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PROGRESSÕES – PA E PG

R E S O L U Ç Ã O D E E X E R C ÍC IO S R A C IO C ÍN IO L Ó G IC O

M A T E M Á T IC A F ÍS IC A /Q U ÍM IC A

E – m a il g a b a r ito c e r to @ h o tm a il .c o m

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1

1. Seqüências Numéricas – Introdução PA e PG

Os Matemáticos observaram que na natureza alguns fenômenos apresentavam SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS. Algumas SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS, não apresentavam LEI DE FORMAÇÃO, isto é, eram SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS ALEATÓRIOS, e dessa forma não havia como elaborar uma FÓRMULA GERAL para este tipo de SEQÜÊNCIA DE NÚMEROS. Outras porém, guardavam uma LEI, uma REGRA de formação a estas SEQÜÊNCIAS DE NÚMEROS, foi dado o nome de PROGRESSÕES. Desta forma, os matemáticos ocuparam-se no estudo destas seqüências (Progressões). As PROGRESSÕES DE NÚMEROS possuem LEI DE FORMAÇÃO, ou FÓRMULA GERAL. Existem VÁRIOS tipos de PROGRESSÕES, porém estudaremos, primeiramente duas delas:

a ARITIMÉTICA e a GEOMÉTRICA. A Progressão Aritmética é identificada como sendo aquela em que A DIFERENÇA DO NÚMERO CONSEQUENTE PELO ANTECEDENTE É CONSTANTE. Exemplo a: 6 . 8 . 10 . 12 . 14 . 16 . 18 ... Exemplo b: 1

21

3

22

5

23· · · · ·

...

No exemplo a, observe que: Termo consequente (8) - Termo antecedente (6) = 2 Termo consequente (10) - Termo antecedente (8) = 2 Termo consequente (12) - Termo antecedente (10) = 2 Termo consequente (14) - Termo antecedente (12) = 2 Termo consequente (16) - Termo antecedente (14) = 2 Termo consequente (18) - Termo antecedente (16) = 2

A esse VALOR CONSTANTE dá-se o nome de RAZÃO, que no exemplo acima é 2. Qual é a razão do exemplo b? A LEI DE FORMAÇÃO de uma PA, pode ser estabelecida. Sendo: ak o termo da posição k; � CUIDADO!!! Geralmente os livros apresentam a1 ao invés de ak ou seja definem k = 1. O cálculo com a1 não está errado, porém a fórmula


2

fica AMARRADA no conhecimento do PRIMEIRO TERMO, ao passo que ak. deixa voce livre para trabalhar com qualquer termo da progressão. Veja o exercício n°7 an o termo da posição n; r a razão n a posição do termo an k a posição do termo ak Podemos escrever a Lei de formação do termo an:

( )a a n k rn k= + - .

1.1] Progressão Aritimética – Exercícios

1.1.1] Calcule a fórmula do termo geral de cada uma das progressões abaixo:

(a) 4,11,18,... Para se determinar a fórmula do termo geral de uma progressão voce só precisa de duas coisas: A RAZÃO e o PRIMEIRO TERMO. Identificar se é PA ou PG. No caso é PA, de RAZÃO 7; pois 11-4 = 7 e 18 - 11 = 7 Identificar o PRIMEIRO TERMO. No caso a1 = 4. Pronto! Agora é só substituir na Lei Geral: an = 4 + (n - 1) . 7, desenvolvendo... an = 4 + 7n - 7 an = 7n - 3 (b) 8, 5, 2, -1, .... (c) -1, -4, -7, .... (d) -2, - 9/4, -10/4, ...

1.1.2] Calcule o décimo termo da PA onde :

4, 7, 10,....

1.1.3] Calcule o termo a20 da PA onde:

1, ½ , 0, ...

1.1.4] Calcule o a15 da PA onde:

-2, -4, -6

1.1.5] Calcule o termo a9 da PA onde:

a, (a+2m), (a+4m), ...

