projeção estereográfica

Projeção Estereográfica UFOP/EM/DEGEO/PPG-ECRN

GEOLOGIA ESTRUTURALPrograma de Pós-Graduação em Evolução Crustal e Recursos Naturais

Departamento de Geologia – Escola de Minas / UFOP

Universidade Federal de Ouro Preto

Escola de Minas - 1876Departamento de Geologia

Issamu Endo03_2013

Issamu [email protected]


Plano de Plano de CursoCurso

SEMANA 104/03/2013- Apresentação do Curso e Projeção estereográfica05/03/2013- Introdução à Geologia Estrutural: Tensão_Deformação06/03/2013- Relação Tensão x Deformação07/03/2013- Fundamentos e Métodos de Análise Estrutural08/03/2013- Dobras e DobramentosSEMANA 211/03/2013- Estruturas Planares: Foliação e Clivagem

GEOLOGIA ESTRUTURALPPG_ECRN/UFOP/DEGEOProf. Issamu EndoMARÇO/2013

ATIVIDADES DIÁRIASManhã :



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11/03/2013- Estruturas Planares: Foliação e Clivagem12/03/2013- Estruturas Lineares Macro e Mesoscópicas13/03/2013- Estruturas Frágeis: Juntas – Diáclases14/03/2013- Falhas, Sistemas de Falhas e Zonas de Cisalhamento15/03/2013- Sistemas Tectônicos, Reativação, SemináriosSEMANA 318/03/2013- Campo1

19/03/2013- Campo20/03/2013- 8:30 horas, Avaliação - Prova Escrita.Saída 8:00h do DEGEO e chegada 18:00hs no DEGEO

Manhã :Início das atividades as 8:30hs.Discussão de artigos e Análisede Problemas sobre o tema do diaTarde : Livre para pesquisa

e leitura de artigos.


PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA



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Issamu [email protected]


A: RepresentaçãoA: Representação2 dimensões

- Diagrama de Rosa- Histograma

3 dimensõesProjeção Estereográfica: Diagrama de Igual-Área e Igual-AnguloMétodos de Contorno:- método Schmidt (ou 1% de área);- método Kamb;- método Kalsbeek;

SumárioSumário



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- métodos Mellis, Starkey, Gaussiano e Fisher.B: Estatística de Dados DirecionaisB: Estatística de Dados Direcionais

Dados Polares (vetor)- Vetor Médio - Teste de Significância – Teste Rayleigh de Uniformidade- Cone de Confiança do Vetor Médio

Dados Axiais (Não Polar)- Autovetor e Autovalor de Dados 3D- Razão dos Autovalores

C: TécnicasC: Técnicas


Projeção Estereográfica

A estatística de dados de orientação é feita com a aplicação da álgebra vetorial.

A direção média corresponde ao vetor soma de todos os dados de orientação

∑=

n

iiv

1

rsendo n o número de dados

Métodos ClássicosMétodos ClássicosDistribuição 2D Distribuição 3D

Campo da Estatística Direcional.



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Distribuição 2D Distribuição 3DDiagramas de Rosas Projeção Estereográfica

N N



Tipo de Distribuição Normal ou Gaussiana

A média (µ) e o desvio-padrão (σ)caracterizam a distribuição.

Os valores da média, moda e mediana coincidem.



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2

2

2

2

2

)x(

2

)x(

2Bee

2

1)x(f σ

µ−−σµ−−

=πσ

=

arte & arte.com



Tipo de Distribuição Normal ou Gaussiana

200

100

140

120

100

80

Sim Não



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Vendas de auto peças

6000,0

5500,0

5000,0

4500,0

4000,0

3500,0

3000,0

2500,0

2000,0

1500,0

1000,0

500,0

0,0

0

Std. Dev = 994,59

Mean = 2516,6

N = 1488,00

Vendas de Autopeças

Current Salary

135000,0

125000,0

115000,0

105000,0

95000,0

85000,0

75000,0

65000,0

55000,0

45000,0

35000,0

25000,0

15000,0

60

40

20

0

Std. Dev = 17075,66

Mean = 34419,6

N = 474,00

Salários

arte & arte.com



Redes de Projeção Estereográfica

IGUAL-ÁREA IGUAL-ÂNGULO



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Uso: Geologia Estrutural e Geotecnia Uso: Mineralogia e Cristalografia

Todos os círculos sobre a esferaprojetam-se como círculos sobre o plano

A área é conservada com moderada distorção


Projeção Estereográfica: Princípios

Como se realiza a projeção?



