Prof°. Antônio Oliveira de Souza

01 / 11 / 2013

Av. Itororó, 1445CEP: 87010-460 - Maringá - Pr

Faculdade de Engenharia e Inovação Técnico Profissional

Introdução à Relatividade

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É bom lembrar que a prova de Física Geral e Experimental III está marcada, não devemos “marcar”!

Relatividade Especial – Dilatação Temporal

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Vamos trabalhar duro pois o conteúdo será tudo dado no segundo bimestre.

Relatividade Especial – Dilatação Temporal

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1.0 – Introdução

• No final do século XIX, muitos físicos acreditavam que a tarefa da física tinha terminado, que nada mais havia para descobrir; restava alguns “pequenos” problemas para resolver.

• Com o passar do tempo, porém, perceberam que esses problemas não eram tão pequenos quanto pensavam.

• Por isso, só puderam ser resolvidos com a criação de duas novas teorias: a Teoria da Relatividade e a Mecânica Quântica.

• Essas teorias revolucionaram a Física no início do século XX e ajudaram a conhecer muito da estrutura da matéria.

Obs: A relatividade trata de corpos que viajam com velocidades iguais (ou próximas) à velocidade da Luz.

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• A Física desenvolvida a partir do início do século XX passou a ser chamada de Física Moderna, enquanto que a Física desenvolvida anteriormente ficou conhecida como Física Clássica.

2.0 – A Origem da Teoria da Relatividade

A Teoria da Relatividade foi criada por Albert Einstein (1879-1955) em duas etapas:

- em 1905 ele publicou um trabalho que mais tarde ficou conhecido pelo nome de Teoria da Relatividade Especial, que trata do movimento uniforme (isto é, movimento em que a aceleração é nula e a velocidade é constante e não nula).

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-em 1915, publicou a Teoria da Relatividade Geral, que trata do movimento acelerado e da gravitação.

• Antes, porém, de passar à apresentação das teorias, vamos considerar os fatos que levaram Einstein à criação da Teoria da Relatividade.

2.1 – Teoria da Relatividade Especial2.1.1 o Problema da Luz

• O primeiro desses problemas referia-se ao comportamento da luz.

• De acordo com a teoria eletromagnética, a luz é constituída de campos elétricos e magnéticos que oscilam enquanto viajam.

• Einstein então se perguntava: o que aconteceria se eu acompanhasse um feixe de luz mantendo a mesma velocidade da luz?

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• Ele chegou à seguinte resposta: a luz pareceria algo imóvel e sem alteração.

• Mas isso lhe pareceu absurdo, pois o que caracteriza a luz é exatamente a alteração contínua dos campos; um pulso de luz estático não poderia existir.

2.2 – O problema do Eletromagnetismo

• O segundo problema que afligia Einstein era a falta de simetria observada em alguns fenômenos eletromagnéticos.

• Consideremos, por exemplo, o caso apresentado na Figura 1.

• Uma moça A está fixa no solo e observa um vagão que se move em linha reta e com velocidade constante.

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Figura 1 - Duas esferas carregadas x e y.

• Dentro do vagão há um rapaz B que segura duas esferas carregadas x e y. Suponhamos que a reta que une x e y seja perpendicular à velocidade do vagão.

• Para o rapaz B, as esferas estão em repouso; assim existe um par de forças eletrostáticas dadas pela lei de Coulomb.

• Porém, para a moça A, as esferas movem-se em trajetórias paralelas com velocidade v. Assim, para a moça A, além das forças dadas pela lei de Coulomb, há um par de forças magnéticas entre as esferas. Desse modo, a força resultante em cada esfera depende do observador.

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• Para Einstein, essa conclusão era insuportável, pois na Mecânica isso não ocorria. Quando temos dois referenciais inerciais, um movendo-se com velocidade constante em relação ao outro, as leis da Mecânica são as mesmas nos dois referenciais.

• Um experimento mecânico dará o mesmo resultado nos dois referenciais, isto é, por meio de um experimento mecânico, não podemos determinar se o referencial está parado ou em movimento retilíneo uniforme.