1.1.6] Calcule o trigésimo termo da PA onde:

a1=150 a3=250

1.1.7] Calcule o terceiro termo da PA onde:

a7 = 3a + 12b r = b

1.1.8] Calcule a razão da PA onde:

a1 = x + 2 a35 = 35x - 66


3

1.1.9] Calcule o número de termos da PA onde:

2x-y, 3x, ....., 31x + 28y

1.1.10] Calcule a razão da PA onde:

a1 5=

a27 5 13 2= −

1.1.11] Calcule o décimo termo de :

4, 7, 10.... 1.1.12] Calcule o primeiro termo de :

a14 = 44 e r = 3 1.1.13] Calcule a razão da PA onde:

1.1.14] a1 = 5 e a27 = 5 13 2−

1.1.15] Calcule o primeiro termo da PA onde:

1.1.16] a15 = 3x - 18 e r = 5x + 1

1.1.17] Calcule o nono termo da PA :

1.1.18] a, a+2m, a+4m

1.1.19] Quantos múltiplos de 4 existem entre 15 e 201?

1.1.20] Quantos múltiplos de 5 existem entre 23 e 1004 ?

1.1.21] Calcule a SOMA dos múltiplos de 5 existentes entre 16 e 91.

1.1.22] Calcule a SOMA dos 100 primeiros números naturais.

1.1.23] Resolva a equação:

1.1.24] 3 + 8 + 13 + .....+ x = 1575

1.1.25] Calcule o último termo da PA onde:

1.1.26] a1 = 5 e razão = 2 e que a soma de todos os termos vale 480.

1.1.27] Numa PA de 7 termos, a soma dos dois primeiros é 14 e a dos dois últimos é 54. Calcule o valor da razão e o primeiro termo.

1.1.28] Interpole 8 MEIOS ARITIMÉTICOS entre 26 e -1

1.1.29] Insira 5 MEIOS ARITIMÉTICOS entre 6k - 4 e 12k + 20.

1.1.30] A soma dos três primeiros termos de uma PA vale 54. Calcule o termo central.

1.1.31] Calcule o 35º termo da PA, onde o a2 = 5 e a9 = 28


4

1.1.32] Calcule a Soma dos primeiros 25 termos da PA , onde a5 = 30 e a20= 120

1.1.33] Calcule a Soma dos 10 primeiros números ímpares

1.1.34] Calcule a Soma dos 15 primeiros números múltiplos de 3.

1.1.35] Calcule em qual matriz e em qual posição o número 3457, vai ocupar na sequência de matrizes com nove posições, P1 , P2 , ....,

P9 .

P1

P4

P7

P2

P5

P8

P3

P6

P9

1

4

7

2

5

8

3

6

9

10

13

16

11

14

17

12

15

18

Diagrama das Posições

Matriz 1 Matriz 2

......

1.2] Progressão Geométrica – Exercícios

1.2.1] Calcule a fórmula do termo geral de cada uma das progressões geométricas

1.2.2] (a) 5, 25,....

1.2.3] (b) -3, - 1/9, -1/27, ....

1.2.4] Calcule o 10º termo da PG ( 1/4 : 3/20 : ... )

1.2.5] Calcule a razão da PG onde o último termo é igual a milésima parte do primeiro. Sabendo-se que a PG possui 4 termos

1.2.6] Calcule o décimo termo da PG onde a1 = 2 e a2 = 6

1.2.7] Calcule o quinto termo da PG onde a1 = 3-1 e a2 = 3-2

1.2.8] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a8 = 32 e q =1/2

1.2.9] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a10 = 1 e q = -1

1.2.10] Calcule a razão (q) da PG onde a1 = 2 e a9 = 1024

1.2.11] Calcule a razão (q) da PG onde a1 = -2 e a6 = 486

1.2.12] Calcule a razão (q) da PG onde a15

4= e a8 = 160

1.2.13] Calcule o número de termos da PG : 1

8

1

2210, ,...,

1.2.14] Calcule o número de termos (n) da PG : 3, 6, 12, ...., 1536



5

1.2.16] Calcule a razão da PG em que o primeiro termo é o quadruplo da razão e e a diferença do segundo termo com o primeiro ( a2 - a1 ) é igual a 20.

