programacao linear - uninove

CENTRO UNIVERSITRIO NOVE DE JULHO DISCIPLINA: PESQUISA OPERACIONAL PROF.: LUIS ANTONIO CCOPA YBARRA

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A PROGRAMAO LINEAR E O PROCESSO DE DECISO INTRODUO: A programao linear uma das muitas tcnicas analticas recentemente desenvolvidas que se tm mostrado teis na resoluo de certos tipos de problemas empresariais. Esses mtodos quantitativos de resoluo de problemas, como muitos aplicados na pesquisa operacional, so baseados em conceitos matemticos e estatsticos. Considerando que a programao linear seja um modelo, um mtodo apropriado de estudo seria estrutura-la dentro da estrutura mais extensa do processo de tomada de deciso administrativa. Objetivos para o estudo da programao linear : a) reconhecer os problemas que passveis de anlise pelo modelo; b) auxiliar o analista no estgio inicial da investigao; c) avaliar e interpretar inteligentemente os resultados; d) aplicar os resultados com a confiana que adquirida somente com a compreenso dos problemas e dos resultados envolvidos.

reas de aplicao da programao linear: a) problemas de alocao, ou seja, problemas envolvidos na alocao de recursos escassos entre fins alternativos, de acordo com algum critrio. b) Problemas complexos de alocao que no podem ser resolvidos satisfatoriamente com as tcnicas analticas convencionais. Alguns exemplos de problemas de alocao: a) determinao dos produtos a serem fabricados, a composio da produo, planejada levando em considerao a demanda esperada, a adequabilidade e as capacidades da produo e facilidades de distribuio, as diretrizes administrativas, tais como a poltica sobre os produtos levados at o trmino da linha de produo. Com o objetivo de maximizar os lucros. b) Problemas de mistura ou combinao de ingredientes utilizados na fabricao dos produtos, tendo em vista a disponibilidade e os custos relativos dos ingredientes, qual a combinao que resultar no custo mnimo de material por unidade do produto final? c) Programao da produo e planejamento de estoque, procura-se qual o programa de produo e quais os nveis planejados de estoque durante o prximo perodo planejado que satisfaro demanda esperada e tambm resultaro em custo mnimo? d) Alimentao das mquinas, pergunta-se quais alocaes de capacidade da mquina disponvel s sries de ordens que resultaro no custo mnimo? e) Problemas de transporte e distribuio fsica, pergunta-se qual o plano fsico de distribuio que estar tanto dentro das restries de capacidade como da


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demanda e que ao mesmo tempo minimize os custos de produo e de distribuio durante o perodo de planejamento.

MTODOS DE PROGRAMAO LINEAR Os procedimentos de clculo matemtico de programao linear dependem em parte de vrios mtodos de programao adotados em determinado problema. O caso bsico, ou geral, chamado MTODO SIMPLEX, porque baseado no algoritmo simplex. Certos tipos de problemas de alocao podem ser resolvidos pelas verses especiais, menos complexas, do mtodo Simplex, conhecidas como mtodos Grficos e de Transporte.

FORMULAO DE MODELOS DE PROGRAMAO LINEAR

Quando da anlise de um problema, tentando enquadra-lo em um modelo de programao linear fundamental que se consiga distinguir, de um lado, quais so as variveis fora do controle do analista, ou parmetros, cujos valores j esto fixados, e, de outro, quais so as variveis de deciso, ou seja, aquelas cujo valor se quer conhecer. A soluo de um modelo dar exatamente o valor dessas variveis de deciso. As variveis de deciso compem tanto a funo objetivo como as restries e so em geral designadas por letras como x, y, z, etc., ou por uma letra indexada como x1, x2, etc. A funo objetivo uma expresso onde cada varivel de deciso ponderada por algum parmetro ( como por exemplo lucro unitrio).

EXEMPLO DE FORMULAO : MAXIMIZAO Consideremos o caso da indstria de mveis Freso, que ilustra um problema de composio de produto. A Freso produz, entre outros artigos, dois tipos de conjunto para sala de jantar: o conjunto Beatrice e o conjunto Anamaria. A Freso est preparando sua programao semanal de produo para os dois conjuntos. Sabe-se que, embora no haja restries no tocante demanda do conjunto Beatrice (dentro das limitaes de produo atuais) para o conjunto Anamaria dificilmente a demanda semanal ultrapassar 8 unidades. A fabricao dos dois conjuntos dividida em dois grandes blocos de operaes: Preparao( consistindo do corte da madeira e preparao para montagem) e Acabamento ( consistindo da montagem dos conjuntos e acabamento final). Em face dos outros produtos existentes, a Freso no poder alocar mais de 100 horas para a preparao e 108 horas para o acabamento durante a semana. O conjunto Beatrice


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exige 5 horas para a preparao e 9 horas para o acabamento, enquanto que para o conjunto Anamaria esses nmeros so de 10 e 6 horas respectivamente. A Freso deve decidir quantas unidades de cada conjunto devem ser fabricadas, levando em conta que o conjunto Beatrice fornece um lucro unitrio de R$ 4000,00 enquanto que para o conjunto Anamaria o lucro unitrio de R$ 5000,00.

SOLUO Na formulao de modelos de programao linear, bastante til reunirmos os dados em uma tabela, de modo que se recorra a todo momento ao enunciado do problema, no caso da Freso, a maioria dos dados relevantes esto na tabela abaixo: conjunto Beatrice Anamaria Horas preparao 5 10 Horas acabamento 9 6 Demanda mxima No h 8 Lucro unitrio R$ 4000,00 R$ 5000,00

As variveis de deciso esto claras no enunciado. Deseja-se saber quantas unidades de cada conjunto devem ser produzidas. Chamemos de: X = nmero de unidades do conjunto Beatrice Y = nmero de unidades do conjunto Anamaria O estabelecimento da funo objetivo vem a seguir. Como cada unidade de conjunto Anamaria contribui com R$ 4000,00 de lucro, contra R$ 5000,00 de cada conjunto Anamaria, o lucro total derivado de X unidades do primeiro conjunto e Y unidades do segundo conjunto ser dado por: 4000x + 5000y Expresso esta que desejamos maximizar Seguindo este raciocnio semelhante, podemos montar as restries. O nmero total de horas de preparao que se gastar para os dois conjuntos 5x + 10 y que no pode ser maior que o mximo de 100 horas que esto disponveis para a preparao logo, a primeira restrio fica 5x + 10y < 100


