prof ivan questoes de matematica comentadas banca cesgranrio (1)

Professor Ivan Zecchin

Caixa Econômica Federal 1

Questões de provas da CESGRANRIO - COMENTADAS

Correção: Prof.Ivan Zecchin – [email protected]

1- Um aplicador realizou um investimento que deverá ter

valor de resgate de R$ 100.000,00 no seu vencimento,

que ocorrerá dentro de 2 meses. Sabendo-se que a taxa

de juros compostos utilizada pelo banco é de 2% ao mês,

o valor do investimento original, em reais, foi de

(A) 98.123,45

(B) 96.116,88

(C) 95.875,33

(D) 94.781,29

(E) 93.764,32

Resolução: ( Juros Compostos)

M = 100000

t = 2 meses

i = 2% am ( efetiva )

C = ?

M = C . ( 1 + i )t

100000 = C . ( 1 + 0,02 )2

100000 = C . 1,0404

C = 100000/1,0404

C = 96.116,88

Alternativa......”B”

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2- (Cesgranrio – Transpetro)A taxa anual equivalente à taxa

composta trimestral de 5% é

(A) 19,58%

(B) 19,65%

(C) 19,95%

(D) 20,00%

(E) 21,55%

mailto:[email protected]



Resolução: ( Taxas equivalentes – Juros Compostos )

1 + ianual = ( 1 + itrimestral )4 pois no ano há 4 trimestres

1 + ianual = ( 1 + 0,05 )4

1 + ianual = 1,2155

Ianual = 0,2155 = 21,55% aa

Alternativa............”E”

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3- (Cesgranrio – transpetro)Uma empresa obteve um desconto de

uma duplicata no valor de R$ 12.000,00 no Banco Novidade S/A,

com as seguintes condições:

• Prazo do título 2 meses

• Taxa de desconto simples cobrada pelo banco 2,5% ao mês

Considerando-se exclusivamente as informações acima,

o valor creditado na conta corrente da empresa, em reais,

foi de

(A) 11.660,00

(B) 11.460,00

(C) 11.400,00

(D) 11.200,00

(E) 11.145,00

Resolução: ( Desconto Comercial Simples )

A modalidade do desconto não é citada explicitamente, Mas como é

Simples e feito em um banco........”Desconto Bancário ( ou Comercial)

Simples”......D = N . i . t

D = 12000 . 0,025 . 2

D = 600 ( Valor do Desconto)

É pedido o valor Atual......A = N – D

A = 12000 – 600

A = 11400



Alternativa......”C”

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4- ( Cesgranrio – Transpetro)A taxa efetiva anual de juros

correspondente à taxa nominal de 12% ao ano, capitalizada

mensalmente, monta a

(A) 12,68%

(B) 12,75%

(C) 12,78%

(D) 12,96%

(E) 13,03%

Dados: (1,02)6 = 1,126

(1,03)6 = 1,194

(1,04)6 = 1,265

(1,05)6 = 1,340

(1,06)6 = 1,419

(1,07)6 = 1,501

Dados: (1,01)5= 1,0510

(1,01)7 = 1,0721

(1,01)9 = 1,0937

(1,01)11 = 1,1157

(1,01)13 = 1,1381

(1,01)15 = 1,1610.

Resolução: ( Taxas equivalentes – Juros Compostos )

A taxa dada é NOMINAL, portanto deve ser imediatamente

transformada para EFETIVA, de forma proporcional. Como a

capitalização é mensal, divide-se a taxa dada por 12, obtendo-

se..................1% am.

Agora, calcularemos a Equivalente anual..

1 + ianual = ( 1 + imensal )12

1 + ianual = ( 1 + 0,01 )12

1 + ianual = 1,0112



Como não é dado o resultado de 1,0112, então faremos a

decomposição da potência em 1,0111 x 1,01 ( que é igual a 1,0112)

Pois 1,0111 foi fornecido.

1,1157 x 1,01 = 1,12685

Voltando à questão....

1 + ianual = 1,12685

ianual = 0,12685 = 12,685% aa

Alternativa........”A”

5- - (Cesgranrio 2011 – transpetro ) Um aplicador realizou um

investimento cujo valor de resgate é de R$ 80.000,00. Sabendo-se

que a taxa de juros simples é de 3,5% am e que faltam 5 meses para o

resgate, o valor da aplicação, em reais, foi de :

a) 68.085,10

b) 66.000,00

c) 65.000,00

d) 64.555,12

e) 63.656,98

Resolução: ( Juros Simples )

M = 80000

i = 3,5% am

t = 5 meses

C = ?

