programação linear: em e programação (pl) · qu an t i t a t encontramos um problema de...

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Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportesi

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Programação Linear (PL)

ETAPA 05 – Volume 04:

Qu

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ti

ta

t

O problema de transporte (PT).– Definição e apresentação sobre forma de rede.

– Formulação do caso equilibrado e não equilibrado.Exemplos

– Propriedades fundamentais.

Prof. Bertolo

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Propriedades fundamentais.

Programação Linear: Aplicações em Redes e Transportes

iv

os

O Problema de Transporte e RedesUma das aplicações mais importantes da programação linear pararesolver problemas empresariais está na distribuição física deprodutos, que, geralmente, chamamos de problemas de transporte. A

plic

ação

da

PL

Encontramos um problema de transporte quando precisamos enviar unidades de

Qu

an

ti

ta

t Encontramos um problema de transporte quando precisamos enviar unidades deum produto por uma rede de rodovias que conectam um determinado grupo decidades. Cada cidade é considerada uma “fonte”, em que unidades serãotransportadas para fora do local, ou um “receptor”, onde as unidades sãoexigidas no local. Cada fonte tem uma determinada provisão, cada receptor temuma determinada demanda e cada rodovia que conecta um par de fontes ereceptores tem um determinado custo de transporte por unidade de remessa.Isto pode ser visualizado na forma de uma rede.O objetivo é determinar um modelo ótimo de transporte que minimize o custo

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j p qtotal de remessas, sujeito a restrições de suprimentos e demandas.

EXEMPLO:•Sejam as fontes os armazéns e os receptores os distribuidores para o varejo•Sejam as fontes as unidades produzidas e os receptores as demandas. Aqui as fontes e os receptores não correspondem a locais físicos.

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O propósito é minimizar o custo de transportar bens de um local paraoutro de forma que as necessidades de cada área de chegada sejamconhecidas e todo local de remessa opere dentro de sua capacidade P

ropó

sito

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t conhecidas, e todo local de remessa opere dentro de sua capacidade. P

Poderíamos locar os empregados de maneira eficaz em certos postos detrabalho dentro de uma organização. Chamamos esta aplicação deproblema de tarefa.

Exemplo

É possível montar um problema de transporte e resolver isso usando oSOLVER. Na realidade, nós podemos resolver problemas de transporterelativamente grandes com o auxílio do SOLVER.

SO

LVE

R

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Exemplo Prático de DistribuiçãoConsideremos que a confecção de roupas trabalhada anteriormente se situa noestado de Minas Gerais, porém, com grande parte do volume de vendas, destinadoa distribuidores e grandes varejistas de outros estados. Com este crescimento devendas fora do Estado, o proprietário da confecção decidiu, há cerca de seis

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t meses, montar outra confecção no estado do Espírito Santo e terceirizar a sualogística para um grande operador logístico nacional que permite, por meio de suarede de transporte entre unidades, diminuir o custo de entrega.As capacidades instaladas de cada confecção, as demandas nos estados de atuação, bem como os custos unitários de transporte entre fábrica e unidades de distribuição estão evidenciados na figura a seguir:

O objetivo deste estudo é dizer, ao proprietário daconfecção qual a melhor forma de distribuir as peças

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confecção, qual a melhor forma de distribuir as peçasproduzidas de acordo com as informações levantadas.É importante atentarmos para o fato de que, em todafonte fornecedora, o valor da capacidade é um númeronegativo e, em toda fonte de demanda, o númeroassume um valor positivo. Isso ocorre em função dametodologia que é proposta para equacionar oproblema.

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Regrinhas e NotaçãoPara LACHTERMACHER (2004, p225), utilizando a regra do fluxo balanceadopara cada nó (unidade) da rede, é possível chegar à resposta, buscandoequilibrar a quantidade ofertada com a demanda em cada nó do problema.Segundo Ragsdale (2001) apud Lachtermacher (2004), as hipóteses para

Qu

an

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t Segundo Ragsdale (2001) apud Lachtermacher (2004), as hipóteses paraencontrar o tipo de relação nas restrições seguem a regra, a seguir:Oferta > Demanda → Entradas Saídas ≥ Oferta ou Demanda do NóOferta < Demanda → Entradas Saídas ≤ Oferta ou Demanda do NóOferta = Demanda → Entradas Saídas = Oferta ou Demanda do Nó

No nosso exemplo temos que a oferta total das fábricas é de 7.500 unidades,sendo que o total da demanda (soma das necessidades em todas as unidades) éde 8.000. Portanto, já sabemos que as restrições em cada nó do problemadevem ser tratadas usando a segunda regra apresentada ou seja menor ou

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devem ser tratadas usando a segunda regra apresentada, ou seja, menor ouigual (≤).

