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PROGRAMAÇÃO MULTI-OBJETIVO IRRESTRITA COM INCERTEZAS

Ricardo C. Silva e Tiago A. Almeida Departamento de Telemática

Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas

Av. Albert Einstein, 400, C.P. 6101, CEP 13083-970 {rcoelhos,tiago}@dt.fee.unicamp.br

RESUMO

As condições de Pareto-otimalidade são cruciais quando tratamos problemas de otimização multi-objetivo porque é necessário encontrar um conjunto de soluções ótimas ao invés de somente uma solução ótima para problemas de otimização com uma única função objetivo. Esse trabalho apresenta duas novas abordagens que foram desenvolvidas para resolver problemas multi-objetivo irrestrito com incertezas nos custos das funções objetivo. A primeira abordagem parametriza um problema nebuloso e o transforma em um problema de programação multi-objetivo clássico com um número maior de funções objetivo. A segunda abordagem usa a teoria de possibilidade como índice de comparação entre números nebulosos. Alguns exemplos numéricos são resolvidos usando um algoritmo genético chamado NSGA-II elitista, com algumas modificações para a comparação de números nebulosos. Posteriormente, uma análise dos resultados encontrados é fornecida para ambos os enfoques.

PALAVRAS CHAVE. Otimização multi-objetivo, condições Pareto-otimalidade nebulosas programação matemática nebulosa. PM – Programação Matemática

ABSTRACT

Pareto-optimality conditions are crucial when dealing with classic multi-objective optimization problems because we need to find out a set of optimal solutions rather than only one optimal solution to optimization problem with a single objective. This work presents two novel approaches that are developed for solving unconstraint multi-objective programming problems with uncertainty in the costs of the objective functions. The first approach parameterizes a fuzzy problem and transforms it into a classical multi-objective programming problem with more objective functions. The second one uses the possibility theory as comparison index between fuzzy numbers. Some numerical examples are solved by using a genetic algorithm called elitist NSGA-II, with some modifications to compare fuzzy numbers. After that, an analysis of obtained results is offered to both approaches.

KEYWORDS. Multi-objective optimization, fuzzy Pareto-optimality conditions, fuzzy mathematical programming. MP – Mathematical Programming

XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 2994

1. Introdução Na tentativa de solucionar problemas que envolvem minimização (ou maximização) de uma

ou mais funções objetivo foi desenvolvida uma área chamada Programação Matemática (PM). Trata-se de uma área de pesquisa que visa encontrar soluções eficientes para resolver problemas da vida real. Esses problemas são formulados matematicamente de maneira clara e precisa, sendo que a meta é otimizar a(s) função(ões) objetivo(s) desses problemas. Os problemas de PM podem ser divididos basicamente em dois tipos, problemas irrestritos ou restritos. PM tem várias aplicações que podem ser encontrados em teoria de jogos, alocação de facilidades, problemas de logística, designação de tarefas, problemas de economia em geral, controle, processamento de sinais entre outros. Algumas aplicações e métodos podem ser encontrados em Beale (1959), Floudas et al. (1999), Hock e Schittkowski (1981), Schittkowski (1987) e Wolfe (1959).

Os problemas de PM descritos neste trabalho são os problemas de programação multi-objetivo irrestritos, os quais têm duas ou mais funções objetivo. Eles podem ser formulados da seguinte maneira:

,.)(minΩ∈xasxF

(1)

sendo que ( ) ( )2 ,,,, 21 ≥= mfffF mK é um vetor de objetivos e nℜ⊂Ω é o conjunto de soluções factíveis.

A solução ótima dos problemas de programação multi-objetivo não é única, pois normalmente os objetivos são conflitantes. Assim, um conceito de solução eficiente foi introduzida em Pareto(1987a) e Pareto(1987b) que determina um conjunto de soluções ótimas. O uso desse conceito está inserido nos métodos específicos para resolver problemas de programação multi-objetivo, que são descritos em Chankong e Haimes (1983).

Quando todas as funções objetivo do Problema (1) são lineares, o problema a ser otimizado é chamado de problema de programação multi-objetivo linear. Caso contrário, ele é chamado de problema multi-objetivo não-linear. Geralmente, muitos problemas do mundo real não podem ser formulados como um problema linear devido à natureza das funções serem não-lineares. Entretanto, na grande maioria dos casos, esses problemas também contêm dados incertos, imprecisos ou mal-definidos. O tratamento desse tipo de dados pode ser feito usando processos estocásticos, lógica nebulosa, caos ou até mesmo por aproximação numérica.

A lógica nebulosa e a teoria dos números nebulosos foram propostas por Zadeh (1965), na tentativa de tratar matematicamente a imprecisão do mundo real. Hoje em dia, a lógica nebulosa, é empregada com grande sucesso na concepção, construção, formulação e utilização de uma ampla gama de produtos e sistemas cujo funcionamento é diretamente baseado na forma de raciocínio do ser humano. Um problema de programação multi-objetivo nebuloso pode ser formulado como

Ω∈~~.