M = C . ( 1 + i.t )

80000 = C . ( 1 + 0,035 . 5 )

80000 = C . 1,175

C= 80000/1,175

C = 68.085,10

Alternativa……..”A”



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6-A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo

Projeto

Valor (Milhares de reais) – 50 35 22

Período (anos) 0 1 2

.

A taxa interna de retorno anual é igual a

(A) 10%

(B) 12%

(C) 15%

(D) 18%

(E) 20%

Resolução: ( Taxa Interna de Retorno )

A T.I.R. iguala a soma das Entradas à soma das Saídas, em uma

mesma data.

Resolveremos testando as alternativas;

A) 10%

-50 levados para a data 1 à taxa de 10%...............- 55

Abate-se a entrada de 35, finado...........................- 20

- 20 levados para a data 2, à taxa de 10%.............- 22

Abate-se 22, ficando.................................................0

Como “zerou” o fluxo, essa é a T.I.R.

Alternativa.....”A”

7-Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações

mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o

empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de

Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira

prestação será

(A) 50,00

(B) 55,00



(C) 60,00

(D) 65,00

(E) 70,00

Resolução: ( SAC)

P = A + J

A cota de Amortização, no SAC, é constante e igual a 200/4 = 50

Quando vamos pagar a terceira prestação, jápagamos duas,logo já

foram abatidas do

Saldo Devedor duas parcelas de 50, ou seja, 1oo, ficando o SD igual a

100.

Esse SD vai gerar 10% de Juros para a terceira prestação, ou seja...J

= 10

Daí.....P3 = 50 + 10 = 60

Alternativa........”C”

8-Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos,

equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre,

capitalizada bimestralmente?

(A) 75,0%

(B) 72,8%

(C) 67,5%

(D) 64,4%

(E) 60,0%

Resolução: ( Taxas)

A expressão: “taxa nominal de 40% ao quadrimestre,

capitalizada bimestralmente”

quer dizer que a taxa a ser usada é a taxa efetiva de 20% ab , pois

taxas Nominais sofrem conversão proporcional ( 40% / 2 = 20%).

Para o cálculo da Efetiva semestral usamos a fórmula das taxas

Equivalentes...



( 1 + is ) = ( 1 + ib)3

1 + is = ( 1 + 0,2 )3

1 + is = 1,728 ( conta feita “ na mão” )

is = 0,728 = 72,8% as

Alternativa.........”B”

9-Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos,

ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias

e t, na mesma unidade de tempo a que se refere a taxa

de juros utilizada.

ML

MS

ME

1 2

Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais

vantajoso emprestar a juros

(A) compostos, sempre.

(B) compostos, se o período do empréstimo for menor do que

a unidade de tempo.

(C) simples, sempre.

(D) simples, se o período do empréstimo for maior do que a

unidade de tempo.

(E) simples, se o período do empréstimo for menor do que a

unidade de tempo.

Resolução: ( Comparação JS x JC)



Como mostra o gráfico, quando o prazo de investimento for inferior a

“1”,

O Montante Simples supera o Composto

Alternativa.....”E”

10-Um título de valor nominal R$ 24.200,00 será descontado

dois meses antes do vencimento, com taxa composta de

desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto

comercial composto e d o valor do desconto racional

composto. A diferença D – d, em reais, vale

(A) 399,00

(B) 398,00

(C) 397,00

(D) 396,00

(E) 395,00

Resolução: ( Descontos Compostos)

O Desconto Comercial Composto tem fórmula....A = N . ( 1 - i )t

A = 24200 . ( 1 - 0,1 )2

A = 24200 . 0,81

A = 19602

O desconto foi de ....24200 – 19602 = 4598

O Desconto Racional Composto tem fórmula....N = A . ( 1 +i )t

24200 = A . ( 1 +0,1)²

A = 24200 / 1,21

A = 20000

O Desconto terá sido de .....24200 – 20000 = 4200

A diferença entre os descontos será de......4598 – 4200 = 398

Alternativa......”B”



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11- Uma pessoa fez, com o capital que dispunha, uma aplicação

diversificada: na Financeira Alfa, aplicou R$ 3.000,00 a 24% ao ano,

com capitalização bimestral; na Financeira Beta, aplicou, no mesmo

dia, o restante desse capital a 42% ao semestre, com capitalização

mensal.

Ao final de 1 semestre, os montantes das duas aplicações somavam

R$ 6.000,00.