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Zênite

Plano de

Esfera de ProjeçãoTraço Ciclográficodo Plano Estrutural

Projeção de PLANOS e LINHAS

ouGrande CírculoGrande Círculo




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Plano de Projeção

Plano Horizontal

Plano Estrutural

Projeção Estereográficado Plano Estrutural

Círculo Primitivo

Vista Oblíqua do Plano Interceptando a Esfera

LL


Zênite

.....

Plano de Projeção

Pequeno CírculoPequeno Círculo




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.

..

. ........

Projeção

Círculo Primitivo

Intersecção do Cone com a Esfera

Geratriz do Cone


Projeção Estereográfica: MÉTODOS DE CONTORNO

Existem vários métodos de contorno. A escolha vai depender do tipo de distribuição e dos recursos disponíveis.

2 %

4 %

6 %

8 %

10 %

12 %

14 %

16 %

18 %

20 %

Pólos de AcamamentoNúmero de Medidas N=202

?



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20 %

22 %

Contador > Rede

O contornoé a expressão de um conceito matemático (estatística) chamado função probabilística de densidade(probability density function).


1- método de Schmidt: população elevada de medidas >400;

2- método de Kalsbeek: qualquer tipo de população;

3- método de Mellis: pequena população;

4- método de Kamb: A área pode variar ≈ 0,1 a 50%: 9/(N+9)

r=3/[(N+9)pi]1/2 [proporção];




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r=3/[(N+9)pi]1/2 [proporção];

5- método de Fisher: Distribuição das orientações em torno do vetor médio

e simétrico em relação ele;

6- método de Starkey: A área do contador é variável: 100/N%;

7- métodoGaussiano: Contador Gaussiano_3D Curva do Sino.


Projeção Estereográfica: MÉTODOS DE CONTORNORestrições

• os métodos enunciados são aplicados para pequenas

populações de dados (Mellis) ou para grandes

populações (Schmidt);

• para pequenas quantidades de dados (ex. N=100) o

círculo de contorno de dimensão fixa (1% de área)

constitui uma SEVERA LIMITAÇÃO na análise



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constitui uma SEVERA LIMITAÇÃO na análise

estatística de dados de orientação;

• em tais circunstâncias, é comum contornos semi-

circulares tipo “bulls-eye contour” resultando em

padrão de contorno difuso.


Exemplo:Exemplo:

Contador de Kalsbeek

P1

Passo 1- Plotar e uma transparênciaos pólos dos planos ou as atitudes de linhas na rede deigual-área (Schmidt);

Passo 2- Sobrepor esta transparência ao contador Kalsbeek e marcar em




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6

P2 P3cada centro do hexágono o númerode pólos que o contém;

Passo 3- Elaborar o diagrama de contornoa critério do intérprete. Por exemplo isolinhas de númerode pólos. Assim, pode-se ter isolinhas de 1, 3, 5, 6, e 19 pólos. Ou ainda, isolinhas representando% de pólos, sendo esta a mais comum. Transformar o número de pólos n em % do total N > x%=100n/N


Projeção Estereográfica: Tipos de Diagramas

Diagrama π (pi)



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Ramsay & Huber (1987)

Diagrama β (beta)



Relação entre a geometria da

dobra e o padrão de



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distribuição dos pólos de

uma superfície dobrada.

