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Prof. Drª Marília Brasil Xavier

REITORA

Profª. Drª. Maria das Graças Silva

VICE-REITORA

Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida

PRÓ-REITOR DE ENSINO E GRADUAÇÃO

Profª. M.Sc. Maria José de Souza Cravo

DIRETORA DO CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

Prof. M.Sc. Antonio Sérgio Santos Oliveira

CHEFE DO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

Prof. M. Sc. Rubens Vilhena Fonseca

COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA

COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

Pré-Calculo Rubens Vilhena Fonseca

BELÉM – PARÁ – BRASIL

- 2009 -

MATERIAL DIDÁTICO

ELABORAÇÃO DO CONTEÚDO

Rubens Vilhena Fonseca

EDITORAÇÃO ELETRONICA

Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA

Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

SUMÁRIO

TEORIA DOS CONJUNTOS ............................................................................................................................ 9

DESIGUALDADES REAIS ............................................................................................................................ 12

NÚMEROS COMPLEXOS ............................................................................................................................ 18

NÚMEROS RACIONAIS .............................................................................................................................. 23

ÁLGEBRA BÁSICA - POTENCIAÇÃO ............................................................................................................ 29

FRAÇÕES ................................................................................................................................................. 34

FRAÇÕES ALGÉBRICAS ............................................................................................................................. 39

POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS .................................................................................................... 40

PRODUTOS NOTÁVEIS (33º IDENTIDADES) ................................................................................................ 44

APLICAÇÕES DAS RAZÕES E PROPORÇÕES................................................................................................. 46

REGRAS DE DIVISIBILIDADE ..................................................................................................................... 53

ANÁLISE COMBINATÓRIA ......................................................................................................................... 54

BINÔMIO DE NEWRON .............................................................................................................................. 60

FATORAÇÃO ............................................................................................................................................ 61

EQAÇÕES DO 1º GRAU ............................................................................................................................... 62

ESTUDO DA RETA ..................................................................................................................................... 63

FUNÇÃO QUADRÁTICA (PARÁBOLA) .......................................................................................................... 65

FUNÇÕES REAIS ....................................................................................................................................... 69

FUNÇÕES EXPONENCIAIS .......................................................................................................................... 74

LOGARITMOS ........................................................................................................................................... 78

RELAÇÕES E FUNÇÕES .............................................................................................................................. 81

SEQUÊNCIAS REAIS .................................................................................................................................. 89

GEOMETRIA ESPACIAL: VETORES NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL .................................................................. 97

GEOMETRIA PLANA: VETORES NO PLANO CARTESIANO .............................................................................. 100

Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

9

TEORIA DOS CONJUNTOS

Introdução aos conjuntos

Alguns conceitos primitivos

Algumas notações p/ conjuntos

Subconjuntos

Alguns conjuntos especiais

Reunião de conjuntos

Interseção de conjuntos

Propriedades dos conjuntos

Diferença de conjuntos

Complemento de um conjunto

Leis de Augustus de Morgan

Diferença Simétrica

INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS

o estudo de Conjuntos, trabalhamos com

alguns conceitos primitivos, que devem ser

entendidos e aceitos sem definição. Para

um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos

Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos

ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro

deles foi traduzido para o português sob o título

(nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.

Alguns conceitos primitivos

Conjunto: representa uma coleção de objetos.

a. O conjunto de todos os brasileiros.

b. O conjunto de todos os números naturais.

c. O conjunto de todos os números reais tal que

x²-4=0.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra

maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

a. José da Silva é um elemento do conjunto dos

brasileiros.

b. 1 é um elemento do conjunto dos números

naturais.

c. -2 é um elemento do conjunto dos números

reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado

por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência: é a característica associada a um

elemento que faz parte de um conjunto.

a. José da Silva pertence ao conjunto dos

brasileiros.

b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.

c. -2 pertence ao conjunto de números reais que

satisfaz à equação x²-4=0.

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence

a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê:

"pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1

pertence ao conjunto dos números naturais,

escrevemos:

1 N

Para afirmar que 0 não é um número natural ou que

0 não pertence ao conjunto dos números naturais,

escrevemos:

0 N

Um símbolo matemático muito usado para a

negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.

ALGUMAS NOTAÇÕES PARA

CONJUNTOS

Muitas vezes, um conjunto é representado com os

seus elementos dentro de duas chaves { e } através

de duas formas básicas e de uma terceira forma

geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão

dentro de duas chaves { e }.

a. A={a,e,i,o,u}

b. N={1,2,3,4,...}

c. M={João,Maria,José}

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais

propriedades.

a. A={x: x é uma vogal}

b. N={x: x é um número natural}

c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os

conjuntos são mostrados graficamente.

N

Departamento de Matemática, Estatística e Informática Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância

10

SUBCONJUNTOS

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está

contido em B, denotado por A B, se todos os

elementos de A também estão em B. Algumas

vezes diremos que um conjunto A está

propriamente contido em B, quando o conjunto B,

além de conter os elementos de A, contém também

outros elementos. O conjunto A é denominado

subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto

que contém A.

ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui

elementos. É representado por { } ou por Ø. O

conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém

todos os elementos do contexto no qual estamos

trabalhando e também contém todos os conjuntos

desse contexto. O conjunto universo é representado

por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o

conjunto universo.

REUNIÃO DE CONJUNTOS

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de

todos os elementos que pertencem ao conjunto A

ou ao conjunto B.

A B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A = {a,e,i,o} e B = {3,4} então

A B = {a,e,i,o,3,4}.

INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de

todos os elementos que pertencem ao conjunto A e

ao conjunto B.

A B = { x: x A e x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então

A B=Ø.

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o

conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são

disjuntos.

PROPRIEDADES DOS CONJUNTOS

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os

conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada

por A B e a interseção de A e B, denotada

por A B, ainda são conjuntos no universo.

2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A,

tem-se que:

A A = A e A A = A

3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A

e B, tem-se que:

A A B, B A B,

A B A, A B B

4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os

conjuntos A e B, tem-se que:

A B equivale a A B = B

A B equivale a A B = A

5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos

A, B e C, tem-se que:

A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

6. Comutativa: Quaisquer que sejam os

conjuntos A e B, tem-se que:

A B = B A

A B = B A

7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto

vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de

conjuntos, tal que para todo conjunto A, se

tem:

A Ø = A

8. Elemento "nulo" para a interseção: A

interseção do conjunto vazio Ø com qualquer

outro conjunto A, fornece o próprio conjunto

vazio.

A Ø = Ø

9. Elemento neutro para a interseção: O

conjunto universo U é o elemento neutro para a

interseção de conjuntos, tal que para todo

conjunto A, se tem:

A U = A

10. Distributiva: Quaisquer que sejam os

conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C ) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

Os gráficos abaixo mostram a distributividade.


11

DIFERENÇA DE CONJUNTOS

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto

de todos os elementos que pertencem ao conjunto A

e não pertencem ao conjunto B.

A-B = {x: x A e x B}

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista

como:

COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO

O complemento do conjunto B contido no conjunto

A, denotado por CAB, é a diferença entre os

conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os

elementos que pertencem ao conjunto A e não

pertencem ao conjunto B.

CAB = A-B = {x: x A e x B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no

conjunto A, é dado por:

Quando não há dúvida sobre o universo U em que

estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a

letra c posta como expoente no conjunto, para

indicar o complemento deste conjunto. Muitas

vezes usamos a palavra complementar no lugar de

complemento.

Exemplos: Øc = U e U

c = Ø.

LEIS DE AUGUSTUS DE MORGAN

1. O complementar da reunião de dois conjuntos

A e B é a interseção dos complementares

desses conjuntos.

(A B)c = A

c B

c

2. O complementar da reunião de uma coleção

finita de conjuntos é a interseção dos

complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1

c A2

c ... An

c

3. O complementar da interseção de dois

conjuntos A e B é a reunião dos


(A B)c = A

c B

c

4. O complementar da interseção de uma coleção

finita de conjuntos é a reunião dos


(A1 A2 ... An)c = A1

c A2

c ... An

c

DIFERENÇA SIMÉTRICA

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o

conjunto de todos os elementos que pertencem à

reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à

interseção dos conjuntos A e B.

A B = {x: x A B e x A B}

O diagrama de Venn-Euler para a diferença

simétrica é:

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se

mostrar que:

1. A = Ø se, e somente se, B = A B.

2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a

operação de diferença simétrica. Usar o ítem

anterior.

3. A diferença simétrica é comutativa.

4. A diferença simétrica é associativa.

5. A A = Ø (conjunto vazio).

6. A interseção entre A e B C é distributiva, isto

é:

A (B C) = (A B) (A C)

7. A B está contida na reunião de A C e de B

C, mas esta inclusão é própria, isto é:

A B (A C) (B C)


12

DESIGUALDADES REAIS

Sistema ordenado de Nos

. reais

Reta numerada

Relação de ordem sobre R

Módulo de um número real

Desigualdades reais

Multiplicação de desigualdade

Conjunto solução

Desigualdades equivalentes

Sistema de desigualdades

Desigualdades da Matemática

Principais tipos de desigualdades

Desigualdade linear

Desigualdade quadrática

Desigualdade com fração linear (I)

Desig. com produto de fatores

Desig. produto/quociente de fatores

Desigualdade com fração linear (II)

Desigualdade irracional

Desigualdade modular

Desigualdade exponencial

O SISTEMA ORDENADO

DOS NÚMEROS REAIS

rabalhar com desigualdades é muito

importante em Matemática, mas são

necessários alguns conceitos de ordem sobre

o conjunto R dos números reais para dar

sentido ao estudo de desigualdades. Nosso trabalho

admite que você já sabe o que é um número real e

que também já conhece as principais propriedades

dos reais.

O conjunto R dos números reais pode ser

construído a partir dos 11 postulados (afirmações

aceitas sem demonstração) listados abaixo:

1. Fecho aditivo: Para quaisquer a R e b R, a

soma de a e b, indicada por a+b, também é um

elemento de R.

2. Associatividade aditiva: Para quaisquer a R,

b R e c R, tem-se que (a+b)+c=a+(b+c).

3. Comutatividade aditiva: Para quaisquer aR

e bR, tem-se que a+b=b+a.

4. Elemento neutro aditivo: Existe 0R,

denominado zero, tal que 0+a=a, para todo

aR.

5. Elemento oposto: Para cada a R, existe –a

R tal que a+(-a)=0.

6. Fecho multiplicativo: Para quaisquer aR e

bR, o produto (ou multiplicação) de a e b,

indicado por a×b, por a.b ou simplesmente por

ab, também é um elemento de R.

7. Associatividade multiplicativa: Para

quaisquer aR, bR e cR, tem-se que

(a.b).c=a.(b.c).

8. Comutatividade multiplicativa: Para

quaisquer aR e bR, tem-se que a.b=b.a.

9. Elemento neutro multiplicativo: Existe 1R,

denominado um, tal que 1.a=a, qualquer que

seja aR.

10. Elemento inverso: Para cada aR, sendo a

diferente de zero, existe a-1R tal que a.a

-1 = 1.

É bastante comum usar a-1

= 1/a.

11. Distributividade: Quaisquer que sejam aR,

bR e cR, tem-se que a.(b+c) = a.b + a.c.

Exercícios: Usando apenas os postulados acima, é

possível demonstrar que:

1. Se a=b então a+c=b+c para todo cR.

2. A equação x + a = b possui uma única solução

x = b + (-a).

3. A equação x + a = a possui somente a solução

x = 0.

4. 0 + 0 = 0

5. -(-a) = a para todo aR.

6. Se a = b então a.c = b.c para todo cR.

7. Se a ≠ 0, a equação a.x = b possui uma única

solução, dada por x = a-1

.b.

8. Se a ≠ 0, a equação a.x = a possui somente a

solução x = 1.

9. 1.1 = 1

10. Se aR com a ≠ 0, então (a-1

)-1

= a.

11. Para todo aR, tem-se que a.0 = 0.

12. 0.0 = 0

13. Se a.b = 0, então a = 0 ou b = 0.

14. Para quaisquer aR e bR tem-se que (-a).b =-

(a.b).

15. Para quaisquer aR e bR tem-se que (-a) . (-

b) = a . b.

16. Para quaisquer aR e bR tem-se que a-1

.b-1

=

(b.a)-1

.

T


13

A RETA NUMERADA

Geometricamente, a reta real pode ser vista como

uma linha reta horizontal tendo a origem em um

ponto O. Ao marcar um outro ponto U,

determinamos um segmento de reta OU e assim o

sentido de O para U é tomado como positivo e o

sentido contrário como negativo.

___________O__________U___________

A origem O recebe o valor zero, que é o elemento

neutro da adição. O segmento OU deve medir uma

unidade, indicada por 1, que é o elemento neutro da

multiplicação.

___________0__________1___________

RELAÇÃO DE ORDEM SOBRE R

Construiremos agora uma relação de ordem. Para

dois números reais a e b, escrevemos a<b para

entender que "a é menor do que b". Esta mesma

relação pode ser escrita na forma b>a para

significar que "b é maior do que a". Esta situação

ocorre quando o número a está localizado à

esquerda do número b na reta numerada.

___________a__________b___________

Dizemos que c é positivo se c>0. Do ponto de vista

geométrico, c deve ser marcado à direita de 0.

___________0__________c___________

Esta relação de ordem satisfaz a uma série de

axiomas (objetos matemáticos que são aceitos sem

demonstração), conhecidos como axiomas de

ordem:

1. Tricotomia: Para quaisquer números reais a e

b, somente pode valer uma das três situações

abaixo:

a<b, ou a=b, ou a>b

2. Translação: Se a < b então a + c < b + c para

todo c em R.

______a______b______a+c____b+c______

3. Positividade: Se a<b e c>0 então a.c<b.c.

______a______b______a.c____b.c______

4. Transitividade: Se a<b e b<c, então a<c.

______a______b______c________

MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

O módulo (ou valor absoluto) de um número real a

é definido como o valor máximo entre a e -a,

denotado por:

|a| = max{a,-a}

Exemplo:

1. |0| = 0, |-7| = |7| = 7, |-a| = |a|, |a²| = a²

2. |a+b| ≠ |a|+|b|

3. |a-b| ≠ |a|-|b|

4. |a+b|² ≠ |a|²+|b|²+2|a||b|

DESIGUALDADES REAIS

Uma desigualdade em uma variável real x é uma

relação matemática de uma das formas abaixo:

f(x)<0, f(x)>0, f(x) ≤ 0, f(x) ≥ 0

onde f = f (x) é uma função real de variável real. As

duas primeiras desigualdades são estritas e as duas

últimas são não-estritas.

A desigualdade do tipo f(x) ≤ 0 é não-estrita e

equivale a duas relações: uma desigualdade estrita

f(x) < 0 e uma igualdade f(x) = 0.

Exemplos: Dos quatro tipos acima citados.

2x + 3 < 0, 2x + 3 > 0, 2x + 3 ≤ 0, 2x + 3 ≥ 0

MULTIPLICAÇÃO DE DESIGUALDADE

POR UM REAL

Ao multiplicar uma desigualdade por um número

real positivo, obtemos outra desigualdade

equivalente com o mesmo sinal que a primeira, mas

se multiplicarmos a desigualdade por um número

real negativo, a nova desigualdade terá o sinal

de<trocado por >.

Desigualdade Sinal Produto

f(x) < 0 a > 0 a.f(x) < 0

f(x) > 0 a > 0 a.f(x) > 0

f(x) ≤ 0 a > 0 a.f(x) ≤ 0

f(x) ≥ 0 a > 0 a.f(x) ≥ 0

Desigualdade Sinal Produto

f(x) < 0 a < 0 a.f(x) > 0

f(x) > 0 a < 0 a.f(x) < 0

f(x) ≥ 0 a < 0 a.f(x) ≤ 0

f(x) ≥ 0 a < 0 a.f(x) ≤ 0


14

CONJUNTO SOLUÇÃO DE UMA

DESIGUALDADE

Em uma desigualdade, o que interessa é obtermos o

conjunto solução, que é o conjunto de todos os

números reais para os quais vale a desigualdade.

Para a desigualdade f(x)<0, o conjunto solução será

dado por

S = {x R: f (x) < 0}

As outras três formas são semelhantes.

DESIGUALDADES EQUIVALENTES

Duas desigualdades são equivalentes se os seus

conjuntos soluções são iguais.

Exemplo: São equivalentes as desigualdades:

2x – 4 < 0 e 2 – x > 0

pois seus conjuntos soluções coincidem, isto é:

S = {x R: x < 2} = (- , 2]

Observação: Para construir o conjunto solução de

uma desigualdade da forma f(x)<0, devemos

garantir que os valores de x só podem pertencer ao

conjunto solução se estiverem no domínio de

definição da função f=f(x).

Exemplo: Consideremos a desigualdade (x-2)/x<0,

que aparece nos livros na forma:

Se cometermos o erro de multiplicar a

desigualdade acima por x (sem analisar o sinal de

x), obteremos x - 2 < 0 e chegaremos ao conjunto

S = {xR: x < 2} = (- , 2]

pois nesse caso, x = 0 pertence ao conjunto S mas

não pertence ao domínio da função real f(x) = (x-

2)/x.

Devemos então assumir que x=0 não pertence ao

conjunto solução desta desigualdade. Na sequência,

mostraremos como resolver corretamente esta

desigualdade.

SISTEMA DE DESIGUALDADES

Em sistemas matemáticos aplicados (por exemplo,

na área de otimização), é comum a ocorrência de

sistemas formados por várias desigualdades e nesse

caso, torna-se importante obter o conjunto solução

do sistema e não somente de uma das desigualdades

do sistema.

Exemplo: O conjunto solução que satisfaz às

desigualdades

2x-8 > 0 e x > 20

é S = {xR: x > 20} = (20,), que é a interseção

dos conjuntos soluções das duas desigualdades.

DESIGUALDADES DA MATEMÁTICA

Desigualdades triangulares: Para quaisquer

números reais a e b, tem-se que:

a. |a+b| ≤ |a|+|b|

b. |a-b| ≤ |a|+|b|

c. |a|-|b| ≤ |a-b|

d. ||a|-|b|| ≤ |a-b|

Desigualdades entre médias: Para quaisquer

números reais positivos a e b, tem-se que:

sendo que o termo à esquerda é a média harmônica,

o termo do meio é a média geométrica e o termo à

direita é a média aritmética entre a e b.

Para aprender mais sobre médias e desigualdades,

veja nossos links sobre Máximos e mínimos nesta

Página Matemática Essencial.

PRINCIPAIS TIPOS DE DESIGUALDADES

Existem alguns tipos mais comuns de desigualdades

com números reais. Na sequência, apresentaremos

as formas possíveis e os seus respectivos conjuntos

soluções para os seguintes tipos: Linear,

Quadrática, Fração linear, Produto de fatores,

Produto e quociente de fatores, uma forma

alternativa de Fração linear, Irracional, Modular e

Exponencial

DESIGUALDADE LINEAR

O nome linear provém do fato que a equação da

reta no plano, quase sempre pode ser escrita na

forma y=ax+b. Existem 8 tipos básicos de

desigualdades lineares

ax + b < 0, ax + b> 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0

cujos conjuntos soluções dependem fortemente da

solução (raiz) de ax+b=0.

Desigualdade Sinal Conjunto solução

ax+b<0 a>0 S=(-,-b/a)

ax+b>0 a>0 S=(-b/a, )

ax+b<0 a>0 S=(-,-b/a]


15

ax+b>0 a>0 S=[-b/a, )


ax+b<0 a<0 S=(-b/a, )

ax+b>0 a<0 S=(-,-b/a)

ax+b<0 a<0 S=[-b/a, )

ax+b>0 a<0 S=(-,-b/a]

DESIGUALDADE QUADRÁTICA

Dependendo dos valores dos coeficientes a, b e c de

uma equação quadrática ax2+bx+c=0, poderemos

ter duas raízes reais diferentes, apenas uma raiz real

dupla ou nenhuma raiz real. Este fato influencia

fortemente na obtenção do conjunto solução de uma

desigualdade quadrática. O símbolo significa

infinito e U é o símbolo de reunião de conjuntos.

Existem 24 tipos básicos distribuídos em 6 tabelas,

quando ax² + bx + c = 0

1. possui raízes reais r e s com r < s


ax²+bx+c<0 a>0 S=(r,s)

ax²+bx+c>0 a>0 S=(-,r)U(s, )

ax²+bx+c<0 a>0 S=[r,s]

ax²+bx+c>0 a>0 S=(-,r]U[s, )

2. possui somente a raiz real dupla r


ax²+bx+c<0 a>0 S={ }=

ax²+bx+c>0 a>0 S=(-,r)U(r, )

ax²+bx+c<0 a>0 S={r}

ax²+bx+c>0 a>0 S=(-,)

3. não possui raízes reais


ax²+bx+c<0 a>0 S={ }=

ax²+bx+c>0 a>0 S=(-,)

ax²+bx+c<0 a>0 S={ }=

ax²+bx+c>0 a>0 S=(-,)

4. possui raízes reais r e s com r<s


ax²+bx+c<0 a<0 S=(-,r)U(s,)

ax²+bx+c>0 a<0 S=(r,s)

ax²+bx+c<0 a<0 S=(,r]U[s, )

ax²+bx+c>0 a<0 S=[r,s]

5. possui somente a raiz real dupla r


ax²+bx+c<0 a<0 S=(-,r) U (r, )

ax²+bx+c>0 a<0 S=Ø

ax²+bx+c<0 a<0 S=(-,)

ax²+bx+c>0 a<0 S={r}

6. não possui raízes reais


ax²+bx+c<0 a<0 S=(-,)


ax²+bx+c<0 a<0 S=(-,)


DESIGUALDADE COM

FRAÇÃO LINEAR (I)

Uma desigualdade tem a forma de fração linear se

pode ser escrita em um dos quatro tipos básicos

Se c = 0 e d ≠ 0, estas frações se tornam casos

particulares de desigualdades lineares, razão pela

qual tomaremos c ≠ 0. Para obter o conjunto

solução, devemos eliminar a fração.

Estudaremos apenas a primeira desigualdade, pois

as outras são semelhantes. Consideremos


16

Sabemos que cx+d > 0 ou cx+d<0 ou cx+d=0. Se

cx+d=0 então x=-d/c não pertence ao conjunto

solução. Para os valores de x tal que cx+d é

diferente de zero, temos que (cx+d)²>0. Ao

multiplicar a fração linear por (cx+d)²>0,

eliminaremos a fração e passaremos a ter

(cx+d) (ax+b) < p (cx+d)²

Passando as expressões algébricas para o primeiro

membro, obteremos

(cx+d) [(ax+b) - p(cx+d)] < 0

que ainda pode ser escrita na forma

(cx+d) (mx+n) < 0

onde m=a-pc e n=b-pd. Após as simplificações

possíveis, obtemos uma desigualdade linear ou

quadrática, como o produto de dois fatores lineares.

DESIGUALDADE COM PRODUTO DE

FATORES LINEARES

Se uma desigualdade possui um produto de fatores

lineares, existe o método dos intervalos que facilita

a obtenção do conjunto solução. Iremos mostrar

com um exemplo como funciona este método.

Exemplo: Seja a desigualdade

2(x+3) (x-5) (x-7) > 0

Decompomos a desigualdade acima em três

desigualdades lineares, obter a raiz da expressão

algébrica de cada desigualdade linear, analisar o

sinal de cada uma delas separadamente e realizar o

"produto dos sinais". As raízes das equações

associadas às desigualdades lineares são r = -3, s =

5 e t = 7. A reta R será decomposta em 4 intervalos.

Desigualdade (-,-3) (-3,5) (5,7) (7,)

x+3 - + + +

x-5 - - + +

x-7 - - - +

Produto - + - +

Como o produto dos fatores deve ser positivo, o

conjunto solução é S = (-3,5) (7,).

DESIGUALDADE COM PRODUTO E

QUOCIENTE DE FATORES LINEARES

Quando uma desigualdade possui produtos,

divisões de fatores lineares, ou ambos, o método

dos intervalos facilita a obtenção do conjunto

solução. Mostraremos de novo com um exemplo


De novo, decompomos esta desigualdade em três

desigualdades lineares, obtemos a raiz de cada

expressão algébrica da desigualdade linear,

analisamos cada uma delas separadamente e

realizamos as operações de produto de sinais ou

divisão de sinais ou ambos

Desigualdade (-,-3) (-3,5) (5,7) (7, )

x+3 - + + +

x-5 - - + +

x-7 - - - +

Produto/Divisão - + - +

O conjunto solução é S = (-3,5) U (7, )

DESIGUALDADE COM

FRAÇÃO LINEAR (II)

Seja uma desigualdade que é uma fração linear,

como por exemplo

que pode ser escrita na forma

(cx + d) (mx + n) < 0

onde m=a–pc e n = b – pd. Os zeros da função

f(x) = (cx+d) (mx+n) = c.m.(x+d/c) (x+n/m)

são r=-d/c e s=-n/m. Admitindo que r<s e

analisando cada desigualdade separadamente e na

sequência realizando o "produto dos sinais"

Desigualdade (-,r) (r,s) (s, )

cx+d - + +

mx+n - - +

Produto + - +

Se c.m > 0 o conjunto solução será S = (r,s), mas se

c.m < 0 o conjunto solução deverá ser S = (-, r) U

(s, ).


17


Multiplicando a desigualdade acima por (3x+11)²,

obtemos:

(2x+7) (3x+11) < 2 (3x+11)²

isto é

(3x+11) [(2x+7) - 2(3x+11)] < 0

ou seja

(3x+11) (-4x-15) < 0

Pondo os números 3 e 4 em evidência, obtemos

-12 (x+11/3) (x+15/4) < 0

Multiplicando esta última desigualdade por -1/12,

obtemos

(x+11/3) (x+15/4) > 0

A função f(x) = (x+11/3) (x+15/4) se anula para

r = -11/3 e s = -15/4.

Desigualdade (-,-15/4) (-15/4,-11/3) (-11/3, )

x+11/3 - - +

x+15/4 - + +

Produto + - +

O conjunto solução é S = (-,-15/4) U (-11/3,).

DESIGUALDADE IRRACIONAL

É um tipo de desigualdade que contém expressões

algébricas sob um ou mais radicais. Existem muitas

situações possíveis, mas só usaremos o sinal<para

apresentar alguns casos

A raiz quadrada de um número real z>0, será

indicada por R[z], para reduzir a inserção de

gráficos na página.

Exemplo: O conjunto solução da desigualdade

R[2x+3]+R[x-3]<1 depende de trabalharmos um

pouco com os radicais. Passamos um dos radicais

para o segundo membro

R[2x+3] < 1-R[x-3]

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos

2x+3 < 1+(x-3)-2R[x-3]

Simplificando, obtemos

x+5 < -2R[x-3]

Elevamos de novo ao quadrado para obter uma

desigualdade quadrática (ou linear)

(x+5)² < 4(x-3)

Não continuaremos a análise deste exemplo, pois

este tipo já foi tratado antes.

Exemplo: O conjunto solução da desigualdade

deve ser obtido com cuidado. Não basta multiplicar

por x-2 e elevar ao quadrado, mas devemos

eliminar a fração, multiplicando toda a

desigualdade por (x-2)²

(x-2) R[x+6] 3 (x-2)²

Elevando os membros ao quadrado, obtemos

(x-2)²(x+6) 9 (x-2)4

Passando todas as expressões para o primeiro

membro, obtemos

(x-2)²[(x+6)- 9(x-2)²] 0

que pode escrito como

(x-2)²(9x² +37x -30) 0

Também não obteremos o conjunto solução, pois já

tratamos desse caso antes.

DESIGUALDADE MODULAR

É uma desigualdade com uma ou mais expressões

algébricas dentro de módulos. Também aqui existe

uma infinidade de situações possíveis, mas só

usaremos o sinal < para apresentar alguns casos

|f(x)| k, |f(x)| ± |g(x)| k, |f(x)| ± g(x) k

Exemplo: Obteremos o conjunto solução da

desigualdade

pela eliminação da fração ao multiplicar a

desigualdade por (x-2)²

(x-2) |x+6| 3 (x-2)²

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos

(x-2)² (x+6)² 9 (x-2)4

Passando todas as expressões algébricas para o

primeiro membro, obtemos

(x-2)² [(x+6)²- 9 (x-2)²] 0

que pode escrito como

(-x) (x-2)² (x-6) 0

Não mostraremos como obter o conjunto solução.


18

DESIGUALDADE EXPONENCIAL

São desigualdades onde aparecem funções nos

expoentes e as bases das potências devem ser

números positivos diferentes de 1, condição

importante, pois só podemos definir logaritmos

reais com as bases tendo tais valores. Existe uma

infinidade de casos, mas apenas apresentaremos

dois casos com o sinal >

ax b, a

f(x)

b

Exemplo: Podemos obter o conjunto solução da

desigualdade

24x-3

8

primeiro pela simplificação à forma

24x-3

2³

A função f(x)=log2(x), (logaritmo de x na base 2) é

crescente para todo x positivo e a sua aplicação a

ambos os membros da desigualdade, nos garante

que

4x-3 3

que é equivalente a

x 3/2

Assim, o conjunto solução é

S = {x em R: x 3/2}

Exemplo: Obtemos o conjunto solução da

desigualdade

2(x-3)(x-4)

> 1

pela aplicação da função logaritmo de base 2 a

ambos os membros da desigualdade. Dessa forma

(x-3) (x-4) > 0

O conjunto solução é S={x R: x < 3 ou x > 4}.

NÚMEROS COMPLEXOS

Introdução aos Nos

. complexos

Definição de número complexo

Elementos especiais

Operações básicas

Potências e curiosidade sobre i

O inverso de um no. complexo

Diferença e divisão de complexos

Representação geométrica

Módulo e argumento de complexo

Forma polar e sua multiplicação

Potências na forma polar

Raiz quarta de um complexo

Raiz n-ésima de um complexo

Número complexo como matriz

INTRODUÇÃO AOS NÚMEROS

COMPLEXOS

a resolução de uma equação algébrica, um

fator fundamental é o conjunto universo

que representa o contexto onde poderemos

encontrar as soluções. Por exemplo, se estivermos

trabalhando no conjunto dos números racionais, a

equação 2x+7=0, terá uma única solução dada por

x=-7/2. assim, o conjunto solução será:

S = { 7/2 }

mas, se estivermos procurando por um número

inteiro como resposta, o conjunto solução será o

conjunto vazio, isto é:

S = Ø = { }

De forma análoga, ao tentar obter o conjunto

solução para a equação x2+1=0 sobre o conjunto

dos números reais, obteremos como resposta o

conjunto vazio, isto é:

S = Ø = { }

o que significa que não existe um número real que

elevado ao quadrado seja igual a -1, mas se

seguirmos o desenvolvimento da equação pelos

métodos comuns, obteremos:

x = R[-1] =

onde R[-1] é a raiz quadrada do número real -1. Isto

parece não ter significado prático e foi por esta

razão que este número foi chamado imaginário, mas

o simples fato de substituir R[-1] pela letra i

(unidade imaginária) e realizar operações como se

estes números fossem polinômios, faz com que uma

série de situações tanto na Matemática como na

vida, tenham sentido prático de grande utilidade e

isto nos leva à teoria dos números complexos.