Xdp = as variáveis referentes às quantidades transportadas em cada trecho, em que d é o ponto de origem do trecho e p o ponto de destino. Assim, a variável que representará a quantidade de peças transportadas entre Minas Gerais (1) e São Paulo (3), por exemplo, será X13 .


iv

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Os Passos da ModelagemPasso 1 – criar o modelo matemático É importante descrever o modelo matemático do problema, para que possamos, posteriormente, inserir os dados no EXCEL com maior facilidade:Função objetivo

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t Min →1,5X13+ 4X14+ 2X15+ 1X16+ 3,5X17+ 1X25+ 2X27+ 2X34+1,5X53Restrições:Nó 1 → -X13 - X14 - X15 - X16 - X17 ≤ -4.000Nó 2 → -X25 - X27 ≤ -3.500Nó 3 → X13 + X53 - X34 ≤ 3.500Nó 4 → X14 + X34 ≤ 500Nó 5 → X15 + X25 - X53 ≤ 1.000Nó 6 → X16 ≤ 1.000Nó 7 → X17 + X27 ≤ 2.000

Custo unitário de transporte

Unidades de Distribuição

Fábricas e Distr.

1 2 3 4 5 6 7 Oferta

As restrições serão ≤

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s 1 1,5 4 2 1 3,5 4000

2 1 2 3500

3 2

5 1,5

Demanda 3500 500 1000 1000 2000 7500≠8000

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Criando uma Planilha para ModelagemPasso 2 – criar a planilha de modelagem - LayoutA criação da planilha de modelagem deve ser feita de forma organizada, definindo as células das variáveis de decisão, função objetivo e funções de restrições. RestriçõesVariáveis

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t

2345678

B C D E F G H I

De Para Custo Unidades Nó Fluxo Líquido Oferta/Demanda1 3 1,5 1 0 ‐4.0001 4 4,0 2 0 ‐3.5001 5 2,0 3 0 3.5001 6 1,0 4 0 5001 7 3 5 5 0 1 000

RestriçõesVariáveis de Decisão

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8910111213

1 7 3,5 5 0 1.0002 5 1,0 6 0 1.0002 7 2,0 7 0 2.0003 4 2,05 3 1,5

Custo Total 0

Função Objetivo


iv

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Inserindo Fórmulas na Planilha2345

B C D E F G H I J K

De Para Custo Unidades Nó Fluxo Líquido Oferta/Demanda1 3 1,5 1 0 ‐4.0001 4 4,0 2 0 ‐3.500

Qu

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t 67891011121314151617

1 5 2,0 3 0 3.5001 6 1,0 4 0 5001 7 3,5 5 0 1.0002 5 1,0 6 0 1.0002 7 2,0 7 0 2.0003 4 2,05 3 1,5

Custo Total 0

=SOMASE($C$4:$C$12;G10;$E$4:$E$12)‐SOMASE($B$4:$B$12;G10;$E$4:$E$12) =SOMARPRODUTO(D4:D12;E4:E12)

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s Adiciona as células especificadas por um determinado critério ou condição:Intervalo:- é o intervalo de células que se quer calculado. $C$4:$C$12Critério:- é o critério ou condição na forma de um número, expressão ou texto, que definem quais células serão adicionadas. G10Intervalo_soma:- são células a serem somadas. Quando não especificadas, são usadas as células do intervalo. $E$4:$E$12

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O SOLVER em Ação!!Passo 3 – resolver o problema usando o SOLVERA inserção dos parâmetros no SOLVER permitirá que o programa nos apresente a melhor forma de distribuição das peças produzidas pela confecção:

É importante nos certificarmos

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pde que foram selecionados osparâmetros: “Presumir modelo linear” e “Presumir valores não negativos” nas opções do SOLVER antes de optar por resolver o problema.

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O Resultado !!123

A B C D E F G H IPROBLEMA DE REDE DE DISTRIBUIÇÃO ‐ CONFECÇÃO DE ROUPAS

De Para Custo Unidades Nó Fluxo Líquido Oferta/Demanda

Qu

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t 45678910111213

1 3 1,5 3.000 1 ‐4000 ‐4.0001 4 4,0 0 2 ‐3500 ‐3.5001 5 2,0 0 3 3500 3.5001 6 1,0 1.000 4 0 5001 7 3,5 0 5 1000 1.0002 5 1,0 1.500 6 1000 1.0002 7 2,0 2.000 7 2000 2.0003 4 2,0 05 3 1,5 500

Custo Total 11.750

A organização da planilha propicia uma fácil interpretação do resultado, sendo possível visualizarmos que o menor custo total de distribuição é de R$ 11 750 00

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possível visualizarmos que o menor custo total de distribuição é de R$ 11.750,00, sendo que apenas o estado do Paraná (nó 4) fi cará sem os seus pedidos atendidos. Na tabela de unidades, podemos observar qual foi a forma encontrada para distribuir os produtos. Por exemplo, o estado de São Paulo (nó 3) recebeu 3.000 unidades da unidade de Minas Gerais (nó 1) e 500 unidades do operador logístico no Rio de Janeiro (nó 5).

