Projeto de Atenuadores Acústicos Industriais

Renato Samuel Anjo Rocha

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Aeroespacial

Orientadores: Prof. João Manuel Gonçalves de Sousa OliveiraProf. Filipe Szolnoky Ramos Pinto Cunha

Júri

Presidente: Prof. Fernando José Parracho LauOrientador: Prof. João Manuel Gonçalves de Sousa Oliveira

Vogal: Prof. Pedro da Graça Tavares Álvares Serrão

Novembro 2018

ii

Para os meus pais e irmao que me apoiaram durante todo o meu percurso academico.

iii

iv

Agradecimentos

Gostaria de agradecer aos meus Professores e Orientadores Joao Oliveira e Filipe Cunha por toda

a paciencia e disponibilidade em me ajudar. Agradecer, ainda, ao ultimo por ter demonstrado uma

preocupacao acrescida num dos momentos mais delicados do meu percurso academico.

Aos meus amigos de longa data, da faculdade e da Associacao dos Estudantes, os meus sinceros

agradecimentos por terem estado presentes nos momentos que mais precisei.

Um agradecimento especial a minha Claudia, por me manter focado durante todo este trabalho, por

me ter dado na cabeca sempre que me desconcentrava com as atividades da Associacao, por me ter

acompanhado e apoiado nesta reta final, ...

As ultimas e mais importantes palavras de gratificacao sao para os meus pais e para o meu irmao, por

me terem apoiado em todas as decisoes da minha vida. Quero tambem agradecer a oportunidade que

me deram de estar a finalizar este grau no Instituto Superior Tecnico.

v

vi

Resumo

Cada vez mais tem havido preocupacao com o ruıdo industrial, estando a sua ocorrencia relacionada

com diversos problemas de saude. Torna-se importante encontrar solucoes para a reducao deste ruıdo.

Uma das solucoes passa por reduzir o ruıdo provocado pelas unidades de Aquecimento, Ventilacao e

Ar-Condicionado (AVAC) necessarias para o funcionamento do habitaculo industrial.

Assim, pretende-se desenvolver um metodo para modelar atenuadores de ruıdo industrial tendo por base

os modelos teoricos existentes para a atenuacao. De entre as varias teorias ja existentes escolheu-se a

teoria que ia ao encontro da solucao pretendida: um atenuador de ruıdo retangular com uma passagem

de ar.

Inicialmente, a teoria escolhida foi implementada e validada atraves de um modelo simplificado.

Posteriormente, atraves de modelos e experiencias encontrados na literatura, o coeficiente de absorcao

presente na folha de especificacoes dos materiais acusticos dada pelo fornecedor foi relacionado com

as propriedades acusticas, coeficiente de propagacao e impedancia caracterıstica, necessarias para o

calculo da atenuacao atraves do modelo anteriormente escolhido.

Por fim, variaram-se diferentes parametros importantes no projeto de atenuadores para medir o efeito

que estes provocavam na atenuacao. Sabendo a influencia que cada caracterıstica do atenuador tem na

atenuacao obtida, elaborou-se um procedimento para o projeto de atenuadores acusticos industriais.

Palavras-chave: Atenuador acustico industrial, reducao de ruıdo, atenuacao, coeficiente de

propagacao, impedancia caracterıstica.

vii

viii

Abstract

The concern about industrial noise has grown increasingly, and its occurrence is related to several health

problems. It becomes important to find solutions to reduce this noise. One of this solutions is to reduce

the noise caused by the units of Heating, Ventilation and Air Conditioning (HVAC), which are necessary

for the proper operation of the industrial cabin.

Therefore, a method to model industrial silencers is developed, based on existing theoretical models

for attenuation formulated by other researchers. Among the several existing theories, it was chosen the

theory that would take us to the desired solution: ducts lined on two opposite walls with porous material.

At the first, the chosen theory is analysed and verified its implementation through a simplified model.

Subsequently, through the models and experiences found in literature, the absorption coefficient that

appeared on the acoustic material specification sheet given by the supplier was compared with the

acoustic properties, propagation coefficient and characteristic impedance, required to calculate the

attenuation through the model previously chosen.

Finally, the different parameters which were important in the silencers project were studied in order to

measure the effect that these caused in the attenuation. Knowing the influence that each characteristic

of the silencer has on the obtained attenuation, a procedure was elaborated for the industrial acoustic

silencers design.

Keywords: Silencer, noise reduction, attenuation, propagation coefficient, characteristic impedance

ix

x

Conteudo

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

Lista de Sımbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

Glossario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix

1 Introducao 1

1.1 Motivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Estrutura da dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Revisao bibliografica 5

2.1 Acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Propagacao de ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2 Percecao sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Propriedades acusticas dos materiais porosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Coeficiente de propagacao e impedancia caracterıstica . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Porosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Resistencia especıfica ao escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Tipos de materiais porosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Materiais de reacao local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2 Materiais de reacao global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Modelos teoricos para calculo da atenuacao acustica 17

3.1 Caracterısticas do atenuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Calculo da atenuacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Modelo de Alan Cummings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1 Caracterizacao do campo sonoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.2 Calculo do numero de onda axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

xi

3.4 Modelo de Werner Frommhold e Fridolin Mechel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.1 Caracterizacao do campo sonoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4.2 Calculo do numero de onda axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Comparacao entre o modelo de A. Cummings e o modelo de W. Frommhold e F. Mechel 28

3.6 Calculo das propriedades acusticas do material poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.7 Determinacao da resistencia especıfica ao escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Atenuacao acustica em funcao das caracterısticas do atenuador 35

4.1 Escolha de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Efeitos das dimensoes de uma conduta atenuadora simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Efeitos da resistencia especıfica ao escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.4 Efeitos da velocidade do escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.5 Efeitos das folhas perfuradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.6 Efeitos das dimensoes de uma conduta atenuadora assimetrica . . . . . . . . . . . . . . 43

4.7 Procedimento para o projeto do atenuador acustico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Conclusao 47

5.1 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Referencias 49

A Codigo Matlab A.1

A.1 Implementacao do modelo de A. Cummings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1

A.1.1 Funcao principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1

A.1.2 Algoritmo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2

A.1.3 Calculo do numero de onda na direcao y para iniciacao do algoritmo de Newton-

Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3

A.2 Implementacao do modelo de W. Frommhold e F. Mechel . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4

A.3 Calculo das propriedades acusticas do material poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5

xii

Lista de Figuras

1.1 Exemplos de sistemas acusticos para atenuacao do ruıdo produzido por atividades ruido-

sas. [4, 5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Tipos de ondas sonoras: longitudinais e transversais. [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Esquema de onda sonora: frequencia e perıodo. [11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Esquema de onda sonora: amplitude e comprimento de onda. [11] . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Esquema da velocidade, U , por unidade de area induzida pela diferenca de pressoes,

pd − pu, imposta num material poroso. (Adaptado de Allard e Atalla [22].) . . . . . . . . . 12

2.5 Aparelho para medicao da resistencia ao escoamento utilizado por Nichols [23]. . . . . . 13

2.6 Aparelho para medicao da resistencia ao escoamento utilizado por Huszty, Illenyi, e Vass

[25]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7 Esquemas de condutas tridimensionais revestidas com material poroso. [41] . . . . . . . 15

3.1 Caracterısticas do modelo. (Adaptado de Cummings [26].) . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Comparacao entre os modelos teoricos de Cummings [26] e de Frommhold e Mechel [41]:

t0 = 0.35m; t1 = t2 = 0.175m; σ = 30× 103 kg s−1 m−3. —–, modelo de A. Cummings; –

–, modelo de W. Frommhold e F. Mechel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1 Efeito das dimensoes de uma conduta simetrica na atenuacao de ondas sonoras: t0 =

0.35m. —–, SF = 25%; – –, SF = 50%; – . – ., SF = 75%. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Efeito das dimensoes de uma conduta simetrica na atenuacao de ondas sonoras: t1 =

t2 = 0.175m. —–, SF = 25%; – –, SF = 50%; – . – ., SF = 75%. . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Efeito das dimensoes de uma conduta simetrica na atenuacao de ondas sonoras: ly =

0.70m. —–, SF = 25%; – –, SF = 50%; – . – ., SF = 75%. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4 Efeito das dimensoes de uma conduta simetrica na atenuacao de ondas sonoras: σ =

30× 103 kg s−1 m−3. —–, SF = 25%; – –, SF = 50%; – . – ., SF = 75%. . . . . . . . . . . 39

4.5 Efeito das dimensoes de uma conduta simetrica na atenuacao de ondas sonoras: σ =

60× 103 kg s−1 m−3. —–, SF = 25%; – –, SF = 50%; – . – ., SF = 75%. . . . . . . . . . . 39

4.6 Efeito da resistencia especıfica ao escoamento na atenuacao de ondas sonoras em

condutas com fator de espacamento de 50%: t0 = 0.35m; t1 = t2 = 0.175m. —–,

σ = 10× 103 kg s−1 m−3; – –, σ = 30× 103 kg s−1 m−3; – . – ., σ = 60× 103 kg s−1 m−3. . . 40

xiii

4.7 Efeito da velocidade do escoamento na atenuacao de ondas sonoras em condutas com

fator de espacamento de 50%: t0 = 0.35m; t1 = t2 = 0.175m; σ = 30× 103 kg s−1 m−3.

—–, U = −5m s−1; – –, U = 5m s−1; – . – ., U = 20m s−1; ....., U = 40m s−1. . . . . . . . . 41

4.8 Efeito da utilizacao de folhas perfuradas na atenuacao de ondas sonoras numa conduta

atenuadora: U = 0m s−1; t0 = 0.175m; t1 = t2 = 0.0875m. —–, Sem folhas perfuradas;

– –, Com folhas perfuradas: r0 = 1.5mm; – . – ., Com folhas perfuradas: r0 = 1mm; .....,

Com folhas perfuradas: r0 = 0.5mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.9 Efeito da utilizacao de folhas perfuradas na atenuacao de ondas sonoras numa conduta

atenuadora: U = 0m s−1; t0 = 0.35m; t1 = t2 = 0.175m. —–, Sem folhas perfuradas; – –,

Com folhas perfuradas: r0 = 1.5mm; – . – ., Com folhas perfuradas: r0 = 1mm; ....., Com

folhas perfuradas: r0 = 0.5mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.10 Efeito da utilizacao de folhas perfuradas na atenuacao de ondas sonoras numa conduta

atenuadora: U = 20m s−1; σ = 30× 103 kg s−1 m−3. —–, Sem folhas perfuradas; – –, Com

folhas perfuradas: r0 = 1.5mm; – . – ., Com folhas perfuradas: r0 = 1mm; ....., Com folhas

perfuradas: r0 = 0.5mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.11 Efeito das dimensoes de uma conduta assimetrica na atenuacao de ondas sonoras:

t0 = 0.35m; t1 = 0.175m. —–, t2 = 0.175; – –, t2 = 0.0875; – . – ., t2 = 0.0437. . . . . . . . 44

4.12 Efeito das dimensoes de uma conduta assimetrica na atenuacao de ondas sonoras:

t0 = 0.35m; ly = 0.70m. —–, t2 = 0.175; – –, t2 = 0.0875; – . – ., t2 = 0.0437. . . . . . . . 45

4.13 Efeito das dimensoes de uma conduta assimetrica na atenuacao de ondas sonoras:

t1 = 0.175m; ly = 0.70m. —–, t2 = 0.175; – –, t2 = 0.0875; – . – ., t2 = 0.0437. . . . . . . . 45

xiv

Lista de Sımbolos

Sımbolos gregos

α Parte real do coeficiente de propagacao no material poroso

αe Coeficiente de absorcao presente nas caracterısticas nominais do material poroso fornecido pelo

fabricante

αn Coeficiente de absorcao teorico

β Parte imaginaria do coeficiente de propagacao no material poroso

Γ Coeficiente de propagacao

γ Coeficiente de expansao adiabatica

δ Fator de correcao para perfuracoes circulares em tubos retangulares

εj Impedancia de deslocamento relativa as partıculas em contacto com a seccao j da conduta

ζhj Impedancia adimensional na folha perfurada adjacente a seccao j da conduta

ηj Admitancia relativa as partıculas em contacto com a seccao j da conduta

Θ Atenuacao por unidade de comprimento da conduta

κ Condutividade termica

λ Comprimento de onda de um sinal sinusoidal

µ Viscosidade dinamica

ρ0 Densidade media do fluıdo

ρd Densidade dinamica

σ Resistencia especıfica ao escoamento

τ Intervalo de tempo medido

xv

φ Porosidade de um material

Ψ Funcao propria

ω Frequencia angular de um sinal sinusoidal

Sımbolos romanos

A Amplitude de um sinal sinusoidal

B Uma constante

c0 Velocidade do som no meio de propagacao

cp Capacidade termica a pressao constante

cv Capacidade termica a volume constante

d Espessura da folha perfurada

E Equacao que define o erro obtido pelo metodo dos mınimos quadrados

e Espessura do material poroso utilizada para as medicoes das caracterısticas nominais do material

f Frequencia de um sinal sinusoidal

H(w) Funcao de Heaviside, ou degrau unitario

Kd Modulo dinamico global

kj Numero de onda do material presente na seccao j da conduta

kx Numero de onda na direcao x

kyj Numero de onda na direcao y relativo a seccao j da conduta

kz Numero de onda axial

Lp Nıvel de pressao acustica

l Passo das perfuracoes

lx Dimensao da conduta na direcao x

ly Dimensao da conduta na direcao y

lz Dimensao da conduta na direcao z

M Numero de Mach medio do escoamento

xvi

Npr Numero de Prandtl

O Parte real da impedancia caracterıstica do material poroso

P Perıodo de um sinal sinusoidal

p Pressao acustica

pd Pressao medida a montante da amostra de material poroso

pj Pressao acustica media na seccao j da conduta

pref Pressao acustica de referencia (20µPa)

prms Valor eficaz da pressao acustica

pu Pressao medida a jusante da amostra de material poroso

Q Porosidade da folha perfurada

q Numero total de frequencias que o fabricante determinou o coeficiente de absorcao

R Constante universal dos gases perfeitos

r0 Raio das perfuracoes

s Espessura da amostra de material poroso

SF Fator de espacamento

T Temperatura absoluta de um gas

t Tempo

tj Largura da seccao j da conduta

U Velocidade media do escoamento

Va Volume de ar no interior do material poroso

VT Volume total do material poroso

W Parte imaginaria da impedancia caracterıstica do material poroso

zj Impedancia caracterıstica do material presente na seccao j da conduta

Subscritos

0 Passagem de ar do atenuador

xvii

1, 2 I-nesimo segmento de material poroso

m,n Modo de propagacao na direcao (x, y), definido por um par de numeros inteiros (0, 1, 2, ...)

x, y, z Coordenadas cartesianas

xviii

Glossario

AVAC Aquecimento, Ventilacao, Ar-Condicionado

FAA Federal Aviation Administration

SI Sistema Internacional

xix

xx

Capıtulo 1

Introducao

O primeiro capıtulo apresenta a motivacao que levou ao desenvolvimento desta dissertacao, descreve os

principais objetivos e a metodologia para a sua concretizacao e apresenta sucintamente de que forma foi

estruturado este trabalho.

