projecto de estruturas de um edifício dissertação para obtenção do

Projecto de Estruturas de um Edifício

Pedro Oliveira Gonçalves de Almeida Machado

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri Presidente: Prof. José Manuel Matos Noronha da Câmara

Orientador: Prof. Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira

Vogal: Prof. António José da Silva Costa

Outubro 2010

i

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer em primeiro lugar ao Professor Pedro Parreira, pela disponibilidade e

orientação neste trabalho.

A todos os meus colegas da ViaTúnel P.G.F. que sempre estiveram disponíveis para me ajudar em

todas as matérias.

Aos meus amigos, por não se esquecerem de mim apesar dos tempos em conjunto que tive de

abdicar para concluir este trabalho. Aos meus amigos “ex-colegas” de curso, com os quais muito

aprendi e cujas noites de estudo partilhadas foram fundamentais ao longo de todo este percurso

académico.

À minha família, que sempre me incentivou e me “empurrou” nas alturas em que mais precisei. Um

agradecimento especial aos meus tios por estarem sempre presentes, ao meu pai pela insistência e à

minha mãe pelo carinho.

À minha avó e ao meu avô.

iii

PROJECTO DE ESTRUTURAS DE UM EDIFÍCIO

RESUMO

Pretende-se com este trabalho apresentar as diferentes fases de um projecto de estruturas de um

edifício, desde a sua concepção inicial até à fase final de dimensionamento. Desta forma, são

percorridas ao longo do processo as fases de Concepção da Solução Estrutural, Pré-

Dimensionamento, Análise Sísmica e Dimensionamento, tendo sido apenas dimensionados os

elementos estruturais sujeito a flexão composta – pilares, núcleo e lajes pré-esforçadas, e vigas

sujeitas a flexão simples.

Para tal, foi desenvolvido um programa de pós-processamento que permite a verificação de secções

rectangulares simetricamente armadas à flexão bi-composta e a verificação de secções em “H” ou “T”

à flexão composta.

O objectivo do documento desenvolvido consiste assim na aplicação da plataforma de conhecimentos

teóricos adquirida ao longo do curso na actividade prática do projecto de estruturas.

Uma vez que a realidade da actividade do projecto de estruturas actual é baseado na aplicação de

ferramentas de processo automático de dados, foi naturalmente utilizado um programa tridimensional

de elementos finitos na modelação do edifico. No entanto, foram igualmente utilizados métodos

tradicionais ao longo do processo, nomeadamente na fase de pré-dimensionamento, na validação do

modelo e na avaliação crítica dos resultados.

Os Critérios Gerais de Dimensionamento considerados, com base na regulamentação em vigor em

Portugal – RSA, REBAP e Eurocódigos, bem como as Hipóteses de Cálculo consideradas na

verificação aos estados limites últimos e estados limites de serviço dos elementos estruturais são

detalhadamente enunciados ao longo do trabalho.

Os desenhos de betão armado e pré-esforço dos elementos estruturais dimensionados, bem como os

desenhos de dimensionamento do edifício encontram-se em Anexo.

Palavras-chave: Projecto de Estruturas; Flexão Composta; Pré-Dimensionamento; Modelação;

Análise Sísmica; Dimensionamento.

v

STRUCTURAL DESIGN OF A BUILDING

ABSTRACT

The aim of this work is to present the different phases of a building’s structural design, from its initial

conception through to final design. Thus, the Structural’s Design Solution, Pre-Design, Seismic

Analysis and Design phases are covered throughout the process, having only been designed

structural elements subject to compound bending – columns, core and pre-stressed slabs, and beams

subject to simple bending.

For this, a post-processing program that verifies the safety of rectangular cross-sections with

symmetrical rebar subject to compound bending in both directions and also “H” or “T” cross-sections

subject to compound bending in one direction was developed.

Given this, the purpose of the developed document consists on the application of the theoretical

knowledge platform obtained over the course on the practice activity of structural design.

Once, nowadays, structural design is based on the current use of automatic data processing

applications, a three-dimensional finite elements program was used in its development. However,

traditional methods were also used throughout the process, particularly at the pre-designing phase, in

model validation and critical assessment of results.

Design General Criterias, based on Portuguese regulation in use – RSA, REBAP and Eurocodes, as

well as the Calculation Assumptions considered in structural elements Ultimate Limit States and

Serviceability Limit States verification are set out in detail throughout the document.

Detailed reinforced concrete and pre-stress design drawings of the designed structural elements, as

well the building’s general design, can be the found in Appendix.

Keywords: Structural Design; Compound Bending; Pre-Design; Modeling; Seismic Analysis; Design.

vii

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO 1

1.1 BASES ARQUITECTÓNICAS 2

1.2 ORGANIZAÇÃO 3

2 SOLUÇÃO ESTRUTURAL 5

3 CRITÉRIOS GERAIS DE DIMENSIONAMENTO 11

3.1 SEGURANÇA ESTRUTURAL – REGULAMENTAÇÃO 11

3.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 11

3.3 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES EM SERVIÇO 14

3.4 ACÇÕES 17

3.5 COMBINAÇÕES DE ACÇÕES 26

3.6 MATERIAIS E RECOBRIMENTO 27

3.7 CAPACIDADE RESISTENTE DO SOLO 28

4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO 29

4.1 LAJES 29

4.2 VIGAS 33

4.3 PILARES 36

4.4 FUNDAÇÕES 39

4.5 MUROS DE SUPORTE 40

4.6 ESCADAS 42

5 MODELAÇÃO DA ESTRUTURA 43

5.1 GEOMETRIA 44

5.2 ELEMENTOS ESTRUTURAIS 45

5.3 CONDIÇÕES DE FUNDAÇÃO 49

5.4 ACÇÕES 49

5.5 PORMENORES DE APLICAÇÃO 51

5.6 VALIDAÇÃO DO MODELO 52

6 ANÁLISE SÍSMICA 55

6.1 COMENTÁRIOS AO COMPORTAMENTO SÍSMICO DO EDIFÍCIO EM ESTUDO 55

6.2 FREQUÊNCIAS, FACTORES DE PARTICIPAÇÃO DE MASSA E MODOS DE VIBRAÇÃO 57

6.3 COEFICIENTE SÍSMICO 62

7 HIPÓTESES DE CÁLCULO PARA A VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA 63

7.1 VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 63

7.2 VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES EM SERVIÇO 79

viii

8 ANÁLISE DE ESFORÇOS E VERIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 81

8.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS 82

8.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE LAJES 93

8.3 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE VIGAS 98

8.4 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES 102

8.5 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DO NÚCLEO 104

9 CONCLUSÃO 105

BIBLIOGRAFIA 107

ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 – Modelo tridimensional desenvolvido .................................................................. 1

Figura 2.1 – Representação esquemática dos eixos de pilares no edifício na planta de

arquitectura do piso 0 ............................................................................................................ 6

Figura 2.2 – Pilar PB4 ........................................................................................................... 6

Figura 2.3 – Pilar PC4 ........................................................................................................... 6

Figura 2.4 – Pilar PD4 ........................................................................................................... 6

Figura 2.5 – Geometria das lajes nervuradas de blocos de cofragem recuperável aligeiradas

.............................................................................................................................................. 7

Figura 2.6 – Perspectiva 3d de um capitel numa laje aligeirada de cocos ............................. 8

Figura 3.1 – Limitação das extensões numa secção ............................................................11

Figura 3.2 – Diagrama de tensão-deformação (parabóla-rectângulo) para o betão à

compressão ..........................................................................................................................12

Figura 3.3 – Diagrama de tensão-deformação para o aço à tracção e compressão .............12

Figura 3.4 – Restantes cargas permanentes no piso 0 .........................................................20



Figura 3.7 – Restantes cargas permanentes na cobertura ...................................................20

Figura 3.8 – Numeração das paredes exteriores do piso 0 ...................................................21

Figura 3.9 – Numeração das paredes exteriores do piso 1 ...................................................21

Figura 3.10 – Numeração das paredes exteriores do piso 2 .................................................21

Figura 3.11 – Sobrecargas no piso 0 ....................................................................................22



Figura 3.14 – Sobrecargas na cobertura ..............................................................................22

Figura 3.15 – Deformadas das estruturas tipo Parede e tipo Pórtico ....................................23

Figura 4.1 – Vão condicionante de pré-dimensionamento da laje .........................................29

Figura 4.2 – Cálculo de momentos na laje considerando um comportamento de flexão

cilíndrica ...............................................................................................................................30


cilíndrica e uma espessura de 0.40m ...................................................................................30

Figura 4.4 – Deformada do piso 0 ........................................................................................31



x


cilíndrica ...............................................................................................................................32

Figura 4.8 – Deformada da laje de cobertura com uma espessura de 0.40m .......................32

Figura 4.9 – Numeração das vigas do piso 1 ........................................................................33

Figura 4.10 – Numeração das vigas da cobertura ................................................................33

Figura 4.11 – Áreas de influência das vigas do piso 1 ..........................................................34

Figura 4.12 – Áreas de influência das vigas da cobertura ....................................................34

Figura 4.13 – Compatibilização dos momentos negativos ....................................................35

Figura 4.14 – Áreas de influência dos diferentes posicionamentos dos pilares ....................36

Figura 4.15 – Áreas de influência do piso 0 ..........................................................................37



Figura 4.18 – Áreas de influência da cobertura do nível inferior ...........................................37

Figura 4.19 – Áreas de influência da cobertura do nível superior .........................................37

Figura 4.20 – Dimensões de uma sapata .............................................................................39

Figura 4.21 – Modelos em consola e encastrado-apoiado (para semi-encastrado) para pré-

dimensionamento dos muros................................................................................................40

Figura 4.22 – Modelos bi-apoiado para pré-dimensionamento da laje das escadas .............42

Figura 4.23 – Cálculo de momentos na laje da escada considerando um modelo bi-apoiado

.............................................................................................................................................42

Figura 5.1 – Modelo tridimensional de elementos finitos ......................................................43

Figura 5.2 – Diferentes orientações dos elementos visíveis ao nível do piso 1 .....................44

Figura 5.3 – Malha Global vista em planta ............................................................................44

Figura 5.4 – Malha a 17 Graus vista em planta ....................................................................44

Figura 5.5 – Malha de coordenadas cilíndricas para definição do muro na zona da garagem

.............................................................................................................................................45

Figura 5.6 – Elemento de barra com os nós de extremidade evidenciados a verde .............45

Figura 5.7 – Elemento de casca com os nós de extremidade evidenciados a verde ............46

Figura 5.8 – Discretização da laje aligeirada do piso 0 com os capitéis e maciçamentos a

verde-escuro ........................................................................................................................46

Figura 5.9 – Geometria do núcleo em planta ........................................................................47

Figura 5.10 – Elementos de barra rígidos ao nível dos pisos ...............................................48

Figura 5.11 – Cargas em “faca” referentes ao pré-esforço na laje de cobertura ...................48

Figura 5.12 - Cargas nodais referentes ao pré-esforço na laje de cobertura ........................48

Figura 5.13 – Cargas em “faca” na direcção perpendicular referentes ao pré-esforço no piso

0 ...........................................................................................................................................49

xi

Figura 5.14 – Aplicação das cargas referentes ao peso próprio das escadas ao nível dos

pisos 0 e 1 ............................................................................................................................50

Figura 5.15 – Cargas referentes às paredes de alvenaria exteriores aplicadas no piso 1 .....50

Figura 5.16 – Distribuição dos impulsos do terreno no muro ................................................51

Figura 5.17 – Tirantes axialmente rígidos a ligar a viga na laje de cobertura superior à laje de

cobertura inferior ..................................................................................................................52

Figura 5.18 – Diagrama de momento na direcção 2-2 da laje de cobertura para a

combinação ELU1 ................................................................................................................53

Figura 5.19 – Deformada do piso 1 referente à sobrecarga de cobertura .............................54

Figura 6.1 – Enquadramento tectónico de Portugal continental. As placas tectónicas

indicadas são: NA (Norte Americana), EU (Euro-asiática) e AF (Africana) ...........................55

Figura 6.2 – Diferentes alinhamentos de pilares orientados segundo as quatro direcções

principais de inércia ..............................................................................................................57

Figura 6.3 – Frequência de diferentes tipos de estruturas ....................................................58

Figura 6.4 – Modelo encastrado ao nível do piso 0 ..............................................................60

Figura 6.5 – Primeiro modo de vibração visto em planta 3d .................................................60

Figura 6.6 – Primeiro modo de vibração visto em perspectiva 3d .........................................60

Figura 6.7 – Segundo modo de vibração visto em planta 3d ................................................61

Figura 6.8 – Segundo modo de vibração visto em perspectiva 3d ........................................61

Figura 6.9 – Terceiro modo de vibração visto em planta 3d .................................................61

Figura 6.10 – Terceiro modo de vibração visto em perspectiva 3d .......................................61

Figura 7.1 – Simplificação do método do diagrama rectangular ...........................................64

Figura 7.2 – Diagrama de tensões na secção e posição da Linha Neutra (LN) ....................64

Figura 7.3 – Posição da LN para �� 3.5‰ e para �� 10‰ ............................................65

Figura 7.4 – Posição da LN para �� 3.5‰ e para �� ..............................................65

Figura 7.5 – Extensões admissíveis para o betão e para o aço ............................................66

Figura 7.6 – Extensões limites para o betão e para o aço ....................................................67

Figura 7.7 – Diagrama de extensões e forças numa secção de betão armado sujeita a flexão

composta..............................................................................................................................68

Figura 7.8 – Limite de esforço axial favorável/desfavorável ..................................................68

Figura 7.9 – Folha de introdução de dados e navegação do programa ................................69

Figura 7.10 – Diagramas de extensões e tensões no betão e no aço para o caso de rotura

45 .........................................................................................................................................72

Figura 7.11 – Flexão desviada .............................................................................................75

Figura 7.12 – Modelo de verificação aos estados limites últimos de punçoamento em corte e

em planta .............................................................................................................................77

Figura 7.13 – Traçados de perímetro básico de controlo para diferentes secções ...............77

xii

Figura 7.14 – Traçados de perímetro básico de controlo para secções junto às extremidades

.............................................................................................................................................78

Figura 8.1 – Lajes pré-esforçadas aplicadas num edifício em Hong Kong sem pilares

interiores ..............................................................................................................................82

Figura 8.2 – Livros sobre actuação de forças horizontais de compressão ............................83

Figura 8.3 – Cargas verticais ascendentes provocadas por um traçado parabólico pré-

esforçado numa laje bi-apoiada ............................................................................................83

Figura 8.4 – Tipos de aplicação de pré-esforço ....................................................................83

Figura 8.5 – Aplicação de pré-esforço pré-tensionado com libertação das ancoragens depois

da cura do betão ..................................................................................................................84

Figura 8.6 – Bainhas de pré-esforço instalados antes da betonagem ...................................84

Figura 8.7 – Fio ....................................................................................................................86

Figura 8.8 – Conjunto de 7 fios (cordão) ..............................................................................86

Figura 8.9 – Cordão embainhado .........................................................................................86

Figura 8.10 – Estrutura da ancoragem de um monostrand ...................................................86

Figura 8.11 – Dimensões das ancoragens ...........................................................................86

Figura 8.12 – Afastamentos mínimos de ancoragens ...........................................................86

Figura 8.13 – Distribuição dos cordões de pré-esforço no piso 0 .........................................87



Figura 8.16 – Traçado esquemático do cabo de pré-esforço sem continuidade, com as

cargas de puxe a verde e as correspondente cargas nodais equivalentes a azul .................88

Figura 8.17 – Traçado esquemático do cabo de pré-esforço com continuidade, com as

cargas de puxe a verde e as correspondente cargas nodais equivalentes a azul .................88

Figura 8.18 – Excentricidades do cabo de pré-esforço. ........................................................88

Figura 8.19 – Distribuição dos cabos de pré-esforço na laje de cobertura ............................90

Figura 8.20 – Traçado esquemático do cabo de pré-esforço da cobertura, com as cargas de

puxe a verde e as correspondente cargas nodais e distribuída equivalentes a azul .............90

Figura 8.21 – Deformada do piso 0 com pré-esforço ............................................................91



Figura 8.24 – Deformada do piso 1 com pré-esforço e laje de 0.50m ...................................92

Figura 8.25 – Deformada do piso 2 com pré-esforço e laje de 0.50m ...................................92

Figura 8.26 – Deformada da laje de cobertura com pré-esforço ...........................................92

Figura 8.27 – Localização das lajes a pormenorizar. A azul, a laje do piso 2, com as zonas

maciçadas e capitéis a azul escuro e as extremidades em consola a amarelo. A cor de

laranja, apresentam-se as lajes de cobertura .......................................................................93

xiii

Figura 8.28 – Secção considerada no cálculo da laje maciça de 0.50m ...............................94

Figura 8.29 – Secção equivalente considerada no cálculo da laje nervurada a azul, com o

valor de bm obtido da tabela x.x, correspondente a 208mm ..................................................95

Figura 8.30 – Diferentes tipos de secções com diferentes solicitações ................................97

Figura 8.31 – Localização das vigas analisadas. Vigas V1.15 e V1.16 a azul, vigas DC.1 à

DC.3 e VC.6 a verde e viga VC.5 a cor de laranja ................................................................98

Figura 8.32 – Localização dos pilares analisados. Pilar PC4 a cor de laranja, pilar PD3 a

verde, pilar PE2 a encarnado, pilar PE4 a roxo e pilar PR6 a amarelo ............................... 102

Figura 8.33 – Secção equivalente do núcleo na direcção do momento indicado (M33) ...... 104

Figura 8.34 – Secção do núcleo ......................................................................................... 104

Figura 8.35 – Secção equivalente do núcleo na direcção do momento indicado (M22) ...... 104

xv

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 2.1 – Características das lajes nervuradas de blocos de cofragem recuperável ........ 8

Tabela 3.1 – Cargas distribuídas por metro quadrado nas lajes respeitantes às paredes

interiores ..............................................................................................................................20

Tabela 4.1 – Pré-dimensionamento das vigas do piso 1.......................................................33

Tabela 4.2 – Pré-dimensionamento das vigas da cobertura .................................................33

Tabela 4.3 – Resultados do pré-dimensionamento das vigas ...............................................35

Tabela 6.1 – Períodos, Frequências e Factores de Participação Modal ...............................58

Tabela 6.2 – Coeficientes sísmicos para as diferentes acções sísmicas e direcções ...........62

xvii

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 3.1 – Quadro VIII do REBAP ...................................................................................15

Quadro 3.2 – Quadro IX do REBAP .....................................................................................16

Quadro 3.3 – Esforços em estruturas isostáticas e hiperstáticas ..........................................18

Quadro 3.4 – Quadro I do relatório do estudo geológico-geotécnico ....................................28

xix

ÍNDICE DE GRÁFICOS

Gráfico 3.1 – Deformada em altura do pilar P4D ..................................................................24

Gráfico 3.2 – Espectros de Resposta considerados .............................................................25

Gráfico 6.1 – Percentagem de participação modal por modo e acumulada ..........................59

Gráfico 6.2 – Períodos e frequências por modo ...................................................................59

Gráfico 7.1 – Layout de apresentação de resultados do programa .......................................74

xxi

LISTA DE ABREVIAÇÕES

LETRAS MAIÚSCULAS LATINAS

A – Área

�� – Área da secção transversal de betão

�� – Área da secção de uma armadura para betão armado

��,�� – Área da secção mínima de armaduras

�� – Cargas permanentes

�� – Combinação quase permanente

�� – Módulo de elasticidade do terreno

�� – Eurocódigo

�� – Módulo de elasticidade do betão

�� – Módulo de elasticidade secante do betão

�� – Esforço actuante de dimensionamento

�� – Estados limites em serviço

�� – Estados limites últimos

�� – Valor de cálculo do módulo de elasticidade do aço de uma armadura de pré-esforço

�� – Valor de cálculo do módulo de elasticidade do aço de uma armadura para betão

armado

� – Força no betão

�! – Força nas armaduras

"# – Valor médio de uma acção permanente

$ – Momento de Inércia

% '( � – Comprimento; Vão

) – Momento flector

)*� – Valor de cálculo do momento flector resistente

)+� – Valor de cálculo do momento flector actuante

, – Esforço normal

,*� – Valor de cálculo do esforço normal resistente

xxii

,+� – Valor de cálculo do esforço normal actuante

,+-. – Número de pancadas SPT

� – Pré-esforço

�/ – Valor do pré-esforço na extremidade activa da armadura de pré-esforço,

imediatamente após a aplicação do pré-esforço

�0 – Valor do pré-esforço na extremidade activa da armadura de pré-esforço, a longo prazo

�� – Peso Próprio

�1 – Valor característico de uma acção variável

2� – Esforço resistente de dimensionamento

2�� – Restante carga permanente

2�3�� – Regulamento de estruturas de betão armado e pré-esforçado

2�� – Regulamento de segurança e acções para estruturas de edifícios e pontes

�� – Sobrecarga

�� – = ��

4 – Volume

4 – Esforço transverso

4*� – Valor de cálculo do esforço transverso resistente

4+� – Valor de cálculo do esforço transverso actuante

LETRAS MINÚSCULAS LATINAS

5 – Largura total de uma secção transversal

56 – Largura da alma da viga em T

c’ – Coesão efectiva

� – Altura útil de uma secção transversal

7 – Excentricidade

8� – Tensão de cedência do betão à compressão

8�� – Valor de cálculo da tensão de cedência do betão à compressão

8�1 – Valor característico da tensão de cedência do betão à compressão aos 28 dias de

idade

xxiii

8�� – Valor médio da tensão de cedência do betão à compressão

8�91 – Valor característico da tensão de cedência do betão à tracção simples

8�9� – Valor médio da tensão de cedência do betão à tracção simples

8� – Tensão de cedência do aço para armaduras de pré-esforço

8�1 – Valor característico da tensão de cedência do aço para armaduras de pré-esforço

8�/,: – Tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,1% à tracção do aço das

armaduras de pré-esforço

8; – Tensão de cedência do aço para armaduras de betão armado

8;� – Valor de cálculo da tensão de cedência do aço para armaduras de betão armado

8;1 – Valor característico da tensão de cedência do aço para armaduras de betão armado

8<� – Tensão de rotura de cálculo do aço

= – Altura

% '( � – Comprimento; Vão

> – Raio

� – Espaçamento de varões

? – Abertura de fendas

LETRAS MINÚSCULAS GREGAS

@ – Coeficiente de sismicidade

A – Peso volúmico

AB – Coeficiente de segurança para acções permanentes

AC – Coeficiente de segurança para acções variáveis

�� – Extensão do betão à compressão

��: – Extensão do betão à compressão correspondente à tensão máxima 8� ��< – Extensão última do betão à compressão

�< – Extensão do aço da armadura para betão armado ou de pré-esforço correspondente à

tensão máxima

�<1 – Valor característico da extensão do aço da armadura ou de pré-esforço na carga

máxima

xxiv

D – Coeficiente de comportamento

E – Ângulo

F� – Tensão de cedência

G – Coeficiente de poisson

H� – Ângulo de atrito

1

1 INTRODUÇÃO

A presente tese apresenta o desenvolvimento do projecto de estruturas de um edifício destinado a

utilização pública. Tendo por base um projecto de arquitectura, o objectivo do trabalho consiste em

criar uma solução estrutural que garanta a segurança do edifício em relação às acções

regulamentares.

Uma vez que neste trabalho se encontram aplicados os conhecimentos teóricos adquiridos ao longo

do curso de Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico, revela-se um objectivo do mesmo a

compreensão da aplicabilidade dessa plataforma de conhecimentos à actividade prática do projecto

de estruturas. Esses fundamentos são explicados ao longo do processo, seguidos da sua aplicação

prática de cálculo.

Pretende-se então nesta dissertação percorrer as fases por que passa o projecto de estruturas de um

edifício, desde a definição da solução estrutural e fase de pré-dimensionamento até à fase final de

dimensionamento, onde é também avaliado o comportamento dinâmico da estrutura e efectuada a

verificação aos estados limites últimos e de serviço.

Sendo um facto que os programas de cálculo automático constituem uma ferramenta de extrema

utilidade para a análise de estruturas no panorama da engenharia de estruturas actual, foi

naturalmente utilizado um programa tridimensional de elementos finitos – o SAP2000 – onde foi

desenvolvido o modelo do edifício proposto, com a finalidade de analisar estática e dinamicamente o

seu comportamento.

Relativamente ao objecto de estudo, este consiste num edifício de utilização colectiva cujas bases de

projecto arquitectónico se encontram explicadas no seguinte subcapítulo. As plantas, cortes e alçados

das bases de arquitectura encontram-se em Anexo nas Peças Desenhas de Arquitectura.

Figura 1.1 – Modelo tridimensional desenvolvido

2

1.1 BASES ARQUITECTÓNICAS

O edifício de estudo possui uma configuração arquitectónica bastante irregular, tanto em planta como

no seu desenvolvimento em altura. Com uma área de implantação de aproximadamente 975m2, este

tem 39.50m na sua extensão máxima, sendo difícil cotar outras dimensões devido à irregularidade

que o caracteriza. Apresentando 4 pisos, com diferentes desenvolvimentos em planta (sendo o piso 0

semi-enterrado e o piso -1 totalmente enterrado), a sua configuração em planta vai encurtando de

piso para piso, até que o último piso (piso 2) apresente uma área correspondente a 33% da área do

piso -1.

O piso -1 é dedicado ao estacionamento de veículos ligeiros e ao economato geral, tendo uma

ligação ao piso superior por intermédio de escadas e elevador, aliás como se verifica em todos os

pisos. A cota do limpo deste piso é constante e encontra-se a 59.00m. O acesso ao exterior é feito

por uma rampa que sobe primeiro em curva e depois em linha recta até ao nível do piso 0.

Este último, correspondente ao piso de entrada do edifício, apresenta uma configuração semelhante

à do piso inferior. Neste encontram-se as salas de espera, dois gabinetes médicos, uma secretaria,

salas polivalentes, uma cozinha com dispensa, um restaurante e ainda instalações sanitárias

masculinas, femininas e para deficientes. A cota de arquitectura encontra-se a 69.00m, à excepção

do pátio do lado Nordeste que está 15cm rebaixado. O canto do edifício da zona Sudoeste ao nível

deste piso está em consola, bem visível no alçado Sul de arquitectura. Por questões estruturais esta

consola foi eliminada, ou seja o piso -1 foi prolongado em planta até à extremidade do piso 1.

Do piso 0 para o piso 1 começam as diferenças geométricas significativas. Exemplos destas

alterações são o grande vazio na zona das escadas entre estes pisos e o recuo do edifício, dando

lugar a dois terraços. Encontram-se também neste piso duas salas de reuniões, dois gabinetes, um

auditório e instalações sanitárias à semelhança do piso inferior. A cota deste piso corresponde a

66.00m, à excepção do auditório. Neste, a cota varia linearmente desde a cota principal até à cota de

66.45m na parte traseira e apresenta um palco na parte frontal a esta mesma cota. O corte AB mostra

claramente este desnível.

O piso 2 apresenta uma área descoberta sensivelmente semelhante à área coberta devido ao grande

recuo que apresenta. Neste existem 4 salas de formação à cota de 70.45m, sendo que a zona

exterior se encontra a uma cota naturalmente inferior correspondente a 70.00m.

Finalmente, a cobertura do último piso apresenta duas cotas diferentes, uma à cota de 74.65m e

outra 1.25m abaixo. Na cobertura mais alta existem quatro clarabóias.

O acesso entre pisos é feito por elevador e por intermédio de escadas, tanto interiores como

exteriores, ao nível de todos os pisos.

3

1.2 ORGANIZAÇÃO

No sentido de realizar um estudo faseado na procura dos objectivos propostos, a exposição do

trabalho desenvolvido encontra-se divida em nove capítulos:

O presente capítulo apresenta uma introdução ao que se pretende desenvolver nesta dissertação

bem como os seus objectivos, sendo também feita uma breve explicação da arquitectura do edifício.

No capítulo 2 é descrita a concepção da solução estrutural do edifício, a par dos condicionalismos

arquitectónicos que influenciaram a geometria estrutural. As dimensões e disposições dos elementos

são descritas com pormenor, bem como as razões das suas escolhas.

O capítulo 3 enuncia os critérios gerais de segurança e a regulamentação considerada para a

verificação da segurança estrutural. A verificação aos estados limites últimos e estados limites em

serviço é explicada em detalhe bem como as definições das acções em geral e as acções estáticas e

dinâmicas consideradas no desenvolvimento do edifício. Os critérios utilizados na determinação das

acções são minuciosamente explicados, bem como as razões porque algumas acções não são

consideradas. Finalmente, são definidas as combinações de acções consideradas, bem como os

materiais considerados.

Representando uma parte importante do trabalho, o capítulo 4 consiste no pré-dimensionamento dos

elementos estruturais. São neste capítulo explicados os cálculos efectuados sem o recurso a

programas de cálculo automático, que permitiram definir as dimensões dos diversos elementos.

Com o pré-dimensionamento efectuado, passou-se à modelação do edifício num programa

tridimensional de elementos finitos. O capítulo 5 explica a forma como os diferentes elementos

estruturais e as acções foram simulados de forma a criar um modelo de estudo cujas características

ao nível da geometria, rigidez e capacidade de carga se aproximassem o mais possível da realidade.

No final deste capítulo são descritos os métodos simples utilizados na validação do modelo, através

da comparação entre os resultados obtidos do modelo e os valores esperados do cálculo manual.

Os comentários ao comportamento sísmico e modos de vibração da estrutura, bem como os cálculos

das frequências e coeficiente sísmico são efectuados no capítulo 6.

O capítulo 7 apresenta os fundamentos de cálculos para a verificação aos estados limites últimos e

em serviço aplicados no capítulo 8. É ainda explicado o programa de pós-processamento

desenvolvido em ambiente de programação VBA.

No capítulo 8 são analisados e dimensionados os elementos estruturais do edifício sujeitos a flexão

composta (pilares, núcleo e lajes pré-esforçadas) e vigas sujeitas a flexão simples, através da

verificação da sua segurança aos estados limites considerados.

Finalmente, no Capítulo 9, são apresentadas as principais conclusões deste estudo.

Em Anexo apresentam-se os resultados dos cálculos efectuados, as Peças Desenhadas com os

desenhos de dimensionamento, betão armado e pré-esforço e ainda as bases do projecto de

arquitectura.

5

2 SOLUÇÃO ESTRUTURAL

O primeiro passo na concepção estrutural de um edifício consiste na criação de uma solução

estrutural que, atendendo à sua arquitectura, permita garantir a segurança deste quando solicitado

pelas acções consideradas no seu dimensionamento. Consiste, portanto, na escolha da localização,

dimensão e disposição dos diferentes elementos estruturais.

Nesta fase do projecto, o factor mais condicionante é de facto a geometria do edifício, aliada à

arquitectura, que condiciona em muito a malha de pilares. Estes factores limitam a liberdade de

escolha do posicionamento dos pilares, vigas e lajes, bem como as suas dimensões.

No entanto, a função do engenheiro só é cumprida ao conceber, projectar e construir uma construção

com qualidade e economia. Desta forma, compete ao engenheiro de estruturas conceber uma

solução que cumpra, na medida do possível, as exigências de arquitectura, a segurança do edifício, o

conforto da sua utilização e um correcto funcionamento do mesmo. Todas essas condições devem

ser cumpridas respeitando um valor global da obra economicamente competitivo, sendo este, um dos

factores mais importantes na concepção duma estrutura. No caso de um concurso público este

corresponde, na maioria dos casos, ao agente mais condicionante na avaliação das propostas, pelo

que uma concepção que cumpra os requisitos anteriormente apresentados, sem no entanto constituir

uma solução economicamente competitiva corre o risco de se tornar inviável.

Posto isto, foi criada uma solução estrutural para o edifício de estudo que atendesse a todos estes

condicionalismos. Globalmente foi conseguido manter a arquitectura original sem grandes alterações.

No entanto, foram feitas algumas alterações que consistiram essencialmente numa alteração da

geometria ao nível do piso -1 e no aumento de pilares que ficaram ligeiramente de fora das paredes.

A explicação destas alterações é descrita adiante neste capítulo. Os desenhos da estrutura

encontram-se em Anexo nas Peças Desenhas de Estabilidade.

Relativamente ao objecto de estudo, este consiste num edifício cuja arquitectura condiciona de uma

forma bastante limitativa a configuração estrutural. Os grandes espaços abertos que o caracterizam

tornam impossível a colocação de pilares. No entanto, é sugerido pela arquitectura o posicionamento

de alguns pilares que se encontram nesses espaços abertos. Esta sugestão foi naturalmente

considerada, uma vez que esses mesmos vãos requerem o máximo de pilares possíveis.

Em relação aos restantes pilares tentou-se criar uma malha o mais regular possível, tentando

encontrar alinhamentos paralelos e perpendiculares onde fosse possível “encaixar” a malha de

pilares. Conseguiu-se, assim, encontrar 3 alinhamentos (eixos 2, 4 e 5 da figura 2.1) que constituem a

base funcional da estrutura, com eixos na sua perpendicular e outros alinhamentos numa direcção

enviesada condicionados pela geometria do edifício.

6

Figura 2.1 – Representação esquemática dos eixos de pilares no edifício na planta de arquitectura do piso 0

Os pilares do eixo 2 encontram-se alinhados com a direcção da parede. Seria preferível que se

encontrassem na direcção perpendicular, contudo o auditório do piso 1 e as salas polivalentes com

paredes amovíveis do piso 0 tornaram essa solução inviável. Estes pilares apresentam na sua

maioria dimensões de 0.35x0.70m2, sendo que os pilares de extremidade têm dimensões de

0.30x0.35m2 e 0.35x0.35m2.