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Problema de Transporte. Outro Exemplo

Um dos principais produtos da firma Lactosal é o leite.

O t d l it ã t d 3 fáb i

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t Os pacotes de leites são empacotados em 3 fábricase depois são distribuídos de caminhão para quatro

armazéns

Conhecendo os custos de transporte, a procura (demanda) prevista para cada armazém e as capacidades de produção (oferta) de cada fábrica,

t d

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pretende-se:

OTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE.


iv

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Problema de Transporte. Outro ExemploOs dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas(produção) e procuras, em cargas de caminhão/dia, são os seguintes:

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t os seguintes:

24 cargas diárias de leite devem ser produzidas e distribuídas

Custo por carga de caminhão

Armazéns

Fábricas 1 2 3 4 Oferta

1 1 2 3 4 6

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12

2 4 3 2 4 8

3 0 2 2 1 10

Demanda 4 7 6 7

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vo

sFormulação do Problema de Transporte.

Exemplo Protótipo. Custo por carga de

caminhão

Armazéns

Fábricas 1 2 3 4 Oferta

1 1 2 3 4 6

2 4 3 2 4 8

3 0 2 2 1 10

Qu

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t

Minimizar z = x11 + 2 x12 + 3 x13 + 4 x14 +4 x21 + 3 x22 + 2 x23 + 4 x24 +

2 x32 + 2 x33 + x34sujeito a:x11 + x12 + x13+ x14 = 6

x21 + x22 + x23+ x24 = 8x31 + x32 + x33+ x34 = 10

x11 + x21 + x31 = 4

Demanda 4 7 6 7

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13

x11 + x21 + x31 4x12 + x22 + x32 = 7

x13 + x23 + x33 = 6x14 + x24 + x34 = 7

xij ≥ 0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )


iv

os

Matriz de Restrições do Problema de Transporte.Exemplo Protótipo.

A matriz das restrições do problema de transporte para o exemplo protótipo apresenta a seguinte estrutura:

Qu

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ta

t

x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34

A=A=

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FábricasFábricas ArmazénsArmazénsc11

Problema de Transporte sob a forma de Rede.Exemplo Protótipo.

Qu

an

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t 11

22

11

22

33

c11x11

c34

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33 44c34x34


iv

os

Cargas de leiteCargas de leite Unidades de um produtoUnidades de um produto

Problema de Transporte.Do Exemplo ao Modelo do PT

Qu

an

ti

ta

t

3 fábricas3 fábricas mm origensorigens

4 armazéns4 armazéns nn destinosdestinos

Produção da fábricaProdução da fábrica i aaii oferta da origem oferta da origem ii

P é P é j bb p oc a no destinop oc a no destino jj

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Procura no armazém Procura no armazém j bbjj procura no destinoprocura no destino jj

Custo de transporteCusto de transportepor carga da fábrica por carga da fábrica i

para o armazém para o armazém j

ccijij custo por unidade custo por unidade transportada da origem transportada da origem i i

para o destino para o destino jj

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s

xxijij cargas a distribuir cargas a distribuir d fáb i d fáb i i

xxijij unidades a unidades a di t ib i d di t ib i d i i i i

Problema de Transporte.Do Exemplo ao Modelo do PT

Qu

an

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ta

t da fábrica da fábrica ipara o armazém para o armazém j

distribuir da distribuir da origem origem i i para o destino para o destino jj

Determinar o plano o plano ótimo ótimo de distribuição de distribuição

diária do leite diária do leite das fábricas pelos

armazéns tendo como objetivo a a

Determinar o plano o plano ótimo ótimo de distribuição de distribuição desse produto desse produto das

origens pelos destinos tendo como objetivo a

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objetivo a a minimização do custo minimização do custo

totaltotal

jminimização do custo minimização do custo

totaltotal


iv

os Oferta total = Procura totalOferta total = Procura total

Destino1 2 n1 2 n Oferta

Problema de Transporte. Caso Equilibrado.