DEFINIÇÃO DE NÚMERO COMPLEXO

Número complexo é todo número que pode ser

escrito na forma

z = a + b i

onde a e b são números reais e i é a unidade

imaginária. O número real a é a parte real do

N


19

número complexo z e o número real b é a parte

imaginária do número complexo z, denotadas por:

a = Re(z) e b = Im(z)

Exemplos de tais números são apresentados na

tabela.

Número

complexo Parte real

Parte

imaginária

2 + 3 i 2 3

2 - 3 i 2 -3

2 2 0

3 i 0 3

-3 i 0 -3

0 0 0

Observação: O conjunto de todos os números

complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos

números reais pela letra R. Como todo número real

x pode ser escrito como um número complexo da

forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o

conjunto dos números reais está contido no

conjunto dos números complexos.

ELEMENTOS COMPLEXOS ESPECIAIS

1. Igualdade de números complexos: Dados os

números complexos z=a+bi e w=c+di,

definimos a igualdade entre z e w, escrevendo

z = w se, e somente se, a = c e b = d

Para que os números complexos z = 2 + yi e

w = c + 3i sejam iguais, deveremos ter que

c = 2 e y = 3.

2. Oposto de um número complexo: O oposto

do número complexo z = a + bi é o número

complexo denotado por –z =- (a+bi), isto é:

-z = Oposto(a+bi) = (-a) + (-b)i

O oposto de z = -2 + 3i é o número complexo

–z = 2 -3i.

3. Conjugado de um número complexo: O

número complexo conjugado de z = a + bi é o

número complexo denotado por z*=a-bi, isto é:

z* = conjugado (a+bi) = a + (-b)i

O conjugado de z = 2 – 3i é o número

complexo z* = 2 + 3i.

OPERAÇÕES BÁSICAS COM NÚMEROS

COMPLEXOS

Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di,

podemos definir duas operações fundamentais,

adição e produto, agindo sobre eles da seguinte

forma:

z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

z.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Observação: Tais operações lembram as operações

com expressões polinomiais, pois a adição é

realizada de uma forma semelhante, isto é: (a+bx) +

(c+dx) = (a+c) + (b+d)x e a multiplicação

(a+bx).(c+dx), é realizada através de um algoritmo

que aparece na forma:

a + b x

c + d x X

ac + bcx

adx + bdx²

ac + (bc+ad)x + bdx²

de forma que devemos substituir x2 por -1.

Exemplos:

1. Se z=2+3i e w=4-6i, então z+w=(2+3i)+(4-

6i)=6-3i.

2. Se z=2+3i e w=4-6i, então z.w=(2+3i).(4-6i)=-

4+0i.

POTÊNCIAS E CURIOSIDADE SOBRE A

UNIDADE IMAGINÁRIA

Potências de i: Ao tomar i=R[-1], temos uma

sequência de valores muito simples para as

potências de i:

Potência i2 i

3 i

4 i

5 i

6 i

7 i

8 i

9

Valor -1 -i 1 i -1 -i 1 i

Pela tabela acima podemos observar que as

potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4,

fornecem o resultado 1, logo toda potência de i

pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de

4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa

forma podemos calcular rapidamente qualquer

potência de i, apenas conhecendo o resto da divisão

do expoente por 4.

Exercício: Calcular os valores dos números

complexos: i402

, i4033

e i1998

. Como exemplo:

i402

=i400

.i2 = 1.(-1) = -1

Curiosidade geométrica sobre i: Ao pensar um

número complexo z=a+bi como um vetor z=(a,b)

no plano cartesiano, a multiplicação de um número

complexo z=a+bi pela unidade imaginária i, resulta

em um outro número complexo w=-b+ai, que forma


20

um ângulo reto (90 graus) com o número complexo

z=a+bi dado.

Exercício: Tomar um número complexo z,

multiplicar por i para obter z1=i.z, depois

multiplicar o resultado z1 por i para obter z2=i.z1.

Continue multiplicando os resultados obtidos por i

até ficar cansado ou então use a inteligência para

descobrir algum fato geométrico significativo neste

contexto. Após constatar que você é inteligente,

faça um desenho no plano cartesiano contendo os

resultados das multiplicações.

O INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Dado o número complexo z=a+bi, não nulo (a ou b

deve ser diferente de zero) definimos o inverso de z

como o número z-1

=u+iv, tal que

z . z-1

= 1

O produto de z pelo seu inverso z-1 deve ser igual a

1, isto é:

(a+bi).(u+iv) = (au-bv)+(av+bu)i = 1 = 1+0.i

o que nos leva a um sistema com duas equações e

duas incógnitas:

a u - b v = 1

b u + a v = 0

Este sistema pode ser resolvido pela regra de

Cramér e possui uma única solução (pois a ou b são

diferentes de zero), fornecendo:

u = a/(a2+b2)

v = -b/(a2+b2)

assim, o inverso do número complexo z=a+bi é:

Obtenção do inverso de um número complexo: Para

obter o inverso de um número complexo, por

exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se:

Escrever o inverso desejado na forma de uma

fração

Multiplicar o numerador e o denominador da fração

pelo conjugado de z

Lembrar que i2 = -1, simplificar os números

complexos pela redução dos termos semelhantes,

para obter

DIFERENÇA E DIVISÃO DE NÚMEROS

COMPLEXOS

Diferença de números complexos: A diferença entre

os números complexos z=a+bi e w=c+di é o

número complexo obtido pela soma entre z e -w,

isto é: z-w=z+(-w).

Exemplo: A diferença entre os complexos z=2+3i e

w=5+12i é z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-

9i.

Divisão de números complexos: A divisão entre os

números complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo)

é definida como o número complexo obtido pelo

produto entre z e w-1, isto é: z/w=z.w-1.

Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i

por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e o

denominador da fração z/w pelo conjugado de w:

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA

DE UM NÚMERO COMPLEXO

Um número complexo da forma z=a+bi, pode ser

representado do ponto de vista geométrico no plano

cartesiano, como um ponto (par ordenado)

tomando-se a abscissa deste ponto como a parte real

do número complexo a no eixo OX e a ordenada

como a parte imaginária do número complexo z no

eixo OY, sendo que o número complexo 0=0+0i é

representado pela própria origem (0,0) do sistema.

MÓDULO E ARGUMENTO DE

UM NÚMERO COMPLEXO

Módulo de um número complexo: No gráfico

anterior observamos que existe um triângulo

retângulo cuja medida da hipotenusa é a distância

da origem 0 ao número complexo z, normalmente

denotada pela letra grega ro nos livros, mas aqui

denotada por r, o cateto horizontal tem

comprimento igual à parte real a do número

complexo e o cateto vertical corresponde à parte

imaginária b do número complexo z.


21

Desse modo, se z=a+bi é um número complexo,

então r2=a2+b2 e a medida da hipotenusa será por

definição, o módulo do número complexo z,

denotado por |z|, isto é:

Argumento de um número complexo: O ângulo ø

formado entre o segmento OZ e o eixo OX, é

denominado o argumento do número complexo z.

Pelas definições da trigonometria circular temos as

três relações:

cos(ø)=a/r, sen(ø)/r, tan(ø)=b/a

Por experiência, observamos que é melhor usar o

cosseno ou o seno do ângulo para definir bem o

argumento, uma vez que a tangente apresenta

alguns problemas.

FORMA POLAR E SUA MULTIPLICAÇÃO

Forma polar de um número complexo: Das duas

primeiras relações trigonométricas apresentadas

anteriormente, podemos escrever:

z = a+bi = r cos(ø) + r i sen(ø) = r (cos ø + i sen ø)

e esta última é a forma polar do número complexo

z.

Multiplicação de complexos na forma polar:

Consideremos os números complexos:

z = r (cos m + i sen m)

w = s (cos n + i sen n)

onde, respectivamente, r e s são os módulos e m e n

são os argumentos destes números complexos z e

w.

Realizamos o produto entre estes números da forma

usual e reescrevemos o produto na forma:

z . w = r s [cos (m+n) + i sen (m+n)]

Este fato é garantido pelas relações:

cos(m+n) = cos(m) cos(n) - sen(m) sen(n)

sen(m+n) = sen(m) cos(n) + sen(n) cos(m)

POTÊNCIA DE UM NÚMERO COMPLEXO

NA FORMA POLAR

Seguindo o produto acima, poderemos obter a

potência de ordem k de um número complexo.

Como

z = r [cos(m) + i sen(m)]

então

zk = rk [cos(km) + i sen(km)]

Exemplo: Consideremos o número complexo

z=1+i, cujo módulo é a raiz quadrada de 2 e o

argumento é /4 (45 graus). Para elevar este

número à potência 16, basta escrever:

z16 = 28[cos(720o)+isen(720o)]=256

RAIZ QUARTA DE UM NÚMERO

COMPLEXO

Um ponto fundamental que valoriza a existência

dos números complexos é a possibilidade de extrair

a raiz de ordem 4 de um número complexo, mesmo

que ele seja um número real negativo, o que

significa, resolver uma equação algébrica do 4o.

grau. Por exemplo, para extrair a raiz quarta do

número -16, devemos obter as quatro raízes da

equação algébrica x4+16=0.

Antes de apresentar o nosso processo para a

obtenção da raiz quarta de um número complexo w,

necessitamos saber o seu módulo r e o seu

argumento t, o que significa poder escrever o

número complexo na forma polar:

w = r (cos t + i sen t)

O primeiro passo é realizar um desenho mostrando

este número complexo w em um círculo de raio r e

observar o argumento t, dado pelo angulo entre o

eixo OX e o número complexo w.

O passo seguinte é obter um outro número

complexo z(1) cujo módulo seja a raiz quarta de r e

cujo argumento seja t/4. Este número complexo é a

primeira das quatro raizes complexas procuradas.

z(1) = r1/4 [cos(t/4)+isen(t/4)]

As outras raízes serão:

z(2) = i z(1)

z(3) = i z(2)

z(4) = i z(3)

Todas aparecem no gráfico, mas observamos que

este processo para obter as quatro raízes do número

complexo w ficou mais fácil pois temos a

propriedade geométrica que o número complexo i

multiplicado por outro número complexo, roda este

último de 90 graus e outro fato interessante é que

todas as quatro raízes de w estão localizadas sobre a

mesma circunferência e os ângulos formados entre

duas raízes consecutivas é de 90 graus.


22

Se os quatro números complexos forem ligados,

aparecerá um quadrado rodado de t/4 radianos em

relação ao eixo OX.

Raiz n-ésima de um número complexo

Existe uma importantíssima relação atribuída a

Euler:

ei.t

= cos(t) + i sen(t)

que é verdadeira para todo argumento real e a

constante e tem o valor aproximado 2,71828... Para

facilitar a escrita usamos frequentemente:

exp(i t) = cos(t) + i sen(t)

Observação: A partir da relação de Euler, é

possível construir uma relação notável envolvendo

os mais importantes sinais e constantes da

Matemática:

Voltemos agora à exp(it). Se multiplicarmos o

número eit por um número complexo z, o resultado

será um outro número complexo rodado de t

radianos em relação ao número complexo z.

Por exemplo, se multiplicarmos o número

complexo z por exp(i/8)=cos(/8)+i sen(/8),

obteremos um número complexo z(1) que forma

com z um ângulo /8=22,5graus, no sentido anti-

horário.

Iremos agora resolver a equação xn=w, onde n é um

número natural e w é um número complexo dado.

Da mesma forma que antes, podemos escrever o

número complexo w=r(cos t+i sent) e usar a relação

de Euler, para obter:

w = r eit

Para extrair a raiz n-ésima, deve-se construir a

primeira raiz que é dada pelo número complexo

z(1) = r1/n

eit/n

Todas as outras n-1 raízes serão obtidas pela

multiplicação recursiva dada por:

z(k) = z(k-1) e2i

0/n

onde k varia de 2 até n.

Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação

x8=-64, observamos a posição do número complexo

w=-64+0i, constatando que o seu módulo é igual a

64 e o argumento é igual a radianos (=180 graus).

Aqui, a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento

da primeira raiz é /8, então z(1) pode ser escrita na

forma polar:

z(1)=2 ei/8

= 2(cos 22,5o+i sen 22,5

o) = R[2](1+i)

onde R[2] é a raiz quadrada de 2. Obtemos as

outras raízes pela multiplicação do número

complexo abaixo, através de qualquer uma das

formas:

e2i/8

=2(cos45o+i sen 45

o) = R[2](1+i)/2=0,707(1+i)

Assim:

z(2) = z(1) R[2](1+i)/2

z(3) = z(2) R[2](1+i)/2

z(4) = z(3) R[2](1+i)/2

z(5) = z(4) R[2](1+i)/2

z(6) = z(5) R[2](1+i)/2

z(7) = z(6) R[2](1+i)/2

z(8) = z(7) R[2](1+i)/2

Exercício: Construa no sistema cartesiano os 8

números complexos e ligue todas as raízes

consecutivas para obter um octógono regular

rodado de 22,5 graus em relação ao eixo OX. Tente

comparar este método com outros que você

conhece e realize exercícios para observar como

aconteceu o aprendizado.

NÚMERO COMPLEXO COMO MATRIZ

Existe um estudo sobre números complexos, no

qual um número complexo z=a+bi pode ser tratado

como uma matriz quadrada 2x2 da forma:

e todas as propriedades dos números complexos,

podem ser obtidas através de matrizes, resultando

em processos que transformam as características

geométricas dos números complexos em algo

simples.


23

NÚMEROS RACIONAIS

Relacionando nos

racionais e frações

Dízima periódica

Números racionais e reais

Geratriz de dízima periódica

Números irracionais

Representação, ordem, simetria

Módulo de um número racional

Adição de números racionais

Produto de números racionais

Propriedade distributiva

Potências de números racionais

Raízes de números racionais

Médias aritmética e ponderada

Médias geométrica e harmônica

RELACIONANDO NÚMEROS

RACIONAIS COM FRAÇÕES

Um número racional é o que pode ser escrito na

forma

onde m e n são números inteiros, sendo que n deve

ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero.

Frequentemente usamos m/n para significar a

divisão de m por n. Quando não existe

possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma

letra como q para entender que este número é um

número racional.

Como podemos observar, números racionais podem

ser obtidos através da razão (em Latim:

ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números

inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os

números racionais é denotado por Q. Assim, é

comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o

conjunto dos números racionais positivos e Q_ o

conjunto dos números racionais negativos. O

número zero é também um número racional.

No nosso link Frações já detalhamos o estudo de

frações e como todo número racional pode ser posto

na forma de uma fração, então todas as

propriedades válidas para frações são também

válidas para números racionais. Para simplificar a

escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais

para nos referirmos aos números racionais.

DÍZIMA PERIÓDICA

Uma dízima periódica é um número real da forma:

m,npppp...

onde m, n e p são números inteiros, sendo que o

número p se repete indefinidamente, razão pela qual

usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte

que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra

sobre o período ou uma barra debaixo do período

ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa

facilidade de escrita na montagem desta Página,

usaremos o período sublinhado.

Exemplos: Dízimas periódicas

1. 0,3333333... = 0,3

2. 1,6666666... = 1,6

3. 12,121212... = 12,12

4. 0,9999999... = 0,9

5. 7,1333333... = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal

é formada apenas pelo período. Alguns exemplos

são:

1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3

2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma

parte que não se repete entre a parte inteira e o

período. Por exemplo:

1. 0,83333333... = 0,83

2. 0,72535353... = 0,7253

Uma dízima periódica é uma soma infinita de

números decimais. Alguns exemplos:

1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...

2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...

3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...

A conexão entre números racionais e números reais

Um fato importante que relaciona os números

racionais com os números reais é que todo número

real que pode ser escrito como uma dízima

periódica é um número racional. Isto significa que

podemos transformar uma dízima periódica em uma

fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado

na sequência com alguns exemplos numéricos. Para

pessoas interessadas num estudo mais aprofundado

sobre a justificativa para o que fazemos na

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/racionais.htm#m106b13

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/racionais.htm#m106b14


24

sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries

geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo

estudar números racionais do ponto de vista do

Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na

Reta no âmbito do Ensino Superior.

A GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA

Dada uma dízima periódica, qual será a fração que

dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um

número racional denominado a geratriz da dízima

periódica. Para obter a geratriz de uma dízima

periódica devemos trabalhar com o número dado

pensado como uma soma infinita de números

decimais. Para mostrar como funciona o método,

utilizaremos diversos exemplos numéricos.

1. Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é,

S=0,3. Observe que o período tem apenas 1

algarismo. Iremos escrever este número como

uma soma de infinitos números decimais da

forma:

S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o

período tem 1 algarismo), obteremos:

10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões

que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penúltima

expressão da última, obtemos:

10 S - S = 3

donde segue que

9 S = 3

Simplificando, obtemos:

Exercício: Usando o mesmo argumento que antes,

você saberia mostrar que:

0,99999... = 0,9 = 1

2. Vamos tomar agora a dízima periódica

T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o

período tem agora 2 algarismos. Iremos

escrever este número como uma soma de

infinitos números decimais da forma:

T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100

(o período tem 2 algarismos), obteremos:

100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

Observe que são iguais as duas últimas

expressões que aparecem em cor vermelha,

assim:

100 T = 31 + T

de onde segue que

99 T = 31

e simplificando, temos que

3. Um terceiro tipo de dízima periódica é

T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe

um número com 1 algarismo após a vírgula

enquanto que o período tem também 1

algarismo. Escreveremos este número como

uma soma de infinitos números decimais da

forma:

R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um

número comum e passe a parte que não se

repete para o primeiro membro para obter:

R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10

(o período tem 1 algarismo), para obter:

10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...


expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima

expressão da última para obter:

10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8

Assim:

10R - 71 - R + 7,1 = 0,8

Para evitar os números decimais,

multiplicamos toda a expressão por 10 e

simplificamos para obter:

90 R = 647

Obtemos então:

4. Um quarto tipo de dízima periódica é

T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe

que o período tem 3 algarismos, sendo que os

dois primeiros são iguais a zero e apenas o

terceiro é não nulo. Decomporemos este

número como uma soma de infinitos números

decimais da forma:

U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um

número comum e passe a parte que não se

repete para o primeiro membro para obter:

U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...


25

Multiplique agora a soma "infinita" por

10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para

obter:

1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 +

0,004004004 +...


expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraia membro a membro a penúltima

expressão da última para obter:

1000(U-7) - (U-7) = 4

Assim:

1000U - 7000 - U + 7 = 4

Obtemos então

999 U = 6997

que pode ser escrita na forma:

NÚMEROS IRRACIONAIS

Um número real é dito um número irracional se ele

não pode ser escrito na forma de uma fração ou

nem mesmo pode ser escrito na forma de uma

dízima periódica.

Exemplo: O número real abaixo é um número

irracional, embora pareça uma dízima periódica:

x=0,10100100010000100000...

Observe que o número de zeros após o algarismo 1

aumenta a cada passo. Existem infinitos números

reais que não são dízimas periódicas e dois números

irracionais muito importantes, são:

e = 2,718281828459045...,

Pi = 3,141592653589793238462643...

que são utilizados nas mais diversas aplicações

práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros

de gravidade, previsão populacional, etc...

Exercício: Determinar a medida da diagonal de um

quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado

numérico é um número irracional e pode ser obtido

através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz

quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para

simplificar as notações estranhas.

REPRESENTAÇÃO, ORDEM E

SIMETRIA DOS RACIONAIS

Podemos representar geometricamente o conjunto

Q dos números racionais através de uma reta

numerada. Consideramos o número 0 como a

origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a

unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e

por os números racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem

que os números racionais obedecem é crescente da

esquerda para a direita, razão pela qual indicamos

com uma seta para a direita. Esta consideração é

adotada por convenção, o que nos permite pensar

em outras possibilidades.

Dizemos que um número racional r é menor do que

outro número racional s se a diferença r-s é

positiva. Quando esta diferença r-s é negativa,

dizemos que o número r é maior do que s. Para

indicar que r é menor do que s, escrevemos:

r < s

Do ponto de vista geométrico, um número que está

à esquerda é menor do que um número que está à

direita na reta numerada.

Todo número racional q exceto o zero, possui um

elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é

caracterizado pelo fato geométrico que tanto q

como -q estão à mesma distância da origem do

conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que:

(a) O oposto de 3/4 é -3/4.

(b) O oposto de 5 é -5.

Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona

como a imagem virtual de algo colocado na frente

de um espelho que está localizado na origem. A

distância do ponto real q ao espelho é a mesma que

a distância do ponto virtual -q ao espelho.

MÓDULO DE UM NÚMERO RACIONAL

O módulo ou valor absoluto de um número racional

q é maior valor entre o número q e seu elemento

oposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras

verticais | |, por:

|q| = max{-q,q}

Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um

número racional q é a distância comum do ponto q

até a origem (zero) que é a mesma distância do

ponto -q à origem, na reta numérica racional.

A SOMA (ADIÇÃO) DE NÚMEROS

RACIONAIS

Como todo número racional é uma fração ou pode

ser escrito na forma de uma fração, definimos a

adição entre os números racionais a/b e c/d, da

mesma forma que a soma de frações, através de:


26

Propriedades da adição de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de

adição, isto é, a soma de dois números racionais

ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a + b = b + a

Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a

todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q + 0 = q

Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em

Q, tal que

q + (-q) = 0

Subtração de números racionais: A subtração de

dois números racionais p e q é a própria operação

de adição do número p com o oposto de q, isto é:

p - q = p + (-q)

Na verdade, esta é uma operação desnecessária no

conjunto dos números racionais.

A MULTIPLICAÇÃO (PRODUTO)

DE NÚMEROS RACIONAIS

Como todo número racional é uma fração ou pode

ser escrito na forma de uma fração, definimos o

produto de dois números racionais a/b e c/d, da

mesma forma que o produto de frações, através de:

O produto dos números racionais a e b também

pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab

sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais,

devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale

em toda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)

(+1) × (-1) = (-1)

(-1) × (+1) = (-1)

(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois

números com o mesmo sinal é positivo, mas o

produto de dois números com sinais diferentes é

negativo.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE

NÚMEROS RACIONAIS

Fecho: O conjunto Q é fechado para a

multiplicação, isto é, o produto de dois números

racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a × b = b × a

Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado

por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q × 1 = q

Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q

diferente de zero, existe q-1

=b/a em Q, tal que

q × q-1

= 1

Esta última propriedade pode ser escrita como:

Divisão de números racionais: A divisão de dois

números racionais p e q é a própria operação de

multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:

p ÷ q = p × q-1

Provavelmente você já deve ter sido questionado:

Porque a divisão de uma fração da forma a/b por

outra da forma c/d é realizada como o produto da

primeira pelo inverso da segunda?

A divisão de números racionais esclarece a questão:

Na verdade, a divisão é um produto de um número

racional pelo inverso do outro, assim esta operação

é também desnecessária no conjunto dos números

racionais.

PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA (MISTA)

Distributiva: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS

RACIONAIS

A potência qn do número racional q é um produto

de n fatores iguais. O número q é denominado a

base e o número n é o expoente.

qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:


27

a) (2/5)³ = (2/5) (2/5) × (2/5) = 8/125

b) (-1/2)³ = (-1/2) × (-1/2) × (-1/2) = -1/8

c) (-5)² = (-5) × (-5) = 25

d) (+5)² = (+5) × (+5) = 25

Observação: Se o expoente é n=2, a potência q²

pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o

expoente é n=3, a potência q³ pode ser lida como: q

elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área

do quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a

medida do lado do quadrado e o volume do cubo

pode ser obtido por V=q³ onde q é a medida da

aresta do cubo.

RAÍZES DE NÚMEROS RACIONAIS

A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número

racional q é a operação que resulta em um outro

número racional r que elevado à potência n fornece

o número q. O número n é o índice da raiz enquanto

que o número q é o radicando (que fica sob o

estranho sinal de radical).

Leia a observação seguinte para entender as razões

pelas quais evito usar o símbolo de radical neste

trabalho. Assim:

r = Rn[q] equivale a q = r

n

Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não

implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a

raiz n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2,

simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem

2) de um número racional q por R[q].

A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número

racional q é a operação que resulta em um outro

número racional r não negativo que elevado ao

quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.

Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números

racionais.

Exemplos:

a) R³[125] = 5 pois 5³=125.

b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.

c) R[144] = 12 pois 12²=144.

d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um

número racional negativo no conjunto dos números

racionais. A existência de um número cujo

quadrado seja igual a um número negativo só será

estudada mais tarde no contexto dos Números

Complexos.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais

didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o

aparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Não existe um número racional não negativo que

multiplicado por ele mesmo resulte em um número

negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional

q é a operação que resulta na obtenção de um um

outro número racional que elevado ao cubo seja

igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos

cálculos são válidos para números positivos,

negativos ou o próprio zero.

Exemplos:

a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.

b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.

c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.

d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a

multiplicação de números racionais, concluímos

que:

1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de

número racional negativo.

2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível

extrair a raiz de qualquer número racional.

MÉDIA ARITMÉTICA E MÉDIA

PONDERADA

Média aritmética: Seja uma coleção formada por n

números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média

aritmética entre esses n números é a soma dos

mesmos dividida por n, isto é:

Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:

12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33

então a idade média do grupo pode ser calculada

pela média aritmética:

o que significa que a idade média está próxima de

39 anos.

Média aritmética ponderada: Consideremos uma

coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3,

..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um

peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ...,

pn. A média aritmética ponderada desses n números

é a soma dos produtos de cada um por seu peso,

dividida por n, isto é:


28

Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha

(com salário por dia), em uma empresa é formado

por sub-grupos com as seguintes características:

12 ganham R$ 50,00

10 ganham R$ 60,00

20 ganham R$ 25,00

15 ganham R$ 90,00

7 ganham R$ 120,00

Para calcular a média salarial (por dia) de todo o

grupo devemos usar a média aritmética ponderada:

MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA

Média geométrica: Consideremos uma coleção

formada por n números racionais não negativos: x1,

x2, x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n

números é a raiz n-ésima do produto entre esses

números, isto é:

G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]

Exemplo: A a média geométrica entre os números

12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013

Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com

a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo

perímetro é o menor possível, isto é, o mais

econômico? A resposta a este tipo de questão é

dada pela média geométrica entre as medidas do

comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida

desejada.

G = R[a × b] = R[64] = 8

Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8

cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo

só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é

p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as

medidas dos comprimentos forem diferentes das

alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica: A média geométrica entre

dois segmentos de reta pode ser obtida

geometricamente de uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um

segmento de reta que contenha a junção dos

segmentos AB e BC, de forma que eles formem

segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC.

Obtenha o ponto médio O deste segmento e com

um compasso centrado em O e raio OA, trace uma

semi-circunferencia começando em A e terminando

em C. O segmento vertical traçado para cima a

partir de B encontrará o ponto D na semi-

circunferência. A medida do segmento BD

corresponde à média geométrica das medidas dos

segmentos AB e BC.

Média harmônica: Seja uma coleção formada por

n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A

média harmônica H entre esses n números é a

divisão de n pela soma dos inversos desses n

números, isto é:

Aplicações práticas: Para as pessoas interessados

em muitas aplicações do conceito de harmônia,

média harmônica e harmônico global, visite o nosso

link Harmonia.


29

ÁLGEBRA BÁSICA - POTENCIAÇÃO

Para indicar que um número está elevado à uma

potencia qualquer, colocamos esta potência

como expoente. Veja o exemplo.

5 elevado à potência 4

54

Quando dizemos que um número qualquer está

"elevado à potencia 4", por exemplo, estamos

dizendo que este número será multiplicado por ele

mesmo 4 vezes. Vamos desenvolver o exemplo

acima:

54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625

Veja mais exemplos:

29 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 512

33 = 3 · 3 · 3 = 27

82 = 8 · 8 = 64

Genericamente podemos representar uma potência:

Onde chamamos "X" de base e "n" de "expoente"

ou "potência".

Com esta definição de potenciação, podemos

efetuar algumas continhas utilizando estas

potências. Por exemplo, podemos multiplicar 53 por

59. Veja na próxima página como fazer isso...

Quando estivermos operando uma equação,

diversas vezes encontraremos potências envolvidas

no meio do cálculo.

Existem algumas regras que nos ajudam a mexer

com estas potências.

Irei mostrar as propriedades uma a uma. Sempre

ilustrando com um exemplo para tentar

"demonstrar" de onde veio a regra.

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS

DE MESMA BASE

Esta é a primeira

propriedade pois é a

mais utilizada de

todas.

Por exemplo, se

aparecer o número 54

multiplicado por 53,

Esta é a operação que

queremos efetuar.

Vamos abrir a potência

Agora veja que esta

multiplicação é igual à 5

elevado à potência sete.

Este 7 veio da soma dos

4 fatores de 54 com os 3

fatores de 53

Daqui nós tiramos a

regra para qualquer

multiplicação de

potências com mesma

base.

Conserva-se a base e

soma-se o expoente.

Genericamente temos:

Esta é a regra. "X" pode

ser qualquer número

(real, imaginário...), que

a regra continuará

valendo.


soma-se os expoentes.

É muito importante

entendê-la, pois é muito

utilizada.

Note que a base deve ser

a mesma nos fatores, e

ela que aparecerá no

produto.


30

DIVISÃO DE POTÊNCIAS

DE MESMA BASE

O mesmo raciocínio

mostrado para a

multiplicação, pode

ser aplicado para a

divisão.

O exemplo será 126

divididos por 122:

Esta é a divisão que

queremos efetuar.

Vamos novamente abrir

a potência.

Agora podemos cortar

os termos semelhantes

que estão acima e

abaixo da fração.

Portanto podemos

cortar dois fatores 12 de

cima com dois fatores

12 de baixo.

Ao cortar, estaremos

retirando 2 unidades da

potência de cima. Estas

duas unidades são

referentes ao expoente

2 da potência de baixo.

Veja que esta

multiplicação é igual à

124, isto nos dá a regra

para qualquer divisão

de potências com

mesma base.


subtrai-se os expoentes.

Genericamente, temos:

Novamente, "X" pode

ser qualquer número

(real, imaginário...) que

a regra ainda vale. Estas

são as duas regras mais

utilizadas.

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE

MESMO EXPOENTE

Até agora vimos

multiplicação e divisão

com termos de mesma

base. E quando não

tiver mesma base??? O

que podemos fazer?

Só podemos efetuar

uma operação quando

tivermos mesma base

ou mesmo expoente. O

que vamos ver agora é

justamente o segundo

caso: expoentes iguais.

O exemplo será

65multiplicados por 9

5:

Este é o exemplo.

Agora vamos abrir as

potências.

Qualquer multiplicação

tem a propriedade de

comutatividade, ou

seja, se invertermos a

ordem de multiplicação

o valor não se altera.

Então vamos colocar

esta multiplicação em

outra ordem.

