projeto de controle hibrido aplicado a vibraÇÕes ... · ventos, terremotos e atividades humanas...

Revista Iberoamericana de Ingeniera Mecnica. Vol. 21, N.1, pp. 13-22, 2017

PROJETO DE CONTROLE HIBRIDO APLICADO A VIBRAES EXCESSIVAS EM UMA ESTRUTURA

DIOGO BATISTA FERNANDES, FBIO ROBERTO CHAVARETTE UNESP Univ. Estadual Paulista

Programa de Ps Graduao em Engenharia Mecnica Departamento de Matemtica

Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira (FEIS) Rua Rio de Janeiro, 266 - CEP: 15385-000 Ilha Solteira, SP, Brasil

(Recibido 14 de mayo de 2016, para publicacin 27 de julio de 2016)

Resumo Amortecedores de massa sintonizados (AMS) ou Absorvedores Dinmicos so dispositivos para con-trole passivo de vibraes em mquinas, prdios ou outras estruturas. Com o passar dos anos esses dispositivos foram aprimorados e tornaram-se mais versteis. Neste trabalho, ser abordado um dispositivo considerando uma dependncia cbica do deslocamento na rigidez do elemento elstico acoplado massa principal e conec-tada ao aparelho, ambos em paralelo com um amortecimento viscoso linear. O problema modelado atravs de equaes diferenciais ordinrias no lineares que sero linearizadas em torno de seu ponto de equilbrio. Como forma de excitar o AMS, foi utilizada uma excitao ssmica sendo esta uma funo espectral real, o espectro Tajimi-Kanai, j que em uma situao real, as propriedades do solo local produzem alterao nas propriedades dinmicas, causando assim uma instabilidade na estrutura onde foram utilizados parmetros para encontrar um comportamento catico no sistema. Como forma de minimizar as vibraes causadas pela excitao ssmica foi proposta um controle hibrido estrutural. O controle estrutural, basicamente promove alteraes nas propriedades de rigidez e amortecimento da estrutura, seja pela adio de dispositivos externos, seja pela ao de foras ex-ternas. A tcnica de controle que ser acoplada ao AMS o controle semiativo, o amortecedor magneto reolgi-co, com o objetivo de minimizar as vibraes e reduzir o movimento catico do sistema a um ponto estvel. A estratgia de controle hibrido adotado demonstra uma eficincia para este tipo de problema e pode ser utilizada como forma de se prevenir perdas materiais, danos ou runas de construes.

Palavras-chave Vibraes Excessivas, caos, controle, amortecedor de massa sintonizado.

1. INTRODUO

Os terremotos so movimentos repentinos do terreno, frequentemente ocasionados por processos natu-rais, devido passagem de ondas ssmicas. Esto entre as principais fontes originarias de abalos ssmicos: os deslizamentos de placas tectnicas, onde ocorre liberao de tenses acumuladas no interior da crosta terrestre; atividade vulcnica ou magmtica; impacto de meteoritos; ruptura de bloco de rochas atravs de uma falha geolgica; exploses artificiais, escorregamento de taludes ou encostas [1].

Os desastres ambientais ocasionados pelos abalos ssmicos afetam populaes do mundo todo. Eles ex-pelem grande quantidade de energia e s vezes ocasionam grandes tragdias, como aconteceu na cidade do Mxico na dcada de 1980, em que um enorme terremoto teve seu epicentro no litoral mexicano e por volta de cinquenta segundos mais tarde atingiu a cidade do Mxico devastando diversos edifcios. Este evento ocasionou prejuzos severos, no apenas material mais vitimou cerca de nove mil e quinhentas pessoas, e estimou trinta mil pessoas feridas, e cem mil desabrigados, de acordo com especialistas. Onde quatrocentos e vinte edifcios colapsaram e trs mil cento e vinte e quatro ficaram seriamente danificados. Este abalo ssmico acarretou um grande impacto na economia e na vida cotidiana do Mxico, mesmo dispondo de uma das melhores normas internacionais para a construo de edifcios [2].