Qu

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t Origem 1 2 … n1 2 … n Oferta

11

22......

aa11

aa22......

a

cc1111 cc1212 cc1n1n


ccm1m1 ccm2m2 ccmnmn

xx1111 xx1212 xx1n1n……

xx2121 xx2222 xx2n2n……

..

..

..

..

..

..

..

..

..

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s

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mm aamm

Procura bb1 1 bb2 2 … … bbnn ∑∑aai i ==∑∑ bbjj

m1m1 m2m2 mnmnxxm1m1 xxm2m2 xxmnmn……

Um problema de transporte está equilibrado se a oferta total é igual à procura total, caso

contrário está não equilibrado.

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Oferta total = Procura totalOferta total = Procura total

DestinoOf

Problema de Transporte.Caso equilibrado.Exemplo protótipo

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t

Origem1 2 3 4 1 2 3 4 Oferta

11

22

33

66

88

1010

11 22 44

44 33 44xx11 11 xx12 12

xx1414

xx21 21 xx22 22 xx2424

33xx13 13

22xx23 23

00 22 1122

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19

Procura 44 77 6 6 77 2424==2424

xx31 31 xx32 32 xx3434xx33 33

Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total . Este problema está equilibrado.


iv

os

∑∑=m

i

n

jijij xcz

1 1

Minimizar

Problema de Transporte.Formulação como problema de PL.

Qu

an

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ta

t = =i j1 1

∑=

=n

jiij ax

1mi ,...,2,1 , =

sujeito a:

restrições de oferta

nj 21=∑ =m

bxrestrições de

procura

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20

0≥ijx nj ,...,2,1 , =

nj ,...,2,1, =∑=

=i

jij bx1

mi ,...,2,1 , =

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s

OrigensOrigens DestinosDestinos

c11aa11 bb1111 11

Problema de transporte sob a forma de rede.Q

ua

nt

it

at x11

cijxij

cmnx

aa11

aaii

aamm

bb11

bbjj

bbnn

11

ii

mm

.

.

.

.

.

.

11

jj

nn

.

.

.

.

.

.

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21

xmnmm nnmm nn

Esta figura ilustra o problema de transporte sob a forma de rederepresentados por nós e arcos.

Os nós representam as origens e os destinos e os arcos representam os percursos das origens aos destinos

através dos quais o produto pode ser transportado.


iv

os

O problema de transporte apresentauma estrutura especial evidenciada pela

A matriz dos coeficientesdas restrições é apenasconstituída por uns (1) ezeros (0) . Cada variável

Problema de Transporte.Estrutura especial da matriz de restrições.

Qu

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t

p pdisposição das restrições:

( )xij tem comocoeficientes apenas 2uns : um na linhaassociada à origem i eoutro na linha relativaao destino j

x11 x12 ... x1n x21 x22 ... x2n … xm1 xm2 ... xmn

A=A=......

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22

..

......

restrições dos destinos

restrições das origens

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Destino

Origem1 2 … n1 2 … n n+1n+1 Oferta

Problema de Transporte.Oferta total superior à procura total

Qu

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t

11

22

..

..

..

mm

aa11

aa22......

aamm



cc cc cc

xx11 11 xx12 12 xx1n 1n

… …

xx21 21 xx22 22 xx2n 2n

… …

..

..

..

..

..

..

..

..

..

00

00

00

xx1 n+1 1 n+1

xx2 n+12 n+1

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mm mm

Procura bb1 1 bb2 2 … … bbnn ∑∑aai i ‐‐∑∑ bbjj

ccm1m1 ccm2m2 ccmnmn

xxm1 m1 xxm2 m2 xxmn mn

… … 00

xxm n+1 m n+1

Adicionar destino fictício


iv

os

Oferta total superior à procura total.Exemplo 1: Plano de Produção.

Uma multinacional produz aviões comerciais

Qu

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t para diversas companhias de aviação. A última etapa no processo de produção é a produção de motores seguido da sua instalação no avião.

P i b l id d

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24

Para cumprir os contratos estabelecidos deve ser determinado o plano ótimo de produçãodos motores para os próximos quatro meses.

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vo

sOferta total superior à procura total.

Exemplo 1: Plano de Produção.Os dados para o plano da produção para os quatro meses

futuros são os seguintes:

Qu

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t

Mês Instalaçõesprogramadas

Produçãomáxima

Custo unitário

de produção

Custo unitário de

armazenamento

1 10 25 1.08

2 15 35 1.11 0.015

3 25 30 1.10 0.015

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25

os custos em milhões de dólares

4 20 10 1.13 0.015


iv

os

Oferta total superior à procura total.Exemplo 1: Plano de Produção.

Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como:

Qu

an

ti

ta

t – Origem i ‐ produção de motores no mês i(i =1,2,3,4)

– Destino j ‐ instalação de motores no mês j(j=1,2,3,4)

– xij ‐ quantidades de motores produzidos no mês i a serem instalados no mês j

0 se i>j (primeiro produzir depois instalar)

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26

• xij = 0, se i>j (primeiro produzir, depois instalar)

– cij ‐ custo por unidade de produção e armazenamento• cij= M, se i>j, como não existe custo real associado com estes dados, podem ser penalizados com um M arbitrariamente grande.

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vo

sOferta total superior à procura total.Exemplo 1. Restrições de ofertas.

As restrições de oferta correspondem à produção de motores para cada mês i Estas restrições são

Qu

an

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ta

t

x11 + x12 + x13+ x14 ≤ 25

x21 + x22 + x23+ x24 ≤ 35x31 + x32 + x33+ x34 ≤ 30

x + x + x + x ≤ 10

de motores para cada mês i. Estas restrições são de desigualdade limitadas pela capacidade máxima de produção por mês.

0 0151 1030253

35

25

Produçãomáxima

1.11

1.08

Custo unitário

de produção

15

10

Instalaçõesprogramadas

0.0152

1

Custo unitário de

armazenamento

Mês

0 0151 1030253

35

25

Produçãomáxima

1.11

1.08

Custo unitário

de produção

15

10


0.0152

1

Custo unitário de

armazenamento

Mês

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27

x41 + x42 + x43+ x44 ≤ 10

Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de folga para converte‐las em restrições de igualdade.

Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada por cada mês .

0.0151.1030253

10 1.1320 0.0154

0.0151.1030253

10 1.1320 0.0154


iv

os

Oferta total superior à procura total. Exemplo 1. Restrições de procuras.

As restrições de procura correspondem ao plano de instalação para cada mês j. Estas restrições são de igualdade correspondendo ao número de instalações

Qu

an

ti

ta

t

x11 + x21 + x31+ x32 = 10

x21 + x22+ x23+ x24 = 15x31 + x32 + x33+ x34 = 25

x41 + x42 + x43+ x44 = 20

igualdade, correspondendo ao número de instalações requisitadas para cada mês.

0.0151.1030253

10

35

25

Produçãomáxima

1.13

1.11

1.08

Custo unitário

de produção

20

15

10


0.0154

0.0152

1

Custo unitário de

armazenamento

Mês

0.0151.1030253

10

35

25

Produçãomáxima

1.13

1.11

1.08

Custo unitário

de produção

20

15

10


0.0154

0.0152

1

Custo unitário de

armazenamento

Mês

Prof. Bertolo

Mé

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do

s

28

Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes

a i >j devem ser nulas. Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal

como no método do “big M”.

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Este problema reformulado como problema de transporte apresenta o seguinte quadro:

Oferta total superior à procura total.Exemplo 1. Quadro do problema de transporte.

Qu

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ti

ta

t

DestinoOrigem

1 2 3 4 1 2 3 4 55 Oferta

11

22

33

2525

3535

3030

1.0801.080xx1111 xx1212 xx1414

xx2121 xx2222 xx2424

xx1515

xx2525

1.0951.095 1.1101.110 1.1251.125xx1313

MM 1.1101.110 1.1251.125 1.1401.140xx2323

MM MM 1.1001.100 1.1151.115xx3131 xx3232 xx34 xxxx3333

00

00

00

Os custos são calculados tomando os dados dos custos

de produção e de armazenamento. Por exemplo

para a variável xx24 24 que representa o número de

motores produzidos no mês 22a serem instalados no mês 4,4,

o custo correspondente

Prof. Bertolo

Mé

to

do

s

29

3030

44 1010

Procura 10 10 1515 25 25 2020 3030

x3131 xx3232 xx3434 xx3535xx3333

MM MM MM 1.1301.130xx4141 xx4242 xx4444 xx4545xx4343

00o custo correspondente c24 = 1.11 + 0.015+0.015

=1.140

Como a oferta total é superior à procura total foi adicionado um destino fictício com uma procura igual a: Oferta Total ‐Procura Total = 100 ‐70 = 30 u.


iv

os

Destino

Origem1 2 … n 1 2 … n Oferta

Problema de Transporte.Oferta total inferior à procura total

Qu

an

ti

ta

t Origem

11

22

..

..

..

mm

aa11

aa22......

aamm



cc 11 cc 22 cc

xx11 11 xx12 12 xx1n 1n

… …

xx21 21 xx22 22 xx2n 2n

… …

..

..

..

..

..

