problemas de resistencia dos materiais

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  1. 1. Escola Politcnica da Universidade de So Paulo Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotcnica PROBLEMAS DE RESISTNCIA DOS MATERIAIS H. Britto 2008
  2. 2. PREFCIO Este texto tem a finalidade de prover as disciplinas PEF-2202 Introduo Mecnica dos Slidos, e PEF-2307 Resistncia dos Materiais V, de exerccios de aplicao (com respostas). Este trabalho no teria sido possvel sem o apoio zeloso e competente do aluno de ps- graduao, Diogo Carlos Bernardes de Souza, que atuou como assistente de ensino neste Departamento. A ele, os agradecimentos do autor.
  3. 3. SUMRIO PARTE 1 ..........................................................................................................1 1.1 REAES DE APOIO.................................................................................................... 1 1.2 ESFOROS INTERNOS.................................................................................................. 3 1.3 GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM SISTEMAS PLANOS. .............................................. 4 1.4 TRELIAS PLANAS ISOSTTICAS................................................................................. 8 1.5 RESPOSTAS DOS EXERCCIOS DA PARTE 1. ............................................................... 12 PARTE 2 ........................................................................................................15 2.1 DIAGRAMAS DE ESFOROS SOLICITANTES EM SISTEMAS PLANOS............................ 15 2.2 DIAGRAMAS DE ESFOROS SOLICITANTES EM GRELHAS.......................................... 23 2.3 DIAGRAMAS DE ESFOROS SOLICITANTES EM SISTEMAS ESPACIAIS........................ 24 2.4 PROBLEMAS SUPLEMENTARES.................................................................................. 26 2.5 RESPOSTAS SELECIONADAS DA PARTE 2. ................................................................. 28 PARTE 3 ........................................................................................................36 3.1 TRAO E COMPRESSO SIMPLES EM SISTEMAS ISOSTTICOS................................. 36 3.2 TRAO E COMPRESSO SIMPLES EM SISTEMAS HIPERESTTICOS. ......................... 39 3.3 RESPOSTAS DOS EXERCCIOS DA PARTE 3. ............................................................... 46 PARTE 4 ........................................................................................................48 4.1 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE FIGURAS PLANAS. ......................................... 48 4.2 TORO UNIFORME.................................................................................................. 54 4.3 RESPOSTAS DOS EXERCCIOS DA PARTE 4. ............................................................... 57 PARTE 5 ........................................................................................................62 5.1 FLEXO E TENSES NORMAIS. ................................................................................. 62 5.2 FLEXO SIMPLES NORMAL (FSN)............................................................................ 62 5.3 VIGAS COMPOSTAS................................................................................................... 