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para o acabamento, a restrio ser escrita como 9x + 6y < 108 a ltima restrio diz respeito demanda mxima dos conjuntos Anamaria, que no pode ultrapassar a 8 unidades semanais y < 8

finalmente, todo problema de programao linear possui as chamadas condies de no negatividade, segundo as quais as variveis de deciso s podem assumir valores positivos ou nulos: x > 0 y> 0

repare que no teria sentido algum em se pensar num nmero negativo de qualquer um dos dois conjuntos em questo. Alis, a maioria dos programas de computador disponveis para a programao linear assume automaticamente as condies de no negatividade, no havendo necessidade de incorpora-las aos dados de entrada na mquina. Resumindo, o problema da indstria de mveis Freso, formulado completamente segundo um modelo de programao linear o seguinte; Maximizar 4000x + 5000y Sujeito a 5x + 10y 0 y > 0 o problema da indstria Freso admite como soluo x = 8 e y = 6, levando a um valor mximo da funo objetivo de 4000 (8) + 5000 (6) = R$ 62.000,00

se os valores x = 8 e y = 6 forem substitudos nas restries, veremos que as horas de preparao e acabamento so totalmente esgotadas pela produo. Ao se tentar outros valores de x e y verifica-se que sempre conduzem a uma valor da funo objetivo menor que R$ 62.000,00.


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OBSERVAO: Embora parea desnecessrio escrever 1y < 8 e no simplesmente y < 8, que tambm est correto, conveniente que acostumemos a colocar coeficiente 1 ou mesmo 0 (zero, correspondente a uma varivel que no comparea numa expresso) dado que isso ser de muita utilidade quando da soluo dos problemas pelo algoritmo simplex, que ser visto brevemente.

EXEMPLO DE FORMULAO: MINIMIZAO A ABORDAGEM essencialmente a mesma que em problemas de maximizao, pelo que aproveitaremos a oportunidade para apresentar um problema de formulao um pouco mais complexa. Consideremos o caso do Senferro A e do Senferro Extra, que so os nomes comerciais de dois lquidos antiferruginosos produzidos pela ABC Qumica Industrial Ltda. Os dois lquidos so obtidos pela adio, em propores diferentes, de dois lquidos denominados de HPO 33 e B 45 que so adquiridos de outros fornecedores pela ABC. As propores, todas em volume, so as seguintes: Senferro A : 7 partes de HPO 33 para 5 partes do B 45 Senferro Extra: 4 partes de HPO 33 para 8 partes do B45

A ABC deseja programar a sua produo para o ms seguinte . como os dois produtos Senferro A e Senferro Extra tm encontrado uma excelente aceitao no mercado servido pela ABC, esta espera que dever vender pelo menos 7000 litros do Senferro A e 3200 litros do Senferro Extra. Como estes produtos so colocados no mercado juntamente com outros da ABC, considera-se importante para a imagem da empresa que a demanda seja atendida to bem quanto possvel. Por outro lado, a aquisio dos componentes BPO 33 e B45 acostuma gerar alguns problemas de caixa para a ABC, dado que os fornecedores exigem pagamento vista, enquanto que a ABC costuma dar 10 dias para os clientes. A alternativa para a ABC ento a de minimizar o investimento feito na compra do HPO 33 e do B45, que custam respectivamente R$ 400,00 e R$ 200,00 o litro. Existe uma clusula adicional com o fornecedor do HPO 33, segundo a qual a abc no pode adquirir menos que 200 litros desse componente a cada compra.


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SOLUO Organizao dos dados do problema Propores Senferro A Senferro Extra 7 4 5 8

Componente HPO 33 B 45

Compra mnima 200 No h

Custo unitrio R$ 400 R$ 200

claro que as quantidades a adquirir dos componentes HPO 33 e B 45 so variveis de deciso, no menos importante, de se observar que, como esses componentes entram com propores diferentes nos dois produtos Senferro A e Senferro Extra. Assim, teremos que trabalhar com 4 variveis para efeito de elaborao do modelo: x1 = quantidade de HPO 33 a ser usada no Senferro A x2 = quantidade de HPO 33 a ser usada no Senferro Extra y1=

quantidade de B 45 a ser usada no Senferro A

y2 = quantidade de B 45 a ser usada no Senferro Extra fica claro que, se determinados os valores das variveis acima, basta tomar (x1+

x2 ) como a quantidade de HPO 33 a comprar

enquanto que, (y1+

y2 ) ser a quantidade de B 45.

Como cada unidade de HPO 33 contribui com R$ 400 para o custo Enquanto que cada unidade de B 45 contribui com R$ 200 para o custo Independentemente de serem usadas em um ou outro produto, A funo objetivo fica: Minimizar 400 x1 + 400 x2 + 200 y1 + 200 y2 A primeira restrio a considerar o atendimento da demanda mnima da Senferro A, que de 7000 litros.


