programa de pós-graduação em ciências e aplicações...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE
Programa de Pós-Graduação em
Ciências e Aplicações Geoespaciais - CAGE
Marcio Ribeiro Gastaldi
USO DO PERIODOGRAMA DE LOMB E DA
TRANSFORMADA WAVELET PARA DETECÇÃO
DE PERIODICIDADES EM RADIOFONTES
EXTRAGALÁCTICAS
São Paulo - Brasil 2016
Marcio Ribeiro Gastaldi
USO DO PERIODOGRAMA DE LOMB E DA
TRANSFORMADA WAVELET PARA DETECÇÃO DE
PERIODICIDADES EM RADIOFONTES
EXTRAGALÁCTICAS
Orientador: Prof. Dr. Luiz Claudio Lima Botti
São Paulo - Brasil
2016
Tese apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Ciências e Aplicações
Geoespaciais da Universidade Presbiteriana
Mackenzie como parte dos requisitos para a
obtenção do título de Doutor em Ciências e
Aplicações Geoespaciais.
A G255 Gastaldi, Marcio Ribeiro
Uso do Periodograma de Lomb e da transformada Wavelet para detecçăo de periodicidades em radiofontes extragalácticas / Marcio Ribeiro Gastaldi – São Paulo, 2017.
150 f.: il., 30 cm Bibliografia: f. 69-73 Tese (Doutorado em Ciências e Aplicações Geoespaciais - CAGE) –
Universidade Presbiteriana Mackenzie, São Paulo, 2017. Prof. Dr. Luiz Claudio Lima Botti
1. Quasares 2. Contínuo Rádio. 3. Variabilidade 4. Fourier. 5. Lomb. 6 Wavelet I.Título
CDD 500.5
Bom mesmo é ir à luta com determinação,
abraçar a vida com paixão, perder com
classe e vencer com ousadia... Pois o triunfo
pertence a quem se atreve, e a vida é muito
bela para ser insignificante.
(Charles Chaplin)
Uma vida sem reflexão não merece ser
vivida.
(Sócrates)
AGRADECIMENTOS
A Deus, fonte de toda sabedoria, pela vida que nos concedeu, permanecendo ao
nosso lado em todo o percurso dessa caminhada.
Ao Botti, por ser orientador persistente e amigo que, com seu exemplo, muita
paciência e constante acompanhamento, me incentivou e inspirou nesse caminho.
À dra. Margo Aller, por disponibilizar os dados do rádio observatório de Michigan.
Ao meu gerente na Richardson, pela paciência, compreensão e incentivo.
Aos professores da Pós-Graduação do Mackenzie e aos professores que fizeram
parte da minha banca. A postura, o respeito e o entusiasmo que mostraram foram
fatores decisivos nos desdobramentos do trabalho realizado entre a Qualificação e a
Defesa desta tese. Em especial à profa. Emília Correia, ao prof. Jose Roberto Cecatto
e ao prof. Sergio Szpigel, pelas suas contribuições para a melhoria deste trabalho.
Agradeço muito ao grupo de Extragaláctica do CRAAM. Por sempre terem participado
e mostrado vivo interesse nos meus seminários. À Taciana Siqueira, ao Roberto
Perianhes e ao Ricardo Ferrari.
Ao meu avô, a quem eu atribuo os primeiros convites à investigação científica.
Ao meu pai, inteligência que ainda me intriga. Sempre me lembrarei das nossas
conversas sobre os mistérios do Universo.
Ao meu amigo Fernando Bergamini, pela revisão deste documento.
À minha namorada. Agradeço a sua paciência, compreensão e incentivo.
À minha família, em especial à minha mãe, pelo apoio, conforto, paciência,
inquebrantável otimismo e exemplo de vida.
E aos amigos do CRAAM e da Richardson.
RESUMO
Neste trabalho foram aplicados o periodograma de Lomb e a transformada wavelet às
curvas de luz de três radiofontes extragalácticas obtidas por meio do uso de dados do
radiotelescópio de Michigan em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz.
As duas ferramentas de análise apresentaram resultados complementares, pois a
transformada wavelet proporcionou a perspectiva do comportamento temporal das
periodicidades obtidas através do periodograma de Lomb.
Com o objetivo de realizar um estudo mais abrangente, dados de VLBI foram utilizados
na análise de explosões detectadas nas curvas de luz. Além disso, buscou-se alguma
correlação entre os momentos de ejeção de plasmons e máximos/mínimos
encontrados na evolução temporal das periodicidades reveladas por meio da
transformada wavelet.
No caso do quasar OJ287 detectou-se de maneira inédita um padrão de oscilação na
periodicidade de ~1,6 ano detectada por Hughes et al. (1999). Essa modulação
apresentou padrão aproximadamente senoidal com período de ~6 anos, o que estaria
de acordo com a hipótese de que na região central de OJ287 existe um binário de
buracos negros supermassivos que afeta a taxa de ejeção de plasmons do disco de
acresção do buraco negro primário.
Foram detectadas periodicidades de aproximadamente 1,6 e 3,3 anos para o quasar
OV236. Como trabalho futuro, essas periodicidades e a sua variação temporal podem
ser associadas à dinâmica de acresção de matéria do seu sistema buraco negro/disco.
A radiofonte 0333+321 foi acrescentada a este estudo por apresentar excelente
amostragem e um desvio para o vermelho muito maior em comparação com OJ287 e
OV236.
Foram obtidos espectros das explosões e foram calculados os parâmetros físicos das
respectivas regiões de emissão rádio, como o raio de variabilidade e a temperatura
de brilhância.
Palavras-chave: Quasares. Contínuo Rádio. Variabilidade. Fourier. Lomb. Wavelet.
ABSTRACT
In the present work we applied the Lomb periodogram and the wavelet transform to
the light curves of three extragalactic radio sources observed by the Michigan radio
telescope at 4.8 GHz, 8.0 GHz and 14.5 GHz.
The results obtained using the two spectral analysis tools are complimentary to each
other in the sense that the wavelet transform provided the perspective of the temporal
behavior of the Lomb periodogram content.
In order to take into account as much information as possible, we included VLBI data
to the analysis of explosions detected in the radio light curves. Moreover, we searched
for correlation between the zero-separation times and maxima/minima found in the
periodicities curves revealed by the wavelet transform.
In the case of the quasar OJ287 we found a new oscillatory behavior in the ~1.6 yr
periodicity detected by Hughes et al. (1999). This modulation showed a ~6 yr period
sinusoidal profile that agrees with the existence of a binary of black holes regulating
the ejection rate of plasmons from the central region of OJ287.
We detected approximately 1.6 yr and 3.3 yr periodicities of the quasar OV236. As a
future work, these periodicities and their temporal behavior could be associated to the
accretion dynamics of its black hole/disk.
We added the radio source 0333+321 to the present essay because it presents
excellent sampling and a much higher redshift when compared to OJ287 and OV236.
We also plotted the spectra of selected outbursts and calculated the parameters of the
related radio emission regions such as the variability radius and the brightness
temperature.
Keywords: Quasars. Radio Continuum. Variability. Fourier. Lomb. Wavelet.
Lista de Ilustrações
Figura 2.1: Vista superior e corte em perfil de um disco de acresção...........................25
Figura 2.2: Espectro sincrotrônico de uma fonte homogênea.....................................26
Figura 2.3: Espectro de OV236...................................................................................27
Figura 2.4: Formação de jatos extragalácticos a partir de um disco de acresção........28
Figura 2.5: Corte longitudinal de dois momentos de uma explosão.............................31
Figura 2.6: Representação das três fases de um evento.............................................32
Figura 2.7: Curva característica de um evento............................................................32
Figura 2.8: Estreitamentos em jatos extragalácticos...................................................33
Figura 2.9: Eventos sucessivos..................................................................................33
Figura 2.10: Distribuição de brilhância em uma onda de choque.................................35
Figura 2.11: Geometria de um jato cônico relativístico................................................36
Figura 2.12: Espectro de potência da radiação sincrotrônica coerente.......................43
Figura 3.1: Representação gráfica dos coeficientes an e bn.........................................45
Figura 3.2: Fourier: raias discretas e função contínua.................................................46
Figura 3.3: Onda quadrada.........................................................................................47
Figura 3.4: Periodograma da onda quadrada..............................................................48
Figura 3.5: O Sinal 1....................................................................................................48
Figura 3.6: O Sinal 2....................................................................................................49
Figura 3.7: Transformada de Fourier dos sinais 1 e 2..................................................49
Figura 3.8: STFT dos sinais 1 e 2................................................................................53
Figura 3.9: Representação da função janela sobre o sinal a ser analisado.................55
Figura 3.10: Periodograma de Lomb-Scargle dos sinais 1 e 2.....................................58
Figura 3.11: Wavelet de Haar dos sinais 1 e 2 em 2D..................................................61
Figura 3.12: Wavelet de Haar dos sinais 1 e 2 em 3D..................................................62
Figura 3.13: Comportamento temporal do ruído branco..............................................65
Figura 3.14: Comportamento espectral do ruído branco.............................................65
Figura 3.15: Comportamento temporal do ruído vermelho..........................................66
Figura 3.16: Comportamento espectral do ruído vermelho.........................................66
Figura 3.17: Curvas de densidade de probabilidade e CDF........................................67
Figura 3.18: Periodograma de Lomb do Sinal 1..........................................................69
Figura 3.19: Transformada wavelet do Sinal 1............................................................70
Figura 4.1: Processo de determinação de periodicidades...........................................71
Figura 4.2: Representação gráfica dos sinais simples da tabela 4.1...........................72
Figura 4.3: Periodograma de Lomb dos sinais simples da figura 4.2...........................73
Figura 4.4: Sinal composto a partir dos sinais simples da figura 4.2............................73
Figura 4.5: Periodograma de Lomb do sinal composto da figura 4.4...........................74
Figura 4.6: Extração de uma linha de base de valor constante....................................75
Figura 4.7: Curvas de luz e linhas de base de OJ287..................................................79
Figura 4.8: Componentes quiescentes segundo diferentes métodos..........................80
Figura 4.9: Periodograma de Lomb do sinal original...................................................81
Figura 4.10: Periodograma de Lomb do sinal original menos média...........................81
Figura 4.11: P. Lomb do sinal original menos spline cúbica e médias corridas............82
Figura 4.12: Transformada wavelet de Haar do Sinal 1...............................................84
Figura 4.13: Transformada wavelet “Chapéu de Mexicano” do Sinal 1........................84
Figura 4.14: Transformada wavelet de Morlet do Sinal 1.............................................84
Figura 4.15: Transformada wavelet da curva de luz de OJ287 em 14,5 GHz..............85
Figura 4.16: Curvas de significância a 50%, 95% e 99% de OJ287 em 14,5GHz........86
Figura 4.17: Formatação condicional aplicada aos coeficientes wavelet....................87
Figura 4.18: “Zoom” da figura 4.17..............................................................................87
Figura 4.19: “Zoom” da figura 4.18..............................................................................88
Figura 5.1: A antena parabólica de 26 metros de diâmetro..........................................90
Figura 5.2: Construção do edifício do Telescópio McMath..........................................91
Figura 5.3: Vista da antena de 26 metros e do centro de controle...............................91
Figura 5.4: Diagrama de blocos do observatório.........................................................92
Figura 6.1.1: Modelo do binário de buracos negros.....................................................97
Figura 6.1.2: Corte transversal do disco de acresção de OJ287..................................97
Figura 6.1.3: Curvas de luz de OJ287 em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz.....................99
Figura 6.1.4: Variação espectral de um evento de grande amplitude e período........101
Figura 6.1.5: Variação espectral de um evento de variabilidade rápida.....................102
Figura 6.1.6: Periodograma de Lomb da curva de luz de OJ287 em 14,5 GHz..........102
Figura 6.1.7: Transformada wavelet da curva de luz de OJ287 em 14,5 GHz...........103
Figura 6.1.8: Contornos de níveis de significância de OJ287 em 14,5 GHz...............103
Figura 6.1.9: Periodograma de Lomb da curva de luz de OJ287 em 8,0 GHz............104
Figura 6.1.10: Transformada wavelet da curva de luz de OJ287 em 8,0 GHz...........105
Figura 6.1.11: Contornos de níveis de significância de OJ287 em 8,0 GHz...............106
Figura 6.1.12: Periodograma de Lomb da curva de luz de OJ287 em 4,8 GHz..........106
Figura 6.1.13: Transformada wavelet da curva de luz de OJ287 em 4,8 GHz...........107
Figura 6.1.14: Contornos de níveis de significância de OJ287 em 4,8 GHz...............107
Figura 6.1.15: Curva da periodicidade de ~1,6 ano...................................................110
Figura 6.1.16: Diagrama simplificado do binário de buracos negros.........................111
Figura 6.1.17: Diagrama ilustrando o efeito de maré.................................................111
Figura 6.1.18: Curva da periodicidade de ~1,6 ano e curva 1/r2................................113
Figura 6.1.19: Curva da periodicidade de ~1,6 ano e curva de precessão de jato.....114
Figura 6.2.1: Curvas de luz de OV236 em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz..................118
Figura 6.2.2: Variação espectral de um evento de grande amplitude e período........120
Figura 6.2.3: Variação espectral de um evento de variabilidade rápida.....................121
Figura 6.2.4: Periodograma de Lomb da curva de luz de OV236 em 14,5 GHz.........122
Figura 6.2.5: Transformada wavelet da curva de luz de OV236 em 14,5 GHz...........122
Figura 6.2.6: Contornos de níveis de significância de OV236 em 14,5 GHz..............123
Figura 6.2.7: Periodograma de Lomb da curva de luz de OV236 em 8,0 GHz...........124
Figura 6.2.8: Transformada wavelet da curva de luz de OV236 em 8,0 GHz.............124
Figura 6.2.9: Contornos de níveis de significância de OV236 em 8,0 GHz................125
Figura 6.2.10: Periodograma de Lomb da curva de luz de OV236 em 4,8 GHz.........125
Figura 6.2.11: Transformada wavelet da curva de luz de OV236 em 4,8 GHz...........126
Figura 6.2.12: Contornos de níveis de significância de OV236 em 4,8 GHz..............126
Figura 6.3.1: Curvas de luz de 0333+321 em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz.............129
Figura 6.3.2: Variação espectral de um evento de grande amplitude e período........130
Figura 6.3.3: P. de Lomb da curva de luz de 0333+321 em 14,5 GHz.......................131
Figura 6.3.4: T. wavelet da curva de luz de 0333+321 em 14,5 GHz.........................132
Figura 6.3.5: Contornos de níveis de significância de 0333+321 em 14,5 GHz.........132
Figura 6.3.6: P. de Lomb da curva de luz de 0333+321 em 8,0 GHz.........................133
Figura 6.3.7: T. wavelet da curva de luz de 0333+321 em 8,0 GHz...........................134
Figura 6.3.8: Contornos de níveis de significância de 0333+321 em 8,0 GHz...........134
Figura 6.3.9: P. de Lomb da curva de luz de 0333+321 em 4,8 GHz.........................135
Figura 6.3.10: T. wavelet da curva de luz de 0333+321 em 4,8 GHz.........................135
Figura 6.3.11: Contornos de níveis de significância de 0333+321 em 4,8 GHz.........136
Figura A.1: Alguns tipos de wavelet-mãe..................................................................142
Lista de Tabelas
Tabela 2.1: Luminosidade de diferentes objetos astrofísicos......................................24
Tabela 3.1: Comparação entre a DFT e a FFT............................................................52
Tabela 4.1: Valores usados na síntese de sinais simples e compostos.......................72
Tabela 4.2: Exemplo de utilização do método das médias corridas.............................78
Tabela 4.3: Exemplo de tabela-sumário da análise por P. de Lomb e T. wavelet.........88
Tabela 5.1: HPBW, largura de banda e temperatura de sistema do UMRAO..............92
Tabela 5.2: Densidades de Fluxo de Virgo A em 4,8, 8,0 e 14,5 GHz..........................94
Tabela 6.1: Apresentação das radiofontes..................................................................95
Tabela 6.1.1: Parâmetros calculados de OJ287 entre maio/1995 e jan/2003............100
Tabela 6.1.2: Parâmetros calculados de OJ287 entre dez/1984 e maio/1985...........101
Tabela 6.1.3: Sumário da análise por P. Lomb e T. wavelet para OJ287...................109
Tabela 6.2.1: Parâmetros calculados de OV236 entre dez/1988 e fev/1990.............120
Tabela 6.2.2: Parâmetros calculados de OV236 entre maio/1993 e maio/1994........121
Tabela 6.2.3: Sumário da análise por P. Lomb e T. wavelet para OV236..................127
Tabela 6.3.1: Parâmetros calculados de 0333+321 entre jun/1989 e set/1990.........130
Tabela 6.3.2: Sumário da análise por P. Lomb e T. wavelet para 0333+321.............136
Lista de Abreviaturas e Siglas
GPS Global Positioning System
VLBI Very-Long Baseline Interferometry
CFT Continuous Fourier Transform
DFT Discrete Fourier Transform
FFT Fast Fourier Transform
STFT Short Time Fourier Transform
WT Wavelet Transform
CDF Cumulative Distribution Function
HPBW Half-Power Beamwidth
UMRAO University of Michigan Radio Astronomy Observatory
ESE Extreme Scattering Event
Lista de Símbolos
Índice espectral (adimensional)
espesso Índice espectral da parte opticamente espessa do espectro
(adimensional)
S Densidade de fluxo (Jy)
S1 Densidade de fluxo (Jy) na primeira fase da explosão segundo Rees
(1967)
S2 Densidade de fluxo (Jy) na segunda fase da explosão segundo Rees
(1967)
S2,1 Densidade de fluxo (Jy) na segunda fase da explosão segundo Rees
(1967) devido à contribuição da primeira fase
S2,3 Densidade de fluxo (Jy) na segunda fase da explosão segundo Rees
(1967) devido à contribuição da terceira fase
S3 Densidade de fluxo (Jy) na terceira fase da explosão segundo Rees
(1967)
S Densidade de fluxo (Jy) em uma dada frequência (Hz)
Sm Densidade de fluxo máxima (Jy) na frequência de máximo m (Hz)
Sobs Densidade de fluxo (Jy) no referencial do observador
Sfonte Densidade de fluxo (Jy) no referencial da fonte
, f Frequência (Hz)
m Frequência de máximo (Hz)
T Frequência de transição (Hz) entre a parte opticamente espessa e a
parte opticamente fina do espectro
Fator de Lorentz (adimensional)
d Distância (m, pc)
3,14159 (adimensional)
c Velocidade da luz no vácuo (3 . 108 m.s-1)
t, Tempo (s)
B, B0 Campo magnético (gauss)
B⊥ Campo magnético (gauss) perpendicular à propagação do jato
Constante de proporcionalidade 3 . 107 W.m-2.str-1.Hz-2 segundo Rees
(1967)
Fator Doppler (adimensional)
’ Fator Doppler (adimensional) das partículas que encontram-se na
interface entre as regiões I (transparente) e II (região de auto-absorção)
segundo Rees (1967)
Constante de proporcionalidade cujo valor é função do campo magnético
e da densidade de elétrons relativísticos segundo Rees (1967)
v0 Velocidade de uma partícula ou conjunto de partículas (m.s-1)
Ângulo da linha de visada (graus, radianos)
Ângulo de abertura do jato (graus, radianos)
R0 Distância (m, pc) medida a partir do vértice de um cone fictício onde são
injetados plasma e campo magnético segundo Marscher e Gear (1985)
R Distância (m, pc) percorrida pelo material injetado em R0 ao longo do jato
segundo Marscher e Gear (1985)
N(E) Função distribuição dos elétrons relativísticos (elétrons por unidade de
energia)
E Energia dos elétrons relativísticos (ergs, joules, eV)
Y0 Parâmetro da distribuição de energia dos elétrons relativísticos
(adimensional) no ponto do jato R0 onde ocorre a injeção dos elétrons e
do campo magnético segundo Marscher e Gear (1985).
Y Parâmetro da distribuição de energia dos elétrons relativísticos
(adimensional) em função da distância R ao longo do jato segundo
Marscher e Gear (1985).
s Índice de energia dos elétrons relativísticos (adimensional). Sua relação
com o índice espectral é dada por s = 1 – 2
a Parâmetro de decaimento do campo magnético (adimensional)
Taxa de compressão da frente de choque (adimensional)
t Intervalo de tempo medido pelo observador (s)
k Constante de Boltzmann (1,3806 . 10-23 J.K-1)
var Tempo de variabilidade (s)
S Densidade de fluxo quiescente (Jy)
Smax Valor da densidade de fluxo de um máximo local (Jy)
z Desvio para o vermelho (adimensional)
rvar Limite superior que a região de emissão rádio pode atingir (m, pc)
H Constante de Hubble (73 km.s-1.Mpc-1)
var Diâmetro angular da região de emissão rádio, em milissegundos de arco
(mas)
T Período (s)
Tb Temperatura de brilhância (K)
mp Massa do próton = 1,67 . 10-27 (kg)
me Massa do elétron = 9,11 . 10-31 (kg)
x Posição (m)
p Momento (kg.m.s-1)
x Desvio-padrão da medida de posição (m)
p Desvio-padrão da medida de momento (kg.m.s-1)
h Constante de Planck = 6,63 . 10-34 (m2.kg.s-1)
Sumário
1 Introdução .......................................................................................................... 22
2 Visão Geral do Fenômeno ................................................................................. 24
2.1 Radiofontes .................................................................................................. 24
2.2 Espectro Rádio dos Quasares ..................................................................... 26
2.3 Eventos em Radiofontes .............................................................................. 28
2.4 Parâmetros da Região de Emissão Rádio ................................................... 40
3 Métodos Matemáticos ........................................................................................ 44
3.1 Análise de Fourier ........................................................................................ 44
3.1.1 Série de Fourier ..................................................................................... 45
3.1.2 Transformada Contínua de Fourier ........................................................ 46
3.1.3 Transformada Discreta de Fourier ......................................................... 50
3.1.4 Transformada Rápida de Fourier ........................................................... 51
3.1.5 Transformada de Fourier de Tempo Curto ............................................ 52
3.2 Análise por Periodograma de Lomb-Scargle ................................................ 56
3.3 Transformada Wavelet ................................................................................. 59
3.4 Normalização do Espectro de Potência ....................................................... 63
3.5 Níveis de Significância ................................................................................. 63
3.5.1 Modelagem de Ruído ............................................................................ 64
3.5.2 Distribuição Estatística do Espectro de Potência do Ruído ................... 67
3.5.3 Teste de Significância ............................................................................ 68
4 Teste do Método ................................................................................................ 71
4.1 Análise de Sinais Teóricos ........................................................................... 72
4.2 Subtração de Linhas de Base ...................................................................... 74
4.2.1 Subtração de uma Reta de Valor Médio ................................................ 75
4.2.2 Subtração de uma Spline Cúbica .......................................................... 76
4.2.3 O Método das Médias Corridas ............................................................. 77
4.3 Teste Aplicado a uma Radiofonte Conhecida .............................................. 78
4.4 Observações sobre o uso do Periodograma de Lomb-Scargle e da FFT. ... 82
4.5 Escolha do Tipo de Wavelet-Mãe ................................................................ 83
4.6 Apresentação Gráfica da Transformada Wavelet ........................................ 85
5 O Radiotelescópio de Michigan .......................................................................... 90
5.1 Histórico ....................................................................................................... 90
5.2 Funcionamento do Radiotelescópio ............................................................. 92
5.3 Técnica de Observação ............................................................................... 93
5.4 O Banco de Dados ....................................................................................... 94
6 Resultados ......................................................................................................... 95
6.1 OJ287 ........................................................................................................... 96
6.2 OV236 ........................................................................................................ 117
6.3 0333+321 ................................................................................................... 128
7 Conclusões ...................................................................................................... 138
8 Trabalhos Futuros ............................................................................................ 141
Apêndice A – Alguns Tipos de Wavelet-Mãe .......................................................... 142
Apêndice B – Comandos e Rotinas do Matlab ........................................................ 143
Referências ............................................................................................................. 146
22
1 Introdução
Os quasares estão entre os fenômenos de maior emissão contínua de energia do
Universo, apresentando variabilidade em todo o espectro eletromagnético
(BEGELMAN et al. 1984).
Do ponto de vista do avanço do conhecimento físico, eles constituem um fenômeno
importante e desafiador. Os desvios para o vermelho apresentados por esses objetos
parecem indicar que os quasares estão localizados a aproximadamente bilhões de
anos-luz de distância, possibilitando ao pesquisador o vislumbre de uma pequena
amostra do Universo primitivo. Além disso, muitos deles exibem propriedades
incomuns, como jatos com velocidades aparentes superluminais e variabilidade rápida
que parecem contrariar as teorias vigentes.
No campo da Ciência Aplicada e da Engenharia, os quasares são utilizados como
referenciais inerciais para o sistema de geoposicionamento global (GPS).
Os gráficos de densidade de fluxo x tempo, as chamadas curvas de luz, constituem
um meio valioso para caracterizar a variabilidade dos quasares. O estudo de suas
componentes variáveis e perenes proporciona indícios dos fenômenos físicos que
regem o seu funcionamento.
Para que o comportamento temporal das curvas de luz possa ser interpretado de
maneira quantitativa e produza parâmetros confiáveis, ele deve ser submetido a
ferramentas matemáticas apropriadas.
As técnicas de análise de sinais são ferramentas matemáticas importantes em
diversos ramos das ciências experimentais e aplicadas, como a Astrofísica, a
Sismologia, o projeto de circuitos elétricos, a construção civil, o reconhecimento de
padrões, a compressão de dados, a prospecção de petróleo e a música, entre outros.
Neste trabalho inédito foram selecionadas duas técnicas para a análise das curvas de
luz de radiofontes extragalácticas: o periodograma de Lomb-Scargle e a transformada
wavelet. O periodograma de Lomb-Scargle foi escolhido por permitir a análise de
sinais com amostragem irregular. A transformada wavelet foi escolhida por
proporcionar o conhecimento do comportamento temporal das componentes
espectrais encontradas. Em outras palavras, a transformada wavelet revela como o
conteúdo espectral de um sinal varia com o tempo.
23
As curvas de luz analisadas neste trabalho foram compostas por dados coletados pelo
radiotelescópio de Michigan entre a década de 1970 e o início da década de 2010 nas
frequências de 4,8, 8,0 e 14,5 GHz.
O capítulo 2 traz um breve resumo sobre radiofontes e alguns modelos físicos criados
para explicar a variabilidade espectral e temporal dos quasares; no capítulo 3 é
desenvolvido o estudo detalhado das técnicas de análise de sinais; no capítulo 4
aplica-se uma série de testes ao método de análise empregado neste trabalho, onde
será mostrado o procedimento para análise de dados e como o mesmo foi testado a
partir de sinais de entrada conhecidos e de dados da literatura; o capítulo 5 trata do
instrumento de observação utilizado na coleta dos dados deste trabalho; o capítulo 6
traz a análise de cada radiofonte, incluindo o cálculo de parâmetros das regiões de
emissão rádio, como a escala de tempo de variabilidade, as dimensões da região de
emissão e a temperatura de brilhância; o capítulo 7 mostra as conclusões; no capítulo
8 são listadas algumas ideias e linhas de estudo como continuação deste trabalho.
24
2 Visão Geral do Fenômeno
Conforme mencionado na introdução, os quasares estão entre os fenômenos de maior
emissão contínua de energia do Universo. A tabela 2.1 os situa entre alguns objetos
astrofísicos conhecidos.
Tabela 2.1: Comparação da luminosidade de diferentes objetos astrofísicos.