..

..

..

..

Prof. Bertolo

Mé

to

do

s

30

m+1m+1

aamm

Procura bb1 1 bb2 2 … … bbnn

∑∑bbj j ‐‐∑∑ aaii

ccm1m1 ccm2m2 ccmnmnxxm1 m1 xxm2 m2

xxmn mn … …

00 00 00xxm+1,1 m+1,1 xxm+1,2 m+1,2 xxm+1,n m+1,n

… …

Origem fictícia

19/09/2009

16


vo

s

Oferta total inferior à procura totalExemplo 2: distribuição de recursos de agua.

Uma empresa administra a distribuição de água duma região

Qu

an

ti

ta

t região. Para isto é preciso canalizar a água de 3 rios que estão situados fora da região e distribui‐la para 4 cidades.

Agora o gerente da empresa pretende distribuir toda a água disponível dos 3 rios para as 4 cidades, de forma a

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Mé

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s

31

água disponível dos 3 rios para as 4 cidades, de forma a pelo menos satisfazer as necessidades essenciais de cada uma,

minimizando o custo total.


iv

os

Os dados dos custos e requerimentos para o plano de distribuição de água são os seguintes:

A id d 3 f

Oferta total inferior à procura totalExemplo 2: distribuição de recursos de água.

Qu

an

ti

ta

t♦ A cidade 3 tem uma fonte independente da água que satisfaz as suas necessidades mínimas

♦O rio 3 não pode fornecer a cidade 4, o que significa nos termos do problema de transporte que este percurso é impossível. Neste caso é preciso

CidadeRio

1 2 3 4 Fornece

1 16 13 22 17 50

2 14 13 19 15 60

3 19 20 23 - 50

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Mé

to

do

s

32

os custos por unidade de medida.

penalizar este percurso com um M arbitrariamente grande.

♦A cidade 4 aceita toda a água que seja possível enviar além da sua necessidade mínima de 10 u.m.

Necessidades mínimas 30 70 0 10

Procura 50 70 30 ∞

19/09/2009

17


vo

sOferta total inferior à procura total

Exemplo 2: distribuição de recursos de água.

Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como:

Qu

an

ti

ta

t

Origem i – o rio i (i =1,2,3)

Destino j – a cidade j (j=1,2,3,4)

xij - quantidade de água a enviar do rio i para a cidade j

cij - custo unitário da distribuição da água do rio i para a cidade j

Prof. Bertolo

Mé

to

do

s

33


iv

os

Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Restrições de ofertas.

As restrições de oferta correspondem às restrições dos rios (origens) Como deverá ser

Qu

an

ti

ta

t

x11 + x12 + x13+ x14 = 50

x21 + x22 + x23+ x24 = 60x31 + x32 + x33+ x34 = 50

restrições dos rios (origens). Como deverá ser distribuída toda a água disponível dos 3 rios, estas 3 restrições são de igualdade, uma por cada rio.

42 31 ForneceCidadeRio

42 31 ForneceCidadeRio

Prof. Bertolo

Mé

to

do

s

34

31 32 33 34

1007030Necessidades mínimas

∞

-

15

17

502320193

70

13

13

30

19

22

50

14

16

Procura

602

501


∞

-

15

17

502320193

70

13

13

30

19

22

50

14

16

Procura

602

501

19/09/2009

18


vo

sOferta total inferior à procura totalExemplo 2. Restrições de procura.

As restrições de procura determinam a quantidade de água que deve ser fornecida a cada cidade, e têm limites superiores e inferiores (excepto a cidade 2, onde coincidem a procura com a necessidade mínima).

Qu

an

ti

ta

t

x11 + x21 + x31 ≤ 50

Cidade 1Cidade 1: procura > necessidade

x11 + x21 + x31 ≥ 30 limite inferiorlimite inferior

limite superiorlimite superior

Cidade 2Cidade 2: procura = necessidade

x12 + x22 + x32 = 701007030Necessidades

mínimas

∞

-

15

17

4

502320193

70

13

13

2

30

19

22

3

50

14

16

1

Procura

602

501

ForneceCidadeRio


∞

-

15

17

4

502320193

70

13

13

2

30

19

22

3

50

14

16

1

Procura

602

501

ForneceCidadeRio

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Mé

to

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s

35

x13+ x23 + x33 ≤ 30


limite superiorlimite superior


x14 + x24 + x34 ≥ 10 limite inferiorlimite inferiorx14 + x24 + x34 ≤ 60 limite superiorlimite superior

O limite superior para a cidade 4 pode ser calculado como a diferença entre a oferta total (50+ 60+50=160) e a soma das necessidades mínimas para as restantes cidades (30+ 70 =100)⇒ 160 160 ‐‐ 100 = 60100 = 60 unidades. (a quantidade máxima que pode receber a cidade 4

para além da necessidade mínima )

∞70 3050Procura ∞70 3050Procura


iv

os

CidadesO i

1 2 1 2 3 4 3 4 Oferta

Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Quadro do problema de transporte.