A taxa efetiva de juros da aplicação diversificada no período foi de:

A) 60%

B) 54%

C) 46%

D) 34%

E) 26%

Resolução: ( Juros Compostos )

Capital total = C

1º investimento

Usou como capital.....3000

Taxa = 24%aa com cap.bimestral........4% ab (efetiva bim)

Tempo = 1 semestre = 3 bimestres

M1 = C1 . ( i + i )t

M1 = 3000 . ( 1 + 0,04 )3 ( consultando a tabela..linha 3, coluna

4%...1,12486)

M1 = 3375



2º investimento

Usou como capital, o restante, ou seja...C – 3000

Taxa......42%as com cap. Mensal......7% am ( efetiva mensal)

Tempo.........1 semestre= 6m

M2 = C2 . ( 1 + i )t

M2 = ( C – 3000 ) . ( 1 + 0,07 )6 (consultando a tabela..linha 6 col.

4%...1,5)

M2 = 1,5C – 4500

A soma dos montantes deve ser igual a 6000

3375 + 1,5C – 4500 = 6000

C = 4750 ( Capital total investido)

O ganho efrtivo ( total, de fato..)

Aplicou.......................4750

Resgatou....................6000

Ganhou 6000 – 4750 = 1250 ( a partir do investimento de 4750)



Daí, o ganho percentual foi de 1250/4750 =0,263 = aproximadamente

= 26%

Alternativa “E”

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12- Uma empresa oferece aos seus clientes desconto de 10%

para pagamento no ato da compra ou desconto de 5% para

pagamento um mês após a compra. Para que as opções

sejam indiferentes, a taxa de juros mensal praticada deve

ser, aproximadamente,

(A) 0,5%.

(B) 3,8%.

(C) 4,6%.

(D) 5,0%.

(E) 5,6%.

Resolução: ( Taxas)

Suponha um preço inicial de 100.

A vista haveria redução de 10%..........cairia para 90.

À prazo haveria redução de 5%..........cairia para 95

Então, a diferença seria de 5 em 90.

5 / 90 = 0,0555... = 5,55% aproximadamente

Alternativa.........”E”

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13- Um título com valor de face de R$ 1.000,00, faltando 3

meses para seu vencimento, é descontado em um banco

que utiliza taxa de desconto bancário, ou seja, taxa de desconto

simples “por fora”, de 5% ao mês. O valor presente

do título, em reais, é

(A) 860,00

(B) 850,00

(C) 840,00

(D) 830,00

(E) 820,00

Resolução: ( Desconto Comercial Simples)

N = 1000

t = 3 meses

i = 5% am

D = N . i . t

D = 1000 .0,05 . 3

D = 150

Valor Presente = A = N – D = 1000 – 150 = 850

Alternativa.......”B”

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14- Considere um financiamento de R$ 100.000,00, sem entrada,

a ser pago em 100 prestações mensais, pelo Sistema

de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a

taxa de juros, no regime de juros compostos, é de 1% ao

mês, a prestação inicial, se o prazo de pagamento for duplicado,

será reduzida em

(A) 100%.

(B) 50%.

(C) 25%.

(D) 10%.

(E) 5%.

Resolução: ( Sistema DE Amortização Constante – SAC)



Prestação inicial

A prestação é, sempre, a soma da cota de Juros (J) com a cota de

Amortização(A)

P = J + A

A cota de Amortização,no SAC, é constante e iual ao valor financiado

dividido pelo número de prestações.....A = F/n

A = 100000/100 = 1000

A cota de juros é o resultado da aplicação da taxa sobre o saldo

devedor.

No caso é pedida a primeira prestação, então o saldo devedor é o

100000

J = 1% de 100000 = 1000

Daí, a prestação (P) será...1000 + 1000 = 2000 (prestação inicial)

Prestação depois de dobrar o número de prestações ( passa para 200)

A = F / n = 100000/200 = 500

J = 1% de 100000 = 1000 ( não muda)

P = 500 + 1000 = 1500 ( nova primeira prestação)

Redução........de 500 em 2000.......25%

Alternativa.....”C”

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15- Um investimento obteve variação nominal de 15,5% ao ano.

Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi 5%. A taxa de

juros real anual para esse investimento foi

(A) 0,5%.

(B) 5,0%.

(C) 5,5%.

(D) 10,0%.

(E) 10,5%.

Resolução: ( Taxa Real ( iR ), Aparente ( iA ) e Inflação ( ii ))

O problema relaciona as três taxas acima, então usaremos a fórmula

de Fischer..