Objeto Luminosidade
(erg.s-1)
Tempo de Vida Estimado
(anos)
Sol 1033 1010
Via Láctea 1043 1010
Galáxias Seyfert 1044 108
Radio Galaxias 1045 107
Gamma Ray Bursts 1054 10-6
Quasares 1049 107
2.1 Radiofontes
O termo radiofonte usado neste trabalho refere-se às regiões de emissão rádio
presentes nos quasares. Essas regiões geralmente apresentam tamanhos angulares
de milissegundos de arco e alta luminosidade. Sua densidade de fluxo pode variar em
períodos de meses, semanas ou mesmo dias.
Para explicar a enorme luminosidade oriunda de regiões tão compactas, Rees (1984)
propôs o mecanismo gravitacional de acresção1 de matéria como o modelo mais
provável para a sua geração de energia. O núcleo ativo seria formado por um disco
de acresção constituído por uma grande quantidade de material intergaláctico
orbitando um objeto denso e compacto localizado no seu centro. Devido à
1 A palavra “acresção” usada neste trabalho provém da palavra inglesa accretion. A tradução mais próxima para o Português seria “acréscimo”, mas preferiu-se utilizar “acresção” por ser uma palavra usada no jargão da Astrofísica e que remete automaticamente ao contexto a que ela pertence.
25
conservação do momento angular, as velocidades tangenciais do disco tornariam-se
maiores na direção do núcleo compacto e a viscosidade seria responsável pelo
aquecimento do gás. Shapiro, Lightman e Eardley (1976) demonstraram que para o
caso de um buraco negro de 10 massas solares e taxa de acresção de 7 . 1017 g.s-1
poderia-se chegar à produção de um espectro de raios-X na faixa de 8 a 500 keV.
Segundo esse modelo, ilustrado na figura 2.1, os raios-X são produzidos na parte mais
interna e quente do disco (região I). As regiões II e III produzem espectros de corpo
negro modificados pelo efeito de espalhamento, com temperaturas da ordem de 106
K na superfície. A região IV é a mais externa e fria do disco, contribuindo com um
espectro de corpo negro2 na faixa do ultravioleta.
Figura 2.1: Em cima: Corte em perfil do disco de acresção. Embaixo: Disco de acresção visto de cima. Os valores 3300, 44, 28 e 6 referem-se a unidades do raio de Schwarzschild3. Fonte: Adaptado de SHAPIRO; LIGHTMAN; EARDLEY (1976).
As radiações de energias mais altas provenientes das regiões mais internas do disco
de acresção poderiam ionizar uma nuvem de gás existente ao seu redor. Além disso,
2 Corpo negro é o nome dado a um corpo hipotético que absorve e emite radiação em todos os comprimentos de onda. O espectro de emissão de corpo negro obedece a Lei de Planck e é função unicamente da temperatura. 3 O raio de Schwarzschild é a distância medida a partir da singularidade de um buraco negro e que delimita uma região em torno do mesmo (chamada “Horizonte de Eventos”) de onde nem mesmo ondas eletromagnéticas podem escapar devido à enorme distorção de espaço/tempo.
26
se for considerada a presença de campo magnético em regiões onde existe gás
ionizado, poderia acontecer o efeito de “congelamento” das linhas de campo
magnético. Esse efeito ocorre quando a densidade de energia das partículas
relativísticas é maior que a densidade de energia do campo magnético B2/8π. Neste
caso as partículas arrastariam consigo as linhas de campo magnético ao longo do seu
percurso (REES, 1967).
2.2 Espectro Rádio dos Quasares
A figura 2.2 mostra o espectro sincrotrônico4 de uma fonte homogênea.
Figura 2.2: Espectro sincrotrônico de uma fonte homogênea. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Quando a frequência de observação é menor que a frequência de transição 𝜈𝑇, a fonte
aparece opticamente espessa devido à auto-absorção provocada pelo gás ionizado
presente na região. O índice espectral para essa região do espectro é 2,5. Acima da
frequência de transição existe a frequência de máximo 𝜈𝑚, onde a densidade de fluxo
assume o valor Sm. Na parte opticamente fina a densidade de fluxo obedece a relação
𝑆𝜈 ∝ 𝜈𝛼, onde é o índice espectral dado pela equação 2.1.
4 A radiação sincrotrônica consiste em energia emitida na forma de ondas eletromagnéticas por partículas carregadas movendo-se em velocidades relativísticas na presença de campos magnéticos. O espectro sincrotrônico descreve a densidade de fluxo ou potência emitida em função da frequência.
27
𝛼 = −𝑙𝑛
𝑆1𝑆2
𝑙𝑛𝜈1𝜈2
(2.1)
O formato do espectro das radiofontes depende de dois parâmetros: a distribuição de
energia dos elétrons relativísticos e a profundidade óptica (KELLERMANN; PAULINY-
TOTH, 1969).
De uma maneira geral, radiofontes compactas contendo várias componentes
sincrotrônicas com frequências de transição e intensidades diferentes produzem um
espectro com formato diferente do mostrado na figura 2.2.
Como exemplo, a figura 2.3 mostra o espectro do quasar OV236 entre março de 2005
a setembro de 2006 nas frequências de 4,8, 8,0, 14,5, 22 e 43 GHz.
Figura 2.3: Espectro de OV236 de 4,8 a 43 GHz. As curvas coloridas representam meses diferentes. Azul escuro: março-2005; rosa: novembro-2005; amarelo: abril-2006; azul claro: setembro-2006. Nota-se que a frequência de máximo se desloca para frequências mais baixas ao longo do tempo. Os dados em 22 e 43 GHz foram obtidos pelo radiotelescópio do Itapetinga (Brasil). Os demais foram obtidos pelo radiotelescópio de Michigan (Estados Unidos). Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Observações realizadas com o uso de VLBI5 mostram que OV236 é uma fonte
compacta e possui múltiplas componentes e estruturas muito complexas (SHEN et al.
1999, 2002).
5 VLBI é a sigla para a expressão inglesa Very Long Baseline Interferometry. Sua tradução é: Interferometria de Linha de Base Muito Longa. Trata-se de uma técnica de observação onde dois instrumentos de observação (antenas, telescópios) são posicionados a grande distância um do outro e usados em conjunto para que se atinja maior resolução angular do que a resolução possível de ser obtida com um único instrumento.
28
Na figura 2.3 a frequência de transição desloca-se para frequências mais baixas ao
longo do tempo. Isso está de acordo com os modelos que serão apresentados na
seção 2.3. À medida que se expande, a fonte evolui de um estado opticamente
espesso para um estado opticamente fino, permitindo que as radiações de frequências
cada vez menores se tornem visíveis.
O capítulo 6 traz maiores detalhes sobre a evolução temporal das curvas de luz e do
espectro de OV236.
2.3 Eventos em Radiofontes
Instabilidades na região I da figura 2.1 seriam responsáveis por ejetar aglomerados
de plasma e linhas de campo magnético, os plasmons, a grandes velocidades,
fazendo com que os mesmos cheguem à região dos jatos. A figura 2.4 ilustra esse
processo.
Figura 2.4: Formação de jatos extragalácticos a partir de um buraco negro circundado por um disco de acresção. Devido a instabilidades, a matéria presente nas regiões centrais do disco chega à região dos jatos, dando origem à radiação sincrotrônica. Fonte: Adaptado de FREEDMAN & KAUFMANN III, UNIVERSE.
O termo evento será definido aqui como variação (aumento) da densidade de fluxo de
uma radiofonte. Conforme a figura 2.4, um evento ocorreria toda vez que um plasmon
29
é ejetado do disco de acresção, atingindo a região do jato e se misturando ao plasma
e ao campo magnético ali presentes.
A seguir serão discutidos alguns modelos que tentam explicar a física envolvida na
evolução temporal das curvas de luz e dos espectros de radiofontes extragalácticas.
Neste trabalho as notações originais utilizadas pelos autores para denominar
constantes e parâmetros físicos foram modificadas por razões de uniformidade para
que os mesmos parâmetros físicos pudessem ser representados de maneira idêntica
nos diferentes modelos discutidos. Para assegurar o bom entendimento, as
constantes serão identificadas e definidas quando do seu primeiro aparecimento nas
equações. Exceções são feitas a parâmetros e constantes que transcendem um
modelo específico e são utilizados universalmente na Física, como c (velocidade da
luz), ou π.
Rees (1967) publicou um modelo para explicar os eventos em quasares a partir de
explosões onde as partículas apresentam velocidades relativísticas. No seu modelo
existem três fases de evolução que serão detalhadas a seguir.
Na primeira fase a fonte tem dimensões pequenas, a energia armazenada no campo
magnético é maior que a energia cinética das partículas, e por isso os elétrons
relativísticos são orientados por esse campo. Nesta fase a absorção pelo meio (auto-
absorção) é importante e a radiação percebida pelo observador provém de uma fina
camada situada na superfície do esferóide em expansão. A dependência da
densidade de fluxo com o tempo é dada por:
𝑆1 ∝ 𝑡3 (2.2)
onde S1 é a densidade de fluxo na primeira fase e t é o tempo.
Dada uma fonte expandindo-se relativisticamente com fator de Lorentz , situada à
distância d do observador, a densidade de fluxo em função da frequência é dada pela
equação 2.3:
𝑆1 =8
35(1 + 6√2)
𝜋𝑐2𝑡3𝐵0−1 2⁄
𝛾7 2⁄ 𝜈2,5
𝑑2 (2.3)
30
onde vale aproximadamente 3 . 107 W.m-2.str-1.Hz-2, ν é a frequência medida em
MHz e B0 é o campo magnético medido em gauss.
Nota-se que na primeira fase a densidade de fluxo cresce em função do tempo para
uma dada frequência e que as componentes de frequências mais altas exibem
amplitudes maiores para um dado instante.
Devido ao fato da fase 2 ser uma fase intermediária, a equação que a define possui
elementos comuns à fase 1 e à fase 3. A fase 3 será comentada a seguir, antes da
descrição da fase 2, por esse motivo.
Na terceira fase a auto-absorção é desprezível em toda a fonte e a dependência da
densidade de fluxo no tempo é dada por:
𝑆3 ∝ 𝑡−2(2𝛼+1) (2.4)
onde S3 é a densidade de fluxo na terceira fase, t é o tempo e é o índice espectral.
Na terceira fase o comportamento espectral da densidade de fluxo é dado por ν−α:
𝑆3 ∝ 𝜈−𝛼 (2.5)
Na segunda fase a região externa da fonte torna-se opticamente fina, enquanto a auto-
absorção continua sendo importante nas regiões mais internas. A radiação observada
provém das regiões mais próximas à superfície do esferóide e a densidade de fluxo
em um dado instante depende tanto da camada que define a primeira fase, quanto da
camada contígua que se tornou transparente. A equação desta fase é dada por:
𝑆2 ∝ 𝑡3 + 𝑡−2(2𝛼+1), (2.6)
onde S2 é a densidade de fluxo na segunda fase, t é o tempo e é o índice espectral.
Sendo uma fase intermediária, o comportamento espectral da densidade de fluxo na
fase 2 possui contribuições das fases 1 (S2,1) e 3 (S2,3). A componente espectral da
densidade de fluxo semelhante à fase 1 possui o termo ν2,5:
𝑆2,1 = 𝜋𝑐2𝑡3𝜈2,5
𝑑2 𝛿′3 2⁄𝐵0
−1 2⁄(2𝛾𝛿′ − 1 − 𝛿′2
) (2.7)
31
A componente espectral da densidade de fluxo semelhante à fase 3 possui o termo
ν−α:
𝑆2,3 = 𝜋𝑐3𝜈−𝛼𝑡−2(2𝛼+1)
𝑑2 ∫ (2𝛾0𝛿 − 1 − 𝛿2)𝛿−(3𝛼+2)𝑑𝛿𝛾(1+𝑣0 𝑐)⁄
𝛿′ (2.8)
onde é uma constante que depende do valor de B0 e da densidade de elétrons
relativísticos e é o fator Doppler da região em expansão cuja velocidade é v0 e que
forma o ângulo θ com a linha de visada. O fator Doppler é expresso como:
𝛿 =1
𝛾(1−𝑣 𝑐⁄ 𝑐𝑜𝑠𝜃) (2.9)
e ’ é o fator Doppler das partículas situadas na interface entre a região opticamente
espessa da primeira fase (região II) e a região opticamente fina da terceira fase (região
I) conforme mostrado na figura 2.5.
Figura 2.5: Corte longitudinal de dois momentos de uma fonte em expansão relativística. é o fator Doppler definido em função da velocidade e do ângulo de visada entre o observador e a origem da explosão. Durante a fase 2 da expansão, a radiação pode escapar livremente da região I (transparente). A auto-absorção continua importante na região II, de modo que a radiação efetiva percebida pelo
observador vem somente da superfície dessa região (onde = ’). (b) corresponde a um momento
posterior em relação a (a). A densidade de fluxo da região I é calculada através da integração da
contribuição de elementos com diferentes valores de . O elemento diferencial de , d, é mostrado em (b). Fonte: Adaptado de REES (1967).
32
A figura 2.6 mostra gráficos superpostos das três fases.
Figura 2.6: Representação das três fases do modelo de Rees (1967). A cada fase corresponde uma equação (vide texto). Fonte: Figura elaborada pelo autor.
A figura 2.7 mostra a curva característica de um evento a partir da combinação das
três fases do modelo de Rees (1967).
Figura 2.7: Curva característica de um evento a partir do modelo de Rees (1967). O trecho azul corresponde à fase 1. O trecho laranja corresponde à fase 2. O trecho cinza corresponde à fase 3. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Na figura 2.7 o formato da curva representa o aumento e a queda da densidade de
fluxo durante um evento.
As irregularidades das linhas de campo magnético ao longo do jato seriam outra causa
possível para o surgimento dos eventos. A figura 2.8 ilustra o aumento da densidade
33
das linhas de fluxo magnético em estreitamentos presentes em diferentes regiões do
jato.
Figura 2.8: Representação de um trecho de um jato extragaláctico. Os estreitamentos do jato onde ocorre o aumento da densidade de linhas de campo magnético provocam aumento na radiação sincrotrônica. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Para efeito dos dados observacionais utilizados neste trabalho, as radiofontes são
consideradas objetos compactos formados pelo conjunto de diversas componentes
sincrotrônicas independentes e onde é impossível acompanhar um único evento em
toda a sua evolução. O que é observado é uma superposição de eventos isolados
conforme mostrado na figura 2.9.
Figura 2.9: Representação de três eventos sucessivos. As curvas dos eventos foram modeladas segundo as equações de Rees (1967) para as três fases dos eventos. A curva superior (amarela) é a superposição dos eventos isolados. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
34
Conforme será mostrado na seção 2.4, o tempo de crescimento e a amplitude do
evento são grandezas usadas para o cálculo da temperatura de brilhância. Tempos
curtos e grandes amplitudes resultam em temperaturas maiores.
As ideias acima foram sendo aperfeiçoadas ao longo dos anos seguintes.
O trabalho de Jones e Tobin (1977) foi muito importante para os modelos
subsequentes de Marscher (1978), Marscher e Gear (1985) e de Türler (1999). Nele
é mostrado que modelos de fontes esféricas expandindo adiabaticamente onde se
considera a contribuição radiativa do volume total da fonte são ineficientes na
produção de variações superluminais da densidade de fluxo. Isso se deve ao fato de
que no centro desse tipo de fonte as velocidades de expansão são relativamente
baixas. Para que houvesse altas velocidades nessas regiões, ou o meio deveria ser
excessivamente tênue, ou as energias envolvidas deveriam ser extremamente altas.
Jones e Tobin (1977) chegaram à conclusão de que no cenário mais plausível as altas
velocidades estariam vinculadas às componentes de maiores raios, sugerindo que as
conchas seriam as estruturas mais eficientes na produção de efeitos superluminais.
Elas poderiam ser criadas por ondas de choque geradas por explosões ou por
estreitamentos do jato conforme mostrado na figura 2.8.
A descoberta dos jatos (COHEN et al. 1977) mudou o rumo dos modelos.
Marscher (1978) desenvolveu um modelo muito interessante, combinando as
conclusões de Jones e Tobin (1977) e os resultados acerca dos jatos mostrados por
Cohen et al. (1977). Nesse modelo uma onda de choque relativística teria início a partir
de uma explosão onde a energia liberada é maior que a energia de repouso do
material que compõe o meio. Essa onda se propaga através de um meio confinado a
um disco fino cuja densidade e campo magnético diminuem com o raio. Devido ao
formato do meio, a frente de choque teria o formato de um anel. Como consequência,
a emissão sincrotrônica resultante seria observada como uma explosão na densidade
35
de fluxo e, dependendo do ângulo de visada, o observador poderia ter a impressão de
ver duas componentes opostas se distanciando do centro (figura 2.10) com
velocidades excedendo 2c.
Figura 2.10: Distribuição de brilhância da onda de choque observada a partir de ângulos de inclinação de (a) 0o, (b) 15o e (c) 30o. O ponto C representa uma projeção do centro da fonte e ψpeak é o ângulo de posição de um ponto de máximo de brilhância em relação à projeção do centro C da fonte. Fonte: MARSCHER (1978).
Conforme a onda de choque se propaga pelo disco de gás, a região de emissão
expande e esfria.
Seguindo uma ideia semelhante, Blandford e Königl (1979) interpretaram a
variabilidade das radiofontes extragalácticas mais intensas a partir de um jato
supersônico relativístico formando um ângulo menor que 10º com a linha de visada.
Do mesmo modo que em (JONES; TOBIN, 1977) e em (MARSCHER, 1978), os
elétrons relativísticos responsáveis pela radiação sincrotrônica observada seriam
acelerados localmente ao longo do jato. De acordo com os seus cálculos, a energia
média dos elétrons atrás da frente de choque deveria ser de pelo menos 100 MeV
para produzir os efeitos observados. Eles também derivaram expressões para a
amplificação Doppler da densidade de fluxo e as temperaturas de brilhância
correspondentes, mostrando que mesmo temperaturas de brilhância aparentes da
ordem de 1015 K, calculadas principalmente a partir de dados em baixas frequências,
36
se enquadrariam no limite imposto pela catástrofe Compton6 no referencial da fonte
quando se considera uma expansão relativística.
Marscher e Gear (1985) aplicaram diferentes modelos à evolução temporal e espectral
de uma explosão do quasar 3C273. Eles chegaram à conclusão que as variações
observadas eram melhor explicadas através de uma onda de choque passando por
um jato relativístico cônico (figura 2.11) e adiabático ao invés de uma fonte uniforme
em expansão.
Figura 2.11: Esquema da geometria de um jato cônico relativístico caracterizado por um fator de Lorentz
e com ângulo de abertura de 2Φ. Por convenção, assume-se que o eixo do jato é o eixo x e que ele
forma um ângulo com a linha de visada. Os elétrons e o campo magnético são injetados na posição R0. Fonte: Traduzido de MARSCHER; GEAR (1985).
A região da figura 2.11 denominada “Gerador Central de Energia” não é discutida
neste modelo e diz respeito ao mecanismo de geração dos elétrons relativísticos e do
campo magnético. Conforme discutido no início desta seção, considera-se que esse
mecanismo pode ter como base um disco de acresção.
6 A catástrofe Compton é o fenômeno onde elétrons ultrarelativísticos perdem energia para um campo de fótons de baixa energia (normalmente na faixa de micro-ondas) por efeito Compton inverso, levando esses fótons para a zona de raios-X e raios gama. Neste cenário demonstra-se que quando os fótons ganham energia, eles tornam-se ainda mais suscetíveis de receber energia dos elétrons presentes no meio, conduzindo-os ao rápido esgotamento devido a um efeito em cascata. Isso acabaria com o processo sincrotrônico rapidamente e por isso a fonte não poderia ser observada por muito tempo.
37
A região da figura onde se lê pipeline7 é uma região por onde passam os elétrons
relativísticos e o campo magnético antes de serem injetados no interior do cone.
Considera-se que os elétrons relativísticos e o campo magnético sejam injetados em
uma região situada a uma distância R0 do vértice do cone. Este vértice não coincide
necessariamente com a fonte de energia central. O eixo do cone forma um ângulo
com a linha de visada. Sendo o ângulo de abertura do cone, considera-se >> . O
plasma injetado em R0 flui estavelmente com uma velocidade relativística,
caracterizada por um fator de Lorentz constante. Assume-se que o fluxo no jato é
adiabático e que o fator Doppler é constante.
Considera-se que a distribuição de energia dos elétrons é dada pela equação
𝑁(𝐸) = 𝑌𝐸−𝑠 (2.10)
onde s = 1-2 é o índice de energia dos elétrons relativísticos, e é o índice espectral.
Considera-se s = 3,4 para a componente variável e s = 2,4 para a componente perene
(MARSCHER; GEAR, 1985).
A componente variável é aquela relacionada a um evento, quando há uma explosão
ou aumento da densidade de fluxo. A componente perene também é conhecida como
quiescente. Em outras palavras, é uma componente aproximadamente constante.
Y é o parâmetro da distribuição de energia dos elétrons relativísticos, variando com a
distância R ao vértice do cone:
𝑌 = 𝑌0(𝑅0 𝑅⁄ )2(𝑠+2) 3⁄ (2.11)
Onde s = 2,4 para o jato, pois assume-se que o jato é a componente perene por onde
a onda de choque passa. Logo,
𝑌 ∝ 𝑅−2,93 (2.12)
A densidade do campo magnético é dada pela equação:
7 Pipeline é uma palavra de origem inglesa associada às linhas de montagem em processos fabris. Os elementos estão sujeitos a uma organização pré-determinada, como uma fila, e adentram o local de processamento de maneira ordenada.
38
𝐵 ∝ 𝑅−𝑎 (2.13)
onde “a” é o parâmetro que controla o decaimento do campo magnético com a
distância. De acordo com o modelo, o valor de a é 1 para a parte opticamente espessa
e 2 para a parte opticamente fina.
De uma maneira geral,
𝛼𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜 = [3(2𝑠 + 3)𝑎 + 4𝑠 − 19] [3(𝑠 + 2)𝑎 + 2(2𝑠 + 1)]⁄ (2.14)
Assim, uma vez conhecido o espectro quiescente ou ativo de uma radiofonte, pode-
se usar o valor de s correspondente para encontrar o valor do parâmetro de
decaimento do campo magnético.
Marscher e Gear (1985) estudaram a formação de ondas de choque geradas por
perturbações na pressão em algum ponto do jato conforme mostrado na figura 2.8.
Os elétrons relativísticos têm a sua energia amplificada por um fator η conforme eles
atravessam a frente de choque. O fator η é a taxa de compressão expressa como a
razão entre a densidade do meio imediatamente à frente e atrás da frente de choque.
Durante a evolução da onda de choque o volume emissor se expande. À medida que
o evento se desenvolve, os elétrons sofrem primeiramente perdas Compton (efeito
Compton inverso) e depois perdas sincrotrônicas. O último estágio é adiabático.
Quando as perdas Compton são relevantes, a densidade de fluxo aumenta em todas
as frequências devido à colisão entre os elétrons relativísticos e os fótons emitidos
presentes no meio. Nesse estágio a frequência de máximo muda ligeiramente com o
tempo. O comportamento espectral da densidade de fluxo pode ser calculado por:
𝑆𝜈 ∝ 𝑅[(11−𝑠)−𝑎(𝑠+1)] 8⁄ 𝜈−𝑠 2⁄ (2.15)
A frequência de máximo é dada pela equação
𝜈𝑚 ∝ 𝑅−(𝑎+1) 4⁄ (2.16)
e a densidade de fluxo máxima é dada por
39
𝑆𝑚 ∝ 𝜈𝑚−(11−𝑎) [2(𝑎+1)]⁄ (2.17)
Conforme discutido por Blandford e Rees (1974), espera-se que 𝐵⊥ ∝ 𝑅−1atrás da
frente de choque.
Reescrevendo as expressões para a frequência de máximo e a densidade de fluxo
com a = 1,
𝜈𝑚 ∝ 𝑅−1 2⁄ (2.18)
e
𝑆𝑚 ∝ 𝜈𝑚−5 2⁄ (2.19)
O estágio seguinte é dominado pelas perdas sincrotrônicas. Dependendo do valor do
índice de energia dos elétrons relativísticos, a densidade de fluxo pode permanecer
constante, aumentar ou decair lentamente com o tempo.
O comportamento espectral da densidade de fluxo nessa fase é dada por:
𝑆𝜈 ∝ 𝑅−[4(𝑠−1)+3𝑎(𝑠−2)] 6⁄ 𝜈−𝑠 2⁄ (2.20)
Fazendo a = 1 por se tratar do jato,
𝑆𝜈 ∝ 𝑅−1,13𝜈−1,2 (2.21)
A frequência de máximo é dada por
𝜈𝑚 ∝ 𝑅−0,98 (2.22)
e a densidade de fluxo máxima fica
𝑆𝑚 ∝ 𝜈𝑚−0,05 (2.23)
Em seguida surge o estágio adiabático. O significado de adiabático no texto se refere
ao fato de que nesta fase os elétrons perdem energia por radiação nas frequências
observadas devido à expansão da região de emissão e não pela dissipação de energia
da onda de choque à medida que ela se propaga e interage com o meio. Neste último
estágio, com a =1, tem-se:
40
𝑆𝜈 ∝ 𝑅−7𝑎(𝑠−1) 6⁄ 𝜈−(𝑠−1) 2⁄ (2.24)
𝜈𝑚 ∝ 𝑅−(7𝑠+8) 3(𝑠+4)⁄ (2.25)
𝑆𝑚 ∝ 𝜈𝑚10(𝑠−1) (7𝑠+8)⁄
(2.26)
Esse modelo foi aplicado com sucesso a uma explosão detectada em 1983 em rádio
e no infravermelho para o quasar 3C273 após a subtração de uma componente
quiescente de variação desprezível na escala de tempo estudada (MARSCHER;
GEAR, 1985).
Em 1999, Türler, Courvoisier e Paltani publicaram um modelo que segue a mesma
ideia geral do modelo de Marscher e Gear (1985). A aproximação proposta neste
modelo não supõe a necessidade de subtração de um espectro quiescente.
A ideia principal desse modelo é a decomposição de um conjunto de curvas de luz em
uma série de explosões abrangendo um determinado período de tempo (TÜRLER et
al., 1999).
Duas abordagens diferentes foram aplicadas. Na primeira abordagem, a curva de luz
de cada explosão foi modelada de acordo com uma função analítica arbitrária capaz
de se ajustar suavemente de acordo com a frequência. Na segunda abordagem, as
curvas foram modeladas seguindo o modelo sincrotrônico para um espectro de auto-
absorção.
Os resultados obtidos através da aplicação deste modelo foram consistentes com os
obtidos por Marscher e Gear (1985). A principal vantagem do modelo de Türler et al.
(1999) sobre este último é a generalização que permite considerar um jato não-cônico
com regiões de estreitamento onde o aumento da velocidade poderia originar novos
aumentos na densidade de fluxo.
2.4 Parâmetros da Região de Emissão Rádio
Devido ao efeito de superposição das componentes presentes na região de emissão,
os eventos sempre se iniciam a partir de um valor de densidade de fluxo mínimo que
pode ser diferente de zero. Isso pode ser visto na curva amarela da figura 2.9. Esse
valor inicial da densidade de fluxo será chamado ∆𝑆.
41
Associa-se ao parâmetro 𝜏𝑣𝑎𝑟 o aumento da densidade de fluxo de ∆𝑆 a ∆𝑆𝑚𝑎𝑥
observado no período ∆𝑡.