Agora temos a

multiplicação 6 · 9

aparecendo 5 vezes.

Então

E esta propriedade

podemos aplicar para

qualquer número.

Conserva-se o expoente

e multiplica-se a base.

Generalizando:


31

Os números "X" e "Y"

podem ser quaisquer

números do conjunto

dos complexos.

DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO

EXPOENTE

O mesmo raciocínio

mostrado para a

multiplicação, pode

ser aplicado para a

divisão.

O exemplo será 84

divididos por 54:

Este é o exemplo que

iremos usar. Vamos

abrir as potências.

Como temos

multiplicação em cima

e em baixo da fração,

podemos separar em 4

frações multiplicadas

uma pela outra.

E isto é a fração

elevado na potência 4.

E esta propriedade pode

se aplicar para

quaisquer números do

conjunto dos

complexos.

Generalizando,

Os números "X" e "Y"

podem ser quaisquer

números do conjunto

dos números

complexos.

Conserva-se o expoente

e divide-se as bases.

POTÊNCIA DE POTÊNCIA

Já vimos as principais

propriedades de operações.

Agora vamos ver quando

tivermos uma potência de

um número que já tem uma

potência. Veja o exemplo:

(42)

3

O que devemos fazer?

Vamos desenvolver este

exemplo:

Vamos abrir a potência

de dentro do parênteses

Agora a potência fora

do parênteses diz que

devemos multiplicar o

que tem dentro do

parênteses três vezes,

E isso nos dá a potência

46. E agora tiramos

outra regra para

potências.

Generalizando, ficamos

com:

Onde "a" e "b" podem

ser quaisquer números

do conjunto dos

complexos.

Potência de potência,

multiplica-se os

expoentes.


32

ATENÇÃO

Quando tivermos um número negativo elevado numa potência, devemos tomar a seguinte

precaução, veja os exemplo:

(-5)2 = (-5) · (-5) = +25

(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16

Note, então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este se

comporta como se fosse positivo, pois na multiplicação "menos com menos dá mais":

(-5)2 = 52 = 25

(-2)4 = 24 = 16

Se "k" for PAR (-X)k = X

k

E se tivermos um expoente ímpar?

(-5)3 = (-5) · (-5) · (-5) Se pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos (-5)

2 =

+ 25, substituindo ao lado:

(-5)3 = 25·(-5)=-125 Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer

expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta

PEGA-RATÃO

(-5)2 é totalmente diferente de -5

2 . No primeiro caso o sinal de menos também está

elevado ao quadrado, então a resposta é +25. Já no segundo caso, o menos não está

elevado ao quadrado, somente o 5, portanto a resposta é -25.

Para representar números muito grandes ou até

mesmo efetuar cálculos com eles, é utilizado

potências com algumas bases fixas. Uma das bases

mais utilizadas é a base DEZ.

ÁLGEBRA BÁSICA – POTÊNCIA

DE BASE DEZ

Como foi dito no início, podemos ter qualquer tipo

de base para uma potência. Em certos casos é muito

utilizado a escrita na forma de "BASE DEZ". Que é

o que iremos estudar neste tópico.

Vamos começar mostrando uma propriedade

SUPER básica de uma multiplicação de um número

qualquer por 10.

5 x 10 = 50

52 x 10 = 520

458 x 10 = 4580

30 x 10 = 300

Note que sempre que multiplicamos qualquer

número inteiro por 10, acrescentamos um zero à

direita deste número e obtemos o resultado, não

interessa por quais e por quantos algarismos é

formado este número.

Vamos pegar o número 256 e multiplicá-lo por 10

três vezes:

256 x 10 = 2560

2560 x 10 = 25600

25600 x 10 = 256000

Ao multiplicar por 10 três vezes, acrescentamos três

zeros à direita do número.

Veja que o número 256000 pode ser escrito como

256 x 10 x 10 x 10. Ou seja:

256000 = 256 x 10 x 10 x 10

Aplicando potênciação na multiplicação do 10,

temos:

256000 = 256 x 103

Bom, este exemplo não foi muito satisfatório, pois

escrever 256000 ou 256 x 103 acaba dando o

mesmo trabalho. Mas veja agora o número abaixo:

12450000000000000000000000000000

Para representá-lo em uma forma mais compacta,

utilizaremos a potência de base DEZ:

12450000000000000000000000000000 = 1245 x 1028


33

Note que para este tipo de número, o expoente da

base 10 será igual ao número de zeros à direita que

existem no número a ser representado.

Potências de base DEZ também são utilizadas para

"movimentar a vírgula" de um número decimal.

Vamos ver agora uma outra propriedade básica de

DIVISÃO por 10.

5 ÷ 10 = 0,5

52 ÷ 10 = 5,2

458 ÷ 10 = 45,8

30 ÷ 10 = 3,0

Note que ao dividir por 10, o resultado será

composto pelos algarismos do dividendo (número a

ser dividido), sendo que este resulta

do terá um destes algarismos DEPOIS da vírgula.

Número sem virgular

254 ÷ 10 = 25,4

Resultado tem os mesmos algarismos, com UM

algarismo APÓS a vírgula.

Agora, se pegarmos este resultado e dividirmos

novamente por 10. O que irá acontecer? Veja o

quadro abaixo:

Número a ser dividido

25,4 ÷ 10 = 2,54

Resultado tem os mesmos algarismos, só que

agora com DOIS algarismos APÓS a vírgula.

Note que cada vez que dividimos por 10, a vírgula

"se movimenta" uma casa para esquerda. Vamos

dividir novamente para confirmar.

Número a ser dividido

2,54 ÷ 10 = 0,254

Resultado tem os mesmos algarismos, agora com

TRÊS algarismos APÓS a vírgula. Como o

número só tinha três algarismos, colocamos um

zero à esquerda, para não ficar ,254

Portanto, podemos dizer que 0,254 é igual a 254

dividido por 10 três vezes, ou seja:

Aqui devemos ver que, dividir um número por 10 é

a mesma coisa que multiplicar pela fração .

Aplicando esta propriedade:

Agora, aplicando as propriedades de potênciação:

Esta notação (forma de apresentar o valor) é

também chamada de notação científica. Para

números extremamenta pequenos ou absurdamente

grandes é muito utilizada.

Continuando no exemplo acima. Se multiplicarmos

por 10, iremos desfazer a "movimentação" para

esquerda, ou seja, a vírgula irá "se movimentar"

para direita.

0,254 x 10 = 2,54

Então, se multiplicarmos por 10 três vezes,

voltaremos para 254:

0,254 x 10 x 10 x 10 = 254

0,254 x 103 = 254

RESUMÃO

Quando temos um número multiplicado por uma

potência de base 10 positiva, indica que iremos

"aumentar" o número de zeros à direita ou

"movimentar" para direita a vírgula tantas casas

quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns

exemplos:

54 x 105 = 5400000

Acrescentamos 5 zeros à direita do 54

2050 x 102 = 205000

Acrescentamos 2 zeros à direita do 2050

0,00021 x 104 = 2,1

"Movimentamos" a vírgula 4 casas para direita

0,000032 x 103 = 0,032

"Movimentamos" a vírgula 3 casas para direita

54 x 10 – 5 = 0,00054

"Movimentamos" a vírgula 5 casas para esquerda

2050 x 10-2 = 20,5

"Movimentamos" a vírgula 2 casas para esquerda.

Lembrando que 20,5 = 20,50

0,00021 x 10 – 4 = 0,000000021


0,000032 x 10-3 = 0,000000032


32500000 x 10-4 = 3250

"Diminuimos" 4 zeros que estavam à direita


34

Quando temos um número multiplicado por uma

potência de base 10 negativa, indica que iremos

"diminuir" o número de zeros à direita ou

"movimentar" a vírgula para esquerda tantas casas

quanto indicar o expoente da base 10. Veja alguns

exemplos:

Agora vamos mostrar um exemplo de uso desta

matéria:

– Calcule o valor de :

– Primeiro de tudo vamos colocar todos números

em notação científica (potências de base DEZ):

– Vamos organizar os termos, para facilitar o

cálculo:

– Agora ficou fácil. É só calcular o lado direito da

multiplicação e aplicar as propriedades de

potênciação no lado esquerdo para calcular.

Fazendo isso, temos:

1024 x 10-1 = 102,4

FRAÇÕES

Histórico sobre frações

Frações

Construindo frações

Definição de fração

Leitura de frações

Tipos de frações

Propriedades fundamentais

Fração=classe de equivalência

Número misto

Simplificação de frações

Comparação de frações

Divisão de frações

ELEMENTOS HISTÓRICOS

SOBRE FRAÇÕES

Há 3000 antes de Cristo, os geômetras dos faraós

do Egito realizavam marcação das terras que

ficavam às margens do rio Nilo, para a sua

população. Mas, no período de junho a setembro, o

rio inundava essas terras levando parte de suas

marcações. Logo os proprietários das terras tinham

que marcá-las novamente e para isso, eles

utilizavam uma marcação com cordas, que seria

uma espécie de medida, denominada estiradores de

cordas.

As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e

assim verificavam quantas vezes aquela unidade de

medida estava contida nos lados do terreno, mas

raramente a medida dava correta no terreno, isto é,

não cabia um número inteiro de vezes nos lados do

terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de

criar um novo tipo de número - o número

fracionário, onde eles utilizavam as frações.

Introdução ao conceito de fração

Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como

por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes

que não são do mesmo tamanho.

Logo isso daria uma grande confusão, pois quem

ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a

parte menor? É lógico que alguém sairia no

prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos

comprar chocolate. Eles compraram duas barras de

chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a

comer quando chegou uma de suas melhores

amigas e vieram as perguntas: Quem daria um

pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho

do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte

conclusão:

Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um

daria metade do chocolate para a amiga.

Você concorda com esta divisão? Por quê?

Como você poderia resolver esta situação para

que todos comessem partes iguais?

O que você acha desta frase: Quem parte e

reparte e não fica com a melhor parte, ou é

bobo ou não tem arte.


35

ELEMENTOS GERAIS PARA A

CONSTRUÇÃO DE FRAÇÕES

Para representar os elementos que não são tomados

como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o

objeto matemático denominado fração.

O conjunto dos números naturais, algumas vezes

inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que

zero foi um número criado para dar significado nulo

a algo. Nesse momento o conjunto N será

representado por:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Logo, todos os números naturais representam partes

inteiras.

Os números que não representam partes inteiras,

mas que são partes de inteiros, constituem os

números racionais não-negativos, aqui

representados por Q+, onde esta letra Q significa

quociente ou divisão de dois números inteiros

naturais.

Q+ = { 0,..., 1/4,..., 1/2,..., 1,...,2,... }

Numeral: Relativo a número ou indicativo de

número.

Número: Palavra ou símbolo que expressa

quantidade.

DEFINIÇÃO DE FRAÇÃO

Os numerais que representam números racionais

não-negativos são chamados frações e os números

inteiros utilizados na fração são chamados

numerador e denominador, separados por uma linha

horizontal ou traço de fração.

onde Numerador indica quantas partes são tomadas

do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito

sobre o traço de fração e Denominador indica em

quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este

número inteiro deve necessariamente ser diferente

de zero.

Observação: A linguagem HTML (para construir

páginas da Web) não proporciona ainda um método

simples para a implementar a barra de fração, razão

pela qual, às vezes usaremos a barra / ou mesmo o

sinal ÷, para entender a divisão de dois números.

Exemplo: Consideremos a fração 1/4, que pode ser

escrita como:

Em linguagem matemática, as fracões podem ser

escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo

como 1/4, considerada mais comum.

1/4 1/4

1/4 1/4

A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A

fração pode ser visualizada através da figura

anexada, sendo que foi sombreada uma dessas

partes.

LEITURA DE FRAÇÕES

(a) O numerador é 1 e o denominador é um

inteiro 1<d<10

A leitura de uma fração da forma 1/d, onde d é o

denominador que é menor do que 10 é feita como:

Fração 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9

Leitura um

meio

um

terço

um

quarto

um

quinto

um

sexto

um

sétimo

um

oitavo

um

nono

(b) O numerador é 1 e o denominador é um

inteiro d>10

Quando a fração for da forma 1/d, com d maior do

que 10, lemos: 1, o denominador e acrescentamos a

palavra avos.

Avos é um substantivo masculino usado na leitura

das frações, designa cada uma das partes iguais em

que foi dividida a unidade e se cujo denominador é

maior do que dez.

Fração Leitura

1/11 um onze avos

1/12 um doze avos

1/13 um treze avos

1/14 um quatorze avos

1/15 um quinze avos

1/16 um dezesseis avos

1/17 um dezessete avos

1/18 um dezoito avos

1/19 um dezenove avos


36

(c) O numerador é 1 e o denominador é um

múltiplo de 10

Se o denominador for múltiplo de 10, lemos:

Fração Leitura Leitura Comum

1/10 um dez avos um décimo

1/20 um vinte avos um vigésimo

1/30 um trinta avos um trigésimo

1/40 um quarenta avos um quadragésimo

1/50 um cinqüenta avos um qüinquagésimo

1/60 um sessenta avos um sexagésimo

1/70 um setenta avos um septuagésimo

1/80 um oitenta avos um octogésimo

1/90 um noventa avos um nonagésimo

1/100 um cem avos um centésimo

1/1000 um mil avos um milésimo

1/10000 um dez mil avos um décimo milésimo

1/100000 um cem mil avos um centésimo milésimo

1/1000000 um milhão avos um milionésimo

Observação: A fração 1/3597 pode ser lida como:

um, três mil quinhentos e noventa e sete avos.

TIPOS DE FRAÇÕES

A representação gráfica mostra a fração 3/4 que é

uma fração cujo numerador é um número natural

menor do que o denominador.

1/4 1/4

1/4 1/4

A fração cujo numerador é menor que o

denominador, isto é, a parte é tomada dentro do

inteiro, é chamada fração própria. A fração cujo

numerador é maior do que o denominador, isto é,

representa mais do que um inteiro dividido em

partes iguais é chamada fração imprópria.

3/3 2/3 5/3 = 1 + 2/3

1/3

+

1/3

= 1

1/3

1/3 1/3 1/3

1/3 1/3 1/3

Fração aparente: é aquela cujo numerador é um

múltiplo do denominador e aparenta ser uma fração

mas não é, pois representa um número inteiro.

Como um caso particular, o zero é múltiplo de todo

número inteiro, assim as frações 0/3, 0/8, 0/15 são

aparentes, pois representam o número inteiro zero.

Frações Equivalentes: São as que representam a

mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os

termos (numerador e denominador) de uma fração

sucessivamente pelos números naturais, teremos um

conjunto infinito de frações que constitui um

conjunto que é conhecido como a classe de

equivalência da fração dada.

1/

2 2/4 3/6 4/8

1/

2

1/

4

1/

4

1/

6

1/

6

1/

6

1/

8

1/

8

1/

8

1/

8

1/

2

1/

4

1/

4

1/

6

1/

6

1/

6

1/

8

1/

8

1/

8

PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS

(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e

denominador) de uma fração por um mesmo

número natural, obteremos uma fração

equivalente à fração dada:

(2) Se é possível dividir os termos (numerador e

denominador) de uma fração por um mesmo

número natural, obteremos uma fração

equivalente à fração dada:

A FRAÇÃO COMO UMA CLASSE DE

EQUIVALÊNCIA

A classe de equivalência de uma fração é o

conjunto de todas as frações equivalentes à fração

dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos

deste conjunto infinito, simplesmente poderemos

tomar a fração mais simples deste conjunto que será

a representante desta classe. Esta fração será

denominada um número racional. Aplicando a

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/racionais.htm


37

propriedade fundamental, podemos escrever o

conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:

C(1/3) = { 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, ... }

NÚMERO MISTO

Quando o numerador de uma fração é maior que o

denominador, podemos realizar uma operação de

decomposição desta fração em uma parte inteira e

uma parte fracionária e o resultado é denominado

número misto.

Transformação de uma fração imprópria em um

número misto

Transformação de um número misto em uma

fração imprópria

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em

uma forma mais simples, para que a mesma se torne

mais fácil de ser manipulada.

O objetivo de simplificar uma fração é torná-la uma

fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o

Máximo Divisor Comum entre o Numerador e o

Denominador seja 1, ou seja, o Numerador e o

Denominador devem ser primos entre si. Essa

simplificação pode ser feita através dos processos

de divisão sucessiva e pela fatoração.

A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois

termos da fração por um mesmo número (fator

comum ) até que ela se torne irredutível.

Respectivamente, dividimos os termos das frações

por 2, 2 e 3.

Observação: Outra maneira de divisão das frações

é obter o Máximo Divisor Comum entre o

Numerador e o Denominador e simplificar a fração

diretamente por esse valor.

Exemplo: Simplificaremos a fração 54/72, usando

o Máximo Divisor Comum. Como

MDC(54,72)=18, então 54:18=3 e 72:18=4, logo:

COMPARAÇÃO DE DUAS FRAÇÕES

(1) Por redução ao mesmo denominador

Se duas frações possuem denominadores

iguais, a maior fração é a que possui maior

numerador. Por exemplo:

(2) Tanto os numeradores como os

denominadores das duas frações são

diferentes

Devemos reduzir ambas as frações a um

denominador comum e o processo depende do

cálculo do Mínimo Múltiplo Comum entre os

dois denominadores e este será o denominador

comum às duas frações. Na seqüência, divide-

se o denominador comum pelo denominador de

cada fração e multiplica-se o resultado obtido

pelo respectivo numerador.

Exemplo: Vamos comparar as frações 2/3 e

3/5. Como os denominadores são 3 e 5, temos

que MMC(3,5)=15. Reduzindo ambas as

frações ao mesmo denominador comum 15,

aplica-se a regra de dividir o denominador

comum pelo denominador de cada fração e na

seqüência multiplica-se esse respectivo número

pelo numerador.

Multiplicando os termos da primeira fração por

5 e multiplicando os termos da segunda fração

por 3, obteremos:

Temos então os mesmos denominadores, logo:

e podemos garantir que

(3) As frações possuem um mesmo numerador

Se os numeradores de duas frações forem

iguais, será maior a fração cujo denominador

for menor.

Exemplo: Uma representação gráfica para a

desigualdade


38

pode ser dada geometricamente por:

3/4=6/8

1/8 1/8 1/8 1/8

1/8 1/8 1/8 1/8

3/8

1/8 1/8 1/8 1/8

1/8 1/8 1/8 1/8

Observe que a área amarelada é maior na

primeira figura.

DIVISÃO DE FRAÇÕES

Consideremos inicialmente uma divisão D de duas

frações, denotada por:

Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as

duas frações com o mesmo denominador e realizar

a divisão do primeiro numerador pelo segundo

numerador, isto é:

pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a

4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3,

através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6

e 4/6.

3/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

4/6

1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6

Realizar a divisão entre dois números fracionários

ou não A e B, é o mesmo que procurar saber

quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas

partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?

No desenho, os numeradores das frações estão em

cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na

primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda

fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja,

em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.

Este argumento justifica a divisão de duas frações

pela multiplicação da primeira fração pelo inverso

da segunda fração e observamos que de fato isto

funciona neste caso:

Na verdade, há um tratamento mais geral que o

deste caso particular. A divisão de um número real

a/b pelo número real c/d é, por definição, a

multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d.

Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:


39

FRAÇÕES ALGÉBRICAS

É o quociente de dois polinômios indicado

na forma fracionária.

SIMPLIFICAÇÃO

Simplificar uma fração algébrica é obter uma fração

mais simples, que seja equivalente à fração dada.

Para simplificar uma fração algébrica é necessário

fatorar o numerador e o denominador.

Quando o numerador e o denominador da fração

apresentam um fator comum, podemos cancelar

este fator, ao fazer isto estamos simplificando a

fração.

Exemplos :

a)

)yx(

)yx(

)yx)(yx(

)yx)(yx(

)yx(

)yx)(yx(

yxy2x

yx222

22

b) 2

x

)4x(2

)4x(x

8x2

x4x 2

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Para efetuar uma adição ou subtração de frações

algébricas procedemos assim :

1º) reduzimos as frações ao mesmo denominador

(mmc dos denominadores);

2º) conservamos o denominador comum e

adicionamos ou subtraímos os numeradores;

3º) simplificamos os resultados, quando possível.

Exemplos :

a) xxx

3

3

2

2

12 mmc (2x, 3x

2,x) = 6x

2

222 6

18

6

4

6

3

x

x

xx

x

26

154

x

x

b)

1

2

1

5

1

22 x

x

x

x

x

x

1

2

)1)(1(

5

1

2

x

x

xx

x

x

x

mmc = (x + 1) (x – 1)

)1)(1(

)1)(2(5)1(2

xx

xxxxx

)1)(1(

)22(522 22

xx

xxxxxx

)1)(1(

22522 22

xx

xxxxxx

)1)(1(

342

xx

xx

)1x)(1x(

)3x)(1x(

= 1

3

x

x

MULTIPLICAÇÃO

Para multiplicar frações algébricas, procedemos

assim :

1º) Fatoramos os numeradores e os denominadores;

2º) Fazemos as simplificações possíveis;

3º) Multiplicamos os numeradores entre si e os

denominadores entre si.

Exemplos:

a)

1

2

4

12

2

x

x

x

x

)1x(

)2x(

)2x)(2x(

)1x)(1x(

=

2

1

x

x

b)

22

2 4

42 ba

x

x

ba

)ba)(ba(

)2x)(2x(

)2x(2

)ba(

=

)(2

2

ba

x

=

ba

x

22

2

DIVISÃO

Para dividir frações algébricas, multiplicamos a

primeira pelo inverso da segunda.

Exemplos:

a)

ab

ba

b

aba 222 22

2

ba

ab

b

aba

=

)ba)(ba(

ba

b

)ba(a

=

ba

a

2

b)

)1(

12

12 2

2

2

xxx

xx

1

1

12

1222

2

xxx

xx =

)1)(1(

1

)1(

)1(2

2

xxx

x = )1)(1(

1

)1)(1(

)1)(1(

xxxx

xx

= 133

123

xxx

x


40

POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

A função polinomial

Grau de um polinômio

Igualdade de polinômios

Soma de polinômios

Produto de polinômios

Espaço vetorial de polinômios

Sobre o grau de um polinômio

Algoritmo da divisão polinomial

Zeros de um polinômio

Eq. algébricas e Transcendentes

Métodos de resolução algébrica

Teorema Fundamental da Álgebra

Algumas identidades polinomiais

Algumas desigualdades polinomiais

A FUNÇÃO POLINOMIAL

Um polinômio (função polinomial) com

coeficientes reais na variável x é uma função

matemática f:R →R definida por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

onde ao, a1, a2, ..., an são números reais,

denominados coeficientes do polinômio. O

coeficiente ao é o termo constante.

Se os coeficientes são números inteiros, o

polinômio é denominado polinômio inteiro em x.

Uma das funções polinomiais mais importantes é

f:R→R definida por:

f(x) = a x² + b x + c

O gráfico desta função é a curva plana denominada

parábola, que tem algumas características utilizadas

em estudos de Cinemática, radares, antenas

parabólicas e faróis de carros. Ver o link A função

quadrática nesta mesma página para entender a

importância da função polinomial quadrática.

O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a

é obtido pela substituição de x pelo número a, para

obter p(a).

Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12

para x=3 é dado por:

p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27

GRAU DE UM POLINÔMIO

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que

possui um coeficiente não nulo é chamado termo

dominante e o coeficiente deste termo é o

coeficiente do termo dominante. O grau de um

polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu

termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).

Acerca do grau de um polinômio, existem várias

observações importantes:

1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que

não possui termo dominante. Em estudos mais

avançados, define-se o grau de um polinômio

nulo mas não o faremos aqui.

2. Se o coeficiente do termo dominante de um

polinômio for igual a 1, o polinômio será

chamado mônico.

3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as

suas potências em ordem crescente ou

decrescente.

4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos,

o polinômio será dito incompleto.

5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o

número de termos deste polinômio será menor

do que n+1.

6. Um polinômio será completo quando possuir

todas as potências consecutivas desde o grau

mais alto até o termo constante.

7. Se o grau de um polinômio completo for n, o

número de termos deste polinômio será

exatamente n+1.

É comum usar apenas uma letra p para representar a

função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de

todos os polinômios reais em x.

IGUALDADE DE POLINÔMIOS

Os polinomios p e q em P[x], definidos por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn

são iguais se, e somente se, para todo

k=0,1,2,3,...,n:

ak=bk

Teorema: Uma condição necessária e suficiente

para que um polinômio inteiro seja identicamente

nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.

Assim, um polinômio:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:


41

ak= 0

O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].

O polinômio unidade (identidade para o produto)

p1=1 em P[x], é o polinômio:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxn

tal que ao=1 e ak=0, para todo k=1,2,3,...,n.

SOMA DE POLINÔMIOS

Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos

por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxn

q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxn

Definimos a soma de p e q, por:

(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xn

A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo

conjunto de todos os polinômios com a soma

definida acima, possui algumas propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x],

tem-se que:

(p + q) + r = p + (q + r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x],

tem-se que:

p + q = q + p

Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal

que

po + p = p

qualquer que seja p em P[x].

Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe

outro polinômio q=-p em P[x] tal que

p + q = 0

Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é

denominada um grupo comutativo.

PRODUTO DE POLINÔMIOS

Sejam p, q em P[x], dados por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn

Definimos o produto de p e q, como um outro

polinômio r em P[x]:

r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxn

tal que:

ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que

para cada termo da soma que gera ck, a soma do

índice de a com o índice de b sempre fornece o

mesmo resultado k.

A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo

conjunto de todos os polinômios com o produto

definido acima, possui várias propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x],

tem-se que:

(p · q) · r = p · (q · r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x],

tem-se que:

p · q = q · p

Elemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal

que

po · p = po

qualquer que seja p em P[x].

Elemento Identidade: Existe um polinômio

p1(x)=1 tal que

p1 · p = p

qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial

é simplesmente denotada por p1=1.

Existe uma propriedade mista ligando a soma e o

produto de polinômios

Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x],

tem-se que:

p · (q + r) = p · q + p · r

Com as propriedades relacionadas com a soma e o

produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é

denominada anel comutativo com identidade.

ESPAÇO VETORIAL DOS

POLINÔMIOS REAIS

Embora uma sequência não seja um conjunto mas

sim uma função cujo domínio é o conjunto dos

números naturais, usaremos neste momento uma

notação para sequência no formato de um conjunto.

O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser

identificado com o conjunto S das sequências

quase-nulas de números reais , isto é, as sequências

da forma:

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

Isto significa que após um certo número natural n,

todos os termos da sequência são nulos.

A identificação ocorre quando tomamos os

coeficientes do polinômio

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

e colocamos os mesmos entre parênteses e após o

n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade


42

infinita de zeros, assim nós temos somente uma

quantidade finita de números não nulos, razão pela

qual tais sequências são denominadas sequências

quase-nulas.

Esta forma de notação

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

funciona bem quando trabalhamos com espaços

vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a

soma dos elementos e a multiplicação dos

elementos por escalar têm várias propriedades.

Vamos considerar S o conjunto das sequências

quase-nulas de números reais com as operações de

soma, multiplicação por escalar e de multiplicação,

dadas abaixo.

Sejam p e q em S, tal que:

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...)

q = (bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...)

e vamos supor que m < n.

Definimos a soma de p e q, como:

p+q = (ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...)

a multiplicação de p em S por um escalar k, como:

k.p = (kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...)

e o produto de p e q em S como:

p·q = (co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...)

sendo que

ck = aobk + a1bk-1 + a2bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1b1+akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n).

O conjunto S com as operações definidas é:

associativo, comutativo, distributivo e possui

elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.

CARACTERÍSTICAS DO GRAU DE UM

POLINÔMIO

Se gr(p)=m e gr(q)=n então

gr(p.q) = gr(p) + gr(q)

gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)}

ALGORITMO DA DIVISÃO DE

POLINÔMIOS

Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q

divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que

p(x) = g(x) q(x)

Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um

outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe um

polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com

gr(r)<gr(g), tal que:

p(x) = q(x) g(x) + r(x)

Um caso particular importante é quando tomamos

g(x)=x-c e

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:

xk-c

k = (x-c)( x

k-1 + cx

k-2 + c²x

k-3 +...+ c

k-2x+c

k-1 )

então para

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

temos que

p(c) = ao + a1c + a2c² + a3c³ +...+ ancn

e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:

p(x)-p(c) = a1(x-c) + a2(x²-c²) + a3(x³-c³) +...+ an(xn-cn)

o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c

para obter

p(x)- p(c)=(x-c) q(x)

onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim,

podemos escrever:

p(x)=(x-c) q(x)+p(c)

e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.

ZEROS DE UM POLINÔMIO

Um zero de um polinômio real p em P[x] é um

número c, que pode ser real ou complexo, tal que

p(c)=0. O zero de um polinômio também é

denominado raiz do polinômio.

Uma consequência do Algoritmo da Divisão de

polinômios é que:

x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0

o que é equivalente a:

c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E

TRANSCENDENTES

Uma equação algébrica real na variável x é uma

relação matemática que envolve apenas um número

finito de operações de soma, subtração, produto,

divisão e radiciação de termos envolvendo a

variável x.

Exemplos

1. 2x²+3x+7=0

2. 3x²+7x½=2x+3

A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita

como um somatório com infinitos termos contendo

potências de x:


43

ex = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x

4/4! + x

5/5! +...

assim, a equação

x²+7x=ex

não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer

que esta equação é transcendente.

Quando a equação é da forma:

p(x) = 0

onde p é um polinômio real em P[x], ela será

chamada equação polinomial.

Quando uma equação possui a variável sob um

sinal de radiciação ela é chamada equação

irracional.

Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x½=2x+3 são

equações algébricas. A primeira é polinomial, mas

a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma

equação irracional.

Observação: Uma equação algébrica irracional

sempre poderá ser colocada na forma de uma

equação polinomial. Quando uma equação

algébrica irracional é transformada em uma

equação polinomial, as raízes da nova equação

poderão não coincidir com as raízes da equação

original e as raízes obtidas desta nova equação que

não servem para a equação original são

denominadas raízes estranhas.

Exercício: Apresentar uma equação irracional que

tenha raízes estranhas.

Métodos de resolução algébrica

Alguns tipos especiais de equações podem ser

resolvidos.

Equação do 1º grau: A equação ax+b=0 com a

diferente de zero, admite uma única raíz dada por:

x = -b/a

Equação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com

a diferente de zero, admite exatamente duas raízes

no conjunto dos números complexos, dadas por:

x1=(-b+R[b²-4ac] / 2ª

x2=(-b- R[b²-4ac]/ 2a

onde R[z] é a raiz quadrada de z.

Nesta página há dois links que tratam sobre o

assunto: Equações do Segundo grau que dá um

tratamento mais detalhado sobre o assunto e

Cálculo de raízes de uma Equação do 2º.grau que é um formulário onde você entra com os

coeficientes e obtém as raízes sem muito esforço.