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Supondo que as condies de linearidade prevaleam, quando se misturam os dois componentes a quantidade final de Senferro A simplesmente a soma das quantidades isoladas dos componentes. A primeira restrio fica: x1 + y1 > 7000 o mesmo raciocnio vale para a restrio referente ao Senferro Extra, cuja demanda mnima de 3200 litros : A segunda restrio fica:

x2 + y2 > 3200

A terceira restrio diz respeito compra mnima do componente HPO 33, que deve ser de 200 litros x1 + x 2 > 200 h ainda duas restries, que dizem respeito s propores que devem manter entre si os dois componentes na composio dos dois produtos. Na mistura para a obteno do Senferro A , a proporo entre o HPO 33 e o B 45 deve ser 7:5 x1 y1 = 7 5

como de costume que todas as variveis estejam alinhadas, e que o lado direito das restries seja sempre um nmero, pode-se reescrever a restrio como 5 x1 - 7 y1 = 0 na obteno do Senferro Extra, as propores so de 4:8 para HPO 33 e B 45

x2 = 4 y2 8 8 x2 - 4 y2 = 0


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sem esquecer as condies de no negatividade, finalmente: x1 > 0, x2 > 0, y1 > 0, y2 > 0

resumindo, o modelo completo (colocando coeficientes iguais a 1 e zero para que todas as restries contenham todas as variveis) temos: minimizar 400 x1 + 400 x2 + 200 y1 + 200 y2 sujeito a: 1 x1 + 0 x2 + 1 y1 + 0 y2 > 7000 0 x1 + 1 x2 + 0 y1 + 1 y2 > 3200

1 x1 + 1 x2 + 0 y1 + 0 y2 > 200 5 x1 + 0 x2 - 7 y1 + 0 y2 > 0 0 x1 + 8 x2 + 0 y1 - 4 y2 > 0 x1 > 0 y1 > 0 x2 > 0 y2 > 0

o problema completo tem, portanto 4 variveis e 5 restries. No h a necessidade de se colocar os coeficientes das variveis nas condies de no negatividade, pois no comporo no alogaritmo de soluo, embora sejam condio obrigatria. Novamente para no se deixar em aberto quaisquer dvidas, segue a soluo: x1 = 4.983,3 litros x2 = 1.066,7 litros y1 = 2.916,7 litros y2 = 2.133 litros total B 45 = y1 + y2 = 5.050 litros total HPO 33 = x1 + x2 = 6.050 litros

o investimento mnimo ser nesse caso de R$ 3.070.000,00. Todas as restries so rigorosamente obedecidas.


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SOLUO GRFICA: PROBLEMA DE MAXIMIZAO Retornemos ao problema da Indstria de Mveis Freso, que consistia em determinar quantas unidades dos conjuntos Beatrice e Anamaria deveriam ser programadas de forma a maximizar o lucro. Como se recorda, a formulao completa era a seguinte: Maxinizar 4000 x + 5000 y Sujeito a 5x + 10 y < 100 9 x + 6 y < 108 1y < 8 x>0,y > 0 a soluo grfica exige que tomemos dois eixos ortogonais, cada um dos quais ir representar os valores de uma das variveis, no caso tomaremos o eixo horizontal para a varivel x e o eixo vertical para a varivel y. a seguir todas as restries devem ser representadas no plano xy. Vejamos a primeira restrio A expresso 5 x + 10 y representa o nmero total de horas de preparao que os dois conjuntos iro ocupar. obrigatrio que essa no ultrapasse a 100 horas, que o mximo disponvel. Suponha por um momento que a soma 5 x + 10 y ocupasse exatamente as 100 horas disponveis, ou seja, 5 x + 10 y = 100 essa igualdade apenas a equao de uma reta, que pode ser determinada no plano se soubermos as coordenadas de dois dos seus pontos. Tradicionalmente, escolhem-se os pontos (0,y) e (0,x) ou seja, os pontos onde a reta encontra os eixos x e y . Se x = 0 ento 5 (0) + 10 y = 100 e y = 10. Se y = o ento 5 x + 10 (0) = 100 e x = 20. A reta resultante encontra-se na figura abaixo: ( restrio de horas de preparao ) nmero de conjuntos Anamaria (y)18 16 14 12 10 8 6 4 zona permissvel 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Nmero de conjuntos Beatrice (x)


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Ao longo da reta, teremos todas as combinaes possveis de valores de x e de y tal que 5 x + 10 y = 100 assim, por exemplo se x = 6 teremos 5 (6) + 10 y = 100 ou y = 7. A regio compreendida entre a reta e os eixos tambm obedece restrio 5 x + 10 y < 100, logo a restrio pode ser representada pela rea compreendida entre a reta e os eixos, includa a prpria reta para o caso de igualdade 5 x + 10 y = 100. A essa rea que aparece no grfico, denominamos de zona permissvel pela restrio do nmero de horas disponveis de preparao . A rea limitada pelos eixos porque valem as condies de no negatividade. Qualquer ponto fora da zona permissvel ( como por exemplo o ponto onde x = 10 e y = 14 ) no ser uma soluo possvel para o problema.

A restrio seguinte diz respeito ao nmero mximo disponvel de horas para acabamento 9 x + 6 y < 108 tomando novamente a igualdade, a reta resultante cortar os eixos nos pontos (0,8) e (12,0) como mostrado no grfico . a regio admissvel novamente est compreendida entre a reta e os dois eixos, sendo a prpria reta o limite, valendo pela igualdade citada. ( Restrio de horas de acabamento )

nmero de conjuntos Anamaria (y)18 16 14 12 10 8 6 4 zona permissvel 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Nmero de conjuntos Beatrice (x) Finalmente a ltima restrio estabelece que o nmero mximo de conjuntos Anamaria que pode ser fabricado igual a 8 , ou seja: 1y < 8


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O grfico a seguir mostrar a reta que responde pela igualdade. Ela paralela ao eixo, delimitando uma regio permissvel que no tem limites para a direita, indicando que para qualquer nmero de conjuntos Beatrice que se queira, o nmero de conjuntos Anamaria jamais ultrapassa a 8. (Restrio : conjuntos Anamaria) nmero de conjuntos Anamaria (y)18 16 14 12 10 8 6 4 zona permissvel 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Nmero de conjuntos Beatrice (x)

Os pontos A, B, C, e D so chamados PONTOS EXTREMOS da regio possvel, que nesse caso finita e delimitada pelas arestas do polgono ABCDE. No difcil determinar as coordenas desses pontos extremos. Os pontos A, B, e E, por sua localizao especial , tm coordenadas imediatas.


