prof. marcos custódio matemática financeira 2 conceitos importantes matemática financeira –É a...

38
Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira

Upload: internet

Post on 17-Apr-2015

107 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Prof. Marcos Custódio

Matemática Financeira

Page 2: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 2

Conceitos Importantes

Matemática Financeira

– É a matemática das transações financeiras.

– As transações financeiras são caracterizadas pelos seus aspectos intertemporais.

– A Matemática Financeira trata da mensuração do dinheiro no tempo.

Page 3: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 3

Conceitos ImportantesMatemática Financeira

– A razão entre o futuro “F” e o presente “P” de uma operação, mede a variação do capital final por unidade de capital inicial; de outra maneira, a razão F/P mede também a prosperidade da operação, ou seja:

F/P = 1 Capital inicial permaneceu inalterado

F/P > 1 Valor futuro maior que capital inicial

F/P < 1 Valor futuro menor que capital inicial

– Os valores possíveis, para a razão F/P numa operação financeira, estão no intervalo:

0 F/P < +

Page 4: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 4

Capitalização Simples• No regime de juros simples, os juros de cada período

de capitalização são calculados sempre em função do capital inicial aplicado.

Ex: Considere um capital de $1.000,00 remunerado à taxa de juros simples de 2% a.m., durante o período de 2 meses.

$

1.040

20 = 1000 x 0,02

1.020

20 = 1000 x 0,02

1.000

1 2 n

Page 5: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 5

Capitalização Simples

• Conceito Financeiro de Juros

– Juros “J” são a remuneração do capital. Podem ser entendidos, de forma simplificada, como o valor do aluguel pago pelo uso do dinheiro.

J = P . i . n

Page 6: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 6

Capitalização Simples

CONVENÇÕES ADOTADAS:

• Juros Exatos

• Juros Comerciais

365

n i. P.J

360

n i. P.J

Page 7: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 7

Capitalização Simples

• Capital Inicial — “P”– Qualquer valor expresso em moeda e

disponível em determinada época.

• Capital Acumulado (Montante) — “S”– É a soma do capital inicial com os juros.

S = P + J S = P + (P . i . n)

S = P (1 + i . n)

Page 8: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 8

Capitalização Simples

• Valor Atual — VA– Corresponde ao valor de um compromisso, de

débito ou de crédito, em uma determinada data entre o início e o término do compromisso.

• Valor Nominal — VN– É o valor de “face” do título;– É o valor do título, em sua data de vencimento.

Page 9: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 9

Capitalização Simples VN

VA

P

0 nt n

Page 10: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 10

Capitalização Simples• Taxa de Juros — i– É a unidade de medida de remuneração do

capital no tempo.– É o juro de uma unidade monetária durante um

período.– É a razão entre os juros e o capital por unidade

de tempo.

forma unitária forma percentual

P

Ji 100

P

Ji%

Page 11: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 11

Capitalização Simples• Diagrama de Fluxo de Caixa– Os problemas financeiros dependem do fluxo

(entradas e saídas) de dinheiro no tempo, podendo ser representado do seguinte modo:

400

300

150

100

0 3 Entradas (+)

1 2 4 5 Saídas (-)

300

500

Page 12: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 12

Capitalização Simples

• Taxas Equivalentes– Taxa de juros e o período de capitalização

devem estar sempre na mesma unidade de tempo.

– Quando duas taxas aplicadas à um mesmo capital, pelo mesmo prazo, produzirem os mesmos juros, elas serão denominadas de taxas equivalentes.

– Ex: Qual a taxa mensal equivalente à taxa anual de 15%?

.a.m 1,25%12

15%i

Page 13: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 13

Capitalização Simples• Desconto — D– Operação típica de antecipação de recebíveis.– Consiste na diferença entre um valor nominal,

com seu valor atual na data da operação.

• Racional — Dr

– O valor do desconto é obtido com base no cálculo sobre o valor atual “n” períodos antes de seu vencimento.

• Irracional, Comercial ou Bancário — Dc

– É o valor que se obtém com base no cálculo sobre o valor nominal “n” períodos antes de seu vencimento.