Equação cúbica: A equação ax³ + bx² + cx + d = 0

com a não nulo, admite exatamente três raízes no

conjunto dos números complexos que podem ser

obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).

Equação quártica: A equação ax4

+ bx³ + cx² + dx

+ e = 0 com a não nulo, admite exatamente quatro

raízes no conjunto dos números complexos que

podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.

Equação quíntica: Para equações de grau maior ou

igual a 5, não existem métodos algébricos para

obter todas as raízes, mas existem muitos métodos

numéricos que proporcionam as raízes de tais

equações com grande precisão.

Existe uma versão da planilha Kyplot disponível

gratuitamente na Internet, que dispõe de um

mecanismo capaz de calcular com grande precisão

raízes de equações polinomiais de grau n.

Em Português, há um excelente livro que trata

sobre Equações Algébricas e a história da

Matemática subjacente: "O Romance das Equações

Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São

Paulo, 1999."

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

Teorema (Gauss): Toda equação algébrica

polinomial com coeficientes reais ou complexos,

admite no conjunto dos números complexos, pelo

menos uma raiz.

Teorema equivalente: Toda equação algébrica

polinomial de grau n, com coeficientes reais ou

complexos, admite exatamente n raízes, no

conjunto dos números complexos.

Consequência: Toda equação algébrica polinomial

real de grau n, admite no máximo n raízes, no

conjunto dos números reais.

ALGUMAS DESIGUALDADES

POLINOMIAIS

Algumas desigualdades bastante comuns que

podem ser obtidas a partir das identidades

polinomiais:

1. a²+b² > 2ab

2. (a+b)/2 > R[a.b]

3. a²+b²+c² > ab+ac+bc

onde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo >

significa maior ou igual.

Há vários livros de Matemática dedicados somente

a desigualdades pois uma grande parte da

Matemática é construída através deste conceito.

Áreas onde existem muitas aplicações para as

desigualdades são a Análise Matemática e a

Programação Linear.


44

PRODUTOS NOTÁVEIS (33º IDENTIDADES)

1. Quadrado da soma de dois termos

(a+b)² = a² + b² + 2ab

Exemplo: (3+4)²=3²+4²+2×3×4

2. Quadrado da diferença de dois termos

(a-b)² = a² + b² - 2ab

Exemplo: (7-5)²=7²+5²-2×7×5

3. Diferença de potências (ordem 2)

a² - b² = (a+b)(a-b)

Exemplo: 7²-5²=(7+5)(7-5)

4. Cubo da soma de dois termos

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Exemplo: (4+5)³=4³+3×4²×5+3×4×5²+5³

5. Cubo da soma de dois termos na forma

simplificada

(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²

Exemplo: (4+5)³=4(4-3×5)²+5(5-3×4)²

6. Cubo da diferença de dois termos

(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Exemplo: (4-5)³=4³-3×4²×5+3×4×5²-5³

7. Identidade de Fibonacci

(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²

Exemplo: (1²+3²) (5²+7²) = (1×5-3×7)² +

(1×7+3×5)²

8. Identidade de Platão

(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²

Exemplo: (3²+8²)²=(3²-8²)²+(2×3×8)²

9. Identidade de Lagrange (4 termos)

(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²

Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)²=(9×3-7×5)²

10. Identidade de Lagrange (6 termos)

(a²+b²+c²) (p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)²

= (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)²

Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)² =

(1×8-3×7)² + (1×9-5×7)² + (3×9-5×8)²

11. Identidade de Cauchy (n=3)

(a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b)

Exemplo: (2+7)³-2³-7³=3×2×7×(2+7)

12. Identidade de Cauchy (n=5)

(a+b)5 - a

5 - b

5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²)

Exemplo: (1+2)5-1

5- 2

5=5 × 1 × 2 × (1+2)

(1²+1×2+2²)

13. Quadrado da soma de n termos

sendo que i < j.

Exemplos: (a+b)² = a²+b²+2 (ab)

(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab+ac+bc)

(a+b+c+d)² = a² + b² + c² + d² + 2(ab + a c + ad +

bc + bd + cd)

14. Cubo da soma de n termos

3

sendo que i < j e i < j < k.

15. Diferença entre os quadrados da soma e

diferença

(a+b)² - (a-b)² = 4ab

Exemplo: (7+9)²-(7-9)²=4×7×9

16. Soma dos quadrados da soma e da diferença

(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)

Exemplo: (3+5)²+(3-5)²=2(3²+5²)

17. Soma de dois cubos

a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)

Exemplo: 2³+4³=(2+4)³-3×2×4×(2+4)

18. Soma de dois cubos na forma fatorada

a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

Exemplo: 5³+7³=(5+7) (5²-5×7+7²)

19. Transformação do produto na diferença de

quadrados

ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²

Exemplo: 3×5=[½(3+5)]²-[½(3-5)]²


a4-b

4 = (a-b)(a+b)(a²+b²)

Exemplo: 54-1

4=(5-1)(5+1)(5²+1²)


a6-b

6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)

Exemplo: 56-1

6=(5-1)(5+1) (5²+5×1+1²)(5²-5×1+1²)



45

a8 - b

8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a

4+b

4)

Exemplo: 58-1

8=(5-1)(5+1)(5²+1²)(5

4+1

4)

23. Produto de três diferenças

(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)

Exemplo: (1-3)(1-5)(3-5)=1×3×(1-5)+3×5×(3-

5)+5×1×(5-1)

24. Produto de três somas

(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc

Exemplo: (1+3) (3+5) (5+1) = (1+3+5) (1×3 + 3×5

+ 1×5) - 1×3×5

25. Soma de cubos das diferenças de três termos

(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a)

Exemplo: (1-3)³ + (3-5)³ + (5-1)³ = 3(1-3) (3-5)

(5-1)

26. Cubo da soma de três termos

(a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc

Exemplo: (7+8+9)³ = (7+8-9)³ + (8+9-7)³ + (7+9-

8)³ + 24 × 7 × 8 × 9

27. Soma nula de produtos de cubos por diferenças a³(b-c)+b³ (c-a) + c³ (a-b) + (a+b+c) (a-b)(b-c) (a-c) = 0

Exemplo: 2³(4-6) + 4³ (6-2) + 6³ (2-4) + (2+4+6)

(2-4) (4-6) (2-6) = 0

28. Soma de produtos de cubos com diferenças a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc (a-b) (b-c) (a-c)

Exemplo: 7³(8-9)³ + 8³(9-7)³ + 9³(7-8)³ = 3.7.8.9 (7-

8) (8-9) (7-9)

29. Produto de dois fatores homogêneos de grau

dois

(a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a4+a² b²+b

4

Exemplo: (5²+5×7+7²)(5²-5×7+7²)=54+5² 7²+7

4

30. Soma de quadrados de somas de dois termos

(a+b)² + (b+c)² + (a+c)² = (a+b+c)² + a²+b²+c²

Exemplo: (1+3)² + (3+5)² + (1+5)² = (1+3+5)² + 1²

+ 3² + 5²

31. Produto de quadrados de fatores especiais

(a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a4-b

4)²

Exemplo: (7-3)² (7+3)² (7²+3²)²=(74-3

4)²

32. Soma de quadrados de express. homogêneas de

grau 1

(a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²)

Exemplo: (7+8+9)²+(7-8)²+(8-9)²+(9-

7)²=3(7²+8²+9²)

33. Identidade de interpolação

Exemplo: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade,

obtemos:


46

APLICAÇÕES DAS RAZÕES E PROPORÇÕES

Proporções com números

Propriedades das Proporções

Grandezas diret. proporcionais

Grandezas invers. proporcionais

Histórico sobre a Regra de três

Regras de três simples direta

Regras de três simples inversa

Regras de três composta

Porcentagem

Juros simples

PROPORÇÕES COM NÚMEROS

Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de

zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:

1. Os números A, B, C e D são denominados

termos

2. Os números A e B são os dois primeiros termos

3. Os números C e D são os dois últimos termos

4. Os números A e C são os antecedentes

5. Os números B e D são os consequentes

6. A e D são os extremos

7. B e C são os meios

8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é

uma constante K, denominada constante de

proporcionalidade K dessa razão.

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

Para a proporção

valem as seguintes propriedades:

1. O produto dos meios é igual ao produto dos

extremos, isto é:

A · D = B · C

2. A soma (diferença) dos dois primeiros termos

está para o primeiro termo, assim como a soma

(diferença) dos dois últimos está para o terceiro

termo, isto é:

3. A soma (diferença) dos dois primeiros

termos está para o segundo termo, assim

como a soma (diferença) dos dois últimos

está para o quarto termo, isto é:

4. A soma (diferença) dos antecedentes está

para a soma (diferença) dos consequentes,

assim como cada antecedente está para o

seu consequente, isto é:

GRANDEZAS DIRETAMENTE

PROPORCIONAIS

Duas grandezas são diretamente proporcionais

quando, aumentando uma delas, a outra também

aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma

delas, a outra também diminui na mesma

proporção.

Se duas grandezas X e Y são diretamente

proporcionais, os números que expressam essas

grandezas variam na mesma razão, isto é, existe

uma constante K tal que:

Exemplos:

1. Uma torneira foi aberta para encher uma caixa

com água azul. A cada 15 minutos é medida a

altura do nível de água. (cm=centímetros e

min=minutos)

15 minutos

50 cm

30 minutos

100 cm

45 minutos

150 cm


47

2. Construímos uma tabela para mostrar a

evolução da ocorrência:

Tempo (min) Altura (cm)

15 50

30 100

45 150

3. Observamos que quando duplica o intervalo de

tempo, a altura do nível da água também

duplica e quando o intervalo de tempo é

triplicado, a altura do nível da água também é

triplicada.

4. Observações: Usando razões, podemos

descrever essa situação de outro modo.

5. (a) Quando o intervalo de tempo passa de 15

min para 30 min, dizemos que o tempo varia na

razão 15/30, enquanto que a altura da água

varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura

varia na razão 50/100. Observamos que estas

duas razões são iguais:

6. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 15

min para 45 min, a altura varia de 50 cm para

150 cm. Nesse caso, o tempo varia na razão

15/45 e a altura na razão 50/150. Então,

notamos que essas razões são iguais:

7. Concluímos que a razão entre o valor numérico

do tempo que a torneira fica aberta e o valor

numérico da altura atingida pela água é sempre

igual, assim dizemos então que a altura do

nível da água é diretamente proporcional ao

tempo que a torneira ficou aberta.

8. Em média, um automóvel percorre 80 Km em

1 hora, 160 Km em 2 horas e 240 Km em 3

horas. (Km=quilômetro, h=hora). Construímos

uma tabela da situação:

Distância (Km) Tempo (h)

80 1

160 2

240 3

9. Notamos que quando duplica o intervalo de

tempo, duplica também a distância percorrida e

quando o intervalo de tempo é triplicado, a

distância também é triplicada, ou seja, quando

o intervalo de tempo aumenta, a distância

percorrida também aumenta na mesma

proporção.

10. Observações: Usando razões e proporções,

podemos descrever essa situação de outro

modo.

11. (a) Quando o intervalo de tempo aumenta de 1

h para 2 h, a distância percorrida varia de 80

Km para 160 Km, ou seja, o tempo varia na

razão de 1/2 enquanto a distância percorrida

varia na razão 80/160. Assim temos que tais

razões são iguais, isto é:

12. (b) Quando o intervalo de tempo varia de 2 h

para 3 h, a distância percorrida varia de 160

Km para 240 Km. Nesse caso, o tempo varia na

razão 2/3 e a distância percorrida na razão

160/240 e observamos que essas razões são

iguais, isto é:

13. Concluímos que o tempo gasto e a distância

percorrida, variam sempre na mesma razão e

isto significa que a distância percorrida é

diretamente proporcional ao tempo gasto para

percorrê-la, se a velocidade média do

automóvel se mantiver constante.

GRANDEZAS INVERSAMENTE

PROPORCIONAIS

Duas grandezas são inversamente proporcionais

quando, aumentando uma delas, a outra diminui na

mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a

outra aumenta na mesma proporção. Se duas

grandezas X e Y são inversamente proporcionais,

os números que expressam essas grandezas variam

na razão inversa, isto é, existe uma constante K tal

que:

X · Y = K

Exemplos:

1. A professora de um colégio, tem 24 livros para

distribuir entre os seus melhores alunos, dando

a mesma quantidade de livros para cada aluno.

2. o melhor aluno receberá 24 livros

3. cada um dos 2 melhores alunos receberá 12

livros


48


livros


livros


livros

Alunos

escolhidos

Livros para

cada aluno

1 24

2 12

3 8

4 6

6 4

7. De acordo com a tabela, a quantidade de alunos

escolhidos e a quantidade de livros que cada

aluno receberá, são grandezas que variam

sendo que uma depende da outra e se

relacionam da seguinte forma:

1. Se o número de alunos dobra, o número de

livros que cada um vai receber cai para a

metade.

2. Se o número de alunos triplica, o número

de livros que cada aluno vai receber cai

para a terça parte.

3. Se o número de alunos quadruplica, o

número de livros que cada aluno vai

receber cai para a quarta parte.

4. Se o número de alunos sextuplica, o

número de livros que cada aluno vai

receber cai para a sexta parte.

Sob estas condições, as duas grandezas

envolvidas (número de alunos escolhidos e

número de livros distribuídos) são grandezas

inversamente proporcionais.

Quando a quantidade de alunos varia na razão

de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos

varia de 12 para 6.

Notemos que essas razões não são iguais, mas

são inversas:

Se a quantidade de alunos varia na razão de 2

para 6, a quantidade de livros distribuídos varia

de 12 para 4. Observemos que essas razões não

são iguais, mas são inversas:

Representamos tais grandezas inversamente

proporcionais com a função f(x)=24/x,

apresentada no gráfico

8. Um automóvel se desloca de uma cidade

até uma outra localizada a 120 Km da

primeira. Se o percurso é realizado em:

9. 1 hora, velocidade média de 120 Km/h

10. 2 horas, velocidade média de 60 Km/h

11. 3 horas, velocidade média de 40 Km/h

A unidade é Km/h=quilômetro por hora e

uma tabela da situação é:

Velocidade (Km/h) Tempo (h)

120 1

60 2

40 3

De acordo com a tabela, o automóvel faz o

percurso em 1 hora com velocidade média

de 120 Km/h. Quando diminui a

velocidade à metade, ou seja 60 Km/h, o

tempo gasto para realizar o mesmo

percurso dobra e quando diminui a

velocidade para a terça parte, 40 Km/h o

tempo gasto para realizar o mesmo

percurso triplica.

Para percorrer uma mesma distância fixa,

as grandezas velocidade e tempo gasto, são

inversamente proporcionais.


49

ELEMENTOS HISTÓRICOS SOBRE A

REGRA DE TRÊS

Embora os gregos e os romanos conhecessem as

proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução

de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram

ao mundo a "Regra de Três". No século XIII, o

italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios

dessa regra em seu Liber Abaci (o livro do ábaco),

com o nome de Regra dos três números

conhecidos.

REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA

Uma regra de três simples direta é uma forma de

relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Para resolver problemas, tomaremos duas

grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras

duas grandezas W e Z também diretamente

proporcionais, de forma que tenham a mesma

constante de proporcionalidade K.

assim

Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!)

colocada verticalmente, foi pendurado um corpo

com a massa de 10Kg e verificamos que ocorreu

um deslocamento no comprimento da mola de

54cm. Se colocarmos um corpo com 15Kg de

massa na extremidade dessa mola, qual será o

deslocamento no comprimento da mola?

(Kg=quilograma e cm=centímetro).

Representaremos pela letra X a medida procurada.

De acordo com os dados do problema, temos:

Massa do

corpo (Kg)

Deslocamento da

mola (cm)

10 54

15 X

As grandezas envolvidas: massa e deslocamento,

são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos

valores no problema, podemos obter o quarto valor

X, e, pelos dados da tabela, podemos montar a

proporção:

Observamos que os números 10 e 15 aparecem na

mesma ordem que apareceram na tabela e os

números 54 e X também aparecem na mesma

ordem direta que apareceram na tabela anterior e

desse modo 10·X=15·54, logo 10X=810, assim

X=81 e o deslocamento da mola será de 81cm.

REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA

Uma regra de três simples inversa é uma forma de

relacionar grandezas inversamente proporcionais

para obter uma proporção.

Na resolução de problemas, consideremos duas

grandezas inversamente proporcionais A e B e

outras duas grandezas também inversamente

proporcionais C e D de forma que tenham a mesma

constante de proporcionalidade K.

A · B = K e C · D = K

segue que

A · B = C · D

Logo

Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula 1,

um corredor imprimindo a velocidade média de 180

Km/h fez um certo percurso em 20s. Se a sua

velocidade média fosse de 200 Km/h, qual seria o

tempo gasto no mesmo percurso?

(Km/h=quilômetro por hora, s=segundo).

Representaremos o tempo procurado pela letra T.

De acordo com os dados do problema, temos:

Velocidade (Km/h) Tempo (s)

180 20

200 T

Relacionamos grandezas inversamente

proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo

espaço percorrido. Conhecidos três valores,

podemos obter um quarto valor T.

Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem

que apareceram na tabela, enquanto que os números

20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que

apareceram na tabela acima.

Assim 180.20=200.X, donde segue que 200X=3600

e assim X=3600/200=18. Se a velocidade do

corredor for de 200 Km/h ele gastará 18s para

realizar o mesmo percurso.


50

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Regra de três composta é um processo de

relacionamento de grandezas diretamente

proporcionais, inversamente proporcionais ou uma

mistura dessas situações.

O método funcional para resolver um problema

dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas,

sendo que a primeira linha indica as grandezas

relativas à primeira situação enquanto que a

segunda linha indica os valores conhecidos da

segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1, ... são os valores associados

às grandezas para uma primeira situação e A2, B2,

C2, D2, E2, ... são os valores associados às

grandezas para uma segunda situação, montamos a

tabela abaixo lembrando que estamos interessados

em obter o valor numérico para uma das grandezas,

digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor

numérico Z1 e todas as medidas das outras

grandezas.

Situação

Gra

ndez

a 1

Gran

deza

2

Gran

deza

3

Gran

deza

4

Gran

deza

5

Gra

nd...

Gran

deza ?

Situação

1 A1 B1 C1 D1 E1 … Z1

Situação

2 A2 B2 C2 D2 E2 … Z2

Quando todas as grandezas são diretamente

proporcionais à grandeza Z, resolvemos a

proporção:

Quando todas as grandezas são diretamente

proporcionais à grandeza Z, exceto a segunda

grandeza (com a letra B, por exemplo) que é

inversamente proporcional à grandeza Z,

resolvemos a proporção com B1 trocada de posição

com B2:

As grandezas que forem diretamente proporcionais

à grandeza Z são indicadas na mesma ordem

(direta) que aparecem na tabela enquanto que as

grandezas que forem inversamente proporcionais à

grandeza Z aparecerão na ordem inversa daquela

que apareceram na tabela.

Por exemplo, se temos cinco grandezas envolvidas:

A, B, C, D e Z, sendo a primeira A e a terceira C

diretamente proporcionais à grandeza Z e as outras

duas B e D inversamente proporcionais à grandeza

Z, deveremos resolver a proporção:

Observação: O problema difícil é analisar de um

ponto de vista lógico quais grandezas são

diretamente proporcionais ou inversamente

proporcionais. Como é muito difícil realizar esta

análise de um ponto de vista geral, apresentaremos

alguns exemplos para entender o funcionamento da

situação.

Exemplos:

1. Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas

produziram 400 peças de uma mercadoria.

Quantas peças dessa mesma mercadoria serão

produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras,

se essas máquinas funcionarem durante 9 dias?

Vamos representar o número de peças pela

letra X. De acordo com os dados do problema,

vamos organizar a tabela:

No. de

máquinas (A)

No. de dias

(B)

No. de peças

(C)

5 6 400

7 9 X

A grandeza Número de peças (C) servirá de

referência para as outras grandezas.

Analisaremos se as grandezas Número de

máquinas (A) e Número de dias (B) são

diretamente proporcionais ou inversamente

proporcionais à grandeza C que representa o

Número de peças. Tal análise deve ser feita de

uma forma independente para cada par de

grandezas.

Vamos considerar as grandezas Número de

peças e Número de máquinas. Devemos fazer

uso de lógica para constatar que se tivermos

mais máquinas operando produziremos mais

peças e se tivermos menos máquinas operando

produziremos menos peças. Assim temos que

estas duas grandezas são diretamente

proporcionais.

Vamos agora considerar as grandezas Número

de peças e Número de dias. Novamente

devemos usar a lógica para constatar que se

tivermos maior número de dias produziremos

maior número de peças e se tivermos menor

número de dias produziremos menor número

de peças. Assim temos que estas duas

grandezas também são diretamente

proporcionais.

Concluímos que todas as grandezas envolvidas

são diretamente proporcionais, logo, basta

resolver a proporção:


51

que pode ser posta na forma

Resolvendo a proporção, obtemos X=840,

assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9

dias serão produzidas 840 peças.

2. Um motociclista, rodando 4h por dia, percorre

em média 200 Km em 2 dias. Em quantos dias

esse motociclista irá percorrer 500 Km, se

rodar 5 h por dia? (h=hora, Km=quilômetro).

Vamos representar o número de dias procurado

pela letra X. De acordo com os dados do

problema, vamos organizar a tabela:

Quilômetros

(A)

Horas por

dia (B)

No. de

dias (C)

200 4 2

500 5 X

A grandeza Número de dias (C) é a que servirá

como referência para as outras grandezas.

Analisaremos se as grandezas Quilômetros (A)

e Horas por dia (B) são diretamente

proporcionais ou inversamente proporcionais à

grandeza C que representa o Número de dias.

Tal análise deve ser feita de uma forma

independente para cada par de grandezas.

Consideremos as grandezas Número de dias e

Quilômetros. Usaremos a lógica para constatar

que se rodarmos maior número de dias,

percorreremos maior quilometragem e se

rodarmos menor número de dias percorreremos

menor quilometragem. Assim temos que estas

duas grandezas são diretamente proporcionais.

Na outra análise, vamos agora considerar as

grandezas Número de dias e Horas por dia.

Verificar que para realizar o mesmo percurso,

se tivermos maior número de dias utilizaremos

menor número de horas por dia e se tivermos

menor número de dias necessitaremos maior

número de horas para p mesmo percurso.

Logo, estas duas grandezas são inversamente

proporcionais e desse modo:

que pode ser posta como

Resolvendo esta proporção, obtemos X=4,

significando que para percorrer 500 Km,

rodando 5 h por dia, o motociclista levará 4

dias.

PORCENTAGEM

Praticamente todos os dias, observamos nos meios

de comunicação, expressões matemáticas

relacionadas com porcentagem. O termo por cento

é proveniente do Latim per centum e quer dizer por

cem. Toda razão da forma a/b na qual o

denominador b=100, é chamada taxa de

porcentagem ou simplesmente porcentagem ou

ainda percentagem.

Historicamente, a expressão por cento aparece nas

principais obras de aritmética de autores italianos

do século XV. O símbolo % surgiu como uma

abreviatura da palavra cento utilizada nas

operações mercantis.

Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos

10% e isto significa que em cada 100 unidades de

algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser

obtido como o produto de 10% por 80, isto é:

Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8

Em geral, para indicar um índice de M por cento,

escrevemos M% e para calcular M% de um número

N, realizamos o produto:

Produto = M%.N = M.N / 100

Exemplos:

1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo

que 52% dessas fichas estão etiquetadas com

um número par. Quantas fichas têm a etiqueta

com número par? uantas fichas têm a etiqueta

com número ímpar?

Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13

Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com

número par e 12 fichas com número ímpar.

2. Num torneio de basquete, uma determinada

seleção disputou 4 partidas na primeira fase e

venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias

obtida por essa seleção nessa fase?

Vamos indicar por X% o número que

representa essa porcentagem. Esse problema

pode ser expresso da seguinte forma:

X% de 4 = 3

Assim:

(X/100).4 = 3

4X/100 = 3

4X = 300

X = 75


52

Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi

de 75%.

3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse

número corresponde a 42,5% do total de

empregados da indústria. Quantas pessoas

trabalham nesse local? Quantos homens

trabalham nessa indústria?

Vamos indicar por X o número total de

empregados dessa indústria. Esse problema

pode ser representado por:

42,5% de X = 255

Assim:

42,5%.X = 255

42,5 / 100.X = 255

42,5.X / 100 = 255

42,5.X = 25500

425.X = 255000

X = 255000/425 = 600

Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo

que há 345 homens.

4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um

desconto de 8% sobre o preço marcado na

etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria,

qual o preço original dessa mercadoria?

Seja X o preço original da mercadoria. Se

obtive 8% de desconto sobre o preço da

etiqueta, o preço que paguei representa 100%-

8%=92% do preço original e isto significa que

92% de X = 690

logo

92%.X = 690

92/100.X = 690

92.X / 100 = 690

92.X = 69000

X = 69000 / 92 = 750

O preço original da mercadoria era de R$

750,00.

JUROS SIMPLES

Juro é toda compensação em dinheiro que se paga

ou se recebe pela quantia em dinheiro que se

empresta ou que é emprestada em função de uma

taxa e do tempo. Quando falamos em juros,

devemos considerar:

1. O dinheiro que se empresta ou que se pede

emprestado é chamado de capital.

2. A taxa de porcentagem que se paga ou se

recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada

taxa de juros.

3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma

unidade a que está submetida a taxa, e em caso

contrário, deve-se realizar a conversão para que

tanto a taxa como a unidade de tempo estejam

compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.

4. O total pago no final do empréstimo, que

corresponde ao capital mais os juros, é

denominado montante.

Para calcular os juros simples j de um capital C,

durante t períodos com a taxa de i% ao período,

basta usar a fórmula:

Exemplos:

1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00.

A loja oferece este aparelho para pagamento

em 5 prestações mensais e iguais porém, o

preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se

que a diferença entre o preço à prazo e o preço

à vista é devida aos juros cobrados pela loja

nesse período, qual é a taxa mensal de juros

cobrada por essa loja?

A diferença entre os preços dados pela loja é:

652,00 - 450,00 = 202,50

A quantia mensal que deve ser paga de juros é:

202,50 / 5 = 40,50

Se X% é a taxa mensal de juros, então esse

problema pode ser resolvido da seguinte forma:

X% de 450,00 = 40,50

X/100.450,00 = 40,50

450 X / 100 = 40,50

450 X = 4050

X = 4050 / 450

X = 9

A taxa de juros é de 9% ao mês.

2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma

taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1.920,00 de

juro. Qual foi o capital aplicado?

O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente

de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital

aplicado é indicado por C, esse problema pode

ser expresso por:

3% de C = 960,00

3/100 C = 960,00

3 C / 100 = 960,00

3 C = 96000

C = 96000/3 = 32000,00

O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.


53

REGRAS DE DIVISIBILIDADE

DIVISIBILIDADE POR 2

Um número é divisível por 2 quando é par.

Números pares são os que terminam em 0, ou 2, ou

4, ou 6 , ou 8.

Exemplo:

42 - 100 - 1.445.086 - 8 - 354 - 570


Um número é divisível por 3 quando a soma dos

seus algarismos é divisível por 3.

Exemplo:

123 (S = 1+2+3=6) - 36 (S=9) - 1.478.391 ( S=33) -

570 (S=12)


Um número é divisível por 4 quando os dois

últimos algarismos formam um número divisível

por 4.

Exemplo:

956 - 844 - 1.336 - 120 - 8.357.916 - 752 - 200


Um número é divisível por 5 quando termina em

0 ou 5 .

Exemplo:

475 - 800 - 1.267.335 - 10 - 65


Um número é divisível por 6 quando é divisível

por 2 e3 ao mesmo tempo.

Exemplo:

36 - 24 - 126 - 1476


Tomar o último algarismo e calcular seu dobro.

Subtrair esse resultado do número formado pelos

algarismos restantes. Se o resultado for divisível

por 7 então, o número original também será

divisível por 7.

Exemplo: 238 8 x 2 = 16

23 – 16 = 7 como 7 é divisível por

7, 238 também é divisível.

693 3 x 2 = 6

69 – 6 = 63

63 3 x 2 = 6

6 – 6 = 0 como 0 é divisível

por 7, 693 também é divisível.

235 5 x 2 = 10

23 – 10 = 13 como 13 não é

divisível por 7, 235 também não é divisível.


Um número é divisível por 8 quando os três

últimos algarismos formam um número divisível

por 8.

Exemplo:

876.400 - 152 - 245.328.168


Um número é divisível por 9 quando a soma dos

seus algarismos é divisível por 9.

Exemplo:

36 - 162 - 5463 - 5.461.047


Um número é divisível por 10 quando termina em

0.

Exemplo:

100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630


Quando a diferença entre as somas dos algarismos

de ordem ímpar e de ordem par, a partir da direita

for múltipla de 11.

Exemplo:

7.973.207 S (ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23

S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12 diferença = 11


54

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Introdução Análise Combinatória

Arranjos

Permutações

Combinações

Regras gerais Combinatória

Arranjos simples

Permutações simples

Combinações simples

Arranjos c/ repetição

Permutações c/ repetição

Combinações c/ repetição

Propr. das combinações

Número binomial

Teorema binomial

INTRODUÇÃO À ANÁLISE

COMBINATÓRIA

Análise Combinatória é um conjunto de

procedimentos que possibilita a construção de

grupos diferentes formados por um número finito

de elementos de um conjunto sob certas

circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z

com m elementos e os grupos formados com

elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a

taxa do agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três

tipos principais de agrupamentos, sendo que eles

podem ser simples, com repetição ou circulares.

Apresentaremos alguns detalhes de tais

agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura

termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas

todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às

vezes são utilizados em concursos em uma forma

dúbia!

ARRANJOS

São agrupamentos formados com p elementos,

(p<m) de forma que os p elementos sejam distintos

entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos

podem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de

qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!

Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os

arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2

são 12 grupos que não podem ter a repetição de

qualquer elemento mas que podem aparecer na

ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no

conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Arranjo com repetição: Todos os elementos

podem aparecer repetidos em cada grupo de p

elementos.

Fórmula: Ar(m,p) = mp.

Cálculo para o exemplo: Ar (4,2) = 42=16.

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os

arranjos com repetição desses 4 elementos tomados

2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos

repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos

estão no conjunto:

Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,

CD,DA,DB,DC,DD}

Arranjo condicional: Todos os elementos

aparecem em cada grupo de p elementos, mas

existe uma condição que deve ser satisfeita acerca

de alguns elementos.

Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-

2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.

Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do

conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas

letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o

subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa

que este subconjunto será formado é p1=2. Com as

letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que

estão no conjunto:

PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}

Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12

grupos que estão no conjunto:

PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

Usando a regra do produto, teremos 72

possibilidades obtidas pela junção de um elemento

do conjunto PABC com um elemento do conjunto

PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é

CAFG.

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/combinat/combinat.htm#comb12


55

PERMUTAÇÕES

Quando formamos agrupamentos com m elementos,

de forma que os m elementos sejam distintos entre

sí pela ordem. As permutações podem ser simples,

com repetição ou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com

todos os m elementos distintos.