1 + iA = ( 1 + iR ) . ( 1 + ii )

1 + 0,155 = ( 1 + iR ) . ( 1 + 0,05 )

1,155 = ( 1 + iR ) . 1,05

( 1 + iR ) = 1,155 / 1,05

( 1 + iR ) = 1,1

IR = 0,1 = 10%

Alternativa......”D”

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16-uma dívida em prestações periódicas iguais e

sucessivas, dentro do conceito de termos vencidos,

em que o valor de cada prestação, ou pagamento é

composto por duas parcelas distintas: uma de juros

e outra de capital (chamada amortização).

VIEIRA SOBRINHO J.P. Matemática Financeira.

São Paulo: Atlas, 2007, p. 220.

Essa definição se refere ao sistema de amortização conhecido

como

(A) misto

(B) constante

(C) radial

(D) alemão

(E) francês

Resolução: ( Planos de Amortização)

Obs.: “Termos vencidos” = Prestações postecipadas

“Prestações periódicas, IGUAIS, sucessivas e Postecipadas, nos

remetem ao sistema Price, ou Francês.

Alternativa......”E”

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17-Um investidor aplicou, durante 3 anos, R$ 500,00 por

mês em um Fundo de Renda Fixa que oferece juros

compostos de 1,5% ao mês. Ao final da aplicação, obteve

R$ 23.637,98.

Esse tipo de operação, em matemática financeira, caracteriza

o modelo denominado

(A) série de pagamentos iguais com termos antecipados

(B) série de pagamentos iguais com termos vencidos

(C) equivalência de capitais e de planos de pagamentos

(D) aplicação equivalente de renda postecipada

(E) aplicações financeiras com renda variável

Resolução: ( Planos de Amortização – rendas )

Os valores depositados são iguais, então temos uma série de

pagamentos iguais, que nos remetem ao Sistema Price, onde as

parcelas são Postecipadas ou, “Termos vencidos”.

O texto se refere ao Montante de uma série de pagamentos iguais e

postecipados [ S = P . sn,i ].

Alternativa.........”B”

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18-A Empresa Comercial Parton Ltda., obteve um empréstimo

no Banco Novidade S/A com as seguintes condições:

• Valor do empréstimo R$ 30.000,00

• Taxa de abertura de crédito R$ 500,00

• Período do empréstimo 3 meses

• Inflação do período 3%

• Valor fixo para pagamento no final do contrato R$ 35.000,00

Considerando-se exclusivamente os dados acima, as

taxas efetiva e real da operação para a Comercial Parton,

foram, respectivamente, de

(A) 16,67% e 14,65%

(B) 16,33% e 13,65%

(C) 15,35% e 12,15%

(D) 14,75% e 11,41%

(E) 14,25% e 11,35%

Resolução: ( Cálculo Financeiro – taxas)



A empresa deve pagar os 30500 ( empréstimo + TAC) em 3 meses,

com o valor de 35000. Logo, pagará juros de 4500 ( 35000 – 30500), ou

seja pagará uma taxa de juros no período, de 4500/30500 = 14,75%.

A taxa Real, calcularemos com a fórmula de Fischer..

1 + iA = ( 1 + iR) . ( 1 + ii)

1 + 0,1475 = ( 1 + iR) . ( 1 + 0,03 )

1 + iR = 1,1475/1,03

1 + iR = 1,1141

Daí, ...iR = 0,1141 = 11,41%

Alternativa........”D”

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19-O instrumento que permite equalizar o valor presente de

um ou mais pagamentos (saídas de caixa) com o valor

presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa)

é a(o)

(A) taxa de retorno sobre o investimento

(B) taxa interna de retorno

(C) lucratividade embutida

(D) valor médio presente

(E) valor futuro esperado

Resolução: ( T.I.R. )

A Taxa Interna de retorno é que iguala a soma das entradas à Soma

das saídas de capitais em um fluxo de caixa.

Alternativa.......”B”

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20- ) Considerando que uma dívida no valor de R$ 12.000,00 ,

contraída pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), tenha sido

paga em 6 prestações mensais e que o valor dos juros pagos na 5º

prestação tenha sido igual a R$ 80,00, assinale a opção correta:



A) A taxa de juros cobrada nessa transação foi igual a 2% ao mês.

B) Todas as prestações foram de mesmo valor.

C) Após a 5º amortização, o valor da dívida era de R$ 4.000,00.

D) O valor dos juros pagos na 3ª prestação foi de R$ 200,00.

