prof. dr. kamel bensebaa

Prof. Dr. Kamel Bensebaa

Processamento de Imagens e

Computação Gráfica

Aula 4

Pré-Processamento no Domínio das Freqüências

Como podemos analisar um sinal ou uma imagem no domínio espacial, podemos também analisar uma imagem no domínio de freqüências.

No domínio das freqüências as séries de Fourier e a Transformada de Fourier são ferramentas importantes para análise de sinais e imagens.

Representação de sinais

Onda senoidal


Dois sinais com a mesma fase, mas com amplitudes diferentes

Amplitude é uma medida escalar não negativa da magnitude de oscilação de uma onda.

Representação de sinais Freqüência é uma grandeza física

ondulatória que indica o número de (ciclos, oscilações, etc) por unidade de tempo.

Alternativamente, podemos medir o tempo Alternativamente, podemos medir o tempo decorrido para uma oscilação. Este tempo decorrido para uma oscilação. Este tempo em particular recebe o nome de período em particular recebe o nome de período (T). (T).

Freqüência e Período são inversamente Freqüência e Período são inversamente proporcionaisproporcionais..

Ex: f = 2Hz Ex: f = 2Hz T = 0.5 s T = 0.5 s


Sinal com freqüência de 12 Hz

Sinal com freqüência de 6 Hz


Se um sinal não muda com o tempo, sua freqüência é zero.

Se um sinal muda instantaneamente, sua freqüência é infinita.


A fase descreve a posição da forma de onda em relação ao tempo 0


Fase=0 graus

Fase=90 graus

Fase=180 graus

Três ondas senoidais com mesmas amplitudes e freqüências, mas com

fases diferentes

Domínio do tempo e domínio das freqüências

Onda senoidal no domínio do tempo (valor do pico: 5V,

freqüência: 6Hz

Onda senoidal no domínio das freqüências (valor do pico: 5V,

freqüência: 6HzUma onda senoidal completa no domínio do tempo pode ser representada como

um simples pulso no domínio da freqüência.

Domínio de freqüências

O domínio de freqüência é mais compacto é útil quando se estar trabalhando com mais de um sinal senoidal.

Representação de três ondas no domínio do tempo com freqüências 0, 8, 16.

Representação das três ondas no domínio de freqüência.

Domínio do tempo e domínio de freqüência para três ondas senoidas.

Séries de Fourier

Funções periódicas– Considerando por exemplo as funções

trigonométricos: seno, cosseno, tangente, etc.– Uma função seno(x) é periódica se sua forma se

repete a cada período.

– A figura mostra que a função seno(x) se repete a cada período 2. O valor máximo da função chamado amplitude é igual a 1.

Séries de Fourier

Funções periódicas– A função cosseno é também periódica com o

mesmo período e amplitude que a função seno, mas deslocada de /2 em relação a função seno.

Séries de Fourier

Funções periódicas

– A figura mostra uma função que é também periodica mas não é uma função cosseno nem seno.

Como achar uma função matemática que descreve uma curva representada pela figura?

Séries de Fourier

Fourier descobriu, no início do século 19 que qualquer função periódica, por mais complicada que seja, pode ser representada como a soma de várias funções seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente.

Em outras palavras Fourier descobriu se uma função f(t) é periódica, ela pode ser expressa como uma série infinita de funções trigonométricas na forma:

– onde a0, an, bn são os coeficientes de Fourier

0=2/T freqüência angular em rad/s

– n0=Harmônicos, n é número inteiro>1

)sencos()( 01

00 tnbtnaatfn

nn

Séries de Fourier

A função f(t) é periódica de período fundamental T quando– f(t)=f(t+T)– T: período Fundamental

Coeficientes de Fourier:

Tt

tdttf

Ta

0

0

)(1

0

Tt

ton dttntfT

a0

).....2cos().(2

0

Tt

tn dttntfT

b0

0

).....2sin().(2

0

Exemplo: Características do Som

São três os parâmetros que definem um Som: A sua freqüência, ou número de vibrações produzidas por segundo, a sua intensidade, ou o quanto forte ou quanto potente é o som, e o timbre, característica que dá identidade a um instrumento, ou seja sabemos

qual instrumento está emitindo um som.

Num concerto musical, podemos observar nos Num concerto musical, podemos observar nos momentos que antecede a apresentação musical, os momentos que antecede a apresentação musical, os músicos afinando seus instrumentos; tomando por base músicos afinando seus instrumentos; tomando por base a nota la3 = 440 Hz, ou ciclos por segundo - e se um a nota la3 = 440 Hz, ou ciclos por segundo - e se um violino e um piano emitem a mesma nota la3, embora a violino e um piano emitem a mesma nota la3, embora a freqüência seja a mesma sabemos identificar qual o freqüência seja a mesma sabemos identificar qual o

som que vem do piano e qual o som que vem do violino.som que vem do piano e qual o som que vem do violino.

