projecto de uma bomba centrifuga // project of a centrifugal water pump

53
7-6-2010 Trabalho realizado no âmbito da cadeira de Turbomáquinas | Departamento de Engenharia Mecânica FCTUC PROJECTO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA Autores: André da Glória Gourgel Paulo Alexandre Malva Oliveira Rafael José Gaspar Figueiras

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Page 1: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

7-6-2010

Trabalho realizado no âmbito da cadeira de Turbomáquinas | Departamento de Engenharia Mecânica

FCTUC PROJECTO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA

Autores:

André da Glória Gourgel

Paulo Alexandre Malva Oliveira

Rafael José Gaspar Figueiras

Page 2: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

2

"Na natureza nada se cria, nada se perde,

tudo se transforma."

(Antoine Lavoisier, químico francês sec. XVIII)

"A natureza deve ser considerada como um

todo, mas deve ser estudada em detalhe."

(Mário Bunge, físico/filósofo argentino sec. XX)

Page 3: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

3

Índice Nomenclatura................................................................................................................................ 5

Introdução ..................................................................................................................................... 7

1-Selecção do tipo de bomba e características iniciais ................................................................. 8

Cálculo da altura de elevação ................................................................................................... 8

Características geométricas ...................................................................................................... 9

Rendimento ............................................................................................................................... 9

Potência ................................................................................................................................... 10

Selecção do motor .................................................................................................................. 10

2 - Projecto do Rotor ................................................................................................................... 11

Diâmetro da aresta de pressão. .............................................................................................. 11

Diâmetro do veio ..................................................................................................................... 12

Verificações de segurança da chaveta ................................................................................ 13

Diâmetro do Cubo ................................................................................................................... 15

Diâmetro da aresta de Aspiração ............................................................................................ 15

Diâmetro da aresta de Sucção ................................................................................................ 17

Determinar a largura da pá na entrada................................................................................... 17

Ângulo das Pás na Entrada do Rotor𝜷𝟏 e Número de Pás do Rotor 𝒛 ................................... 18

Análise da Extremidade da Pá na Aresta de Pressão .............................................................. 20

Correcção do Diâmetro da Extremidade da Pá na Aresta de Pressão .................................... 22

Definição da largura da pá na aresta de pressão .................................................................... 23

Definição da evolução da largura da pá com o raio ................................................................ 24

Traçado das pás do rotor ........................................................................................................ 26

Triângulo de Velocidades ........................................................................................................ 28

Triângulo de velocidades á entrada, aresta de sucção ....................................................... 28

Triângulo de velocidades á saída do rotor, aresta de pressão ............................................ 29

3 - Projecto da caixa espiral ........................................................................................................ 34

Sobre a caixa de secção circular .............................................................................................. 34

Caixa Espiral Com Secção Variável .......................................................................................... 38

4-Verificação de Parâmetros de funcionamento (características off-design) ............................ 40

Definição de parâmetros sobre cavitação. ............................................................................. 44

5-Conclusões ............................................................................................................................... 46

6-Bibliografia ............................................................................................................................... 46

7-Anexos ...................................................................................................................................... 47

Anexo I – Sobre a caixa espiral de secção variável .................................................................. 47

Page 4: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

4

Anexo II – Sobre a caixa espiral circular (Anexo II).................................................................. 48

Anexo III - Sobre Equação de Euler e determinação de u2 (Anexo III) ..................................... 49

Anexo IV - Parte do catálogo do Motor .................................................................................. 50

Anexo V – Imagens de algumas rodas de bombas centrífugas reais ...................................... 53

Page 5: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

5

Nomenclatura

b Largura da pá [m]

b1 Largura da pá na aresta de sucção [m]

b2 Largura da pá na aresta de pressão [m]

com Componente meridiana da velocidade absoluta do fluido fora do canal das pás do rotor do lado da sucção [m/s]

c1m Componente meridiana da velocidade absoluta do fluido na aresta de sucção do rotor [m/s]

c2m Componente meridiana da velocidade absoluta do fluido na aresta de pressão do rotor [m/s]

cs Velocidade absoluta do fluido na tomada de sucção [m/s]

c’2t Componente tangencial da velocidade absoluta do fluido na aresta de pressão do rotor na situação de

escorregamento [m/s]

c1t Componente tangencial da velocidade absoluta do fluido na aresta de sucção do rotor [m/s]

c2t Componente tangencial da velocidade absoluta do fluido na aresta de pressão do rotor [m/s]

(cm)netto Velocidade absoluta média do escoamento ao longo do rotor para a espessura nula das pás [m/s]

d Diâmetro do veio [m]

D1 Diâmetro da extremidade da pá na aresta de sucção [m]

D2 Diâmetro exterior do rotor ou diâmetro da extremidade da pá na aresta de pressão [m]

Ds Diâmetro de sucção [m]

g Aceleração da gravidade [m/s2]

H Altura de elevação nominal [m.c.ar]

𝐻∞ Altura de elevação para um número infinito de pás [m.c.ar]

Hs Altura de elevação considerando as perdas devido ao escorregamento [m.c.ar]

Hn Altura de elevação nominal considerando as perdas devido ao escorregamento [m.c.ar]

ΔHa Perdas devido ao atrito [m.c.ar]

ΔHc Perdas devido ao choque [m.c.ar]

Ha Altura de elevação tendo em conta as perdas por atrito [m.c.ar]

k Coeficiente de estreitamento

kz Coeficiente empírico

K Coeficiente de vórtice

Mt Momento torçor [Nm]

N Velocidade angular [rad/s]

Page 6: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

6

nq Rotação específica [rpm]

p Coeficiente de redução de potência em bombas

P Potência do ventilador [W]

Pac Potência de accionamento [W]

Pm Potência do motor [W]

Q Caudal volúmico nominal [m3/s]

Qrot Caudal volúmico compensado [m3/s]

r Raio [m]

ri Distância do eixo do rotor do ponto mais próximo de qualquer secção da caixa espiral [m]

s1 Espessura das pás medida no círculo de entrada do rotor [m]

t1 Distância da distribuição das pás no círculo de entrada do rotor [m]

t2 Distância da distribuição das pás no círculo de saída do rotor [m]

u1 Velocidade de transporte ou velocidade tangencial na entrada das pás [m/s]

u2 Velocidade de transporte ou velocidade tangencial à saída das pás [m/s]

w1t Componente tangencial da velocidade relativa do fluido na aresta de sucção do rotor [m/s]

w2t Componente tangencial da velocidade relativa do fluido na aresta de pressão do rotor [m/s]

w1 Velocidade relativa do fluido na aresta de sucção do rotor [m/s]

w2 Velocidade relativa do fluido na aresta de pressão do rotor [m/s]

E Trabalho específico interno [j/kg]

EPá ∞ Trabalho específico nas pás para um número infinito de pás infinitamente finas [J/kg]

z Número de pás

Page 7: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

7

Introdução

Este trabalho, realizado no âmbito da cadeira de Turbomáquinas, cadeira obrigatória

do 4º ano do curso de Engenharia consiste em projectar uma bomba centrífuga. As

características de funcionamento pretendidas, no ponto nominal, são:

Velocidade de rotação do veio, 𝑁 = 900 rpm;

Caudal, 𝑄 = 0,01 𝑚3/𝑠;

Velocidade específica, 𝛺 = 0,22;

Os objectivos deste trabalho são proceder ao dimensionamento da turbomáquina,

perceber a forma como ela funciona e obter a curva característica de funcionamento da

mesma, estando o trabalho estruturado da seguinte forma:

Secções Capítulos 1 Selecção do tipo de bomba e características

iniciais

2 Projecto do Rotor

3 Projecto da caixa espiral

4 Verificação de Parâmetros de funcionamento (características off-design)

5 Anexos

6 Bibliografia

7 Anexos

Page 8: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

8

1-Selecção do tipo de bomba e características iniciais

A selecção da turbomáquina adequada às características pretendidas pode ser feita

através da velocidade específica, recorrendo à seguinte tabela retirada de [1]:

Figura 1 - Quadro designação tipo turbomáquina.

Podemos então depreender que estamos perante uma bomba centrífuga radial visto,

𝛺 ∈ 0.15, 1.2 .

Cálculo da altura de elevação

A altura de elevação 𝐻, é calculada através da equação da velocidade específica,

segundo [1]:

𝛺 =𝑁. 𝑄

𝑔.𝐻 34 (1)

0,22 =

900 × 2𝜋60 . 0,01

(9,81.𝐻)34 ⇔ 𝐻 = 15,28 𝑚. 𝑐.𝑎.

Page 9: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

9

Características geométricas

O número específico de rotações por minuto 𝑛𝑠 , de acordo com [3], é dado por:

𝑛𝑠 = 3,65.𝑁. 𝑄

𝐻34 (2)

Substituindo os valores na expressão anterior obtém-se que 𝒏𝒔 = 𝟒𝟐,𝟓𝟎𝟓 𝒓𝒑𝒎.

Este valor de permite concluir que estamos perante uma bomba centrífuga pura, pois

(𝑛𝑠<90 rpm), com pás cilíndricas, radiais, para pequenas e médias descargas. Quanto ao rotor,

trata-se de um rotor lento.

𝑛𝑠 = 3,65.𝑛𝑞 ⇔ 𝑛𝑞 = 11,645 𝑟𝑝𝑚 (3)

Rendimento

Q [l/s] Ω η *%+

12,50 0,22 57

Interpolando

temos x = 55%

10,00 0,22 X

6,31 0,22 52

Tabela 1 - Refere-se á iteração efectuada no cálculo do rendimento

Figura 2 - Gráfico determinativo do rendimento de uma bomba.