Entre os eixos 2 e 4 apenas foi possível posicionar um pilar. Este encontra-se no eixo D e apresenta

uma dimensão maior de 0.35x1.25m2, por ter uma grande área de influência. Ao longo do eixo 3 (ver

desenhos de dimensionamento em Anexo) seria conceptualmente favorável a existência dum

alinhamento de pilares, no entanto, o espaço livre necessário para o auditório e a sala polivalente

(entre os eixos D e G) impossibilitaram uma vez mais essa solução.

No eixo 4 existe pouco espaço para a colocação dos pilares, pelo que existem três (PB4, PC4 e PE4)

que excedem ligeiramente o espaço concedido pela arquitectura. Os pilares adoptados ficam

ligeiramente de fora das paredes pelo que, nestes casos, a arquitectura deve ser repensada em

conformidade com a solução estrutural.

Figura 2.2 – Pilar PB4 Figura 2.3 – Pilar PC4 Figura 2.4 – Pilar PD4

De forma a tentar ser o menos invasivo possível,

secções. Estas variam dos 0.35x0.35m

prolongam até à cobertura, estes

todos com uma dimensão de 0.35m

nasce um pilar com 0.35x0.70m2

da cobertura que não poderia existir no piso

Os pilares do eixo 5 apresentam também limitações de espaço e dimensão, quer por se encontrarem

no meio de salas quer por estarem entre envidraçados. No entanto, o facto

não implica dimensões tão grandes como os restantes, estes encontram

da parede e apresentam dimensões que variam dos

Relativamente ao eixo 6, este corresponde a um alinhamento de pilare

pelo que também não necessitam de grande

variam entre os 0.35x0.35m2 aos

O eixo 7 apresentava de arquitectura 3 pilares circulares à vista. Estes foram mantidos com

dimensões que apresentavam de arquitectura

O facto de o edifício mudar de orientação em altura interfere na geometria dos pilares de canto. Por

esta razão, os pilares PI5 e PR7 na transição do piso 0 para o piso 1 apresentam uma rot

relação ao seu eixo.

A toda a volta do piso -1 existe um muro de

Nordeste sobe até ao piso 0. Existe ainda o muro M1 com uma espessura que varia de 0.45m na

base até 0.20m no topo. Este muro enc

edifício, com uma altura de, sensivelmente, 7 metros.

Os grandes vãos (na ordem dos 10m) apresentados na concepção arquitectónica,

tradicional de laje maciça, uma solução pouc

tipo implicavam lajes de espessura incomportáveis tanto a nível arquitectónico como económico, pelo

que se adoptou uma solução de laje aligeirada de co

maciçadas. Com este tipo de solução obtém

com uma redução significativamente

Consideram-se assim, lajes nervuradas de blocos de cofragem recuperável,

apresentam abaixo. Optou-se pela solução com

dimensionamento ditado uma altura total de H=400m

lajes dos pisos 1 e 2.

Figura 2.5 – Geometria das lajes

7

De forma a tentar ser o menos invasivo possível, os pilares deste alinhamento apresentam diferentes

0.35x0.35m2 (PA4) aos 0.45x0.80m2 (PC4). Em relação aos

estes apresentam uma diminuição da secção a partir do piso 2

todos com uma dimensão de 0.35m na direcção perpendicular à parede. Ainda neste alinhamento, 2 no piso 0 (pilar PG4). É um pilar extremamente necessário ao apoio

ra que não poderia existir no piso -1, pois cortava a entrada dos veículos.


no meio de salas quer por estarem entre envidraçados. No entanto, o facto de “morrer

não implica dimensões tão grandes como os restantes, estes encontram-se alinhados com

da parede e apresentam dimensões que variam dos 0.35x0.35m2 aos 0.35x0.55m

corresponde a um alinhamento de pilares que morrem logo no piso 1

pelo que também não necessitam de grandes dimensões. Estes apresentam assim d

aos 0.35x0.45m2.

O eixo 7 apresentava de arquitectura 3 pilares circulares à vista. Estes foram mantidos com

dimensões que apresentavam de arquitectura – 0.35m de diâmetro.


PR7 na transição do piso 0 para o piso 1 apresentam uma rot

1 existe um muro de suporte com 0.20m de espessura – muro

Existe ainda o muro M1 com uma espessura que varia de 0.45m na

base até 0.20m no topo. Este muro encontra-se na parte exterior da rampa e no lado Nor

edifício, com uma altura de, sensivelmente, 7 metros.

(na ordem dos 10m) apresentados na concepção arquitectónica,

, uma solução pouco eficaz. As deformações traduzidas numa solução deste


solução de laje aligeirada de cocos pré-esforçada com

Com este tipo de solução obtém-se um melhor comportamento ao nível das deformações

com uma redução significativamente da quantidade de betão na laje (economicamente favorável).

nervuradas de blocos de cofragem recuperável, cujas

se pela solução com nervuras afastadas de

uma altura total de H=400mm para a laje do piso 0 e de

Geometria das lajes nervuradas de blocos de cofragem recuperável

pilares deste alinhamento apresentam diferentes

(PC4). Em relação aos pilares que se

diminuição da secção a partir do piso 2, ficando

Ainda neste alinhamento,

no piso 0 (pilar PG4). É um pilar extremamente necessário ao apoio

pois cortava a entrada dos veículos.


de “morrerem” no piso 2

se alinhados com a direcção

0.35x0.55m2.

s que morrem logo no piso 1,

. Estes apresentam assim dimensões que

O eixo 7 apresentava de arquitectura 3 pilares circulares à vista. Estes foram mantidos com as


PR7 na transição do piso 0 para o piso 1 apresentam uma rotação em

muro M2, que no lado

Existe ainda o muro M1 com uma espessura que varia de 0.45m na

se na parte exterior da rampa e no lado Nor-Noroeste do

(na ordem dos 10m) apresentados na concepção arquitectónica, tornaram a solução

deformações traduzidas numa solução deste


esforçada com capitéis e bandas

se um melhor comportamento ao nível das deformações

da quantidade de betão na laje (economicamente favorável).

cujas características se

de 800mm, tendo o

para a laje do piso 0 e de H=500mm para as

nervuradas de blocos de cofragem recuperável aligeiradas

8

Altura do

molde

Espessura da Lâmina

Altura Total

Largura Média da Nervura

Área da Secção

Distância ao C.G. da

Inércia

Módulo de Flexão Peso

Próprio Face Superior

Face Inferior

Superior Inferior

[mm] [mm] [mm] [mm] [cm2] [mm] [mm] [cm

4] [cm

3] [cm

3] kN/m

2

300

50 350 182 918 115 235 96048 8352 4087 4.3

75 375 186 1118 117 258 122897 10504 4763 4.9

100 400 190 1318 123 277 151574 12323 5472 5.55

400

50 450 200 1162 156 294 203062 13017 6907 5.6

75 475 204 1362 157 318 251824 16040 7919 6.25

100 500 208 1562 160 340 301779 18861 8876 6.85

hm hs H bm A Vs Vi Inércia Ws Wi pp

Tabela 2.1 – Características das lajes nervuradas de blocos de cofragem recuperável

Na zona junto aos pilares existem capitéis, com o objectivo de aumentar a capacidade de resistência

da laje ao esforço de corte elevado que se verifica nestes pontos (punçoamento) bem como aumentar

a resistência da laje nos pontos onde sejam passíveis de existir momentos negativos. Estes

consistem simplesmente num maciçamento da laje na envolvente do pilar.

Figura 2.6 – Perspectiva 3d de um capitel numa laje aligeirada de cocos

Em toda a bordadura das lajes, existem bandas maciças, que à semelhança dos capitéis, consistem

num maciçamento. Estas apresentam no mínimo a largura de um bloco de cofragem (0.80m). Na

zona do auditório existe uma banda maciça com 3.30m e com um reforço de pré-esforço.

Nas zonas descobertas do piso 1 (cobertura do piso 0), por terem menores cargas e menores vãos,

adoptaram-se lajes maciças com 0.30m e 0.35m de espessura.

A laje de cobertura apresenta 2 níveis. O mais alto, com um vão de 10.40m e 4 clarabóias, consiste

numa laje maciça vigada e pré-esforçada com 0.35m de espessura. A laje de cobertura que se

encontra a um nível inferior é fungiforme (por questões estéticas) e tem 0.25m de espessura. A ligar

estas lajes de cobertura existe uma viga dobra com 0.35x1.27m2 de secção.

As consolas do piso 2 têm apenas uma função estética e apresentam uma espessura de 0.25m.

9

Em todas estas lajes maciças existem vigas de bordadura. As vigas apresentam uma largura de

0.35m, correspondente à largura tipo dos pilares. As suas alturas variam entre 0.60m e 1.00m.

No que diz respeito aos mono-cordões de pré-esforço, ao nível das lajes nervuradas, existem apenas

2 mono-cordões por nervura, uma vez que por questões de espaço não existe espaço para mais. Na

banda maciçada existente no piso ,2 estes apresentam um afastamento de 200mm, enquanto que na

cobertura o afastamento corresponde a 140mm.

O núcleo apresenta as dimensões apresentadas pela arquitectura. Tem uma espessura de 22.5cm e

2.45m numa direcção e 2.175m na outra.

Ao nível das fundações, os pilares interiores descarregam em sapatas isoladas, à excepção daqueles

que devido à sua proximidade apresentam sapatas contínuas. Estas apresentam diferentes

dimensões que variam dos 1.85m aos 3.3m e encontram-se enterradas 0.50m. Relativamente à

sapata do núcleo, esta apresenta uma depressão devido ao fosso do elevador. As suas dimensões

são de 4.00x3.70m2 com uma espessura de 0.90m. Na parte envolta do fosso apresenta uma

sobreespessura de 0.50m.

A sapata do muro M2 apresenta uma largura de 1.80m com 0.50m de altura, com excepção da parte

da sapata do lado Nor-Nordeste que, por questões de limitação de terreno, se encontra excêntrica e

da parte junto ao muro M1, sendo que, no primeiro caso, a sua largura corresponde a 2.00m. A

sapata do muro M3 apresenta-se, pelas mesmas razões, igualmente excêntrica. Esta apresenta uma

largura de 2.50m e uma altura de 0.8m. A sapata do muro M2 encontra-se enterrada 0.50m, enquanto

que a sapata do muro M3 se encontra a uma profundidade de 1.00m.

Relativamente à sapata do muro M1, uma vez que esta também tem que ser excêntrica e apresenta

um impulso de terras considerável, a sapata deste muro foi ligada à sapata do muro M2, de maneira a

conseguir garantir a verificação da segurança ao deslizamento e derrubamento do muro M1.

O pavimento térreo do piso -1 apresenta uma espessura de 0.20m.

11

3 CRITÉRIOS GERAIS DE DIMENSIONAMENTO

3.1 SEGURANÇA ESTRUTURAL – REGULAMENTAÇÃO

Na análise e dimensionamento da estrutura adoptaram-se os critérios de verificação de segurança

aos Estados Limites Últimos e em Serviço preconizados na regulamentação portuguesa e europeia

de estruturas, nomeadamente:

• R.S.A. – Regulamento de Segurança e Acções em Estruturas de Edifícios e Pontes, 1983; • R.E.B.A.P. – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado, 1983; • EC2 – Eurocódigo 2: Projecto de Estruturas de Betão Armado, 2010;

• EC7 – Eurocódigo 7: Projecto Geotécnico, 2010.

3.2 ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

Os estados limites últimos (ELU) são aqueles relacionados ao colapso, ou a qualquer outra forma de

ruptura estrutural, que determine a incapacidade do uso da estrutura. A sua verificação é feita

segundo o princípio de que o esforço resistente de uma secção terá que ser maior que o esforço

actuante de cálculo.

Os valores dos esforços actuantes de cálculo foram determinados a partir da combinação

fundamental de acções, adoptando-se os coeficientes de segurança e os coeficientes de redução de

ψ0, ψ1 e ψ2 das acções especificadas preconizados no RSA. No cálculo dos esforços resistentes das

secções de betão armado adoptaram-se as hipóteses correntes de não consideração da resistência à

tracção do betão, de conservação das secções planas após a deformação e de uma aderência

perfeita entre o aço e o betão, ou seja não se admitem escorregamentos entre os materiais.

As extensões dos diagramas de cálculo do betão e das armaduras consideram-se limitados a:

• Extensão de encurtamento do betão: 3.5 ‰

• Extensão de alongamento das armaduras: 10.0 ‰

Figura 3.1 – Limitação das extensões numa secção

12

Considerando que as tensões de tracção no betão são nulas, as tensões de compressão são

definidas pelo diagrama de parábola-rectângulo, sendo este parabólico até uma extensão de �� I

(extensão para a tensão máxima de compressão – ��I � 2.0 ‰), e constante até à extensão de �� <I (extensão última do betão – ��<I � 3.5 ‰). O gráfico é definido pelas equações seguintes:

F� � 8�� K1 L M1 L ��IN�O PQ>Q 0 R �� R ��I (3.1)

F� � 8�� PQ>Q ��I R �� R ��<I (3.2)

Os valores de ��I, ��<I, e S são dados pelas tabelas 3.1 e do EC2, sendo S � 2.

Figura 3.2 – Diagrama de tensão-deformação (parabóla-rectângulo) para o betão à compressão

Relativamente ao aço, o EC2 preconiza o seguinte diagrama de tensão-deformação (tanto para

tracção como para compressão), com o módulo de elasticidade igual a �� 200 "�Q.

Figura 3.3 – Diagrama de tensão-deformação para o aço à tracção e compressão

Relativamente ao diagrama B, este pode apresentar dois andamentos:

13

• Diagrama elasto-plástico sem limitação da extensão limite (linha horizontal);

• Diagrama com endurecimento na fase plástica limitado a uma extensão limite �<� � 0.9�<1.

A segurança em relação aos estados limites últimos que não envolvem perda de equilíbrio ou fadiga,

foi elaborada em termos de esforços com base na condição:

�� R 2� (3.3)

em que Sd e Rd designam respectivamente os valores de cálculo do esforço actuante e do esforço

resistente.

Consideraram-se as seguintes combinações fundamentais preconizadas no RSA:

Em geral:

�� UAB��V�1 W AC X�Y:1 WUΨ/[�Y[1�[\I

]��\:

(3.4)

No caso de a acção variável base ser a acção sísmica:

�� U�V�1 W AC�^_ WUΨI[�Y[1�[\I

��\:

(3.5)

em que:

SGik – esforço resultante de acção permanente considerada com o seu valor característico;

SQ1k – esforço resultante da acção variável base tomada com o seu valor característico (�^_ no caso

da acção sísmica);

SQjk – esforço resultante das restantes acções variáveis tomadas com os seus valores característicos.

Os coeficientes de segurança γg e γq considerados, respectivamente para acções permanentes e

variáveis, foram os seguintes:

Peso próprio da estrutura: γg = 1.35 ou 1.00 (caso mais desfavorável)

Restantes cargas permanentes γg = 1.50 ou 1.00 (caso mais desfavorável) Acções variáveis γq = 1.50 ou 0.00 (caso mais desfavorável)

14

3.3 ESTADOS LIMITES EM SERVIÇO

Os estados limites em serviço (ELS) são aqueles que correspondem à impossibilidade do uso normal

de uma estrutura, estando relacionados com a durabilidade das estruturas, aparência, conforto do

utilizador e a boa funcionalidade das mesmas, seja em relação aos utilizadores, seja aos

equipamentos e máquinas existentes.

A sua verificação considera os seguintes estados limites:

• Estado limite de muito curta duração – Combinação Rara;

• Estado limite de curta duração – Combinação Frequente;

• Estado limite de longa duração – Combinação Quase Permanente.

A combinação rara considera as acções permanentes quantificadas pelo seu valor médio ("�), a

acção variável base quantificada pelo seu valor raro (�1) e as restantes acções variáveis pelos seus

valores frequentes (`:�1).

A combinação frequente considera as acções permanentes quantificadas pelo seu valor médio ("�),

a acção variável base quantificada pelo seu valor frequente (`:�1) e as restantes acções variáveis

pelos seus valores quase permanentes (`I�1).

A combinação quase permanente considera as acções permanentes quantificadas pelo seu valor

médio ("�) e as acções variáveis quantificadas pelos seus valores quase permanentes (`I�1).

3.3.1 ESTADO LIMITE DE FENDILHAÇÃO

A fendilhação num elemento de betão armado ocorre quando é atingida a tensão de rotura de tracção

do betão, que se admitiu nula.

A consideração da fendilhação num determinado projecto está relacionada ao tipo de obra e à sua

finalidade. Assim, no caso de reservatórios, por exemplo, a formação de fendas de grandes aberturas

pode comprometer seriamente a estanqueidade exigida para este tipo de estrutura. Para edifícios

correntes, a fissuração excessiva do betão pode acarretar, além de problemas estéticos, problemas

de deterioração da estrutura devido à corrosão da armadura.

É possível afirmar que fendilhação do betão armado é um fenómeno inevitável, visto que para impedi-

la, seria necessário adoptar secções de dimensões incomportáveis e financeiramente inviáveis. As

fendas devem ser controladas de forma a não comprometer a funcionalidade ou durabilidade das

estruturas. Além disso, deve ter-se em conta o desconforto psicológico que fendas com aberturas

excessivas causam aos utilizadores.

15

Diversas são as circunstâncias que podem acarretar a formação de fendas, podendo-se destacar

entre elas:

• Fendas causadas por solicitações devidas ao carregamento, causadas por acções directas

de tracção, flexão ou corte, ocorrendo sempre na zona traccionada;

• Fendas causadas por deformações impostas (acções indirectas), tais como retracção,

variação de temperatura e assentamentos diferenciais.

O limite de abertura de fendas admissível depende da agressividade do ambiente e/ou do tipo de

utilização da estrutura e da sensibilidade das armaduras. Relativamente a este último ponto, são

consideradas como muito sensíveis as armaduras de pré-esforço e pouco sensíveis as armaduras

ordinárias. No que diz respeito à agressividade do ambiente, são preconizados no RSA três

diferentes tipos de ambientes:

• Ambientes pouco agressivos – ambientes onde a humidade relativa é geralmente baixa e

onde os agentes corrosivos são escassos (interior de edifícios);

• Ambientes moderadamente agressivos – correspondem a ambientes interiores onde a

presença de agentes corrosivos seja expectável ou a humidade relativa seja habitualmente

elevada, ambiente exteriores sem concentrações especiais de agentes corrosivos, ou ainda

águas e solos pouco agressivos;

• Ambientes muito agressivos – ambientes com presença elevada de agentes corrosivos,

líquidos agressivos (caso de uma ETAR), ou solos especialmente agressivos.

Em função do tipo de ambiente será então definido a abertura máxima de fendas admissível.

Atingindo este valor máximo especificado, a durabilidade e bom funcionamento da peça de betão fica

em causa. Segundo o artigo 68º do REBAP – QUADRO VIII, para o caso de armaduras ordinárias, o

estado limite a considerar é o de largura de fendas. Desta forma, limitou-se a abertura de fendas a ? � 0.3aa para a combinação frequente, por se tratar de um ambiente pouco agressivo.

Ambiente Combinações de Acções Estado Limite

Pouco agressivo Frequente Largura de fendas, ? � 0.3aa

Moderadamente agressivo Frequente Largura de fendas, ? � 0.2aa

Muito agressivo Rara Largura de fendas, ? � 0.1aa

Quadro 3.1 – Quadro VIII do REBAP

16

Relativamente a armaduras de pré-esforço, os estados limites a considerar são o de descompressão

e o de largura de fendas, seguindo as indicações do QUADRO IX no artigo 68º do REBAP. Desta

forma, por se tratar de um ambiente pouco agressivo, limitou-se a abertura de fendas a w = 0.2mm

para a combinação frequente e verificou-se a descompressão para a combinação quase permanente.

Ambiente Combinações de acções Estado limite

Pouco agressivo Frequente Largura de fendas, ? � 0.2aa

Quase permanente Descompressão

Moderadamente agressivo Frequente Largura de fendas, ? � 0.1aa

Quase permanente Descompressão

Muito agressivo Rara Largura de fendas, ? � 0.1aa

Frequente Descompressão

Quadro 3.2 – Quadro IX do REBAP

O artigo 11.2º do REBAP define a descompressão como o anulamento da tensão normal de

compressão devida ao pré-esforço e a outros esforços normais de compressão numa fibra

especificada da secção, sendo em geral esta a fibra extrema que sem a consideração de pré-esforço

ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por acção dos restantes esforços.

3.3.2 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO

De forma análoga aos estados limites apresentados, estes correspondem aos estados onde as

deformações dos elementos ultrapassam os limites máximos definidos e aceitáveis para a utilização

normal da estrutura.

A deformação das estruturas deve ser controlada de maneira a não comprometer o bom

funcionamento da estrutura bem como de máquinas e equipamentos que nela possam existir. Os

valores limites da deformação devem ser tais que não comprometam a integridade de elementos não

estruturais, tais como paredes divisórias, envidraçados ou mesmo os revestimentos e acabamentos.

Não deve ainda permitir a acumulação de águas pluviais ou outras (caso de lajes de cobertura) ou

comprometer a estética da estrutura.

A deformação de um elemento de betão armado sujeito a esforços de tracção ou flexão deve ter em

consideração, para além das características de deformabilidade do betão e a existência de

armaduras longitudinais, a fendilhação do betão e ainda o comportamento diferido em resultado da

fluência e retracção.

As deformações podem ser classificadas em:

• Deformações que dependem do carregamento;

• Deformações independentes do carregamento.

17

As primeiras correspondem a deformações causadas pelo carregamento imposto e com direcção

definida. São classificadas em deformação instantânea e deformação a longo prazo, devido à

fluência.

o Deformação instantânea – deformação imediata que ocorre aquando da aplicação do

carregamento e que pode ser inicialmente limitada por aplicação de contra-flechas;

o Deformação a longo prazo – definida como o aumento de deformação sob tensão e

exerce importante influência no valor da flecha total.

Aquelas que não se enquadram nas deformações que dependem do carregamento não têm direcção

definida. São função da variação de volume causado por retracção e variação de temperatura.

A retracção é o fenómeno caracterizado pela redução gradual do volume do elemento de betão

causada por secagem, auto-dessecação e/ou carbonatação da massa de betão endurecida. O seu

efeito numa peça de betão armado sob flexão, caracteriza-se pela contracção diferencial das faces do

elemento, o que resulta em flechas. Esta contracção diferencial acontece devido ao facto de nas

regiões onde há armadura, a contracção ser parcialmente impedida, provocando assim o

bambeamento da peça, o que pode também acontecer por variações de temperatura. Neste caso,

uma face do elemento expande mais do que a outra, por apresentar maior temperatura.

3.3.3 TENSÕES NAS FUNDAÇÕES

A verificação de tensões nas fundações foi realizada em termos de tensões para a combinação rara

de acções, com base na condição, em que F� e Fb designam respectivamente os valores de

dimensionamento da tensão actuante e resistente:

F� c Fb (3.6)

3.4 ACÇÕES

Denomina-se acção a todo o agente capaz de produzir estados de tensão ou deformação num

qualquer elemento estrutural. Entre outras, enunciam-se os pesos próprios, revestimentos,

equipamentos, sobrecargas, cargas acidentais, vento, sismo, variação de temperatura, retracção,

fluência, vibrações, influência do processo de construção, assentamentos de apoios ou impulsos de

terreno e hidrostáticos.

A análise estrutural deve assim considerar a influência de todas as acções que possam produzir

tensões, esforços ou deformações significativas para a segurança da estrutura.

18

Em função da sua variabilidade no tempo e probabilidade de ocorrência, as acções podem ser

classificadas em:

• Acções Permanentes

• Acções Variáveis

• Acções Acidentais

As acções permanentes correspondem àquelas que ocorrem em praticamente toda a vida útil da

estrutura (período durante o qual se prevê que uma estrutura ou parte da mesma possa ser utilizada

para os efeitos a que se destina, com a manutenção prevista mas sem necessidade de grandes

reparações), ou com pequenas variações. Estas são ainda divididas em acções directas e acções

indirectas.

o Acções permanentes directas – constituídas pela acção do peso próprio da estrutura,

elementos construtivos fixos, elementos não estruturais, instalações e outros

equipamentos e ainda impulsos do terreno ou de líquidos;

o Acções permanentes indirectas – correspondem às deformações impostas por acção

da retracção do betão, fluência, assentamentos de apoios, imperfeições geométricas,

pré-tensionamento e pós-tensionamento.

Relativamente às acções indirectas, estas podem ou não causar esforços na estrutura, dependendo

se esta é isostática ou hiperstática. As deformações impostas sem restrição à livre deformação não

introduzem esforços nas estruturas, por sua vez as deformações impostas com restrição à livre

deformação já introduzem esforços nas estruturas.

Tipo de Estrutura Assentamento de Apoio Variação de Temperatura

Isostática

A acção não

causa esforços

Hiperstática

A acção causa

esforços

Quadro 3.3 – Esforços em estruturas isostáticas e hiperstáticas

As acções variáveis são aquelas que variam de intensidade de forma significativa ao longo da vida

útil da construção. São classificadas em directas, indirectas e dinâmicas.

19

o Acções variáveis directas – correspondem ao tipo de acções provocadas pela

utilização das estruturas por parte de pessoas ou veículos, considerando as acções

inerentes ao seu exercício – aceleração e frenagem. O vento representa também

uma acção deste tipo;

o Acções variáveis indirectas – são causadas pelas variações da temperatura, podendo

ser com variação uniforme e não uniforme de temperatura;

o Acções variáveis dinâmicas – consistem nas acções provocadas por qualquer tipo de

aceleração que provoque solicitações na estrutura, como é o caso do sismo. No

entanto não só a acção dinâmica do sismo deve ser considerada. Quando a estrutura

estiver sujeita a choques ou vibrações, os respectivos efeitos devem ser

considerados na determinação das solicitações. No caso de vibrações, deve ser

verificada a possibilidade de ressonância em relação à estrutura ou parte dela. Se

existir possibilidade de fadiga, esta deve ser considerada no dimensionamento dos

elementos.

Relativamente às acções acidentais, estas correspondem a acções de duração extremamente curta e

com muito baixa probabilidade de ocorrência durante a vida útil da construção. Devem ser

consideradas no projecto se os seus efeitos não puderem ser controlados por outros meios. São

exemplos deste tipo de acção explosões, incêndios, choques de veículos, enchentes, etc. Este tipo

de acção não foi considerara no dimensionamento da estrutura em estudo.

As acções permanentes e variáveis consideradas no edifício de estudo são quantificadas a partir dos

valores que constam no RSA. Resumem-se, a seguir, as acções consideradas neste projecto:

3.4.1 ACÇÕES PERMANENTES

Peso volúmico do betão armado A = 25 kN/m3

Peso volúmico do terreno A = 20 kN/m3

Revestimento dos pisos 1.5 kN/m2

Revestimento da cobertura 2.0 kN/m2

Carga distribuída de paredes interiores – pisos 0 e 1 3.7 kN/m2

Carga distribuída de paredes interiores – piso 2 3.2 kN/m2

Carga linear de paredes exteriores Variável entre 0 e 11.85 kN/m

20

A distribuição das cargas uniformemente distribuídas correspondentes às restantes cargas

permanentes (revestimento e paredes interiores), encontra-se representada nas seguintes figuras:

Figura 3.4 – Restantes cargas permanentes no piso 0



Figura 3.7 – Restantes cargas permanentes na

cobertura

1.5 W 3.2 � 4.7 f,/aI 1.5 W 3.6 � 5.1 f,/aI 2.0 f,/aI

Conforme o artigo 15º do RSA, é possível assimilar uma carga uniformemente distribuída em todo o

piso no caso de existir uma distribuição uniforme das paredes interiores. O cálculo desta carga e os

valores considerados foram os seguintes:

30% j =�kbl�l j PP�kbl�l kmnl�kb�k (3.7)

Espessura média das

paredes [cm] Peso da parede

divisória [kN/m2]

Altura média das paredes [m]

Carga distribuída no piso [kN/m

2]

Pisos 0 e 1 0.35 3.0 4 3.6

Piso 2 0.24 2.6 4.2 3.2

Tabela 3.1 – Cargas distribuídas por metro quadrado nas lajes respeitantes às paredes interiores

21

No caso das paredes exteriores foram calculadas, parede a parede, as áreas de parede de alvenaria,

descontando as áreas de envidraçados. Estas cargas lineares foram determinadas considerando o

peso próprio de uma parede com 35cm de espessura (3.0kN/m2).

Piso 0

Parede Carga Linear [kN/m]

Parede P1.0 9.41

Parede P2.0 10.80

Parede P3.0 9.63

Parede P4.0 10.80

Parede P5.0 10.80

Parede P6.0 5.92

Parede P7.0 7.01

Parede P8.0 10.80

Parede P9.0 8.38

Figura 3.8 – Numeração das paredes exteriores do piso 0

Piso 1


Parede P1.1 10.05

Parede P2.1 7.8

Parede P3.1 10.8

Parede P4.1 -

Parede P5.1 5.40

Parede P6.1 8.46

Parede P7.1 10.80

Parede P8.1 5.9


Piso 2


Parede P1.2 9.86

Parede P2.2 11.25

Parede P3.2 11.85

Parede P4.2 -

Parede P5.2 -

Parede P6.2 11.85


3.4.1.1 Impulsos do Terreno

O ângulo de atrito considerado para o terreno foi de op � 30º, logo o coeficiente de impulso em

repouso corresponde a f/ � 0.5 � 1 L �7SMo�N.

22

3.4.2 ACÇÕES VARIÁVEIS

3.4.2.1 Sobrecargas

Em pisos 3.0 kN/m2

No auditório 4.0 kN/m2

Em coberturas acessíveis 2.0 kN/m2

Em coberturas não acessíveis 1.0 kN/m2

Em varandas 2.0 kN/m2

Em varandas, numa faixa de um metro de largura adjacente ao parapeito 5.0 kN/m2

Em acessos 5.0 kN/m2

A distribuição das sobrecargas uniformemente distribuídas encontra-se representada nas seguintes

figuras:

Figura 3.11 – Sobrecargas no piso 0



Figura 3.14 – Sobrecargas na cobertura

3.0 f,/aI 4.0 f,/aI 1.0 f,/aI 2.0 f,/aI 5.0 f,/aI

23

3.4.2.2 Sismo

A quantificação do sismo à luz do RSA considera o país dividido em 4 zonas. O edifício em estudo

localiza-se em Lisboa, pertencendo assim à zona sísmica A (coeficiente de sismicidade: @ � 1.0).

O coeficiente de comportamento relaciona os esforços elásticos lineares com os esforços não

lineares, permitindo assim, corrigir os efeitos da acção dos sismos obtidos pela análise linear

efectuada no programa de cálculo, de modo a transformá-los nos valores que se obteriam por uma

análise não linear. Este coeficiente depende essencialmente do comportamento não linear, da

dissipação de energia que ocorre nas zonas plastificadas e da redução da frequência modal que

surge da perda de rigidez devido à formação de rótulas plásticas.

No artigo 33º do REBAP estão definidos valores do coeficiente de comportamento para esforços

correspondentes a 3 diferentes tipos de estrutura com ductilidade normal ou melhorada: estrutura em

pórtico, em parede e mista (pórtico-parede). Relativamente ao projecto de estudo, a solução

estrutural definida não se enquadra directamente em nenhum destes tipos de estrutura.

Neste caso, o coeficiente de comportamento a adoptar deve ser convenientemente justificado,

devendo, porém, considerar-se os valores apresentados no artigo como limites superiores. Visto que

as deformações em regime não-linear e em regime elástico são semelhantes, pode-se determinar os

valores dos coeficientes de comportamento através do tipo de deformada que a estrutura apresenta

em regime elástico.

Figura 3.15 – Deformadas das estruturas tipo Parede e tipo Pórtico

Desta forma, estudou-se o comportamento da estrutura em altura através da obtenção das

deformadas qualitativas apresentadas pela estrutura, com base na aplicação unitário da acção

sísmica. Para isso foi escolhido o pilar P4D, por ser o pilar mais próximo do centro de gravidade, cuja

deformada se apresenta no seguinte gráfico.

Gráfico

Como se pode verificar até à cota de 2.88m, que corresponde ao piso 0, a estrutura apresenta

deslocamentos praticamente nulos uma vez que se encontra totalmente confinada pelo muro. A partir

dessa cota a estrutura apresenta uma deformada que varia de forma sensivelmente constante.

É difícil afirmar que a deformada se enquadre totalmente em alguma das deformadas tipo

apresentadas. Por um lado, esta apresenta um comportamento semelhante ao de uma estrutura

mista, visto que os deslocamentos na zona inferior da estrutura são condicionados pelo muro,

enquanto os da zona superior são condicionados pela deformada do pórtico. No entanto, a partir da

cota 2.88m esta apresenta um comportamento diferente, com uma d

mais a um comportamento típico de uma estrutura parede do que uma estrutura porticada.

estas conclusões e admitindo que a estrutura é de ductilidade normal, o coeficiente de

comportamento (η) considerou-se com o valor 1.75, que, duma forma

valor intermédio entre uma estrutura mista (

Os valores máximos expectáveis ao nível das massas oscilantes de 1 grau de liberdade quando

excitados na base com um sismo de determinadas car

espectros de resposta. Estes definem gráficos de uma função em que as abcissas referenciam a

frequência própria do oscilador e a ordenada o deslocamento, velocidade ou aceleração máxima ao

nível da massa oscilante.

