prof. geraldo nunes silva estas notas de aula são basedas no livro: “hillier, f. s. e g. j....
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Prof. Geraldo Nunes Silva
Estas notas de aula são Basedas no livro:
“Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, 3a ed., 1988”
Agradeço a Professora Gladys Castillo do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro por ter permitido a utilização de alguns slides
preparados pelo um grupo de pessoas de seu departamento
Aula de Hoje• O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT).
Obtenção de uma SBF inicial. Método do canto N-W; Método do mínimo da matriz de custos; Método de Vogel.
Obtenção da solução óptima. Método de Dantzig.
Problema de Transporte. Exemplo ProtótipoProblema de Transporte. Exemplo Protótipo
Uns dos principais produtos da firma Lactosal é o leite.
Os pacotes de leites são empacotados em 3 fábricas e depois são distribuídos de caminhão para quatro armazéns
Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazém e as capacidades de produção de cada fábrica, pretende-se:
OTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE.
Problema de Transporte. Exemplo ProtótipoProblema de Transporte. Exemplo Protótipo
Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas (produção) e procuras, em cargas de caminhão/dia, são os seguintes:
24 cargas diárias de leite devem
ser produzidas e distribuídas
Custo por carga de caminhãoArmazéns
Fábricas 1 2 3 4 Oferta
1 1 2 3 4 6
2 4 3 2 4 8
3 0 2 2 1 10
Procura 4 7 6 7
Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total
Quadro do Problema de TransporteQuadro do Problema de Transporte
DestinoOrigem
1 2 3 4 1 2 3 4 Oferta
11
22
33
66
88
1010
Procura 44 77 6 6 77 2424 ==2424
11 22 44
44 33 44xx11 11 xx12 12
xx1414
xx21 21 xx22 22 xx2424
33xx13 13
22xx23 23
00 22 11xx31 31 xx32 32 xx3434
22xx33 33
DestinoOrigem
DestinoOrigem
1 2 3 4 1 2 3 4 Oferta
11
22
33
66
88
1010
Procura 44 77 6 6 77 2424 ==2424
1111 2222 4444
4444 3333 4444xx11 11 xx12 12
xx1414
xx21 21 xx22 22 xx2424
3333xx13 13
2222xx23 23
0000 2222 1111xx31 31 xx32 32 xx3434
2222xx33 33
Custo por carga de camião
Armazéns
1012203
7
4
44
4
4
11
7
3
22
6
2
33
Procura
82
61
OfertaFábricas
Custo por carga de camião
Armazéns
1012203
7
4
44
4
4
11
7
3
22
6
2
33
Procura
82
61
OfertaFábricas
A SBF verifica o A SBF verifica o critério de critério de
otimalidade? otimalidade?
Obtenção de uma SBF Obtenção de uma SBF inicialinicial
FIM !!!FIM !!!a solução é a solução é
ótimaótimaMover-se para uma SBF Mover-se para uma SBF
"melhor""melhor"
SimSim
NãoNão
Algoritmo para a resolução do PT.Algoritmo para a resolução do PT.
• Como o problema de transporte é apenas um tipo especial de problema de programação linear, ele poderia ser resolvido aplicando o método simplex exatamente como vimos anteriormente
• Para tanto, teríamos que acrescentar variáveis artificiais e usando o método “big M”, por exemplo, proceder as iterações do método simplex.
• Entretanto, veremos na aula de hoje como explorar esta estrutura especial para obtermos um método muito mais eficiente o qual chamaremos método simplex para o problema de transporte
• Cabe observar que outros tipos de estruturas especiais podem ser exploradas de forma a obter algoritmos eficientes (veremos em outra aula como explorar a estrutura especial do problema de designação)
Algoritmo para a resolução do PT.Algoritmo para a resolução do PT.
Passo 1: Obtenção de uma SBF InicialPasso 1: Obtenção de uma SBF Inicial
• Qualquer SBF do problema de transporte tem no máximo m+n-1 variáveis básicasQualquer restrição de oferta é igual à soma das restrições de demanda menos a soma das outras restrições de oferta e, cada restrição de demanda também é igual a soma das restrições de oferta menos a soma das outras restições de demanda.
• Assim vamos contruir uma SBF inicial selecionando m+n–1 variáveis, uma de cada vez e, posteriormente, vamos atribuir valores a essas variáveis.