Page 10: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

10

Potência

A potência é dada por:

𝑃 =𝜌.𝑔.𝐻.𝑄

𝜂 (4)

𝑃 = 2725,431 𝑊 = 3,708 𝑐𝑣

Tendo em conta que este valor da potência deve ser corrigido segundo acréscimo de

30%, segundo [2] temos então que o valor nominal da potência será:

𝑃𝑒 = 1,3.𝑃 (5)

𝑃𝑒 = 3543,061 𝑊 = 4,820 𝑐𝑣

Selecção do motor

Para a potência nominal efectiva acabada de calcular e consultando, por exemplo, o

catálogo de motores eléctricos da Siemens, foi escolhido um motor com as seguintes

características:

Motor: Siemens-1LA6 113-4AA;

Potência: 4 [kW];

Velocidade á Carga Máxima: 1440 [rpm];

Rendimento: 85%;

Massa: 45 [kg];

Nº Pólos: 4;

Frequência: 50 Hz;

Factor de Potência: 0,83;

Face ao exposto teremos então de actualizar os valores já calculados, uma vez que nesta

altura, já com o motor seleccionado, as circunstâncias diferem nomeadamente a potência e a

velocidade de sincronismo.

𝑛 =2𝜋.𝑁

60 (6)

𝑛 =2𝜋 × 1440

60⇔ 𝑛 = 150,796 [𝑟𝑎𝑑 𝑠]

Logo, com (1), (2) e (3):

𝛺 =𝑁. 𝑄

𝑔.𝐻 34⇔ 𝛺 =

150,96. 0,01

9,81 × 15,28 34⇔ 𝛺 = 0,352

𝑛𝑠 = 3,65.𝑁. 𝑄

𝐻34 ⇔ 𝑛𝑠 = 3,65.1440. 0,01

0,0134⇔ 𝑛𝑠 = 68,008 𝑟𝑝𝑚

𝑛𝑠 = 3,65.𝑛𝑞 ⇔ 𝑛𝑞 = 18,632 𝑟𝑝𝑚

Page 11: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

11

2 - Projecto do Rotor

O projecto do rotor é desenvolvido tendo em conta o tipo de máquina que se está a

considerar e que foi definido com base na velocidade específica. Assim para um rotor com

Ω=0,35 (recordar secção 1) vem uma pá com o aspecto seguinte:

Figura 3 - - Esquema da forma do rotor (Ref. [3] pág.112)

Diâmetro da aresta de pressão. A primeira característica a ser determinada é o diâmetro da aresta de pressão, D2, que é

calculado com auxílio da definição de diâmetro característico, ∆, do diagrama de Cordier e da

velocidade especifica; introduzindo a velocidade especifica no diagrama (em ordenadas)

consegue definir-se ∆ e com este D2, como se mostra.

∆=

D2 ∗ g ∗ H 1

4

Q1

2 (7)

Ω = 0,35

Page 12: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

12

Figura 4 - Diagrama de Cordier.

Com ∆= 8 , e com o auxilio da equação (7) resolvida para D2 vem:

D2 =(∆ ∗ Q

12 )

g ∗ H 1

4 m ↔ D2 =

(8 ∗ 0,011

2 )

(9,81 ∗ 15,28)1

4 = 0,2286 [m]

Obtêm-se então um valor de primeira aproximação (já que o diagrama de Cordier deriva

de análise empírica) para o valor do diâmetro da aresta de pressão.

Diâmetro do veio O diâmetro do veio pode ser calculado de acordo com a seguinte fórmula, admitindo

uma taxa de trabalho do aço á torção de 𝜍𝑐𝑒𝑑 = 210 [𝑘𝑔𝑓. 𝑐𝑚−2], (Ref.[2] pág.209 ).

𝑑 = 12 ∗ 𝑃 [𝑐𝑣]

𝑛 [𝑟𝑝𝑚]

3

𝑐𝑚 (𝟖)

Que com os dados vem:

𝑑 = 12 ∗ 5,442

1440

3

= 1,869 𝑐𝑚 = 18,69 [𝑚𝑚]

Conclui-se com isto, que o diâmetro mínimo admissível para o veio será de 18,69 [mm],

contudo, já que o motor escolhido tem um veio de saída acoplado, cujas dimensões são dadas

no catálogo (Ref. [5]) e tem valor de 28 [𝑚𝑚] vai ser este o valor diâmetro do veio

Page 13: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

13

considerado1. Prevê-se assim que se possa efectuar uma montagem directamente sobre o veio

do motor (caso isso seja possível) ou, em caso de se ter que aumentar o comprimento do veio,

se minimize a concentração de tensões proveniente de variações de área de secção.

Verificações de segurança da chaveta

Como foi dito anteriormente a união veio-cubo é feita por meio de uma chaveta pelo

que é necessário verificar se esta suporta os esforços impostos pelo movimento transmitido

pelo motor. Essa verificação é feita por análise ao corte e por análise ao esmagamento de

acordo com os valores geométricos mostrados na figura:

Figura 5 - Esquema do veio com chaveta.

Do catálogo e de uma tabela de chavetas segundo a norma portuguesa NP360 vem:

𝑏 = 0,008[𝑚]

𝑕 = 0,007[𝑚]

𝑙 = 0,050[𝑚]

1 Pode ver-se que o diâmetro que se irá admitir é superior ao mínimo admissível pelo que a segurança

fica garantida; Há que ver também que, já que a união veio-cubo será feita por chaveta o que enfraquece os dois componentes pelo que será aconselhável não utilizar o diâmetro mínimo admissível mas sim um diâmetro um pouco maior.

Page 14: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

14

Verificação ao esmagamento:

Sobre a tensão aplicada:

𝜍 =

𝐹

𝐴

𝐹 =𝑃 ∗ 60

𝜋 ∗ 𝑁 ∗ 𝑑

𝐴 =𝑕

2∗ 𝑙

𝜍 =

2 ∗ 𝑃 ∗ 60

𝜋 ∗ 𝑁 ∗ 𝑑 ∗ 𝑕 ∗ 𝑙

− − −

−−−

𝜍 =

2 ∗ 4000 ∗ 60

𝜋 ∗ 1440 ∗ 0,028 ∗ 0,007 ∗ 0,050

−−−

−−−

𝜍 = 10,8 ∗ 106 [𝑃𝑎]

−−−

−−−

Sobre a tensão admissível:

Considerando um aço com tensão de cedência, 𝜍𝑐𝑒𝑑 , e um coeficiente de segurança 𝑛,

obtêm-se uma tensão admissível de:

𝜍𝑎𝑑𝑚 =𝜍𝑐𝑒𝑑

𝑛 ↔ 𝜍𝑎𝑑𝑚 =

210∗106

5= 42 ∗ 106[𝑃𝑎]

Como se vê, 𝜍 < 𝜍𝑎𝑑𝑚 pelo que a chaveta resiste ao esmagamento.

Verificação ao corte:

Sobre a tensão aplicada:

𝜏 =

𝐹

𝐴

𝐹 =𝑃 ∗ 60

𝜋 ∗ 𝑁 ∗ 𝑑

𝐴 = 𝑏 ∗ 𝑙

𝜏 =

𝑃 ∗ 60

𝜋 ∗ 𝑁 ∗ 𝑑 ∗ 𝑏 ∗ 𝑙

− − −

−−−

𝜏 =

4000 ∗ 60

𝜋 ∗ 1440 ∗ 0,028 ∗ 0,008 ∗ 0,050

−−−

−−−

𝜏 = 4,7 ∗ 106 [𝑃𝑎]

−−−

−−−

Page 15: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

15

Sobre a tensão admissível:

Com os mesmos valores usados para o caso do esmagamento e atendendo ao critério de

Tresca vem uma tensão de corte admissível de:

𝜏𝑎𝑑𝑚 =𝜍𝑎𝑑𝑚

2 ↔ 𝜏𝑎𝑑𝑚 =

4,2 ∗ 107

2= 21 ∗ 106[𝑃𝑎]

Como se vê, 𝜏 < 𝜏𝑎𝑑𝑚 pelo que a chaveta resiste ao corte.

Diâmetro do Cubo O cubo será o componente que, em conjunto com o veio, se introduzirá a chaveta pelo

que o seu valor terá que ter isso em conta e ser superior a d e pode ser calculado por (Ref. [2]

pag.209):

𝑑𝑛 = 𝑑 + 2 ∗ (5 𝑎 15 𝑚𝑚 ) (𝟖)

Já que a chaveta tem altura de 7 [mm] irá ser considerado um valor igual para encriptar ao

diâmetro do veio, vindo:

𝑑𝑛 = 𝑑 + 2 ∗ 7 = 28 + 14 = 42[𝑚𝑚]

Diâmetro da aresta de Aspiração O diâmetro da aresta de aspiração pode ser definido com a seguinte expressão (Ref. [3]

pág. 112):

𝐷𝑠 = 4 ∗ 𝑄𝑟𝑜𝑡

𝜋2 ∗ 𝑘 ∗ 𝛿𝑅 ∗ 𝑁 ∗ tan(𝛽0)

3

[𝑚] (𝟗)

Onde:

𝑄𝑟𝑜𝑡 = 𝑄𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 + 𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑔𝑎

𝑘 − 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑖𝑟𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎çã𝑜 𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜

𝛿𝑅 − 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 à 𝑒𝑛𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑜𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐çã𝑜

𝑁 − 𝑟𝑜𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜

𝛽0 − 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 á 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

Page 16: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

16

Sobre 𝑸𝒓𝒐𝒕

𝑄𝑟𝑜𝑡 , é o caudal nominal corrigido pela ocorrência de. Estas perdas estão associadas a

fugas de caudal pelas uniões entra a pá e o corpo da carcaça do rotor, zonas em que o fluido se

escapa e não evolui segundo o movimento pretendido. Segundo [3] (pág. 112 e pág. 226) têm

valor variante entre 1 e 5% do caudal nominal donde se irá adoptar-se 5% por ser o valor mais

desfavorável. Assim vem:

𝑄𝑟𝑜𝑡 = 𝑄𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 ∗ 1,05 (𝟏𝟎)

𝑄𝑟𝑜𝑡 = 0,01 ∗ 1,05 = 0,0105 [𝑚3

𝑠 ]

Sobre 𝒌:

O factor de estreitamento tem que ver com a diminuição da área de passagem de fluido

quando este passa do escoamento de entrada para o escoamento dentro do rotor e é dado

por (Ref. [3] pág.113):

𝑘 = 1 −𝑑𝑛

2

𝐷𝑠2 (𝟏𝟏)

𝑘 = 1 −0,0422

𝐷𝑠2 (𝟏𝟐)

Sobre 𝜹𝑹:

O coeficiente de vorticidade caracteriza o modo como o escoamento é admitido na

sucção, isto é, se a ele está afecto algum movimento de rotação ou se é admitido só com

movimento simples. Já que no caso vertente não são consideradas pás orientadoras pode

assumir-se que o fluido à entrada não possui qualquer tipo de movimento de rotação sendo

por isso o ângulo 𝛼 = 90° (este ângulo não será falado nesta secção porque será referido na

secção em que se falará sobre os triângulos de velocidade). Importa neste ponto apenas referir

que 𝛼 = 90°, conduz a uma velocidade absoluta com uma só componente, componente

meridiana. Da [3] (pág. 97 e pág.76 fig. 3.14) vem:

𝛿𝑅 = 1 −𝑐𝑜𝑚𝑢1

(𝟏𝟑)

Sendo 𝑐𝑜𝑚 a componente meridiana, nula no caso de 𝛼 = 90°, como se irá considerar,

vem que o escoamento á entrada está livre de vórticidade donde:

𝛿𝑅 = 1

Page 17: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

17

Sobre 𝜷𝟎:

Este ângulo caracteriza o modo como o fluxo entra na pá e pode ser caracterizado para

bombas centrífugas num intervalo entre 14 e 17º (Ref. 1 slides 7 acetato.77). Considerou-se

neste caso 𝛽0 = 16°, de novo, na secção onde se farão referência aos triângulos de

velocidades este parâmetro poderá ser melhor entendido.

