes, o método SOR (Sobre relaxação ), por exemplo, utiliza uma

média ponderada utilizando um parâmetro w ótimo para acelerar a convergência de Gauss-

Seidel. O valor deste parâmetro ótimo foi calculado analiticamente em (da Costa Fonseca,

2009) e foi apresentado um breve resumo deste junto a apresentação do método SOR.

O método Multigrid baseia-se na ideia de acelerar a convergência de método de Rela-

xação para malhas com muitos pontos, buscando dividir a relaxação do erro em sub-malhas

com menos pontos, em (U. Trottenberg, 2001), (YaoZhou, 2009) e (bin Zubair, 2009) os au-

tores apresentam as principais idéias do método de Multigrid aplicados a solução da equação

de Poisson.

O método de discretização utilizado foi o de Volume Finitos (FVM), este método foi

descrito em (Chalhub, 2015), (Peiro e Sherwin, 2005) e (Noury et al., 2011), na literatura, não

foram encontrados muitos exemplos da utilização deste método juntamente com o Multigrid,

sendo o mais utilizado neste caso o de Elementos Finitos (FEM).

1.3 OBJETIVOS

O objetivo deste trabalho é a redução do tempo necessário para a convergência do pro-

blema de Poisson por meio da implementação do método de Multigrid e comparação do

tempo com outros métodos iterativos.

Este trabalho tem por objetivo a comparação dos resultados obtidos pelos métodos de

Gauss-Seidel, Gauss-Seidel sobre-relaxado e Multigrid, bem como a comparação da taxa de

convergência desses métodos.

2 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

2.1 FORMULAÇÃO GERAL MULTIDIMENSIONAL

Em escoamento com baixo número de Mach e cuja a diferença de temperatura seja pe-

quena, o escoamento pode ser considerado incompressível uma vez que a densidade é apro-

ximadamente constante. Assim, apresenta-se a equação de Navier-Stokes para escoamentos

incompressíveis:

ρ∂v

∂t+−ρv .∇v =−∇p∇.+µ∇2v +ρ f para x ∈Ω e t ≥ 0 (2.1)

∇.v para x ∈Ω (2.2)

Para a solução das equações de Navier-Stokes incompressíveis, é comum a introdução

do problema de Poisson por meio da aplicação do operador de divergência nos dois lados da

equação de momento (Chalhub, 2015). A equação então, assume seguinte forma:

∇2p =∇.

(−ρ∂v

∂t−ρv .∇v +µ∇2v +ρ f

), para x ∈Ω e t ≥ 0 (2.3)

Assim, o problema a ser solucionado é dado por uma equação de Poisson, onde o valor de

Q é encontrado a partir do passo no tempo anterior e a solução desejada para o gradiente de

pressão será utilizada para encontrar os valores para o próximo passo no tempo. A solução

do problema é resumida então pela seguinte equação, conhecida como o equação de Poisson:

∇2p =Q (2.4)

3

4

2.2 CONDIÇÕES DE CONTORNO

Para a solução deste problema, foi utilizada a condição de contorno de segundo tipo,

conhecida como condição de contorno de Neumann:

∂p

∂n= g (x), x ∈ ∂Ω, (2.5)

Este tipo de Condição de Contorno, requer duas condições para solução da equação:

1. Condição de Compatibilidade de Poisson-Neumann

Ao se integrar a equação (2.1) e aplicando-se o teorema da divergência, é possível

observar que a seguinte condição deve ser satisfeita:

∫∂Ω

g +∫Ω

Q = 0 (2.6)

Desta forma, para que a solução da equação de Poisson exista, esta condição estabelece

a relação entre o termo fonte (Q) e a condição de contorno empregada (g).

2. Soluções não únicas A condição de contorno de Neumann não gera uma única solu-

ção, ao encontrar um valor de p que satisfça a equação, p + c também é solução da

equação, onde c é uma constate. Desta forma, utilizou-se a seguinte condição para que

a solução encontrada seja única:

∫Ω

p = 0 (2.7)

3 SOLUÇÃO NUMÉRICA

3.1 MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS

Utilizando métodos de discretização numérica como o de Diferenças finitas e de Volume

finitos, é possível aproximar equações diferenciais por um conjunto de equações lineares que

podem ser resolvidas.