0.000

24

Gráfico 3.1 – Deformada em altura do pilar P4D



senta uma deformada que varia de forma sensivelmente constante.



e os deslocamentos na zona inferior da estrutura são condicionados pelo muro,


cota 2.88m esta apresenta um comportamento diferente, com uma deformada que se a

um comportamento típico de uma estrutura parede do que uma estrutura porticada.


se com o valor 1.75, que, duma forma conservativa, corresponde a um

valor intermédio entre uma estrutura mista (η=2.0) e uma estrutura parede (η=1.5).


excitados na base com um sismo de determinadas características podem ser reflectidos em



0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025

[m]

[m]

δx δy



senta uma deformada que varia de forma sensivelmente constante.



e os deslocamentos na zona inferior da estrutura são condicionados pelo muro,


eformada que se assemelha

um comportamento típico de uma estrutura parede do que uma estrutura porticada. Face a


conservativa, corresponde a um

=1.5).


acterísticas podem ser reflectidos em



25

Podendo-se, posteriormente, pela análise modal, obter resultados para sistemas com vários graus de

liberdade. De acordo com o RSA é possível quantificar a acção sísmica com recurso a uma análise

sísmica por espectro de resposta. Para tal este regulamento define duas acções sísmicas distintas:

• Acção sísmica tipo 1 – representa um sismo de magnitude moderada a pequena distância

focal;

• Acção sísmica tipo 2 – representa um sismo de maior magnitude a uma distância focal maior.

Os espectros de resposta utilizados foram os preconizados no RSA para os sismos tipo 1 e tipo 2.

Cada acção sísmica tem definida vários espectros de resposta que variam consoante o tipo de

terreno de fundação e o coeficiente de amortecimento da estrutura. Relativamente ao coeficiente de

amortecimento, este toma o valor de r � 5%, valor característico das estruturas de betão armado,

enquanto que o terreno corresponde ao terreno tipo I, uma vez que se trata de um solo com uma

elevada rigidez.

Gráfico 3.2 – Espectros de Resposta considerados

3.4.2.3 Retracção e Temperatura

Apesar de as dimensões em planta do edifico ultrapassarem, em pouco, os 30 metros, considerou-se

desnecessária a consideração da retracção do betão ou as variações de temperatura sazonais.

3.4.2.4 Vento

A acção do vento não foi estudada devido ao facto de a acção sísmica ser condicionante, para

acções horizontais, para uma estrutura de betão armado com apenas 3 pisos elevados.

26

3.5 COMBINAÇÕES DE ACÇÕES

Um carregamento é definido pela combinação das acções que têm probabilidade não desprezível de

actuar simultaneamente sobre a estrutura, durante um período pré-estabelecido. Essas combinações

devem englobar as diferentes possibilidades de ocorrência simultânea das cargas de uma forma

verosímil, determinando os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura. Na seguinte tabela estão

apresentadas as combinações analisadas no projecto:

Acções \ Combinações ELS1 ELS2 ELS3 ELS4 ELS5 ELS6 ELS7 ELS8 ELU1 ELU2 ELU3 ELU4 ELU5

PP 1 3.5 1 1 1 1 1 1 1.35 1 1 1 1

PRE-ESFORÇO 1 3.5 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

RCP 1 3.5 1 1 1 1 1 1 1.5 1 1 1 1

SC 0.6 3.1 0.4 1 0.6 0.6 0.6 0.6 1.5 0.4 0.4 0.4 0.4

SC_COB 0 0 0 1 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0

IMPT 1 0 1 1 1 1 1 1 1.5 1 1 1 1

SISMO-X1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1.5 0 0 0

SISMO-X2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1.5 0 0

SISMO-Y1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1.5 0

SISMO-Y2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1.5

Na acção “PP” (Pesos Próprios) está contabilizada a acção do peso próprio da estrutura, bem como a

acção do peso próprio das escadas. Na acção “RCP” (Restantes Cargas Permanentes) entram os

revestimentos dos pisos, a carga distribuída relativa às paredes interiores e as cargas lineares

devidas às paredes exteriores. A acção “SC” (Sobrecargas) contabiliza as sobrecargas de

pavimentos e dos acessos, ou seja, das escadas. A acção “SC_COB” consiste na sobrecarga de

cobertura e a acção “IMPT” refere-se ao impulso do terreno. Sendo que “ELS” corresponde a Estados

Limites em Serviço e “ELU” a Estados Limites Últimos, as combinações no modelo correspondem a:

• Combinação ELS1 – Combinação Frequente com sobrecarga como acção variável base;

• Combinação ELS2 – Combinação Frequente a Longo Prazo com sobrecarga como acção

variável base – os valores desta combinações resultam da soma dos valores da combinação

frequente com o coeficiente de fluência (φ=2.5);

• Combinação ELS3 – Combinação Quase Permanente;

• Combinação ELS4 – Combinação Rara com sobrecarga como acção variável base;

• Combinações ELS5 à ELS8 - Combinação Rara com o sismo como acção variável base, para

os sismos tipo 1 e 2 nas direcções X e Y.

• Combinação ELU1 – Combinação Fundamental com sobrecarga como acção variável base;

• Combinações ELU2 à ELU5 – Combinação Fundamental com o sismo como acção variável

base, para os sismos tipo 1 e 2 nas direcções X e Y.

27

Finalmente consideram-se combinações correspondentes às envolventes dos esforços. Estas

correspondem às seguintes:

• ELS-RARA_ENV – Envolvente de esforços para a combinação Rara. Esta engloba as

combinações ELS3 à ELS7.

• ELU_ENV – Envolvente de esforços para a combinação Fundamental. Esta engloba todas as

combinações de ELU.

• ELU_ENV-SX – Envolvente de esforços para as combinações Fundamentais com o sismo na

direcção X como acção variável base (ELU2 e ELU3).

• ELU_ENV-SY – Envolvente de esforços para as combinações Fundamentais com o sismo na

direcção Y como acção variável base (ELU4 e ELU5).

3.6 MATERIAIS E RECOBRIMENTO

Apresentam-se os materiais utilizados e o recobrimento adoptados no projecto:

• Betão – C25/30;

• Aço em armaduras ordinárias – A400NR;

• Aço em pré-esforço – A1600/1800;

• Recobrimento – 3cm.

O betão utilizado apresenta as seguintes propriedades:

stu vwxyz 25

stu,t{|} vwxyz 30

st~ vwxyz 33 st�~ vwxyz 2.6

st�u,�.�� vwxyz 1.8

st�u,�.�� vwxyz 3.3

�t~ v�xyz 31

8�� 8�1/1.5 � 16.67)�Q

28

Relativamente ao aço das armaduras ordinárias considerado, este apresenta as seguintes

características:

s�u vwxyz 400

�� v�xyz 200

8;� � 8;1/1.15 � 348)�Q

Finalmente, o aço de pré-esforço apresenta as seguintes propriedades:

s��,�u vwxyz 1670

s�u vwxyz 1860

�� v�xyz 195 � 10

3.7 CAPACIDADE RESISTENTE DO SOLO

Através de um estudo geológico-geotécnico do local de obra disponibilizado, pode-se ler o seguinte

no relatório: “Tendo em conta a execução de dois níveis enterrados, as estruturas a edificar deverão

ter como horizonte de fundação a zona ZG1. Como tal, poderá desde já admitir-se o recurso a uma

solução de fundação directa, desde que devidamente dimensionada para os parâmetros

geomecânicos sugeridos no quadro I e em função do plano de distribuição de cargas.”

Segundo esse mesmo relatório a zona ZG1 encontra-se dividida em duas subzonas ZG1B e ZG1A. A

primeira encontra-se a uma profundidade compreendida entre 0.50m (abaixo duma camada de aterro

com uma fina cobertura de terra vegetal – ZG2) e pelo menos a profundidade máxima atingida por

uma das sondagens. A esta zona correspondem níveis de argila, margas e areias com, com valores

de NSPT iguais ou superiores a 60 pancadas. A zona ZG1A, detectada entre os 1.50m e os 9.00m de

profundidade corresponde a níveis de margas compactas, calcários margosos e calcarenitos com

características rochosas.

Zona Geotécnica Descrição NSPT �� C’ � E’

[º] [kPa] [kN/m3] [MPa]

ZG2 Depósitos de cobertura - 20 – 25 - 18 5 – 10

ZG1B Tufo compacto ≥60 30 – 35 35 – 40 20 50 – 80

ZG1A Brecha desagregada e Basalto - 35 – 45 60 – 70 21 – 22 80 – 100

Quadro 3.4 – Quadro I do relatório do estudo geológico-geotécnico

De uma forma simplificada adoptou-se um valor para a tensão admissível do terreno correspondente

a 600 kPa, obtido multiplicando por 10 o número de pancadas SPT.

29

4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO

Uma vez estabelecida a solução estrutural, torna-se necessário proceder ao pré-dimensionamento

dos elementos estruturais com o objectivo de determinar as dimensões que, a priori, satisfazem as

condições exigidas. Após esta análise inicial, foram feitos os ajustes necessários, determinando a

geometria estrutural final e, consequentemente, as cargas reais que permitem o dimensionamento.

Pode-se afirmar que um bom pré-dimensionamento é o que resulta em dimensões de secções e em

taxas de armaduras finais próximas das inicialmente previstas.

O pré-dimensionamento deve, naturalmente, seguir uma ordem, uma vez que em função das

dimensões dos elementos, os pesos próprios destes variam. Uma vez que as cargas seguem o

caminho tipo “laje � viga � pilar � sapata”, o pré-dimensionamento seguiu essa mesma ordem.

4.1 LAJES

4.1.1 LAJES PISO 0, 1 E 2

O vão condicionante para o pré-dimensionamento de uma laje, corresponde ao menor vão de entre

os maiores vãos da laje. Em função deste valor, é determinada a espessura da laje a adoptar.

No caso do edifício em estudo, este vão corresponde a 10.40m e verifica-se em todas as lajes do

edifício, incluindo a laje de cobertura.

Figura 4.1 – Vão condicionante de pré-dimensionamento da laje

Optou-se inicialmente pela consideração de uma solução de laje fungiforme. Para o vão

condicionante de 10.40m e seguindo as regras de pré-dimensionamento obtém-se uma espessura de

laje fungiforme maciça de:

%= � 30 � 10.4= � 30 � = � 0.35a (4.1)

30

Esta espessura implica uma carga distribuída majorada de:

P�� 1.35 j PPmk[l W 1.5 j 2�� W 1.5 j �� 1.35 j 0.35 j 25 W 1.5 j 5.2 W 1.5 j 3 � 24f,/aI

Apresentando a laje um comportamento de flexão cilíndrica, obtém-se o seguinte diagrama de

momentos para uma secção tipo da laje:

Figura 4.2 – Cálculo de momentos na laje considerando um comportamento de flexão cilíndrica

Com o objectivo de garantir à laje uma boa ductilidade e evitar grandes densidades de armaduras

(critério de economia e qualidade de execução) deve-se verificar � c 0.18.

� � )+�5 j �I j 8�� 324.51 j 0.31I j 16.67 j 1000 � 0.2 � 0.18 (4.2)

[Condição não verificada]

Tendo em conta que não se consegue garantir a fórmula anterior com a espessura examinada,

considerou-se uma espessura de 0.40m:

P�� 1.35 j PPmk[l W 1.5 j 2�� W 1.5 j �� 1.35 j 0.40 j 25 W 1.5 j 5.2 W 1.5 j 3 � 25.8f,/aI

Figura 4.3 – Cálculo de momentos na laje considerando um comportamento de flexão cilíndrica e uma espessura de 0.40m

31

� � )+�5 j �I j 8�� 348.81 j 0.36I j 16.67 j 1000 � 0.16 c 0.18

[Condição verificada]

Após verificada a capacidade resistente da laje, é necessário proceder ao controlo da deformação

vertical da laje. Segundo o artigo 72.2º do REBAP a flecha máxima admissível corresponde a l/400

para a combinação frequente de acções a longo prazo. No entanto, no caso de a laje afectar paredes

divisórias, e a menos que a fendilhação dessas paredes seja controlada, a flecha máxima não pode

exceder os 1.50 cm.

Recorrendo ao programa de elementos finitos, elaboraram-se modelos planos para analisar as

deformadas das lajes. Os resultados destas para a combinação frequente a longo prazo (ELS2) para

uma laje maciça de 0.40m estão apresentadas a seguir.

Figura 4.4 – Deformada do piso 0



Dos resultados obtidos conclui-se que as flechas máximas admissíveis não são cumpridas,

excedendo bastante os valores a alcançar. No piso 0 a flecha atinge um valor de 2.50 cm, no piso 1

3.40 cm e no piso 2, 5.40 cm. À excepção do piso 0, para o vão de 10.40 m a flecha máxima não

cumpre sequer a condição de l/400 correspondente a 2.60 cm. Aumentado a espessura da laje para

0.50m aumenta-se, sensivelmente, para o dobro a inércia da secção, no entanto não é o suficiente

para atingir os valores pretendidos. Sendo esta a altura máxima admitida na arquitectura tornou-se

necessário considerar uma hipótese alternativa.

Tendo em conta que a acção do peso próprio corresponde a uma importante fatia da causa destas

grandes deformações, considerou-se a redução desta. Assim sendo, optou-se por uma solução de

laje fungiforme aligeirada pré-esforçada com capitéis. Com este tipo de solução consegue-se diminuir

significativamente o peso próprio da laje sem, no entanto, perder a altura útil das armaduras. O menor

peso desta solução aliada à utilização do pré-esforço, tem a vantagem de resultar em menores

deformadas para a laje. Posto isto, não é desenvolvido mais o pré-dimensionamento das lajes, uma

vez que se entra já no domínio do dimensionamento do pré-esforço. O restante pré-dimensionamento

da laje é feito no capítulo Análise de Esforços e Verificação dos Elementos Estruturais.

cm-5.4 -4.8 -4.2 -3.6 -3 1.2 1.8 2.4-2.4 -1.8 -1.2 -0.6 0 0.6

32

4.1.2 LAJE DE COBERTURA

A laje de cobertura apresenta igualmente um vão de 10.40m. Apesar das sobrecargas menores e das

aberturas que reduzem o peso total da laje, o facto de estar simplesmente apoiada conduz

igualmente a grandes deformadas.

Considerando o comportamento de flexão cilíndrica, obtém-se o seguinte diagrama de momentos

para uma secção tipo da laje com uma espessura de 0.40m:

Figura 4.7 – Cálculo de momentos na laje considerando um comportamento de flexão cilíndrica

� � )+�5 j �I j 8�� 348.81 j 0.36I j 16.67 j 1000 � 0.16 c 0.18

[Condição verificada]

Considerando uma laje maciça de 40cm obtém-se a seguinte deformada:

Figura 4.8 – Deformada da laje de cobertura com uma espessura de 0.40m

Pelas mesmas razões das lajes dos pisos inferiores, o restante pré-dimensionamento da laje será

efectuado no capítulo Análise de Esforços e Verificação dos Elementos Estruturais.

cm-3.6 -3.2 -2.7 -2.3 -1.8 -1.4 -0.9 -0.4 0 0 0.9 1.35 1.8 2.25

33

4.2 VIGAS

O pré-dimensionamento das vigas foi feito com base na condição de que a altura destas deve estar

num intervalo entre m:/ e

m:I. Tendo em conta que a largura dos pilares corresponde a 0.35m, optou-se

por uma largura de vigas com esta mesma dimensão. Relativamente à altura das vigas, adoptou-se

uma altura mínima correspondente a 0.60m, independentemente das anteriormente calculadas.

Viga l [m] l/10 l/12 hadoptado [m]

V1.1 2.3 0.23 0.19 0.6

V1.2 10.1 1.01 0.84 0.9

V1.3 2.1 0.21 0.18 0.6

V1.4 7.5 0.75 0.63 0.7

V1.5 2.3 0.23 0.19 0.6

V1.6 9.9 0.99 0.83 0.9

V1.7 2.9 0.29 0.24 0.6

V1.8 7.2 0.72 0.60 0.7

V1.9 4.6 0.46 0.38 0.6

V1.10 5.1 0.51 0.43 0.6

V1.11 4.2 0.42 0.35 0.6

V1.12 1.9 0.19 0.16 0.6

V1.13 3.7 0.37 0.31 0.6

V1.14 2.1 0.21 0.18 0.6

V1.15 9.1 0.91 0.76 0.6

V1.16 10.5 1.05 0.88 1.0

V1.17 7.7 0.77 0.64 0.7

V1.18 5.2 0.52 0.43 0.6

Tabela 4.1 – Pré-dimensionamento das vigas do piso 1

Viga l [m] l/10 l/12 hadoptado [m]

VC.1 4.8 0.48 0.40 0.6

VC.2 7.6 0.76 0.63 0.7

VC.3 5.2 0.52 0.43 0.6

VC.4 1.6 0.16 0.13 0.6

VC.5 10.8 1.08 0.90 1

DC.1 4.8 0.48 0.40 1.27

DC.2 7.6 0.76 0.63 1.27

DC.3 5.2 0.52 0.43 1.27

VC.6 1.6 0.16 0.13 0.6

VC.7 5.6 0.56 0.47 0.6

VC.8 5.2 0.52 0.43 0.6

Tabela 4.2 – Pré-dimensionamento das vigas da cobertura

(Nota: a Viga “DC” corresponde à viga-dobra que faz a transição entre as duas lajes de cobertura.)

Figura 4.9 – Numeração das vigas do piso 1

Figura 4.10 – Numeração das vigas da

cobertura

(Viga V1.1)

(Viga V1.3)

(Viga V1.8)

(Viga V1

.2)

(Viga V1.4)

(Viga V1.9)

(Viga V1.5)

(Viga V1.6)

(Viga V1

.10)

(Viga V1

.15)

(Viga V1.16)

(Viga V1

.17)

(Viga V1.11)(Viga V1.12) (Viga V1.13)

(Viga V1.14)

(Viga V1.18)

(Viga V1

.7)

(Viga C.1) (Viga C.2) (Viga C.3)

(Dobra C.1) (Dobra C.2) (Dobra C.3)

(Viga C.8)

(Viga C.5)

(Viga C.4)

(Viga C.6)

(Viga C.7)

34

Com os valores de altura de vigas obtidos, procedeu-se a uma verificação simplificada das seguintes

condições de segurança em relação aos estados limites últimos:

� � )��5 j �I j 8�� c 0.25 (4.3)

4�� c 0.5 j 4*� � 0.5 j �I j 56 j � (4.4)

Estes valores foram calculados em função das áreas de influência das vigas, considerando os valores

tabelados para viga com condições de apoio “simplesmente apoiada”, “encastrada-apoiada” ou

“duplamente encastrada”, com andamentos de carga rectangulares, triangulares ou trapezoidais. Nas

seguintes figuras estão representadas as áreas de influência das vigas, bem como o tipo de carga

considerado no cálculo. No caso de áreas de influência com forma irregular, considerou-se essa

carga distribuída numa área rectangular equivalente, seguindo a seguinte legenda de cores:

CARGA RECTANGULAR CARGA TRAPEZOIDAL CARGA TRIANGULAR CARGA IRREGULAR

Figura 4.11 – Áreas de influência das vigas do piso 1

Figura 4.12 – Áreas de influência das vigas da cobertura

35

Viga hadoptado [m] Área Influência [m2] M

+Sd [kN.m] M

-Sd [kN.m] μ

+ μ

- VSd [kN] 0.5*VRd [kN]

V1.1 0.6 2.6 8 -7 0.00 0.00 41 420

V1.2 0.9 14.4 511 - 0.12 - 202 630

V1.3 0.6 1.9 7 -6 0.00 0.00 37 420

V1.4 0.7 14.9 326 - 0.13 - 138 490

V1.5 0.6 4.3 9 -241 0.01 0.01 49 420

V1.6 0.9 22.0 298 -241 0.07 0.06 267 630

V1.7 0.6 3.3 26 - 0.01 - 29 420

V1.8 0.7 2.8 60 -17 0.03 0.01 94 455

V1.9 0.7 2.6 24 -17 0.01 0.01 61 420

V1.10 0.6 7.3 102 - 0.06 - 65 420

V1.11 0.6 8.0 46 -54 0.03 0.04 136 420

V1.12 0.6 9.9 17 -65 0.01 0.02 109 420

V1.13 0.6 14.0 49 -65 0.03 0.05 157 420

V1.14 0.6 3.5 10 -65 0.01 0.01 56 420

V1.15 0.6 27.7 301 -310 0.17 0.22 294 420

V1.16 1.0 24.4 210 -310 0.04 0.04 240 700

V1.17 0.7 25.5 237 -251 0.10 0.12 273 490

V1.18 0.6 8.7 45 -47 0.03 0.03 105 420

VC.1 0.6 14.3 72 -336 0.04 0.09 190 420

VC.2 0.7 36.8 210 -336 0.09 0.17 332 490

VC.3 0.6 19.5 77 -336 0.04 0.09 177 420

VC.4 0.6 1.6 - -123 - 0.01 58 420

VC.5 1.0 25.9 1013 - 0.19 - 297 700

DC.1 1.27 13.4 85 -369 0.01 0.02 214 889

DC.2 1.27 37.7 231 -350 0.03 0.05 364 889

DC.3 1.27 19.5 86 -369 0.01 0.02 198 889

VC.6 0.6 1.6 - -137 - 0.01 58 420

VC.7 0.6 14.1 96 -194 0.05 0.12 218 420

VC.8 0.6 11.8 83 -194 0.05 0.10 203 420

Tabela 4.3 – Resultados do pré-dimensionamento das vigas

No caso de vigas contínuas foi aplicada uma compatibilização de momentos aos momentos negativos

da seguinte forma:

Figura 4.13 – Compatibilização dos momentos negativos

Com, )�� aá� � ��I0.8 j aá�M)�; )�N�

36

4.3 PILARES

O pré-dimensionamento dos pilares tem um papel de elevada importância na fase inicial de um

projecto estrutural, uma vez que estes são os elementos que mais interferem nos ambientes

arquitectónicos, especialmente nos pisos térreos e enterrados (garagens). No seu pré-

dimensionamento foram analisados os esforços axiais que descarregam em cada pilar através do

estudo das respectivas áreas de influência. A complexa geometria do edifício e a variação desta em

altura, implicaram uma avaliação mais exaustiva destas áreas, tendo sido efectuada uma análise piso

a piso. Seguindo o artigo 144º do REBAP, a área necessária a cada pilar para resistir ao esforço axial

pode ser obtido pela seguinte expressão:

�� ,+�G j 8�� (4.5)

Tendo em conta que este método não contempla o efeito da flexão composta desviada da acção

sísmica, (que condiciona normalmente os pilares dos edifícios), adoptou-se um valor de 0,6 para o

valor de ajuste do esforço normal reduzido (G).

Relativamente às áreas de influência foram considerados três posicionamentos diferentes dos pilares

– pilar de extremidade, pilar intermédio e pilar central – uma vez que o seu posicionamento

condiciona os esforços absorvidos por cada pilar.

Considerando um modelo simplificado de viga contínua, obtém-se um modelo apoiado-encastrado

para os vãos de extremidade e um modelo duplamente encastrado para os centrais. Para os vãos

centrais a cargas distribui-se uniformemente, no entanto para os vão de extremidade o apoio

encastrado tem uma reacção maior. Assim, tendo em consideração este efeito hiper-estático, foi

aplicado um valor correctivo de 0.75, 1.125 e 1, respectivamente para os pilares de extremidade,

pilares intermédios e pilares centrais. No caso de pilares que não se enquadram em nenhum destes

casos, adoptou-se um valor correctivo de 1 e estão apresentados com o nome de “pilar

indiferenciado”.

Figura 4.14 – Áreas de influência dos diferentes posicionamentos dos pilares

Pilar de Extremidade � � 0.75��

Pilar Intermédio � � 1.125��

Pilar Central � � ��

37

Nas figuras seguintes estão representadas as áreas de influência referentes a cada piso com a

seguinte legenda de cores:

PILARE DE

EXTREMIDADE PILAR

INTERMÉDIO PILAR

CENTRAL PILAR

INDIFERENCIADO NÚCLEO MURO

Figura 4.15 – Áreas de influência do piso 0



Figura 4.18 – Áreas de influência da cobertura do nível inferior

Figura 4.19 – Áreas de influência da cobertura do nível superior

38

Na seguinte tabelas estão resumidos os valores obtidos:

Dimensões adoptadas

Pilar Nsd [kN] Área necessária

[m2]

a [cm]

b [cm]

Ф [cm]

Área [m2]

PA2 123 0.012 30 35

0.105

PB2 1187 0.119 35 60

0.210

PC2 1467 0.147 35 70

0.245

PD2 677 0.068 35 70

0.245

PE2 1195 0.120 35 70

0.245

PF2 1406 0.141 35 70

0.245

PG2 1020 0.102 35 70

0.263

PD3 4136 0.414 35 120

0.420

PA4 123 0.012 30 35

0.105

PB4 1732 0.173 35 82

0.287

PC4 4978 0.498 45 80

0.360

PD4 2882 0.288 35 70

0.245

PE4 4156 0.416 35 95

0.333

PF4 4103 0.410 45 70

0.315

PG4 1901 0.190 35 70

0.245

PC5 2529 0.253 35 45

0.158

PD5 948 0.095 35 35

0.123

PE5 1645 0.164 35 55

0.193

PF5 2072 0.207 35 55

0.193

PH6 181 0.018 35 35

0.123

PI6 735 0.073 35 35

0.123

PJ6 120 0.012 35 35

0.123

PL6 126 0.013 35 40

0.140

PN6 200 0.020 35 40

0.140

P06 195 0.019 35 40

0.140

PQ6 167 0.017 35 35

0.123

PR6 104 0.010 35 40

0.140

PK7 1652 0.165

35 0.096

PM7 1585 0.159

35 0.096

PP7 1411 0.141

35 0.096

PR7 702 0.070 35 70

0.245

Algumas áreas adoptadas correspondem valores inferiores ao de pré-dimensionamento. Isto deve-se

ao facto de se procurar manter uma regularidade nas dimensões dos pilares. Na fase de

dimensionamento deverá ser feita uma análise mais completa de forma a verificar a verdadeira

capacidade desses pilares.

39

4.4 FUNDAÇÕES

O pré-dimensionamento de sapatas num edifício consiste em garantir que o terreno tem condições

para suportar as tensões a si transmitidas. Para o caso de sapatas isoladas, conhecido o esforço

axial na base dos pilares, determina-se a área mínima da sapata pela seguinte expressão:

�� ,��mkbFk�� (4.6)

O valor da tensão admissível adoptada do terreno encontra-se explicado no capítulo Critérios Gerais

de Dimensionamento e corresponde a Fk�� 600f�Q.

Sendo:

� � � W 2� (4.7)

3 � 5 W 2� (4.8)

� � � j 3 � M� W 2�N j M5 W 2�N (4.9)

Consegue-se determinar o valor c, conhecida a área mínima, através da expressão:

� � 4 j �� W 5I L 2 j 5 j � W �I L 5 L �4 (4.10)

Figura 4.20 – Dimensões de uma sapata

A altura mínima de sapatas deverá ser tal que garanta o seu funcionamento como um corpo rígido em

meio elástico (solo), e elimine os problemas de punçoamento.

¡ � aá�¢M� L �N; M3 L 5N£3 (4.11)

40

No quadro da página seguinte estão apresentados os valores dos esforços axiais, para a combinação

rara, transmitidos às sapatas e as dimensões resultantes do pré-dimensionamento:

Sapata b [m] d [m] B [m] D [m] c [m] N [kN] Amin [m2] A [m

2] Hmin [m]

Sapata PD3 0.5 1.25 2.3 3 0.9 2750 6.9 6.9 0.6

Sapata PC4 0.45 0.8 2.95 3.3 1.25 3718 9.3 9.7 0.8

Sapata PD4 0.35 0.7 2.15 2.5 0.9 2040 5.1 5.4 0.6

Sapata PE4 0.35 0.9 2.65 3.2 1.15 3337 8.3 8.5 0.8

Sapata PC5 0.45 0.35 2.05 2.15 0.85 1630 4.1 4.4 0.6

Sapata PD5 0.35 0.35 1.85 1.85 0.75 1270 3.2 3.4 0.5

Sapata PE5 0.55 0.35 2.15 2.35 0.9 1983 5.0 5.1 0.6

Sapata PF5 0.55 0.35 2.15 2.35 0.9 1970 4.9 5.1 0.6

Sapata PK7 0.35 0.35 1.75 1.75 0.7 1111 2.8 3.1 0.4

Sapata PM7 0.35 0.35 1.85 1.85 0.75 1365 3.4 3.4 0.5

Sapata PP7 0.35 0.35 1.45 1.45 0.55 795 2.0 2.1 0.4

Tendo em conta a proximidade das sapatas dos pilares PD4 e PK7 e ainda dos pilares PF5 e PP7

optou-se por sapatas contínuas entre estes elementos, tendo sido ajustadas as dimensões garantido

a verificação das tensões.

4.5 MUROS DE SUPORTE

Os muros de suporte foram pré-dimensionados considerando dois modelos de cálculo diferentes

consoante a sua posição relativamente a outros elementos. Os muros envolventes M1 e M3

(separado da estrutura principal), foram calculado através de um modelo em consola pura, enquanto

que o muro confinado no edifício foi pré-dimensionado através de um modelo semi-encastrado, uma

vez que este está contraventado pela laje do piso 0. Este obtém-se calculando os momentos para um

modelo encastrado-apoiado, considerando depois uma redistribuição dos esforços, baixando o valor

do momento negativo para cerca de metade.

Figura 4.21 – Modelos em consola e encastrado-apoiado (para semi-encastrado) para pré-dimensionamento dos

muros

41

Considerando um peso volúmico do solo de 20kN/m3 e um ângulo de atrito igual a op � 30º e um

coeficiente de impulso em repouso corresponde a f/ � 0.5 � 1 L �7SMo�N, obtêm-se os seguintes

momentos de pré-dimensionamento:

)+��<b¤ �: � LP�� j %I6 � LA j = j f/ j =I6 � L20 j 7 j 0.5 j 7I6 � L571.7f,.a/a

)+��<b¤ �IM¥N � LP�� j %I8 � LA j = j f/ j =I8 � L20 j 3 j 0.5 j 3I8 � L33.75f,.a/a

)+��<b¤ �IM�N � LP�� j %I14.2 � LA j = j f/ j =I14.2 � L20 j 3 j 0.5 j 3I14.2 � 19.01f,.a/a

)+��<b¤ �¦ � LP�� j %I6 � LA j = j f/ j =I6 � L20 j 3.9 j 0.5 j 3.9I6 � L98.87f,.a/a

Considerando uma redistribuição de esforços obtém-se para o muro M2 valores de momento

correspondentes a:

)+��<b¤ �IM¥N � L16.88f,.a/a

)+��<b¤ �IM�N � 35.89f,.a/a

Limitando o valor de µ a 0.20, verificaram-se os muros M1, M2 e M3 para espessuras de 40cm, 20cm

e 20cm respectivamente.

� �<b¤ �: � )��5. �I. 8�� 571.71 j 0,4I j 16,67 j 10¦ � 0.21 � 0.20

� �<b¤ �I � )��5. �I. 8�� 35.891 j 0,2I j 16,67 j 10¦ � 0.05 c 0.20

� �<b¤ �¦ � )��5. �I. 8�� 98.871 j 0,2I j 16,67 j 10¦ � 0.15 c 0.20

Desta forma adoptou-se uma espessura constante de 20cm para os muros M2 e M3 e, uma vez que

a espessura de 40cm não verifica para o muro M1, adoptou-se uma espessura variável com 45cm na

base e 20cm no topo para este último.

42

4.6 ESCADAS

O pré-dimensionamento das escadas seguiu o mesmo processo de uma laje convencional.

Considerando uma modelo bi-apoiado e o seguinte modelo chegou-se ao seguinte momento máximo.

Apenas é pré-dimensionada a escada E3 que faz a transição entre os pisos 0 e 1.

Figura 4.22 – Modelos bi-apoiado para pré-dimensionamento da laje das escadas

Uma vez que esta escada apresenta um vão de 6.6m e uma altura de 4m a sua extensão

corresponde a 7.7a � √6. 6I W 4I.

Assim, a regra de pré-dimensionamento estipula a seguinte espessura da laje:

%= � 30 � 7.7= � 30 � = ¨ 0.25a (4.12)

Esta espessura implica uma carga distribuída majorada de:

P�� 1.35 j PPmk[l W 1.5 j 2�� W 1.5 j �� 1.35 j 0.25 j 25 W 1.5 j 1.5 W 1.5 j 5 � 18.2f,/aI

O que resulta no seguinte diagrama de momentos para uma secção tipo da laje da escada.

Figura 4.23 – Cálculo de momentos na laje da escada considerando um modelo bi-apoiado

Com o objectivo de garantir à laje uma boa ductilidade e evitar grandes densidades de armaduras

(critério de economia e qualidade de execução) deve-se verificar � R 0.18.

� � )+�5 j �I j 8�� 134.81 j 0.21I j 16.67 j 1000 � 0.18

[Condição satisfeita]

M = 134.8 kN.m/m

psd = 18.2 kN/m2

43

5 MODELAÇÃO DA ESTRUTURA

As constantes alterações que um projecto sofre, influenciadoras da solução estrutural, bem como as

pressões económicas que se reflectem em prazos, requerem uma ferramenta que permita um eficaz

processamento de dados e rápidas alterações às estruturas. A engenharia de estruturas actual não

dispensa por isso a utilização de programas de cálculos automático para a sua análise. Assim, foi

utilizado o programa tridimensional de elementos finitos SAP2000 – Structural Analysis Program 2000

na elaboração do modelo do edifício.