Substituindo valores vem:

𝐷𝑠 =

4 ∗ 0,0105

𝜋2 ∗ 1 −0,0422

𝐷𝑠2 ∗ 1 ∗ 150,796 ∗ tan 16

3

𝐷𝑠 = 0,0921 𝑚 = 92,1[𝑚𝑚]

Diâmetro da aresta de Sucção O diâmetro da aresta de sucção é um pouco maior do que o diâmetro da aresta de

aspiração, segundo [2] (pág. 242) esse aumento é de cerca de 10% donde:

𝐷1 = 1,1.𝐷𝑠

Logo:

𝐷1 = 1,1 ∗ 92,1 = 101,3[𝑚𝑚]

Definidos todos os parâmetros relativos a diâmetros, irá agora definir-se a largura da pá

à entrada.

Determinar a largura da pá na entrada Na determinação da largura da pá à entrada tem que se ter em conta que o caudal deve

ser conservado, pelo que, definindo caudal na entrada da pá, vem:

𝑄 = 𝑉 ∗ 𝐴

𝐴 = 𝜋 ∗ 𝐷1 ∗ 𝑏1

𝑉 = 𝑐𝑜𝑚 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑟𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 à 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑝á2

𝑄 = 𝜋 ∗ 𝐷1 ∗ 𝑏1 ∗ 𝑐𝑜𝑚 [𝑚

3

𝑠 ] (𝟏𝟒)

−−−

−−−

2 Sem considerar o efeito de estreitamento na passagem de fluido no volume entre pás consecutivas.

Page 18: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

18

Todas as variáveis são conhecidas com excepção de 𝑏1 𝑒 𝑐𝑜𝑚 . Como foi dito antes,

secção anterior, na entrada da pá o escoamento é livre de vorticidade e não há nenhum

agente que lhe imponha alguma vorticidade no seu percurso até á sucção, donde a velocidade

𝑐𝑜𝑚 pode considerar-se idêntica á velocidade absoluta do fluido na entrada do canal do rotor,

𝑐𝑠, que vem dada por:

𝐶𝑠 =4 ∗ 𝑄

𝜋(𝐷𝑠2 − 𝑑𝑛

2) (𝟏𝟓)

Que no caso é:

𝐶𝑠 =4 ∗ 0,01

𝜋(0,09212 − 0,04202) ↔ 𝐶𝑠 = 1,99 [

𝑚

𝑠]

E substituindo na equação (14) vem:

0,01 = 𝜋 ∗ 0,092 ∗ 𝑏1 ∗ 1,99

𝑐𝑜𝑚 = 𝑐𝑠 = 1,99 [𝑚

𝑠]

↔ 𝑏1 = 0,0166 𝑚 = 16,6[𝑚𝑚]

−−−

Ângulo das Pás na Entrada do Rotor 𝜷𝟏 e Número de Pás do Rotor 𝒛

O cálculo do ângulo das pás à entrada do rotor e o seu número em quantidade varia

com os parâmetros característicos do rotor, o qual se obtém através de um processo iterativo

correlacionando os valores calculando-se os valores finais desejados.

O ângulo das pás à entrada, deverá ser tal que a trajectória relativa do escoamento real

á entrada, coincida com a curvatura das pás à entrada. Este ângulo é determinado tendo em

conta que o rotor tem um número finito de pás, com uma determinada espessura e admitindo

que a entrada ocorre sem choque, porque as perdas de energia serão minimizadas.

Inicialmente estabelecemos um valor inicial para o factor de estreitamento 𝑓𝑒 , o qual

estará depois das iterações, dependente da convergência. O factor pode ser calculado, para a

aresta de sucção do rotor, (sendo o 𝑡1, a distância de distribuição das pás no circuito de

entrada e o 𝜍1, o valor da espessura das pás medida no diâmetro interno do rotor), a partir da

seguinte expressão [3], (pág. 113):

𝑓𝑒 =𝑡1

𝑡1 − 𝜍1 (16)

Tendo já o valor estimado deste factor (valor inicial, 𝑓𝑒 = 1,25), e conhecendo o ângulo

relativo do escoamento à entrada do rotor, 𝛽0, passamos à determinação do ângulo das pás à

entrada do rotor, 𝛽1, recorrendo à seguinte expressão [3], (pág. 113):

tan(𝛽1) =𝑡1

𝑡1 − 𝜍1× tan 𝛽0 (17)

Page 19: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

19

Figura 6 - Esquema de duas pás consecutivas.

O valor da espessura das pás coincidentes com o diâmetro interno do rotor, 𝜍1, é

calculado através da expressão [3], (pág. 114):

𝜍1 =𝑆1

sin 𝛽1 (18)

O segundo parâmetro a iterar, é o valor do número de pás, obtendo-se a formula a

partir da bibliografia [3], (pág. 114):

𝑧 = 𝑘𝑧 .𝐷2 + 𝐷1

𝐷2 − 𝐷1 . sin

𝛽1 + 𝛽2

2 (19)

Após o cálculo do número de pás, a partir da expressão anterior, podemos determinar o

comprimento da distribuição das pás no circulo de entrada do rotor, 𝑡1, de acordo com a

expressão seguinte [3], (pág. 114):

𝑡1 =𝜋 .𝐷1

𝑧 (20)

Tendo os parâmetros de correlação já definidos, vamos passar à descrição do processo

iterativo. Os valores geométricos das pás 𝜍1 e 𝑡1 originaram um novo valor do factor de

estreitamento, o qual deverá ser comparado com o valor calculado na iteração anterior. O

critério de paragem do nosso processo baseia-se na comparação do valor inicial e final, até

obtermos a igualdade dos factores de estreitamento, quando a razão entre eles for inferior a

106o critério de convergência é adquirido.

A explicação das expressões e a sua obtenção já foi feita, apenas falta julgar alguns

valores que lhes correspondem. Logo, de acordo com a bibliografia [3], (pág. 114), a espessura

das pás, 𝑆1, deve ser o menor possível até que a fabricação o possibilite, sendo obtida por

fundição. Segundo alguns autores, afirmam que o valor de espessura pode variar entre 3 [𝑚𝑚]

e 5 [𝑚𝑚], optando-se assim por 𝑆1 = 0,003 [𝑚], o menor valor segundo [2], (pág. 239) e [3],

Page 20: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

20

(pág. 138). Relativamente ao coeficiente empírico 𝐾𝑧 , que varia inversamente com a relação

𝑆1 𝐷1 . (a espessura da pá não pode ser muito elevada para não constringir o canal no raio

interno). Assim, de acordo com [3], (pág. 114), o intervalo de valores médios deste coeficiente

varia entre 5 e 6,5, para rotores radiais fundidos, considerando-se o valor médio, 𝐾𝑧 = 6.

Quanto ao valor do ângulo de saída da pá, como estamos a dimensionar uma bomba

hidráulica, o seu valor situa-se no intervalo 20° 𝑎 40°, optando-se novamente pela média,

utilizando-se 𝛽2 = 30°.

Conhecidas as expressões e seus parâmetros, passámos ao processo iterativo,

recorrendo a uma folha Excel, apresentando os resultados finais numa tabela.

iteraçaões finicial β1 [º] β1 [Rad] σ1 z t1 ffinal Teste Cv.

1 1,15 18,250343 0,318528583 0,0095795 6,0898317 0,05226 1,224446446 N.Convergiu

2 1,22444645 19,346397 0,337658328 0,0090558 6,2196139 0,05117 1,215033099 N.Convergiu

3 1,2150331 19,208599 0,335253298 0,0091183 6,2033284 0,0513 1,216148082 N.Convergiu

4 1,21614808 19,224933 0,335538378 0,0091109 6,2052593 0,05129 1,216014947 N.Convergiu

5 1,21601495 19,222983 0,335504341 0,0091117 6,2050288 0,05129 1,216030829 N.Convergiu

6 1,21603083 19,223215 0,335508401 0,0091116 6,2050563 0,05129 1,216028934 N.Convergiu

7 1,21602893 19,223188 0,335507917 0,0091117 6,205053 0,05129 1,21602916 N.Convergiu

8 1,21602916 19,223191 0,335507975 0,0091116 6,2050534 0,05129 1,216029134 Convergiu

Tabela 2 - Processo iterativo até chegar ao número de pás e ao ângulo de entrada da pá.

Da análise dos resultados observa-se que o critério de convergência foi verificado, o

ângulo das pás na entrada do rotor, 𝛽1 = 19,22°e o número de pás igual a 7.