Fórmula: Ps(m) = m!.

Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.

Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações

simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que

não podem ter a repetição de qualquer elemento em

cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada.

Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Permutação com repetição: Dentre os m

elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos

a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a

x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que

m1+m2+m3+...+mn=m.

Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra

construída com as mesmas letras da palavra original

trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1

e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-

1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar

com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A

ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T

ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses

3 elementos do conjunto C={A,R,T} em

agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que

contêm a repetição de todos os elementos de C

aparecendo também na ordem trocada. Todos os

agrupamentos estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AART

TA,AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARAR

TA,ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATAR

AR}

Permutação circular: Situação que ocorre quando

temos grupos com m elementos distintos formando

uma circunferência de círculo.

Fórmula: Pc(m)=(m-1)!

Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas

K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas

pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa

circular (pode ser retangular) para realizar o jantar

sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples

possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos,

apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,

BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CAB

D,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DABC,D

ACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos

que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC

ABDC=BDCA=DCAB=CABD

ACBD=CBDA=BDAC=DACB

ACDB=CDBA=DBAC=BACD

ADBC=DBCA=BCAD=CADB

ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

COMBINAÇÕES

Quando formamos agrupamentos com p elementos,

(p<m) de forma que os p elementos sejam distintos

entre sí apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de

qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As

combinações simples desses 4 elementos tomados 2

a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de

qualquer elemento nem podem aparecer na ordem

trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Combinação com repetição: Todos os elementos

podem aparecer repetidos em cada grupo até p

vezes.

Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)

Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-

1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As

combinações com repetição desses 4 elementos

tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as

repetições possíveis de elementos em grupos de 2

elementos não podendo aparecer o mesmo grupo

com a ordem trocada. De um modo geral neste

caso, todos os agrupamentos com 2 elementos

formam um conjunto com 16 elementos:

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,

CD,DA,DB,DC,DD}

mas para obter as combinações com repetição,

deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que


56

já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA,

AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as

combinações com repetição dos elementos de C

tomados 2 a 2, são:

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}

REGRAS GERAIS SOBRE A ANÁLISE

COMBINATÓRIA

Problemas de Análise Combinatória normalmente

são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos

através de duas regras básicas: a regra da soma e a

regra do produto.

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se

um elemento pode ser escolhido de m formas e um

outro elemento pode ser escolhido de n formas,

então a escolha de um ou outro elemento se

realizará de m+n formas, desde que tais escolhas

sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas

de um elemento pode coincidir com uma escolha do

outro.

Regra do Produto: A regra do produto diz que se

um elemento H pode ser escolhido de m formas

diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas,

um outro elemento M pode ser escolhido de n

formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta

ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou

concorrentes sem que os pontos sob análise estejam

em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos

distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s

contem n outros pontos distintos marcados por s1,

s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar

segmentos de retas com uma extremidade numa

reta e a outra extremidade na outra reta?

É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e

assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a

todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e

continuamos até o último ponto para obter também

n segmentos. Como existem m pontos em r e n

pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

NÚMERO DE ARRANJOS SIMPLES

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas

maneiras diferentes poderemos escolher p

elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas

escolhas será chamada um arranjo de m elementos

tomados p a p. Construiremos uma sequência com

os m elementos de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Cada vez que um elemento for retirado,

indicaremos esta operação com a mudança da cor

do elemento para a cor vermelha.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto C

que possui m elementos, temos m possibilidades.

Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-

ésimo elemento de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Para escolher o segundo elemento, devemos

observar o que sobrou no conjunto e constatamos

que agora existem apenas m-1 elementos.

Suponhamos que tenha sido retirado o último

elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O

elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Após a segunda retirada, sobraram m-2

possibilidades para a próxima retirada. Do que

sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como

sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser

visualizado como:

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Se continuarmos o processo de retirada, cada vez

teremos 1 elemento a menos do que na fase

anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão

m-p+1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de

m elementos tomados p a p, basta multiplicar os

números que aparecem na segunda coluna da tabela

abaixo:

Retirada Número de possibilidades

1 m

2 m-1

3 m-2

... ...

p m-p+1

No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)


57

Denotaremos o número de arranjos de m elementos

tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu

cálculo será dada por:

A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso

alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de

dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos

diferentes? O conjunto solução é:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,

IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso

alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de

dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos

(não necessariamente diferentes)?

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e

outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a

regra do produto para concluir que há 5x5=25

possibilidades.

O conjunto solução é:

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,

IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir

no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3

letras iniciais e 4 algarismos no final?

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em

nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10

algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em

seguida utilize a regra do produto.

NÚMERO DE PERMUTAÇÕES SIMPLES

Este é um caso particular de arranjo em que p=m.

Para obter o número de permutações com m

elementos distintos de um conjunto C, basta

escolher os m elementos em uma determinada

ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até

a ordem p=m, permitirá obter o número de

permutações de m elementos:

Retirada Número de possibilidades

1 m

2 m-1

... ...

p m-p+1

... ...

m-2 3

m-1 2

m 1

No.de

permutações

m(m-1)(m-2)...(m-

p+1)...4.3.2.1

Denotaremos o número de permutações de m

elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo

será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1

Em função da forma como construímos o processo,

podemos escrever:

A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em

Matemática e nas ciências em geral, costuma-se

simplificar a permutação de m elementos e escrever

simplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número

m é lido como: fatorial de m, onde m é um número

natural.

Embora zero não seja um número natural no

sentido que tenha tido origem nas coisas da

natureza, procura-se dar sentido para a definição de

fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo

m=0 e para isto podemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função

gama que generaliza o conceito de fatorial de um

número real, excluindo os inteiros negativos e com

estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode

ser definido de uma forma recursiva através da

função P=P(m) ou com o uso do sinal de

exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1

Exemplo: De quantos modos podemos colocar

juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante?

O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto

solução é:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as

letras da palavra AMOR? O número de arranjos é

P(4)=24 e o conjunto solução é:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,M

ARO,MAOR, MROA, MRAO, MORA, MOAR,

OAMR,OARM,ORMA,ORAM,OMAR,OMRA,RAM

O,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}


58

NÚMERO DE COMBINAÇÕES SIMPLES

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No

estudo de arranjos, já vimos antes que é possível

escolher p elementos de A, mas quando realizamos

tais escolhas pode acontecer que duas coleções com

p elementos tenham os mesmos elementos em

ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de

um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem

importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H),

assim não há a necessidade de escolher duas vezes

as mesmas pessoas para formar o referido casal.

Para evitar a repetição de elementos em grupos com

a mesma quantidade p de elementos,

introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um

conjunto C com m elementos é uma combinação de

m elementos tomados p a p, se as coleções com p

elementos não tem os mesmos elementos que já

apareceram em outras coleções com o mesmo

número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo,

mas não pode acontecer a repetição do mesmo

grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos

com p elementos, existem p! desses arranjos com os

mesmos elementos, assim, para obter a

combinação de m elementos tomados p a p,

deveremos dividir o número A(m,p) por m! para

obter apenas o número de arranjos que contem

conjuntos distintos, ou seja:

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como

A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)

então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!

que pode ser reescrito

C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-

1)p]

Multiplicando o numerador e o denominador desta

fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o

numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1=m!

e o denominador ficará:

p! (m-p)!

Assim, a expressão simplificada para a combinação

de m elementos tomados p a p, será uma das

seguintes:

NÚMERO DE ARRANJOS COM

REPETIÇÃO

Seja C um conjunto com m elementos distintos e

considere p elementos escolhidos neste conjunto em

uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas

é denominada um arranjo com repetição de m

elementos tomados p a p. Acontece que existem m

possibilidades para a colocação de cada elemento,

logo, o número total de arranjos com repetição de m

elementos escolhidos p a p é dado por mp.

Indicamos isto por:

Arep(m,p) = mp

NÚMERO DE PERMUTAÇÕES COM

REPETIÇÃO

Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5

bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem

determinada. Iremos obter o número de

permutações com repetição dessas bolas. Tomemos

10 compartimentos numerados onde serão

colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas

vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3)

possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos

compartimentos restantes para obter C(10-3,2)

possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas

amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).

O número total de possibilidades pode ser calculado

como:

Tal metodologia pode ser generalizada.

NÚMERO DE COMBINAÇÕES COM

REPETIÇÃO

Considere m elementos distintos e ordenados.

Escolha p elementos um após o outro e ordene estes

elementos na mesma ordem que os elementos

dados. O resultado é chamado uma combinação

com repetição de m elementos tomados p a p.

Denotamos o número destas combinações por

Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o

número m de elementos.

Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções

(a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são

exemplos de combinações com repetição de 5

elementos escolhidos 6 a 6.


59

Podemos representar tais combinações por meio de

símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido

(e colocado junto) tantas vezes quantas vezes

aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o

vazio Ø serve para separar os objetos em função

das suas diferenças

(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø

(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#

(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ

Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6#

e 4Ø. Para cada combinação existe uma

correspondência biunívoca com um símbolo e

reciprocamente. Podemos construir um símbolo

pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após

isto, os espaços vazios são prenchidos com barras.

Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:

Crep(5,6) = C(5+6-1,6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:

Crep(m,p) = C(m+p-1,p)

PROPRIEDADES DAS COMBINAÇÕES

O segundo número, indicado logo acima por p é

conhecido como a taxa que define a quantidade de

elementos de cada escolha.

Taxas complementares

C(m,p)=C(m,m-p)

Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.

Relação do triângulo de Pascal

C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)

Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605

NÚMERO BINOMIAL

O número de combinações de m elementos tomados

p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado

Coeficiente Binomial ou número binomial,

denotado na literatura científica como:

Exemplo: C(8,2)=28.

Extensão: Existe uma importante extensão do

conceito de número binomial ao conjunto dos

números reais e podemos calcular o número

binomial de qualquer número real r que seja

diferente de um número inteiro negativo, tomado a

uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não

podemos mais utilizar a notação de combinação

C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p

são números inteiros não negativos. Como

Pi=3,1415926535..., então:

A função envolvida com este contexto é a função

gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e

Estatística.

TEOREMA BINOMIAL

Se m é um número natural, para simplificar um

pouco as notações, escreveremos mp no lugar de

C(m,p). Então:

(a+b)m = a

m+m1a

m-1b+m2a

m-2b

2+m3a

m-3b

3+...+mmb

m

Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:

(a+b)2 = a

2 + 2ab + b

2

(a+b)3 = a

3 + 3 a

2b + 3 ab

2 + b

3

(a+b)4 = a

4 + 4 a

3b + 6 a

2b

2 + 4 ab

3 + b

4

(a+b)5 = a

5 + 5 a

4b + 10 a

3b

2 + 10 a

2b

3 + 5 ab

4 + b

5

A demonstração segue pelo Princípio da Indução

Matemática.

Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m,

dada por:

P(m): (a+b)m=a

m+m1a

m-1b+m2a

m-2b

2+m3a

m-

3b

3+...+mmb

m

P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b

Vamos considerar verdadeira a proposição P(k),

com k>1:

P(k): (a+b)k=a

k+k1a

k-1b+k2a

k-2b

2+k3a

k-3b

3+...+kkb

k

para provar a propriedade P(k+1).

Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira,

deveremos chegar à conclusão que:

(a+b)k+1

=ak+1

+(k+1)1akb+(k+1)2a

k-

1b

2+...+(k+1)(k+1)b

k+1

(a+b)k+1

= (a+b).(a+b)k

= (a+b).[a

k+k1a

k-1b+k2a

k-2b

2+k3a

k-

3b

3+...+kkb

k]

=

a.[ak+k1a

k-1b+k2a

k-2 b

2+k3a

k-

3b

3+...+kkb

k]

+b.[ak+k1a

k-1b+k2a

k-2b

2+k3a

k-

3b

3+...+kk b

k]

=

ak+1

+k1akb+k2a

k-1b

2+k3a

k-

2b

3+...+kkab

k

+akb+k1a

k-1b

2+k2a

k-2 b

3+k3a

k-

3b

4+...+kkb

k+1

=

ak+1

+[k1+1]akb+[k2+k1]a

k-

1b

2+[k3+k2]a

k-2b

3+[k4+k3] a

k-

3b

4+...+[kk-1+kk-2]a

2b

k-1+[kk+kk-

1]abk+kkb

k+1


60

=

ak+1

+[k1+k0] akb+[k2+k1]a

k-

1b

2+[k3+k2]a

k-2b

3

+[k4+k3]ak-3

b4+...+[kk-1+kk-2]a

2b

k-

1+[kk+kk-1]ab

k+kkb

k+1

Pelas propriedades das combinações, temos:

k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1

k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2

k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3

k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4

... ... ... ...

kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1

kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k

E assim podemos escrever:

(a+b)k+1

=

ak+1

+(k+1)1akb + (k+1)2a

k-1b

2 +

(k+1)3ak-2

b3

+(k+1)4ak-3

b4 +...+ (k+1)k-1a

2b

k-

1 + (k+1)kab

k + kkb

k+1

que é o resultado desejado.

BINÔMIO DE NEWRON

O binômio do tipo ( x + a )n , onde x IR, a

IR e n IN , é conhecido como binômio de

Newton.

Para o desenvolvimento do binômio de Newton

usaremos os números binomiais.

NÚMEROS BINOMIAIS

Dados dois números naturais n e p, tais que p n,

chama-se número binomial n sobre p , indicado

por

p

n , ao número definido por:

p

n=

)!(!

!

pnp

n

TRIÂNGULO DE PASCAL

Os números binomiais podem ser dispostos em

linhas e colunas, numa disposição triangular, de

modo que em cada linha fiquem os termos de

ordem “n” e em cada coluna os termos de ordem

“p”.

1. 0

0

1. 1 1

0 1

0

1. 2 1 2

0 2

1 2

2

1 3 3 1 3

0 3

1 3

2 3

3

1 4 6 4 1 4

0 4

1 4

2 4

3 4

4

1 5 10 10 5 1 5

0 5

1 5

2 5

3 5

4 5

5

1 6 15 20 15 6 1 6

0 6

1 6

2 6

3 6

4 6

5 6

6

Observar que :

1º) Cada linha começa e termina por .

2º) Adicionando dois elementos consecutivos de

uma linha obtemos o elemento situado abaixo

do segundo elemento somado.

DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE

NEWTON

Devemos usar a fórmula :

( x + a )n =

n022n11n0n axn

n...ax

2

nax

1

nax

0

n

Exemplo:

(2x + 3)5 =

5432

2345

35

53x2

4

53

x23

53x2

2

53x2

1

5x2

0

5

(2x + 3)5 = 1.32x

5 + 5.16x

4.3 + 10 . 8x

3.9 + 10 . 4x

2.

27 + 5.2x . 81 + 1 . 243

(2x+3)5

= 32x5 + 240x

4 + 720x

3 + 1.080x

2 + 810x +

243

FÓRMULA DO TERMO GERAL

T p+1 = ppn axp

n

Exercício: Calcular o 5º. termo no

desenvolvimento de ( 3x + 2 )9 .

p + 1 = 5 → p = 4


61

T5 =

4

9(3x)

9-4 . 2

4 → T5 =

!5!.4

!9 (3x)

5 . 16 =

489.888 x5

FATORAÇÃO

Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-

la na forma de um produto de expressões mais

simples.

CASOS DE FATORAÇÃO:

1. FATOR COMUM

ax + bx + cx = x (a + b + c)

O fator comum é x.

12x3 6x

2 + 3x = 3x (4x

2 2x + 1)

O fator comum é 3x.

2. AGRUPAMENTO

ax + ay + bx + by

Agrupar os termos de modo que em cada grupo

haja um fator comum.

(ax + ay) + (bx + by)

Colocar em evidência o fator comum de cada

grupo

a(x + y) + b(x + y)

Colocar o fator comum (x + y) em evidência

(x + y) (a + b) Este produto é a forma

fatorada da expressão dada

3. DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

A expressão a2 b

2 representa a diferença de

dois quadrados e sua forma fatorada é :

(a + b) (a b)

Ex: x2 36 = (x + 6) (x 6)

4. TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO

a2 + 2ab + b

2

Um trinômio é quadrado perfeito quando :

-- dois de seus termos são quadrados perfeitos

(a2 e b

2 )

– o outro termo é igual ao dobro do produto

das raízes dos quadrados perfeitos (2ab)

a2 + 2ab + b

2 = (a + b)

2

Ex: x2 + 6x + 9 = (x + 3)

2

a2 2ab + b

2 = (a b)

2

Ex: x2 6x + 9 = (x 3)

2

5. TRINÔMIO DO 2O

GRAU

Trinômio do tipo x2 + Sx + P

Devemos procurar dois números a e b que

tenham soma S e produto P.

x2 + Sx + P = (x + a) (x + b)

Ex: x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)

x2 + 2x 8 = (x + 4) (x 2)

x2 5x + 6 = (x 2) (x 3)

x2 2x 8 = (x 4) (x + 2)

6. SOMA DE DOIS CUBOS

A expressão a3 + b

3 representa a soma de dois

cubos.

Sua forma fatorada é :

(a + b) (a2 ab + b

2)

Ex: x3 + 8 = (x + 2) (x

2 2x + 4)

7. DIFERENÇA DE DOIS CUBOS

A expressão a3 b

3 representa a diferença de

dois cubos.

Sua forma fatorada é :

(a b) (a2 + ab + b

2)

Ex: x3 27 = (x 3) (x

2 + 3x + 9)


62

EQAÇÕES DO 1º GRAU

Toda equação possui um primeiro membro, que fica

à esquerda do sinal de igual, e um segundo membro

que fica à direita do sinal de igual.

Uma equação não se altera somando-se ou

subtraindo-se de ambos os membros um mesmo

número.

Uma equação não se altera multiplicando-se ou

dividindo-se ambos os membros por um mesmo

número diferente de zero.

Resolver uma equação é calcular o valor da

incógnita (termo desconhecido).

Exemplo:

a) x - 2 ( x - 1 ) = 4 - 3 ( x - 2 )

x - 2x + 2 = 4 - 3x + 6 aplicamos a propriedade

distributiva da multiplicação.

x – 2x + 3x = 4 + 6 –2 colocamos os termos com

variáveis no primeiro membro

e os termos independentes no

segundo membro (lembre-se

da troca de sinais).

2x = 8 efetuamos as operações

x = 8 / 2

x = 4

b) x - 3

1

2

x

- calcular o mmc dos denominadores de

todos os termos para torná-los iguais e

podermos eliminá-los.

mmc (2, 3 ) = 6

- reduzir todos os termos ao mesmo

denominador, fazendo as devidas

alterações.

6

2

6

3

6

6

xx

- eliminar os denominadores (isso só é

possível porque os dois membros têm

termos com denominadores iguais)

6x – 3x = 2

x = 2

x = 3

2

c) 63

1

2

3 xxx

- calcular o mmc dos denominadores

mmc (2, 3, 6)

2, 3, 6

1, 3, 3

1 ,1, 1

2

3

mmc (2, 3, 6) = 2 . 3 = 6

- igualar os denominadores

66

22

6

9 xxx

- eliminar os denominadores

9x – (2x – 2) = x

9x - 2x + 2 = x

9x - 2x - x = - 2

6x = - 2

x = 3

1

6

2

x = -3

1


63

ESTUDO DA RETA

EQUAÇÃO GERAL DA RETA

Denominamos equação de uma reta a toda equação

nas incógnitas x e y que exprime a condição para

que o ponto de coordenadas (x, y) pertença à reta.

Sua equação pode ser escrita da forma : ax + by

+ c = 0 , onde a, b e c são números conhecidos,

sendo a 0 ou b 0. Esta equação é denominada

equação geral da reta.

Cálculo da equação

Para obter uma equação da reta que passa por dois

pontos conhecidos, A = (x1, y1) e B = (x2, y2),

basta desenvolver o determinante na fórmula :

01212

11

yyxx

yyxx

pois esta é a condição para que o ponto P (x, y)

pertença à reta.

Exemplo:

Obter uma equação da reta r que passa por A(2,

0) e B(4, 1).

00124

02

yx 0

12

2

yx 1 . (x – 2 ) – 2 . y = 0

x – 2 – 2y = 0 x - 2y – 2 = 0

COEFICIENTE ANGULAR

Dada uma reta r do plano cartesiano, vamos

representar por a medida do ângulo de inclinação

de r em relação ao eixo x, conforme indicam as

figuras :

0o < < 90º

90º < < 180º

= 0º

= 90º

Chamamos coeficiente angular da reta r ao

número m definido por : m = tg ( 90º).

Quando = 90º dizemos que r não possui

coeficiente angular ( não existe m ).

CÁLCULO DE M

Nem sempre conhecemos a medida do ângulo de

inclinação de uma reta r. Mas o coeficiente angular

pode ser determinado a partir de outros elementos

da reta como, por exemplo, dois pontos ou a

equação geral.

COEFICIENTE ANGULAR DA RETA QUE

PASSA POR DOIS PONTOS

Dados dois pontos distintos, A(x1, y1) e B(x2, y2),

de uma reta r , o coeficiente angular é igual a :

x

y

x

y

x

y

y

x


64

m =

12

12

xx

yy

Exemplo :

Calcular o coeficiente angular da reta que passa por

A(2, 3) e B(4, 9) :

m =

12

12

xx

yy

=

24

39

=

2

6 = 3

COEFICIENTE ANGULAR DA RETA DE

EQUAÇÃO AX + BY + C = 0

Se uma reta r tem a equação ax + by + c = 0,

temos que : m = b

a

Exemplo :

Dê o coeficiente angular da reta (r) 3x + 6y + 11 =

0

m = b

a =

6

3 =

2

1

EQUAÇÃO REDUZIDA

Dizemos que y = mx + q é a equação reduzida

da reta r , onde m é o coeficiente angular e q é

denominado coeficiente linear (onde a reta r corta

o eixo y ).

Exemplo :

Obter a equação reduzida da reta (r) 2x + 2y – 5 = 0

2x + 2y – 5 = 0

2y = - 2x + 5

y = 2

5

2

2

x

equação reduzida y = 2

5 x coeficiente

angular é m = - 1

coeficiente linear é q = 2

5

EQUAÇÃO DA RETA, DADOS UM PONTO E

A DIREÇÃO

Sabemos achar a equação de uma reta que passa por

dois pontos conhecidos. Veremos agora uma

fórmula para achar a equação de uma reta que passa

num ponto dado P(x0, y0), e tem a direção

conhecida (por exemplo, é dado o coeficiente

angular).

A equação da reta r que passa por P(x0, y0) e é

paralela ao eixo x é : y = y0

A equação da reta r que passa por P(x0, y0) e é

paralela ao eixo y é : x = x0

A equação da reta r que passa por P(x0, y0) e

tem coeficiente angular m é : y – y0 = m(x –

x0)

Exemplo :

Dado o ponto P(5, 3),

a) a reta r que passa por P e é paralela ao eixo x

tem a equação :

y = y0 y = 3. Na forma geral, y – 3 = 0

b) a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y

tem a equação :

x = x0 x = 5. Na forma geral, x – 5 = 0

c) a reta t que passa por P e tem inclinação =

45º , logo m = tg 45º m = 1, tem a

equação :

y–y0 = m (x–x0) y–3= 1 (x–5) y–3 = x–5.

Na forma geral, x – y – 2 = 0.


65

FUNÇÃO QUADRÁTICA (PARÁBOLA)

A função quadrática (parábola)

Aplicações das parábolas

O sinal do coeficiente a

Sinal de Delta e a concavidade

A FUNÇÃO QUADRÁTICA (PARÁBOLA)

A função quadrática f:R->R é definida por

f(x)=ax²+bx+c

onde a, b e c são constantes reais, sendo que

Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é

denominada função trinômia do segundo grau, uma

vez que a expressão

a x² + b x + c = 0

representa uma equação trinômia do segundo grau

ou simplesmente uma equação do segundo grau. O

gráfico cartesiano desta função polinomial do

segundo grau é uma curva plana denominada

parábola.

APLICAÇÕES PRÁTICAS DAS

PARÁBOLAS

Dentre as dezenas de aplicações da parábola a

situações da vida, as mais importantes são:

Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no

foco de um espelho com a superfície parabólica e

esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos

que venham a refletir sobre o espelho parabólico do

farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente

ao eixo que contem o "foco" e o vértice da

superfície parabólica. Esta é uma propriedade

geométrica importante ligada à Ótica, que permite

valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito

do Ensino Fundamental.

Antenas parabólicas: Se um satélite artificial

colocado em uma órbita geoestacionária emite um

conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão

ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez

que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem

formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses

raios exatamente para um único lugar, denominado

o foco da parábola, onde estará um aparelho de

receptor que converterá as ondas eletromagnéticas

em um sinal que a sua TV poderá transformar em

ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e

outros programas que você assiste normalmente.

Radares: Os radares usam as propriedades óticas

da parábola, similares às citadas anteriormente

para a antena parabólica e para os faróis.


66

Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto

no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando

alcançar a maior distância possível tanto na

horizontal como na vertical, a curva descrita pelo

objeto é aproximadamente uma parábola, se

considerarmos que a resistência do ar não existe ou

é pequena.

Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance

horizontal é de 45 graus.

O SINAL DO COEFICIENTE DO TERMO

DOMINANTE

O sinal do coeficiente do termo dominante desta

função polinomial indica a concavidade da parábola

("boca aberta"). Se a>0 então a concavidade estará

voltada para cima e se a<0 estará voltada para

baixo.

Exemplo: A parábola, que é o gráfico da função

f(x)=x²+2x-3, pode ser vista no desenho.

O modo de construir esta parábola é atribuir valores

para x e obter os respectivos valores para f(x). A

tabela a seguir mostra alguns pares ordenados de

pontos do plano cartesiano onde a curva deverá

passar:

x -3 -2 -1 0 1 2

f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Como a > 0, a concavidade ("boca") da nossa

parábola estará voltada para cima.

Exemplo: Construir a parábola f(x)=-x²+2x-3.

Este exemplo é análogo ao anterior, só que nesse

caso, a<0, logo sua concavidade será voltada para

baixo. A diferença entre esta parábola e a do

exemplo anterior é que, houve a mudança do sinal

do coeficiente do termo dominante. A construção

da tabela nos dá:

x -1 0 1 2 3

f(x) -6 -3 -2 -3 -6

Relacionamento entre o discriminante e a

concavidade

Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal

do discriminante com o sinal do coeficiente do

termo dominante da função polinomial.

Delta A parábola no

plano cartesiano

a>0

concavidade

(boca) para

cima

a<0

concavidade

(boca) para baixo

D > 0

Corta o eixo

horizontal em 2

pontos

D = 0 Toca em 1 ponto

do eixo horizontal

D < 0 Não corta o eixo

horizontal

Exercícios: Construir o gráfico cartesiano de cada

uma das funções do segundo grau:

a. f(x) = x²-3x-4

b. f(x) = -3x²+5x-8

c. f(x) = 4x²-4x+1

Máximos e mínimos com funções quadráticas


67

Existem muitas aplicações para a função quadrática

e uma delas está relacionada com a questão de

máximos e mínimos.

Exemplo: Determinar o retângulo de maior área

que é possível construir se o seu perímetro mede 36

m.

Solução: Se x é a medida do comprimento e y é a

medida da largura, a área será dada por: A(x,y)=xy,

mas acontece que 2x+2y=36 ou seja x+y=18,

assim:

A(x) = x(18-x)

Esta parábola corta o eixo OX nos pontos x=0 e

x=18 e o ponto de máximo dessa curva ocorre no

ponto médio entre x=0 e x=18, logo, o ponto de

máximo desta curva ocorre em x=9. Observamos

que este não é um retângulo qualquer mas é um

quadrado pois x=y=9 e a área máxima será A=81m²

Alguns Exemplos:

1) Gráfico para as funções y= x2

e x= y2

2) Gráfico para as funções y=-x2

e x=-y2

3) Gráfico para as funções y= x

2-x-6 e x= y

2-y-6.

4) Alguns gráficos alterando apenas o “b” das

funções:

y=x2-x-6

y=x2-2x-6

y=x2-3x-6

y=x2-4x-6

5) Alguns gráficos alterando apenas o “a” das

funções:

y=x2-x-6

y=2x2-x-6

y=3x2-x-6

y=4x2-x-6


68

6) Alguns gráficos alterando apenas o “c” das

funções:

y=x2-x-3

y=x2-x-4

y=x2-x-5

y=x2-x-6

7) Alguns gráficos para as funções:

Y+x+4=x2

y-15x+36=y2


69

FUNÇÕES REAIS

Aplicação

Elementos de uma aplicação

Restrição de uma aplicação

Extensão de uma aplicação

Aplicação injetora

Aplicação sobrejetora

Aplicação bijetora

Composição de aplicações

Aplicações inversas

Imagem direta por aplicação

Imagem inversa por aplicação

Propriedades mistas

"Porque melhor é a sabedoria do que as jóias; e de

tudo o que se deseja nada se pode comparar com ela."

Provérbios 8:11 A Bíblia Sagrada

APLICAÇÃO

Dentre todas as relações em um determinado

produto cartesiano, existe um tipo de subconjunto

que é muito mais exigente mas que produz

resultados de grande valor na Matemática. Este

conceito é denominado função.

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma

aplicação f no produto cartesiano A×B, é definida

como sendo uma relação em A×B, que satisfaz às

duas propriedades:

1. Para cada xA, existe yB tal que (x,y) f.

2. Se (x,y1) f e (x,y2) f, então y1 = y2

Uma notação usual para uma aplicação f

definida no produto cartesiano A×B, é f:A→B.

Observações sobre aplicações

1. O primeiro ítem da Definição declara que todos

os elementos de A devem estar relacionados

com elementos de B.

2. O segundo ítem da Definição garante que um

elemento de A deve estar associado com

apenas um elemento em B

3. Nem toda relação no produto cartesiano R² é

uma aplicação, como mostra o exemplo

seguinte:

K = {(x,y) R² : x²+y²=1}


70

4. Em textos antigos, a palavra função era usada

de uma forma bastante livre no lugar de

aplicação, mas na literatura atual a palavra

aplicação passou a ter outros nomes como:

operador, transformação, funcional,…, e

houve a necessidade de restringir a palavra

função exclusivamente às situações em que o

conjunto B é um subconjunto do conjunto R

dos números reais.

ELEMENTOS DE UMA APLICAÇÃO

Seja f uma aplicação em A×B, denotada por

f:A→B.

1. O gráfico de f, às vezes usado como a definição

de função, é definido por:

G(f)={(x,y) A×B: xA, yB, y=f(x)}

2. O conjunto A recebe o nome de domínio de f,

denotado por Dom(f).

3. O conjunto B recebe o nome de contradomínio

de f, denotado por Codom(f).

4. A imagem de f, denotada por texto Im(f) é o

conjunto:

f(A)={yB: existe xA tal que y=f(x)}

Exemplo: A função quadrática f:R→[0,) pode ser

escrita na forma:

f={(x,y) R×[0,): xR, yR, y=x²}

ou na forma f:R→[0,) definida por

f(x)=x² sendo Dom(f)=R, Codom(f)=Im(f)=[0,).