1.1 Motivacao

Desde 1987 que a prevencao do ruıdo e o controlo da poluicao sonora se encontram regulados no

ordenamento jurıdico portugues. A 24 de junho desse ano foi aprovado o primeiro regulamento geral

sobre o ruıdo. Este regulamento tem vindo a ser atualizado ao longo dos anos, sendo que a ultima

versao data 2007. Designado por Regulamento Geral do Ruıdo, este novo regulamento foi anexado ao

Decreto-Lei n.o 9/2007 de 17 de janeiro. [1]

“A instalacao e o exercıcio de actividades ruidosas permanentes em zonas mistas, nas

envolventes das zonas sensıveis ou mistas ou na proximidade dos receptores sensıveis

isolados estao sujeitos ao cumprimento do criterio de incomodidade, considerado como a

diferenca entre o valor do indicador L (ındice Aeq) do ruıdo ambiente determinado durante a

ocorrencia do ruıdo particular da actividade ou actividades em avaliacao e o valor do indicador

L (ındice Aeq) do ruıdo residual, diferenca que nao pode exceder 5 dB(A) no perıodo diurno,

4 dB(A) no perıodo do entardecer e 3 dB(A) no perıodo nocturno.” [2]

Esta lei e aplicavel na laboracao de estabelecimentos industriais, comerciais e de servicos, inseridos

em zonas com habitacoes, escolas, hospitais ou espacos de lazer. Assim, todos os estabelecimentos

abrangidos pelas condicoes referidas tem de recorrer a sistemas de insonorizacao ou atenuacao, de

forma a reduzir o ruıdo provocado pelos equipamentos e maquinas necessarios ao seu funcionamento.

Inumeras empresas tem-se dedicado a producao de diversos tipos de sistemas de insonorizacao e

atenuacao de ruıdo, tais como: absorsores sonoros, barreiras acusticas, atenuadores de ruıdo, cabines

1

de insonorizacao, grelhas acusticas, revestimentos acusticos, silenciadores para descarga atmosferica,

materiais de construcao acusticos, entre outros. [3–6]

(a) Absorsor sonoro (b) Barreira acustica

(c) Atenuador de ruıdo (d) Grelha acustica

(e) Revestimento acustico (f) Silenciador para descarga atmosferica

Figura 1.1: Exemplos de sistemas acusticos para atenuacao do ruıdo produzido por atividades ruidosas.[4, 5]

Dos sistemas referidos, um dos que e mais usado e o atenuador de ruıdo. Estes sao usados essencial-

mente em sistemas AVAC (Aquecimento, Ventilacao e Ar Condicionado) e em salas de maquinas e de

geradores.

Os atenuadores de ruıdo sao projetados e desenvolvidos para corresponder a determinados ambientes

e necessidades. O objetivo da utilizacao destes sistemas acusticos e reduzir o ruıdo provocado pelo

funcionamento de um determinado aparelho. E ainda importante ter em consideracao o escoamento de

2

ar necessario ao bom funcionamento do aparelho, sendo por isso essencial minimizar a perda de carga

introduzida pelo atenuador.

Um atenuador de ruıdo e uma conduta com uma ou mais passagens de ar intercaladas com material

poroso, designado por septo. Para protecao do material poroso e frequente usar-se uma folha metalica

perfurada entre a passagem de ar e cada septo com material poroso. Estes equipamentos sao fabricados

sob encomenda, sendo posteriormente dimensionados para o nıvel de atenuacao desejado. Alguns dos

parametros a ter em conta no dimensionamento de um atenuador de ruıdo sao:

• dimensao e geometria da conduta (circular ou retangular);

• numero de passagens de ar e septos;

• dimensoes dos septos;

• tipo de materiais (la de vidro, la de rocha,...);

• tipo de septos (fixos ou removıveis);

• tipo de ambiente (exterior ou interior).

Atenuadores de ruıdo na industria aeronautica

Os limites do ruıdo provocado por aeronaves estao a ser cada vez mais exigentes. Desta forma, o estudo

da reducao do mesmo tem sido e continua a ser importante nos dias de hoje.

Em cooperacao com a comunidade aeronautica, a Federal Aviation Administration (FAA) prosseguiu com

um programa de controlo de ruıdo aeronautico. Deste surgiram algumas medidas como por exemplo a

reducao do ruıdo provocado pelo motor. [7]

Em paralelo, tem sido divulgados varios estudos com medidas de melhoramento acustico da fan de

entrada e da conduta de exaustao, de modo a que o ruıdo seja atenuado. [8–10]

Desde o tipo de componentes utilizados ate ao metodo de construcao das condutas atenuadoras de

ruıdo, todas estas caracterısticas sao importantes aquando da dimensionalizacao de um atenuador. As

conclusoes retiradas dos estudos que comparam os varios tipos de atenuadores tem sido aplicadas

na industria aeronautica. E por este motivo que, o estudo de atenuadores de ruıdo em condutas de ar

industriais e importante.

1.2 Objetivos

Este trabalho foca-se no estudo de um atenuador de ruıdo a nıvel teorico. O objetivo e estudar a

atenuacao obtida atraves de um modelo conhecido e com isso obter um procedimento para projeto de

atenuadores.

3

Objetiva-se analisar o efeito de variaveis como o comprimento do atenuador, a velocidade do escoamento

e o tipo e a espessura do material poroso na atenuacao do ruıdo a montante do atenuador. Assim,

pretende-se comparar diferentes tipos de atenuadores de ruıdo e perspetivar qual destas propriedades

tem mais influencia na atenuacao obtida.

Sabendo de que forma e que estas propriedades influenciam a atenuacao provocada pelo atenuador,

pretende-se elaborar um procedimento que deve ser seguido no projeto de atenuadores.

1.3 Metodologia

Comecar-se-a por analisar os modelos teoricos ja estudados de forma a escolher qual o mais adequado

ao objetivo do trabalho. O modelo teorico escolhido sera implementado no programa Matlab. Depois,

este modelo sera comparado com um modelo simplificado, tambem implementado em Matlab, de forma

a validar a implementacao do modelo escolhido.

Posteriormente, analisar-se-ao os efeitos de varias propriedades na atenuacao acustica obtida por um

atenuador industrial e elaborar-se-a um procedimento para o projeto de atenuadores, sendo que as

propriedades que influenciam mais a atenuacao obtida estao no inıcio do procedimento.

1.4 Estrutura da dissertacao

A dissertacao encontra-se dividida em cinco capıtulos: introducao, revisao bibliografica, implementacao,

projeto de atenuadores acusticos e conclusao.

O capıtulo 1 introduz a problematica do ruıdo industrial nos dias de hoje e aborda a importancia do

uso de atenuadores de ruıdo em condutas de ventilacao industriais e do estudo destes para a industria

aeronautica.

No segundo capıtulo da dissertacao, e descrito o estado de arte da tese, onde se anunciam breves

explicacoes de premissas importantes para todo o desenvolvimento deste trabalho.

No capıtulo 3 e apresentado o modelo teorico implementado para o calculo da atenuacao de um

atenuador. Neste capıtulo e tambem implementado outro modelo de forma a garantir que o modelo

teorico escolhido foi bem implementado.

O quarto capıtulo providencia a comparacao entre varias propriedades importantes no projeto de um

atenuador. Este capıtulo acaba com a apresentacao de uma metodologia a ser usada no projeto de

atenuadores.

Por ultimo, o capıtulo 5 conclui o atual trabalho, descrevendo quais os parametros mais importantes no

projeto de um atenuador, de forma a otimizar a atenuacao do ruıdo industrial.

4

Capıtulo 2

Revisao bibliografica

Este capıtulo comeca por abordar os conceitos basicos de acustica. E dada relevancia a propagacao de

ondas sonoras e suas caracterısticas, bem como a forma como o ouvido humano percebe um som.

Sao ainda abordadas algumas referencias sobre propriedades acusticas dos materiais porosos (coefici-

ente de propagacao, impedancia caracterıstica, porosidade e resistencia especıfica ao escoamento).

Por ultimo, serao apresentadas as duas categorias em que a literatura enquadra os materiais porosos:

materiais de reacao local e materiais de reacao global. Sendo descrito, primeiramente, o tipo de teoria e,

posteriormente, referencias de estudos de materiais que se enquadram nessas teorias.

2.1 Acustica

Na minha opiniao, dos cinco sentidos que possuımos, a audicao e talvez a segunda mais usada no

quotidiano. De facto, o interesse pela acustica remonta a pre-historia. Por exemplo, a producao de efeitos

sonoros para aterrorizar os inimigos em batalhas e a evolucao da musica nos tempos primitivos, atraves

do toque de instrumentos com cordas e a batida de peles de animais esticadas, que tornavam a audicao

interessante e agradavel.

Com o decorrer do tempo surgiu o termo acustica para designar o ramo da fısica associado ao estudo do

som, nomeadamente a producao, a propagacao em meios solidos (ondas elasticas), lıquidos e gasosos

(ambos ondas sonoras) e os efeitos dessa propagacao nos meios envolventes.

O som pode ser descrito como a propagacao de flutuacoes de pressao atraves de um meio, provocadas

por forcas de vibracao aplicadas nesse meio. Estas forcas podem ser geradas por um numero indetermi-

nado de fontes: turbulencia do ar noutros gases, passagem de um corpo rıgido num fluıdo, impacto entre

dois corpos rıgidos...

5

2.1.1 Propagacao de ondas sonoras

Dado que o som precisa de um meio para se propagar, este nao consegue propagar-se no vacuo.

Enquanto uma onda sonora se distancia da fonte, a pressao, a velocidade e o deslocamento do meio

variam no tempo. No entanto, as partıculas do meio nao se propagam com a onda sonora, isto e, a

velocidade media das partıculas nao varia. Por outro lado, a onda sonora pode ser refletida, refratada ou

atenuada pelo meio em que se propaga.

Geralmente, o comportamento de uma onda sonora e afetado pelas propriedades do meio em que

esta se propaga: densidade, temperatura, viscosidade, entre outras. Estes fatores podem aumentar

ou diminuir a velocidade do som e ainda a taxa com que o som e atenuado. Dependendo destas

caracterısticas, o som pode ser refratado, disperso ou focalizado, aumentando ou diminuindo os nıveis

sonoros.

Ondas longitudinais, transversais, rotacionais e de torcao

Diferentes tipos de onda sao gerados quando a energia passa atraves de um meio, dependendo do

movimento das partıculas nesse meio.

Numa onda sonora, principalmente longitudinal, as partıculas oscilam na direcao da propagacao da

onda. Este movimento origina, alternadamente, zonas de compressao e rarefacao das partıculas do

meio. Neste tipo de onda nao ha deslocamento do meio, uma vez que o que se move a velocidade do

som e a perturbacao gerada pela fonte sonora e nao as partıculas do meio. Assim, as partıculas do meio

nao se movem muito alem das suas posicoes iniciais.

Uma onda transversal ocorre quando a amplitude varia na direcao normal a direcao da propagacao. Este

tipo de onda descreve a propagacao da luz e da corrente eletrica alternada.

Figura 2.1: Tipos de ondas sonoras: longitudinais e transversais. [11]

Adicionalmente, as ondas podem ser do tipo rotacional ou de torcao. Em ondas rotacionais, as partıculas

rodam sobre um centro comum, por exemplo, uma onda do oceano proxima da costa. Por outro

lado, numa onda de torcao, as partıculas movem-se de forma helicoidal, podendo ser considerado um

6

movimento originado pela combinacao vetorial de movimentos longitudinais e transversais. Este tipo de

ondas ocorre principalmente em solidos.

Caracterısticas de uma onda sonora

A pressao e o tempo sao as duas principais componentes usadas para descrever qualquer som.

Dependendo do emissor, o som pode conter apenas uma frequencia, ou varias frequencias. Sao

exemplos o som gerado por um diapasao ou pelo motor de um aviao, respetivamente. No primeiro caso,

o sinal sonoro e descrito por uma funcao sinusoidal, enquanto que no segundo caso o sinal e definido

pela soma de varias funcoes sinusoidais, uma por cada frequencia diferente emitida.

A frequencia, f , e o numero de vezes que a pressao sonora varia durante uma unidade de tempo. Por

vezes, utiliza-se a frequencia angular, ω, definida por :

ω = 2πf =2π

P, (2.1)

onde P e o perıodo. Esta quantidade representa o intervalo de tempo correspondente a uma oscilacao

completa da fonte que produz a onda. Considerando o inıcio do ciclo, quando a pressao esta no valor de

equilıbrio, o inıcio do ciclo seguinte corresponde ao momento em que a pressao volta a esse valor de

equilıbrio. O tempo que decorre entre o inıcio de um ciclo e o inıcio do ciclo seguinte e o perıodo. Deste

modo, o perıodo e a quantidade inversa da frequencia, P = 1/f .

Figura 2.2: Esquema de onda sonora: frequencia e perıodo. [11]

A amplitude, A, define-se como o maximo desvio da pressao em relacao a pressao de equilıbrio.

Se a pressao sonora de um som puro (com apenas uma frequencia) for desenhado em funcao da

distancia, o comprimento de onda, λ, e a distancia entre dois picos de ondas consecutivas. Esta

7

propriedade e inversamente proporcional a frequencia atraves de:

λ =c0f, (2.2)

onde:

c0 representa a velocidade do som.

