projecto de controladores digitais por...

Modelação, Identificação e Controlo Digital 2 – Modelos em Controlo por Computador 43

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Projecto de Controladores Digitais por Emulação

Problema: Dado um controlador contínuo já projectado, como obter um controlador discreto que o aproxime o melhor possível?

Relógio�

A/D D/A�D(z)�

Algoritmo�

y(t)� u(t)�y(kh)� u(kh)�

C(s)�


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Projecto Digital de Raiz ou Projecto por Emulação ?

Em muitos casos existem já sistemas de controlo projectados em contínuo e testados exaustivamente. Pretendendo converter os sistemas de controlo de contínuo para discreto, temos duas alternativas:

1. Projecto digital de raiz: a. Escolher uma frequência de amostragem adequada. b. Aproximar o sistema a controlar no seu equivalente discreto: G(s) -> H(z) c. Projectar um controlador discreto para esse sistema: D(z) d. Testar e afinar os parâmetros.

2. Projecto por emulação: a. Escolher uma frequência de amostragem adequada. b. Aproximar o controlador por um equivalente discreto: C(s) -> D(z) c. Testar e afinar os parâmetros.

Muitas vezes a segunda alternativa é mais económica (embora a primeira possa conduzir a melhores resultados). Nesta aula vamos estudar o Projecto por Emulação.


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Projecto por Emulação

Pretende-se D(z) tal que:

�� ≈++

Porque não usar o método escalão invariante? O método ZOH é adequado quando a entrada de um sistema é constituída por escalões, não sendo isso o que acontece neste caso. A aproximação na frequência é bastante pobre (a fase em particular), não sendo por isso adequado para discretizar os controladores.

Relógio�

A/D D/A�D(z)�

Algoritmo�

y(t)� u(t)�y(kh)� u(kh)�

C(s)�


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Emulação de controladores por aproximação das derivadas

Consiste em aproximar a variável s por uma variável s’ obtida de uma aproximação discreta da derivada no tempo.

H(z) = G(s’) 1. Diferença para a frente (ou método de Euler)

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��

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� � −=−+≈

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−=

2. Diferença para trás

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� � −=−−≈ �

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−=

3. Método Trapezoidal (ou Tustin ou Bilinear)

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−+≈++

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+−=

�

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−=�

��

+−=

�

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Mapeamento dos Pólos

Onde são mapeados os pólos estáveis de C(s) ?

Euler Backward Difference Tustin

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−=


��

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+−=

�

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ωω

Prewarping da escala de frequência

Dos métodos anteriores, o de Tustin é aquele que apresenta melhores aproximações, mas tem o inconveniente de distorcer a escala das frequências:

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�=�

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ωω

É possível anular a distorção de frequência para um ponto específico de frequência (w1), fazendo:


��

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�� =

Outros Métodos

Escalão Invariante: { } ��

�

��

�

�−==

−−

��

��

��

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Rampa Invariante: { } ��

��−=

�

��

��

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Impulso Invariante: { } [ ][ ]

��

=

−= ��

Correspondência pólos-zeros:

1. Mapear os pólos e zeros finitos de C(s) acordo com a regra exponencial: 2. Mapear os zeros infinitos de C(s), excepto 1, em z=-1 3. Mapear 1 zero em infinito de C(s) em z = ∞, o que corresponde a fazer atraso de D(z)

igual a 1. 4. Fazer o ganho de D(z) igual ao ganho de C(s) numa determinada frequência pretendida.

Destes métodos, o rampa invariante é aquele que apresenta, em geral, os melhores resultados.


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Em Matlab ______________________________________________________________________________ SYSD = C2D(SYSC,Ts,METHOD) converts the continuous-time LTI model SYSC to a discrete-time model SYSD with sample time Ts. The string METHOD selects the discretization method among the following:

• 'zoh' Zero-order hold on the inputs • 'foh' Linear interpolation of inputs (triangle appx.) • 'imp' Impulse-invariant discretization • 'tustin' Bilinear (Tustin) approximation • 'prewarp' Tustin approximation with frequency prewarping. The critical frequency Wc (in

rad/sec) is specified as fourth input by SYSD = C2D(SYSC,Ts,'prewarp',Wc) • 'matched' Matched pole-zero method (for SISO systems only).