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A ( x = 0, y = 0 ) ( origem dos eixos ) B ( x = 12, y = 0 ) E ( x = 0,y = 8 ) Os pontos C e D podem ser determinados diretamente por inspeo visual no grfico, se ele estiver suficientemente claro, no caso em pauta, distingue-se que as coordenadas desses pontos so: C = ( X = 8,Y = 6 ) D ( X = 4, Y = 8 ) Se o grfico no estiver traado em perfeita escala ou se a leitura indica nmeros fracionrios, conveniente determinar-se as coordenadas por meio analticos. Vejamos como isso feito com os pontos C e D. Para determinar o ponto C, nota-se que ele o ponto de interseco das retas limite das restries referentes s horas de preparao e de acabamento, ou seja, a interseco de 5 x + 10 y = 100 (I) 9 x + 6 y = 108 (II) Uma combinao linear adequada entre as duas equaes permitir obter uma das variveis, cujo valor poder ser ento, substitudo em qualquer uma das equaes originais para dar o valor da outra varivel restante. Multiplicando-se a equao (I) por 3, a equao (II) p 5 e subtraindo a (II) da (I) vem que 15 x + 30 y = 300 (-) 45 x + 30 y = 540 __________________ - 30 x + 0 = - 240 de onde se conclui que x =8 que substitudo na equao (I) fornece 5 (8) + 10 y = 100 10 y = 100 40 = 60

y=6 semelhantemente, o ponto D o encontro das retas limite das restries do nmero mximo de horas disponveis de preparao e do nmero mximo de conjuntos Anamaria. 5 x + 10 y = 100


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1y=8 o que fornece imediatamente x = 4 embora tenhamos no momento uma regio permissvel para a soluo do problema e conheamos as coordenadas dos pontos limites dessa regio, ainda no temos a soluo propriamente dita. Acontece que os pontos extremos da regio permissvel guardam uma importantssima propriedade: A soluo tima encontra-se em um dos pontos extremos para descobrir qual o ponto que nos fornece a soluo tima, basta substituirmos as coordenadas de todos os pontos extremos na funo objetivo, como mostrado em seguida: PONTO Funo objetivo ( 4000 x + 5000 y) _________________________________________________________________________ __ A B C D E 0 12 8 4 0 0 0 6 8 8 0 48000 32000 16000 0 0 0 30000 40000 40000 0 48000 62000 56000 40000 x y 4000 x 5000 y

A soluo tima encontra-se, portanto, no ponto C , fornecendo um valor de R$ 62.000,00 para a FUNO OBJETIVO. Corresponde a fabricar 8 conjuntos Beatrice e 6 conjuntos Anamaria. H uma outra forma de se determinar o ponto C como SOLUO TIMA. A funo objetivo 4000 x + 5000 y define uma famlia de retas no plano xy. Atribuindo um valor arbitrrio funo poderemos encontrar a reta correspondente, analogamente ao que fizemos com as restries. Atribuindo a 4000 x + 5000 y, por exemplo, o valor 20.000 ( mltiplo de 4000 e 5000, para facilitar os clculos) define-se a reta que passa pelos pontos ( 0,4) e (5,0) , como se mostra no grfico:


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Se a reta for movida paralelamente a si mesma, para a direita, o ltimo ponto da regio permissvel que ela tangenciar ser o ponto C. O grfico tambm mostra um movimento intermedirio, correspondente a um valor 40.000 para a funo objetivo. Observe que ao mover a reta para a direita, paralelamente a si mesma, significa atribuir valores cada vez maiores funo objetivo. Como o ponto C o ltimo ponto da tangncia da regio possvel, a ele corresponder a soluo (x = 8 e y = 6 ) que maximiza a funo objetivo.

SOLUO GRFICA: PROBLEMA DE MINIMIZAO O tratamento anlogo ao caso de problemas de maximizao: as restries so delimitadas por retas, definindo-se as regies permissveis. A combinao dessas regies dar a regio final, comum a todas as restries. A soluo estar ento, em um dos pontos extremos. Como se recorda, o problema da ABC Qumica Industrial Ltda. Tinha 4 variveis, de forma que no podemos toma-lo como exemplo. Consideremos ento, o modelo abaixo. Minimizar 4 x + 4 y Sujeito a 2 x + 1 y > 10 1x+2y > 8 1y < 6


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transformando as desigualdades em igualdades, delimita-se a regio comum mostrada no grfico abaixo:

As regies permissveis ficam a gora direita das retas limite traadas para as restries 2 x + 1 y > 10 e 1 x + 2 y > 8, em quanto que a regio permissvel para a restrio 1 y < 6 localiza-se entre a reta 1 y = 6 e o eixo da varivel x, limitando-se esquerda pelo eixo da varivel y. a regio comum permissvel limitada direita e os pontos extremos resumem-se a A, B e C, cujas coordenadas, so as seguintes: A ( x = 8 y = 0) B(x=4y=2) C(x=2y=6)

A tabela abaixo, semelhante que construmos de maximizao, mostra que a soluo timo encontra-se no ponto B, com a funo objetivo assumindo seu valor mnimo de 24. PONTO A B C x 8 4 2 y 0 2 6 4x 32 16 8 4y 0 8 24 funo objetivo (4x+4y) 32 24 32


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Podemos tambm determinar a soluo tima construindo as retas derivadas da funo objetivo dando valores expresso 4 x + 4 y, como mostra o grfico abaixo

no grfico foram dados os valores 40, 32 e 24, este ltimo corresponde ao valor mnimo da funo objetivo e portanto, tangenciando o ponto B. Repare que agora devemos mover as retas derivadas da funo objetivo para a esquerda, at encontrar o ponto extremo.


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O PROBLEMA GERAL DA ALOCAO LINEAR FONTE PESQUISA OPERACIONAL Russell L. ACKOFF Maurice W. Sasieni

INTRODUO Convm lembrar que o problema de alocao envolve recursos e tarefas expressos em diferentes tipos de unidades. Consideremos que uma fbrica produz n produtos diferentes, nas quantidades x 1 , x 2 , ..., x n , empregando diversas combinaes de m mquinas diferentes. Cada unidade do produto j consome ai j unidades de tempo da mquina i ( j = 1, 2, ..., n; i = 1, 2, ..., m ). A mesma operao pode requerer mais tempo numa mquina ( por exemplo, uma mquina mais velha) do que noutra ( mais nova). A quantidade total de tempo disponvel na mquina i b , por perodo de programao. Finalmente, o lucro com cada unidade do produto j que se vende cj Esta situao est representada na tabela 1. TABELA 1 NMERO DE UNIDADES DE TEMPO NECESSRIAS PARA PRODUZIR UMA UNIDADE DE CADA PRODUTO

PRODUTO j= 2 ... a12 a22 . . . . . . am 1 a m2 c1 c2 1 a11 a21 n ... ... . . . ... ...