Assim, o comprimento de onda e tanto menor quanto maior for a frequencia do sinal sonoro.

Figura 2.3: Esquema de onda sonora: amplitude e comprimento de onda. [11]

Velocidade do som

A velocidade do som e uma caracterıstica do meio de propagacao. Esta propriedade quantifica a

distancia por unidade de tempo percorrida por uma onda sonora. O som propaga-se tao mais rapido

quanto mais proximas as partıculas de um corpo estao. Desta forma, o som propaga-se mais lentamente

em meios lıquidos do que em meios solidos, sendo ainda mais lento em meios gasosos.

A velocidade do som num gas ideal e calculada atraves de:

c0 =√γRT , (2.3)

sendo que:

γ e o coeficiente de expansao adiabatica, definido como a razao entre a capacidade termica a

pressao constante, cp, e a capacidade termica a volume constante, cv, γ = cp/cv;

R e a constante universal dos gases perfeitos;

T e a temperatura absoluta do gas.

Por exemplo, a 25 ◦C, o som propaga-se a 346m s−1 no ar a uma pressao atmosferica de 101.325 kPa.

Valor eficaz da pressao acustica e Nıvel de pressao acustica

O som consiste em pequenas perturbacoes positivas de pressao (compressao) e negativas (rarefacao),

medidas como desvios relativamente a pressao de equilıbrio. O desvio entre a pressao media e a

pressao de equilıbrio e sempre zero, desde que a media das pressoes negativas seja igual a media das

8

pressoes positivas. Uma forma simples de quantificar estas perturbacoes e atraves do valor eficaz da

pressao acustica (root mean square sound pressure), prms, definida por:

prms =√p2 =

√∫ τ0p2dt∫ τ

0dt

, (2.4)

onde:

τ e o intervalo de tempo em que a pressao e medida;

p e a pressao acustica;

t e a variavel temporal.

Dado que os valores eficazes da pressao acustica podem variar entre uma gama elevada de valores, e

normalmente usada uma unidade de medida mais conveniente, designada de decibel. Esta unidade de

medida e definida por:

Lp = 10 log

prmspref

2

= 20 log

(prmspref

), (2.5)

sendo que:

Lp e definido como nıvel de pressao acustica (sound pressure level);

pref e uma pressao acustica de referencia (20µPa).

2.1.2 Percecao sonora

O ouvido humano tem a capacidade de receber um sinal acustico e o sistema nervoso de processar

as variacoes de pressao. Um sinal acustico pode ou nao ser audıvel pelo ouvido humano, dependendo

essencialmente da frequencia e intensidade do sinal acustico recebido. Acima de 20 kHz sao gerados

ultrassons que o ouvido humano e incapaz de detetar. Este limite diminui com a idade, podendo o pico

de sensibilidade descer para os 3.5 kHz. Para frequencias suficientemente baixas, menores que 20Hz, o

som emitido designa-se infrassonico e e tambem impercetıvel por humanos.

Existem efeitos conscientes e subconscientes provocados pela exposicao sonora do dia-a-dia. Por

exemplo, a perda auditiva resultante de uma exposicao excessiva a nıveis sonoros elevados e um efeito

subconsciente, dado que as pessoas nao se apercebem que estao de facto a perder sensibilidade

auditiva. Por outro lado, a dor resultante da emissao propositada de um som estridente perto do ouvido

e um exemplo de um efeito consciente. O estudo da percecao do som designa-se psicoacustica.

Elementos de percecao sonora

Sempre que um som e ouvido, o sistema nervoso processa seis caracterısticas diferentes: o tom, a

intensidade, o timbre, a textura sonora, a percecao da distancia a que fonte sonora esta e a direcao

9

segundo a qual o som se aproxima.

O tom esta associado a frequencia. Um som de frequencia elevada e percebido como um som agudo,

enquanto que um som de baixa frequencia e um som grave.

A intensidade esta associada a amplitude. Um som e tanto mais intenso quanto maior a amplitude.

Quando se varia o volume de um radio, faz-se variar a intensidade sonora.

A textura sonora esta relacionada com o numero de fontes sonoras e com a interacao entre elas. Um

exemplo da percecao deste elemento e a interacao entre as oito colunas e o subwoofer existentes num

sistema de audio com tecnologia 8.1.

O timbre, tambem chamado de cor do tom, e uma caracterıstica que permite distinguir sons que possuem

a mesma frequencia e intensidade, mas ondas sonoras diferentes. Por exemplo, um piano e um violino

que tocam a mesma frequencia e nota musical, possuem timbres diferentes devido as caracterısticas de

cada instrumento.

A percecao da distancia a que uma fonte se encontra do recetor esta relacionada com o tempo de

reverberacao. O tempo de reverberacao e o tempo que um som demora a atenuar 60 dB. Todos os sons

tem uma reverberacao (ou eco) especıfica que esta relacionado com o meio em que o som se propaga.

A direcao do som e percebida pelo sistema nervoso atraves das subtis diferencas na fase e na intensidade

com que cada onda sonora chega a cada ouvido. A fase consiste no adiantamento ou atraso da pressao

numa simples vibracao. No caso da intensidade, se o som for emitido de uma fonte sonora a esquerda

de uma pessoa, o ouvido esquerdo ouvira um som mais intenso que o ouvido direito.

Nem sempre uma percecao do som esta diretamente ligada a apenas uma propriedade fısica da onda

sonora. E por este motivo que o estudo da percecao sonora e complexo. Por exemplo, a forma como

um som e ouvido pode levar a que pessoas diferentes interpretem um determinado som de maneiras

diferentes, apesar do som emitido o mesmo.

Ruıdo

Ruıdo pode ser descrito como um som nao desejado que e desagradavel, indistinto, intenso e sem

harmonia.

Em engenharia, o ruıdo pode estar relacionado com flutuacoes aleatorias num determinado sinal. Em

eletronica, o ruıdo pode nao ser audıvel, no entanto pode ser observado atraves de instrumentos

proprios.

10

2.2 Propriedades acusticas dos materiais porosos

2.2.1 Coeficiente de propagacao e impedancia caracterıstica

Em geral, a propagacao do som num meio poroso e definida por duas quantidades complexas: im-

pedancia caracterıstica e coeficiente de propagacao.

Dada a importancia do uso de materiais porosos nos dias de hoje, muitos investigadores tem-se dedicado

ao estudo destas propriedades acusticas e tem desenvolvido modelos para o calculo dos mesmos.

Delany e Bazley [12] modelaram expressoes para a impedancia caracterıstica e para o coeficiente

de propagacao em funcao da frequencia do som que atravessa o material poroso. Estas expressoes

resultaram de uma aproximacao empırica dos resultados experimentais a uma lei de potencia, onde o

parametro ajustavel e a resistencia especıfica ao escoamento. Apesar destas equacoes serem bastante

simples, apresentam apenas solucoes desejadas dentro de uma curta gama de frequencias.

Por outro lado, Attenborough [13], Champoux e Stinson [14] optaram por uma abordagem micro-estrutural

nas suas publicacoes. Apesar destes modelos terem a vantagem de permitirem calcular uma solucao

mais exata para uma maior gama de frequencias e tipos de material, estas apresentam equacoes de

elevada complexidade, sendo necessario a obtencao de parametros como a porosidade, a tortuosidade

e os fatores de forma. Attenborough [13] apresenta ainda um modelo simplificado para altas frequencias

com apenas uma variavel, a resistencia ao escoamento. Em 1999, Kirby e Cummings [15] desenvolvem

um metodo de previsao semi-empırico com base no modelo micro-estrutural publicado por Cummings e

Chang [16].

Para alem destes modelos, foram desenvolvidos modelos com foco na fısica essencial, designados

por modelos fenomenologicos (phenomenological models). A publicacao de Allard e Champoux [17] e

exemplo deste tipo de estudo. Nesta foram apresentadas novas expressoes para o calculo das proprie-

dades acusticas de um material poroso. Contrariamente a Delany e Bazley [12], Allard e Champoux [17]

apresentam solucoes validas para baixas frequencias.

Mais tarde, Wilson [18] baseia-se na observacao de processos de difusao termica e viscosa em meios

porosos, designando os seus modelos por modelos de relaxacao (relaxation models). Em 1993 estuda

este tipo de comportamento no domınio da frequencia e, em 1997 expande a sua teoria para o domınio

do tempo, dado que a concretizacao dos processos acima referidos e mais intuitiva. Estes modelos tem

como vantagem necessitarem de poucos parametros para poderem ser usados e poderem ser aplicados

com certa eficacia em varios materiais porosos. [18, 19]

Por ultimo, a norma EN ISO 10534-2 mostra um procedimento onde o coeficiente de absorcao e a

impedancia caracterıstica podem ser calculados atraves do coeficiente de reflexao. [20]

11

2.2.2 Porosidade

Os materiais fibrosos e porosos tem no seu interior espacos preenchidos com ar. A porosidade, φ, e o

racio entre o volume de ar, Va, e o volume total do material poroso, VT . Assim,

φ =VaVT

(2.6)

Na maioria dos materiais porosos e fibrosos, a porosidade atinge valores proximos de 1. Champoux,

Stinson, e Digle [21] apresentam metodos para o calculo desta propriedade macroscopica.

2.2.3 Resistencia especıfica ao escoamento

A resistencia ao escoamento (flow resistance) e um parametro fundamental em todas as teorias de-

senvolvidas para o estudo de materiais porosos e as suas aplicacoes. Como o proprio nome indica,

esta propriedade quantifica a resistencia que o material poroso oferece ao escoamento que o atravessa.

Assim, e definida pelo racio entre a diferenca de pressao num volume de material, pd−pu, e a velocidade

normal do fluıdo, U , que atravessa esse volume de material. A resistencia especıfica do material poroso

ao escoamento (flow resistivity), σ, e a resistencia ao escoamento por unidade de espessura, s, dada

por:

σ =pd − puUs

. (2.7)

A resistencia especıfica ao escoamento e medida em unidades do Sistema Internacional (SI) em

RaylMKS por metro, ou seja kg s−1 m−3.

Figura 2.4: Esquema da velocidade, U , por unidade de area induzida pela diferenca de pressoes, pd−pu,imposta num material poroso. (Adaptado de Allard e Atalla [22].)

Esta propriedade e medida em Rayl por unidade de comprimento, isto e, unidade de densidade por

unidade de tempo. Verifica-se assim que, a resistencia especıfica ao escoamento depende da espessura,

da densidade e do tipo de construcao do material acustico, e do tamanho e forma das fibras que o

constituem.

Atraves de resultados experimentais, Nichols [23] desenvolveu uma relacao empırica para materiais com

elevada porosidade, onde relacionam os parametros acima referidos com a resistencia ao escoamento.

12

Figura 2.5: Aparelho para medicao da resistencia ao escoamento utilizado por Nichols [23].

Bies e Franken [24] relacionam empiricamente este parametro fundamental com a package density e

com o diametro das fibras que constituem o material fibroso.

Em 1972, Huszty, Illenyi, e Vass [25] desenvolvem um equipamento capaz de medir a resistencia de um

material poroso ou fibroso ao escoamento, utilizados em aparelhos destinados a absorcao acustica.

Figura 2.6: Aparelho para medicao da resistencia ao escoamento utilizado por Huszty, Illenyi, e Vass[25].

13

2.3 Tipos de materiais porosos

O revestimento de condutas com materiais porosos ou com pequenos ressoadores provoca a dissipacao

de energia acustica, por exemplo, em condutas de ventilacao. Os materiais porosos podem ser incluıdos

em duas categorias diferentes conforme as suas caracterısticas fısicas: materiais de reacao local e

materiais de reacao global. Dependendo do tipo de material considerado, a concretizacao matematica

do som gerado e transmitido em condutas atenuadoras e diferente. [26, 27]

2.3.1 Materiais de reacao local

O modelo de reacao local (locally reacting), tambem designado por modelo de reacao pontual (point

reacting), e baseado em materiais de elevada resistencia ao escoamento, densidade, porosidade e

absorcao sonora. Nestes revestimentos a propagacao da onda no material poroso e nula.

Inicialmente, Morse [28] estudou a atenuacao em condutas bidimensionais, retangulares e circulares,

revestidas com material poroso. Um ano depois, Cremer [29] conclui que a teoria de reacao local deve

ser usada em materiais de elevada densidade, visto que permite obter um pico maximo de atenuacao

em valores de amortecimento reduzidos. Em 1958 e 1969, Pridmore-Brown [30] e Mungur e Gladwell

[31] estudaram o efeito do fluxo de cisalhamento na propagacao em condutas deste tipo. Ate a data,

estas publicacoes foram essenciais, uma vez que efeitos do gradiente de temperatura e da turbulencia

foram extensivamente abordados.

2.3.2 Materiais de reacao global

O modelo de reacao global (bulk reacting) e usado para descrever a propagacao do som em condutas

revestidas com material absorvente de energia acustica, tendo em conta a propagacao sonora no interior

do revestimento acustico.

As primeiras publicacoes surgiram com Willms [32] e Scott [33], sendo que estudaram a teoria de

reacao global em material poroso com espessura elevada e em revestimentos de menor espessura,

respetivamente.

Apos calcular expressoes para o campo sonoro, Scott [33] estuda os efeitos de material poroso isotropico

e homogeneo na propagacao sonora dentro de condutas bidimensionais retangulares e circulares.

Sao apresentadas expressoes para o campo sonoro nas zonas porosas e de passagem de ar, sem

ser considerada a existencia de escoamento dentro da conduta. Esta teoria foi testada e confirmada

experimentalmente por varios investigadores. [34–38]

Em 1965, Tack e Lambert [39] introduziram os efeitos provocados por escoamentos com perfil uniforme e

exponencial no estudo da atenuacao de ruıdo em condutas bidimensionais com revestimento isotropico.

No fim do estudo, estes compararam os resultados teoricos com dados obtidos experimentalmente.