Exemplo: Características do Som

Por que? Porque o conteúdo harmônico desse som é Por que? Porque o conteúdo harmônico desse som é diferente para um e para outro instrumento. Quando um diferente para um e para outro instrumento. Quando um instrumento gera um som, além da freqüência instrumento gera um som, além da freqüência fundamental, ele gera freqüências superiores de ordem fundamental, ele gera freqüências superiores de ordem par e ordem ímpar em relação à freqüência fundamental, par e ordem ímpar em relação à freqüência fundamental, além do que os harminicos são diferentes também na além do que os harminicos são diferentes também na amplitude. Portanto a forma de onda desses instrumentos amplitude. Portanto a forma de onda desses instrumentos são diferentes e nosso ouvido percebe muito bem isso. são diferentes e nosso ouvido percebe muito bem isso. Por esse mesmo motivo sabemos distinguir a voz de um Por esse mesmo motivo sabemos distinguir a voz de um interlocutor se é o individuo A, B, ou C.interlocutor se é o individuo A, B, ou C.

É claro que esta é uma análise físico-matemática do som,

mas certamente que o o músico, o maestro, o compositor, acrescentará uma outra característica fundamentalmente importante, que é a DURAÇÃO DO

SOM.

Descoberta de Fourier O matemático francês J. Fourier provou O matemático francês J. Fourier provou

matematicamente que qualquer forma de onda, matematicamente que qualquer forma de onda, independente da sua origem, é um somatório de ondas independente da sua origem, é um somatório de ondas senoidais de diferentes freqüências, amplitudes e fases. senoidais de diferentes freqüências, amplitudes e fases.

Ele mostrou que se a forma de onda se repete Ele mostrou que se a forma de onda se repete periodicamente, então as freqüências das componentes periodicamente, então as freqüências das componentes senoidais são restritas a valores múltiplos da freqüência senoidais são restritas a valores múltiplos da freqüência de repetição da forma de onda. de repetição da forma de onda.

Um Um sinal periódico qualquer sinal periódico qualquer é composto de (ou pode é composto de (ou pode ser decomposto em) uma ser decomposto em) uma serie de ondas senoidais serie de ondas senoidais com freqüência múltiplas inteiras da freqüência com freqüência múltiplas inteiras da freqüência fundamental ffundamental f, cada uma com uma determinada , cada uma com uma determinada amplitudeamplitude e uma determinada e uma determinada fasefase, mais uma , mais uma componente continua (de freqüência zero. componente continua (de freqüência zero.

As ondas senoidais múltiplas inteirasAs ondas senoidais múltiplas inteiras n n da fundamental da fundamental são chamadassão chamadas harmônicos harmônicos de ordem de ordem n.n.

Séries de Fourier

A transformada de Fourier representa a soma de uma série de formas de onda senoidais com diferentes amplitudes, fase e freqüência.

Séries de Fourier

A teoria de Fourier nos fornece uma maneira de expressar os sinais no domínio da freqüência.

Aumentando-se a quantidade de harmônicos para compor a forma de onda mais semelhança esta terá com sinal original.

Como é impossível projetar um sistema que suporte um número infinito de freqüências ( largura de banda infinita), uma reprodução perfeita do sinal original será impossível.

Em muitos casos eliminando alguns harmônicos não se altera o sinal significativamente.

Séries de Fourier

Seja a função: 1)( 23 ttttf

]).1

...2sin(.).1

...2cos(.[2

)(1

0

k

nnn t

Tnbt

Tna

Aty

para k=1

10 5 0 5 101000

500

0

500

1000

15001111

-909

f( )t

y( )t

10-10 t

Séries de Fourier

1)( 23 ttttf

]).1

...2sin(.).1

...2cos(.[2

)(1

0

k

nnn t

Tnbt

Tna

Aty

10 5 0 5 101000

500

0

500

1000

15001111

-909

f( )t

y( )t

10-10 t

para k=2

Séries de Fourier

para k=5 1)( 23 ttttf

10 5 0 5 101000

500

0

500

1000

1500

f( )t

y( )t

t

]).1

...2sin(.).1

...2cos(.[2

)(1

0

k

nnn t

Tnbt

Tna

Aty

Série de Fourier Complexa

Pode-se também representar a função f(t) através de uma série de Fourier complexa.