Embora seja possível abordar os esforços dos vários elementos estruturais através de cálculos

manuais, apenas um modelo desta natureza consegue simular convenientemente o comportamento

dinâmico global da estrutura, bem como os modos de vibração desta com as respectivas frequências

próprias associadas. Este tipo de ferramenta permite igualmente um acesso rápido aos esforços a

que a estrutura se encontra submetida, facilitando o processo de verificação da segurança da

estrutura.

No presente capítulo são apresentados os critérios e a forma como os diferentes elementos

estruturais e acções foram simulados, de forma a montar o modelo 3d da estrutura mais próximo da

realidade possível.

É importante salientar que apenas se apresenta o modelo final da estrutura. Este sofreu várias

alterações desde a fase de pré-dimensionamento, tendo sofrido alterações ao nível de secções de

pilares, vigas e lajes e mesmo a sua localização. O modelo passou assim por um processo de

refinamento até se chegar ao produto final.

Apresentam-se de seguida uma imagem do modelo final:

Figura 5.1 – Modelo tridimensional de elementos finitos

44

5.1 GEOMETRIA

5.1.1 MALHA

A malha consiste numa grelha tridimensional onde se desenha a geometria da estrutura. O facto do

edifício em estudo apresentar dois planos de orientação distintos (figura 5.2) levou à necessidade da

criação de duas malhas, uma vez que a utilização de apenas uma levaria a uma malha extremamente

refinada, dificultando a sua leitura.

Figura 5.2 – Diferentes orientações dos elementos visíveis ao nível do piso 1

Desta forma foram criadas no modelo duas malhas, uma com um alinhamento segundo as

orientações X e Y do programa e outra com uma rotação aproximada a 17º relativamente ao eixo

global.

O facto de se ter adoptado uma solução de laje aligeirada influenciou desde logo a sua geometria.

Tendo em conta que o espaçamento das nervuras corresponde a 0.80m foi pensada de início uma

malha onde os afastamentos de pilares tivessem espaçamentos múltiplos preferenciais de 0.80m, ou

0.40m. Esta medida facilitou em muito a modelação, uma vez que com esta aproximação diminuiu-se

significativamente o refinamento necessário da malha, principalmente na zona dos capitéis. O

Figura 5.3 – Malha Global vista em planta

Figura 5.4 – Malha a 17 Graus vista em planta

45

inconveniente desta simplificação reflecte-se no facto de o modelo não corresponder exactamente à

realidade, no entanto o erro máximo corresponde a 0.20m o que se considerou aceitável.

Na zona da entrada da garagem onde existe um muro circular, foi necessária a criação de uma malha

de coordenadas cilíndricas que permitisse uma melhor representação da forma curvilínea deste.

Figura 5.5 – Malha de coordenadas cilíndricas para definição do muro na zona da garagem

5.2 ELEMENTOS ESTRUTURAIS

5.2.1 PILARES E VIGAS

Os pilares e vigas existentes na estrutura foram simulados como elementos de barra. Estes

correspondem a elementos finitos com dois nós, um em cada extremidade, tendo cada um deles 6

graus de liberdade, 3 de translação e 3 de rotação.

Figura 5.6 – Elemento de barra com os nós de extremidade evidenciados a verde

5.2.2 LAJES E MURO

As lajes foram simuladas através de elementos finitos de casca de 3 e 4 nós, tendo cada nó, à

semelhança dos nós dos elementos de barra, 6 graus de liberdade. No domínio dos elementos finitos

de casca existem 2 tipos diferentes: laje fina e laje espessa. No modelo foi adoptada a laje fina, que

se baseia na teoria de Kirchhoff onde, ao contrário da teoria de laje espessa, não permite a

consideração do efeito da deformabilidade por esforço transverso. A sua utilização é aconselhável

sempre que a espessura a relação vão/espessura seja maior que 10.

46

Figura 5.7 – Elemento de casca com os nós de extremidade evidenciados a verde

No modelo são consideradas dois tipos diferentes de lajes: lajes maciças e lajes aligeiradas. Uma vez

que o programa utilizado não tem uma aplicação directa para a simulação deste segundo tipo de laje,

foi considerado um mesmo elemento com duas alturas independentes, uma correspondente à área

equivalente e outra altura correspondente à inércia equivalente.

Figura 5.8 – Discretização da laje aligeirada do piso 0 com os capitéis e maciçamentos a verde-escuro

No quadro de definição destes elementos preencheu-se o campo de membrana com a altura

correspondente à área equivalente e o campo de flexão com a altura que corresponda à inércia

equivalente. No caso das lajes maciças e capitéis estes campos são preenchidos com o mesmo valor

– a própria espessura da laje. No quadro seguinte estão apresentadas a área e inércia equivalentes

tabeladas para as diferentes alturas de lajes utilizadas:

Altura total laje aligeirada Área equivalente Inércia equivalente

H = 40 cm 1318 cm2 151574 cm

4

H = 50 cm 1562 cm2 301779 cm

4

Ora, estes valores correspondem a uma largura de 0.80m (afastamento entre nervuras) e devem ser

por isso convertidos a uma largura unitária. Tem-se assim uma altura h equivalente a uma laje maciça

com a mesma área da laje aligeirada de:

47

©ª«¬\�.�~ � �®�¯�. ¯ j ��¥ � | j °ª« ±°ª« � �. �²�~ ©ª«¬\�.��~ � ��²³�. ¯ j ��¥ � | j °ª« ±°ª« � �. ��~

E uma altura h equivalente a uma laje maciça com a mesma inércia da laje aligeirada de:

´ª«¬\�.�~ � ��µ�. ¯ j ��¥¯ � | j °ª«®�³ ± °ª« � �. ³¯®~ ´ª«¬\�.��~ � ®��µµ��. ¯ j ��¥¯ � | j °ª«®�³ ± °ª« � �. ®�²~

Estes elementos de casca foram modeladas preferencialmente com elementos quadrados de

0.8x0.8m2 o que tornou a modelação mais simples ao nível das lajes, como explicado no ponto 5.1.

As lajes do piso -1 e rampa não foram modeladas por se encontrarem ao nível do terreno.

O muro foi simulado à semelhança das lajes com elementos de casca.

5.2.3 NÚCLEO

O núcleo foi simulado através de um elemento de barra com as características geométricas

semelhantes à sua configuração. Deste modo o programa admite um elemento de barra com as

propriedades tais como a área, a inércia ou o modo de flexão equivalentes.

Figura 5.9 – Geometria do núcleo em planta

Ao representar estes elementos desta forma foi necessário introduzir elementos de barra, ao nível de

cada piso, rígidos à torção e à flexão de forma a compatibilizar os deslocamentos (de torção, flexão e

translação) com os elementos de casca adjacentes. De modo a conferir a estes elementos uma

rigidez praticamente infinita (quando comparada com a dos restantes elementos), alterou-se nas

propriedades da secção o coeficiente multiplicador da constante de torção e do momento de inércia

em torno dos eixos 2 e 3, para um factor de 1000. O peso e a massa foram reduzidos para um valor

perto de zero por forma a não serem contabilizados.

48

Figura 5.10 – Elementos de barra rígidos ao nível dos pisos

Cada elemento de barra rígido é ligado ao nó da extremidade do elemento vertical que simula o

núcleo através duma compatibilização dos deslocamentos entre estes elementos.

5.2.4 CABOS DE PRÉ-ESFORÇO

Relativamente aos cabos de pré-esforço, estes não foram de facto modelados, foram sim modeladas

as cargas equivalentes ao pré-esforço aplicadas sob a forma de cargas nodais e cargas em “faca” em

elementos de barra fictícios, cujas propriedades de esforço axial, esforço transverso, momentos,

massa e peso foram reduzidas para valores próximos de zero, constituindo assim apenas um

elemento para localização da carga sem influência alguma a nível de rigidez.

No caso da cobertura, onde os cabos de pré-esforço são parabólicos, considerou-se a carga em

“faca” aplicada ao longo do cabo de pré-esforço e as cargas pontuais nas extremidades deste.

Figura 5.11 – Cargas em “faca” referentes ao pré-esforço na laje de cobertura

Figura 5.12 - Cargas nodais referentes ao pré-esforço na laje de cobertura

49

Uma vez que nos restantes pisos os cabos de pré-esforço têm traçados trapezoidais, os elementos

de barra fictícios foram colocados na direcção transversal aos cabos passando na linha onde as

cargas nodais equivalentes de pré-esforço se encontram.

Figura 5.13 – Cargas em “faca” na direcção perpendicular referentes ao pré-esforço no piso 0

5.3 CONDIÇÕES DE FUNDAÇÃO

Com as informações obtidas pelo relatório geotécnico admitiu-se o terreno com capacidade suficiente

para absorver os esforços dos elementos verticais da estrutura, todos estes elementos foram

simulados como totalmente encastrados na base.

5.4 ACÇÕES

5.4.1 CARGAS DOS PAVIMENTOS

As cargas referentes às restantes cargas permanentes e sobrecargas foram simuladas como cargas

uniformemente distribuídas nos elementos de casca dos pisos.

5.4.2 ESCADAS

Face ao tipo de análise que se pretende estudar, o elemento global das escadas não será totalmente

modelado, prendendo-se apenas a representação das cargas destes elementos sobre as lajes onde

assentam. Este facto deve-se à observação continuada de que este tipo de elementos entra em

rotura logo nos primeiros instantes do sismo. Pela sua configuração geométrica é fácil perceber que

efectivamente a capacidade resistente a acções horizontais este elemento é praticamente nula, pelo

que é preferível não entrar em linha de conta com a sua contribuição no modelo global. O facto de se

considerarem as escadas nos modelos globais pode originar acréscimos de resistência que na

realidade não existem, tornando o modelo menos conservativo. Os cálculos referentes às escadas

são geralmente efectuados à mão.

50

Contudo, as cargas que estes elementos provocam na restante estrutura não podem ser

desprezadas, deste modo foram modelados elementos de barra fictícios com o intuito de representar

as cargas referentes às escadas (peso próprio, restantes cargas permanentes e sobrecarga).

Posteriormente foram aplicadas nesses elementos as cargas provenientes das escadas sob forma de

cargas em “faca”.

Figura 5.14 – Aplicação das cargas referentes ao peso próprio das escadas ao nível dos pisos 0 e 1

5.4.3 PAREDES DE ALVENARIA EXTERIORES

As paredes de alvenaria exteriores foram simuladas com cargas distribuídas em “faca” sobre as vigas

onde estas descarregam. No caso de existirem paredes de alvenaria numa zona sem viga foram

criados elementos de barra fictícios.

Figura 5.15 – Cargas referentes às paredes de alvenaria exteriores aplicadas no piso 1

51

5.4.4 IMPULSOS DO TERRENO

Os impulsos do terreno foram simulados através de uma carga triangular aplicada ao nível dos

elementos de casca.

Figura 5.16 – Distribuição dos impulsos do terreno no muro

5.4.5 SISMO

Uma vez inseridos os espectros definidos no capítulo Critérios Gerais de Dimensionamento, foram

criadas análises espectrais para cada tipo de sismo segundo as direcções X e Y. Aplicando o

coeficiente de 0.57 para as direcções X e Y e o coeficiente 0 para a direcção vertical, resultam as

seguintes análises espectrais: SISMO-X1; SISMO-X2; SISMO-Y1; SISMO-Y2. O valor de 0.57 foi

obtido através da divisão do coeficiente de sismicidade @ � 1 pelo coeficiente de comportamento D � 1.75.

Na definição da acção sísmica houve que ter em conta que as repostas máximas para cada modo de

vibração em cada uma das direcções não acontecem em simultâneo, tendo para tal que se proceder

à sua combinação. Relativamente à combinação direccional, utilizou-se a RQSQ (Raiz Quadrada da

Soma dos Quadrados), correspondendo no fundo à combinação geométrica dos esforços nas duas

direcções. Este corresponde ao resultado pretendido, uma vez que um sismo actuando numa

direcção também provoca esforços na outra direcção, sendo por isso necessária a sua combinação.

Em relação à combinação modal, optou-se pela CQC (Combinação Quadrática Completa), sendo

mais apropriada, que a RQSQ, para uma análise tridimensional com frequências de vibração

próximas, permitindo assim correlacionar os esforços obtidos para os diferentes modos de vibração.

5.5 PORMENORES DE APLICAÇÃO

A dobra vertical existente a unir as lajes dos pisos de cobertura necessitou uma atenção especial em

termos de modelação. Inicialmente foi simulada com elementos de casca, no entanto foi alterada para

uma viga aplicada ao nível da laje de cobertura superior e ligada à laje inferior através de tirantes

52

axialmente rígidos com o objectivo de transmitir as cargas desta segunda laje para a viga. Desta

forma, consegue-se uma análise consideravelmente mais simples, pois pode-se assim armar a banda

como uma viga.

Figura 5.17 – Tirantes axialmente rígidos a ligar a viga na laje de cobertura superior à laje de cobertura inferior

5.6 VALIDAÇÃO DO MODELO

Os programas de cálculo de estruturas são ferramentas poderosas que vieram auxiliar em muito a

vida do engenheiro de estruturas actual. Cálculos complexos que antigamente levavam bastante

tempo a ser efectuados à mão, são agora executados numa questão de segundos e com grande

precisão. No entanto, estes programas podem ser uma ferramenta perigosa se o engenheiro confiar

em resultados que não sejam precisos.

Vários são os erros que se podem dar na criação do modelo e levar a esforços e deformadas irreais.

Torna-se assim necessária uma validação do modelo, confirmando a correcta inserção dos dados, de

maneira a permitir uma total confiança nos resultados devolvidos pelo programa, uma vez que deste

depende o dimensionamento e a segurança da estrutura. A validação do modelo consiste em

comparar a geometria, esforços ou deformadas obtidas no modelo com os valores que seriam

expectáveis.

5.6.1 VALIDAÇÃO DA GEOMETRIA

Uma verificação simples consiste em comparar as cargas verticais devolvidas pelo modelo com o

cálculo do peso da estrutura, através da determinação do seu volume.

Peso total da estrutura por cálculos manuais: A¶l9ã¤ j ¸4��mkbl� W 4�ú�ml¤ W 4n�Bk� W 4mk[l� W 4�<b¤º �25 j M74 W 22 W 46 W 672 W 140N � 23850 f,

Peso total pelo modelo: 24252 f,

Tem-se assim um erro de:»I¦¼½/¥I¾I½II¾I½I » � 1.64%

Através deste valor consegue-se aferir que geometricamente o modelo está validado.

53

5.6.2 VALIDAÇÃO DAS CARGAS

Através da comparação entre os cálculos manuais das reacções induzidas pelas cargas aplicadas e

as reacções obtidas no modelo, consegue-se verificar se estas estão bem introduzidas. Como

exemplo, mostra-se a verificação para a carga referente à sobrecarga.

Basta multiplicar as diferentes sobrecargas aplicadas pelas áreas correspondentes e comparar com

as reacções obtidas no modelo.

Reacção vertical obtida por cálculo manual: �� j M��¤ / W ¸��¤ : L �k��9lk9b¤N W ��¤ Iº W��k��9lk9b¤ j �k��9lk9b¤ � 3 j M840 W M520 L 190N W 260N W 4 j 190 � 5050 f,

Reacção vertical obtida pelo modelo: 4941 f,

Tem-se assim um erro de:»½/½/¥¾¿¾:¾¿¾: » � 2.22%

Repetindo estes passo para as restantes acções, ficam assim verificadas as cargas introduzias no

modelo.

5.6.3 VALIDAÇÃO DOS ESFORÇOS

A laje de cobertura representa a zona do edifício com a geometria mais simples, apesar de

apresentar aberturas. Devido à sua forma com uma lado aproximadamente duas vezes maior que o

outro, o seu comportamento é de flexão cilíndrica. A combinação de estados limites últimos com a

acção variável base de sobrecarga devolve o seguinte diagrama de momentos na direcção 2-2:

Figura 5.18 – Diagrama de momento na direcção 2-2 da laje de cobertura para a combinação ELU1

Considerando um modelo bi-apoiado, obtém-se um valor de momentos semelhante ao do modelo:

)+� � À1.35 j PPmk[l W 1.5 j M2�� W ��¤¶NÁ j %I8 � v1.35 j 25 j 0.4 W 1.5 j M2 W 1Nz j 10. 4I8 � 244f,a

kN.m-250 -212 -173 -135 -96 -58 -19 19 58 96 135 173 211 250

54

Outros tipos de verificação possíveis seriam a comparação da carga axial em pilares, comparação de

momentos e esforço transverso em vigas ou de momentos em muros devido aos impulsos do terreno.

5.6.4 VALIDAÇÃO DAS DEFORMADAS

Resta apenas verificar se a deformada da estrutura apresenta uma forma esperada. Apresentando

uma deformada exagerada referente à sobrecarga de cobertura apenas no piso 1, é visível que as

zonas afectadas são efectivamente as zonas de cobertura e não as restantes.

Figura 5.19 – Deformada do piso 1 referente à sobrecarga de cobertura

Através da apreciação destes resultados pode-se aferir que o modelo é adequado à solução

estrutural adoptada e que as cargas estão correctamente introduzidas, o modelo está validado.

55

6 ANÁLISE SÍSMICA

Portugal continental apresenta uma actividade sísmica que resulta da sua proximidade geográfica da

fronteira entre as placas tectónicas Euro-asiática e Africana. Uma região que se estende desde

Gibraltar até ao arquipélago dos Açores, onde se encontra uma outra placa, a Norte Americana.

Figura 6.1 – Enquadramento tectónico de Portugal continental. As placas tectónicas indicadas são: NA (Norte

Americana), EU (Euro-asiática) e AF (Africana)

Tendo em conta que os sismos representam um dos fenómenos naturais mais imprevisíveis e de

elevado poder destrutivo que se abatem sobre as estruturas, torna-se fundamental ter em atenção,

aquando da elaboração do projecto de edifícios, os efeitos produzidos pela sua acção. Desta forma,

devem ser tomados certos cuidados que condicionam o comportamento duma estrutura perante a

acção sísmica, com o objectivo de na eventualidade da ocorrência de tal fenómeno, existirem

capacidades estruturais que permitam garantir a segurança das vidas humanas, limitar as perdas

materiais e económicas e ainda assegurar o funcionamento de instalações de protecção civil

importantes.

Para que uma estrutura apresente um bom comportamento sísmico devem ser respeitadas certas

condições a nível de concepção estrutural tais com simplicidade estrutural, uniformidade, simetria e

redundância, resistência e rigidez bidireccionais, resistência e rigidez à torção, comportamento de

diafragma ao nível dos pisos, fundações adequadas, um crescimento em altura simétrico e regular,

não existência de cantos reentrantes ou o posicionamento favorável de elementos de elevada rigidez.

6.1 COMENTÁRIOS AO COMPORTAMENTO SÍSMICO DO EDIFÍCIO EM ESTUDO

A concepção estrutural do edifício em análise procurou uma solução que o dotasse de um bom

comportamento dinâmico. No entanto, foram várias as adversidades encontradas na sua formulação

devido às imposições da sua arquitectura que, como foi já explicado no capítulo Solução Estrutural,

condicionou bastante a solução estrutural, pelo que a liberdade de escolha de dimensões, geometria

e localização de pilares e núcleo foi diminuta.

56

Como características sismicamente desfavoráveis apresentadas no projecto de arquitectura

enunciam-se:

• Localização assimétrica do núcleo;

• Localização do muro de entrada do estacionamento e muro do lado Norte/Nordeste;

• Recuo assimétrico de mais de metade da área em planta ao nível do piso 2;

• Grande abertura no piso 1;

• Canto reentrante constante nos pisos -1, 0 e 1;

• Aumento de área do piso na zona Sudoeste do piso -1 para o piso 0;

• Configuração assimétrica;

• Geometria que traduz quatro direcções principais de inércia diferentes.

A localização assimétrica do núcleo (dependente da localização da caixa do elevador) caracteriza um

dos maiores problemas a nível de comportamento sísmico da estrutura, uma vez que “puxa” o centro

de rigidez da estrutura para junto da sua localização, afastando-o do centro de massa.

O recuo existente no piso 2 é outra das principais características arquitectónicas desfavoráveis à

resposta sísmica do edifício. Para além de ser bastante significativo (cerca de 55% da área em

planta) este apresenta-se num dos cantos, o que o torna assimétrico nas duas direcções. O facto de

o centro de rigidez se encontrar nesta zona, contribui para um aumento da sua excentricidade já que

os pilares que “puxavam” o centro de rigidez para o centro de massa desaparecem.

A grande abertura existente no piso 1 claramente cria problemas sísmicos. Com esta concepção a

transmissão das forças de inércia para os elementos estruturais verticais deixa de ser uniforme.

O canto reentrante que se verifica nos pisos -1, 0 e 1 acaba por não ser muito preocupante devido à

sua dimensão diminuta relativamente à estrutura global, no entanto, é uma zona com atenção

redobrada.

No projecto de arquitectura é possível verificar que existe um aumento da área do piso no lado

Sudoeste do piso -1 para o piso 0. De maneira a contornar esta questão, foi considerado manter a

configuração do piso 0 também no piso -1. Desta forma não só se melhora o comportamento às

acções horizontais como às acções verticais e ainda se ganha espaço no piso de estacionamento.

A assimetria geométrica do edifício conduziu também a uma inevitável assimetria estrutural, o que

levou a um comportamento sísmico menos previsível e com uma análise mais complexa.

57

Figura 6.2 – Diferentes alinhamentos de pilares orientados segundo as quatro direcções principais de inércia

Como se pode verificar, o projecto de arquitectura não apresenta um edifício pensado para resistir

confortavelmente às acções sísmicas, no entanto, cabe ao engenheiro de estruturas conceber a

melhor solução estrutural sem excessivos gastos económicos.

Como foi já explicado o posicionamento do núcleo foi condicionada unicamente pela posição da caixa

de elevador. Esta localização determinou que o centro de rigidez se aproxima-se deste elemento,

afastando-se do centro de massa. Desta forma, procurou-se levar novamente o centro de rigidez para

o centro de massa introduzindo elementos de maior rigidez (paredes) no lado oposto ao núcleo.

Infelizmente tal não foi possível, pois causaria alterações consideráveis na arquitectura.

Os pilares dos eixos 2, 4 e 5 seriam preferíveis se estivessem orientados com a direcção de maior

inércia segundo a menor direcção do edifício. Tal não se verificou para os pilares do eixo 2 que,

devido a questões de arquitectura, se encontram orientados segundo a direcção do muro, no entanto

os pilares do eixo 4 cumprem este requisito. Os pilares do eixo 5 apresentam inércias muito

semelhantes nas duas direcções, pelo que não se considerou preocupante orientá-los na direcção

menos favorável.

6.2 FREQUÊNCIAS, FACTORES DE PARTICIPAÇÃO DE MASSA E MODOS DE VIBRAÇÃO

Da análise dinâmica da estrutura obtêm-se os modos de vibração, correspondentes às diferentes

configurações das deformadas de vibração e as frequências próprias associadas. Estes foram

determinados por intermédio do programa de cálculo automático que elabora as matrizes de rigidez e

de massa necessárias a essa análise. Desta forma, obtiveram-se os valores das frequências próprias

e dos factores de participação de massas (para cada direcção espacial), bem como a deformada

referente a cada modo.

A resposta global da estrutura deve ser avaliada em função dos principais modos de vibração, ou seja

aqueles que envolvem uma maior participação de massa da estrutura. Ao primeiro modo de vibração

corresponde o maior período, ordenando-se os modos por ordem crescente a partir deste, com

períodos sucessivamente decrescentes. O período representa assim a quantidade de tempo que a

estrutura demora a completar um ciclo de oscilação em regime elástico livre.

A frequência, que corresponde ao inverso do período, representa a grandeza física que indica o

número de ocorrências de um ci

for uma estrutura, maior será a sua frequência. Atendendo

correspondem àqueles em que a estrutura oferece menos resistência para se deformar,

aumenta sucessivamente com o aumentar dos

própria fundamental duma estrutura

seja, a mais baixa.

Figura 6

Na seguinte tabela constam as frequências e períodos, bem como os valores dos factores de

participação modal, que indicam a percentagem de contribu

Períodos, Frequências e Factores de Participação Modal

Modo Período [s] Frequência [Hz]

1 0.51

2 0.43

3 0.34

4 0.20

5 0.17

6 0.16

7 0.15

8 0.14

Tabela 6.1 – Períodos,

Estrutura Alta

Estrutura Baixa

58


número de ocorrências de um ciclo em determinado intervalo de tempo. Ou seja, quanto mais rígida

for uma estrutura, maior será a sua frequência. Atendendo que os primeiros modos de vibração

correspondem àqueles em que a estrutura oferece menos resistência para se deformar,

com o aumentar dos modos de vibração. Relativamente á

duma estrutura, esta corresponde à frequência do primeiro modo de vibração, ou

6.3 – Frequência de diferentes tipos de estruturas

as frequências e períodos, bem como os valores dos factores de

participação modal, que indicam a percentagem de contribuição das massas para cada modo.

dos, Frequências e Factores de Participação Modal

Frequência [Hz] Ux Uy sum Ux sum Uy Rz

1.97 16.3% 15.5% 16.3% 15.5% 0.0%

2.30 16.1% 28.9% 32.4% 44.4% 36.1%

2.90 16.2% 0.5% 48.6% 44.9% 1.4%

5.03 3.0% 2.4% 51.7% 47.3% 0.0%

5.94 0.0% 0.7% 51.7% 48.0% 1.3%

6.17 0.0% 0.1% 51.7% 48.0% 0.0%

6.61 0.6% 7.5% 52.3% 55.5% 8.6%

7.34 6.2% 0.1% 58.5% 55.5% 0.1%

Períodos, Frequências e Factores de Participação Modal

Estrutura Flexível

Frequência Baixa

Estrutura Rígida

Frequência Alta


clo em determinado intervalo de tempo. Ou seja, quanto mais rígida

os primeiros modos de vibração

correspondem àqueles em que a estrutura oferece menos resistência para se deformar, a frequência

Relativamente á frequência

corresponde à frequência do primeiro modo de vibração, ou

as frequências e períodos, bem como os valores dos factores de

ição das massas para cada modo.

sum Rz

0.0%

36.1%

37.5%

37.6%

38.9%

38.9%

47.6%

47.7%

Frequências e Factores de Participação Modal

Gráfico 6.1 – Percentagem

Gráfico

Nesta análise foram considerados os primeiros 8 modos de vibração onde 58.5% da massa total é

mobilizada em segundo x, 55.5% é mobilizada em y e 47.7% é mobilizada segunda uma rotação em

torno de z. Estes valores correspondem à massa que efectivamente vibra.

Os valores apresentados, à partida, não seriam suficientes para efectuar uma boa análise dos

resultados. Numa análise desta

ordem dos 90% (principalmente nos de translação). A razão pela qual estes valores não são

atingidos, deve-se ao facto de o piso

contraventa a ele próprio e restringe os deslocamentos da laje do piso 0. I

percentagem da massa que não pode ser mobilizada

a confirmar a percentagem de massa acima do solo que efectivamente é mobilizada, foi elaborado

um modelo que começa no piso 0. Ou s

pilares foram todos encastrados na base

massa segundo as translações x e y e a rotação em z de 89.3%,

0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

0 1

%

Factores de Participação Modal

Ux Uy

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

0 1

s

59

Percentagem de participação modal por modo e acumulada

Gráfico 6.2 – Períodos e frequências por modo



stes valores correspondem à massa que efectivamente vibra.

, à partida, não seriam suficientes para efectuar uma boa análise dos

resultados. Numa análise desta natureza esperam-se obter valores de participação de massa na

0% (principalmente nos de translação). A razão pela qual estes valores não são

se ao facto de o piso -1 ser totalmente enterrado e ter um muro a toda a volta que se

contraventa a ele próprio e restringe os deslocamentos da laje do piso 0. Isto é, existem

percentagem da massa que não pode ser mobilizada – o muro do piso -1 e a laje do piso 0. Por forma


um modelo que começa no piso 0. Ou seja, o muro do piso -1 e a laje do piso 0 foram apagados e os

foram todos encastrados na base. Com este modelo obtém-se valores de participação de

massa segundo as translações x e y e a rotação em z de 89.3%, 81.4% e 71%, respectivamente.

2 3 4 5 6 7

Modo

Factores de Participação Modal

Uy Rz sum Ux sum Uy sum Rz

2 3 4 5 6 7Modo

Perídos e Frequências

Período Frequência

por modo e acumulada



, à partida, não seriam suficientes para efectuar uma boa análise dos

se obter valores de participação de massa na

0% (principalmente nos de translação). A razão pela qual estes valores não são

enterrado e ter um muro a toda a volta que se

sto é, existem uma grande

1 e a laje do piso 0. Por forma


1 e a laje do piso 0 foram apagados e os

se valores de participação de

81.4% e 71%, respectivamente.

0.0%

20.0%

40.0%

60.0%

8

% a

cum

ula

da

sum Rz

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

8

Hz

60

Conclui-se assim que esta percentagem se revela suficiente para uma avaliação da resposta

dinâmica da estrutura.

Figura 6.4 – Modelo encastrado ao nível do piso 0

No que diz respeito às deformadas dos modos de vibração, estes não correspondem ao que se

esperaria avaliando os factores de participação modal. De facto, e como já foi mencionado, o edifício

apresenta uma configuração bastante irregular e ainda uma série de características sísmicamente

menos favoráveis, pelo que a sua avaliação sísmica se tornou mais complexa e imprevisível.

Apesar do no primeiro modo o factor de participação de massa em torno de z ser nulo, a sua

configuração deformada apresenta uma clara rotação em torno do centro de rigidez (junto do núcleo),

sem translação aparente. No segundo modo, onde a participação de massa em torno de z

corresponde à mais elevada, verifica-se apenas translação na direcção da menor inércia da estrutura.

Finalmente o terceiro modo apresenta uma translação segundo X, conforme indiciado nos factores de

participação modal, e encontra-se associado a uma ligeira rotação do edifício.

Figura 6.5 – Primeiro modo de vibração visto em planta 3d

Figura 6.6 – Primeiro modo de vibração visto em perspectiva 3d

61

Figura 6.7 – Segundo modo de vibração visto em planta 3d

Figura 6.8 – Segundo modo de vibração visto em perspectiva 3d

Figura 6.9 – Terceiro modo de vibração visto em planta 3d

Figura 6.10 – Terceiro modo de vibração visto em perspectiva 3d

62

6.3 COEFICIENTE SÍSMICO

Como consta no artigo 31º do RSA, “o coeficiente sísmico (β), segundo uma dada direcção, é um

coeficiente que, multiplicando o valor das acções gravíticas correspondentes às cargas permanentes

e ao valor quase permanente das cargas variáveis (FV), define o valor característico da resultante

global das forças estáticas (FE) que, convenientemente distribuídas pela estrutura, permitem

determinar os efeitos da acção dos sismos na direcção considerada”, o que se traduz na seguinte

expressão:

Â � �̂�Ã (6.1)

Foram então calculados os valores dos coeficientes sísmicos para cada direcção e tipo de sismo. Do

modelo foram obtidas as reacções derivadas das acções sísmicas consideradas – SISMO-X1,

SISMO-X2, SISMO-Y1 e SISMO-Y2, bem como a força FV para a combinação quase permanente

(ELS3).

Acção Sísmica Direcção FE [kN] FV [kN] β

Sismo-X1 X 1600.27

23015.97

0.069 Y 987.94

Sismo-X2 X 1129.26

0.049 Y 748.78

Sismo-Y1 X 988.00

0.074 Y 1700.04

Sismo-Y2 X 748.90

0.055 Y 1256.61

Tabela 6.2 – Coeficientes sísmicos para as diferentes acções sísmicas e direcções

De acordo com o artigo 31º do RSA o valor do coeficiente sísmico deve situar-se entre 0.04@ e 0.16@

(α=1.0). Como verificado, todos os valores se encontram dentro dos limites.

63

7 HIPÓTESES DE CÁLCULO PARA A VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA

Uma estrutura, ou parte dela, atinge um estado limite quando, de modo efectivo ou convencional, se

torna inutilizável ou quando deixa de satisfazer as condições previstas para a sua utilização.

Depreende-se naturalmente dos requisitos esperados para uma estrutura, que a mesma deve reunir

as condições adequadas para garantir a segurança, funcionalidade e durabilidade, de modo a atender

às necessidades para as quais foi projectada. Logo, quando uma estrutura deixa de atender a

qualquer uma destas condições, considera-se que atingiu um estado limite. Desta forma, uma

estrutura pode atingir um estado limite de ordem estrutural ou de ordem funcional, distinguindo-se os

seguintes estados limite a verificar:

• Estados Limites Últimos;

• Estados Limites em Serviço.

No presente capítulo são explicados e/ou enunciados os cálculos efectuados no dimensionamento

apenas de elementos sujeitos a flexão composta e flexão simples, em função dos diferentes tipos de

solicitações, através da verificação da segurança aos estados limite.

7.1 VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

A verificação aos estados limites últimos (ELU) está relacionada ao colapso, ou a qualquer outra

forma de ruptura estrutural, que determine a incapacidade de uso da estrutura. Consiste assim, na

verificação da capacidade de carga dos elementos face às acções a que estão sujeitos. Uma vez que

diferentes elementos se encontram sujeitos a diferentes solicitações, as verificações necessárias para

cada elemento estrutural naturalmente que varia. Enunciam-se então os procedimentos de cálculos

para cada tipo de solicitação, cuja determinação da capacidade resistente de secções é efectuada

mediante a consideração das hipóteses de deformações limite no betão e nas armaduras

apresentadas no capítulo Critérios Gerais de Dimensionamento.