𝜏𝑣𝑎𝑟 ≈ (1 + 𝑧)−1 ∆𝑆𝑚𝑎𝑥
∆𝑆∆𝑡 (segundos) (2.27)
𝜏𝑣𝑎𝑟 é o período observado corrigido para o referencial da radiofonte por
(1 + 𝑧)−1, onde z é o desvio para o vermelho da radiofonte. O fator
∆𝑆𝑚𝑎𝑥∆𝑆⁄
multiplicado pelo tempo próprio confere peso à flutuação da densidade de fluxo de
maneira similar a uma média ponderada (WAGNER; WITZEL, 1995).
Multiplicando-se 𝜏𝑣𝑎𝑟 pela velocidade da luz c, encontra-se o raio de variabilidade
𝑟𝑣𝑎𝑟 :
𝑟𝑣𝑎𝑟 = 𝑐 𝜏𝑣𝑎𝑟 (parsecs) (2.28)
O raio de variabilidade 𝑟𝑣𝑎𝑟 é uma estimativa do limite superior que o tamanho da
região de emissão rádio pode atingir.
Sendo 𝑑 a distância entre o observador e a radiofonte e 𝐻 (73 km.s-1.Mpc-1) a
constante de Hubble, o diâmetro angular da fonte é dado por:
𝜃𝑣𝑎𝑟 =2𝑟𝑣𝑎𝑟
𝑑= 2𝑟𝑣𝑎𝑟(1 + 𝑧)2 𝐻
𝑐𝑧 (radianos) (2.29)
A partir do diâmetro angular da fonte calcula-se a temperatura de brilhância:
𝑇𝑏 =2𝑐2∆𝑆𝑚𝑎𝑥
𝜋𝑘𝜈2𝜃𝑣𝑎𝑟2 (kelvin) (2.30)
Onde k é a constante de Boltzmann (1,3806 . 10-23 J.K-1).
A temperatura de brilhância para uma radiofonte que emite energia através do
processo sincrotrônico baseia-se em uma distribuição de energia tipo lei-de-potência
para os elétrons presentes na região de emissão.
Medidas da densidade de fluxo e das variações angulares de uma radiofonte resultam
em valores de temperatura de brilhância da ordem de 1011 a 1012 K.
42
Temperaturas de brilhância maiores que 1012 K resultariam em perdas Compton
provocando o rápido “esfriamento” da região de emissão.
Não obstante, diversos pesquisadores como Condon et al. (1979), Linfield et al. (1989)
e Shen et al. (1999, 2002) calcularam temperaturas de brilhância superiores ao limite
de 1012 K.
Conforme comentado anteriormente (BLANDFORD; KÖNIGL, 1979), poderia-se
atribuir as altas temperaturas calculadas a efeitos de amplificação Doppler causados
pelas velocidades relativísticas das componentes associadas a pequenos ângulos de
visada. A equação 2.31 mostra a relação entre a densidade de fluxo S𝑜𝑏𝑠 no
referencial do observador e a densidade de fluxo 𝑆𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 no referencial da fonte.
S𝑜𝑏𝑠 = 𝑆𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 𝛿3+α (2.31)
onde é o fator Doppler e é o índice espectral.
Esta seria uma interpretação onde os limites de perdas Compton não seriam
excedidos no referencial da fonte.
Outros tipos de explicação para temperaturas de brilhância acima de 1012 K envolvem
a radiação sincrotrônica de prótons, caso em que a temperatura de brilhância
calculada pode atingir o valor de até aproximadamente 78.500 vezes8 a temperatura
de brilhância calculada para elétrons. A radiação sincrotrônica coerente também
proporcionaria um cenário onde a densidade de fluxo irradiada pela fonte poderia
facilmente exceder o limite de temperaturas de brilhância de 1012 K sem que, à
princípio, os elétrons responsáveis pela emissão sofressem perdas por efeito
Compton inverso conforme a chamada “catástrofe Compton”. No caso da radiação
sincrotrônica coerente os elétrons formam pequenos grupos, chamados bunches9,
que emitem em fase, de maneira semelhante a um laser, onde a potência irradiada é
proporcional ao quadrado do número de elétrons (NOVOKHATSKI, 2012). A figura
2.12 mostra o espectro de potência de um bunch de 0,2 mm (linha vermelha), de um
bunch de 1,8 mm (linha verde) e de um único elétron emitindo no modo incoerente.
8 (mp/me)3/2 = 78.486,89, onde mp é a massa do próton e me é a massa do elétron (REES, 1967). 9 Bunch, plural bunches, é uma palavra de origem inglesa que significa “agrupamento” (no caso, de elétrons). A expressão será usada no texto em seu original em inglês.
43
Figura 2.12: Espectro de potência da radiação sincrotrônica emitida por um bunch de 0.2 mm (linha vermelha) e por um bunch de 1.8 mm (linha verde). A linha azul é o espectro de potência de um único elétron emitindo no modo incoerente. As abcissas variam de 10 em 10, de 0,001 a 1 milhão (terahertz). As ordenadas variam de 10 em 10, de 0,01 a 10 milhões (com referência à potência de um elétron emitindo no modo incoerente). Fonte: Adaptado de NOVOKHATSKI, 2012.
Conforme será mostrado no capítulo dos resultados, neste trabalho também foram
calculadas temperaturas de brilhância acima de 1012 K.
O objetivo deste trabalho não é o de ir a fundo na justificativa física dessas
temperaturas, mas simplesmente apresentar os resultados dos cálculos realizados e
mostrar que existem diversas situações onde isso seria possível sem criar qualquer
tipo de conflito com os modelos físicos existentes.
44
3 Métodos Matemáticos
Este capítulo apresenta os métodos matemáticos utilizados neste trabalho para
análise de sinais: a análise por periodograma de Lomb-Scargle e a transformada
wavelet. A análise de Fourier será incluída por se tratar de um método tradicional e
largamente utilizado. A sua discussão será utilizada como introdução ao assunto e
como contraponto aos métodos de Lomb-Scargle e da transformada wavelet. Para a
melhor compreensão do assunto, inicia-se este capítulo com conceitos básicos e
procura-se mostrar o desenvolvimento dos vários métodos de maneira natural e
encadeada sem se prender necessariamente à ordem cronológica. Especial atenção
é dada às limitações de cada método como justificativa para o desenvolvimento dos
tópicos seguintes. São mostrados exemplos de aplicação. Os gráficos e cálculos deste
capítulo foram realizados com o uso do Excel e do Matlab.
3.1 Análise de Fourier
O método que leva o nome de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) baseia-se
na premissa de que qualquer sinal f(t) pode ser expresso como a soma infinita de
suas componentes harmônicas.
Trata-se essencialmente de representar um sinal f(t) como a soma de senos e
cossenos.
Dependendo do tipo de sinal analisado, do instrumento de análise e dos resultados
que se deseja obter, a análise de Fourier pode ser aplicada de maneiras distintas. São
elas: Série de Fourier, Transformada Contínua de Fourier (CFT)10, Transformada
Discreta de Fourier (DFT)11, Transformada Rápida de Fourier (FFT)12 e Transformada
de Fourier de Tempo Curto (STFT)13. Cada um dos métodos será explicado a seguir.
10 Do inglês, Continuous Fourier Transform. 11 Do inglês, Discrete Fourier Transform. 12 Do inglês, Fast Fourier Transform. 13 Do inglês, Short Time Fourier Transform.
45
3.1.1 Série de Fourier
A série de Fourier permite a decomposição de um sinal PERIÓDICO f(t) de período T
em uma soma de componentes harmônicas:
𝑓(𝑡) = 𝑎0 + ∑ [𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑛𝑡
𝑇+ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛
2𝜋𝑛𝑡
𝑇]∞
𝑛=1 , (3.1)
onde n é o número da harmônica e T é o período.
𝑎0 =1
𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑇 2⁄
−𝑇 2⁄ (3.2)
𝑎𝑛 =2
𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑛𝑡
𝑇𝑑𝑡
𝑇 2⁄
−𝑇 2⁄ (3.3)
𝑏𝑛 =2
𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛
2𝜋𝑛𝑡
𝑇𝑑𝑡
𝑇 2⁄
−𝑇 2⁄ (3.4)
a0 é uma componente de frequência zero. Em sinais elétricos ela pode ser identificada
com o chamado offset. Em Astrofísica ela representa um nível quiescente. As
enésimas componentes harmônicas são representadas por an e bn.
A figura 3.1 mostra a representação gráfica das componentes harmônicas.
Figura 3.1: Representação gráfica dos coeficientes an e bn. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Muito embora encontre aplicações em fenômenos do mundo real, o método por
decomposição em séries de Fourier encontra limitações práticas por abranger tão
somente sinais periódicos definidos em um intervalo de tempo infinito. A transformada
de Fourier é uma generalização que estende a abrangência do método a sinais não
periódicos conforme mostrado a seguir.
46
3.1.2 Transformada Contínua de Fourier
Na figura 3.1 o espaço entre duas harmônicas é dado por = 2/T.
Quando o período T tende a infinito as raias espectrais da figura 3.1 tornam-se muito
próximas a ponto de quase se fundirem umas com as outras (pois ∆𝜔 → 0). O espaço
entre duas harmônicas tende a zero e o gráfico torna-se uma função contínua da
frequência. A figura 3.2 ilustra esse conceito.
Figura 3.2: Passagem da Série de Fourier com raias discretas para a função contínua da variável
frequência angular (𝜔𝑛), quando T tende a infinito e o intervalo 2𝜋 𝑇⁄ tende a zero. Os formatos adotados para a amplitude das raias (à esquerda) e para a curva contínua (à direita) são arbitrários e servem unicamente para ilustrar a passagem do cenário de raias discretas para uma curva contínua. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Matematicamente:
Substituindo a0, an e bn na equação 3.1, lembrando que 𝜔𝑛 =2𝜋𝑛𝑡
𝑇, que ∆𝜔 =
2𝜋
𝑇 ,
1
𝑇=
∆𝜔
2𝜋 e
𝑇
2=
𝜋
∆𝜔 , e fazendo ∆𝜔 → 0
𝑓(𝑡) = ∫ {𝑑𝜔
𝜋∫ 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
∞
−∞𝑑𝑡 } 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + ∫ {
𝑑𝜔
𝜋∫ 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
∞
−∞𝑑𝑡} 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡
∞
𝜔=0
∞
𝜔=0 (3.5)
fazendo
𝐴(𝜔) =1
2𝜋∫ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞ (3.6)
e
𝐵(𝜔) =1
2𝜋∫ 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞ (3.7)
A equação 3.5 fica:
𝑏𝑛 =2
𝑇∫ 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛
2𝜋𝑛𝑡
𝑇𝑑𝑡
𝑇/2
−𝑇/2
47
𝑓(𝑡) = 2 ∫ 𝐴(𝜔)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑑𝜔 + 2 ∫ 𝐵(𝜔)𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡𝑑𝜔∞
0
∞
0 (3.8)
Passando à forma complexa (𝑒𝑖𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡)
𝐹(𝜔) =1
2𝜋∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞ , (3.9)
𝑓(𝑡) = ∫ 𝐹(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔∞
−∞ (3.10)
O espectro de potência, ou periodograma clássico, é definido como:
𝑃(𝜔) =1
√2𝜋|𝐹(𝜔)|2 (3.11)
No espectro de potência, se f(t) possui uma componente senoidal de frequência
angular ω0, então em ω = ω0 e nas suas vizinhanças os termos f(t) e 𝑒−𝑖𝜔𝑡 estão
em fase e proporcionam uma grande contribuição na equação F. Para outros valores
de ω os termos da integral variam entre valores positivos e negativos e os
cancelamentos resultantes levam a um valor pequeno. Logo, a presença de um sinal
senoidal de frequência ω0 é indicada por um valor grande de P próximo ao valor ω0
– como um pico estreito no espectro (SCARGLE, 1982). A figura 3.3 mostra uma onda
quadrada e a figura 3.4 mostra o periodograma correspondente onde se encontram
os picos estreitos correspondentes às frequências que a compõem.
Figura 3.3: Onda quadrada. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
48
Figura 3.4: Periodograma da onda quadrada. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
As integrais de Fourier representam uma função não necessariamente periódica e que
é definida em um intervalo de tempo infinito. Isso implica em uma limitação, conforme
ficará claro no próximo exemplo.
Sejam os sinais 1 e 2 com as seguintes propriedades:
O Sinal 1 inicia com uma componente de baixa frequência, seguindo assim até a
metade da duração do sinal, onde é substituída por uma componente de alta
frequência (figura 3.5).
Figura 3.5: O Sinal 1. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
O Sinal 2 inicia com uma componente de alta frequência, seguindo assim até a metade
da duração do sinal, onde é substituída por uma componente de baixa frequência
(figura 3.6).
49
Figura 3.6: O Sinal 2. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Calculando a transformada de Fourier dos sinais 1 e 2, obtém-se a figura 3.7.
Figura 3.7: Transformada de Fourier do Sinal 1 e do Sinal 2. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
50
A figura 3.7 mostra que não há diferença entre o Sinal 1 e o Sinal 2 no domínio da
frequência.
Conclui-se que a transformada de Fourier pode ser usada para obter o comportamento
de sinais no domínio da frequência, porém não traz informações sobre os momentos
em que as componentes espectrais existem no domínio do tempo. Dependendo do
objetivo da análise, isso pode constituir uma limitação ou não.
Para os casos onde se deseja obter informações temporais das componentes
espectrais, isso constitui uma limitação. Para contorná-la, métodos alternativos foram
desenvolvidos como será descrito no item que trata da transformada de Fourier de
tempo curto e na seção seguinte, que trata da transformada wavelet.
3.1.3 Transformada Discreta de Fourier
O tipo de análise obtida pela transformada discreta de Fourier é muito semelhante à
explicada no item anterior. A principal diferença é que a DFT é aplicada como método
prático para a análise de sinais reais coletados por instrumentos reais através de
medições periódicas (amostragem do sinal), enquanto a CFT como apresentada no
item 3.1.2 é normalmente aplicável no desenvolvimento e solução analítica de
equações algébricas. Aproximações da transformada contínua teórica podem ser
obtidas fazendo o intervalo entre duas amostragens suficientemente pequeno quando
comparado ao período de observação ou à menor periodicidade do sinal analisado.
Para que o sinal amostrado possa ser analisado corretamente, a frequência de
amostragem deve ser ao menos duas vezes mais alta que a frequência do sinal
amostrado. Isso constitui o critério de Nyquist (NEWLAND, 2005, p.120).
Quando o objetivo é descobrir as componentes espectrais de um sinal desconhecido,
o critério de Nyquist determina duas regras práticas a observar:
1. Não se pode tirar conclusões práticas sobre componentes com período menor
que a metade do intervalo de tempo entre duas observações sucessivas;
2. Não se pode tirar conclusões práticas sobre componentes com período
superior à metade do número total de observações.
51
Decorre de (2) que componentes quiescentes devem ser desconsideradas quando os
espectros são obtidos. No capítulo Teste do Método esse efeito será ilustrado e
discutido em maiores detalhes.
De maneira semelhante ao par de transformadas contínuas das equações 3.9 e 3.10,
o par de transformadas discretas fica:
𝐹(𝑘) =1
𝑁∑ 𝑓𝑟𝑒
−𝑖(2𝑘𝜋𝑟
𝑁)𝑁−1
𝑟=0 (3.12)
e
𝑓(𝑟) = ∑ 𝐹𝑘𝑒𝑖(2𝑘𝜋𝑟
𝑁)𝑁−1
𝑘=0 ( 3.13)
Onde k é o número da harmônica e r é o número da amostra, com 1<r<N.
O espectro de potência discreto é definido como
𝑃𝑘 =1
√𝑁|𝐹𝑘|2 (3.14)
Como são necessárias N multiplicações da forma 𝑓(𝑟 ).𝑒(−𝑖(2𝑘𝜋𝑟/𝑁)) para cada um
dos N valores de F(k), o número total de operações matemáticas usadas no algoritmo
para realizar a DFT é N2. Isso pode se tornar oneroso para o sistema de
processamento de dados caso o número de elementos N da série de dados seja
grande, pois isso implica em grande quantidade de memória para armazenar os
resultados das operações. Por envolver um número grande de operações, isso
também implica diretamente no tempo de processamento necessário para realizar a
DFT.
Essas limitações levaram ao desenvolvimento de algoritmos mais eficientes e menos
onerosos para o sistema de processamento de dados conforme será visto no tópico a
seguir.
3.1.4 Transformada Rápida de Fourier
A Transformada Rápida de Fourier (FFT) foi desenvolvida na década de 1960 por J.W.
Cooley e J.W. Tukey. Trata-se de uma otimização dos algoritmos usados no cálculo
da DFT. A FFT reduz a quantidade de operações matemáticas de N2 para N.log2N.
52
Um dos algoritmos mais usados no cálculo da FFT é o radix-2 FFT de Danielson e
Lanczos (DANIELSON; LANCZOS,1942), que determina que N deve ser
continuamente divisível por 2. Em outras palavras, N = 2n.
Caso N não atenda essa condição, na prática pode-se completar a série com zeros
até que N atinja a potência de 2 mais próxima.
A tabela 3.1 mostra uma comparação entre a DFT e a FFT.
Tamanho da Sequência de Dados (N) N2 N.log2N N2/N.log2N
4 16 8 2
16 256 64 4
1024 1048576 10240 102,4
1048576 1,1E+12 20971520 52428,8
Tabela 3.1: Comparação do número de operações necessárias para o cálculo da DFT (coluna 2) e para o cálculo da FFT (coluna 3). A quarta coluna mostra a razão entre o número de operações da DFT e da FFT para uma série de dados de mesmo número N. Quanto maior o tamanho (N) da série, maior a vantagem da FFT sobre a DFT. Fonte: Adaptado de NEWLAND, D.E. An Introduction to Random Vibrations, Spectral & Wavelet Analysis. Dover, 2005.
A primeira coluna mostra diferentes tamanhos N de séries de dados. A segunda
coluna mostra o número de operações matemáticas necessárias para o cálculo da
DFT (N2). A terceira coluna mostra o número de operações matemáticas para o
cálculo da FFT (N.log2N). A quarta coluna mostra a razão N2/(N.log2N)
evidenciando a economia de operações matemáticas da FFT em relação à DFT.
Considerando o mesmo sistema de processamento de dados, a FFT apresenta
desempenho superior à FT, pois como o número de operações é menor, o número de
erros de arredondamentos devido a truncamentos é menor.
3.1.5 Transformada de Fourier de Tempo Curto
A transformada de Fourier de tempo curto (STFT) foi desenvolvida para buscar
contornar a limitação da transformada de Fourier tradicional, que não fornece
informações sobre o comportamento temporal das componentes espectrais
encontradas. A STFT é também conhecida como transformada “janelada” (do inglês,
windowed). Ela calcula a FT em trechos ou “janelas” de tempo do sinal.
A figura 3.8 mostra o tipo de resultado obtido através da STFT.
53
Figura 3.8: STFT dos sinais 1 e 2. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
A figura 3.8 traz informações de maneira bastante intuitiva e de fácil interpretação. No
gráfico do Sinal 1 pode-se distinguir uma componente de baixa frequência do início
até a metade da escala do tempo e uma componente de alta frequência a partir de
então. O gráfico do Sinal 2 inicia com uma componente de alta frequência que dura
até a metade da escala do tempo sendo então substituída por uma componente de
baixa frequência.
Quando a figura 3.7 é comparada com a figura 3.8, nota-se claramente o avanço que
a STFT representa quando comparada à transformada de Fourier tradicional. A figura
3.7 mostra somente o conteúdo espectral do sinal, enquanto na figura 3.8 é possível
distinguir as componentes espectrais e os momentos em que elas existem.
Matematicamente:
54
𝐹(𝜔) =1
2𝜋∫ 𝑓(𝑡)[𝑗𝑎𝑛𝑒𝑙𝑎∗(𝑡 − 𝑡′)]𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞ (3.15)
A diferença da equação 3.15 para a equação 3.9 é que esta possui um termo chamado
janela* (t – t’) inserido entre f(t) e 𝑒−𝑖𝜔𝑡. Trata-se do complexo conjugado da
função janela, responsável por selecionar o trecho do sinal sobre o qual a
transformada será calculada. É precisamente este artifício que possibilita o
conhecimento temporal do conteúdo espectral do sinal. A seguir, a operação entre f(t)
e 𝑒−𝑖𝜔𝑡 determina as componentes espectrais presentes nesse trecho. O
incremento de t’ proporciona o deslocamento da janela ao longo de todo o eixo do
tempo.
Ilustrando os passos descritos no último parágrafo e ordenando-os na sequência (1),
(2) e (3):
Quanto maior a janela, mais precisas são as informações sobre a frequência. O limite
é a janela do tamanho da série, que colapsa no caso da transformada de Fourier
tradicional.
Quanto menor a janela, mais precisas são as informações sobre o tempo e menos
informação se tem sobre componentes de baixa frequência. O limite é a janela com
largura tendendo a zero, o que provoca o colapso na própria série temporal e nenhum
conhecimento do conteúdo espectral.
Graficamente:
55
Figura 3.9: Representação mostrando o sinal a ser analisado (onda senoidal) sobre o qual há um retângulo translúcido sobreposto. O retângulo translúcido representa a “janela”, ou intervalo de tempo, que seleciona o trecho do sinal onde a transformada de Fourier será calculada. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Quanto maior o conhecimento sobre o conteúdo espectral do sinal, menor o
conhecimento sobre o momento em que esse conteúdo espectral está presente, e
vice-versa. Essa propriedade está relacionada ao princípio da incerteza de
Heisenberg14, mas não de uma maneira direta. Fundamentalmente o que ocorre aqui
é mais o fato de que a medição precisa de tempo e frequência são incompatíveis, pois
não se pode medir frequência instantaneamente. Em outras palavras, a afirmação de
que um determinado sinal possui frequência fo só faz sentido se o observarmos ao
menos durante um período, que é dado por T = 1/fo. Quanto maior o número de
períodos que o sinal for observado, maior o sentido em se afirmar que ele possui
frequência fo.
O estudo para a obtenção do melhor compromisso entre a resolução temporal e
espectral na STFT levou à formulação da transformada Gabor, onde a função janela
é uma gaussiana (KAISER, 2011).
O fato da função janela ter largura fixa é uma limitação quando se deseja conhecer o
comportamento espectral do sinal em várias escalas.
14 O princípio da incerteza de Heisenberg é um conceito da Mecânica Quântica que estabelece um limite à precisão com a qual certos pares de propriedades físicas podem ser conhecidas simultaneamente. Um dos exemplos mais conhecidos é o par posição (x) e momento (p) de uma
partícula. No caso, 𝜎𝑥 . 𝜎𝑝 ≥ℎ
2𝜋 , onde 𝜎𝑥 é o desvio padrão da posição, 𝜎𝑝 é o desvio padrão do
momento e h é a constante de Planck.
56
Conforme será explicado adiante, a transformada wavelet contorna essas limitações
usando um algoritmo multi-resolução.
3.2 Análise por Periodograma de Lomb-Scargle
Para dados uniformemente espaçados, métodos padrão como a FFT estão
disponíveis. Na maioria das observações astronômicas baseadas em terra, entretanto,
infelizmente a amostragem uniforme é impossível de se conseguir. Observações são
necessariamente restritas a condições meteorológicas, disponibilidade do telescópio
e a posição do objeto a ser observado (LOMB, 1976).
Nesta seção será apresentado um método especialmente eficaz na análise de séries
com elementos desigualmente espaçados. O procedimento baseia-se no método dos
mínimos quadrados, descrito por Barning (1963) e aperfeiçoado por Lomb (1976) e
Scargle (1982). Neste método, o sinal analisado (Fn) composto por N elementos é
aproximado por uma soma de senos e cossenos como mostrado na equação 3.16.
𝐹𝑛 = 𝑎0 + ∑ (𝑎𝑖𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑓𝑡𝑛 + 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑓𝑡𝑛)𝑁𝑛=1 (3.16)
𝑐𝑖 = √𝑎𝑖2 + 𝑏𝑖
2 (3.17)
𝑓 = 1𝑇⁄ (3.18)
As frequências f são valores discretos pertencentes ao intervalo [0; fmax], onde fmax é
dado pelo critério de Nyquist (seção 3.1.3).
Primeiramente encontra-se o valor de a0:
1) a0 é a média aritmética de Fn.
𝑎0 = 𝐹�̅� =∑ 𝐹𝑛
𝑁𝑛=1
𝑁 (3.19)
Obtém-se assim o par ordenado (f0, a0) = (0,�̅�𝑛)
Para cada valor de f considerado, as amplitudes ai e bi são encontradas da seguinte
maneira:
2) Calcula-se a quantidade Fn1
:
57
𝐹𝑛1 = 𝐹𝑛 − 𝐹�̅� (3.20)
3) Calcula-se as quantidades R1 e R1∗
𝑅1 = ∑ (𝐹𝑛1)2𝑁
𝑛=1 (3.21)
𝑅1∗ = ∑ {𝐹𝑛
1 − (𝑎1𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑓1𝑡𝑛 + 𝑏1𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑓1𝑡𝑛)}2𝑁𝑛=1 (3.22)
4) Aplica-se um algoritmo variando os valores de 𝑎1 e 𝑏1 para a frequência 𝑓1,
que tornam mínimo R1∗ .
Os valores de 𝑎1, 𝑏1 e 𝑓1 encontrados tornam máximo o valor de |∆𝑅|1
|∆𝑅|1 = |𝑅1 − 𝑅1∗| (3.23)
O par ordenado (𝑓1, |∆𝑅|1) é plotado no gráfico.
Incrementa-se o valor de f. Tem-se 𝑓2.
A partir deste ponto, repete-se a sequência a partir de (2), levando-se em conta que
os Fni
são calculados da seguinte maneira:
𝐹𝑛𝑖 = 𝐹𝑛
𝑖−1 − (𝑎𝑖−1𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑓𝑖−1𝑡𝑛 + 𝑏𝑖−1𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑓𝑖−1𝑡𝑛) (3.24)
Esta técnica permite que se repita o processo para tantos valores de f quanto se
queira. Na prática o número de ciclos é tal que f é incrementado até que atinja o limite
imposto pelo critério de Nyquist.
Uma vez que f atinge o seu valor máximo, são conhecidos todos os 𝑎𝑖 e 𝑏𝑖 para todas
as frequências consideradas. Os 𝑎𝑖 e 𝑏𝑖 calculados dessa maneira são considerados
uma primeira aproximação e podem ser chamados 𝑎𝑖1 e 𝑏𝑖1. Após essa primeira
aproximação repetem-se todos os passos descritos acima levando em conta o efeito
que cada frequência 𝑓𝑖 exerce sobre os parâmetros 𝑎𝑖1 e 𝑏𝑖1, gerando os parâmetros
𝑎𝑖2 e 𝑏𝑖2, 𝑎𝑖3 e 𝑏𝑖3, etc. Isso é feito até que 𝐹𝑛𝑖 atinja a condição estacionária, onde
𝐹𝑛 𝑖
= 𝐹𝑛𝑖−1
.
Barning (1963) menciona que um ajuste fino pode ser aplicado levando-se em conta
o efeito mútuo que as frequências 𝑓𝑖 exercem entre si, muito embora ele declare que
58
o efeito dessa correção é, em geral, muito pequeno, e que ele não a aplicaria ao seu
trabalho.
O conjunto de todos os pares (𝑓𝑖 , |∆𝑅|𝑖) plotados no gráfico constituem o
periodograma de Lomb-Scargle. Este periodograma é chamado modificado
(SCARGLE, 1982) para diferenciá-lo do periodograma clássico obtido pela
transformada de Fourier. A figura 3.10 mostra o periodograma de Lomb-Scargle dos
Sinais 1 e 2.
Figura 3.10: Periodograma de Lomb-Scargle dos sinais 1 e 2. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Comparando-se a figura 3.10 com a figura 3.7, nota-se que a transformada de Fourier
e o periodograma de Lomb-Scargle produzem resultados equivalentes.
