nº19MateMática

Matemática e suas Tecnologias

Professor Arnaldo Torres

CURIOSIDADES DA MATEMÁTICA

Curiosidade I: probabilidade da Mega Sena

Confira as probabilidades que você possui de ganhar na Mega Sena, de acordo com a quantidade de números jogados.

Números jogadosProbabilidade de Acerto (1 em ...)

Sena Quina Quadra6 50063860 154518 23327 7151980 44981 10388 1787995 17192 5399 595998 7791 31210 238399 3973 19511 108363 2211 12912 54182 1317 9013 29175 828 6514 16671 544 4815 10003 370 37

Curiosidade 2: a origem do grau

Sabemos que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas por que motivo os valores são 90 e 180?No ano de 4000 a.C., os egípcios e árabes tentavam elaborar um calendário. Nessa época, se acreditava que o Sol levava 360 dias para completar a órbita de uma volta em torno da Terra. Assim, a cada dia, o Sol percorria um pouquinho dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita. Esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau.

Então, para os antigos egípcios e árabes, o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia. Porém, hoje sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas se manteve a tradição e se convencionou dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.

Curiosidade 3: as cadeiras de 3 pés

O que é mais firme? Uma cadeira de 3 pés ou uma cadeira de 4 pés?

Você já percebeu que muitas vezes uma cadeira de 4 pés fica bamba? Isso não acontece com uma cadeira de 3 pés, que sempre será mais firme. Isso ocorre porque três pontos não alinhados sempre irão determinar um plano. Já quando temos uma cadeira com 4 pés, temos quatro pontos que poderão determinar até quatro planos. Como pode se apoiar em qualquer um deles, a cadeira poderá ficar “dançando”. Nesse caso, a solução seria colocar um calço em um dos pés, para que ele fique contido no mesmo plano dos demais.

Curiosidade 4: quais são os anos bissextos?

Um ano é bissexto quando ele é divisível por 4. Porém, existe uma exceção. Os anos que terminam por dois zeros serão bissextos se forem divisíveis por 400.Exemplo: 2012 é um ano bissexto. Pois 2012/4 = 503, ou seja, uma divisão exata. 1998 não é um ano bissexto, pois 1998/4 = 499,5, uma divisão inexata.5000 não é um ano bissexto pois, apesar de ser divisível por 4, é um número terminado em 00 e não é divisível por 400.

Curiosidade 5: como quantificar pessoas em eventos públicos

Conhecer a quantidade de pessoas em um determinado local é importante para o Poder Público, pois assim poderá planejar o policiamento, estimar a necessidade real de profissionais das diversas áreas – médicos, enfermeiros, bombeiros, infraestrutura, e ainda, quantidade de copos de água, ambulância e outros benefícios.Este cálculo é fácil de fazer, bastando para isso uma simples operação matemática. Sabe-se que um metro quadrado (m²) pode ser ocupado por nove pessoas, no máximo, nas grandes concentrações.

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Matemática e suas Tecnologias

As concentrações são divididas em três categorias: pequena, média e grande. Na concentração pequena, calculam-se três pessoas por metro quadrado; na média, seis pessoas; e na grande nove pessoas por metro quadrado.Multiplicando-se o número médio de participantes por m² pela área útil ocupada, chegar-se-á ao número médio de pessoas presentes numa reunião. Eis a regra:

N P m² x A (m²) = T P ASendo:N P m² = número de pessoas por m²;A = área ocupada em m²;T P A = Número total de pessoas na área.

Exemplo hipotético: O cantor Roberto Carlos fará um show em um espaço livre de 100 metros de comprimento por 60 metros de largura. Qual a capacidade de espectadores em pé neste local?Temos os seguintes dados:Número de pessoas por metro quadrado = 9Área quadrada do local: 100 x 60 = 6000 m²Resolvendo o problema: 9 x 6000 = 54000.Logo, 54000 é o número máximo de pessoas em pé que o local comporta.Com apenas um olhar você pode ter o público aproximado. Se a quantidade de pessoas for como a de uma decisão de campeonato de futebol, multiplica-se a área quadrada por nove. Se você achar que tem muita gente, mas percebe muito espaço vazio, multiplique por 6. E assim sucessivamente.

