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ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI

UNITAU

APOSTILA

MATRIZES

PROF. CARLINHOS

NOME DO ALUNO: Nº TURMA:


MATRIZES

Uma matriz de ordem m x n é qualquer conjunto de m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Representação Genérica

Cada elemento de uma matriz é localizado por dois índices: aij. O primeiro indica a linha, e o segundo, a coluna.

A matriz A pode ser representada abreviadamente por uma sentença matemática que indica a lei de formação para seus elementos.

A = (aij)mxn | lei de formação.

Ex.: (aij)2x3 | aij = i . j

CLASSIFICAÇÃO DAS MATRIZES

Em função dos valores de m e n, classifica-se a matriz A = (aij)mxn em:

Matriz retangular, se m n.

Ex.:

Matriz linha, se m = 1.

Ex.: A1x3 = [1 0 -3]

Matriz coluna, se n =1.

Ex.:

Matriz quadrada, se m = n.

Ex.:


Ex.: é uma matriz quadrada de ordem 3.

Numa matriz A = (aij)mxn quadrada de ordem n, os elementos aij com i = j constituem a diagonal principal. Os elementos aij com i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.

Ex.:

TIPOS DE MATRIZES

Matriz Nula

É a matriz onde todos os elementos são nulos.

Ex.:

Matriz Oposta

Matriz oposta de uma matriz A = (aij)mxn é a matriz B = (bij)mxn tal que bij = -aij.

Ex.:

Matriz unidade ou matriz identidade

A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se a matriz unidade por In.

Exemplo:

=

10

012I

=100

010

001

3I

Matriz tranposta ( A t)

Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At.

Exemplo:

=7

4

1

8

5

2

A a sua transposta é

=

7

8

4

5

1

2tA


Igualdade de Matrizes

Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente de B, as matrizes A e B são ditas iguais.

[ ]mxnijaA = [ ]

mxnijbB =

Produto de um Número Real por uma Matriz

Se é um número real, o produto desse número por uma matriz A = (aij)mxn é uma matriz B = (bij)mxn tal que bij = . aij

Ex.: Sendo

Propriedades do Produto de um Número por uma Matriz

Se A e B são matrizes de mesma ordem e e são números reais, valem as seguintes propriedades:

a) 1A = A

b) . (A + B) = A + B

c) . (b . A) = ( . b) . A

d) ( + b) . A = . A + b . A

e) ( . A)T = . AT

Operações com matrizes

Adição e Subtração: a adição e subtração de duas matrizes do mesmo tipo é efetuada somando-se ou subtraindo-se os seus elementos correspondentes.

Propriedades da Adição:

Comutativa: A + B = B + A

Associativa: A + (B + C) = (A + B) +C

Elemento Neutro: A + 0 = A

Elemento Oposto: A + (-A) = 0

Exemplo: Dadas as matrizes

=

−=

−=

16

03

52

10,

43

12CeBA , calcule:


a)

−=

−+

−=+

91

02

52

10

43

12BA

b)

−−−−

=

−

−−

−=−−

28

11

16

03

51

20

43

12CBA t

Produto de Matrizes

Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, o produto da matriz A pela matriz B, nesta ordem, somente será possível quando o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. Então:

A matriz produto (A x B)mxn terá número de linhas de A e número de colunas de B.

Os elementos da matriz produto são obtidos multiplicando-se cada elemento das linhas da matriz A pelo correspondente elemento das colunas da matriz B e adicionando os produtos obtidos.

Exemplos:

1) Dadas as matrizes32

232

121

x

A

−= e

2312

41

32

x

B

−−= , calcule A.B:

A.B=32

232

121

x

A

−= .

2312

41

32

x

B

−−= =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−+−−+−+++−+

=1.24.33.22.21.32.2

1.1423.12.11.22.1C

2) Dada as matrizes:

=

12

01A

=

10

12B

Calcule:

a) A.B =

=

++++

=

34

12

1204

0102

10

12.

12

01


b) B.A =

=

++++

=

12

14

1020

1022

12

01.

10

12

Propriedades do Produto de Matrizes

Sendo A, B, C matrizes, e a um número real, e supondo as operações abaixo possíveis, temos que:

a) A.(B.C) = (A.B).C (ASSOCIATIVA)

b) A.(B+C) = A.B + A.C (DISTRIBUTIVA À DIREITA)

c) (A+B).C = A.C+B.C (DISTRIBUTIVA À ESQUERDA)

d) I É A IDENTIDADE

e) ( A . B) = A . ( B) = . (A . B)

f) (A . B)T = BT . AT

Observações Importantes:

1.ª A multiplicação de matrizes não é comutativa , isto é, existem matrizes A e B tais que AB BA.

2.ª Na multiplicação de matrizes não vale o anulamento do produto, isto é, podemos ter A . B = 0 mesmo com A 0 e B 0.

3.ª Não vale também a simplificação , isto é, podemos ter AB = AC, mesmo com A 0 e B C.

Matriz Inversa

Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se inversível ou não singular se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A-1, denominada inversa de A, tal que:

A . A-1 = A-1 . A = In

Ex.: A matriz é a inversa de pois A . A-1 = A-1 . A = I2 .


EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que 22 jiaij +=

Resp.:

181310

1385

1052

2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por ( )

=≠−=

+

jise

jisea

ji

ij,0

,1

Resp.:

−−−

−

011

101

110

3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por

>−≤+

=jiseji

jisejiaij ,

,

Resp.:

2

1

4

3

3

2

1

2

4) Determine x e y, sabendo que

=

−+

16

7

3

32

yx

yx Resp: x = 5 e y = -1

5) Determine a, b, x e y, sabendo que

−=

−−++

70

13

2

2

bayx

bayx

Resp: x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = -5

6) Dada as matrizes

−=

−=z

xBeyA

84

13

560

215

36

420

, calcule x, y e z para que

B = At. Resp: x = 2 , y = 8 e z = 2

7) Dada a matriz

−

−=

210

432

011

A , obtenha a matriz X tal que tAAX += .