• Na situação representada na Figura 2, o rapa B está sobre um vagão que se move com velocidade constante v em relação ao solo.

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Figura 2 – Vagão com velocidade constante.

• Suponhamos que o rapaz jogue uma bola para cima. A bola subirá e cairá novamente em sua mão, do mesmo modo que subiria e cairia se o vagão estivesse em repouso em relação ao solo.

• Naturalmente, para uma moça A, fixa em relação ao solo (Figura 3), a trajetória da bola será uma parábola, e a velocidade da bola terá valores diferentes para os dois observadores.

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• No entanto, para os dois observadores a aceleração da bola será a mesma (aceleração da gravidade) e a força resultante sobre a bola será a mesma (o peso).

• Nenhum dos experimentos ilustrados pelas Figuras 2 e 3 poderá revelar se o vagão está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.

• Portanto, ao contrário da Mecânica, as leis do Eletromagnetismo pareciam depender do referencial.

Figura 3 – Situação vista pela moça.

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• Dentro do vagão, o rapaz B poderia jogar uma partida de pingue-pongue ou peixinhos poderiam nadar num aquário do mesmo modo que o fariam se o vagão estivesse em repouso.

3.0 – Os Postulados de Einstein

• Albert Einstein apresentou a solução desses problemas em um trabalho intitulado “Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento”, publicado em 1905 numa revista científica alemã chamada Anais da Física.

• A argumentação de Einstein se desenvolveu a partir de dois postulados, isto é, de duas afirmações consideradas válidas sem a necessidade de demonstração.

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• O Primeiro desses postulados foi chamado por Einstein de Princípio de Relatividade:

® As leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais.

• Portanto, tanto as leis da Mecânica como as leis do Eletromagnetismo devem ter a mesma formulação em qualquer referencial inercial.

• O Segundo postulado refere-se à velocidade da luz;

®A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em qualquer referencial inercial, independentemente da velocidade da fonte de luz.

• O segundo postulado foi o mais difícil de ser aceito, mesmo por físicos famosos, pois contraria nossa experiência diária.

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• A Figura 4 considera uma moça A, fixa em relação ao solo, e um vagão movendo-se com velocidade v em relação ao solo.

• Dentro do vagão há uma bola que se move com velocidade vB em relação ao vagão. Desse modo, para o rapaz B, que está fixo em relação ao vagão, a velocidade da bola é vB.

• No entanto, para a moça A, a velocidade da bola é: vB + v.

Figura 4 – Rapaz fixo em relação à bola.

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• No caso da luz as coisas são diferentes.

• Na Figura 5 representamos uma moça a, fixa em relação ao solo, que se observa um vagão cuja velocidade em relação ao solo é v.

• Dentro do vagão um rapaz B acende uma lanterna de modo que, para o rapaz B, a velocidade da luz é c.

Figura 5 – Lanterna acesa dentro do vagão em movimento.

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• De acordo com o Segundo postulado de Einstein, para a moça A, a velocidade da luz emitida pela lanterna também é c e não c + v. logo, tanto para a moça A como para o rapaz B a velocidade da luz é c.

4.0 – A Dilatação Temporal

• Vamos supor que queiramos medir o intervalo de tempo gasto para ocorrer um fenômeno.

• Uma das consequências dos postulados de Einstein é que o valor desse intervalo de tempo vai depender do referencial em que está o observador.

• Se tivermos dois observadores situados em dois referenciais inerciais diferentes, um tendo velocidade constante em relação ao outro, os intervalos de tempo medidos por esses observadores são diferentes.

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• Para demonstrar isso, consideramos um trem que se move com velocidade v constante em relação ao solo, Figura 6.

(a) (b)Figura 6. – Trem que se move com velocidade constante em relação ao solo.

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• Dentro do vagão há um observador O’, fixo em relação ao vagão, e fora dele há um observador O, fixo em relação ao solo.

• O observador O’ aciona uma fonte de luz que emite um pulso para cima. Esse pulso é refletido por um espelho e volta para a fonte.

• Para o observador O’, na ida e na volta o pulso de luz gasta um intervalo de tempo t’ dado por (1)

em que c é a velocidade da luz.