1.2.17] Calcule a fórmula do termo geral de cada uma das progressões geométricas

1.2.18] (a) 7, 21, 63, ....

1.2.19] (b) -4, - 1/4, -4/9, ....

1.2.20] (c) 3 3 3 3 9, , , , . . .− −

1.2.21] (d) 20, 10, 5, ...

1.2.22] (e) k, k/2, k/4, ...

1.2.23] Calcule o décimo termo da PG onde a1 = -2 e a2 = -6

1.2.24] Calcule o nono termo da PG onde a1 = 2-1 e a2 = 2-2

1.2.25] Calcule o sétimo termo da PG onde a1 = ππππ e a2 = ππππ3


1.2.27] Calcule o primeiro termo ( a1 ) da PG onde a10 = 1 + 31/2 e q = -1

1.2.28] Calcule o primeiro termo (a1 ) da PG onde a7 = 384 e q = 2

1.2.29] Calcule a razão (q) da PG onde a1 = 4 e a9 = 1024

1.2.30] Calcule a razão (q) da PG onde a1 = -2 e a6 = 486

1.2.31] Calcule a razão (q) da PG onde a15

4= e a8 = 160

1.2.32] Calcule o número de termos da PG : 1

8

1

22

13, , . . . ,

1.2.33] Calcule o número de termos (n) da PG : 3, -6, 12, ...., -1536

1.2.34] Calcule a razão da PG, onde a2 + a5 = 780 e a1 + a4 = 195

1.2.35] Calcule a razão da PG em que o primeiro termo é o quíntuplo da razão e e a diferença do segundo termo com o primeiro ( a2 - a1 ) é igual a 30.

1.2.36] Interpole cinco meios geométricos na PG onde a1 = 4 e an = 2916.


6

Fórmula da Soma dos termos da PG infinita decrescente:

Sa

qn =

−1

1 (Bizú)

Comentário: A Soma dos termos da PG infinita, é possível por que a seqüência tende a um valor nulo.

1.2.37] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: ( 8, 4, 2, 1,.... )

1.2.38] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: (3

4

1

4

1

12, , ,... )

1.2.39] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: 99

4

9

16

9

64, , , ,...− −

1.2.40] Calcule a soma dos termos da PG infinita onde: (10, 1, 10-1, 10-

2,.....)

1.2.41] Calcule o primeiro termo ( a1 ) de uma PG infinita onde a razão é 2

3 e a soma de seus termos é 54.

1.2.42] Resolva a equação : xx x

+ + + =3 9

8.....

1.2.43] Resolva a equação : 22

5

2

25203

3 3

xx x

+ + + =....

1.2.44] Resolva a equação: ( )( ) ( )

xx x

+ ++

++

+ =22

3

2

96

22 2

....

Soma dos termos de uma PG crescente:

Sa q a

qn

n=−

−1

1 ou

( )S

a q

qn

n

=⋅ −

−

1 1

1

Quando os termos da PG são iguais a fórmula que dá a Soma dos termos reduz-se à seguinte: S n an = . 1

1.2.45] Demonstre que Sa q a

qn

n=−

−1

1 =

( )S

a q

qn

n

=⋅ −

−

1 1

1


7

1.2.46] Calcule a soma das áreas dos quadrados em função do lado l do primeiro quadrado, de acordo com a informação: É dada uma seqüência infinita de quadrados onde cada um, a partir do segundo, tem por vértices os pontos médios do quadrado anterior, veja a figura:

1.2.47] Quantos termos da PG 11

2

1

4, , ,...

devem ser somados para que

se obtenha a soma Sn = 1023

512, ( observação: escolha uma

fórmula que contenha “n” ).

1.2.48] Calcule o primeiro termo, a razão e a soma dos seis primeiros

termos da PG em que a3 = 15 e a6 = 5

9

1.2.49] Uma fábrica de peças automobilísticas produziu, em fevereiro de 1990, 100000 unidades. Em função das exigências do mercado, viu-se obrigada a estabelecer um aumento de produção de 5000 peças por mês. Calcule quantas foram produzidas de fevereiro a dezembro de 1990.