NMERO DE HORAS DISPONVEIS/PERODO DE PROGRAMAO a1 n a2 n . . . am n cn b1 b2 . . . bm

MQUINAS

i=

1 2 . . . m

LUCRO/UNIDADE


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Este problema, como muitos problemas de distribuio , pode ser expresso como a maximizao de uma funo linear sujeita a restries expressas em desigualdades lineares.

EXEMPLO NUMRICO Consideremos um exemplo numrico muito simples. Uma pequena fbrica produz dois tipos de peas para automveis. A fbrica compra unidades fundidas que so torneadas, furadas e retificadas. Os dados relativos produo esto na tabela 2. TABELA 2 CAPACIDADES PEA A Capacidade De Torneamento 25 por hora Capacidade De Furao 28 por hora Capacidade De Retificao 35 por hora

PEA B 40 por hora 35 por hora 25 por hora

As unidades para o tipo A custam R$ 2 cada; para o tipo B custam R$ 3 cada. O preo de venda de R$ 5 e R$ 6, respectivamente. As trs mquinas tm custos operacionais de R$ 20, R$ 14 e R$ 17 por hora. Supondo que qualquer combinao dos tipos A e B possa ser posta venda, qual o plano de produo que maximiza o lucro? A primeira etapa consistir em calcular o lucro por pea, o que est feito na tabela 3. TABELA 3 CUSTOS E LUCRO POR PEA PECA A TORNEAMENTO 20/25 = 0,80 FURAO 14/28 = 0,50 RETIFICAO 17,50/35 = 0,50 COMPRA 2,00 CUSTO TOTAL PREO DE VENDA LUCRO 3,80 5,00 1,20

PEA B 20/40 = 0,50 14/35 = 0,40 17,50/25 = 0,70 3,00 4,60 6,00 1,40

Dos resultados obtidos apresentados, conclui-se que se produzirmos em mdia x peas do tipo A e y peas do tipo B por hora, nosso lucro lquido ser

Z = 1,20 x + 1,40 y.


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Como os valores negativos de x e y no tm sentido devemos ter x > 0, x > 0 no podemos escolher x e y vontade uma vez que temos de respeitar os limites de capacidade, que nos conduzem aos seguintes resultados:

Torneamento

x + y 25 40

< 1

Furao

x + y 28 35

< 1

Retificao

x + y 35 25

< 1

Eliminando os denominadores, obtemos: Torneamento 40 x + 25 y < 1.000

Furao

35 x + 28 y

< 980

Retificao

25 x + 35 y

< 875

Quando representamos graficamente a equao 40 x + 25 y = 1.000, obtemos uma reta que divide o plano em duas regies (tabela 1). Na regio que contm a origem, 40 x + 25 y < 1.000; na outra regio, 40 x + 25 y > 1.000. As duas outras desigualdades que aparecem na tabela 3, dividem o plano de modo semelhante. Assim, se encararmos nossa deciso sobre os valores de x e y como equivalendo a escolher um ponto no plano, vemos que o ponto deve estar no interior ou no limite da regio OABC. Como a reta 35 x + 28 y = 980 est fora desta regio, a restrio relativa capacidade de furao redundante.


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Em outras palavras, qualquer combinao de x e y que satisfaa s restries de torneamento e retificao estar, automaticamente, dentro do limite da capacidade de furao. A propriedade fundamental que nos permite resolver o problema garante que o ponto (x,y) para o qual os lucros atingem seu valor mximo tem que coincidir com um dos vrtices de OABC. muito fcil, portanto, verificar que os possveis valores maximizantes so: O (0,0) A (0,25) B (16,93, 12,90) C (25,0) Os lucros correspondentes so: ZO = 0, ZA = 35, ZB = 38,39 ZC = 30 De modo que o melhor plano de produo 16,93 de A por hora e 12,90 de B por hora. Estes valores devem ser representados com taxas mdias.

50 40 40 x + 25 y = 1000 30 35 x + 28 y = 980 A 20 B 10 O 10 20 C 30 40 25 x + 35 y = 875

Provavelmente poderamos produzir a Pea A durante vrias horas (ou mesmo dias) e depois produzir a Pea B durante vrias horas. Tudo o que preciso maximizar os lucros manter as quantidades produzidas na proporo de 16,93 para 12,90.


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Programao Linear

Fonte: Pesquisa Operacional Ermes Medeiros da Silva Elio Medeiros da Silva Valter Gonalves Afrnio Carlos Murolo Modelo em Programao Linear Uma das tcnicas mais utilizadas na abordagem de problemas de Pesquisa Operacional a programao linear. A simplicidade do modelo envolvido e a disponibilidade de uma tcnica de soluo programvel em computador facilitam sua aplicao. As aplicaes mais conhecidas so feitas em sistemas estruturados, como os de produo, finanas, controles de estoques, etc.

O modelo matemtico de programao linear composto de uma funo objetivo; e de restries tcnicas representadas por um grupo de inequaes tambm lineares.

Exemplo: Funo objetivo a ser maximizada: Lucro = 2x 1 + 3x2

TCNICAS RESTRIES

4x1 + 3x2 < 10 6x1 - 3x2 > 20 x1 > 0

DE NO NEGATIVIDADE

x2 > 0

As variveis controladas ou variveis de deciso so x 1 e x2 A funo objetivo ou funo e eficincia mede o desempenho do sistema, no caso a capacidade de gerar lucro, para cada soluo apresentada. O objetivo maximizar o lucro.


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As restries garantem que essas solues esto de acordo com as limitaes tcnicas impostas pelo sistema. As duas ltimas restries exigem a no negatividade das variveis de deciso, o que dever acontecer sempre que a tcnica de abordagem for a de programao linear. A construo do modelo matemtico, no caso um modelo linear, a parte mais complicada de nosso estudo. No h regra fixa para esse trabalho, mas podemos sugerir um roteiro que ajuda a ordenar o raciocnio.