Como os terremotos so fenmenos naturais frequentes necessrio compreender seu comportamento. Os sismgrafos so instrumentos sensveis que identificam e compilam os movimentos das partculas da superfcie em uma definida regio, portanto, mesmo sendo um sistema com caractersticas aleatrias,

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possvel medi-los, mas no impedi-los. Dessa forma crucial desenvolver tecnologias que possam dimi-nuir seus efeitos de atuao.

A atividade ssmica pode causar oscilaes excessivas em um edifcio, que podem conduzir a uma falha estrutural. Para manter a integridade de um edifcio sob ao de sismos, um adequado projeto de constru-o realizado, envolvendo vrios sistemas de controle de vibrao ssmica. Uma alternativa para mini-mizar vibraes instveis o controle estrutural. O controle estrutural, basicamente promove alteraes nas propriedades de rigidez e amortecimento da estrutura, seja pela adio de dispositivos externos, seja pela ao de foras externas. Uma das formas de eliminar as vibraes excessivas em uma estrutura implementar o uso de amortecedores de massas sintonizados (AMS), ou tambm denominados, absorve-dores dinmicos.

Pesquisas recentes, analticas e experimentais, vm se intensificando, no controle de vibraes em es-truturas [3,4]. E o uso de AMSs est ganhando mais aceitao, no s na concepo de novas estruturas e componentes, mas tambm na reforma das estruturas existentes, para melhorar a sua confiabilidade contra ventos, terremotos e atividades humanas [5]. De 1971 at a atualidade, inmeros AMSs foram instalados em arranha cus e torres com grande xito, onde a maioria foi eficaz na reduo de respostas dinmicas na estrutura.

Devido ao range de frequncia limitado do AMS, que fica restrito a uma pequena faixa prxima a al-guma frequncia natural do sistema, se faz necessrio um sistema mais eficaz, que consiga mitigar vibra-es sob excitao de altas frequncias e elevada magnitude. Para isso, neste trabalho ser considerado um sistema de controle hbrido, onde se busca associar os benefcios de dois sistemas distintos, um siste-ma passivo, o AMS, e outro sistema semiativo, o amortecedor magneto reolgico (AMR).

2. MODELO

O modelo do sistema mecnico adotado neste trabalho foi proposto por Frahm [6] e citado por Vigui [7], sendo apresentado o conceito bsico de um AMS, considerando um acoplamento linear composto de uma massa mola, acoplado a um oscilador no linear conservativo. O sistema no linear ilustrado na Fig. 1, onde possui acoplamento de um oscilador no linear, portanto um sistema com dois graus de liber-dade.

m1, knl1 e c1 so a massa, rigidez e amortecimento do sistema principal, respectivamente; m2, knl2 e c2 so a massa, rigidez e amortecimento do amortecedor de massa sintonizado (AMS), respectivamente; x1(t) o deslocamento do sistema principal em relao base; x2(t) o deslocamento da massa m do AMS em relao base e S(t): fora de excitao dinmica.

As energias cinticas (T) totais do sistema so:

(1) As energias potenciais (U) totais do sistema so:

U k q k q q (2) As energias dissipativas (Ed) totais do sistema so:

E c q c q q (3) Logo a equao de Lagrange para coordenada generalizada q1 :

m q c q c q q k q k q q 0 (4) Logo a equao de Lagrange para coordenada generalizada q2 :

m q c q q k q q 0 (5) Aplicando os conceitos tericos de Euler-Lagrange, em termos de energias do sistema, chegamos as

equaes (4) e (5), que correspondem ao sistema ilustrado na Fig. 1.