Marshak & Mitra (1988)



Padrão de DistribuiçãoPadrão de Distribuição

uniforme: esférico (a);

concentrado: axial (b);



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concentrado: axial (b);

círculo máximo: guirlanda (d);

círculo mínimo: cone (c);

Marshak & Mitra (1988)


Estatística com Dados de Orientação

1: Dados Polares (Vetor)

Vetor Resultante: ∑=n

ivR1

rr

Módulo do Vetor R: 2

1

2

1

2

11

+

+

== ∑∑∑∑nn

i

n

i

n

zyxvRr



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Vetor Soma Normalizado: r = R/nValor de (r) próximo de 1(um) indica dados altamente concentrados (agrupados) e valor

próximo de zero indica dados espalhados.

Cone de Confiança:Cone de Confiança:É a região representada por um pequeno círculo na qual

reside a média dos dados. Conceito da estatística paramétrica válida apenas para distribuição de dados grupados.


Estatística com Dados de Orientação

2: Dados Axiais

21

nv

n

ii =∑

=

rMódulo do Vetor R:

Distribuição Normal Esférica (UniModal)



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Distribuição Normal Esférica (UniModal)

Distribuição Fischer (Fischer 1953)

Parâmetro de Concentração(k):

Rn

nk r

−−= 1ˆ

∞≤≤ k̂0Watson, 1966

Θ=Θ cos

sinh4),( ke

k

kf

πα

Cone de Confiança

−

−−=

−1

11arccos

1

1

n

PR

Rnr

r

ϑ


Teste de Significância

A hipótese nula é uma hipótese que é presumida verdadeira atéque provas estatísticas indiquem o contrário.

Muitas vezes é uma afirmação quanto a um parâmetro que é propriedade de uma população, sendo que é

impossível observar toda a população, e o teste é baseado na observação de uma amostra aleatória da

população. Tal parâmetro é frequentemente a média ou o desvio padrão.

Muitas vezes tal hipótese consiste em afirmar que os parâmetros ou características matemáticas de duas ou

mais populações são idênticos.

h0: µ1 = µ2 > h0 é a hipótese nula eµ1 a média da população 1 eµ2 a média da população 2.



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0

www.pt.wikipedia.org

O teste Rayleigh indica o quão grande uma amostra r deve ser para enunciar uma distribuição

não-uniforme.

Essa quantidade se refere ao valor Rayleigh-R:

O valor Rayleigh-z é utilizado para testar a hipótese nula (null hypothesis) :

nrR =2nrz =

Li (2005)


Autovetores e Autovalores

A imagem (a) representada por um quadrado e dois vetores

a) V1

V2

V’1

V’2

b)

T



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A imagem (a) representada por um quadrado e dois vetores

V1 e V2 sofrem uma transformação (T) passando a figura

(b). O vetor V’2 mudou de orientação ao passo que o vetor

V’1 não, apenas a sua magnitude. O vetor V’1 pode ser

pode ser representado por V1 multiplicado por um escalar.

Assim, diz-se que V1 é o autovetorda Transformação e esse

escalar o autovalorassociado.

Portanto: T(V) = λVT(V) = λV



l = cos (caimento) x cos(rumo)m = cos (caimento) x sen (rumo)n = sen (caimento)

1- converter os dados de orientação para seus cossenos diretores:

2- montar a matriz dos vetores pelos produtos dos cossenos diretores:

3- para cada matriz determinar os autovetores V1, V2 e V3 e os autovalores λ1, λ2 e λ3;



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7- calcular o parâmetro de consistência (C):

4- normalizar os autovalores:

5- calcular as razões dos autovalores;

6- calcular o parâmetro de forma (K):



EIGENVECTORSl m n Strike Dip

V1 = -0,135 -0,171 0,976 231,782 77,400V2 = 0,974 -0,206 0,098 348,064 5,652V3 = 0,184 0,963 0,195 79,190 11,224

EIGENVALUESλ1 = 502,677 S1 = 0,815*λ2 = 68,876 S2 = 0,112λ3 = 45,447 S3 = 0,074

ExemploExemplo



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λ3 = 45,447 S3 = 0,074

S1/S2= 7,298S2/S3= 1,516S1/S3= 11,061

Ln (S1/S2) = 1,988 Ln (S2/S3) = 0,416

C = 2,403C = 2,403K = 4,781K = 4,781N = 617N = 617

Vide Friend (2005)