E) A soma da 3ª e 6ª prestações foi igual a R$ 4.000,00

Resolução: Sistema de Amortizações Constantes - SAC

F = 12.000

n = 6

J5 = 80

Considerações:

1- Os juros contidos na 5ª prestação são referentes ao Saldo

Devedor após

O pagamento da 4ª prestação. Portanto, a taxa (i) multiplicada por

esse SD, deverá ser igual a 80.

2- O Saldo Devedor após o pagamento da 5º prestação será igual

à cota de Amortização contida na última (6ª) prestação

(sempre) e o SD após o pagamento da 4ª prestação será uma

cota de Amortização a menos.

3- No SAC a cota de Amortização é constante e igual a: A = F/n,

ou seja,

A = 12000/6 = 2000

Daí, o SD após o pagamento da 5ª prestação é igual a 2000 e o SD

após o pagamento da 4ª prestação é de 4000 (Consideração “2”).

A taxa do financiamento, então será igual a (Consideração “1”):

4000 . i = 80

i = 80/4000

i = 0,02

i = 2% am

Alternativa “A”



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PLANOS DE AMORTIZAÇÃO

São sistemas de pagamentos parcelados de uma dívida pré-estabelecida.

Amortizar significa abater cotas do principal, periodicamente, até a extinção da dívida principal e dos juros gerados por ela.

Em cada prestação paga no plano de amortização (qualquer que seja ele) estão contidas uma cota de amortização (A) e uma cota de juros (J).

Logo: P = A + J Veremos aqui, os planos tradicionalmente cobrados em concursos públicos,

ou seja, o Sistema Price (ou Frances) e o S.A.C (Sistema de Amortização Constante).

Sistema Price de Amortização (ou Sistema Francês) características: 1 - prestações iguais, mensais e postecipadas; 2 - taxa anual de juros, com capitalização mensal; 3 - juros compostos. As fórmulas são as mesmas das Rendas estudadas anteriormente. Então:

Acrescentaremos aqui a fórmula para o cálculo do montante pago (soma de

todas as prestações na data da quitação). O total pago(s) é projeção do valor financiado F para a data n (pagamento da

última parcela) esquema:

então: Se:

Então:



Representando o fator que multiplica P por (que se encontra tabelado) teremos: Calcula o valor total paga na data de pagamento da última parcela onde = Obs.: O valor S pode ser calculado, determinando-se primeiramente F e

“levando-o” para a data do último pagamento pela fórmula do montante dos juros compostos.

Construção da planilha do Sistema Price exemplo: construir a planilha do financiamento de R$ 5.000,00 em 4

pagamentos, pelo Sistema Price, a uma taxa de 48% a.a. resolução: i = 48% a.a. i = 4% a.m. n = 4 F = 5.000 cálculo da prestação - P

P = 0,2755.5000 P = 1377,50 PLANILHA

* O valor da cota de amortização contida na última prestação deve coincidir com

o saldo devedor do período anterior (desconsiderando erros gerados por aproximações).

regras para a construção da planilha 1 - coloca-se o saldo devedor na data 0 e os valores das prestações nas

datas seguintes; 2 - calcula-se os juros do mês, multiplicando-se o saldo devedor pela taxa; 3 - calcula-se o valor da cota de amortização subtraindo-se da prestação os

juros calculados anteriormente;



4 - calcula-se o novo saldo devedor, subtraindo-se do saldo devedor anterior, a cota de amortização;

5 - repete-se o procedimento até a anulação do saldo devedor. Observe: (na planilha) 1 - os juros pagos em cada prestação são decrescentes; 2 - os valores da cota de amortização são crescentes ao longo das prestações. Graficamente

JJ J

AA

A

P1

P2

P3

. . .

Resumo: No Sistema Price, enquanto a prestação permanece constante, a cota

de juros decresce. A cota de amortização cresce, e P = J + A , sempre. Sistema de Amortização Constante - SAC As cotas de amortização são constantes consequentemente, as prestações

serão decrescentes, pois os juros serão decrescentes. Veja: construção da planilha para o exemplo anterior, agora para o S.A.C. F = 5.000 i = 4% a.m. n = 4 Cálculo da Cota de Amortização (A) (constante) Planilha

Regras 1 - coloca-se o saldo devedor e as cotas de amortização; 2 - calcula-se os juros do saldo devedor e adicona-se o valor obtido à cota de

amortização, obtendo-se a prestação;

12504

000.5 AA



3 - subtrai-se a cota de amortização do saldo devedor, obtendo-se novo saldo;