D.B. Fernandes et al./ Revista Iberoamericana de Ingeniera Mecnica 21(1), 13-22 (2017) 15

Fazendo , , e , temos:

(6)

3. SIMULAO NUMERICA

Para realizar as simulaes numricas da equao (6) foi implementado um programa no cdigo Ma-tlab6.5, utilizando-se o integrador ODE45, considerando-se os valores numricos para os parmetros e condies iniciais, 1, 0, =1 e x 0; rigidez, k 0.1e k 0.0025; massas, 1 e 0.05; amortecimento, c 0.02 e c 0.02.

A Fig. 2 ilustra o comportamento estvel do sistema dinmico com as projees dos planos de fases, histricos no tempo e espectros de frequncia para o modelo abordado.

A Figura 2a apresenta o deslocamento em funo do tempo, mostrando que aps uma perturbao inici-al, o sistema que tem comportamento estvel para as condies aplicadas, retornando a posio de ori-gem, ou ponto de equilbrio estvel.

A Figura 2b apresenta a velocidade em funo do tempo, que novamente demonstra o retorna a posio de equilbrio.

A Figura 2c apresenta o deslocamento do sistema principal em funo da frequncia, que no caso, teve apenas uma perturbao inicial, no peridica, e que no apresenta excitaes posteriores.

A Figura 2d apresenta a velocidade do AMS em funo da frequncia, que mesmo sofrendo apenas per-turbao inicial em seu deslocamento, converte a energia potencial adquirida em energia cintica, fazendo com que o sistema adquira velocidades e aceleraes, posteriores a este deslocamento inicial. Logo se observa que o sistema no apresenta velocidades em outras frequncias, demonstrando no haver outras excitaes.

A Figura 2e apresenta o plano de fase, que a relao entre as coordenadas generalizadas, velocidade e deslocamento, comprovando o sistema retornando a um nico ponto.

3.1. Incluindo a Excitao Ssmica Nesta seo, pretende-se demonstrar a eficincia de um amortecedor de massa sintonizado aplicado a

uma estrutura sob influncia de oscilaes ssmicas. Estas oscilaes sero inseridas na estrutura terica atravs da utilizao do modelo de Tajimi-Kanai. O modelo Tajimi-Kanai descreve e simula registros temporais do movimento do solo, onde frequncias e amplitudes no estacionarias generalizadas (aleat-rias) so incorporadas no modelo. A tcnica de janela deslizante com o tempo utilizada para avaliar a variao dos parmetros do modelo com o tempo, usando registros ssmicos reais. O modelo usa como

Fig. 1. Amortecedor de massa sintonizado acoplado a um oscilador no linear ([7]).


base os sismos ocorridos no Ir: Naghan (1977), Tabas (1978) e Manjil (1990). O modelo e seu algoritmo so capazes de captar com preciso as caractersticas no estacionarias da acelerao destes terremotos (acelerogramas), onde as caractersticas estatsticas das curvas de resposta espectral demostram grande eficcia do modelo ao se comparar como os registros reais [8].

Para melhorar a confiana, em uma abordagem determinstica, vrios registros de terremotos dispon-veis so empregados, a fim de incluir o contedo de vrias frequncias, bem como os efeitos de outros parmetros. O modelo proposto por Tajimi e Kanai [9], portanto denominado Tajimi-Kanai, tem sido aplicado usualmente em situaes problema, em que se pretende atravs de simulao numrica, observar o comportamento de estruturas sob influncia de excitaes ssmicas. A excitao ssmica gerada pelo equacionamento a seguir demonstrado considerada uma excitao do tipo rudo branco, uma vez que abrange uma ampla gama de frequncias, portanto rudo ideal. Em sua forma original idealizada como um processo aleatrio estacionrio, ou seja, suas caractersticas estatsticas no mudam com o tempo, logo se considerarmos dois instantes distintos t1 e t2, as caractersticas no dependero destes instantes especificamente, apenas da diferena entre eles.

a) b)

c) d)

e)

Fig. 2. Comportamento da Estrutura. a) Deslocamento versus tempo, b) Velocidade versus tempo, c) Deslocamento versus frequncia. d) Velocidade versus frequncia e e) Plano de Fase.