* 81,5% da população possui significado estatístico em torno de V1 (232/77)




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NNºº11Técnicas de Projeção:

Plotar um plano conhecida a sua atitude = 162/24

.162



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N= Lambda1+ Lambda2+ Lambda3

S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N

162

Ex.P1- 120/34P2- 230/66P3- 320/22P4- N34W/60NE

http://www.uwgb.edu/dutchs



Determinar a interseção de 2 planos = 102/60 e 197/41



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S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N http://www.uwgb.edu/dutchs Resp.: 163/38

Ex.P1- 120/34P2- 230/66P3- 320/22P4- N34W/60NE

P1∩P2, P2∩P3P3∩P4, P1∩P4


NNºº33Técnicas de Projeção:Determinar a atitude do plano que contém 2 linhas = 214/40e 128/50

..

.214

128



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S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/N http://www.uwgb.edu/dutchs

.

. ..

Resp.: 160/55Determinar a Atitude de um Plano conhecido 2 Mergulhos Aparentes

Ex.L1- 020/38L2- 130/65L3- 220/20L4- N34W/60


NNºº44Técnicas de Projeção:Determinar o azimute e o caimento dada a obliqüidade de uma linha sobre um plano:

157/21e 58E (obliqüidade ou pitch)



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..

Resp.: 123/18



Determinar a obliqüidade dada a atitude de uma linha sobre um planoP=157/21e L=123/21

.



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NNºº66Técnicas de Projeção:Determinar o pólo de um plano = 162/24



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Ex.P1- 120/34P2- 230/66P3- 320/22P4- N34W/60NE



Determinar a atitude de um plano dado o seu pólo = 220/53



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Resp.: 040/37


Determinar a ângulo entre 2 linhas = 124/40e 038/50

. ..

NNºº88

Ex.L1- 020/38

Técnicas de Projeção:



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....

Resp.: 56˚

L1- 020/38L2- 130/65L3- 220/20L4- N34W/60

L1ˆL2, L2̂ L3, L3ˆL4, L1̂ L4

http://www.uwgb.edu/dutchs



Determinar o ângulo entre 2 planos = 304/50e 218/40

..P . P



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. .

. .

Resp.: 56 http://www.uwgb.edu/dutchs

Ex.P1- 120/34P2- 230/66P3- 320/22P4- N34W/60NE



Determinar o ângulo entre um plano (304/50)e uma linha (028/50)

...

P

P

L



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. .

.P

P

L L.

Resp.: 56 http://www.uwgb.edu/dutchs


NNºº1111Técnicas de Projeção:Rotação em torno de um eixo vertical

Dados do eixo de rotação:

1- Orientação: rumo/caimento

2- Magnitude de rotação

3- Sentido de rotação: horário (-) ou

anti-horário (+).

Ex. Eixo=023/50 de 70(-)



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Ex. Eixo=023/50 de 70(-)

Convenção: Método Down-PlungeObservador na Posição Sul e

Eixo na Posição Norte

P1- 135/44P4- N54W/60NE


NNºº1212Técnicas de Projeção: Rotação em torno de um eixo horizontal de rumo 318

Princípio

. . ... ...



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S1= Lambda1/N, S2= Lambda2/N, S3= Lambda3/Nhttp://www.uwgb.edu/dutchs

.. .. ... .

P1- 135/44, eixo horiz. rumo 040, mag. 70 (-)P4- N54W/60NE eixo horiz. rumo 230, mag. 60 (+)

ObservadorObservador


NNºº1313Técnicas de Projeção:Rotação em torno de um eixo qualquer – Método da Vertical318/37de 70(magnitude) em torno do eixo 025/60, sentido horario

Passo 1



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Passo 1


NNºº1313Técnicas de Projeção:Rotação em torno de um eixo qualquer – Método da Vertical318/37de 70(magnitude) em torno do eixo 025/60, sentido horário

Passo 2



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Passo 2

P1- 035/44, eixo 070/30, mag. 70 (-)


NNºº1414Técnicas de Projeção:Rotação em torno de um eixo qualquer – Método da Horizontal

318/37de 70(magnitude) em torno do eixo 025/60, sentido horário

Passo 1



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Passo 1



Passo 2

Rotação em torno de um eixo qualquer – Método da Horizontal318/37de 70(magnitude) em torno do eixo 025/60, sentido horário



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Passo 2

P1- 135/50, eixo 070/30, mag. 70 (-)


Stereonet

Exemplo de um estereograma ou diagrama estereográfico típico.