59
3.3 Transformada Wavelet
A transformada wavelet (WT15) é um método de análise de sinais cuja finalidade é
proporcionar resolução temporal e espectral do sinal analisado.
De acordo com Gao e Yan (2010), os primeiros desenvolvimentos sobre o tema
remontam a 1909 quando Alfred Haar publicou sua tese de doutorado pela
Universidade de Göttingen, intitulada “Sobre a Teoria dos Sistemas de Funções
Ortogonais”. Na década de 1930 ela foi usada pelo físico Paul Levy na análise de
detalhes sutis no espectro do movimento Browniano como método preferível à
transformada de Fourier. Um dos maiores avanços no tema ocorreu na década de
1970, quando Jean Morlet aplicou o método de análise à prospecção de petróleo.
Morlet analisou o espectro do eco de ondas sonoras enviadas através da crosta
terrestre com o objetivo de determinar a profundidade e a espessura da camada de
petróleo existente no local. Após resultados insatisfatórios usando a STFT, Morlet
implementou um método que esticava e comprimia a janela da STFT enquanto
mantinha a frequência da mesma constante. Ao conjunto das formas de onda obtidas
usando essa técnica Morlet chamou “wavelets”, termo cunhado a partir das palavras
wave (do inglês, onda) e ondelette (do francês, ondeleta, ondinha ou pequena onda).
A partir desse momento inúmeros pesquisadores contribuíram para a evolução e
consolidação da transformada wavelet. Em 1989 Stéphane Mallat publicou o artigo
intitulado “A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet
representation” onde foi criado o conceito de análise multi-resolução. A chave para a
análise multi-resolução foi desenvolver a função-escala da wavelet de tal maneira que
permitisse que outros pesquisadores pudessem criar as suas próprias funções
wavelet-mãe com o embasamento matemático apropriado. Como exemplo,
Daubechies (1988) criou a sua própria família de wavelets, as wavelets de
Daubechies, baseada no conceito de análise multi-resolução. A partir de então tem
sido vista uma grande proliferação de aplicações usando a transformada wavelet em
diversos campos de interesse, como processamento de imagens, voz e sinais.
Introduzindo a equação da WT:
15 Do inglês, Wavelet Transform.
𝑆𝑇𝐹𝑇 𝑑𝑒 𝐹(𝜔) =1
2𝜋∫ 𝑓(𝑡) ∙ 𝑗𝑎𝑛𝑒𝑙𝑎
∗(𝑡 − 𝑡′) ∙ 𝑒−𝑖𝜔𝑡
∞
−∞
𝑑𝑡
60
𝛹𝑓𝜓(𝜏, 𝑠) =
1
√|𝑠|∫ 𝑓(𝑡)𝜓∗ (
𝑡−𝜏
𝑠) 𝑑𝑡
∞
−∞ (3.25)
𝛹𝑓𝜓(𝜏, 𝑠) é o coeficiente wavelet, resultado da WT.
𝜓(𝜏, 𝑠) é a função conhecida por wavelet-mãe ou wavelet básica. Trata-se da
função que sofre dilatações ou contrações e que é deslocada no eixo do tempo
para cobrir toda a extensão do tamanho da série (N). As condições de
admissibilidade para a wavelet-mãe são as seguintes: (i) deve ter média zero;
(ii) deve ter suporte compacto (significa ter valor zero exceto em um intervalo
fechado de R) e (iii) o conjunto de funções 𝜓(𝜏, 𝑠) deve ser ortonormal. O
Apêndice A mostra alguns exemplos de funções wavelet-mãe.
s é a escala. Quando s é grande, enxerga-se o fenômeno em grande escala
(o global). Quanto maior o valor de s, mais “esticada” é a função wavelet. Isso
significa que ela se estende sobre uma porção maior do sinal, o que está
claramente relacionado com baixa frequência. Quando s é pequena, o
fenômeno é visto em pequena escala, com grande detalhe (alta frequência).
Neste caso utiliza-se a função wavelet comprimida. Pode-se fazer a analogia
com um mapa. Grande escala significa global, com pouco detalhamento.
Pequena escala significa grande detalhamento. A escala não é o valor da
frequência ou do período do sinal analisado. Existem fatores de conversão
dependendo do tipo de wavelet utilizada. O fator de conversão da escala s da
wavelet de Morlet para o período equivalente da transformada de Fourier é de
1,034, por exemplo. O comando scal2frq do Matlab realiza a conversão da
escala do tipo de wavelet utilizada para a frequência equivalente que se obtém
realizando uma transformada de Fourier.
τ é o “passo” de deslocamento da função wavelet ao longo do eixo do tempo.
1
√|𝑠| é uma normalização necessária para que o sinal tenha a mesma energia
em todas as escalas.
𝑓(𝑡) é o sinal a ser analisado.
61
O mecanismo de cálculo pode ser descrito assim: A cada passo de s ocorre uma
convolução do sinal analisado com o complexo conjugado da função wavelet ao longo
de todo o eixo do tempo. Isso ocorre através do incremento da variável . Quanto mais
parecidos forem o trecho do sinal analisado e a função wavelet, maior o valor do
resultado dessa operação (maior o valor do coeficiente resultante). Quanto menos
parecidos, menor o valor. A transformada wavelet é o conjunto de todos os
coeficientes determinados dessa maneira. Esses coeficientes são plotados em um
gráfico ou servem de dados de entrada para um algoritmo de análise. A transformada
wavelet pode ser calculada de maneira discreta ou contínua.
A figura 3.11 mostra a WT (Haar) do Sinal 1 e do Sinal 2 em uma representação
bidimensional.
Figura 3.11: Representação bidimensional da transformada wavelet de Haar do Sinal 1 e do Sinal 2. Na escala de cores, azul significa valores baixos e vermelho significa valores altos do módulo do coeficiente wavelet. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
62
A figura 3.12 mostra a WT (Haar) do Sinal 1 e do Sinal 2 em uma representação
tridimensional.
Figura 3.12: Transformada wavelet de Haar dos sinais 1 e 2 em 3D. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Como o valor dos coeficientes depende do grau de semelhança entre o sinal analisado
e a função wavelet, o tipo de wavelet-mãe utilizado afeta o valor dos coeficientes
calculados. O capítulo 4 (Teste do Método) traz uma representação bidimensional da
transformada wavelet de Haar, Morlet e Chapéu de Mexicano do Sinal 1 e discute-se
em maiores detalhes a escolha do tipo de wavelet a ser utilizada neste trabalho. A
diferença no valor dos coeficientes calculados para cada tipo de wavelet pode
impactar diretamente a decisão em aceitar ou rejeitar periodicidades encontradas com
base no conceito de níveis de significância, conforme explicado na seção 3.5.
De uma maneira geral escolhe-se o tipo de wavelet cujo formato se assemelha ao tipo
de característica procurado no sinal analisado (periodicidades, descontinuidades,
eventos impulsivos, etc).
63
3.4 Normalização do Espectro de Potência
Para o método de análise aplicado neste trabalho, os espectros de potência obtidos
foram normalizados conforme descrito por Torrence e Compo (1998).
Sejam N o tamanho da série temporal e 𝜎2a sua variância.
1) No método de Lomb-Scargle a normalização é feita multiplicando as
componentes espectrais por 𝑁 2𝜎2⁄ , onde 𝜎2 é a variância do sinal no
domínio do tempo.
2) Para a FFT (o caso de eventos igualmente espaçados), a normalização é
feita dividindo-se o valor de cada componente espectral pela variância 2
do sinal original no domínio do tempo.
3) Para a transformada wavelet, divide-se o quadrado do valor dos coeficientes
pela variância 2 do sinal original no domínio do tempo.
3.5 Níveis de Significância
Como pôde ser visto ao longo deste capítulo, as transformadas de Fourier, os
periodogramas de Lomb e as transformadas wavelet mostram uma quantidade
razoável de picos (pontos de máximo) com diferentes amplitudes.
A questão básica é: Devido à presença de ruído, picos espúrios podem ocorrer e ser
erroneamente considerados um sinal periódico. Por isso é importante analisar
criticamente a significância estatística de uma estrutura espectral, respondendo a
seguinte pergunta: Qual é a probabilidade dessa estrutura espectral ser o resultado
de flutuações ao acaso (ruído)? (SCARGLE, 1982).
Em outras palavras, como escolher os picos que têm maior chance de representar um
fenômeno físico genuíno e descartar os que podem ser atribuídos a ruído?
Para isso compara-se o espectro do sinal analisado com o espectro do ruído. O tipo
de ruído escolhido depende do fenômeno estudado, conforme será discutido a seguir
no tópico sobre modelagem de ruído. A partir dessa comparação toma-se a decisão
de quais picos são aceitos e quais são descartados.
64
3.5.1 Modelagem de Ruído
Ruídos podem ser representados por meio de modelos autoregressivos (AR).
Em estatística e processamento de sinais, um modelo autoregressivo de ordem p,
AR(p), é a representação de um tipo de processo randômico. O modelo autoregressivo
especifica que a variável de saída depende linearmente de seu valor anterior e de
uma componente randômica.
De maneira geral, em um modelo auto regressivo de ordem p:
𝑥𝑛 = 𝑐 + ∑ 𝛼𝑖𝑥𝑛−1 + 𝑧𝑛𝑝𝑖=1 (3.26)
Onde e c são constantes e z é uma componente randômica.
A partir da equação 3.26 é possível obter diversos tipos de ruído, do vermelho (maior
amplitude em baixas frequências) ao azul (maior amplitude em altas frequências). A
seguir será mostrado o método de modelagem para o ruído branco (utilizado neste
trabalho) e para o ruído vermelho (usado por Torrence e Compo).
Ruído Branco
O ruído branco, também denominado ruído térmico, é provocado pela agitação dos
elétrons livres em um meio condutor. As flutuações dos elétrons apresentam
movimento aleatório gerando uma potência de ruído. Um dos casos mais
característicos de ruído térmico é aquele gerado pelos resistores metálicos.
O ruído térmico apresenta espectro plano e pode ser obtido a partir do processo AR(0).
Na equação 3.26, quando c = 0 (sem offset) e = 0, xn = zn.
A figura 3.13 mostra o comportamento temporal e a figura 3.14 mostra o
comportamento espectral do ruído branco.
65
Figura 3.13: Comportamento temporal do ruído branco. Fonte: Figura elaborada pelo autor
Figura 3.14: Comportamento espectral do ruído branco. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Ruído Vermelho
Também conhecido como brown noise (em referência ao movimento browniano16, e
não à cor marrom), apresenta espectro com níveis mais altos em frequências baixas.
É o caso do ruído produzido pelo movimento aleatório de partículas macroscópicas
em um fluido.
Torrence e Compo (1998) o utilizaram como referência para o teste de significância
no estudo de processos geológicos.
O espectro de ruído vermelho pode ser obtido através do processo AR(1).
16 Movimento browniano é o movimento randômico de partículas suspensas em um fluido (líquido ou gás), como resultado das suas colisões com os átomos ou moléculas do fluido.
66
Na equação 3.26, quando c = 0 (sem offset) e 0 < α < 1,
𝑥𝑛 = 𝛼𝑥𝑛−1 + 𝑧𝑛 (3.27)
A figura 3.15 mostra o comportamento temporal do ruído vermelho obtido com
α = 0,99.
Figura 3.15: Comportamento temporal do ruído vermelho. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
A figura 3.16 mostra o comportamento espectral do ruído vermelho obtido com
α = 0,99.
Figura 3.16: Comportamento espectral do ruído vermelho. No gráfico do espectro os valores de potência (eixo vertical) foram convertidos para valores logarítmicos para facilitar a visualização do declínio da amplitude com a frequência. Caso os valores de potência houvessem sido plotados da maneira usual, ter-se-ia a impressão de uma única raia espectral de grande amplitude localizada no eixo horizontal próximo ao zero. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
67
3.5.2 Distribuição Estatística do Espectro de Potência do Ruído
Scargle (1982) desenvolveu a questão da distribuição estatística do espectro
aplicando o conceito de função cumulativa de distribuição (CDF17) à curva de
densidade de probabilidade para o espectro de potência do ruído branco. A função
cumulativa de distribuição é a integral da função densidade de probabilidade. A figura
3.17 mostra curvas de densidade de probabilidade de distribuições normais com
média 0 e variância 2 e as respectivas curvas das funções cumulativas.
Figura 3.17: Em cima: Curvas de densidade de probabilidade para a distribuição normal para diferentes variâncias. Embaixo: Curvas de distribuição acumulada de probabilidade (CDF) para a distribuição normal para diferentes variâncias. Como exemplo ilustrativo de valor mínimo de detecção, a linha tracejada mostra a probabilidade que P tem de apresentar valor menor ou igual a p = 0,975. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
17 Do inglês, Cumulative Distribution Function.
68
O desenvolvimento matemático completo da CDF para o ruído branco foi realizado
por Scargle (1982). A CDF da curva de densidade de probabilidade para o ruído
branco envolve a integral da curva de distribuição normal, que não possui primitiva,
sendo necessário o emprego de técnicas de integração numérica e de funções
auxiliares que fogem do escopo deste trabalho.
3.5.3 Teste de Significância
Scargle (1982) mostrou que o teste de significância para o seu método consiste em
encontrar níveis de referência Pn% tal que se possa considerar raias espectrais
legítimas aquelas cuja amplitude exceda esses níveis de referência. As raias que não
satisfazem essa condição são descartadas por não se distinguirem estatisticamente
do ruído. n% é o nível de significância.
Em gráficos de CDF, linhas horizontais interceptando o eixo das ordenadas e a curva
da CDF, representam o par ordenado (P0,p). O par ordenado (P0,p) representa o
valor de P tal que p0 = 1- p é a probabilidade de uma flutuação de ruído exceder P0.
Isso é exatamente o que se busca para estabelecer um nível mínimo de detecção para
uma série temporal de N elementos. De (SCARGLE, 1982), a linha de detecção P0
pode ser calculada como:
𝑃0 = −𝑙𝑛[1 − (1 − 𝑝0)1 𝑁⁄ ] (3.28)
onde a quantidade entre parênteses (1 - p0) é o nível de significância.
O nível de significância é representado no periodograma de Lomb por uma reta
horizontal que corta o eixo y na ordenada P0.
Exemplo: O Sinal 1 é uma curva composta por 257 pontos. Calcular o valor de P0
correspondente ao nível de significância de 95%.
Solução:
N = 257; é o número de pontos
(1 - p0) = 0,95 nível de significância de 95%
𝑃95% = −𝑙𝑛[1 − (0,95)1 257⁄ ]
69
𝑃95% = 8,5194
Qualquer raia espectral que ultrapasse a reta horizontal que corta o eixo y no valor
8,5194 tem 95% de chance de representar um fenômeno físico legítimo com
comportamento periódico e 5% de chance de representar uma mera flutuação
aleatória.
A figura 3.18 mostra os limites de detecção para níveis de significância de 50%, 95%
e 99% para o periodograma de Lomb do Sinal 1.
Figura 3.18: Periodograma de Lomb do Sinal 1 mostrando os níveis de significância a 50%, 95% e 99%. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Conclui-se com este pequeno ensaio que a aplicação do conceito de níveis de
significância conduziu a análise espectral ao resultado correto: Os dois picos que
ultrapassam a reta de significância a 99% na figura 3.18 correspondem às duas
componentes espectrais com frequências distintas que foram empregadas para
sintetizar o Sinal 1 (figura 3.5).
A figura 3.19 mostra os limites de detecção para níveis de significância de 50%, 95%
e 99% para a transformada wavelet do Sinal 1. Por se tratar da representação
bidimensional de três variáveis (escala, tempo e intensidade), os limites de detecção
podem ser plotados como curvas de nível.
70
Figura 3.19: Transformada wavelet do Sinal 1 mostrando os níveis de significância a 50%, 95% e 99%. A escala da transformada wavelet foi convertida para frequência utilizando o comando “scal2frq” do Matlab. Os eixos de frequência foram mantidos na mesma escala que a figura 3.18 para permitir a comparação do eixo das abcissas do periodograma com o eixo das ordenadas da wavelet. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Na figura 3.19, as regiões circunscritas pelas curvas verdes são as que ultrapassam
o nível de significância a 99% e correspondem às duas componentes espectrais que
foram empregadas para sintetizar o Sinal 1.
Ao usar o método de detecção de periodicidades por meio dos níveis de significância
para radiofontes reais ao longo deste trabalho ficou claro que este é um método eficaz
principalmente como uma primeira abordagem e quando não se faz ideia do conteúdo
espectral do sinal. A prática mostra que quando o seu conteúdo espectral é
parcialmente conhecido, ou se suspeita do seu comportamento geral, esse método
deve ser usado mais como uma ferramenta auxiliar de investigação do que como uma
espécie de juiz que “decide” sobre o que pode ou não fazer parte do conteúdo
espectral do sinal. Nestes casos é importante prestar atenção a pistas como a
presença de componentes quiescentes no sinal sendo analisado, a amplitude do sinal
original em um momento em que uma periodicidade parece sumir ou enfraquecer no
mapa wavelet, e periodicidades reportadas na literatura por outros pesquisadores. O
caso da presença de sinais quiescentes será tratado no capítulo 4. Os últimos dois
casos são mais sutis e exigem algum traquejo. Eles serão discutidos em maiores
detalhes no capítulo 6 durante as análises de radiofontes reais.
71
4 Teste do Método
O diagrama de blocos da figura 4.1 ilustra o processo de determinação das
periodicidades presentes em um sinal.
Figura 4.1 Diagrama de blocos ilustrando o processo de determinação das periodicidades presentes em um sinal de entrada. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
As periodicidades são as componentes que determinam o sinal no domínio da
frequência.
Este capítulo mostra como os métodos de análise foram testados antes da sua
aplicação às radiofontes deste trabalho.
Na seção 4.1 sinais teóricos completamente conhecidos gerados por computador
foram usados como parâmetros de entrada para o método de análise e seus
resultados foram examinados. A seção 4.2 mostra métodos de pré-processamento
para eliminação de componentes quiescentes. Na seção 4.3 foi aplicado o mesmo
método a uma radiofonte cuja periodicidade foi previamente determinada por outros
pesquisadores.
A partir dos resultados obtidos justificou-se o uso de métodos de pré-processamento
para as curvas de densidade de fluxo x tempo, conforme será mostrado nas seções
4.2 e 4.3.
A seção 4.4 traz observações sobre o uso do periodograma de Lomb-Scargle e da
FFT.
Na seção 4.5 discute-se a escolha do tipo de wavelet-mãe a ser aplicado às
radiofontes deste trabalho.
Na seção 4.6 é mostrado como foram escolhidas as representações gráficas dos
coeficientes wavelet calculados.
SINAL
DE
ENTRADA
MÉTODO
DE
ANÁLISE
PERIODICIDADES
72
4.1 Análise de Sinais Teóricos
Foram gerados sinais senoidais simples e compostos com o uso do Excel conforme a
tabela 4.1.
Tabela 4.1: Tabela do Excel onde foram gerados sinais senoidais simples e compostos para serem
usados como sinais de entrada para o teste do método. é a frequência angular dada por 2f, onde f é a frequência. Fonte: elaborado pelo autor.
Os sinais simples possuem uma única componente espectral, conforme mostrado na
figura 4.2.
Figura 4.2: Representação gráfica dos sinais simples da tabela 4.1. é a frequência angular dada por
2f, onde f é a frequência. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Os sinais da figura 4.2 diferem unicamente na sua frequência. O sinal da direita tem
frequência dez vezes mais alta que o sinal da esquerda. A figura 4.3 mostra o
periodograma de Lomb-Scargle dos sinais simples da figura 4.2.
tempo sen(t) sen(10t) sen(t)-0,1sen(10t)
0 0 0 0
0,003906 0,024541 0,24298 0,000243211
0,007813 0,049068 0,471397 0,001928001
0,011719 0,073565 0,671559 0,006408668
0,015625 0,098017 0,83147 0,014870179
0,019531 0,122411 0,941544 0,028256269
0,023438 0,14673 0,995185 0,047212002
0,027344 0,170962 0,989177 0,072044238
73
Figura 4.3: Periodograma de Lomb-Scargle dos sinais simples mostrados na figura 4.2. As raias espectrais foram calculadas independentemente para cada sinal simples e plotadas no mesmo gráfico para proporcionar uma visão geral da posição de cada raia no espectro. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Os sinais compostos possuem mais de uma componente espectral. A figura 4.4
mostra a combinação dos dois sinais simples da figura 4.2.
Figura 4.4: Sinal composto a partir da subtração dos sinais simples da figura 4.2. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Quando o periodograma de Lomb-Scargle do sinal composto é determinado, nota-se
que sinais compostos dominados por componentes quiescentes com amplitudes
maiores geram raias espectrais que podem ofuscar as raias espectrais de
componentes com amplitudes menores, fazendo com que as últimas fiquem abaixo
dos limites de detecção dos níveis de significância (figura 4.5).
74
Figura 4.5: Periodograma de Lomb-Scargle do sinal composto da figura 4.4. A presença de componentes de grande amplitude e variabilidade longa pode ofuscar a presença de outras componentes a ponto de torna-las indistinguíveis de ruído em um teste de significância. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
A diferença entre as figuras 4.3 e 4.5 é que na figura 4.3 cada raia espectral foi
normalizada a partir da variância da sua respectiva componente e na figura 4.5 as
raias foram normalizadas globalmente a partir da variância do sinal composto. Maiores
detalhes sobre normalização podem ser encontrados na seção 3.4 no capítulo sobre
métodos matemáticos.
O que foi ilustrado é importante porque quando os sinais das radiofontes reais são
analisados eles geram espectros que se parecem muito mais com a figura 4.5 do que
com a figura 4.3.
Em outras palavras, quando analisados in natura, os sinais das radiofontes geram
espectros dominados por componentes quiescentes de pouco ou nenhum valor
prático onde as componentes de menor amplitude devem ser descartadas por serem
estatisticamente indistinguíveis de um simples ruído.
4.2 Subtração de Linhas de Base
Para vencer esse obstáculo, faz-se necessário que as componentes quiescentes
sejam removidas do sinal a ser analisado.
Nesta seção serão descritos os três métodos testados para subtração de linhas de
base.
75
4.2.1 Subtração de uma Reta de Valor Médio
A subtração de uma reta de valor médio é especialmente eficaz na eliminação de
componentes quiescentes cujo período é muito maior que a janela de observação, ou
seja, quando o valor da componente que se deseja eliminar é constante em toda a
janela de observação.
Este método simplesmente causa o deslocamento dos dados no eixo das ordenadas,
fazendo com que a variabilidade passe a oscilar em torno do zero.
A figura 4.6 mostra o processo de subtração de uma reta de valor médio.
Figura 4.6: Ilustração do método de extração de uma linha de base de valor constante (reta laranja) de um sinal (azul) resultando em uma curva (cinza) que passa a oscilar ao redor do zero. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
A curva azul mostra uma oscilação ao redor de uma reta (laranja) de valor constante
e igual a 3 em todo o intervalo de observação. O processo de remoção da linha de
base neste caso é muito simples e baseia-se em (i) encontrar a linha de base e então
(ii) subtrair a linha de base dos dados desse intervalo, onde (i) é determinado através
de um simples cálculo da média. O resultado é a curva cinza da figura 4.6 que passa
a oscilar ao redor do zero.
Quando existem componentes quiescentes cujo valor não é constante, este método
não é eficaz. Isso será mostrado na seção 4.3 na análise de OJ287.
Nesses casos, a subtração de uma linha de base polinomial seria o caminho mais
indicado.
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Am
plit
ud
e(u
nid
ades
de
amp
litu
de)
Tempo (unidades de tempo)
Remoção de Linha de Base Constante
76
4.2.2 Subtração de uma Spline Cúbica
Conforme discutido no item anterior, nos casos onde a componente quiescente não é
uma reta, faz-se necessário o equacionamento da linha de base que será removida.
Apesar de um polinômio de grau n ser uma solução possível para o equacionamento
da linha de base, sua escolha pode acarretar problemas devido a oscilações que não
seguem o comportamento real da componente quiescente.
Essas oscilações criadas pela remoção da linha de base geram raias espectrais falsas
no momento da aplicação dos métodos de análise espectral.
Para solucionar esse problema pode-se dividir o intervalo de observação em tantos
subintervalos quantos se queira e usar um polinômio de grau 3 para modelar a linha
de base em cada um dos subintervalos. Os pontos de divisão são chamados “nós” e
exige-se que as curvas de cada intervalo sejam contínuas entre si na passagem de
um intervalo ao intervalo seguinte.
Essa abordagem constitui uma descrição simplificada do conceito de spline cúbica e
proporciona uma aproximação mais suave à linha de base real.
Os passos para remoção de uma linha de base pela aproximação de uma spline
cúbica no Matlab serão listados a seguir:
Sendo y as ordenadas da série de dados original, cria-se um vetor com o número de
pontos dos dados a serem analisados. Se a sequência original possui P pontos,
x = 1:1:P; (cria P pontos iniciando com o valor 1 e espaçados de 1 unidade entre si)
Em seguida determina-se os nós que dividirão a sequência original em subintervalos.
Para criar as abcissas dos nós a cada N pontos faz-se:
xx = 1:N:P; (cria um nó a cada N pontos entre 1 e P)
Boa regra é que N seja múltiplo (ou próximo disso) de P.
Boa regra para criação da linha de base quiescente para as radiofontes é usar N =
P/10.
77
A ordenada de cada nó é o valor da série de dados original tomado nas abcissas
selecionadas na etapa anterior:
yy = spline(x,y,xx);
A seguir é gerada a linha de base determinada pela spline:
ybase = interp1(xx,yy,x,'spline');
O sinal original livre da linha de base é determinado por:
novo_y = y-ybase;
4.2.3 O Método das Médias Corridas
O método das médias corridas é uma opção prática muito eficiente na obtenção de
linhas de base. Nesta seção será descrito o método mais simples de obtenção de uma
linha de base conforme esse método.
Seja uma série de dados de N elementos que se deseja filtrar ou ter a linha de base
subtraída. Seus elementos serão designados Ai, com i variando de 1 a N. Esta série
será denominada “série original”.
A partir da série de dados original, a média corrida é criada como uma série de dados
auxiliar onde o valor Vi de cada um dos seus elementos é determinado pela média dos
valores presente e anteriores da série de dados original (Ai, Ai-1, Ai-2, ... , Ai-k), onde o
parâmetro K é um valor inteiro de 0 a N. O parâmetro K é o responsável pelo
modelamento da série. Fazendo K = 0, a linha de base torna-se idêntica à série
original. No outro extremo, fazendo K = N, a linha de base torna-se uma reta de valor
médio conforme apresentado na seção 4.2.1.
A “boa regra” comentada na seção 4.2.2 diz respeito à criação de um nó para a spline
cúbica a cada N/10 elementos. Seguindo a mesma regra, foi possível modelar as
linhas de base das radiofontes deste trabalho de uma maneira muito eficiente
atribuindo valores entre 10 a 20 ao parâmetro K. A tabela 4.2 mostra como a linha de
base foi criada usando a série de dados original (denominada S_14,5 GHz).
78
Tabela 4.2: Exemplo da criação de uma linha de base usando o método das médias corridas. A segunda coluna é a série de dados original. A terceira coluna é a linha de base. Cada elemento da linha de base é determinado pelos 10 elementos anteriores da série de dados original. Fonte: Elaborado pelo autor.
4.3 Teste Aplicado a uma Radiofonte Conhecida
Logo após o teste do método usando sinais com comportamento completamente
conhecido conforme mostrado na seção 4.1, o método de análise foi aplicado à
radiofonte OJ287 e o resultado foi comparado ao obtido por Hughes et al. (1999).