Curiosidade 6: o número PHI

A diferença entre o PHI e o Pi é muito mais que só o ‘H’. O número PHI, representado pelo número 1,618 é muito importante na arte. O PHI é geralmente considerado o número mais belo do mundo. Este número vem da série de Fibonacci – uma progressão famosa não só porque a soma dos termos adjacentes equivalia ao termo seguinte, mas porque os quocientes dos termos adjacentes possuíam a estarrecedora propriedade de irem se aproximando gradativamente do número 1,618, o PHI!Apesar das origens matemáticas aparentemente místicas do PHI, o aspecto surpreendente do PHI foi seu papel como componente básico na Natureza. Plantas, animais e até seres humanos – todos possuíam propriedades dimensionais que se encaixavam com uma exatidão espantosa à razão de PHI para um. A unipresença do PHI na natureza está além da coincidência, e assim os antigos presumiram que o número PHI deve ter sido predeterminado pelo Criador do universo. Os primeiros cientistas solenemente anunciaram que o número um vírgula seis um oito era a Divina Proporção.

Exemplos:1) Se você dividir o número de abelhas fêmeas pelo número de

abelhas machos em qualquer colmeia do mundo, vai sempre obter o mesmo número: PHI = 1,618.

2) Um miolo de flor de girassol. As sementes de girassol crescem em espirais opostas. A razão de cada rotação para a seguinte é de 1,618, PHI.

3) Leonardo Da Vinci foi o primeiro a demonstrar que o corpo humano é literalmente feito de componentes cujas razões proporcionais sempre equivalem a PHI.

4) Se você dividir a distância que vai do alto da cabeça até o chão, depois dividir o resultado pela distância do umbigo até o chão, vai obter 1,618, PHI.

5) A distância de um ombro até a ponta dos dedos dividido pela distância entre o cotovelo até a ponta dos dedos. PHI = 1,618.

Curiosidade 7: você sabe o que representa o número Pi?

O número Pi representa o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro. É a mais antiga constante matemática que se conhece. É um número irracional, com infinitas casas decimais e não periódico.

Curiosidade 8: quantas casas decimais do número Pi são conhecidas?

São conhecidas 51539600000 casas decimais de Pi, calculadas por Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tóquio, em 1997. Em 21/8/1998 foi calculada pelo projeto Pihex a 5000000000000a. casa binária de Pi.

Curiosidade 9: você sabe o que são números transcedentes?

São os números que não são algébricos. Não existe nenhum polinômio de coeficientes inteiros de que sejam raiz.O número Pi, por exemplo, é um número transcendente porque não se pode obtê-lo como raiz de nenhum polinômio de coeficientes inteiros.Os números transcendentes são infinitos e há muito mais do que números algébricos (que são aqueles que se podem obter como raiz de um polinômio de coeficientes inteiros). Raiz de 3 é um número algébrico, já que é solução da equação x2 – 3 = 0.

Curiosidade 10: você sabe o que são números triangulares?

Os primeiros números triangulares são 1, 3 e 6. Veja por que:

1 3 6

Os números triângulares podem ser calculados através de duas fórmulas: a iterativa e a recursiva.Fórmula iterativa:T(n) = 1 + 2 + 3 +...+ n

Fórmula recursiva:T(1) = 1T(n + 1) = T(n) + (n + 1)

Curiosidade 11: curiosidades com números triangulares

Se um número triangular é multiplicado por 8 e acrescido de 1, o resultado é um número quadrado.Veja:1 · 8 + 1 = 93 · 8 + 1 = 25Essa afirmação foi feita por Plutarco aproximadamente no ano 100 d.C.