Os coeficientes Cn são números complexos caracterizados por:– Uma parte real e uma parte imaginariaUma parte real e uma parte imaginaria– Um módulo e uma faseUm módulo e uma fase

n

n

tnjneCtf 0)(

Tt

t

tnjn etf

TC

0

0

0)(1

Série de Fourier Complexa

A escolha de representar f(t) pelas equações (1) e (2) depende da aplicação ou do contexto físico.

No estudo de sinais digitais ou processamento de imagens é preferível trabalhar com série de Fourier complexa.

Da mesma forma que uma função periódica pode ser representada como uma série real ou complexa, pode-se também representar uma função não periódica através de uma integral real ou complexa chamada também Transformada de Fourier.

)sencos()( 01

00 tnbtnaatfn

nn

n

n

tnjneCtf 0)(

Motivos para estudar espectro de Fourier

Séries de Fourier são utilizadas no estudo de sinais periódicos, enquanto que Transformadas de Fourier são utilizadas no estudo de sinais não periódicos.

O espectro de um sinal é um objeto matemático apropriado para descrever, de uma forma bastante conveniente, um sinal a partir da variável que representa a freqüência angular do sinal, do que através de uma curva em função do tempo, além de informar a medida da freqüência do sinal.

Embora uma série de Fourier com coeficientes reais pode ser obtida mais facilmente do que a série de Fourier com coeficientes complexos, às vezes, usamos a série complexa que possui características matemáticas do sinal de uma forma mais sintetica, além de ser exatamente por este meio que podemos obter mais facilmente a fase e a amplitude do sinal.

Transformada de Fourier contínua

A transformada de Fourier é uma importante ferramenta que permite representar no domínio de freqüência um sinal ou uma imagem a partir da sua representação no domínio do tempo.

Se f (t ) for real o teorema de Fourier estabelece que a função ou

Transformada de Fourier simbolizada por é a seguinte

A função inversa simboliza a transformada inversa ou seja a obtenção de f (t) por intermédio de F ()

dtetfF tj

)()(

deFtf tj

)(2

1)(

1onde,)(

jdtf(t)etfF tj

d)eF(Ftf tj

2

1)( 1

1

Transformada de Fourier discreta (1D)

A transformada de Fourier discreta F (u) de uma função f(x) de uma variável x=0,1,2,,...,M-1 é dada pela equação

Define-se a correspondente transformada de Fourier inversa da seguinte forma:

O conceito do domínio de freqüência decorre da formula de Euler

Portanto

MxujM

x

exfM

uF /21

0

)(1

)(

MxujM

u

euFxf /21

0

)()(

)]/2(sen)/2([cos)(1

)(1

0

MuxMuxxfM

uFM

x

)()()( ujIuRuF

sencosje


Em duas dimensões, a transformada de Fourier discreta F (u,v) de uma função f(x,y) é dada pela equação

Define-se a correspondente transformada de Fourier inversa da seguinte forma:

Segundo Euler podemos escrever

ou

)//(21

0

1

0

),(1

),( NvyMxujM

x

N

y

eyxfMN

vuF

)//(21

0

1

0

),(),( NvyMxujM

u

N

v

evuFyxf

)()()( ujIuRuF

),(),(),( vujevuFvuF


Magnitude ou espectro– Espectro de freqüência: conjunto de componentes de freqüência de

um sinal

Ângulo de fase

O espectro de potência ou densidade espectral é definido por:

),(),(),( 22 vuIvuRvuF

),(

),(tan),( 1

vuR

vuIvu

),(),(),(),( 222vuIvuRvuFvuP

Transformada de Fourier a duas dimensõesTransformada de Fourier a duas dimensões– En geral, multiplica-se a função de entrada por En geral, multiplica-se a função de entrada por

(-1)(-1)x+yx+y para « centralizar » a função para « centralizar » a função transformada.transformada.

f x y F u M v Nx y( , )( ) ( / , / )1 2 2

(-1)x+y = (ej) x+y

Propriedade da TranslaçãoPropriedade da Translação

Transformada de Fourier discreta


Transformada de Fourier discreta Transformada de Fourier a duas dimensõesTransformada de Fourier a duas dimensões

É natural ver a origem das freqüências no centro do É natural ver a origem das freqüências no centro do espectro. Isso não muda a informação contida no espectro. Isso não muda a informação contida no espectro.espectro.