14

Kurze e Ver [27] foram os primeiros investigadores a analisar o efeito do revestimento poroso nao

isotropico na atenuacao de ruıdo em condutas retangulares sem escoamento. Este tipo de material era

conseguido atraves de revestimento fibroso de estrutura basica ou de material com fibras orientadas

perpendicularmente ao eixo da conduta. Estes concluem que e necessario considerar as caracterısticas

nao isotropicas do material quando sao utilizados revestimentos porosos com reduzida resistencia

ao escoamento. Algumas das conclusoes retiradas por estes podem ser observadas nos estudos

experimentais de Bokor. [35, 36]

Nayfeh, Sun, e Telionis [40] concluıram que os efeitos da porosidade e do fator estrutural (structure

factor ) do material poroso nao podem ser negligenciados para o calculo da atenuacao em condutas

bidimensionais retangulares e circulares com escoamento. Estes investigadores referem tambem que,

quando se estuda um revestimento do tipo de reacao global pela teoria de reacao local, e introduzido um

erro elevado no valor da atenuacao obtida.

Em 1976, Cummings [26] preve a existencia de escoamento em condutas de ar tridimensionais retangu-

lares e cilındricas com uma passagem de ar central. Este apresenta-nos expressoes do campo sonoro

tridimensional, tanto para os dois revestimentos, como para a passagem de ar. Cummings [26] faz ainda

uma analise laboratorial que confirma a sua teoria.

(a) Conduta retangular (b) Conduta circular

Figura 2.7: Esquemas de condutas tridimensionais revestidas com material poroso. [41]

Mais tarde, Frommhold e Mechel [41] apresentam expressoes simplificadas com base nas equacoes

de Bessel para a atenuacao de ruıdo em condutas tridimensionais retangulares e cilındricas com

revestimento poroso. Estes formulam expressoes segundo as teorias de reacao local e de reacao global

e preveem a existencia de escoamento. Por ultimo, concluem o estudo comprovando os seus calculos

por testes laboratoriais.

Brittainc, Maguirer, Scott, e King [42] estudaram em laboratorio a atenuacao acustica em condutas com

dimensao variavel, com revestimentos porosos de espessuras e propriedades diferentes. King [43]

15

apresenta-nos um estudo semelhante, mas para atenuadores mais largos.

16

Capıtulo 3

Modelos teoricos para calculo da

atenuacao acustica

Inicialmente serao apresentadas as caracterısticas do atenuador em estudo e a formula para o calculo

da atenuacao do ruıdo que atravessa o atenuador considerado.

Posteriormente, vao ser apresentados modelos para o calculo da atenuacao em atenuadores com septos

porosos de baixa resistencia ao escoamento, considerando-se assim que existe propagacao sonora no

material poroso paralela ao eixo da conduta [26, 27]. Desta forma, serao abordados dois modelos que

se enquadram no estudo de atenuadores com materiais porosos desse tipo, materiais de reacao global.

Caso contrario, a solucao final da atenuacao apresentaria um elevado erro relativo a uma ma escolha do

modelo. [40]

Por ultimo, e feita uma comparacao entre ambos os modelos, de forma a confirmar que o modelo

escolhido foi bem implementado.

3.1 Caracterısticas do atenuador

O atenuador em estudo e descrito por uma conduta de geometria retangular revestida em duas das faces

opostas por septos porosos. Na face interior de cada septo existe uma superfıcie metalica perfurada,

designada por folha perfurada. No centro da conduta pode existir escoamento, tanto na direcao da

propagacao sonora, como na direcao oposta. A esta cavidade deu-se o nome de passagem de ar. Por

conveniencia, sera utilizado um ındice, j, para cada uma das seccoes:

• 1 e 2 dizem respeito as seccoes constituıdas pelos dois revestimentos porosos;

• 0 e relativo a seccao por onde e permitida a passagem do ar.

Na figura 3.1 encontram-se a geometria da conduta em estudo, os sistemas de coordenadas considerados

17

e as dimensoes dos componentes do atenuador. O modelo pressupoe que as paredes exteriores sao

rıgidas, nao havendo, portanto, dissipacao de energia acustica.

(a) Atenuador

(b) Folha perfurada

Figura 3.1: Caracterısticas do modelo. (Adaptado de Cummings [26].)

3.2 Calculo da atenuacao

O campo de pressao sonoro numa conduta, p, pode ser definido por uma soma em serie de infinitos

modos e por funcoes proprias:

p(x, y, z, t) = eiωt∞∑m=0

∞∑n=0

Ψmn(x, y)e− i zkmnz , (3.1)

sendo que:

Ψ e uma funcao propria;

(m,n) e o modo de propagacao na direcao (x, y), definido por um par de numeros inteiros (0, 1, 2, ...);

18

(x, y, z) sao as coordenadas cartesianas;

kz e o numero de onda axial.

Considerando a equacao anterior para o primeiro modo (0, 0) e tendo em conta que os modos se

propagam no sentido positivo de z, tem-se que:

p(x, y, z, t) = eiωtΨ(x, y)e− i kz|z|, (3.2)

onde, por simplificacao, se ignoraram os expoentes (0, 0).

Sabendo que kz e um numero complexo dado pela soma de uma parte real e imaginaria e reorganizando

a equacao anterior, tem-se que:

p(x, y, z, t) = Ψ(x, y)ea+i b, (3.3)

sendo a e b o expoente real e imaginario da base e, respetivamente, dados por:

a = Im (kz)|z| , (3.4)

b = ωt− Re (kz)|z| . (3.5)

O termo Ψ(x, y)ea corresponde a amplitude do sinal sonoro e o termo eib estabelece o caracter oscilatorio

ao sinal.

A atenuacao e definida como o decrescimo do nıvel de pressao acustica ao longo do comprimento da

conduta. Desta forma, a atenuacao em dB por unidade de comprimento, |z|, e dada por:

Θ = −20 log ea/|z| = −8.6858a

|z|= −8.6858 Im (kz) , (3.6)

Assim, conclui-se que a atenuacao, Θ, e dada apenas em funcao da parte imaginaria do numero de

onda na direcao z, Im(kz).

3.3 Modelo de Alan Cummings

O material poroso utilizado normalmente em condutas industriais e a la de rocha e a la de vidro, ambos

materiais poroso de reacao global.

Da literatura apresentada acima, apenas as formulacoes de Cummings [26] e de Frommhold e Mechel

[41] preveem o estudo da atenuacao em condutas retangulares tridimensionais revestidas com material

poroso de reacao global. Dentro destas duas alternativas escolheu-se a teoria desenvolvida por

Cummings [26], dado que as folhas perfuradas adjacentes ao revestimento estao contempladas no

modelo por ele desenvolvido.

19

Cummings [26] explora a equacao que define um campo sonoro dentro de uma conduta e encontra

um sistema de equacoes onde e possıvel obter a parte imaginaria do numero de onda axial, kz. Dada

a complexidade das equacoes apresentadas por Cummings [26], este sistema tem de ser resolvido

numericamente pelo metodo de Newton-Raphson.

No anexo A.1 esta presente a implementacao que foi feita apos apresentacao e discussao deste modelo.

3.3.1 Caracterizacao do campo sonoro

Na equacao (3.1), os modos da funcao propria Ψmn sao definidos como nao ortogonais a seccao de

corte da conduta. Por simplificacao, sera apenas considerada a funcao para um dado modo mn, pelo

que os sobrescritos mn serao ignorados. Desta forma, a funcao Ψ e dada por:

Ψ = Ψ1H(y)H(t1−y)+Ψ0H(y−t1−d)H(t1+t0+d−y)+Ψ2H(y−t1−t0−2d)H(t1+t0+t2+2d−y), (3.7)

onde:

Ψj e uma funcao propria relativa a seccao j da conduta;

H e a funcao Heaviside;

tj e a largura da seccao j da conduta;

d e a espessura da folha perfurada.

Dada a descontinuidade existente na direcao y, estas funcoes Ψj sao multiplicadas por funcoes Heaviside,

H(y−y−)H(y+−y), de modo a que a funcao Ψ nao seja dada por uma funcao ramificada. Os parametros

y− e y+ referem-se as coordenadas que limitam as seccoes consideradas, por exemplo, na seccao 1 a

coordenada y ∈ [0, t1], pelo que {y−, y+} = {0, t1}, ver figura 3.1.

A funcao Ψj e dada pelo produto de duas funcoes caracterizadas pela propagacao sonora na direcao x

e y:

Ψj = Xj(x)Yj(y). (3.8)

Na direcao x da conduta nao existem descontinuidades, sendo que a unica condicao de fronteira e o

gradiente de pressao nulo nas coordenadas x = 0 e x = lx, imposto pelas paredes rıgidas existentes

nessas coordenadas. Uma possıvel funcao Xj com gradiente nulo em x = 0 e x = lx e:

Xj(x) = cos(kxx), (3.9)

sendo que:

kx e o numero de onda na direcao x, definido por kx = mπ/lx, onde lx e o comprimento da conduta

na direcao x.

20

Relativamente a direcao y, existem varias condicoes de fronteira triviais: descontinuidades em y = t1,

y = t1 + d, y = t1 + t0 + d e y = t1 + t0 + 2d, e paredes rıgidas em y = 0 e y = ly. Uma descontinuidade

impoe condicao de continuidade de pressao, ou seja, diferenca de pressao nula entre as duas superfıcies

adjacentes a esta, e, conforme referido anteriormente, uma parede rıgida impoe gradiente de pressao

nulo na sua coordenada. Devido a estas condicoes de fronteira, as expressoes para cada funcao Y sao

mais complicadas de obter. Ainda assim, Cummings [26] propoe as seguintes expressoes:

Y1(y) = p1 cos(ky1y), (3.10)

Y2(y) = p2[cos(ky2y) + tan(ky2ly) sin(ky2y)

], (3.11)

Y0(y) = p0[cos(ky0y) +B sin(ky0y)

], (3.12)

onde:

pj e a pressao acustica media na seccao j da conduta;

B e uma constante para uma dada frequencia;

kyj e o numero de onda na direcao y relativa a seccao j da conduta;

ly e a dimensao da conduta na direcao y.

Para alem das condicoes de fronteira referidas, o deslocamento da superfıcie das folhas perfuradas

nas coordenadas y = t1 + d e y = t1 + t0 + d tera de ser igual ao deslocamento das partıculas

de ar nessa mesma coordenada. Este deslocamento e designado por impedancia de deslocamento

(displacement impedance), ε. As duas condicoes de fronteira referidas anteriormente podem ser escritas

matematicamente por:

ε0(t1 + d) = ε1(t1 + d), (3.13)

ε0(t1 + t0 + d) = ε2(t1 + t0 + d). (3.14)

As impedancias de deslocamento da superfıcie das folhas perfuradas em contacto com a passagem de

ar, ε1 e ε2, podem ser calculados atraves das expressoes propostas por Cummings [26]:

ε1 (t1 + d) = iz1

z0

k1

ky1cot(ky1t1)− ζh1, (3.15)

ε2(t1 + t0 + d) = − iz2

z0

k2

ky2cot(ky2t2) + ζh2, (3.16)

sendo que:

zj e a impedancia caracterıstica do material poroso da seccao 1 ou 2;

kj e numero de onda do material contido na seccao j;

ζhj e a impedancia adimensional na folha perfurada adjacente ao material poroso da seccao 1 ou 2,

21

dada pela equacao (3.19) ou (3.20).

A impedancia caracterıstica e o numero de onda do material poroso contido na seccao 1 e 2 serao calcu-

lados posteriormente na seccao 3.6. Relativamente a seccao da passagem de ar, estas propriedades

sao dadas, respetivamente, por:

z0 = ρ0c0, (3.17)

k0 =ω

c0, (3.18)

onde:

ρ0 e a densidade do fluıdo que atravessa a conduta;

c0 e a velocidade do som no escoamento que atravessa a conduta.

Cummings [26] define a impedancia adimensional na folha perfurada adjacente a cada seccao de

material poroso, ζhj , por:

ζh1 =i k0

Q

δH

(1−|U |

)+z1

z0

k1

k0

+ d

, (3.19)

ζh2 =i k0

Q

δH

(1−|U |

)+z2

z0

k2

k0

+ d

, (3.20)

onde:

Q e a “porosidade”da folha perfurada, ou seja, a fracao de area aberta (fraction of open area);

δ e uma correcao devido a “falta de material” provocada pela existencia da perfuracao, mass end

correction dada pela equacao (3.21);

U e a velocidade media do escoamento que atravessa a conduta.

Ingard [44] apresenta formulacoes para correcoes devido a existencia de orifıcios circulares em tubos

retangulares. Estas expressoes podem ser aproximadas pelas seguintes duas expressoes:

δ =

0.85r0

1− 2.34r0

l

, 0 <r0

l≤ 0.25,

0.668r0

1− 1.9r0

l

, 0.25 <r0

l< 0.5,

(3.21)

sendo que:

r0 e o raio das perfuracoes;

l e o passo das perfuracoes.

22

As impedancias de deslocamento relativos as partıculas de ar, ε0, em contacto com cada folha perfurada

podem ser calculados atraves das expressoes propostas por Cummings [26]:

ε0(t1 + d) = i(k0 −Mkz)

2

k0ky0

cot[ky0 (t1 + d)] +B

1−B cot[ky0 (t1 + d)], (3.22)

ε0(t1 + t0 + d) = i(k0 −Mkz)

2

k0ky0

cot[ky0 (t1 + t0 + d)] +B

1−B cot[ky0 (t1 + t0 + d)], (3.23)

sendo que:

M e o numero de Mach medio do escoamento que atravessa a conduta, dado por M = U/c0.