Quais so as variveis de deciso? Aqui o trabalho consiste em explicitar as decises que devem ser tomadas e representar as possveis decises atravs de variveis chamadas variveis de deciso. Se o problema de programao de produo, as variveis de deciso so as quantidades a produzir no perodo, se for um problemas de programao de investimento, as variveis vo representar as decises de investimento, isto , quanto investir em cada oportunidade de investimento, e em que perodo. Nas descries sumrias de sistemas, isso fica claro quando lemos a questo proposta, ou seja, a pergunta do problema.

ROTEIRO Qual o objetivo?

Quais as restries?

Aqui devemos identificar o objetivo da tomada de deciso. Eles aparecem geralmente na forma de maximizao de lucros e receitas, minimizao de custos, perdas, etc. A funo objetivo a expresso que calcula o valor do objetivo( lucro, perda, receita, etc.) em funo das variveis de deciso.

Cada restrio imposta na descrio do sistema deve ser expressa como uma relao linear ( igualdade ou desigualdade ), montadas com as variveis de deciso.


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Exemplo 1

Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitrio do produto P1 de 1000 unidades monetrias e o lucro unitrio de P2 de 1800 unidades monetrias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produo disponvel para isso de 1200 horas. A demanda esperada para cada produto de 40 unidades anuais para P1 e 30 unidades anuais para P2. Qual o plano de produo para que a empresa maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programao linear para esse caso.

Soluo:

a) quais as variveis de deciso? O que deve ser decidido o plano de produo, isto , quais as quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2. Portanto, as variveis de deciso sero x1 e x 2 x1 x2 quantidade anual a produzir de P1

quantidade anual a produzir de P2

b) qual o objetivo?

O objetivo maximizar o lucro, que pode ser calculado: Lucro devido a P1: 1000 . x1 ( lucro por unidade de P1 x quantidade produzida de P1) Lucro devido a P2: 1800 . x2 ( lucro por unidade de P2 x quantidade produzida de P2) Lucro total: L= 1000x1 + 1800x2


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c) quais as restries? As restries impostas pelo sistema so: disponibilidade de horas para a produo: 1200 horas. Horas ocupadas com P1: 20x1 (uso por unidade x quantidade produzida) Horas ocupadas com P2: 30x2 (uso por unidade x quantidade produzida) Total em horas ocupadas na produo: 20 x1 + 30 x2 Disponibilidade: 1200 horas. Restrio descritiva da situao: 20 x1 + 30 2 < 1200. Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda)

-

-

Disponibilidade para P1: 40 unidades Quantidade a produzir de P1: x1 Restrio descritiva da situao: x1 < 40 Disponibilidade para P2: 30 unidades. Quantidade a produzir de P2: x2 Restrio descritiva da situao: x2 < 30

-

Resumo do modelo : Max L = 1000x1 + 1800x2 Sujeito a: Restries tcnicas : 20 x1 + 30x2 < 1200 x1 < 40 x2 < 30

Restries de no negatividade: x1 > 0 x2 > 0


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Exemplo 2: Para uma boa alimentao, o corpo necessita de vitaminas e protenas. A necessidade mnima de vitaminas de 32 unidades por dia e a de protenas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponvel carne e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contm 4 unidades de vitaminas e 6 unidades de protenas. Cada unidade de ovo contm 8 unidades de vitaminas e 6 unidades de protenas. Qual a quantidade diria de carne e ovos que deve ser consumida para suprir as necessidades de vitaminas e protenas com o menor custo possvel? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetrias e cada unidade de ovo custa 2,5 unidades monetrias.

Soluo: a) quais so as variveis de deciso? Devemos decidir quais as quantidades de carne e ovos que a pessoa deve consumir no dia.. as variveis de deciso sero, portanto:

x1 x2

quantidade de carne a consumir no dia quantidade de ovos a consumir no dia

b) qual o objetivo? O objetivo minimizar o custo, que pode ser calculado: Custo devido carne: 3 . x1 (custo por unidade x quantidade a consumir de carne) Custo devido aos ovos: 2,5 . x2 (custo por unidade x quantidade s consumir de ovos) Custo total : C = 3x1 + 2,5x2 Objetivo: minimizar C = 3x1 + 2,5x2


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c) quais as restries? As restries impostas pelo sistema so: necessidade mnima de vitamina : 32 unidades vitamina de carne: 4 . x1 ( quantidade por unidade x unidades de carne a consumir) vitamina de ovos: 8 . x2 (quantidade por unidade x unidade de ovos a consumir) total de vitaminas : 4x1 + 8 x2 necessidade mnima : 32 restrio descritiva da situao: 4x1 + 8 x2 > 32 necessidade mnima de protenas: 36 unidades protena de carne: 6 . x1 (quantidade por unidade x quantidade de carne a consumir) protena de ovos : 6 . x2 ( quantidade por unidade x quantidade de ovos a consumir) total de protenas: 6x1 + 6x2 necessidade mnima: 36 restrio descritiva da situao: 6x1 + 6x2 > 36

-

Resumo do modelo: min C = 3x1 + 2,5x2 Sujeito a:

Restries tcnicas: 4x1 + 8x2 > 32 6x1 + 6x2 > 36

Restries de no negatividade: x1 > 0 x2 > 0


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FORMULAO E ANLISE DE MODELOS MODELAGEM DE PROBLEMAS GERENCIAIS

O MODELO NO PROCESSO DE DECISO Para se chegar a uma Deciso, a pessoa toma contato com o problema (percepo), procura focaliza-lo bem como em termos de escopo, importncia, valor, conseqncias da ao ou da inao, cria alternativas para a soluo, estabelece um critrio para seleo de uma alternativa, avalia as alternativas e chega a uma concluso final.RECONHECIMENTO DO PROBLEMA CRIAO DE ALTERNATIVAS AVALIAO DAS ALTERNATIVAS

PERCEPO DECISO

CRITRIOS FACILIDADES QUE OS MODELOS FORNECEM: 1) 2) 3) 4) visualizao da estrutura do sistema real em anlise; representao das informaes e suas inter-relaes; sistemtica de anlise e avaliao do valor de cada alternativa; instrumento de comunicao e discusso com outras pessoas.