• Diversos métodos foram propostos para obteção de uma SBF inicial, vejamos a seguir alguns deles.
Passo 1: Obtenção de uma SBF InicialPasso 1: Obtenção de uma SBF InicialMétodo do Canto NoroesteMétodo do Canto NoroesteA variável básica escolhida é, em cada quadro, a variável situada no canto superior esquerdo (daqui o nome do canto do NW (NorthWest).
A primeira variável básica escolhida será sempre x11, depois que tenha sido traçada a coluna 1 ou a linha 1, será escolhida como variável básica x12 ou x21 respectivamente, e assim sucessivamente até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas.
Este método é de aplicação muito fácil, mas tem como grande inconveniente o fato de não considerar os custos na identificação da SBF inicial.
44 77 6 6 77
11 22 44
44 33 44
33
22
00 22 11 22
66
88
1010
44 22
55 33
77 33
1º1º. x11 =min (4,6 )= 422
2º2º. x12 =min (7,2 )= 2
3º3º. x22 =min (5,8 )= 5
55
4º4º. x23=min (6,3 )= 3
33
33
775º5º. x33=min (3,10 )= 3
6º6º. x34=min (7,7 )= 7
SBF inicial: X0 = ( 44 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 ) ; z0
= 42
Exemplo Protótipo. Método do Canto NoroesteExemplo Protótipo. Método do Canto Noroeste
Passo 1: Obtenção de uma SBF InicialPasso 1: Obtenção de uma SBF InicialMétodo do Mínimo da Matriz dos Custos.Método do Mínimo da Matriz dos Custos.A variável básica escolhida é a variável que corresponde ao menor custo (em caso de empate a escolha é arbitrária).
A primeira variável básica escolhida será sempre a de menor custo, depois será escolhida como variável básica a de menor custo no quadro resultante relativo ao que foi traçado, e assim sucessivamente, até terem sido traçadas todas as linhas e todas as colunas.
Este método, em princípio, fornece soluções iniciais mais próximas da solução ótima que o método anterior, já que são considerados os custos na identificação da SBF inicial.
44 77 6 6 77
11 22 44
44 33 44
33
22
00 22 11 22
66
88
101044 66
1166
66
11
1º:1º: min (cij )= c31= 0 x31 =min (4,10)= 4
1
2º2º: min (cij) =c34= 1 x34 = min ( 7, 6 )= 6
3º3º: min (ci) = c12=c23= 2 x12 = min ( 7, 6 ) = 6
1
4º4º: min (cij) =c23= 2 x23= min ( 6, 8 ) = 6
22 1
6
5º5º: min (cij)= c22= 3 x22= min ( 2, 1 ) = 1
6º6º: min (cij) =c24= 4 x24=min (1, 1 ) =1
SBF inicial: XX00 = ( 00 , 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6, 6, 0, 0, 0, 1, 6, 1, 4,0, 0,6) ; z = 38
Exemplo Protótipo.Método do Mínimo dos CustosExemplo Protótipo.Método do Mínimo dos Custos
Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial.Passo 1: Obtenção de uma SBA Inicial.Método de VogelMétodo de VogelA variável básica escolhida é, em cada quadro, a variável que corresponde ao menor custo da linha ou coluna associada à maior das diferenças entre os dois menores custos de cada linha e cada coluna(em caso de empate a escolha é arbitrária).
Este método identifica uma SBF inicial, em geral, melhor do que as obtidas pelos métodos anteriores.
11 00 00 33
11 22 44
44 33 44
33
00 22 11 22
22
3377
1º:1º: acrescentar uma linha e uma coluna, com as diferenças entre os dois menores custos, em coluna e em linha respectivamente.
2º2º: Selecionar a maior das diferenças: max (diferenças) = 3 , coluna 4.
3º3º: Selecionar o menor dos custos para esta coluna: min (cij: j=4)= c34= 1 x34= min ( 7, 10 ) = 7
Iteração 1: Iteração 1: xx3434== 7 7
44 77 6 6 77
11
11
11
máximo
1010
88
6 6
mínimo
Exemplo Protótipo.Método de Vogel.Exemplo Protótipo.Método de Vogel. Quadro 1 Quadro 1
11 22 33 44
44 33 44 22
33
88
6 6
44 77 6 6
00 22 11 2277
11
33
1º:1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados
2º2º: Selecionar a maior das diferenças:max (diferenças) = 2 e corresponde à linha 3.