Ao abordar a equação pelo método dos volumes finitos, é possível assegurar de maneira

natural a conservação das propriedades no volume de controle, massa, movimento e energia.

Através desse método pode-se discretizar o problema em uma malha.

O método de Volumes Finitos, baseia-se na discretização por meio de células centradas,

onde os pontos encontram-se no centro de cada célula, na figura 3.1 verifica-se esta discreti-

zação utilizada para o caso de 2 dimensões.

H

y

• .

•

, , 1 ' 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Pimax

,

jmax

+ . + . + . +

.

1 1 1 1 1 1

I

1 ---+-----r-------L--+-----r--

1 1 1 1 1 1 I I

•

1 1 1 1 T • T • T • T

1 1 1 1

•

1 1 1 1 ---+-----r--+-----r--+-----r--

•

1 1 1 1 1 1 1 1

. . . 1 Pi,j I 1 1 1 1 1 1 1 1 1

•

---+--7---r--T-----,--+--7---r--1 1 1 1

•

1 1 1 1 + . + . + . +

1 1 1 1

•

1 1 1 1

---i-----r-------L--+-----r--1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

' ·" T ~ • T • T • T•

P1,1 •

• .

1 1 1 1 1 1 1 1

• • • • . .

L

-

-

-

X

1

Fig. 3.1: Malha 2D Adaptada de (Chalhub, 2015)

5

6

onde, x ∈ (0,L) e y ∈ (0, H)

∫ L

0

∫ H

0

∂2p(x, y)

∂x2dx dy +

∫ L

0

∫ H

0

∂2p(x, y)

∂y2dx dy =

∫ L

0

∫ H

0Q(x, y)dx dy (3.1)

Para o caso 1D, a equação pode ser aproximada para a seguinte forma utilizando o método

com erro de discretização de ordem 2 :

Pi+1 −2Pi +Pi−1

∆x2=Qi ,0 < x < L (3.2)

Pi+1 −Pi

∆x2=Qi + BC w

∆x, x = 0 (3.3)

Pi −Pi−1

∆x2=Qi − BCe

∆x, x = L (3.4)

Onde Pi é a pressão no i-ésimo ponto da malha e, Bcw e Bce são as condições de contorno

de segundo tipo:

∂p

∂x

∣∣∣x=0

= Bcw (3.5)

∂p

∂x

∣∣∣x=L

= Bce (3.6)

Para o caso 2D, esta discretização com erro de ordem 2 fica da seguinte maneira:

• Para 1 < i < i max e 1 < j < j max

Pi+1, j −2Pi , j +Pi−1, j

∆x2+ Pi , j+1 −2Pi , j +Pi , j−1

∆y2=Qi , j (3.7)

• Para 1 < i < i max e j = j max

Pi+1, j −2Pi , j +Pi−1, j

∆x2+ −Pi , j +Pi , j−1

∆y2=Qi , j − BC n

∆y(3.8)

• Para 1 < i < i max e j = j max

Pi+1, j −2Pi , j +Pi−1, j

∆x2+

Pi , j+1−Pi , j

∆y2=Qi , j + BC s

∆y(3.9)

7

• Para i = i max e 1 < j < j max

−Pi , j +Pi−1, j

∆x2+ Pi , j+1 −2Pi , j +Pi , j−1

∆y2=Qi , j − BCe

∆x(3.10)

• Para i = 1 e 1 < j < j max

Pi+1, j −Pi , j

∆x2+ Pi , j+1 −2Pi , j +Pi , j−1

∆y2=Qi , j + BC w

∆x(3.11)

• Para i = 1 e j = j max

Pi+1, j −Pi , j

∆x2+ −Pi , j +Pi , j−1

∆y2=Qi , j + BC w

∆x− BC n

∆y(3.12)

• Para i = 1 e j = 1

Pi+1, j −Pi , j

∆x2+ Pi , j+1 −Pi , j

∆y2=Qi , j + BC w

∆x+ BC s

∆y(3.13)

• Para i = i max e j = j max

−Pi , j +Pi−1, j

∆x2+ −Pi , j +Pi , j−1

∆y2=Qi , j − BCe

∆x− BC n

∆y(3.14)

• Para i = i max e j = 1

−Pi , j +Pi−1, j

∆x2+ Pi , j+1 −Pi , j

∆y2=Qi , j − BCe

∆x+ BC s

∆y(3.15)

8

As condições de contorno neste caso, são dadas da seguinte forma:

∂p

∂x

∣∣∣x=0

= Bcw (3.16)

∂p

∂x

∣∣∣x=L

= Bce (3.17)

∂p

∂y

∣∣∣y=0

= Bcs (3.18)

∂p

∂y

∣∣∣y=H

= Bcn (3.19)

3.2 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

O método de Gauss-Seidel é um dos métodos iterativos mais simples, no qual os valores

para os pontos da malha são calculados em uma certa ordem.

