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Prof.ª Dr.ª Donizete Ritter

MÓDULO IV – PARTE 2:

Álgebra Booleana

Bacharelado em Sistemas de Informação

Disciplina: Lógica

PORTAS LÓGICAS

• Como já vimos, portas lógicas são dispositivos ou circuitos lógicos queoperam um ou mais sinais lógicos de entrada para produzir uma esomente uma saída, a qual é dependente da função implementada nocircuito. Existem 7 Portas Lógicas e são elas:

TABELAS OPERACIONAIS

• Semelhante às tabelas verdade da Lógica das Proposições, podemosconstruir as tabelas operacionais para a álgebra booleana. Nestas últimasos valores lógicos são os dígitos 0 e 1. Vamos relembrar:

CIRCUITO LÓGICO

• Todas as complexas operações de um computador não sãomais do que simples operações aritméticas e lógicas básicas,como somar bits, complementar bits, comparar e mover bits.Estas operações são usadas para controlar a forma como oprocessador trata os dados, acede à memória e gera resultados.

• Todas estas funções do processador são fisicamente realizadaspor circuitos eletrônicos, chamados circuitos lógicos. Assimsendo, um computador digital não é mais do que um"aglomerado" de circuitos lógicos. Quando se deseja construirum circuito lógico relativamente simples, faz-se uso de umcircuito integrado.

IMPLEMENTANDO CIRCUITOS A PARTIR DE EXPRESSÃO BOOLENAS

• É possível desenhar um circuito lógico que executa uma funçãobooleana qualquer, ou seja, pode-se desenhar um circuito a partir desua expressão característica.

• O método para a resolução consiste em se identificar as portaslógicas na expressão e desenhá-las com as respectivas ligações, apartir das variáveis de entrada deve-se sempre respeitar a hierarquiadas funções da aritmética elementar, ou seja, a solução inicia-seprimeiramente pelos parênteses.

• Para exemplificar, será obtido o circuito que executa a expressão

X= ( A+B ) . ( ̅B+C ): Essa expressão mostra que os termos A+B e ̅B+C sãoentradas de portas AND, e cada um deles é gerado por portas ORindependentemente.

• Exemplo de um circuito a partir de uma expressão booleana.

TABELAS VERDADE OBTIDAS DE EXPRESSÕES BOOLEANAS

• Uma maneira de se fazer o estudo de uma função booleana é autilização da tabela verdade. Para extrair a tabela verdade de umaexpressão devem-se seguir alguns procedimentos:

• 1º) Montar o quadro de possibilidades;

• 2º) Montar colunas para os vários membros da equação;

• 3º) Preencher estas colunas com os seus resultados;

• 4º) Montar uma coluna para o resultado final e

• 5º) Preencher esta coluna com os resultados finais.

Para exemplificar este processo, utiliza-se a expressão

X=(A.(~B).C) + (A.(~D)) + ((~A).B.D)

A expressão contém 4 variáveis: A, B, C e D, logo, existem 16possibilidades de combinações de entrada, para as quatro variáveis, onúmero de linhas da tabela é 24=16 linhas. Na tabela a seguir veja que nacoluna um o valor 0 e 1 se repete 8 vezes cada um, enquanto na coluna doisse repete 4 vezes, na três duas vezes e na coluna quatro uma vez cada um.

Desta forma, monta-se o quadro de possibilidades com quatro variáveis deentrada, três colunas auxiliares, sendo uma para cada membro da expressão,e uma coluna para o resultado final.

Exemplo de tabela verdade obtida de expressão booleana:

Matrizes Booleanas:

Faremos uma revisão das operações de adição e multiplicação matriciais, necessárias para a compreensão das operações com matrizes booleanas.

a. Adição: Sejam duas matrizes de mesma ordem, 𝐴𝑚𝑥𝑛 = [𝑎𝑖 ,𝑗 ] e 𝐵𝑚𝑥𝑛 = [𝑏𝑖 ,𝑗 ], a

adição resulta em uma matriz de mesma ordem 𝐶𝑚𝑥𝑛 = [𝑐𝑖 ,𝑗 ], sendo:

𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑖 ,𝑗 𝑚𝑥𝑛= [𝑎𝑖 ,𝑗 + 𝑏𝑖 ,𝑗 ]𝑚𝑥𝑛 (1)

Matrizes Booleanas:

a. Multiplicação de matrizes: sejam matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ]𝑚 𝑥 𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗 ]𝑛 𝑥 𝑝 (só

podemos efetuar o produto de duas matrizes se o número de colunas da primeira

for igual ao número de linhas da segunda), o produto 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐶𝑚𝑥𝑝 , em que o

produto é dado por:

(𝐴𝐵)𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑟 𝑏𝑖𝑟 = 𝑎𝑖1𝑏𝑖1 + 𝑎𝑖2𝑏𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛𝑏𝑛𝑗

𝑛

𝑟=1

(1)

para cada par i e j com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p.

Matrizes Booleanas:

De acordo com GERSTING, matrizes booleanas são matrizes que têm apenas elementos iguais a 0 ou 1.

Pode - se definir uma operação booleana de multiplicação A×B para matrizes booleanas usando multiplicação e soma booleanas, ao invés de multiplicação e adição usuais.

Recebeu o nome de “Matriz Booleana” em homenagem a George Boole, um grande matemático do século XIX.

Matrizes Booleanas:Definições:

Multiplicação booleana: 𝑥 ∙ 𝑦 (operação lógica ‘e’)

Soma booleana: 𝑥 + 𝑦 (operação lógica ‘ou’)

Tabelas para operações de soma e multiplicação de matrizes booleanas:

𝑥 𝑦 𝑥 ∙ 𝑦

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

𝑥 𝑦 𝑥 + 𝑦

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Tal tabela nos remete as tabelas verdades de conjunção e disjunção.

Matrizes Booleanas:

Tal tabela nos remete as tabelas verdades de conjunção e disjunção.

Sejam A e B matrizes booleanas,

1 1 00 1 00 0 1

É seguido os mesmo passos de uma multiplicação matricial comum. A soma do

produto dos elementos da linhas da matriz A com as colunas da matriz B.

1 ∙ 1 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 1 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 1 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 10 ∙ 1 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 0 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 0 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 10 ∙ 1 + 0 ∙ 1 + 0 ∙ 0 0 ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0 0 ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1

Lembrando da definição de conjunção e disjunção:

1 + 1 + 0 0 + 1 + 0 0 + 1 + 00 + 1 + 0 0 + 1 + 0 0 + 1 + 00 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 1

𝐴 𝑥 𝐵 =

𝐴 𝑥 𝐵 =

A = B = 1 0 01 1 10 0 1

= 1 1 1 1 1 1 0 0 1

Matrizes Booleanas:Exemplificando a operação lógicas ‘ou’:

1 1 0𝐴 + 𝐵 = 1 1 1 0 0 1

(

Matrizes booleanas podem ser usadas para representar uma relação binária entre

um par de conjuntos finitos.

Tendo os conjuntos:

𝐴 = { 1, 2, 3 } 𝐵 = { 2 , 4 , 3 }

E a relação dada por: 𝑅3 = { 1,2 , 2,4 , 3,3 }

𝐴 𝑥 𝐵 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

𝑅3 = 1 0 00 1 00 0 1

(

Em que 0 representa falso (não existe no conjunto), e 1 verdadeiro (existe no

conjunto).

Também são usadas como portas lógicas no estudo da computação quântica.