• Na Figura 6(a) representamos o trajeto da luz como é visto pelo observador O, o qual mede um tempo t para o percurso da luz.

)'('2 tcd

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• Nesse intervalo de tempo, para o observador O o deslocamento do trem foi igual a v ∙ (t) enquanto o deslocamento da luz, de acordo com a Figura 7, foi

(2) pois a velocidade da luz é a mesma (c) para os dois observadores.

Figura 7 – Representação geométrica da luz vista por O.

)(2 tcd

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• Das Eqs. (1) e (2), obteremos:

(3)

(4)

• Como d é a hipotenusa do triângulo da Fig. 7 e d’ é um cateto, logo concluímos que

O que implica que

cdttcd '2')'('2

cdttcd 2)(2

'dd

'tt

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• Daí podemos concluir que um relógio que está em um referencial que se move em relação a nós “anda” mais devagar do que nosso relógio.

• Essa relação vale para todos os processos físicos, incluindo reações químicas e processos biológicos.

• O intervalo de tempo t’, em que os dois eventos (emissão e recepção da luz) ocorrem no mesmo local, é chamado de tempo próprio.

• Para qualquer outro referencial inercial o intervalo de tempo t é maior do que o tempo próprio.

22

2

2

22

cv1

)'tΔ()tΔ(

222

2)tΔ(v)'d(d

222

2)(

2)'(

2)(:

tvtctcou

222222 )tΔ(v)'tΔ(c)tΔ(c 222222 )'tΔ(c)tΔ(v)tΔ(c

22222 )'tΔ(c)tΔ(vc 22

222

vc)'tΔ(c)tΔ(

2

22

222

cv1c

)'tΔ(c)tΔ(

• Vamos agora encontrar uma equação que relacione t e t’.

• Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo sombreado na Figura 7, temos:

(5)

2

2

1

'

cvtt

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5.0 – Contração do Comprimento

• Suponhamos que um objeto tenha comprimento L’ quando em repouso em relação a um observador, conforme Figura 8.

• Einstein mostrou que, quando se move com velocidade v (em relação a esse mesmo observador) na mesma direção em que foi medido o comprimento, conforme Figura 9, esse objeto apresenta um comprimento L tal que: (6)

Figura 8 – Objeto em repouso.

LL '

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Figura 9 – Objeto em movimento.

• Observe que o comprimento h não se altera.

• Dizemos então que houve uma alteração de comprimento.• A equação que relaciona L e L’ é:

(7)2

2

1'cvLL

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• Na Figura 10(a) mostramos um cubo em repouso. Quando esse cubo se move para a direita com velocidade próxima de c, a imagem observada tem o aspecto da Figura 10 (b).

Figura 10 – (a) objeto em repouso e (b) objeto em movimento.

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6.0 – Momento Linear

• Na Mecânica Clássica, um corpo de massa m e velocidade v possui Momento Linear p dada por

(8)

• Essa definição é adequada quando o módulo de v é pequeno comparado à velocidade da luz.

• Porém, quando as velocidades são “altas”, para que seja mantido o Princípio da Conservação de Momento Linear, verifica-se que p deve ser dada por:

(9)

onde m0 é a massa de repouso.

vmp

v

cv

mp

2

20

1

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• Se fizermos

(10)

onde é chamado de fator de Lorentz, a Eq. (9) pode ser

(11)

• Para que a Eq. (11) fique igual à Eq. (8), podemos definir a massa relativística m por:

(12)

2

2

1

1

cv

vmp 0

0

2

20

1mm

cv

mm

28

• Observando a Eq. (9), vemos que, à medida que a velocidade v se aproxima de c, o denominador da fração aproxima-se de zero e o momento linear fica infinitamente grande.

• Para que isso ocorra, é necessário um impulso infinito, o que não é possível.

• Portanto, nenhum corpo pode atingir a velocidade da luz.

7.0 – Massa e Energia

• Entre o grande público, o aspecto mais conhecido da Teoria da relatividade é, em dúvida, a equação

(13)2cmE

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que relaciona a massa (m) com a energia (E).