Análise da Extremidade da Pá na Aresta de Pressão Cálculo da Velocidade de Transporte (ou Velocidade Tangencial) à Saída do Rotor

O Calculo da velocidade tangencial à saída das pás na aresta de pressão, 𝑢2, é feito a

partir da seguinte equação de Euler [1], (slide 7, pág. 22):

𝐸∞ = 𝑢22 − 𝑢2 . 𝑐2𝑟 . cot𝛽2 (𝟐𝟏)

𝐸∞

𝐸𝑠= 1 + 𝑝 ⇔ 𝐸∞ = 𝐸𝑠 . 1 + 𝑝 (𝟐𝟐)

𝐸∞ = 𝑔×𝐻

𝜂𝑝á . 1 + 𝑝 (𝟐𝟑)

A energia especifica, 𝐸𝑠 , representa a energia admitindo um número de pás finito

(considerando as perdas por atrito) e o factor de escorregamento, p, é obtido através da

seguinte expressão [1], (slide 7, pág. 27):

𝑝 = 𝑘. 1 +𝛽2

60° .

𝐷𝑠2

4. 𝑧. 𝑆 (𝟐𝟒)

Sabendo que:

𝐸∞ - Energia específica admitindo

um número finito de pás.

𝑐2𝑚 - Componente meridiana da

velocidade absoluta 𝑐2, no

escoamento da aresta de pressão.

Sabendo que:

𝑘 - Factor empírico da caixa espiral

𝑆 – Representa o momento estático do segmento

AB da linha de corrente média entre as arestas de

entrada e de saída, relativamente ao eixo de

rotação

Page 21: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

21

Figura 7 - Corte longitudinal do rotor de uma bomba, figura retirada de [3], (pág. 36).

Relativamente ao parâmetro 𝑆, sabemos que é definido por,

𝑆 = 𝑟 𝑑𝑥𝑟2

𝑟1

Sendo 𝑟1 𝑒 𝑟2 os raios da aresta de sucção e da aresta de pressão, respectivamente

Como o rotor da nossa bom é simples, temos que 𝑑𝑥 = 𝑑𝑟, segundo a bibliografia [3],

(pág. 37), obtendo-se a seguinte simplificação:

𝑆 = 𝑟 𝑑𝑟 = 1

2 . 𝑟2

2 − 𝑟12 (𝟐𝟓)

𝑟2

𝑟1

Agregando as equações (24( e (25), obtemos que:

𝑝 = 2.𝜓

𝑧.

1

1 − 𝑟1 𝑟2 2 (𝟐𝟔)

Onde 𝜓 representa um coeficiente empírico, que depende da forma do rotor e do tipo

de sistema director, sendo o nosso uma caixa espiral como único sistema director, de acordo

com a bibliografia anterior.

𝜓 = 𝑘. 1 +𝛽2

60° (𝟐𝟕)

𝑐𝑜𝑚 𝑘 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0,65 𝑒 085,𝑜𝑝𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑠𝑒 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚é𝑑𝑖𝑜,𝑘 = 0,75.

Tendo a equação do factor de escorregamento definido, passamos á resolução analítica

utilizando os diâmetros em vez dos raios:

𝑝 = 2 .0,75

7. 1 +

30°

60° .

1

1 − 0,101 0,2286 2= 0,40

Page 22: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

22

Com o parâmetro anterior calculado e a equação (23), podemos determinar a energia

específica para um número de pás finito e considerando um rendimento da pá, 𝜂𝑝á, de 85% de

acordo com [3], (pág. 115):

𝐸∞ = 9,81 × 15,28

0,85 . 1 + 0,40 = 246,882 𝐽/𝑘𝑔

A determinação do valor da componente meridiana da velocidade na aresta de pressão,

𝑐2𝑚 , no caso de rotores radiais lentos e bombas hidráulicas, considera-se 90% da velocidade

inicial do fluido à entrada da aresta de sucção, 𝑐0𝑚 , [3], (pág. 139):

𝑐2𝑚 = 0,9 . 𝑐0𝑚 = 0.9 .1,99 = 1,79 𝑚/𝑠

Tendo todos os valores dos parâmetros da fórmula da energia especifica, 𝐸∞, podemos

determinar a velocidade de transporte à saída do rotor, 𝑢2, resolvendo um polinómio de

segunda ordem ou através da fórmula ou da fórmula final resolvida como se mostra em [3],

(pág. 115) e se reproduz no anexo III:

𝐸∞ = 𝑢22 − 𝑢2 . 𝑐2𝑚 . cot𝛽2 (𝟐𝟖)

246,882 = 𝑢22 − 𝑢2 . 1,79 . cot 30° ⇔𝑢2 = 17,34 𝑚/𝑠

Correcção do Diâmetro da Extremidade da Pá na Aresta de Pressão

Inicialmente estimamos o valor do diâmetro exterior ou aresta de pressão, 𝐷2, a partir

do diagrama empírico de Cordier, agora podemos passar ao cálculo exacto do diâmetro com o

auxílio dos parâmetros calculados pelo processo iterativo anteriormente.

Logo, de acordo com a bibliografia [3] (pág. 115), calculamos valido o valor do diâmetro

na aresta de pressão:

𝐷2 =𝑢2

𝜋 .𝑁 (𝟐𝟗)

Resolvendo analiticamente, sendo o valor de N dado em rotações por segundo:

𝐷2 =17,34

𝜋 .24= 0,23 𝑚 (𝟑𝟎)

Comparando com o 𝐷2 estimado inicialmente, verifica-se uma disparidade igual a 0,136

cm, optando assim por este último valor determinado. Assim, passamos á correcção do

número de pás, o qual depende directamente do diâmetro da aresta de pressão, mesmo

sabendo que a diferença é mínima, equação (19).

𝑧 = 6 .0,23 + 0,101

0,23 − 0,101 . sin

19,22 + 30

2 = 6,20 𝑝á𝑠 𝑧 = 7 𝑝á𝑠

Page 23: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

23

Definição da largura da pá na aresta de pressão De forma análoga á determinação de 𝑏1, a determinação da largura da pá na aresta de

pressão 𝑏2 é feita tendo em conta a conservação de caudal no percurso ao longo da pá. Há

contudo que ter em conta que neste caso o caudal terá que vir afectado do factor de

estreitamento á saída3, uma vez que se está a estudar uma dimensão numa zona do

escoamento em que a área é restringida.

Assim vem:

𝑄𝑅𝑜𝑡 = 𝑉 ∗ 𝐴/𝑓2

𝐴 = 𝜋 ∗ 𝐷2 ∗ 𝑏2

𝑉 = 𝑐2𝑚 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑟𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 à 𝑠𝑎𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑝á4

𝑓2 =𝑡2

𝑡2 − 𝜍2

𝑡2 =𝜋 ∗ 𝐷2

𝑧

𝜍2 =𝑠2

sin(𝛽2) 5

(𝟑𝟏)

Donde:

𝑏2 =𝑄𝑅𝑜𝑡

𝜋 ∗ 𝐷2 ∗ 𝑐2𝑚∗

𝑡2

𝑡2 − 𝜍2 (𝟑𝟐)

Substituindo valores virá:

𝑡2 =𝜋 ∗ 0,230

7= 0,103 [𝑚]

𝜍2 =0,003

sin(30)= 0,003 [𝑚]

𝑏2 =0,0105

𝜋 ∗ 0,230 ∗ 1,79∗

0,103

0,103 − 0,003↔ 𝑏2 = 0,00875 𝑚 = 8,75 [𝑚𝑚]

Comparando o estreitamento de entrada com o de saída vemos que:

𝑓1 ≅ 1,26

𝑓2 ≅ 1,06

3 Na referência [3] afirma-se que a influência do estreitamento na saída da pá é muito menos influente

do que na entrada, podendo mesmo, em alguns casos, ser ignorada. 4 Considerar o efeito de estreitamento na passagem de fluido no volume entre pás consecutivas.

5 Pode considerar-se que a espessura da pá é constante 𝑠2 = 𝑠1 = 0,003[𝑚].

Page 24: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

24

Como se prova a influência do estreitamento na entrada da pá é mais significativo que o

estreitamento na saída, neste caso resulta uma diferença de significado da ordem dos 15%.

Definição da evolução da largura da pá com o raio Como é perceptível é importante saber como evolui a largura da pá desde a aresta de

sucção (entrada de fluido) até á aresta de pressão (saída de fluido). Essa análise é

frequentemente feita por cruzamento de dois procedimentos, um tendo em conta a análise do

caudal e outro fazendo uma interpolação de valores entre a entrada e a saída da pá.

Analise ao caudal:

(𝐶𝑚 )𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 =𝑄𝑟𝑜𝑡

2𝜋 ∗ 𝑅 ∗ 𝑏 (𝟑𝟑)

Por interpolação:

(𝐶𝑚)𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 = 𝐶3𝑚 − 𝐶𝑜𝑚𝑅2 − 𝑅1

𝑅 − 𝑅1 + 𝐶0𝑚 (𝟑𝟒)

É importante, neste momento, referir o significado de 𝐶3𝑚 ; este valor é a velocidade

meridional absoluta no fim da pá sem contar com o efeito de estreitamento, que pode ser

calculado pela bibliografia [3] (pág. 139) por:

𝐶3𝑚 = 𝐶2𝑚 ∗ 𝑓2 (𝟑𝟓)

1,79 ∗ 1,06 = 1,69 [𝑚

𝑠]

No fundo a velocidade 𝐶3𝑚 pode ser vista como a velocidade meridional absoluta

imediatamente depois do fim da pá. Igualando as expressões fica-mos com uma única que

relaciona o raio, 𝑅 𝜖 [𝑅1;𝑅2], e com a largura da pá, 𝑏.