Translação da origem de Translação da origem de F(u, v)F(u, v) para ( para (M/2, N/2M/2, N/2)) Baixas Baixas freqüências no centro do espectrocentro do espectro

f x y F u M v Nx y( , )( ) ( / , / )1 2 2

Representação freqüêncial da Transformada de Fourier

Freqüência nulaou valor médio da imagemBaixas freqüências

Freqüências intermédiarias

AltasFreqüências

Exemplo:

Imagem Original Transformada sem deslocamento

origem origem

Transformada com origem no centro

da matriz



Propriedade de RotaçãoPropriedade de Rotação da


senωvcosωusenθrycosθrx •Introduzindo coordenadas polares

f(x,y) e F(u,v) se tornam f(r,) e F(, )

00 ,, θFθθrf

Imagem original

Imagem rotacionada

Espectro

Espectro resultante

Exemplo:

transformada

Características:• bordas a ±45º • duas incrustações de óxido

imagem microscópica de um circuito integrado

imagem

Filtragem em Freqüência relações espaço × freqüência

Transformada Rápida de Fourier (FFT)

A implementação da Transformada discreta de A implementação da Transformada discreta de Fourier , também conhecida como DFT (Discret Fourier Fourier , também conhecida como DFT (Discret Fourier Transform) Transform) , veio ser prática em 1965 quando Cooley e , veio ser prática em 1965 quando Cooley e Turkey descreverem um algoritmo para computar a Turkey descreverem um algoritmo para computar a DFT de forma bem eficiente. Seu algoritmo tornou-se DFT de forma bem eficiente. Seu algoritmo tornou-se conhecido como a Transformada rápida de Fourier ou conhecido como a Transformada rápida de Fourier ou FFT (FFT (Fast Fourier TransformFast Fourier Transform).).

Usando o algoritmo da FFT, a DFT pode ser computada Usando o algoritmo da FFT, a DFT pode ser computada em milissegundos em vez de horas como era feita em em milissegundos em vez de horas como era feita em décadas passadas.décadas passadas.

A computação direta da DFT de uma função contendo A computação direta da DFT de uma função contendo NN pontos, requer pontos, requer NN22 operações; onde uma operação é operações; onde uma operação é definida como uma multiplicação mais uma adição. O definida como uma multiplicação mais uma adição. O algoritmo de Cooley e Turkey requer aproximadamente algoritmo de Cooley e Turkey requer aproximadamente NNxlxlogog22NN operações, sendo operações, sendo NN potência de 2. potência de 2.

Série de Fourier e Transformada de Fourier

As representações da série de Fourier e da transforma de Fourier têm uma importante característica. Podem ser reconstruídas (recuperadas) completamente por um processo inverso sem perda de informação.

Pré-Processamento no Domínio

Frequencial O processamento no domínio das freqüências

costuma ser mais custoso e demorado, devido ao número maior de etapas de processamento a serem cumpridas, e pela natureza das máscaras de convolução freqüenciais, que são bem maiores do que as utilizadas no processamento espacial.

Filtragem espacial – Filtragem espacial – Filtragem freqüencialFiltragem freqüencial

Pelo teoria da convolução, se f(x,y) é a imagem da cena Pelo teoria da convolução, se f(x,y) é a imagem da cena original e h(x,y) é a função de transferência linear, a original e h(x,y) é a função de transferência linear, a imagem de saida é a seguinte:imagem de saida é a seguinte:

Essa operação equivale no domínio de freqüência a Essa operação equivale no domínio de freqüência a produto da imagem de entrada e a função de produto da imagem de entrada e a função de transferência do sistema de imageamento.transferência do sistema de imageamento.

Isso significa que dependendo do tamanho da mascara Isso significa que dependendo do tamanho da mascara de convolução e mais vantajoso multiplicar os de convolução e mais vantajoso multiplicar os espectros de freqüências e depois calcular a espectros de freqüências e depois calcular a transformada inversa de Fouriertransformada inversa de Fourier

),(),(),( yxhyxfyxg

),().,(),( vuHvuFvuG

Filtragem espacial – Filtragem espacial – Filtragem FreqüencialFiltragem Freqüencial

Teorema de convoluçãoTeorema de convolução

f x y h x y F u v H u v( , ) * ( , ) ( , ) ( , )Convolução Multiplicação

Domínioespacial

Domíniofreqüencial

Transformada

de Fourier ×Transformada

Inversa de Fourier

f(x,y) g(x,y)

H(u,v)

G(u,v)F(u,v)

domínio dafreqüência

(3)parte real (4)

(1)

(2)

domínio do espaço

Filtragem no Domínio da FreqüênciaFiltragem no Domínio da Freqüência procedimentoprocedimento


Centrar a transformada multiplicando a imagem por (-1)Centrar a transformada multiplicando a imagem por (-1)x+yx+y