0 500 1000 1500 2000 2500-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Historico no Tempo

Tempo [amostra]

Des

loca

men

to [t

axa]

0 500 1000 1500 2000 2500-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Tempo [amostra]

Vel

ocid

ade

[taxa

]0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Frequencia

Des

loca

men

to (x

1)

Espectro de Frequencia

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Frequencia

Vel

ocid

ade

(x2)

Espectro de Frequencia

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Plano de Fase

Deslocamento [taxa]

Vel

ocid

ade

[taxa

]


Sendo o modelo Tajimi-Kanai,

S f S (7) onde os parmetros so descritos como se segue: S representa a densidade espectral de acelerao em funo da frequncia (que F t 0); a frequncia caracterstica dos mantos de solo local; a razo do amortecimento dos mantos do solo local; e S a intensidade do rudo branco [9].

Esses parmetros levam em considerao caractersticas geolgicas especificas regionais, portanto po-dem ser ajustados convenientemente de acordo com a magnitude, frequncias de ressonncia do solo, e atenuao das ondas ssmicas no solo. Logo podem ser empregados utilizando as caractersticas especifi-cas do local no qual se deseja avaliar as propriedades dinmicas da excitao.

Aplicando-se a excitao ssmica do tipo Tajimi-Kanai, (7), na Estrutura, (6), a Fig. 3 ilustra o compor-tamento do modelo proposto com a excitao ssmica.

Nota-se que o sistema no apresenta mais um comportamento estvel devido aplicao da excitao do tipo Tajimi-Kanai, por isso faz-se necessrio o clculo do expoente de Lyapunov atravs do mtodo de Wolf para a verificao do comportamento catico [10].

A Fig. 4 mostra a evoluo do comportamento dos expoentes de Lyapunov sendo: 1=0.032, 2= 0.002, 3= -0.038 e 4=-0.04. O valor de positivo, que segundo Savi [11] isto implica que a trajetria diver-ge exponencialmente da rbita original, indicando um sistema no estvel, do tipo catico, caracterizando assim o desabamento ou destruio da estrutura podendo levar a um grande nmero de vtimas e prejuzos econmicos.

Com o objetivo de minimizar as vibraes e reduzir o movimento oscilatrio causado no sistema, na se-o a seguir prope-se a aplicao de um controle hibrido para reduzir este movimento catico para um ponto estvel.

a) b)

c) d)

Fig. 3. Comportamento da Estrutura com Excitao Ssmica. a) Deslocamento versus tempo, b) Velocidade versus tempo, c) Plano de Fase da Estrutura e d) Plano de Fase do AMD.

0 500 1000 1500 2000 2500-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Historico no Tempo - Excitao Sismica

Tempo [amostra]

Des

loca

men

to [t

axa]

0 500 1000 1500 2000 2500-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Historico no Tempo - Excitao Sismica

Tempo [amostra]

Velo

cida

de [t

axa]

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Plano de Fase - Excitao Sismica

Deslocamento [taxa]

Vel

ocid

ade

[taxa

]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Plano de Fase - Excitao Sismica

Deslocamento [taxa]V

eloc

idad

e [ta

xa]


4. PROJETO DE CONTROLE HIBRIDO

Uma alternativa para minimizar vibraes instveis o controle estrutural. O controle estrutural, basi-camente promove alteraes nas propriedades de rigidez e amortecimento da estrutura, seja pela adio de dispositivos externos, seja pela ao de foras externas. Uma alternativa para minimizar as vibraes instveis em uma estrutura a utilizao do controle semi-ativo sendo proposto o amortecedor magneto reolgico (AMR).

Para desenvolver algoritmos de controle que utilizem amortecedores MR, um nmero significativo de modelos matemticos tem surgido com o objetivo de descrever o comportamento no linear intrnseco destes dispositivos [12]. O modelo matemtico utilizado no trabalho o modelo de Bouc-Wen Modifica-do, este modelo mais adequado para descrever o comportamento de dispositivos que apresentam uma rpida queda da fora (roll-off) quando a velocidade do pisto passa por zero.