(𝐶𝑚 )𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 =

0,0105

2𝜋 ∗ 𝑅 ∗ 𝑏

(𝐶𝑚 )𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 = 1,69 − 1,99

0,230

2 − (0,1013

2 ) 𝑅 −

0,1013

2 + 1,99

(𝐶𝑚)𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 =

0,0105

2𝜋 ∗ 𝑅 ∗ 𝑏=

1,76 ∗ 10−3

𝑅 ∗ 𝑏

(𝐶𝑚 )𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 = 1,69 − 1,99

0,230

2 − (0,1013

2 ) 𝑅 −

0,1013

2 + 1,99 = −4,71 ∗ 𝑅 + 2,23

−−−

−4,71 ∗ 𝑅 + 2,23 =1,76 ∗ 10−3

𝑅 ∗ 𝑏↔ 𝒃 =

𝟏,𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟑

𝑹 ∗ (−𝟒,𝟕𝟏 ∗ 𝑹 + 𝟐,𝟐𝟑)

Page 25: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

25

Nota: para determinar (Cm)netto basta usar um dos procedimentos (caudal ou interpolação) e

usar os valores de raio e/ou largura calculados. Obteve-se assim uma expressão que relacione

a largura da pá com a evolução do raio desde a aresta de sucção até á de pressão, que origina

a tabela seguinte:

N.ºPontos r[m] b[m] (Cm)netto

1 0,05065 0,01657721 1,990

2 0,05365 0,015762224 1,976

3 0,05665 0,015035081 1,962

4 0,05965 0,01438256 1,948

5 0,06265 0,013793971 1,934

6 0,06565 0,013260582 1,920

7 0,06865 0,012775184 1,905

8 0,07165 0,012331781 1,891

9 0,07465 0,011925337 1,877

10 0,07765 0,011551599 1,863

11 0,08065 0,011206945 1,849

12 0,08365 0,010888275 1,835

13 0,08665 0,010592919 1,821

14 0,08965 0,010318564 1,806

15 0,09265 0,010063198 1,792

16 0,09565 0,009825064 1,778

17 0,09865 0,009602617 1,764

18 0,10165 0,009394497 1,750

19 0,10465 0,009199499 1,736

20 0,10765 0,009016556 1,722

21 0,11065 0,008844716 1,708

22 0,11365 0,008683128 1,693

Tabela 3 - Evolução da velocidade ao longo da pá.

Page 26: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

26

Traçado das pás do rotor

Uma vez obtidas todas as características geométricas referentes às pás do rotor é

importante desenhar a forma como elas encaixaram sobre o cubo do rotor. Para isso existe

mais do que um método (associado ao número de arcos de circunferência que definiram a pá),

neste trabalho irá ser usado um método simples que se suporta apenas num arco a fim de

obter a evolução geométrica da pá desde a aresta de sucção até à aresta de pressão. Esse

método é descrito em baixo:

1. Desenhar as circunferências referentes à aresta de secção e à aresta de pressão.

(podem desenhar-se para completar o esquema as circunferências referentes ao

cubo e ao veio mas não será necessário para obter a forma da pá).

2. Definir um raio em qualquer. (geralmente escolhe-se um raio vertical superior)

3. Marcar o ângulo 𝛽2 partindo da intercepção da circunferência externa (aresta de

pressão) com o raio definido em 2, ponto A.

4. Marcar o ângulo 𝛽2 + 𝛽1 com sentido de abertura para o centro das

circunferências a partir da linha que define o ângulo marcado em 3.

5. Definir o ponto em que a linha que define o ângulo marcado em 3 intercepta a

circunferência relativa à aresta de sucção (de diâmetro 𝐷1), ponto B.

6. Unir por meio de uma recta o ponto A com o ponto B.

7. Achar a mediatriz do segmento AB, definindo o ponto M (M - ponto médio).

8. Definir um segmento de recta perpendicular a AB que passe em M e que

intercepte a linha que define o ângulo 𝛽2, já marcada, encontrando nessa linha

o ponto C.

9. Com centro em C definir o arco de circunferência que una os pontos A e B, que

definirá uma pá.

10. Dependendo do numero de pás repetir o processo tantas vezes quantas o

numero de pás.

Nota: podem ser vistas duas rodas reais no anexo 5.

Page 27: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

27

Figura 8 - Definição de uma pá. Por ordem de obtenção de resultados: 1º - vermelho; 2º - verde; 3º - azul; 4º - roxo; 5º - preto (arco AB)

Figura 9 - Esquema das "z" pás do rotor.

Page 28: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

28

Triângulo de Velocidades

Triângulo de velocidades á entrada, aresta de sucção

Considerando desprezável o efeito do atrito e inexistente a pré-rotação do fluído à

entrada do rotor, temos que 𝛼1, ângulo formado entre a velocidade absoluta 𝑐1 e a velocidade

tangencial 𝑢1, tomará o valor de 90°, como sugere o seguinte exemplo.

Sendo 𝑢1, velocidade tangencial,

dado pela expressão

𝑢1 = 𝐷1 .𝜋.𝑁 (𝟑𝟔)

Assim sendo, obtemos que 𝒖𝟏 = 𝟕,𝟔𝟒 𝒎/𝒔.

Conhecendo 𝛽1, parâmetro já calculado anteriormente (𝜷𝟏 = 𝟏𝟗,𝟐𝟐°) é possível

calcular as velocidades restantes (𝑐1 e 𝑤1) através de relações trigonométricas. Assim sendo

temos que a velocidade relativa 𝑤1 é dada por:

𝑤1 =𝑢1

cos𝛽1 𝟑𝟕

𝑤1 =7,64

cos 19,22⇔ 𝒘𝟏 = 𝟖,𝟎𝟗 𝒎/𝒔

Do mesmo modo é igualmente possível determinar o valor da velocidade absoluta 𝑐1,

então tem-se que:

𝑐1 = 𝑤1 . sin𝛽1 (𝟑𝟖)

𝑐1 = 8,09. sin 19,22 ° ⇔ 𝒄𝟏 = 𝟐,𝟔𝟔

Uma vez determinados todos os parâmetros da velocidade é possível representarmos

o triângulo de velocidades “real” na aresta de sucção. (ver fig. Seguinte)

Figura 10 - Triângulo de velocidades teórico á entrada do rotor.

Page 29: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

29

Figura 11 - Triângulo de velocidades real na situação em estudo, á entrada do rotor.

Triângulo de velocidades á saída do rotor, aresta de pressão

Admite-se que à saída das pás o escoamento é perfeitamente conduzido por estas,

(despreza-se o efeito do escorregamento). Assim sendo, e conhecendo:

𝜷𝟐 = 𝟑𝟎,𝟎𝟎°

𝒖𝟐 = 𝟏𝟕,𝟑𝟒 𝒎/𝒔

Considerando que 𝛼2 será inferior a 90°, o triângulo de velocidades na aresta de

pressão aparecerá segundo [1], (pág.70):

A partir do triângulo de velocidades representado anteriormente, podemos á

semelhança do que aconteceu para o caso anterior (Triângulo de velocidades á entrada, aresta

de sucção) relacionar as velocidades a partir de relações trigonométricas, assim, temos que:

Figura 12 - Triângulo de velocidades teórico à saída do rotor (sem escorregamento).

Page 30: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

30

𝑤2 =

𝑐2𝑚

sin𝛽2

𝑤2𝑡 = 𝑤2 . cos𝛽2

𝑐2𝑡 = 𝑢2 −𝑤2𝑡

𝑐2 = 𝑐2𝑡2 + 𝑐2𝑚

2

𝛼2 = tan−1 𝑐2𝑚

𝑐2𝑡

(39)

Sendo que 𝑐2𝑚 = 0,9. 𝑐0𝑚 ⇔ 𝑐2𝑚 = 0,9 × 1,99 ⇔ 𝒄𝟐𝒎 = 𝟏,𝟕𝟗𝒎 𝒔

A esta altura é então possível determinar os restantes parâmetros já definidos

anteriormente, concretizando,

𝒘𝟐 = 𝟑,𝟓𝟖𝒎 𝒔

𝒘𝟐𝒕 = 𝟑,𝟏𝟎𝒎 𝒔

𝒘𝟐𝒎 = 𝟏,𝟕𝟗𝒎 𝒔

𝒄𝟐𝒕 = 𝟏𝟒,𝟐𝟒𝒎 𝒔

𝒄𝟐𝒎 = 𝟏,𝟕𝟗𝒎 𝒔

𝒄𝟐 = 𝟏𝟒,𝟑𝟓𝒎 𝒔

𝜶𝟐 = 𝟕,𝟏𝟕°

A partir dos valores calculados é então possível representar o triângulo de velocidades

para caso presente, triângulo de velocidades á saída do rotor - aresta de pressão, com maior

realidade, concretizando temos que,

Figura 13 - Triângulo de velocidades real à saída da pá, valores em [m/s] (sem escorregamento)

Tendo em conta o supracitado, em que foi referido que não era considerado o

fenómeno de escorregamento, ou seja, que o rotor possuía um número infinito de pás sem

Page 31: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

31

espessura, apreendemos que as velocidades calculadas não eram as “reais” mas sim as

teóricas, assim, o nosso intuito nesta fase é naturalmente obter os valores reais da velocidade,

para uma melhor aproximação do nosso problema. Para tal será considerado o fenómeno de

escorregamento, ou seja irá considerar-se um número finito de pás.

Isto só será possível definindo o factor de escorregamento, σ, que é dado pela

expressão:

𝜍 =𝑐2𝑡′

𝑐2𝑡 (40)

Esta expressão pode também ser descrita por:

𝜍 = 1 −∆𝑐2𝑡

𝑐2𝑡 (41)

Em que, ∆𝑐2𝑡 = 𝑐2𝑡 − 𝑐2𝑡′ .

O factor de escorregamento, 𝜍, pode ser definido a partir de dois métodos, sendo eles:

𝑠𝑒 20° < 𝛽2

′ < 30° 𝑆𝑇𝑂𝐷𝑂𝐿𝐴

𝑠𝑒 30° < 𝛽2′ < 90° 𝐵𝑈𝑆𝐸𝑀𝐴𝑁𝑁

No caso presente optou-se por utilizar o método de Stodola uma vez que 𝛽2 > 𝛽2′ ⋀

𝛽2 = 30°.

Aplicando o teorema de Stodola (a fim de determinar ∆𝑐2𝑡 e posteriormente 𝜍) temos

que:

∆𝑐2𝑡 =𝜋.𝑢2 . sin𝛽2

𝑧 (42)

Ou seja,

𝜍 = 1 −𝜋𝑧 . sin𝛽2

1 −𝑐2𝑚𝑢2

. cot𝛽2

(43)

Como já foi referido 𝛽2 = 30°, concretizando tem-se que 𝝈 = 𝟎,𝟕𝟑.