NECESSIDADE DE UM MODELO FORMAL A partir de um certo nvel de complexidade, torna-se quase impossvel estimar corretamente as implicaes de uma deciso sem avaliar corretamente a informao disponvel, numa forma lgica e ordenada. Em qualquer situao que exija uma deciso, o passo fundamental para compreender a natureza do problema a identificao de todos os fatores envolvidos, que fornecem elementos para a anlise e concluso. No processo de construo de um modelo, esses fatores so chamados VARIVEIS do problema, tendo em vista que usualmente podem assumir valores diversos durante o desenvolvimento da soluo.


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As variveis de um modelo de um problema de deciso podem ser classificadas em trs categorias: - variveis de deciso - variveis controlveis ou endgenas - variveis no controlveis ou exgenas VARIVEIS DE DECISO So aquelas que foram definidas pelo analista como fornecedoras das informaes que serviro de base para o gerente chegar deciso. Assim , por exemplo, se o problema em questo for aplicar dinheiro em um projeto de expanso de uma fbrica para obter o mximo retorno , uma varivel de deciso poder ser a taxa de retorno de cada alternativa do projeto e de localizao. VARIVEL CONTROLVEL OU ENDGENA uma varivel gerada pelo prprio modelo, durante o processo de soluo, sendo dependente dos dados fornecidos, das hipteses estabelecidas e da prpria estrutura do modelo. A varivel de deciso , sem dvida, uma varivel controlvel especial por indicar deciso. No exemplo acima, uma varivel controlvel, fornecida pelo modelo de clculo da taxa de uma alternativa, o valor final do investimento aps o perodo considerado. VARIVEIS NO CONTROLVEIS OU EXGENAS so fatores ou dados externos fornecidos ao modelo e que representam as hipteses assumidas ou as condies que devem ser respeitadas. No exemplo do investimento em um projeto de expanso, uma varivel no controlvel a projeo de consumo do produto da fbrica. TIPOS DE MODELOS Dependendo da forma como o processo de deciso abordado pelo analista e da prpria natureza da deciso, podemos identificar diversos tipos de modelo, tais como: modelos conceituais relacionam de forma seqencial e lgica as informaes e as fases do processo de deciso, de forma a permitir o desenvolvimento controlado e consistente com os objetivos em mente. modelos simblicos ou matemticos so baseados na pressuposio de que todas as informaes e variveis relevantes do problema de deciso podem ser quantificadas. Isso leva a utilizar smbolos matemticos para representalas e a usar funes matemticas para descrever as ligaes entre elas e a modelos heursticos so construdos quando a complexidade do problema de tal ordem que a utilizao de relaes matemticas torna-se impraticvel ou extremamente dispendiosa. O esforo de construir o modelo no seria compensado pelos benefcios conseguidos no


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operao do sistema.

processo de deciso. Esses modelos so baseados em regras empricas ou intuitivas que, dada determinada soluo do problema, permitem o avano para outra soluo mais aprimorada.

MODELOS MATEMTICOS Esto divididos em dois grandes tipos: MODELOS DE SIMULAO procuram oferecer uma representao real com o objetivo de permitir a gerao e anlise de alternativas, dando ao analista um considervel grau de flexibilidade com relao escolha da ao mais conveniente. MODELOS DE OTIMIZAO no permite flexibilidade na escolha da alternativa, tendo em vista que estruturado para selecionar uma nica alternativa, que ser considerada tima, segundo o critrio do analista. Seu critrio faz parte da estrutura do modelo que encontra a melhor alternativa atravs de uma anlise matemtica.

CONSTRUO DOS MODELOS DE SIMULAO PROCEDIMENTOS PARA O DESENVOLVIMENTO Os passos bsicos so: B) definio do problema : isso feito da seguinte forma: especificar as informaes de que o executivo precisa; acentuar o procedimento do sistema que interessa mais de perto ao analista; identificar os tipos de questes que devem ser respondidas. C) Identificao das variveis relevantes; so variveis que representaro aspectos de interesse do sistema que foram identificadas no primeiro passo, e tambm, outras geradas dentro do modelo, para chegar soluo final. D) Formalizao das equaes do modelo : uma vez definido o conjunto de variveis significativas, as relaes entre elas devem ser formalmente escritas em termos matemticos. Essas relaes podem ser: definidas pela lgica do problema: RECEITA = VENDA X PREO UNITRIO; ou empricas , obtidas por tcnicas de estimao: LUCRO BRUTO = K.VOLUME DE VENDAS, onde o fator K estimado a partir de dados histricos. Equaes derivadas de outras variveis atravs de relaes algbricas.


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E) Codificao do modelo: geralmente os modelos so grandes e complexos e podendo ser programados para soluo por computadores. Como essa programao influencia o desempenho do modelo, esta fase deve ser realizada por especialistas no assunto, com o objetivo de se obter a melhor programao possvel. As planilhas eletrnicas tm sido utilizadas atualmente, alm de outros programas especialista. F) Teste do modelo: esta uma fase trabalhosa do processo e que deve ser realizada cuidadosamente. So realizados com o objetivo de ajustar o modelo ao que se espera dele e valid-lo de forma a promover sua aceitao. As vezes so aplicados dados passados para verificar se os resultados obtidos correspondem aos conseguidos na realidade. G) Aplicao do modelo : uma vez que tenha sido validado, pode ser utilizado para produzir respostas para as questes identificadas no passo 1. EXEMPLO DE MODELO DE SIMULAO A) DEFINIO DO PROBLEMA: Vamos imaginar uma empresa que vende um s produto e que deseja simular o lucro que poderia obter a partir de vrias hipteses de preo. Nesse caso, como queremos relacionar o preo com o lucro obtido, temos que examinar a relao entre preo e receita, considerando que o produto apresenta determinada elasticidade, ou seja, o preo e a demanda variam, em relao inversa. Por conseqncia, a receita tambm varia em funo do preo, porm numa relao no diretamente proporcional.