Page 14: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 14

Capitalização Simples• Desconto Racional — Dr (Exemplo)

– Uma pessoa pretende saldar um título no valor de $5.500,00, 3 meses antes de seu vencim. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 40% a.a., qual o desconto e quanto vai obter.

N

Dr{

V

n = 3 meses

Page 15: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 15

Capitalização Simples• Desconto Comercial — Dc (Exemplo)

– Uma duplicata no valor de $4.500,00, cujo vencimento era para 7 meses foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. Calcular o desconto e o valor descontado.

N

Dr{

V

n = 2 meses

Page 16: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 16

Capitalização Composta• No regime de juros compostos, os juros de cada

período de capitalização são calculados sempre em função do montante do período anterior.Ex: Suponhamos um capital de $1.000,00 remunerado à

taxa i = 2%a.m., durante o período de 2 meses.

S

1.040,40 20,40

1.020 20

1.000

1 2 n

Page 17: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 17

Capitalização Composta• Montante– Imaginemos um capital de $100,00 aplicado à

taxa de 1% a.m. por um período de 3 meses.– Isto implica em resolver as equações:

S1 = 100 (1 + 0,01) = 101

S2 = 101 (1 + 0,01) = 102,01

S3 = 102,01 (1 + 0,01) = 103,03

– Se substituirmos, por exemplo, em S2 o valor de 101 por 100(1 + 0,01), teremos:

S2 = 100(1 + 0,01) (1 + 0,01) = 100(1+0,01)2 = 102,01

Generalizando Sn = P (1+i)n

Page 18: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 18

Capitalização Composta• Equivalência de Taxas

• Taxa Nominal– É a taxa de montagem da operação, nominalmente

contratada. A unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. É normalmente expressa em termos anuais. Exemplo: 10%a.a., capitalizados mensalmente – 15%a.a, capitalizados trimestralmente.

11 12/1.. aama ii 1112

.. aama ii

Page 19: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 19

Capitalização Composta• Taxa Efetiva ou Capitalizada– É aquela que nos fornece o total dos juros

produzidos durante o prazo de capitalização.

• Taxa Real– É a taxa calculada com base na taxa efetiva da

aplicação ou empréstimo, corrigida pela taxa de inflação do período, contado desde o dia da aplicação ou do empréstimo até o dia do seu resgate ou vencimento.

1P

Sief

11

1

inf

i

ii ef

R

Page 20: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 20

Capitalização Composta• Exemplo:

– Uma empresa obtém um empréstimo de $100.000,00 para ser liquidado por $110.000,00 no final de 30 dias. Entretanto, o banco solicita a esse cliente que mantenha durante a vida do contrato um saldo médio correspondente a 20% do valor emprestado. Supondo que nesse mesmo período a taxa de inflação tivesse sido de 2%, calcular as taxas nominal, efetiva e real.

Page 21: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 21

Capitalização Composta• Equivalência de Capitais– O conceito de equivalência permite

transformar formas de pagamentos ou recebimentos em outras, equivalentes e consequentemente efetuar comparações entre alternativas de investimentos ou empréstimos.

– Tais questões dizem respeito, de modo geral, à comparação de valores diferentes referidos a datas diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros.

– Data Focal — é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes.

Page 22: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 22

Capitalização Composta• Taxa Interna de Retorno (TIR)

– É através de uma equivalência Financeira, ou de capitais que podemos determinar o que se conhece como Taxa Interna de Retorno.

– A taxa interna de retorno é a taxa que equaliza o valor atual de um ou mais pagamentos com o valor atual de um ou mais recebimentos.

Page 23: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 23

Capitalização Composta• Valor Presente Líquido

– Trata-se de uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos, a uma taxa conhecida, e deduzir deste o valor do fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou do investimento)

Page 24: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 24

Capitalizações• Juros Simples X Juros Compostos S

S = juros Comp.

S = juros simples

S1

P

0 1º período de Períodos

capitalização

Page 25: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 25

Anuidades• Rendas Certas ou Anuidades– É uma sucessão de pagamentos ou

recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, destinadas a extinguir uma dívida ou construir um capital

• Classificação das Anuidades– Rendas certas ou determinísticas — São

aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados.