3º3º: Selecionar o menor dos custos para esta linha: min (cij: i=3)= c31= 0 x31= min ( 4, 3 ) = 3
Iteração 2: xx3131== 3 3
máximo
11 00 00
11
11
22
mínimo
Exemplo Protótipo. Método de Vogel.Exemplo Protótipo. Método de Vogel.Quadro 2Quadro 2
11 22 33
44 33 44 22
88
6 6
44 77 6 6
00 22 11 2233
44
77
11
11
1º:1º: calcular as novas diferenças relativas apenas aos elementos não traçados
2º2º: Selecionar a maior das diferenças : max (diferenças) = 3 e corresponde à coluna 1.
3º3º: Selecionar o menor dos custos para esta coluna: min (cij: j=1) = c11= 1 x11= min ( 1, 6 ) = 1
Iteração 3: xx1111== 1 1
33 11 11
11
11
mínimo
55
máximo
Exemplo Protótipo. Método de Vogel.Exemplo Protótipo. Método de Vogel.Quadro 3Quadro 3
88
6 6 55
44 77 6 6
77
11
33
44 33 44 22
00 22 11 2233
22 4411
11
11 11
55
1º:1º: calcular as novas diferenças relativasapenas aos elementos não traçados: todas são iguais a 1, pelo que pode ser escolhida qualquer delas . 2º2º: Selecionar a coluna 2
e o menor dos seus custos :
min (cij: j=2) = c12= 2 x12= min ( 7,5 ) = 5
Iteração 4: xx1212== 5 5
11
11
mínimo
22
Exemplo Protótipo. Método de VogelExemplo Protótipo. Método de VogelQuadro 4Quadro 4
As células restantes podem ser preenchidas
imediatamente:xx2222== 2 2xx2323== 6 6
88
22 6 6
77
33
44 33 44 22
00 22 11 2233
22 4411
11
55
22 66
SBF inicial: XX00 = ( 11 , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3,0, 0,7) ; z = 36
Exemplo Protótipo. Método de VogelExemplo Protótipo. Método de VogelQuadro 5Quadro 5
zz00 = 36XX00
= ( 11 , 5, 0, 0,, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7 3, 0, 0, 7)
XX00 = ( 44 , 2, 0, 0,, 2, 0, 0,
0, 5, 3, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 0, 0, 3, 7)
XX00 = ( 00 , 5, 1, 0,, 5, 1, 0,
0, 2, 6, 0, 0, 2, 6, 0, 4, 0, 0, 6 4, 0, 0, 6)
zz00 = 42
zz00 = 38
mais fácil
menos fácil
"pior" SBF
"melhor" SBF
Método SBF inicial f.o.
Canto do NW
Mínimo de custos
Voguel
Passo 1: Obtenção de uma SBF Inicial.Passo 1: Obtenção de uma SBF Inicial.Exemplo ProtótipoExemplo Protótipo
A solução dual é factível:
ui + vj- cij 0 , ( i , j ) IB ?
Passar ao passo seguinte
FIMa solução é
ótima !!!Sim
Não
Determinar a solução dual complementar ui , vj , ( i=1,2…,m , j=1,2…,n ),
por resolução do Sistema de Dantzig:ui + vj = cij ( i , j ) IB
Passo 2: Obtenção da solução ótimaPasso 2: Obtenção da solução ótimaMétodo de Dantzing. Critério de otimalidadeMétodo de Dantzing. Critério de otimalidade
Obtenção da solução ótima.Método de Dantzing.Obtenção da solução ótima.Método de Dantzing.Passo 1: Critério de otimalidade.Passo 1: Critério de otimalidade.
O primeiro passo, que consiste em testar a otimalidade da SBF atual pode ser executado recorrendo à Dualidade.Para isso é necessário determinar a correspondente solução dual.