Substituindo (3.15), (3.16), (3.22) e (3.23) nas condicoes de fronteira (3.13) e (3.14), e reorganizando os

termos, obtem-se a expressao:

iz1

z0

k1

ky1cot(ky1t1)− ζh1

tan[ky0(t1 + d)]− i(k0 −Mkz)

2

k0ky0

××

i(k0 −Mkz)

2

k0ky0tan[ky0(t1 + t0 + d] +

− iz2

z0

k2

ky2cot(ky2t2) + ζh2

−

−

− i

z2

z0

k2

ky2cot(ky2t2) + ζh2

tan[ky0(t1 + t0 + d)]− i(k0 −Mkz)

2

k0ky0

××

i(k0 −Mkz)

2

k0ky0tan[ky0(t1 + d)] +

iz1

z0

k1

ky1cot(ky1t1)− ζh1

= 0

(3.24)

Atraves da simplificacao da equacao de onda,(D2/Dt2 − c20∇2

)p = 0, calculada para a pressao p na

passagem de ar, Cummings [26] obtem a seguinte relacao entre os numeros de onda nas direcoes x, y

e z:

(k0 −Mkz)2 − k2z − k2x − k2y0 = 0. (3.25)

As equacoes semelhantes obtidas da mesma forma mas com a equacao do campo sonoro no revesti-

mento poroso correspondem a:

k21 − k2z − k2x − k2y1 = 0, (3.26)

k22 − k2z − k2x − k2y2 = 0. (3.27)

3.3.2 Calculo do numero de onda axial

As equacoes (3.24), (3.25), (3.26) e (3.27) perfazem um sistema de quatro equacoes a quatro incognitas

kz, ky1, ky2 e ky0. Existem varios metodos de resolucao deste problema, sendo que se optou por resolver

23

as equacoes (3.25), (3.26) e (3.27) em ordem a kz, ky1 e ky2, respetivamente:

ky1 = ±√k21 − k2z − k2x, (3.28)

ky2 = ±√k22 − k2z − k2x, (3.29)

kz =

Mk0 ±√

(Mk0)2 − (M − 1)

(k20 − k2x − k2y0

)M − 1

. (3.30)

Sabendo que a funcao cosseno e uma funcao par e que as funcoes seno e tangente sao funcoes

ımpares, a partir da analise das equacoes (3.10) e (3.11) conclui-se que ky1 e ky2 podem ser positivos ou

negativos, uma vez que o seu sinal nao afeta a solucao final. Desta forma, considerou-se que as raızes

das equacoes (3.28) e (3.29) tem sinal positivo. Quanto ao sinal positivo ou negativo que antecede a raiz

quadrada do segundo termo da equacao (3.30), optou-se pelo sinal negativo. Caso se considerasse o

sinal positivo, os resultados obtidos de atenuacao seriam negativos para velocidades positivas.

Desta forma, obtem-se uma equacao propria em ky0 possıvel de resolver numericamente, sendo preciso

apenas substituir as equacoes (3.28), (3.29) e (3.30) na equacao (3.24).

Esta equacao sera resolvida atraves do metodo Newton-Raphson, um metodo facil de implementar e

com erro de ordem quadratica, pelo que convergira rapidamente. Este metodo precisa de uma solucao

inicial que esteja proxima do resultado esperado, caso contrario a solucao final obtida apresentara um

erro elevado.

Para se obter um valor inicial do metodo iterativo assumir-se-ao tres pressupostos:

• a passagem de ar esta contida na direcao y entre as coordenadas y = [t1, t1 + t0], e na direcao x

entre as coordenadas x = [0, lx], pelo que a existencia de folhas perfuradas e desprezada;

• a admitancia (admittance), η, e a propriedade inversa a impedancia de deslocamento;

• valores reduzidos de admitancia.

Por conseguinte, a admitancia na superfıcie das seccoes porosas em contacto com a passagem de ar,

η1 e η2, e calculada atraves das equacoes (3.15) e (3.16), respetivamente, sendo obtidas as seguintes

equacoes:

η1 (t1) = − iz0

z1

ky1

k1tan(ky1t1), (3.31)

η2(t1 + t0) = iz0

z2

ky2

k2tan(ky2t2). (3.32)

A semelhanca do que foi feito anteriormente, as admitancias do material poroso na superfıcie de

descontinuidade y = t1 e y = t1 + t0 serao igualadas a respetiva admitancia no fluıdo contido na seccao

de passagem de ar nessa descontinuidade. Apos aplicar estas condicoes de fronteira e admitir valores

24

reduzidos de admitancia (aproximar as tangentes resultantes da aplicacao das condicoes de fronteira

anteriores pelos seus argumentos), Cummings [26] obtem o numero de onda na direcao y inicial dado

por:

ky0 ≈

1−Mkz

k0

√√√√

i k0η1 + η2

t0, n = 0,

nπ

t0+ i

1−Mkz

k0

2

β1 + β2

2nπ, n > 0.

(3.33)

Por outro lado, o numero de onda na direcao x ja foi definido anteriormente por:

kx =mπ

lx. (3.34)

O procedimento para se obter a solucao inicial de ky0 passa por se arbitrar uma solucao inicial kz. De

seguida, calcula-se as quantidades ky1 e ky2 atraves das equacoes (3.28) e (3.29), e tendo em conta

(3.34). As admitancias β1 e β2 podem ser obtidas atraves de (3.31) e (3.32), respetivamente. Por ultimo,

a solucao inicial de ky0 e obtida atraves de (3.33).

No modo fundamental (0,0) o valor inicial e obtido para a menor frequencia da gama de frequencias que

se pretende calcular, obtendo-se o numero de onda para essa frequencia pelo metodo Newton-Raphson.

O espetro de frequencias e percorrido com pequenos incrementos de frequencia, sendo que a solucao

inicial e o numero de onda obtido na iteracao anterior.

Para modos superiores, e expectavel que surja um salto nas solucoes obtidas, fenomeno designado

por cut on. Desta forma, o valor inicial de ky0 deve ser calculado para a frequencia em que ocorre

esse fenomeno, e, posteriormente, percorrer-se-a a banda de frequencias com pequenos incrementos/-

decrementos na frequencia: da frequencia de cut-on para a frequencia mais alta com incrementos e,

posteriormente, da frequencia de cut-on para a frequencia mais baixa com decrementos. O valor inicial

de ky0 para cada nova iteracao deve ser o valor obtido na iteracao anterior.

Por ultimo, e necessario calcular o numero de onda axial, kz, dada pela expressao (3.30), pelo metodo

de Newton Raphson.

3.4 Modelo de Werner Frommhold e Fridolin Mechel

Com o objetivo de validar a implementacao do modelo de Cummings [26], implementou-se tambem o

modelo apresentado por Frommhold e Mechel [41]. Este e um modelo simplificado em que se apresentam

expressoes mais simples para o calculo do numero de onda, kz.

Neste modelo, Frommhold e Mechel [41] nao preveem a existencia de folhas perfuradas e consideram o

atenuador simetrico, ou seja, as duas seccoes de material poroso (1 e 2) tem as mesmas caracterısticas

25

(largura e resistencia ao escoamento).

No anexo A.2 encontra-se a implementacao que foi feita apos apresentacao e discussao deste modelo.

3.4.1 Caracterizacao do campo sonoro

Frommhold e Mechel [41] comecam por considerar a expressao que define o campo sonoro apenas para

modos simetricos num corte transversal da conduta. Assim, a equacao (3.1) e simplificada para:

p(x, y, z, t) = p0eiωt cos(kyy) cos(kxx)e− i kzz, (3.35)

Inserindo a equacao que define o campo sonoro na passagem de ar, (3.35), na equacao de onda,

(D2/Dt2 − c20∇2)p = 0, e fazendo o mesmo para a equacao do campo sonoro no material poroso,

Frommhold e Mechel [41] obtem, respetivamente:

k20 − k2z − k2x − k2y = 0, (3.36)

2k21 + k2z = 0, (3.37)

onde k0 e kx sao dados respetivamente pelas equacoes (3.18) e (3.34). De referir que os modos tem de

ser simetricos, pelo que apenas se poderao considerar os modos pares (m = 0, 2, 4, ...).

Neste caso, as condicoes de fronteira que precisam de ser satisfeitas sao: o deslocamento das partıculas

de ar contido no material poroso 1 na coordenada y = t1 tera de ser igual ao deslocamento das

partıculas de ar na passagem de ar nessa mesma coordenada, e o numero de onda axial tera de ser

uniforme, tanto na passagem de ar como na seccao de material poroso, para uma seccao transversal da

conduta. Atraves destas condicoes de fronteira, Frommhold e Mechel [41] obtem a seguinte equacao

caracterıstica:

kyh tan(kyh) =z0

z1

k0

k1k1h tanh(k1t1), (3.38)

onde:

h e metade da largura da passagem de ar, h = t0/2.

Utilizando as abreviacoesK = (kyh)2 e Λ = t1/h e considerando as expressoes (3.36) e (3.37), obtem-se

por manipulacao algebrica da equacao (3.38) a seguinte equacao:

√K tan(

√K) =

z0

z1

k0

k1

√(k0h)2 − (k1h)2 − (kxh)2 −K tanh

(Λ√

(k0h)2 − (k1h)2 − (kxh)2 −K).

(3.39)

As ultimas expressoes apresentadas nao contemplam a existencia de escoamento dentro da conduta.

E sabido que, a influencia do escoamento na atenuacao nas condutas em estudo dificulta o calculo

da mesma. No entanto, para reduzidas velocidades, o efeito que o escoamento tem na atenuacao

26

e reduzido e pode, por vezes, ser negligenciado. Assim, as simplificacoes apresentadas sao validas

apenas para escoamentos com velocidades reduzidas.

Por outro lado, a formula obtida por Frommhold e Mechel [41] que contempla a existencia de escoamento

obedece a tres pressupostos:

• escoamento nulo no interior do material poroso;

• escoamento axial uniforme na passagem de ar, que decai rapidamente para zero perto da camada

limite adjacente ao material poroso;

• a impedancia caracterıstica e a constante de propagacao do material poroso nao sao influenciadas

pelo escoamento.

Assim, a equacao caracterıstica que Frommhold e Mechel [41] determinam, tendo em conta a existencia

de escoamento, e a equacao (3.39) com a adicao de um fator w2 do lado direito da equacao:

√K tan(

√K) =

z0

z1

k0

k1

√(k0h)2 − (k1h)2 − (kxh)2 −K tanh

(Λ√

(k0h)2 − (k1h)2 − (kxh)2 −K)w2,

(3.40)

onde:

w =

1−M

√√√√1−

(1−M2)K

(k0h)2

1−M2. (3.41)

3.4.2 Calculo do numero de onda axial

Dado que a resolucao da equacao (3.40) e complicada de resolver analiticamente, optou-se pelo metodo

sugerido por Frommhold e Mechel [41].

De forma a simplificar o calculo do numero de onda axial, inicialmente, utiliza-se a equacao (3.39)

adaptada em vez de se utilizar a equacao (3.40), definida anteriormente para o calculo da atenuacao em

atenuadores com escoamento.

√K∗ tan(

√K∗) = S

√V −K∗ tanh

(Λ√V −K∗

), (3.42)

onde:

S =z0

z1

k0

k1, (3.43)

V = (k0h)2 − (k1h)2 − (kxh)2. (3.44)

Assim, estima-se um primeiro valor K∗ e corrige-se esse valor, multiplicando-o por w2, ou seja:

K = K∗w2, (3.45)

27

onde w, foi definido anteriormente e e dado pela equacao (3.41).

De seguida, sao feitas duas aproximacoes para baixas frequencias: do lado esquerdo da expressao

(3.42) aproxima-se tan(g) ≈ g, enquanto que do lado direito da mesma equacao, aproxima-se tanh(g) ≈

g(15 + g2)/(15 + 6g2). Apos integracao das referidas aproximacoes na equacao (3.42), obtem-se a

seguinte equacao quadratica, valida para baixas frequencias:

C2K∗2 + C1K

∗ + C0 = 0, (3.46)

sendo que:

C2 = Λ2(6 + ΛS), (3.47)

C1 = −15− Λ(6ΛV + S(15 + 2Λ2V )), (3.48)

C0 = ΛSV (15 + Λ2V ). (3.49)

Atraves da equacao (3.46) obtem-se duas solucoes para as duas frequencias menores consideradas,

sendo apenas valida uma delas. A solucao valida deve ser corrigida atraves da equacao (3.45). Para as

frequencias seguintes, e feita uma previsao inicial dos valores de K pela equacao:

Kp(i) = 2K(i− 1)−K(i− 2). (3.50)

De seguida, o valor final de K e calculo pelas expressoes apresentadas por Frommhold e Mechel [41]:

K =105 + 45Q−

√11025 + 5250Q+ 1605Q2

20 + 2Q, (3.51)

sendo Q dado por:

Q = S√V −K tanh

(Λ√V −Kp

). (3.52)

Por ultimo, e necessario obter o numero de onda axial, uma vez que e a unica variavel necessaria para o

calculo da atenuacao, dado pela equacao (3.6). Assim, o numero de onda kz pode ser obtido atraves da

equacao (3.36), sendo apenas necessaria a relacao entre K e ky definida anteriormente por k2y = K/h2.

3.5 Comparacao entre o modelo de A. Cummings e o modelo de

W. Frommhold e F. Mechel

Dado que Frommhold e Mechel [41] nao consideram a existencia de folhas perfuradas entre cada seccao

de material poroso e a passagem de ar, fez-se a analise para um atenuador de base quadrada de

dimensao 70× 70 cm2 e sem folhas perfuradas. Consideraram-se septos de material poroso de 0.175m

de espessura e de 30× 103 kg s−1 m−3 de resistencia especıfica ao escoamento.

28

Na figura 3.2 comparou-se o modelo de Cummings [26] com o modelo de Frommhold e Mechel [41],

para quatro velocidades diferentes, {0, 5, 20, 40}ms−1.

(a) U = 0m s−1 (b) U = 5m s−1

(c) U = 20m s−1 (d) U = 40m s−1

Figura 3.2: Comparacao entre os modelos teoricos de Cummings [26] e de Frommhold e Mechel [41]:t0 = 0.35m; t1 = t2 = 0.175m; σ = 30× 103 kg s−1 m−3.—–, modelo de A. Cummings; – –, modelo de W. Frommhold e F. Mechel.

Por observacao da figura 3.2, verifica-se que os dados calculados atraves de cada modelo estao

bastante proximos. Como seria de esperar, os resultados obtidos para velocidades reduzidas (a) e

(b) estao bastante proximos, sendo que o erro maximo verificado e de 0.1% e 0.8%, respetivamente.

Ja para velocidades de escoamento superiores (c) e (d), o erro maximo verificado e de 3% e de 6%,

respetivamente, no entanto o comportamento das duas curvas e semelhantes. Estes resultados estao

de acordo com o esperado visto que o erro e menor para velocidades menores.

Por outro lado, verifica-se que e para as frequencias mais baixas que o modelo de Frommhold e Mechel

[41] esta mais proximo do modelo de Cummings [26]. Estes resultados estao em conformidade com as

aproximacoes feitas na seccao 3.4.2.

Conclui-se assim que o modelo de Cummings [26] esta bem implementado e que pode ser utilizado

29

para estudar a atenuacao em condutas atenuadoras com uma passagem de ar entre duas seccoes de

material poroso.