Face ao exposto é então possível determinar 𝑐2𝑡′ uma vez que 𝑐2𝑡

′ = 𝜍. 𝑐2𝑡 logo,

𝒄𝟐𝒕′ = 𝟏𝟎,𝟑𝟓 𝒎 𝒔 .

E ∆𝑐2𝑡 = 𝑐2𝑡 . 𝑐2𝑡′ em que ∆𝑐2𝑡 representa a velocidade de escorregamento, ∆𝒄𝟐𝒕 =

𝟑,𝟖𝟗𝒎 𝒔 .

Através de relações trigonométricas podemos então determinar os parâmetros em

falta, assim temos que:

𝑐2𝑡′ = 𝑢2 −

𝑐2𝑚

tan𝛽2′ 𝛽2

′ = tan−1 𝑐2𝑚

𝑢2 − 𝑐2𝑡′ 𝜷𝟐

′ = 𝟏𝟒,𝟑𝟕°

Page 32: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

32

𝑐2′ = 𝑐2𝑡

′ 2 + 𝑐2𝑚′ 2 em que 𝑐2𝑚

′ = 𝑐2𝑚 = 1,79𝑚 𝑠 logo, 𝒄𝟐′ = 𝟏𝟎,𝟓𝟎𝒎 𝒔

𝒖𝟐′ = 𝒖𝟐 = 𝟏𝟕,𝟑𝟒 𝒎 𝒔

𝒘𝟐𝒎′ = 𝒘𝟐𝒎 = 𝟏,𝟕𝟗𝒎 𝒔

𝑤2𝑡′ =

𝑤2𝑚′

tan𝛽2′ 𝒘𝟐𝒕

′ = 𝟔,𝟗𝟗𝒎 𝒔

𝛼2′ = tan−1

𝑐2𝑚′

𝑐2𝑡′ 𝜶𝟐

′ = 𝟗,𝟖𝟐°

Com isto podemos então representar o triângulo de velocidades real, já que estes

parâmetros contemplam o efeito do escorregamento, facto citado anteriormente.

Figura 14 - Triângulo de velocidades real à saída da pá com escorregamento.

A figura seguinte mostra como se altera o triângulo de velocidades considerando

escorregamento e não considerando o fenómeno, não se mostrará os valores numéricos das

velocidades para não exagerar a figura e porque já foram introduzidos anteriormente.

Page 33: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

33

Figura 15 - Triângulos de velocidades comparativos. A azul considerando escorregamento, a preto não considerando escorregamento.

Nota: a velocidade 𝑢2 vem a tracejado pois é coincidente com 𝑢′2.

Page 34: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

34

3 - Projecto da caixa espiral

Numa máquina de fluxo é conveniente, na maioria das vezes, que o fluxo expelido pelo

rotor seja direccionado a fim de poder ser orientado para a direcção que mais se ajuste á

aplicação pretendida. Pode haver outros tipos de condução do fluido, como por exemplo pás

orientadoras, contudo o mais adequado para aplicações gerais são as caixas espirais, ver

figura, pelo que será esse dispositivo que será utilizado neste trabalho.

Figura 16 - Esquema ilustrativo de uma caixa espiral. Fonte:

http://jie.itaipu.gov.br/print_node.php?secao=turbinadas1&nid=10700

A incorporação de uma caixa espiral na periferia de um rotor tem que ser feita de um

modo cuidado, já que existem dois principais tipos de caixa, as de secção circular e as de

secção recta, os quais têm proveitos diferentes de acordo com a extensão que ocupam na

periferia. Quer-se com isto dizer que serão usados os tipos de caixa, nesta aplicação, tendo em

vista um maior rendimento da instalação deste dispositivo.

Sobre a caixa de secção circular Segundo [3] o projecto da caixa espiral pode ser baseado na equação seguinte (que tem

como suporte a conservação de caudal sobre cada uma das secções da caixa espiral, obtendo-

se por integração, ver anexo II):𝜌 =𝜑

𝐶+ 2 ∗ 𝑟𝑖 ∗

𝜑

𝐶

2 (44)

Page 35: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

35

Figura 17 - Esquema longitudinal da secção da caixa espiral circular.

Onde:

𝜌 → 𝑅𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑐çã𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙

𝜑 → 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙

𝐶 =720 ∗ 𝜋 ∗ 𝐾

𝑄𝑅𝑜𝑡 → 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜

𝐾 = 𝐸𝑝á

𝜔 𝑚

2

𝑠 → 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑣𝑜𝑟𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

𝑟𝑖 → 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑣𝑒𝑖𝑜 𝑎𝑡é 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑠𝑒𝑐çã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙

(45)

Com esta equação podem definir-se valores de raio de secção relacionados com o

ângulo desde o inicio da caixa espiral.

Sobre K:

𝐾 = 𝐸𝑝á

𝜔=

𝑔 ∗ 𝐻

𝜂𝐻 ∗ 𝜔=

9,81 ∗ 15,28

0,85 ∗ 150,8= 1,17 𝑚

2

𝑠

Donde:

𝐶 =720 ∗ 𝜋 ∗ 1,17

0,0105= 252045,5 [

°

𝑚]

Sendo 𝑟𝑖 (segundo [3] pág. 270):

𝑟𝑖 =𝑟2

30+ 𝑟2 =

𝐷2

60+𝐷2

2 ↔ 𝑟𝑖 =

0,23

60+

0,23

2= 0,1188 𝑚

Page 36: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

36

Vindo a equação:

𝜌 =𝜑

252045,5+ 2 ∗ 0,1188 ∗

𝜑

252045,5

2

↔ 𝝆 =𝝋

𝟐𝟓𝟐𝟎𝟒𝟓,𝟓+

𝟎,𝟐𝟑𝟕𝟔 ∗ 𝝋

𝟐𝟓𝟐𝟎𝟒𝟓,𝟓

𝟐

(𝟒𝟔)

Antes de fazer uma tabela que relacione 𝜌 e 𝜑, tem que se definir o ângulo a partir do

qual se começa a usar secção circular, já que, por [3] (pág. 269) a caixa de secção circular só

deverá ser usada nas situações limite inferior de:

𝜌𝑚𝑖𝑛 =

𝑏2

2

𝜑𝑚𝑖𝑛 =1

8𝑎

1

4 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎𝑙 (𝟒𝟕)

Que no caso virá:

𝜌𝑚𝑖𝑛 =0,00861

2= 0,004305 𝑚 = 4,305[𝑚𝑚]

Donde se pode definir 𝜑𝑚𝑖𝑛′ a partir de (𝟒𝟔) (uma vez que apenas é fornecido um intervalo

de aplicação na referência indicada):

0,004305 =𝜑𝑚𝑖𝑛

252045,5+

0,2376 ∗ 𝜑𝑚𝑖𝑛′

252045,5

2

↔ 𝜑𝑚𝑖𝑛′ ≅ 19°

De (47) pode ver-se que o ângulo mínimo admissível por [3] vem:

𝜑𝑚𝑖𝑛 =1

8∗ 360 = 45°

ou seja, o ângulo mínimo proposto por [3] partindo de (47), 𝜑𝑚𝑖𝑛 , é maior que o mínimo

deduzido pela mesma bibliografia partindo de (46), 𝜑𝑚𝑖𝑛′ . O que se fará nesta situação é

admitir que no intervalo de 𝜑𝑚𝑖𝑛′ 𝑎 𝜑𝑚𝑖𝑛 haverá uma zona de transição e para valores

menores que 𝜑𝑚𝑖𝑛′ instalar-se-á uma caixa de secção variável.

0° < 𝜑 < 19° → 𝑆𝑒𝑐çã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖çã𝑜

19° < 𝜑 < 45° → 𝑆𝑒𝑐çã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖çã𝑜

𝜑 > 45° → 𝑆𝑒𝑐çã𝑜 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

Está-se agora em condições de definir uma tabela que mostre valores do par ordenado 𝜌,𝜑 ,

que foi produzida em folha Excel e vem:

Page 37: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

37

φ[º] ρ[mm]

45 6,6938763

60 7,7613301

75 8,70886

90 9,5712042

105 10,368999

120 11,11569

135 11,820616

150 12,490577

165 13,130707

180 13,744994

195 14,336609

210 14,908124

225 15,461658

240 15,998982

255 16,521594

270 17,030776

285 17,527631

300 18,013122

315 18,488091

330 18,95328

345 19,409351

360 19,856891

Tabela 4 - Variação de R em função de φ utilizados para o traçado de diferentes secções circulares da caixa

espiral.

Figura 18 - Esquema da caixa espiral circular vista de forma em perspectiva axial.

Page 38: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

38

Caixa Espiral Com Secção Variável

Sendo referido já anteriormente, a caixa espiral apenas poderá ser do tipo secção

circular a partir de ângulos de varrimento da caixa espiral, 𝜑, superiores a 45°. Assim, valor de

𝜑𝑚𝑖𝑛 corresponde ao valor máximo de secção variável, estando o ângulo de varrimento

compreendido no intervalo de 0° 𝑎 19°, representando assim o percurso correspondente á

secção transversal variável.

Figura 19 - Caixa espiral com secção transversal variável, [3], (pág. 265).

Sabendo que o fluido vai percorrer nesta secção 19°, não se tratando de um percurso

elevado, teve-se em conta o processo de cálculo descrito na bibliografia indicada na figura,

considerando paredes laterais da caixa espiral paralelas entre si, perpendiculares ao eixo

médio e limites superiores rectilíneos. O parâmetro geométrico 𝑏, corresponde á largura inicial

da secção transversal variável e coincide com a largura da pá na aresta de pressão, 𝑏2.

De acordo com o método enumerado por Pfleiderer (pág. 265), a determinação da variação de

𝜑 em função de r, representando a forma espiral, da seguinte maneira:

φ =360° . k

Qrot .

b2

r

R

r′

dr (48)

Assim, integrando para 𝑟′ = r, a distância entre o diâmetro do veio e o inicio da caixa espiral,

temos:

φ =360° . 1,169

0,0105 .