Este método é amplamente utilizado na literatura para a solução de problemas discretiza-

dos (Suhas V, 1980; William L. Briggs e McCormick, 2000; bin Zubair, 2009). O método de

Gauss-Seidel será utilizado para comparação com o método de Multigrid, que será posterior-

mente apresentado. Utilizando as equações obtidas pelos elementos finitos, pode-se escrever

a equação como:

A p = B (3.20)

onde A é a matriz dos coeficientes, que para a discretização apresentada no capítulo anterior

assume a seguinte forma:

A =

1 −1 0 · · · 0

−1 2 −1

0 −1 2. . .

... . . . . . . −1

0 −1 1

(3.21)

9

Dividindo a matriz A da forma A = (L +D +U ), leva a:

(L +D +U ) p = B (3.22)

Esta divisão ocorre devido a atualização dos valores para a pressão nos pontos da malha,

enquanto a matriz D diagonal compõe os coeficientes que correspondem aos vlores que

estão sendo atualizados, a matriz Inferior (L) corresponde aos coeficiente dos valores de

p já encontrados na iteração vigente e a superior (U ) aos coeficientes dos valores a serem

calculados.

Assim, a equação (3.7) assume a seguinte forma:

(L +D) pk+1 =U pk +B (3.23)

O vetor pk+1 representa o valor da pressão no passo seguinte,a ser calculado, enquanto pk

representa o vetor já encontrado na k-ésima iteração.

Ao isolar o vetor pk+1, chega-se ao método iterativo que convergirá para a solução do

sistema:

pk+1 = (L +D)−1U pk + (L +D)−1B (3.24)

3.3 MÉTODO GAUSS-SEIDEL SOBRE-RELAXADO

Neste método o processo iterativo é modificado de forma que após calculado um valor de

pk+1 normalmente, utilizando o método de Gauss-Seidel, realiza-se uma extrapolação deste

valor utilizando um parâmetro w , deste modo o valor de pk+1 é obtido da seguinte forma:

pk+1 = (1−w) pk +w pk+1 (3.25)

Conforme verificado na Literatura (Biezuner, 2009; Datta, 1994) este parâmetro deve

atender a condição 0 < w < 2, onde o valor de w = 1 corresponde ao método de Gauss-

Seidel.

10

3.3.1 Cálculo do valor ótimo de sobre-relaxação numericamente

O valor de w para o qual a solução converge mais rápido pode ser calculado analitica-

mente em alguns casos especiais, mas geralmente, este cálculo é feito numericamente, por

meio da comparação entre o número de iterações necessários e a variação do parâmetro w .

Os gráficos apresentados nas figuras 3.2 demonstram que o número de iterações neces-

sárias para a convergência do sistema varia com o parâmetro w . Desta forma, o parâmetro

w que otimiza a convergência do sistema é encontrado quando este corresponde ao menor

número de iterações.

Cabe ressaltar que foram realizados testes com o valor do parâmetro w extrapolando o

valor limite para a convergência imposto na literatura (0 < w < 2) e pode-se constatar que

para malhas com maior número de pontos mesmo com os valores mínimos ficando bem

próximos a 2(conforme pode-se observar na figura 3.2), quando o parâmetro fica maior que

este valor, não ocorreu a convergência do problema.

Na Tabela 3.1, estão alguns exemplos de valores encontrados experimentalmente para

utilização nos casos testes e obtenção dos resultados.