Qu

an

ti

ta

t Origem

Rio 1Rio 1

Rio 2Rio 2

Rio 3Rio 3

RioRio FicticioFicticio

5050

6060

5050

5050

1616 1313 1717

1414 1313 1515

00 00 00

xx1111 xx1212 xx1414

xx2121 xx2222 xx2424

2222xx1313

1919xx2323

1919 2020 MMxx3131 xx3232 xx3434

2323xx3333

00

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Mé

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s

36

Rio Rio FicticioFicticio 5050

Procura 50 50 7070 30 30 6060

xx4141 xx4242 xx4444xx4343

Como a oferta total é inferior à procura total foi adicionada uma origem fictícia com uma oferta igual a:

Procura Total ‐Oferta Total = 210 ‐160 = 50 unidades.

19/09/2009

19


vo

s

Para satisfazer as necessidades mínimas de água é preciso re‐analisar os dados para cada cidade de forma a garantir que o mínimo procurado não seja fornecido pelo rio fictício

Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Análise do rio fictício.

Qu

an

ti

ta

t fictício.

Cidade 3Cidade 3: Como não tem necessidade mínima, então não é preciso alterar nada.

Cidade 4Cidade 4: procura > necessidade (60 > 10). Como o rio fictício fornece apenas 50 unidades, pelo 1007030Necessidades

mínimas

-

15

17

4

502320193

13

13

2

19

22

3

14

16

1

602

501

ForneceCidadeRio


-

15

17

4

502320193

13

13

2

19

22

3

14

16

1

602

501

ForneceCidadeRio

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Mé

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s

37

fornece apenas 50 unidades, pelo menos fica garantido que as 10 unidades mínimas não podem ser obtidas deste rio. Não é preciso alterar nada.

∞70 3050Procura ∞70 3050Procura


iv

os

Cidade 2Cidade 2: procura = necessidade

Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Análise do rio fictício.

Qu

an

ti

ta

t Esta cidade não pode ser fornecida pelo rio fictício. Para isto é preciso penalizar com M o percurso que uneo rio fictício com a cidade 2.


Esta cidade deve ser dividida em 2 destinos: um que verifica a


∞

-

15

17

4

502320193

70

13

13

2

30

19

22

3

50

14

16

1

Procura

602

501

ForneceCidadeRio


∞

-

15

17

4

502320193

70

13

13

2

30

19

22

3

50

14

16

1

Procura

602

501

ForneceCidadeRio

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Mé

to

do

s

38

destinos: um que verifica a necessidade mínima (onde o rio fictício fica penalizado) e o outro que corresponde à quantidade de água que pode ser tomada além do requerimento mínimo.

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20


vo

s

Este é o quadro final dos custos para o problema de distribuição da água, formulado como problema de transporte:

Oferta total inferior à procura totalExemplo 2. Formulação como P.T.

Qu

an

ti

ta

t

CidadesOrigem

1 1' ' 11'' '' 2 2 3 4 3 4 Oferta

Rio 1Rio 1

Rio 2Rio 2

Rio 3Rio 3

5050

6060

5050

1616 1313 1717

1414 1313 1515

2222

1919

1919 2020 MM2323

1616

1414

1919

A cidade 1 foi dividida em duas para garantir as necessidades mínimas

de 30 unidades. O i fi tí i tá

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Mé

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s

39

Rio Rio FicticioFicticio 5050

Procura 3030 2020 7070 30 30 6060

00 MM 0000MM

O rio fictício está penalizado para a cidade 2

O rio fictício está penalizado para a cidade

1'.


iv

os

Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(1).

– Se um problema de transporte está equilibrado, i.e., a oferta total é igual à procura total, então tem sempre soluções admissíveis.

– Se um problema de transporte não está equilibrado,i.e., a oferta

Qu

an

ti

ta

t

p p q , ,total não é igual à procura total, então pode ser introduzida uma origem ou um destino fictício para converter as restrições de desigualdade em igualdade e poder obter assim um problema equilibrado.

– O problema de transporte tem sempre ótimo finito.

– Qualquer SBA do problema de transporte tem no máximo m+n‐1

Prof. Bertolo

Mé

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s

40

q p pvariáveis básicasDo total de m+n equações só m+n-1 são linearmente independentes, existindo sempre uma equação redundante, i.e., uma equação pode ser obtida como combinação linear das restantes.

