Profª Débora Bastos

RecapitulaçãoP (c,f(c)) é crítico se f’(c) = 0 ou se f’(c) não

existe.Para funções contínuas e deriváveis temos pontos

extremos nos pontos críticos.Para funções contínuas e deriváveis temos:f crescente para valores de x em que f ’(x) > 0f decrescente para valores de x em que f ’(x) < 0f côncava para cima para valores de x em f ”(x) > 0f côncava para baixo para valores de x em f ”(x) < 0Ponto de inflexão é o ponto em que há mudança

de concavidade. Ocorre entre os valores c tais que f ”(c) não existe ou f ”(c) = 0.

Traçando um esboço do gráfico de uma funçãoTemo até agora como determinar: Pontos extremos Intervalos onde a função é crescente ou

decrescente Intervalos onde a função é côncava para cima

ou para baixo Pontos de Inflexão.

Falta Estudo das assíntotas.

Exemplos

Assíntota horizontal

Assíntotavertical

Assíntotaoblíqua

Assíntotavertical

Definição 11: A reta x = a será uma assíntota vertical do gráfico da função f, se pelo menos uma das afirmativas abaixo for verdadeira:

(i) lim f(x) = + x a+

(ii) lim f(x) = + x a-

(iii) lim f(x) = x a+

(iv) lim f(x) = x a

Definição 12: A reta y = b é denominada uma assíntota horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes afirmações for válida:

(i) lim f(x) = b e para um nº N, se x > N, então f(x) b.

x +

(ii) lim f(x) = b e para um nº N, se x < N, então f(x) b.

x

1

Definição 13: Se lim [f(x) – (mx + b)] = 0 x

então a reta y = mx + b é chamada assíntota oblíqua, pois a distância vertical entre a curva y = mx + b e y = f(x) tende a zero.

Nota: Se f(x) for uma função racional as assíntotas obliquas ocorrem quando a diferença entre o grau do numerador e do denominador é 1.

ExemploAche as assíntotas do gráfico da função h definida

por:

e faça um esboço do gráfico.Solução:D(h) = lR – {1}Investigar o que ocorre à esquerda e à direita de x = 1.lim h(x) = x1-

lim h(x) = + x1+

A reta x = 1 é uma assíntota vertical de h.

1x

3x)x(h

2

Exemplolim h(x) = lim h(x) = +x x + h não possui assíntotas horizontais.Assíntota obliqua.

y = x + 1Pontos extremos:

h’ existe em D(h)h’(x) = 0 x = 1 ou x = 3

1x

41x

1x

3x)x(h

2

21x

41)x('h

Procedimentos para obter o gráfico de uma função bem detalhado.1. Determine o domínio de f;2. Ache a intersecção com o eixo oy se houver e se

a equação de f for fácil ache as raízes da função;3. Teste a simetria em relação ao eixo oy

(f(x)=f(x)) e a simetria em relação a origem (f(x)= f(x));

4. Calcule f ’(x) e f ”(x);5. Determine os números críticos de f (f ’(x) não

existe ou f ’(x) = 0);6. Verifique se os valores críticos são extremos

(teste da segunda derivada);7. Determine os intervalos em que f é crescente ou

decrescente (estudo do sinal de f ’);

8. Obtenha os valores de x em que f ”(x) não existe ou f ”(x)= 0;

9. Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo (estudo do sinal de f ”). Verifique se os valores críticos obtidos no passo anterior são de inflexão;

10.Verifique a existência de possíveis assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.

ExemploFaça o esboço do

gráfico da função f abaixo:

4x

x)x(f

2

1. Domínio: 2. Intersecções:3. Simetrias:4. f’ e f”:5. Pontos críticos:6. Pontos extremos:7. Estudo do sinal de

f’:8. Valores críticos de

f”:9. Estudo do sinal de

f”:10.Assíntotas:

ExemploFaça o esboço do

gráfico da função f abaixo:

x

6

x

6)x(f

2

1. Domínio: 2. Intersecções:3. Simetrias:4. f’ e f”:5. Pontos críticos:6. Pontos extremos:7. Estudo do sinal de

f’:8. Valores críticos de

f”:9. Estudo do sinal de

f”:10.Assíntotas:

ExercíciosFaça o mesmo para:

3 2x)1x()x(f

xe)x(f x