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0w ótimo0

200

400

600

800

1000Iterações

imax=jmax=8

imax=jmax=16

imax=jmax=32

imax=jmax=64

imax=jmax=128

Fig. 3.2: Gráfico cálculo do valor ótimo de sobre relaxação

3.3.2 Cálculo do valor ótimo de sobre-relaxação analiticamente

Conforme encontrado na literatura, o valor ótimo de sobre-relaxação pode ser calculado

analiticamente (Biezuner, 2009; Rocho, 2012; da Costa Fonseca, 2009), por meio do raio

11

Tab. 3.1: Valores de w ótimo CC de Neumann 2D

Fonte: Próprio AutorTamanho da malha valor wót i mo

4x8 1.558x16 1.75

16x32 1.8732x64 1.94

64x128 1.97

espectral, que por sua vez é obtido a partir dos autovalores da matriz que compõe os coefici-

entes da matriz A, equação (3.21) pra os coeficientes de Neumann e equação (3.27) para as

condições de contorno de Dirichlet.

woti mo = 2

1+√1− (ρ J )2

(3.26)

Onde ρ J é o maior autovalor da matriz dos coeficientes utilizando o método de Jacob.

Para as condições de contorno de Dirichlet no caso com 3 pontos 1D ou 5 pontos 2D, é

possível calcular um valor ótimo de w através da analise do raio espectral, como visto em

(da Costa Fonseca, 2009). Para isso, calcula-se os autovalores da matriz dos coeficientes

com as condições de contorno de Dirichlet.

2 −1 0 · · · 0

−1 2 −1

0 −1 2. . .

... . . . . . . −1

0 −1 2

A ∈ Rn×n , n = L

∆x(3.27)

Av =λv (3.28)

Tendo v k como os autovetores da matriz A e λk os seus autovalores.

Conforme pode-se ser verificado em (Biezuner, 2009), o maior autovalor para a matriz

12

de Jacob é dado pela seguinte equação:

λJ = cos(π

n

)(3.29)

Assim, o valor woti mo para o métodos de Gauss-Seidel sobre relaxado, conforme equa-

ção (3.26), pode ser calculado da seguinte forma:

woti mo = 2

1+ sen(πn

) (3.30)

Na utilização do método de Multigrid, é importante ter uma solução analítica para o valor

de woti mo , uma vez que este trabalha com vários níveis de malha ao mesmo tempo, pois

cada malha terá um valor diferente para woti mo . Para o caso das condições de contorno de

Neumann no entanto, não é encontrada na Literatura solução analítica que possa ser utilizada.

A seguir passa-se para a apresentação do Multigrid.

4 ALGORITMO MULTIGRID

O algoritmo de Multigrid vem sendo utilizado amplamente principalmente em soluções

de equações diferencias parciais elípticas. Nesta seção descreve-se o método clássico, con-

forme teoria apresentada na literatura. (William L. Briggs e McCormick, 2000; U. Trotten-

berg, 2001; da Costa Fonseca, 2009; Noury et al., 2011)

4.1 BIGRID

As equações de Poisson podem ser facilmente resolvidos utilizando os métodos acima

descritos, no entanto para simulações mais detalhadas, com a utilização de malhas mais

“refinadas”, a convergência dos métodos torna-se mais lenta. Desta forma, para solução de

problemas com maior número de variáveis busca-se métodos para acelerar a convergência

desse processo.

Uma boa forma de acelerar a convergência da solução é utilizar valores iniciais (p0), mais

próximos aos valores da solução. Desta forma, o sistema precisaria apenas de mais algumas

iterações para chegar ao resultado dos problemas.

Para isso, é possível construir uma segunda malha com espaçamento 2h entre os pontos,

onde a convergência da solução se dá mais rapidamente do que a primeira e encontrou-se

uma boa aproximação para os pontos dessa malha mais “fina”, após resolver a nova equação

exatamente para esta malha mais “grosseira”, fazendo então uma interpolação deste resultado

encontra-se os valores para relaxar na malha mais “fina”, este resultado é então utilizado

como valor inicial para a relaxação nesta malha.

Uma malha mais “grosseira” consegue dar uma boa aproximação da malha mais “fina”

somente quando a solução é suave, ou seja, quando a solução a ser encontrada tem uma

frequência de oscilação menor que o tamanho desta malha mais “grosseira”.

