processo de poisson [ parte ii ] 1 - introduÇÃo 2 - processo de poisson 3 - tempos de chegada 4 -...
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PROCESSO DE POISSON [ Parte II ]
1 - INTRODUÇÃO2 - PROCESSO DE POISSON
3 - TEMPOS DE CHEGADA4 - TEMPOS ENTRE
CHEGADAS5 - PROCESSOS DE
RENOVAÇÃO6 - TEMPOS DE CHEGADA
NÃO-ORDENADOS7 - PROCESSO DE POISSON
FILTRADO 8 - PARTICIONAMENTO
ALEATÓRIO
6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-
ORDENADOS1º Passo:Suponha que exatamente k eventos de um processo de Poisson ocorrem em um intervalo de duração t. Em outras palavras Nt = k, onde Nt é uma variável aleatória de Poisson. Se particionarmos (0,t] em M subintervalos adjacentes para os instantes de tempo t’0, t’1, t’2,..., t’M, considerando:
ttet Mo '0'
Mmparatt mmm ,...,2,1'' 1 E definindo:
Temos a situação de partição representada a seguir:
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Podemos escrever:
Não há relação a priori entre os tempos em que os eventos ocorrem (tk) e os instantes da partição t’m.
M
mmt
1
6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-
ORDENADOS1' mtot '0 1't mt ' tt M '
m )( m
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2º Passo:Número de eventos que ocorrem em um subintervalo:
Mmondett mmm ,...,2,1]','()( 1
Segue que:
Exatamente k eventos ocorreram no intervalo (0,t].
M
mm kk
1
6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-
ORDENADOS
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A probabilidade condicional conjunta de km eventos ocorrerem durante o intervalo (m), m = 1,2,..., M, considerando a hipótese de que k eventos ocorrem durante o intervalo inteiro é:
]|,...,,[ 21 21kNkNkNkNP tMM
][],,...,,[ 21 21
kNPkNkNkNkNP
t
tMM
)1(][
],...,,[ 21 21
kNPkNkNkNP
t
MM
6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-
ORDENADOS
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Incrementos estacionários e independentes, vem:
)2(][],...,,[1
21 21
M
mmM kNPkNkNkNP
mM
O número de eventos Distribuição de Poisson. Assim, podemos reescrever (2) e o denominador de (1):
!)(][
m
km
m kekNP
mm
m
!
)(][ktekNPekt
t
Levando os resultados acima em (1):
6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-
ORDENADOS
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Obtemos a probabilidade condicional conjunta:
]|,...,,[ 21 21kNkNkNkNP tMM
!)(!
)(1
ktek
e
kt
M
m m
km
mm
!
!)(
1...)...( 2121
ktk
ee
k
M
m m
km
k
kkk
t
m
MM
M
m m
km
k ktk m
1 !)(!
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3º Passo:Particionamento suficientemente bom apenas um evento ocorra em cada subintervalo. Nesse caso, cada um dos k subintervalos terá apenas um evento ocorrendo em sua duração, ou seja:
1!)( mmk
m kem
Não ocorrerá nenhum evento em cada um dos M-k subintervalos restantes:
1!0!1)( 0 mmk
m kem
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]|,...,,[ 21 21kNkNkNkNP tMM
M
m m
km
k ktk m
1 !)(!
Reindexaremos os k subintervalos, de modo que o subintervalo (j) contenha o j-ésimo evento a ocorrer.
O tempo de ocorrência do j-ésimo evento é o tempo de chegada tj, ficamos apenas com a probabilidade condicional conjunta de ocorrência dos eventos [tj (j)], j = 1, 2, ..., k:
]|)(),...,(),([ 2211 kNtttP tkk )3(!1
k
jjkt
k
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4º Passo:k eventos ocorrem durante [0,t], o mesmo resultado pode ser obtido assumindo que os tempos de chegada tj são as estatísticas de ordem dos tempos de evento (ou tempos de chegada não-ordenados).
Variáveis aleatórias mutuamente independentes Uniformemente distribuída em [0,t]
Podemos indexar os objetos que causam eventos particulares pelos inteiros 1, 2, ..., k e denotar como ui o tempo de evento que o objeto i leva para que um evento de interesse ocorra.
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Não garantia a priori que #i gere o i-ésimo evento a ocorrer (em ordem) não garantia ui = ti.
10 t 2t it jt kt t
2u ku 1u iu t
ki ##2#1#
Objetos
Temposde Evento
Temposde Chegada
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5º Passo:Seja Uj a v.a. da distribuição dos valores dos ui empíricos, dizemos que as v.a’s Ti são as estatísticas de ordem das v.a’s Uj . Em seguida assumimos:
Variáveis aleatórias mutuamente independentes Uniformemente distribuídas em [0,t]
Estamos assumindo que dado Nt = k, os Uj são mutuamente independentes e:
kicontráriocaso
tutkNuf i
tiU i,...,2,1,
,0
0,1)|(
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Como os Uj são v.a’s independentes:
kicontráriocaso
tutkNuuuf ik
tkUUU k,...,2,1,
,0
0,1)|,...,,( 21,...,, 21
Existem k! diferentes conjuntos de tempos de eventos [uj, i = 1, 2,..., k] que poderiam gerar um conjunto particular de tempos de chegada. Daí:
)4(,...,2,1,,0
0,!)|,...,,( 21,...,, 21
kjcontráriocaso
tttk
kNtttf jktkTTT k
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Retornando aos k subintervalos (j) da eq.(3), a probabilidade de um T1 cair em um subintervalo (1), de duração 1 , que T2 caia num subintervalo (2), de duração 2 , e assim sucessivamente é dada pela f.d.p condicional conjunta escrita em (4), ou seja:
]|)(),...,(),([ 2211 kNTTTP tkk
k
jjkkk t
kdtdtdttk
K 121)()()(
!!12
Esse resultado é idêntico ao obtido em (3), completando nossa prova.