O objetivo desta etapa foi o de verificar quais detalhes precisam ser observados para
que a metodologia aplicada conduza a resultados válidos e que possam contribuir com
a comunidade científica. Devido a esse objetivo específico, a radiofonte OJ287 será
utilizada de maneira muito particular nesta seção. O estudo completo dessa radiofonte
será realizado na seção 6.1.
Devido aos resultados iniciais obtidos ao se aplicar o método de Lomb-Scargle aos
dados originais e ao que foi explicado na seção 4.1, foram testados métodos de pré-
tratamento para a eliminação de componentes quiescentes.
A figura 4.7 mostra quatro curvas superpostas de densidade de fluxo x tempo de
OJ287. As quatro curvas referem-se ao mesmo período e frequência de observação.
As diferenças entre elas são as seguintes:
A curva azul refere-se aos dados originais, sem a aplicação de métodos de pré-
tratamento.
Tempo S_14,5 GHz (Jy) Média_Corrida (Jy)
20/06/1974 2,74
20/07/1974
20/08/1974
07/09/1974 3,54
07/10/1974
07/11/1974
07/12/1974
07/01/1975
07/02/1975
10/03/1975 4,42 3,57
08/04/1975 4,11 4,02
12/05/1975 3,66 3,93
07/06/1975 4,05 3,96
03/07/1975 3,1 3,87
28/08/1975 2,67 3,67
79
A curva vermelha refere-se ao resultado da subtração de uma reta de valor
médio dos dados originais.
A curva azul claro refere-se ao resultado da subtração de uma spline cúbica
dos dados originais.
A curva verde representa o resultado da subtração de uma linha de base obtida
através do método das médias corridas.
Figura 4.7: Curvas de densidade de fluxo x tempo em 14,5 GHz para OJ287. A curva azul refere-se aos dados originais. A curva vermelha representa o resultado da subtração de uma reta de valor médio dos dados originais. A curva azul claro mostra a subtração de uma spline cúbica como linha de base. A curva verde mostra o resultado da subtração de uma linha de base calculada através do método das médias corridas. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Nota-se que os dados da curva original oscilam sobre uma curva de variabilidade
longa.
A subtração da reta de valor médio traz as oscilações para um valor médio centrado
na origem, mas não elimina a componente de variabilidade longa.
A subtração da spline cúbica traz as oscilações para um valor médio centrado na
origem e elimina a componente de variabilidade longa.
80
A subtração de uma linha de base calculada através do método das médias corridas
traz as oscilações para um valor médio centrado na origem e elimina a componente
de variabilidade longa de maneira semelhante à conseguida através da spline cúbica.
A figura 4.8 mostra as componentes quiescentes removidas em cada caso.
Figura 4.8: A reta azul representa a componente quiescente removida por meio da subtração de uma reta média. A curva vermelha representa a componente quiescente removida por meio da subtração de uma spline cúbica e através do método das médias corridas. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
De acordo com a figura 4.7, a subtração de uma spline cúbica ou de uma linha de
base calculada através do método das médias corridas são os métodos que eliminam
a componente de variabilidade longa de maneira mais eficiente.
Com a finalidade de validar a última afirmação matematicamente, determinou-se o
periodograma de Lomb-Scargle de cada uma das curvas da figura 4.7. O método
escolhido para o resto do trabalho seria o que melhor reproduzisse os resultados de
Hughes et al. (1999).
A figura 4.9 mostra o periodograma de Lomb-Scargle do sinal original.
81
Figura 4.9: Periodograma de Lomb-Scargle do sinal original. Nota-se que enquanto as periodicidades de variabilidade longa se sobressaem, as periodicidades detectadas por Hughes et al. não passam do nível de significância de 50%. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Nota-se que usando o sinal original as componentes detectadas por Hughes et al.
(1999) não passam do nível de significância de 50%.
A figura 4.10 mostra o periodograma de Lomb-Scargle para os dados previamente
tratados através da subtração de uma reta de valor médio.
Figura 4.10: Periodograma de Lomb-Scargle do sinal resultante da subtração de uma linha de base constante do sinal original. Nota-se que enquanto as periodicidades de variabilidade longa se sobressaem, as periodicidades detectadas por Hughes et al. não passam do nível de significância de 50%. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
A figura 4.10 mostra que a subtração de uma linha de base na forma de uma reta de
valor médio não elimina a componente espectral de variabilidade longa. Assim como
82
no caso da análise do sinal original, neste caso as componentes de Hughes et al.
(1999) também não passaram do nível de significância de 50%.
A figura 4.11 mostra o periodograma de Lomb-Scargle do sinal pré-processado
através da subtração de uma spline cúbica. O resultado foi semelhante ao conseguido
através das médias corridas. Nota-se que esses dois métodos foram os únicos
capazes de reproduzir o resultado obtido por Hughes et al. (1999).
Figura 4.11: Periodograma de Lomb-Scargle do sinal resultante da subtração de uma linha de base tipo spline cúbica ou de uma linha de base calculada através do método das médias corridas. Comparando com as figuras 4.9 e 4.10, nota-se que as raias espectrais de variabilidade longa foram eliminadas e que a periodicidade detectada por Hughes et al. (1999) passa de 99% no teste de significância. Estes últimos foram os únicos métodos que permitiram a validação dessas periodicidades. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Devido à sua capacidade de eliminar as componentes quiescentes de maneira mais
eficiente e de reproduzir os resultados encontrados na literatura, estes foram os
métodos adotados para todas as radiofontes deste trabalho.
4.4 Observações sobre o uso do Periodograma de Lomb-Scargle e da FFT.
Os testes realizados com sinais teóricos mostrou que, respeitando-se a questão da
normalização do espectro de potência, a aplicação do periodograma de Lomb-Scargle
e da FFT em sequências de dados igualmente espaçados levou a resultados
idênticos.
O uso da spline cúbica se mostrou eficaz para realizar interpolações no caso de
sequências com dados faltantes, transformando sequências de dados desigualmente
83
espaçados em sequências de dados igualmente espaçados. Para isso, a criação das
abcissas dos nós foi realizada seguindo um passo unitário com N igual a 1, em xx =
1:N:P (seção 4.2.2).
Neste caso, a aplicação da FFT para as sequências com dados interpolados e a
aplicação do periodograma de Lomb-Scargle para as sequências com dados
desigualmente espaçados levou a resultados muito próximos. Com isso foi possível
considerar a interpolação por spline cúbica uma ferramenta eficaz para a criação dos
pontos faltantes no caso de se dispor tão somente do método de Fourier para a análise
espectral. Marcia Auta dos Santos (2007) realizou essa abordagem e maiores
detalhes podem ser encontrados na sua dissertação de mestrado.
4.5 Escolha do Tipo de Wavelet-Mãe
Conforme mostrado no capítulo 3 sobre os métodos matemáticos, o valor calculado
dos coeficientes wavelet depende do grau de semelhança entre o sinal analisado e a
wavelet-mãe em cada escala em que a análise é realizada.
Como o objetivo deste trabalho foi encontrar padrões de oscilação na densidade de
fluxo das radiofontes estudadas, foi escolhida a wavelet-mãe que produziu os maiores
valores de coeficientes quando aplicada a um sinal de teste oscilatório.
As figuras 4.12, 4.13 e 4.14 a seguir mostram a comparação da aplicação de
diferentes tipos de wavelet a um sinal de teste oscilatório (o Sinal 1 mostrado na figura
3.5 do capítulo Métodos Matemáticos).
84
Figura 4.12: Transformada wavelet de Haar do Sinal 1. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Figura 4.13: Transformada wavelet “Chapéu de Mexicano” do Sinal 1. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Figura 4.14: Transformada wavelet de Morlet do Sinal 1. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
85
Como a cor azul representa um valor baixo e a cor vermelha representa um valor alto
para os coeficientes calculados, nota-se que a wavelet de Morlet produziu os
coeficientes com maiores valores para o sinal oscilatório analisado em toda a sua
extensão. Já que o valor dos coeficientes impacta diretamente na sua aceitação ou
rejeição com base nos níveis de significância, a wavelet de Morlet foi a escolhida para
este trabalho.
4.6 Apresentação Gráfica da Transformada Wavelet
A figura 4.15 mostra a transformada wavelet da densidade de fluxo de OJ287 em 14,5
GHz para o período de observação entre 1974 e 1998. A série de dados utilizada para
esta análise possui 235 pontos. Apesar de existirem dados de OJ287 até 2012, nesta
seção optou-se por esta abordagem para que o sinal analisado tivesse um número de
pontos semelhante ao que Hughes et al. (1999) dispunham na época.
Figura 4.15: Transformada wavelet da curva de luz de OJ287 de 1974 a 1998 em 14,5 GHz. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Na figura 4.15 nota-se que o gráfico da transformada wavelet apresenta diversos
padrões de cores e formas que representam os valores dos coeficientes wavelet
calculados. Com a finalidade de facilitar a tarefa de validação das periodicidades
presentes com base nos níveis de significância, optou-se por incluir um gráfico auxiliar
contendo somente as curvas de significância a 50%, 90% e 99%, conforme a figura
4.16.
86
Figura 4.16: Curvas de significância a 50%, 95% e 99% dos coeficientes wavelet calculados e mostrados na figura 4.15. Este é um gráfico auxiliar que tem como objetivo facilitar a validação das periodicidades presentes no gráfico da figura 4.15. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
O periodograma de Lomb da figura 4.11 mostra um pico situado a aproximadamente
0,05 (1/mês) no eixo da frequência, correspondendo à periodicidade de
aproximadamente 20 meses delimitada pelas curvas de significância da figura 4.16 no
trecho que compreende os primeiros meses de observação. Trata-se da periodicidade
encontrada por Hughes et al. (1999) de 1,6 ano. A partir de pouco antes do 50º mês
apareceu uma periodicidade de frequência mais alta (~12 meses) que coexistiu com
a periodicidade anterior até aproximadamente o 70º mês. A partir de então nota-se
uma periodicidade dominante de período intermediário entre as duas periodicidades
anteriores até aproximadamente o 90º mês. A periodicidade dominante atingiu a partir
daí o período de aproximadamente16 meses. A partir do mês 160 (ano de 1991) essa
radiofonte não apresentou periodicidades significativas, muito embora a figura 4.15
ateste a sua presença. Uma análise conjunta com a curva de luz da figura 4.7 mostra
que a diminuição do valor dos coeficientes wavelet está atrelada à diminuição da
amplitude de variabilidade nesse período.
O período exato de cada periodicidade é um ponto de máximo que está contido no
interior da curva de significância a 99%. Essa área delimitada pela curva de 99% pode
assumir diversos formatos e tamanhos.
No caso geral, o valor do máximo de cada periodicidade não é o mesmo. Além disso,
o valor do máximo de uma mesma periodicidade pode variar ao longo do tempo. Isso
torna bastante complexo o desenvolvimento de um algoritmo de análise que tenha
como objetivo encontrar todos esses pontos de maneira automática.
87
Como alternativa, a matriz de coeficientes wavelet foi exportada para o Excel, onde o
recurso de formatação condicional foi utilizado. Isso é mostrado na figura 4.17.
Figura 4.17: Resultado da aplicação da formatação condicional do Excel à matriz de coeficientes da transformada wavelet de Morlet de OJ287 em 8,0 GHz. As regiões rosas são as áreas delimitadas pelas curvas de significância a 99%. Os pontos verdes no seu interior são os pontos de máximo. Nessa tabela, o eixo das abcissas corresponde ao tempo em que essa fonte foi observada, de 1 a 481 meses e o eixo das ordenadas corresponde ao período das periodicidades de 0 a 30 meses. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Dessa maneira foi possível determinar os pontos de máximo no interior das curvas de
significância a 99%.
A figura 4.18 mostra a ampliação de um trecho da figura 4.17.
Figura 4.18: Trecho da figura 4.17 aumentado onde pode-se perceber que a figura 4.17 é uma matriz onde cada célula é um valor de coeficiente. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
A figura 4.19 mostra a ampliação de um trecho da figura 4.18.
88
Figura 4.19: Aumento de um trecho da figura 4.18 onde pode-se ver o valor de alguns coeficientes wavelet. Os coeficientes em verde são os pontos de máximo. O valor do máximo à esquerda é 35,56225. O máximo à direita é 37,62645. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
A análise da figura 4.17 possibilitou a elaboração de intervalos definidos pelo valor
máximo e mínimo do período de uma periodicidade. Com isso obteve-se tabelas-
sumário como a tabela 4.3.
Tabela 4.3: Sumário da análise por periodograma de Lomb e transformada wavelet.
Nesta seção serão comentados somente detalhes sobre a interpretação de tabelas
como a tabela 4.3. As três primeiras colunas são autoexplicativas. A quarta coluna
traz o tipo de análise dividido em duas linhas. É importante observar que os valores
da quinta coluna devem ser lidos e interpretados individualmente em linha, e não como
colunas separadas por tabulação. Exemplo: os valores 9-32 da linha “wavelet” não
devem ser interpretados em conjunto com o valor 20 na linha de cima (“Lomb”), assim
como os valores 43-53 da linha “wavelet” não fazem parte do mesmo contexto que o
valor 24 na linha de cima, e assim por diante. A linha “Lomb” e a linha “wavelet” são
independentes. Após a leitura independente dessas duas linhas, chega-se à
conclusão de que os picos 20, 24 e 31 da linha de “Lomb”, todos eles situam-se na
categoria 9-32 (lê-se de 9 a 32) da linha “wavelet”. A linha “wavelet” traz periodicidades
adicionais de 43-53, 95 e 106-126 meses, enquanto a linha “Lomb” traz uma
periodicidade maior, na faixa de 146 meses que não está presente na linha “wavelet”.
OJ287 Período das Número de Tipo de Período das
Frequência Observações Observações Análise Componentes (meses)
8,0 GHz 1971 -2012 481 Lomb 20 24 31 146
wavelet 9-32 43-53 95 106-126
89
No capítulo 6 (Resultados) o significado dessas periodicidades será discutido em
detalhes e contextualizado.
90
5 O Radiotelescópio de Michigan
O Radiotelescópio de Peach Mountain é um refletor parabólico de 26 metros de
diâmetro empregado para o estudo da densidade de fluxo total e da polarização linear
de radiofontes extragalácticas nas frequências de 4,8, 8,0 e 14,5 GHz (figura 5.1).
Figura 5.1: A antena parabólica de 26 metros de diâmetro. A cor avermelhada foi obtida através de iluminação artificial no momento da foto. Foto de Mark Bialek. Fonte: Adaptado de SNYDER (2014) em http://umich.edu/~lowbrows/history/peach-mountain.html.
5.1 Histórico
Em 1956 foram finalizadas as especificações técnicas para a antena parabólica de 26
metros de diâmetro e uma ordem de compra foi gerada para a empresa Blaw-Knox
localizada em Pittsburgh, Pensilvânia (GOLDBERG, 1957). Em 1958 a antena
parabólica de 26 metros foi montada na região de Peach Mountain, perto do
observatório de Portage Lake.
Entre 1958 e 1959 foi erigido um edifício de controle situado a 700 metros de distância
da antena. A figura 5.2 mostra uma foto do início da sua construção.
91
Figura 5.2: Construção do edifício do Telescópio McMath, que é parte do Observatório Peach Mountain. Fonte: http://umich.edu/~lowbrows/history/mcmath-const.html.
A figura 5.3 mostra a antena de 26 metros ao lado do centro de controle.
Figura 5.3: Vista da antena de 26 metros e do centro de controle. Fonte: http://umich.edu/~lowbrows/history/peach-mountain.html.
Em 1977 a antena foi completamente automatizada e desde então ela foi
extensivamente utilizada em programas de observação de radiofontes extragalácticas
em 4,8, 8,0 e 14,5 GHz (ALLER et al. 1981).
92
Após 2010 o Departamento de Astronomia encerrou as operações em Peach
Mountain e o Departamento de Engenharia Aeroespacial (também da Universidade
de Michigan) está atualmente reformando a antena de 26 metros. Quando a reforma
estiver concluída, a antena será usada em rádio enlaces com satélites artificiais
(SNYDER, 2014).
5.2 Funcionamento do Radiotelescópio
A figura 5.4 mostra os principais blocos funcionais do sistema do rádio observatório.
Figura 5.4: Diagrama de blocos mostrando os principais blocos funcionais do rádio observatório. Fonte: Figura elaborada pelo autor.
Conforme mencionado anteriormente, o dispositivo de recepção das ondas de rádio
utilizado neste trabalho consiste em uma antena parabólica de 26 metros de diâmetro
(figuras 5.1 e 5.3) montada equatorialmente18 (ALLER, 1970). A tabela 5.1 mostra a
largura de feixe à meia potência (HPBW19), a largura de banda e a temperatura de
sistema para cada frequência de operação do radiotelescópio.
Tabela 5.1: Largura de feixe à meia potência (HPBW), largura de banda e temperatura de sistema para cada uma das frequências de operação do radiotelescópio de Michigan (UMRAO). Fonte: ALLER et al. (1985).
Frequência (GHz) HPBW (minutos de arco) Largura de Banda (MHz) Temperatura de Sistema (K)
4,8 9,3 500 60
8,0 5,8 740 185
14,5 3,2 1800 1200
O radiômetro (segundo bloco da figura 5.4) é a etapa responsável pela amplificação e
medição do sinal. A literatura disponível não permite a identificação dos detalhes de
construção do radiômetro. Baseado na época em que foi construído, tudo leva a crer
que o radiômetro seja um receptor super heterodino, onde o sinal a ser analisado é
18 A montagem equatorial é aquela onde o instrumento possui um eixo de rotação paralelo ao eixo de rotação da Terra. Esse tipo de montagem facilita a contínua correção de apontamento da antena para um alvo em movimento aparente devido à rotação da Terra. 19 HPBW é a abreviação da expressão inglesa Half-Power Beamwidth. Sua tradução é “largura de feixe à meia potência”.
ANTENA
RADIÔMETRO
BANCO
DE
DADOS
93
convertido para uma frequência mais baixa para que possa ser amplificado e medido.
Essa exigência estava atrelada à faixa de trabalho dos componentes semicondutores
disponíveis na época. Hoje em dia isso não seria necessário para as frequências de
4,8, 8,0 e 14,5 GHz, pois a tecnologia de construção de semicondutores avançou
bastante a ponto de oferecer componentes discretos capazes de amplificar sinais até
mesmo acima de 40 GHz. Para a etapa de amplificação, Aller et al. (1985) mencionam
o uso de transistores de efeito de campo de Arsenídeo de Gálio (GaAs), um tipo de
semicondutor com excelente resposta em frequência para a época. O uso desses
componentes foi adotado nos radiômetros do radiotelescópio de Michigan entre 1970
e 1981 em substituição aos amplificadores baseados em diodos túnel e permitiu que
se atingisse as larguras de banda e as temperaturas de sistema mostradas na tabela
5.1.
Em paralelo ao radiômetro existe um estágio responsável pela calibragem do sistema.
Esse estágio mede o ganho do radiômetro por meio da aplicação de um sinal de
referência conhecido. O sinal de referência pode ser uma carga à temperatura
ambiente ou uma fonte de ruídos de temperatura conhecida. Aller (1970) menciona
um tubo de ruído baseado no elemento químico argônio.
A etapa final do radiômetro é a medição do sinal usando um voltímetro digital.
5.3 Técnica de Observação
Aller et al. (1985) mencionam que cada observação consistiu em uma série de 8 a 16
medidas do tipo on-off20, onde cada medida on-off é definida pela sequência de 1
minuto de integração on observando a fonte e 1 minuto de integração off observando
o céu adjacente.
O método utilizado para conversão da diferença de potencial medida pelo voltímetro
em densidade de fluxo se baseia na comparação entre a medida da diferença de
potencial obtida para a radiofonte e a medida da diferença de potencial apresentada
por uma radiofonte de referência que possui densidade de fluxo conhecida. As
radiofontes de referência utilizadas foram Cassiopeia A, apresentando 630 Jy de
20 O significado de on no contexto é “sobre a fonte”, “apontando para a fonte”. O significado de off é “fora da fonte”, apontando para uma região adjacente à fonte.
94
densidade de fluxo em 8,0 GHz (ALLER, 1970), regiões H II e Virgo A, apresentando
densidades de fluxo conforme a tabela 5.2.
Tabela 5.2: Densidades de Fluxo de Virgo A nas frequências 4,8, 8,0 e 14,5 GHz. Fonte: ALLER et al. (1981).
Frequência (GHz) 4,8 8,0 14,5
Densidade de Fluxo (Jy) 70,0 48,6 29,9
5.4 O Banco de Dados
As medidas de densidade de fluxo juntamente com os desvios-padrão de cada
observação fazem parte de um banco de dados armazenado pela Universidade de
Michigan disponível em https://dept.astro.lsa.umich.edu/datasets/umrao.php.
95
6 Resultados
A tabela 6.1 mostra a lista das radiofontes estudadas. A coluna 2 mostra o nome da
radiofonte de acordo com suas coordenadas (ascensão reta e declinação); a coluna 3
dá o nome, quando existente, pelo qual a radiofonte é conhecida em outros catálogos
ou compilações; a coluna 4 mostra a ascensão reta da fonte (horas minutos segundos)
no ano 2000; a coluna 5 mostra a declinação da fonte (graus minutos de arco
segundos de arco) no ano 2000; a coluna 6 mostra o seu desvio para o vermelho.
Tabela 6.1: Apresentação das Radiofontes. Fonte: http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/
Fonte Outro nome Ascensão Reta
(J2000)
Declinação
(J2000)
Desvio para o
Vermelho
01 0854+201 OJ287 08 54 48,875 +20 06 30,64 0,306
02 1921-293 OV236 19 24 51,056 -29 14 30,12 0,353
03 0333+321 NRAO140 03 36 30,108 +32 18 29,34 1,263
OJ287 foi escolhida por ser uma fonte com boa amostragem e por ter sido
extensivamente estudada por diversos pesquisadores há mais de 100 anos, inclusive
através de técnicas de interferometria (VICENTE et al., 1996; TATEYAMA et al.,
1999). Além disso, muitos modelos foram propostos para explicar a sua variabilidade
temporal.
OV236 foi escolhida por ser uma das radiofontes mais fortes e compactas conhecidas
(SHEN et al. 2002). Ela foi observada de maneira regular pelo Rádio Observatório de
Michigan, apresentando boa amostragem em 4,8, 8,0 e 14,5 GHz.
A fonte 0333+321 foi escolhida por apresentar ótima amostragem e por possuir desvio
para o vermelho maior que os apresentados por OJ287 e OV236.
Esta pesquisa fez uso de dados do Observatório de Radioastronomia da Universidade
de Michigan, o qual tem sido financiado pela Universidade de Michigan e por uma
série de doações da Fundação Nacional da Ciência, sendo o programa AST-0607523
o mais recente.
96
6.1 OJ287
A radiofonte OJ287 tem atraído a atenção de numerosos pesquisadores e tem sido
extensivamente estudada por mais de um século, sendo uma das radiofontes
extragalácticas de variabilidade mais rápida que se conhece (VALTAOJA, 1987).
Hanson e Coe (1985) mencionaram uma explosão violenta ocorrida em 1983 na faixa
do ultravioleta. Segundo eles, a explosão foi similar à detectada em 1972.
Sillanpää et al. (1988) construíram a curva de luz de OJ287 de 1890 a 1988 na banda
V do óptico (551 nm) e detectaram uma periodicidade de aproximadamente 12 anos
entre cada explosão. Nesse estudo, a comparação da curva de luz de OJ287 com
modelos de acresção de matéria sujeita a perturbações periódicas deu suporte à ideia
de que a sua variabilidade temporal poderia ser causada por perturbações resultantes
da interação de dois buracos negros supermassivos.
A hipótese do binário de buracos negros supermassivos (VALTONEN et al., 1999.a)
consiste em:
(i) Um buraco negro principal, de cerca de 1010 massas solares. Este buraco
negro principal seria rodeado por um disco de acresção.
(ii) Um buraco negro secundário de cerca de 108 massas solares orbitando o
buraco negro principal com período de translação de cerca de 12 anos.
(iii) Jatos opostos e perpendiculares ao disco de acresção, resultantes do
processo de acresção de matéria.
A figura 6.1.1 mostra uma representação desse cenário.
A órbita do buraco negro secundário causaria perturbações através dos seguintes
mecanismos:
a) Colisões com o disco de acresção;
b) Efeito de maré sobre o disco de acresção;
c) Atração gravitacional do jato.
A região do disco de acresção entre 8 a 20 raios de Schwarzschild (8 a 20 mpc) seria
a mais afetada gravitacionalmente.
97
Figura 6.1.1: Representação do cenário do modelo de binário de buracos negros para OJ287. Fonte: http://www.as.up.krakow.pl/sz/oj287.html.
De acordo com o modelo, em maio de 1989 o buraco negro secundário estaria a uma
distância de 85 mpc do buraco negro primário em alinhamento com o jato e a linha de
visada, ocultando a região de emissão rádio (figura 6.1.2).
Figura 6.1.2: Corte perpendicular ao disco de acresção do buraco negro primário do binário de OJ287. Fonte: Traduzido de VALTONEN et al. (1999.b).
Nessa ocasião foi registrado um mínimo em óptico e em rádio (VALTONEN et al.
1999.b).
98
Valtonen et al. (1999.b) aplicaram esses dados ao contexto do modelo de Marscher e
Gear (1985). Neste caso a região de emissão rádio se situaria entre 65 e 85 mpc.
O modelo previa um alinhamento semelhante em fevereiro de 1998, onde a distância
entre o buraco negro primário e o secundário seria de 65 mpc. A diferença de distância
entre 1989 e 1998 seria devida à precessão da órbita do binário. Nesta ocasião foi
detectado um mínimo em óptico, mas não em rádio. Uma possível explicação para
isso seria o fato de que a região de emissão rádio seria um plasmon viajando em
velocidade relativística ao longo da estrutura do jato. Assim, essa região de emissão
teria caminhado para além da órbita do buraco negro secundário entre 1989 e 1998.
Neste artigo também é sugerido que partículas originadas nas regiões mais internas
do disco fluem para a base do jato e irradiam em altas frequências, enquanto
partículas originadas em regiões mais externas do disco terminam em regiões mais
afastadas ao longo do jato, irradiando em frequências menores. Esta seria outra
explicação possível.
Com o aperfeiçoamento do modelo (VALTONEN et al. 1999.b) foi possível estudar
variações sobre o período médio de 12 anos, onde foram detectadas periodicidades
mais curtas de aproximadamente 3 anos a cada ciclo de 12 anos.
Periodicidades de 2 anos também foram detectadas (VALTONEN et al. 2009), assim
como a periodicidade de ~1,6 ano detectada por Hughes et al. (1999) através da
aplicação da transformada wavelet de Morlet. Essa periodicidade é particularmente
interessante, pois o período de ~1,6 ano seria o período de rotação de um disco de
acresção de aproximadamente 11,7 raios de Schwarzschild (11,7 mpc). No artigo de
Valtonen et al. (1999.b), essa afirmação é atribuída a Aller et al. (1994). No presente
trabalho procurou-se reproduzir esse resultado. Aplicando diferentes metodologias de
cálculo isso não foi possível. Essa afirmação precisa, portanto, ser verificada com
base nas equações da Relatividade Geral para um buraco negro de Kerr. Isso
constituirá um trabalho futuro.
Vicente et al. (1996) e Tateyama et al. (1999) determinaram o momento de ejeção de
plasmons a partir de observações usando VLBI chegando a periodicidades de 6 a 7
anos e de 0,5 a 1,5 ano, respectivamente.