)~;~(inm~

xasxcF

(2)

sendo ( ) ( )2 ,,,, 21 ≥= mfffF mK um vetor de objetivos, )(~ pmc ×ℜℑ∈ os parâmetros nebulosos nas funções objetivo e )(~ nℜℑ⊂Ω o conjunto de solução factíveis. )(ℜℑ define o conjunto de números nebulosos, )( nℜℑ define o conjunto de vetores n-dimensionais com parâmetros nebulosos e )( pm×ℜℑ define o conjunto de matrizes ( pm× )-dimensionais com parâmetros nebulosos. Dentre os parâmetros incertos descritos no Problema (2), podemos observar que as imprecisões podem estar presentes em vários pontos do problema a ser otimizado.

Os parâmetros de diversos problemas do mundo real são raramente conhecidos com exatidão e necessitam ser estimados pelo decisor que tem uma certa experiência sobre o problema. Assim,


é necessária a aplicação de métodos que consigam descrever matematicamente essas imprecisões, como descrito em Appadoo et al. (2008), Lai e Hwang (1992), Negoita e Ralescu (1975) e Wang e Zhu (2002).

Esse trabalho está organizado como segue: na Seção 2 é introduzida uma abordagem paramétrica para resolver problemas de programação multi-objetivo nebulosa irrestritos. Ela parametriza os números nebulosos, que representam as incertezas, transformando o problema multi-objetivo nebuloso em um problema clássico paramétrico com mais funções objetivos do que o problema original, sendo que esses novos objetivos buscam encontrar um nível de satisfação ótimo. Na Seção 3 é introduzida uma abordagem possibilística que usa a teoria de possibilidade para definir um índice de comparação entre números nebulosos e, portanto, construir um conjunto nebuloso ordenado de acordo com o nível de satisfação escolhido pelo decisor. As definições e teorias desenvolvidas neste trabalho garantem condições necessárias para obter um conjunto de soluções eficientes. Na Seção 4 são apresentados os problemas usados para validar as abordagens desenvolvidas neste trabalho, junto com os resultados computacionais e análises dos resultados obtidos. Finalmente, algumas considerações finais sobre o trabalho desenvolvido são apresentadas na Seção 5. 2. Abordagem paramétrica

Dentre as várias abordagens encontradas para transformar um problema de programação matemática nebuloso em um problema de programação matemática clássico, pode-se destacar a paramétrica. Ela transforma o problema nebuloso em vários problemas clássicos com a inserção de um parâmetro que representa o nível de satisfação, o qual pertence ao intervalo [0,1]. Outro enfoque a ser considerado é definir esse novo parâmetro como uma variável de decisão do problema e tentar otimizá-la e encontrar o nível de satisfação ótima.

A abordagem paramétrica está dividida em duas etapas. Primeiramente, será explanada a idéia básica do uso dos parâmetros que ajudam a transformar o problema nebuloso em um problema clássico. Depois, será apresentada uma formulação matemática que transforma um problema de programação nebuloso irrestrito em um problema clássico paramétrico irrestrito. 2.1. Idéia paramétrica

A natureza ambígua dos custos presentes nas funções objetivo de problemas de programação multi-objetivo com incertezas é definida por custos nebulosos. Esses custos tentam descrever dados vagos de maneira a permitir alguma violação, que não é permitida no caso clássico, e esses parâmetros nebulosos podem ser definidos pelo tomador de decisão. Assim, um problema de programação multi-objetivo irrestrito com parâmetros nebulosos nas funções objetivo pode ser formulado da seguinte forma:

,.);~(inm~

Ω∈xasxcF

(3)

sendo que ( ) ( )2 ,,,, 21 ≥= mfffF mK é um vetor de objetivos, )(~ mnc ×ℜℑ∈ representa os parâmetros nebulosos e nℜ⊂Ω é um subconjunto de soluções factíveis.

O grau de satisfação de uma solução nx ℜ∈ é associado a um conjunto de funções de pertinência que podem ser formuladas como


, ],1,0( : Iii ∈∀→ℜμ sendo μ uma função de pertinência e I o conjunto com todos os parâmetros imprecisos.

Se iIi ℵ=ℵ ∈I , onde iℵ representa a região factível da i-ésima função de pertinência. Então, o problema multi-objetivo nebulosos irrestrito, descrito anteriormente, pode ser definido por uma forma compacta:

{ }.|);~(min ℵ∈xxcF

É claro que [ ]1,0∈∀α , um α -corte dos parâmetros incertos será o conjunto clássico

( ) ( ){ },| αμα ≥ℜ∈=ℵ ℵ xx n

sendo que nx ℜ∈∀ , ( ) ( )( ) . ,1inf Iixx i ∈−=ℵ αμμ

Assim, um α -corte dos i-ésimos parâmetros serão denotados por ( )αℵ . Logo, se ]( 1,0∈∀α ,

( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ){ }αα αα ℵ∈=ℜ∈= yyccFxccFxS ULULn ,;,min;,| .

