processo de poisson [ parte ii ] 1 - introduÇÃo 2 - processo de poisson 3 - tempos de chegada 4 -...

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PROCESSO DE POISSON [ Parte II ] 1 - INTRODUÇÃO 2 - PROCESSO DE POISSON 3 - TEMPOS DE CHEGADA 4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS 5 - PROCESSOS DE RENOVAÇÃO 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS 7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO

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Page 1: PROCESSO DE POISSON [ Parte II ] 1 - INTRODUÇÃO 2 - PROCESSO DE POISSON 3 - TEMPOS DE CHEGADA 4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS 5 - PROCESSOS DE RENOVAÇÃO 6 -

PROCESSO DE POISSON [ Parte II ]

1 - INTRODUÇÃO2 - PROCESSO DE POISSON

3 - TEMPOS DE CHEGADA4 - TEMPOS ENTRE

CHEGADAS5 - PROCESSOS DE

RENOVAÇÃO6 - TEMPOS DE CHEGADA

NÃO-ORDENADOS7 - PROCESSO DE POISSON

FILTRADO 8 - PARTICIONAMENTO

ALEATÓRIO

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6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS1º Passo:Suponha que exatamente k eventos de um processo de Poisson ocorrem em um intervalo de duração t. Em outras palavras Nt = k, onde Nt é uma variável aleatória de Poisson. Se particionarmos (0,t] em M subintervalos adjacentes para os instantes de tempo t’0, t’1, t’2,..., t’M, considerando:

ttet Mo '0'

Mmparatt mmm ,...,2,1'' 1 E definindo:

Temos a situação de partição representada a seguir:

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Podemos escrever:

Não há relação a priori entre os tempos em que os eventos ocorrem (tk) e os instantes da partição t’m.

M

mmt

1

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS1' mtot '0 1't mt ' tt M '

m )( m

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2º Passo:Número de eventos que ocorrem em um subintervalo:

Mmondett mmm ,...,2,1]','()( 1

Segue que:

Exatamente k eventos ocorreram no intervalo (0,t].

M

mm kk

1

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS

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A probabilidade condicional conjunta de km eventos ocorrerem durante o intervalo (m), m = 1,2,..., M, considerando a hipótese de que k eventos ocorrem durante o intervalo inteiro é:

]|,...,,[ 21 21kNkNkNkNP tMM

][],,...,,[ 21 21

kNPkNkNkNkNP

t

tMM

)1(][

],...,,[ 21 21

kNPkNkNkNP

t

MM

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS

MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 05 / 27

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Incrementos estacionários e independentes, vem:

)2(][],...,,[1

21 21

M

mmM kNPkNkNkNP

mM

O número de eventos Distribuição de Poisson. Assim, podemos reescrever (2) e o denominador de (1):

!)(][

m

km

m kekNP

mm

m

!

)(][ktekNPekt

t

Levando os resultados acima em (1):

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS

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Obtemos a probabilidade condicional conjunta:

]|,...,,[ 21 21kNkNkNkNP tMM

!)(!

)(1

ktek

e

kt

M

m m

km

mm

!

!)(

1...)...( 2121

ktk

ee

k

M

m m

km

k

kkk

t

m

MM

M

m m

km

k ktk m

1 !)(!

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS

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3º Passo:Particionamento suficientemente bom apenas um evento ocorra em cada subintervalo. Nesse caso, cada um dos k subintervalos terá apenas um evento ocorrendo em sua duração, ou seja:

1!)( mmk

m kem

Não ocorrerá nenhum evento em cada um dos M-k subintervalos restantes:

1!0!1)( 0 mmk

m kem

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS

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]|,...,,[ 21 21kNkNkNkNP tMM

M

m m

km

k ktk m

1 !)(!

Reindexaremos os k subintervalos, de modo que o subintervalo (j) contenha o j-ésimo evento a ocorrer.