Resp:

−=

450

561

012

A

8) Sendo A = (aij)1x3 tal que jiaij −= 2 e B = (bij)1x3 tal que 1++−= jibij , calcule

A+B. Resp: [ ]222

9) Calcule a matriz X, sabendo que ( ) BAXeBA T =+

−=

−=2

3

0

1

2

5,

3

0

2

4

1

1

.

Resp:

−

−

− 1

0

4

1

2

4

10) Dadas as matrizes

−−

=450

123A e

−−−

=113

024B . Resolva

02 =−+ BAX

Resp:

−−−−

9113

262

11) Efetue:

a)

−⋅

−−

2

3

41

35 Resp:

−11

21

b) [ ]

⋅3

0

2

531 Resp: [17]

c)

−⋅

− 30

12

41

25 Resp:

− 132

110

12) Dada a matriz

−=

100

001

012

A , calcule A2. Resp:

−−

100

012

023

13) Determine a inversa da matriz

=

01

43A . Resp:

−4

3

4

110

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM

1) Construa as matrizes:


a) A= (aij)2x2 tal que aij=(i+j)2 resp: A=

169

94

b) B=(bij)2x3 tal que bij=

≠+=

jiseji

jise

...,

...,2 resp: B =

523

432

2) Quantos elementos possui uma matriz de ordem 4x5. resp: 20

3) Se uma matriz A é do tipo m x n. Qual a ordem de At ? resp: n x m

4) Dadas as matrizes A=

−−

75

34

12

e B=

−−302

414, calcule:

a) 2

1(A+Bt) resp:

−−

52/1

2/32/5

2/33

b) 5At-3(At+2B) rep:

−−−

4610

34220

5) Determine a matriz X, tal que X+A=3B, para A =

10

42 e B =

−20

01

resp: X=

−−50

45

6) Sendo A =

0

3

2

e B=

−

2

0

1

, determine a matrizes X e Y, tal que

−=+−=−BAYX

BAYX 223

resp: X =

− 5/6

5/12

5/11

e Y =

− 5/4

5/3

5/4

7) Calcule os produtos:


a)

−041

325 .

5

0

1

resp:

−1

10

b)

− 41

10

32

.

− 402

321 resp:

−−−−

1329

402

1844

8) Sendo A=

21

22, calcule A2+4A-5I2 . resp:

98

169

9) Sendo A =

−12

31 e B=

− 74

02, determine a matriz X tal que A.X=B.

resp: X =

−10

32

10) Encontre se existir a inversa da matriz:

a) A =

− 12

21 resp: A-1 =

−5/15/2

5/25/1

b) B=

11

22 resp: ∃

11) (Unesp) Determine os valores de x, y e z na igualdade a seguir, envolvendo matrizes reais 2 × 2: resp: . x = 2, y = 2 e z = 4


12) (Unesp) Seja A = (aij) a matriz 2 x 2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j. Calcule A2.

resp:

−=

02

202A

13) (Fei) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) estão assim definidas:

≠+==+=

≠===

4 j i se 0, b

4 j i se 1, b e

j i ,0a

j i se 1, a

ij

ij

ij

ij

se

onde, 3 j i, 1 ≤≤ então a matriz A + B é: resp: d

14) (Fei) Dadas as matrizes A e B, a matriz de x de 2a ordem que é solução da equação matricial Ax + B = 0, onde 0 representa a matriz nula de ordem 2 é:

15) (Uel) Considere as matrizes M e M2 representadas a seguir. Conclui-se que o número real a pode ser :

resp: a


3- e) 2- d) 2 c) 22 b) 32 a) resp: b

16) (Uel) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x 4 e p x q. Se a matriz A.B é 3 x 5, então é verdade que: resp: b

a) p = 5 e q = 5 b) p = 4 e q = 5 c) p = 3 e q = 5 d) p = 3 e q = 4 e) p = 3 e q = 3

17) (Unirio) Considere as matrizes A, B e C na figura adiante:

resp: d

A adição da transposta de A com o produto de B por C é:

a) impossível de se efetuar, pois não existe o produto de B por C.

b) impossível de se efetuar, pois as matrizes são todas de tipos diferentes.

c) impossível de se efetuar, pois não existe a soma da transposta de A com o produto de B por C.

d) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 2x3.

e) possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3x2.

18) (Uel) Sobre as sentenças:

I. O produto de matrizes A3x2.B2x1 é uma matriz 3x1.

II. O produto de matrizes A5x4.B5x2 é uma matriz 4x2.

III. O produto de matrizes A2x3.B3x2 é uma matriz quadrada 2x2.

é verdade que:

a) somente I é falsa.

b) somente II é falsa.

c) somente III é falsa.

d) somente I e III são falsas.

e) I, II e III são falsas. resp: b


19) (Cesgranrio) Cláudio anotou suas médias bimestrais de matemática, português, ciências e estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a figura.

Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o mesmo peso, isto é, para calcular a média anual do aluno em cada matéria basta fazer a média aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma nova matriz cujos elementos representem as médias anuais de Cláudio, na mesma ordem da matriz apresentada, bastará multiplicar essa matriz por:

resp: e

20) (Ufrj) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo.

As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:

S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.


Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz).

Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S).

a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? resp: Cláudio

b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? resp: 2

Bibliografia:

Curso de Matemática – Volume Único

Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna

Matemática Fundamental - Volume Único

Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD

Contexto&Aplicações – Volume Único

Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática

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