3.6 Calculo das propriedades acusticas do material poroso

Como referido anteriormente, e nesta seccao que serao apresentados dois metodos para o calculo da

impedancia caracterıstica e o coeficiente de propagacao, Γ, referentes ao material poroso. Estes dois

parametros sao dados respetivamente por:

z = O + iW, (3.53)

Γ = α+ iβ, (3.54)

sendo que o coeficiente de propagacao esta diretamente ligado com o numero de onda k no material

poroso:

k = − i Γ. (3.55)

Apos estudos laboratoriais, Delany e Bazley [12] obtem as seguintes expressoes empıricas para o calculo

das partes reais e imaginarias da impedancia caracterıstica e do coeficiente de propagacao:

O

ρ0c0= 1 + 0.0511

fσ

−0.75

, (3.56)

W

ρ0c0= −0.0768

fσ

−0.73

, (3.57)

α = 0.1749ω

c0

fσ

−0.59

, (3.58)

β =ω

c0

1 + 0.0858

fσ

−0.70

. (3.59)

Estes cientistas propoem leis de potencia que relacionam as propriedades acusticas acima referidas

com a frequencia do som emitido e com a resistencia especıfica do material poroso ao escoamento, σ.

Estas relacoes tem determinadas vantagens tais como: a simplicidade das mesmas (apenas dependem

de duas variaveis) e a sua aplicabilidade diversa, como por exemplo, as que foram referidas na figura 1.1.

Por outro lado, tanto Delany e Bazley [12], como outros investigadores alertam para o facto de nao se

poder extrapolar as formulacoes para valores fora da gama 0.1 ≤ f/σ ≤ 1 [kg−1 m3]. Esta limitacao

30

deve-se ao facto do tubo onde Delany e Bazley [12] ensaiaram os materiais porosos e fibrosos ter

dimensoes que restringiam a gama de valores de f/σ em que as expressoes (3.56), (3.57), (3.58) e

(3.59) sao validas. [13, 15, 17, 19, 45]

Para valores de f/σ reduzidos, sao mesmo obtidos valores para as partes reais da impedancia carac-

terıstica fisicamente errados, pelo que e necessario a implementacao de outras formulacoes para a

obtencao destas propriedades acusticas fora da gama de validade de f/σ referida.

Assim, optou-se por uma teoria mais recente e que permite calcular valores fisicamente corretos para

uma maior gama de valores de f/σ. Estes resultados apenas foram conseguidos atraves de um aumento

da complexidade das expressoes.

Allard e Champoux [17] definem a impedancia caracterıstica e o numero de onda atraves das seguintes

expressoes:

z =√ρdKd, (3.60)

k = 2πf

√√√√ ρd

Kd, (3.61)

onde:

ρd e a densidade dinamica e e dada pela equacao (3.62);

Kd e o modulo dinamico global e e dado pela equacao (3.63).

A densidade dinamica (dynamic density), ρd, e uma propriedade que esta relacionada com as forcas

inerciais e viscosas por unidade de volume de ar no material poroso e e dada por:

ρd = ρ0

1 +G1(f/σ)

i 2π

σ

ρ0f

(3.62)

sendo que:

G1(f/σ) e uma funcao definida por Allard e Champoux [17] e e dada pela equacao (3.64).

O modulo dinamico global (dynamic bulk modulus), Kd, e uma propriedade que considera a divergencia

do deslocamento molecular medio do ar e a variacao media da pressao. Esta propriedade e obtida

atraves de:

Kd = γp0

γ − γ − 1

1 + (1/ i 8πNpr)(σ/ρ0f)G2(f/σ)

−1

(3.63)

onde:

Npr e o numero de Prandtl, dado por Npr = cpµ/κ, sendo, µ a viscosidade dinamica e κ a condutividade

termica;

G2(f/σ) e uma funcao definida por Allard e Champoux [17] e e dada pela equacao (3.65).

31

As funcoes G1(f/σ) e G2(f/σ) definidas por Allard e Champoux [17] sao dadas por:

G1(f/σ) =

√√√√1 + iπ

ρ0f

σ, (3.64)

G2(f/σ) = G1(f/σ)ρ0f

σ4Npr. (3.65)

No anexo A.3 encontra-se a implementacao em Matlab para a determinacao das propriedades do

material poroso atraves da teoria de Allard e Champoux [17].

3.7 Determinacao da resistencia especıfica ao escoamento

As propriedades acusticas do material poroso dependem da resistencia especıfica ao escoamento. Ideal-

mente, obter-se-ia a resistencia especıfica ao escoamento experimentalmente, quer diretamente atraves

dos metodos referidos na seccao 2.2.3, quer indiretamente, atraves da determinacao experimental da

impedancia caracterıstica usando, por exemplo, os procedimentos definidos pela norma EN ISO 10534-2

[20]. Apos obtida a impedancia caracterıstica, a resistencia especıfica ao escoamento e, posteriormente,

o numero de onda podem ser inferidos atraves dos modelos apresentados por Allard e Champoux [17].

Na impossibilidade de obter-se experimentalmente a resistencia especıfica ao escoamento, e necessario

recorrer as caracterısticas nominais do material poroso fornecido pelo fabricante. Destas, aquela que e

mais relevante e o coeficiente de absorcao αe dado para varias frequencias e para varias espessuras de

material, e.

Por outro lado, o coeficiente de absorcao teorico αn e definido por:

αn = 1−

∣∣∣∣∣∣∣z coth(i ke)− ρ0c0z coth(i ke) + ρ0c0

∣∣∣∣∣∣∣2

. (3.66)

onde:

z e a impedancia caracterıstica dada pela equacao (3.60);

k e o numero de onda dada pela equacao (3.61).

Dado que as caracterısticas nominais do material fornecidas pelo fabricante sao obtidas experimen-

talmente, e necessario ajustar estes valores a melhor curva definida pela equacao (3.66). Sera entao

utilizado o metodo dos mınimos quadrados, onde a resistencia especıfica ao escoamento e o parametro

variavel. Neste metodo, o objetivo e ajustar a curva teorica aos dados medidos pelo fabricante tentando

minimizar a soma dos quadrados das diferencas entre o coeficiente de absorcao medido pelo fabricante

e o coeficiente de absorcao teorico dado pela equacao (3.66). Assim, a funcao a minimizar e definida

32

por:

E =

√√√√ q∑i=0

(αe(fi)− αn(fi))2 (3.67)

sendo que:

q e o numero total de coeficientes de absorcao medidos para uma determinada espessura de

material.

33

34

Capıtulo 4

Atenuacao acustica em funcao das

caracterısticas do atenuador

Neste capıtulo sera estudado o efeito da variacao de algumas propriedades na atenuacao de ruıdo em

atenuadores. Assim, sera feita uma analise ao comportamento da atenuacao para uma certa gama de

frequencias, com a variacao de cada uma dessas propriedades.

Inicialmente serao abordadas condutas simetricas, e, posteriormente, condutas assimetricas. Sera ainda

abordada a influencia da existencia de uma folha perfurada em contacto com cada seccao porosa e com

a passagem de ar.

Por ultimo, sera apresentado um procedimento ideal para o projeto de um atenuador de ruıdo.

4.1 Escolha de parametros

Dado que o calculo da atenuacao depende de um elevado numero de parametros, e necessario escolher

quais os parametros que deverao ser analisados e os seus limites de variacao. Desta forma, estudar-se-

ao os efeitos destes parametros tendo em conta que os restantes parametros sao constantes.

As dimensoes da conduta sao propriedades que devem ser consideradas. Normalmente, a largura da

passagem de ar e uma propriedade definida a priori, pelo que e necessario variar a espessura de cada

seccao porosa para que se possa cobrir varias larguras de condutas aquando do projeto das mesmas.

Apesar de, normalmente, a passagem de ar ser fixa, a variacao desta tambem e importante para que se

possa analisar o seu efeito na atenuacao obtida. Assim, ha tres formas de se fazer variar a largura total

da conduta:

a) largura da passagem de ar constante e espessura das seccoes porosas variavel;

b) espessura das seccoes porosas constante e largura da passagem de ar variavel;

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c) largura da passagem de ar e espessura das seccoes porosas variaveis.

A resistencia especıfica ao escoamento e uma caracterıstica do material poroso selecionado, portanto,

deve ser tambem uma propriedade a estudar, dado que no projeto do atenuador podem ser escolhi-

dos diferentes materiais para constituir a seccao porosa. Esta propriedade nao depende de outras

propriedades, pelo que e uma quantidade interessante de se analisar.

A velocidade do escoamento dentro de uma conduta de ventilacao pode ser significativa, pelo que, e

necessario estimar-se o efeito desta variavel na atenuacao obtida.

A existencia de folhas perfuradas entre cada seccao porosa e a passagem de ar sera tambem uma

variavel em estudo.

Por vezes, e necessario projetar atenuadores com finalidade de funcionamento em altas temperaturas.

Dado que estes casos sao reduzidos, e que existem poucos dados relativos ao comportamento de

materiais porosos em elevadas temperaturas, estudaram-se condutas para ar a 20 ◦C e a 101.325 kPa.

Quando se calcula a atenuacao atingida por um atenuador, o objetivo e saber qual o nıvel de pressao

sonoro a jusante do atenuador. Desta forma, interessa calcular o modo menos atenuado, dado que este

se ira sobrepor sobre os modos mais atenuados. A atenuacao dos modos (m,n) com m > 0 e sempre

maior do que a atenuacao dos modos (0, n). Por outro lado, de entre os modos (0, n) com n > 0, o modo

(0, 1) e sempre o modo menos atenuado, sendo que esta atenuacao e superior ou e inferior a atenuacao

do modo (0, 0). Desta forma, sera considerado o modo (0, 0) para os calculos das seccoes seguintes.[26]

4.2 Efeitos das dimensoes de uma conduta atenuadora simetrica

Os efeitos da largura da passagem de ar e da espessura das seccoes porosas na atenuacao de ondas

sonoras podem ser estudados de diversas formas. Mantendo uma dessas propriedades constante e a

outra variavel (largura total da conduta e variavel), ou fazendo variar essas duas variaveis (largura total

da conduta e variavel ou constante conforme variacao dessas duas propriedades).

Dado que ha varias formas de fazer variar as dimensoes de uma conduta atenuadora, e importante

definir uma quantidade designada de fator de espacamento (space factor ), SF . Este fator relaciona a

largura da passagem de ar, t0, com a espessura total da conduta, ly = t1 + t0 + t2 atraves de:

SF =t0ly. (4.1)

Desta forma, procedeu-se ao estudo de tres situacoes diferentes:

(a) variacao da espessura das seccoes porosas 1 e 2, mantendo constante a largura da passagem de

ar;

(b) variacao da largura da passagem de ar, mantendo constantes as espessuras das seccoes porosas

1 e 2;

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(c) variacao das larguras da passagem de ar e das seccoes porosas 1 e 2 de forma a que a largura da

conduta se mantivesse constante;

Inicialmente, comecou-se por estudar os efeitos da variacao da espessura das seccoes porosas conside-

rando a largura da passagem de ar constante, no valor de 0.35m. A figura 4.1 mostra esta analise em

condutas com fator de espacamento de 25%, de 50% e de 75% sob escoamento nulo. De igual forma, a

figura 4.2 representa esta analise para larguras da passagem de ar variaveis, em vez de espessuras das

seccoes porosas variaveis.

O efeito do fator de espacamento em condutas da mesma largura foi analisado para condutas com

0.70m de largura total sob escoamento nulo. Assim, foram estudadas varias condutas diferentes com

fator de espacamento de 25%, de 50% e de 75%. Os graficos da figura 4.3 retratam o efeito que o fator

de espacamento provoca na atenuacao obtida.

Por observacao da figura 4.1, verifica-se que a espessura do material poroso influencia fortemente a

atenuacao de ondas sonoras de baixas frequencias, enquanto que a atenuacao de ondas de elevada

frequencia nao varia com a espessura do material poroso. Quando o fator de espacamento aumenta e a

largura da passagem de ar e constante, a espessura do material poroso diminuiu. Desta forma, para

espessuras de seccoes porosas menores, a atenuacao de ondas sonoras de baixa frequencia e menor.

Contrariamente, o efeito em frequencias elevadas e praticamente nulo, pelo que variar a espessura do

material poroso dentro da ordem de grandeza em estudo nao afeta a atenuacao de ondas sonoras de

elevada frequencia.

(a) σ = 30× 103 kg s−1 m−3 (b) σ = 60× 103 kg s−1 m−3

Figura 4.1: Efeito das dimensoes de uma conduta simetrica na atenuacao de ondas sonoras: t0 = 0.35m.—–, SF = 25%; – –, SF = 50%; – . – ., SF = 75%.

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(a) σ = 30× 103 kg s−1 m−3 (b) σ = 60× 103 kg s−1 m−3

Figura 4.2: Efeito das dimensoes de uma conduta simetrica na atenuacao de ondas sonoras: t1 = t2 =0.175m.—–, SF = 25%; – –, SF = 50%; – . – ., SF = 75%.

As figuras 4.2 e 4.3 mostram que o efeito da largura da passagem de ar sobrepoe aos efeitos das outras

caracterısticas em estudo. Destas figuras conclui-se que a atenuacao e a largura da passagem de ar

variam inversamente, isto e, quando uma aumenta a outra diminui, e vice-versa.

(a) σ = 30× 103 kg s−1 m−3 (b) σ = 60× 103 kg s−1 m−3

Figura 4.3: Efeito das dimensoes de uma conduta simetrica na atenuacao de ondas sonoras: ly = 0.70m.—–, SF = 25%; – –, SF = 50%; – . – ., SF = 75%.

No grafico da figura 4.1(a) a atenuacao maxima obtida para a conduta com fator de espacamento de

75% e superior a atenuacao maxima obtida para as condutas com fator de espacamento inferior. De

notar que, o aumento do fator de espacamento atraves da diminuicao da espessura do material poroso

mantendo constante a largura da passagem de ar implica uma diminuicao no tamanho da conduta.

De forma a analisar o aparecimento deste pico para condutas mais estreitas repetiram-se as analises da

figura 4.1(a) para condutas com passagens de ar de 0.25m e 0.15m de largura.