4 - repete-se o procedimento até a anulação do saldo. Observe: (na planilha) 1 - os juros são decrescentes; 2 - as prestações são decrescentes; 3 - as amortizações são constantes. graficamente:

JJ J

AAA

P1

P2

P3

J

A

. . .

comentários: 1 -os cálculos feitos aqui estão em um contexto não-inflacionário; 2 -o Sistema Francês é normalmente preferido pelo usuário devido ao fato

de possuir prestações constantes e, assim, permitir melhor planejamento das finanças;

3 -do ponto de vista da instituição que concede o financiamento, o Sistem Price tem a característica de oferecer retorno lento do capital principal, uma vez que as cotas de amortização são crescentes.

EXERCÍCIOS

1) Para um financiamento de R$ 4.000,00 à 10% a.m. por 4 meses, pago

em prestações postecipadas, a diferença positiva entre a última prestação pelo Sistema Price e a primeira prestação pelo S.A.C., é, em reais: (despreze centavos na resposta)

a) 120 b) 138 c) 141 d) 150 e) 153 2) Qual o valor da 5ª prestação de um financiamento feito pelo S.A.C.,

se o valor financiado foi R$ 1.600,00, a taxa, 8% a.m. e o número de parcelas foi de 20?

a) R$ 200,00 b) R$ 194,60 c) R$ 182,40 d) R$ 120,00



e) R$ 100,00 3) Julgue os ítens abaixo: I - no Sistema Price a cota de juros em cada prestação decresce enquanto

que no S.A.C., cresce; II - No S.A.C. as prestações são decrescentes, sempre; III - no Sistema Price a cota de amortização contida na última prestação,

quita o saldo devedor. 4) Os juros contidos na 1ª prestação de um empréstimo feito pelo

Sistema Price a uma taxa de 72% a.a., são iguais a: a) 7,2% do saldo devedor; b) 6% do saldo devedor original; c) 6% do saldo devedor, após o pagamento da 1ª prestação; d) 4% do saldo devedor inicial; e) 72% do saldo devedor original. 5) Para um financiamento de R$ 6.000,00 pago em 6 prestações pelo

Sistema Francês, tem-se a seguinte planilha:

Os valores de x e y são respectivamente: (despreze centavos) a) R$ 1200 e R$ 305 b) R$ 1182 e R$ 255 c) R$ 1182 e R$ 215 d) R$ 1182 e R$ 205 e) R$ 1200 e R$ 805 6) O gráfico que melhor representa a evolução das prestações em

função do tempo, no Sistema de amortização constante, é:



a) b) c) d)

e)

Gabarito (Exercícios)

1-b 2- c 3- ECC 4- b 5- b 6-e

OUTRAS QUESTÕES

1-(BB) Uma geladeira é vendida à vista por R$ 1.000,00 ou em duas

parcelas, sendo a primeira com uma entrada de R$ 200,00 e a

. . .

. . .

. . .

. . .



segunda, dois meses após, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal

de juros simples utilizada?

a) 6%

b) 5%

c) 4%

d) 3%

e) 2%

Resolução: ( Juros simples)

Observe que o comprador ficou devendo 800, pelos quais pagará a

quantia de 880, ou seja, pagará 80 reais de juros ( 10% ), em dois

meses.

Como os juros Simples são proporcionais ao tempo e taxa, se houve

ganho de 10% em dois meses, então houve ganho de 5% ao mês.

Alternativa.....”B”

2- (BB) Um investidor dispunha de R$ 300.000,00 para aplicar. Dividiu

esta aplicação em duas partes. Uma parte foi aplicada no banco Alfa,

à taxa de 8% ao mês, ambas em juros compostos. O prazo de ambas

as aplicações foi de 1 mês. Se, após este prazo , os valores

resgatados forem iguais nos dois bancos, os valores de aplicação, em

reais, em cada banco, foram, respectivamente:

a) 148.598,13 e 151.401,87

b) 149.598,13 e 150.401,87

c) 150.598,13 e 149.401,87

d) 151.598,13 e 148.401,87

e) 152.598,13 e 147.401,87

Resolução:

Vamos considerar que no banco Alfa ele investiu “X” reais, logo terá

investido no outro banco, “ 300000 – X”.

A taxa é 8% am e o tempo, 1 mês, para os dois.

Como o valor resgatado em ambos é o mesmo, então seus

MONTANTES são iguais.