66 5.4 FLEXO COMPOSTA NORMAL (FCN). ...................................................................... 67 5.5 FLEXO SIMPLES OBLQUA (FSO). .......................................................................... 70 5.6 FLEXO COMPOSTA OBLQUA (FCO)....................................................................... 72 5.7 PROBLEMAS SUPLEMENTARES.................................................................................. 73 5.8 RESPOSTAS DOS EXERCCIOS DA PARTE 5. ............................................................... 76 PARTE 6 ........................................................................................................81 6.1 CISALHAMENTO NA FLEXO. CLCULO DE LIGAES. ............................................ 81 6.2 SEES DELGADAS. CENTRO DE CISALHAMENTO. ................................................... 84 6.3 RESPOSTAS DOS EXERCCIOS DA PARTE 6. ............................................................... 89 PARTE 7 ........................................................................................................92 7.1 DEFORMAES NA FLEXO. LINHA ELSTICA......................................................... 92 7.2 RESPOSTAS DOS EXERCCIOS DA PARTE 7. ............................................................... 98
  4. 4. Problemas de Resistncia dos Materiais 1 PARTE 1 1.1 REAES DE APOIO. Achar as reaes de apoio para as estruturas representadas nas figuras a seguir: 1) 2) (Prof. Boanerges) 3) 120 kNm 180 kNm 20 kN 3 m 3 m A B 3 m 3 m 1 m 60 kNm 45 kN/m 15 kN/m 40 kN 6 m 4 m 3 m A 60 kNm 40 kN/m 10 kN/m 30 kN 3 m 3 m 3 m 2 m A B
  5. 5. Problemas de Resistncia dos Materiais 2 4) 5) 6) 90 kN 30 kN 4 m 3 m A B 3 m 4 m 3 m C 2 tf/m 35 tfm 8 tf/m 2 m 4 m A B 2 m 3 m 1 m 40.000 kgfm 8.000 kgf/m 12.000 kgf/m 2,6 m 2,5 m A B 4,5 m 2,4 m 1,6 m
  6. 6. Problemas de Resistncia dos Materiais 3 1.2 ESFOROS INTERNOS. Achar os esforos solicitantes nas sees C, D, E, F e G das estruturas a seguir: 7) (Prof. Boanerges) 8) B G 720 kN A 5 m C 5 m D E F sen = 0,6 cos = 0,8 sen = 0,96 cos = 0,28 150 kNm 7,5 kN/m 4 m 5 m A B 1,5 m C D E F G 1,5 m4 m 4 m 2 m 2 m
  7. 7. Problemas de Resistncia dos Materiais 4 1.3 GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM SISTEMAS PLANOS. Achar o grau de hiperestaticidade dos seguintes sistemas estruturais: 9) 10) 11) 12)
  8. 8. Problemas de Resistncia dos Materiais 5 13) 14) 15) 16)
  9. 9. Problemas de Resistncia dos Materiais 6 17) 18) 19) 20)
  10. 10. Problemas de Resistncia dos Materiais 7 21) 22) 23) 24)
  11. 11. Problemas de Resistncia dos Materiais 8 1.4 TRELIAS PLANAS ISOSTTICAS. Achar as foras normais nas barras das trelias a seguir: 25) 26) 27) (Prof. Diogo) 1 tf 6 tf a 2 tf 1 2 6 4 53 7 8 9 a a a a a 3,6 m 3,6 m 3,6 m 600 kgf1 2 3 2,7 m 4 5 6 7 7.000 kgf 1,2 m 0,9 m0,7 m 1 2 3
  12. 12. Problemas de Resistncia dos Materiais 9 28) (Prof. Diogo) 29) 3 m 10 tf 1 2 6 4 5 3 7 8 9 10 11 6 m 6 m 3 m 4 m 4 m 12 13 14 15 16 17 18 2 m 160 kN1 2 6 4 5 3 7 8 9 10 11 2 m 2 m 2 m 1,5 m 1,5 m
  13. 13. Problemas de Resistncia dos Materiais 10 30) 31) 4 m 6.000 kgf 1 2 6 4 5 3 7 8 9 10 11 4 m 3 m 3 m 3 m 12 3.000 kgf 1,8 m 7.500 kgf 1 2 6 4 5 3 78 9 2,4 m 2,4 m 1,4 m 1,8 m
  14. 14. Problemas de Resistncia dos Materiais 11 32) 33) 2 m 18.000 kgf 1 2 6 4 5 3 7 8 9 10 11 1,5 m 12 13 14 15 16 17 18 19 1,5 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 5 m 10.000 kgf 1 2 6 4 5 3 7 5 m 12 m 12 m 12 m 5 m