Calcular F(u,v), a transformada discreta de Fourier da imagemCalcular F(u,v), a transformada discreta de Fourier da imagem Multiplicar F(u,v) por uma função filtro H(u,v)Multiplicar F(u,v) por uma função filtro H(u,v) Calcular a transformada discreta inversa que produz a nova Calcular a transformada discreta inversa que produz a nova

imagem realçada imagem realçada Obter a parte realObter a parte real Multiplicar o resultado por (-1)Multiplicar o resultado por (-1)x+yx+y

Resumindo G(u,v)=H(u,v) F(u,v)Resumindo G(u,v)=H(u,v) F(u,v)


Outra forma de explorar o teorema de convolução é Outra forma de explorar o teorema de convolução é o projeto de filtros no domínio de freqüência.o projeto de filtros no domínio de freqüência.

Sabe-se que na região de bordas e outras Sabe-se que na região de bordas e outras transições abruptas de níveis de cinza transições abruptas de níveis de cinza correspondem a componentes de altas freqüências, correspondem a componentes de altas freqüências, enquanto as baixas freqüências representam enquanto as baixas freqüências representam regiões homogêneas na imagem original.regiões homogêneas na imagem original.

Neste contexto, para manipular esses componentes Neste contexto, para manipular esses componentes existem três tipos de filtrosexistem três tipos de filtros– Passa-baixaPassa-baixa– Passa-altaPassa-alta– Passa-faixaPassa-faixa

Filtragem no domínio da freqüência Três tipos de filtragem

– Filtros passa-baixa (suavização – borramento). Preserve as baixas freqüências espaciais. Suprime as altas freqüências espaciais

– Filtros passa-alta (realce das bordas – aguaçamento) Preserve as altas freqüências espaciais Suprime as baixas freqüências espaciais

– Filtros passa-faixa (restauração de imagens) Preserve especificas freqüências espaciais Suprime outras freqüências espaciais

Baixas freqüências: área de suavização Altas freqüências: detalhes, como bordas e ruídos

Filtragem no domínio Filtragem no domínio das Freqüênciasdas Freqüências

A transformada de Fourier apresenta:A transformada de Fourier apresenta:– Média no centro (Média no centro (componente DCcomponente DC))– As baixas freqüências – nível de cinza das As baixas freqüências – nível de cinza das

superfícies suaves (superfícies suaves (smoothsmooth))– As altas freqüências - detalhes, bordas e As altas freqüências - detalhes, bordas e

ruído (ruído (sharpsharp)) É possível criar filtros para a atenuação É possível criar filtros para a atenuação

de freqüências específicasde freqüências específicas– Filtros passa-faixa, passa-baixa, passe-alta, Filtros passa-faixa, passa-baixa, passe-alta,

Gaussiano, …Gaussiano, …

Filtre passa-faixaFiltre passa-faixa

Filtres passa-baixa (Filtres passa-baixa (lowpass-smoothinglowpass-smoothing) ) – IdealIdeal– ButterworthButterworth– GaussienGaussien

Filtres passa-alta (Filtres passa-alta (highpass-sharpeninghighpass-sharpening))– IdealIdeal– ButterworthButterworth– GaussienGaussien


Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal

Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal– Corta todas as altas freqüências Corta todas as altas freqüências

depois uma distância depois uma distância DD00 do centro do centro

– Distância do centro Distância do centro (M/2, N/2)(M/2, N/2)

H u vsi D u v D

si D u v D( , )

( , )

( , )

1

00

0

D u v uM

vN

( , ) ( ) ( )/

2 2

2 2

1 2

DD00 é a freqüência de corte (é a freqüência de corte (cutoffcutoff))

Secção radial


Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal 1 ou 01 ou 0

Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal 1 ou 1/21 ou 1/2

Filtres passe-bas Filtres passe-bas idéalidéal 1 ou 1/2 1 ou 1/2– Corta 1/2 altas freqüências depois Corta 1/2 altas freqüências depois

uma distãncia uma distãncia DD00 do centro do centro


H u vsi D u v D

si D u v D( , )

( , )

/ ( , )

1

1 20

0

D u v uM

vN

( , ) ( ) ( )/

2 2

2 2

1 2

Filtro passa-baixa idealFiltro passa-baixa ideal 1 ou 1/21 ou 1/2

Comparação: “FPBI 1 ou 0” e Comparação: “FPBI 1 ou 0” e “FPBI 1 ou ½”“FPBI 1 ou ½”

Filtros passa-baixa idealFiltros passa-baixa ideal

Avaliação do filtro em função da potência Avaliação do filtro em função da potência do sinal dentro do circulo de raio Ddo sinal dentro do circulo de raio D00::