The default is 'zoh' when METHOD is omitted.


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Comparação de Métodos

( ) ( )( ) ( )( )��

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++++++++=

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��

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0M

agni

tude

(dB

)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

45

90

135

180

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

continuouszohfoh

imp


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-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-180

-90

0

90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

continuoustustinprew arpmatched

Conclusão: Métodos rampa invariante e tustin prewarped são aqueles que produzem melhores aproximações. No entanto, este último requer a definição da frequência de warp !


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Controladores PID

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�++=�

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�++= � ��

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� ��

��

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ττ

• Amplamente utilizados em sistemas comerciais e industriais. • Disponíveis na maioria das cartas de controlo, microcontroladores,

módulos de automação, etc. • Aplicações no controlo de temperatura, pressão, nível, motores DC, etc .


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Exemplos Aplicação


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Controladores PID digitais Os controladores PID digitais são obtidos por emulação dos seus equivalentes contínuos:

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�++=�

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�++= � ��

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� ��

��

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�

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ττ

e(t) = uc(t) – y(t); uc(t) – referência; y(t) - saída K – ganho proporcional; Ti – tempo de integração; Td – tempo derivativo No entanto, uma derivada pura não pode (causalidade) nem deve (amplificação ruído) ser implementada. Aproxima-se a função de transferência:

��

��

��+≈

Esta F.T aproxima bem a derivada a baixas frequências mas limita o ganho a N nas altas frequências. Valores típicos de N – [3…20]


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Aspectos práticos

• Não se deve permitir o termo derivativo actuar directamente no sinal de comando, para evitar picos na actuação devido a variações bruscas da referência.

• Por razões análogas, é vantajoso só permitir que uma fracção b da referência seja actuada na parte proporcional.

Estas regras servem para “separar” as características dinâmicas da resposta a referências e a perturbações. Alternativamente, pode ser visto como uma forma de “mexer” na posição dos zeros em malha fechada. A função de transferência final vem dada por:

��

��

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+++−= ��

��

��

��

��

��

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!

Existem outras variantes do algoritmo PID usados em sistemas comerciais. Por exemplo:

• uma malha de atraso de primeira ordem pode ser utilizada para atenuar ruído. • o termo proporcional K.e pode ser substituído por K.e.|e| para diminuir o tempo de resposta • pode ser incluída uma zona morta para evitar actuações desnecessárias


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Diagrama de Blocos

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+++−= ��

��

��

��

��

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!


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Discretização

Habitualmente obtém-se o controlador discreto utilizando o método de Tustin ou de Rampa-Invariante. Como o controlador PID é suficientemente simples, também é possível utilizar uma regra ad hoc , em que os termos proporcionais, integrais e derivativos são obtidos de forma independente: Parte proporcional:

( )�� "� �� ! −= Parte integral:

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��

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−+−= Parte derivativa:

( )�� "�"��

��

��

��

−−+

−−+

=

Esta aproximação tem a vantagem de que pólo vai para 0 quando se anula Td. No método de Tustin, o pólo vai para -1 !


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PID digital com diferentes métodos de discretização.

Qualquer aproximação pode ser representada por:

�� "�#��$ ! −=

Com R(q) = (q-1)(q-ad); S(q) = s2q2+s1q+s0; T(q) = t2q2+t1q+t0

Ad hoc Tustin Rampa-Invariante

s0 K(1+bd) K(1+bi+bd) K(1+bi+bd) s1 -K(1+ad+2bd-bi) -K(1+ad+2bd-bi(1-ad)) -K(1+ad+2bd-bi(1-ad)) s2 K(ad+bd-biad) K(ad+bd-biad) K(ad+bd-biad) t0 Kb K(b+bi) K(b+bi) t1 -K(b(1+ad)-bi) -K(b(1+ad)-bi(1-ad)) -K(b(1+ad)-bi(1-ad)) t2 K(ad(b-bi)) K(ad(b-bi)) K(ad(b-bi)) ad Td/(Nh+Td) (2Td-Nh)/(2Td+Nh) exp(-Nh/Td) bd Nad 2NTd/(2Td+Nh) Td(1-ad)/h bi h/Ti h/(2Ti) h/(2Ti)


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Integrator Windup

Quando um controlador com acção integral tem um actuador com saturação, o termo integral pode crescer demasiado enquanto o erro não se reduz o suficiente, o que provoca tempos de convergência elevados. A este efeito chama-se “integrator windup”.