19/09/2009

21


vo

s

Problema de Transporte. Propriedades fundamentais(2).

–A base correspondente a qualquer SBA do problema de transporte é uma matriz triangular.

Qu

an

ti

ta

t

1 1 0 … 0 00 1 1 … 0 00 0 1 … 0 0

...0 0 0 … 1 10 0 0 … 0 1

B=B=

Prof. Bertolo

Mé

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s

41

Se as quantidades das ofertas e procuras são valores inteiros, então qualquer SBA tem sempre valores inteiros.

Como a matriz da base é uma matriz triangular composta por 0 e 1, a resolução do sistema conduz necessariamente a uma solução cujas variáveis assumem apenas valores inteiros, pois apenas exige adições e subtracções.


iv

os

Como m=3 e n=4 e a característica de A, c(A)=m+n‐1=6, qualquer base BB tem dimensão 6x6. Uma base pode ser obtida, por exemplo, tomando as colunas P11, P12, P22, P23, P33, P34 e eliminando à restrição 4.

Base e Solução Básica Admissível para o PT.Minimizar z = x11 + 2 x12 + 3 x13 + 4 x14 +

4 x21 + 3 x22 + 2 x23 + 4 x24 +2 x32 + 2 x33 + x34

sujeito a:x11 + x12 + x13+ x14 = 6

x21 + x22 + x23+ x24 = 8x31 + x32 + x33+ x34 = 10

x11 + x21 + x31 = 4x12 + x22 + x32 = 7

x13 + x23 + x33 = 6x14 + x24 + x34 = 7

x ≥ 0 ( i=1 2 3; j=1 2 3 4 )

Qu

an

ti

ta

t

P11 P12 P13 P14P21P22P23P24P31P32P33P34(1) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0(2) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0(3) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1(4) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0(5) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0(6) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0(7) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

A=A=

P11 P12P22P23P33P34(1) 1 1 0 0 0 0(2) 0 0 1 1 0 0(3) 0 0 0 0 1 1(5) 0 1 1 0 0 0(6) 0 0 0 1 1 0(7) 0 0 0 0 0 1

B =B =

xij≥ 0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )

Prof. Bertolo

Mé

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do

s

42

P11 P12P22P23P33P34(1) 1 1 0 0 0 0(5) 0 1 1 0 0 0(2) 0 0 1 1 0 0(6) 0 0 0 1 1 0(3) 0 0 0 0 1 1(7) 0 0 0 0 0 1

B =B =

Trocando as linhas obtém‐se uma

matriz BBtriangular

19/09/2009

22


vo

s Como a matriz B é triangular a solução do sistema é imediata:

x34 =7

Uma Solução básica Admissível para o PT.

Qu

an

ti

ta

t XBx11x12x22x23x33x34

67 86107

==

P11 P12P22P23P33P34(1) 1 1 0 0 0 0(5) 0 1 1 0 0 0(2) 0 0 1 1 0 0(6) 0 0 0 1 1 0(3) 0 0 0 0 1 1(7) 0 0 0 0 0 1

x34 7

x33 + x34 =10

x23 + x33 = 6

x33 =3

x23 =3

x22 + x23 = 8 x22 =5

x12 + x22 = 7 x12 =2

Prof. Bertolo

Mé

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s

43

Uma SBA do problema é: XX = (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7)= (4, 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7)

x12 + x22 7 x12 2

x11 + x12 = 6 x11 =4


iv

os

Considerações FinaisEsperamos que após todo o conhecimento adquirido em Métodos Quantitativos você tenha conseguido enxergar a dimensão que existe na aplicabilidade dos conceitos estudados. É possível trabalhar os modelos matemáticos dentro de várias outras disciplinas que você já viu ou ainda irá aprender durante este

Qu

an

ti

ta

t várias outras disciplinas que você já viu ou ainda irá aprender durante estecurso.A simulação de Monte Carlo e a programação linear são importantes como ferramentas de gestão e proporcionam a você desenvolver o potencial lógico-racional que tanto é requisitado nos gestores de hoje.Lembre-se de que não é necessário se especializar na parte matemática ou computacional das ferramentas que apresentamos, a menos que você queira, é claro! O importante, na gestão de um negócio, é que você conheça como estes

Prof. Bertolo

Mé

to

do

s

g ginstrumentos podem contribuir para melhorar o desempenho das organizações,tornando elas mais competitivas e prolongando o seu ciclo de existência no mercado.

programação linear: em e programação (pl) · qu an t i t a t encontramos um problema de...

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