Prof.: Sergio Wagner

Diagramas, modelos e representações.

Conjuntos dos números Naturais e Inteiros:

2 -1-3-4-5CD ... ...... 0 1 52 3 4 BA... ......

N = { 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,...}

Z= {... ,-4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...}

-1-2

-3

-4

-5 Z

1

2

0

34

5

N

GEOMETRIA DE EUCLIDESA princípio os números foram criados somente para contar objetos, mas a partir de Euclides eles se tornaram medidas.

Um, 1, ou unidade, é a menor medida dos números naturais.

2

3

4

10

......

1 -1 2 -2

7 -7

O sinal indica o sentido de uma seta.

Na reta o sinal indica para que lado “andamos” a partir da Origem (o zero). Para direita os positivos e para esquerda os negativos.

0

O

1 32 4 5 6-3 -2 -1-4-6 5 ......

0

O

1 32 4 5 6-3 -2 -1-4-6 5 ......

3 + 1 =

4 + (-5) =

+ = = 4

+

= = -1

(-6) + 2 = +

= = -4

O conjunto dos racionais (Quociente), é difícil de ser explicado quando pensamos nos números como “quantidade” mas com a representação deles como distância isso se torna fácil e intuitivo.ℕ= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...}ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

ℚ = { x ∈ ℚ ⇔ a,b ∈ ℤ/ x = a ÷ b, b ≠ 0} = {..., -2, ..., -3/2, ..., -1, ..., 0, 1/5, ...}ℕℤℚ

1

2

5

3

-1

-6

-10-3

-8

09

78

-25

12-4

7216

-4110

O conjunto dos números racionais são, então, divisões de números inteiros. Algumas PROPRIEDADES são importantes ressaltar:

Inverso multiplicativo:Todo número racional tem um inverso multiplicativo racional, com

exceção do número zero.∀ x ∈ ℚ* , ∃ y ∈ ℚ* / x • y = 1

Fácil verificar que este número é a divisão de um por x; .1 x

Expansão decimal:

Todo número racional tem uma expansão decimal periódica.

Na segunda notação da dízima, a barra indica o período a ser repetido infinitamente. Isto remete-se também a Euclides, utilizamos o Algoritmo de divisão de Euclides (o método de “armar” divisão já aprendido) para obter esta expansão.

0 5

3

0 0 0

1

5

0

8 7

4

42 2

6

0,

Algoritmo de divisão de Euclides e expansão decimal:

17

Temos o número em forma fracionária, e vamos transformá-lo em um número decimal:Primeira coisa a observar é que o resto de uma divisão, no algoritmo, deve sempre ser menor que o divisor. Neste caso há 7 números menores que 7; 1, 2, 3 ,4, 5, 6 e 0. Estes são todos os restos possíveis.Quando um resto for repetido na divisão, ele deixará o mesmo resto que antes e teremos uma repetição. O maior período em uma divisão por 7 é então, de 6 algarismos. Caso haja o resto zero a divisão é exata.1 |7 _

1

01

2

3

4

5

6

...

...

Já que cada número tem uma e apenas uma expansão decimal, falta verificar se cada expansão decimal corresponde a um e apenas um número.

Por termos dez dedos, nosso sistema numérico é decimal posicional. Isso significa que para cada posição temos dez possibilidades de valores. Funciona assim, como contagem;

10 x =

10 x =

0,5 ∙ 13 = 6,5 O QUE REALMENTE ISTO SIGNIFICA?

Da direita para a esquerda, respeitando o agrupamento de 10 em 10, resolve-se a multiplicação como se tratasse de dois números inteiros e “recoloca a vírgula”.

A multiplicação pode ser entendida no sentido da comensurabilidade. Dois números são comensuráveis quando uma medida pode medir ambos sem falta.

A medida ½ pode medir, 4 e 3,5. Portanto são comensuráveis entre si. Multiplicar 4 e 3,5 volta, então, ao problema mais simples de repetir a medida.

4 são 8 medidas de ½, logo 4 = 8 . ½

3,5 são 7 medidas de ½, logo 3,5 = 7 . ½

Logo:

A divisão é mais intuitiva: é simplesmente tentar preencher um segmento com outro. E verificar quantas partes deste cabem naquele.

Por exemplo, 10 ÷ 4 = 2,5

o quatro cabe duas vezes e mais sua metade(2) dentro do dez . ( 2 X 4 + 2 )

Não há restos na divisão de racionais, pois os números podem ser quebrados para que se possa dividir o resto.

A potenciação é também repetição, mas desta vez não da soma das distâncias, mas de quantas multiplicações se efetuam.

n vezes

A radiciação é o oposto da potenciação.

Esta operação é crucial para a medida de tamanhos, e frequentemente não tem resposta no conjunto racional. Apenas os quadrados perfeitos e números cujos numerador e denominador de sua forma irredutível forem quadrados perfeitos têm raiz quadrada racional.Os quadrados perfeitos são esparsos, como podemos ver na seguinte seqüência:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, ...

Ora, o que isso significa? Há mais números com raízes inexatas do que números com raízes quadradas exatas. Até 900, apenas 30 números tinham estas raízes exatas. Se uma raiz é inexata, este número não pode ser escrito como fração de dois números inteiros e portanto não são racionais.

São irracionais as raízes :

1132 2332

1312

O ℚ+0 1 2 3 4 5 6 7 8 916

2356

Entre quaisquer dois racioanais, há outro racional. Na unidade temos:

1214 3418 78116 38 58316 516 716 916 1116 1316 116

132 332 532 732 932 1332 1532 1732 1932 2132 2532 2732 2932 3132

Em verdade, se construirmos uma reta com apenas os números irracionais, haveriam menos “buracos” e a reta seria consideravelmente mais densa. Pode-se dizer que há mais números irracionais do que racionais.

0

O

1 32 4 5 6-3 -2 -1-4-6 5 ......

ℚ

0

O

1 32 4 5 6-3 -2 -1-4-6 5 ......

ℝ

A reta abaixo é densa. É a reta Real e representa todas as distâncias que podemos construir na natureza.

Qualquer distância que construirmos arbitrariamente encontrará um ponto na reta.