Q.E.D
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PROCESSO DE POISSON [ Parte II ]
1 - INTRODUÇÃO2 - PROCESSO DE POISSON
3 - TEMPOS DE CHEGADA4 - TEMPOS ENTRE
CHEGADAS5 - PROCESSOS DE
RENOVAÇÃO6 - TEMPOS DE CHEGADA
NÃO-ORDENADOS7 - PROCESSO DE POISSON
FILTRADO 8 - PARTICIONAMENTO
ALEATÓRIO
7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO
7.1 - DefiniçãoSuponha que excitamos aleatoriamente um operador linear com um processo de Poisson. Isto é, o processo aleatório que descreve o fenômeno de interesse, [Xt , 0 t <+] pode ser escrito:
ondeUthXtN
jjt ,)(
1
uj gera h(t- uj) em um tempo t Nt descreve o nº de eventos que ocorreram em(0,t] Uj são os TCNO dos eventos que ocorreram em(0,t]
Temos o chamado Processo de Poisson Filtrado.
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7.2 - Valor Esperado de Xt :
)1(]|[][][0
k
tttt kNXEkNPXE
7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO
A média condicional E[Xt | Nt = k] é obtida tomando a média da soma:
com relação aos tempos de chegada não-ordenados U1, U2, ..., Uk.
k
jjUth
1
)(
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k
jjtt UthEkNXE
1
)(]|[
k
jjUthE
1
)]([
7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO
Resultados anteriores nos dão:
kjcontráriocaso
tutkNuf tU j
,...,2,1,,0
0,1)|(
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k
j
k
j
t
jjjtt duutht
UthEkNXE1 1 0
)(1)]([]|[
)2()(]|[0t
tt duuhtkkNXE
Ficando:
Fazendo u = t-uj :
7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO
Substituindo (2) em (1), chegamos à esperança de Xt :
00
][)(1][k
t
t
t kkNPduuht
XE t
duuh0
)(
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7.3 - Distribuição de Xt :
tt
t
N
jj
ivXX UthivEeEv
1
)(exp][)(
Analogamente:
Onde:
]|[][)(0
kNeEkNPv tivX
ktX
t
t
k
jjt
ivX UthivEkNeE t
1
)(exp]|[
7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO
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Substituindo o resultado acima em:
k
j
Utivht
ivX jt eEkNeE1
)(]|[
k
j
Utivh jeE1
)(
ktuivh
k
j
t
jutivh due
tdue
tj
0
)(
1 0
)( 11
]|[][)(0
kNeEkNPv tivX
ktX
t
t
7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO
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Relembrando a expansão da função exponencial em séries de potências:
ktuivh
k
t
ktuivh
k
kt
X duek
eduetk
tevt
0
)(
00
)(
0 !11
!)()(
tuivht
X dueevt
0
)(exp)(
t
uivh due0
)( 1exp
Q.E.D
7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO
MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 22 / 27
PROCESSO DE POISSON [ Parte II ]
1 - INTRODUÇÃO2 - PROCESSO DE POISSON
3 - TEMPOS DE CHEGADA4 - TEMPOS ENTRE
CHEGADAS5 - PROCESSOS DE
RENOVAÇÃO6 - TEMPOS DE CHEGADA
NÃO-ORDENADOS 7 - PROCESSO DE POISSON
FILTRADO 8 - PARTICIONAMENTO
ALEATÓRIO
8 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO
Dado um Processo de Poisson Filtrado, [Xt , 0 t <+], formamos um novo processo [Zt , 0 t <+] selecionando aleatoriamente apenas alguns dos eventos básicos. Isto é, se:
tt N
jjjt
N
jjt UthYZentãoUthX
11
)(,)(
Têm P[Yj =1] = p e P[Yj =0] = 1-p = q Mutuamente independentes Independentes dos Uj’s
O processo particionado é um Processo de Poisson Filtrado com taxa p vezes a taxa do processo básico.
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Valor Esperado do novo processo Zt :
)1(]|[][][0
k
tttt kNZEkNPZE
A esperança condicional E[Zt | Nt = k] é obtida tomando a média de ambas as v.a’s U1, U2, ..., Uk e as v.a’s Y1, Y2, ..., Yk.
k
jjjtt UthYEkNZE
1
)(]|[
k
jjj UthYE
1
)]([
8 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO
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Substituindo (2) em (1):
]|[ kNZE tt
k
jjj UthYE
1
)]([
k
jjj UthEYE
1
)]([][
)2()()(1 00
k
j
tt
jj duuhtkpduuth
tp
0 0
)(][][k
t
tt duuhtkpkNPZE
8 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO
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Pelo resultado anterior E[Zt] = p E[Xt], ou seja, o valor esperado depois do particionamento aleatório é simplesmente p vezes o valor esperado antes do particionamento.
Q.E.D
00
][)(k
t
t
kNkPduuhtp
t
duuhp0
)(
MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON -- PÁGINA 27 / 27
8 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO
0 0
)(][][k
t
tt duuhtkpkNPZE