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Curiosidade 12: outra forma de calcular potências

Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através da soma de números ímpares. Ele descobriu que n2 é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares.Exemplo:

52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Curiosidade 13: o quadrado da soma dos números naturais

(1 + 2 + 3 + 4)2 = 13 + 23 + 33 + 43

100 = 1 + 8 + 27 + 64

O quadrado da soma de uma série de números naturais começando por 1 é igual à soma do cubo de suas parcelas.

Curiosidade 14: você sabe o que são números amigáveis?

Números amigáveis são pares de números onde um deles é a soma dos divisores do outro.Por exemplo, os divisores de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, cuja soma é 284.Por outro lado, os divisores de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142 e a soma deles é 220. Fermat descobriu também o par 17296 e 18416. Descartes descobriu o par 9363584 e 9437056.

Curiosidade 15: por que as antenas são parabólicas?

As antenas parabólicas têm o formato de uma curva chamada parábola, que está associada ao gráfico da função do segundo grau.

Definimos parábola a partir de uma reta r e um ponto F, chamado foco, em um plano. A parábola de foco F e diretriz r é o conjunto de todos os pontos cuja distancia à reta r é igual à distancia ao ponto F.Como os sinais que recebemos de rádios ou de luz são muito fracos, quando “captados” pela parábola, ela os concentra em um único ponto, o foco, que os amplia naturalmente, para depois serem refletidos.

Curiosidade 16: você conhece o número mágico?

1089 é conhecido como o número mágico. Veja por que:Escolha qualquer número de três algarismos distintos: por exemplo, 875.

Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior:875 – 578 = 297

Agora inverta também esse resultado e faça a soma:297 + 792 = 1089 (o número mágico)

Aviso: antes que você pense que não funciona com determinados números, lembramos que devem ser usado três dígitos no cálculo. Exemplo:574 – 475 = 099099 + 990 = 1089

Curiosidade 17: quem descobriu o Teorema de Pitágoras?

A tradição metemática ocidental, durante longo tempo, atribuiu a descoberta deste teorema a Pitágoras. Pesquisas históricas mais recentes constataram que o teorema era conhecido pelo babilônios, cerca de 1500 a.C., portanto muito tempo antes de Pitágoras. Os chineses o conheceram talvez por volta de 1100 a.C. e os hindus provavelmente cerca de 500 a.C.Os números inteiros que cumprem a equação a2 + b2 = c2 são considerados números pitagóricos, por exemplo: 3, 4 e 5.

a b

c

a2 + b2 = c2

Curiosidade 18: matemáticos precoces

Observe o desenvolvimento mental precoce de alguns dos grandes matemáticos.Blaise Pascal, aos 16 anos de idade, escreveu um tratado sobre as cônicas, considerado como um dos fundamentos da geometria moderna. Pascal contribuiu decisivamente para a criação de dois novos ramos da Matemática: a Geometria Projetiva e a Teoria das Probabilidades.Évariste Galois, aos 15 anos, discutia e comentava as obras de Legendre e Lagrange, o que culminou, posteriormente, na percepção da impossibilidade de encontrar um expressão para raízes de equações algébricas com grau maior que 4.Alexis Clairaut, aos 10 anos, lia e compreendia as obras do Marquês de L’Hôpital sobre cálculo. E acabou sendo o precursor da Geometria Diferencial.Joseph Bertrand, aos 11 anos, iniciava o curso na escola Politécnica, e aos 17 recebia o grau de doutor. Aos 23 anos, lançou a conjectura que sempre existe ao menos 1 número primo entre n e 2n – 2 para todo n maior do que 3.

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Erbínio - 11/06/2013Rev.: AM

Nicolas Henri Abel, aos 16 anos de idade, fazia investigações sobre o problema de resolução da equação do quinto grau, o que desencadeou, posteriormente, na primeira prova completa da inexistência de uma fórmula algébrica para essas raízes. Morreu aos 26 anos de tuberculose.Johann Carl Friedrich Gauss, aos 7 anos de idade, somou os números inteiros de 1 a 100 rapidamente usando o raciocínio que demonstra, até hoje, a fórmula da soma de uma progressão aritmética.