Logo, a solução nebulosa para o problema será o conjunto nebuloso definido pela função de

pertinência

( )( ){ } ( )

⎩⎨⎧ ∈∈

=contrário. caso0

:sup αααμ α

αSxSx

SU

A solução operativa para o problema anterior pode ser encontrada, α -corte por α -corte,

resolvendo o problema de programação multi-objetivo paramétrico auxiliar irrestrito. Portanto, o problema de programação multi-objetivo nebulosos irrestrito foi parametrizado

no fim da primeira fase. Na segunda fase o problema paramétrico é resolvido para cada um dos diferentes valores α usando técnicas de programação multi-objetivo convencional. Logo, as soluções para cada α do problema paramétrico satisfazem as condições de otimalidade suficientes de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) para o caso de soluções eficientes.

Os resultados obtidos para cada valor de α geram um conjunto de soluções S(α ) e, portanto, o Teorema da Representação pode ser usado para integrar todas essas α -soluções específicas. Assim, é demonstrado que as soluções em linhas gerais para o modelo paramétrico representam uma solução válida para o problema de programação multi-objetivo nebuloso irrestrito.

2.2. Formulação da idéia paramétrica

Em Jimenéz (2006) é desenvolvida uma abordagem multi-objetivo que resolve problemas de programação não-linear com um único objetivo com incertezas nos custos da função objetivo e nas relações do conjunto de restrições. Tal proposição também pode ser estendida para resolver problemas multi-objetivo nebuloso irrestritos.

Neste caso, problemas de programação multi-objetivo irrestrito com parâmetros imprecisos são considerados, sendo que as componentes imprecisas são definidas como números nebulosos. Esse conjunto de problemas é formulado como segue

[ ]

,.);~(,),;~(),;~(inm~ 2211

Ω∈xasxcfxcfxcf mmK

(4)

sendo que x é um vetor de n números reais, ic~ é um vetor de números nebulosos com ip


componentes para cada { }mi ,,2,1 K= . Os números nebulosos são caracterizados pelas funções de pertinência que são definidas pelo decisor. As funções de pertinência podem ser definidas como

[ ] { }mJjj ,,2,1 ,1,0: K=∈→ℜμ

Em particular essas funções de pertinência são descritas por

( ) ( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

≤≤∈≤≤

≤≤=

Ujjj

jLjj

Lj

Uj

j

cycygJjcycyh

cyycy

se se

ou se0μ (5)

sendo que ( )⋅jh e ( )⋅jg são assumidas como funções continuas estritamente crescente e decrescente, respectivamente. Outra característica é que cada função de pertinência j é modal, isto é, ( ) ( ) Jjcgch jjjj ∈== ,1 . 2.2.1. Abordagem multi-objetivo com novas variáveis de decisão

As incertezas podem aparecer de diferentes formas em um problema de programação matemática, sendo que um caso particular está apresentado no Problema (3). Será mostrado nesta seção um enfoque paramétrico para resolver problemas de programação multi-objetivo nebuloso com custos imprecisos.

Uma abordagem multi-objetivo é desenvolvida em Jiminéz (2006) para resolver problemas de programação não-linear com somente um objetivo, custos imprecisos e incerteza na relação de ordem nas restrições. Aqui será mostrada uma extensão dessa abordagem para resolver problemas de programação irrestrita nebulosos, como o Problema (3). A solução nebulosa é obtida pela transformação de um problema de programação não-linear nebuloso em um problema não-linear multi-objetivo paramétrico no qual os parâmetros [ ]1,0, ∈iβα são tratados como novas variáveis de decisão. Junto com a variável de decisão α , são também consideradas pm× novas variáveis de decisão pjmiij ,,1 e ,,1 , KK ==β , para transformar ( ) ( )[ ]αα −−= −− 1,1 11

ijijij ghI , que é um

intervalo discretizado, em funções da forma ( ) ( ) ( ) ( )( )ααβαβα −−−+−= −−− 111, 111ijijijijijij hghc .

Conseqüentemente, os novos objetivos são minimizar ( )mpxF ββα ,,,, 11 K , maximizar e minimizar pjmiij ,,1 e ,,1 ,, KK ==βα , simultaneamente. Portanto, o problema multi-objetivo que foi definido em (4) pode ser reformulado como segue:

( )( ) ( )( ) ( )( )[

][ ] ,,,1 e ,,1 ,1,0, ,.