O tempo de ocorrência do j-ésimo evento é o tempo de chegada tj, ficamos apenas com a probabilidade condicional conjunta de ocorrência dos eventos [tj (j)], j = 1, 2, ..., k:

]|)(),...,(),([ 2211 kNtttP tkk )3(!1

k

jjkt

k

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS

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4º Passo:k eventos ocorrem durante [0,t], o mesmo resultado pode ser obtido assumindo que os tempos de chegada tj são as estatísticas de ordem dos tempos de evento (ou tempos de chegada não-ordenados).

Variáveis aleatórias mutuamente independentes Uniformemente distribuída em [0,t]

Podemos indexar os objetos que causam eventos particulares pelos inteiros 1, 2, ..., k e denotar como ui o tempo de evento que o objeto i leva para que um evento de interesse ocorra.

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS

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Não garantia a priori que #i gere o i-ésimo evento a ocorrer (em ordem) não garantia ui = ti.

10 t 2t it jt kt t

2u ku 1u iu t

ki ##2#1#

Objetos

Temposde Evento

Temposde Chegada

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS

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5º Passo:Seja Uj a v.a. da distribuição dos valores dos ui empíricos, dizemos que as v.a’s Ti são as estatísticas de ordem das v.a’s Uj . Em seguida assumimos:

Variáveis aleatórias mutuamente independentes Uniformemente distribuídas em [0,t]

Estamos assumindo que dado Nt = k, os Uj são mutuamente independentes e:

kicontráriocaso

tutkNuf i

tiU i,...,2,1,

,0

0,1)|(

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS

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Como os Uj são v.a’s independentes:

kicontráriocaso

tutkNuuuf ik

tkUUU k,...,2,1,

,0

0,1)|,...,,( 21,...,, 21

Existem k! diferentes conjuntos de tempos de eventos [uj, i = 1, 2,..., k] que poderiam gerar um conjunto particular de tempos de chegada. Daí:

)4(,...,2,1,,0

0,!)|,...,,( 21,...,, 21

kjcontráriocaso

tttk

kNtttf jktkTTT k

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS

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Retornando aos k subintervalos (j) da eq.(3), a probabilidade de um T1 cair em um subintervalo (1), de duração 1 , que T2 caia num subintervalo (2), de duração 2 , e assim sucessivamente é dada pela f.d.p condicional conjunta escrita em (4), ou seja:

]|)(),...,(),([ 2211 kNTTTP tkk

k

jjkkk t

kdtdtdttk

K 121)()()(

!!12

Esse resultado é idêntico ao obtido em (3), completando nossa prova.

Q.E.D

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-

ORDENADOS

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PROCESSO DE POISSON [ Parte II ]

1 - INTRODUÇÃO2 - PROCESSO DE POISSON

3 - TEMPOS DE CHEGADA4 - TEMPOS ENTRE

CHEGADAS5 - PROCESSOS DE

RENOVAÇÃO6 - TEMPOS DE CHEGADA

NÃO-ORDENADOS7 - PROCESSO DE POISSON

FILTRADO 8 - PARTICIONAMENTO

ALEATÓRIO

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7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO

7.1 - DefiniçãoSuponha que excitamos aleatoriamente um operador linear com um processo de Poisson. Isto é, o processo aleatório que descreve o fenômeno de interesse, [Xt , 0 t <+] pode ser escrito:

ondeUthXtN

jjt ,)(

1

uj gera h(t- uj) em um tempo t Nt descreve o nº de eventos que ocorreram em(0,t] Uj são os TCNO dos eventos que ocorreram em(0,t]

Temos o chamado Processo de Poisson Filtrado.

MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 16 / 27

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7.2 - Valor Esperado de Xt :

)1(]|[][][0

k

tttt kNXEkNPXE

7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO

A média condicional E[Xt | Nt = k] é obtida tomando a média da soma:

com relação aos tempos de chegada não-ordenados U1, U2, ..., Uk.

k

jjUth

1

)(

MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 17 / 27

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k

jjtt UthEkNXE

1

)(]|[

k

jjUthE

1

)]([

7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO

Resultados anteriores nos dão:

kjcontráriocaso

tutkNuf tU j

,...,2,1,,0

0,1)|(

MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 18 / 27

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k

j

k

j

t

jjjtt duutht

UthEkNXE1 1 0

)(1)]([]|[

)2()(]|[0t

tt duuhtkkNXE

Ficando:

Fazendo u = t-uj :

7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO

Substituindo (2) em (1), chegamos à esperança de Xt :

00

][)(1][k

t

t

t kkNPduuht

XE t

duuh0

)(

Q.E.DMÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 19 / 27

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7.3 - Distribuição de Xt :

tt

t

N

jj

ivXX UthivEeEv

1

)(exp][)(

Analogamente:

Onde:

]|[][)(0

kNeEkNPv tivX

ktX

t

t

k

jjt

ivX UthivEkNeE t

1

)(exp]|[

7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO

MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 20 / 27

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Substituindo o resultado acima em:

k

j

Utivht

ivX jt eEkNeE1

)(]|[

k

j

Utivh jeE1

)(

ktuivh

k

j

t

jutivh due

tdue

tj

0

)(

1 0

)( 11

]|[][)(0

kNeEkNPv tivX

ktX

t

t

7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO

MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 21 / 27

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Relembrando a expansão da função exponencial em séries de potências:

ktuivh

k

t

ktuivh

k

kt

X duek

eduetk

tevt

0

)(

00

)(

0 !11

!)()(

tuivht

X dueevt

0

)(exp)(

t

uivh due0

)( 1exp

Q.E.D

7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO

MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 22 / 27

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PROCESSO DE POISSON [ Parte II ]

1 - INTRODUÇÃO2 - PROCESSO DE POISSON

3 - TEMPOS DE CHEGADA4 - TEMPOS ENTRE

CHEGADAS5 - PROCESSOS DE

RENOVAÇÃO6 - TEMPOS DE CHEGADA

NÃO-ORDENADOS 7 - PROCESSO DE POISSON

FILTRADO 8 - PARTICIONAMENTO

ALEATÓRIO

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8 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO

Dado um Processo de Poisson Filtrado, [Xt , 0 t <+], formamos um novo processo [Zt , 0 t <+] selecionando aleatoriamente apenas alguns dos eventos básicos. Isto é, se:

tt N

jjjt

N

jjt UthYZentãoUthX

11

)(,)(

Têm P[Yj =1] = p e P[Yj =0] = 1-p = q Mutuamente independentes Independentes dos Uj’s

O processo particionado é um Processo de Poisson Filtrado com taxa p vezes a taxa do processo básico.

MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 24 / 27

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Valor Esperado do novo processo Zt :

)1(]|[][][0

k

tttt kNZEkNPZE

A esperança condicional E[Zt | Nt = k] é obtida tomando a média de ambas as v.a’s U1, U2, ..., Uk e as v.a’s Y1, Y2, ..., Yk.

k

jjjtt UthYEkNZE

1

)(]|[

k

jjj UthYE

1

)]([

8 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO

MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 25 / 27

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Substituindo (2) em (1):

]|[ kNZE tt

k

jjj UthYE

1

)]([

k

jjj UthEYE

1

)]([][

)2()()(1 00

k

j

tt

jj duuhtkpduuth

tp

0 0

)(][][k

t

tt duuhtkpkNPZE

8 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO

MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 26 / 27

Page 27: PROCESSO DE POISSON [ Parte II ] 1 - INTRODUÇÃO 2 - PROCESSO DE POISSON 3 - TEMPOS DE CHEGADA 4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS 5 - PROCESSOS DE RENOVAÇÃO 6 -

Pelo resultado anterior E[Zt] = p E[Xt], ou seja, o valor esperado depois do particionamento aleatório é simplesmente p vezes o valor esperado antes do particionamento.

Q.E.D

00

][)(k

t

t

kNkPduuhtp

t

duuhp0

)(

MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON -- PÁGINA 27 / 27

8 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO

0 0

)(][][k

t

tt duuhtkpkNPZE