99
A figura 6.1.3 mostra as curvas de luz de OJ287 em 4,8, 8,0 e 14,5 GHz de 1969 a
2012.
Figura 6.1.3: Curvas de densidade de fluxo x tempo de OJ287 em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz de 1969 a 2012.
Nota-se que as frequências mais altas exibem maior amplitude de variabilidade e que
existe correlação das curvas de luz nas três frequências.
Em 1989 foi detectado um mínimo em rádio assim como relatado por Valtonen et al.
(1999.b). Conforme reportado na literatura, o mínimo em óptico detectado em 1998
100
não aparece nas frequências de rádio examinadas neste trabalho. No entanto, nota-
se que ocorreu um mínimo mais cedo, entre 1995 e 1996.
Examinando-se o perfil de variabilidade das curvas de luz de OJ287 em rádio, nota-
se a presença de um perfil complexo e não-uniforme que condiz com as observações
feitas em óptico (VALTONEN et al. 1999.b e 2009) e em rádio (HUGHES et al. 1999).
Isso é percebido principalmente nos períodos de maior atividade, onde há
componentes de variabilidade rápida com menor amplitude.
A tabela 6.1.1 mostra os parâmetros da região de emissão rádio calculados conforme
as equações 2.27 a 2.30 para a variação de densidade de fluxo tomada entre maio de
1995 e janeiro de 2003. Suas unidades foram modificadas de segundos para meses,
de metros para parsecs e de radianos para milissegundos de arco (mas).
Tabela 6.1.1: Parâmetros calculados da região de emissão rádio de um evento de grande amplitude e período ocorrido entre maio de 1995 e janeiro de 2003.
(GHz) Smáx/S t (meses) var (meses) r var (pc) var ( mas ) Tb (K)
4,8 2,13 103 167,59 4,22 0,49 8,84E+11
8,0 2,34 103 91,21 2,30 0,26 1,37E+12
14,5 4,77 103 376,38 9,48 1,09 4,15E+10
O raio de variabilidade das maiores explosões variou de 2,30 a 9,48 pc, com
temperatura de brilhância entre 1012 e 1010 K, respectivamente. A figura 6.1.4 mostra
a variação espectral desse evento onde nota-se que durante a ocorrência do evento
de grande amplitude e período há um aumento da densidade de fluxo em todas as
frequências.
A maior variação ocorre em 14,5 GHz. No cenário das frequências analisadas, a
frequência de máximo passa de 8,0 GHz no período de mínimo para 14,5 GHz no
máximo, retornando a 8,0 GHz no novo ponto de mínimo.
101
Figura 6.1.4: Variação espectral de um evento de grande amplitude e período. A curva de maio de 1995 é o mínimo que antecede o evento; julho de 1999 é uma data entre o mínimo e o máximo; em dezembro de 2003 ocorre o máximo; fevereiro de 2004 e junho de 2007 são datas posteriores à ocorrência do máximo.
Seriam necessários dados acima de 14,5 GHz para avaliar o cenário global e descobrir
se 8,0 GHz é somente um máximo local ou se trata-se realmente da frequência de
transição do regime opticamente espesso para o opticamente fino.
A tabela 6.1.2 mostra os parâmetros da região de emissão rádio calculados para a
variação de densidade de fluxo tomada entre dezembro de 1984 e maio de 1985.
Tabela 6.1.2: Parâmetros calculados da região de emissão rádio de um evento de pequena amplitude e período ocorrido entre dezembro de 1984 e maio de 1985.
(GHz) Smáx/S t (meses) var (meses) r var (pc) var ( mas ) Tb (K)
4,8 1,75 5 6,71 0,17 0,02 8,75E+14
8,0 2,36 5 9,03 0,23 0,03 2,88E+14
14,5 2,19 5 8,40 0,21 0,02 1,45E+14
Neste caso o raio variou de 0,17 a 0,23 pc e a temperatura variou entre quase 1015 e
1014 K, respectivamente. A figura 6.1.5 mostra a variação espectral em um evento de
variabilidade rápida e menor amplitude onde nota-se que a densidade de fluxo
aumentou primeiramente nas frequências mais altas. Isso pode ser observado entre
dezembro de 1984 e fevereiro de 1985. Logo em seguida ocorreu a elevação da
densidade de fluxo em todas as frequências. A queda da densidade de fluxo também
inicia nas frequências mais altas.
1
10
100
1 10 100
Densidade de Fluxo (Jy)
Frequência (GHz)
OJ287 - Espectro
evento de grande amplitude e período
mai/95
jul/99
dez/03
fev/04
jun/07
102
Figura 6.1.5: Variação espectral de um evento de variabilidade rápida e pequena amplitude. A curva de dezembro de 1984 é o mínimo que antecede o evento; fevereiro de 1985 é uma data entre o mínimo e o máximo; em maio de 1985 ocorre o máximo; junho de 1985 é uma data logo após a ocorrência do máximo.
A maior variação ocorre em 14,5 GHz, assim como no caso do evento de grande
amplitude e período. Logo após junho de 1985 ocorreu uma nova explosão.
As figuras seguintes mostram o periodograma de Lomb e a transformada wavelet das
curvas de luz da figura 6.1.3. Na discussão a seguir foram selecionados somente picos
com nível de significância maior que 99% (designados pelos números 1, 2, 3 e 4).
Figura 6.1.6: Periodograma de Lomb da curva de luz de OJ287 em 14,5 GHz.
Os picos 1, 2, 3 e 4 da figura 6.1.6 correspondem a periodicidades de 93 meses (7,7
anos), 73 meses (6,1 anos), 46 meses (3,9 anos) e 21 meses (1,8 ano),
1
10
100
1 10 100
Densidade de Fluxo (Jy)
Frequência (GHz)
OJ287 - Espectro
evento de pequena amplitude e período
dez/84
fev/85
mai/85
jun/85
103
respectivamente. Nota-se que os picos principais estão cercados por diversas
estruturas secundárias.
A figura 6.1.7 mostra a transformada wavelet de Morlet da mesma curva de luz em
14,5 GHz.
Figura 6.1.7: Transformada wavelet de Morlet da curva de luz de OJ287 em 14,5 GHz.
O traçado das curvas de nível de significância é mostrado na figura 6.1.8.
Figura 6.1.8: Contornos dos níveis de significância da transformada wavelet de Morlet da curva de luz de OJ287 em 14,5 GHz. Vermelho corresponde ao nível de significância de 50%; azul corresponde ao nível de significância de 95%; verde corresponde ao nível de significância de 99%.
A transformada wavelet revela maiores detalhes e coloca o resultado do periodograma
de Lomb em perspectiva.
104
A periodicidade de aproximadamente 1,6 ano (19 meses) detectada por Hughes et al.
(1999) aparece entre 1988 e 1992.
A seguir surge a periodicidade de 6,1 anos (73 meses) entre 1993 e 1994. A figura
6.1.8 mostra como o seu nível de significância aumenta enquanto ela ganha definição.
De 2003 em diante nota-se que a periodicidade continua existindo, porém seu período
perde definição até o ponto em que ela se transforma na periodicidade de 3,9 anos
(46 meses) que aparece no periodograma de Lomb. A partir daí o seu período continua
crescendo e perdendo definição.
A periodicidade de 1,8 ano (21 meses) forma-se em meados de 2001. Ela aparenta
ser parte da evolução da mesma periodicidade de 1,6 ano que torna a aparecer no
final de 2008 após um “hiato” de aproximadamente 12 anos. O desaparecimento
dessa periodicidade nesse intervalo de tempo dificulta a extração do seu possível
período de evolução, apesar da análise conjunta dos contornos dos níveis de
significância entre 1988 e 1992 e entre 2002 e 2011 sugerirem a sua existência.
Conforme comentado no capítulo 4, a diferença principal entre os gráficos 6.1.6, 6.1.7
e 6.1.8 e os gráficos 4.11, 4.15 e 4.16 é que nestes últimos fora utilizada uma
sequência de dados com uma quantidade menor de pontos (235 pontos), contra a
série atual de 308 pontos de dados e a série que será examinada a seguir com 481
pontos.
A figura 6.1.9 mostra o periodograma de Lomb da curva de luz em 8,0 GHz.
Figura 6.1.9: Periodograma de Lomb da curva de luz de OJ287 em 8,0 GHz.
105
Os picos 1, 2, 3 e 4 da figura 6.1.9 correspondem a periodicidades de 146 meses (12,2
anos), 31 meses (2,6 anos), 24 meses (2 anos) e 19 meses (1,6 ano),
respectivamente. Da mesma maneira que no caso de 14,5 GHz, nota-se que os picos
principais estão cercados por diversas estruturas secundárias, tornando o gráfico
bastante “ruidoso”. Nota-se também a existência de duas periodicidades com períodos
de aproximadamente 45 meses (3,8 anos) e 26 meses (2,2 anos) com nível de
significância entre 95% e 99%.
A figura 6.1.10 mostra a transformada wavelet de Morlet da mesma curva de luz em
8,0 GHz.
Figura 6.1.10: Transformada wavelet de Morlet da curva de luz de OJ287 em 8,0 GHz.
O traçado das curvas de nível de significância é mostrado na figura 6.1.11.
O mapa de contornos de níveis de significância mostra uma periodicidade bem
definida cujo período oscila entre 2,6 anos (31 meses) e 1,6 ano (19 meses). O período
dessa oscilação entre 1971 e 1992 foi de aproximadamente 6 anos. A ausência dessa
periodicidade entre 1992 e 2002 corresponde ao padrão detectado em 14,5 GHz.
A periodicidade de 3,9 anos (47 meses) detectada em 14,5 GHz também foi detectada
em 8,0 GHz. Neste caso, essa periodicidade apresenta período crescente e pouco
definido tendendo ao período de aproximadamente 10 anos. A diferença é que ela
aparece mais cedo, em 1985.
106
Figura 6.1.11: Contornos dos níveis de significância da transformada wavelet de Morlet da curva de luz de OJ287 em 8,0 GHz. Vermelho corresponde ao nível de significância de 50%; azul corresponde ao nível de significância de 95%; verde corresponde ao nível de significância de 99%.
A figura 6.1.12 mostra o periodograma de Lomb da curva de luz em 4,8 GHz.
Figura 6.1.12: Periodograma de Lomb da curva de luz de OJ287 em 4,8 GHz.
Nota-se que o periodograma de Lomb de 4,8 GHz é o menos ruidoso das três
frequências analisadas.
Os picos 1, 2, 3 e 4 da figura 6.1.12 correspondem a periodicidades de 170 meses
(14,2 anos), 93 meses (7,8 anos), 46 meses (3,9 anos) e 19 meses (1,6 ano),
respectivamente.
A figura 6.1.13 mostra a transformada wavelet de Morlet da mesma curva de luz em
4,8 GHz.
107
Figura 6.1.13: Transformada wavelet de Morlet da curva de luz de OJ287 em 4,8 GHz.
Entre 1983 e 1984 forma-se uma periodicidade de 7,8 anos (93 meses) que se
mantém ao longo do período de observação até 2008, quando seu período começa a
aumentar.
O traçado das curvas de nível de significância é mostrado na figura 6.1.14.
Figura 6.1.14: Contornos dos níveis de significância da transformada wavelet de Morlet da curva de luz de OJ287 em 4,8 GHz. Vermelho corresponde ao nível de significância de 50%; azul corresponde ao nível de significância de 95%; verde corresponde ao nível de significância de 99%.
Nota-se que a periodicidade de 3,9 anos (47 meses) detectada em 14,5 GHz também
foi detectada em 4,8 GHz. A diferença é que em 14,5 GHz ela apareceu somente em
2005 e em 4,8 GHz ela existia entre 1980 e 1991, e começou a se formar novamente
em 2007. Neste caso pode-se falar em um atraso de aproximadamente dois anos
entre o aparecimento da periodicidade em 14,5 GHz e em 4,8 GHz.
108
Percebeu-se entre 1982 e 1992 a mesma oscilação da periodicidade de ~1,6 ano (19
meses). Ela desapareceu entre 1992 e 2000 assim como detectado nas outras
frequências. A partir de 2000 nota-se que essa periodicidade reaparece apresentando
variação do seu período.
De uma maneira geral OJ287 apresentou múltiplas periodicidades com períodos e
durações distintas.
Especialmente interessantes foram as periodicidades com período entre 10 e 14 anos
(devido ao período de 12 anos do binário de buracos negros) e a periodicidade de
~1,6 ano (período de rotação de um disco de acresção de raio igual a 11,7 raios de
Schwarzschild) apresentando oscilação aproximadamente senoidal de período 6
anos.
Na figura 6.1.10 nota-se que a periodicidade de 12 anos aparece como manchas
claras centradas na ordenada 120 (meses). A sua presença não é nítida em 14,5 GHz
(figura 6.1.7) e em 4,8 GHz (figura 6.1.13) ela aparece com períodos maiores que 120
meses. Esta afirmação fica mais nítida ao se examinar a figura 6.1.14. Neste caso
pode-se ter a impressão de que uma mudança na configuração do eixo das ordenadas
desse gráfico poderia permitir a visualização dessa periodicidade cujo período é maior
que 120 meses. É importante ressaltar que este não é o caso. Para que o eixo das
ordenadas pudesse apresentar valores maiores, seria necessário que a curva de luz
de OJ287 tivesse sido observada por um período de tempo maior.
De uma maneira geral, o perfil ruidoso encontrado nos periodogramas de Lomb deve-
se a um cenário com múltiplas periodicidades com período variável. Isso ficou muito
claro através dos mapas de coeficientes wavelet.
A tabela 6.1.3 mostra as periodicidades encontradas a partir da análise das matrizes
de coeficientes da transformada wavelet e do periodograma de Lomb.
109
Tabela 6.1.3: Sumário da análise por periodograma de Lomb e transformada wavelet.
Os mapas de coeficientes wavelet em 8,0 GHz das figuras 6.1.10 e 6.1.11 são os que
apresentam o perfil de variabilidade da periodicidade de 1,6 ano de maneira mais
clara. Conforme comentado anteriormente, uma primeira análise da figura 6.1.11
passa a impressão de que essa periodicidade desapareceu entre aproximadamente
1992 e 1999. Uma análise simultânea envolvendo a curva de luz de OJ287 em 8,0
GHz e o gráfico de curvas de níveis de significância da figura 6.1.11 mostra que essa
periodicidade na realidade não desapareceu nesse período. O que aconteceu é que
a densidade de fluxo apresentou valores baixos entre 1992 e 1999, fazendo com que
os coeficientes wavelet calculados em outras épocas atingissem valores maiores e
que eclipsaram os valores desse período. De fato, nota-se que o gráfico 6.1.10 exibe
regiões mais claras um pouco abaixo da ordenada 20 (meses) entre 1992 e 1999.
Essas manchas são mais tênues que as manchas entre 1983 e 1987, mas pode-se
notar que elas de fato estão presentes.
Com a finalidade de estudar em maiores detalhes a variabilidade da periodicidade de
cerca de 1,6 ano foi realizado o procedimento ilustrado nas figuras 4.17, 4.18 e 4.19.
A partir da ordenada 20 (meses) selecionou-se o valor mais alto do coeficiente wavelet
dentro de cada mancha mais clara da figura 6.1.10 e construiu-se um gráfico a partir
das suas coordenadas.
Na figura 6.1.15 o eixo das ordenadas se refere à curva da periodicidade de ~1,6 ano
(azul). O valor dos dados da curva de luz de OJ287 em 8,0 GHz foi multiplicado por 5
com a finalidade de facilitar uma comparação visual com a curva azul. Os momentos
de ejeção de plasmons reportados por Vicente et al. (1996) estão representados como
sinais “+” na cor cinza e os reportados por Tateyama et al. (1999) estão representados
como sinais “x” em amarelo. O valor das ordenadas para o momento de ejeção de
plasmons é arbitrário e foi escolhido convenientemente para facilitar a visualização.
OJ287 Período das Número de Tipo de Período das
Frequência Observações Observações Análise Componentes (meses)
4,8 GHz 1979-2012 400 Lomb 19 46 93 170
wavelet 8-24 37-42 77-95 130-132
8,0 GHz 1971 -2012 481 Lomb 20 24 31 146
wavelet 9-32 43-53 95 106-126
14,5 GHz 1986-2012 308 Lomb 21 46 73 93
wavelet 12-21 45 62-68
110
Figura 6.1.15: Em azul: Curva de periodicidade de ~1,6 ano. Em marrom: Curva de luz de OJ287 em 8,0 GHz (o valor dos dados foi multiplicado por 5 para facilitar a sua comparação visual com a curva azul). Em cinza: Os sinais “+” representam os momentos de ejeção de plasmons de acordo com VICENTE et al. (1996). Em amarelo: Os sinais “x” representam os momentos de ejeção de plasmons de acordo com TATEYAMA et al. (1999). Fonte: GASTALDI; BOTTI (2016).
Nota-se a coincidência surpreendente entre a curva de ~1,6 ano e o momento em que
as componentes VLBI foram ejetadas. As componentes de Vicente et al. (1996) foram
ejetadas nos momentos de maior período da curva de periodicidade de 1,6 ano. As
componentes de Tateyama et al. (1999) apresentaram os menores períodos entre
ejeções e encontram-se posicionadas nos momentos em que a curva de ~1,6 ano
exibe os menores valores de periodicidade.
Um estudo mais aprofundado de Vicente et al. (1996) e Tateyama et al. (1999) a
respeito do tamanho dos plasmons ejetados e da sensibilidade dos instrumentos
utilizados nessas observações por interferometria pode contribuir para uma dialética
ainda mais rica entre a curva de periodicidade de ~1,6 ano e o modelo baseado no
binário de buracos negros. Durante o presente trabalho foi feita uma tentativa de
realizar esse estudo mais aprofundado, porém muitos dos dados necessários não
estavam disponíveis nem nos próprios artigos mencionados, nem em artigos
correlatos. Para realizar esse estudo, muito provavelmente será necessário “beber da
mesma fonte” que os autores, e isso não foi possível até o momento.
A figura 6.1.16 mostra um diagrama simplificado e fora de escala do modelo do binário
de buracos negros com a finalidade se servir de referência para a discussão a seguir.
111
Figura 6.1.16: Diagrama simplificado e fora de escala do modelo do binário de buracos negros. Fonte: GASTALDI; BOTTI (2016).
A trajetória do buraco negro secundário na figura 6.1.16 pode ser considerada uma
foto instantânea da sua órbita, pois a inclinação do eixo maior e menor da elipse
variam com o tempo devido à precessão (SILLANPÄÄ et al. 1988, VALTONEN et al.
2006).
De acordo com o cenário proposto pelo modelo do binário de buracos negros, a
atração gravitacional exercida pelo buraco negro secundário sobre as regiões mais
volumosas (figura 6.1.16) do disco de acresção criaria um efeito de maré. O efeito de
maré faria com que o disco de acresção se tornasse desbalanceado com relação aos
lados direito e esquerdo dos jatos (figura 6.1.17.b).
Figura 6.1.17: Diagrama ilustrando como um efeito de maré poderia resultar da atração gravitacional do buraco negro secundário sobre o disco de acresção. Fonte: GASTALDI; BOTTI (2016).
112
Se os plasmons são ejetados do disco de acresção nos momentos em que o mesmo
se torna instável, é razoável pensar que a taxa de ejeção pode ser afetada pela
atração gravitacional do buraco negro secundário. Considerando os pares de
quadrantes Q1,Q4 e Q2,Q3, (figura 6.1.16), a componente horizontal do campo
gravitacional pode diferir em magnitude devido à precessão da órbita, mas apresenta
a mesma direção e sentido em cada par de quadrantes. Nos quadrantes Q2,Q3, a
força gravitacional puxa para a esquerda. Nos quadrantes Q1,Q4, a força gravitacional
puxa para a direita. Este cenário poderia explicar um pseudo-período de 6 anos (curva
azul da figura 6.1.15) sobre uma órbita de período total de 12 anos.
Os pontos (I) e (II) na figura 6.1.16 são as regiões onde o buraco negro secundário
atravessa cada um dos jatos. Quando o buraco negro secundário está em (I) ou em
(II), a atração gravitacional fica distribuída praticamente de maneira isotrópica sobre o
disco de acresção (figura 6.1.17.a) e a perturbação gravitacional é mínima, fazendo
com que o tempo entre duas ejeções consecutivas seja máximo.
Segundo Valtonen et al. (1999.b) o buraco negro secundário atravessou o jato em (I)
em maio de 1989. A figura 6.1.15 mostra que em maio de 1989 a curva da
periodicidade de ~1,6 ano alcançou um máximo local, concordando perfeitamente
com o modelo. Em fevereiro de 1998 foi detectado um mínimo na curva de luz de
OJ287 em óptico. A curva de ~1,6 ano da figura 6.1.15 mostra um máximo local nessa
ocasião em perfeito sincronismo com as afirmações do modelo do binário de buracos
negros.
A atração gravitacional do buraco negro secundário causaria perturbações e maior
taxa de ejeção de plasmons quando o mesmo se encontrasse em posições à direita
ou à esquerda do jato (figura 6.1.17.b). A curva da periodicidade de ~1,6 ano da figura
6.1.15 estaria novamente de acordo com esse cenário, exibindo taxas de ejeção mais
altas nos momentos anteriores e posteriores a maio de 1989 e fevereiro de 1998.
Com a finalidade de analisar a relação entre a variação no período da periodicidade
de ~1,6 ano e a posição relativa entre o buraco negro secundário e o disco de
acresção, foi traçada uma curva do tipo 1/r2, contendo 25 períodos completos de
translação do buraco negro secundário em torno do buraco negro primário, onde r é a
distância entre o buraco negro secundário e um ponto pertencente ao plano do disco
de acresção. O ponto de referência escolhido foi o buraco negro primário. O tipo de
113
curva com dependência do tipo 1/r2 foi escolhida com a finalidade de simular o efeito
da atração gravitacional do buraco negro secundário sobre as regiões mais
susceptíveis a perturbações gravitacionais, situadas entre 8 e 20 mpc do buraco negro
primário. Partindo da premissa de que o disco de acresção possui uma inércia enorme,
supôs-se que a curva que representa as perturbações gravitacionais não seria
exatamente a curva 1/r2, mas sim uma versão amortecida da mesma. Para criar esse
efeito de amortecimento foi aplicado um filtro passa-baixas à curva 1/r2. Foram
incluídos 25 ciclos para que a curva da periodicidade de ~1,6 ano pudesse ser
deslocada livremente para o futuro ou para o passado dessa curva, de modo a
encontrar o melhor ajuste por meio da alteração da fase entre as duas curvas. A figura
6.1.18 mostra um trecho dessa análise.
Figura 6.1.18: Curva da periodicidade de ~1,6 ano (azul) e trecho da curva resultante da aplicação de um filtro passa-baixas à curva de 1/r2 (cinza). A curva cinza é o resultado da variação de distância entre o buraco negro secundário e o disco de acresção devido à precessão do binário em função do tempo. O objetivo desta figura é uma comparação entre o formato das curvas azul e cinza. Os valores no eixo das ordenadas são arbitrários. Fonte: GASTALDI; BOTTI (2016).
A análise dos diferentes ajustes foi feita por meio do cálculo do índice de correlação
entre os valores das duas curvas tomados para o mesmo instante. Usando 15 graus
(Sillanpää et al. 1988) e 33 graus (Valtonen et al. 2006) de precessão por ciclo para o
binário de buracos negros, o valor mais alto encontrado para o índice de correlação
foi 34%, configurando uma correlação fraca. Uma rápida inspeção visual da figura
6.1.18 sugere que os períodos das curvas cinza e azul não são os mesmos. Como
trabalho futuro será criada uma rotina baseada no método dos mínimos quadrados
com o objetivo de verificar se é possível encontrar valores maiores para o índice de
correlação. A priori os parâmetros livres para essa rotina serão o ângulo de precessão
do binário e a fase entre a curva de 1/r2 e a curva da periodicidade de ~1,6 ano.
114
Como abordagem alternativa ao modelo do binário de buracos negros, foi criada uma
rotina interativa que permitiu a aproximação da curva da periodicidade de ~1,6 ano
por meio do modelo de precessão de jatos baseado em Katz (1997) e Abraham (2000).
O cenário mais simples neste caso consistiria em um jato relativístico cuja direção
muda com o passar do tempo, seguindo um mecanismo de precessão. Supondo que
os plasmons são ejetados a velocidades relativísticas a partir do núcleo de OJ287, a
percepção do observador acerca da sua taxa de ejeção mudaria conforme a mudança
da orientação do jato. Em outras palavras, o tempo percebido pelo observador entre
cada ejeção mudaria de acordo com a dilatação temporal descrita pela Teoria Especial
da Relatividade. Quanto menor o ângulo entre a orientação do jato e a linha de visada,
menor o efeito da dilatação temporal e mais próxima a observação estaria da taxa de
ejeção real. Seguindo essa linha de pensamento, maio de 1989 e fevereiro de 1998
foram momentos em que a orientação do jato estava mais afastada da linha de visada
do observador.
O resultado da rotina interativa é mostrado na figura 6.1.19.
Figura 6.1.19: Curva da periodicidade de ~1,6 ano (azul) e curva (multicolorida) baseada em um modelo de precessão de jato. As várias cores (verde musgo, marrom, cinza e amarelo) referem-se a diferentes ciclos (translações completas do buraco negro secundário ao redor do buraco negro primário) com base na variação angular dada pela precessão da órbita do binário. Fonte: GASTALDI; BOTTI (2016).
Ao utilizar a abordagem de precessão de jatos notou-se que o uso de um único ângulo
de precessão não pôde reproduzir a curva da periodicidade de ~1,6 ano com sucesso.
O uso de um número progressivamente maior de ângulos de precessão como
variáveis resultou em aproximações cada vez melhores. O maior problema no uso de
115
uma quantidade arbitrária de ângulos como parâmetros livres é uma potencial falta de
compromisso com um cenário físico bem definido.
Neste trabalho não foram realizadas análises baseadas na magnitude das explosões.
No entanto, uma análise como essa seria um detalhe muito importante a ser
considerado em cenários que envolvem a precessão de jatos devido ao efeito
conhecido como amplificação relativística. Um plasmon ou uma onda de choque
viajando a velocidades relativísticas teria a densidade de fluxo associada à sua
emissão aumentada na medida em que a orientação do jato se aproxima da linha de
visada do observador. De acordo com esse efeito, dada uma densidade de fluxo
arbitrária no referencial da fonte, quanto menor o ângulo entre a orientação do jato e
a linha de visada, maior a densidade de fluxo registrada pelo observador (equação
2.31). Se a densidade de fluxo fosse constante no referencial da fonte, uma anti-
correlação perfeita entre a curva da periodicidade de ~1,6 ano e a curva de luz seria
um grande indício a favor dos modelos baseados em precessão de jatos. Uma
inspeção visual da figura 6.1.15 permite encontrar alguns pontos onde um mínimo da
curva da periodicidade de ~1,6 ano coincide com um máximo local de densidade de
fluxo. No entanto, uma estimativa confiável da correlação entre essas duas curvas é
uma tarefa bastante desafiadora, podendo facilmente conduzir a resultados
duvidosos, pois não há como conhecer a variabilidade real da fonte no seu referencial.
Logo, os resultados encontrados nesta simulação não permitem maiores afirmações
sobre uma tal correlação.
Conclui-se que a curva da periodicidade de ~1,6 ano pode concordar com afirmações
e interpretações dos dois modelos, mas ela não se encaixa perfeitamente em nenhum
deles. Em outras palavras, ela apresenta um formato que é mais complexo do que os
modelos podem reproduzir sem o uso de artifícios engenhosos. Conforme apontado
por Kidger et al. (1992) e Takalo (1994), seu perfil complexo sugere uma modulação
de longo período (55 a 60 anos) sobre o ciclo de 12 anos.