1,,,1,,,1,,,1,,,;,,,;,,;,min

11111111

222111

pjmixas

xcfxcfxcf

ij

mpmpmmpp

mmm

KK

KKK

K

==∈Ω∈−−−−

βαββββββββαβαβαβα

(6)

sendo que o conjunto de soluções ótimas para o problema multi-objetivo é composto das soluções com os valores máximos para um grupo de funções ( )mpxF ββα ,,,, 11 K para cada valor dos parâmetros pjmiij ,,1 e ,,1 ,, KK ==βα .

3. Abordagem possibilística

A teoria de possibilidade, a qual é análoga à teoria de probabilidade, foi proposta por Zadeh (1978) para agregar o conceito de uma distribuição de possibilidade para a teoria dos conjuntos nebulosos. Um dos conceitos é o uso nos índices de comparação para a ordenação de números nebulosos. O emprego da teoria de possibilidade no intuito de criar um critério de comparação para ordenar números ou intervalos nebulosos foi proposta em Dubois e Prade (1983). Sua


importância originou-se do fato que muito das informações tem uma natureza possibilística, na qual a decisão humana depende de alguma coisa que não é exata. A representação e manipulação aritmética das quantidades numéricas incertas podem ser definidas pela média dos conjuntos nebulosos. Infelizmente, a comparação entre dois ou mais números, intervalos e/ou conjuntos nebulosos não é trivial. Diante desse impasse, várias abordagens para compará-los foram desenvolvidas, cada uma é baseada em diferentes pontos de vista (veja mais exemplos em Dubois e Prade (1980), Kaufmann e Gupta (1984), Klir e Yuan (1995) e Pedrycs e Gomide (1998)).

3.1. Conceitos básicos nebulosos

As regras existentes para ordenar números nebulosos em uma ordem crescente (ou decrescente), têm que optar por uma medida de comparação e, portanto, a medida de possibilidade pode ser usada. Definição 1 (Medida de Possibilidade): Seja A um sub-conjunto de U e seja XΠ uma distribuição de possibilidade associada com uma variável X que toma valores em U. A medida de possibilidade, ( )Aπ , de A é definida por

{ } ( ) ( ))(),(minsup é uuAAXPoss XAUu

πμπ∈

== (7)

sendo Aμ uma função de pertinência de A e Xπ a função de distribuição de possibilidade de X. Ele pode ser interpretado como a possibilidade de que o valor X pertença ao conjunto A e é definido para ser numericamente igual à função de pertinência de X.

A definição acima permite definir um conjunto nebulosamente ordenado )(ℜℑ que é uma extensão do conjunto classicamente ordenado, isto é, conjunto ordenado de números reais. Um conjunto é dito ser completamente ordenado se ele satisfaz as seguintes condições: Definição 2 (Conjunto Nebulosamente Ordenado): Um sub-conjunto nebuloso )(ℜℑ⊂A é nebulosamente ordenado com respeito à medida de possibilidade se cada elemento em A satisfaz as seguintes propriedades básicas:

[ ][ ] [ ] [ ] { }[ ] [ ] [ ] { }

[ ].1,0, e ,~,~,~,min~~~~ e ~~.3,min~~~~ e ~~.2

1~~.1

21321

2121212121

2131232121

11

∈∀∈∀≥=⇒≥≤≥≤≥≤⇒≥≤≥≤

=≤

αααααααααα

AaaaaaPossaaPossaaPossaaPossaaPossaaPoss

aaPoss

De acordo com as expressões acima, um sub-conjunto nebuloso )(ℜℑ⊂A é completamente

ordenado. Contudo, um sub-conjunto )( nℜℑ é somente parcialmente ordenado. Logo, o conceito de solução ótima para os problemas com um único objetivo não se adapta na formulação dos problemas com vários objetivos, exceto na condição que o problema admita a chamada solução ideal. Isso ocorre quando uma única solução otimiza simultaneamente todas as funções objetivo como definido abaixo: Definição 3 (Solução Ideal): A solução ideal y~ do problema multi-objetivo é definido como

( ) mixcfy iiii ,,2,1 ,,~~ K==

sendo que ( ).;~minarg xcfx iixi

nℜ∈=

Uma solução ideal é admitida por um problema multi-objetivo quando o conjunto de argumentos { }mixi ,,2,1 , K= , possui um único elemento. Entretanto, um sistema multi-objetivo é empregado em problemas com objetivos conflitantes, quando é difícil admitir tal solução. Como a existência de uma solução ideal é improvável, ela não será considerada na presente análise.