Verifica-se então que enquanto na malha mais “refinada” a função aparece suave, ao

migrar para uma malha mais “grosseira” a função é de alta frequência. E então não obtêm-

se uma boa aproximação para a malha mais fina, ao utilizar os pontos dessa malha mais

“grosseira”. Uma maneira de contornar esse problema é, ao invés de resolver a solução da

13

14

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

o o o o

2h

x

hW E

Fig. 4.1: Malha bigrid

equação, pode-se resolver a equação para encontrar o seu erro, da seguinte maneira:

A ek = r onde, p = pk +ek (4.1)

Após k iterações na malha mais “fina”, calcula-se o resíduo:

r h = B − A pk , r h ∈Ωh (4.2)

r h −→ r 2h , r 2h ∈Ω2h (4.3)

onde, pk é o valor da pressão na k-ésima iteração, r h o resíduo na malha com os pon-

tos com distância h entre si. A passagem deste resíduo da primeira malha para a segunda,

representada pela equação (4.3), é chamada de restrição. A equação fica então da seguinte

maneira:

A e2h = r 2h (4.4)

Desta forma, basta resolver o problema análogo para o erro, mas agora em uma malha com

muito menos pontos, este processo será muito mais rápido que o primeiro.

Após achar uma solução para eh , esses valores serão interpolados para a malha mais fina,

15

este processo é chamado de prolongação, equação (4.5).

e2h −→ eh (4.5)

Finalmente é feita a correção no valor da pressão:

pk+1 = pk +eh (4.6)

Este valor corrigido para a pressão precisará agora de poucas iterações para convergir à

solução.

O operador restrição (equação 4.3) consiste em uma média ponderada dos pontos mais

próximos de acordo com a distância entre os pontos da malha mais “refinada” com a malha

mais “grosseira”, enquanto que no operador de prolongação (equação 4.5) é utilizado uma

interpolação bilinear.

4.2 MULTIGRID

O método do Bigrid calcula o resultado exatamente numa malha mais “grosseira”, porém

esta nova malha ainda terá um grande número de pontos e sua solução exata ainda necessita

de um grande número de iterações para chegar à solução exata. Desta forma pode-se con-

tinuar utilizando malhas cada vez mais “grosseiras” e com menor números de pontos, até

que seja possível resolver exatamente em uma malha com somente um ponto, e desta forma

retornando à malha principal. Este é chamado de ciclo V (figura 4.2).

Em (U. Trottenberg, 2001), o sucesso do Multigrid é atribuído a dois fatores, o primeiro a

capacidade de resolver o sistema em malhas mais grosseiras com menor custo computacional

e segundo a capacidade de suavização de erros de baixa frequência.

4.2.1 Suavização do erro

Um fator importante para o sucesso do algoritmo de Multigrid, é a capacidade de sua-

vização de erros de baixa frequência. Ao utilizar-se métodos iterativos para a relaxação, os

16

-;r-- --

/

-

_____ _L__

RestriçãoIn

terpo

laçãoh

2h

4h

8h

16h

Fig. 4.2: Multigrid ciclo V

erros de mais alta frequência suavizam mais rapidamente, enquanto os de baixa frequência

quase não sofrem alteração. (William L. Briggs e McCormick, 2000)

A título de exemplo, (U. Trottenberg, 2001) apresentou a figura 4.3 abaixo, ilustrando a

suavização de erro através de método iterativo.

Erro do "chute" inicial

Erro após 5 iterações

Erro após 10 iterações

Fig. 4.3: Exemplo de Suavização do erro. Fonte: (U. Trottenberg, 2001) adaptado.

Quando se trata do algoritmo de Multigrid, a frequência do erro torna-se relativa a malha

que está ocorrendo a relaxação, um erro de baixa frequência em uma malha mais “refinada”

pode ser considerado um erro de alta frequência em uma malha mais “grosseira”. Na figura

4.4 é possível verificar a ocorrência do fato citado.

Desta forma, relaxação em malhas mais “grosseiras”, suavizam muito mais rapidamente

estes erros que para as malhas mais “refinadas” tem maior frequência.