Uma última característica que chama a atenção ao se examinar o gráfico de
coeficientes wavelet da figura 6.1.10 é uma periodicidade de período ~40 meses que
tem o seu período aumentado com o passar do tempo após 1985, praticamente
coincidindo com a periodicidade de 12 anos, 6 anos mais tarde. Uma periodicidade
116
com esse comportamento nunca foi reportada na literatura e constitui um objeto para
estudo futuro.
117
6.2 OV236
OV236 é uma das radiofontes extragalácticas de maior variabilidade e mais
compactas que se conhece (TORNIKOSKI et al., 1996), exibindo um desvio para o
vermelho de 0,353 (WILLS; WILLS, 1981) e classificado como BL Lac (IMPEY et al.,
1982) devido à sua polarização (14%) e variabilidade em 2,2 um (137 THz, na faixa
do infravermelho médio).
Em 1977 um evento registrado em óptico e em infravermelho poderia estar
relacionado ao máximo detectado em 31,4 GHz e 89,6 GHz (DENT; BALONEK, 1980
e GILMORE, 1980). Nessa ocasião o evento em rádio durou mais que em óptico.
Andrew et al. (1978) reportaram eventos apresentando 25% de variação da densidade
de fluxo em 6,67 GHz e 10,71 GHz entre 1971 e 1976. Epstein et al. (1980) reportaram
uma diminuição no índice espectral medido entre 15 e 90 GHz de aproximadamente
0,40 em dezembro de 1978 para cerca de 0,14 em julho 1979. Havia forte evidência
de que OV236 teria mais do que dobrado sua densidade de fluxo durante dezembro
de 1978.
Aller et al. (1981) observaram OV236 em 4,8, 8,0 e 14,5 GHz e reportaram que a sua
densidade de fluxo aumentou lentamente a partir de 1977, sendo seguida por uma
grande explosão ocorrida no outono de 1979. Durante esse período o espectro
mostrou inclinação invertida ( < 0), sugerindo um período prolongado de injeção ou
aceleração de partículas. Em 1978-1979 ocorreu um aumento de mais de duas vezes
no fluxo polarizado sem um aumento na densidade de fluxo total correspondente,
indicando que mesmo sendo aproximadamente constante a densidade de fluxo total,
a fonte não é quiescente.
Durante os anos 1980, Botti realizou várias observações em 22 GHz e 43 GHz no
Rádio Telescópio do Itapetinga. De 1980 a 1981 OV236 apresentou queda de 60% na
densidade de fluxo, levando aproximadamente um ano para retomar o nível anterior.
Um evento em 1984 alcançou maior densidade de fluxo em 22 GHz que em 43 GHz.
No final dos anos 1980, OV236 atingiu o mínimo de cerca de 6 Jy em 22 GHz. A
frequência de transição do opticamente espesso para o opticamente fino foi de
aproximadamente 20 GHz.
118
Linfield et al. (1989) estimaram a temperatura de brilhância do núcleo de OV236 em
~3,8 . 1012 K utilizando medições feitas com VLBI em 2,3 GHz.
Shen et al. (1997) resolveram o núcleo e o jato de OV236 utilizando técnicas de VLBI
em 5 GHz. O núcleo apresentou densidade de fluxo de aproximadamente 11,1 Jy,
representando cerca de 77% da densidade de fluxo total de aproximadamente 14,4
Jy. A sua temperatura de brilhância foi de 4,9 . 1012 K, enquanto a temperatura de
brilhância do jato foi estimada entre 5 a 7 . 1010 K. Mapeando a região central de
OV236 em 43 GHz, Shen et al. (2002) calcularam o limite inferior da sua temperatura
de brilhância, chegando a valores entre1011 a 1012 K.
A figura 6.2.1 mostra os gráficos de densidade de fluxo x tempo de OV236 de 1979 a
2006. Os registros em 4,8 GHz iniciaram em 1979, já em 8,0 GHz e 14,5 GHz os
registros iniciaram em 1982.
Figura 6.2.1: Curvas de densidade de fluxo x tempo de OV236 em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz de 1979 a 2006.
Nota-se que as frequências mais altas exibem maior amplitude de variabilidade e que
existe correlação das curvas de luz nas três frequências.
119
Uma inspeção preliminar indica que as curvas de luz de OV236 apresentam um perfil
complexo contendo periodicidades de variabilidade lenta e grande amplitude e
periodicidades de variabilidade rápida e pequena amplitude. Ambas periodicidades
parecem estar presentes ao longo do período em que os dados foram coletados, a
não ser no período de mínimo registrado entre 1987 e 1991, quando ocorreu a queda
e posterior aumento na densidade de fluxo sem a presença aparente das
componentes de variabilidade rápida e pequena amplitude.
O declínio na densidade de fluxo de 60% reportado por Botti (1990) entre 1980 e 1981
em 22 GHz e 43 GHz pode ser visto na curva de luz de 4,8 GHz como uma queda de
40% a partir de aproximadamente 10 Jy entre março de 1980 a dezembro de 1981.
Houve um pequeno aumento na densidade de fluxo de setembro a novembro de 1980,
quando então iniciou-se a queda mais acentuada. Não há dados em 8,0 GHz e 14,5
GHz para esse período. Durante o ano seguinte OV236 apresentou aumento da sua
densidade de fluxo, atingindo um novo patamar de cerca de 8 Jy.
O evento que em 22 GHz e 43 GHz ocorreu em 1984, pôde ser visto em fevereiro de
1985, maio de 1985 e junho de 1985, para 14,5 GHz, 8,0 GHz e 4,8 GHz,
respectivamente.
Em 14,5 GHz nota-se uma queda pronunciada de março de 1987 a dezembro de 1988.
Em 8,0 GHz a queda iniciou em agosto de 1987 e durou até dezembro de 1988, assim
como em 14,5 GHz. Em 4,8 GHz a queda durou até abril de 1989. Essa queda
detectada nas três frequências corresponde ao mínimo detectado por Botti (1990) em
22 GHz e 43 GHz.
Na análise realizada neste trabalho verificou-se que de dezembro de 1988 a fevereiro
de 1990 a densidade de fluxo de OV236 mais do que dobrou. Este foi o maior aumento
contínuo registrado. A tabela 6.2.1 mostra os parâmetros da região de emissão rádio
calculados conforme as equações 2.27 a 2.30 para a variação de densidade de fluxo
tomada entre dezembro de 1988 e fevereiro de 1990. Suas unidades foram
modificadas de segundos para meses, de metros para parsecs e de radianos para
milissegundos de arco (mas).
120
Tabela 6.2.1: Parâmetros calculados da região de emissão rádio de um evento de grande amplitude e período ocorrido entre dezembro de 1988 e fevereiro de 1990.
(GHz) Smáx/S t (meses) var (meses) r var (pc) var ( mas ) Tb (K)
4,8 1,58 14 16,30 0,41 0,04 4,30E+14
8,0 2,30 14 23,80 0,60 0,06 1,08E+14
14,5 3,09 14 31,98 0,81 0,09 1,97E+13
A temperatura de brilhância foi calculada entre 1013 e 1014 K para raios de variabilidade
entre cerca de 0,81 e 0,41 pc, respectivamente.
Esse período também assinala a transição entre o período quiescente e o período
ativo. A figura 6.2.2 mostra a variação espectral desse período.
Figura 6.2.2: Variação espectral de um evento de grande amplitude e período. A curva de dezembro de 1988 é o mínimo que antecede o evento; outubro de 1989 é uma data entre o mínimo e o máximo; o máximo ocorreu em setembro de 1990, marcando o início de um período de maior atividade; em março de 1991 ocorreu um mínimo local a partir do qual ocorreram eventos sucessivos (a evolução espectral de um deles é mostrada na figura 6.2.3).
Nota-se que durante a ocorrência do evento de grande amplitude e período há um
aumento da densidade de fluxo em todas as frequências. A maior variação ocorre em
14,5 GHz. A frequência de máximo passa de 8,0 GHz no período de mínimo para 14,5
GHz no máximo, retornando a 8,0 GHz no novo ponto de mínimo
O período de maior atividade foi marcado por uma série de explosões de curto período
e pequena amplitude. A tabela 6.2.2 mostra os parâmetros da região de emissão rádio
calculados para a variação de densidade de fluxo tomada entre maio de 1993 e maio
de 1994.
1
10
100
1 10 100
Densidade de Fluxo (Jy)
Frequência (GHz)
OV236 - Espectro
evento de grande amplitude e período
dez/88
out/89
set/90
mar/91
121
Tabela 6.2.2: Parâmetros calculados da região de emissão rádio de um evento de pequena amplitude e período ocorrido entre maio de 1993 e maio de 1994.
(GHz) Smáx/S t (meses) var (meses) r var (pc) var ( mas ) Tb (K)
4,8 1,39 12 12,30 0,31 0,03 1,27E+15
8,0 1,26 12 11,14 0,28 0,03 6,77E+14
14,5 1,46 12 12,95 0,33 0,03 1,72E+14
A figura 6.2.3 mostra a variação espectral desse evento que culminou na máxima
densidade de fluxo registrada em todo o período de observação. Isso ocorreu em maio
de 1994. A temperatura de brilhância calculada neste caso ficou entre 1014 e 1015 K
para raios de variabilidade entre aproximadamente 0,33 e 0,31 pc, respectivamente.
Figura 6.2.3: Variação espectral de um evento de pequena amplitude e período. A curva de maio de 1993 é o mínimo que antecede o evento; março de 1994 é uma data entre o mínimo e o máximo; em maio de 1994 ocorre o máximo; maio de 1995 é uma data onde ocorre um novo mínimo local.
Na figura 6.2.3 nota-se que durante a ocorrência deste evento de pequena amplitude
e período, a densidade de fluxo aumentou em todas as frequências praticamente na
mesma proporção e sem que houvesse um aumento mais pronunciado em 14,5 GHz.
Entre março de 1994 e maio de 1995 ocorreu a queda da densidade de fluxo em todas
as frequências.
As figuras seguintes mostram o periodograma de Lomb e a transformada wavelet das
curvas de luz da figura 6.2.1. Na discussão a seguir foram selecionados somente picos
com nível de significância maior que 99% (designados pelos números 1, 2 e 3).
1
10
100
1 10 100
Densidade de Fluxo (Jy)
Frequência (GHz)
OV236 - Espectro
evento de pequena amplitude e período
mai/93
mar/94
mai/94
mai/95
122
Figura 6.2.4: Periodograma de Lomb da curva de luz de OV236 em 14,5 GHz.
Os picos 1, 2 e 3 da figura 6.2.4 correspondem a periodicidades de 78 meses (6,6
anos), 51 meses (4,3 anos) e 30 meses (2,5 anos), respectivamente. Nota-se que no
perfil espectral obtido os picos se destacam bastante do ruído de fundo. Existe uma
periodicidade com nível de significância entre 95% e 99% cujo período é de cerca de
15 meses (1,4 ano).
A figura 6.2.5 mostra a transformada wavelet de Morlet da mesma curva de luz em
14,5 GHz.
Figura 6.2.5: Transformada wavelet de Morlet da curva de luz de OV236 em 14,5 GHz.
O traçado das curvas de nível de significância é mostrado na figura 6.2.6.
123
Figura 6.2.6: Contornos dos níveis de significância da transformada wavelet de Morlet da curva de luz de OV236 em 14,5 GHz. Vermelho corresponde ao nível de significância de 50%; azul corresponde ao nível de significância de 95%; verde corresponde ao nível de significância de 99%.
Em 14,5 GHz a periodicidade de 78 meses se mostrou bem definida e presente
durante todo o período de observação. O modo de exibição tradicional dos
coeficientes wavelet mostrado na figura 6.2.5 mostra que essa periodicidade se
intensificou próximo ao máximo da curva de luz ocorrido em maio de 1994.
Entre 1982 e 1983 surgiu uma periodicidade cujo período variou entre 15 e 28 meses
ao longo dos 15 anos seguintes. Trata-se da periodicidade que exibiu nível de
significância entre 95% e 99% no periodograma de Lomb. Entre 1992 e 1993 essa
periodicidade se dividiu em duas. No máximo de 1994 uma das periodicidades
apresentou o período de 15 meses e a outra apresentou o período de cerca de 25
meses. Logo após o máximo registrado na curva de luz, as duas periodicidades se
tornaram uma novamente, até o seu desaparecimento entre 1998 e o ano 2000. Na
figura 6.2.6 isso pode ser visto como a transição que ocorre nesse intervalo de tempo,
onde o contorno do nível de significância passou de 99% para 50% até que os
contornos desapareceram por volta de 1998/2000. A figura 6.2.5 mostra que essa
periodicidade na verdade nunca deixou de existir. A análise conjunta com a figura
6.2.1 mostra uma diminuição na densidade de fluxo durante esse período
corroborando essa afirmação.
Entre 1999 e 2002 houve o surgimento de uma periodicidade de 43 meses
aparentando ser uma variação da periodicidade de variabilidade mais longa de 66
meses.
124
A figura 6.2.7 mostra o periodograma de Lomb da curva de luz em 8,0 GHz.
Figura 6.2.7: Periodograma de Lomb da curva de luz de OV236 em 8,0 GHz.
Os picos 1, 2 e 3 da figura 6.2.7 correspondem a periodicidades de cerca de 102
meses (8,5 anos), 60 meses (5 anos) e 36 meses (3 anos), respectivamente. Nota-se
que os picos 1 e 2 são indistinguíveis até aproximadamente o nível de significância de
95%. Há também a presença de duas periodicidades de frequência mais alta cujo nível
de significância situa-se entre 95% e 99%. O período dessas periodicidades é de
aproximadamente 33 meses (2,8 anos) e 15 meses (1,2 ano).
A figura 6.2.8 mostra a transformada wavelet de Morlet da mesma curva de luz em 8,0
GHz.
Figura 6.2.8: Transformada wavelet de Morlet da curva de luz de OV236 em 8,0 GHz.
O traçado das curvas de nível de significância é mostrado na figura 6.2.9.
125
Figura 6.2.9: Contornos dos níveis de significância da transformada wavelet de Morlet da curva de luz de OV236 em 8,0 GHz. Vermelho corresponde ao nível de significância de 50%; azul corresponde ao nível de significância de 95%; verde corresponde ao nível de significância de 99%.
Diferentemente do que se viu em 14,5 GHz, em 8,0 GHz a periodicidade de maior
período se tornou mais definida apenas a partir de 1997. Outra diferença percebida
foi o padrão da periodicidade cujo período situa-se entre cerca de 15 meses e 20
meses. No caso de 8,0 GHz ela existiu de 1989 a 1999 e atingiu seu período máximo
na época do máximo de 1994. Não houve o padrão de “divisão” dessa periodicidade
como registrado em 14,5 GHz, porém essa época marca a definição da periodicidade
de aproximadamente 36 meses.
A figura 6.2.10 mostra o periodograma de Lomb da curva de luz em 4,8 GHz.
Figura 6.2.10: Periodograma de Lomb da curva de luz de OV236 em 4,8 GHz.
Os picos 1, 2 e 3 da figura 6.2.10 correspondem a periodicidades de 114 meses (9,5
anos), 40 meses (3,3 anos) e 22 meses (1,9 ano), respectivamente. Nota-se também
126
uma periodicidade de aproximadamente 27 meses com nível de significância entre
95% e 99%.
A figura 6.2.11 mostra a transformada wavelet de Morlet da mesma curva de luz em
4,8 GHz.
Figura 6.2.11: Transformada wavelet de Morlet da curva de luz de OV236 em 4,8 GHz.
O traçado das curvas de nível de significância é mostrado na figura 6.2.12.
Figura 6.2.12: Contornos dos níveis de significância da transformada wavelet de Morlet da curva de luz de OV236 em 4,8 GHz. Vermelho corresponde ao nível de significância de 50%; azul corresponde ao nível de significância de 95%; verde corresponde ao nível de significância de 99%.
Em 4,8 GHz a periodicidade de período mais longo se formou em 1999 e persistiu até
2004.
127
De uma maneira geral, a periodicidade que apresentou período variável entre 14 e 23
meses esteve presente ao longo de todo o período de observação. Nota-se a
existência de duas periodicidades nos primeiros anos, uma de aproximadamente 20
meses e uma de cerca de 33 meses. A época que antecedeu o máximo de maio de
1994 apresentou uma sequência de pequenos eventos. Nessa ocasião ocorreu a
junção dessas duas periodicidades. A periodicidade resultante apresentou período
intermediário de 30 meses e durou até a ocorrência do próximo mínimo, por volta de
1999. No final do período de observação a única periodicidade que restou foi a de
período 18 meses.
A tabela 6.2.3 mostra as periodicidades encontradas a partir da análise das matrizes
de coeficientes da transformada wavelet e do periodograma de Lomb.
Tabela 6.2.3: Sumário da análise por periodograma de Lomb e transformada wavelet.
Os dados marcados em vermelho representam pseudo-periodicidades, onde o
período encontrado é da ordem de grandeza do número de observações.
OV236 Período das Número de Tipo de Período das
Frequência Observações Observações Análise Componentes (meses)
4,8 GHz 1979 - 2006 194 Lomb 22 40 114
wavelet 14-23 32-33 62-64
8,0 GHz 1981 - 2006 191 Lomb 15 33 36 60 102
wavelet 14-17 28-31 38 52-61
14,5 GHz 1982 - 2006 225 Lomb 15 30 51 78
wavelet 15-28 43 60-66
128
6.3 0333+321
Esta seção traz uma radiofonte pouco explorada até o momento. As primeiras
observações de 0333+321 foram reportadas por Andrew et al. (1978). Neste artigo os
pesquisadores publicaram uma tabela com observações mensais de 0333+321 em
2,8 cm (10,7 GHz) e 4,5 cm (6,7 GHz) ocorridas entre 1971 e 1976. A densidade de
fluxo variou entre 1,66 e 2,06 Jy em 10,7 GHz e entre 2,06 e 2,53 Jy em 6,7 GHz.
Fiedler et al. (1987) reportaram observações realizadas entre 1979 e 1985 nas
frequências de 2,7 GHz e 8,1 GHz. A densidade de fluxo média em 2,7 GHz e 8,1 GHz
foi de 3 Jy e 1,8 Jy, respectivamente. Neste artigo os pesquisadores constataram que
a variabilidade detectada em 2,7 GHz não correspondia exatamente à variabilidade
em 8,1 GHz e atribuíram essa diferença ao efeito da cintilação interestelar, cujo efeito
é aproximadamente inversamente proporcional à frequência (AARONS et al., 1967).
Este artigo também discute o efeito dos chamados ESEs21 sobre a densidade de fluxo
medida pelo observador. Neste sentido, uma ESE seria a interposição de um objeto
de algumas unidades astronômicas entre a fonte e o observador. Discute-se que a
natureza desse objeto poderia ser a de uma nuvem contendo elétrons livres. O
resultado provocado seria o espalhamento do sinal emitido pela fonte devido ao índice
de refração da nuvem, diminuindo a densidade de fluxo medida pelo observador
(WALKER; WARDLE, 1998).
Waltman et al. (1991) estenderam em dois anos as observações reportadas por
Fiedler et al. (1987) e mencionaram que efeitos ESEs foram encontrados nas curvas
de luz de 0333+321.
Através de observações usando VLBI em 15 GHz, Kellermann et al. (2004) reportaram
os seguintes momentos de ejeção de componentes: 1972,5 ± 3,5, 1980 ± 3,3 e 1982,7
± 0,7, e que a máxima densidade de fluxo encontrada em 15 GHz entre 1994 e 2001
foi de aproximadamente 2,24 Jy.
A figura 6.3.1 mostra as curvas de luz de 0333+321 em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz
de 1978 a 2000.
21 ESE é a abreviação da expressão Extreme Scattering Event. Sua tradução seria Evento de Espalhamento Extremo. No texto a sigla será usada no seu original.
129
Figura 6.3.1: Curvas de densidade de fluxo x tempo de 0333+321 em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz de 1978 a 2000.
Nota-se que as frequências mais altas exibem maior amplitude de variabilidade e que
existe correlação das curvas de luz nas três frequências. Além disso, pode-se
perceber que o desvio padrão representado pelas barras de erro é significativo a ponto
de constituir um empecilho no estudo de grande parte dos eventos de variabilidade
rápida.
A tabela 6.3.1 mostra os parâmetros da região de emissão rádio calculados conforme
as equações 2.27 a 2.30 para a variação de densidade de fluxo tomada entre junho
de 1989 e setembro de 1990. Suas unidades foram modificadas de segundos para
meses, de metros para parsecs e de radianos para milissegundos de arco (mas).
130
Tabela 6.3.1: Parâmetros calculados da região de emissão rádio de um evento de grande amplitude e período ocorrido entre junho de 1989 e setembro de 1990.
(GHz) Smáx/S t (meses) var (meses) r var (pc) var ( mas ) Tb (K)
4,8 1,20 15 7,97 0,20 0,02 4,83E+14
8,0 1,62 15 10,72 0,27 0,02 1,01E+14
14,5 1,94 15 12,87 0,32 0,03 1,91E+13
O raio de variabilidade das maiores explosões variou de 0,20 a 0,32 pc, com
temperatura de brilhância entre 1014 e 1013 K, respectivamente. A figura 6.3.2 mostra
a variação espectral desse evento.
Figura 6.3.2: Variação espectral de um evento de grande amplitude e período. As curvas de março de 1989 e de junho de 1989 antecedem o evento; o evento inicia em março de 1990, onde nota-se um aumento da densidade de fluxo em 14,5 GHz; em setembro de 1990 ocorre o máximo.
Na figura 6.3.2 a diminuição da densidade de fluxo nos meses que antecederam o
evento foi representada através das curvas de março de 1989 e junho de 1989. Nota-
se que a densidade de fluxo praticamente não varia em 4,8 GHz e que a diminuição é
maior em 14,5 GHz, seguida de 8,0 GHz. De junho de 1989 até março de 1990 a
densidade de fluxo aumentou em 14,5 GHz mas continuou diminuindo em 8,0 GHz e
em 4,8 GHz. Março de 1990 marca o início do evento. Em setembro de 1990 nota-se
que a densidade de fluxo continuou aumentando em 14,5 GHz e o evento já pôde ser
percebido em 8,0 GHz, enquanto que em 4,8 GHz a densidade de fluxo permaneceu
praticamente estável. A figura 6.3.2 reforça a afirmação feita sobre a figura 6.3.1 de
que as frequências mais altas apresentam maior amplitude de variabilidade.
131
As figuras seguintes mostram o periodograma de Lomb e a transformada wavelet das
curvas de luz da figura 6.3.1.
Figura 6.3.3: Periodograma de Lomb da curva de luz de 0333+321 em 14,5 GHz.
Os picos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 da figura 6.3.3 correspondem a periodicidades de 204
meses (17 anos), 68 meses (5,7 anos), 51 meses (4,3 anos), 41 meses (3,4 anos), 34
meses (2,8 anos), 29 meses (2,4 anos), 25 meses (2,1 anos) e 23 meses (1,9 ano),
respectivamente. Nota-se que os picos principais estão cercados por diversas
estruturas secundárias.
A figura 6.3.4 mostra a transformada wavelet de Morlet da mesma curva de luz em
14,5 GHz onde nota-se uma periodicidade de acerca de 25 meses com grande
definição entre aproximadamente 1978 e 1982. Essa periodicidade perde definição
entre 1983 e 1990 e volta a ganhar maior definição a partir de então, conforme seu
período aumenta. Uma rápida inspeção da curva de luz em 14,5 GHz da figura 6.3.1
mostra que entre aproximadamente 1983 e 1990 0333+321 apresentou os menores
valores de densidade de fluxo.
132
Figura 6.3.4: Transformada wavelet de Morlet da curva de luz de 0333+321 em 14,5 GHz.
A periodicidade de número 1 (cerca de 204 meses) não pode ser considerada para
análise, pois ela possui tamanho semelhante à série de dados.
O traçado das curvas de nível de significância é mostrado na figura 6.3.5.
.
Figura 6.3.5: Contornos dos níveis de significância da transformada wavelet de Morlet da curva de luz de 0333+321 em 14,5 GHz. Vermelho corresponde ao nível de significância de 50%; azul corresponde ao nível de significância de 95%; verde corresponde ao nível de significância de 99%.
A transformada wavelet revela maiores detalhes e coloca o resultado do periodograma
de Lomb em perspectiva.
As periodicidades de 23 meses a 41 meses (números 4 a 8 da figura 6.3.3) parecem
constituir uma única periodicidade cujo período varia com o tempo. Isso explicaria a
presença de uma quantidade tão grande de periodicidades e de picos secundários.
133
Nas figuras 6.3.4 e 6.3.5 nota-se uma periodicidade centrada acima da ordenada 60.
Seu valor se aproxima do valor da periodicidade de número 2 do periodograma de
Lomb da figura 6.3.3 (68 meses).
A figura 6.3.6 mostra o periodograma de Lomb da curva de luz em 8,0 GHz onde
destacam-se três periodicidades. Seus períodos são: 128 meses (10,7 anos), 73
meses (6 anos) e 31 meses (2,6 anos).
Figura 6.3.6: Periodograma de Lomb da curva de luz de 0333+321 em 8,0 GHz.
O número de pontos da curva de luz de 0333+321 em 8,0 GHz é de 252. Conforme
discutido no capítulo Métodos Matemáticos, o período máximo aceitável para uma
periodicidade nesta condição seria a metade do número de pontos da curva de luz,
ou seja, 126 meses. Isso faz com que a periodicidade número 1 (128 meses) seja
descartada. A periodicidade de número 2 em 8,0 GHz (73 meses) se aproxima da
periodicidade número 2 encontrada em 14,5 GHz (68 meses) e a periodicidade de
número 3 apresenta um período correspondente às periodicidades de 4 a 8 da figura
6.3.3. A figura 6.3.7 mostra a transformada wavelet de Morlet da mesma curva de luz
em 8,0 GHz.
134
Figura 6.3.7: Transformada wavelet de Morlet da curva de luz de 0333+321 em 8,0 GHz.
O traçado das curvas de nível de significância é mostrado na figura 6.3.8.
Figura 6.3.8: Contornos dos níveis de significância da transformada wavelet de Morlet da curva de luz de 0333+321 em 8,0 GHz. Vermelho corresponde ao nível de significância de 50%; azul corresponde ao nível de significância de 95%; verde corresponde ao nível de significância de 99%.
Os perfis na parte superior do mapa de contornos de níveis de significância da figura
6.3.8 sugerem uma periodicidade centrada acima da ordenada 60, possivelmente
coincidente com a periodicidade de número 2 (73 meses) do periodograma de Lomb
da figura 6.3.6. Nota-se uma periodicidade na figura 6.3.7 na forma de manchas claras
centradas aproximadamente na ordenada 30. Na figura 6.3.8 esse padrão aparece
após dezembro de 1988.
A figura 6.3.9 mostra o periodograma de Lomb da curva de luz em 4,8 GHz.
135
Figura 6.3.9: Periodograma de Lomb da curva de luz de 0333+321 em 4,8 GHz.
Este é o periodograma que apresenta o menor número de periodicidades das
frequências analisadas.
A periodicidade 1 apresenta um período de 344 meses (28,7 anos). Esta periodicidade
não pode ser considerada por ser maior que o número de pontos da curva de luz de
0333+321 (223 pontos). A periodicidade 2 apresenta um período de 44 meses (3,7
anos).
A figura 6.3.10 mostra a transformada wavelet de Morlet da mesma curva de luz em
4,8 GHz.
Figura 6.3.10: Transformada wavelet de Morlet da curva de luz de 0333+321 em 4,8 GHz.