Conceitualmente, uma solução eficiente é uma solução que não é dominada por qualquer outra solução factível. Assim, o conceito de dominância de um problema multi-objetivo nebuloso deveria refletir as preferências do decisor. Nesse trabalho, um novo conceito de dominância


nebulosa é proposto, o qual pode ser ajustado pelo grau de satisfação que melhor descreve as preferências do decisor. Isso torna essa nova proposta mais flexível e aplicável para uma grande gama de problemas reais. Para qualquer ponto nx ℜ∈0 , vamos considerar os seguintes sub-conjuntos:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }

( ) ( ) ( )[ ]{ }( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }{ }αα

αααα

≤≥≤ℜ∈=Ω≥≥ℜ∈=Ω

<=≥≤ℜ∈=Ω

≥

<

000~

00

000

;~;~,;~;~max|;;~;~|;

1;~;~ e ;~;~|;

xcFxcFPossxcFxcFPossxxxcFxcFPossxx

xcFxcFPossxcFxcFPossxx

n

n

n

O sub-conjunto ( )α;0x<Ω é composto dos pontos em nℜ que dominam 0x , enquanto ( )α;0x≥Ω englobam os pontos em nℜ que são dominados por 0x . O conjunto dos pontos que

nem dominam nem são dominados por 0x é denominado ( )α;0~ xΩ . O parâmetro α é um vetor

e cada termo deste vetor pertence ao intervalo [0,1]. Estes conjuntos estão bem definidos e podem denotar o conjunto de soluções Pareto-ótimas nebulosas. Definição 4 (Solução Pareto-ótima nebulosa): Ω∈*x é dito ser uma solução Pareto-ótima nebulosa se não existe um outro ponto Ω∈*x tal que ( ) ( )[ ] ixcfxcfPoss iiiii ∀≥≤ ,;~;~ * α e

( ) ( )[ ] 1;~;~ * <= xcfxcfPoss iiii para ao menos um j, sendo que [ ] ii ∀∈ ,1,0α . Diante da dificuldade de encontrar uma solução global para um grande grupo de problemas,

pois é freqüentemente aceitável que uma solução local seja encontrada. Uma solução eficiente local para o problema proposto é definida abaixo: Definição 5 (Solução Pareto-ótima local nebulosa): Ω∈*x é dita ser uma solução Pareto-ótima local nebulosa se existe um número real 0≥δ tal que não exista nenhum outro

( )δ,*xNx IΩ∈ tal que ( ) ( )[ ] ixcfxcfPoss iiiii ∀≥≤ ,;~;~ * α e ( ) ( )[ ] 1;~;~ * <= xcfxcfPoss iiii em ao menos um j, sendo que [ ] ii ∀∈ ,1,0α .

Note que a definição acima implica que uma solução candidata para o problema nebuloso proposto é (localmente) não-dominada ou eficiente. Caso não seja, pode-se achar (em uma certa vizinhança) uma outra solução que simultaneamente melhora todas as funções objetivo.

Em adição, a hipótese de convexidade determina que a vizinhança de cada um das soluções locais envolve toda a região factível. Teorema 1: Sejam ( ) miYXfi ,,1 ,: K=ℑ→⊂Ω funções nebulosas convexas sobre um subconjunto convexo Ω de um espaço linear X. Então, todas as soluções localmente eficientes são soluções globalmente eficientes de problemas nebulosos. Demonstração: Seja Ω∈*x uma solução localmente eficiente. Pela definição de subconjunto convexo, pode ser obtido ( )δλλ , ,)1( ** xNxxx −Ω∈∀Ω∈−+ , com 0>δ e [ ]1,0∈λ . Suponha

( )δλλ ,)1( ** xNxx IΩ∈−+ , então pela definição de solução nebulosa Pareto-ótima, é obtido ( ) ( )[ ] ixxcfxcfPoss iiiii ∀≥−+≤ ,)1(;~;~ 1** αλλ e ( ) ( )[ ] 1)1(;~;~ ** <−+= xxcfxcfPoss iiii λλ para

ao menos um j, sendo que ]( ii ∀∈ ,1,01α . Pela definição de função nebulosa convexa, é obtida ( ) ( ) ( ) ixcfxcfxxcf iiiiii ∀−+≤−+ ,;~)1(;~~)1(;~ ** λλλλ , que pode ser re-escrito usando a Teoria de

Possibilidade da seguinte maneira ( ) ( ) ( )[ ] 2** ;~)1(;~)1(;~iiiiiii xcfxcfxxcfPoss αλλλλ ≥−+≤−+ ,

sendo que ]( ii ∀∈ ,1,02α . Assim, usando a definição de subconjunto nebulosamente ordenado, é obtido ( ) ( ) ( )[ ] { } ( ) ( )[ ]≥≤⇒≥−+≤ xcfxcfPossxcfxcfxcfPoss iiiiiiiiiiii ;~;~,min;~)1(;~;~ *21** ααλλ

{ },,min 21ii αα i∀ . Selecionando uma determinada função objetivo Ik∈ e ik ≠ , pelo Teorema

1, pode ser garantido que ( ) ( )[ ] 1;~;~ * <= xcfxcfPoss kkkk para ao menos um k.■


3.2. Caracterização das soluções eficientes nebulosas A caracterização das soluções eficientes, ( )Ωefi , por meio de problemas escalares bem

definidos é um enfoque recorrente em problemas multi-objetivo nebuloso. O seguinte teorema estabelece as condições necessárias de soluções eficientes para problemas escalares. Teorema 2: Ω∈*x se e somente se *x resolve os m problemas escalares

( )( ) ( )

klmlxcfxcfas

xcfP

llll

kkxk

≠∀=≤

Ω∈

e ,,2,1;~~;~.