1.2.50] Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre aproximadamente 5 metros no primeiro segundo, 15 metros no segundo, 25 metros no terceiro e assim sucessivamente. Que distância percorrerá após 9 segundos de queda?

1.2.51] Cada ano, um carro tem seu valor de mercado reduzido em 20% em relação ao ano anterior. Se um automóvel tem valor C no primeiro ano, quanto valerá 5 anos depois?

1.2.52] Um determinado país tem uma taxa de crescimento populacional de 2% ao ano. Considerando que essa taxa seja mantida e que em 1990 o país tenha 30 milhões de habitantes, quantos serão os habitantes no final do ano 2000?

1.2.53] A população de um conglomerado é 10 milhões de habitantes e a de ratos, 200 milhões. Ambas as populações crescem em PG, de modo que a humana dobra a cada 20 anos e a de ratos dobra a cada ano. Dentro de 10 anos quantos ratos haverá por habitante?

1.2.54] Obtenha a fração geratriz da dízima: 0,5555....

1.2.55] Obtenha a fração geratriz da dízima: 7,888...

1.2.56] Obtenha a fração geratriz da dízima: 0,3555....


8


1.2.58] Simplifique a expressão:

3

2

3

4

3

8

3 9 27

x x x

xx x x

+ + +

− + − +

=....

....

1.2.59] Uma editora imprimiu 8000 livros de um determinado título na 1° edição. Em vista da aceitação do livro pelo mercado, a editora resolver aumentar em 10% o número de exemplares impressos a cada edição. (a) Calcule o número de livro impressos na 6° edição. (b) Calcule o número total de exemplares impressos desde a 1° edição até a 6° edição do livro.

1.2.60] Depositando 1000 Reais a juros compostos de 3% ao mês. Calcule o Valor do montante ao final de 5 anos de aplicação.



1.2.63] Uma editora imprimiu 5000 livros de um determinado título na 1° edição. Em vista da aceitação do livro pelo mercado, a editora resolver aumentar em 15% o número de exemplares impressos a cada edição. (a) Calcule o número de livro impressos na 10° edição. (b) Calcule o número total de exemplares impressos desde a 1° edição até a 10° edição do livro.

1.2.64] Um pássaro está entre duas locomotivas que viajam em sentidos contrários. O pássaro voa em direção a locomotiva A e ao chegar voa imediatamente em direção a locomotiva B. Sabendo-se que nesses voos o pássaro voa sempre a metade do percurso de ida e volta. Calcule a distância que o pássaro realiza até o encontro das locomotivas sendo a distância inicial igual a 1000 metros.

1.2.65] Um humilde camponês com 35 anos resolveu aceitar o desafio de um Rei ao solucionar um problema na corte real. Resolvido o problema o Rei resolveu presentear o camponês dedicando a ele um pedido que seria prontamente atendido. O camponês então decidiu fazer o seguinte pedido ao Rei: RECEBER UM GRÃO DE MILHO NAQUELE DIA, DOIS GRÃOS DE TRIGO NO SEGUNDO DIA, QUATRO GRÃOS DE TRIGO NO TERCEIRO DIA, OITO GRÃOS NO PRÓXIMO E ASSIM SUCESSIVAMENTE, até a sua morte. O Rei aceitou imediatamente e achou um pedido humilde comparado à sua majestade. Pergunta-se: Quantos grãos de trigo o Rei deverá pagar ao camponês quando ele fizer 36 anos.


9

1.2.66] Calcule a distância percorrida por um mini-robô programada para percorrer, indefinidamente, o tablado na seguinte configuração: (na DIAGONAL percorre até o centro do quadrado correspondente)

1.2.67] Calcule a fórmula geral do número de pontos de cada sequência

geométricamente apresentada:

a)

b)

1.3] Progressões Numéricas – Exercícios nível 1, (222), 3

1.3.1] Uma companhia possui 12 postos de gasolina, situados ao longo de uma estrada, de 20 em 20 km. O reservatório da companhia fica no quilômetro zero e o primeiro posto no quilômetro 15. Sabendo que cada posto consome 1 caminhão-tanque de gasolina por semana e que um mesmo caminhão abastece todos os postos, Calcule quantos quilômetros um caminhão-tanque percorre em 3 semanas para abastecer todos os postos e retornar ao reservatório.