7.1.1 VERIFICAÇÃO À FLEXÃO SIMPLES

Na secção transversal de uma peça existe uma solicitação de flexão pura quando na mesma actua

apenas um momento flector. Neste caso as tensões normais de tracção e de compressão produzidas

pelo momento reduzem-se a um binário de forças equivalentes a um momento. Quando,

conjuntamente com o momento flector, actua uma força de corte, a solicitação passa a ser chamada

de flexão simples. A solicitação de flexão pode ser classificada de acordo com a direcção da

actuação das solicitações sobre a secção transversal da peça da seguinte forma:

64

• Recta (ou normal), quando a direcção da solicitação coincide com um dos dois eixos

principais de inércia da secção;

• Desviada, quando a direcção da solicitação não coincide com nenhum dos dois eixos.

Esta verificação consiste em garantir que o momento actuante é inferior ao momento resistente da

secção:

)+� R )*� (7.1)

Para o cálculo do momento flector resistente, recorreu-se ao método do diagrama rectangular que

permite simular, de forma simples, a resultante das tensões de compressão no betão. Este método

admite uma simplificação no diagrama de tensões de compressão no betão da seguinte forma:

Figura 7.1 – Simplificação do método do diagrama rectangular

Do que resulta:

Figura 7.2 – Diagrama de tensões na secção e posição da Linha Neutra (LN)

Admitindo que as armaduras se encontram em cedência, ou seja:

F� � 8;� M�� ;�N (7.2)

É possível determinar a posição da linha neutra (LN) através do equilíbrio axial:

�� 0.858�� j 5 j 0.8� � �� j 8;� � � � �� j 8;�0.858�� j 5 j 0.8 (7.3)

Através do equilíbrio de momentos obtém-se o valor do momento resistente da secção:

)*� � �� j 8;� j M� L 0.4�N (7.4)

65

Sabendo a posição da LN, é possível apurar se a rotura convencional se dá pela armadura ou pelo

betão.

Figura 7.3 – Posição da LN para �� 3.5‰ e para �� 10‰

�3.5 � �13.5

Conclui-se assim que:

• Para � c 0.26� Ä�� c 3.5‰�� 10‰� - rotura convencional pela armadura

• Para � � 0.26� Ä�� 3.5‰�� c 10‰� - rotura convencional pelo betão

Atendendo a que a secção deve ser dotada de ductilidade em situação de rotura, ou seja, deve

apresentar deformações consideráveis por cedência das armaduras, sem no entanto haver uma

perda de resistência, dever-se-á garantir que as armaduras se encontram em cedência na situação

de rotura. Outra razão pela qual se deve garantir esta condição reside numa questão económica: a

armadura utilizada deve ser integralmente mobilizada e, portanto, aproveitada integralmente a sua

capacidade resistente.

No caso do aço em uso (A400NR – �;� � 1.74‰) a posição da LN deverá respeitar � c 0.67�.

Figura 7.4 – Posição da LN para �� 3.5‰ e para �� ;� �3.5 � �3.5 W 1.74 � � c 0.67�

66

O valor do momento resistente duma secção varia em função dos seguintes parâmetros:

• Armadura de tracção – Para o caso de momentos reduzidos, o momento resistente varia

duma forma quase proporcional à área de armadura. No entanto, para momentos elevados, a

variação é menos significativa.

• Armadura de compressão - A armadura de compressão é geralmente desprezada no cálculo

do momento resistente duma secção, podendo no entanto ser considerada no caso de

esforços muito elevados.

• Largura da secção – A largura da secção apresenta uma influência significativa apenas no

caso de esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, em que geralmente a área

comprimida é pequena, a variação é pouco significativa.

• Classe do betão – A par do que se verifica para a largura da secção a sua influência é

importante apenas para esforços elevados.

7.1.2 VERIFICAÇÃO À FLEXÃO COMPOSTA

A flexão composta consiste numa actuação simultânea de flexão simples e compressão ou tracção.

Esta deve por isso ser verificada para elementos sujeitos a flexão simples com esforço axial não

desprezável. Em função das extensões máximas admitidas para os materiais, a figura 6.1 do EC2

mostra os pontos A, B e C de rotura admitidas para o aço e para o betão.

Figura 7.5 – Extensões admissíveis para o betão e para o aço

Os pontos apresentados correspondem aos seguintes limites de rotura:

• A – Extensão última do aço – 10.0 ‰

• B – Extensão última do betão – 3.5 ‰

• C – Extensão para a tensão máxima de compressão do betão – 2.0 ‰

67

Com base nestas extensões máximas dos dois materiais, podem ser definidas cinco zonas de

diagramas associados à rotura:

Figura 7.6 – Extensões limites para o betão e para o aço

1ª Zona – Zona com a secção totalmente traccionada. É ultrapassada a extensão limite de

tracção em toda a secção, posicionando-se a LN fora da secção. Este estado verifica-se para tracção

pura ou tracção com pequena excentricidade – (��: � 10 ‰, ��I R 10.0 ‰).

2ª Zona – Nesta zona é ultrapassada a extensão máxima de tracção apenas para a armadura

inferior, com a LN situada entre o bordo superior e uma altura corresponde a � � 0.26�, e com

extensões de encurtamento no betão inferiores à extensão última deste. Verifica-se para tracção e

compressão com grande ou média excentricidade – (��: � 10 ‰, ��M¥N R 3.5 ‰).

3ª Zona – Zona com a extensão máxima de encurtamento do betão atingida no extremo da

secção e extensão na armadura inferior à sua extensão limite mas superior a �;. Neste caso a LN

situa-se abaixo do limite correspondente a � � 0.26�. Este estado verifica-se, como o anterior, para

tracção e compressão com grande ou média excentricidade (�;� R ��: R 10 ‰, ��M¥N � 3.5 ‰).

4ª Zona – Zona semelhante à anterior mas com �;� R ��:. Esta caso acontece na actuação de

compressão com grande ou média excentricidade (��: R �;�, ��M¥N � 3.5 ‰).

5ª Zona – Nesta zona a secção encontra-se totalmente comprimida. A extensão de

compressão do betão é ultrapassada em toda a secção em simultâneo, situando-se a LN fora da

secção. Este estado verifica-se para compressão pura ou compressão com pequena excentricidade –

(2.0 ‰ R ��M�áÅN R 3.5 ‰).

As três primeiras zonas correspondem a zonas de rotura dúctil (�� ;�), enquanto que as duas

restantes apresentam uma rotura frágil (�� c �;�).

Com base nos diferentes diagramas de rotura e através das condições de equilíbrio é possível

determinar o diagrama N-M resistente duma secção.

68

Figura 7.7 – Diagrama de extensões e forças numa secção de betão armado sujeita a flexão composta

Equações de Equilíbrio para o caso acima referido:

• Equilíbrio Axial: �� W ��I L ��: � ,b�

• Equilíbrio de Momentos: �� j �� W ��I j ��I � )b�

De notar que para um valor de ,+� fixo, o aumento de momento produz sempre um aumento da

armadura necessária. Para um valor fixo de )+�, o aumento do esforço axial é favorável até um limite

a partir do qual esse aumento passa a ser desfavorável.

Figura 7.8 – Limite de esforço axial favorável/desfavorável

Uma vez que a consulta de ábacos para a verificação à flexão composta implica um processo

moroso, foi elaborado um programa de cálculo automático para este tipo de verificação.

(tracção)

NDesfavorável

NFavorável

(compressão)

MRd

NRd

7.1.2.1 Programa de Verificação à Flexão Composta

Programado em linguagem de programação

programa elaborado permite determinar os esforços resistentes de

simetricamente armadas, nas duas direcções principais

processo:

Na primeira fase de Introdução de Dados

secção resistente, ou seja, a classe do betão, o tipo de aço, a altura e largu

recobrimento, o número de varões e ainda a quantidade de iterações pretendidas para o cálculo.

Figura 7.9 – Folha de introdução de dados e navegação do programa

•Classe do betão

•Tipo de aço

•Dimensões da secção

•Número e Φ dos varões

•Número de iterações

Introdução de Dados

•Determinação das extensões na secção

•Cálculo das tensões

•Cálculo da força e momento resistentes

Betão C25/30 b [m] 0.35

fck [MPa] 25 h [m] 0.7 x [m]

fcd [MPa] 16.67 c [m] 0.03 -0.15

Ec [Gpa] 31 nvarões b/t 4 -0.05

Aço A400NR esp. b/t 0.10 0.05

fyk [MPa] 400 nvarões lat. 7 0.15

fyd [MPa] 348 esp. lat. 0.11

Es [Gpa] 200 iterações h 40

εyd [%] 0.017 iterações b 25

CÁLCULO DE SECÇÃO RECTANGULAR RESISTENTE SUJEITA A FLEXÃO COMPOSTA

Armaduras base/topo

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

-0.50 -0.30 -0.10 0.10 0.30 0.50

Calcular Secção Apagar Varões

69

Programa de Verificação à Flexão Composta

Programado em linguagem de programação Visual Basic através do Microsoft Office Excel

programa elaborado permite determinar os esforços resistentes de secções

duas direcções principais (flexão bi-compsta). Este segue o seguinte

Introdução de Dados, o utilizador insere os dados necessários ao cálculo da

secção resistente, ou seja, a classe do betão, o tipo de aço, a altura e largu


Folha de introdução de dados e navegação do programa

Determinação das extensões na secção

Cálculo das tensões

Cálculo da força e momento resistentes

Cálculo do Betão •Determinação das

extensões no aço

•Cáclulo das tensões

•Cálculo da força e momento resistentes

Cálculo do Aço

Φvarão [cm] y [m] Φvarão [cm] y [m] As [cm2] y' [m] As [cm

2]

16 0.14 12 0.03 6.28 0.03 9.68

12 0.24 12 0.14 2.26 0.13 2.26

12 0.35 12 0.24 2.26 0.22 2.26

16 0.46 12 0.35 2.26 0.32 9.68

0.56 12 0.46 2.26 23.88

0.56 2.26

0.67 6.28

23.88

CÁLCULO DE SECÇÃO RECTANGULAR RESISTENTE SUJEITA A FLEXÃO COMPOSTA

Armaduras base/topo Armaduras laterais Secção 0º Secção 90º

Microsoft Office Excel, o

secções rectangulares

. Este segue o seguinte

, o utilizador insere os dados necessários ao cálculo da

secção resistente, ou seja, a classe do betão, o tipo de aço, a altura e largura da secção, o


Folha de introdução de dados e navegação do programa

•Soma dos esforços resistentes para cada diagrama de rotura

•Traçar do gráfico de secção resistente

Desenho do Gráfico

Calcular Betão e Aço

Calcular Aço

Dados Gráfico

Gráfico

Extensões de Rotura

Diagramas de Rotura - 0º

Diagramas de Rotura - 90º

Apresentação

Esforços

70

Com estes valores, são determinados automaticamente os valores de dimensionamento referentes

aos materiais, o espaçamento entre varões e, calculando no botão “Calcular Secção” o programa

devolve um gráfico com as dimensões da secção e a disposição dos varões. Finalmente, apresenta

uma zona para preenchimento dos diâmetros dos varões em função da sua posição (estes devem

estar simetricamente dispostos, relativamente aos seus diâmetros).

Considerando as zonas de rotura anteriormente apresentadas, são examinados no programa os 76

diferentes diagramas de extensões de rotura a seguir apresentados:

1ª Zona de Rotura

n εbase [%]

εtopo [%]

ybase [m]

ytopo [m]

yLN [m]

1 0.100 0.100 0.03 0.70

2 0.100 0.095 0.03 0.70

3 0.100 0.090 0.03 0.70

4 0.100 0.085 0.03 0.70

5 0.100 0.080 0.03 0.70

6 0.100 0.075 0.03 0.70

7 0.100 0.070 0.03 0.70

8 0.100 0.065 0.03 0.70

9 0.100 0.060 0.03 0.70

10 0.100 0.055 0.03 0.70

11 0.100 0.050 0.03 0.70

12 0.100 0.045 0.03 0.70

13 0.100 0.040 0.03 0.70

14 0.100 0.035 0.03 0.70

15 0.100 0.030 0.03 0.70

16 0.100 0.025 0.03 0.70

17 0.100 0.020 0.03 0.70

18 0.100 0.015 0.03 0.70

19 0.100 0.010 0.03 0.70

20 0.100 0.005 0.03 0.70

21 0.100 0.000 0.03 0.70 0.00

2ª Zona de Rotura

n εbase [%]

εtopo [%]

ybase [m]

ytopo [m]

yLN [m]

22 0.100 0.000 0.03 0.70 0.00

23 0.100 -0.005 0.03 0.70 0.03

24 0.100 -0.010 0.03 0.70 0.06

25 0.100 -0.015 0.03 0.70 0.09

26 0.100 -0.020 0.03 0.70 0.11

27 0.100 -0.025 0.03 0.70 0.13

28 0.100 -0.030 0.03 0.70 0.15

29 0.100 -0.035 0.03 0.70 0.17

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-0.0400.0100.0600.110

h [m]

extensões [%]

Diagrama de Extensões de Rotura - 1ª zona

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-0.0400.0100.0600.110

h [m]

extensões [%]


71

3ª e 4ª Zona de Rotura

n εbase [%]

εtopo [%]

ybase [m]

ytopo [m]

yLN [m]

30 0.100 -0.035 0.03 0.70 0.17

31 0.095 -0.035 0.03 0.70 0.18

32 0.090 -0.035 0.03 0.70 0.19

33 0.085 -0.035 0.03 0.70 0.20

34 0.080 -0.035 0.03 0.70 0.20

35 0.075 -0.035 0.03 0.70 0.21

36 0.070 -0.035 0.03 0.70 0.22

37 0.065 -0.035 0.03 0.70 0.23

38 0.060 -0.035 0.03 0.70 0.25

39 0.055 -0.035 0.03 0.70 0.26

40 0.050 -0.035 0.03 0.70 0.28

41 0.045 -0.035 0.03 0.70 0.29

42 0.040 -0.035 0.03 0.70 0.31

43 0.035 -0.035 0.03 0.70 0.34

44 0.030 -0.035 0.03 0.70 0.36

45 0.025 -0.035 0.03 0.70 0.39

46 0.020 -0.035 0.03 0.70 0.43

47 0.015 -0.035 0.03 0.70 0.47

48 0.010 -0.035 0.03 0.70 0.52

49 0.005 -0.035 0.03 0.70 0.59

50 0.000 -0.035 0.03 0.70 0.67

51 0.000 -0.035 0.024 0.70 0.68

52 0.000 -0.035 0.018 0.70 0.68

53 0.000 -0.035 0.012 0.70 0.69

54 0.000 -0.035 0.006 0.70 0.69

55 0.000 -0.035 0.00 0.70 0.70

5ª Zona de Rotura

n εbase [%]

εtopo [%]

ybase [m]

ytopo [m]

yLN [m]

56 0.000 -0.035 0.00 0.70 0.70

57 -0.001 -0.034 0.00 0.70

58 -0.002 -0.034 0.00 0.70

59 -0.003 -0.033 0.00 0.70

60 -0.004 -0.032 0.00 0.70

61 -0.005 -0.031 0.00 0.70

62 -0.006 -0.031 0.00 0.70

63 -0.007 -0.030 0.00 0.70

64 -0.008 -0.029 0.00 0.70

65 -0.009 -0.028 0.00 0.70

66 -0.010 -0.028 0.00 0.70

67 -0.011 -0.027 0.00 0.70

68 -0.012 -0.026 0.00 0.70

69 -0.013 -0.025 0.00 0.70

70 -0.014 -0.025 0.00 0.70

71 -0.015 -0.024 0.00 0.70

72 -0.016 -0.023 0.00 0.70

73 -0.017 -0.022 0.00 0.70

74 -0.018 -0.022 0.00 0.70

75 -0.019 -0.021 0.00 0.70

76 -0.020 -0.020 0.00 0.70

(Nota: a posição da linha neutra (yLN) é determinada do topo para a base.)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-0.0400.0100.0600.110

h [m]

extensões [%]

Diagrama de Extensões de Rotura - 3ª e 4ª zona

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-0.0400.0100.0600.110

h [m]

extensões [%]


72

A segunda fase do programa consiste no Cálculo do Betão. Considerando o número de iterações

definidas pelo utilizador, o programa considera a secção de betão divida em n “fatias”. Em função das

extensões no topo e na base da secção (previamente definidas para cada diagrama de rotura), são

determinadas, através da semelhança de triângulos, as extensões ao longo de toda a secção.

Determinadas as extensões na secção, são então calculadas a tensão, a força e o momento para

cada “fatia” de betão em função dos critérios enunciados no capítulo Critérios Gerais de

Dimensionamento.

No que diz respeito à terceira fase do programa, o Cálculo do Aço, o processo é semelhante ao

anterior. A diferença reside no facto de neste caso não se considerarem “fatias”, mas sim a posição

exacta das armaduras para o cálculo da tensão, da força e do momento dos varões, em função dos

critérios enunciados no capítulo Critérios Gerais de Dimensionamento.

As extensões do betão e do aço e as respectivas tensões podem ser visualizadas graficamente, para

um dado caso de rotura escolhido, através dum módulo incorporado no programa.

Figura 7.10 – Diagramas de extensões e tensões no betão e no aço para o caso de rotura 45

Através das equações de equilíbrio já enunciadas, são determinados os esforços resistentes de

esforço axial e momento para cada caso de rotura. De notar que o cálculo dos valores do momento

resistente referente ao betão e ao aço é efectuado em relação ao centro de gravidade no caso dos

dois elementos. Qualquer outro ponto da secção poderia ter sido escolhido, desde que fosse o

mesmo em ambos os materiais, de forma a verificar-se o equilíbrio.

Na página seguinte apresenta-se um exemplo de resultados obtidos, relativos ao caso de rotura 45.

Do lado esquerdo encontram-se os resultados para cada “fatia” da secção de betão e do lado direito

os resultados para cada camada de armadura. Os valores a sublinhado correspondem ao somatório

do esforço axial e momento.

Extensões no Betão

Extensões no Aço

Tensões no Betão

Tensões no Aço

Legenda:

Traçar Diagramas

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-15.000 -10.000 -5.000 0.000

y [m]

σc [Mpa]

Tensões no Betão

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-0.040 -0.020 0.000 0.020 0.040

y [m]

ε [%]

Extensões na Secção

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-400.0 -200.0 0.0 200.0 400.0

y [m]

σc [Mpa]

Tensões no AçoRotura 45

73

Rotura 45

y [m] ε [%] σc [Mpa] Fc [kN] Mc [kN.m]

0.000 0.000 0. 00 0.000 0.000

0.018 0.000 0.000 0.000 0.000

0.035 0.000 0.000 0.000 0.000

0.053 0.000 0.000 0.000 0.000

0.070 0.000 0.000 0.000 0.000

0.088 0.000 0.000 0.000 0.000

0.105 0.000 0.000 0.000 0.000

0.123 0.000 0.000 0.000 0.000

0.140 0.000 0.000 0.000 0.000

0.158 0.000 0.000 0.000 0.000

0.175 0.000 0.000 0.000 0.000

0.193 0.000 0.000 0.000 0.000

0.210 0.000 0.000 0.000 0.000

0.228 0.000 0.000 0.000 0.000

0.245 0.000 0.000 0.000 0.000

0.263 0.000 0.000 0.000 0.000

0.280 0.000 0.000 0.000 0.000

0.298 0.000 0.000 0.000 0.000

0.315 -0.002 -2.074 -12.702 -0.333

0.333 -0.003 -3.984 -24.399 -0.213

0.350 -0.005 -5.729 -35.092 0.307

0.368 -0.006 -7.311 -44.780 1.175

0.385 -0.008 -8.729 -53.463 2.339

0.403 -0.009 -9.982 -61.141 3.745

0.420 -0.011 -11.072 -67.815 5.340

0.438 -0.012 -11.997 -73.485 7.073

0.455 -0.014 -12.759 -78.149 8.889

0.473 -0.015 -13.357 -81.809 10.737

0.490 -0.017 -13.790 -84.464 12.564

0.508 -0.018 -14.060 -86.115 14.317

0.525 -0.020 -14.165 -86.761 15.942

0.543 -0.021 -14.167 -86.771 17.463

0.560 -0.023 -14.167 -86.771 18.981

0.578 -0.024 -14.167 -86.771 20.500

0.595 -0.026 -14.167 -86.771 22.018

0.613 -0.027 -14.167 -86.771 23.537

0.630 -0.029 -14.167 -86.771 25.055

0.648 -0.030 -14.167 -86.771 26.574

0.665 -0.032 -14.167 -86.771 28.092

0.683 -0.033 -14.167 -86.771 29.611

0.700 -0.035 -14.167 -1571.112 293.712

Rotura 45

y [m] ε [%] σy [Mpa] Fy [kN] My [kN.m]

0.030 0.025 347.826 218.546 69.935

0.137 0.015 308.955 69.884 14.909

0.243 0.006 117.910 26.671 2.845

0.350 -0.004 -73.134 -16.543 0.000

0.457 -0.013 -264.179 -59.756 6.374

0.563 -0.023 -347.826 -78.676 16.784

0.670 -0.032 -347.826 -218.546 69.935

-58.420 180.781

74

Finalmente, na última fase do processo, Desenho do Gráfico, é traçado o diagrama de interacção da

secção resistente ,*� L)*�. Este consiste nos valores de força e momento resistente associados a

casa caso de rotura. Considerando que a secção é rectangular e simetricamente armada, o diagrama

resultante é simétrico relativamente ao eixo de )*�.

Todo o processo é depois repetido para a direcção perpendicular da secção (90º).

Gráfico 7.1 – Layout de apresentação de resultados do programa

Num processo paralelo ao cálculo, o programa permite importar automaticamente da folha de

resultados do modelo tridimensional os esforços actuantes no elemento a verificar, em função da

escolha dos elementos de barra e das combinações pretendidas. Estes esforços actuantes

correspondem aos pontos apresentados no gráfico. Naturalmente que os pontos que se encontrem

fora do diagrama não verificam a segurança.

Finalmente o programa permite a impressão duma folha A4 com as características da secção,

incluindo os materiais considerados, as dimensões da secção, os varões e a percentagem de

armadura, os valores de ,*� e )*� máximos e mínimos e os esforços resistentes para ambas as

direcções. Em Anexo encontram-se essas folhas de apresentação.

Paralelamente a este programa foi desenvolvido um outro que permite o cálculo de secções

rectangulares, em “T” e “H” à flexão composta unidireccional para qualquer tipo de disposição de

armaduras.

75

7.1.3 VERIFICAÇÃO À FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA

Uma vez que os elementos verticais não são solicitados apenas nas suas direcções principais de

inércia, torna-se necessária uma verificação à flexão desviada.

Figura 7.11 – Flexão desviada

Para tal utilizou-se a seguinte fórmula, que permite de uma forma simplificada verificar a segurança

relativamente a este tipo de solicitação.

Æ)+�,;)*�,;ÇÈ W Æ)+�,;)*�,;Ç

È R 1.0 (7.5)

Onde α corresponde a um coeficiente que depende da forma da secção ou do carregamento vertical,

e que deve ser tomada com os seguintes valores:

• Secções circulares ou elípticas: α=2;

• Secções rectangulares:

Nsd/Nrd ≤ 0.1 0.7 1.0

α 1.0 1.5 2

7.1.4 VERIFICAÇÃO AO ESFORÇO TRANSVERSO

A verificação ao esforço transverso foi efectuada segundo o parágrafo 6.2 do EC2, onde se especifica

que a resistência ao esforço transverso de um elemento com armadura de esforço transverso

corresponde a:

4*�,� W 4�� W 49� (7.6)

76

Onde,

4*�,� é o valor de cálculo do esforço transverso equilibrado pela armadura de esforço transverso na

tensão de cedência;

4�� é o valor de cálculo da componente de esforço transverso da força de compressão, no caso

de um banzo comprimido inclinado;

49� é o valor de cálculo da componente de esforço transverso da força na armadura de tracção,

no caso de um banzo traccionado inclinado (válido apenas em elementos de altura variável);

4+� é o valor de cálculo da componente de esforço transverso actuante.

No caso de se verificar:

4+� c 4*�,� (7.7)

Não é necessário o cálculo de armadura de esforço transverso. No entanto, deve ser considerada

uma armadura de esforço transverso mínima recomendada pela expressão 9.5N do parágrafo 9.2.2

do EC2, e que corresponde a:

É6,�� M0.08 8�1N/8;1 (7.8)

Caso se verifique,

4+� � 4*�,� (7.9)

Deverá adoptar-se uma armadura de esforço transverso suficiente para que se verifique:

4+� c 4*� (7.10)

Relativamente à percentagem mínima de estribos, É6 , segundo o artigo 94.2º do REBAP, esta não

deve ser inferior a 0.10, no caso de armadura de aço A400. Valor definido pela seguinte expressão:

É6 � ��656 j � j �7SM@N j 100 (7.11)

Em que:

��6 corresponde à área da secção transversal dos vários ramos do estribo;

56 é a largura da alma;

� corresponde ao espaçamento dos estribos;

@ é o ângulo formado pelos estribos com o eixo da viga (45º R @ R 90º).

77

7.1.5 VERIFICAÇÃO AO PUNÇOAMENTO

O punçoamento consiste num mecanismo de colapso local, associado em geral a uma rotura

repentina, sem qualquer ductilidade (rotura frágil). Embora a rotura por punçoamento seja um

fenómeno localizado, em alguns casos pode dar início a uma rotura progressiva e ao colapso total da

estrutura, pelo facto da perda de um ponto de apoio aumentar os esforços transmitidos aos apoios

vizinhos. O punçoamento consiste assim, num tipo de rotura associado geralmente a lajes (e

fundações) carregadas com uma distribuição uniforme apoiadas em secções pequenas. Ou seja,

resulta de uma carga concentrada ou reacção actuando numa uma área relativamente pequena à

qual se chama de área carregada.

Figura 7.12 – Modelo de verificação aos estados limites últimos de punçoamento em corte e em planta

Sendo:

• A – Secção básica de controlo;

• B – Área básica de controlo;

• C – Perímetro básico de controlo (�:);

• D – Área carregada.

O perímetro básico de controlo �: pode normalmente ser tomado a uma distância de 2.0d da área

carregada e deve ser desenhado de modo a minimizar o seu tamanho. No caso de lajes armadas nas

duas direcções o valor de d pode ser obtido por:

�l�� M�; W �ÊN2 (7.12)

Sendo �; e �Ê os valores de � nas duas direcções ortogonais.

Figura 7.13 – Traçados de perímetro básico de controlo para diferentes secções

78

Figura 7.14 – Traçados de perímetro básico de controlo para secções junto às extremidades

Posto isto, o procedimento de verificação ao punçoamento é baseado no controlo à face dos pilares e

no perímetro básico de controlo �:.

A verificação a este estado limite consiste em garantir a seguinte expressão, considerando o capitel

sem armadura específica de punçoamento:

Ë+� R Ë*�,� (7.13)

Sendo,

Ë+� o valor actuante de esforço transverso;

Ë*�,� o valor da capacidade resistente ao punçoamento do elemento.

O valor actuante não pode, no entanto, exceder o valor de cálculo do máximo esforço de corte,

corresponde a:

Ë*�,�áÅ � 0.5 · G · 8�� 4500f,/aI (7.14)

Com G � 0.6 j Í1 L �ÎÏI½/Ð

Relativamente ao punçoamento excêntrico, este foi considerado através duma majoração do esforço

actuante, obtida através de um valor β calculado para cada tipo de solicitação e geometria da laje e

do pilar.

Ë+� � Â 4+�(: · � (7.15)

A verificação ao punçoamento seguiu as indicações do parágrafo 6.4 do EC2.

79

7.2 VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES EM SERVIÇO

Os estados limites em serviço (ELS) são aqueles que correspondem à impossibilidade do uso normal

de uma estrutura, estando relacionados com a durabilidade das estruturas, aparência, conforto do

utilizador e a boa funcionalidade das mesmas, seja em relação aos utilizadores, seja aos

equipamentos e máquinas existentes. Neste contexto são efectuadas as verificações aos estados

limites de fendilhação e deformação.

7.2.1 VERIFICAÇÃO À FENDILHAÇÃO

A verificação ao estado limite de abertura de fendas (fendilhação) apresenta cálculos bastante

exaustivos, pelo que a sua não consideração é vantajosa. O artigo 70.3º do REBAP prevê que esta

verificação se considere satisfeita para o caso de armaduras ordinárias em ambiente pouco agressivo

se as disposições dos varões cumpram os artigos 91º e 105º, no caso de vigas e lajes correntes.

Assim, para lajes maciças, esta verificação é dispensada se, no caso de armaduras ordinárias, o

espaçamento dos varões da armadura principal for inferior a 1.5 vezes a espessura da laje, com um

máximo de 35cm. Além desta condição os espaçamentos máximos dos varões não deve ser superior

ao dobro do máximo admitido para as vigas, logo deve ser inferior a 25cm.

Relativamente às vigas, o espaçamento máximo entre varões longitudinais, considerando ambiente

pouco agressivo e aço A400NR, corresponde a 12,5 cm.

Estas condições foram verificadas nas lajes e vigas dimensionadas no projecto, tendo sido desta

forma desprezada esta verificação ao nível do e todos os elementos estruturais.

7.2.2 VERIFICAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES

No caso corrente de vigas e lajes, segundo o artigo 72.2º do REBAP a máxima flecha admissível

corresponde a %/400 para a combinação frequente de acções a longo prazo. No entanto, no caso de

a laje afectar paredes divisórias, e a menos que a fendilhação dessas paredes seja controlada, a

flecha máxima não pode exceder os 1.50 cm.

81

8 ANÁLISE DE ESFORÇOS E VERIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS

Uma vez estabelecida uma solução estrutural e efectuada a análise estática e dinâmica tridimensional

desta, e considerando os critérios de segurança enunciados bem como as hipóteses de cálculo a

verificar, procede-se neste capítulo ao dimensionamento das peças estruturais que compõe a

estrutura.

Por razões de espaço e de redundância, serão apenas analisados alguns elementos sujeitos a flexão

simples, flexão composta e pré-esforço que servem de exemplo ao procedimento que deve ser

efectuado para os restantes elementos.

Relativamente à pormenorização, uma vez que não existem regras pré-definidas que possam ensinar

a pormenorizar de forma eficaz, pode-se afirmar que não existe uma solução ideal. A sensibilidade do

projectista orienta o seu raciocínio a atribuir maior ou menor importância a determinado aspecto ou

particularidade do projecto. As pormenorizações podem assim, variar significativamente de projectista

para projectista, o que não significa que não estejam todas correctas.

Por esta razão, os critérios de pormenorização adoptados neste trabalho não serão aqui discutidos, já

que seria impossível encontrar uma fórmula geral ou explicar detalhadamente todas as opções

tomadas. Os desenhos de estabilidade, betão armado e pré-esforço estão apresentados em Anexo

respeitando as regras gerais relativas a armaduras do REBAP.

A verificação aos estados limites em serviço (ELS) e estados limites últimos (ELU) é explicada

detalhadamente para os seguintes elementos:

• Pré-esforço;

• Lajes (maciças e aligeiradas);

• Vigas;

• Pilares;

• Núcleo.

82

8.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS

Tendo em conta que o pré-dimensionamento das lajes ditou a necessidade de aplicação de pré-

esforço ao nível dos pisos, é neste capítulo verificada a segurança em relação a este tipo de solução,

sendo primeiro feito uma breve introdução teórica a esta tecnologia aplicada ao nível de lajes.

8.1.1 O PRÉ-ESFORÇO EM LAJES DE EDIFÍCIOS

Numa laje convencional de betão armado com grandes vãos, estas apresentam elevadas

deformações que devem naturalmente ser controladas. A aplicação do pré-esforço permite não só

reduzir consideravelmente essas deformações como também aumenta a resistência da laje à flexão e

ao esforço transverso, como também evita a diminuição da rigidez da laje.

A aplicação de pré-esforço em lajes representa assim, nos dias que correm, uma solução competitiva

em estruturas correntes, como é o caso de edifícios de escritórios, de apartamentos, hotéis, hospitais

ou outros edifícios públicos, representando uma solução económica e eficaz em grande parte dos

sistemas de pavimentos em todo o mundo. A sua aplicação permite reduzir a espessura da laje e,

consequentemente, o seu peso próprio. Esta redução repercute-se no peso próprio global da

estrutura que influência o número de pilares e as dimensões dos restantes elementos estruturais

(pilares, vigas e sapatas), por outro lado permite a adopção de vãos de grande dimensões sem

utilização de quaisquer elementos verticais entre as extremidades.

Figura 8.1 – Lajes pré-esforçadas aplicadas num edifício em Hong Kong sem pilares interiores

Citando Pfeil,1984, o “pré-esforço é um artifício que consiste em introduzir, numa estrutura, um

estado prévio de tensões, de modo a melhorar a sua resistência ou comportamento, sob acção de

diversas condições de carga”.

Um exemplo que transmite duma forma simples o efeito do pré-esforço consiste numa pressão lateral

imprimida a um conjunto de livros alinhados na horizontal que, sem nenhum suporte vertical, os

83

permite manter suspensos. Essa pressão que os comprime uns contra os outros, produz forças de

atrito capazes de superar o peso próprio do conjunto.

Figura 8.2 – Livros sobre actuação de forças horizontais de compressão

Através duma excentricidade relativamente ao centro de gravidade da laje, os cabos de pré-esforço

permitem devolver uma carga ascendente. Esse pré-esforço excêntrico produz uma flecha que, numa

disposição correcta do traçado dos cabos, é contrária às flechas resultantes das acções permanentes

e variáveis que carregam a laje. Fazendo variar a excentricidade do cabo, consegue-se compensar

uma determinada parte dos esforços e deformadas presentes em lajes, tornando-se possível assim,

vencer maiores vãos com maiores esbelteza e melhorar o comportamento em serviço das lajes

devido a um maior controlo da deformação.