Quantidade vendida

50

100 preo

B) DEFINIO DAS VARIVEIS


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As seguintes variveis podem ser definidas para construo do modelo: 1) 2) 3) 4) PREO: o preo de venda de 1 queijo QUANT: a quantidade de queijo vendida em 1 ms. RECEITA: a receita total obtida com a venda do produto. LUCRO: lucro lquido obtido no ms.

C) MODELO Com base na relao : preo x demanda e na funo de demanda, podemos montar o modelo que simula o valor de LUCRO em funo do PREO pelo empresrio. Na forma matemtica, a funo de demanda pode ser escrita como: QUANT = 1000 10 x PREO esta a primeira equao de nosso modelo. D) Aplicao do modelo no processo de deciso Com esse modelo, ao variarmos o preo do produto, podemos verificar as variaes no lucro da empresa. medida que vamos variando o PREO do produto, vamos obtendo vrios valores para a varivel de deciso LUCRO, de forma a obtermos uma funo .

QUANT = 1000 10 x PREO

RECEITA = QUANT x PREO

CUSTO LUCRO = RECEITA - CUSTO

LUCRO

P1

P2

PREO

A VARIAO DO LUCRO EM FUNO DO PREO, O EXECUTIVO ESCOLHER O PREO NO INTERVALO ENTE P1 E P2 .


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OTIMIZAO E MOVIMENTAO PARA A POSIO TIMA CONSTRUO DOS MODELOS DE OTIMIZAO

PROCEDIMENTO PARA O DESENVOLVIMENTO Como os modelos de otimizao tm caractersticas diferentes com relao aos modelos de simulao, os passos que devem ser seguidos para o desenvolvimento so diferentes. B) DEFINIO DO PROBLEMA C) IDENTIFICAO DAS VARIVEIS RELEVANTES D) FORMULAO DA FUNO OBJETIVO: a funo objetivo reflete o critrio de otimizao das variveis de deciso e deve ser escrita na forma matemtica. E) FORMULAO DAS RESTRIES: em grande nmero de modelos de otimizao, as variveis so sujeitas a algumas restries, que devem ser escritas em forma matemtica. Da mesma forma, o relacionamento entre as variveis deve ser formulado matematicamente. F) ESCOLHA DO MTODO MATEMTICO DE SOLUO: a escolha do mtodo feita tendo em vista o tipo de modelo matemtico criado e as anlises e questes para as quais o modelo deve fornecer subsdios. G) APLICAO DO MTODO DE SOLUO: o mtodo de soluo simplesmente um exerccio matemtico que pode ser realizado manualmente ou por computador. H) AVALIAO DA SOLUO: uma vez obtida a soluo, ela deve ser avaliada, e se necessrio proceder correes, para incorporar novas restries, novas variveis ou novos critrios. Assim, uma estimativa do risco da deciso, deve ser conseguida atravs de uma anlise de sensibilidade ps-otimizao. EXEMPLO: A) DEFINIO DO PROBLEMA Vamos supor que a empresa do exemplo anterior queira estudar sua poltica de estocagem de forma a otimizar sua operao, reduzindo os custos incorridos. Aps um levantamento muito cuidadoso, o gerente teve condies de estimar que o custo anual de manter um item do produto em estoque era de $50. Esse custo foi obtido considerando o custo do capital empatado, o custo das instalaes, refrigerao, limpeza e seguros durante o ano e dividindo-se pelo nmero estimado de itens que comporo o estoque, no mesmo perodo. Vamos considerar aqui que esse nmero seja constante e igual 1000 por ano. Por outro lado, vamos considerar que o suprimento do produto seja feito em quantidades constantes a intervalos regulares. A colocao de cada encomenda tem custo fixo de $1000, incluindo documentao, despesas e intervalos regulares.


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O objetivo do estudo descobrir a quantidade de mercadoria que deve ser encomendada de cada vez, de forma a minimizar o custo total da operao de estoque. Como nica restrio do problema, vamos considerar que o fornecedor pode entregar, no mximo, 180 unidades do produto por vez. B) IDENTIFICAO DAS VARIVEIS

Vamos definir as seguintes variveis para o modelo do problema: A = quantidade anual do produto que a empresa comercializa S = custo de manuteno do estoque, por unidade, por ano P = custo fixo de colocao da encomenda, por pedido Q = quantidade ordenada ao atacadista para suprimento C) EQUAES DO PROBLEMA Neste problema, a montagem do modelo se resume a escrever matematicamente a funo objetivo, que pode ser assim formulada: MINIMIZAR CUSTO TOTAL (CT) = CUSTO DE MANUTENO DO ESTOQUE + CUSTO DE COLOCAO DA ENCOMENDA

Onde: CUSTO DE MANUTENO DO ESTOQUE = (NVEL MDIO) x ( CUSTO UNITRIO DE MANUTENO) CUSTO DE COLOCAO DA ENCOMENDA = (N DE ORDENS) x (CUSTO DE COLOCAO DA ORDEM)

Assim, o modelo do problema : Minimizar CT = Q x S + A x P 2 Q

restrio : Q = 180 Neste caso, a maneira simples de resolver o problema derivando a funo objetivo (CT) com relao varivel de deciso Q e igualando o resultado a zero. d (CT) = S - A. P = 0 dQ Q2


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Resolvendo: Q* = 2. A . P S

Com Q* = quantidade a encomendar para mnimo custo anual total. Usando os dados do problema, obtemos:

Q* = 2 x 1000 x 1000 = 200 50 Assim, a encomenda que minimizaria o custo total da operao do estoque seria Q* = 200 unidades por vez. Entretanto, como existe a restrio de que o fornecedor pode entregar no mximo 180 unidades, a encomenda mais econmica se torna obviamente Q = 180 itens do produto por vez. Uma informao que o administrador da loja pode extrair imediatamente a economia que ele faria, em termos de custo de estocagem, se o fornecedor relaxasse a restrio de 180 unidades por encomenda.


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programacao linear - uninove

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