Exercícios:

1. Sejam A={1,2,3,4,5} e B={0,3,8,15,20}.

Verificar se a relação f em A×B, definida por

(a,b)f se, e somente se, b=a²-1, é uma

aplicação.

2. Verificar se a relação f:Q→Q definida por

f(m/n)=mn é uma aplicação. (Dica: 1/2=3/6

mas,...)

3. Para A={1,2,3} e B={a,b,c,d}, seja a relação

g:A×B→B×A, definida por g(x,y)=(y,x).

Mostrar que g é uma aplicação.

RESTRIÇÃO DE UMA APLICAÇÃO

Podemos restringir o domínio de uma função

f:A→B a um subconjunto S de A de modo que a

função restrita ao conjunto S, denotada por f|S:S→B

seja coincidente com a função original sobre o

conjunto S, isto é, para cada xS tem-se que:

f|S(x)=f(x).

Exemplo: Podemos definir a restrição da função

f:R→R, f(x)=x² ao conjunto [0,) de modo que:

f|[0,):[0,)→R, f(x)=x²

EXTENSÃO DE UMA APLICAÇÃO

Podemos estender uma função f:A→B a um

conjunto M contendo o conjunto A de modo que a

função estendida ao conjunto M, denotada por

F:M→B deva ser coincidente com a função original

sobre o conjunto A, isto é, para cada, xA tem-se

que F(x)=f(x).

Exemplo: Consideremos a função f:R-{0}→R

definida por

f(x) = sen(x)/x

Não tem sentido para x=0, mas podemos estender

esta função de uma forma natural a todo o conjunto

R dos números reais, tomando f(0)=1. Esta forma é

comumente utilizada em Análise Matemática.

Dada uma aplicação f:A→B que associa a cada

elemento de A um único elemento de B, esta

definição não obriga que todos os elementos de A

tenham imagens distintas ou mesmo que todos os

elementos de B sejam imagens de elementos de A.

APLICAÇÃO INJETIVA

Mesmo que a≠b pode ocorrer que f(a)=f(b). Quando

elementos distintos de A possuem imagens

distintas, dizemos que a aplicação é injetora. A

definição seguinte estabelece este fato.

Uma aplicação f:A→B é denominada injetiva,

injetora, unívoca ou 1-1, se:


71

a≠b implicar que f(a)≠f(b)

Exemplo: A função f:R→R, definida por f(x)=x²

não é injetiva, pois f(-2)=f(2), mas a função

f:[0,)→[0,) definida por f(x)=x² é injetiva.

Teorema: Seja f:A→B uma aplicação. f é injetora

se, e somente se, f(a)=f(b) implica que a=b;

Demonstração: São equivalentes as proposições

lógicas

a≠b implica que f(a)≠f(b)

e

f(a)=f(b) implica que a=b

pois a proposição lógica (p→q) é equivalente à

proposição lógica (q'→p').

APLICAÇÃO SOBREJETORA

Pode ocorrer que algum elemento de B não seja

imagem de um elemento de A. Temos uma outra

definição.

Dizemos que a aplicação f:A→B é sobrejetiva,

sobre ou sobrejetora, se todos os elementos de B

são imagens de elementos de A, ou seja:

para todo bB existe aA tal que f(a)=b

significando que f(A)=B.

Exemplo: A função f:R→R, definida por f(x)=x²

não é sobrejetiva, pois não existe xR tal que

f(x)=-2, mas f:[0,)→[0,) definida por f(x)=x² é

sobrejetiva

Teorema: Seja f:A→B uma aplicação. f é

sobrejetora se, e somente se, para todo b→B, a

equação f(x)=b tem pelo menos uma solução em A

A demonstração é imediata, pois temos aqui duas

maneiras para garantir que f é sobrejetiva

APLICAÇÃO BIJETORA

Uma aplicação f:A→B é denominada bijetiva,

bijetora ou uma correspondência biunívoca, se f é

injetiva e também sobrejetiva

Exemplo: A função f:R→R, f(x)=x² não é bijetiva,

mas a função f:[0,)→[0,) definida por f(x)=x² é

bijetiva

Exemplo: A aplicação f:R-{2}→R-{3} definida

por f(x)=(3x-1)/(x-2) é injetora pois, se f(a)=f(b)

então (3a-1)/(a-2)=(3b-1)/(b-2) e daí segue que a=b.

f também é sobrejetiva pois se f(x)=b, então (3x-

1)/(x-2)=b, de onde segue que para b≠3: x=(2b-

1)/(b-3). Finalmente, segue que f é bijetora pois é

injetora e sobrejetora

Sobre a palavra 'sobre': Afirmar que f:A→B é

uma aplicação injetiva sobre o conjunto B, é o

mesmo que afirmar que f é bijetiva

Exercícios:

1. Mostrar que f:R→R, definida por f(x)=3x+2, é

bijetora.

2. Seja f:R→R uma função real afim da forma

f(x)=ax+b, sendo a≠0. Mostrar que f é bijetora

3. Mostrar que f:R→R definida por f(x)=2x²+4x-

1 não é sobrejetora, pois não existe x em R tal

que f(x)=-4.

4. Mostrar que funções reais de segundo grau não

são injetoras e nem mesmo sobrejetoras,

dependendo do domínio e do contradomínio

destas funções.

Dica 1: Para mostrar que f(x)=ax²+bx+c com

a≠0 não é injetora, basta calcular f(-(b)/(2a)+r)

e f(-(b)/(2a)-r).

Dica 2: Para mostrar que f não é sobrejetiva

suponha que o coeficiente a seja positivo e

tente obter o número real que é levado em (-

b²+4ac)/(4a)-1. Se a é negativo, calcule uma

pré-imagem de (-b²+4ac)/(4a)+1.

COMPOSIÇÃO DE APLICAÇÕES

Definição de composta: Sejam as aplicações

f:A→B e g:B→C. Definimos a aplicação composta

g©f:A→C de g e f, nesta ordem, por:

(g©f)(x)=g(f(x))


72

Uma outra representação geométrica para a

composta das aplica7ccedil;ões f e g, está ilustrada

na figura seguinte.

Exemplo: Sejam f:R→R definida por f(x)=2x e

g:R→R definida por g(y)=y². Definimos a

composta g©f:R→R por:

(gf)(x) = g(f(x)) = g(2x) = (2x)² = 4x²

Aplicação identidade

A identidade I:A→A é uma das mais importantes

aplicações da Matemática, definida para todo aA,

por I(a)=a. Quando é importante indicar o conjunto

X onde a identidade atua, a aplicação identidade

I:X→X é denotada por IX

Propriedades das aplicações compostas

1. A composição de aplicações não é comutativa,

isto é:

f©g ≠ g©f

2. A composição de aplicações é associativa, isto

é:

(f©g)©h=f©(g©h)

3. A composição de aplicações possui elemento

neutro, isto é:

f©I=I©f=f

4. Se f e g são aplicações injetivas, sobrejetivas e

bijetivas, então as compostas g©f são,

respectivamente, injetivas, sobrejetivas e

bijetivas.

APLICAÇÕES INVERSAS

Aplicação inversa à esquerda: Sejam f:A→B e

g:B→A aplicações. Dizemos que g é uma inversa à

esquerda para f se g©f=IA, isto é, para todo aA:

(g©f)(a)=a

Aplicação inversa à direita: Sejam g:B→A e

f:A→B aplicações. Dizemos que g é uma inversa à

direita para f se f©g=IB, isto é, para todo bB:

(f©g)(b)=b

Aplicação inversa: Uma aplicação f:A→B tem

inversa g:B→A se, g é uma inversa à esquerda e

também à direita para f. Isto significa que, para

todo aA e para todo bB:

(f©g)(a)=IA(a) e (g©f)(b)=IB(b)

Notação para a inversa: A inversa de f é denotada

por g=f-1

. É possível demonstrar que se a inversa

g=f-1

existe, ela é única e que a inversa da inversa

de f é a própria f, isto é: (f-1

)-1

=f.

IMAGEM UM CONJUNTO POR UMA

APLICAÇÃO

A imagem (direta) de um conjunto AX pela

aplicação f:X→Y, é definida por:

f(A) = {f(a): aA}

PROPRIEDADES DA IMAGEM DIRETA

Sejam f:X→Y uma aplicação, AX e BX. Então:

1. f({x})={f(x)} para todo x em X.

2. Se A≠ø então f(A)≠ø.

3. Se AB, então f(A)f(B).

Demonstração: Seja y(A). Pela definição de

imagem direta de um conjunto por uma

aplicação f, existe xA tal que y=f(x)f(A).

Como por hipótese, AB, então xB, logo

y=f(x)f(B).

4. f(AB)=f(A)f(B).

Demonstração: Em duas etapas:

a. f(AB)f(A)f(B).

b. f(A)f(B)f(AB).

Parte a: Seja wf(AB). Pela definição de

imagem direta, existe xAB tal que w=f(x).

Assim, xA ou xB e temos que f(x)f(A) ou

f(x)f(B) e garantimos que w = f (x) f (A)

f (B).

Parte b: Seja yf(A)f(B). Então, yf(A) ou

yf(B). Existe aA tal que y=f(a) ou existe

bB tal que y=f(b).

A primeira afirmação garante que y=f(a)f(A).

Como AAB,então pelo ítem (3) acima,

segue que f(A)f(AB), e temos que

yf(AB).

Analogamente, y=f(b)f(B). Como BAB,

então pelo ítem (3) acima, segue que

f(B)f(AB) e temos que yf(AB).

As duas circunstâncias garantem que

yf(AB).


73

5. f(AB)f(A)f(B).

Demonstração: Seja wf(AB). Pela

definição de imagem direta, existe xAB tal

que w=f(x). Assim, xA e xB e temos que

f(x)f(A) e f(x)f(B), logo wf(A) e wf(B),

assim wf(A)f(B).

6. Existem aplicações para as quais

f(AB)≠f(A)f(B).

IMAGEM INVERSA POR UMA

APLICAÇÃO

A imagem inversa de um conjunto WY pela

aplicação f:X→Y, é definida por

f-1

(W)={xX: f(x)W}

Propriedades da imagem inversa

Sejam f:X→Y uma aplicação, UY e VY. Então:

1. f-1

(ø)=ø

2. Se UV então f-1

(U)f-1

(V).

Demonstração: Seja xf-1

(U). Pela definição

de imagem inversa de um conjunto por uma

função f, segue que f(x)U. Como por

hipótese, UV, então f(x)V, logo xf-1

(V).

3. f-1

(UV)=f-1

(U)f-1

(V)

Demonstraremos a igualdade, em duas partes:

a. f-1

(UV)f-1

(U)f-1

(V).

b. f-1

(U)f-1

(V)f-1

(UV).

Parte a: Seja xf-1

(UV). Pela definição

de imagem inversa, segue que f(x)UV.

Pela definição de reunião de conjuntos,

temos que f(x)U ou f(x)V. Assim, xf-

1(U) ou xf

-1(V). Concluímos então que

xf-1

(U)f-1

(V).

Parte b: Seja xf-1

(U)f-1

(V). Pela

definição de reunião de conjuntos, temos

que xf-1

(U) ou xf-1

(V). Pela definição

de imagem inversa, segue que f(x)U ou

f(x)V. Assim, f(x)UV e concluímos

que xf-1

(UV).

4. f-1

(UV)=f-1

(U)f-1

(V)

Demonstraremos com duas inclusões:

a. f-1

(UV)f-1

(U)f-1

(V).

b. f-1

(U)f-1

(V)f-1

(UV).

Parte a: Seja xf-1

(UV). Pela definição

de imagem inversa, segue que f(x)UV.

Pela definição de interseção de conjuntos,

temos que f(x)U e f(x)V. Assim, xf-

1(U) e xf

-1(V). Concluímos que xf

-

1(U)f

-1(V).

Parte b: Seja xf-1

(U) )f-1

(V). Pela

definição de interseção de conjuntos,

temos que xf-1

(U) e xf-1

(V). Pela

definição de imagem inversa, segue que

f(x)U e f(x)V. Assim, f(x)UV e

concluímos que xf-1

(UV).

5. f-1

(Vc)=[f

-1(V)]

c

Demonstração em duas etapas.

a. f-1(V

c)[f

-1(V)]

c.

b. [f-1(V)]

cf

-1(V

c).

Parte a: Seja xf-1

(Vc). Pela definição de

imagem inversa, segue que f(x)Vc. Pela

definição de complementar, temos que f(x) não

está em V, logo x não pertence a f-1

(V) e temos

que x[f-1

(V)]c.

Parte b: Seja x[f-1

(V)]c. Pela definição de

complementar, temos que x não pertence a f-

1(V). Assim, f(x) não pertence ao conjunto V

ou seja f(x)Vc, o que implica que x f

-1(V

c).

6. Se VU então f-1

(U-V)=f-1

(U)-f-1

(V)

Demonstração: Usando o conceito de

complementar, segue que U-V=UVc. Pela

relação do ítem (4):

f-1

(U-V)=f-1

(UVc)=f

-1(U)f

-1(V

c)

Pelo ítem (5), segue que:

f-1

(U-V)=f-1

(U)[f-1

(V)]c=f

-1(U)-f

-1(V)

PROPRIEDADES MISTAS

Sejam f:X→Y uma aplicação. Assim:

1. Para todo AX, tem-se que:

A f-1

(f(A))

2. Para todo VY, tem-se que:

f(f-1

(V)) V

3. Se f é injetiva, então para todo AX, tem-

se que:

f-1

(f(A)) = A

4. Se f é sobrejetiva, então para todo VY,

tem-se que

f(f-1

(V)) = V

5. Se f é bijetiva, para todo AX e para todo

VY, tem-se que:

f-1

(f(A))=A e f(f-1

(V))=V


74

FUNÇÕES EXPONENCIAIS

A função exponencial

A Constante e de Euler

Conexão entre exp e o número e

Significado geométrico de e

Propriedades básicas

Simplificações matemáticas

Outras funções exponenciais

Leis dos expoentes

Relação de Euler

Algumas Aplicações

Resfriamento dos corpos

Curvas de aprendizagem

Crescimento populacional

Desintegração radioativa

A FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função exponencial natural é a função

exp:R→R+, definida como a inversa da função

logarítmo natural, isto é:

Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x

O gráfico da função exponencial é obtido pela

reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em

relação à identidade dada pela reta y=x.

Como o domínio da função Logaritmo natural é o

conjunto dos números reais positivos, então a

imagem da função exp é o conjunto dos números

reais positivos e como a imagem de Ln é o

conjunto R de todos os números reais, então o

domínio de exp também é o conjunto R de todos os

números reais.

Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x),

observamos que:

1. exp(x)>0 se x é real)

2. 0<exp(x)<1 se x<0

3. exp(x)=1 se x=0

4. exp(x)>1 se x>0

No Ensino Médio, a função exponencial é definida

a partir da função logarítmica e ciclicamente

define-se a função logarítmica em função da

exponencial como:

f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)

Para uma definição mais cuidadosa, veja

Logaritmos.

Exemplos:


75

1. Ln[exp(5)]=5

2. exp[ln(5)]=5

3. Ln[exp(x+1)1/2

]=(x+1)1/2

4. exp[Ln((x+1)1/2

]=(x+1)1/2

5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³

6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=x

k

7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)] = exp[7(Ln(3/4))] =

exp [(Ln(3/4)]7) = (3/4)

7

A CONSTANTE e DE EULER

Existe uma importantíssima constante matemática

definida por

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em

função da definição da função exponencial, temos

que:

Ln(e)=1

Este número é denotado por e em homenagem ao

matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um

dos primeiros a estudar as propriedades desse

número.

O valor deste número expresso com 40 dígitos

decimais, é:

e=2,718281828459045235360287471352662497757

CONEXÃO ENTRE O NÚMERO e E A

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Se x é um número real, a função exponencial exp(.)

pode ser escrita como a potência de base e com

expoente x, isto é:

ex = exp(x)

SIGNIFICADO GEOMÉTRICO DE e

Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que

a área da região do primeiro quadrante localizada

sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja

unitária, então o valor de v será igual a e.

PROPRIEDADES BÁSICAS DA FUNÇÃO

EXPONENCIAL

Se x e y são números reais e k é um número

racional, então:

1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).

2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.

3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.

4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)

5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)

6. exp(x.k)=[exp(x)]k

SIMPLIFICAÇÕES MATEMÁTICAS

Podemos simplificar algumas expressões

matemáticas com as propriedades das funções

exponenciais e logaritmos:

1. exp[Ln(3)]=3.

2. Ln[exp(20x)]=20x.

3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(25)]=2

5=32.

4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².

OUTRAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS

Podemos definir outras funções exponenciais como

g(x)=ax, onde a é um número real positivo diferente

de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o

expoente é um número racional r.

Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:

ar=exp[Ln(a

r)]

Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na

forma:

ar = exp[r.Ln(a)]

Esta última expressão, juntamente com a

informação que todo número real pode ser escrito

como limite de uma sequência de números

racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x

é um número real:

ax=exp[x.Ln(a)]

LEIS DOS EXPOENTES

Se x e y são números reais, a e b são números reais

positivos, então:

1. axa

y=a

x+y

2. ax/a

y=a

x-y

3. (ax)

y=a

x.y


76

4. (a b)x=a

xb

x

5. (a/b)x=a

x/b

x

6. a-x

=1/ax

RELAÇÃO DE EULER

Se i é a unidade imaginária e x é um número real,

então vale a relação:

eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)

ALGUMAS APLICAÇÕES

Funções exponenciais desempenham papéis

fundamentais na Matemática e nas ciências

envolvidas com ela, como: Física, Química,

Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia,

Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns

exemplos com aplicações destas funções.

Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi

encontrado morto em uma sala com temperatura

ambiente constante. O legista tomou a temperatura

do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de

32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e

tomou novamente a temperatura do corpo e

constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius.

Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo,

sabendo-se que a temperatura média de um corpo

humano normal é de 37 graus Celsius?

Partindo de estudos matemáticos pode-se construir

uma função exponencial decrescente que passa

pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas

representam o tempo e as ordenadas a temperatura

do corpo.

A curva que descreve este fenômeno é uma função

exponencial da forma:

f(t) = C eA t

então obtemos que:

A = Ln(30)-Ln(32)

C = 32/ (30/32)21

A função exponencial que rege este fenômeno de

resfriamento deste corpo é dada por:

f(t) = 124,09468 e-0,0645385t

e quando f(t) = 37 temos que:

t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos

que pode ser observado através do gráfico.

Observação: Neste exemplo, usamos a construção

de um gráfico e as propriedades operatórias das

funções exponenciais e logarítmicas.

Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por

psicólogos e educadores na descrição do processo

de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam

um papel importante.

A curva básica para este tipo de estudo é da forma:

f(x) = c - a e-k.x

onde c, a e k são constantes positivas.

Considerando o caso especial em que c=a temos

uma das equações básicas para descrever a relação

entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o

número de reforços x.

A função:

f(x) = c - a e-k.x

cresce rapidamente no começo, nivela-se e então

aproxima-se de sua assíntota y=c.

Estas curvas também são estudadas em Economia,

na representação de várias funções de custo e

produção.

Crescimento populacional: Em 1798, Thomas

Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of

Population" formulou um modelo para descrever a

população presente em um ambiente em função do

tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos

em certa população no instante t. Tomou as

hipóteses que os nascimentos e mortes naquele

ambiente eram proporcionais à população presente

e a variação do tempo conhecida entre os dois

períodos. Chegou à seguinte equação para

descrever a população presente em um instante t:

N(t)=No ert

onde No é a população presente no instante inicial

t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de

população.

O gráfico correto desta função depende dos valores

de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a

forma do gráfico será semelhante ao da função

y=Kex.


77

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha

pouca ou nenhuma influência sobre a população.

Desse modo, ele é mais um indicador do potencial

de sobrevivência e de crescimento de cada espécie

de população do que um modelo que mostre o que

realmente ocorre.

Consideremos por exemplo uma população de

bactérias em um certo ambiente. De acordo com

esta equação se esta população duplicar a cada 20

minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma

camada em volta da terra de 30 cm de espessura.

Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são

nulos, a população obedece ao modelo N=Noert. Na

realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente

oferece resistência ao seu crescimento e tende a

mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores

são, a quantidade disponível de alimentos,

acidentes, guerras, epidemias,...

Como aplicação numérica, consideremos uma

colônia de bactérias se reproduzindo normalmente.

Se num certo instante havia 200 bactérias na

colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias.

Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas

da última contagem?

No instante inicial havia 200 bactérias, então

No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então

N(12)=600=200 er12

logo

e12r

=600/200=3

assim

ln(e12r

)=ln(3)

Como Ln e exp são funções inversas uma da outra,

segue que 12r=ln(3), assim:

r=ln(3)/12=0,0915510

Finalmente:

N(48) = 200 e48.(0,0915510)

= 16200 bactérias

Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48

horas do início da contagem, haverá 16200

bactérias.

Desintegração radioativa: Os fundamentos do

estudo da radioatividade ocorrerram no início do

século por Rutherford e outros. Alguns átomos são

naturalmente instáveis, de tal modo que após algum

tempo, sem qualquer influência externa sofrem

transições para um átomo de um novo elemento

químico e durante esta transição eles emitem

radiações. Rutherford formulou um modelo para

descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se

N=N(t) representa o número de átomos da

substância radioativa no instante t, No o número de

átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva

chamada de constante de decaimento, então:

N(t) = No e-k.t

esta constante de decaimento k, tem valores

diferentes para substâncias diferentes, constantes

que são obtidas experimentalmente.

Na prática usamos uma outra constante T,

denominada meia-vida do elemento químico, que é

o tempo necessário para que a quantidade de

átomos da substância decaia pela metade.

Se N=No/2 para t=T, temos

No/2 = No e-k.T

assim

T=Ln(2)/k

Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida

de alguns elementos químicos:

Substância Meia-vida T

Xenônio 133 5 dias

Bário 140 13 dias

Chumbo 210 22 anos

Estrôncio 90 25 anos

Carbono 14 5.568 anos

Plutônio 23.103 anos

Urânio 238 4.500.000.000 anos

Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:

k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano


78

LOGARITMOS

A hipérbole equilátera

Definição de Logaritmo

Propriedades gerais

Simplificações matemáticas

Base para um logaritmo

Logaritmo decimal

Definição estranha de logaritmo

Cálculo de logaritmos

Característica e mantissa

Tábua logaritmos on-line

A HIPÉRBOLE EQUILÁTERA

Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x

diferente de zero. O gráfico desta função é a curva

plana denominada hipérbole equilátera, sendo que

um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e

o outro está localizado no terceiro quadrante.

Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e

construções de óculos, lentes, telescópios, estudos

de química, estudos em economia, etc.

DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas

vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do

ponto de vista geométrico, como a área da região

plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x,

acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que

está no desenho colorido de vermelho.


79

A área em vermelho representa o logaritmo natural

de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em

anexo, usaremos a definição:

Ln(u)=área(1,u)

Se u>1, a região possuirá uma área bem definida,

mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha

vertical (que não posssui área ou seja, possui área

nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1).

Assim:

Ln(1)=0

Quando aumentamos os valores de u, esta função

também aumenta os seus valores, o que significa

que esta função é crescente para valores de u>0.

O conceito de Integral de uma função real,

normalmente estudado na disciplina Cálculo

Diferencial e Integral, justifica a forma como

apresentamos o Logaritmo natural de um número

real.

PROPRIEDADES GERAIS DOS

LOGARITMOS

Com o uso deste conceito fundamental da

Matemática, é possível demonstrar várias

propriedades dos Logaritmos naturais (o que não

será feito aqui), para números reais positivos x e y e

para qualquer número real k, desde que tenham

sentido as expressões matemáticas:

Propriedades básicas dos logaritmos naturais

1. Ln(1)=0

2. Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y)

3. Ln(xk)=k.Ln(x)

4. Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)

ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES

MATEMÁTICAS

As propriedades dos Logaritmos podem ser usadas

para simplificar expressões matemáticas.

Exemplos:

1. Ln(5)+4.Ln(3)=Ln(5)+Ln(34=Ln(5.3

4)=Ln(405)

2. (1/2)Ln(4t²)-Ln(t)=Ln[(4t²)½]-Ln(t)=Ln(2), se t>0

3. Ln(a)+L(b)-Ln(c)+Ln(10)=Ln(10a.b/c)

Exercício: Qual dos números é o menor: 2.Ln(3)

ou 3.Ln(2)? Observamos que:

2 Ln(3) = Ln(3²) = Ln(9)

3 Ln(2) = Ln(2³) = Ln(8)

e como a função Ln é crescente, então:

3 Ln(2) = Ln(8)<Ln(9) = 2 Ln(3)

BASE PARA UM LOGARITMO

Existe um importante número real e=2,71828...

(atribuído a Euler) tal que

Ln(e) = 1

A partir da observação anterior, o número e

representa a base para os logaritmos naturais e

poderemos escrever:

Ln(u) = Loge(u)

que lemos como "logaritmo do número real u na

base e".

A partir do exposto acima, temos uma propriedade

que possibilita a mudança logarítmica de uma base

positiva para outra base positiva, sendo que ambas

devem ser diferentes de 1.

Loga(b) = Ln(b) / Ln(a)

Exercício: Você saberia a razão pela qual não é

possível definir logaritmo de um número na base 1?

LOGARITMO DECIMAL

No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base

10, uma vez que neste ambiente a base decimal

recebe as preferências para o trabalho com o nosso

sistema de numeração, mas devemos observar que

em contextos mais avançados, a base decimal tem

pouca utilidade. Quando escrevermos Log a partir

daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na

base decimal e escrevemos:

y = Log(x)

para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e

nesta base 10, temos algumas características

interessantes com os logaritmos das potências de 10

1. Log(1)=0

2. Log(0) não tem sentido

3. Log(10)=Log(101)=1

4. Log(1/10)=Log(10-1

)=-1

5. Log(100)=Log(10²)=2

6. Log(1/100)=Log(10-2

)=-2

7. Log(1000)=Log(10³)=3

8. Log(1/1000)=Log(10-3

)=-3

9. Log(10n)=n

10. Log(10-n

)=-n

A partir da propriedade

Log 10n=n


80

temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o

expoente n, o que nos faz pensar que para todo x

real positivo vale a relação:

Log(10x) = x

DEFINIÇÃO ESTRANHA DE LOGARITMO

A última expressão mostrada acima é correta e

existe uma outra relação muito mais geral do que

esta, pois o Logaritmo de um número real positivo

x na base b é igual ao número e se, e somente se, x

pode ser escrito como a potência b elevada ao

expoente e, isto é:

Logb(x) = e se, e somente se, x = be

Em livros de Matemática elementar, esta é tomada

como a definição de Logaritmo de um número em

uma certa base, o que é estranho pois tal definição é

cíclica:

Define-se o logarítmo em função da

exponencial;

Define-se a exponencial em função do

logaritmo.

CÁLCULOS DE LOGARITMOS DE ALGUNS

NÚMEROS

Com a definição estranha é possível obter o um

valor aproximado para o Log(2). Consideremos que

y=Log(2) e 10y=2. Inicialmente, temos que Log(2)

é positivo e menor do que 1, pois 1<2<10 assim

0<Log(2)<1

É interessante obter dois números que sejam

potências de 2 e que estejam muito próximos de

potências de 10.

Por exemplo:

1000<1024=210

8192=213

<10000,

logo 1000<1024<8192<10000, assim, aplicando o

logaritmo de base 10, teremos:

3<10 Log(2)<13 Log(2)<4

então

0,300=3/10<Log(2)<4/13=0,308

e a média aritmética entre 0,300 e 0,308 é 0,304,

que é uma boa estimativa para Log(2), isto é:

Log(2)=0,304

O ideal é encontrar outras potências de 10 que

estejam próximas de potências de 2, o que não é

fácil para alguém que não tenha uma calculadora

que opere com muitos decimais, o que pode ser

visualizado através da tabela mostrando algumas de

tais potências:

Intervalo Valores Média

1<2 <10 0<Log(2)<1 0,500

1<2²<10 0<Log(2)<1/2 0,250

10<24<10² 1/4<Log(2)<2/4 0,375

10<25<10² 1/5<Log(2)<2/5 0,300

10<26<10² 1/6<Log(2)<2/6 0,250

10²<28<10³ 2/8<Log(2)<3/8 0,313

10³<210

<104 3/10<Log(2)<4/10 0,350

10³<211

<104 3/11<Log(2)<4/11 0,318

10³<212

<104 3/12<Log(2)<4/12 0,292

10³<213

<104 3/13<Log(2)<4/13 0,269

104<2

14<10

5 4/14<Log(2)<5/14 0,321

104<2

15<10

5 4/15<Log(2)<5/15 0,300

104<2

16<10

5 4/16<Log(2)<5/16 0,282

105<2

17<10

6 5/17<Log(2)<6/17 0,393

105<2

18<10

6 5/18<Log(2)<6/18 0,306

105<2

19<10

6 5/19<Log(2)<6/19 0,289

106<2

20<10

7 6/20<Log(2)<7/20 0,325

Em Cálculo Diferencial e Integral, podemos

desenvolver a função Ln através de uma série de

potências de x para calcular logaritmos de números

reais positivos com -1<x<1.

Ln(1+x) = x - (1/2) x² + (1/3) x³ - (1/4) x4 + (1/5) x5 + ...

Uma outra série mais eficiente, permite obter o

valor de Ln(y) para qualquer y real desde que se

saiba o valor de x para o qual y=(1+x)/(1-x).

Ln(y) = 2 [ x + (1/3) x³ + (1/5) x5 + (1/7) x

7 + ... ]

Por exemplo, para obter Ln(3), tomamos y=3 e

deveremos ter x=1/2 para satisfazer à relação

y=(1+x)/(1-x).

Voltando ao estudo básico,

Log(2)=0,3010299956639812... e com este valor,


81

podemos obter os logaritmos das potências de 2,

como por exemplo:

1. Log(4)=Log(2²)=2Log(2)=0,60206

2. Log(8)=Log(2³)=3Log(2)=0,90309

3. Log(16)=Log(24)=4Log(2)=1,20412

4. Log(32)=Log(25)=5Log(2)=1,50515

5. Log(2n)=n.Log(2)

6. Log(1/2)=Log(2-1

)=(-1)Log(2)=-0,30103

7. Log(1/4)=Log(2-2

)=(-2)Log(2)=-0,60206

8. Log(1/8)=Log(2-3

)=(-3)Log(2)=-0,90309

9. Log(1/16)=Log(2-4

)=(-4)Log(2)=-1,20412

10. Log(1/32)=Log(2-5

)=(-5)Log(2)=-1,50515

11. Log(2-n

)=(-n).Log(2)

Temos também que Log(3)=0,47712, o que nos

permite realizar uma grande quantidade de cálculos

com logaritmos.

Com Log(2) e Log3, não é possível calcular os

logaritmos dos números primos maiores do que 5,

mas é possível obter uma grande quantidade de

logaritmos de números naturais.