;~min:*

K

(8)

Demonstracao: (⇒ ) Se ( )Ω∈efix* , então não existe um outro Ω∈x tal que

( ) ( )[ ] ixcfxcfPoss iiiii ∀≥≤ ,;~;~ * α , e ( ) ( )[ ] 1;~;~ * <= xcfxcfPoss iiii , para algum j. Nesse caso *x resolve (9) para todo k.

(⇐ ) Suponha que *x resolve (9), mas ( )Ω∉efix* , então existe um outro Ω∈x tal que ( ) ( )[ ] ixcfxcfPoss iiiii ∀≥≤ ,;~;~ * α , e, para algum j, ( ) ( )[ ] 1;~;~ * <= xcfxcfPoss iiii . Portanto, *x

não resolve o Problema (9). Essa contradição conclui essa prova. ■ Diante do Teorema 2, uma análise similar cria uma relação que é estabelecida entre soluções

não-dominadas de um problema multi-objetivo nebuloso e soluções para o problema ponderado. Uma caracterização alternativa baseada na combinação linear dos objetivos pode ser expressa como Teorema 3: Seja Ω∈*x que resolve o problema

( ) ( )∑=

Ω∈ =m

iiiixw xcfwxcFwP

1;~,~,min: (9)

para algum 0 , ≥ℜ∈ ww m e ∑=

=m

iiw

11 . Então ( )Ω∈efix* se

i. *x é a solução única de (10), ou ii. .,,2,1 ,0 miw K=>

Demonstração: (i.) Se Ω∈*x é uma solução única para (10), então Ω∈∀x e por definição,

( ) ( )( ) { }iiiiii

m

ii xcfxcfwPoss αmin0~;~;~ *

1≥⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡<−∑

= é obtido. Suponha que ( )Ω∉efix* , isto é, existe

ao menos um Ω∈0x tal que ( ) ( )[ ] ixcfxcfPoss iiiii ∀≥≤ ,;~;~ *0 α e ( ) ( )[ ] 1;~;~ *0 <= xcfxcfPoss iiii , para algum j. Isso contradiz a hipótese de unicidade, porque 0≥w . Logo, ( )Ω∈efix* . (ii.) Suponha que ( )Ω∉efix* , mas *x é a solução de (10). Então existe um Ω∈0x tal que

( ) ( )[ ] ixcfxcfPoss iiiii ∀≥≤ ,;~;~ *0 α e ( ) ( )[ ] 1;~;~ *0 <= xcfxcfPoss iiii , para qualquer j. Assim,

( ) ( )( ) { } . ,min0~;~;~ 0*

1ixcfxcfwPoss iiiiii

m

ii ∀≥⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡<−∑

=α

Uma contradição e, portanto, ( )Ω∈efix* .■ 4. Resultados computacionais

Serão apresentados dois problemas teóricos para exemplificar como as novas abordagens desenvolvidas neste trabalho encontram a fronteira de Pareto. Essa fronteira é o mapeamento no espaço das funções do conjunto eficiente que está no espaço das variáveis. Esses problemas não


têm critérios muito complexos para que seja encontrado um conjunto eficiente, mas são suficientes para validá-las. Os problemas são baseados em alguns problemas clássicos irrestritos, descritos em Deb (2001), e com duas funções objetivo porque a intenção é mostrar as soluções encontradas por ambas as abordagens. Entretanto, as incertezas foram inseridas pelos autores, onde a configuração de cada número nebuloso foi definida de acordo com cada caso.

As novas abordagens desenvolvidas neste trabalho foram implementadas utilizando o programa MatLab® 7.6. Um algoritmo genético multi-objetivo baseado NSGA-II com elitismo foi implementado de duas maneiras. A primeira é idêntica ao que já foi publicado, pois resolve um problema paramétrico. Por outro lado, a segunda foi alterada o critério de comparação entre duas soluções, pois usa-se um índice de comparação baseado em teoria de possibilidade para comparar números nebulosos. Essa comparação determina quando uma solução é dominante, dominada ou indefinida em relação a uma outra solução. As simulações dos problemas multi-objetivos em ambiente nebuloso foram realizadas em um Pentium Centrino Core 2 Duo, 2,26GHz cada núcleo, com 4GB de memória RAM, usando o sistema operacional Ubuntu 8.10.