4.1. Modelo de Bouc-Wen Modificado De acordo com Dyke [13], o modelo de Bouc-Wen numericamente tratvel e usado extensivamente

para modelar sistemas que contm histerese, o modelo de Bouc-Wen extremamente verstil e pode exi-bir uma grande variedade de comportamento da histerese. Com a inteno de obter modelos ainda mais prximos dos resultados experimentais, Spencer et al. [12] props uma modificao no modelo de Bouc-Wen, essa proposta baseia-se na introduo de um amortecedor viscoso e uma mola linear no modelo original de Bouc-Wen, assim, esse modelo modificado mais adequado para descrever o comportamento de dispositivos que apresentam uma rpida queda da fora (roll-off) quando a velocidade do pisto passa por zero. A Fig. 5 ilustra o modelo de Bouc-Wen modificado proposto por Spencer et al. [12].

A fora F do sistema determinada pela relao a seguir: F c y k x x (8)

sendo,

y z c x k x y (9) e

z |x y|z|z| x y |z| x y (10)

Fig. 4. Dinmica dos Expoentes de Lyapunov para a Excitao Sismica.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04Dinamica do Expoente de Lyapunov - Excitao Sismica

Tempo [Amostra]

Exp

oent

e de

Lya

puno

v

1=0.032235

2=0.0022595

3=-0.038489

4=-0.040005


Nas equaes acima, c e k so, respectivamente, o coeficiente de amortecimento viscoso e de rigidez elstica, x o deslocamento inicial, x a varivel dependente, um coeficiente de rigidez e as cons-tantes , , e n dependem das caractersticas do amortecedor.

A tenso de cisalhamento do fluido MR depende diretamente do campo magntico aplicado. Assume-se que e c e c das equaes (8) e (9), so funes que dependem de uma tenso eltrica (v) aplicada na bobina do amortecedor, na forma:

u u (11) c u c c u (12) c u c c u (13) u u v (14)

A voltagem de alimentao (v) para esse amortecedor MR pode variar de 0 a 2 voltas, e os parmetros para o modelo Bouc-Wen modificado esto apresentados na tabela 1 [14].

Fig. 5. Modelo Bouc-Wen modificado [12].

Tabela 1. Parmetros do modelo Bouc- Wen modificado.

Parmetros Valores c 784 N s/m c 1803 N s/V m k 3610 N/m c 14649 N s/m c 34622 N s/V m k 840 N/m x 0.0245 m 12441 N/m 38430 N/V m 136320 m-2 2059020 m-2 58 n 2

190 s-1


4.2. Aplicando o Amortecedor Magneto Reolgico ao Modelo Proposto Aplicando o amortecedor magneto reolgico no modelo da equao (6), a equao do sistema controla-

do pode ser escrita da seguinte forma:

(15)

A Fig. 6 ilustra o comportamento sistema quando o amortecedor magneto reolgico aplicado no mo-delo e est sem controle.

a) b)

c) d)

e) f)

Fig. 6. Comportamento da Estrutura com Amortecedor Magneto Reolgico. a) Deslocamento versus tempo da Estrutura, b) Velocidade versus tempo da Estrutura, c) Deslocamento versus tempo do AMD, d) Velocidade versus tempo do AMD, e)

Plano de Fase da Estrutura e f) Plano de Fase do AMD.