Figura 8.3 – Cargas verticais ascendentes provocadas por um traçado parabólico pré-esforçado numa laje bi-apoiada

8.1.1.1 Técnicas e Sistemas de Pré-Esforço

As soluções de pré-esforço encontram-se divididas em duas técnicas distintas, o pré-esforço pré-

tensionado e o pré-esforço pós-tensionado, sendo este último subdivido em cabos aderentes e não

aderentes.

Figura 8.4 – Tipos de aplicação de pré-esforço

84

No betão pré-tensionado são habitualmente utilizados cabos isolados tensionados antes da

betonagem. Após a cura do betão são libertadas as ancoragens iniciais e a transferência de tensões

é feita por aderência. Esta solução acarreta geralmente grandes perdas e consiste num processo

típico de pré-fabricação. O pré-tensionamento não existe sem aderência e, apesar de se poder

recorrer a desviadores, o traçado que apresente uma trajectória que não seja recta torna-se

complicada, embora possível. Este sistema apresenta a vantagem de necessitar ancoragens apenas

na fase de tensionamento inicial.

Figura 8.5 – Aplicação de pré-esforço pré-tensionado com libertação das ancoragens depois da cura do betão

O pré-esforço pós-tensionado é aplicado após o betão ter adquirido resistência suficiente, sendo a

transferência de tensões assegurada pelas ancoragens nas extremidades da peça. Estas zonas

correspondem a zonas críticas por estarem sujeitas a elevada compressão que pode originar o

esmagamento do betão. Primeiro é betonada a peça de betão em questão, incluindo as ancoragens,

as armaduras ordinárias e a bainha dos cabos de pré-esforço com o devido traçado. Após a cura, são

colocados os cabos e é feito o seu tensionamento nas ancoragens através de macacos. Em

alternativa os cabos podem já estar previamente inseridos nas bainhas.

Figura 8.6 – Bainhas de pré-esforço instalados antes da betonagem

85

Neste sistema de pós-tensão, característico da aplicação in-situ, em construções de médio e grande

vão, distinguem-se os sistemas com e sem aderência. Como o próprio nome indica, no primeiro

sistema os cabos ficam aderentes à secção através da injecção de calda de cimento no interior das

bainhas até ganhar presa. No sistema não aderente, apesar de o cabo se encontrar no interior da

peça de betão, os elementos mantêm-se desligados, uma vez que o cabo continua a poder deslizar

no interior da bainha. É utilizada uma graxa que reduz o atrito, para melhor protecção do cabo que

permite deslocamentos relativos entre o betão e o cordão ao longo do elemento, à excepção das

ancoragens.

Como consequência, o alongamento do cordão é distribuído por todo o comprimento entre

ancoragens, em vez de se concentrar nas fendas como acontece no betão armado com pré-esforço

aderente. Na rotura, o aumento de tensões e extensões num cordão não aderente é inferior ao de um

cordão aderente, pelo que a tensão final no aço é pouco superior à inicialmente instalada.

Comparando com outros sistemas o pré-esforço não aderente apresenta as seguintes vantagens:

• Redução considerável nos consumos de material, mão-de-obra e tempo de execução, tendo

em conta que o equipamento de aplicação é muito ligeiro e portátil;

• Em lajes pouco espessas a adopção de mono-cordões permite conduzir uma boa

excentricidade;

• O cordão fica protegido à corrosão desde o seu fabrico;

• A flexibilidade do cabo permite um traçado de cabo simples (trapezoidal) de fácil colocação e

também adaptável a geometrias complexas, com um assentamento dos cordões simples;

• Apresenta perdas de atrito inferiores quando comparado com o pré-esforço com bainhas

injectáveis;

• Não necessita de injecção;

• Permite o reajuste do pré-esforço em qualquer instante da vida útil da estrutura;

Como contrapartidas desta solução quando comparada com pré-esforço aderente, enunciam-se:

• Não mobilizam em estado limite último a resistência máxima do aço de pré-esforço;

• Não mobiliza a aderência com o betão e uma rotura localizada implica a desactivação total do

cordão;

• O seu funcionamento fica dependente das ancoragens ao passo que no pré-esforço

aderente, essa aderência contribui para o funcionamento.

86

8.1.1.2 Materiais e Equipamentos de Pré-Esforço

O pré-esforço consiste numa deformação imposta em peças de betão, cuja aplicação introduz um

estado de tensão que contraria os efeitos das acções a que estas peças estão sujeitas. O pré-esforço

pode ser aplicado por meio de fios, cordões, cabos ou varões tensionados contra a própria peça de

betão, tendo sido utilizados no projecto mono-cordões não aderentes.

Um cordão de pré-esforço é constituído por aço de alta resistência e por 7 fios com dimensões usuais

de 3, 4, 5 e 6mm. Esses fios unidos constituem um cordão que geralmente é comercializado em 3

diâmetros diferentes: 0.5’’ (12.7mm); 0.6N’’ (15.2mm) e 0.6S’’ (15.7mm). O cordão é depois revestido

por uma massa lubrificante anti-corrosiva em fábrica e seguidamente embainhado. Relativamente aos

cabos, estes consistem num grupo de cordões que pode atingir mais de 30 cordões.

Figura 8.7 – Fio Figura 8.8 – Conjunto de 7 fios (cordão)

Figura 8.9 – Cordão embainhado

Relativamente aos cordões de pré-esforço utilizados no projecto, foram escolhidos monostrands de

0.6 polegadas (15.2mm) de diâmetro.

Figura 8.10 – Estrutura da ancoragem de um monostrand

Figura 8.11 – Dimensões das ancoragens Figura 8.12 – Afastamentos mínimos de ancoragens

Tipo A B C

S5N 12.7 5.7 3.8

S6N 12.8 8.9 4.8

Dimensões (cm)

87

8.1.1.3 Traçado e Distribuição dos Cabos/Cordões de Pré-Esforço

O traçado dos cabos de pré-esforço revela-se de extrema importância, podendo-se mesmo afirmar

que corresponde a um dos maiores segredos de sucesso de uma estrutura pré-esforçada. Na

definição dos traçados de pré-esforço, foram consideradas os seguintes princípios base:

• Adopção de traçado simples: troços rectos ou parabólicos;

• Aproveitamento da excentricidade máxima nas zonas de maiores momentos;

• Sempre que possível, nas extremidades, situar os cabos dentro do núcleo central da secção;

• Cruzar o traçado do cabo (ou resultante dos cabos) com o centro de gravidade da secção

numa secção próxima da de momentos nulos das cargas permanentes;

• Respeitar as restrições de ordem prática da construção e os limites relativos às dimensões

das ancoragens e resistência do betão, necessários para resistir às forças de ancoragem.

Os mono-cordões foram aplicados ao longo de toda a laje na zona de maior vão. Visto que a

continuidade do pré-esforço resulta num melhor comportamento da laje, estes foram prologados

sempre que a geometria da laje o permitiu. No entanto, tal nem sempre foi possível devido às

aberturas que existem ao nível dos pisos e tornam impossível a passagem dos cabos,

nomeadamente o núcleo do elevador. Atendendo a estes aspectos, a distribuição dos cabos em

planta toma a configuração das figuras 8.13 à 8.15.

Uma vez que estas lajes consistem numa solução de laje nervurada, a sua configuração limita o

número de mono-cordões a dois por nervura.

Figura 8.13 – Distribuição dos cordões de pré-esforço no piso 0



Existem assim, duas configurações diferentes relativamente ao andamento dos cabos, cuja

representação esquemática dos traçados e das cargas equivalentes se encontra apresentada na

página seguinte.

88

Figura 8.16 – Traçado esquemático do cabo de pré-esforço sem continuidade, com as cargas de puxe a verde e as correspondente cargas nodais equivalentes a azul

Figura 8.17 – Traçado esquemático do cabo de pré-esforço com continuidade, com as cargas de puxe a verde e as correspondente cargas nodais equivalentes a azul

De maneira a determinar as cargas nodais equivalentes são primeiro calculados os valores de finf e

fsup, resultantes em função das excentricidades do cabo. O valor da excentricidade mínima foi obtido

considerando um recobrimento de 3cm (c), uma camada de varões o20 na direcção longitudinal, uma

camada de varões o20 na direcção transversal e um espaçamento entre as armaduras e o mono-

cordão de o20/2.

7�í� � � W 2H W H/2 W H�9bk��/2 � 30 W 2 j 20 W 20/2 W 15.24/2 � 87.62aa

Nas zonas de ancoragem é exigida uma excentricidade mínima condicionada pela distância mínima

das ancoragens à extremidade da laje, correspondente a 110mm. Tendo em conta que a

excentricidade mínima calculada é inferior a esta, considerou-se uma excentricidade de 110mm para

as zonas de ancoragem.

Relativamente à distância entre ancoragens, esta corresponde a 140mm.

Figura 8.18 – Excentricidades do cabo de pré-esforço.

PP

M=Pxfsup

fsupfinf

fsup

Ptan

Ptan Ptan

Ptan

PP

M=Pxfsup

Ptan

Ptan Ptanfsup

finffsupP

PM=Pxfsup

Ptan

PP

M=Pxfinffinf

Ptan Ptan

armaduras

cordão na ancoragem

cordão no vão ou apoio

evãosup

eancinfevão

inf

eancsup

89

Em função das deformadas finais, foram adoptadas lajes com alturas totais de 0.40m no piso 0 e

0.50m nos pisos 1 e 2. Em função das alturas das lajes e das excentricidades consideradas, são

obtidos os seguintes valores de f:

Mono-cordões sem continuidade:

• H= 0.40m 8 � =mk[l L M7k�� W 7�í�N � 400 L M110 W 87.62N � 212aa

• H= 0.50m 8 � =mk[l L M7k�� W 7�í�N � 500 L M110 W 87.62N � 312aa

Mono-cordões com continuidade:

• H= 0.40m Ò8nã¤ :, à l�C<lb�k � =mk[l L M7k�� W 7�í�N � 400 L M110 W 87.62N � 212aa8nã¤ :, à ��bl�9k � =mk[l L M7�í� W 7�í�N � 400 L M87.62 W 87.62N � 225aa8nã¤ I � =mk[l L M7�í� W 7k��N � 400 L M87.62 W 110N � 212aa �

• H= 0.50m Ò8nã¤ :, à l�C<lb�k � =mk[l L M7k�� W 7�í�N � 500 L M110 W 87.62N � 312aa8nã¤ :, à ��bl�9k � =mk[l L M7�í� W 7�í�N � 500 L M87.62 W 87.62N � 325aa8nã¤ I � =mk[l L M7�í� W 7k��N � 500 L M87.62 W 110N � 312aa �

As denominações de vão 1 e vão 2 correspondem a uma leitura da esquerda para a direita dos vãos

da figura 8.17.

Considerando um valor da força de pré-esforço de �0 � 150f, (contabilizando já as perdas por atrito,

por reentrada de cabos e por deformação instantânea do betão), é possível calcular as cargas nodais

equivalentes, em função das coordenadas dos pontos de variação de traçado, através da expressão:

Ô � �0ÕQSM@N (8.1)

Mono-cordões com continuidade (pontos ordenados da esquerda para a direita):

H = 0.40m

Ponto x [m] y [m] α [º] q [kN] Sentido

Ponto 1 0.00 0.29 4.583 12.025 ↓

Ponto 2 2.40 0.0976 4.583 12.025 ↑

Ponto 3 8.00 0.0976 5.588 14.675 ↑

Ponto 4 10.40 0.332 5.588 14.675 ↓

Ponto 5 11.15 0.3324 1.710 4.478 ↓

Ponto 6 18.60 0.11 1.710 4.478 ↑

H = 0.50m


Ponto 1 0.00 0.39 7.181 18.900 ↓

Ponto 2 2.40 0.0876 7.181 18.900 ↑

Ponto 3 8.00 0.0876 7.707 20.300 ↑

Ponto 4 10.40 0.4124 7.707 20.300 ↓

Ponto 5 11.15 0.4124 2.324 6.089 ↓

Ponto 6 18.60 0.11 2.324 6.089 ↑

90

Mono-cordões sem continuidade (pontos ordenados da esquerda para a direita):

H = 0.40m


Ponto 1 0.00 0.29 4.583 10.150 ↓

Ponto 2 2.40 0.1276 4.583 10.150 ↑

Ponto 3 8.00 0.1276 4.583 10. 50 ↑

Ponto 4 10.40 0.29 4.583 10.150 ↓

H = 0.50m


Ponto 1 0.00 0.39 7.181 18.900 ↓

Ponto 2 2.40 0.0876 7.181 18.900 ↑

Ponto 3 8.00 0.0876 7.181 18.900 ↑

Ponto 4 10.40 0.39 7.181 18.900 ↓

Uma vez que a laje de cobertura é uma laje maciça, o espaçamento dos mono-cordões encontra-se

limitado apenas pela distância mínima entre ancoragens. Desta forma, a distribuição dos mono-

cordões, com um distanciamento de 140mm, apresenta a seguinte configuração:

Figura 8.19 – Distribuição dos cabos de pré-esforço na laje de cobertura

Com a aplicação do pré-esforço, conseguiu-se mesmo reduzir a espessura da laje relativamente ao

valor que na fase de pré-dimensionamento não cumpria a flecha limite. A laje apresenta assim 0.35m

de espessura. Relativamente ao andamento dos mono-cordões, neste caso adoptou-se um traçado

parabólico.

Figura 8.20 – Traçado esquemático do cabo de pré-esforço da cobertura, com as cargas de puxe a verde e as correspondente cargas nodais e distribuída equivalentes a azul

Considerando uma espessura da laje de 0.35m e os valores de excentricidade mínimas já

enunciadas, o valor de f corresponde a:

8 � =mk[l L M7k�� W 7�í�N � 350 L M110 W 87.62N � 212.38aa

f

PtanPtanq= 8fP∞

L2____

PP

M=Pxfsup

PP

M=Pxfsup

91

O que resulta numa carga distribuída equivalente de:

Ô � 88�0�I � 8 j 0.21238 j 15010.4I � 2.356 f,/a (8.2)

E numa carga nodal equivalente de:

�0ÕQSM@N � 150 j tanM4.67N � 12.25f,

Sendo @ � arctan Û I�Ü/IÝ

8.1.2 VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES EM SERVIÇO – DEFORMAÇÃO

Em função das deformadas das lajes apresentadas no capítulo de pré-dimensionamento, tornou-se

claro a necessidade de adopção de pré-esforço com o objectivo de verificar o estado limite de

deformação das lajes, sendo que se admitiu um valor limite da flecha correspondente a 1.5cm como

explicado no capítulo Pré-Dimensionamento.

Considerando os pilares do modelo com esforço axial infinito, as deformações relativas acima de

1.5cm das lajes para a combinação frequente a longo prazo (ELS2) e com H=0.40m são as

seguintes:

Figura 8.21 – Deformada do piso 0 com pré-esforço



Relativamente ao piso 0 este apresenta deformadas inferiores a 1.5cm, à excepção de uma pequena

zona (com apenas 3mm de deformada acima do limite). O mesmo não se pode dizer dos pisos

superiores que, para H=0.40m, a deformada continua a exceder o limite admissível. No entanto, para

uma altura de laje H=0.50m, as deformações relativas acima de 1.5cm das lajes para a combinação

frequente a longo prazo (ELS2) são as seguintes:

cm-4.5 -4.3 -4 -3.8 -3.6 -2.2 -2 -1.7 -1.5-3.4 -3.1 -2.9 -2.7 0

92

Figura 8.24 – Deformada do piso 1 com pré-esforço e laje de 0.50m

Figura 8.25 – Deformada do piso 2 com pré-esforço e laje de 0.50m

No piso 1 continuam a existir duas zonas com deformações acima de 1.5cm. A zona de extremidade

corresponde à zona onde descarrega a escada exterior que sobe para o piso 2. Sendo esta uma zona

aberta, não afecta paredes exteriores pelo que bastou limitar a deformada a l/400.

A outra mancha visível encontra-se na zona do anfiteatro onde já se esperavam maiores deformadas

por ter uma sobrecarga maior. Tendo em conta que nesta zona acima do piso não existem paredes e

a deformada máxima é excedida em apenas 4mm, considerou-se a deformada aceitável, sendo no

entanto necessário um controlo de fendilhação das paredes inferiores à laje.

Quanto ao piso 2 este apresenta uma deformada máxima de 3cm. Optou-se por criar uma banda

maciça com 3.3 metros de largura na zona crítica. Este maciçamento não só aumentou a inércia da

laje como permitiu uma maior concentração de pré-esforço (cabos espaçados de 200mm). Com esta

alteração as deformadas do piso 2 passaram todas a ser inferiores a 1.5cm.

Relativamente à configuração deformada da laje apresenta flechas relativas inferiores a 1.5cm em

toda a sua extensão.

Figura 8.26 – Deformada da laje de cobertura com pré-esforço

cm-4.5 -4.3 -4 -3.8 -3.6 -2.2 -2 -1.7 -1.5-3.4 -3.1 -2.9 -2.7 0

cm-2.1 -1.8 -1.5 -1.2 -0.9 -0.6 -0.3 0 0.3 0 0.9 1.2 1.5 1.8

93

8.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE LAJES

Na generalidade dos casos, as lajes correspondem a elementos cuja verificação aos ELU de flexão

consiste numa verificação à flexão simples. No entanto, a aplicação do pré-esforço torna o esforço

axial existente um novo elemento da equação, pelo que se torna necessária uma verificação ao ELU

de flexão composta das lajes nas zonas pré-esforçadas da laje e na direcção da acção do pré-

esforço. Nas zonas não pré-esforçadas, ou naquelas cuja direcção das armaduras é perpendicular ao

pré-esforço, a verificação à flexão consiste apenas numa verificação ao ELU de flexão simples. A par

desta verificação é ainda efectuada a verificação aos ELU de punçoamento na zona dos pilares. Para

o efeito, foram considerados os esforços actuantes correspondentes à combinação fundamental com

acção variável base de sobrecarga (ELU1), já que a acção sísmica não é condicionante para as lajes.

Relativamente à verificação da segurança aos ELS, uma vez que o limite de abertura de fendas se

admitiu controlado por intermédio do critério definido em 7.1.2, e a verificação das deformações foi já

efectuada no capítulo anterior de verificação do pré-esforço, consideram-se a verificação dos ELS

satisfeita.

As lajes a pormenorizar consistem na laje do piso 2 e nas lajes de cobertura.

Figura 8.27 – Localização das lajes a pormenorizar. A azul, a laje do piso 2, com as zonas maciçadas e capitéis a azul escuro e as extremidades em consola a amarelo. A cor de laranja, apresentam-se as lajes de cobertura

94

8.2.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

8.2.1.1 Esforços Resistentes – Interacção de Momento e Esforço Axial Resistentes (Flexão

Composta)

Tendo em conta que as lajes a analisar apresentam diferentes geometrias e tipos de solicitações, são

analisadas as seguintes secções diferentes:

• Laje nervurada do piso 2 com altura total de H=0.50m (Secção em “T”) – Flexão Simples e

Composta;

• Laje maciça do piso 2 (zonas maciçadas, capitéis e banda) com 0.50m de espessura –

Flexão Simples e Composta;

• Laje maciça em consola do piso 2 e da cobertura com 0.25m de espessura – Flexão Simples;

• Laje maciça da cobertura com 0.35m de espessura – Flexão Simples e Composta;

Considerando as expressões apresentadas em 7.1.2, foram determinados os valores de interacção

MRd-NRd, através do programa de cálculo desenvolvido, para as secções consideradas.

No que diz respeito à laje maciça de 0.50m do piso 2, analisou-se uma secção de largura unitária

com diferentes distribuições de armadura numa das faces e com uma distribuição de varões mínima

de Φ10//0.20 na face oposta. Nas zonas maciçadas juntos às nervuras, os valores de momento

resistente foram obtidos para um esforço de compressão de 2 j 150/0.80 � 375f,/a (2 mono-

cordões por nervuras e nervuras afastadas de 0.80m). Na zona da banda maciçada, os valores de

momento resistente foram obtidos para um esforço de compressão de 150/0.20 � 750f,/a (mono-

cordões afastados de 200mm).

Figura 8.28 – Secção considerada no cálculo da laje maciça de 0.50m

Em Anexo apresenta-se o diagrama de interacção NRd – MRd para laje maciça de 0.50m.

A partir do diagrama obtém-se os valores dos momentos resistentes para os dois diferentes casos de

compressão assinalados por linhas a verde no gráfico. Uma vez que a secção da laje é constante, o

momento negativo obtido é equivalente ao positivo (invertendo a posição das armaduras). No

seguinte quadro resumem-se os esforços resistentes obtidos:

DIFERENTES DITRIBUIÇÕES

1

h

Ø10//0.20

95

NSd [kN/m] = -375 NSd [kN/m] = -750

MRd(+/-)

[kN.m/m] MRd(+/-)

[kN.m/m]

Φ10//0.10 202 278

Φ10//0.20+ Φ12//0.20 227 306

Φ12//0.10 252 330

Φ12//0.20+ Φ16//0.20 314 388

Φ16//0.10 376 441

Relativamente à laje da cobertura com espessura de 0.35m, utilizando o mesmo princípio, os valores

obtidos para um esforço de compressão de 150/0.14 � 1071.4f,/a (mono-cordões afastados de

140mm), apresentam-se igualmente em Anexo.

Para o valor de compressão assinalado a verde no gráfico, os esforços resistentes obtidos são:

MRd(+/-)

[kN.m/m]

Φ10//0.10 214

Φ10//0.20+ Φ12//0.20 227

Φ12//0.10 240

Φ12//0.20+ Φ16//0.20 272

Φ16//0.10 302

Relativamente à laje nervurada, esta foi analisada através da variante do programa de cálculo

desenvolvido que permite calcular secções em “H” ou “T”. Para o cálculo do momento positivo

resistente, considerando uma acção de compressão de 300kN (2 mono-cordões por nervura), e

admitindo a secção equivalente da figura 8.30, foi calculada a capacidade resistente da secção à

flexão composta para NRd= -300 kN, com 2 varões na parte inferior por nervura, para diâmetros de

Φ10, Φ12, Φ16 e Φ20. Na parte superior considerou-se a distribuição de varões mínima de

Φ10//0.20. Para o cálculo do momento negativo resistente o processo foi o mesmo, na parte inferior

da nervura manteve-se 2Φ10 constante e calculou-se a capacidade resistente para diferentes

distribuições de armaduras.

Figura 8.29 – Secção equivalente considerada no cálculo da laje nervurada a azul, com o valor de bm obtido da

tabela x.x, correspondente a 208mm

Ø10//0.20

bm

2Ø10/2Ø122Ø16/2Ø20

0.8

0.1

0.4

96

Uma vez que a secção analisada apresenta 0.80m de largura, é necessário dividir por este valor os

resultados para se obter um momento resistente por metro. No seguinte quadro resumem-se os

esforços resistentes obtidos para a compressão considerada (assinalada a verde no gráfico), já por

metro:

MRd(+)

[kN.m/m]

2Φ10 56

2Φ12 64

2Φ16 86

2Φ20 112

MRd(-)

[kN.m/m]

Φ10//0.10 -155

Φ10//0.20+ Φ12//0.20 -175

Φ12//0.10 -190

Φ12//0.20+ Φ16//0.20 -210

Φ16//0.10 -230

8.2.1.2 Esforços Resistentes – Momento Resistente (Flexão Simples)

Relativamente às secções de laje maciça, considerando a expressão (7.4) apresentada no capítulo

anterior, foram determinados os valores dos momentos resistentes correspondentes a cada secção,

considerando uma largura unitária, para uma distribuição de armaduras usuais. Em Anexo encontra-

se uma tabela com esses valores.

No que diz respeito à laje nervurada, os valores resistentes para flexão simples foram obtidos do

diagrama em Anexo considerando compressão nula e a mesma armadura adoptada no cálculo de

flexão composta. Os valores obtidos são os seguintes:

MRd(+)

[kN.m/m]

2Φ10 25

2Φ12 36

2Φ16 63

2Φ20 97

MRd(-)

[kN.m/m]

Φ10//0.10 -95

Φ10//0.20+ Φ12//0.20 -110

Φ12//0.10 -125

Φ12//0.20+ Φ16//0.20 -170

Φ16//0.10 -210

8.2.1.3 Verificação ao Estado Limite Último de Punçoamento

Para um capitel sem armadura específica de punçoamento, é necessário garantir a expressão:

Ë+� R Ë*�,� (8.3)

No entanto, para os casos em que a capacidade resistente do betão sem armadura específica para

resistir ao punçoamento não é suficiente, foi calculada essa armadura através da seguinte expressão:

�� MË+� L 0.75Ë*�,�N8;6�,l� · �7SM@N · (: · � (8.4)

97

Sendo,

(: o perímetro de controlo;

� a altura útil da laje;

Ë+� o valor actuante de esforço transverso;

@ � 90º correspondente a estribos na vertical;

8;6�,l� � 250 W 0.25� R 348)�Q com d em mm.

Desta forma, foi desenvolvida uma tabela de cálculo que, em função das dimensões, geometria e

localização dos pilares (relativamente às extremidade da laje), da espessura da laje, da armadura de

flexão da laje e dos esforços actuantes permite-se verificar as condições referidas. Apresentam-se

em Anexo somente a tabela com os resultados do cálculo referente à laje do piso 2 uma vez que na

laje de cobertura a segurança verificou-se em todos os casos. Aqueles que se encontram a vermelho

necessitam de armadura de punçoamento.

8.2.1.4 Esforços Actuantes – Momento e Esforço Transverso

Como foi já enunciado existem diferentes tipos de secções e solicitações pelo que os esforços devem

também ser analisados com distinção. A figura 8.30 diferencia as diversas secções a analisar

relativamente ao momento M22 no piso 2, através de um diagrama de cores.

Figura 8.30 – Diferentes tipos de secções com diferentes solicitações

Laje 0.25m em consola sem pré-

esforço Laje aligeirada sem pré-esforço (secção

em “T”) Laje aligeirada com pré-esforço (secção

em “T”)

Laje maciça 0.50m sem pré-esforço Laje maciça 0.50m com pré-esforço Banda maciçada 0.50m com pré-

esforço

98

No que diz respeito ao momento M11, não existe pré-esforço aplicado nessa direcção, pelo que

apenas existem 3 casos distintos, referentes às diferentes geometrias, a verificar à flexão simples.

Em relação às lajes da cobertura, as suas geometrias são constantes pelo que esta análise distinta

não é necessária.

Em Anexo apresentam-se os diagramas de esforços resultantes de momento e esforço transverso da

laje do piso 2 e das lajes de cobertura para a combinação fundamental com acção variável base de

sobrecarga (ELU1).

8.3 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE VIGAS

Num caso usual de um edifício, as vigas representam elementos estruturais cujos esforços

predominantes correspondem à flexão, esforço transverso e, em certos casos, torção. O esforço axial

a que este tipo de peça está sujeita é relativamente baixo no caso de não se considerar a acção da

retracção, variação de temperatura ou pré-esforço. Desta forma pode ser considerado como um

elemento com esforço axial desprezável.

O seu dimensionamento consiste assim, numa verificação aos ELU de flexão simples e esforço

transverso. Para o efeito, foram considerados os esforços actuantes correspondentes à combinação

envolvente de acções resultantes para as combinações fundamentais (ELU_ENV).

As vigas a analisar corresponde às vigas V1.15 e V1.16 do piso 1, as viga-dobra DC.1 à DC.3 e VC.6

da cobertura e ainda a viga VC.5, também da cobertura.

Figura 8.31 – Localização das vigas analisadas. Vigas V1.15 e V1.16 a azul, vigas DC.1 à DC.3 e VC.6 a verde e

viga VC.5 a cor de laranja

99

O pré-dimensionamento destas vigas ditou as seguintes dimensões:

Viga b [m] h [m]

V1.15 0.35 0.60

V1.16 0.35 1.00

DC.1 0.35 1.27

DC.2 0.35 1.27

DC.3 0.35 1.27

VC.6 0.35 0.60

VC.5 0.35 1.00

8.3.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES EM SERVIÇO

Uma vez que o limite de abertura de fendas se admitiu controlado por intermédio do critério definido

em 7.2.1, resta apenas limitar as flechas das vigas a %/400 e/ou 1.5cm, no caso de afectar paredes de

alvenaria, para a combinação frequente a longo prazo (ELS2).

Os valores relativamente à flecha limite de %/400 para cada viga são:

Viga l/400 [cm]

V1.15 2.28

V1.16 2.63

DC.1 1.20

DC.2 1.90

DC.3 1.30

VC.6 0.40

VC.5 2.70

Em Anexo apresenta-se o traçado das flechas relativas das vigas analisadas para esta combinação.

Estas deformações foram obtidas considerando os pilares com uma rigidez axial infinita, de forma a

se obterem a flechas relativas e não absolutas.

Verifica-se que as vigas V1.15 e V1.16 (figura 1) não apresentam problemas ao nível da deformada, o

mesmo já não acontece para a viga VC.6. Nesse alinhamento, as vigas DC.1 e DC.2 têm uma

deformada quase nula devido à altura que têm (1.27m) como seria de esperar (figura 2). Em relação

à viga DC.3 esta apresenta uma deformada de 1.05cm, ainda inferior ao limite admissível. Esta

deformada acontece devido ao abaixamento do pilar P4G que, “nascendo” no piso 0 implica uma

deformação da laje. Este abaixamento faz com que as vigas DC.3 e VC.6 também se deformem.

Como consequência, a deformada máxima da viga VC.6 apresenta um valor de 1.55cm. No entanto,

este valor deve ser analisado em relação à deformada do próprio pilar (linha azul na figura),

100

apresentando uma deformada de apenas 1.55-1.05=0.50cm, superior ao limite máximo de 0.40cm.

Desta forma, foi aumentada a altura da viga até se obter um valor de 0.40cm. Esse valor foi

conseguido com uma altura nova para a viga VC.6 de 1.00m (figura 3).

A viga VC.5 apresenta uma flecha de 1.57cm que apesar de ser superior ao limite máximo de 1.50cm

se considerou aceitável (figura 4).


8.3.2.1 Esforços Resistentes – Momento Resistente

Considerando a expressão (7.4) apresentadas no capítulo anterior, foram determinados os valores

dos momentos resistentes correspondentes a cada viga para uma gama de armaduras usuais. Em

Anexo encontra-se uma tabela com esses valores.

No que diz respeito à armadura longitudinal de tracção para vigas, o artigo 90.1º do REBAP preconiza

uma percentagem mínima dessa armadura, É, que não deve ser inferior a 0.15 no caso de armaduras

de aço A400. Essa percentagem é definida pela relação:

É � ��59� j 100 (8.7)

Em que:

�� é a área da secção da armadura;

59 é a largura média da zona traccionada;

� é a altura útil da secção.

Os valores obtidos para as diferentes secções consideradas foram os seguintes:

Viga Asmin [cm2]

V1.15 2.99

V1.16 5.09

DC.1 6.51

DC.2 6.51

DC.3 6.51

VC.6 5.09

VC.5 5.09

De igual forma o artigo 90.2º do REBAP define uma percentagem de armadura longitudinal de tracção

ou compressão máxima correspondente a 4% da área total da secção da viga.

101

8.3.2.2 Cálculo dos Esforços Resistentes – Esforço Transverso

Ao longo de todo o vão livre da viga, esta deve ser armada com estribos que abracem a totalidade da

sua altura, envolvendo as armaduras de tracção e de compressão (quando se considerarem

resistentes). O artigo 94.1º do REBAP limita a distância entre 2 ramos consecutivos de um mesmo

estribo a 60cm ou à altura útil da viga. No caso de tal acontecer são necessários 4 ramos por

intermédio de 2 estribos intercalados e armados com auxílio de uma armadura construtiva.

Relativamente à percentagem mínima de estribos, É6 , segundo o artigo 94.2º do REBAP, esta não

deve ser inferior a 0.10, no caso de armadura de aço A400. Este valor é definido pela seguinte

expressão:

É6 � ��656 j � j �7SM@N j 100 (8.8)

Em que:

��6 corresponde à área da secção transversal dos vários ramos do estribo;

56 é a largura da alma;

� corresponde ao espaçamento dos estribos;

@ é o ângulo formado pelos estribos com o eixo da viga (45º R @ R 90º).

Uma vez que as vigas apresentam todas a mesma largura, obtêm-se um valor de armadura de

estribos mínima de 3.5cm2/m, o que corresponde a Φ8//0.125.

Segundo o EC2, o cálculo do esforço transverso resistente duma secção sem armadura de esforço

transverso (4*�,�), pressupõe o conhecimento prévio da armadura longitudinal já instalada no

elemento. Isto implica um processo bastante complexo, uma vez que se teria que calcular o valor de 4*�,� segmento a segmento, impossibilitando uma generalização do esforço transverso resistente para

uma mesma secção. Desta forma foi considerado para o valor de 4*�,� do EC2 o valor de 4Þ�

preconizado no artigo 52.1º do REBAP. Este depende apenas da classe do betão e da dimensão da

secção sendo dado pela seguinte expressão:

4Þ� � �: j 56 j � (8.8)

Em que:

�: é a tensão cujo valor corresponde a 0.75MPa;

56 é a largura da alma da secção;

Considerando as expressões de cálculo de esforço transverso resistente do EC2, foram determinados

os valores dos esforços transversos resistentes para cada viga para uma gama de estribos usuais.

Em Anexo apresenta-se uma tabela com esses valores.