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Anti-Windup Para evitar este efeito existem diversas técnicas:

• Parar a acumulação do termo integral enquanto o actuador estiver saturado. • Utilizar o modelo do actuador para descarregar o integrador quando o actuador estiver

saturado (ver fig. seguinte)

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�%&'�

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Dimensionamento de Controladores PID

É necessário definir os parâmetros: K, Ti, Td, Tt, b, N, ulow, uhigh.

• O parâmetro N deverá ter valores entre 3 e 20. Tipicamente usa-se o valor 10.

• Os valores de , ulow e uhigh deverão ser iguais aos verdadeiros limites de saturação.

• O tempo de descarga do integrador (Tt) é normalmente relacionado com o tempo de integração (Ti).

Nalgumas aplicações é igual ao valor de Ti. Noutras aplicações é escolhido como sendo 0.1 a 0.5 vezes o

valor de Ti.

• Se o modelo dinâmico do sistema é conhecido, os parâmetros K, Ti e Td podem por qualquer das

técnicas conhecidas de projecto (root-locus, Nyquist, modelação de ganho de malha, etc)

• Se o modelo não é conhecido (ou é impreciso) podem ser utilizadas técnicas experimentais inventadas por

Ziegler e Nichols: Método da Resposta ao Escalão, Método da Resposta na Frequência (ou “ultimate

sensitivity method”).

• Os parâmetro b poderá ser utilizado para reduzir a sobreelevação da resposta.

• Se o intervalo de amostragem é pequeno, estas regras são também válidas para os controladores

discretos.


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Sintonia de PID’s pelo Método da Resposta ao Escalão

1 - Obter a resposta ao escalão do sistema:

2 - No ponto de maior declive traçar a recta tangente, de declive R. 3 – Intersectar essa recta com o eixo das abcissas. Seja L o valor da coordenada do ponto de intersecção. 4 – Calcular o valor : a = RL. 5 – Os parâmetros para controladores do tipo PID são obtidos da seguinte tabela: Tipo de Controlador K Ti Td

P 1/a PI 0.9/a 3L

PID 1.2/a 2L 0.5L

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Sintonia de PID’s pelo Método da Resposta na Frequência O método baseia-se no conhecimento do ponto de intersecção do diagrama de Nyquist com o eixo real (negativo). Este ponto é caracterizado pela frequência (w180) e pelo ganho (K180). 1 – Apenas com controlo proporcional, aumentar o ganho até o sistema começar a oscilar.

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8


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2 – Seja Ku o valor do ganho a que as oscilações ocorrem (ganho crítico). 3- Medir o período das oscilações Tu (período crítico). 4- Os parâmetros para controladores do tipo PID são obtidos da seguinte tabela: Tipo de Controlador K Ti Td

P 0.5Ku PI 0.45Ku Tu/1.2

PID 0.6Ku Tu/2 Tu/8

Comentários Finais As regras empíricas de Ziegler e Nichols são muito populares e constituem a base de muitas aplicações práticas. No entanto, nalguns sistemas não podem ser directamente utilizadas (e.g. alguns sistemas instáveis). Para além disso, como tentam representar as características dinâmicas de sistemas através de dois parâmetros apenas, podem dar origem a maus controladores em sistemas mais complexos. De um modo geral o sistema fica bastante sub-amortecido e é necessário afinar manualmente os parâmetros do controlador, uma forma iterativa. Estas regras devem ser utilizadas com cuidado. Elas fornecem uma primeira aproximação para os parâmetros, que deverá ser afinada manualmente.

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