Para ambos, M = C . ( 1 + i )t

Para o banco Alfa....M = X . ( 1 + 0,08)1 = 1,08X

Para o outro banco......M = ( 300000 – X ) . ( 1 + 0,06 )1 =

= 1,06 . ( 300000 – X ) = 318000 – 1,06X



Igualando os Montantes....

1,08X = 318000 – 1,06X

2,14X = 318000

X = 318000 / 2,14

X = 148598,13 (parte aplicada no banco ALFA)

No Outro Banco, será o restante...300000 – 148598,13 = 151401,87

Alternativa “A”.

3- (CEF) Pretendendo guardar uma certa quantia para as festas de fim

de ano, uma pessoa depositou R$ 2 000,00 em 05/06/97 e R$ 3 000,00

em 05/09/97. Se o banco pagou juros compostos à taxa de 10% ao

trimestre, em 05/12/97 essa pessoa tinha um total de:

a) R$ 5 320,00

b) R$ 5 480,00

c) R$ 5 620,00

d) R$ 5 680,00

e) R$ 5 720,00

4-. A taxa efetiva trimestral referente a uma aplicação foi igual

a 12%. A correspondente taxa de juros nominal (i) ao ano,

com capitalização mensal, poderá ser encontrada calculando:

_

(A) i = 4 . [(1,12 )1/3 − 1]

(B) i = 12 . [(1,12)1/4 − 1]

(C)) i = 12 . [(1,12)1/3 − 1]

(D) i = (1,04 )12 − 1

(E) i = 12. [(0,04) ÷ 3]

Resolução: Taxas em juros compostos

A taxa dada ( 12% at) é efetiva e desejamos outra efetiva mensal, daí

faremos uma conversão EQUIVALENTE;

( 1 + im)3 = 1 + 1s



( 1 + im )3 = 1 + 0,12

( 1 + im )3 = 1,12

1+ im = V3 1,12

Im = V3 1,12 - 1

Im = ( 1,12)1/3 - 1

Como é pedida a taxa Nominal ANUAL, basta multiplicar por 12, pois a

conversão de taxa efetiva para Nominal se faz de forma

PROPORCIONAL.

Daí, ia = 12 . [ ( 1,12)1/3 – 1]

Alternativa “C”

________________________________________________________

5- Um investidor realiza depósitos no início de cada mês, durante

8 meses, em um banco que remunera os depósitos

de seus clientes a uma taxa de juros nominal de 24% ao

ano, com capitalização mensal. Os valores dos 4 primeiros

depósitos foram de R$ 1.000,00 cada um e dos 4 últimos

R$ 1.250,00 cada um. No momento em que ele efetua o

oitavo depósito, verifica que o montante que possui no

banco é M, em reais.

Fator de Acumulação de Capital

(taxa de juros compostos de 2% ao período)

Número de

Períodos Pagamento único Série de pagamentos iguais

1.............................1,02........................1,00

2.............................1,04........................2,02

3.............................1,06........................3,06

4.............................1,08........................4,12

5.............................1,10........................5,20

6.............................1,13........................6,31

7.............................1,15........................7,43

8.............................1,17........................8,58

9.............................1,20........................9,76

Utilizando os dados da tabela acima, tem-se, então, que

(A) 10 300 < M



(B) 10 100 < M ≤ 10 300

(C) 9 900 < M ≤ 10 100

(D) 9 700 < M ≤ 9 900

(E)) 9 500 < M ≤ 9 700

Resolução: (Montante de uma série de pagamentos iguAIS )

Primeiramente devemos determinar a taxa Efetiva que resolverá

o problema ( a taxa dada é Nominal).

De Nominal para Efetiva a conversão é Proporcional;

24% aa corresponde à taxa mensal de 2%

O problema pede a soma de todos os depósitos na data do

último depósito e essa soma é obtida pela fórmula;

Sni = P . sni onde P é o valor da parcela e sni o fator de

acumulação de capital (Tabela dada), de uma série de

pagamentos.iguais, consecutivos e postecipados.

Foram 4 parcelas de 1000 e 4 de 1250, que podemos interpretar

como 8 parcelas de 1000 e mais 4 de 250 ( as 4 últimas).

Para as 8 parcelas de 1000 teremos a soma:

S8,2%

= 1000 . 8,58 = 8580

Para as 4 parcelas de 250 teremos a soma:

S4,2%

= 250 . 4,12 = 1030

Somando.........Stotal

= 9610

Gabarito: E

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

6-Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver

um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações

mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um

mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com

capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema



Francês de Amortização (Sistema Price) e que, para a

taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de

Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O

respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da

segunda prestação é

(A) R$ 273,30

(B)) R$ 272,70

(C) R$ 270,00

(D) R$ 266,70

(E) R$ 256,60

Resolução: ( Sistema Price)

Calculando o valor da prestação constante:

P = F . 1/ani onde F é o valor financiado e 1/ani é o fator de

recuperação de capital (dado).