0 500 1000 1500 2000 2500-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Tempo [amostra]

Des

loca

men

to [t

axa]

Excitao SismicaAmortecedor Magneto Reologico

0 500 1000 1500 2000 2500-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Historico no Tempo

Tempo [amostra]

Des

loca

men

to [t

axa]


0 500 1000 1500 2000 2500-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5Historico no Tempo

Tempo [amostra]

Des

loca

men

to [t

axa]


0 500 1000 1500 2000 2500-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


Tempo [amostra]

Des

loca

men

to [t

axa]


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Plano de Fase

Deslocamento [taxa]

Velo

cida

de [t

axa]


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Plano de Fase

Deslocamento [taxa]

Velo

cida

de [t

axa]



5. DISCUSSS E CONCLUSES

Os Desastres Naturais constituem um grande interesse da engenharia, as consequentes catstrofes natu-rais tm exigido nos ltimos tempos dos governantes e sociedades de vrios pases, polticas de preveno e ao de socorro s vtimas de regies atingidas por terremotos, ciclones, e desequilbrios climticos, demonstrando ser um tema cada vez mais presente no cotidiano das pessoas.

O Desastre Natural foco deste trabalho foi ocorrncia de aes ssmicas em estruturas, onde foi pro-posto o modelo matemtico de um amortecedor de massa sintonizado sofrendo uma excitao externa tipo Tajimi-Kanai, que so vibraes excessivas causadas por carregamentos dinmicos, como o terremo-to. Essa excitao considera as propriedades do solo local, uma situao real, que produzem alterao nas propriedades dinmicas da estrutura, que neste caso, levaram a estrutura a um comportamento catico.

Este comportamento catico ilustrado, muitas vezes causam desastres naturais que venham causar per-das biolgicas, materiais, danos ou runa de construes humanas podendo levar a um grande nmero de vtimas e prejuzos econmicos.

O controle estrutural, basicamente promove alteraes nas propriedades de rigidez e amortecimento da estrutura, seja pela adio de dispositivos externos, seja pela ao de foras externas. Podem-se adotar vrios modelos de controle, como o controle passivo, controle ativo, controle hbrido, e o controle semi-ativo. Foi proposta a aplicao da estratgia do amortecedor magneto reolgico no modelo, sendo que est estratgia hibrida minimizou as vibraes e reduzir o movimento oscilatrio catico do sistema a um ponto estvel. A Fig. 6 mostra o comportamento catico (em azul) e a eficcia da estratgia de controle (em vermelho) para este problema, podendo assim auxiliar na preveno deste tipo de Desastre Natural.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao Laboratrio de Sistemas Complexos (SISPLEXOS) onde o projeto foi desen-volvido e ao auxilio financeiro concedido pela Fundao de Amparo Pesquisa do Estado de So Paulo FAPESP, atravs do Proc. FAPESP No. 2014/16807-3.

REFERNCIAS

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HYBRID CONTROL PROJECT APPLIED TO EXCESSIVE VIBRATIONS IN A STRUCTURE

Abstract Tuned Mass Dampers tuned (TMD) or Dynamic Absorbers are devices for passive control of vibra-tion in machinery, buildings or other structures. Over the years these devices have improved and become more versatile. In this work, we consider a device with a cubic dependence on displacement in the rigidity of the elas-tic member coupled to the main mass and connected to the apparatus, both in parallel with a linear viscous damping. The problem is modelled using nonlinear ordinary differential equations to be linearized around its equilibrium point. As a way to excite the TMD, a seismic excitation was used and this is a real spectral function, Tajimi-Kanai spectrum, as in a real situation, the local soil properties produce change in the dynamic properties, thus causing instability in the structure where parameters were used to find a chaotic behaviour in the system. In order to minimize the vibrations caused by seismic excitation was proposed a structural hybrid control. The structural control, basically promotes changes in stiffness and damping of the structure, or by adding external devices, either by the action of external forces. The control technique that is coupled to the TMD is the semi-active control, the magneto rheological damper absorber, in order to minimize vibrations and reduce the chaotic motion of the system to a stable point. The hybrid control strategy adopted demonstrates efficiency for this type of problem and can be used as a way to prevent property loss, damage or buildings ruins.

Keywords Vibrations excessive Chaos Control, Tuned Mass Damper.

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