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(a) t0 = 0.25m (b) t0 = 0.15m

Figura 4.4: Efeito das dimensoes de uma conduta simetrica na atenuacao de ondas sonoras: σ =30× 103 kg s−1 m−3.—–, SF = 25%; – –, SF = 50%; – . – ., SF = 75%.

Nos graficos da figura 4.4 verifica-se novamente que para fatores de espacamento elevados a atenuacao

maxima continua a ser superior a atenuacao obtida para fatores de espacamento inferiores. Este efeito e

difıcil de identificar mas entende-se que ele surge dada a diminuicao da largura total da conduta.

Por outro lado, analisaram-se condutas com a mesma dimensao das condutas da analise anterior mas

constituıdas por materiais porosos de resistencia ao escoamento superior. Esta analise surge para

verificar se este aumento do maximo na atenuacao surge novamente para condutas com maior fator de

espacamento e, portanto, de menor dimensao.

(a) t0 = 0.25m (b) t0 = 0.15m

Figura 4.5: Efeito das dimensoes de uma conduta simetrica na atenuacao de ondas sonoras: σ =60× 103 kg s−1 m−3.—–, SF = 25%; – –, SF = 50%; – . – ., SF = 75%.

De facto, o maximo da atenuacao obtida volta a ser superior para condutas mais estreitas. Conclui-se

que este “salto” na atenuacao maxima obtido para condutas de menor largura tambem depende da

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resistencia ao escoamento considerada. Quanto maior for a resistencia especıfica ao escoamento menor

tera de ser a largura da conduta para que este efeito ocorra.

4.3 Efeitos da resistencia especıfica ao escoamento

Para esta analise considerou-se, novamente, uma conduta atenuadora sob escoamento nulo com

passagem de ar de largura 0.35m e fator de espacamento de 50%.

O efeito da resistencia especıfica do material poroso ao escoamento foi avaliado tomando tres valores

diferentes para esta propriedade, {10, 30, 60} × 103kg s−1 m−3. Estes valores encontram-se dentro

da gama de valores que se pode obter com la de rocha ou la de vidro, entre 2× 103 kg s−1 m−3 e

80× 103 kg s−1 m−3.

Dado que a resistencia especıfica ao escoamento caracteriza a dificuldade do escoamento em atravessar

o material poroso, e esperado que a gama atenuada seja maior para condutas com revestimentos porosos

de baixa resistencia.

Figura 4.6: Efeito da resistencia especıfica ao escoamento na atenuacao de ondas sonoras em condutascom fator de espacamento de 50%: t0 = 0.35m; t1 = t2 = 0.175m.—–, σ = 10× 103 kg s−1 m−3; – –, σ = 30× 103 kg s−1 m−3; – . – ., σ = 60× 103 kg s−1 m−3.

A figura 4.6 confirma o efeito esperado dado que ha uma maior gama atenuada para materiais porosos

com menor resistencia especıfica ao escoamento. Para alem deste efeito, verifica-se que resistencias

ao escoamento menores atenuam ondas sonoras de frequencias mais baixas, enquanto que valores

superiores de resistencia especıfica ao escoamento atenuam ondas sonoras de frequencias superiores.

Por ultimo, verifica-se que a atenuacao maxima varia pouco com a resistencia especıfica ao escoamento.

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Os resultados obtidos mostram que a escolha do material poroso com resistencia especıfica ao escoa-

mento adequada permite ajustar a gama de frequencias atenuada.

4.4 Efeitos da velocidade do escoamento

Para se avaliar o efeito da velocidade do escoamento na atenuacao, considerou-se uma conduta

atenuadora com passagem de ar de largura 0.35m e fator de espacamento de 50%. Quanto ao material

poroso, este tinha uma resistencia ao escoamento intermedia, 30× 103 kg s−1 m−3.

Foram feitos os calculos de atenuacao para velocidades de {−5, 5, 20, 40}ms−1. As velocidades

positivas correspondem a propagacoes no sentido do escoamento, enquanto que as velocidades

negativas correspondem a propagacoes contra o escoamento.

Figura 4.7: Efeito da velocidade do escoamento na atenuacao de ondas sonoras em condutas com fatorde espacamento de 50%: t0 = 0.35m; t1 = t2 = 0.175m; σ = 30× 103 kg s−1 m−3.—–, U = −5m s−1; – –, U = 5m s−1; – . – ., U = 20m s−1; ....., U = 40m s−1.

Por observacao dos graficos da figura 4.7, verifica-se que o aumento da velocidade diminui a atenuacao

para ondas de baixa frequencia. Existe uma frequencia a partir da qual este efeito e invertido e a

atenuacao das ondas sonoras e maior para velocidades maiores. Constata-se ainda que, a frequencia

para a qual a atenuacao e maxima aumenta com a velocidade do escoamento, embora o valor da

atenuacao maxima diminua.

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4.5 Efeitos das folhas perfuradas

Para se analisar o efeito das folhas perfuradas, comparou-se um atenuador sem folhas perfuradas com

varios atenuadores com folhas perfuradas diferentes de 1.27mm de espessura. Foram analisados tres

diferentes tamanhos de perfuracoes, 1.5mm, 1mm e 0.5mm, espacadas de 4.45mm, ou seja, folhas

perfuradas com 35.7%, 15.9% e 4% de fracao de area aberta, respetivamente.

Inicialmente, comecou-se por analisar quatro condutas atenuadoras sem escoamento e com um fator

de espacamento de 50%: larguras de passagem de ar de 0.35m e de 0.175m e materiais porosos de

resistencia especıfica ao escoamento de 10× 103 kg s−1 m−3 e 30× 103 kg s−1 m−3.

(a) σ = 10× 103 kg s−1 m−3 (b) σ = 30× 103 kg s−1 m−3

Figura 4.8: Efeito da utilizacao de folhas perfuradas na atenuacao de ondas sonoras numa condutaatenuadora: U = 0m s−1; t0 = 0.175m; t1 = t2 = 0.0875m.—–, Sem folhas perfuradas; – –, Com folhas perfuradas: r0 = 1.5mm; – . – ., Com folhas perfuradas:r0 = 1mm; ....., Com folhas perfuradas: r0 = 0.5mm.

(a) σ = 10× 103 kg s−1 m−3 (b) σ = 30× 103 kg s−1 m−3

Figura 4.9: Efeito da utilizacao de folhas perfuradas na atenuacao de ondas sonoras numa condutaatenuadora: U = 0m s−1; t0 = 0.35m; t1 = t2 = 0.175m.—–, Sem folhas perfuradas; – –, Com folhas perfuradas: r0 = 1.5mm; – . – ., Com folhas perfuradas:r0 = 1mm; ....., Com folhas perfuradas: r0 = 0.5mm.

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Por observacao dos graficos das figuras 4.8 e 4.9, verifica-se que a adicao de folhas perfuradas aumenta

a atenuacao das ondas sonoras com frequencias mais baixas, implicando um grande decrescimo da

atenuacao para elevadas frequencias. Estes dois fenomenos (para baixas e altas frequencias) e tao

mais intenso quanto menor for o raio da perfuracao. Numa situacao limite onde o raio das perfuracoes

diminui para zero, a folha aproxima-se de uma parede rıgida e a atenuacao dentro dessa conduta e nula.

Ainda se pode concluir que, para folhas perfuradas com fracao de area elevadas, o valor da atenuacao

obtido e proximo do valor da atenuacao que seria obtido utilizando o mesmo atenuador sem folhas

perfuradas.

Por ultimo, comparou-se o efeito das folhas perfuradas em atenuadores com escoamento com 20m s−1,

utilizando apenas dois dos atenuadores estudados com velocidade de escoamento nula.

(a) t0 = 0.175m; t1 = t2 = 0.0875m (b) t0 = 0.35m; t1 = t2 = 0.175m

Figura 4.10: Efeito da utilizacao de folhas perfuradas na atenuacao de ondas sonoras numa condutaatenuadora: U = 20m s−1; σ = 30× 103 kg s−1 m−3.—–, Sem folhas perfuradas; – –, Com folhas perfuradas: r0 = 1.5mm; – . – ., Com folhas perfuradas:r0 = 1mm; ....., Com folhas perfuradas: r0 = 0.5mm.

Comparando a figura 4.8(b) com a figura 4.10(a) e a figura 4.9(b) com a figura 4.10(b) verifica-se que o

efeito da folha perfurada na atenuacao e identico. O decrescimo do maximo de atenuacao verificada na

figura 4.10(a) e (b) comparativamente com o maximo da atenuacao verificada nos graficos das figuras

4.8 e 4.9, respetivamente, deve-se a presenca de escoamento. De notar que este efeito ja tinha sido

verificado na seccao 4.4.

4.6 Efeitos das dimensoes de uma conduta atenuadora assimetrica

Nesta seccao ira ser estudado o comportamento da atenuacao em condutas atenuadoras com espessu-

ras da seccao porosa 1 diferentes das espessuras da seccao porosa 2.

Procedeu-se ao estudo de tres situacoes diferentes:

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(a) variacao da espessura da seccao porosa 2, mantendo constantes as larguras da passagem de ar

e da seccao porosa 1;

(b) variacao das espessuras das seccoes porosas 1 e 2, mantendo constantes as larguras da passa-

gem de ar e da conduta;

(c) variacao das espessuras da passagem de ar e da seccao porosa 2, mantendo constantes as

larguras da seccao porosa 1 e da conduta.

Nestes tres casos foram consideradas velocidade do escoamento nula e resistencia especıfica do

material poroso ao escoamento de σ = 30× 103 kg s−1 m−3. Fez-se variar a largura da seccao porosa 2

por tres dimensoes: 0.175m, 0.0875m e 0.0437m.

Na primeira analise, figura 4.11, considerou-se uma espessura da seccao porosa 1 de 0.175m e uma

largura da passagem de ar de 0.35m. No segundo caso, aumentou-se a espessura da seccao porosa

1 de forma a que a largura total da conduta se mantivesse constante, ou seja considerou-se que a

largura da seccao porosa 1 tinha 0.175m, 0.2625m e 0.3062m, figura 4.12. De igual forma, a figura 4.13

representa a analise para a largura total da conduta constante mas com variacao da espessura da

passagem de ar de 0.35m, 0.4375m e 0.4812m em vez da variacao da espessura da seccao porosa 1.

Por comparacao dos graficos das figuras 4.11 e 4.12 com os graficos da figura 4.1, verifica-se que a

atenuacao obtida a medida que se diminui a espessura da seccao porosa 2, e a mesma que se obtem

quando se diminui a espessura das seccoes porosas 1 e 2 em igual valor. Por analise detalhada dos

graficos, observa-se que existe uma pequena diferenca na atenuacao de ondas sonoras de menor

frequencia, sendo esta maior quando a espessura da seccao porosa 1 nao aumenta face a diminuicao

da seccao 2. Desta forma, pode-se concluir que, na globalidade da gama de frequencias analisada, a

atenuacao obtida e independente da espessura de material poroso maior.

(a) σ = 30× 103 kg s−1 m−3 (b) σ = 60× 103 kg s−1 m−3

Figura 4.11: Efeito das dimensoes de uma conduta assimetrica na atenuacao de ondas sonoras:t0 = 0.35m; t1 = 0.175m.—–, t2 = 0.175; – –, t2 = 0.0875; – . – ., t2 = 0.0437.

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(a) σ = 30× 103 kg s−1 m−3 (b) σ = 60× 103 kg s−1 m−3

Figura 4.12: Efeito das dimensoes de uma conduta assimetrica na atenuacao de ondas sonoras:t0 = 0.35m; ly = 0.70m.—–, t2 = 0.175; – –, t2 = 0.0875; – . – ., t2 = 0.0437.

(a) σ = 30× 103 kg s−1 m−3 (b) σ = 60× 103 kg s−1 m−3

Figura 4.13: Efeito das dimensoes de uma conduta assimetrica na atenuacao de ondas sonoras:t1 = 0.175m; ly = 0.70m.—–, t2 = 0.175; – –, t2 = 0.0875; – . – ., t2 = 0.0437.

O comportamento da atenuacao quando a largura da passagem de ar aumenta face a diminuicao da

espessura da seccao porosa 2, pode ser verificado nos graficos da figura 4.13. Nesta figura, os dados

obtidos sao inconclusivos relativamente as propriedades em estudo, uma vez que o efeito da largura da

passagem de ar sobrepoe-se ao efeito da variacao da espessura das seccoes porosas.

A atenuacao maxima para condutas mais estreitas volta a aparecer para resistencias especıficas ao

escoamento de 30× 103 kg s−1 m−3, figuras 4.11(a), 4.12(a) e 4.13(a). Este efeito e semelhante ao efeito

presente nas figuras 4.1(a), 4.4 e 4.5(b).

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4.7 Procedimento para o projeto do atenuador acustico

Apos a avaliacao dos efeitos das variaveis essenciais no projeto de atenuadores, e possıvel enumerar os

passos necessarios para a construcao de um atenuador.

O projeto de atenuadores deve ser baseado nas seguintes fases:

1. calculo da atenuacao necessaria para o espetro de frequencias em que existe ruıdo a ser atenuado

e a frequencia que caracteriza o ruıdo a ser atenuado;

2. selecao do material com resistencia especıfica ao escoamento, atraves de uma analise identica a

analise da seccao 4.3 mas para condutas com largura proxima da largura esperada, dado que o

valor da atenuacao depende desta dimensao. Deve ser selecionado o material em que a frequencia

da atenuacao maxima corresponda a frequencia da atenuacao maxima desejada;

3. escolha da largura da passagem de ar e da espessura das seccoes porosas de modo a que o valor

maximo atenuado seja o valor esperado;

4. se necessario, devera considerar-se a velocidade do escoamento ou a existencia de folhas perfur-

dadas e ajustar-se a largura da passagem de ar tendo em conta a existencia de escoamento, ou

seja, se houver escoamento na direcao da propagacao sonora, a largura da passagem de ar deve

ser menor do que o valor que se esperaria caso nao houvesse escoamento, e vice-versa;

5. se a atenuacao obtida for a atenuacao pretendida, o projeto esta concluıdo, caso contrario, devera

voltar-se ao ponto 2 e alterar os parametros que sejam necessarios.

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Capıtulo 5

Conclusao

A teoria de Cummings [26] escolhida para o calculo da atenuacao de ondas sonoras em condutas

retangulares com uma passagem de ar foi bem implementada e apresentou resultados teoricos proximos

dos resultados obtidos pelo modelo de Frommhold e Mechel [41].