17

p-: -

Componentes de baixa frequência, visível em r.!2 li

Componentes de alta frequência, não visível em 021,

Fig. 4.4: Comparativo erros de baixa e alta frequência. Fonte: (U. Trottenberg, 2001) adap-tado

5 CASOS TESTE

5.1 CASO TESTE 1D

O problema de Poisson aplicado para o caso 1D, assume a seguinte forma:

∇2p(x) =Q(x) para (x) ∈Ω (5.1)

O valor utilizado pra que a equação tenha solução analítica a ser utilizada para compara-

ção com o resultado foi:

Q(x) =−sen(2πx) (5.2)

Desta forma, o problema de Poisson a ser resolvido ficou da seguinte maneira:

∂2p

∂x2=−sen(2πx) (5.3)

E condições de contorno:

∂p

∂x

∣∣∣x=0

= Bcw = 1

2π(5.4)

∂p

∂x

∣∣∣x=L

= Bce = 1

2π(5.5)

5.2 CASO TESTE 2D

O problema de Poisson para o caso 2D, fica da seguinte maneira:

∇2p(x, y) =Q(x, y) para (x, y) ∈Ω (5.6)

Similarmente ao caso 1D, o valor utilizado para o termo fonte para que a equação tenha

solução analítica afim de ser utilizada para comparação com o resultado foi:

18

19

Q(x, y) =−sen(2πx)− sen(2πy) (5.7)

Desta forma, o problema de Poisson a ser resolvido ficou da seguinte maneira:

∂2p

∂x2+ ∂2p

∂y2=−sen(2πx)− sen(2πy) (5.8)

E condições de contorno:

∂p

∂y

∣∣∣y=0

= BC s(x) = 1

2π(5.9)

∂p

∂y

∣∣∣y=H

= BC n(x) = 1

2π(5.10)

∂p

∂x

∣∣∣x=0

= BC w(y) = 1

2π(5.11)

∂p

∂x

∣∣∣x=L

= BCe(y) = 1

2π(5.12)

5.3 CASOS TESTE 2D MÉTODO DAS PROJEÇÕES

Esta seção, descreve a utilização do solver da equação de Poisson aplicado ao programa

elaborado em (Chalhub, 2015), que utilizou o método das projeções para a resolução da

equação de Navier-Stokes e comparou resultados utilizando o método de Gauss-Seidel e de

Transformações Integrais para a solução do problema de Poisson.

O programa acima mencionado, utilizou o método das projeções para a obtenção do

problema de Poisson para o gradiente de pressão, conforme a equação 2.1, apresentada na

formulação dimensional, e discretização da malha utilizando o Método de Volumes Finitos

(FVM).

5.3.1 Degrau com expansão abrupta

Este tipo de escoamento, apresenta uma expansão abrupta em formato de um degrau,

o escoamento é considerado como estando em regime permanente na entrada e também na

20

saída do mesmo.

Na figura abaixo, verifica-se uma representação deste tipo de escoamento.

FLUXO PARABÓLICO NA ENTRADA

,

11=0; v=O; Vp-n=O, NAS PAREDES

H 1

LINHA DE FLUXO DIVISORA

y ?;-, ,,W,,,,--· ,,n---+:..t__ 1 1

Lx li

x,

PONTO DE REATAÇÃO

1

1 1 1

1 1

1

1

1

1

Fig. 5.1: Geometria do escoamento Degrau com expansão abrupta. Fonte: (Kim e Moin,1985) adaptado.

As condições de contorno utilizadas neste caso teste estão descritas a seguir:

u = 0 nas paredes (5.13)

v = 0 nas paredes (5.14)

u(0, y) = 6(H − y)(h − y)

(H − y)2para entrada (5.15)

v = 0 e∂v

∂x= 0 para entrada (5.16)

∂u

∂x= 0 para saída (5.17)

∂v

∂x= 0 para saída (5.18)

6 RESULTADOS

6.1 RESULTADO 1D

Os resultados para o caso teste 1D foram encontrados a partir de um solver elaborado

utilizando FORTRAN 90 e compilador Gfortran. Para o caso teste 1D, buscou-se a verifica-

ção dos resultados obtidos por meio da comparação com a solução analítica para o caso teste

apresentado anteriormente. Pode-se observar na figura 6.1b o gráfico da solução numérica

encontrada, sobrepõe a solução analítica, com erro na ordem de 10−8. Enquanto que na fi-

gura 6.1a, mesmo a utilização de uma malha com apenas 10 pontos, obteve um resultado em

que aproximou-se bastante da solução desejada.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-0.02

-0.01

0.01

0.02

Analítica

Gauss -Seidel

(a) Malha 10 pontos

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X

-0.02

-0.01

0.01

0.02

P

Analítica

Gauss -Seidel

(b) Gráfico malha 100 pontos

Fig. 6.1: Gráficos comparação soluções numéricas e analíticas.