O traçado das curvas de nível de significância é mostrado na figura 6.3.11.
136
As figuras 6.3.10 e 6.3.11 mostram um padrão que sugere a convergência de duas
periodicidades, uma partindo aproximadamente da periodicidade de 60 meses, e outra
partindo da periodicidade de aproximadamente 20 meses. Essas duas periodicidades
parecem se unir em dezembro de 1988, formando uma única periodicidade com
período de aproximadamente 40 meses.
Figura 6.3.11: Contornos dos níveis de significância da transformada wavelet de Morlet da curva de luz de 0333+321 em 4,8 GHz. Vermelho corresponde ao nível de significância de 50%; azul corresponde ao nível de significância de 95%; verde corresponde ao nível de significância de 99%.
Entre junho de 1994 e março de 1997 há o que parece ser um “transiente” com período
aproximado de 10 meses. Um perfil semelhante foi observado em 8,0 GHz, conforme
a figura 6.3.8.
A tabela 6.3.2 mostra as periodicidades encontradas a partir da análise das matrizes
de coeficientes da transformada wavelet e do periodograma de Lomb.
Tabela 6.3.2: Sumário da análise por periodograma de Lomb e transformada wavelet.
0333+321 Período das Número de Tipo de Período das
Frequência Observações Observações Análise Componentes (meses)
4,8 GHz 1980 -1999 223 Lomb 344 44
wavelet 20 60 40
8,0 GHz 1978 -1999 252 Lomb 128 73 31
wavelet > 60 30 10
14,5 GHz 1980 - 1999 232 Lomb 204 68 51 41 34 29 25 23
wavelet > 60 23-41
137
Os mapas wavelet não exibiram características excepcionais nos momentos de ejeção
de plasmons reportados por Kellermann et al. (2004). Observando as curvas de luz
de 0333+321 em todas as frequências (figura 6.3.1), nota-se que em 1980 realmente
ocorreu uma explosão que corresponde à ejeção de plasmon reportada.
As curvas de luz da figura 6.3.1 não apresentam sinais conclusivos sobre a ejeção
que teria ocorrido em 1982,7 ± 0,7. A curva de luz em 14,5 GHz apresenta lacunas
nesse período. Em 4,8 GHz e 8,0 GHz não há qualquer indício apontando um evento
dramático.
Por fim, a ejeção que teria ocorrido em 1972,5 ± 3,5 não pode ser discutida no contexto
deste trabalho porque o radiotelescópio de Michigan iniciou as observações de
0333+321 somente em 1978.
138
7 Conclusões
Neste trabalho foram aplicados o periodograma de Lomb e a transformada wavelet às
curvas de luz de radiofontes extragalácticas obtidas por meio do uso de dados do
radiotelescópio de Michigan em 4,8 GHz, 8,0 GHz e 14,5 GHz.
As periodicidades encontradas através das duas ferramentas de análise
apresentaram resultados complementares, pois a transformada wavelet proporcionou
a perspectiva do comportamento temporal das periodicidades obtidas por meio do
periodograma de Lomb. Os mapas de coeficientes wavelet contextualizaram o perfil
ruidoso e dominado por múltiplas periodicidades apresentado pelos periodogramas
de Lomb.
O desenvolvimento deste trabalho proporcionou um grande ganho de experiência na
análise de curvas de variabilidade temporal. O conhecimento adquirido foi aplicado a
radiofontes extragalácticas, mas pode igualmente ser empregado em uma miríade de
domínios do conhecimento.
As curvas de isointensidades utilizadas para caracterizar os contornos de níveis de
significância constituem uma abordagem inédita que se mostrou valiosa
principalmente nos casos em que não se suspeitava do conteúdo espectral do sinal
analisado. A prática mostrou que essa abordagem deve ser utilizada como ferramenta
auxiliar em conjunto com os gráficos de densidade de fluxo das curvas de luz, com os
gráficos dos coeficientes wavelet e com dados da literatura.
No caso de OJ287 observou-se de maneira inédita a estrutura fina da periodicidade
de cerca de 1,6 ano reportada por Hughes et al. (1999). Essa estrutura fina foi batizada
com o nome de curva da periodicidade de ~1,6 ano, exibindo padrão
aproximadamente senoidal de período de ~6 anos. A curva da periodicidade de ~1,6
ano apresentou máximos locais ocorridos em maio de 1989 e em fevereiro de 1998
que concordaram surpreendentemente bem com os ocultamentos do jato previstos
pelo modelo do binário de buracos negros. Os ocultamentos do jato provocados pelo
buraco negro secundário seriam os pontos de menor perturbação gravitacional do
disco de acresção do buraco negro primário, causando períodos de máximo entre
ejeções de plasmons.
139
A curva da periodicidade de ~1,6 ano também mostrou concordância impressionante
com os momentos de ejeção de plasmons reportados na literatura. Os três momentos
de ejeção reportados por Vicente et al. (1996) ocorreram em três pontos de máximo
consecutivos da curva da periodicidade de ~1,6 ano. Essa formidável coincidência
deve ser analisada em maiores detalhes como continuação deste trabalho. Detalhes
como o tamanho das componentes ejetadas e a sensibilidade do receptor estão entre
os detalhes que serão analisados. Os momentos de ejeção reportados por Tateyama
et al. (1999) também estão de acordo com o perfil da curva da periodicidade de 1,6
ano pois apresentaram pequenos períodos entre ejeções nos trechos de mínimo da
curva.
Foram realizados ensaios para verificar a correlação entre uma curva de perturbação
gravitacional 1/r2 e a curva da periodicidade de ~1,6 ano. A correlação calculada
atingiu 34%. A correlação fraca encontrada sinalizou que alguma prerrogativa poderia
estar errada, seja na escolha da curva 1/r2, no valor da excentricidade da sua órbita
ou no seu período de precessão.
Também foram feitos ensaios para verificar a correlação entre uma curva de dilatação
temporal regida pela precessão de um jato relativístico conforme Katz (1997) e
Abraham (2000) e a curva da periodicidade de ~1,6 ano. A única maneira de conseguir
boa correlação entre essas duas curvas seria deixar os parâmetros variar sem as
restrições impostas por um determinado cenário físico. Este resultado também revelou
uma correlação fraca.
A análise wavelet também confirmou a existência da periodicidade de cerca de 12
anos reportada por Sillanpää et al. (1988) e revelou uma periodicidade inédita de
período ~40 meses cujo período aumentou progressivamente após 1985 até coincidir
com a periodicidade de 12 anos seis anos mais tarde.
Ao se comparar o nível de discussão realizado para as três radiofontes analisadas fica
clara a importância do trabalho realizado por pesquisadores dedicados à observação
e modelagem dessas radiofontes. A fonte melhor discutida foi OJ287 e isso se deve a
mais de um século de observações e aos modelos que foram propostos para explicar
a sua variabilidade.
No caso de OV236 foram detectadas periodicidades e o seu comportamento temporal.
Através dos mapas de coeficientes wavelet foi possível encontrar uma periodicidade
140
inédita com período de cerca de 20 a 40 meses. A continuidade de trabalhos como o
do time do rádio observatório de Michigan seria essencial para a determinação de
periodicidades de longo período, como a periodicidade de período maior que 60 anos
detectada neste estudo. Como trabalho futuro, essas características podem ser
associadas à dinâmica de acresção de matéria do seu sistema buraco negro/disco de
acresção, podendo proporcionar o surgimento de modelos semelhantes aos que
buscam explicar o funcionamento de OJ287.
A fonte 0333+321 não apresentou comportamento extraordinário como no caso de
OJ287 e OV236, a não ser por ter apresentado o que parece ser a convergência de
duas periodicidades de aproximadamente 60 meses e 20 meses de período para uma
assíntota localizada no ponto médio entre as duas. Esse processo durou
aproximadamente 10 anos, resultando em uma periodicidade com período de 40
meses no final do processo.
A análise simultânea das curvas de luz de 0333+321 e de mapas de VLBI detectou
uma coincidência na ejeção de uma componente na época em que ocorreu uma
explosão. Isso ocorreu em 1980.
Além disso, e de maneira complementar, foram plotados espectros das explosões e
foram calculados os parâmetros físicos das respectivas regiões de emissão rádio,
como o raio de variabilidade e a temperatura de brilhância das três radiofontes
analisadas neste trabalho.
Em muitos casos as temperaturas calculadas excederam o limite de 1012 K, implicando
efeitos relativísticos como a amplificação Doppler e/ou cenários ainda menos
explorados, como efeitos não lineares em plasmas.
Este trabalho mostrou de uma maneira geral que a análise de fenômenos
extragalácticos em frequências de rádio ainda é um assunto atual e capaz de trazer
resultados importantes para a comunidade científica.
141
8 Trabalhos Futuros
1. Uma das oportunidades para dar continuidade a este trabalho seria realizar os
cálculos de órbitas estáveis para o disco de acresção de OJ287 com base no
efeito gravitacional de um buraco negro de Kerr de 18 bilhões de massas
solares com o objetivo de investigar a dinâmica de acresção do disco e de
ejeção de plasmons.
2. A periodicidade de OJ287 cujo período aumentou de cerca de 3,3 anos (~40
meses) para cerca de 12 anos merece uma investigação mais aprofundada.
3. Os detalhes envolvendo as ejeções de plasmons conforme reportado por
Vicente et al. (1996) e Tateyama et al. (1999) definitivamente merecem um
estudo mais aprofundado. Informações sobre os tamanhos das componentes
ejetadas ao longo do tempo podem constituir uma pista importante na análise
do fenômeno físico responsável pela variabilidade da curva de ~1,6 ano.
4. A correlação entre a curva de 1/r2 e a curva da periodicidade de ~1,6 ano
precisa ser examinada em maiores detalhes. A criação de uma rotina baseada
no método dos mínimos quadrados contendo o ângulo de precessão do binário
e a fase entre a curva de 1/r2 e a curva da periodicidade de ~1,6 ano como
parâmetros livres pode levar a valores maiores do índice de correlação entre
essas duas curvas. Isso precisa ser testado.
5. Com os dados deste trabalho é possível dar os primeiros passos na proposição
de um modelo para explicar a dinâmica de ejeção de plasmons para OV236. O
modelo deveria englobar comentários sobre a dinâmica de acresção de matéria
e um possível cenário contendo um binário de buracos negros.
6. Estudos de VLBI para OV236 contendo informações sobre o momento de
ejeção de plasmons e as suas dimensões proporcionariam um cenário muito
rico para estudos detalhados como no caso de OJ287.
7. Pretende-se realizar análises semelhantes à realizada neste trabalho nas
frequências de raios-X e raios gama.
142
Apêndice A – Alguns Tipos de Wavelet-Mãe
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Figura A.1: Alguns tipos de wavelet-mãe. (a) Wavelet de Haar; (b) Wavelet de Morlet; (c) Wavelet “Chapéu de Mexicano”; (d) Wavelet de Daubechies tipo 2; (e) Wavelet de Daubechies tipo 3; (f) Wavelet de Meyer.
143
Apêndice B – Comandos e Rotinas do Matlab
Como plotar usando linhas contínuas
plot(x,y);
Como plotar tipo “dispersão”
scatter (x,y);
Como formatar os limites inferior e superior de um gráfico
axis([xmin xmax ymin ymax]);
Como colocar as marcações de um eixo na diagonal
XTicksLabelStyle = Diagonal;
ou
YTicksLabelStyle = Diagonal;
Como determinar as marcações (os “Ticks”) no eixo X do gráfico
tick_x = [0; 29; 58; 87; 116; 145; 174; 203; 232];
set(gca,'XTick',tick_x);
Como atribuir rótulos às marcações (os “Ticks”) no eixo X do gráfico
eixo_x =['jan-78'; 'set-81'; 'jun-83'; 'mar-86'; 'dez-88'; 'set-91'; 'jun-94'; 'mar-97'; 'nov-99'];
set(gca,'XTickLabel',eixo_x);
Como colocar título no gráfico
title('Título do Gráfico);
Como colocar legenda em X e em Y
xlabel('Tempo') ylabel('Densidade de Fluxo');
Como mudar formatação do eixo X do gráfico para vários formatos de
dia/mês/ano/hora
dateFormat = 11; 11 é o formato yy (os algarismos dezena e unidade do ano)
144
dateFormat = 28; 28 é o formato mmyyyy (os algarismos dezena e unidade referentes
a mês e os algarismos milhar, centena, dezena e unidade referem-se ao ano)
Como inverter a ordem do eixo y
set(gca,'YDir','Normal');
ou
set(gca,'YDir','Reverse');
Como desenhar uma linha horizontal no gráfico
yPos = valor_de_y;
hold on
plot(get(gca,'xlim'), [yPos yPos]);
hold off
Como exportar um vetor para o Excel
filename = 'testdata.xlsx';
xlswrite(nome do arquivo,C,'Temperaturas','B2');
A sequência acima escreve a matriz C do Matlab para a região retangular que inicia
em B2 em uma planilha do Excel chamada “Temperaturas” no arquivo chamado
“nome do arquivo”.
Como encontrar a variância de uma sequência de dados
variância = var(sequencia);
Como plotar os coeficientes wavelet
imagesc(tempo,scales,Coef);
Como plotar os contornos das wavelets
Primeiramente define-se o valor de cada contorno:
v_50 = [P_50,P_50]; % P_50 refere-se ao nivel de significância a 50%
v_95 = [P_95,P_95]; % o mesmo para 95%
145
v_99 = [P_99,P_99]; % o mesmo para 99%
Em seguida plota-se os contornos a partir das escalas e do tempo de observação:
contour(tempo,escalas,Coef_norm, v_50,'color','r');
hold on
contour(tempo,escalas,Coef_norm, v_95,'color','b');
contour(tempo,escalas,Coef_norm, v_99,'color','g');
Como encontrar a linha e a coluna do coeficiente de maior valor da matriz de
coeficientes
[valor, localizacao] = max(cwt_OJ287(:));
[linha,coluna] = ind2sub(size(cwt_OJ287),localizacao);
146
Referências
AARONS, J.; ALLEN, R. S.; ELKINS, T. J. Frequency dependence of radio star scintillations. Journal of Geophysical Research, vol. 72, no 11, jun 1967. ABRAHAM, Z. Precession, beaming and the periodic light curve of OJ287. Astronomy and Astrophysics, vol. 355, p. 915-921, 2000. ALLER, H. D. The polarization of variable radio sources at 8 GHz. I – The observations. The Astrophysical Journal, vol. 161, p. 1-18, jul 1970. ALLER, H. D.; ALLER, M. F.; HODGE, P. E. The polarization of outbursts in extragalactic variable sources at centimeter wavelengths. The Astronomical Journal, vol. 86, no 3, mar 1981. ALLER, H.D.; ALLER, M.F.; LATIMER, G. E.; HODGE, P. E. Spectra and linear polarizations of extragalactic variable sources at centimeter wavelengths. The Astrophysical Journal Supplement Series, no 59, p. 513-768, 1985. ALLER, M.F.; ALLER, H.D.; HUGHES, P.A. Tuorla Obs. Rep. no. 174, p. 60, 1994. ANDREW, B. H.; Macleod, J. M.; HARVEY, G. A.; MEDD, W. J. A ten-year study of extragalactic variable sources at centimeter wavelengths. Astronomical Journal, vol. 83, p. 863-899, ago 1978. BARNING, F. J. M. The numerical analysis of the light-curve of 12 Lacertae. Communication from the Observatory at Utrecht. Astronomical Institutes of the Netherlands, vol. 17, no 1, p. 22-28, 1963. BEGELMAN, M. C.; BLANDFORD, R. D.; REES, M. J. Theory of extragalactic radio sources. Reviews of Modern Physics, vol. 56, no 2, part I, p. 255-351, 1984. BLANDFORD, R. D.; REES, M. J. A ‘twin-exhaust’ model for double radio sources. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, vol. 169, p. 395-415, 1974. BLANDFORD, R. D.; KÖNIGL, A. Relativistic jets as compact radio sources. The Astrophysical Journal, vol. 232, p. 34-48, aug 1979. BOTTI, L. C. L. Estudo da Variabilidade e do Espectro de Radiofontes em 22 43 GHz. 1990. Tese (Doutorado em Ciência Espacial) – Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, 1990. COHEN, M. H.; KELLERMANN, K. I.; SHAFFER, D. B.; LINFIELD, R. P.; MOFFET, A. T.; ROMNEY, J. D.; SEIELTAD, G. A.; PAULINY-TOTH, I. I. K.; PREUSS, E.; WITZEL, A.; SCHILIZZI, R. T.; GELDZAHLER, B. J. Radio sources with superluminal velocities. Nature, vol. 268, p. 405-409, ago 1977. CONDON, J. J.; LEDDEN, J. E.; O’DELL, S. L.; DENNISON, B. 318-MHz variability of complete samples of extragalactic radio sources. The Astronomical Journal, vol. 84, n. 1, p. 1-11, jan 1979.
147
COOLEY, J.; TUKEY, J. W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. Math Comput., vol. 19, p. 297-301, 1965. DANIELSON, G. C.; LANCZOS, C. Some improvements in practical Fourier analysis and their application to x-ray scattering from liquids. J. Franklin Institute, vol. 233, p. 365-380 and p. 435-452, 1942 DAUBECHIES, I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets. Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 41, no. 7, p. 909–996, 1988. DENT, W. A.; BALONEK, T. J. A dramatic radio outburst in the quasar 1921-29. Nature, vol. 283, p. 747, 748, fev 1980. EPSTEIN, E. E.; LANDAU, R.; RATHER, J. D. G. Variable radio sources - 90-GHz flux densities. Astronomical Journal, vol. 85, p. 363-367, abr 1980. FIEDLER, R. L.; WALTMAN, E. B.; SPENCER, J. H.; JOHNSTON, K. J. Daily observations of compact extragalactic radio sources at 2695 and 8085 MHz, 1975 – 1985. The Astrophysical Journal Supplement Series, vol. 65, p. 319-384, nov 1987. FREEDMAN, R. A.; KAUFMANN III, W. J. Universe. New York: W. H. Freeman and Company, 2011. GAO, R. X.; YAN, R. Wavelets: Theory and Applications for Manufacturing. EUA: Springer, 2010. GASTALDI, M. R.; BOTTI, L. C. L. The fine structure behind the 1.6yr periodicity of OJ287. The Astrophysical Journal, submetido. GILMORE, G. Is PKS1921-29 a quasar with correlated radio and optical variations? Nature, v. 287, p. 612-613, out 1980. GOLDBERG, L. Reports of observatories. The Astronomical Journal, vol. 62, no 1253, p. 298-302, nov 1957. HANSON, C. G.; COE, M. J. The ultraviolet variability of the BL Lacertae object OJ287. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, vol. 217, p. 831-842, 1985. HUGHES, P. A.; ALLER, H. D.; ALLER, M. F. Extraordinary Activity in the BL Lac Object OJ 287. The Astrophysical Journal, no 503, p. 662-673, ago 1999. IMPEY, C. D.; BRAND, P.W.J.L.; WOLSTENCROFT, R. D.; WILLIAMS, P. M. Infrared polarimetry and photometry of BL Lac objects. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, v. 200, p. 19-40, jul 1982. JONES, T. W.; TOBIN, D. Restrictions on models for superlight flux variations in radio sources. The Astrophysical Journal, vol. 215, p. 474-482, jul 1977. KAISER, G. A friendly guide to wavelets. EUA: Springer, 2011.
148
KATZ, J. I. A precessing disk in OJ287? The Astrophysical Journal, vol. 478, p. 527-529, abr 1997. KELLERMANN, K. I.; PAULINY-TOTH, I. I. K. Variable radio sources. The Astrophysical Journal, vol. 155, p. L71-L78, fev 1969. KELLERMANN, K. I.; LISTER, M. L.; HOMAN, D. C.; VERMEULEN, R. C.; COHEN, M. H.; ROS, E.; KADLER, M.; ZENSUS, J. A.; KOVALEV, Y. Y. The Astrophysical Journal, vol. 609, p. 539-563, jul 2004. KIDGER, M.; TAKALO, L.; SILLANPÄÄ, A. A new analysis of the 11-year period in OJ287: confirmation of its existence. Astronomy and Astrophysics Research Note, vol. 264, p. 32-36, 1992. LINFIELD, R. P.; LEVY, G. S.; ULVESTAD, J. S.; EDWARDS, C. D.; DINARDO, S. J.; STAVERT, L. R. VLBI using a telescope in earth orbit. II. Brightness temperatures exceeding the inverse Compton limit. The Astrophysical Journal, vol. 336, p. 1105-1112, jan 1989. LOMB, N. R. Least-squares frequency analysis of unequally spaced data. School of physics. Astrophysics and Space Science, vol. 39, p. 447-462, 1976. MALLAT, S. G. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 11, no 7, p. 674–693, jul 1989. MARSCHER, A. P. Relativistic blast-wave model for superlight motion in compact double radio sources. The Astrophysical Journal, vol. 219, p. 392-399, jan 1978. MARSCHER, A. P.; GEAR, W. K. Models for high–frequency radio outbursts in extragalactic radio sources, with application to the early 1983 millimeter-to-infrared flare of 3C273. The Astrophysical Journal, vol. 298, p. 114-127, nov 1985. NEWLAND, D.E. An introduction to random vibrations: spectral & wavelet analysis. EUA: Dover, 2005. NOVOKHATSKI, A. Coherent synchrotron radiation: theory and simulations. IFCA Beam Dynamics Newsletter, vol. 57, 127144, 2012. REES, M. J. Studies in radio source structure-I. A relativistically expanding model for variable quasi-stellar radio sources. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, vol. 135, p. 345, 1967. REES, M. J. Black Hole Models for Active Galactic Nuclei. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, vol. 22, p. 471-506, 1984. SANTOS, M. A. Investigações das periodicidades do quasar 3C273 pelas transformadas de Fourier e wavelet de duas curvas de luz em radio. 2007. Dissertação (Engenharia Elétrica) - Universidade Presbiteriana Mackenzie, São Paulo, 2007. Orientador: L.C.L. Botti.
149
SCARGLE, J. D. Studies in astronomical time series analysis. II. Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data. The Astrophysical Journal, vol. 263, p. 835-853, dez 1982. SHAPIRO, S. L.; LIGHTMAN, A. P.; EARDLEY, D. M. A two-temperature accretion disk model for Cygnus X-1 - Structure and spectrum. Astrophysical Journal, vol. 204, pt. 1, p. 187-199, fev 1976. SHEN, Z.-Q.; WAN, T.-S.; MORAN, J. M.; JAUNCEY, D. L.; REYNOLDS, J. E.; TZIOUMIS, A. K.; GOUGH, R. G.; FERRIS, R. H.; SINCLAIR, M. W.; JIANG, D.-R.; HONG, X.-Y.; LIANG, S.-G.; COSTA, M. E.; TINGAY, S. J.; MCCULLOCH, P. M.; LOVELL, J. E. J.; KING, E. A.; NICOLSON, G. D.; MURPHY, D. W.; MEIER, D. L.; VAN OMMEN, R. D.; EDWARDS, P. G.; WHITE, G. L. A 5-GHz Southern Hemishere VLBI Survey of Compact Radio Sources.I. The Astronomical Journal, vol. 114, no 5, p. 1999-2015, 1997. SHEN, Z. -Q.; EDWARDS, J. E. J.; LOVELL, K.; FUJISAWA, S.; KAMENO; INOUE, M. High resolution VSOP imaging of a southern blazar PKS 1921-293 at 1.6 GHz. The Astronomical Society of Japan, vol. 51, p. 1-5, 1999. SHEN, Z. -Q.; MORAN, J. M.; KELLERMANN, K. I. The central parsecs of the bright quasar PKS 1921-293. The Astronomical Society of Japan, 2002. SILLANPÄÄ, A.; HAARALA, S.; VALTONEN, M. J.; SUNDELIUS, B.; BYRD, G. G. OJ287: Binary pair of supermassive black holes. The Astrophysical Journal, vol. 325, p. 628-634, fev 1988. TAKALO, L. O. OJ 287: The Rosetta stone of blazars. Vistas in Astronomy, vol. 38, p. 77, 1994. TATEYAMA, C. E.; KINGHAM, K. A.; KAUFMANN, P.; PINER, B. G.; BOTTI, L. C. L.; DE LUCENA, A. M. P. Observations of OJ287 from the geodetic VLBI archive of the Washington correlator. The Astrophysical Journal, vol. 520, p. 627-633, ago 1999. TORNIKOSKI, M.; VALTAOJA, E.; TERASRANTA, H.; KARLAMAA, K.; LAINELA, M.; NILSSON, K.; KOTILAINEN, J.; LAINE, S.; LAHTEENMAKI, A.; KNEE, L. B. G.; BOTTI, L. C. L. SEST observations of extragalactic radio sources at 3 mm and 1.3 mm. Astronomy and Astrophysics. Supplement Series, no 116, p. 157-165, 1996. TORRENCE, C.; COMPO, G. P. A pratical guide to wavelet analysis. Bulletin of the American Meteorological Society, vol. 79, no 1, p. 61-78, jan 1998. TÜRLER, M.; COURVOISIER, T. J.-L.; PALTANI, S. Modelling the submillimetre-to-radio flaring behavior of 3C 273. Astronomy and Astrophysics, vol.349, p. 45-54, 1999. VALTAOJA, L.; SILLANPÄÄ, A.; VALTAOJA, E. The correlation between radio and optical variations in OJ287. Astronomy and Astrophysics, vol. 184, p. 57-62, 1987.
150
VALTONEN, M.; PIETLÄ, H.; LEHTO, H. OJ287 binary black hole system. Galaxy Dynamics ASP Conference Series, vol. 182, p. 57-58, 1999.a. VALTONEN, M.; LEHTO, H. J.; PIETLÄ, H. Probing the jet in the binary black hole model of the quasar OJ287. Astronomy and Astrophysics – Letter to the Editor, no 342, L29-L31, 1999.b. VALTONEN, M.; NILSON, K.; SILLANPÄÄ, A.; TAKALO, O.; LEHTO, H. J.; KEEL, W. C.; HAQUE, S.; CORNWALL, D.; MATTINGLY, A. The 2005 november outburst in OJ287 and the binary black hole model. The Astrophysical Journal, vol. 643, p. L9-L12, may 2006. VALTONEN, M. J.; MIKKOLA, S.; MERRITT, D.; GOPAKUMAR, A.; LEHTO, H. J.; HYVÖNEN, T.; RAMPADARATH, H.; SAUNDERS, R.; BASTA, M.; HUDEC, R. Black holes in active galactic nuclei. Proceedings IAU Symposium, no. 261, 2009. VICENTE, L.; CHARLOT, P.; SOL, H. Monitoring of the VLBI radio structure of the BL Lacertae object OJ287 from geodetic data. Astronomy and Astrophysics, no 312, p. 727-737, 1996. WALKER, M.; WARDLE, M. Extreme scattering events and galactic dark matter. The Astrophysical Journal, vol. 498, p. L125-L128, maio 1998. WALTMAN, E. B.; FIEDLER, R. L..; JOHNSTON, K. J.; SPENCER, J. H.; FLORKOWSKI, D. R.; JOSTIES, F. J.; MCCARTHY, D. D., MATSAKIS, D. N. Daily observations of compact radio sources at 2.7 and 8.1 GHz: 1979-1987. The Astrophysical Journal Supplement Series, vol. 77, p. 379-404, nov 1991. WAGNER, S. J.; WITZEL, A. Intraday variability in quasars and BL Lac objects. Annual Review Astronomy and Astrophysics, vol. 33, p. 163-197, 1995. WILLS, D.; WILLS, B. J. Optical observations of OV-236. Nature, vol. 289, p. 384-386, jan 1981.