102

8.3.2.3 Esforços Actuantes – Momento e Esforço Transverso

Os diagramas apresentados em Anexo correspondem aos resultados de momento e esforço

transverso obtidos do modelo tridimensional para as combinações fundamentais com acção variável

base de sobrecarga (ELU1) a azul e os valores máximos e mínimos das envolventes de combinações

fundamentais com variável base sísmica nas correspondentes direcções X e Y (ELU_ENV-SX e

ELU_ENV-SY) a cor de laranja e verde, respectivamente. Encontram-se assim descriminados para

permitir a compreensão das combinações condicionantes ao longo das vigas, sendo que os esforços

considerados na verificação corresponderam à envolvente global de combinações (ELU_ENV).

8.4 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES

Ao contrário do que acontece vulgarmente em vigas, o esforço axial actuante nos pilares não pode

ser desprezado. Desta forma, a verificação à flexão e à compressão/tracção deve ser feita

conjuntamente através duma análise à flexão composta. Para o efeito, foram considerados os

esforços actuantes correspondentes às combinações fundamentais (ELU1 a ELU5). Estes esforços

foram naturalmente obtidos do modelo de cálculo tridimensional. Os pilares considerados no

dimensionamento correspondem aos pilares PC4, PD3, PE2, PE4, PG4 e PR6.

Figura 8.32 – Localização dos pilares analisados. Pilar PC4 a cor de laranja, pilar PD3 a verde, pilar PE2 a

encarnado, pilar PE4 a roxo e pilar PR6 a amarelo

O pré-dimensionamento destes pilares ditou as seguintes dimensões:

Pilar a [m] b [m]

PC4 0.45 0.80

PD3 0.35 1.20

PE2 0.35 0.70

PE4 0.35 0.95/0.35

PR6 0.35 0.40

103



Composta)


MRd-NRd para cada pilar, através do programa de cálculo desenvolvido. Em Anexo encontram-se as

folhas de apresentação obtidas no programa com a envolvente de esforços resistentes e valores de

esforços actuantes. Os esforços M3 correspondem à orientação de 0º do programa e os esforços M2

correspondem à orientação de 90º do programa.

Segundo os artigos 121.1º e 121.2º do REBAP a área de armadura (considerando o aço A400) não

deve ser inferior 0.6% da secção do pilar, nem superior a 8%, mesmo em zonas de emenda com

sobreposição de varões.


O cálculo do esforço transverso é semelhante ao das vigas, pelo que em Anexo se apresentam

igualmente os valores dos esforços transversos resistentes para cada pilar para uma gama de

estribos usuais. Estes têm o objectivo de cintar o betão e impedir a encurvadura dos varões

longitudinais, tendo sido dispostos conforme as especificações indicadas no artigo 122º do REBAP.

8.4.1.3 Esforços Actuantes – Esforço Axial, Momento e Esforço Transverso

Com o mesmo critério de apresentação patente nos diagramas das vigas, os diagramas

apresentados em Anexo correspondem aos resultados máximos e mínimos de esforço axial,

momento M3 e momento M2 obtidos do modelo, bem como de esforço transverso.

Naturalmente a combinação ELU1 é condicionante para o esforço axial e as envolventes de

combinações ELU_ENV-SX (ELU2 e ELU3) e ELU_ENV-SY (ELU4 e ELU5) são condicionante para

os momentos e esforço transverso.

104

8.5 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DO NÚCLEO

A análise do núcleo é semelhante à análise efectuada para os pilares, sendo até comum verificar este

tipo de estrutura através da consideração de pilares fictícios. No entanto, o processo utilizado na

verificação da flexão composta deste elemento neste trabalho foi bastante mais simples.



Composta)


MRd-NRd do núcleo, através da variante do programa de cálculo desenvolvido que permite calcular

secções em “T” e em “H”. O núcleo foi assim verificado à flexão bi-composta, considerando as

seguintes secções equivalentes para cada direcção:

Figura 8.33 – Secção equivalente do núcleo na direcção do momento

indicado (M33)

Figura 8.34 – Secção do núcleo Figura 8.35 – Secção equivalente do núcleo na direcção do momento

indicado (M22)

Em Anexo encontram-se as folhas de apresentação obtidas no programa com a envolvente de

esforços resistentes e valores de esforços actuantes. Os esforços foram analisados de forma análoga

à considerada na verificação dos pilares.


O cálculo do esforço transverso é semelhante ao dos pilares, pelo que em Anexo se apresentam os

valores dos esforços transversos resistentes para o núcleo para uma gama de estribos usuais.

8.5.1.3 Esforços Actuantes – Esforço Axial, Momento e Esforço Transverso

Os diagramas de esforços actuantes do núcleo encontram-se apresentados em Anexo de forma

análoga à dos pilares.

0.225 0.225

2.45

0.975

0.975

0.225

0.225

1.95

0.45 0.225

2.45

0.225

105

9 CONCLUSÃO

Em primeiro lugar é de referir que o principal objectivo deste trabalho foi cumprido ao percorrer as

principais fases de um projecto de estruturas, finalizando uma concepção estrutural funcional cuja

solução cumpriu o projecto de arquitectura sem alterações significativas.

Ao longo do trabalho foi posta à prova a plataforma de conhecimentos adquiridas, a qual permitiu

uma análise de todos os diferentes tipos de elementos estruturais, apesar de nem todos terem sido

pormenorizados.

Comparando os valores do pré-dimensionamento com os valores obtidos do modelo conclui-se que

ao nível dos pilares estes se revelaram semelhantes, apesar de existirem pilares com diferenças

significativas. No que diz respeito às vigas, estes valores não foram tão próximos se bem que

permitiram obter uma ordem de grandeza coerente do resultado final. De facto, esta análise inicial é

de elevada importância, uma vez que permite obter uma ideia razoável das dimensões iniciais

necessárias aos elementos estruturais. No entanto, e para o caso de uma estrutura irregular como

esta, a profundidade dessa análise deve ser cuidada de forma a não se perder tempo desnecessário

com cálculos que podem devolver resultados incorrectos. Deve assim ser pesado o rigor do cálculo

do pré-dimensionamento com a fiabilidade dos resultados a obter. Posto isto, destaca-se a clara

relevância da utilização de modelos tridimensionais no projecto de estruturas, de forma a se

alcançarem os valores o mais correctos possível.

Quanto ao comportamento dinâmico da estrutura, considerando a irregularidade do edifício quer em

planta, quer em altura, este revelou-se de difícil interpretação, particularmente ao nível dos modos de

vibração onde os factores de participação modal indiciavam um comportamento dinâmico diferente do

observado nas deformadas globais da estrutura.

No que diz respeito ao programa de verificação de secções de betão armado à flexão composta

desenvolvido no âmbito desta dissertação, este revelou-se de grande utilidade uma vez que permite a

verificação automática dum conjunto significativo de pilares, paredes e núcleos, e ainda a

determinação de esforços resistente em lajes pré-esforçadas.

107

BIBLIOGRAFIA

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R.E.B.A.P. – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado; Porto; Porto Editora;

1983.

ANEXOS

ÍNDICE DE ANEXOS

Anexo A.1 – DIAGRAMAS DE INTERACÇÃO NRD – MRD DE LAJES PRÉ-ESFORÇADAS

Anexo A.2 – MOMENTOS RESISTENTES DE LAJES MACIÇAS

Anexo A.3 – DIAGRAMAS DE MOMENTO E ESFORÇO TRANSVERSO ACTUANTES EM

LAJES

Anexo A.4 – VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE PUNÇOAMENTO EM

LAJES

Anexo A.5 – DEFORMADAS DE VIGAS

Anexo A.6 – MOMENTOS RESISTENTES DE VIGAS

Anexo A.7 – ESFORÇO TRANSVERSO RESISTENTE DE VIGAS

Anexo A.8 – DIAGRAMAS DE MOMENTO E ESFORÇO TRANSVERSO ACTUANTES EM

VIGAS

Anexo A.9 – DIAGRAMAS DE INTERACÇÃO MOMENTO NRD – MRD DE PILARES

Anexo A.10 – ESFORÇO TRANSVERSO RESISTENTE DE PILARES

Anexo A.11 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO AXIAL, MOMENTO E ESFORÇO TRANSVERSO

ACTUANTES EM PILARES

Anexo A.12 – DIAGRAMAS DE INTERACÇÃO MOMENTO-ESFORÇO AXIAL RESISTENTE DO

NÚCLEO

Anexo A.13 – ESFORÇO TRANSVERSO RESISTENTE DO NÚCLEO

Anexo A.14 – DIAGRAMAS DE MOMENTO E ESFORÇO AXIAL E DE ESFORÇO

TRANSVERSO ACTUANTES NO NÚCLEO

ANEXO A.1 – DIAGRAMAS DE INTERACÇÃO NRD – MRD DE LAJES PRÉ-ESFORÇADAS

‐7000

‐6000

‐5000

‐4000

‐3000

‐2000

‐1000

0

1000

2000

‐500 ‐400 ‐300 ‐200 ‐100 0 100 200 300 400 500

NRd[kN]

MRd [kN.m]

Diagrama de Interacção NRd ‐MRd ‐ Laje 0.50m

Φ10//0.10

Φ10//0.20+Φ12//0.20

Φ12//0.10

Φ12//0.20+Φ16//0.20

Φ16//0.10

‐7000

‐6000

‐5000

‐4000

‐3000

‐2000

‐1000

0

1000

2000

‐500 ‐400 ‐300 ‐200 ‐100 0 100 200 300 400 500

NRd[kN]

MRd [kN.m]

Diagrama de Interacção NRd ‐MRd ‐ Laje 0.35m

Φ10//0.10

Φ10//0.20+Φ12//0.20

Φ12//0.10

Φ12//0.20+Φ16//0.20

Φ16//0.10

‐3000

‐2500

‐2000

‐1500

‐1000

‐500

0

500

‐250 ‐200 ‐150 ‐100 ‐50 0 50 100 150 200 250 300

NRd[kN]

MRd [kN.m]

Diagrama de Interacção NRd ‐MRd ‐ Secção em "T"

2Φ10

2Φ12

2Φ16

2Φ20

ANEXO A.2 – MOMENTOS RESISTENTES DE LAJES MACIÇAS

b [m] h [m] b [m] h [m] b [m] h [m]

1.00 0.50 1.00 0.35 1.00 0.25

Armadura Distribuída As/s [cm2/m] x [m] Mrd [kN.m] x [m] Mrd [kN.m] x [m] Mrd [kN.m]

φ 10 // 20.0 3.93 0.012 62.86 0.012 42.37 0.012 28.71

φ 10 // 15.0 5.24 0.016 83.52 0.016 56.20 0.016 37.99

φ 12 // 20.0 5.65 0.017 90.10 0.017 60.59 0.017 40.92

φ 10 // 12.5 6.28 0.019 99.94 0.019 67.16 0.019 45.30

φ 12 // 30.0 + φ 10 // 30.0 6.39 0.020 101.58 0.020 68.25 0.020 46.03

φ 8 // 20.0 + φ 10 // 20.0 6.44 0.020 102.39 0.020 68.79 0.020 46.39

φ 12 // 17.5 6.46 0.020 102.74 0.020 69.03 0.020 46.55

φ 12 // 15.0 7.54 0.023 119.52 0.023 80.18 0.023 53.96

φ 10 // 10.0 7.85 0.024 124.40 0.024 83.42 0.024 56.10

φ 12 // 12.5 9.05 0.028 142.84 0.028 95.64 0.028 64.17

φ 12 // 20.0 + φ 10 // 20.0 9.58 0.029 151.06 0.029 101.06 0.029 67.74

φ 16 // 20.0 10.05 0.031 158.28 0.031 105.83 0.031 70.86

φ 12 // 30.0 + φ 16 // 30.0 10.47 0.032 164.69 0.032 110.05 0.032 73.63

φ 12 // 10.0 11.31 0.035 177.46 0.035 118.45 0.035 79.12

φ 16 // 17.5 11.49 0.035 180.19 0.035 120.25 0.035 80.28

φ 16 // 15.0 13.40 0.041 209.13 0.041 139.19 0.041 92.57

φ 12 // 20.0 + φ 16 // 20.0 15.71 0.048 243.52 0.048 161.57 0.048 106.93

φ 20 // 20.0 15.71 0.048 243.52 0.048 161.57 0.048 106.93

φ 16 // 12.5 16.08 0.049 249.11 0.049 165.19 0.049 109.24

φ 16 // 30.0 + φ 20 // 30.0 17.17 0.053 265.18 0.053 175.57 0.053 115.84

φ 20 // 17.5 17.95 0.055 276.59 0.055 182.93 0.055 120.49

φ 16 // 10.0 20.11 0.062 307.93 0.062 203.03 0.062 133.10

φ 20 // 15.0 20.94 0.064 320.02 0.064 210.74 0.064 137.89

φ 25 // 20.0 24.54 0.075 371.25 0.075 243.19 0.075 157.82

φ 20 // 12.5 25.13 0.077 379.52 0.077 248.40 0.077 160.98

φ 16 // 20.0 + φ 20 // 20.0 25.76 0.079 388.32 0.079 253.91 0.079 164.31

φ 20 // 30.0 + φ 25 // 30.0 26.83 0.082 403.27 0.082 263.26 0.082 169.93

φ 25 // 17.5 28.05 0.086 420.08 0.086 273.73 0.086 176.17

φ 20 // 10.0 31.42 0.096 465.98 0.096 302.07 0.096 192.79

φ 25 // 15.0 32.72 0.100 483.56 0.100 312.82 0.100 199.00

φ 25 // 12.5 39.27 0.121 569.30 0.121 364.41 0.121 227.82

φ 20 // 20.0 + φ 25 // 20.0 40.25 0.124 581.84 0.124 371.84 0.124 231.83

φ 25 // 10.0 49.09 0.151 691.05 0.151 434.94 0.151 264.20

(Nota: Os valores de x que se apresentam a cor de laranja estão compreendidos entre valores de 0.20d e 0.26d,

aqueles que se encontram rasurados a vermelhos apresentam valores superiores a 0.26d.)

ANEXO A.3 – DIAGRAMAS DE MOMENTO E ESFORÇO TRANSVERSO ACTUANTES EM LAJES

Os momentos seguem a seguinte orientação:

Figura 1 – Diagrama de momentos M11 da laje do piso 2

Figura 2 – Diagrama de momentos M22 da laje do piso 2

‐200 ‐169 ‐138 ‐107 ‐76 ‐45 ‐14 17 48 0 110 141 172 203 kN.m

‐250 ‐223 ‐196 ‐169 ‐142 ‐115 ‐88 ‐61 ‐34 0 20 47 74 101 kN.m

Figura 3 – Diagrama de esforço transverso V13 da laje do piso 2

Figura 4 – Diagrama de esforço transverso V23 da laje do piso 2

‐300 ‐254 ‐208 ‐162 ‐116 ‐70 ‐24 22 68 0 160 206 252 298 kN

‐300 ‐254 ‐208 ‐162 ‐116 ‐70 ‐24 22 68 0 160 206 252 298 kN

Figura 5 – Diagrama de momentos M11 das lajes de cobertura

Figura 6 – Diagrama de momentos M22 das lajes de cobertura

‐200 ‐177 ‐154 ‐131 ‐108 ‐85 ‐62 ‐39 ‐16 0 30 53 76 99 kN.m

‐200 ‐177 ‐154 ‐131 ‐108 ‐85 ‐62 ‐39 ‐16 0 30 53 76 99 kN.m

Figura 7 – Diagrama de esforço transverso V13 das lajes de cobertura

Figura 8 – Diagrama de esforço transverso V23 das lajes de cobertura

‐300 ‐254 ‐208 ‐162 ‐116 ‐70 ‐24 22 68 0 160 206 252 298 kN

‐300 ‐254 ‐208 ‐162 ‐116 ‐70 ‐24 22 68 0 160 206 252 298 kN

ANEXO A.4 – VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE PUNÇOAMENTO EM LAJES

Características Pilar Dimensões Laje Perímetro de Controlo

Esforços Actuantes no topo do Pilar

Cálculo β e vSd Punçoamento Resistente

Pilar Comb Condição do pilar h [m]

c [m] d [m]

Redução [m]

u1

[m] NSd

[kN] MSd

3

[kN.m] MSd

2

[kN.m] β β3 β2 vsd

[kN/m2]

vsd3

[kN/m2]

vsd2

[kN/m2]

vRd,c[kN/m

2]

VRd,c [kN]

PB2‐2 ELU1 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 419 101 ‐74 1.43 462.09 488.49 632.15 PB2‐2 ELU2 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 248 145 37 2.04 391.74 488.49 632.15 PB2‐2 ELU2 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 287 ‐15 ‐122 1.09 242.46 488.49 632.15 PB2‐2 ELU3 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 247 158 48 2.14 407.81 488.49 632.15 PB2‐2 ELU3 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 288 ‐27 ‐133 1.17 260.19 488.49 632.15 PB2‐2 ELU4 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 250 131 37 1.93 374.03 488.49 632.15 PB2‐2 ELU4 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 285 ‐1 ‐122 1.01 221.46 488.49 632.15 PB2‐2 ELU5 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 252 132 38 1.93 375.78 488.49 632.15 PB2‐2 ELU5 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 283 ‐1 ‐122 1.01 220.66 488.49 632.15

PB4‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 529 125 21 1.12 1.12 1.02 313.80 314.43 286.86 360.61 678.48 PB4‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 320 123 111 1.27 1.19 1.17 215.65 202.69 199.36 360.61 678.48 PB4‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 353 35 ‐87 0.97 1.05 0.88 182.40 196.82 164.43 360.61 678.48 PB4‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 320 127 124 1.29 1.20 1.19 218.89 203.45 202.62 360.61 678.48 PB4‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 353 31 ‐100 0.95 1.04 0.86 179.16 196.06 161.17 360.61 678.48 PB4‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 320 110 110 1.27 1.17 1.17 215.58 199.42 199.28 360.61 678.48 PB4‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 353 48 ‐87 0.97 1.07 0.88 182.47 200.08 164.51 360.61 678.48 PB4‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 323 109 110 1.27 1.17 1.17 217.62 200.85 201.15 360.61 678.48 PB4‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 350 49 ‐87 0.97 1.07 0.88 180.43 198.66 162.63 360.61 678.48

PC2‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 519 ‐142 ‐169 0.96 0.89 0.87 242.72 225.68 220.54 360.61 737.80 PC2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 304 106 1 1.09 1.14 1.00 162.09 169.77 149.08 360.61 737.80 PC2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 360 ‐285 ‐207 0.86 0.68 0.77 150.53 119.78 135.15 360.61 737.80 PC2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 303 136 15 1.11 1.18 1.02 163.93 174.74 150.99 360.61 737.80 PC2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 362 ‐314 ‐221 0.84 0.65 0.75 148.68 114.82 133.23 360.61 737.80 PC2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 299 72 13 1.10 1.10 1.02 161.27 160.12 148.50 360.61 737.80 PC2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 366 ‐250 ‐218 0.85 0.72 0.76 151.35 129.44 135.72 360.61 737.80 PC2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 300 72 12 1.10 1.10 1.02 162.03 160.86 149.20 360.61 737.80 PC2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 364 ‐250 ‐218 0.85 0.72 0.76 150.58 128.69 135.02 360.61 737.80

PC4‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 1015 50 89 1.05 273.14 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 622 353 210 1.59 253.17 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 662 ‐294 ‐104 1.46 247.52 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 622 398 223 1.66 264.94 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 662 ‐339 ‐117 1.53 259.56 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 625 378 164 1.63 260.45 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 658 ‐318 ‐57 1.50 253.13 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 628 379 160 1.63 261.47 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 656 ‐320 ‐54 1.50 252.87 360.61 1407.80

PC5‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 396 54 74 1.18 1.06 1.09 242.35 218.35 223.20 360.61 695.43 PC5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 221 113 128 1.36 1.24 1.27 156.28 141.97 145.58 360.61 695.43 PC5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 289 ‐42 ‐34 1.04 0.93 0.95 155.49 139.39 141.54 360.61 695.43 PC5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 218 110 138 1.39 1.24 1.30 156.78 139.51 146.26 360.61 695.43 PC5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 292 ‐40 ‐44 1.02 0.94 0.93 155.00 141.85 140.86 360.61 695.43 PC5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 217 78 136 1.39 1.17 1.29 155.99 131.41 145.50 360.61 695.43 PC5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 293 ‐8 ‐42 1.03 0.99 0.93 155.79 149.95 141.63 360.61 695.43 PC5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 218 74 136 1.38 1.16 1.29 156.36 130.73 145.83 360.61 695.43 PC5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 292 ‐4 ‐42 1.03 0.99 0.93 155.42 150.64 141.29 360.61 695.43

PD2‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 473 2 ‐54 1.04 1.00 0.95 240.73 231.56 220.52 360.61 737.80 PD2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 187 115 26 1.14 1.25 1.06 104.73 114.32 96.72 360.61 737.80 PD2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 435 ‐111 ‐92 1.00 0.90 0.92 213.39 191.00 194.78 360.61 737.80 PD2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 182 122 33 1.16 1.27 1.07 103.33 113.02 95.54 360.61 737.80 PD2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 441 ‐117 ‐99 1.00 0.89 0.91 214.79 192.30 195.96 360.61 737.80 PD2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 129 130 43 1.22 1.41 1.14 77.09 88.67 71.58 360.61 737.80 PD2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 494 ‐126 ‐109 1.00 0.90 0.91 241.03 216.65 219.92 360.61 737.80 PD2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 142 112 42 1.21 1.32 1.12 84.00 91.64 77.91 360.61 737.80 PD2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 481 ‐108 ‐108 1.00 0.91 0.91 234.13 213.68 213.59 360.61 737.80

PD3‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 1086 23 21 1.02 261.93 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 644 431 146 1.67 253.60 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 752 ‐389 ‐105 1.51 269.24 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 644 422 163 1.65 251.72 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 752 ‐380 ‐122 1.50 267.19 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 659 382 122 1.58 245.45 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 738 ‐339 ‐81 1.46 254.20 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 662 353 121 1.53 239.69 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 734 ‐311 ‐80 1.42 246.70 360.61 1526.45

PD4‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 719 19 11 1.03 196.41 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 407 219 93 1.57 170.24 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 523 ‐198 ‐77 1.40 195.12 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 402 248 99 1.66 176.95 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 528 ‐227 ‐84 1.46 204.74 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 400 283 69 1.76 186.69 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 530 ‐263 ‐53 1.53 215.19 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 401 281 66 1.75 186.18 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 529 ‐260 ‐51 1.52 214.19 360.61 1356.96

PD5‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 416 ‐20 24 1.12 0.98 1.03 248.76 215.87 227.56 360.61 678.48 PD5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 256 47 50 1.19 1.09 1.10 162.24 148.28 149.22 360.61 678.48 PD5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 281 ‐75 ‐19 1.06 0.87 0.97 158.49 129.43 144.19 360.61 678.48 PD5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 254 45 55 1.20 1.09 1.11 162.69 147.15 149.74 360.61 678.48 PD5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 282 ‐73 ‐24 1.05 0.87 0.96 158.04 130.56 143.68 360.61 678.48 PD5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 256 20 61 1.21 1.04 1.12 165.08 141.17 152.06 360.61 678.48 PD5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 281 ‐48 ‐30 1.04 0.91 0.95 155.65 136.54 141.35 360.61 678.48 PD5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 256 17 60 1.21 1.03 1.12 165.05 140.41 152.01 360.61 678.48 PD5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 281 ‐45 ‐29 1.04 0.92 0.95 155.69 137.30 141.40 360.61 678.48

PE2‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 1342 99 ‐98 1.06 1.03 0.97 694.23 675.67 636.86 360.61 737.80 PE2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 762 165 ‐10 1.08 1.09 0.99 403.28 405.10 370.71 360.61 737.80 PE2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 984 ‐40 ‐90 1.05 0.98 0.96 505.58 473.23 463.51 360.61 737.80 PE2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 750 166 ‐4 1.09 1.09 1.00 397.98 399.40 365.92 360.61 737.80 PE2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 996 ‐41 ‐95 1.05 0.98 0.96 510.88 478.93 468.30 360.61 737.80 PE2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 768 190 3 1.09 1.10 1.00 408.82 412.88 376.00 360.61 737.80 PE2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 979 ‐65 ‐102 1.05 0.97 0.96 500.04 465.46 458.23 360.61 737.80 PE2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 775 168 2 1.09 1.09 1.00 412.36 412.00 379.23 360.61 737.80 PE2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 971 ‐43 ‐101 1.05 0.98 0.96 496.51 466.33 454.99 360.61 737.80

PE4‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 1479 32 ‐48 1.02 377.98 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 857 183 106 1.22 261.53 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 1003 ‐188 ‐156 1.19 299.09 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 856 201 115 1.24 265.89 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 1004 ‐206 ‐166 1.21 304.06 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 825 292 72 1.36 281.38 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 1035 ‐296 ‐122 1.29 335.00 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 836 280 68 1.34 281.25 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 1024 ‐285 ‐118 1.29 329.20 360.61 1441.70

PE5‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 317 75 0 1.09 1.10 1.00 175.29 177.18 160.69 360.61 712.38 PE5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 163 175 54 1.24 1.47 1.15 102.28 121.52 94.77 360.61 712.38 PE5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 252 ‐84 ‐49 1.01 0.85 0.91 127.95 108.65 116.39 360.61 712.38 PE5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 160 170 61 1.26 1.47 1.17 101.88 118.78 94.53 360.61 712.38 PE5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 255 ‐80 ‐56 0.99 0.86 0.90 128.35 111.39 116.62 360.61 712.38 PE5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 145 102 81 1.34 1.31 1.25 98.14 95.95 91.47 360.61 712.38 PE5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 270 ‐11 ‐76 0.97 0.98 0.88 132.09 134.22 119.68 360.61 712.38 PE5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 147 94 79 1.33 1.28 1.24 99.07 95.51 92.28 360.61 712.38 PE5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 267 ‐3 ‐74 0.97 0.99 0.88 131.16 134.66 118.87 360.61 712.38

PF2‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 1466 ‐42 ‐136 1.05 0.99 0.96 752.22 707.99 689.59 360.61 737.80 PF2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 834 81 ‐44 1.07 1.04 0.98 434.51 423.50 398.87 360.61 737.80 PF2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 1057 ‐128 ‐94 1.05 0.95 0.96 543.12 491.26 497.96 360.61 737.80 PF2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 826 82 ‐44 1.07 1.04 0.98 430.49 420.14 395.18 360.61 737.80 PF2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 1064 ‐130 ‐94 1.05 0.95 0.96 547.14 494.62 501.66 360.61 737.80 PF2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 834 102 ‐26 1.07 1.05 0.99 437.94 427.55 402.31 360.61 737.80 PF2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 1057 ‐150 ‐112 1.04 0.94 0.96 539.69 487.22 494.52 360.61 737.80 PF2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 844 79 ‐36 1.07 1.04 0.98 441.72 428.26 405.64 360.61 737.80 PF2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 1046 ‐126 ‐103 1.05 0.95 0.96 535.91 486.50 491.19 360.61 737.80

PF4‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 1527 167 ‐51 1.11 583.12 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 861 207 37 1.25 369.09 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 1084 ‐61 ‐106 1.06 393.44 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 856 209 44 1.25 368.17 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 1089 ‐63 ‐112 1.06 395.74 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 844 228 13 1.28 370.73 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 1101 ‐82 ‐81 1.08 406.90 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 857 217 13 1.26 371.12 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 1088 ‐71 ‐81 1.07 398.65 360.61 1051.88

PF5‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 212 ‐42 ‐16 1.06 0.91 0.97 113.71 98.22 103.95 360.61 712.38 PF5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 68 66 46 1.39 1.42 1.30 48.03 49.27 44.89 360.61 712.38 PF5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 210 ‐116 ‐63 0.96 0.76 0.87 101.84 80.52 92.19 360.61 712.38 PF5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 64 64 49 1.42 1.44 1.33 46.34 46.79 43.39 360.61 712.38 PF5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 214 ‐114 ‐66 0.96 0.77 0.87 103.53 83.00 93.70 360.61 712.38 PF5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 39 34 69 1.86 1.38 1.77 36.86 27.19 35.06 360.61 712.38 PF5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 239 ‐83 ‐86 0.93 0.85 0.84 113.02 102.60 102.02 360.61 712.38 PF5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 46 29 63 1.69 1.27 1.60 39.64 29.81 37.51 360.61 712.38 PF5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 232 ‐78 ‐80 0.94 0.85 0.85 110.24 99.98 99.57 360.61 712.38

PG2‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 1153 108 ‐105 1.05 1.04 0.96 585.14 577.46 537.04 360.61 746.27 PG2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 629 187 ‐23 1.07 1.12 0.99 325.82 339.58 299.57 360.61 746.27 PG2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 889 ‐61 ‐87 1.05 0.97 0.96 450.33 418.26 413.22 360.61 746.27 PG2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 618 190 ‐23 1.07 1.12 0.99 319.96 334.59 294.18 360.61 746.27 PG2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 901 ‐63 ‐88 1.05 0.97 0.96 456.19 423.26 418.61 360.61 746.27 PG2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 650 211 ‐7 1.08 1.13 1.00 339.78 354.09 312.67 360.61 746.27 PG2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 869 ‐85 ‐104 1.04 0.96 0.95 436.37 403.76 400.12 360.61 746.27 PG2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 658 186 ‐20 1.07 1.11 0.99 341.38 352.97 313.94 360.61 746.27 PG2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 861 ‐59 ‐91 1.05 0.97 0.96 434.78 404.87 398.85 360.61 746.27

PG4‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 1513 73 43 1.08 1.02 1.01 651.79 615.54 609.73 360.61 907.29 PG4‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 820 139 82 1.12 1.08 1.05 364.87 353.17 342.08 360.61 907.29 PG4‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 1094 ‐55 ‐54 1.05 0.98 0.98 454.66 424.05 424.24 360.61 907.29 PG4‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 817 135 85 1.12 1.08 1.05 364.00 351.19 341.30 360.61 907.29 PG4‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 1098 ‐52 ‐57 1.04 0.98 0.97 455.54 426.03 425.02 360.61 907.29 PG4‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 856 115 88 1.12 1.07 1.05 381.39 363.03 357.59 360.61 907.29 PG4‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 1058 ‐32 ‐60 1.04 0.99 0.97 438.14 414.19 408.73 360.61 907.29 PG4‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 870 110 76 1.11 1.06 1.04 385.08 367.61 360.88 360.61 907.29 PG4‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 1044 ‐27 ‐48 1.05 0.99 0.98 434.46 409.60 405.43 360.61 907.29

PI6‐2 ELU1 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 92 31 59 1.19 1.12 1.23 106.84 100.51 110.44 360.61 368.90 PI6‐2 ELU2 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 47 67 106 1.19 1.51 1.81 55.18 69.92 83.77 360.61 368.90 PI6‐2 ELU2 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 69 ‐29 ‐29 1.19 0.85 0.85 80.61 57.39 57.28 360.61 368.90 PI6‐2 ELU3 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 46 66 114 1.19 1.52 1.90 53.38 68.21 84.95 360.61 368.90 PI6‐2 ELU3 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 71 ‐28 ‐37 1.19 0.85 0.81 82.41 59.09 56.09 360.61 368.90 PI6‐2 ELU4 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 49 53 105 1.19 1.39 1.77 57.10 66.70 84.98 360.61 368.90 PI6‐2 ELU4 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 68 ‐15 ‐28 1.19 0.92 0.85 78.68 60.60 56.07 360.61 368.90 PI6‐2 ELU5 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 49 51 105 1.19 1.38 1.77 57.12 66.00 84.98 360.61 368.90 PI6‐2 ELU5 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 68 ‐13 ‐28 1.19 0.93 0.85 78.66 61.30 56.06 360.61 368.90

PK7‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 415 ‐2 ‐4 1.00 0.99 125.43 124.84 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 232 27 30 1.10 1.11 77.61 78.39 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 303 ‐30 ‐35 0.92 0.90 84.32 82.89 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 229 28 35 1.10 1.13 76.99 78.69 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 306 ‐31 ‐40 0.91 0.89 84.94 82.59 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 223 17 42 1.06 1.16 72.16 78.45 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 312 ‐19 ‐46 0.95 0.87 89.77 82.84 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 225 16 41 1.06 1.15 72.49 78.90 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 310 ‐19 ‐46 0.95 0.87 89.44 82.38 360.61 1187.39

PM7‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 412 4 6 1.01 1.01 125.96 126.55 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 176 42 30 1.20 1.14 64.23 60.96 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 366 ‐39 ‐22 0.91 0.95 101.17 105.58 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 174 43 33 1.21 1.16 63.79 61.19 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 368 ‐39 ‐25 0.91 0.94 101.61 105.35 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 216 24 44 1.10 1.17 71.70 76.81 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 326 ‐20 ‐36 0.95 0.91 93.69 89.73 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 216 23 43 1.09 1.17 71.39 76.57 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 326 ‐19 ‐35 0.95 0.91 94.01 89.97 360.61 1187.39

PP7‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 371 ‐3 ‐2 0.99 0.99 260.88 261.59 360.61 509.44 PP7‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 144 25 31 1.14 1.18 116.74 120.31 360.61 509.44 PP7‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 346 ‐27 ‐32 0.93 0.92 228.90 225.84 360.61 509.44 PP7‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 146 25 32 1.14 1.18 117.83 122.24 360.61 509.44 PP7‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 344 ‐27 ‐33 0.93 0.92 227.81 223.91 360.61 509.44 PP7‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 208 19 43 1.08 1.17 158.40 172.91 360.61 509.44 PP7‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 282 ‐21 ‐44 0.94 0.87 187.24 173.24 360.61 509.44 PP7‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 209 17 40 1.07 1.16 158.00 171.45 360.61 509.44 PP7‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 281 ‐19 ‐41 0.94 0.88 187.64 174.70 360.61 509.44