21

22

Utilizando o método de Multigrid, a solução encontrada novamente convergiu para o

resultado esperado. Na figura 6.2, é possível observar o efeito da correção para a solução

quando feita a interpolação do erro calculado nas malhas mais “grosseiras”.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0X

-0.02

-0.01

0.01

0.02

PGráfico Pressão

Final

Corrigido

Malha fina

Fig. 6.2: Gráfico Multigrid correção malha 128

Nas tabelas 6.1 e 6.2, pode-se verificar a diferença no desempenho encontrada na utiliza-

ção do algoritmo Multigrid para diferentes tamanhos de malha. Nota-se que este desempenho

melhora a medida que o tamanho da malha aumenta.

Tab. 6.1: Tempo de Cpu GS-1D

Tamanho da malha Tempo de Cpu (segundos)128 0.0156256 0.1250512 0.9375

1024 7.42182048 59.6564096 479.093

Tab. 6.2: Tempo de Cpu MG-1D

Tamanho da malha Tempo de Cpu (segundos)128 0.031256 0.062512 0.375

1024 3.3912048 19.3104096 156.015

Conforme verificado, para uma malha 1D com 2048 pontos, apresentou um tempo de

23

solução de 19.31 segundos, enquanto que para o Gauss Seidel o tempo foi de 59.65 segundos,

o que significa uma redução de 68% no tempo para o mesmo resultado, mostrando assim uma

grande vantagem em termos de desempenho.

24

6.2 Resultado 2D

Por meio da aplicação do caso teste 2D ao solver elaborado em FORTRAN 90 e compila-

dor Gfortran, compara-se abaixo, na figura 6.3, o resultado encontrado. É possível verificar

por meio desta comparação que a solução numérica alcançou o resultado esperado.

Solução Analítica

Solução Numérica

Fig. 6.3: Solução malha 2D

N figura 6.4, é apresentado o resultado da correção realizada para o valor da pressão após

passar pelas malhas do Multigrid, pode-se verificar que neste processo, a solução já está

quase pronta, restando apenas algumas poucas iterações na malha mais refinada para chegar

a solução.

Conforme espera-se, o desempenho do algoritmo Multigrid quando comparado ao mé-

todo de Gauss-Seidel, mostra-se aumentar conforme a malha se torna mais refinada e com

25

solução

Malha fina

corrigido

Fig. 6.4: Solução corrigida pelas malhas do Multigrid

maior número de incógnitas. Desta forma, verificou-se que para as malhas mais “grossei-

ras”, não houve melhora de desempenho. Acredita-se que este fato esteja relacionado ao

algoritmo de Multigrid ser mais robusto, pois depende de cálculo de resíduo, interpolações e

restrições dos resultados encontrados em cada malha.

Os resultados da comparação entre os tempos computacionais entre os métodos de Gauss-

Seidel e Multigrid podem ser visualizados na figura 6.5 a seguir:

50 100 150 200 250 300Tamanho da malha

10

20

30

40

50

60

tempo (s)Tamanho da malha x Tempo

GS

MG

Fig. 6.5: Comparação dos Tempos de processamento

Observando a tabela 6.3, pode-se notar que de fato, a diferença entre os tempos de pro-

cessamento aumenta com o número de pontos da malha. Observe que para uma malha de

26

Tab. 6.3: Tabela de tempos de convergência

Fonte: Próprio Autor

Tamanho da malha Tempo GS (s) Tempo MG (s)32x32 0.03125 0.04687564x64 0.34375 0.5

128x128 4.21875 0.703125256x256 47.5781 5.21875

256×256 pontos, o método de Gauss-Seidel teve um tempo de convergência de 47,57 se-

gundos, enquanto que para a mesma malha o tempo de convergência utilizando o método de

Multigrid foi de 5,21 segundos, o que representa uma redução de 90% no tempo de conver-

gência.

6.2.1 Degrau com expansão abrupta

Após o acoplamento do solver Multigrid no programa elaborado em (Chalhub, 2015)

as condições de contorno apresentadas no capítulo 5.3 e variando o valor de Re (Número

de Reynolds), apresenta-se os resultados obtidos nas figuras 6.6 e 6.7. Identificou-se nestas

figuras o aparecimento de recirculação na região logo após o degrau, e que esta recirculação

aumenta com o acréscimo do número de Reynolds empregado.

