Programação LinearProgramação Linear

Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes

Agosto - 2009

Introdução

Diremos que um problema de programação linear está em sua forma padrão se tivermos uma Maximização da função objetivo e se todas as restrições forem do tipo menor ou igual, bem como os termos constantes e variáveis de decisão não-negativos. Matemáticamente podemos representar um problema padrão por:

Introdução

Maximizar: Z = c1x1 + c2x2 + ... Cnxn

Sujeito a:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2

: : : am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm

x1, x2, ... xn ≥ 0

Introdução

ou na forma reduzida:

Maximizar: Z =

Sujeito a:

x1, x2, ..., xn ≥ 0

n

jjjxc

1

n

jijij mibxa

1

),...,2,1(

Introdução

ou na forma matricial, equivalentemente

Max CTx s.a: Ax ≤ b x≥0Onde Amxn matriz, e mb nxc ,

Resolução Gráfica

Quando o problema envolve apenas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação linear pode ser encontrada graficamente. Imagine o seguinte problema de programação linear:

Resolução Gráfica (exemplo 1)

Max Z = 5x1 + 2x2

Sujeito a: x1 ≤ 3 x2 ≤ 4 x1 + 2x2 ≤ 9 x1≥ 0 e x2 ≥ 0

Resolução Gráfica (exemplo 2)

Max Z = x1 + x2

Sujeito a: 2x1 + x2 ≤ 2 6x1 + x2 ≤ 3 x1≥ 0 e x2 ≥ 0

Min 7x1 + 9x2

s.a: -x1 + x2 ≤ 2 x1 ≤ 5 x2 ≤ 6 3x1 + 5x2 ≥ 15 5x1 + 4x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0

Resolução Gráfica (exemplo 3)

Min 6x1 + 10x2

s.a: -x1 + x2 ≤ 2 x1 + 2x2 ≥ 1 x1 ≤ 5 x2 ≤ 6 3x1 + 5x2 ≥ 15 5x1 + 4x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0

Resolução Gráfica (exemplo 3)

Restrições Redundantes: restrições que não participam da determinação do conjunto de soluções viáveis.

Min 6x1 + 10x2

s.a: -x1 + x2 ≤ 2 x1 ≤ 5 x2 ≤ 6 3x1 + 5x2 ≥ 15 5x1 + 4x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0

Resolução Gráfica (exemplo 4)

Multiplicidade de Soluções: o problema apresenta mais de uma solução ótima

Max 6x1 + 10x2

s.a: -x1 + x2 ≤ 2 x2 ≤ 6 3x1 + 5x2 ≥ 15 5x1 + 4x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0

Resolução Gráfica (exemplo 5)

Problema Ilimitado: Quando existem infinitas soluções viáveis, porém não se consegue determinar a ótima.

Max x1 + x2

s.a: x1 + x2 ≤ 12 x1 + x2 ≥ 20 x1, x2 ≥ 0

Resolução Gráfica (exemplo 6)

Conjunto de soluções viáveis vazio (problema inviável)

Resolução Analítica

Para se utilizar o método de resolução Analítica não existe um limite de variávies.

Vamos resolver o exemplo abaixo:Max x1 + x2

s.a: 2x1 + x2 ≤ 2 x1 + 3x2 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0

Exemplo 2:Max 4x1 + 8x2

s.a: 3x1 + 2x2 ≤ 18 x1 + x2 ≤ 5 x1 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0

Resolução Analítica

Exemplo 3:Max 2x1 + 6x2

s.a: 4x1 + 3x2 ≤ 12 2x1 + x2 ≤ 8 x1, x2 ≥ 0

Resolução Analítica