APRESENTAÇÃO

• PROF. VALBER MELO• Ms MATEMATICA UFBA

– (Geometria Diferencial).

• ÁREAS DE INTERESSE: Educação e Novas Tecnologias e Geometria Diferencial.

“ANIMAÇÃO DE CURVAS E SUPERFÍCIES”

• CONHECIMENTO MATEMÁTICO

• TECNOLOGIA

SOFTWARES MATEMÁTICOS

• SOFTWARES LIVRES– WINPLOT, SCILAB, OCTAVE, ETC.

• SOFTWARES NÃO LIVRES– MAPLE, CABRI, EXCEL, ETC.

GEOMETRIA DIFERENCIAL

• CURVAS

• SUPERFÍCIES

SISTEMAS DE COORDENADAS

• Coordenadas Cartesianas• Coordenadas Polares• Coordenadas Cilíndricas• Coordenadas Esféricas

– Forma Explícita

– Forma Paramétrica

– Forma Implícita 0),,(ou 0),(v)z(u,zv)y(u,yv)x(u,x

ou )()(

),( )(

zyxfyxf

tyytxx

yxfzouxfy

CURVAS PLANAS• Definimos uma curva plana como uma aplicação

de diferenciável

))(),((:)(

2

tytxttRRU

2R em RU

CURVAS ESPACIAIS

• Definimos uma curva plana como uma aplicação de diferenciável.

3RRU

. que tal plano

• HÉLICE)),sin(),(cos()(

3

ttttRR

TRANSFORMAÇÕES ELEMENTARES

• TRANSLAÇÃO• ROTAÇÃO• REFLEXÃO AXIAL• HOMOTETIA

“DESCONSTRUÇÃO”

TRANSLAÇÃO

•),(),(),(),(

: 22),(

bayxbyaxyx

RRT ba

A

B

C

D

ROTAÇÃO

)cossin,sincos(),(: 22

yxyxyxRRU

A

A

REFLEXÃO

)2cos2sin,2sin2cos(),(: 22

yxyxyxRRS

HOMOTETIA

rr ),(),(),(

: 22

yxyxyxRRVr

0

DESCONSTRUÇÃO

],0[

],[ 2

cf

Rba

]1,0[,)()(

cctyyctxx

))(),(())(),((: 22

ctyctxtytxRRW

SUPERFÍCIES

• Definimos uma superfície como uma aplicação diferenciável do plano no espaço tridimensional.

)),(),,(),,((),(: 32

vuzvuyvuxvuXRRX

CLASSIFICAÇÕES

• QUÁDRICAS• REVOLUÇÃO• TUBOS• CONCHAS• MÍNIMAS• CURVATURA MEDIA CONSTANTE• CURVATURA GAUSIANA CONSTANTE• ETC

SUPERFÍCIES QUÁDRICAS

• Chamamos de superfície quádrica a qualquer conjunto de pontos que satisfaça uma equação do tipo:

0222 JIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx

EXEMPLOS

• ELIPSÓIDE

uczvubyvuax

cossinsincossin

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

• HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

uczvubyvuax

sinhsincoshcoscosh

• HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS

12

2

2

2

2

2

cz

by

ax

uczvubyvuax

coshsinsinhcossinh

uczvubyvuax

coshsinsinhcossinh

• PARABOLÓIDE ELIPTICO

zby

ax

2

2

2

2

2

sincos

vzvubyvuax

• PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO (sela)

zby

ax

2

2

2

2

22 vuzvbyuax

• CONE

uzvuyvux

sincos

222 zyx

• CILINDRO ELÍPTICO

12

2

2

2

by

ax

uzvbyvax

sincos

• CILINDRO HIPERBÓLICO

12

2

2

2

by

ax

uzvbyvax

sinhcosh

SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO

• Uma superfície de revolução é uma superfície obtida pela rotação de uma curva plana, chamada geratriz, em torno de uma reta neste plano, a que se chama eixo de revolução.

))(),sin()(),cos()((),( ugvufvufvu

)(0

)(

1000)cos()sin(0)sin()cos(

),(ug

ufvvvv

vu

EXEMPLOS

• ESFERA

1222 zyx

uzvuyvux

cossinsincossin

• CILINDRO DE REVOLUÇÃO

vzuryurx

sincos

222 ryx

TORO

vrzvurayvurax

sinsin)cos(cos)cos(

PSEUDO-ESFERA

)2

ln(tan(cos

sinsinsincos

vvaz

vuyvux

• CHAPÉU DE SCHERLOCK

1sin)1(

cos)1(

3

3

vuzuy

vux

TUBOS

• Tubo da hélice

))sin)(cos)), ssrss

CONCHAS

))sin)(cos)), sssrss

•Concha da hélice

• SELA DE MACACO

23 3uvuzvbyuax

CURIOSIDADES

REFERENCIAS• WINPLOT

– WWW.AMAURI• TRANSFORMAÇÕES

– COORDENADAS NO PLANO(ELON LAGES)• CURVAS

– FAMOUS CURVES• SUPERFICIES• GEOMETRIA DIFERENCIAL

– KETI TENEBLAT• MAPLE