  15. 15. Problemas de Resistncia dos Materiais 12 1.5 RESPOSTAS DOS EXERCCIOS DA PARTE 1. 1) VA = 60 kN (para cima) VB = 90 kN (para cima) HB = 30 kN (para a esquerda) 4) HA = 11.100 kgf (para a esquerda) VA = 3.080 kgf (para cima) HB = 6.300 kgf (para a direita) VB = 5.920 kgf (para cima) 2) HA = 40 kN (para a direita) VA = 30 kN (para baixo) MA = 750 kNm (sentido anti-horrio) 5) HA = 11 tf (para a esquerda) VA = 6,5 tf (para cima) HB = 4 tf (para a esquerda) VB = 13,5 tf (para cima) 3) HA = 34 kN (para a direita) VA = 6 kN (para baixo) HB = 54 kN (para a esquerda) VB = 6 kN (para cima) 6) VA = 280 kN (para cima) HB = 340 kN (para a direita) HC = 250 kN (para a esquerda) VC = 250 kN (para baixo) 7) Seo N (kN) V (kN) M (kNm) C -30 0 270 (trao embaixo) D 0 -30 150 (trao direita) E -30 -30 90 (trao embaixo) F -66 -12 120 (trao em cima) G -66 -12 30 (trao embaixo) 8) Seo N (kN) V (kN) M (kNm) C 0 -180 2.700 (trao embaixo) D -144 -108 1.980 (trao esquerda) E -180 0 1.800 (trao esquerda) F -172,8 -50,4 1.764 (trao esquerda) G 50,4 -172,8 648 (trao embaixo) 9) g = 3 17) g = 7 10) g = 1 18) g = 7 11) g = 2 19) g = 0 (isosttico) 12) g = 3 20) g = 1 13) g = 6 21) g = 0 (isosttico) 14) g = 3 22) g = 0 (isosttico) 15) g = 2 23) g = 1 16) g = 45 24) g = 1
  16. 16. Problemas de Resistncia dos Materiais 13 25) Barra N (kgf) 28) Barra N (kN) 1 15.000 1 -60 2 -12.000 2 -80 3 -20.000 3 100 4 50 26) Barra N (kfg) 5 150 1 500 6 40 2 -400 7 -50 3 -500 8 -50 4 800 9 0 5 -600 10 0 6 1.000 11 0 7 -800 29) Barra N (tf) 27) Barra N (tf) 1 0 1 4 2 -3,125 2 4 2 3 0 3 2 2 4 0 4 2 5 0 5 4 2 6 -3,125 6 6 7 0 7 3 2 8 0 8 3 9 0 9 2 10 -6 11 -8 12 5 13 -3,125 14 -3 15 -4 16 5 17 -7,125 18 -3
  17. 17. Problemas de Resistncia dos Materiais 14 30) Barra N (kgf) 32) Barra N (kgf) 1 3.200 1 7.000 2 2.400 2 13.000 3 -4.000 3 7.000 4 3.000 4 7.000 5 -2.400 5 7.000 2 6 5.000 6 13.000 7 -8.500 7 7.000 8 -3.000 9 6.800 33) Barra N (kgf) 1 0 31) Barra N (kgf) 2 0 1 -500 3 0 2 -5.400 4 15.000 3 -500 5 15.000 4 400 6 24.000 5 -2.850 7 -15.000 6 4.250 8 0 7 -5.100 9 -15.000 8 -500 10 0 9 -300 11 24.000 10 0 12 0 11 -2.850 13 -30.000 12 -4.250 14 -30.000 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0
  18. 18. Problemas de Resistncia dos Materiais 15 PARTE 2 2.1 DIAGRAMAS DE ESFOROS SOLICITANTES EM SISTEMAS PLANOS. Traar os diagramas de esforos solicitantes para as estruturas que seguem: 1) 3) 5) 7) 8) 2) 4) 6) 9) p0 x L p(x) ( ) 0 x p x = p L reta L a b M* p0 x L parbola do 2 grau p(x) 2 0 x p(x) = p L p L L M* L M* P L a b p L P L
  19. 19. Problemas de Resistncia dos Materiais 16 10) 11) 12) 13) 14) 15) 2 m 2 m 4 m 50 kN/m 120 kNm 50 kN 60 kN 1 m 3 m 2 m 12 kN/m 4 kNm 4 m 4 m8 m 3.200 kgf/m 12.800 kgfm 6.400 kgf a 3a 2a p x p0 L p(x) ( ) 0 x p x = p sen L 5 kN/m 2 kN/m reta 6 m x
  20. 20. Problemas de Resistncia dos Materiais 17 16) 17) 18) 19) 20) 2 m 2 m 3 m 4 kN/m 20 kN 16 kNm 18 kNm 3 m 1 m 3 m1 m 36 kN/m 45 kN 27 kNm a 2a pa p 2 m 6 m 2 m 80 kN 20 kN/m 120 kN 80 kNm 3 m 2 m 3 m 240 kgf/m 90 kgf 240 kgf/m
  21. 21. Problemas de Resistncia dos Materiais 18 21) 22) 23) 24) 3,6 m 3,6 m 17.820 kNm 19.887 kN 4,8 m 4,8 m 4.167 kN4,8 m 3,6 m 8 m 4 m 22 kN 4 kN/m 6 m 8 m 4 m 1 m2 m 4 kN/m 8 kN 8 kN 1 m 2 m 3 m 3 m2 m 900 kgf 2 m3 m
  22. 22. Problemas de Resistncia dos Materiais 19 25) 2