P P u vTv

N

u

M

( , )0

1

0

1

P u v F u v R u v I u v( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2

Onde:Onde:

u v TP

vuP ),(100(%)

Para os (u,v) dentro do círculo

exemploexemplo

%92

50

D

%6.94

150

D

%4.96

300

D

%98

800

D

%5.99

2300

D

ringing effect


Efeitos do filtro passa-baixa idealEfeitos do filtro passa-baixa ideal

Todas as freqüências acima da freqüência de Todas as freqüências acima da freqüência de corte Dcorte D00 são retiradas são retiradas

Todas as freqüências de corte DTodas as freqüências de corte D00 são são conservadasconservadas

Embora o filtro ideal possa ser simulado no Embora o filtro ideal possa ser simulado no computador, ele não pode ser implementado computador, ele não pode ser implementado em componentes eletrônicosem componentes eletrônicos

Ringing EffectRinging Effect (Anelamento) (Anelamento)

Componente dominante na origemComponente dominante na origem blurringblurring (borramento) (borramento) Componentes circulares concêntricosComponentes circulares concêntricos ringig effectringig effect (anelamento) (anelamento)

Ringing EffectRinging Effect (Anelamento) (Anelamento)

DD00 pequeno pequeno poucos anéis largos poucos anéis largos maior ringing effect na imagemmaior ringing effect na imagem

Quando DQuando D00 aumenta aumenta aumenta o número aumenta o número de anéis, e diminui o espaçamento entre de anéis, e diminui o espaçamento entre eleseles menor ringig effect na imagem menor ringig effect na imagem

ringing effectringing effect

1

0

1

0

),(1

),(),(1

),(*),(M

m

N

n

yxhMN

nymxhnmfMN

yxhyxf

Inversa DFT

ILPF Filtro espacial

Cinco impulsos no domínio espacial

),(*),( yxhyxf

(b) * (c)

(a) (b)

(d)(c)


– Corta gradativamente as altas Corta gradativamente as altas freqüências segundo a seleção de freqüências segundo a seleção de DD0 0

e do expoente e do expoente n n

Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-baixapassa-baixa

H u v

D u v Dn( , )

( , ) /

1

1 0

2

D u v uM

vN

( , ) ( ) ( )/

2 2

2 2

1 2


H u v

D u v Dn( , )

( , ) /

1

1 0

2

D0 é escolhido para H(u,v) = 0.5


Raio: 5, 15, 30, 80 et 230 pixels, n = 2

Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-baixa passa-baixa

Riging effect (Contorno)Riging effect (Contorno)

Filtre Butterworth d'ordre 1, 2, 5, et 20

ringing effectringing effect

1n 2n 5n 20n

ideal low pass filter ↑50 Dringing effect ↑

Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-baixa idealpassa-baixa ideal

Filtro Gaussiano passa-Filtro Gaussiano passa-baixabaixa

H u v e D u v( , ) ( , ) / 2 22

H u v e D u v D( , ) ( , ) / 2022

D 0

H u v e D u v D( , ) ( , ) / 2022

D(u,v) = D0 quando H(u,v) = 0.607


Raio : 5, 15, 30, 80 et 230 pixels, n = 2


Filtro de Filtro de ButterworthButterworth

Filtro de Filtro de GaussianoGaussiano

– Não existe Não existe ringing effectringing effect – Menos agressivo que o filtro Menos agressivo que o filtro

ideal ou o filtro de Butterworthideal ou o filtro de Butterworth– Menos controle sobre a seleção Menos controle sobre a seleção

precisa de precisa de DD00

– Mas apresenta uma garantia Mas apresenta uma garantia contra o ringing effect!contra o ringing effect!

Filtro Gaussian passa-baixaFiltro Gaussian passa-baixa

Filtro Gaussian passa-baixaFiltro Gaussian passa-baixa

Filtros passa-altaFiltros passa-alta

Retira os componentes de Retira os componentes de baixa frequencia (abaixa da baixa frequencia (abaixa da freqüência de cortefreqüência de corte

Mantém as altas freqüências Mantém as altas freqüências (acima da freqüência de corte) (acima da freqüência de corte) – IdealIdeal– ButterworthButterworth– GaussianoGaussiano

Filtre passa-altaFiltre passa-alta– Função contrária dos filtros passa-Função contrária dos filtros passa-

baixa :baixa :


H u v H u vhp lp( , ) ( , ) 1

FiltroPassa-alta

FiltroPassa-baixa

DD00 é a freqüência de corte (é a freqüência de corte (cutoffcutoff))