As seguintes informações devem acompanhar o diagrama:

1- Tipo de estrutura representada:

.

Máximo Polar ≈ 354/47



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fratura, xistosidade......;

2- Número de medidas N;

3- Valores das isolinhas;

3- Plano representativo da concentração

máxima e o valor %.

Figura 05- Estereograma polar do acamamento em itabiritos da Formação Cauê: Mina da Serrinha.N=173 medidas, Máx. 174/43 (23,61%)

.


Stereonet

Diagrama de Rosa:Diagrama de Rosa:- Dados direcionais;- Intervalos de classe comum: 10º em 10º;- Círculo completo ou 1/2.

As seguintes informações devem acompanhar o diagrama:

Exemplo de um diagrama de rosa típico.



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diagrama:1- Tipo de estrutura representada: fratura, falha......;2- Número de medidas N;3- Direção Principal: Classe;4- Direção Secundária: Classe(s);5- Escala do Raio

Figura 05- Diagrama de rosa de fraturas em gnaissesdo Complexo Bação.

N=173 medidas, R=5%


StereonetLeitura Recomendada


Friend 2005 Macrofabric Analysis_Eigenvector_Eigenvalue

Vollmer 1995 Kamb Method

Compêndios de Geologia EstruturalAtkinson, B. K. 1991. Fracture Mechanics of Rock. 2nd Edition. San Diego, Academic Press. 534p.Bayly, B. 1992. Mechanics in Structural Geology. New York, Springer Verlag. 353p.Hobbs, B. E.; Means, W. D. & Willians, P. F. 1976. An Outline of Structural Geology. New York, J. Wiley & Sons. 555p.Marshak, S. & Mitra, G. 1988. Basic Methods of Structural Geology. Enlewwod Cliffs, Prentice Hall. Means, W. D. 1976. Stress and Strain. Basic Concepts of Continuum Mechanics for Geologists. New York, Springer Verlag.



Issamu Endo03_2013

Means, W. D. 1976. Stress and Strain. Basic Concepts of Continuum Mechanics for Geologists. New York, Springer Verlag. Park, R. G. 1983. Foudations of Structural Geology. Glasgow, Blackie. Passchier, C. W. & Trouw, R. A. J. 1996. Microtectonics. 1ed. Berlin Heiderberg, Springer-Verlag. 289p.Price, N. J. 1966. Fault and Joint Development. Oxford, Pergamon Press. 176p.Price, N. J. & Cosgrove, J. W. 1990. Analysis of Geological Structures. Cambridge, Cambridge University Press. 502p.

Ramsay, J. G. 1967. Folding and Fracturing of Rocks. New York, McGraw-Hill Book Co. 568p.Ramsay, J. G. & Huber, M. I. 1987. The Techniques of Modern Structural Geology: Folds and Fractures. London, Academic Press. 307p.Ramsay, J. G. & Huber, M. I. 1987. The Techniques of Modern Structural Geology: Strain Analysis. London, Academic Press. 307p.Sander, B. 1930. Gefugekunde der Gesteine. Viena, Springer Verlag. 352p.

Sander, B. 1970. An Introduction to the Study of Fabrics of Geological Bodies. English translation, Pergamon Press, Oxford, 641pp. Oxford, Pergamon Press. 641p.Suppe, J. 1985. Principles of Structural Geology. Englewood Cliffs, Prentice Hall. Twiss, R. J. & Moores, E. M. 1992. Structural Geology. New York, W. H. Freeman and Co.

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