0,0086

r

R

0,118

dr

Simplificando a expressão, vem:

𝑅 = 0,675 . 𝑒

0,0105.φ 360° .1,169 .0,0086

⇔ 𝑅 = 0,675 . 𝑒 2,90 .φ

Page 39: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

39

Dando valores de φ, entre 0° 𝑎 19°, representando a secção rectangular a partir da equação

antecedente, obtendo-se a tabela seguinte:

R[m] R[cm] φ[º]

0,11882324 11,882324 0

0,11951328 11,951328 2

0,12020733 12,020733 4

0,12090542 12,090542 6

0,12160755 12,160755 8

0,12231376 12,231376 10

0,12302408 12,302408 12

\10,12373852 12,373852 14

0,12445711 12,445711 16

0,12517987 12,517987 18

0,12554282 12,554282 19

Tabela 5 - Variação de R em função de φ utilizados para o traçado de diferentes secções rectangulares de parte

da caixa espiral.

Page 40: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

40

4-Verificação de Parâmetros de funcionamento (características

off-design)

Esta secção tem por objectivo a determinação de parâmetros que permitam saber como

a bomba responderá em funcionamento real, a fim verificar se a bomba projectada consegue

elevar água à altura pretendida com o caudal nominal. Esse cálculo tem que ter em conta

perdas que ocorrem por escorregamento, perdas associadas ao atrito e perdas por choque na

turbomáquina, dando origem á curva característica da altura de elevação em função do caudal.

Na primeira análise, examinamos a máquina como sendo ideal, não considerando

qualquer tipo de perdas e tendo um número infinito de pás sem espessura e sem atrito,

obtendo-se nesta situação, a curva característica da altura de elevação, 𝐻∞, enumerada em

[1], (slide 7 – pág. 53):

𝑧 = ∞ → 𝐻∞ =𝑁2.𝐷2

2

4𝑔−

𝑁

𝑏2 .𝑔 .

cot 𝛽2

2 .𝜋 .𝑄 (49)

Resolvendo analiticamente em função ao caudal:

𝐻∞ =150,792 . 0,232

4 .9,81−

150,79

9,81 .0,0086 .

cot 30°

2 .𝜋 .𝑄

𝐻∞ = 30,653 − 9725,581𝑄

As características de funcionamento da nova condição são iguais à anterior, considerando

agora um número de pás real com espessura e sem atrito, considerando o escorregamento

verificado nas pás, obtendo-se a curva característica da altura de elevação, 𝐻𝑆, enumerada em

[1], (slide 7 – pág. 55):

𝑧 ≠ ∞ →𝐻𝑆 = 𝐻𝑁 −𝑢2 . cot 𝛽2

𝑏2 .𝑔 .𝐷2 .𝜋 . 𝑄 − 𝑄𝑛 (50)

, onde o 𝑄𝑛 , é o caudal nominal e o 𝐻𝑁 ,é a altura de elevação nominal para a situação de

escorregamento, vindo defenida na bibliografia [1], (slide 7 – pág. 53):

𝑧 ≠ ∞ →𝐻𝑁 =𝐻∞

1 + 𝑝 (50)

Admitindo que o valor de 𝐻𝑁 é determinado para 𝑄 = 𝑄𝑁 = 0,01 𝑚3 𝑠 . Obtendo 𝐻∞ =

25,731 𝑚. 𝑐.𝑎. determinamos a altura de elevação nominal para a situação de

escorregamento:

𝐻𝑁 =25,731

1 + 0,399= 18,38 𝑚. 𝑐. 𝑎.

Substituindo o valor calculado na expressão (50), obtemos:

𝐻𝑆 = 18,38 −17,34 . cot 30°

0,0086 .9,81 . 0,23 .𝜋 . 𝑄 − 0,01 = 24,93 − 655,181𝑄

De acordo com o esperado, obtivemos uma curva característica que interpreta as perdas

por escorregamento, 𝐻𝑆, inferior à curva que representa o funcionamento ideal de uma

bomba, 𝐻∞, não considerando qualquer tipo de perdas. Deste modo, para representar a curva

Page 41: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

41

que diz respeito ao funcionamento real da bomba, recorremos ao cálculo das perdas

verificadas nos canais de ligação entre a aresta de sucção e a aresta de pressão e as perdas por

choque que ocorrem na entrada do rotor e do sistema director. Assim, vamos representar as

equações correspondentes às perdas por atrito, ∆𝐻𝑎 , e às perdas por choque, ∆𝐻𝑐 , na

bibliografia [1], (slide 7 – pág. 56 e pág. 58 respectivamente):

Perdas por atrito, ∆𝑯𝒂 :

∆𝐻𝑎 = 𝐻𝑆 . 1 − 𝜂 . 𝑄

𝑄𝑁

2

(51)

Perdas por choque, ∆𝑯𝒄 :

∆𝐻𝑐 =𝑘′ 𝑐2.𝑔

. 1 −𝑄

𝑄𝑁

2

. 𝑢12 +

𝑢2

1 + 𝑝 .

𝐷2

2. 𝑟𝑖

2

52

𝑜𝑛𝑑𝑒 0,5 < 𝑘′𝑐 < 0,7

Substituindo os valores respectivos vem:

∆𝐻𝑎 = 24,93 − 655,181𝑄 . 1 − 0,85 . 𝑄

0,01

2

Assumindo o valor de 𝑘′𝑐 = 0,5:

∆𝐻𝑐 =0,5

2 . 9,81 . 1 −

𝑄

0,01

2

. 7,642 + 17,34

1 + 0,399 .

0,23

2 .0,1188

2

∆𝐻𝑐 = 5,156 . 1 −𝑄

0,01

2

Por fim, podemos chegar à fórmula correspondente à curva característica de elevação real

considerando o atrito e os choques,𝐻, subtraindo estas perdas ao à equação da curva

característica tendo em conta o escorregamento, 𝐻𝑆, obtendo-se:

𝐻 = 𝐻𝑆 − ∆𝐻𝑎 − ∆𝐻𝑐 (52)

Page 42: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

42

Resultará então uma tabela de valores equivalentes aos parâmetros calculados que vem:

Q [m3/s] H∞ [m.c.a.] Hn [m.c.a.] Hs [m.c.a.] ∆Ha [m.c.a.] ∆Hc [m.c.a.] H [m.c.a.]

0 30,650327 21,89392525 24,7340044 0 5,148366324 19,585638

0,0005 30,40436893 21,71823422 24,4163094 0,00915612 4,646400607 19,760753

0,001 30,15841086 21,54254318 24,0986144 0,03614792 4,170176722 19,89229

0,0015 29,91245279 21,36685215 23,7809194 0,0802606 3,719694669 19,980964

0,002 29,66649472 21,19116111 23,4632245 0,14077935 3,294954447 20,027491

0,0025 29,42053665 21,01547008 23,1455295 0,21698934 2,895956057 20,032584

0,003 29,17457858 20,83977905 22,8278345 0,30817577 2,522699499 19,996959

0,0035 28,9286205 20,66408801 22,5101395 0,41362381 2,175184772 19,921331

0,004 28,68266243 20,48839698 22,1924445 0,53261867 1,853411877 19,806414

0,0045 28,43670436 20,31270595 21,8747495 0,66444552 1,557380813 19,652923

0,005 28,19074629 20,13701491 21,5570545 0,80838954 1,287091581 19,461573

0,0055 27,94478822 19,96132388 21,2393595 0,96373594 1,042544181 19,233079

0,006 27,69883015 19,78563285 20,9216645 1,12976988 0,823738612 18,968156

0,0065 27,45287208 19,60994181 20,6039695 1,30577657 0,630674875 18,667518

0,007 27,206914 19,43425078 20,2862745 1,49104118 0,463352969 18,33188

0,0075 26,96095593 19,25855975 19,9685795 1,6848489 0,321772895 17,961958

0,008 26,71499786 19,08286871 19,6508845 1,88648492 0,205934653 17,558465

0,0085 26,46903979 18,90717768 19,3331896 2,09523442 0,115838242 17,122117

0,009 26,22308172 18,73148665 19,0154946 2,31038259 0,051483663 16,653628

0,0095 25,97712365 18,55579561 18,6977996 2,53121462 0,012870916 16,153714

0,01 25,73116558 18,38010458 18,3801046 2,75701569 1,01534E-30 15,623089

0,0105 25,4852075 18,20441354 18,0624096 2,98707099 0,012870916 15,062468

0,011 25,23924943 18,02872251 17,7447146 3,2206657 0,051483663 14,472565

0,0115 24,99329136 17,85303148 17,4270196 3,45708501 0,115838242 13,854096

0,012 24,74733329 17,67734044 17,1093246 3,69561412 0,205934653 13,207776

0,0125 24,50137522 17,50164941 16,7916296 3,93553819 0,321772895 12,534319

0,013 24,25541715 17,32595838 16,4739346 4,17614243 0,463352969 11,834439

0,0135 24,00945908 17,15026734 16,1562396 4,41671201 0,630674875 11,108853

0,014 23,763501 16,97457631 15,8385446 4,65653212 0,823738612 10,358274

Tabela 6 - Evolução de perdas com a evolução crescente de caudal. (A amarelo vêem valores para caudal

nominal)

Page 43: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

43

E as curvas características numa gama de caudais de funcionamento:

Gráfico 1 - Gráfico sobre as características de funcionamento da bomba.

Lembra-se que a altura teórica para que a bomba foi projectada foi de 15,28 [m.c.a], pelo que

esta bomba satisfaz o requerido inicialmente.

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016

Caudal de Funcionamento [m3/s]

Caracteristicas de funcionamento da BombaAltura atingida na situação ideal

Altura de elevação nominal

Altura atingida admitindo pás com espessura (escorregamento)Altura perdida devido ao atrito

Altura perdida devido ao choque

Altura atingida pela bomba em funcionamento

Page 44: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

44

Definição de parâmetros sobre cavitação.

