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Prof. Adriano Mendonça Souza, Dr.

Departamento de Estatística

PPGEMQ / PPGEP - UFSM

2

Na prática da pesquisa em geral, o tamanho da

amostra parece sintetizar todas as questões

relacionadas ao processo de amostragem. E, às

vezes, esse aspecto ainda é traduzido pela clássicas

questões:

Que percentagem da população deverá ser observada?

5 ou 10% será significante?

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DeterminaDeterminaçção do Tamanho daão do Tamanho daAmostraAmostra

Em pesquisas, uma etapa de grande

importância é a determinação do tamanho da

amostra que será utilizado para o

levantamento dos dados.

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Sabemos que conhecido o nível de confiança, o qual

deve ser fixado em função do acerto que se deseja

ter na estimação por intervalo, a medida que

aumentamos neste nível, os intervalos passam a ter

amplitudes maiores, o que implica em perda de

precisão.

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O ideal seria termos alto nível de confiança e

pequena amplitude (logo teríamos grande

precisão), mas necessitaríamos de uma amostra

muito grande, pois, fixado n, confiança e precisão

variam em sentidos opostos.

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1º)Nível de confiança : determinado pelo

pesquisador;

2º)Precisão (e0): o erro amostral corresponde à diferença

entre as estimativas amostrais e os parâmetros

populacionais, ocorrendo em qualquer tipo de pesquisa ou

experimento;

3º)Tipo de Investigação: depende das características

populacionais a serem investigadas.

Depende de três fatores:Depende de três fatores:

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CCáálculo para o tamanholculo para o tamanhommíínimo da amostranimo da amostra

Um primeiro cálculo do tamanho da amostra pode

ser feito, mesmo sem conhecer o tamanho da

população, da seguinte forma:

20

0 e

1n

primeira aproximação para o tamanho da amostra.

erro amostral tolerável0n

Onde:

0e

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Quando se conhece o tamanhoQuando se conhece o tamanhoda populada populaççãoão

o cálculo anterior pode ser corrigido:

0

0

nN

n.Nn

N tamanho da população

n tamanho da amostra

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ExemploExemploPlaneja-se um levantamento por amostragem para avaliar

diversas características da população das N=200 famílias

moradoras de um certo bairro. Estas características

(parâmetros) são especialmente do tipo percentagens, tais

como, a percentagem de famílias que usam programas de

alimentação popular, a de famílias que moram em casas

próprias,... Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra

aleatória simples, tal que possamos admitir, com alta

confiança, que os erros amostrais não ultrapassem 4%

(e0= 0,04)?

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Para estimar a mPara estimar a méédia populacional dia populacional

e0 = Semi-amplitude do intervalo de confiança, neste caso da média.

n

S.

2teou

n.

2Ze 00

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Tamanho da amostra paraTamanho da amostra paraestimar a mestimar a méédiadia

populacionalpopulacionalcom variância populacional conhecida:

2

0

2

e

z

n

População Infinita População Finita

22

20

22

21

2

zNe

Nz

n

12

ExemploExemplo

Suponha que a variável escolhida num estudo seja

o peso de certa peça e que a população é composta

de 600 elementos. Pelas especificações do

produto, o desvio-padrão é de 10 kg. Admitindo-

se um nível de confiança de 95,5% e um erro

amostral de 1,5 kg, calcule o tamanho da amostra.

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Substituí-se pela variância que é obtida através de uma

amostra piloto, de tamanho n1.

População Infinita População Finita

22

2,

20

22

2,

)()1( stNe

Nstn

com variância populacional desconhecida:

Onde = n1 - 1 graus de liberdade

0

2,

e

Stn

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ConsideraConsideraçções apões apóós o cs o cáálculolculodo tamanho da amostra:do tamanho da amostra:

Se n < n1: a pré-amostra selecionada, de tamanho n1, foi suficiente para garantir a precisão desejada.

Se n >n1: deve-se completar a pré-amostra,

acrescentando elementos até atingir o valor “n” que

garanta a precisão desejada.

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ObservaObservaçções:ões:Se for desconhecido, o valor de S deve ser

calculado numa amostra piloto de n’ elementos e

com (n’-1) gl.

Se n < n’ a amostra piloto já é suficiente para

estimação;

Se n > n’ retira-se da população os elementos

amostrais necessários para estimar .