0 1 2 3 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Fig. 6.6: Solução do escoamento Degrau com expansão abrupta Re=10 imax=32

27

0 1 2 3 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Fig. 6.7: Solução do escoamento Degrau com expansão abrupta Re=50 imax=40

Para este caso, o resultado utilizando o método de Multigrid quando comparado ao de

Gauss Seidel, mostrou melhor performance, pois empregou um menor tempo necessário

para a convergência quando comparados cada um dos passos no tempo. As figuras 6.8 e 6.9

abaixo, realizam o comparativo entre os métodos utilizados.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Step time

0.01

0.02

0.05

Cpu TimeStepTime xCpu Time

GS

MG

Fig. 6.8: Comparação dos Tempos Re=010 e imax=32

28

0 2 4 6 8 10 12Step time

0.05

0.10

Cpu TimeStepTime xCpu Time

GS

MG

Fig. 6.9: Comparação dos Tempos Re=050 e imax=40

Na figura 6.8, o tempo de convergência para o Multigrid, apresentou uma redução no

tempo de convergência de 30% quando comparado a utilização de apenas uma malha. En-

quanto na figura 6.9, a redução no tempo foi da ordem de 50%.

Ainda que a melhora no desempenho seja percebida nestes dois casos, esta ainda está

abaixo do esperado em ambos os casos. Acredita-se que um dos fatores que pode ter contri-

buído para uma baixa performance, deva-se ao solver da equação de Navier-Stokes utilizar o

valor da pressão encontrada no passo no tempo anterior como “chute inicial para a solução

do problema neste novo passo no tempo. Este fato, retira uma das vantagens da utilização do

Multigrid, uma vez que este “chute inicial” já se aproxima bastante da solução.

7 CONCLUSÃO

O trabalho consistiu no estudo da utilização do Multigrid para a solução do problema

de Poisson para escoamentos incompressíveis, utilizando-se o Método de Volumes Finitos e

condições de contorno de Neumann. Os programas foram implementados em código FOR-

TRAN 90 utilizando o compilador Gfortran.

Os solvers da equação de Poisson em uma e duas dimensões utilizando os métodos de

Gauss-Seidel, SOR e Multigrid foram testados primeiramente utilizando a comparação com

as soluções analíticas em cada caso e demonstraram convergir corretamente para a solução

esperada.

Após a verificação da convergência com a solução correta verificou-se os tempos de

convergência em cada caso.

O caso teste 1D, apresentou redução de 68% no tempo de convergência pra uma malha

de 2048 pontos, enquanto o caso teste 2D apresentou redução da ordem de 90% para uma

malha de 256x256 pontos.

No caso teste Degrau com expansão abrupta, o solver elaborado para a solução do gradi-

ente de pressão foi aplicado ao programa utilizado em (Chalhub, 2015) para a verificação do

desempenho aplicado a solução das equações de Navier-Stokes. Neste caso teste, observou-

se uma redução de 30% para Re = 10 e malha 20x40 pontos, enquanto que para Re = 50 e

malha 16x32 pontos, a redução no tempo foi de 50%.

Conclui-se então, que o método de Multigrid apresentou menor tempo de convergência

para malhas mais “refinadas” e sua eficiência mostrou-se melhorar em relação ao método

de Gauss-Seidel sobre-relaxado ao passo que a malha fica mais “refinada”. Os casos testes

de forma geral, apresentaram menor tempo de convergência quando utilizado o método de

Multigrid quando comparado a utilização de apenas uma malha.

Tendo cumprido o objetivo principal deste trabalho, sugere-se as seguintes abordagens

em trabalhos futuros:

• A comparação do presente resultado, e das técnicas de transformação Integral (GITT),

com o algoritmo FMG.

29

30

• Utilização de condições de contorno mistas de terceiro tipo, pois estes permitem o

acoplamento de vários sistemas.

• Implementação do algoritmo Red-Black juntamente com o Multigrid para melhor per-

formance.

• Implementação do Multigrid com coordenadas irregulares.

• Implementação de Multigrid Algébrico (AMG).

• Implementação do algoritmo de Multigrid paralelo (Parallel Multigrid).

• Abordagem da solução de problemas de 3 dimensões com o algoritmo Multigrid.

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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