Computação Gráfica

Prof. Leo

– Curvas

Aula 11

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Importante para criação de objetos e visualização de fenômenos científicos

Servem de base para modelagem de formas: Simples : círculos, elípses, etc Complexas: automóveis, aeronaves, navios,

etc

IntroduçãoCurvas

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Para representar uma curva, pode ser suficiente apenas definir uma sucessão de linhas

Curvas e superfícies mais complexas irão demandar uma maneira mais eficiente de representação: Definir uma curva que passe por um determinado conjunto de

pontos Definir a melhor curva para representar um determinado

conjunto de pontos

RepresentaçãoCurvas

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Formalmente, as curvas podem ser representadas de diversas formas: Por um conjunto de pontos Através de sua representação analítica

Não paramétricas Paramétricas

De 3ᵃ Ordem

RepresentaçãoCurvas

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Uma curva pode ser representada por um conjunto finito de pontos Na verdade, qualquer representação de

curvas ou retas contém um número infinito de pontos

Representação – Conjunto de PontosCurvas

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A curva pode ser representada por um número grande de pontos ou pela conexão deles por segmentos adequados

Representação – Conjunto de PontosCurvas

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No caso de uma quantidade limitada de pontos, pode-se utilizar retas para conectá-los

E, para alcançar uma suavidade maior, pode-se acrescentar uma maior quantidade de pontos

Representação – Conjunto de PontosCurvas

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A representação analítica utiliza uma ou mais equações

Vantagens: É mais precisa Não requer área de armazenamento Facilita o cálculo de novos pontos É mais fácil obter propriedades da curva

(inclinação, área) Pode ser:

Não Paramétrica Paramétrica

Representação – Analítica Curvas

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A forma não paramétrica não recebe parâmetros, sendo calculada através de uma equação de y em x (ou vice-versa):

Representação – Analítica – Não Paramétrica Curvas

Y = ax2 + bx + c Equação da parábola

a = 1b = -2 c = 0

Para:É gerada:

Ordem da curva

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Certas curvas, chamadas de seções cônicas, podem ser obtidas a partir do corte de um cone por um plano

Representação – Analítica – Não Paramétrica Curvas

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Na forma paramétrica, usa-se um parâmetro para definir as coordenadas dos pontos da curva A posição do ponto na curva é definida com

base no valor do parâmetro Ex:

Formalmente, a posição de um ponto na curva é dada por:

Representação – Analítica – Paramétrica Curvas

x = 10 cos θ = fx(θ) y = 10 sen θ = fy(θ)

x = t+1 = fx(t)y = 2t+1 = fy(t)

P (t) =( x (t) , y (t) )Independe do sistema de coordenadas. Ex: pode-se acrescentar mais uma coordenada z facilmente

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Problema: algumas curvas não podem ser facilmente descritas por expressões analíticas em toda sua extensão Solução: união de diversas curvas

Novo problema: manter a continuidade das conexões Nova solução: usadas curvas representadas por

polinômios cúbicos Muito conhecidas pelos usuários da CG, as curvas

paramétricas de terceira ordem são: Hermite, Bézier e Splines

Geradas por um polinômio cúbico e pela definição de um conjunto determinado de pontos de controle

Representação – Analítica – Paramétrica de 3ᵃ Ordem

Curvas

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Charles Hermite (1822 – 1901) Uso de polinômios de 3ª ordem e 4

fatores: Ponto inicial Ponto final Vetor de controle de saída Vetor de controle de chegada

Permite um maior controle Formas suaves e homogêneas Formas bruscas, loops

Paramétrica de 3ᵃ Ordem – HermiteCurvas

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Os módulos de T1 e T2 funcionam como pesos na determinação da curva.

HermiteCurvas

Figura 1: Elementos da curva de Hermite

Figura 2: As diferentes curvas formadas por alteração na direção de T1 e T2.

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O grau da curva (do polinômio) é dado pelo número de pontos do polígono de controle menos 1

A curva de Bézier está contida no fecho convexo do polígono de controle

A curva interpola o primeiro e último ponto do polígono de controle

Utiliza 4 fatores: Ponto inicial Ponto final 2 pontos de controle das tangentes nos extremos

BézierCurvas

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Controle Global: Movendo-se a posição de 1 só ponto, toda a

forma da curva se modifica

BézierCurvas

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Bézier – Junção de CurvasCurvas

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A base de Bézier não é própria para a modelagem de curvas longas Bézier única: suporte não local Trechos emendados: restrições não são naturais

Base alternativa: B-Splines Modelagem por polígonos de controle sem restrições

adicionais Grau do polinômio independe do número de pontos de

controle Não passa pelos pontos de controle Controle local

Alteração de um vértice afeta curva apenas na vizinhança

SplineCurvas

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SplineCurvas

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ComparativoCurvas

Spline Hermite

Bézier