Como a variância aparece no numerador das

expressões, concluímos que quanto mais heterogênea

for a população em estudo, maior deverá ser “n”.

2t

16

ExemplosExemplos

1) Qual o tamanho da amostra necessária para se estimar a

média de uma população infinita cujo desvio padrão é

4mm, com 98% de confiança e precisão de 0,5mm?

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2) Foram feitas 20 medidas do tempo gasto em minutos

para se fabricar um componente industrial,obtendo-se:

13,15,12,14,17,15,16,15,14,16,17,14,16,15,15,13,14,15,

16,15.

Esses dados são suficientes para estimar o tempo médio

gasto nessa fabricação, com precisão de 30 segundos e

95% de certeza? Caso negativo, qual o tamanho da

amostra adicional necessária?

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Tamanho da amostra se aTamanho da amostra se avarivariáável for nominal ou ordinalvel for nominal ou ordinal

de populade populaçção finitaão finitaPopulação Infinita População Finita

20

2

2**

e

ppzn

**)()1(

**

2

2

20

2

2

qpzNe

Nqpzn

Onde: p* é a proporção amostral que pode ser obtida através de um pré-amostra de n1 elementos e q* =(1-p)

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ExemploExemplo

Suponha que a variável escolhida num estudo seja a

proporção de eleitores favoráveis ao candidato X e

que o investigador tenha elementos para suspeitar que

essa porcentagem seja de 30%. Admita a população

infinita e que se deseja um nível de 99% e um erro

amostral de 2%. Calcule o tamanho da amostra.

20

ObservaObservaçções:ões:1) Quando não se tem informação a respeito de p*, usa-se

p* = q* = 50% o que levará a um tamanho de amostra

superavaliado mas garantindo a precisão desejada, embora

podendo ter como conseqüência, aumentos no custo e no

tempo de amostragem e consequentemente na pesquisa.

2) Se p for próximo de 0 ou 1 corre-se o risco de se

dimensionar uma amostra maior do que o necessário.

21

3) Se soubermos com segurança que

ou , pode-se usar p0 obtendo-se

uma amostra suficiente, pois

ObservaObservaçções:ões:

5,0pp 0

pp5,0 0

).p1(p)p1(p 00

22

ExemplosExemplos

1) Qual o número de jogadas de uma moeda é

suficiente para se estimar a proporção de “caras”

obtidas, com precisão de 3% e confiança de 90%?

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2) Em uma pesquisa de mercado bem conduzida, 57 das

150 pessoas entrevistadas afirmaram que seriam

compradoras de certo produto a ser lançado. Essa

amostra é suficiente para estimar a proporção real de

futuros compradores, com uma precisão de 0,08 e

confiança de 95%?

24

CCáálculo do tamanho da amostralculo do tamanho da amostraquando se deseja fazer um testequando se deseja fazer um teste

de diferende diferençça de ma de méédias paradias paraamostras dependentesamostras dependentes

21

2

xx

)1n;2

t1n;t(n

n

D.SEPD

2

EPD - erro padrão da diferença

- erro tipo II (sua probabilidade)

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Quando o desvio padrãoQuando o desvio padrão éédesconhecidodesconhecido

Onde:

221

2

2

)xx(

)1n;t1n;t(

n

2nn

SSEPD

21

22

12

diferençadapadrãoerroEPD

2pilotoamostradamédiax

1pilotoamostradamédiax

2pilotoamostradaiânciavarS

1pilotoamostradaiânciavarS

2

1

22

21

26

CCáálculo do tamanho da amostra lculo do tamanho da amostra quando se deseja fazer um teste de quando se deseja fazer um teste de

duas mduas méédias para amostras dias para amostras independentes com desviosindependentes com desvios--padrões padrões

desconhecidos mas iguaisdesconhecidos mas iguais

221

22221

)xx(

)EPD.()1n;t1n;t(n

2121

22

212

1

n

1

n

1.

2nn

S).1n(S).1n(EPD

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CCáálculo do tamanho da amostra lculo do tamanho da amostra quando se deseja fazer um teste de quando se deseja fazer um teste de

duas mduas méédias para amostras dias para amostras independentes com desviosindependentes com desvios--padrões padrões

desconhecidos e desiguaisdesconhecidos e desiguais

2

22

1

21

n

S

n

SEPD

221

22221

)xx(

)EPD.()1n;t1n;t(n