Foi tambem relacionado o desempenho acustico de um material com as propriedades necessarias

para o calculo da atenuacao: impedancia caracterıstica e coeficiente de propagacao. Esta relacao foi

conseguida atraves do modelo de Allard e Champoux [17].

Analisaram-se varias propriedades a ter em conta no projeto de atenuadores e o efeito da sua variacao

na atenuacao conseguida. Das propriedades analisadas, a resistencia do material poroso ao escoamento

(tipo de material) e a largura da passagem de ar sao as duas propriedades que tem mais influencia

na atenuacao obtida. O tipo de material poroso dita qual a gama de frequencias que vai ser mais

atenuada, enquanto que, a largura da passagem de ar afeta o valor da atenuacao pretendido. Para

alem destes parametros, e importante ter em conta a velocidade do escoamento, dado que a existencia

desta no sentido da propagacao reduz a atenuacao esperada. Concluiu-se tambem que a espessura

de material poroso influencia a atenuacao das ondas sonoras de baixa frequencia. Ainda fruto desta

analise, constata-se que a utilizacao de folhas perfuradas nem sempre acrescenta benefıcios claros a

atenuacao de ruıdo, mas deve ser considerada dependendo da finalidade do atenuador.

Por ultimo, apresentou-se um procedimento que deve ser seguido no projeto de atenuadores acusticos,

de forma a que a escolha do atenuador seja mais rapida e simples.

De referir que o metodo utilizado para o calculo da atenuacao provocada por atenuadores de ruıdo

retangulares foi sujeita a algumas simplificacoes que foram explicadas durante o desenvolvimento da

dissertacao. No entanto, estas simplificacoes nao devem afetar muito os resultados esperados, uma vez

que a finalidade deste trabalho e o projeto de atenuadores industriais.

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5.1 Trabalhos futuros

Futuramente, atenuadores acusticos industriais deverao ser testados em laboratorio e comparados com

os resultados obtidos neste trabalho.

Estes testes deverao ser feitos numa camara anecoica (sala projetada para conter reflexoes de ondas

sonoras) de modo a que nao haja ruıdo a interferir com as medicoes.

Para estes testes, deverao ser utilizados microfones com elevada precisao e uma coluna que emita um

espetro sonoro com o mınimo de ruıdo possıvel e com potencia necessaria para que o som emitido seja

sentido pelo microfone.

A coluna devera ser colocada de um dos lados do atenuador. Quanto aos microfones, devera ser

colocado um na entrada do atenuador (do mesmo lado da coluna) e outro na saıda do atenuador. Ainda,

podera ser colocado um microfone a uma determinada distancia da saıda do atenuador de modo a que

se observe o efeito da propagacao sonora a essa distancia da conduta.

A atenuacao e calculada atraves da diferenca entre a intensidade sonora do som sentido pelo microfone

a montante da conduta e por cada um dos microfones a jusante do atenuador.

De notar que, nao deverao haver ondas sonoras a propagarem-se pela parte exterior do atenuador, caso

contrario os resultados de atenuacao obtidos estariam incorretos. Para limitar a propagacao sonora

pelo exterior da conduta atenuadora sugere-se que se utilize la de rocha para isolar acusticamente a

“passagem exterior” da conduta.

Adicionalmente, podem ser realizados os mesmo testes num tunel de vento de forma a verificar o efeito

do escoamento na atenuacao obtida.

Pode-se ainda estudar outras geometrias de atenuadores, por exemplo, atenuadores retangulares com

varias passagens de ar ou atenuadores circulares, e determinar as vantagens da utilizacao destas

condutas atenuadoras face as retangulares com uma passagem de ar.

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Referencias

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[2] Regulamento geral do ruıdo. Diario da Republica, janeiro 2007.

[3] https://www.systech-design.com/industrial-noise-control/, . Acedido a 7/08/2018.

[4] https://silentsystems.pt/, . Acedido a 7/08/2018.

[5] https://acusticateoria.com.br/produtos/, . Acedido a 7/08/2018.

[6] D. Mateus. Acustica de edifıcios e controlo de ruıdo. https://paginas.fe.up.pt/~earpe/

conteudos/ARE/Apontamentosdadisciplina.pdf, dezembro 2008. Acedido a 7/08/2018.

[7] https://www.faa.gov/about/office_org/headquarters_offices/apl/noise_emissions/

airport_aircraft_noise_issues/, janeiro 2008. Acedido a 15/08/2018.

[8] R. A. Mangiarotty. Acoustic-lining concepts and materials for engine ducts. The Journal of the

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[10] S.-H. Ko. Sound attenuation in lined rectangular ducts with flow and its application to the reduction

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1973.

[11] http://www.explicatorium.com/cfq-8/caracteristicas-das-ondas.html, . Acedido a

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[12] M. Delany e E. N. Bazley. Acoustical properties of fibrous absorvent materials. Applied Acoustics, 3:

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[45] R. Kirby. On the modification of delany and bazley fomulae. Applied Acoustics, 86:47–49, 2014.

51

52

Anexo A

Codigo Matlab

A.1 Implementacao do modelo de A. Cummings

A.1.1 Funcao principal

1 f u n c t i o n [ a t tenua t ion , l i n n e d d u c t ] = at tenuat ion by cummings ( l i nned duc t ,

M, sound )

2

3 l i n n e d d u c t . k x = sound .m∗ p i / l i n n e d d u c t . l x ;

4 [ k 0 ] = i n i t i a l g u e s s ( l i nned duc t , M, sound . n , 1 , 1) ;

5 [ l i n n e d d u c t . par t , l i n n e d d u c t . k z ] = cummings func ky2 NR ( l i nned duc t , M,

k 0 , 1 , s i ze ( sound . f , 2 ) ) ;

6 a t t enua t i on = − 8.6858∗ imag ( l i n n e d d u c t . k z ) ;

7

8 i f sound .m ˜= 0 | | sound . n ˜= 0

9 [ cu t on index ] = c a l c u l a t e c u t o n i n d e x ( a t t enua t i on ) ;

10 [ k 0 ] = i n i t i a l g u e s s ( l i nned duc t , M, sound . n , cu t on index ,

l i n n e d d u c t . k z ( cu t on index ) ) ;

11 [ l i n n e d d u c t . par t , l i n n e d d u c t . k z ] = cummings func ky2 NR ( l i nned duc t ,

M, k 0 , cu t on index , 1) ;

12 [ l i n n e d d u c t . par t , l i n n e d d u c t . k z ] = cummings func ky2 NR ( l i nned duc t ,

M, k 0 , cu t on index +1 , s ize ( sound . f , 2 ) ) ;

13 a t t enua t i on = − 8.6858∗ imag ( l i n n e d d u c t . k z ) ;

14 end

15 end

A.1

A.1.2 Algoritmo de Newton-Raphson

1 f u n c t i o n [ par t , k z ] = cummings func ky2 NR ( l i nned duc t , M, k , p o s i n i c i a l ,

p o s f i n a l )

2

3 t o l k = 1e−6;

4

5 pa r t = l i n n e d d u c t . pa r t ;

6 k x = l i n n e d d u c t . k x ;

7

8 f o r count = p o s i n i c i a l : s ign ( p o s f i n a l−p o s i n i c i a l ) : p o s f i n a l

9 k a1 = pa r t . one . k ( count ) ;

10 k a2 = pa r t . th ree . k ( count ) ;

11 k 0 = pa r t . two . k ( count ) ;

12

13 k o ld = 0;

14 whi le abs ( k−k o ld ) > t o l k

15 k o ld = k ;

16 % Sistema de Cummings

17 [ f , d f dz ] = cummings func ky2 ( l i nned duc t , M, count , k ) ;

18

19 k = k−f / d f dz ;

20

21 pa r t . two . k y ( count ) = k ;

22

23 r1 = Mˆ2−1;

24 r2 = −2∗M∗k 0 ;

25 r3 = k 0ˆ2−k x ˆ2−k ˆ 2 ;

26

27 k z ( count ) = (− r2−s q r t ( r2 ˆ2−4∗ r1 ∗ r3 ) ) / ( 2∗ r1 ) ;

28

29 pa r t . one . k y ( count ) = s q r t ( k a1ˆ2−k x ˆ2−k z ( count ) ˆ 2 ) ;

30 pa r t . th ree . k y ( count ) = s q r t ( k a2ˆ2−k x ˆ2−k z ( count ) ˆ 2 ) ;

31 end

32 end

33 end

A.2

A.1.3 Calculo do numero de onda na direcao y para iniciacao do algoritmo de

Newton-Raphson

1 f u n c t i o n [ k y02 ] = i n i t i a l g u e s s ( l i nned duc t , M, n , index , k z0 )

2

3 pa r t = l i n n e d d u c t . pa r t ;

4

5 k x = l i n n e d d u c t . k x ;

6

7 Z a1 = pa r t . one . z ( index ) / pa r t . two . z ;

8 Z a2 = pa r t . th ree . z ( index ) / pa r t . two . z ;

9

10 k a1 = pa r t . one . k ( index ) ;

11 k a2 = pa r t . th ree . k ( index ) ;

12 k 0 = pa r t . two . k ( index ) ;

13

14 t1 = pa r t . one . t ;

15 t2 = pa r t . th ree . t ;

16 b = pa r t . two . t ;

17

18 k y01 = s q r t ( k a1ˆ2−k x ˆ2−k z0 ˆ 2 ) ;

19 k y03 = s q r t ( k a2ˆ2−k x ˆ2−k z0 ˆ 2 ) ;

20 bet ta1 = 1 i ∗k y01∗ tan ( k y01∗ t1 ) / ( Z a1∗k a1 ) ;

21 bet ta2 = 1 i ∗k y03∗ tan ( k y03∗ t2 ) / ( Z a2∗k a2 ) ;

22

23 i f n==0

24 k y02 = (1−M∗k z0 / k 0 ) ∗ s q r t (1 i ∗k 0 ∗ ( be t ta1+bet ta2 ) / b ) ;

25

26 else i f n>0

27 k y02 = n∗ p i / b+1 i ∗k 0∗(1−M∗k z0 / k 0 ) ˆ2∗ ( be t ta1+bet ta2 ) / ( 2∗ n∗ p i ) ;

28 else

29 disp ( ” Erro no ca l cu lo do numero de onda na di recao y i n i c i a l n<0”) ;

30 disp ( ” Caminho : cummings sys .m−>Propriedades da Folha Perfurada ” ) ;

31 end

32 end

33 end

A.3

A.2 Implementacao do modelo de W. Frommhold e F. Mechel

1 f u n c t i o n [ a t tenua t ion , l i n n e d d u c t ] = at tenuat ion by f rommhold ( l i nned duc t ,

M, n )

2

3 B = l i n n e d d u c t . l x ;

4 d = l i n n e d d u c t . pa r t . one . t ;

5 h = l i n n e d d u c t . pa r t . two . t / 2 ;

6

7 Lambda = d / h ;

8

9 f o r count = 1 : 1 : s ize ( l i n n e d d u c t . pa r t . two . k , 2 )

10 z a = l i n n e d d u c t . pa r t . one . z ( count ) ;

11 z 0 = l i n n e d d u c t . pa r t . two . z ;

12

13 Gamma a = 1 i ∗ l i n n e d d u c t . pa r t . one . k ( count ) ;

14 k 0 = l i n n e d d u c t . pa r t . two . k ( count ) ;

15

16 U = 1 i ∗k 0∗z 0 / ( Gamma a∗z a ) ;

17 V = (Gamma a∗h ) . ˆ 2 + ( k 0∗h ) . ˆ 2 ;

18

19 i f count == 1 | | count == 2

20 [E ] = frommhold eq (Lambda , U, V) ;

21 w = (1−M∗ s q r t (1−(1−Mˆ 2 ) ∗E / ( k 0∗h ) ˆ 2 ) ) /(1−Mˆ 2 ) ;

22 l i n n e d d u c t .E( count ) =E∗w;

23 l i n n e d d u c t . E 2 ( count ) =E∗wˆ 2 ;

24 else

25 E = 2∗ l i n n e d d u c t .E( count−1)− l i n n e d d u c t .E( count−2) ;

26 w = (1−M∗ s q r t (1−(1−Mˆ 2 ) ∗E / ( k 0∗h ) ˆ 2 ) ) /(1−Mˆ 2 ) ;

27 Q = U∗ s q r t (V−E) ∗ tanh (Lambda∗ s q r t (V−E) ) ∗wˆ 2 ;

28 l i n n e d d u c t .E( count ) = (105+45∗Q−s q r t (11025+5250∗Q+1605∗Q. ˆ 2 ) )

/ (20+2∗Q) ;

29 end

30

31 l i n n e d d u c t .Gamma( count ) = s q r t ( l i n n e d d u c t .E( count ) / h ˆ2+( n∗ p i /B) ˆ2−k 0

ˆ 2 ) ;

32 a t t enua t i on ( count ) = 8.69∗ r e a l ( l i n n e d d u c t .Gamma( count ) ) ;

33 end

34 end

A.4

A.3 Calculo das propriedades acusticas do material poroso

1 f u n c t i o n [ k a , z a ] = prop porous mate r ia l ( f low , sound , sigma )

2

3 f o r i = 1 : s ize ( sound . f , 2 )

4 Sigma = sigma / ( f l ow . rho 0 ∗sound . f ( i ) ) ;

5

6 G1 = s q r t (1+1 i ∗ p i ∗Sigmaˆ−1) ;

7 G2 = G1∗Sigmaˆ−1∗4∗ f l ow . N pr ;

8

9 rho w = f low . rho 0 ∗ (1+1 / (1 i ∗2∗ p i ) ∗Sigma∗G1) ;

10 K w = f low .gamma∗ f l ow . p 0 ∗ ( f l ow .gamma−( f l ow .gamma−1) / ( 1+ (1 i ∗8∗ p i ∗

f l ow . N pr ) ˆ−1∗Sigmaˆ−1∗G2) ) ˆ−1;

11

12 k a ( i ) = 2∗ p i ∗sound . f ( i ) ∗ s q r t ( rho w / K w ) ; % rad mˆ−1

13 z a ( i ) = s q r t ( rho w∗K w ) ; % kg mˆ−2 sˆ−1

14 end

15 end

A.5

A.6