O primeiro problema multi-objetivo nebuloso irrestrito é uma modificação de um problema clássico muito conhecido e estudado descrito por Schaffer (1984). O problema nebuloso adaptado é formulado da seguinte maneira:

( ) ( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤−−=−=

,

~;~min

~;~min:1 2

222

2111

AxAcxxcfcxxcf

SCH (10)

onde ( )LRc 1,0,0~

1 = , ( )LRc 1,1,2~1 = e A pode ser modificado pelo decisor e aqui ele foi escolhido

igual a 5. O número nebuloso está definido como (mod,left,right), onde mod é o valor central do número nebuloso. Caso ele tenha altura igual a 1, esse valor mod representa o valor modal, left representa o espalhamento a esquerda a partir do valor central e right o espalhamento a direita a partir do valor central.

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

0

2

4

6

8

10Fronteira de Pareto para alpha igual a 0.8

Espaco da funcao objetivo 1

Esp

aco

da fu

ncao

obj

etiv

o 2

Figura 1: Fronteira de Pareto

A Figura 1 mostra a solução encontrada para cada abordagem. As estrelas representam a

fronteira de Pareto que foi mapeada pelas soluções eficientes da abordagem paramétrica. Os retângulos representam os valores nebulosos da fronteira de Pareto formados pelas soluções eficientes da abordagem possibilística. Nesse problema, o nível de satisfação escolhido pelo decisor foi igual a 0,8 e, portanto, os números nebulosos representados pelos retângulos a base do


número nebuloso com pertinência igual ou superior a 0,8 e podemos perceber pelo gráfico que as estrelas convergem para nível de satisfação.

É possível observar que a fronteira de Pareto formada pelos números nebulosos encontrados usando a abordagem possibilística, a qual forma uma faixa de Pareto, engloba a fronteira formada pelos pontos encontrados pela abordagem paramétrica.

O próximo problema tem variáveis de decisão bi-dimensionais o que aumenta um pouco mais a complexidade do problema. Contudo, o problema ainda continua sendo convexo e, portanto, pode-se garantir encontrar todas as soluções eficientes para um número infinito de elementos na população do NSGA-II. Esse segundo problema pode ser formulado como

( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤−+−=

+=

50,50

~~;~min

~~;~min

21

2222

221122

2212

211111

xxxccxxcf

xcxcxcf (11)

onde ( )LRccc 1,1,1~~~

221211 === e ( )LRc 1,1,2~21 = . Outro fator que ajuda no aumento da

complexidade é a inserção de quatro parâmetros incertos.

0 1 2 3 4 5 6 7−1

0

1

2

3

4

5

6

7Fronteira de Pareto para alpha igual a 0.8

Espaco da funcao objetivo 1

Esp

aco

da fu

ncao

obj

etiv

o 2

Figura 2: Fronteira de Pareto

Na Figura 2, os valores nebulosos que constroem a fronteira de Pareto do enfoque

possibilístico não conseguem construir uma faixa mais compacta, pois necessitaria de mais elementos na população. Todos os problemas aqui apresentados foram simulados com 50 elementos na população no decorrer de 50 iterações, que é o critério de parada tanto no enfoque possibilístico quanto no enfoque paramétrico. Novamente, as estrelas que representam as soluções do enfoque paramétrico convergem para um dos limitantes da faixa formada pelas soluções da abordagem possibilística. Nesse caso, existem algumas soluções paramétricas que não pertencem à faixa de Pareto formada pelas condições nebulosas usando a teoria de possibilidade. 5. Conclusões

Problemas de programação multi-objetivo são muito importantes tanto do ponto de vista teórico como prático. Entretanto, os problemas de programação matemática que encontramos no mundo real não podem, muitas vezes, ser formalizados de maneira clara e precisa porque os


dados são ambíguos, vagos e imprecisos. Como elemento deste conjunto, os problemas de programação multi-objetivo também apresentam esses tipos de incertezas. Essa ambigüidade é natural e está presente em situações da vida real que requerem soluções precisas. Existem algumas técnicas para representar esses dados imprecisos, como processos estocásticos, caos, aproximação a valores conhecidos e lógica nebulosa, sendo que essa última foi a escolhida para ser usada neste trabalho por se adaptar perfeitamente aos problemas de programação multi-objetivo em um ambiente nebuloso.

A abordagem paramétrica é uma extensão de métodos paramétricos desenvolvidos para solucionar problemas de programação linear. A idéia paramétrica desenvolvida na Seção 2 discretiza os custos nebulosos que estão nas funções objetivo, que transforma um problema de programação multi-objetivo nebuloso irrestrito em um problema de programação multi-objetivo clássico irrestrito, mas o número de funções objetivo do problema clássico é maior que do nebuloso. Por um lado, isso aumenta a complexidade na obtenção de uma solução para problema transformado, porém, por outro lado, esse problema encontra um conjunto de soluções satisfatórias para cada discretização desses números nebulosos. Por fim, aplicando o Teorema da Representação pode-se gerar uma solução nebulosa para o problema original.