Exemplo: Usaremos Log(2)=0,301 e Log(3) =

0,477, para calcular alguns logaritmos.

1. Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-

0,301=0,699

2. Log(6)=Log(2.3)=Log(2)+Log(3)=0,301+0,47

7=0,778

3. Log(8)=Log(2³)=3 Log(2)=0,903

4. Log(9)=Log(3²)=2 Log(3)=0,954

Uma estimativa razoável para Log(7)=0,8451 pode

ser obtida com a média aritmética entre Log(6) e

Log(8), isto é:

Log(7)=0,840

CARACTERÍSTICA E MANTISSA DE UM

LOGARITMO NA BASE 10

Se um número está entre duas potências

consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a

característica do logaritmo deste número e a

diferença entre o logaritmo do número e a

característica é a mantissa que é a parte decimal do

logaritmo.

Observação: Na tabela abaixo aparece o sinal

negativo para o logaritmo apenas para o número

que está antes da vírgula.

Número Logaritmo Característica Mantissa

0,002 ¯3,30103 -3 0,30103

0,02 ¯2,30103 -2 0,30103

0,2 ¯1,30103 -1 0,30103

2 0,30103 0 0,30103

20 1,30103 1 0,30103

200 2,30103 2 0,30103

2000 3,30103 3 0,30103

Esta notação simplifica operações com logaritmos,

visando mostrar que, se a divisão de dois números é

um múltiplo de 10, basta mudar a característica e

preservar a mantissa do logaritmo. Isto poderá ser

observado na Tábua moderna de logaritmos que

aparece no final desta Página.

¯3,30103 significa que apenas a característica é

negativa, valendo -3 e ela deve ser somada à

mantissa que é um número positivo 0,30103 e isto

significa que o resultado deve ser um número com

um sinal negativo, isto é, -2,69897.

RELAÇÕES E FUNÇÕES


82

Aplicações de relações e funções

O Plano Cartesiano

Produto Cartesiano

Relações no plano Cartesiano

Domínio e Contradomínio

Relações inversas

Propriedades de Relações

Relações de equivalência

Funções no plano Cartesiano

Relações que não são funções

Funções afim e lineares

Função identidade

Funções constantes

Funções quadráticas

Funções cúbicas

Domínio, Contradomínio, Imagem

Funções injetoras

Funções sobrejetoras

Funções bijetoras

Funções pares e ímpares

Funções crescentes

Funções compostas e Inversas

Operações com funções

Funções polinomiais e Aplicações

APLICAÇÕES DAS RELAÇÕES E FUNÇÕES

NO COTIDIANO

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente

nos deparamos com gráficos, tabelas e ilustrações.

Estes, são instrumentos muito utilizados nos meios

de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito

mais interessante, chamativo, agradável e de fácil

compreensão. Não é só nos jornais ou revistas que

encontramos gráficos. Os gráficos estão presentes

nos exames laboratoriais, nos rótulos de produtos

alimentícios, nas informações de composição

química de cosméticos, nas bulas de remédios,

enfim em todos os lugares. Ao interpretarmos estes

gráficos, verificamos a necessidade dos conceitos

de plano cartesiano.

O Sistema ABO dos grupos sangüíneos é explicado

pela recombinação genética dos alelos (a,b,o) e este

é um bom exemplo de uma aplicação do conceito

de produto cartesiano. Uma aplicação prática do

conceito de relação é a discussão sobre a interação

de neurônios (células nervosas do cérebro).

Ao relacionarmos espaço em função do tempo,

número do sapato em função do tamanho dos pés,

intensidade da fotossíntese realizada por uma planta

em função da intensidade de luz a que ela é exposta

ou pessoa em função da impressão digital,

percebemos quão importantes são os conceitos de

funções para compreendermos as relações entre os

fenômenos físicos, biológicos, sociais...

Observamos então que as aplicações de plano

cartesiano, produto cartesiano, relações e funções

estão presentes no nosso cotidiano.

Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de

Valores

O PLANO CARTESIANO

Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e

Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador

René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático

francês. O nome de Descartes em Latim, era

Cartesius, daí vem o nome cartesiano.

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois

eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam

na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas

(eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas

(eixo OY). Associando a cada um dos eixos o

conjunto de todos os números reais, obtém-se o

plano cartesiano ortogonal.

Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado

por um par ordenado de números, indicados entre

parênteses, a abscissa e a ordenada

respectivamente. Este par ordenado representa as

coordenadas de um ponto.

O primeiro número indica a medidada do

deslocamento a partir da origem para a direita (se

positivo) ou para a esquerda (se negativo).

O segundo número indica o deslocamento a partir

da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se

negativo). Observe no desenho que: (a,b)≠(b,a) se

a≠b.


83

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões

denominadas quadrantes sendo que tais eixos são

retas concorrentes na origem do sistema formando

um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos

quadrantes são indicados no sentido anti-horário,

conforme a figura, com as cores da bandeira do

Brasil.

Segundo

quadrante

Primeiro

quadrante

Terceiro

quadrante

Quarto

quadrante

Quadrante sinal de x sinal de y Ponto

não tem não tem (0,0)

Primeiro + + (2,4)

Segundo - + (-4,2)

Terceiro - - (-3,-7)

Quarto + - (7,-2)

PRODUTO CARTESIANO

Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos

o produto cartesiano entre A e B, denotado por

AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados

da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro

conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.

AxB = { (x,y): xA e yB }

Observe que AxB≠BxA, se A é não vazio ou B é

não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição:

AxØ=Ø=ØxB.

Se A possui m elementos e B possui n elementos,

então AxB possui mxn elementos.

Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o

produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e

será dado por:

AxB = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1),

(c,2), (c,3), (d,1), (d,2), (d,3)}

RELAÇÕES NO PLANO CARTESIANO

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em

AxB é qualquer subconjunto R de AxB.

A relação mostrada na figura acima é:

R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }

Uma relação R de A em B pode ser denotada por

R:A→B.

Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto

cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste

caso, temos algumas relações em AxB:

1. R1={(1,3),(1,4)}

2. R2={(1,3)}

3. R3={(2,3),(2,4)}

DOMÍNIO E CONTRADOMÍNIO DE UMA

RELAÇÃO

As relações mais importantes são aquelas definidas

sobre conjuntos de números reais e nem sempre

uma relação está definida sobre todo o conjunto dos

números reais. Para evitar problemas como estes,

costuma-se definir uma relação R:A→B, onde A e

B são subconjuntos de R, da seguinte forma:

O conjunto A é o domínio da relação R, denotado

por Dom(R) e B é o contradomínio da relação,

denotado por CoDom(R).

Dom(R) = { xA: existe y em B tal que (x,y)R}

Im(R)={yB: existe xA tal que (x,y)R}


84

Representações gráficas de relações em AxB:

R1={(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1),

(d,1), (d,2), (d,3)}

R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}

RELAÇÕES INVERSAS

Seja R uma relação de A em B. A relação inversa

de R, denotada por R-1

, é definida de B em A por:

R-1

= { (y,x)BxA: (x,y)R }

Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma

relação em AxB, definida por

R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}

Então:

R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}

Observação: O gráfico da relação inversa R-1

é

simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta

y=x (identidade).

PROPRIEDADES DE RELAÇÕES

Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo

elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou

seja, para todo xA: (x,x)R, isto é, para todo

xA: xRx.

Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é

dada por:

R = {(a,a),(b,b),(c,c)}

Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que

x está relacionado com y, implicar necessariamente

que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer

que sejam xA e yA tal que (x,y)R, segue que

(y,x)R.

Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

Transitiva: Uma relação R é transitiva, se x está

relacionado com y e y está relacionado com z,

implicar que x deve estar relacionado com z, ou

seja: quaisquer que sejam xA, yA e zA, se

(x,y)R e (y,z)R então (x,z)R.

Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}

Anti-simétrica: Sejam xA e yA. Uma relação R

é anti-simétrica se (x,y)R e (y,x)R implica que

x=y. Alternativamente, uma relação é anti-

simétrica: Se x e y são elementos distintos do

conjunto A então x não tem relação com y ou

(exclusivo) y não tem relação com x, o que

significa que o par de elementos distintos (x,y) do

conjunto A poderá estar na relação desde que o par

(y,x) não esteja.

Exemplo: Uma relação anti-simétrica em

A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) }

RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA

Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é

chamada relação de equivalência sobre A se, e

somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA,

definida abaixo, é de equivalência:

R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }

FUNÇÕES NO PLANO CARTESIANO

Referência histórica: Leonhard Euler (1707-

1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático

suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os

ramos da Matemática Pura e Aplicada, com


85

destaque para a Análise - estudo dos processos

infinitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o

responsável também pela adoção do símbolo f(x)

para representar uma função de x. Hoje, função é

uma das idéias essenciais em Matemática.

Uma função f de A em B é uma relação em AxB,

que associa a cada variável x em A, um único y em

B. Uma das notações mais usadas para uma função

de A em B, é:

f:A→B

Quatro aspectos chamam a atenção na definição

apresentada:

O domínio A da relação.

O contradomínio B da relação.

Todo elemento de A deve ter correspondente

em B.

Cada elemento de A só poderá ter no máximo

um correspondente no contradomínio B.

Estas características nos informam que uma função

pode ser vista geometricamente como uma linha no

plano, contida em AxB, que só pode ser "cortada"

uma única vez por uma reta vertical, qualquer que

seja esta reta.

Exemplo: A circunferência definida por

R={(x,y)R²: x²+y²=a²}

é uma relação que não é uma função, pois tomando

a reta vertical x=0, obtemos ordenadas diferentes

para a mesma abscissa x.

Neste caso Dom(R)=[-a,a] e CoDom(R)=[-a,a].

RELAÇÕES QUE NÃO SÃO FUNÇÕES

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação

R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }

não é uma função em AxB, pois associado ao

mesmo valor a existem dois valores distintos que

são 1 e 3.

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação

R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) }

não é uma função em AxB, pois nem todos os

elementos do primeiro conjunto A estão associados

a elementos do segundo conjunto B.

Na sequência, apresentaremos alguns exemplos

importantes de funções reais

FUNÇÕES AFIM E LINEARES

Função afim: Sejam a e b números reais, sendo a

não nulo. Uma função afim é uma função f:R R

que para cada x em R, associa f(x)=ax+b.

Exemplos:

1. f(x)=-3x+1

2. f(x)=2x+7

3. f(x)=(1/2)x+4

Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é

uma reta que não passa pela origem (0,0).

Função linear: Seja a um número real. Uma

função linear é uma função f:R R que para cada

x em R, associa f(x)=ax.

Exemplos:

1. f(x)=-3x

2. f(x)=2x

3. f(x)=x/2

O gráfico da função linear é uma reta que sempre

passa pela origem (0,0).


86

FUNÇÃO IDENTIDADE

É uma função f:R R que para cada x em R,

associa f(x)=x. O gráfico da Identidade é uma reta

que divide o primeiro quadrante e também o

terceiro quadrante em duas partes iguais.

FUNÇÕES CONSTANTES

Seja b um número real. A função constante associa

a cada xR o valor f(x)=b.

Exemplos:

1. f(x)=1

2. f(x)=-7

3. f(x)=0

O gráfico de uma função constante é uma reta

paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).

FUNÇÕES QUADRÁTICAS

Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A

função quadrática é uma função f:R→R que para

cada x em R, f(x)=ax²+bx+c.

Exemplos:

1. f(x)=x²

2. f(x)=-4 x²

3. f(x)=x²-4x+3

4. f(x)=-x²+2x+7

O gráfico de uma função quadrática é uma curva

denominada parábola.

FUNÇÕES CÚBICAS

Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente

de zero. A função cúbica é uma função f:R→R que

para cada x em R, associa f(x)=ax³+bx²+cx+d.

Exemplos:

1. f(x)=x³

2. f(x)=-4x³

3. f(x)=2x³+x²-4x+3

4. f(x)=-7x³+x²+2x+7

O gráfico da função cúbica do item (a), se

assemelha a uma parábola tanto no primeiro como

no terceiro quadrante, mas no primeiro os valores

de f(x) são positivos e no terceiro os valores de f(x)

são negativos.

DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM

DE UMA FUNÇÃO

Como nem toda relação é uma função, às vezes,

alguns elementos poderão não ter correspondentes

associados para todos os números reais e para evitar

problemas como estes, costuma-se definir o

Domínio de uma função f, denotado por Dom(f),

como o conjunto onde esta relação f tem

significado.

Consideremos a função real que calcula a raiz

quadrada de um número real. Deve estar claro que a

raiz quadrada de -1 não é um número real, assim

como não são reais as raízes quadradas de

quaisquer números negativos, dessa forma o

domínio desta função só poderá ser o intervalo

[0,), onde a raiz quadrada tem sentido sobre os

reais.


87

Como nem todos os elementos do contradomínio de

uma função f estão relacionados, define-se a

Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto

de todos os elementos do contradomínio que estão

relacionados com elementos do domínio de f, isto é:

Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }

Observe que, se uma relação R é uma função de A

em B, então A é o domínio e B é o contradomínio

da função e se x é um elemento do domínio de uma

função f, então a imagem de x é denotada por f(x).

Exemplos: Cada função abaixo, tem características

distintas.

1. f:R→R definida por f(x)=x²

Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,)

2. f:[0,2]→R definida por f(x)=x²

Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4]

3. A função modular é definida por f:R→R tal

que f(x)=|x|, Dom(f)=R, CoDom(f)=R e

Im(f)=[0,) e seu gráfico é dado por:

4. Uma semi-circunferência é dada pela função

real f:R→R, definida por

Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e

seu gráfico é dado por:

FUNÇÕES INJETORAS

Uma função f:A→B é injetora se quaisquer dois

elementos distintos de A, sempre possuem imagens

distintas em B, isto é:

x1≠x2 implica que f(x1)≠f(x2)

ou de forma equivalente

f(x1)=f(x2) implica que x1=x2

Exemplos:

1. A função f:R→R definida por f(x)=3x+2 é

injetora, pois sempre que tomamos dois valores

diferentes para x, obtemos dois valores

diferentes para f(x).

2. A função f:R→R definida por f(x)=x²+5 não é

injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-

1 temos f(-1)=6.

FUNÇÕES SOBREJETORAS

Uma função f:A→B é sobrejetora se todo elemento

de B é a imagem de pelo menos um elemento de A.

Isto equivale a afirmar que a imagem da função

deve ser exatamente igual a B que é o

contradomínio da função, ou seja, para todo y em B

existe x em A tal que y=f(x).

Exemplos:

1. A função f:R→R definida por f(x)=3x+2 é

sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem

de um elemento de R pela função.

2. A função f:R→(0,) definida por f(x)=x² é

sobrejetora, pois todo elemento pertecente a

(0,) é imagem de pelo menos um elemento de

R pela função.

3. A função f:R→R definida por f(x)=2x não é

sobrejetora, pois o número -1 é elemento do

contradomínio R e não é imagem de qualquer

elemento do domínio.

FUNÇÕES BIJETORAS

Uma função f:A→B é bijetora se ela é ao mesmo

tempo injetora e sobrejetora.

Exemplo: A função f:R→R dada por f(x)=2x é

bijetora, pois é injetora e bijetora.

FUNÇÕES PARES E ÍMPARES

Função par: Uma função real f é par se, para todo

x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma

função par possui o gráfico simétrico em relação ao

eixo vertical OY.

Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(-

x)=x²=f(x). Observe o gráfico de f! Outra função

par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x).

Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para

todo x do domínio de f, tem-se que f(-x)=-f(x).


88

Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em

relação à origem do sistema cartesiano.

Exemplo: As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x)

são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-

x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gráfico para

observar a simetria em relação à origem.

FUNÇÕES CRESCENTES E

DECRESCENTES

Função crescente: Uma função f é crescente, se

quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com

x<y, tivermos f(x)<f(y). Isto é, conforme o valor de

x aumenta, o valor da imagem de x pela função

também aumenta.

Exemplo: Seja a função f:R→R definida por

f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos

f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta,

a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente.

Função decrescente: Uma função f é decrescente,

se para quaisquer x e y do Domínio de f, com x<y,

tivermos f(x)>f(y). Isto é, conforme o valores de x

aumentam, os valores da imagem de x pela função f

diminuem.

Exemplo: Seja a função f:R→R definida por f(x)=-

8x+2. Para a=1 e b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14.

Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b), a

função é decrescente.

FUNÇÕES COMPOSTAS

Dadas as funções f:A→B e g:B→C, a composta de

f com g, denotada por g©f, é a função definida por

(g©f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f".

Para que a composição ocorra o

CoDom(f)=Dom(g).

Exemplo: Sejam as funções reais definidas por

f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4. As composições fog e gof

são possíveis e neste caso serão definidas por:

(f©g)(x)=f(g(x))=g(7x-4)=4(7x-4)+2=28x-14

(g©f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)-4=28u+10

Como a variável u não é importante no contexto,

ela pode ser substituída por x e teremos:

(g©f)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)-4=28x+10

Observação:Em geral, f©g é diferente de g©f.

Exemplo: Consideremos as funções reais definidas

por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4. Então:

(f©g)(x)=f(g(x))=f(2x-4)=(2x-4)²+1=4x²-

16x+17(g©f)(x)=g(f(x))=g(x²+1)=2(x²+1)-4=2x²-2

FUNÇÕES INVERSAS

Dada uma função bijetora f:A→B, denomina-se

função inversa de f à função g:B→A tal que se

f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e

b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1

.

Observação importante: Se g é a inversa de f e f é

a inversa de g, valem as relações:

g©f=IA e f©g=IB

onde IA e IB são, respectivamente, as funções

identidades nos conjuntos A e B. Esta característica

algébrica permite afirmar que os gráficos de f e de

sua inversa de g são simétricos em relação à função

identidade (y=x).

Exemplo: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e

a função f:A→B definida por f(x)=2x e g:B→A

definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as

situações das setas indicativas das ações das

funções.

Obtenção da inversa: Seja f:R→R, f(x)=x+3.

Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3.

Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e

isolando y obteremos y=x-3. Assim, g(x)=x-3 é a

função inversa de f(x)=x+3. Assim

fog=gof=Identidade. Com o gráfico observamos a

simetria em relação à reta identidade.


89

OPERAÇÕES COM FUNÇÕES

Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas

operações, entre as quais:

(f+g)(x) = f(x)+g(x)

(f-g)(x) = f(x)-g(x)

(f.g)(x) = f(x).g(x)

(f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x)≠0.

FUNÇÕES POLINOMIAIS

Uma função polinomial real tem a forma

f(x) = anxn + an-1x

n-1 + ... + a1x + ao

sendo Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f) dependente

de f.

Observação: A área de um quadrado pode ser

representada pela função real f(x)=x² onde x é a

medida do lado do quadrado e o volume de um

cubo pode ser dado pela função real f(x)=x³ onde x

é a medida da aresta do cubo. Esta é a razão pela

qual associamos as palavras quadrado e cubo às

funções com as potências 2 e 3.

Aplicação: As funções polinomiais são muito úteis

na vida. Uma aplicação simples pode ser realizada

quando se pretende obter o volume de uma caixa

(sem tampa) na forma de paralelepípedo que se

pode construir com uma chapa metálica quadrada

com 20 cm de lado, com a retirada de pequenos

quadrados de lado igual a x nos quatro cantos da

chapa. Concluímos que V(x)=(20-2x)x² e com esta

função é possível obter valores ótimos para

construir a caixa.

SEQUÊNCIAS REAIS

Sequências reais

Exemplos de sequências

Sequências finitas e infinitas

Sequências aritméticas e PA

Termo geral da PA

PA monótonas

Extremos e Meios na PA

Interpolação aritmética

Soma dos termos da PA

Sequências geométricas e PG

Termo geral da PG

PG monótonas

Interpolação geométrica

Soma dos termos da PG

Soma de série geométrica

Exercícios resolvidos

SEQUÊNCIAS REAIS

Função real: Uma função f sobre um conjunto X

com imagem no conjunto Y, denotada por f:X→Y,

associa a cada xX um único elemento yY, para

todos os elementos de X. O que caracteriza o nome

da função é o contradomínio Y da mesma. Se Y é

um conjunto de:

1. números reais, temos uma função real.

2. vetores, temos uma função vetorial.

3. matrizes, temos uma função matricial.

4. números complexos, a função é complexa.

Neste trabalho, o conjunto dos números naturais

será indicado por:

N={1,2,3,4,5,...}

Sequências reais: Uma sequência real (ou

sucessão) é uma função f:N→R que associa a cada

número natural n um número real f(n). O valor

numérico f(n) é o termo de ordem n da sequência.

Do modo como definimos a sequência, o domínio

de f é um conjunto infinito, mas o contradomínio

poderá ser finito ou infinito. O domínio de uma

sequência é indicado por Dom(f)=N e a imagem de

uma sequência por Im(f)={a1,a2,a3, ...}.

Muitas vezes, a sequência (função) é confundida

com a Imagem da função (conjunto de números),

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/sequenc/sequenc.htm#seq01


90

no entanto, esta confusão até mesmo colabora para

o entendimento do significado de uma sequência no

âmbito do Ensino Médio.

Um fato importante é que a função determina a

regra que os elementos do conjunto imagem devem

seguir.

EXEMPLOS IMPORTANTES DE SEQUÊNCIAS

REAIS

Função identidade: Seja f:N→R definida por

f(n)=n. Esta função pode ser representada

graficamente de várias formas, sendo que duas

delas estão mostradas abaixo, com o diagrama de

Venn-Euler (esquerda) e o gráfico cartesiano

(direito). Neste caso, Dom(f)=N e Im(f)={1,2,3,...}

Sequência de números pares: Seja f:N R

definida por f(n)=2n. Neste caso Im(f)={2,4,6,...}.

Duas representações gráficas para esta sequência,

são:

Sequência de números ímpares: A função f:N→R

definida por f(n)=2n-1, está representada abaixo e a

sua imagem é Im(f)={1,3,5,...}.

Sequência dos recíprocos: A sequência dos

recíprocos (ou inversos) dos números naturais

f:N→R é definida por f(n)=1/n. Neste caso

Im(f)={1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...}.

Sequência constante: Uma sequência constante é

uma função f:N R definida, por exemplo, por

f(n)=3 e pode ser representada graficamente por:

Neste caso, Im(f)={3}

Sequência nula: A sequência nula f:N R é

definida por f(n)=0. A imagem é o conjunto

Im(f)={0}. f pode ser vista graficamente como:

Sequência alternada: Uma sequência alternada

f:N R pode ser definida por f(n)=(-1)nn. Esta

sequência de números fica alternando o sinal de

cada termo, sendo um negativo e o seguinte

positivo, e assim por diante. A imagem é o

conjunto:

Im(f)={-1,+2,-3,+4,-5,+6,...}

Sequência aritmética: A sequência aritmética

f:N→R é definida por: f(n)=a1+(n-1)r e pode ser

vista com os gráficos abaixo:

Neste caso: Im(f)={a1,a1+r,a1+2r,...,a1+(n-1) r,...}.

Sequência geométrica: Uma sequência geométrica

é uma função f:N→R definida por: f(n)=a1qn-1

que

pode ser esboçada graficamente por:


91

Aqui Im(f)={a1,a1q,a1q2,...,a1q

n-1,...}.

Sequência recursiva:: Uma sequência é recursiva

se, o termo de ordem n é obtido em função dos

termos das posições anteriores.

Exemplo: A importante sequência de Fibonacci,

definida por f:N→R tal que f(1)=1 e f(2)=1 com

f(n+2)=f(n)+f(n+1)

para n>1, é uma sequência recursiva.

O conjunto imagem é

Im(f)={1,1,2,3,5,8,13,21,34,...}

f(1) = 1

f(2) = 1

f(3) = f(1)+f(2) = 1+ 1 = 2

f(4) = f(2)+f(3) = 1+ 2 = 3

f(5) = f(3)+f(4) = 2+ 3 = 5

f(6) = f(4)+f(5) = 3+ 5 = 8

f(7) = f(5)+f(6) = 5+ 8 = 13

f(8) = f(6)+f(7) = 8+13 = 21

f(9) = f(7)+f(8) = 13+21 = 34

... ... ...

As sequências de Fibonacci aparecem de uma

forma natural em estudos de Biologia, Arquitetura,

Artes e Padrões de beleza. O livro "A divina

proporção", Huntley, Editora Universidade de

Brasília, trata do assunto.

Observação: O gráfico de uma sequência não é

formado por uma coleção contínua de pontos mas

por uma coleção discreta. Eventualmente usamos

retas ou curvas entre dois pontos dados para melhor

visualizar o gráfico, mas não podemos considerar

tais linhas como representativas do gráfico da

sequência.

Toda vez que nos referirmos a uma sequência

f:N→R tal que f(n)=an, simplesmente usaremos a

imagem da sequência f, através do conjunto

Im(f)={ a1, a2, a3, ..., an-1, an, ...}

SEQUÊNCIAS FINITAS E INFINITAS

Quanto ao número de elementos da imagem, uma

sequência poderá ser finita ou infinita.

Sequência Finita: Uma sequência é finita se, o seu

conjunto imagem é um conjunto finito.

Exemplos: As sequências f:N→R definidas por

f(n)=0, g(n)=(-1)n e h(n)=cos(n/3) são finitas e as

suas imagens são, respectivamente:

Im(f)={0}, Im(g)={-1,1}, Im(h)={1/2,-1/2,-1,1}

Sequência Infinita: Uma sequência é infinita se, o

seu conjunto imagem é um conjunto infinito.

Exemplos: As sequências f:N→R definidas por

f(n)=2n, g(n)=(-1)nn, h(n)=sin(n) e k(n)=cos(3n)

são infinitas, pois suas imagens possuem infinitos

termos.

Exemplo: Seja a sequência infinita f:N→R, cujo

conjunto imagem é dado por Im(f)={5,10,15,20,...}.

Observamos que

f(1)=5=5×1, f(2)=10=5×2, f(3)=15=5×3, ..., f(n)=5n

Este é um exemplo de uma sequência aritmética, o

que garante que ela possui uma razão r=5, o que

permite escrever cada termo como

f(n)=f(1)+(n-1).r

No âmbito do Ensino Médio, esta expressão é

escrita como:

an=a1+(n-1).r

SEQUÊNCIAS ARITMÉTICAS E PA

Uma sequência muito útil é a sequência aritmética,

que possui domínio infinito. Esta sequência é

conhecida no âmbito do Ensino Médio, como uma

Progressão Aritmética infinita, mas o objeto

matemático denominado Progressão Aritmética

finita não é uma sequência, uma vez que o domínio

da função que define a progressão, é um conjunto

finito {1,2,3,...,m} contido no conjunto N dos

números naturais.

Progressão Aritmética finita: Surge aqui o

conceito de Progressão Aritmética finita, que é uma

coleção finita de números reais com as mesmas

características que uma sequência aritmética. As

Progressões Aritméticas são denotadas por PA e

são caracterizadas pelo fato que, cada termo a partir

do segundo, é obtido pela soma do anterior com um

número fixo r, denominado razão da PA.

Na sequência, apresentamos os elementos básicos

de uma Progressão Aritmética da forma:

C = { a1, a2, a3, ..., an, ..., am-1, am }

1. m é o número de termos da PA.


92

2. n indica uma posição na sequência. n é o índice

para a ordem do termo geral an no conjunto C.

3. an é o n-ésimo termo da PA, que se lê a índice

n.

4. a1 é o primeiro termo da PA, que se lê a índice

1.

5. a2 é o segundo termo da PA, que se lê a índice

2.

6. am é o último elemento da PA.

7. r é a razão da PA e é possível observar que

a2=a1+r, a3=a2+r, ..., an=an-1+r, ..., am=am-1+r

A razão de uma Progressão Aritmética, pode ser

obtida, subtraindo o termo anterior (antecedente) do

termo posterior (consequente), ou seja:

a2-a1 = a3-a2 = a4-a3 = ... an-an-1 = r

Exemplos de Progressões Aritméticas (finitas)

1. A PA definida pelo conjunto C={2,5,8,11,14}

possui razão r=3, pois:

2+3=5, 5+3=8, 8+3=11, 11+3=14

2. A PA definida pelo conjunto M={1,2,3,4,5}


1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, 4+1=5

3. A PA definida por M(3)={3,6,9,12,15,18}


6-3 = 9-6 = 12-9 = 15-12 = 3

4. A PA definida por M(4)= {0,4,8,12,16 } possui

razão r=4, pois:

4-0 = 8-4 = 12-8 = 16-12 = 4

Média aritmética: Dados n números reais x1, x2,

x3, ..., xn, definimos a média aritmética entre estes

números, denotada pela letra x com um traço sobre

a mesma, como a divisão entre a soma desses

números e o número de elementos:

Na Progressão Aritmética, cada termo é a média

aritmética entre o antecedente e o consequente do

termo tomado, daí a razão de tal denominação para

este tipo de sequência.

FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA

Consideremos a PA com razão r, definida por

P = { a1, a2, a3, ..., an-1, an }

Observamos que:

a1 = a1 = a1 + 0r

a2 = a1 + r = a1 + 1r

a3 = a2 + r = a1 + 2r

a4 = a3 + r = a1 + 3r

... ... ... ...

an = an-1+r = a1+(n-1)r

e obtemos a fórmula do termo geral da PA:

an = a1 + (n-1) r

Com o material apresentado, podemos obter

qualquer termo de uma Progressão Aritmética (PA),

sem precisar escrevê-la completamente.

Exemplo: Seja a PA com razão r=5, dada pelo

conjunto C={3,8,...,a30,...,a100}. O trigésimo e o

centésimo termos desta PA podem ser obtidos,

substituindo os dados da PA na fórmula do termo

geral an=a1+(n-1)r. Assim:

a30=3+(30-1)3=90 e a100=3+(100-1)3=300

Qual é o termo de ordem n=220

desta PA?

Exemplo: Para inserir todos os múltiplos de 5, que

estão entre 21 e 623, montaremos uma tabela.

21 25 30 ... 615 620 623

a1 a2 ... an-1 an

Aqui, o primeiro múltiplo de 5 é a1=25, o último

múltiplo de 5 é an=620 e a razão é r=5. Substituindo

os dados na fórmula an=a1+(n-1)r, obteremos

620 = 25 + (n-1)5

de onde segue que n=120, assim o número de

múltiplos de 5 entre 21 e 623, é igual a 120 e

podemos observar que o conjunto de tais números é

C5 = { 25, 30, 35, ..., 615, 620 }

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

MONÓTONAS

Quanto à monotonia, uma PA pode ser:

1. crescente se para todo n>1: r>0 e an<an+1.

2. constante se para todo n>1: r=0 e an+1=an.

3. decrescente se para todo n>1: r<0 e an+1<an.

Exemplo: A PA definida pelo conjunto

C={2,4,6,8,10,12} é crescente, pois r=2 e além

disso a1<a2<...<a5<a6.


93

Exemplo: A PA finita G={2,2,2,2,2} é constante.