– Rendas aleatórias ou probabilísticas — Os valores e/ou datas de pagamentos ou recebimentos podem ser variáveis aleatórias.

Page 26: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 26

Anuidades• Classificação das Anuidades– Quanto ao prazo:

• Temporárias e perpétuas

– Quanto ao valor dos termos:• Constante e variável

– Quanto à forma de pagamento ou recebimento• Imediatas: postecipadas e antecipadas• Diferidas: postecipadas e antecipadas

– Quanto à periodicidade:• Periódicas e não-periódicas

Page 27: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 27

Anuidades• Modelo Básico de Anuidade– São as anuidades que são simultaneamente:

Temporárias — duração limitada. Constantes — termos iguais. Imediatas e postecipadas — exigíveis a partir

do 1º período e no fim de cada um deles. Períódicas — os períodos são iguais. E que a taxa de juros ( i ) seja referida ao

mesmo período dos termos.

Page 28: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 28

Anuidades• Valor Atual do Modelo Básico P

R R R R R

0 1 2 3 n-1 n• A soma do valor atual dos termos na data zero é dada por:

P = R/(1+i)1 + R/(1+i)2 + R/(1+i)3 + ... + R/(1+i)n

P = R [ 1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + ... + 1/(1+i)n ]• Colocando-se a soma entre colchetes como sendo:

a n i = [ 1/(1+i)1 + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + ... + 1/(1+i)n ]

Temos:

P = R . a n i

Page 29: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 29

Anuidades• Cálculo do Valor Atual para Anuidades

Postecipadas– O valor de a n i é obtido pela soma dos termos

de uma progressão geométrica. Substituindo-se os valores, teremos:

a n i =

P = R . a n i

ii

in

n

.1

11

Page 30: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 30

Anuidades• Cálculo do Montante para Anuidades

Postecipadas

s n i =

S = R . s n i

i

i n 11

Page 31: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 31

Anuidades• Cálculo das Anuidades Antecipadas

P = R + R .

P = R + R . a n-1 i

ii

in

n

.1

111

1

Page 32: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 32

Anuidades• Cálculo das Anuidades Diferidas– Séries diferidas são aquelas que apresentam

um prazo de carência.

R. a n i

P =

(1+i)k

k

n

n

i

ii

iR

P

1

.1

11.

Page 33: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 33

Sistemas de Amortização– De maneira geral, qualquer fluxo de

pagamentos para liquidar um empréstimo é um sistema de amortização. Vamos analisar alguns, classificados com nomes especiais, em razão de sua utilização mais freqüente. São eles:

– Sistema de Amortização Constante - SAC– Sistema Francês - Tabela Price– Sistema de Amortização Misto - SAM– Sistema Americano de Amortização - SAA

Page 34: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 34

Sistemas de Amortização• Sistema de Amortização Constante - SAC– Características: As parcelas de amortização

são iguais. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior.

– Um empréstimo de $100.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s..

Page 35: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 35

Sistemas de Amortização• Sistema Francês - Tabela Price– Características: As prestações são iguais e

consecutivas de tal modo que uma parte paga os juros e a outra o principal. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior.

– Um empréstimo de $100.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s..

Page 36: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 36

Sistemas de Amortização• Sistema de Amortização Misto - SAM– Características: Prestações cujos valores são

resultantes da média aritmética dos valores das prestações dos planos SAC e Price. Os juros são calculados a cada período com base no saldo devedor existente no período anterior.

– Um empréstimo de $100.000,00 deve ser devolvido em 5 prestações semestrais, a taxa de 10% a.s..

Page 37: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 37

Sistemas de Amortização• Sistema Americano de Amortização - SAA– Características: O principal é devolvido em

uma única parcela, após ter decorrido o prazo de carência estipulado. Os juros podem ser pagos durante a carência ou capitalizados e devolvidos juntamente com o principal.

– Prazo de carência — Corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização.

– Um empréstimo de $100.000,00 deve ser amortizado, à taxa de 10% a.s., para ser devolvido após uma carência de 2 anos

Page 38: Prof. Marcos Custódio Matemática Financeira 2 Conceitos Importantes Matemática Financeira –É a matemática das transações financeiras. –As transações

Matemática Financeira 38