A abordagem possibilística desenvolvida na Seção 3 é um enfoque novo para determinar condições necessárias e suficientes para garantir uma otimalidade de Pareto satisfatória, que fornece ao decisor uma solução nebulosa. Essa abordagem usa a teoria de possibilidade como um critério de comparação entre dois números nebulosos e a partir disto é definido um conjunto nebulosamente ordenado que engloba todos os números nebulosos. Eles podem ser ordenados segundo um determinado nível de satisfação que pode ser escolhido pelo decisor. Essa definição separa os elementos que são dominados, que dominam e que não são possíveis determinar, de um conjunto nebulosamente ordenado. Assim, a definição de solução eficiente de problemas de programação multi-objetivo clássicos pode ser estendida na obtenção das soluções eficientes nebulosas mediante o nível de satisfação escolhido pelo decisor. Juntamente com essa definição estendida foi estabelecido um conjunto de definições e teoremas que garantem as condições necessárias e suficientes para encontrar uma solução ótima nebulosa para um problema de programação multi-objetivo nebuloso irrestrito.

Os enfoques desenvolvidos neste trabalho foram testados em dois problemas hipotéticos. Eles mostraram a eficiência das abordagens propostas, que têm parâmetros nebulosos nos custos das funções objetivo. Em cada problema foi realizada uma análise de comparação entre as duas abordagens e foi mostrado onde uma ou outra obtiveram soluções mais satisfatórias. Vale ressaltar que o objetivo deste trabalho não é realizar uma disputa de qual dos enfoques tem maior vantagem, mas sim mostrar duas novas abordagens que podem ser usadas para resolver problemas de programação multi-objetivo irrestrito em ambiente nebuloso. Agradecimento

Os autores são agradecidos ao suporte financeiro fornecido pela CAPES e CNPq. Referências Bibliográficas Appadoo, S., Bhatt, S. e Bector, C. (2008), Application of possibility theory to investiment decision, Fuzzy Optimization and Decision Making, 7, 35-57. Beale, E. (1959), On quadratic programming, Naval Research Logistics Quarterly, 6, 227-244. Chankong, V. e Haimes, Y.Y., Multiobjective decision making: theory and methodology, vol. 8 of North Holland series in systems science and engineering, North Holland, New York, USA, 1983. Deb, K., Multi-objective optimization using evolutionary algorithms, John Wiley & Sons, Chichester, UK, 2001. Dubois, D. e Prade, H., Fuzzy sets and systems: theory and application, Academic Press, San Diego, USA, 1980. Dubois, D. e Prade, H. (1983), Ranking fuzzy numbers in the setting of possibility theory, Information Sciences, 30(3), 183-224.


Floudas, C.A. et ali, Handbook of test problems in local and global optimization, vol. 33 of Nonconvex optimization and its applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. Hoch, W. e Schittkowski, K., Test examples for nonlinear programming, vol. 187 of Lecture notes and mathematical systems, Springer-Verlag, 1981. Jiménez, F., Cadenas, J., Sánches, G., Gómez-Skarmeta, A. e Verdegay, J.L. (2006), Multi-objective evoluyionary computation and fuzzy optimization, International Journal of Approximate Reasoning, 43(1), 59-75. Kaufmann, A. e Gupta, M.M., Introduction of fuzzy arithmetic: theory and applications, Van Nostrand Reinhold, New York, USA, 1984. Klir, G.J. e Yuan, B., Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications, Prentice Hall, New Jersey, USA, 1995. Lai, Y.J. e Hwang, C.L., Fuzzy mathematical programming: methods and applications, vol. 392 of Lecture notes and mathematical systems, Springer, Berlin, 1992. Negoita, C.V. e Ralescu, D.A., Applications of fuzzy sets to systems analysis, Birkhauser Verlag, Stuttgard, 1975. Pareto, V., Cours d’economique politique, vol I, Macmillan, Paris, 1897. Pareto, V., Le cours d’economique politique, vol II, Macmillan, London, 1897. Pedrycs, W. e Gomide, F., An introduction of fuzzy sets: analysis and design, MIT Press, Cambridge, USA, 1998. Schaffer, J.D., Multiple objective optimization with vector evaluated genetic algorithms, Tese de doutorado, Vanderbilt University, 1984. Schittkowski, K., More test examples for nonlinear programming codes, vol. 282 of Lecture notes and mathematical systems, Springer-Verlag, 1987. Wang, S. e Zhu, S.(2002), On fuzzy portfolio selection problems, Fuzzy Optimization and Decision Making, 1, 361-377. Wolfe, P.(1959), The simplex method for quadratic programming, Econometrica, 27, 382-398. Zadeh, L.A.(1965), Fuzzy sets, Information and Control, 8, 338-353. Zadeh, L.A.(1978), Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility, Fuzzy sets and systems, 1(1), 3-28.


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