Curiosidade 19: você sabe o que são números de Mersenne?

São números inteiros da forma Mp = 2p –1. Se Mp é um número primo, o número p também é. Só são conhecidos 33 números de Mersenne.O último descoberto corresponde a p = 859433, cujo número de Mersenne é o 2859433 –1. Não se sabe se há um número infinito deles.

O maior número primo de Fermat

O recorde de maior primo de Fermat generalizado conhecido: 16717632768 + 1, que tem 171153 dígitos foi descoberto por Yves Gallot (este é o oitavo maior primo conhecido atualmente, e maior primo conhecido que não é de Mersenne.

Curiosidade 20: você sabe qual é o maior número primo conhecido?

O maior número primo conhecido é 232582657 –1, que tem 9808358 dígitos e foi descoberto em 4/9/2006 pelos Drs. Curtis Cooper, Steven Boone e sua equipe. Este primo tem 650000 dígitos a mais do que o maior primo encontrado por eles mesmos em dezembro de 2005.

www.somatematica.com.br/curiosidades.Acesso em 05/06/13.

Exercícios

1. Na Grécia Antiga, Pitágoras estudou várias propriedades dos chamados números figurados, como, por exemplo, os números triangulares. Os primeiros cinco números triangulares são:

1 3 6 10 15

T1T2

T3

T4

T5

O número triangular Tn é a soma dos n números naturais de1 a n. A soma da sequência dos números inteiros de 1 a n pode ser obtida considerando-se que a soma do primeiro termo com o último é igual à do segundo termo com o penúltimo e assim por diante. Desse modo, o resultado pode ser obtido somando-se o primeiro termo ao último e multiplicando-se o valor encontrado pela metade do número de termos da sequência.

O nono número triangular T9 é:A) 66 B) 55C) 45 D) 36E) 28

2. O caixa de um banco trocou a ordem dos dois algarismos do valor da conta a ser paga por um cliente, cobrando R$27,00 a mais. Sendo 11 a soma dos algarismos, o valor correto a ser pago pelo cliente era de:A) R$ 29,00 B) R$ 38,00C) R$ 47,00 D) R$ 74,00E) R$ 83,00

3. Para realizar um evento, em um local que tem a forma de um quadrado com 80 metros de lado, foi colocado um palco em forma de um setor circular, com 20 metros de raio e 40 metros de comprimento de arco. Adotando π = 3, e considerando que a ocupação média por metro quadrado é de 6 pessoas na plateia, o número mais próximo de pessoas presentes, na plateia, é:A) 38400 B) 36000C) 30000 D) 28000E) 24000

4. O estudo sobre a superfície plana é importante para diversas profissões, notadamente a engenharia, a arquitetura e o design, destacando-se suas aplicações em projetos de estrada, telhados, embalagens, entre outros. Nesse aspecto, torna-se imprescindível o conhecimento de elementos, propriedades e operações com planos. Em relação a esses conteúdos, avalie as afirmações seguintes.I. Se duas retas são perpendiculares a um mesmo plano, são

paralelas entre si;II. Por duas retas paralelas distintas passa um único plano;III. Três planos não colineares determinam um plano;IV. Duas retas distintas que são perpencidulcares a uma terceira

podem ser concorrentes entre si.

Assinale a alternativa que possui o número de afirmações verdadeiras.A) 0 B) 1C) 2 D) 3E) 4

5. Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta. Um candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em cada questão. Então, é correto afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova, exatamente uma questão é:A) 27

64 B) 27

256

C) 964

D) 9256

E) 81256

Gabarito – FB Enem N° 18 – Franzé Filgueiras

01 02 03 04 05

E C D D B