1.3.2] Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre aproximadamente 5 metros no primeiro segundo, 15 metros no segundo, 25 m no terceiro e assim sucessivamente. Que distância percorrerá após 9 segundos?

1.3.3] Sabendo-se que o cometa Halley tem aproximação máxima da Terra a cada 76 anos, podendo, assim ser visto e que sua última aparição deu-se em 1986, Calcule os anos em que foi visto no século XVIII.

1.3.4] Uma fábrica de peças automobilísticas produziu, em fevereiro de 1990, 100000 unidades. Em função das exigências do mercado, viu-se obrigada a estabelecer um aumento na produção de 5000 peças por mês. Calcule quantas foram produzidas de fevereiro a dezembro de 1990.


10

1.3.5] Uma editora imprimiu 8000 livros de um determinado título na 1° edição. Em vista da aceitação do livro pelo mercado, a editora resolveu aumentar em 10% o número de exemplares impressos a cada edição. Calcule o número de livros impressos na 6° edição e em que edição o número de livros impressos foi o dobro da 1°.

1.3.6] A cada ano, um carro tem seu valor de mercado reduzido em 20% em relação ao ano anterior. Se um automóvel tem valor C no primeiro ano, quanto valerá 5 anos depois?


1.3.8] Expandindo-se o somatório xi

i

i ( )2 11

4

−∑=

, o resultado será igual a:

1.3.9] Consideremos a seqüência (an)n∈∈∈∈N* definida por a1=2 e an + m= an.am ,∀∀∀∀n,m∈∈∈∈N*. Se an é a população de uma cidade, em mil habitantes, n anos após 1975, entào em 1985 a população dessa cidade será de:

1.3.10] Um professor de educação física, pretende colocar seus alunos num triângulo, colocando um aluno na primeira linha, dois na segunda, três na terceira e assim por diante. Para formar o seu triângulo utilizou 231 alunos. Qual é o número de linhas?

1.3.11] A soma dos n primeiros números naturais não nulos, múltiplos de

3 é:

1.3.12] Calcule o valor de S, se S nn

= + −

∑

=2 1

121

51( ). :

1.3.13] Sejam os números reais x > 0, αααα > ββββ > 1. Os tres números reais

x x log x, , log ( ) α αβ β , são nessa ordem, os três primeiros termos

de uma progressão geométrica infinita. Calcule a Soma S desta progressão.

1.3.14] Uma partícula cai de uma altura h e ao tocar o solo, quica atingindo, sempre a metade da altura da queda anterior. (a) Calcule a distância total percorrida pela partícula desde o momento do abandono até o seu repouso. (b) Calcule o deslocamento da partícula.

1.3.15] Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que a área do triângulo é 150 calcule as medidas dos lados desse triângulo.


11

1.3.16] Calcule a fórmula geral que dá o número de pontos da enésima configuração.

a) configuracões: ...

b) configurações: ...

1.3.17] Prove que numa PA (a1, a2, a3...) a1+a9 = a2+a8.

1.3.18] Uma torneira despeja l litros de água em um recipiente, reduzindo a vazão em 3/4 por minuto. Calcule quantos litros de água conterá no reservatório em 1 hora de funcionamento, admitindo-se que no início a vazão era de 30 litros/segundo.

1.3.19] A soma 2 2 2 2 23 3 500

1

500 i

i= + + + +∑

=... é igual a:

(a) 2 1500 +

(b) 2 1501 +

(c) 2 1501 −

(d) 2 2 1500( )+

(e) 2 2 1500( )−

1.3.20] Sabe-se que o número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se inicialmente, existem 8 bactérias no meio, Calcule o número de bactérias ao fim de 10 horas.

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Acesso: Livre. Estudantes, Professores, etc. Modo de Acesso: Internet. No (Mensenger) MSN, no e-mail: [email protected] Área de atuação: Todas as disciplinas (Nível 1º e 2º graus)

PROF. ANTONIO

Professor e Orientador do Grupo Gabaritocerto. Nossa central de atendimento no MSN

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