Enquanto na apresentação tabular do método simplex esta solução pode ser lida diretamente no quadro respectivo, com a apresentação tabular do problema de transporte isso não acontece.Contudo, atendendo à simplicidade da estrutura do problema dual de transporte, é fácil determinar a solução dual.
u1 livreu2 livreu3 livrev1 livrev2 livrev3 livrev4 livre
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= = 6= = 8 = = 10= = 4= = 7= = 6= = 7
1 2 3 4 4 3 2 4 0 2 2 1
xx11110 0 xx12120 0 xx13130 0 xx14140 0 xx21210 0 xx22220 0 xx23230 0 xx242400 x x313100 xx32320 0 xx333300 xx343400
Min zMin zProblema dualProblema dual
Problema primalProblema primal
Diagrama de TuckerDiagrama de Tucker
Max wMax w
Formulação do Problema Dual de Transporte.Formulação do Problema Dual de Transporte.Custo por carga de
camiãoArmazéns
1012203
7
4
44
4
4
11
7
3
22
6
2
33
Procura
82
61
OfertaFábricas
Custo por carga de camião
Armazéns
1012203
7
4
44
4
4
11
7
3
22
6
2
33
Procura
82
61
OfertaFábricas
Maximizar w = 6 u1 + 8 u2 + 10 u3 + 4 v1 + 7 v2 + 6 v3 + 7 v4
sujeito a: u1 + v1 1 u1 + v2 2 u1 + v3 3 u1 + v4 4 u2 + v1 4 u2 + v2 3 u2 + v3 2 u2 + v4 4 u3 + v1 0 u3 + v2 2 u3 + v3 2 u3 + v4 1 ui , v j livres ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )
Formulação do Problema Dual de Transporte.Formulação do Problema Dual de Transporte.Custo por carga de
camiãoArmazéns
1012203
7
4
44
4
4
11
7
3
22
6
2
33
Procura
82
61
OfertaFábricas
Custo por carga de camião
Armazéns
1012203
7
4
44
4
4
11
7
3
22
6
2
33
Procura
82
61
OfertaFábricas
xx1111= 4= 4 uu11 + + vv1 1 = 1= 1
xx12 12 = 2= 2 uu11 + + vv2 2 = 2= 2
xx22 22 = 5= 5 uu22 + + vv2 2 = 3= 3
xx23 23 = 3= 3 uu22 + + vv3 3 = 2= 2
xx33 33 = 3= 3 uu33 + + vv3 3 = 2= 2
xx34 34 = 7= 7 uu33 + + vv4 4 = 1= 1
Para a SBF inicial obtida pelo Método do Canto N-W X0
= ( 4 , 2, 0, 0, 0, 5, 3, 0, 0, 0, 3, 7 ) tem-se:
De acordo com a propriedade das folgas complementares, a cada
variável básica do problema primal se encontra associada
uma restrição ativa no problema dual .
Sistema de Dantzig para a SBF atual
Exemplo Protótipo. Sistema de DantzingExemplo Protótipo. Sistema de Dantzing
uu11 + + vv1 1 = 1= 1
uu11 + + vv2 2 = 2= 2
uu22 + + vv2 2 = 3= 3
uu22 + + vv3 3 = 2= 2
uu33 + + vv3 3 = 2= 2
uu33 + + vv4 4 = 1= 1
Dado que uma das (m+n) restrições do problema primal é
redundante, este sistema de equações é indeterminado de
grau 1, pelo que a sua resolução é efetuada atribuindo um valor
arbitrário a qualquer das variáveis duais e calculando a
partir desta as restantes ( é habitual fazer uu1 1 =0 =0 )
v1 =1
v2 =2
u2 =1
v3 =1
u3 =1
v4 =0
u1 =0 1º.1º. Determinar a solução dual.
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima.Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo 1: Critério de Optimalidade Passo 1: Critério de Optimalidade
Obtenção da solução ótima.Obtenção da solução ótima.Passo 1: Critério de OtimalidadePasso 1: Critério de Otimalidade
Esta solução para as variáveis duais pode ser obtida diretamente no quadro de transporte correspondente à SBF associada.Em síntese, fixando u1 =0, desloca-se em linha através das células correspondentes às variáveis básicas, para obter os vj. Uma vez obtidos estes, desloca-se em coluna através das células correspondentes às variáveis básicas para obter os ui .
1º.1º. Determinar a solução dual.
66 88
1010
44 77 6 6 77 2424
11 22 44
44 33 44
44 22
55
33
2233
00 22 11 77
2233
v1=1 v2=2 v3=1 v4=0
u3=1
u2=1
u1=0
( 1 ) ( 1 ) u1+ v1=1 0 + v1=1
( 2 ) ( 2 ) u1+ v2=2 0 + v2=2
( 4 ) ( 4 ) u2+ v3=2 1 + v3=2
( 6 ) ( 6 ) u3+ v4=1 1 + v4=1
( 3 ) ( 3 ) u2+ v2=3 u2+ 2 =3
( 5 ) ( 5 ) u3+ v3=2 u3+ 1=2
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima.Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima.Passo 1: Critério de Otimalidade.Passo 1: Critério de Otimalidade.