Secção radial

Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal

3D 2D


Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal– Corta todas as baixas freqüências Corta todas as baixas freqüências

depois uma distância depois uma distância DD00 do centro do centro


H u vsi D u v D

si D u v D( , )

( , )

( , )

0

10

0

D u v uM

vN

( , ) ( ) ( )/

2 2

2 2

1 2

Filtros passa-alta ideal 1 ou 1/2Filtros passa-alta ideal 1 ou 1/2– Corta 1/2 baixas freqüências depois Corta 1/2 baixas freqüências depois

uma distância uma distância DD00 do centro do centro


H u vsi D u v D

si D u v D( , )

/ ( , )

( , )

1 2

10

0

D u v uM

vN

( , ) ( ) ( )/

2 2

2 2

1 2


Filtre passa alta ideal



Raio : 15, 30, e 80 pixels


Filtro passa-alta idealFiltro passa-alta ideal1 ou 01 ou 0


Filtro passa-alta ideal 1 ou 1/2Filtro passa-alta ideal 1 ou 1/2


Filtro passa-alta ideal “1 ou Filtro passa-alta ideal “1 ou 0”0”

Filtro passa-alta ideal “1 ou Filtro passa-alta ideal “1 ou 1/2”1/2”

Ringing effectRinging effect


– Corta gradativamente as baixas Corta gradativamente as baixas freqüências segundo a seleção de freqüências segundo a seleção de DD0 0 e e do exponente do exponente n n

Filtro de ButterworthFiltro de Butterworth passa-altapassa-alta

D u v uM

vN

( , ) ( ) ( )/

2 2

2 2

1 2

H u v

D D u vn( , )

/ ( , )

1

1 0

2


D0 é escolhido para H(u,v) = 0.5


Corta gradativamente as baixas frequencias Corta gradativamente as baixas frequencias segundo a seleção de segundo a seleção de DD00 e do expoente e do expoente nn

– A frequencia de corte (A frequencia de corte (DD00) define o valor ) define o valor onde a ampitude do espectro é reduzida de onde a ampitude do espectro é reduzida de 50%50%

– Baixas frequencias sao cada vez mais Baixas frequencias sao cada vez mais atenuadas na imagem a medida que sao atenuadas na imagem a medida que sao menores que menores que DD00, ou seja, o filtro de , ou seja, o filtro de Butterworth possui transicao mais suave que Butterworth possui transicao mais suave que o filtro ideal o filtro ideal

– O valor de O valor de nn (ordem do filtro) determine a (ordem do filtro) determine a suavidade do filtro.suavidade do filtro.


Raio : 15, 30, e 80 pixels, n=2

Filtro passa-alta de Filtro passa-alta de ButterworthButterworth


Riging effectRiging effect


H u v e D u v( , ) ( , ) / 2 22

H u v e D u v D( , ) ( , ) / 2022

D 0

Filtro Gaussiano passa-altaFiltro Gaussiano passa-alta


D (u,v) = D0 quando H (u,v) = 0.607


Corta gradativamente as baixas Corta gradativamente as baixas freqüências segundo a seleção do freqüências segundo a seleção do exponente exponente – A freqüência de corte (A freqüência de corte (DD00) define o valor ) define o valor

onde a amplitude do espectro é reduzida de onde a amplitude do espectro é reduzida de 60.7%60.7%

– Baixas freqüências são cada vez mais Baixas freqüências são cada vez mais atenuadas na imagem a medida que são atenuadas na imagem a medida que são menores que D0, ou seja, o filtro possui menores que D0, ou seja, o filtro possui transição mais suave que o filtro idealtransição mais suave que o filtro ideal

– O filtro Gaussiano não possui O filtro Gaussiano não possui Ringing EffectRinging Effect

Filtro Gaussian passa-altaFiltro Gaussian passa-alta

Raio : 15, 30, e 80 pixels

Filtro Gaussian passa-altaFiltro Gaussian passa-alta

Riging effect (Contorno)Riging effect (Contorno)– Não tem!Não tem!