P =15000 . 0,111 = 1665

Os juros pagos na primeira prestação foram de 2% de 15000,

pois esse era o saldo devedor até então. 2% de 15000 é 300.

Daí, a cota de amortização contida na primeira prestação foi de

1665 – 300, ou seja; 1365.

O saldo devedor fica, então, abatido de 1365 resultando

13635 ( 15000 – 1365).

Os juros pagos na segunda prestação (que é a pergunta) serão

de 2% de 13635, ou seja........272,70,

Gabarito: B

_________________________________________________________

7-. Um financiamento foi contratado, em uma determinada data,

consistindo de pagamentos a uma taxa de juros positiva

e ainda corrigidos pela taxa de inflação desde a data

da realização do compromisso. O custo efetivo desta operação

foi de 44% e o custo real efetivo de 12,5%. Tem-se,

então, que a taxa de inflação acumulada no período foi de

(A) 16%

(B) 20%

(C) 24%



(D)) 28%

(E) 30%

Resolução: ( taxas)

Basta aplicar a fórmula de Fischer:

(1 + iA) = ( 1 + i

R) . ( 1 + i

i)

1 + 0,44 = ( 1 + 0,125 ) . ( 1 + ii)

1,44 = 1,125 . ( 1 + ii)

( 1 + ii) = 1,28

i = 0,28.................28%

Gabarito: D

_________________________________________________________

8- Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e

Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes

fluxos de caixa:

Ano Projeto X(R$) Projeto Y(R$)

0................... – D ..................... - 40 000,00

1................... 10 800,00............ 16 200, 00

2................... 11 664,00............ 17 496 ,00

A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano

(capitalização anual) e verifica-se que os valores atuais

líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o

desembolso D referente ao projeto X é igual a

(A)) R$ 30 000,00

(B) R$ 40 000,00

(C) R$ 45 000,00

(D) R$ 50 000,00

(E) R$ 60 000,00

Resolução: ( Fluxos de caixa )

Para os cálculos, utilize a “taxa mínima de atratividade”,

que é a taxa oferecida pelo mercado financeiro.



“Valor Atual Líquido” de um fluxo de caixa é o SALDO do fluxo em

uma data qualquer, ou seja, é a diferença entre a soma das entradas e

a soma das saídas.

Daí, como os saldos são iguais ( o texto afirma isso ), então

escolheremos uma data e levaremos todos os valores para lá e

aplicaremos o princípio dos saldos ( saldo = E – S ), para cada fluxo e

igualaremos os resultados.

Data 2

Ano Projeto X(R$) Projeto Y(R$)

0................... – D ..................... - 40 000,00

1................... 10 800,00............ 16 200, 00

2................... 11 664,00............ 17 496 ,00

Projeto X

Sx = 10800. 1,08 + 11664 – D.1,08² = 23328 – 1,1664.D

Projeto Y

Sy = 16200.1,08 + 17496 – 40000.1,08² = 34992 – 46656 = - 11664

Igualando...

23328 – 1,1664D = - 11664

1,1664D = 23328 + 11664

1,1664D = 34992

D = 34992/1,1664

D = 30000

Alternativa......”A”

_________________________________________________________

9- Considere o seguinte fluxo de caixa cuja taxa interna de

retorno é igual a 10% ao ano:

Ano Fluxo de Caixa(R$)

0................................. – 25 000,00

1................................. 0,00

2................................. x

3................................. 17 303,00



O valor de X é igual a

(A) R$ 11 000,00

(B) R$ 11 550,00

(C) R$ 13 310,00

(D) R$ 13 915,00

(E)) R$ 14 520,00

Resolução: ( T.I.R.)

Se 10% aa é uma TIR, então a soma das entradas será igual à soma

das saídas, em uma mesma data.

Escolheremos a data 3

X.1,1 + 17303 = 25000 . 1,13

1,1X + 17303 = 33275

1,1 X = 15972

X = 14520

Alternativa.....”E”

GABARITO:

1-B 2-A 3-E 4-C 5-E 6-B 7-D 8-A 9-E

SUCESSO !!

Prof. Ivan zecchin

prof ivan questoes de matematica comentadas banca cesgranrio (1)

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