1º.1º. Determinar a solução dual.
Obtenção da solução ótima.Obtenção da solução ótima.Passo 1: Critério de OtimalidadePasso 1: Critério de OtimalidadeComo são satisfeitas as restrições duais de igualdade do Sistema de Dantzig que correspondem às variáveis primais básicas, resta apenas verificar se as restantes restrições duais de desigualdade correspondentes às variáveis primais não básicas do primal, são igualmente satisfeitas, o que significa que a solução dual é factível e consequentemente a solução primal associada é ótima.
Isto é equivalente a verificar que todos os custos reduzidos para as variáveis não básicas sejam não positivos.A verificação de que uuii + + vvj j ccijij , , ( ( i , j i , j ) ) I IB B , é equivalente a ((uuii + + vvj j )) - - ccijij 0 0 ,,sendo o primeiro membro desta expressão de obtenção imediata no quadro de transporte.
66 88
1010
44 77 6 6 77 2424
11 22 44
44 33 44
44 22
55
33
2233
22 11 77
2233
v1=1 v2=2 v3=1 v4=0
u3=1
u2=1
u1=0
00
( 6 )( 6 ) u3+ v2 -2 = 1+ 2 -2= 1
( 3 )( 3 )u2+ v1 -4 = 1+ 1 -4=-2
( 5 )( 5 ) u3+ v1 -0 = 1+ 1 -0= 2
-4-2
-3-2
2 1
( 1 )( 1 ) u1+ v3 -3 = 0+ 1 -3=-2
( 2 )( 2 ) u1+ v4 -4 = 0+ 0 -4=-4
(4 )(4 ) u2+ v4 -4 = 1+ 0 -4=-3
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo 1: Critério de OtimalidadePasso 1: Critério de Otimalidade 2º.2º. Calcular os custos reduzidos para as variáveis não básicas.
66 88
1010
44 77 6 6 77 2424
11 22 44
44 33 44
44 22
55
33
2233
22 11 77
2233
v1=1 v2=2 v3=1 v4=0
u3=1
u2=1
u1=0
00
-4-2
-3-2
2 1
Esta solução não é ótima, pois existem
valores positivos para u ui i ++ vvjj- - ccij ij nas células
(3,1) e (3,2), o que significa que as correspondentes
restrições duais não estão satisfeitas.
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo 1: Critério de OtimalidadePasso 1: Critério de Otimalidade 3º.3º. Existe algum uui i ++ vvjj- - ccij ij > 0 ,> 0 , ( ( i , j i , j ) ) I IBB ??
maxmax {uui i ++ vvj j - - ccij ij : : uui i ++ vvj j - - ccijij> 0 > 0 }}
A variável a entrar na base é escolhida de acordo com o critério:
Em caso de empate a escolha é arbitrária.
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo 2: Critério de EntradaPasso 2: Critério de Entrada
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88
1010
44 77 6 6 77 2424
11 22 44
44 33 44
44 22
55
33
2233
22 11 77
2233
v1=1 v2=2 v3=1 v4=0
u3=1
u2=1
u1=0
00
-4-2
-3-2
2 1
máximo máximo
A variável a entrar
é x31
Obtenção da solução ótima. Obtenção da solução ótima. Passo 3: Critério de SaídaPasso 3: Critério de Saída1º. Selecionar o percurso relativo à variável que entra atribuindo às
células nele incluídas sinais de - ou + . Ao incrementar a variável básica que entra desde zero até um valor positivo 00, inicia-se um “processo em cadeia" que garante que as restrições de oferta e procura continuem satisfeitas. Este processo segue um percurso no quadro a partir da célula da variável que entra, onde são identificadas quais são as células onde será preciso subtrair o valor 00, (com sinal -) e aquelas onde será preciso adiciona-lo (com sinal +).Tudo com o objetivo de as somas em cada linha e coluna permanecerem inalteradas.
2º. Selecionar a variável que sai de acordo com o critério:
min {xij percurso relativo à variável que entra :: xxijij tem sinal -} = = 00
Em caso de empate a escolha é arbitrária.