Filtro de realce no domínio Filtro de realce no domínio de freqüênciasde freqüências

Atenua ou mantém os componentes de alguma Atenua ou mantém os componentes de alguma faixa de freqüência da imagem e aumenta faixa de freqüência da imagem e aumenta (realça) outras faixas de freqüência(realça) outras faixas de freqüência

Geralmente atenua as baixas freqüências e Geralmente atenua as baixas freqüências e realça as altas freqüências (Filtro homomórfico)realça as altas freqüências (Filtro homomórfico)

O filtro homomórfico trabalha com a idéia de O filtro homomórfico trabalha com a idéia de que a iluminação (que a iluminação (LL) é o componente de ) é o componente de baixas freqüências e a refletância é de altas baixas freqüências e a refletância é de altas freqüências (freqüências (HH))

Filtro de realce no domínio Filtro de realce no domínio de freqüênciasde freqüências

Aumenta-se o contraste se a iluminação Aumenta-se o contraste se a iluminação ((LL<1) e a refletância é aumentada (<1) e a refletância é aumentada (HH>1)>1)

Na transição pode-se utilizar qualquer curvaNa transição pode-se utilizar qualquer curva– Geralmente utiliza-se o filtro de Butterworth ou Geralmente utiliza-se o filtro de Butterworth ou

filtro gaussianofiltro gaussiano

a reduction of dynamic range,Increase in contrast

Filtro Filtro HomomórficoHomomórfico Trata-se de uma abordagem que busca Trata-se de uma abordagem que busca

operar sobre as componentes de operar sobre as componentes de iluminação e reflectância separadamenteiluminação e reflectância separadamente

A imagem é o produto da iluminação A imagem é o produto da iluminação i i ((xx,,yy) ) e da reflectância e da reflectância r r ((xx,,yy))

– i i ((xx,,yy): iluminação ): iluminação baixas freqüencias baixas freqüencias– r r ((xx,,yy): reflectância ): reflectância altas freqüencias altas freqüencias

f f ((xx,,yy)= )= i i ((xx,,yy).).r r (x,y)(x,y)

Filtro Filtro HomomórficoHomomórfico O O filtro homomórfico visa a separar as duas filtro homomórfico visa a separar as duas

componentescomponentes Oferece uma forma de operar sobre esses

componentes separadamente. Assim, os efeitos da iluminação ficam associados às baixas freqüências e os da reflectância às altas freqüências

É utilizado para remover efeitos de sombra É utilizado para remover efeitos de sombra (devido a iluminação desigual) – reduz a (devido a iluminação desigual) – reduz a escala dinâmica do brilho e realça o escala dinâmica do brilho e realça o contrastecontraste Amplifica as altas freqüenciasAmplifica as altas freqüencias Atenua as baixas freqüênciasAtenua as baixas freqüências

Filtro Filtro HomomórficoHomomórfico A transformada de Fourier da multiplicação A transformada de Fourier da multiplicação

de de ff((xx,,yy)= )= i i ((xx,,yy).).r r (x,y) não é séparavel(x,y) não é séparavel

Para trabalhar independamente com as duas Para trabalhar independamente com as duas componentes é necessária utilizar uma componentes é necessária utilizar uma transformada logarítmica transformada logarítmica

Pois Pois

TF[i i ((xx,,yy).).r r (x,y)(x,y) ] TF[i i ((xx,,yy).]. ).]. TF[r r ((xx,,yy)])]

e ((xx,,yy)=ln[)=ln[f f (x,y)(x,y) ]= ln[ln[i i ((xx,,yy)) ]+ln[ln[r r ((xx,,yy)) ]

E ((uu,,vv)=)=IIlnln (u,v) (u,v) +Rlnln ((uu,,vv))

Filtro Homomórfico - passo a Filtro Homomórfico - passo a passopasso1.1. FaçaFaça

2.2. Aplique a TF:Aplique a TF:

3.3. Aplique Aplique

4.4. Aplique a FTinv:Aplique a FTinv:

ouou

ondeonde

),(ln),(ln),(ln yxryxiyxf

),(ln),(ln),(ln yxryxiyxf

),(),(),(),(),().,(),( vuRvuHvuIvuHvuHvuZvuS

),(),(),(),()),().,(( 111 vuRvuHvuIvuHvuHvuZ

),(),(),( '' yxryxiyxs

H (u,v)

)),().,((),( 1' vuIvuHyxi )),().,((),( 1' vuRvuHyxr

Filtro Homomórfico - passo a Filtro Homomórfico - passo a passopasso5.5. Faça a parte exponencialFaça a parte exponencial

ComoComo

EntãoEntão

),(),(),( '' yxryxiyxs

),(),(),( 00),(),(),( ''

yxryxieeeyxg yxryxiyxs

Filtro Filtro HomomórficoHomomórfico

Realce por filtro homomórficoRealce por filtro homomórfico

)0.2 ,5.0(

,1)(),( )/),(( 20

2

HL

LDvuDc

LH evuH

reduz a escala dinâmica do brilho e realça o contrastereduz a escala dinâmica do brilho e realça o contraste

1 ,1 LH

Filtro Filtro HomomórficoHomomórfico

prof. dr. kamel bensebaa

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