Exemplo: A PA definida pelo conjunto Q={2,0,-2,-

4,-6} é decrescente com razão r=-2 e

a1>a2>...>a4>a5.

Exercício: Em uma PA com m termos, mostrar que

a razão r pode ser escrita na forma r=(am-a1)/(m-1).

EXTREMOS E MEIOS EM UMA PA

Em uma Progressão Aritmética (finita) dada pelo

conjunto:

C = { a1, a2, a3, ..., an,...,am-1, am }

os termos a1 e am são denominados extremos

enquanto os demais: a2, a3, ..., am-2, am-1 são os

meios aritméticos.

a1 a2, a3, ..., am-2, am-1 am

meios aritméticos

Exemplo: Na PA definida por C={1,3,5,7,9,11}, os

números 1 e 11 são os extremos e os números 3, 5,

7 e 9 são os meios aritméticos.

Termos equidistantes dos extremos: Em uma PA

com m termos, dois termos são equidistantes dos

extremos se a soma de seus índices é igual a m+1 e

sob estas condições, são equidistantes dos extremos

os pares de termos

a1 e am, a2 e am-1, a3 e am-2, ...

Se a PA possui um número de termos m que é par,

temos m/2 pares de termos equidistantes dos

extremos.

Exemplo: A PA definida por C={4,8,12,16,20,24},

possui um número par de termos e os extremos são

a1=4 e a6=24, assim:

a2 + a5 = 8 + 20 = 28 = a1 + a6

a3 + a4 = 12 + 16 = 28 = a1 + a6

a4 + a3 = 16 + 12 = 28 = a1 + a6

a5 + a2 = 20 + 8 = 28 = a1 + a6

Se o número m de termos é impar, temos (m-1)/2

pares de termos equidistantes e ainda teremos um

termo isolado (de ordem (m+1)/2) que é

equidistante dos extremos.

Exemplo: Na PA de C={1,3,5,7,9} os números 1 e

9 são os extremos da PA e os números 3, 5 e 7 são

os meios da PA. O par de termos equidistante dos

extremos é formado por 3 e 7, e além disso o

número 5 que ficou isolado também é equidistante

dos extremos.

Exemplo: A PA definida por C={4,8,12,16,20},

possui um número ímpar de termos e os extremos

são a1=4 e a5=20, logo

a2 + a4 = 8 + 16 = 24 = a1 + a5

a3 + a3 = 12 + 12 = 24 = a1 + a5

a4 + a2 = 16 + 8 = 24 = a1 + a5

INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA

Interpolar k meios aritméticos entre os números a e

b, significa obter uma PA com k+2 termos cujos

extremos são a e b, sendo que a é o primeiro termo

e b é o (último) termo de ordem k+2. Para realizar a

interpolação, basta determinar a razão da PA.

Exemplo: Para interpolar 6 meios aritméticos entre

a=-9 e b=19, é o mesmo que obter uma PA tal que

a1=-9, am=19 e m=8. Como r=(am-a1)/(m-1), então

r=(19-(-9))/7=4 e assim a PA ficará na forma do

conjunto:

C = { -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19 }

SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE

UMA PA (FINITA)


94

Em uma PA (finita), a soma de dois termos

eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos

extremos desta PA. Assim:

a2+am-1=a3+am-2=a4+am-3=...=an+am-n+1=...=a1+am

Seja a soma Sn dos n primeiros termos da PA, dada

por

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an

Como a soma de números reais é comutativa,

escrevemos:

Sn = an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a1

Somando membro a membro as duas últimas

expressões acima, obtemos:

2Sn = (a1+an) + (a2+an-1) +...+ (an-1+a2) + (an+a1)

Como todas as n expressões em parênteses são

somas de pares de termos equidistantes dos

extremos, segue que a soma de cada termo, sempre

será igual a (a1+an), então:

2Sn = (a1 + an) n

Assim, temos a fórmula para o cálculo da soma dos

n primeiros termos da PA.

Sn = (a1 + an)n/2

Exemplo: Para obter a soma dos 30 primeiros

termos da PA definida por C={2,5,8,...,89}. Aqui

a1=2, r=3 e n=30. Aplicando a fórmula da soma,

obtida acima, temos:

Sn = (a1+an)n/2 = (2+89)×30/2 = (91×30)/2 = 1365

SEQUÊNCIAS GEOMÉTRICAS E PG

Outra sequência muito importante é a sequência

geométrica, que possui domínio infinito. Esta

sequência é conhecida no âmbito do Ensino Médio,

como uma Progressão Geométrica infinita, mas o

objeto matemático denominado Progressão

Geométrica finita não é uma sequência, uma vez

que o domínio da função é um conjunto finito

{1,2,3,...,m} que é um subconjunto próprio de N.

As sequência geométricas são aplicadas a estudos

para a obtenção do montante de um valor

capitalizado periodicamente, assim como em

estudos de Taxas de juros, Financiamentos e

Prestações. Tais sequências também aparecem em

estudos de decaimento radioativo (teste do Carbono

14 para a análise da idade de um fóssil ou objeto

antigo).

No Ensino Superior tais sequências aparecem em

estudos de Sequências e Séries de números e de

funções, sendo que a série geométrica (um tipo de

sequência obtida pelas somas de termos de uma

sequência geométrica) é muito importante para a

obtenção de outras séries numéricas e séries de

funções.

Progressão Geométrica finita: Uma Progressão

Geométrica finita, é uma coleção finita de números

reais que possui as mesmas características que uma

sequência geométrica, no entanto, possui um

número finito de elementos. As Progressões

Geométricas são denotadas por PG e são

caracterizadas pelo fato que a divisão do termo

seguinte pelo termo anterior é um quociente q

fixado.

Se este conjunto possui m elementos, ele é

denotado por

G = { a1, a2, a3, ..., an,...,am-1,am }

No caso de uma Progressão Geométrica finita,

temos os seguintes termos técnicos.

1. m é o número de termos da PG.

2. n indica uma posição na sequência. n é o índice

para a ordem do termo geral an no conjunto G.

3. an é o n-ésimo termo da PG, que se lê a índice

n.

4. a1 é o primeiro termo da PG, que se lê a índice

1.

5. a2 é o segundo termo da PG, que se lê a índice

2.

6. am é o último elemento da PG.

7. q é a razão da PG, que pode ser obtida pela

divisão do termo posterior pelo termo anterior,

ou seja na PG definida por G={a1,a2,a3,...,an-

1,an}, temos que

a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 =...= an/an-1 = q

Média geométrica: Dados n números reais

positivos x1, x2, x3, ..., xn, definimos a média

geométrica entre estes números, denotada pela letra

g, como a raiz n-ésima do produto entre estes

números, isto é:

Na Progressão Geométrica, cada termo é a média

geométrica entre o antecedente e o consequente do

termo tomado, daí a razão de tal denominação para

este tipo de sequência.

FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PG

Observamos que:

a1 = a1 = a1 q0

a2 = a1 q = a1 q1

a3 = a2 q = a1 q2

a4 = a3 q = a1 q3

... ... ...

an = an-1 q = a1 qn-1

E temos a fórmula para o termo geral da PG, dada

por:


95

an = a1 qn-1

Exemplos com progressões geométricas finitas

1. Seja a PG finita, definida por G={2,4,8,16,32}.

Obtemos a razão q=2 da PG com a divisão do

consequente pelo antecedente, pois:

32÷16 = 16÷8 = 8÷4 = 4÷2 = 2

2. Para a PG definida por G={8,2,1/2,1/8,1/32}, a

divisão de cada termo posterior pelo anterior é

q=1/4, pois:

1/32÷1/8 = 1/8÷1/2 = 1/2÷2 = 2÷8 = 1/4

3. Para a PG definida por T={3,9,27,81}, temos:

q = 9/3 = 27/3 = 81/3 = 3

4. Para a PG A={10,100,1000,10000}, temos:

q = 100/10 = 1000/100 = 10000/1000 = 10

5. Para obter o termo geral da sequências

geométrica definida por E={4,16,64,...},

tomamos a1=4 e a2=16. Assim q=16/4=4.

Substituindo estes dados na fórmula do termo

geral da sequência geométrica, obtemos:

f(n) = a1.qn-1

= 41.4

n-1=4

(n-1)+1 = 4

n

6. Para obter o termo geral da PG tal que a1=5 e

q=5, basta usar a fórmula do termo geral da

PG, para escrever:

an = a1.qn-1

= 5.5n-1

= 51.5

n-1 = 5

(n-1)+1 = 5

n

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

MONÓTONAS

Quanto ao aspecto de monotonia, uma PG pode ser:

1. Crescente se para todo n>1: q>1 e an<an+1.

2. Constante se para todo n>1: q=1 e an=an+1.

3. Decrescente se para todo n>1: 0<q<1 e an>an+1.

4. Alternada se para todo n>1: q<0.

Exemplo:

1. A PG definida por U={5,25,125,625} é

crescente, pois a1<a2<a3<a4.

2. A PG definida por O={3,3,3,3} é constante,

pois a1=a2=a3=a4=3.

3. A Progressão Geométrica definida por N={-2,-

4,-8,-16} é decrescente, pois a1>a2>a3>a4.

INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Interpolar k meios geométricos entre dois números

dados a e b, significa obter uma PG com k+2

termos, cujos extremos são a e b, sendo que a é o

primeiro termo da PG e b é o último termo da PG,

que possui ordem k+2. Para realizar a interpolação

geométrica, basta determinar a razão da PG.

Exemplo: Para interpolar três meios geométricos

entre 3 e 48, basta tomar a1=3, an=48, k=3 e n=5

para obter a razão da PG. Como an=a1qn-1

, então

48=3q4 e segue que q

4=16, garantindo que a razão é

q=2. Temos então a PG:

R = { 3, 6, 12, 24, 48 }

FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE

UMA PG FINITA

Seja a PG finita, Y={a1,a1q,a1q2,...,a1q

n-1}.

Indicamos a soma dos n termos dessa PG, por:

Sn = a1 + a1 q + a1 q2 + ... + a1 q

n-1

Se q=1, temos:

Sn = a1 + a1 + a1 + ... + a1 =n a1

Se q é diferente de 1, temos

Sn = a1 + a1q + a1q2 + a1q

3 + ... + a1q

n-1

Multiplicando ambos os membros da igualdade

acima pela razão q, obteremos


96

q Sn = a1q + a1q2 + a1q

3 + a1q

4 + ... + a1q

n-1 + a1q

n

Dispondo estas expressões de uma forma alinhada,

obteremos:

Sn = a1 + a1q +...+ a1qn-1

q Sn = a1q +...+ a1qn-1

+ a1qn

Subtraindo membro a membro, a segunda

expressão da primeira, obteremos

Sn - q Sn = a1 - a1 qn

que pode ser simplificada em

Sn(1-q) = a1 (1 - qn)

ou seja

Sn = a1(1-qn)/(1-q) = a1(q

n-1)/(q-1)

Esta é a fórmula para a soma dos n termos de uma

PG finita de razão q, sendo -1<q<1.

Exemplos

1. Para obter os termos da PG W={3,9,27,81},

devemos obter a razão desta PG e como esta é

obtida pela divisão do termo posterior pelo

termo anterior, temos que q=9/3=3. Como a1=3

e n=4, substituímos os dados na fórmula da

soma dos termos de uma PG finita, obtemos:

S4=3 (34-1)/(3-1)=3(81-1)/2= 3×80/2=120

2. Para obter a soma dos 5 primeiros termos de

uma PG cuja razão é q=1 e a1=2, podemos

identificar a PG com o conjunto X={2,2,2,2,2}.

Como a razão da PG é q=1, temos que a soma

dos seus termos é obtida por S5=2×5=10.

SOMA DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA

Uma sequência geométrica (infinita) é semelhante a

uma PG, mas nesse caso ela possui infinitos

elementos. Consideremos agora esta sequência

geométrica definida por f(n)=a1qn-1

, cujos termos

estão no conjunto infinito:

F = {a1,a1q,a1q2,a1q

3,...,a1q

n-1,...}

A soma dos termos desta sequência geométrica, é

conhecida como a série geométrica de razão q, e

não pode ser obtida da mesma forma que no caso

das PGs (finitas), mas aquele processo será

utilizado para auxiliar no presente cálculo.

Consideremos a soma dos termos desta sequência

geométrica, como:

St = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...

que também pode ser escrita da forma

St = a1 + a1 q + a1 q2 + a1 q

3 + ... + a1q

n-1 + ...

ou na forma simplificada

St = a1 (1 + q + q2 + q

3 + ... + q

n-1 + ... )

A expressão matemática dentro dos parênteses

S = 1 + q + q2 + q

3 + ... + q

n-1 + ...

é carente de significado, pois temos uma quantidade

infinita de termos e dependendo do valor de q, esta

expressão, perderá o sentido real.

Analisaremos a situação em cinco casos, mas o

último [caso (e)] é o mais importante nas

aplicações.

Caso (a): Se q>1, digamos q=2, temos que

S = 1 + 2 + 22 + 2

3 +...+ 2

n-1 +... = infinito

e o resultado não é um número real.

Caso (b): Se q=1, temos que

S = 1 + 1 + + 1 +...+ 1 +... = infinito

e o resultado não é um número real.

Caso (c): Se q=-1, temos que

S=-1 + 1 -1 + 1 -1 +1 ... -1 +1 + ...

e dependendo do modo como reunirmos os pares de

números consecutivos desta PG infinita, obteremos:

S = 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+...+(-1+1) +... = 1

mas se tomarmos:

S = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1) +...+ (1-1) +... = 0

ficará claro que q=-1, a soma dos termos desta série

se tornará complicada.

Caso (d): Se q<-1, digamos q=-2, temos que

S = 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 - 64 +...+ 2n-1

- 2n + ...

que também é uma expressão carente de

justificativa.

Caso (e): Se -1<q<1, teremos o caso mais

importante para as aplicações. Neste caso as séries

geométricas são conhecidas como séries

convergentes. Quando uma série não é convergente,

dizemos que ela é divergente.

Consideremos

S = 1 + q + q2 + q

3 +...+ q

n-1 +...

A soma dos n primeiros termos desta série

geométrica, será indicada por:

Sn = 1 + q + q2 + q

3 + ... + q

n-1

e já mostramos antes que

Sn = (1-qn)/(1-q)

mas se tomamos -1<q<1, a potência qn se aproxima

do valor zero, à medida que o expoente n se torna

muito grande e sem controle (os matemáticos dão o

nome infinito ao pseudo-número com esta

propriedade).


97

Para obter a soma S, deve-se então tomar o limite

de Sn quando n tende a infinito e poderemos

escrever:

Concluímos então que para -1<q<1, vale a

igualdade:

S = 1 + q + q2 + q

3 + ... + q

n-1 + ... = 1/(1-q)

De uma forma geral, se -1<q<1, a soma

St = a1 + a1 q + a1 q2 + a1 q

3 + ... + a1q

n-1 + ...

pode ser obtida por:

St = a1/(1-q)

Exemplos:

1. Para obter a soma dos termos da sequência

geométrica definida por S={2,4,8,16,...},

devemos obter a razão, que neste caso é q=2.

Assim, a soma dos termos desta PG infinita é

dada por:

Sn=2 + 4 + 8 + 16 + ...

e esta série é divergente.

2. Para obter a soma dos termos da sequência

geométrica definida por

Y={5,5/2,5/4,5/8,5/16,...}, temos que a razão é

q=1/2 e a1=5, recaindo no caso (e), assim, basta

tomar

St = 5/(1-½) = 10

GEOMETRIA ESPACIAL: VETORES NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL

Vetores no espaço R3

Soma de vetores e propriedades

Aplicações geométricas

Diferença de vetores

Produto por escalar e propriedades

Módulo de vetor e vetores unitários

Produto escalar

Propriedades do Produto escalar

Ângulo entre vetores (Prod.Escalar)

Vetores ortogonais

Produto Vetorial e propriedades

Ângulo entre vetores (Prod.Vetorial)

Aplicações do Produto Vetorial

Produto Misto e aplicações

VETORES NO ESPAÇO R³

Existe uma estreita relação entre vetores no espaço

R2 e no espaço R³. Na verdade, o conceito de vetor

geométrico nos espaços euclidianos é sempre

realizado da mesma forma, o que diferencia são as

aplicações mais ricas que existem em R³.

Definição: Um vetor (geométrico) no espaço R³ é

uma classe de objetos matemáticos (segmentos de

reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e

mesma intensidade. Esta classe de equivalência de

objetos com as mesmas características é

representada por um segmento de reta desta família

(representante).

O representante escolhido, quase sempre é o vetor v

cuja origem é (0,0,0) e extremidade é o terno

ordenado (a,b,c) do espaço R³, razão pela qual

denotamos este vetor por: v=(a,b,c).

Se a origem do vetor não é a origem (0,0,0) do

sistema R³, realizamos a diferença entre a

extremidade e a origem do vetor. Por exemplo, se

um vetor v tem origem em (1,2,3) e extremidade

em (7,12,15), ele é dado por v=(6,10,12), pois:

v = (7,12,15) - (1,2,3) = (6,10,12)


98

Existe uma definição mais ampla do conceito de

vetor (não necessariamente geométrica) que

envolve uma gama variada de objetos matemáticos

como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de

equações diferenciais, etc.

SOMA DE VETORES

Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a soma

de v e w, por:

v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3)

Propriedades da soma de vetores

1. Fecho: Para quaisquer u e v de R³, a soma u+v

está em R³.

2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R³:

v+w=w+v.

3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de

R³: u+(v+w)=(u+v)+w.

4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0,0)

em R³ tal que para todo vetor u de R³, se tem:

Ø+u=u.

5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R³,

existe um vetor -v em R³ tal que: v+(-v)=Ø.

APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS

Ponto Médio de um segmento: Dado um

segmento de reta, cujas extremidades são também

as extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1) e

v2=(x2,y2,z2), o ponto médio deste segmento é dado

por m=(x,y,z) onde

x = (x1+x2)/2; y = (y1+y2)/2; z = (z1+z2)/2

Centro de Gravidade de um triângulo:

Consideremos os vértices de um triângulo, dados

pelas extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1),

v2=(x2,y2,z2) e v3=(x3,y3,z3). O centro de gravidade

deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y,z) onde

x =(x1+x2+x3)/3; y =(y1+y2+y3)/3; z =(z1+z2+z3)/3

DIFERENÇA DE VETORES

Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a

diferença entre v e w, por:

v - w = (v1-w1,v2-w2,v3-w3)

Exercício: Dados v=(1,3,4) e w=(1,8,12), construir

os vetores v, w, -v, -w, v+w e v-w.

PRODUTO DE VETOR POR ESCALAR

Se v=(a, b, c) e k é um número real, definimos a

multiplicação de k por v, como:

k.v = (ka,kb,kc)

PROPRIEDADES DO PRODUTO DE

ESCALAR POR VETOR

Quaisquer que sejam os escalares a, b e c e os

vetores v e w teremos:

(E1) 1 v = v

(E2) (a b)v = a (b v) = b (a v)

(E3) a v = b v com v não nulo, então a=b.

(E4) k (v + w) = k v + k w

(E5) (a + b)v = a v + b v

MÓDULO DE UM VETOR E VETORES UNITÁRIOS

O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) é

definido por:

Um vetor unitário é o que tem o módulo

(comprimento) igual a 1.

Exemplo: Existe um importante conjunto com três

vetores unitários de R³.

i = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)

Estes três vetores formam a base canônica para o

espaço R³, o que significa que todo vetor no espaço

R³ pode ser escrito como combinação linear dos

vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então:

v = (a,b,c) = a i + b j + c k

Para obter um versor de v, isto é, um vetor unitário

com a mesma direção e sentido que um vetor v,

basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

u = v / |v|

Para construir um vetor w paralelo a um vetor v,

basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é:

w = k v

As três projeções ortogonais do vetor v=(a,b,c)

sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são

respectivamente, dadas por:

vx=(0,b,c); vy=(a,0,c); vz=(a,b,0)

Exercício: Quais são os vetores que representam as

projeções ortogonais do vetor v = (3,4,12)? Quais

são os módulos de todos estes vetores? Esboce um

gráfico com estes vetores.

PRODUTO ESCALAR

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3),

definimos o produto escalar (produto interno) entre

v e w, como o escalar real:


99

v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3

Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e

w=(2,-7,12) é:

v.w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48

O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:

v.w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0

Exercício: Faça um gráfico, com muito cuidado nas

medidas e mostre as posições dos vetores v e w do

último exemplo.

PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR

Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar

k:

(PE1) v.w = w.v

(PE2) v.v = |v| |v| = |v|²

(PE3) u.(v + w) = u.v + u.w

(PE4) (k v).w = v.(k w) = k (v.w)

(PE5) |k v| = |k| |v|

(PE6) |u.v| < |u|.|v| (desigualdade de Schwarz)

(PE7) |u+v| < |u|+|v| (desigualdade triangular)

ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES (PRODUTO

ESCALAR)

O produto escalar entre os vetores v e w pode ser

escrito na forma:

v.w = |v| |w| cos(t)

onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w.

Observamos que este ângulo pode ser maior ou

igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus

(pi radianos). Com esta última definição, podemos

obter o ângulo t, através do cosseno deste

argumento t.

cos(t) = (v.w) / (|v|.|w|)

Exercício: Realizar uma análise acerca do produto

escalar de dois vetores, quando o ângulo t é nulo,

quando é reto e quando é raso.

Exercício: Determinar o ângulo entre os vetores

v=(1,1,0) e w=(1,1,1). Nunca se esqueça de

construir um gráfico com esses objetos

matemáticos.

VETORES ORTOGONAIS

Dois vetores v e w são ortogonais se o produto

escalar entre ambos é nulo, isto é, v.w=0.

Exercício: Dado o vetor v=(2,3,7), quais e quantos

são os vetores ortogonais a v no espaço R³?

Construa geometricamente esta situação.

PRODUTO VETORIAL

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3),

definimos o produto vetorial (produto exterior)

entre v e w, denotado por v×w, como o vetor obtido

pelo objeto matemático que não é um determinante

mas que pode ser calculado como se fosse um

determinante.

u × v =

Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6),

o produto vetorial entre v e w é dado por v×w=-

3i+6j-3k=(-3,6,-3), obtido a partir do

"determinante". Observamos que o produto vetorial

é um vetor em R³.

u × v = = (-3,6,-3)

Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano

do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será

v×w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste

plano, daí a razão deste produto ser denominado

exterior.

Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor

ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o

produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os

dois vetores v e w.

PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL

(PV1) v × w = - w × v

(PV2) u × (v + w) = u × v + u × w

(PV3) k (v × w) = (k v) × w = v × (k w)

(PV4) i × i = j ×j = k × k = 0

(PV5) i × j = k, j × k = i, k × i = j


100

(PV6) Se v×w=0 (v e w não nulos) então v e w são

paralelos

ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES

(PRODUTO VETORIAL)

O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser

escrito na forma:

v × w = |v| |w| sen(t) U

onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U

é um vetor unitário que é paralelo ao produto

vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também

a w.

Tomando o módulo em ambos os lados da

igualdade acima, obtemos:

|v × w| = |v| |w| sen(t)

e isto significa que, com esta última definição de

produto vetorial, podemos obter o ângulo T entre

dois vetores v e w, através de:

sen(t) = (v × w) / (|v|.|w|)

sendo que t é um número real pertencente ao

intervalo [0,pi].

APLICAÇÕES DO PRODUTO VETORIAL

Área do paralelogramo: Se tomarmos dois vetores

v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a

formar um ângulo diferente de zero e também

diferente de pi radianos, o módulo do produto

vetorial entre v e w pode ser interpretado como a

área do paralelogramo que tem v e w como lados

contíguos.

A(paralelogramo) = | v × w |

Área do triângulo: A metade do módulo do

produto vetorial entre v e w pode ser interpretada

como sendo a área do triângulo que tem dois lados

como os vetores v e w, com origens no mesmo

ponto, isto é:

A(triângulo) = ½ | v × w |

PRODUTO MISTO

Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e

w=(w1,w2,w3), definimos o produto misto entre u, v

e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o

número real obtido a partir do determinante

[u,v,w] = u·(v×w) =

APLICAÇÕES DO PRODUTO MISTO

Volume do paralelepípedo: O módulo do produto

misto entre u, v e w representa o volume do

paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas

pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm

a mesma origem. Isto é,

V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|.

Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do

produto misto entre u, v e w representa o volume do

tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as

3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w,

sendo que estes vetores têm a mesma origem.

V(tetraedro) = (1/6) |[u,v,w]|

GEOMETRIA PLANA: VETORES NO PLANO CARTESIANO

Definição de vetor

Soma de vetores e propriedades

Aplicações geométricas

Diferença de vetores

Produto por escalar e propriedades

Módulo de vetor e propriedades

Produto escalar e propriedades

Ângulo entre dois vetores

Vetores ortogonais

Vetores paralelos

DEFINIÇÃO DE VETOR Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de

objetos matemáticos (segmentos) com a mesma


101

direção, mesmo sentido e mesmo módulo

(intensidade).

1. A direção é a da reta que contém o segmento.

2. O sentido é dado pelo sentido do movimento.

3. O módulo é o comprimento do segmento.

Uma quarta característica de um vetor é formada

por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa

(origem) e um outro ponto onde ele termina

(extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas

pela diferença entre as coordenadas da extremidade

e as coordenadas da origem.

Observação: Existe uma definição, não

necessariamente geométrica, muito mais ampla do

conceito de vetor envolvendo uma gama variada de

objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos,

funções, soluções de equações diferenciais, etc.

Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e

extremidade em (7,12), ele é dado por v=(6,10),

pois:

v = (7,12)-(1,2) = (6,10)

Esta classe de objetos é representada por um

segmento de reta (representante) desta família que

tem as mesmas características.

O representante escolhido, quase sempre é o vetor

com a origem está em (0,0) e a extremidade em

(a,b) no plano cartesiano e que será denotado por

v = (a,b)

SOMA DE VETORES E SUAS

PROPRIEDADES

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma dos vetores

v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da soma de vetores

1. Fecho:Para quaisquer u e v de R², a soma u+v

está em R².

2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²:

v + w = w + v

3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de

R²:

u + (v + w) = (u + v) + w

4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0) em

R² tal que para todo vetor u de R², se tem:

Ø + u = u

5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R²,

existe um vetor -v em R² tal que:

v + (-v) = Ø

APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS

Ponto médio de um segmento: Dado um segmento

de reta, cujas extremidades são também as

extremidades dos vetores v1=(x1 , y1 ) e v2=(x2 ,y2 ),

o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y)

onde

x=(x1 + x2 )/2 e y=(y1 + y2 )/2

Centro de gravidade de um triângulo: Tomemos

os vértices de um triângulo como as extremidades

dos vetores v1=(x1 , y1 ), v2=(x2 ,y2 ) e v3=(x3 ,y3 ).

O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo

vetor g=(x,y) onde

x=(x1 + x2 + x3 )/3 e y=(y1 + y2 + y3 )/3

DIFERENÇA DE VETORES

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v

e w, por:

v-w = (a-c,b-d)

PRODUTO POR ESCALAR E SUAS

PROPRIEDADES

Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real,

definimos a multiplicação de k por v, por:

k.v = (ka,kb)

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam a e b escalares, v e w vetores:

1. 1 v = v

2. (ab) v = a (b v) = b (a v)

3. Se a v = b v e v é um vetor não nulo, então a = b.

4. a (v + w) = a v + a w

5. (a + b) v = a v + b v

Exercício: Dados os vetores v=(3,4) e w=(8,12),

construa no plano cartesiano os vetores: v, w, -v, -

w, v+w e v-w.

MÓDULO DE UM VETOR E SUAS

PROPRIEDADES

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um

número real não negativo, definido por:


102

Vetor unitário: é um vetor que tem o módulo igual

a 1.

Exercício: Mostrar que para todo t real, o vetor

v=(cos(t),sen(t)) é unitário.

Observações

1. Existem dois vetores unitários, que formam a

base canônica para o espaço R², dados por:

i=(1,0) e j=(0,1)

2. Para obter um versor de v, que é um vetor

unitário u com a mesma direção e sentido que o

vetor v, basta dividir o vetor v pelo módulo de

v, isto é:

3. Para obter um vetor w paralelo a um vetor v,

basta tomar w=kv onde k é um escalar não

nulo. Nesse caso, w e v serão paralelos.

a. Se k=0 então w será o vetor nulo.

b. Se 0<k<1 então |w|<|v|.

c. Se k>1 então |w|>|v|.

d. Se k<0 então w tem sentido oposto ao de

v.

4. Todo vetor v=(a,b) do plano cartesiano possui

uma projeção horizontal (sobre o eixo OX) que

é o vetor a i e uma projeção vertical b j (sobre o

eixo OY) e o vetor v pode ser escrito como a

soma destas projeções:

v = a i + b j

Exercício: Qual é a projeção vertical do vetor

v=(3,4)? Qual é o módulo deste vetor? Esboce um

gráfico desta situação no plano R².

PRODUTO ESCALAR

Dados os vetores v=(a,b) e w=(c,d), definimos o

produto escalar ou produto interno entre os vetores

v e w, como o número real obtido por:

v.w = a.c + b.d

Exemplos: O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-

7,12) é dado por:

v.w = 2.(-7) + 5.(12) = 56

O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-5,2) é:

v.w = 2.(-5) + 5.(2) = 0

Exercício: Faça um gráfico em R², com muito

cuidado nas medidas e mostre as posições dos

vetores v e w do último exemplo.

Propriedades do produto escalar: Quaisquer que

sejam os vetores, u, v e w e k escalar:

1. v.w = w.v

2. v.v = |v| |v| = |v|²

3. u.(v+w) = u.v + u.w

4. (kv).w = v.(kw) = k(v.w)

5. |kv| = |k||v|

6. |u.v|<|u||v| (desigualdade de Schwarz)

7. |u+v|<|u|+|v| (desigualdade triangular)

ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES

Outra forma de escrever o produto escalar entre os

vetores v e w é v.w=|v||w|cos(q) onde q é o ângulo

formado entre v e w.

Com ela, podemos obter o ângulo q entre dois

vetores quaisquer v e w, pois:

desde que nenhum dos vetores seja nulo. Neste caso

0<q<pi=3,1416...

Exercício: Faça uma análise quando q=0, q=pi/2 e

q=pi. Determine o ângulo entre os vetores v=(1,0) e

w=(1,1). Nunca se esqueça de construir gráficos

com esses objetos vetoriais.

VETORES ORTOGONAIS

Dois vetores v e w são ortogonais se:

v.w = 0

Exercício: Dado o vetor v=(3,7), obtenha pelo

menos dois vetores do plano que sejam ortogonais a

v. Construa geometricamente estes vetores.

VETORES PARALELOS

Dois vetores v e w são paralelos se existe uma

constante real k diferente de zero, tal que:

v = k w

Exercício: Obter pelo menos dois vetores do plano

que sejam paralelos ao vetor v=(3,7). Construa

geometricamente estes vetores.


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prof. drª marília brasil xavier · dados os conjuntos a e b, diz-se que a está ... operação de...

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