PR7‐2 ELU1 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 342 222 23 1.26 1.26 1.02 363.53 363.12 292.48 360.61 428.22 PR7‐2 ELU2 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 185 265 93 1.26 1.58 1.12 196.36 245.39 173.89 360.61 428.22 PR7‐2 ELU2 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 258 28 ‐65 1.26 1.04 0.94 274.71 227.13 204.73 360.61 428.22 PR7‐2 ELU3 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 183 270 91 1.26 1.59 1.12 194.65 245.77 172.05 360.61 428.22 PR7‐2 ELU3 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 260 23 ‐63 1.26 1.04 0.94 276.42 226.75 206.56 360.61 428.22 PR7‐2 ELU4 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 182 263 54 1.26 1.58 1.07 193.90 242.78 164.21 360.61 428.22 PR7‐2 ELU4 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 261 30 ‐26 1.26 1.05 0.98 277.17 229.74 214.41 360.61 428.22 PR7‐2 ELU5 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 186 253 49 1.26 1.55 1.06 198.03 242.67 166.63 360.61 428.22 PR7‐2 ELU5 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 257 40 ‐22 1.26 1.06 0.98 273.04 229.85 211.98 360.61 428.22

ANEXO A.5 – DEFORMADAS DE VIGAS

Figura 1 – Deformadas das vigas V1.15 e V1.16

Figura 2 – Deformadas das vigas DC.1, DC.2, DC.3 e VC.6

Figura 3 – Deformadas das vigas DC.1, DC.2, DC.3 e VC.6 com novas dimensões da viga VC.6

Figura 4 – Deformadas da viga VC.5

ANEXO A.6 – MOMENTOS RESISTENTES DE VIGAS

b [m] h [m] b [m] h [m] b [m] h [m]

0.35 0.60 0.35 1.00 0.35 1.27

Armadura As [cm2] x [m] Mrd [kN.m] x [m] Mrd [kN.m] x [m] Mrd [kN.m]

3 φ 12

3.39 0.030 65.27 0.030 112.48 0.030 144.34

2 φ 16

4.02 0.035 77.05 0.035 133.00 0.035 170.77

2 φ 12 + 1 φ 16 4.27 0.037 81.74 0.037 141.18 0.037 181.31

4 φ 12

4.52 0.040 86.41 0.040 149.35 0.040 191.83

2 φ 16 + 1 φ 12 5.15 0.045 98.01 0.045 169.70 0.045 218.08

3 φ 16

6.03 0.053 114.10 0.053 198.02 0.053 254.67

3 φ 16 + 2 φ 12 8.29 0.073 154.60 0.073 269.99 0.073 347.88

2 φ 20

6.28 0.055 118.66 0.055 206.08 0.055 265.09

2 φ 16 + 1 φ 20 7.16 0.063 134.51 0.063 234.16 0.063 301.43

4 φ 16

8.04 0.071 150.16 0.071 262.06 0.071 337.59

2 φ 20 + 1 φ 16 8.29 0.073 154.60 0.073 269.99 0.073 347.88

4 φ 16 + 1 φ 12 9.17 0.080 170.01 0.080 297.64 0.080 383.79

3 φ 20

9.42 0.083 174.38 0.083 305.51 0.083 394.02

2 φ 25

9.82 0.086 181.18 0.086 317.77 0.086 409.97

2 φ 16 + 2 φ 20 10.30 0.090 189.55 0.090 332.92 0.090 429.69

2 φ 20 + 1 φ 25 11.19 0.098 204.66 0.098 360.38 0.098 465.48

2 φ 25 + 1 φ 16 11.83 0.104 215.38 0.104 379.94 0.104 491.03

6 φ 16

12.06 0.106 219.32 0.106 387.17 0.106 500.46

2 φ 20 + 3 φ 16 12.32 0.108 223.51 0.108 394.85 0.108 510.51

4 φ 20

12.57 0.110 227.69 0.110 402.53 0.110 520.54

2 φ 25 + 1 φ 20 12.96 0.114 234.19 0.114 414.49 0.114 536.19

2 φ 16 + 3 φ 20 13.45 0.118 242.19 0.118 429.26 0.118 555.54

2 φ 25 + 2 φ 16 13.84 0.121 248.60 0.121 441.14 0.121 571.10

3 φ 25

14.73 0.129 262.95 0.129 467.83 0.129 606.13

5 φ 20

15.71 0.138 278.59 0.138 497.14 0.138 644.66

2 φ 25 + 2 φ 20 16.10 0.141 284.79 0.141 508.80 0.141 660.00

3 φ 25 + 2 φ 16 18.75 0.164 325.55 0.164 586.38 0.164 762.45

2 φ 25 + 3 φ 20 19.24 0.169 332.98 0.169 600.70 0.169 781.41

4 φ 25

19.63 0.172 338.83 0.172 612.02 0.172 796.41

2 φ 20 + 3 φ 25 21.01 0.184 359.03 0.184 651.34 0.184 848.64

5 φ 25

24.54 0.215 408.85 0.215 750.32 0.215 980.82

(Nota: Os valores de x que se apresentam a cor de laranja estão compreendidos entre valores de 0.20d e 0.26d,

aqueles que se encontram rasurados a vermelhos apresentam valores superiores a 0.26d.)

ANEXO A.7 – ESFORÇO TRANSVERSO RESISTENTE DE VIGAS

b [m] h [m] b [m] h [m] b [m] h [m]

0.35 0.60 0.35 1.00 0.35 1.27

Estribos As/s [cm2/m] VRd,s [kN] VRd [kN] VRd,s [kN] VRd [kN] VRd,s [kN] VRd [kN]

φ 8 // 0.20

2 R 5.03 152.6 299.6 261.6 513.6 335.2 658.1

φ 8 // 0.175

2 R 5.74 174.4 321.4 299.0 551.0 383.1 706.0

φ 8 // 0.15

2 R 6.70 203.5 350.5 348.9 600.9 447.0 769.8

φ 8 // 0.125

2 R 8.04 244.2 391.2 418.6 670.6 536.4 859.2

φ 8 // 0.10

2 R 10.05 305.2 452.2 523.3 775.3 670.5 993.3

φ 8 // 0.20

4 R 10.05 305.2 452.2 523.3 775.3 670.5 993.3

φ 8 // 0.175

4 R 11.49 348.9 495.9 598.0 850.0 766.2 1089.1

φ 8 // 0.15

4 R 13.40 407.0 554.0 697.7 949.7 893.9 1216.8

φ 8 // 0.125

4 R 16.08 488.4 635.4 837.3 1089.3 1072.7 1395.6

φ 8 // 0.10

4 R 20.11 610.5 757.5 1046.6 1298.6 1340.9 1663.8

(Nota: Os valores de que se apresentam a cor de laranja são superiores a , á , pelo que se adoptou este último

valor.)

ANEXO A.8 – DIAGRAMAS DE MOMENTO E ESFORÇO TRANSVERSO ACTUANTES EM VIGAS

‐600

‐400

‐200

0

200

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

[kN.m

]

[m]

Diagrama de Momentos Actuantes ‐ Vigas V1.15 ‐ V1.16

ELU1 ELU_ENV‐SX ELU_ENV‐SY

‐1000

‐800

‐600

‐400

‐200

0

200

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

[kN.m

]

[m]

Diagrama de Momentos Actuantes ‐ Vigas DC.1 ‐ DC.3 e VC.6


‐50

0

50

100

150

200

250

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

[kN.m

]

[m]

Diagrama de Momentos Actuantes ‐ Viga VC.5


‐300

‐200

‐100

0

100

200

300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

[kN.m

]

[m]

Diagrama de Esf. Transverso Actuante ‐ Vigas V1.15 ‐ V1.16


‐400

‐300

‐200

‐100

0

100

200

300

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

[kN.m

]

[m]

Diagrama de Esf. Transverso Actuante ‐ Vigas DC.1 ‐ DC.3 e VC.6


‐80

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

[kN.m

]

[m]

Diagrama de Esf. Transverso Actuante ‐ Viga VC.5


ANEXO A.9 – DIAGRAMAS DE INTERACÇÃO NRD – MRD DE PILARES

VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE FLEXÃO BI‐COMPOSTA

PILAR PC4

Dimensões Secção

b [m] 0.45

h [m] 0.80

c [m] 0.035

Armadura

4 Φ 16 + 16 Φ 12

As [cm2] 26.14

[%] As 0.73%

Materiais

Betão C25/30

Aço A400NR

Secção Resistente 0º

NRd,máx [kN] 909

NRd,mín [kN] ‐6009

MRd,máx [kN.m] 439

MRd,mín [kN.m] ‐439


NRd,máx [kN] 909


MRd,máx [kN.m] 209


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

‐0.60 ‐0.40 ‐0.20 0.00 0.20 0.40 0.60

‐7000

‐6000

‐5000

‐4000

‐3000

‐2000

‐1000

0

1000

2000

‐800 ‐600 ‐400 ‐200 0 200 400 600 800

NRd[kN]

MRd [kN.m]

Diagramas de Interacção NRd ‐MRd Secção 0º e 90º

Esforços ‐ 0º Diagrama de Interacção ‐ 0º



PILAR PD3

Dimensões Secção

b [m] 0.35

h [m] 1.20

c [m] 0.035

Armadura

4 Φ 16 + 24 Φ 12

As [cm2] 35.19

[%] As 0.84%

Materiais

Betão C25/30

Aço A400NR


NRd,máx [kN] 1224


MRd,máx [kN.m] 584



NRd,máx [kN] 1224


MRd,máx [kN.m] 231


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

‐0.60 ‐0.40 ‐0.20 0.00 0.20 0.40 0.60

‐8000

‐7000

‐6000

‐5000

‐4000

‐3000

‐2000

‐1000

0

1000

2000

‐1500 ‐1000 ‐500 0 500 1000 1500

NRd[kN]

MRd [kN.m]





PILAR PE2

Dimensões Secção

b [m] 0.35

h [m] 0.70

c [m] 0.035

Armadura

4 Φ 20 + 14 Φ 16

As [cm2] 40.72

[%] As 1.66%

Materiais

Betão C25/30

Aço A400NR


NRd,máx [kN] 1416


MRd,máx [kN.m] 372



NRd,máx [kN] 1416


MRd,máx [kN.m] 188


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

‐0.60 ‐0.40 ‐0.20 0.00 0.20 0.40 0.60

‐6000

‐5000

‐4000

‐3000

‐2000

‐1000

0

1000

2000

‐800 ‐600 ‐400 ‐200 0 200 400 600 800

NRd[kN]

MRd [kN.m]





PILAR PE4 (1/2 – ATÉ AO PISO 1)

Dimensões Secção

b [m] 0.35

h [m] 0.95

c [m] 0.035

Armadura

20 Φ 16 + 6 Φ 12

As [cm2] 47.00

[%] As 1.41%

Materiais

Betão C25/30

Aço A400NR


NRd,máx [kN] 1635


MRd,máx [kN.m] 512



NRd,máx [kN] 1635


MRd,máx [kN.m] 209


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

‐0.60 ‐0.40 ‐0.20 0.00 0.20 0.40 0.60

‐7000

‐6000

‐5000

‐4000

‐3000

‐2000

‐1000

0

1000

2000

3000

‐1500 ‐1000 ‐500 0 500 1000 1500

NRd[kN]

MRd [kN.m]





PILAR PE4 (2/2 – PISO 2)

Dimensões Secção

b [m] 0.35

h [m] 0.35

c [m] 0.035

Armadura

12 Φ 16

As [cm2] 24.13

[%] As 1.97%

Materiais

Betão C25/30

Aço A400NR


NRd,máx [kN] 839


MRd,máx [kN.m] 94



NRd,máx [kN] 839


MRd,máx [kN.m] 107


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

‐0.60 ‐0.40 ‐0.20 0.00 0.20 0.40 0.60

‐3000

‐2500

‐2000

‐1500

‐1000

‐500

0

500

1000

1500

‐200 ‐150 ‐100 ‐50 0 50 100 150 200

NRd[kN]

MRd [kN.m]





PILAR PR6

Dimensões Secção

b [m] 0.35

h [m] 0.40

c [m] 0.035

Armadura

4 Φ 16 + 8 Φ 12

As [cm2] 17.09

[%] As 1.22%

Materiais

Betão C25/30

Aço A400NR


NRd,máx [kN] 594


MRd,máx [kN.m] 309



NRd,máx [kN] 594


MRd,máx [kN.m] 115


0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

‐0.60 ‐0.40 ‐0.20 0.00 0.20 0.40 0.60

‐3000

‐2500

‐2000

‐1500

‐1000

‐500

0

500

1000

‐200 ‐150 ‐100 ‐50 0 50 100 150 200

NRd[kN]

MRd [kN.m]




ANEXO A.10 – ESFORÇO TRANSVERSO RESISTENTE DE PILARES

a [m] b [m] a [m] b [m] a [m] b [m] a [m] b [m]

0.45 0.80 0.80 0.45 0.35 1.20 1.20 0.35

Estribos As/s

[cm2/m] VRd,s [kN]

VRd [kN]

VRd,s [kN]

VRd [kN]

VRd,s [kN]

VRd [kN]

VRd,s [kN]

VRd [kN]

φ 8 // 0.20

2 R 5.03 207.1 463.6 111.7 357.7 316.1 620.6 84.5 363.5

φ 8 // 0.175

2 R 5.74 236.7 493.2 127.7 373.7 361.3 665.8 96.6 375.6

φ 8 // 0.15

2 R 6.70 276.2 532.7 149.0 395.0 421.5 726.0 112.7 391.7

φ 8 // 0.125

2 R 8.04 331.4 587.9 178.8 424.8 505.8 810.3 135.2 414.2

φ 8 // 0.10

2 R 10.05 414.3 670.8 223.5 469.5 632.3 936.8 169.0 448.0

φ 8 // 0.20

4 R 10.05 414.3 670.8 223.5 469.5 632.3 936.8 169.0 448.0

φ 8 // 0.175

4 R 11.49 473.4 729.9 255.4 501.4 722.6 1027.1 193.1 472.1

φ 8 // 0.15

4 R 13.40 552.4 808.9 298.0 544.0 843.1 1147.6 225.3 504.3

φ 8 // 0.125

4 R 16.08 662.8 919.3 357.6 603.6 1011.7 1316.2 270.4 549.4

φ 8 // 0.10

4 R 20.11 828.5 1085.0 447.0 693.0 1264.6 1569.1 338.0 617.0

a [m] b [m] a [m] b [m] a [m] b [m] a [m] b [m]

0.35 0.70 0.70 0.35 0.35 0.40 0.40 0.35

Estribos As/s

[cm2/m] VRd,s [kN]

VRd [kN]

VRd,s [kN]

VRd [kN]

VRd,s [kN]

VRd [kN]

VRd,s [kN]

VRd [kN]

φ 8 // 0.20

2 R 179.9 179.9 353.1 84.5 247.2 98.1 192.6 84.5 177.5

φ 8 // 0.175

2 R 205.6 205.6 378.8 96.6 259.3 112.1 206.6 96.6 189.6

φ 8 // 0.15

2 R 239.8 239.8 413.1 112.7 275.4 130.8 225.3 112.7 205.7

φ 8 // 0.125

2 R 287.8 287.8 461.1 135.2 297.9 157.0 251.5 135.2 228.2

φ 8 // 0.10

2 R 359.8 359.8 533.0 169.0 331.7 196.2 290.7 169.0 262.0

φ 8 // 0.20

4 R 359.8 359.8 533.0 169.0 331.7 196.2 290.7 169.0 262.0

φ 8 // 0.175

4 R 411.2 411.2 584.4 193.1 355.9 224.3 318.8 193.1 286.1

φ 8 // 0.15

4 R 479.7 479.7 652.9 225.3 388.1 261.6 356.1 225.3 318.3

φ 8 // 0.125

4 R 575.6 575.6 748.9 270.4 433.1 314.0 408.5 270.4 363.4

φ 8 // 0.10

4 R 719.5 719.5 892.8 338.0 500.7 392.5 487.0 338.0 431.0

(Nota: Os valores de que se apresentam a cor de laranja são superiores a , á , pelo que se adoptou este

último valor.)

ANEXO A.11 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO AXIAL, MOMENTO E ESFORÇO TRANSVERSO

ACTUANTES EM PILARES

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

‐1000 ‐500 0 500

[m]

[kN.m]

Diagrama de Momentos Actuantes M3 ‐ Pilar PC4

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

‐300 ‐200 ‐100 0 100 200 300

[m]

[kN.m]

Diagrama de Momentos Actuantes M2 ‐ Pilar PC4

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐1000 ‐500 0 500 1000

[m]

[kN.m]

Diagrama de Momentos Actuantes M3 ‐ Pilar PD3

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐200 ‐100 0 100 200

[m]

[kN.m]

Diagrama de Momentos Actuantes M2 ‐ Pilar PD3

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐400 ‐200 0 200 400 600

[m]

[kN.m]

Diagrama de Momentos Actuantes M3 ‐ Pilar PE2

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐200 ‐100 0 100 200

[m]

[kN.m]


ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐400 ‐200 0 200 400

[m]

[kN.m]


ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐200 ‐100 0 100 200

[m]

[kN.m]


ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

‐100 ‐50 0 50 100

[m]

[kN.m]

Diagrama de Momentos Actuantes M3 ‐ Pilar PR6

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

‐50 0 50 100

[m]

[kN.m]

Diagrama de Momentos Actuantes M2 ‐ Pilar PR6

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

‐5000 ‐4000 ‐3000 ‐2000 ‐1000 0

[m]

[kN]

Diagrama de Esforço Axial Actuante ‐ Pilar PC4

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐2500 ‐2000 ‐1500 ‐1000 ‐500 0

[m]

[kN]

Diagrama de Esforço Axial Actuante ‐ Pilar PD3

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐2500 ‐2000 ‐1500 ‐1000 ‐500 0

[m]

[kN]

Diagrama de Esforço Axial Actuante ‐ Pilar PE2

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐4000 ‐3000 ‐2000 ‐1000 0

[m]

[kN]

Diagrama de Esforço Axial Actuante ‐ Pilar PE4

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

‐300 ‐200 ‐100 0 100

[m]

[kN]

Diagrama de Esforço Axial Actuante ‐ Pilar PR6

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

‐150 ‐100 ‐50 0 50

[m]

[kN]

Diagrama de Esforço Transverso Actuante V2 ‐

Pilar PC4

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

‐300 ‐200 ‐100 0 100 200

[m]

[kN]


Pilar PC4

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐300 ‐200 ‐100 0 100 200 300

[m]

[kN]


Pilar PD3

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐100 ‐50 0 50 100

[m]

[kN]


Pilar PD3

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐40 ‐20 0 20 40 60

[m]

[kN]


Pilar PE2

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐200 ‐100 0 100 200

[m]

[kN]


Pilar PE2

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐300 ‐200 ‐100 0 100 200

[m]

[kN]


Pilar PE4

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

18.0

‐150 ‐100 ‐50 0 50 100 150

[m]

[kN]


Pilar PE4

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

‐40 ‐20 0 20 40

[m]

[kN]


Pilar PR6

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

‐100 ‐50 0 50 100

[m]

[kN]


Pilar PR6

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

ANEXO A.12 – DIAGRAMAS DE INTERACÇÃO MOMENTO – ESFORÇO AXIAL RESISTENTE DO

NÚCLEO

VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE FLEXÃO COMPOSTA

NÚCLEO ‐ DIRECÇÃO M33

Dimensões Secção

b1 [m] 2.45

h1 [m] 0.225

b2 [m] 0.45

h2 [m] 1.95

c [m] 0.035

htot [m] 2.175

yg [m] 0.75

A [m2] 1.43

Materiais

Betão C25/30

Aço A400NR

Secção Resistente

NRd,máx [kN] 5452


MRd,máx [kN.m] 4528


Armadura

As [cm2] 156.74

[%] As 1.10%

y [m] As

[cm2]

0.035 31.40

0.113 4.02

0.190 27.38

0.260 4.52

0.410 4.52

0.560 4.52

0.710 4.52

0.860 4.52

1.010 4.52

1.160 4.52

1.310 4.52

1.460 4.52

1.610 4.52

1.760 4.52

1.775 8.04

1.865 8.04

1.955 8.04

2.045 8.04

2.135 12.06

0.000.200.400.600.801.001.201.401.601.802.002.202.402.602.80

‐1.40 ‐1.00 ‐0.60 ‐0.20 0.20 0.60 1.00 1.40

‐30000

‐25000

‐20000

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

‐15000 ‐10000 ‐5000 0 5000 10000 15000

NRd[kN]

MRd [kN.m]

Diagrama de Interacção NRd ‐MRd

Esforços Diagrama de Interacção

VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE FLEXÃO COMPOSTA

NÚCLEO ‐ DIRECÇÃO M22

Dimensões Secção

b1 [m] 2.18

h1 [m] 0.225

b2 [m] 0.23

h2 [m] 2.00

b3 [m] 2.18

h3 [m] 0.23

c [m] 0.035

htot [m] 2.450

yg [m] 1.225

A [m2] 1.43

Materiais

Betão C25/30

Aço A400NR

Secção Resistente

NRd,máx [kN] 5452


MRd,máx [kN.m] 6166


Armadura

As [cm2] 156.74

[%] As 1.10%

y [m] As

[cm2]

0.035 30.27

0.113 4.02

0.190 28.26

0.318 2.26

0.445 2.26

0.550 2.26

0.700 2.26

0.850 2.26

1.000 2.26

1.150 2.26

1.300 2.26

1.450 2.26

1.600 2.26

1.750 2.26

1.900 2.26

2.005 2.26

2.133 2.26

2.260 28.26

2.338 4.02

2.415 30.27

0.000.200.400.600.801.001.201.401.601.802.002.202.402.602.80

‐1.40 ‐1.00 ‐0.60 ‐0.20 0.20 0.60 1.00 1.40

‐30000

‐25000

‐20000

‐15000

‐10000

‐5000

0

5000

10000

‐20000 ‐15000 ‐10000 ‐5000 0 5000 10000 15000 20000

NRd[kN]

MRd [kN.m]

Diagrama de Interacção NRd ‐MRd

Esforços Diagrama de Interacção

ANEXO A.13 – ESFORÇO TRANSVERSO RESISTENTE DO NÚCLEO

a [m] b [m] a [m] b [m]

0.225 2.175 .225 2.45

Estribos As/s [cm2/m] VRd,s [kN] VRd [kN] VRd,s [kN] VRd [kN]

φ 10 // 0.20

2 R 7.85 909.2 1269.5 1026.3 1433.0

φ 10 // 0.175

2 R 10.47 1212.2 1572.5 1368.4 1775.1

φ 10 // 0.15

2 R 12.57 1454.7 1815.0 1642.1 2048.8

φ 10 // 0.125

2 R 15.71 1818.4 2178.7 2052.6 2459.3

φ 10 // 0.10

2 R 15.71 1818.4 2178.7 2052.6 2459.3

φ 10 // 0.20

4 R 20.94 2424.5 2784.8 2736.8 3143.5

φ 10 // 0.175

4 R 25.13 2909.4 3269.7 3284.1 3690.8

φ 10 // 0.15

4 R 7.85 909.2 1269.5 1026.3 1433.0

φ 10 // 0.125

4 R 10.47 1212.2 1572.5 1368.4 1775.1

φ 10 // 0.10

4 R 12.57 1454.7 1815.0 1642.1 2048.8

(Nota: Os valores de que se apresentam a cor de laranja são superiores a , á , pelo que se adoptou este último

valor.)

(Nota 2: Na direcção de actuação do esforço transverso V2 o valor do esforço transverso resistente dobra, uma vez que são

duas paredes a resistir.)

ANEXO A.14 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO AXIAL, MOMENTO E ESFORÇO TRANSVERSO

ACTUANTES NO NÚCLEO

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

‐4000 ‐2000 0 2000 4000 6000

[m]

[kN.m]

Diagrama de Momento Actuante M3 ‐ Núcleo

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

‐10000 ‐5000 0 5000 10000

[m]

[kN.m]

Diagrama de Momento Actuante M2 ‐ Núcleo

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

‐5000 ‐4000 ‐3000 ‐2000 ‐1000 0

[m]

[kN]

Diagrama de Esforço Axial Actuante ‐ Núcleo

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

‐2000 ‐1000 0 1000 2000

[m]

[kN]


Núcleo

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

16.0

‐1000 ‐500 0 500 1000

[m]

[kN]


Núcleo

ELU1 ELU_ENV‐SX

ELU_ENV‐SY

PEÇAS DESENHADAS

ÍNDICE DE PEÇAS DESENHADAS

ARQ-01 – PLANTA DO PISO -1

ARQUITECTURA

ARQ-02 – PLANTA DO PISO 0



ARQ-05 – PLANTA DE COBERTURA

ARQ-06 – ALÇADOS NASCENTE E POENTE

ARQ-07 – ALÇADOS SUL E NORTE

ARQ-08 – CORTES AB E CD

EST-01 – DIMENSIONAMENTO – PLANTA DE FUNDAÇÕES

ESTABILIDADE

EST-02 – DIMENSIONAMENTO – PLANTA DO PISO -1

EST-03 – DIMENSIONAMENTO – PLANTA DO PISO 0



EST-06 – DIMENSIONAMENTO – PLANTA DE COBERTURA

EST-07 – DIMENSIONAMENTO – CORTES

EST-08 – BETÃO ARMADO – PILARES E NÚCLEO

EST.09 – BETÃO ARMADO – VIGAS

EST.10 (1/2) – BETÃO ARMADO – LAJE DO PISO 2

EST.10 (2/2) – BETÃO ARMADO – LAJE DO PISO 2

EST.11 – BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇO – LAJE DE COBERTURA E TRAÇADO DOS

CORDÕES

0.40 1.20

41.20

2.50

2.50

2.50

2.50

2.50

2.50

2.50

2.50

2.50

2.50

2.50

2.50

2.50

2.50

5.0

0

5.0

0

5.0

0

5.0

0

31.15

15.640.20

14.620.40

2.150.20

1.400.20

4.200.20

6.27

13.3

3

10.4

0

1.2

0

0.4

0

28.9

5

0.4

0

1.5

00.2

01.8

01.9

80.2

50.2

0

0.301.60

2.50

2.50

2.59

2.50

0.4

0

3.700.30

7.6

10.2

03.5

00.2

0

C

D

3.58

3.38

A

B

10.8

0

8.2

0

10.5

6

0.4

0

5.5

0

1.00

R4.70 R6.95

3.70

1.00 0.

40

2.50

2.86

8.6

2

0.4

0

PEDRO OLIVEIRA GONÇALVES DE ALMEIDA MACHADO

DISSERTAÇÃO PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA CIVILPROJECTO DE UM EDIFÍCIO

ARQUITECTURA

PLANTA DO PISO -1

FORMATO

A 3

ESCALA DATA Nº DESENHO

DESENHO

IDENTIFICAÇÃO

FACULDADE

1:200 A R Q 0 1

Nº 53555

OUTUBRO 2010

4.10

2.70

2.50

0.902.00

5.40

2.30

2.70

1.80

4.50

1.80

3.60

1.92 0.10

0.10

2.10 0.101.93 0.20

2.00

1.90

0.15

0.60 1.60 0.40

17.20

0.40

0.30

13.140.30

6.00 6.24 1.60 6.32 0.92 3.600.50

1.800.50

3.60 2.92

34.00

4.270.20

2.10

0.20

6.270.400.40

8.57

4.950.25

2.000.25

6.270.40

1.8

0

7.2

5

1.7

5

2.36

0.4

02.7

04.6

0

2.5

90.2

06.0

60.4

00.7

00.2

00.1

52.2

0

5.5

0

0.1

0

4.4

0

0.4

0

0.4

0

10.0

0

0.4

0

0.4

0

1.4

0

3.5

0

5.1

0

4.1

00.2

07.0

10.2

00.4

0

28.9

5

1.47

1.800.40

1.801.14

1.5

0 0.1

52.4

50.2

02.0

6

10.8

4

0.9

00.1

00.9

00.1

00.9

0

9.8

8

0.1

5

1.5

00.2

01.8

01.9

80.2

51.2

0

1.5

0

0.1

01.2

0

0.1

01.5

0

1.30

10.8

0

5.0

0

3.700.30

0.4

0

6.0

4

35.60

10.52

6.72

3.2

5

1.4

0

0.2

0

C

D

A

B

4.60

1.00



ARQUITECTURA

PLANTA DO PISO 0

FORMATO

A 3


DESENHO

IDENTIFICAÇÃO

FACULDADE

1:200 A R Q 0 2

Nº 53555

OUTUBRO 2010

2.84

1.26

5.20

2.00

5.40

19.40

2.54 0.40

5.12

0.201.64

0.94 0.20

2.60 0.15

2.200.151.15 0.40

18.60

0.40

6.96

7.460.40

4.830.40

7.44

0.40

0.40

0.20

0.20

5.12

0.20

2.600.15

1.90

1.60

7.56

7.19

0.40

4.60

2.42

3.27 1.400.50

0.10

1.5

8

1.4

0

2.7

0

1.8

0

2.7

0

1.4

00.4

0

2.7

0

0.9

0

2.7

0

1.9

0

4.4

0

0.2

0

4.4

00.2

0

4.4

00.2

0

4.4

0

0.4

0

8.7

5

34.16

1.2

8

1.2

7

0.1

5

7.3

0

0.7

5

7.1

0

0.3

5

1.8

0

7.2

0

0.5

00.9

0

0.4

0

1.7

51.9

80.2

51.8

5

7.8

0

4.35

6.2

7

0.4

0

10.0

0

0.4

0

0.4

0

7.02

2.10

4.94

8.2

0

10.8

0

0.40

0.51

5.04

0.4

0

32.56

19.0

0

0.4

0

0.30

C B

D

A

4.92

0.90

0.201.64

0.94



ARQUITECTURA

PLANTA DO PISO 0

FORMATO

A 3


DESENHO

IDENTIFICAÇÃO

FACULDADE

1:200 A R Q 0 3

Nº 53555

OUTUBRO 2010

2.30

2.70

0.90

3.60

0.901.80

0.900.90

0.901.80

2.70

19.40

4.80

0.20

4.50

0.20

4.40

0.40

0.40

0.424.63

0.407.44

0.40

0.5013.79

13.7

7

10.0

0

2.2

0

1.5

51.9

80.2

81.5

00.4

50.4

0

0.4

0

0.4

0

8.0

0

0.2

0 1.6

0

10.8

0

4.08

6.1

51.1

6

0.25

2.00

0.25

1.500.758.48A

B

D

C

4.50



ARQUITECTURA

PLANTA DO PISO 1

FORMATO

A 3


DESENHO

IDENTIFICAÇÃO

FACULDADE

1:200 A R Q 0 4

Nº 53555

OUTUBRO 2010

A

B

C

D



ARQUITECTURA

PLANTA DA COBERTURA

FORMATO

A 3


DESENHO

IDENTIFICAÇÃO

FACULDADE

1:200 A R Q 0 5

Nº 53555

OUTUBRO 2010

10.3

0

2.0

0

1.5

0

0.7

2

1.2

0

R16.0

0

2.20

9.3

0

0.6

01.2

0

2.0

0

1.5

0R8.5

0

14.951.70

Alçado Poente

a.

d. c.

a.

c.

h.

g.

b. c.

h.

b.

i.

g.

c.

b.

c.

f.

c. c.

h.g.

f.i.

b.

b. b.

j.

e. e. e.

I=14%

Alçado Nascente

d.

a.

h.

g.

L.

j.

b.

e.

e.

f.

f.

a.

c.

c.

c.

b.

d.

Rampa



ARQUITECTURA

ALÇADOS POENTE E NASCENTE

FORMATO

A 3


DESENHO

IDENTIFICAÇÃO

FACULDADE

1:200 A R Q 0 6

Nº 53555

OUTUBRO 2010

10.6

4

1.6

4

1.9

3

0.8

0

1.2

0

1.5

4

1.5

0

13.0

01.9

1

1.5

0

Alçado Sul

d.

a.

c.

d.

a.

c.

c.

f.

c.c.c.

a.a.

e.

f. i. i.

c.

c.

c.

b.

b.

g.

d.

h.

f. f. f.

c.

b.

b.

j. j.

b.

c.

g.

h.

e.

b.

b.

e.

Alçado Norte

b.

d.

a.

c.

a.

j.

h.g.

c.

b.

b.

j.j.L.

h. g.

c. c.

d.

c.

e.

h.g.

m.m.



ARQUITECTURA

ALÇADOS SUL E NORTE

FORMATO

A 3


DESENHO

IDENTIFICAÇÃO

FACULDADE

1:200 A R Q 0 7

Nº 53555

OUTUBRO 2010

3.0

04.0

0

0.4

5

4.0

04.2

00.6

5

2.5

00.5

03.5

00.5

03.5

00.5

00.5

0

4.0

04.4

53.0

04.2

0

4.0

04.4

5

0.6

5

2.0

0

1.5

0

1.8

6

1.9

0

13.0

0

2.0

0

1.5

0

Corte AB

b.

b.

Ver porm. des. N11 Ver porm. des. N11

Ver porm. des. N11

Ver porm. des. N11

Perfil Natural do Terreno

Corte CD

Ver porm. des. N11

Perfil Natural do Terreno

d.

b.

j.

c.

c.

f.

c.

e.

a.

e.



ARQUITECTURA

CORTES A-B E C-D

FORMATO

A 3


DESENHO

IDENTIFICAÇÃO

FACULDADE

1:200 A R Q 0 8

Nº 53555

OUTUBRO 2010

projecto de estruturas de um edifício dissertação para obtenção do

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