Aquando da instalação/projecto de uma máquina hidráulica, à que ter em conta

qualquer possibilidade de aumento de desgaste e de deterioração rápida da mesma. Nesse

sentido, a ocorrência de cavitação (especialmente nas pás do rotor) terá que ser controlada

com intuito de proporcionar características de bom funcionamento e baixo desgaste durante

mais tempo. A cavitação relaciona-se com o aparecimento de bolhas de vapor de água que se

formam em zonas de escoamento caracterizadas por baixa pressão (tão baixa quanto a

pressão de vapor); as bolhas ao formarem-se são arrastadas pelo escoamento e quanto

atingem zonas em que a pressão é mais elevada (superior à de vapor) colapsam originando

colisões de fluido que induzem elevadas pressões locais (da ordem de 108 [𝐾𝑔

𝑚2 ], de [1]

pág. 35). Assim é importante estudar o que acontece em zonas em que o aparecimento de

cavitação é mais favorável, zonas de baixa pressão, no caso de bombas à entrada do rotor

(zona de aspiração). Esse estudo recai sobre a determinação de uma altura crítica de aspiração

admissível, acima da qual a pressão à entrada do rotor diminui e estão abertas condições para

ocorrer cavitação. De [1] pág. 41 vem:

2,5 < 𝑆𝑖 < 3,5 (53)

onde 𝑆𝑖é a velocidade especifica de aspiração definida por:

𝑆𝑖 =𝑁 ∗ 𝑄

12

𝑔 ∗ 𝐻𝑠𝑖 3

4 (54)

em que 𝐻𝑠𝑖 será a altura de aspiração mínima admissível em [m.c.a].

No caso, fazendo 𝑆𝑖 = 3 virá:

3 =150,28 ∗ 0,01

12

9,81 ∗ 𝐻𝑠𝑖 3

4 ↔ 𝐻𝑠𝑖 = 0,877 [𝑚. 𝑐.𝑎]

Para traduzir o valor que se acaba de calcular em termos de metros, 𝐻𝑠, (no sentido de

se saber a altura máxima a que a bomba pode ser instalada) tem que se ter em conta a pressão

do fluido em situação de bomba parada (pressão atmosférica, 𝑃𝑎𝑡𝑚 ) e as variações de pressão

que ocorrem no trajecto até ele chegar à boca do rotor (perdas de carga, ∆𝐻), tendo como

limite inferior a pressão de vapor (𝑃𝑣 , que nunca deverá ser atingida). Virá:

𝐻𝑠 =𝑃𝑎𝑡𝑚𝜌 ∗ 𝑔

−𝑃𝑣

𝜌 ∗ 𝑔− ∆𝐻 − 𝑒𝑠 (55)

Admitindo um funcionamento a 20, a pressão atmosférica 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 101325 [𝑎𝑡𝑚] (≅

1 𝑏𝑎𝑟), a pressão de vapor 𝑃𝑣 = 2354,4 𝑎𝑡𝑚 (≅ 0,023 𝑏𝑎𝑟) e uma conduta com poucas

perdas de carga, ∆𝐻6 = 1 vem:

6 O valor da perda de carga na conduta dependerá do número de válvulas instaladas e da geometria da

conduta (cotovelos, derivações etc…)

Page 45: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

45

𝐻𝑠 =101325

1000 ∗ 9,81−

2354,4

1000 ∗ 9,81− 1 − 𝑒𝑠 ↔ 𝐻𝑠 = 9,089 − 𝑒𝑠

A situação critica ocorrerá quando 𝐻𝑠 < 𝐻𝑠𝑖 uma vez que:

𝐻𝑠 < 𝐻𝑠𝑖 → 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎çã𝑜

𝐻𝑠 > 𝐻𝑠𝑖 → 𝑛ã𝑜 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎çã𝑜

Donde na situação critica:

𝐻𝑠 = 9,089 − 𝑒𝑠

𝐻𝑠 > 𝐻𝑠𝑖

↔ 𝐻𝑠𝑖 < 9,089 − 𝑒𝑠

−−−

↔ 0,877 < 9,089 − 𝑒𝑠

−−−

↔ 𝒆𝒔 < 8,21 [𝑚]

−−−

Conclui-se então que a altura máxima a que esta bomba pode estar montada a fim de

que não ocorra cavitação é de 8,21 [m] acima do nível de fluido que irá aspirar. Por questões

de segurança irá admitir-se que essa altura seja de 8 [m] a fim de prever a ocorrência de

perdas de carga na conduta que não se tenham tido em consideração ou aumentos locais de

temperatura não considerados.

Figura 20 - Esquema sobre a altura de instalação da bomba.

Page 46: Projecto de Uma Bomba Centrifuga // Project of a centrifugal water pump

46

5-Conclusões

Findado o corpo principal deste trabalho, que comporta todos os capítulos e secções

anteriores, há espaço para algumas reflexões finais. Antes de mais apraz dizer que o objectivo

principal foi cumprido, o que se pode provar (de modo mais explicito) pela secção 4 onde se vê

que a altura de elevação nominal da bomba projectada é um pouco superior à altura de

elevação nominal requerida por projecto (ver linha amarela da tabela 6).

Do estudo da bibliografia (que se mostra a seguir) conclui-se também que não existe um

processo único para projectar uma turbomáquina, tal pode comprovar-se por este projecto ter

sido feito recorrendo a 3 referências principais sobre o assunto (Ref. [1], [2] e [3]) e se poder

projectar uma bomba centrífuga (máquina em causa) recorrendo apenas e uma qualquer de

entre elas. Pode concluir-se então que o presente trabalho resulta numa reunião de

informações de análise proveniente de todas a bibliografias.

6-Bibliografia

Xavier Viegas, Domingos, “Sebenta de Turbomáquinas”, Secção de textos da FCTUC, Coimbra

[1]

Macintyre, Archibald J., “Bombas e sistemas de bombeamento”, 1ª ed., Ed. Guanabara, Rio de

Janeiro, 1980 [2]

Pfleiderer, Carl e Petermann, Hartwing, “Máquinas de fluxo”, 4ª ed., Ed. LTC, Rio de Janeiro,

1979 [3]

Moura Branco, C. e tal., “Projecto de Órgãos de Máquinas”, Ed. Fundação Calouste Gulbenkian,

Lisboa, 2005 [4]

Siemens, “Low Voltage Motors – Catalog M11”, 2003-2004 [5]

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7-Anexos

Anexo I – Sobre a caixa espiral de secção variável

Admitindo uma corrente simétrica em todos os pontos da secção pode dizer-se que a

velocidade em qualquer ponto é constante:

𝑐𝑡 ∗ 𝑟 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑘 𝐴. 1

Definindo caudal de forma infinitesimal:

𝑑𝑄𝑠 = 𝑐𝑡 ∗ 𝑑𝑠 =𝑘

𝑟𝑑𝑠 =

𝑘

𝑟∗ 𝑙. 𝑑𝑟 𝐴. 2

Integrando:

𝑄′ = 𝑑𝑄𝑠

𝑅

𝑟𝑖

= 𝑘 𝑙

𝑟𝑑𝑟

𝑅

𝑟𝑖

𝐴. 3

𝑄′ − 𝑐𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑐çã𝑜

Admitindo que a caixa recebe todo o caudal que sai do rotor pode vir:

𝑄′ =∅

360∗ 𝑄𝑟𝑜𝑡 𝐴. 4

Donde, com A.3 vem:

360∗ 𝑄𝑟𝑜𝑡 = 𝑘

𝑙

𝑟𝑑𝑟

𝑅

𝑟𝑖

↔ ∅ =360 ∗ 𝑘

𝑄𝑟𝑜𝑡

𝑙

𝑟𝑑𝑟

𝑅

𝑟𝑖

𝐴. 5

Onde se pode definir l=b2.

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Anexo II – Sobre a caixa espiral circular (Anexo II)

Da análise da imagem pode escrever-se:

𝜌2 = 𝑏2

2 2

+ 𝑟 − 𝑎 2

Donde:

𝑏 = 2 𝜌2 − 𝑟 − 𝑎 2

Que substituindo no integral A.5 (admitindo que a análise integral é válida para os dois tipos

de secção) dará:

∅ =360 ∗ 𝑘

𝑄𝑟𝑜𝑡

2 𝜌2 − 𝑟 − 𝑎 2

𝑟𝑑𝑟

𝑅

𝑟𝑖

↔ ∅ =720 ∗ 𝑘

𝑄𝑟𝑜𝑡 𝜌2 − 𝑟 − 𝑎 2

𝑑𝑟

𝑟

𝑅

𝑟𝑖

Onde:

𝐶 =

720 ∗ 𝑘

𝑄𝑟𝑜𝑡

∅ = 𝐶 𝜌2 − 𝑟 − 𝑎 2𝑑𝑟

𝑟

𝑅

𝑟𝑖

O desenvolvimento deste integral levará à equação da secção a que este anexo diz respeito,

por não ser de interesse directo para este trabalho omite-se aqui a integração, achando-se

definido o modo como tal equação é conseguida.

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Anexo III - Sobre Equação de Euler e determinação de u2 (Anexo III)

Da equação fundamental de Euler vem:

𝐸∞ = 𝑢2 ∗ 𝑐2𝑡 − 𝑢1 ∗ 𝑐1𝑡

Admitindo que o escoamento entra no rotor sem qualquer vorticidade tem-se:

𝛼1 = 90°

𝑐1𝑡 = 0

𝑢1 ∗ 𝑐1𝑡

O que implica:

𝐸∞ = 𝑢2 ∗ 𝑐2𝑡

Definindo 𝑐2𝑡 por um triangulo de velocidades vem:

𝑐2𝑡 = 𝑢2 −𝑤2𝑡 = 𝑢2 −𝑤2𝑚

tan(𝛽2)= 𝑢2 −𝑤2𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛽2)

Que, na primeira:

𝐸∞ = 𝑢2 ∗ (𝑢2 −𝑤2𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛽2))

Como 𝑤2𝑚 = 𝑐2𝑚 :

𝐸∞ = 𝑢22 − 𝑢2 ∗ 𝑐2𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛽2)

A fim de determinar 𝑢2 pode aplicar-se a fórmula resolvente, o que daria:

𝑢2 =𝑐2𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛽2)

2+

𝑐2𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛽2)

2

2

+ 𝐸∞

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Anexo IV - Parte do catálogo do Motor

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Anexo V – Imagens de algumas rodas de bombas centrífugas reais

Figura 21 - Imagem de duas rodas de bombas centrífugas. (Laboratório do ISEC)

Figura 22 - Imagem de uma roda de uma bomba centrífuga. Admissão de fluido virada para observador (Laboratório do ISEC).