66
88
1010
44 77 6 6 77 2424
11 22 44
44 33 4444 22
55
33
2233
22 1177
2233
00
-4-2
-3
1º1º. Selecionar o percurso relativo à variável x31 atribuindo às células nele incluídas sinais de - ou + .
2º.2º. Selecionar a variável que sai: 00 = = min ( 4, 5, 3 ) = 3 a variável xx333 sai
-
x31
+
- +
-
Determinar a variável que sai.
mínimo
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima. Passo 3: Critério de SaídaPasso 3: Critério de Saída
A nova SBF obtém-se adicionando e subtraindo às variáveis que formam o ciclo o valor de 00, consoante estejam afetadas com ou , respectivamente; as restantes variáveis mantêm os seus valores inalterados.
- +
Obtenção da solução ótima. Obtenção da solução ótima. Passo 4: Obtenção de uma nova SBFPasso 4: Obtenção de uma nova SBF
11 22 44
44 33 44
33
22
00 22 11 22
44 22
55
33 77
33
-
x31
+
- +
-
11 22 44
44 33 44
33
22
00 22 11 22
11 55
22
00 77
66x13= 3
33
x11=4 -3 = 1
x12=2 + 3 = 5
x22=5 -3 = 2
x23=3 +3 = 6
x23=3 -3 = 0
X1 = ( 11 , 5, 0, 0, , 5, 0, 0, z1
= 36 0, 2, 6, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7 3, 0, 0, 7 )
Exemplo Protótipo.Obtenção da solução ótima. Exemplo Protótipo.Obtenção da solução ótima. Passo 4: Obtenção de uma nova SBFPasso 4: Obtenção de uma nova SBF
66 88
1010
44 77 6 6 77 2424
11 22 44
44 33 44
11 55
22
33
2266
00 22 11 77
22
v1=1 v2=2 v3=1 v4=2
u3=-1
u2=1
u1=0
( 1 )( 1 ) u1+ v1=1 0 + v1=1
( 2 )( 2 ) u1+ v2=2 0 + v2=2
( 4 )( 4 ) u2+ v3=2 1 + v3=2
( 6 )( 6 ) u3+ v4=1 -1 + v4=1
( 3 )( 3 ) u2+ v2=3 u2+ 2 =3
( 5 )( 5 ) u3+ v1=0 u3+ 1=0
33
1º.1º. Determinar a solução dual.
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima.Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima.Iteração 2, Passo 1: Critério de Otimalidade.Iteração 2, Passo 1: Critério de Otimalidade.
66 88
1010
44 77 6 6 77
11 22 44
44 33 44
11 55
22
33
2266
22 11 77
22
v1=1 v2=2 v3=1 v4=2
u3=-1
u2=1
u1=0
00
( 6 )( 6 ) u3+ v3 -2 =-1+ 1 -2= -2
( 3 )( 3 ) u2+ v1 -4 = 1+ 1 -4=-2
( 5 )( 5 ) u3+ v2-2 =-1+ 2 -2= -1
-2-2
-1-2
-1 - 2
( 1 )( 1 ) u1+ v3 -3 = 0+ 1 -3=-2
( 2 )( 2 ) u1+ v4 -4 = 0+2 -4=-2
(4 )(4 ) u2+ v4 -4 = 1+ 2 -4=-1
33
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima.Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima.Iteração 2, Passo 1: Critério de OtimalidadeIteração 2, Passo 1: Critério de Otimalidade
2º.2º. Calcular os custos reduzidos para as variáveis não básicas.
Esta solução é ótima, pois para
todas as variáveis não básicas
u ui i ++ vvj j - - ccij ij 0 0
66 88
1010
44 77 6 6 77
11 22 44
44 33 44
11 55
22
33
2266
22 11 77
22
v1=1 v2=2 v3=1 v4=2
u3=-1
u2=1
u1=0
00
-2-2
-1-2
-1 - 233
Solução ótima: X1 =(11 , 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7, 5, 0, 0, 0, 2, 6, 0, 3, 0, 0, 7); zz11
= 36= 36
Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima.Exemplo Protótipo. Obtenção da solução ótima.Iteração 2, Passo 1: Critério de OtimalidadeIteração 2, Passo 1: Critério de Otimalidade
3º.3º. Existe algum uui i ++ vvjj- - ccij ij > 0 ,> 0 , ( ( i , j i , j ) ) I IBB ? ?