• O significado dessa equação, contudo, é bem mais complicado do que pode parecer à primeira vista.

• Antes de considerá-la, vamos analisar o significado de uma equação parecida com ela:

(14)

• Como foi dito, Einstein introduziu a Teoria da Relatividade em seu trabalho “Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento”, escrito em junho de 1905.

• Em setembro do mesmo ano, ele publicou mais um pequeno trabalho, complementando o anterior, intitulado “A inércia de um corpo depende de seu conteúdo de energia?”.

2)( cmE

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• Nesse trabalho ele mostrou que a massa inercial de um corpo varia cada vez que esse corpo ganha ou perde energia, qualquer que seja o tipo de energia.

• Se um corpo receber uma quantidade de energia E, sua massa inercial terá um aumento m dado por:

• Do mesmo modo, se o corpo perder energia, sua massa inercial irá diminuir.

• Assim, a massa de um tijolo quente é maior do que a massa de um tijolo frio;

• Uma mola comprimida (ou alongada) tem massa maior do que quando não estava comprimida (ou alongada), pois o acréscimo de energia potencial elástica ocasiona um aumento da massa inercial da mola.

2)( cmE

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• Essa variação de massa é tão pequena que as balanças não conseguem determiná-la.

• Só foi possível observar a validade da Eq. (13) de Einstein quando s físicos conseguiram analisar as transformações com os núcleos dos átomos, pois durante essas transformações, as variações de massas são muito maiores do que ocorrem em uma reação química entre elétrons.

• Portanto, a Eq. (13) de Einstein diz que:

A energia produz aumento da massa porque tem inércia, isto é, a energia tem massa.

Podemos dizer, então, é que a equação de Einstein exprime uma proporcionalidade entre os valores numéricos das variações de massa e energia.

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8.0 – Teoria da Relatividade Geral

• Na Teoria da Relatividade Especial, Einstein analisa as leis da Física em referencias.

• Em 1915, ele publica sua Teoria da Relatividade Geral em que analisa as leis da Física em referenciais acelerados e desenvolve uma nova teoria da Gravitação.

• Vamos comentar aqui apenas alguns aspectos da teoria da gravitação.

• Para explicar a atração gravitacional entre corpos, Einstein abandona a noção newtoniana de força e introduz a noção de espaço curvo.

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• Para Einstein, os corpos produzem em torno de si uma curvatura do espaço, sendo que, quanto maior a massa do corpo, maior será a curvatura.

• Podemos fazer uma analogia com a situação representada na Figura 11.

Figura 11 – Espaço curvo.

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• Na Figura 11 temos uma bola de ferro B colocada sobre uma superfície elástica.

• A bola de ferro deforma a superfície de modo que o corpo C vai em direção a B não porque haja uma força de atração, mas sim porque segue a linha do espaço curvo.

• A teoria de Einstein previa que a luz também seria atraída pelos corpos, mas esse efeito seria pequeno e, assim, só poderia ser observado quando a luz passasse perto de corpos de grande massa, como por exemplo o Sol, conforme Figura 12.

Figura 12 – A luz é desviada.

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• A confirmação dessa teoria aconteceu em 19 de aio de 1919.

• Nesse dia ocorreu eclipse do Sol que propiciou a obtenção de fotos de estrelas durante o dia.

• Comparando-se a posição obtida da estrela (posição aparente) com a posição em que ela deveria estar, seria possível constatar se o raio de luz sofre desvio ao passar perto do Sol.

• Para garantir bons resultados da observação do eclipse, uma equipe de astrônomos ingleses foi enviada para a cidade de Sobral, no Ceará, e a outra para a ilha de Príncipe (África Ocidental).

• A equipe de Sobral foi mais feliz, pois na ilha de Príncipe o céu estava um pouco encoberto, com nuvens.

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• Desse episódio ficou famosa uma frase pronunciada por Einstein algum tempo depois:

“O problema concebido por meu cérebro foi resolvido pelo luminoso céu do Brasil”

Referências

HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J., Fundamentos de Física, vol. 4- 8ªed. Editora Livros técnicos e Científicos S.A. Rio de Janeiro - 2009.